Matrici di massa degli elementi finiti

La matrice di massa può assumere due forme: una detta lumped o concentrata che assume valori

diversi da 0 sulla sola diagonale principale, l’altra consistent o distribuita che utilizza un metodo

consistente con il campo di spostamenti interno assunto

In genere si commette un errore non grande nel considerare la matrice lumped

Si ha il vantaggio di una minore occupazione di memoria

Nella risoluzione delle equazioni di equilibrio (integrazione al passo) si può avere una

consistente diminuzione dei tempi di calcolo

Infatti la lumped si inverte immediatamente

Non esiste un metodo univoco per passare dalla formulazione consistente a quella concentrata

Il metodo più comune prevede di sommare i termini di ciascuna riga sulla diagonale

Nella tabella che segue sono presentate le regole di integrazione più comuni per le matrici di massa

Si noti che, per avere integrazione ottimale, occorre spesso un ordine più basso rispetto a quello

della matrice di rigidezza

Analisi modale

Tale problematica ha senso solo per i sistemi lineari

La ricerca degli autovalori di un sistema meccanico costituisce un punto di partenza fondamentale in

quanto, oltre che a fornire informazioni circa le frequenze e modi propri, permette di costruire una

base di calcolo per il comportamento dinamico complessivo

È interessante rimarcare come, anche per quegli elementi finiti ove si forniva la rigidezza in forma

esatta (es. trave) la matrice di massa sia approssimata, per cui suddividendo la discretizzazione la

soluzione si modifica e tende a convergere

Come già detto in precedenza, in genere si trascura nel problema agli elementi finiti la presenza

dello smorzamento nella risoluzione agli autovalori, salvo poi introdurre successivamente uno

smorzamento modale

In alternativa, si costruisce una matrice di smorzamento proporzionale che garantisce modi di

vibrare reali

KMC

Esistono diverse forme canoniche di presentare il problema, tutte equivalenti

x Bx A 0x BA 0x IAB1

La ricerca degli autovalori coincide analiticamente con la ricerca degli zeri del polinomio

caratteristico det p BA

Nei problemi meccanici non smorzati si ha: 0u MK i i

Gli autovettori sono arbitrari a meno di un fattore di scala, ma si può

eliminare l’arbitrarietà attraverso una normalizzazione rispetto ad M 1i

t

i u M u

Gli autovettori sono ortogonali rispetto alla matrice di massa 0k

t

h u M u

Considerando infatti due autovalori distinti, h k , si può scrivere

hh u Mu K h kk u M u K k

Premoltiplicando la I per e la II per T

huT

ku

h

T

kh

T

k u M uu K u h k

T

hk

T

h u M u u K u k

Sfruttando la simmetria matrici, si traspone ad esempio la II e si sottrae I

h

T

k u M u hk0 Che, nell’ipotesi h k , dimostra ortogonalità

Quindi gli autovettori costituiscono una base completa del sistema stesso

n21 u u u x n21 con i

TTi

iT

i i

x M ux M u

u M u

Si può allora pensare ad un cambio di base, utilizzando la matrice U (nxn)

n21 uuuU

h k

(Se normalizzati a 1)

Si esamina il caso di risposta armonica (eccitazione sinusoidale)

tsen fxKxM q Ux

tsen fq UKq UM Premoltiplicando per UT

tsen f Uq UK Uq UM UTTT tsen f Uq UK Uq I

TT

Che fornisce un sistema risolutivo disaccoppiato essendo

n

1

Λ UK UTCome si potrebbe dimostrare ...

tsen f Uq Λq IT

Un importante vantaggio acquisito con tale procedura è che si può decidere di utilizzare

nel calcolo un numero minore di frequenze proprie rispetto ad n, troncando ove le

frequenze diventano molto più alte di quelle di eccitazione

Risolto nelle coordinate modali q si ritorna a quelle fisiche con la q Ux

Rapporto di Raileigh

0u MK i i 0u M uu K u i

T

ii

T

i i

i

T

i

i

T

i

u M u

u K ui

Se invece di un autovettore si utilizza un vettore

spostamento (compatibile con i vincoli)

x M x

x K xT

T

xR

Quanto più x è prossimo a ui , tanto più R(x) è vicino a i

Facendo ancora ricorso alla base modale q Ux

2

i ii

2

ii

q R

q

T T T

T T T

q U K U q q Λ q x

q U M U q q I q

È interessante rimarcare che x , la stima di 1 è sempre per eccesso

22

1 1 i 1 i 1i

22

1 i 1i

q 1 q q R

q 1 q q

x n21

Pertanto, se vengono utilizzati una serie di x vettori di prova, il risultante R(x)

minore è il più vicino al primo autovalore

Separazione autovalori e serie di Sturm

Si pensi di costruire, accanto al problema autovalori originario, un’altra serie ottenuta

utilizzando sottomatrici di M(m) e K(m) che eliminano le ultime m righe e m colonne

0u MK(m)

i

(m)(m) )m(

i

0u MK1)(m

i

1)(m1)(m )1m(

i

m

mn

m

2

m

1

1m

1mn

1m

2

1m

1

La proprietà di separazione afferma che confrontando i due gruppi di autovalori, essi

sono separati nel senso che

1m

mn

1m

1mn

1m

3

m

3

1m

2

m

2

1m

1

m

1

Si dice che la serie dei polinomi caratteristici (le cui soluzioni sono i ) costruita facendo

variare m è una serie di Sturm se vale la proprietà di separazione

Metodi di risoluzione del problema autovalori per alti numeri gdl

Non esistono soluzioni analitiche efficienti, occorre risolvere il problema in via approssimata

mediante iterazioni

In alcuni casi è conveniente operare non con il sistema completo, ma con un sistema

condensato mediante la riduzione di Guyan (estesa anche alle masse)

(Fisicamente è come dire che si vincolano gli m gdl corrispondenti)

m = master ; s = slave

Da ANSYS

C - Calcolo degli autovalori mediante la serie di Sturm

Senza entrare in dettagli, si tratta di un metodo che

utilizza la decomposizione di Cholesky T

LLA

Quest’ultima si può anche scrivere in questa forma TLZLA

Dove i termini sulla diagonale di L sono tutti unitari e la Z è diagonale

Partendo dal solito sistema 0u MK

Lo si decompone nella forma di Cholesky TLZLA

Si può dimostrare (da Sturm) che, fissato un valore di , il numero di autovalori in Z

minori di zero corrisponde agli autovalori i minori di

Facendo variare si possono identificare così gli intervalli ove cadono i i minori di

Una volta calcolati gli intervalli si determinano tutti i valori con il metodo della

secante applicato alla A()

i

i i i i 1

i i 1

A

A A ii 1

iA

i 1A

i

D - Calcolo degli autovettori mediante il metodo della iterazione inversa

Quando sono noti gli autovalori, gli autovettori si possono determinare mediante un

procedimento iterativo basato su un vettore iniziale assunto (ad esempio unitario)

u Mu K 0Prima stima

01 M K Risolvendo in 1 si ha II stima

n1n M K Convergenza se 01

Lo shift consente una maggiore velocità di convergenza della soluzione quando

l’autovalore è piccolo

Si ottiene modificando il sistema nel modo seguente

u Mu K u Mu MK

Valore di shift

Non viene descritto in dettaglio, è migliore del precedente per trattare grandi problemi

agli autovalori ove non si voglia ridurre il sistema mediante condensazione

Block Lanczos

Non viene descritto in dettaglio, si applica sui grandi sistemi, in particolare quando le

matrici sono sparse, richiede di memorizzare matrici molto grandi

Solutore non simmetrico

Si applica necessariamente quando le matrici da trattare sono non simmetriche, come

nel caso di interazione fluido-struttura

Solutore per sistemi smorzati

È possibile determinare autovalori ed autovettori non reali, mediante un algoritmo che

si basa sempre sul Block Lanczos

Subspace iteration

Risposta armonica

È la risposta di un sistema forzato, ovvero la risposta che si ha quando le condizioni iniziali

non hanno più effetto sulla soluzione (stazionario)

Per il calcolo è fondamentale sottolineare che, in condizioni stazionarie, i sistemi lineari

rispondono unicamente alla medesima frequenza di eccitazione (eventualmente con un

ritardo di fase dominato dallo smorzamento

La soluzione quindi è sempre ricercata nel dominio delle frequenze

a) Metodo diretto

Partendo dal solito sistema (con smorzamento eventuale)

tsen FxKxCxM La soluzione ha la forma tsen 0xx

Ove sia x che F sono valori complessi (ampiezza e fase), sostituendo

Fx MCK 0 2 i F MCKx1

0

2 i

Ovvero il problema è, nel dominio delle frequenze, analogo al problema statico, ma con una

matrice di rigidezza che varia con e che inoltre è composta da numeri complessi

Il metodo è valido quando la F ha pochi termini in frequenza o quando l’analisi è estesa a

pochi termini di frequenza (ad ogni si deve invertire il sistema (eventualmente complesso)

Gli algoritmi di calcolo sono gli stessi dei sistemi statici

b) Metodo della sovrapposizione modale

Qualche consistente vantaggio si può avere facendo precedere una condensazione di

Guyan alla soluzione

Operando nello spazio modale, ciascun modo si comporta come un oscillatore isolato ad 1

gdl, pertanto la risposta complessiva si ha sovrapponendo le risposte di tutti i modi

(troncando quando la risposta è irrilevante)

In questo caso il calcolo deve essere preceduto da un’analisi modale

Ovviamente non si possono trattare sistemi non lineari

Per ogni modo vale (smorzamento viscoso) il seguente grafico di risposta

2

n

2

22

n

0

41 k

Fx

n

2

n

n

1

2tan

La stessa soluzione si può scrivere per il sistema completo, in forma compatta, avendo svolto

l’analisi modale tsen fxKxCxM tsen i f Uq Λ UC Uq I

TT

Per ciascun modo r si ha

r

22

r

r

c i

tsen q

f UT

r

(se C diagonale, cr termine diagonale)

e, complessivamente

n

1r r

22

r

r

c i

tsen t

f UUx

T

r

Come si vede, occorrono i vettori Ur e le frequenze proprie r

Se invece C non è diagonalizzata dalla U le soluzioni modali non sono disaccoppiate e

conviene trattare il problema con, ad esempio il metodo di Duncan (vedi lezioni precedenti) che

però raddoppia la dimensione del problema

Il principale vantaggio del metodo di

sovrapposizione modale è tutto lo sforzo

computazionale è preventivo e poi è facile

avere diagrammi di risposta a molteplici

frequenze, del tipo:

Risposta spettrale

L’analisi è sempre preceduta da un’analisi modale e quindi si opera nello spazio modale

Si suppone di conoscere il contenuto (spettro) della forzante e si determina la risposta del

sistema

La forzante può essere sia in termini di carichi (forze vento, …) sia in termini di spostamenti

imposti (terremoti, …)

Si possono distinguere i due casi in cui lo spettro è unico per tutti i punti di eccitazione

(single point response) , oppure varia su ciascun punto (multiple point response)

L’utilizzo della sovrapposizione modale è del tutto simile al caso precedente, ma si possono

poi fare molte scelte circa il modo in cui si sovrappongono tutte le frequenze eccitate

Il punto è: tutte le risposte avranno una fase tale da raggiungere nella oscillazione tutti i

massimi contemporaneamente?

a) Complete Quadratic Combination Method

In questo metodo la risposta è determinata facendo la radice quadrata della somma dei

quadrati delle risposte a ciascun valore della frequenza

Si scartano nella somma tutte le risposte che non raggiungono un prefissato valore di soglia

Si ottiene un unico valore per la risposta che considera tutto lo spettro di carico assunto

b) Grouping Method, ...

È analogo al precedente ma si raggruppano le frequenze in modo da ottenere una risposta

spettrale suddivisa in campi di frequenze

c) Power Spectral Density method

In questo caso si considera il problema in chiave probabilistica

Non si parte dallo spettro dei carichi, ma dalla sua densità di probabilità

Per l’elaborazione si utilizza la matrice di risposta complessa ad una

eccitazione unitaria H(j)

2

forzanterisp jH SS

Modulo del valore complesso