Dipartimento di Matematica e FisicaCorso di Laurea in Fisica

Matrici random

e loro applicazioni

Laureando: Relatore:Alessio Giarnetti Prof. Vittorio Lubicz

Anno Accademico2016/2017

Indice

Introduzione 2

1 Le matrici random 71.1 L’invarianza per inversione temporale . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Ensemble Ortogonale Gaussiano (GOE) . . . . . . . . . . . . . 91.3 Ensemble Simplettico Gaussiano (GSE) . . . . . . . . . . . . . 101.4 Ensemble Unitario Gaussiano (GUE) . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Funzione densita di probabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Proprieta degli autovalori delle matrici random 162.1 La densita di probabilita congiunta per gli autovalori . . . . . 162.2 La densita dei livelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 La distribuzione delle spaziature degli autovalori . . . . . . . . 22

2.3.1 Legge dei Livelli Random . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.2 Wigner Surmise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 I biliardi 293.1 Biliardi quantistici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2 Il metodo di espansione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3 Il biliardo circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4 Il biliardo di Sinai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.5 Lo spicchio di biliardo di Sinai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Conclusioni 45

Bibliografia 48

2

Introduzione

Le matrici random, ossia le matrici i cui elementi sono variabili casuali, furonointrodotte per la prima volta nell’ambito della statistica matematica neglianni ’30, ma non fu chiara da subito la loro importanza nell’ambito dellafisica.

Due decenni dopo, negli anni ’50, gli esperimenti svolti allo scopo dideterminare i livelli energetici nucleari portarono alla luce alcuni aspetti in-teressanti. Inviando dei neutroni su un nucleo questi avranno piu probabilitadi interagire con esso se la loro energia sara pari alla differenza di energiatra due livelli nucleari, poiche in questo caso il nucleo ha la possibilita dieccitarsi a seguito della collisione. Studiando quindi la sezione d’urto dellareazione in funzione dell’energia del neutrone incidente e possibile ricavare leenergie dei livelli.

Mentre i livelli energetici piu bassi si possono spiegare in maniera piutto-sto accurata immaginando che i nucleoni si muovano in una buca di poten-ziale, per i livelli eccitati non si possono sostituire le complicate interazionitra le particelle con dei potenziali medi. A partire dai dati sperimentali estata cercata quindi una teoria statistica che spiegasse alcune caratteristichedei livelli energetici nucleari [1].

Eugene Wigner nel 1955 propose di sostituire l’Hamiltoniana complica-ta infinito dimensionale dei processi nucleari con una Hamiltoniana con unnumero finito ma molto grande di dimensioni. Non conoscendo la forma esat-ta dell’operatore, Wigner penso di utilizzare come elementi di matrice dellevariabili casuali mantenendo le proprieta di simmetria richieste dal sistemafisico.

Risulto evidente come una delle proprieta statistiche dei livelli ricavatasperimentalmente, in particolare la spaziatura dei livelli contigui, seguissela stessa distribuzione della spaziatura degli autovalori delle matrici randomutilizzate da Wigner.

In fig.(1) e mostrata la sezione d’urto del processo di collisione di unneutrone con un nucleo di Uranio-238 (spin 0) in funzione dell’energia delneutrone incidente. I picchi della sezione d’urto corrispondono, per quanto

3

detto prima, proprio ai livelli energetici a meno di una costante.

Figura 1: Sezione d’urto della reazione di collisione tra neutroni e nucleo diUranio-238. I massimi della sezione d’urto corrispondono ai livelli nucleari.I dati sono acquisiti dai databases del ENDF (Evaluated Nuclear Data Files).

Estrapolando le energie corrispondenti ai picchi e studiando la distribu-zione delle loro spaziature (fig.(2)), si puo notare come essa sia la stessa dellespaziature degli autovalori di una matrice random con elementi reali, cioe laWigner Surmise (vedi Cap.2)

pW1(s) =πs

2e−

π4s2 . (1)

Questa osservazione porto ad uno studio sempre piu approfondito dellematrici random e delle loro caratteristiche. Infatti divento evidente la loroutilita nel predire molto bene alcune proprieta statistiche di sistemi comples-si. Negli anni furono trovate sempre piu applicazioni. Alcune di queste sono[1]-[4]:

Le spaziature dei livelli energetici di sistemi quantistici che nel limiteclassico risultano caotici hanno la stessa distribuzione delle spaziatu-re degli autovalori delle matrici random reali. Questa e la cosiddettaCongettura di Bohigas-Giannoni-Schmit (vedi Cap.3).

Nel 1989 Le Caer noto che la posizione degli alberi nelle foreste scan-dinave sembra seguire le stesse leggi statistiche delle autovalori dellematrici random complesse.

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Figura 2: Distribuzione delle spaziature dei livelli nucleari dell’Uranio-238.I dati sono ottenuti dai picchi della sezione d’urto mostrata in fig.(1). Lacurva mostra la cosiddetta Wigner Surmise (Eq.(1)). La distribuzione deidati sperimentali risulta in buon accordo con quella predetta dalla teoria dellematrici random.

La funzione ζ di Riemann e studiata da secoli per la sua importanzanella teoria dei numeri primi. La congettura di Riemann dice che tuttigli zeri non banali di questa funzione (cioe quelli che non giaccionosull’asse reale), hanno come parte reale 1

2. Se si studia la distribuzione

delle spaziature delle parti immaginarie di questi zeri, essa presentala stessa distribuzione delle spaziature degli autovalori delle matricirandom con elementi complessi.

La distribuzione degli spazi tra due vetture contigue in un parcheggiosembra seguire la distribuzione delle spaziature degli autovalori dellematrici random complesse o reali a seconda delle condizioni iniziali.

Altre applicazioni piu recenti sono state trovate nello studio della cro-modinamica quantistica (QCD) e nell’ambito dei modelli topologicinella teoria delle stringhe.

In questa tesi verranno descritte alcune caratteristiche delle matrici random estudiata in dettaglio un’interessante applicazione fisica: il cosiddetto biliardodi Sinai quantistico.

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Nel primo capitolo saranno definite formalmente e classificate in base alleloro proprieta di simmetria le matrici random. Verra quindi ricavata la lorofunzione di densita di probabilita.

Nel secondo capitolo saranno considerate alcune caratteristiche degli au-tovalori delle matrici random. In particolare verra ricavata la densita di pro-babilita congiunta per gli autovalori, la densita dei livelli e la distribuzionedi probabilita delle spaziature tra gli autovalori contigui. Alcune di questeproprieta saranno verificate numericamente con un programma basato sulsoftware Mathematica.

Nel terzo ed ultimo capitolo, infine, verra descritta un’applicazione. Inparticolare verranno presi in considerazione dei biliardi quantistici con cor-rispettivi classici caotici e non. Di questi biliardi verranno calcolati i livellienergetici con un metodo numerico e verranno studiate le distribuzioni delleloro spaziature.

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Capitolo 1

Le matrici random

In questo capitolo verranno descritte le caratteristiche generali delle ma-trici random. In particolare verranno definite le tre tipologie principali(reali, complesse e quaternioniche) a partire dai differenti sistemi fisici chedescrivono.

Le matrici random vengono utilizzate per studiare alcune proprieta di si-stemi fisici caratterizzati da operatori Hamiltoniani complessi di cui potrebbeanche essere sconosciuta la forma esatta. Per definire i livelli energetici diun sistema si possono utilizzare dei numeri quantici. I livelli energetici piubassi sono di solito distanti gli uni dagli altri, ma se si considerano i livellieccitati le energie corrispondenti tendono ad essere sempre piu simili tra diloro. Di conseguenza, i numeri quantici introdotti inizialmente, a causa dellacomplessita del sistema, perdono la loro utilita nel rappresentare i livelli e laloro gerarchia.

Potrebbero esistere pero per il sistema degli integrali primi del moto,come lo spin o la parita. I numeri quantici corrispondenti, qualsiasi sia illivello eccitato che si considera, si conservano. Si possono scegliere comefunzioni d’onda di base le autofunzioni di queste quantita conservate. Cosıle matrici Hamiltoniane potranno essere ridotte a delle matrici diagonali ablocchi. Ogni blocco corrispondera ad un dato set di autovalori esatti (quellicioe corrispondenti agli integral primi) e tutti i blocchi risulteranno essereindipendenti tra loro.

Per gli elementi dello stesso blocco, invece, le interazioni sono cosı com-plesse che ogni regolarita nella loro forma scompare. Si puo supporre dirappresentare ogni singolo blocco con una matrice N × N i cui elementi sonovariabili casuali. Dato che, di solito, i livelli con stesso spin o parita in unsistema fisico complesso sono molti, e interessante il caso in cui N e moltogrande. Queste matrici sono le cosiddette matrici random.

7

A seconda del sistema fisico che si sta considerando, in particolare aseconda del suo momento angolare e del suo comportamento sotto inversionetemporale, le matrici random possono appartenere a tre insiemi diversi, gliEnsembles Gaussiani. In questo capitolo sara discussa la definizione degliEnsembles e la funzione densita di probabilita delle matrici random, la qualee uguale per tutti gli Ensembles e dipende esclusivamente dalla traccia dellamatrice e del suo quadrato.

1.1 L’invarianza per inversione temporale

Per definire i vari tipi di matrici random bisogna distinguere i casi in cuiil sistema e invariante per inversione temporale da quelli in cui questo nonsuccede.

L’operatore di inversione temporale e un operatore antiunitario [5], si puoquindi scrivere come

T = KC (1.1)

dove K e un operatore unitario e C e l’operatore che trasforma ogni espres-sione nella sua complessa coniugata. Una funzione d’onda, sotto inversionetemporale, si trasforma come

ψR = Tψ = Kψ∗ (1.2)

e un operatore come

AR = TAT−1 = KCACK−1 = KA∗K−1. (1.3)

Un sistema fisico e invariante per inversione temporale se H R = H . In questocaso si dice che l’operatore Hamiltoniano e autoduale.

Quando l’operatore T agisce due volte su uno stato, questo deve rimanereinvariato. Quindi deve valere l’identita

T 2 = KCKC = KK∗CC = KK∗ = αI (1.4)

con |α| = 1 . L’operatore K e per definizione unitario, cioe vale

K∗KT = I. (1.5)

Dalle due precedenti equazioni si ottiene

K = αKT = α(αKT )T = α2K, (1.6)

quindi α = ±1 . L’operatore K puo essere cioe simmetrico o antisimmetrico.

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Gli stati di un sistema possono subire o meno un cambiamento di segnoquando l’operatore T agisce due volte. Questi due casi corrispondono rispet-tivamente alle situazioni di momento angolare totale J semintero o intero inunita di h [6].

Verranno trattati nelle prossime sezioni tre tipi di sistemi fisici: i sisteminon invarianti per inversione temporale, i sistemi invarianti con J intero e isitemi invarianti con J semintero. Ad ognuna delle tre tipologie corrisponderauna classe specifica di matrici random.

1.2 Ensemble Ortogonale Gaussiano (GOE)

Se il sitema fisico considerato e invariante per inversione temporale e ha mo-mento angolare totale intero, K e un operatore simmetrico oltre che unitario.Esistera quindi un operatore unitario U tale che [7]

K = UUT (1.7)

Utilizzando sugli stati la trasformazione corrispondente all’operatore U ,cioe la trasformazione ψ → U−1ψ, si ha che l’operatore K diventa l’operatoreidentita, e in questa rappresentazione T → C . Infatti

T ′ = U−1TU = U−1KCU = U−1UUTCU = UTU∗C = (U †U)∗C = C.(1.8)

Cio comporta che ogni matrice autoduale, in questo caso, e reale. Pertanto,se HR = H, dato che l’operatore Hamiltoniano e sempre Hermitiano, inquesta base H deve essere una matrice simmetrica reale.

Quindi, per descrivere sistemi invarianti per inversione temporale con mo-mento angolare intero tramite la teoria delle matrici random, bisogna definirel’insieme delle matrici random reali e simmetriche E1G . Questo insiemee chiamato Ensemble Ortogonale Gaussiano (GOE) ed e definito all’inter-no dello spazio delle matrici reali e simmetriche T1G tramite le seguenticaratteristiche:

1. L’ensemble e invariante sotto qualunque trasformazione del tipo

H → W THW (1.9)

di T1G in se stesso, dove W e una matrice reale ortogonale. Questocomporta che la probabilita che un elemento di E1G appartenga all’e-lemento di volume dH =

∏k≥j dHkj e invariante sotto trasformazioni

reali e ortogonali. Quindi

P (H ′)dH ′ = P (H)dH, H ′ = W THW (1.10)

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dove W TW = I . Il motivo di questa invarianza e da ricercare nell’in-dipendenza dalla base della probabilita.

2. I vari elementi di matrice Hkj per k ≤ j sono statisticamente indi-pendenti. La funzione di densita di probabilita P(H ) risulta quindifattorizzabile

P (H) =∏k≤j

fkj(Hkj). (1.11)

1.3 Ensemble Simplettico Gaussiano (GSE)

Si consideri adesso un sistema invariante per inversione temporale, ma conmomento angolare totale semintero. L’operatore K risulta essere antisimme-trico, e non si puo quindi trovare una trasformazione che lo porti ad esserel’operatore identita.

Ogni operatore unitario ed antisimmetrico si puo pero ridurre alla formacanonica

Z =

0 +1 0 0 ...−1 0 0 0 ...0 0 0 +1 ...0 0 −1 0 ...... ... ... ... ...

(1.12)

la quale e una matrice formata da blocchi 2× 2 del tipo(0 +1−1 0

)sulla diagonale principale. Risulta evidente come la matrice rappresentativadell’operatore K , dato che puo essere sempre ridotta a questa forma, deveavere un numero pari di colonne e di righe. Si possono quindi consideraresolo le matrici di ordine 2N × 2N .

Per trattare matrici di questo tipo puo essere utile introdurre i quaternioni[1], oggetti formali dalla forma

q = a+ ib+ jc+ kd (1.13)

dove i2 = j2 = k2 = ijk = −1. Se si definisce la notazione matriciale deiquaternioni

j = e1 =

(i 00 −i

)k = e2 =

(0 1−1 0

)i = e3 =

(0 ii 0

),

(1.14)

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le tre matrici e1 , e2, e3 (che rispettano tutte le regole di moltiplicazione) in-sieme all’identita formano un base completa per le matrici 2× 2 con elementicomplessi. Tutte le matrici complesse 2N × 2N , quindi, se divise in blocchi2× 2, possono essere scritte come matrici quaternioniche N × N .

Dalle proprieta dei quaternioni, considerando la trasformazione che tra-sforma ogni matrice 2N × 2N nella forma (1.12), si dimostra che una matricequaternionica e autoduale se per ogni suo elemento definito a partire dallematrici a blocchi 2× 2 descritte in precedenza

qjk =

(ajk bjkcjk djk

)vale ajk = dkj , bjk = −bkj e cjk = −ckj [1]. Queste condizioni, insieme aquella di Hermiticita, devono essere soddisfatte dall’operatore Hamiltonianodel sistema in questione.

Se si vuole descrivere un sistema invariante per inversione temporalecon momento angolare totale semintero, quindi, bisogna definire l’insiemedelle matrici random quaternioniche autoduali Hermitiane E4G all’in-terno del corrispondente spazio di matrici T4G . Questo insieme, chiamatoEnsemble Simplettico Gaussiano (GSE), e definito a partire dalle seguenticaratteristiche:

1. L’ensemble e invariante sotto qualunque trasformazione del tipo

H → WRHW (1.15)

di T4G in se stesso, dove W e una matrice simplettica. Questo comportache la probabilita che un elemento di E4G appartenga al’elemento divolume

dH =∏k≤j

dH(0)kj

3∏λ=1

∏k<j

dH(λ)kj (1.16)

e invariante sotto trasformazioni simplettiche. L’indice λ va da 1 a 3 eindica le parti immaginarie di ogni elemento di matrice quaternionico.Quindi

P (H ′)dH ′ = P (H)dH, H ′ = WRHW (1.17)

dove W RW = I . Il motivo di questa invarianza e da ricercare nell’in-dipendenza dalla base della probabilita.

2. Le componenti linearmenti indipendenti di H sono anche statistica-mente indipendenti. Dato che le suddette componenti sono parte reale

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e parti immaginarie di ogni elemento per k ≤ j , la funzione di densitadi probabilita diventa

P (H) =∏k≤j

f(0)kj (H

(0)kj )

3∏λ=1

∏k<j

f(λ)kj (H

(λ)kj ). (1.18)

1.4 Ensemble Unitario Gaussiano (GUE)

Si consideri infine un sistema non invariante per inversione temporale. Inquesto caso l’operatore Hamiltoniano non ha alcuna restrizione, se non lacondizione di Hermiticita.

Si puo definire quindi l’insieme delle matrici random Hermitiane E2G

all’interno dello spazio di matrici corrispondente T2G . Questo insieme echiamato Ensemble Unitario Gaussiano (GUE) ed e definito, come nei casiprecedenti, a partire dalle seguenti caratteristiche:

1. L’ensemble e invariante sotto qualunque trasformazione del tipo

H → U−1HU (1.19)

di T2G in se stesso, dove U e una matrice unitaria. Questo comportache la probabilita che un elemento di E2G appartenga al’elemento divolume

dH =∏k≤j

dH(0)kj

∏k<j

dH(1)kj (1.20)

e invariante sotto trasformazioni unitarie. Gli apici 0 e 1 indicano partereali ed immaginaria degli elementi di matrice. Quindi

P (H ′)dH ′ = P (H)dH, H ′ = U−1HU (1.21)

dove U †U = I . Il motivo di questa invarianza e da ricercare nell’indi-pendenza dalla base della probabilita.

2. Le componenti linearmenti indipendenti di H sono anche statistica-mente indipendenti. Dato che le suddette componenti sono parte realee parte immaginaria di ogni elemento per k ≤ j , la funzione di densitadi probabilita diventa

P (H) =∏k≤j

f(0)kj (H

(0)kj )∏k<j

f(1)kj (H

(1)kj ). (1.22)

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1.5 Funzione densita di probabilita

Le proprieta degli Ensembles Gaussiani viste nelle sezioni precedenti fissanola forma della funzione di densita di probabilita P(H ) associata alle matricirandom. Questa e la stessa per tutti gli Ensembles e dipende soltanto dallatraccia della matrice H e del suo quadrato:

P (H) = exp[−a Tr(H2) + b Tr(H) + c

]. (1.23)

Per ricavare questa formula si parte dalla definizioni degli Ensambles.Cio che si richiede e, in tutti i casi, l’indipendenza statistica degli elementidi matrice e l’invarianza sotto determinati tipi di trasformazioni della P(H ).

L’invarianza fa sı che P(H ) possa essere espresso solo in termini di traccedi un numero finito di potenze di H . Questo deriva dal lemma seguente.

Lemma 1. Le quantita invarianti di una matrice N × N H soggetta ad unatrasformazione

H → H ′ = AHA−1 (1.24)

possono essere espresse in termini delle tracce delle prime N potenze di H[7].

Si consideri per semplicita una trasformazione particolare del tipo

H = U−1H ′U (1.25)

dove

U =

cosθ sinθ 0 ... 0−sinθ cosθ 0 ... 0

0 0 1 ... 0... ... ... ... ...0 0 0 ... 1

. (1.26)

La matrice U risulta allo stesso tempo ortogonale, unitaria e simplettica.Derivando l’Eq.(1.25) rispetto a θ si ottiene

∂H

∂θ=∂UT

∂θH ′U + UTH ′

∂U

∂θ=∂UT

∂θUH +HUT ∂U

∂θ(1.27)

che diventa

∂H

∂θ= AH +HAT =

−2H12 H11 −H22 0 ... 0

H11 −H22 2H12 0 ... 00 0 0 ... 0... ... ... ... ...0 0 0 ... 0

(1.28)

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avendo introdotto la matrice

A =∂UT

∂θU =

0 −1 0 ... 01 0 0 ... 00 0 0 ... 0... ... ... ... ...0 0 0 ... 0

. (1.29)

Se gli elementi di matrice sono statisticamente indipendenti, come giadescritto, la funzione di densita di probabilita si scrive

P (H) =∏(λ)

∏k<j

f(λ)kj (H

(λ)kj ). (1.30)

Dato che questa funzione e invariante sotto la trasformazione U la derivatarispetto a θ deve annullarsi:

∑k>j

∑(λ)

1

f(λ)kj

∂f(λ)kj

∂H(λ)kj

∂H(λ)kj

∂θ= 0. (1.31)

Scrivendo esplicitamente questa somma nel caso ortogonale (λ = 0 ), tenendoconto dell’Eq.(1.28) si ottiene

N∑k=1

(− 1

f(0)1k

∂f(0)1k

∂H(0)1k

H(0)2k +

1

f(0)2k

∂f(0)2k

∂H(0)2k

H(0)1k

)= 0 (1.32)

Ogni termine della somma dipende da un set di variabili mutualmenteesclusive, e la somma di tutti i termini deve dare zero. Quindi ogni terminedeve essere una costante.

− 1

f(0)1k

∂f(0)1k

∂H(0)1k

H(0)2k +

1

f(0)2k

∂f(0)2k

∂H(0)2k

H(0)1k = C

(0)k (1.33)

A questo punto si puo introdurre il seguente lemma

Lemma 1. Se tre funzioni continue e differenziabili soddisfano

f1(xy) = f2(x) + f3(y) (1.34)

allora esse sono della forma a ln(x) + bk con k = 1 , 2 , 3 e b1 = b2 + b3 [1].

Dividendo l’Eq.(1.33) per il prodotto H(0 )1k H

(0 )2k e possibile applicare il

Lemma 1. Da questo si ottiene

14

C(0)k

H(0 )1k H

(0 )2k

= a ln(H(0 )1k H

(0 )2k ) + b (1.35)

che comporta che C(0 )k = 0. L’Eq.(1.33) diventa

.1

f(0)1k H

(0)1k

∂f(0)1k

∂H(0)1k

=1

f(0)2k H

(0)2k

∂f(0)2k

∂H(0)2k

= costante, (1.36)

infatti i due termini dell’uguaglianza dipendono da variabili diverse e devonoessere necessariamente delle costanti. Questa equazione, integrata, ci portaall’espressione desiderata

f(0)1k (H

(0)1k ) = e−a(H

(0)1k )2 . (1.37)

Nel caso della GUE e della GSE si ottengono equazioni del tutto analo-ghe. Dato che gli elementi di matrice compaiono nell’Eq.(1.37) al quadrato,considerando il Lemma 1, P(H ) puo dipendere solo da un esponenziale checontiene al massimo la traccia della matrice H al quadrato. Si puo dimostra-re che questo e un risultato generale che non dipende dalla forma specificadella trasformazione U qui utilizzata [8].

Quindi, per tutti e tre gli Ensembles Gaussiani si ottiene

P (H) = exp[−a Tr(H2) + b Tr(H) + c

](1.38)

che e quanto volevamo dimostrare. A partire da questo risultato e possi-bile ricavare molte proprieta delle matrici random, come verra discusso nelCapitolo 2.

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Capitolo 2

Proprieta degli autovalori dellematrici random

Le proprieta piu importanti delle matrici random riguardano gli autovalori.Infatti alcune di queste proprieta sono fondamentali nelle applicazioni fisichee matematiche.

Fissata la forma della densita di probabilita degli Ensembles si puo ri-cavare la densita di probabilita congiunta degli autovalori, la quale indicala probabilita di ottenere un dato set θ1, . . . , θN di autovalori. Da questa siarriva alla Legge del Semicerchio, che specifica la densita dei livelli nel limiteN →∞.

Un’altra importante proprieta discussa in questo capitolo riguarda la di-stribuzione delle spaziature degli autovalori. La risoluzione analitica del pro-blema e molto complessa, ma Wigner introdusse delle formule molto semplici,le cosiddette Wigner Surmises, che approssimano bene la soluzione esatta.

2.1 La densita di probabilita congiunta per

gli autovalori

La densita di probabilita congiunta per gli autovalori di una matrice randomN × N puo essere derivata a partire dall’Eq.(1.38), se la si esprime in terminidegli N autovalori θj e di altre variabili mutualmente indipendenti pµ cheinsieme agli autovalori formano un set completo.

Si consideri per esempio una matrice random N × N appartente al GOE.Dato che la matrice e reale e simmetrica, il numero di variabili casuali chedeterminano completamente tutti gli elementi di matrice e N (N+1 )

2. Il numero

di parametri pµ necessari, dato che gli autovalori sono N , sara quindi

16

l =N(N + 1)

2−N =

N(N − 1)

2(2.1)

Se si considera una matrice appartenente al GUE, il numero di parametrinecessari, avendo ogni elemento una parte reale e una parte immaginaria,sara l = N(N − 1). Nel caso di matrici appartenenti al GSE, invece, siavranno per ogni elemento una parte reale e tre parti immaginarie, quindi ilnumero di parametri risultera essere l = 2N(N − 1).

Dato che

Tr(H2) =N∑j=1

θ2j Tr(H) =

N∑j=1

θj (2.2)

si ottiene dall’Eq.(1.38)

P (θ1, . . . , θN ; p1, . . . , pl) = exp

(−a

N∑j=1

θ2j + b

N∑j=1

θj + c

)J(θ, p) (2.3)

dove J e lo Jacobiano

J(θ, p) =

∣∣∣∣∣∂(H(0)11 , . . . , H

(0)NN ;H

(λ)12 , . . . , H

(λ),N−1,N

∂(θ1, . . . , θN ; p1, . . . , pl)

∣∣∣∣∣ (2.4)

con λ = 1 per il GUE, λ = 1, 2, 3 per il GSE. Per il GOE, essendo gli elementidi matrice reali, basta considerare i termini con apice 0 .

Integrando l’Eq.(2.3) sulle variabili pµ si ottiene la funzione di densita diprobabilita congiunta per gli autovalori.

Utilizzando le proprieta delle trasformazioni che determinano i vari En-sembles, e possibile ottenere l’espressione dello Jacobiano: [1]

J(θ, p) =∏j<k

|θk − θj|βf(p) (2.5)

dove f (p) e una funzione che non dipende dagli autovalori, e β vale 1 nel casodel GOE, 2 nel caso del GUE e 4 nel caso del GSE. La funzione di densitadi probabilita congiunta per gli autovalori e quindi

P (θ1, . . . , θN) = Cβexp

(−a

N∑j=1

θ2j + b

N∑j=1

θj

)∏j<k

|θj − θk|β (2.6)

dove Cβ e una costante di normalizzazione.Spostando l’origine degli autovalori in b

2ae cambiando la scala di energia

di un fattore√

β2a

, si puo effettuare il cambiamento di variabile

17

θj =

√β

2axj +

b

2a(2.7)

ed ottenere cosı la forma piu semplice

P (x1, . . . , xN) = C′

βexp

(−β

2

N∑j=1

x2j

)∏j<k

|xj − xk|β. (2.8)

Analogia con il gas di Coulomb

Per derivare alcune proprieta degli autovalori degli Ensembles Gaussiani,Wigner utilizzo un argomento di meccanica statistica. L’Eq.(2.8) suggerisceinfatti un’analogia con un sistema chiamato gas di Coulomb. Si considerinoN particelle interagenti cariche confinate a muoversi su una retta a tempe-ratura T sottoposte ad un potenziale V (x1 , . . . , xN ). La probabilita che essesi strovino in (x1 , . . . , xN ) e data da

P (x1, . . . , xN) =1

Ze−βV (x1,...,xN ) (2.9)

dove Z e la funzione di partizione canonica e β e il fattore di Boltzmann.Se il potenziale e della forma

V (x1 , . . . , xN ) =1

2

N∑j=1

x2j −

∑j<k

ln |xj − xk| (2.10)

l’Eq.(2.8) e l’Eq.(2.9) coincidono. Considerare 3 valori diversi di β nellafunzione di densita di probabilita congiunta, corrisponde a considerare il gas3 temperature diverse.

Il primo termine dell’Eq.(2.10) rappresenta un potenziale armonico cen-trato in x = 0, mentre il secondo termine rappresenta la repulsione elettrosti-ca tra ogni coppia di particelle se si assume che lo spazio in cui esse vivono siabidimensionale e dunque la forza e inversamente proporzionale alla distanza.

Nel seguito verra utilizzata questa analogia per derivare la densita deilivelli di una matrice random. Infatti la probabilita che un autovalore di unamatrice random assuma il valore x e pari alla probabilita che una particelladel gas di Coulomb si trovi nella posizione x .

2.2 La densita dei livelli

La densita dei livelli σ(x) e definita come

18

σ(x) = N

∫ ∞−∞· · ·∫ ∞−∞

P (x, x2, . . . , xN)dx2 . . . dxN (2.11)

e corrisponde alla probabilita che un singolo autovalore xi sia compreso trax e x + dx .

Ricavarla non e semplice, ma si puo semplificare il calcolo considerandoil limite per N →∞. In questo caso il corrispondente gas di Coulomb puoessere visto come un fluido classico con una densita macroscopica rappresen-tata da una funzione continua, σ(x). L’energia potenziale data dall’Eq.(2.10)puo essere approssimata quindi con [9]

V =1

2

∫ ∞−∞

dx x2σ(x)− 1

2

∫ ∞−∞

dx

∫ ∞−∞

dy ln|x− y|σ(x)σ(y). (2.12)

Si puo dunque identificare la densita dei livelli cercata con la densita delgas di Coulomb σ(x) che minimizza l’energia potenziale. Per risolvere il pro-blema si tratta, allora, l’Eq.(2.12) come un funzionale in σ e lo si minimizzatenendo conto dei seguenti vincoli∫ ∞

−∞dx σ(x) = N σ(x) ≥ 0. (2.13)

La minimizzazione del funzionale V (σ) porta all’equazione integrale

−1

2x2 +

∫ ∞−∞

dy σ(y) ln|x− y| = C (2.14)

dove C e un moltiplicatore di Lagrange. Derivando l’Eq.(2.14) rispetto a x ,sostituendo l’integrale con

limε→0

(∫ x−ε

−∞dy σ(y) ln|x− y|+

∫ ∞x+ε

dy σ(y) ln|x− y|)

(2.15)

si ottiene

P

∫ ∞−∞

σ(y)

x− ydy = x. (2.16)

Questa equazione si puo risolvere analiticamente [10], e la soluzione e deltipo

σ(y) =

c√A2 − y2 |y| < A

0 |y| > A. (2.17)

19

Inserendo la (2.17) nell’Eq.(2.16) e applicando la condizione di normalizza-zione (2.13) si fissano i valori

c =1

πA =

√2N. (2.18)

La (2.17) cosı diventa

σ(x) =

1

π

√2N − x2 |x | <

√2N

0 |x| >√

2N. (2.19)

Questa e chiamata Legge del Semicerchio e mostra come la distribuzionedegli autovalori di una matrice random, qualsiasi sia l’Ensemble Gaussianoalla quale appartiene, nel limite per N →∞ ha la forma di un semicerchiodi raggio

√2N .

Questa trattazione e stata fatta considerando il cambiamento di variabili(2.7). La Legge del Semicerchio ha pero anche un enunciato piu generale.

Legge del semicerchio. Sia H una matrice random appartenente ad unodegli Ensembles Gaussiani di ordine N →∞. Siano i suoi elementi mij peri < j variabili casuali distribuite con le stesse densita di probabilita, con glistessi secondi momenti γ2, e con gli n − esimi momenti limitati da costantiBn indipendenti da i , j o N . La densita dei livelli di H risulta essere:

σ(θ) =

1

2πγ2

√4Nγ2 − θ2 |θ| <

√4N γ2

0 |θ| >√

4N γ2

. (2.20)

Se gli elementi di matrice hanno una distribuzione uniforme, la legge delsemicerchio ha un’eccezione. La matrice avra infatti un singolo autovaloregrande che si trovera al di fuori del semicerchio [11].

Verifiche numeriche della legge del semicerchio

Utilizzando il software Mathematica e stata verificata la legge del semicerchio.A tale scopo sono state generate delle matrici random utilizzando tre diversimetodi.

1. Il metodo piu veloce ed efficiente e l’utilizzo dei comandi GaussianOr-thogonalMatrixDistribution, GaussianUnitaryMatrixDistribution, Gaus-sianSymplecticMatrixDistribution, i quali generano delle matrici ran-dom appartenenti rispettivamente al GOE, al GUE e al GSE con ele-menti di matrice gaussiani.

20

2. Un metodo piu generale ma meno veloce del precedente si basa sul-la costruzione della matrice elemento per elemento. Per ogni i ≥ jviene generato un numero casuale con una distribuzione qualsiasi e lamatrice viene completata per i < j con le richieste di simmetria rela-tive all’Ensemble considerato. Questo metodo, a differenza del prece-dente, permette di studiare matrici i cui elementi non sono distribuitinormalmente.

3. Il terzo metodo si basa sulla costruzione di una matrice H compo-sta interamente da numeri casuali. La matrice H ′ = H + H † sara unamatrice Hermitiana e apparterra quindi al GOE, al GUE o al GSE aseconda di come sono fatti gli elementi di matrice. Questo metodo e piuveloce del secondo, ma bisogna tenere conto del fatto che gli elemen-ti di matrice di H ′ avranno una distribuzione diversa da quella deglielementi di H .

Una volta generate le matrici sono stati calcolati gli autovalori e la lorodistribuzione e stata rappresentata mediante un istogramma. Nella fig.(2.1)e mostrato come all’aumentare di N la distribuzione assuma sempre piu laforma di un semicerchio.

Figura 2.1: Distribuzione degli autovalori di matrici random reali con elemen-ti distribuiti secondo una distribuzione normale con varianza σ2 = 1

2. Da si-

nistra a destra aumenta la grandezza della matrice: N=3, N=10, N=100. Ladistribuzione, all’aumentare di N assume la forma di un semicerchio, comepredetto dalla Legge del Semicerchio.

Nota la distribuzione degli elementi, confrontando gli istogrammi con lafunzione (2.20), e stato possibile verificare la legge del semicerchio. Nel-le figure (2.2) e (2.3) sono mostrati alcuni esempi corrispondenti a diversiEnsembles e diverse distribuzioni per gli elementi di matrice. Il secondomomento γ2 dell’Eq.(2.20) non e altro che 〈|Hij |2 〉, cioe il valor medio delmodulo quadro degli elementi di matrice. Questo, insieme all’ordine dellamatrice, fa variare il raggio del semicerchio, come mostrato nelle figure.

21

Figura 2.2: Distribuzione degli autovalori di matrici random con N=2000confrontate con la legge del semicerchio. Da sinistra a destra sono sta-te usate matrici reali, complesse, quaternioniche. Per ogni variabile ca-suale indipendente e stata usata una distribuzione normale con varianzaσ2 = 1

2. Il raggio del semicerchio aumenta perche se la matrice e rea-

le, γ2 = 〈|Hij |2 〉 = σ2, se la matrice e complessa γ2 = 〈|Hij |2 〉 =⟨H

(0 ) 2ij

⟩+⟨

H(1 ) 2ij

⟩= 2σ2, se la matrice e quaternionica γ2 = 〈|Hij |2 〉 =⟨

H(0 ) 2ij

⟩+⟨

H(1 ) 2ij

⟩+⟨

H(2 ) 2ij

⟩+⟨

H(3 ) 2ij

⟩= 4σ2.

Figura 2.3: Distribuzione degli autovalori di matrici random confrontata conla legge del semicerchio. In questo caso sono state utilizzate distribuzioni pergli elementi di matrice diverse da quella normale. Nell’istogramma a sinistrae stata usata una matrice reale (N = 2000 ) con elementi distribuiti unifor-memente tra -1 e 1. In questo caso γ2 = 1

3. Nell’istogramma a destra, invece,

e stata usata una matrice complessa (N = 1000 ) le cui variabili casuali sonosomme di due variabili distribuite uniformemente tra -1 a 1. In questo casoγ2 = 4

3.

2.3 La distribuzione delle spaziature degli au-

tovalori

Una delle piu importanti proprieta delle matrici random per le applicazio-ni fisiche e la distribuzione delle spaziature degli autovalori. Derivarla permatrici grandi e un problema molto complesso. Si puo pensare di ricavarequesta distribuzione in maniera approssimata a partire da alcune ipotesi sugli

22

autovalori. Se si considerano gli autovalori come variabili casuali scorrela-te tra di loro, si arriva ad una distribuzione esponenziale (Legge dei LivelliRandom) che non risulta tuttavia verificata numericamente. Tuttavia fa-cendo alcune ipotesi aggiuntive Wigner ricavo delle formule, esatte solo nelcaso di matrici 2×2, che approssimano bene le soluzioni esatte del proble-ma nel limite N →∞. Proprio questo limite risulta piu interessante nelleapplicazioni poiche le Hamiltoniane dei sistemi fisici sono spesso infinito di-mensionali. Queste soluzioni si ottengono risolvendo delle equazioni integraliche in alcuni casi possono essere ridotte a equazioni differenziali non lineari[1, 12, 13].

2.3.1 Legge dei Livelli Random

Si puo prendere in esame un sistema fisico qualsiasi, con uno spettro discre-to di autovalori dell’energia. Si consideri una sequenza di livelli energeticicompresi in un intervallo ∆E, E1 ≤ E2 ≤ .... Siano S1 , S2 , ... le distanzetra due livelli successivi, in modo tale che Si = Ei+1 − Ei . Si puo definirela spaziatura relativa si = Si

Ddove D e la spaziatura media. La sua fun-

zione di densita di probabilita p(s) e definita dalla condizione che p(s)ds ela probabilita che una qualsiasi spaziatura relativa si sia compresa tra s es + ds .

Se le energie dei livelli sono variabili casuali non correlate, la probabilitache un qualsiasi valore Ei sia compreso tra E ed E + dE non dipende dalvalore dell’energia stessa ed e semplicemente ρdE , dove ρ = D−1 e il numeromedio di livelli in un intervallo unitario di energia. La probabilita di avereuna spaziatura pari ad S non e altro che la probabilita di non avere livel-li energetici nell’intervallo compreso tra E ed E + S e di avere un livelloenergetico nell’intervallo compreso tra E + S e E + S + dS .

Si puo dividere l’intervallo S in m parti uguali. Dato che i livelli sonoindipendenti, la probabilita di non avere livelli nell’intervallo compreso tra Eed E + S , e il prodotto delle probabilita di non avere livelli in ognuna dellem parti. Se m →∞, e dunque S

m→ 0, ciascuna di queste probabilita puo

essere scritta come

1− ρ Sm. (2.21)

La probabilita di non avere livelli energetici tra E ed E + S e allora

limm→∞

(1− ρ S

m

)m= e−ρS. (2.22)

23

La probabilita di avere poi un livello compreso tra E + S e E + S + dS esemplicemente ρdS. Di conseguenza, la probabilita di avere una spaziaturapari ad S e

p(S)dS = e−ρSρdS. (2.23)

Da questa espressione, introducendo la spaziatura relativa s = SD

= ρS, siarriva infine alla forma

p(s)ds = e−sds, (2.24)

cioe alla cosiddetta Legge dei Livelli Random. Tuttavia questa distribuzionenon rispecchia le caratteristiche degli autovalori delle matrici random.

2.3.2 Wigner Surmise

Per descrivere la distribuzione delle spaziature dei livelli energetici dei nucleicon spin intero Wigner propose la seguente congettura:

1. In una sequenza di livelli con lo stesso spin e la stessa parita, dettasequenza semplice, la funzione di densita di probabilita per le spaziaturee data dalla cosiddetta Wigner Surmise

pW1(s) =πs

2e−

π4s2 . (2.25)

2. Livelli con differenti spin e parita non sono correlati. La funzione p(s)per una sequenza di livelli mista puo essere ottenuta sovrapponendo ledistribuzioni delle sequenze semplici che la costituiscono.

La forma della Wigner Surmise si puo ricavare [1] assumendo che la densita diprobabilita relativa ai livelli energetici sia proporzionale a S , cioe ρ(S) = aS.Questa ipotesi e molto diversa da quella di uniformita discussa per la Leggedei Livelli Random. Infatti in questo caso esiste una sorta di repulsione trai livelli vicini. La probabilita di avere due livelli degeneri e quindi nulla.

Facendo questa ipotesi, la probabilita di non avere un livello nell’intervallocompreso tra E ed E + S e, dividendo come nel caso precedente l’intervalloin m parti uguali,

limm→∞

m−1∏r=0

(1− Sr

m

S

ma

), (2.26)

dove a e la costante di proporzionalita, a Srm

la densita di probabilita relativaall’r − esimo intervallino e S

mla larghezza di quest’ultimo. Essendo poi la

24

probabilita di avere un livello compreso tra E + S e E + S + dS pari a aSdS ,si ottiene

p

(S

D

)dS = lim

m→∞

m−1∏r=0

(1− Sr

m

S

ma

)aSdS = aSe−

aS2

2 dS (2.27)

la quale normalizzata si riduce all’Eq.(2.25).Per quanto riguarda le matrici random, Wigner ipotizzo che la sua Surmi-

se fosse proprio la funzione di distribuzione delle spaziature degli autovaloridi matrici random appartenenti al GOE nel limite N →∞. Infatti, questadistribuzione spiegava le proprieta statistiche dei livelli energetici di nucleicon spin intero, i quali secondo le sue ipotesi dovevano essere rappresenta-bili tramite una matrice random reale di dimensione molto grande, essendol’Hamiltoniana del sistema infinito dimensionale.

Tuttavia riuscı a dimostrare come la (2.25) fosse la distribuzione esattasolo nel caso di matrici 2×2. La soluzione del problema generale (Mehta,Gaudin [1]) porto pero ad un risultato molto simile a quello ipotizzato daWigner anche nel limite N →∞.

1 2 3 4

0.2

0.4

0.6

0.8

Figura 2.4: Confronto tra la distribuzione delle spaziature di una matriceappartenente al GUE indicata come (linea continua blu) nel limite N →∞e la Wigner Surmise (2.28) (linea tratteggiata rossa).

Wigner introdusse analoghe formule, esatte anche in questo caso solo permatrici 2×2, per le distribuzioni delle spaziature degli autovalori per il GUEe il GSE. Anche queste formule sono simili alle soluzioni esatte nel limiteN →∞. Esse sono, per il GUE

pW2(s) =32

π2s2e−

4πs2 (2.28)

25

e per il GSE

pW3(s) =218

36π3s4e−

649πs2 . (2.29)

Nel caso dell’Ensemble Unitario, per trovare la soluzione esatta nel limiteN →∞, si puo risolvere numericamente l’equazione differenziale (equazionedi Painleve)

(tσ′′)2 + 4(tσ′ − σ)(tσ′ − σ + σ′2) = 0 (2.30)

con la condizione [13]

σ(t) ≈ − tπ−(t

π

)2

per t→ 0+. (2.31)

La distribuzione delle spaziature sara

p2(s) =d2E(s)

ds2(2.32)

dove

E(s) = exp

(∫ πs

0

σ(t)

tdt

). (2.33)

In figura (2.4) e mostrato il confronto tra la (2.32) e la (2.28). Le duefunzioni sono quasi indistinguibili tra di loro, la differenza e quasi ovunqueminore del 5%.

La Legge dei Livelli Random e le formule di Wigner giocano un ruolofondamentale per lo studio di alcuni sistemi fisici complessi. Cio sara oggettodi discussione nel Capitolo 3.

Verifiche numeriche delle Wigner Surmises

Tramite Mathematica e stata verificata numericamente la validita delle for-mule di Wigner, Eqs.(2.25), (2.28), (2.29).

Le Wigner Surmises riproducono esattamente la distribuzione delle spa-ziature degli autovalori di matrici random 2× 2. Generando quindi diversematrici 2× 2 sono state studiate le distribuzioni delle spaziature relative.Dalla figura (2.5) si vede come le formule di Wigner per i tre Ensemblesseguono esattamente l’andamento dell’istogramma.

Le tre distribuzioni, come gia detto, dovrebbero approssimare molto be-ne anche i risultati nel caso limite in cui N →∞. Generando matrici moltograndi, in particolare 10000× 10000, si nota come le distribuzioni delle spa-ziature siano simili alle Wigner Surmises ma presentino anche delle evidenti

26

discrepanze, come mostrato in figura (2.6). I discostamenti, non essendo fa-cile aumentare l’ordine delle matrici a causa della complessita di calcolo, sipossono eliminare scartando gli autovalori piu piccoli e quelli piu grandi dellematrici. [13]

Infine dalla figura (2.7) e mostrato come la distribuzione degli elementidi matrice non influenzi la distribuzione delle spaziature.

Figura 2.5: Distribuzione delle spaziature degli autovalori per matrici random2× 2. Da sinistra a destra e mostrato il risultato per matrici reali, complessee quaternioniche. Le distribuzioni sono confrontate rispettivamente con leWigner Surmises, ossia le funzioni (2.25), (2.28) e (2.29).

Figura 2.6: Confronto tra le distribuzione delle spaziature degli autovalori permatrici random 10000× 10000 con (grigio) e senza (altri colori) il contributodei 1000 autovalori piu grandi e piu piccoli. Da sinistra a destra e mostratoil risultato per matrici reali, complesse e quaternioniche. Le curve continuein rosso rappresentano le Wigner Surmises. Si nota come le distribuzionicolorate seguono il loro andamento.

27

Figura 2.7: Confronto tra le distribuzioni delle spaziature degli autovalori dimatrici random reali (N=2000) con due diverse distribuzioni degli elementi,uniforme (blu) e gaussiana (rosso). Le distribuzioni sono molto simili edunque indipendenti dalla distribuzione degli elementi di matrice.

28

Capitolo 3

I biliardi

In questo capitolo verranno studiate le caratteristiche dei livelli energeticidi alcuni sistemi fisici particolari chiamati biliardi. Questi hanno un fortelegame con la teoria delle matrici random. Infatti la distribuzione delle spa-ziature dei livelli energetici di un biliardo quantistico, nel caso in cui l’analogoclassico risulti caotico, segue la distribuzione delle spaziature degli autovaloridelle matrici random reali.

Con biliardo dinamico, in fisica classica, si intende una regione di spaziobidimensionale in cui un punto materiale puo proseguire in linea retta ilsuo moto, o urtare contro le pareti che lo tengono confinato, rimbalzandoelasticamente secondo le leggi della riflessione. In generale, l’Hamiltonianadel sistema, e semplicemente quella della particella libera con l’aggiunta diun potenziale che indica il confinamento della stessa:

H(~p, ~q) =p2

2m+ V (~q), (3.1)

dove

V (−→q ) =

0 se ~q ∈ Ω∞ altrimenti

(3.2)

e Ω e la regione del piano in cui il punto materiale puo muoversi.

I biliardi riescono a riflettere tutta la complessita dei sistemi Hamiltonia-ni. A seconda della regione nella quale stiamo considerando il moto, infatti, ilsistema dinamico associato al biliardo puo risultare completamente integra-bile, oppure caotico. Un sistema si definisce caotico se piccole differenze nellecondizioni iniziali, comportano sostanziali differenze nella traiettoria percor-sa dal punto materiale. Come vedremo nelle sezioni successive, biliardi diforme anche molto semplic possono risultare caotici.

29

E importante notare come ogni biliardo e completamente simmetrico perinversione temporale. Infatti non dipendendo l’Hamiltoniana dal tempo,l’inversione temporale comporta solo un cambiamento di segno per quantoriguarda la velocita del punto materiale, ma lascia invariata la sua traiettoria.

3.1 Biliardi quantistici

Si puo estendere la definizione di biliardo alla meccanica quantistica. Uti-lizzando un operatore Hamiltoniano della forma di Eq.(3.1) si puo risolverel’equazione di Schrodinger in modo tale da ottenere i livelli energetici e le au-tofunzioni del sistema. Essendo il biliardo un sistema legato, cioe confinatonello spazio, si otterra uno spettro energetico discreto.

Ogni biliardo classico ha quindi una sua controparte quantistica. Questovuol dire che, essendo la meccanica classica il limite classico della meccanicaquantistica, il corrispettivo quantistico di un sistema caotico classico devenecessariamente avere caratteristiche diverse del corrispettivo quantistico diun sistema integrabile classico.

Non esistendo in meccanica quantistica la nozione di traiettoria, risultapiu complicato definire un sistema caotico. Tuttavia, i sistemi quantisticicaotici devono presentare necessariamente delle caratteristiche peculiari [14].Una di queste e legata fortemente alle matrici random. Nel 1984, infatti,venne formulata la seguente congettura:

Congettura di Bohigas-Giannoni-Schmit. Lo spettro di un sistema in-variante per inversione temporale, il cui analogo classico e un K-sistema,mostra le proprieta di fluttuazione descritte dalla GOE. [15]

Un K-sistema e sostanzialmente un sistema caotico che presenta anchecaratteristiche di ergodicita, chiamato in questo modo essendo stato definitoper la prima volta da Kolmogorov. Nel caso dei biliardi, la definizione diergodicita e piuttosto intuitiva. Un biliardo si dice ergodico se a grandi tempi,il tempo speso dal punto materiale in una regione del biliardo e proporzionaleall’area della regione stessa.

Cio che la congettura BGS comporta e che studiare la fluttuazione deilivelli, dunque la loro spaziatura, permette, se questa congettura fosse ve-ra, di discriminare un sistema quantistico il cui analogo classico e caoticoda un sistema quantistico il cui analogo classico risulta integrabile in modoparticolarmente semplice.

Infatti, sette anni prima della formulazione della BGS, Berry e Tabor pre-sentarono la loro congettura sulla spaziatura dei livelli di sistemi quantisticicon analogo classico integrabile:

30

Congettura di Berry-Tabor. Lo spettro di un sistema invariante per in-versione temporale, il cui analogo classico e integrabile, mostra le proprietadi fluttuazione descritte dalla legge dei livelli random (Eq.(2.24)). [16]

Queste differenze tra le distribuzioni delle spaziature degli autovalori so-no facili da mostrare nel caso dei biliardi, essendo questi dei sistemi moltosemplici da trattare.

In questo capitolo verranno studiati tre diversi biliardi, ognuno con alcuneparticolarita per quanto riguarda i livelli energetici.

3.2 Il metodo di espansione

Non tutte le equazioni di Schrodinger relative ai biliardi sono risolvibili anali-ticamente. In altri termini, data una forma qualsiasi del ”tavolo”, sono pochii casi in cui si puo trovare una formula analitica per i livelli energetici. Inquesto studio e stato dunque usato un semplice metodo di espansione pertrovare numericamente i livelli dei sistemi.

Dato un biliardo, l’equazione di Schrodinger indipendente dal tempo e:

Hψk(~r) =

(− h2

2m∇2 + V (~r)

)ψk(~r) = Ekψk(~r) (3.3)

dove il potenziale e lo stesso definito in Eq.(3.2).Per risolvere numericamente questa equazione, quello che si puo fare e

definire un nuovo potenziale dalla forma [17]:

V ′(~r) =

0 se ~r ∈ ΩV0 se ~r ∈ Ω′

∞ altrimenti

(3.4)

dove Ω′ e una regione rettangolare che contiene completamente Ω e V0 eun valore abbastanza grande da fare in modo che la funzione d’onda siapraticamente zero nella regione compresa tra Ω′ e Ω, vedi figura (3.1).

La scelta di una regione rettangolare che circonda il biliardo e dovuta alfatto che, per la buca di potenziale rettangolare infinita si conoscono esatta-mente le funzioni d’onda e queste hanno una forma piuttosto semplice. Dallarisoluzione dell’equazione di Schrodinger, infatti, una volta imposte le condi-zioni di annullamento al bordo, si ottiene, per una buca di potenziale di latia1e a2

φm1,m2(x, y) =

√2

a1

sin

(π

a1

m1x

)√2

a2

sin

(π

a2

m2y

). (3.5)

31

Figura 3.1: Rappresentazione grafica del dominio del potenziale in Eq.(3.4).La regione centrale e la regione Ω dove il potenziale e nullo. la regione chela circonda, in bianco, e la regione Ω′. Al di fuori di essa il potenziale einfinito. [17]

per x ∈ [0, a1]e y ∈ [0, a2], con m1 ,m2 ∈ N . Gli autovalori corrispondenti aqueste funzioni d’onda sono

Em1,m2 =π2h2

2m

[(m1

a1

)2

+

(m2

a2

)2]. (3.6)

Le funzioni (3.5) costituiscono una base completa di autofunzioni. Si puodunque pensare di esprimere le funzioni d’onda di un biliardo qualsiasi comecombinazione lineare di funzioni d’onda della buca di potenziale rettangolare:

ψk(x, y) =∑m

cmφm(x, y) (3.7)

dove m e un multindice che sta ad indicare entrambi i numeri quantici chedefiniscono le funzioni d’onda. Sostituendo questa espansione nell’equazionedi Schrodinger e moltiplicando a sinistra per un’autofunzione φn si ottiene

φn(x, y)

(− h2

2m∇2 + V ′(−→r )

)∑m

cmφm(x, y) = φn(x, y)Ek∑m

cmφm(x, y),

(3.8)

Questa equazione puo essere integrata sul piano. Definendo l’elemento dimatrice

32

H =

∫dxdyφn(x, y)H ′φm(x, y) =

=

∫Ω+Ω′

dxdyφn(x, y)

(− h2

2m∇2 + V ′(~r)

)φm(x, y) =

=

∫Ω+Ω′

dxdyφn(x, y)

(− h2

2m∇2

)φm(x, y) +

+V0

∫Ω′dxdyφn(x, y)V ′(~r)φm(x, y) = (3.9)

= Emδmn + V0vnm,

dove Em sono gli autovalori della buca rettangolare di Eq.(3.6) e

vnm =w

Ω′

dxdyφn(x, y)φm(x, y) (3.10)

con m e n multindici, l’equazione di Schrodinger integrata assume la formadi una equazione agli autovalori∑

m

(Hnm − Eδnm) = 0. (3.11)

Scegliendo dunque un numero finito opportunatamente grande di auto-funzioni della forma di Eq.(3.5), e possibile calcolare un certo numero di li-velli energetici relativi al biliardo che si vuole studiare calcolando gli integralivnm e risolvendo l’Eq.(3.11). Ovviamente il numero di autovalori calcolati ela relativa accuratezza dipende dal numero di autofunzioni che si decide diutilizzare.

3.3 Il biliardo circolare

Il primo biliardo preso in considerazione e il biliardo circolare. Si tratta diuna buca di potenziale circolare di raggio R.

Il problema di Schrodinger associato, in questo caso e risolvibile esat-tamente. Di conseguenza e evidente come questo tipo di biliardo non siacaotico.

I livelli energetici del biliardo circolare sono [18]

Em,nr =h2k2

m,nr

2mR2(3.12)

33

dove km,nr e lo zero nr − esimo della m− esima funzione di Bessel regolareJm(z) e m e un numero naturale.

Le autofunzioni sono il prodotto di una parte radiale e una parte angolare

ψm,nr(r, θ) =1√2πNm,nrJm(αm,nrr)e

isθ (3.13)

dove s e un numero intero, m = |s|,

αm,nr =km,nrR

(3.14)

e Nm,nr una costante di normalizzazione.Si puo notare come per m 6= 0, ogni livello e degenere due volte. Infatti

per ogni suo valore abbiamo due autofunzioni distinte che corrispondono as = ±m.

Livelli energetici e spaziatura

Tramite il software Mathematica, utilizzando il metodo di espansione descrit-to nella Sez. 1.2, sono stati calcolati gli autovalori del biliardo circolare.

Indicando con R il raggio del biliardo e stata scelta come regione rettan-golare che racchiude il cerchio una regione quadrata di lato 2R concentricaal cerchio stesso. Successivamente e stato fissato il valore massimo M0 deinumeri quantici m1m2 in modo tale da avere M2

0 autofunzioni di base e ilvalore del potenziale V0 (vedi Eq.(3.4)). Quest’ultimo puo essere convenien-temente scelto in modo tale da essere almeno 10 volte piu grande del livellodi energia piu alto che si desidera calcolare con una buona precisione.

A questo punto bisogna calcolare gli integrali (3.10). La difficolta com-putazionale del metodo risiede in questo passaggio. Nel caso del biliardocircolare, questi integrali hanno la forma

vnm =

∫ R

−Rdx

−√R2−x2w

−R

dyφn(x−R, y −R)φm(x−R, y −R) +

+

∫ R

−Rdx

Rw

√R2−x2

dyφn(x−R, y −R)φm(x−R, y −R) (3.15)

dove il dominio di integrazione non e altro che la zona compresa tra il cerchiodi raggio R e il quadrato di lato 2R.

L’integrale in dy si puo risolvere analiticamente, mentre quello in dx deveessere calcolato numericamente. Calcolati questi integrali si ricostruisce cosı

34

la matrice H di Eq.(3.9). Questa e una matrice simmetrica, dato che i suoielementi sono sicuramente tutti reali (le funzioni d’onda di partenza sonoreali) ed essendo gli integrali simmetrici per scambio di numeri quantici.

Una volta determinata H si puo procedere al calcolo dei suoi autovalori.In tutte le simulazioni effettuate sui biliardi in questa tesi sono stati postih = 1 e m = 1. Inoltre sono stati scelti diversi valori di M0 per confrontare ivari risultati. Al crescere di questo valore diventa esponenzialmente grandeil tempo di calcolo [17], poiche aumentarlo anche di una sola unita comportaun aumento considerevole del numero di integrali da calcolare. Infine e statosempre posto V0 = 10000.

Dalla lista degli autovalori ottenuti si ha che la maggior parte degli auto-valori sono degeneri due volte, proprio come ci si aspetta dalla teoria generale.Inoltre si possono confrontare gli autovalori ottenuti con quelli esatti, cioecon la meta del quadrato degli zeri delle funzioni di Bessel. Questo confrontoe utile soprattutto per quanto riguarda gli autovalori corrispondenti ad ener-gie piu basse, poiche piu si considerano energie alte, piu le approssimazionifatte con il metodo di espansione diventano rilevanti. Nella tabella 3.1sonoconfrontati i primi autovalori ottenuti per M0 = 25 e M0 = 15 con quelliesatti, in unita di R.

k2m,nr2

EM (M0 = 15 ) EM (M0 = 25 )

2.91 2.94 2.897.35 7.47 7.3413.21 13.36 13.1815.25 15.48 15.2320.35 21.70 20.3424.63 25.07 24.6128.82 29.10 28.7435.40 35.89 35.4137.45 38.06 37.43

Tabella 3.1: Confronto tra i primi 9 autovalori esatti diversi e i primi 9 au-tovalori diversi ottenuti con il metodo di espansione in unita di R. Per otte-nere questi valori sono stati utilizzati come parametri M0 = 15. e M0 = 25 .E evidente come gli autovalori ottenuti con il metodo di espansione sianosimili a quelli esatti. Aumentando il parametro M0 la precisione aumentanotevolmente.

Dai valori riportati nella tabella 3.1 risulta evidente come ci sia un buonaccordo tra i risultati approssimati e i risultati esatti. Inoltre piu aumentail numero di autofunzioni di base utilizzate, piu gli autovalori ottenuti nu-

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mericamente sono simili a quelli esatti. Aumentando il PrecisionGoal e laWorkingPrecision nel programma di Mathematica usato per la valutazionedegli integrali, e possibile raggiungere accuratezze ancora migliori, a discapitodel tempo di calcolo.

Oltre ai primi autovalori, e anche possibile confrontare le prime autofun-zioni ottenute numericamente con quelle esatte del biliardo circolare. Perottenere le autofunzioni approssimate e sufficiente calcolare gli autovettoridella matrice H la cui m−esima componente e il coefficiente della m−esimafunzione di base.

Figura 3.2: I moduli quadri delle prime 4 autofunzioni del biliardo circolare.Quelle in scala di grigio sono state ottenute numericamente, mentre quellein blu sono le autofunzioni esatte.

In figura (3.2) sono mostrate le autofunzioni ottenute con il metodo diespansione e le autofunzioni esatte del biliardo circolare. L’accordo tra irisultati e evidente. Ovviamente al crescere dei numeri quantici aumenta ladiscrepanza. Nelle autofunzioni del biliardo circolare i nodi radiali sono nr−1mentre i nodi angolari sono m. Da questo si puo dedurre che le autofunzionimostrate in figura (3.2) hanno come numeri quantici (nr,m) rispettivamente(1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0). Come gia detto, le autofunzioni con m 6= 0 hannouna doppia degenerazione. Infatti si ottengono, oltre a quelle mostrate, leautofunzioni 2 e 3 con la stessa forma, ma ruotate rispettivamente di 90° e45°. Il fatto che abbiano la stessa forma e evidentemente segno del fatto chegli autovalori associati siano gli stessi.

Un modo per valutare l’accuratezza del metodo di espansione si basasull’utilizzo del cosiddetto criterio di Weyl. Questo permette di valutarela precisone degli autovalori ottenuti confrontando la funzione N (E ), che

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indica il numero di autovalori con energia minore di E , con la funzione diWeyl. Questa, nel caso dei biliardi con condizioni al contorno di Dirichelet,che impongono l’annullamento della funzione d’onda al bordo, si scrive [19]

N(E) ' 2m

h2 AE −√

2m

h2 P√

E (3.16)

dove A e l’area del biliardo, P e il suo perimetro. Per un biliardo circolaresi ottiene facilmente A = πR2 P = 2πR.

Figura 3.3: Numero di autovalori N (E ) con energia minore di E per il biliar-do circolare con M0 = 25 . La linea rossa mostra l’andamento della formuladi Weyl, i punti, invece, indicano la funzione N (E ) ottenuta a partire dalmetodo di espansione. Risulta evidente come ci sia accordo (le linee distanomeno del 10%) solo per i primi 380 autovalori su un totale di 625.

La figura (3.3) mostra il confronto tra la funzione N (E ) determinata dallasimulazione e la funzione di Weyl nel caso in cui M0 = 25 . Solo per i primi380 autovalori il discostamento e minore del 10%. In questa tesi sono staticonsiderati in accordo con la teoria solo gli autovalori che portavano ad undiscostamento minore proprio del 10% della N (E ) dalla funzione di Weyl.

Selezionati gli autovalori attendibili, si puo determinare la distribuzionedella spaziatura dei livelli. Come discusso in precedenza, quello che ci siaspetta, essendo un biliardo non caotico, cioe con un corrispettivo classicointegrabile, e che la distribuzione sia esponenziale

P (s) = e−s, s =S

D, (3.17)

dove S e la differenza tra due livelli di energia contigui e D la spaziaturamedia.

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La distribuzione esponenziale ha in 0 il suo massimo. Questo vuol direche ci sara un gran numero di livelli distanti 0 dal precedente, cioe un grannumero di livelli degeneri. Cio e proprio quello che si ottiene numericamen-te. Nella figura (3.4) vengono mostrati gli istogrammi delle spaziature deilivelli ottenuti considerando gli autovalori risultati accettabili dal criterio diWeyl per M0 = 25 . Confrontando il risultato con la distribuzione esponen-ziale e chiaro come l’andamento delle spaziature sia proprio quello previstoteoricamente.

Figura 3.4: Istogramma delle spaziature tra i livelli per il biliardo circolare perM0 = 25 . La linea blu rappresenta la distribuzione esponenziale di Eq.(3.17).

3.4 Il biliardo di Sinai

Il biliardo di Sinai fu introdotto nel 1963 da Yakov Sinai [20]. E’ un biliardomolto semplice dal punto di vista geometrico e la sua importanza sta nelfatto che fu il primo biliardo per il quale fu data una dimostrazione della suaergodicita.

Il biliardo di Sinai e composto semplicemente da un ”tavolo” quadrato ilquale contiene un ostacolo circolare al centro, che ha le stesse caratteristicheelastiche delle pareti del biliardo (vedi figura 3.5).

Il motivo per il quale questo biliardo risulta caotico dal punto di vistaclassico e evidente. Se facciamo partire, infatti, due punti materiali da dueposizioni molto vicine tra di loro, facendo in modo che una volta partiti,uno urti subito l’ostacolo e uno prosegua dritto, risulta evidente come le duetraiettorie si evolveranno in maniera completamente diversa.

Una trattazione numerica analoga a quella fatta per il biliardo circola-re, con l’ausilio del programma Mathematica, e stata portata avanti per ilbiliardo di Sinai.

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Figura 3.5: Il biliardo di Sinai. Esso consiste in un tavolo quadrato con unostacolo circolare al centro.

Livelli energetici e spaziatura

Per studiare il biliardo di Sinai, bisogna, come descritto in precedenza per ilbiliardo circolare, definire geometricamente le regioni Ω e Ω′. In questo caso,basta considerare una regione quadrata di lato a dove sono definite le funzionid’onda della buca rettangolare, e una regione circolare (che corrisponde a Ω′)di raggio R < a

2concentrica alla regione quadrata, dove il potenziale vale V0 .

Per il biliardo di Sinai gli integrali vnm di Eq.(3.10) sono dati da

vnm =

∫ R

−Rdx

√R2−x2w

−√R2−x2

dyφn(x−R, y −R)φm(x−R, y −R), (3.18)

essendo la regione Ω′ semplicemente l’ostacolo circolare al centro. Anchein questo caso e possibile svolgere analiticamente l’integrale in dy , mentrequello in dx deve essere calcolato numericamente.

Per gli autovalori del biliardo di Sinai non esiste una formula chiusa.Il metodo piu semplice per valutare l’attendibilita degli stessi e il criteriodi Weyl descritto in precedenza. Bisogna dunque confrontare la funzioneN (E ) con l’Eq.(3.16). In questo caso i parametri geometrici da inserire nellaformula sono A = a2 − πR2 e P = 4a + 2πR.

In figura (3.6) e riportato l’andamento della N (E ) confrontato con laformula di Weyl (3.16) nel caso in cui M0 = 25 . In questo caso sono i primi420 autovalori a discostarsi al massimo per il 10% dalla curva.

Il biliardo di Sinai, come gia osservato, presenta un comportamento cao-tico dal punto di vista classico. Ci si aspetta quindi che la spaziatura deilivelli sia la stessa della GOE, segua cioe la Wigner Surmise

P (s) =π

2s e−

π4s2 . (3.19)

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Figura 3.6: Numero di autovalori N(E) con energia minore di E per il biliardodi Sinai. La linea rossa mostra l’andamento della formula di Weyl, i punti,invece, indicano la funzione N(E) ottenuta a partire dal metodo di espansione.In ascissa sono riportate le energie, in ordinata il numero N(E). Risulta chele curve sono in accordo (le linee distano meno del 10%) solo per i primi 420autovalori su un totale di 625.

In realta questo non succede nel biliardo di Sinai. Infatti, data la suastruttura geometrica, questo biliardo presenta 4 assi di simmetria, che cor-rispondono ai due assi cartesiani e alle due diagonali. Esistono quindi 8spicchi completamente identici tra di loro, che si trasformano l’uno nell’altrotramite riflessioni rispetto agli assi di simmetria. E ben noto che, se unaHamiltoniana commuta con l’operatore di parita, esistono due set di auto-funzioni indipendenti, uno di autofunzioni dispari e uno di autofunzioni pari.In analogia, se gli assi di simmetria sono 4 e non uno solo, si avranno 8 setdi autovalori indipendenti. Ognuno di questi set di autovalori, essendo ilbiliardo intrinsecamente caotico, seguira per la spaziatura dei livelli la Wi-gner Surmise. Pertanto, la distribuzione della spaziatura degli autovalori delbiliardo di Sinai sara la sovrapposizione di 8 distribuzioni analoghe a quelledella GOE indipendenti.

In generale, se si ha una sovrapposizione di N Wigner Surmises, la fun-zione di densita di probabilita per la spaziatura e [21]

P (N)(s) =∂2

∂s2

[erfc

(√πs

2N

)]N(3.20)

dove

erfc(z) =2√π

∫ ∞z

dt e−t2

. (3.21)

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Questa funzione al limite di N −→∞ tende alla distribuzione esponen-ziale (3.17), mentre per N = 1 diventa la Wigner Surmise (3.19).

Nel caso del biliardo di Sinai

P (8)(s) =∂2

∂s2

[erfc

(√πs

16

)]8

=

=7

8e−

π128

s2erfc

(√πs

16

)6

+π

128s e−

π256

s2erfc

(√πs

16

)7

, (3.22)

la quale e una funzione molto simile ad un esponenziale decrescente. Nellafigura (3.7) viene mostrato un confronto tra le due funzioni.

Figura 3.7: Confronto tra la distribuzione della spaziatura dei livelli del bi-liardo di Sinai, Eq(3.22) (linea rossa), e la distribuzione esponenziale (3.17)(linea blu). Come si puo notare le due funzioni sono molto simili.

A questo punto e stato costruito, come nel caso del biliardo circolare,un istogramma per la spaziatura dei livelli per M0 = 25 . Gli autovaloriutilizzati, come discusso in precedenza, sono quelli risultati accettabili dalcriterio di Weyl. In figura (3.8) e mostrato il risultato. E evidente comel’andamento teorico sia rispettato.

In figura (3.9) infine sono mostrate le prime autofunzioni ottenute. Si notacome l’autofunzione in alto a destra sia identica a quella in basso a sinistra ameno di una rotazione. I due livelli energetici associati sono di conseguenzadegeneri. Se la spaziatura dei livelli del biliardo di Sinai seguisse la WignerSurmise, non sarebbe possibile ottenere autofunzioni di questo tipo.

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Figura 3.8: Istogramma delle spaziature dei livelli per il biliardo di Sinai perM0 = 25 . Il profilo dell’istogramma e in buon accordo con l’Eq(3.22) (lineablu).

Figura 3.9: Moduli quadri delle prime autofunzioni del biliardo di Sinai. Laprima e la seconda, cosı come la terza e la quarta autofunzione, sono iden-tiche a meno di una rotazione. Esse corrispondono cioe a livelli energeticidegeneri.

3.5 Lo spicchio di biliardo di Sinai

Nella sezione precedente e stato mostrato come, pur essendo caotico classi-camente, il biliardo di Sinai presenta caratteristiche simili ad un biliardo noncaotico quando si studia la spaziatura dei suoi livelli nel caso quantistico.Cio che e stato sottolineato e che, dati i suoi 4 assi di simmetria, esistono 8

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spicchi di biliardo completamente identici, ad ognuno dei quali corrispondeun set di autovalori caotici indipendenti.

Per ottenere un biliardo che presenti una spaziatura dei livelli analoga aquella delle matrici random reali, quindi, si puo considerare un biliardo chenon e altro che uno spicchio del biliardo di Sinai. Questo biliardo, mostratoin figura (3.10), non presenta alcun asse di simmetria. La sua forma e similea quella di un biliardo triangolare, ma presenta in corrispondenza di uno deisuoi vertici l’ostacolo circolare, che rende le traiettorie della sua controparteclassica caotiche.

Figura 3.10: La forma del biliardo considerato in questa sezione, che consistein un ottavo del biliardo di Sinai.

Livelli energetici e spaziatura

Sul piano xy , lo spicchio di biliardo di Sinai, e definito dalle due seguentidisuguaglianze:

y < x x, y ∈ [0, a]

x2 + y2 > R2 x, y ∈ [0, a]. (3.23)

Di conseguenza risulta semplice scegliere le regioni Ω e Ω′. La lunghezzaa, sara il lato della buca quadrata e il raggio R < a definisce la dimensionedell’ostacolo circolare. Nella simulazione con Mathematica sono stati scelti ivalori a = 2 , R = 0 .5 .

Gli integrali vnm da calcolare, in questo caso, sono piu complessi di quellitrovati in precedenza:

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vnm =

∫ a

0

dx

aw

x

dyφn(x, y)φm(x, y) +

+

π4w

0

dθ

∫ R

0

dr r φn(r cosθ, r sinθ)φm(r cosθ, r sinθ) (3.24)

Di questi integali, l’unico che si puo risolvere analiticamente e l’integralein dy del primo termine dell’Eq.(3.24). Gli altri integrali devono essere risoltinumericamente.

Analizzando i risultati ottenuti per gli autovalori, la prima cosa che siosserva e l’assenza di autovalori uguali, ossia di degenerazioni. Questo ecio che ci si aspetta da un biliardo caotico. Infatti la Wigner Surmise, chedovrebbe descrivere le spaziature, si annulla all’origine.

Per discriminare gli autovalori sufficientemente accurati e stato utilizzatonuovamente il criterio di Weyl, con espressioni per area e perimetro date daA = a2

2− πR2

8, P = a(2 +

√2 )− 2R + πR

4.

Figura 3.11: Numero di autovalori N(E) con energia minore di E per lospicchio di biliardo di Sinai. La linea rossa mostra l’andamento della formuladi Weyl, i punti, invece, indicano la funzione N(E) ottenuta a partire dalmetodo di espansione. In ascissa sono riportate le energie, in ordinata ilnumero N(E). Risulta evidente come ci sia accordo (le linee distano menodel 10%) solo per i primi 190 autovalori su un totale di 400.

La figura (3.11) mostra che l’andamento della N (E ) e in buon accordo(discostamento anche in questo caso minore del 10%) con la funzione di Weylper i primi circa 190 autovalori. In questo biliardo non e stato raggiunto ilvalore M0 = 25 a causa dei tempi di calcolo, ma e stato utilizzato M0 = 20.

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L’istogramma relativo alle spaziature dei livelli dello spicchio di biliardo diSinai per M0 = 20 e mostrato in figura (3.12). In questo caso, come previsto,il profilo dell’istogramma segue con buon accordo la curva caratteristica dellaGOE, cioe la Wigner Surmise (3.19).

Nella figura (3.13) sono presentate le prime 5 autofunzioni del biliardo.Come ci si aspetta dalla teoria, tutte le autofunzioni risultano diverse traloro. L’unico andamento caratteristico che si puo riconoscere e l’aumentaredei nodi della funzione d’onda all’aumentare dell’energia.

Figura 3.12: Istogramma delle spaziature dei livelli per lo spicchio di biliardodi Sinai per M0 = 20 . Il profilo dell’istogramma e in buon accordo con laWigner Surmise (linea blu).

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Figura 3.13: Moduli quadri delle prime 5 autofunzioni dello spicchio di bi-liardo di Sinai. Si nota come all’aumentare dei numeri quantici aumenti ilnumero di nodi, come succede anche per biliardi piu semplici come quellocircolare.

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Conclusioni

La teoria delle matrici random si e rivelata un potente strumento per inter-pretare dal punto di vista statistico alcune proprieta di fenomeni complessi.Infatti, tramite delle matrici semplici da definire, composte unicamente davariabili casuali, e possibile riprodurre risultati ottenuti in diversi campi dellafisica o della matematica.

In questa tesi sono state studiate le caratteristiche generali delle matricirandom, la loro definizione e le proprieta dei loro autovalori. Alcune proprietasono state verificate numericamente con l’ausilio del software Mathematica.Inoltre sono state citate alcune applicazioni matematiche e fisiche delle ma-trici random. Tra queste e stata approfondita in dettaglio la correlazione coni biliardi quantistici caotici.

Malgrado l’indiscusso successo della teoria delle matrici random nel ri-produrre alcune proprieta statistiche di molti sistemi complessi, l’interpre-tazione fisica non e sempre immediata. Infatti l’indipendenza statistica tragli elementi di matrici nel GOE, GSE e GUE, nonostante renda piu faci-le da trattare analiticamente il problema degli autovalori, fa sı che tutti ivalori H

(λ)kj non abbiano lo stesso peso statistico. Infatti se si considerano

gli spazi di matrici introdotti nel Cap. 1, non e possibile, essendo gli spazinon compatti, immaginare dal punto di vista fisico che ogni interazione siaugualmente probabile. Con degli studi piu approfonditi e possibile arrivare adefinire degli Ensembles piu facilmente interpretabili dal punto di vista fisico,gli Ensembles Circolari, introdotti da Dyson nel 1962. Nel limite N →∞ ledistribuzioni riguardanti gli autovalori risultano essere identiche a quelle deitre Ensembles Gaussiani [1, 13].

Per quanto riguarda le applicazioni in fisica nucleare, puo essere interes-sante approfondire le altre caratteristiche predette dalla teoria delle matricirandom. Una di queste e la distribuzione delle larghezze dei picchi dellasezione d’urto. Dalla teoria standard questa dovrebbe essere la cosidetta di-stribuzione di Porter Thomas, cioe una distribuzione del χ2 con un gradodi liberta [1, 22]. I dati sperimentali non sono pero in accordo con questadistribuzione [23]. Recenti sviluppi hanno evidenziato come se si considera

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come Hamiltoninana una matrice del tipo

Hij = Gij + Zδ1jδ1i (3.25)

dove G e una matrice random appartenenente agli Ensembles classici e Zuna costante che introduce un termine di accoppiamento, i risultati teoricipotrebbero spiegare quelli sperimentali [24]. Non e trascurabile anche l’im-portanza delle matrici random nello studio della violazione della simmetriaper inversione temporale in alcuni processi nucleari. Si puo infatti studiarela distribuzione delle spaziature dei livelli energetici per distinguere un unprocesso invariante per inversione temporale, che segue ha le proprieta stati-stiche delle matrici appartenenti al GOE o al GSE, da un processo non inva-riante per inversione temporale, che ha le proprieta statistiche delle matriciappartenenti al GUE.

E possibile anche approfondire lo studio sui biliardi quantistici. Tramitela distribuzione delle spaziature degli autovalori di un biliardo quantistico diuna forma qualunque si puo riuscire a distinguere se il suo analogo classico ecaotico o integrabile. Questo processo di discriminazione, senza passare dal-lo studio numerico degli autovalori nel caso quantistico, potrebbe risultarepiuttosto complicato. Inoltre il metodo di espansione utilizzato in questa tesie sicuramente molto semplice da implementare, ma si potrebbero sviluppa-re algoritmi piu efficienti. Per esempio scegliendo autofunzioni di partenzadiverse da quelle della buca di potenziale rettangolare, l’algoritmo potrebbeportare a risultati piu accurati se si studiano biliardi complicati.

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