MATERIALI COMPOSITI: LEGGE COSTITUTIVA ORTOTROPA · proprietà meccaniche del composito da quelle...

TECNOLOGIE E MATERIALI AEROSPAZIALI CAP.1 – MATERIALI COMPOSITI: LEGGE COSTITUTIVA ORTOTROPA

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CAPITOLO

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MATERIALI COMPOSITI: LEGGE COSTITUTIVA

ORTOTROPA

32.1 Introduzione L’impiego di rinforzi in fibra di vetro e, in seguito, di carbonio, per lo sviluppo di nuovi e più efficienti materiali da impiegarsi nelle strutture aerospaziali, può essere fatto risalire agli anni ’60. Da allora in poi, con diffusione sempre crescente, le elevate rigidezze e resistenze specifiche di queste e altre fibre, notevolmente superiori a quelli delle leghe metalliche, sono state sfruttare per creare materiali compositi, legando il sistema di rinforzo con una matrice continua. La definizione di materiali compositi avanzati riconosce che, nella storia, l’uso di materiali composti di diverse fasi può essere fatto risalire agli albori della civiltà (la paglia usata per aumentare la tenacità nei mattoni di argilla) e che altri esempi di materiali compositi, quali il cemento armato, sono di normale utilizzo in diversi ambiti costruttivi. Tuttavia, anticipando la classificazione e la descrizione di dettaglio di tali materiali, che sarà presentata nel Cap. 34, il termine materiali compositi utilizzato in ambito aerospaziale indica, essenzialmente, materiali a matrice polimerica, tipicamente termoindurente, con rinforzo a fibre lunghe. In particolare, tre tipologie di fibre di

rinforzo si sono affermate, grazie alle loro particolari caratteristiche:

- le fibre di vetro, che, nella versioni più avanzate (vetro S) presentano una rigidezza relativamente alta, una grande resistenza e un costo relativamente basso;

- le fibre di carbonio o di grafite, che, significativamente più costose delle fibre di vetro, sono tuttavia notevolmente più leggere e più rigide;

- le fibre arammidiche (Kevlar) che mostrano i rapporti più vantaggiosi fra resistenza a trazione e peso specifico, hanno elevata rigidezza e peculiare caratteristiche di tenacità, ma sono svantaggiate dalla scarsa resistenza a compressione.

Sebbene la diffusione di questi materiali sia stata probabilmente più lenta delle previsioni di qualche decennio fa, le tendenze più recenti mostrano che la loro introduzione può comunque essere considerata una svolta di grande importanza nell’industria aerospaziale, per alcuni addirittura paragonabile all’affermazione delle tipologie costruttive metalliche a guscio o all’avvento dei motori a getto.


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Il presente capitolo descrive inizialmente la struttura tipica dei compositi con rinforzo a fibre lunghe e gli aspetti fondamentali del loro comportamento meccanico, evidenziando i vantaggi e le problematiche connesse alla loro applicazione in ambito strutturale aeronautico. In seguito, si presenterà ed analizzerà il legame elastico ortotropo, che caratterizza la risposta costitutiva di tali materiali a livello macroscopico. Nella parte finale del capitolo saranno forniti gli elementi di base per un’analisi semplificata del comportamento dei materiali a livello micromeccanico, permettendo una valutazione approssimativa delle proprietà meccaniche del composito da quelle delle sue fasi costituenti e approfondendo l’analisi del meccanismo di funzionamento di tali materiali in diverse condizioni di sollecitazione. 32.2 Forme, potenzialità e limiti dell’applicazione dei compositi in ambito aerospaziale L’interesse verso i materiali compositi avanzati nasce dalle proprietà meccaniche delle fibre di rinforzo utilizzate, che sono tali da indicare un possibile rilevante incremento dell’efficienza strutturale nelle costruzioni aeronautiche.

Tabella 32. 1 – Proprietà delle principali leghe metalliche e di alcune fibre di rinforzo utilizzati

nell’industria aerospaziale1

Peso

specifico, (kN/m3)

Modulo di Young,

E (GN/m2)

E/ (Mm)

R (MPa)

Al 26.3 73 2.8 500

Ti 46.1 115 2.5 1500

Acciaio 76.6 207 2.7 2000

Vetro S 24.4 86 3.5 3500

Carbonio (alta

resistenza) 18 228-262 14

3000-4500

Carbonio (alto

modulo) 18 353-393 21 2500

Ricordando che l’efficienza strutturale sintetizza la capacità di soddisfare i requisiti di rigidezza e resistenza strutturale con il minimo peso possibile, i possibili vantaggi dell’utilizzo di tali sistemi di rinforzo emergono chiaramente nella Tabella 32. 1, che confronta le proprietà di rigidezza, di rigidezza specifica e la resistenza delle leghe metalliche usate nelle costruzioni aeronautiche con quelle delle fibre di rinforzo di vetro e di carbonio. I valori di resistenza forniti in tabella sono indicativi poiché, a differenza della rigidezza, la resistenza varia grandemente per le diverse leghe metalliche, al variare della composizione e dei trattamenti termici. I valori riportati per la 1 I valori di resistenza indicati in tabella sono indicativi: rappresentano i limiti massimi per le leghe metalliche e valori tipici per le fibre di rinforzo isolate

resistenza possono essere considerati i limiti massimi ottenibili per le leghe metalliche e valori tipici per le fibre di rinforzo considerate in tabella. L’esame della Tabella 32. 1 mostra chiaramente come rinforzi di fibre di vetro e di carbonio possano potenzialmente permettere lo sviluppo di nuovi materiali con indici di merito superiori a quelli delle leghe metalliche. Si può osservare che il Vetro S presenta valori di resistenza superiori all’acciaio, con un 1/3 del suo peso specifico. Simili valori di resistenza sono ottenuti dal carbonio, che è ancora più leggero e molto più rigido, come confermato dalla rigidezza specifica che è pari a 5 volte quella delle leghe metalliche, per il carbonio ad alta resistenza, e oltre 7 volte superiore per il carbonio ad alto modulo. Un primo limite per lo sfruttamento di queste caratteristiche deriva, però dalla constatazione che le fibre, da sole, possono trasmettere solo carichi di trazione uniassiali, in una direzione predeterminata. Per realizzare un materiale di possibile impiego in ambito strutturale, è necessario utilizzare il sistema di rinforzo fibroso all’interno di una matrice continua, che svolga le seguenti funzioni:

- conferire forma e stabilità dimensionale agli elementi strutturali;

- permettere la trasmissione di sollecitazioni in diverse direzioni;

- trasmettere il carico al rinforzo fibroso, permettendo di sfruttarne le intrinseche caratteristiche di rigidezza e di resistenza;

- consentire la realizzazione di elementi strutturali con rinforzi multi-direzionali.

L’elemento base della nuova tipologia di materiali può essere quindi considerato uno strato di fibre unidirezionali immerso in una matrice plastica. La sovrapposizione di più strati può dare luogo a un materiale con rinforzo multi-direzionale. Il singolo strato può anche possedere un sistema di rinforzo bi-direzionale, organizzato in un tessuto. Sebbene tale descrizione non comprenda tutte le possibili forme di utilizzo dei materiali compositi con rinforzo a fibra lunga e matrice plastica, essa comprende tutti gli elementi strutturali ottenuti mediante le tecniche di laminazione di lamine pre-impregnate, che sono fra le tecnologie più diffuse in ambito aerospaziale. L’idealizzazione del materiale composito come laminato ottenuto dalla sovrapposizione di strati con rinforzo unidirezionale o bi-direzionale, dette lamine, costituisce, dunque, un esempio altamente rappresentativo che rimane valido, nelle sue linee essenziali, anche per forme differenti di materiali compositi, ottenute con tecnologie differenti dalla laminazione. La Figura 32. 1 mostra due strati con rinforzo unidirezionale (A) e bi-dimensionale organizzato in forma di tessuto (B) in cui si riconoscono le direzioni della trama (fill) e dell’ordito (warp).


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Figura 32. 1 – Principali tipi di lamine di materiali composito con rinforzo fibroso

La Figura 32. 2 indica come, sovrapponendo più lamine con rinforzo in una direzione, sia possibile ottenere un elemento strutturale con rinforzo multi-direzionale.

Figura 32. 2 – Realizzazione di un laminato mediante sovrapposizione di più lamine

L’introduzione della resina, parte essenziale del materiale composito, comporta tuttavia una riduzione delle prestazioni strutturali del materiale rispetto ai livelli indicati dalle notevolissime proprietà delle fibre di rinforzo. La resina, infatti, possiede proprietà meccaniche notevolmente inferiori a quelle del sistema di rinforzo, con un modulo di Young quantificabile fra 3 GPa e i 5 GPa e resistenze inferiori ai 100 MPa. Il pur limitato peso specifico della resina, quantificabile attorno ai 10 kN/m3, riduce gli indici di merito. Considerando una lamina di materiale composito con rinforzo unidirezionale, le sue proprietà meccaniche, in assoluto, saranno dunque intermedie fra quelle delle fibre e quelle della matrice. Inoltre, considerando un asse di riferimento parallelo alla direzione delle fibre, le proprietà meccaniche saranno massime nella direzione del rinforzo, a 0° rispetto all’asse di riferimento, e decadranno a un valore minimo in direzione trasversale, indicata da un angolo di 90°. La Figura 32. 5 descrive le relazioni fra le proprietà delle fasi costituenti quelle delle lamine e dei laminati in materiale composito.

Figura 32. 3 – Transizione fra proprietà delle fasi costituenti e proprietà di lamine e laminati in materiale composito

La Figura 32. 3 rende evidente due aspetti fondamentali del comportamento meccanico dei materiali compositi con rinforzo a fibre lunghe:

a) le proprietà della generica lamina di materiale composito variano con la direzione considerata;

b) le proprietà meccaniche, incluse le modalità di rottura e la resistenza, potranno essere maggiormente influenzate dalle caratteristiche delle fibre o della matrice a seconda della direzione della sollecitazione: si potrà quindi parlare di proprietà dominate dalle fase fibre e dominate dalla fase matrice.

La Figura 32. 4 mostra qualitativamente quale possa essere la risposta di un provino di materiale composito in una prova di trazione uniassiale al variare dell’angolo fra la direzione del carico e del rinforzo. Si osservi come non solo le rigidezze e le resistenze possano essere completamente diverse, ma anche come il comportamento possa presentare caratteristiche variabili fra risposte elasto-fragili e modalità di cedimento più progressive. Alle evidenti considerazioni concernenti il grande divario fra le proprietà meccaniche dominate dalla fase fibre e dalla fase matrice, va aggiunta un’altra osservazione, particolarmente valida per materiali con rinforzi in fibra di vetro e di carbonio. Infatti, mentre le proprietà dominate da queste fibre rimangono quasi inalterate in un intervallo molto ampio di condizioni ambientali, le proprietà dominate dalla matrice variano significativamente con la temperatura e sono anche influenzate da altri fattori ambientali, quali il livello di umidità. La presenza della matrice polimerica, inoltre, limita fortemente le temperature di utilizzo per i compositi considerati in questo capitolo, senza tuttavia pregiudicare il potenziale impiego di questi materiali nella realizzazione di gran parte delle strutture secondarie e primarie di velivoli ad ala fissa e rotante, civili e militari.

STRENGTH

STIFFNESS

A B


4

Figura 32. 4 – Comportamento qualitativo di una lamina di materiale composito in una prova di trazione uniassiale in diverse direzioni

A parte i limiti concernenti le temperature di utilizzo, la realizzazione di laminati con rinforzo multi-direzionali è il metodo più immediato per ovviare alla limitatezza e alla sensibilità alle condizioni ambientali delle proprietà meccaniche dominate dalla fase matrice. Distribuendo opportunamente gli orientamenti delle lamine è possibile, come sarà mostrato nel successivo Cap. 33, realizzare un laminato che abbia, nel suo piano, proprietà meccaniche quasi-isotrope e quindi praticamente invarianti rispetto alla direzione delle sollecitazioni. In tali condizioni le proprietà meccaniche saranno dominate, essenzialmente, da quelle delle fibre di rinforzo, predominanti sulla matrice. A tali sequenze di laminazione si riferisce il termine biaxially isotropic introdotto in Figura 32. 3. Nel seguito del testo ci si riferirà a queste particolari sequenze di laminazione come laminati quasi-isotropi. Le considerazioni precedenti consentono di valutare il grafico in Figura 32. 5, relativo al confronto fra rigidezze e resistenze specifiche fra materiali compositi e leghe metalliche. Nel grafico, mentre le leghe metalliche sono rappresentate da singoli punti, i materiali compositi sono individuati da linee continue che mostrano la riduzione delle proprietà meccaniche specifiche dai valori relativi ai sistemi di rinforzo isolati, fino a quelli dei laminati quasi-isotropi, passando per le lamine con rinforzo unidirezionale.

Figura 32. 5 – Resistenze e rigidezze specifiche di fibre di rinforzo e di leghe metalliche usate nelle strutture aerospaziali

Come si può constatare, il passaggio dalle fibre isolate, non sfruttabili come materiali strutturali, alle lamine unidirezionali e a laminati con proprietà invarianti nel proprio piano, riduce grandemente i vantaggi dei compositi rispetto a quelli prospettati in Tabella 32. 1. Si osservi, tuttavia, che i materiali compositi mantengono, nel caso delle fibre arammidiche e del carbonio, netti vantaggi rispetto alle leghe metalliche anche nelle forme di laminati quasi-isotropi. Va anche affermato che la necessità di evitare configurazioni in cui la matrice sia lasciata sola a sopportare i carichi, anche modesti, in particolari direzioni, non comporta assolutamente il passaggio a laminati quasi-isotropi. In molti casi, infatti, le fibre di rinforzo potranno essere presenti in direzioni molteplici senza essere equamente distribuite in modo da arrivare alla quasi-isotropia del laminato. Tale considerazione implica che le forme effettivamente utilizzate di materiali compositi nelle strutture aerospaziali possano presentare indici di merito situati fra i valori dei laminati quasi-isotropi e delle lamine unidirezionali. Da questo punto di vista, inoltre, i compositi possono trarre il massimo vantaggio dalla sempre maggiore capacità di previsione e di analisi delle condizioni di sollecitazione, in termini di carichi applicati alla struttura e di sforzi nel materiale, derivante dall’impiego sempre più intensivo di procedure di calcolo aerodinamico e strutturale assistito dal calcolatore. La possibilità di individuare con precisione carichi e sforzi permette di sfruttare al massimo la direzionalità di questi materiali, distribuendo le direzioni delle fibre di rinforzo in modo ottimale. Secondo queste considerazioni, il grafico in Figura 32. 5 consente di concludere che l’utilizzo dei compositi avanzati con matrice polimerica e rinforzi a fibre lunghe permette ragionevolmente di ottenere rigidezze e resistenze specifiche doppie rispetto a quelle delle leghe metalliche. A conferma di tale considerazione, secondo stime risalenti alla fine degli anni 90, il risparmio ponderale ottenibile mediante l’utilizzo dei materiali compositi è valutabile attorno al 10%, se i compositi sono utilizzati per la realizzazione di

A

A

B

C

B

C


5

strutture secondarie, e fino al 30% nel caso di impiego per strutture primarie. Per quanto riguarda i costi derivanti dell’applicazione dei compositi, un’analisi attenta e non semplicemente limitata al costo del materiale, indica che le considerazioni economiche non compromettono, anzi in qualche caso esaltano, le potenzialità dei compositi. Sebbene, infatti, il costo del materiale grezzo sia elevato, la crescente diffusione dei compositi l’ha già drasticamente ridotto da valori attorno a 700 $/kg, nei primi anni ’70, fino a valori di 40$ /kg, aggiornati agli anni ‘90. Il costo del materiale, inoltre, rappresenta ovviamente una piccola parte del costo della realizzazione strutturale. Per quanto riguarda gli altri aspetti, i compositi sono avvantaggiati poiché fanno uso di tecnologie che comportano basse temperature o che riducono enormemente gli scarti rispetto a tecnologie di grande utilizzo nelle costruzioni metalliche. Sebbene i compositi prevedano cicli di lavorazione abbastanza complessi e l’impiego di personale altamente specializzato, va considerato che permettono la realizzazione di strutture integrate con meno giunzioni e minori costi di assemblaggio e che, anche considerando costi delle attrezzature e di formazione del personale, la crescente diffusione di questi materiali comporta una inevitabile riduzione del costo complessivo delle parti. Dal punto di vista tecnologico, infatti, i compositi sono ormai giunti a permettere, in alcuni casi come i pannelli con forme e curvature di notevole complessità, riduzioni di costo rispetto alle costruzioni in metallo. I dati e le considerazioni presentati in questo paragrafo giustificano le tendenze attuali dei grandi costruttori di velivoli a investire sull’impiego crescente dei compositi, in particolare su velivoli di grandi dimensioni e su velivoli militari. In realtà, le problematiche più serie dell’impiego di questi materiali, sono da riferirsi alla scarsità delle proprietà meccaniche nelle direzioni ortogonali ai piani dei laminati. Infatti, a meno di ricorrere a costosissimi sistemi di rinforzo con architettura tridimensionale, le capacità di trasferire i carichi fra le lamine di un laminato multi-direzionale rimangono limitate, poiché tale trasferimento deve necessariamente avvenire attraverso strati interlaminari, dove le fibre di rinforzo sono assenti e la scarsa resistenza della matrice gioca un ruolo determinante. La possibilità di insorgere di danni, abitualmente definiti delaminazioni, in questi strati interlaminari e la ridotta possibilità di individuarli prima che si sviluppino fino a provocare cedimenti catastrofici, costringe una notevole riduzione degli sforzi massimi che, in fase di progetto, possono essere considerati applicabili con sicurezza ai materiali compositi e ostacola grandemente la possibilità di sfruttarne appieno il grande potenziale. 32.3 Gli approcci allo studio e all’analisi dei materiali compositi La diffusione dell’applicazione dei compositi a matrici polimerica con rinforzi a fibre lunghe è cresciuta

parallelamente allo sviluppo degli approcci teorici e delle procedure sperimentali per analizzare il comportamento di questo tipo di materiali. Da questo punto di vista, tre peculiarità dei materiali compositi sono da evidenziare:

- i compositi sono materiali non-omogenei e anisotropi, con proprietà dipendenti dalla direzione del carico.

- I compositi permettono, a diversi livelli, di progettare il materiale scegliendo, ad esempio, le fasi costituenti, l’architettura del sistema di rinforzo e le sequenze di laminazione.

- I compositi presentano molteplici modalità di rottura e di comportamento anelastico, difficilmente descrivibili da trattazioni teoriche compatte ed essenziali, quali la plasticità nei materiali metallici, e fortemente dipendenti dalle condizioni ambientali.

A causa dell’intrinseca eterogeneità dei materiali compositi, essi possono essere studiati da due diversi punti di vista: - il punto di vista micromeccanico, che analizza l’interazione fra le fasi costituenti del composito su scala microscopica, per determinare i loro effetti sulle proprietà complessive del composito. - il punto di vista macromeccanico, che presuppone una omogeneizzazione del materiale, descritto come un continuo omogeneo, marcatamente anisotropo, nel quale gli effetti delle fasi costituenti si riflettono nelle proprietà macroscopiche medie del materiale composito. Questo punto di vista si adatta a caratterizzare e descrivere il comportamento delle singole lamine del composito. Un ulteriore punto di vista, cui sarà espressamente dedicato il Cap. 33, è lo studio del materiale composito a livello del laminato. La laminazione, oltre a essere un fondamentale processo tecnologico, consente di progettare il materiale a livello superiore di quello della lamina e rappresenta il livello al quale le potenzialità dei compositi sono effettivamente sfruttate per la realizzazione delle strutture aerospaziali. Il presente capitolo è quindi dedicato ad approfondire i primi due livelli, micromeccanico e macromeccanico (o livello della lamina). Nel seguito del capitolo, il livello macromeccanico sarà il primo a essere considerato, poiché la lamina è effettivamente l’elemento di base attorno al quale si focalizzano le considerazioni in sede di progetto strutturale e di realizzazione tecnologica. I materiali compositi, a livello delle lamine, saranno studiati come materiali elastici ortotropi. Analogamente, le fasi costituenti saranno considerate puramente elastiche nella parte del capitolo dedicata all’approccio micromeccanico. L’assunzione di comportamento elastico anisotropo mette a disposizione gli strumenti per comprendere, analizzare e prevedere le caratteristiche elastiche degli elementi in materiale composito.


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Figura 32. 6 – Livelli di analisi per le proprietà di rigidezza degli elementi in materiale composito

L’assunzione di comportamento elastico è in sostanza valida, nelle proprietà dominate dalla fase fibre, fino alla rottura, che avviene tipicamente in assenza di grandi deviazioni dal comportamento lineare iniziale e che comporta una totale perdità di capacità di trasferimento di carico da parte del materiale. Questa idealizzazione del processo di rottura è abbastanza fedele alla realtà, sebbene i compositi con rinforzo in fibre di vetro possano presentare evidenti deviazioni dalla linearità a grandi deformazioni e debba essere menzionata l’eccezione del peculiare comportamento a compressione delle fibre arammidiche, caratterizzate da un comportamento duttile. Questa idealizzazione rimane tuttavia applicabile solo alle proprietà dominate dalle fibre delle singole lamine, poiché la matrice e l’interfaccia fibra-matrice presentano meccanismi di cedimento diversi e, in alcuni casi, più progressivi, con formazione di microcricche e di danni diffusi che influenzano il comportamento macroscopico del materiale in modi molto complessi. Nelle proprietà di resistenza degli elementi strutturali in composito, inoltre, la sensibilità dei laminati alle sollecitazioni normali al loro piano, che devono essere trasferite attraverso gli strati interlaminari, gioca un ruolo determinante. Solo da poco tempo si sta cercando di modellare questi comportamenti e di integrarli in leggi costitutive non-lineari di notevole complessità e difficoltà di calibrazione, da utilizzarsi nell’analisi strutturale assistita dal calcolatore. Tuttavia, la possibilità di prevedere con affidabilità la resistenza di un elemento in materiale composito per via teorica (o numerica) è ben lungi dall’essere considerata acquisita. In conclusione la sensibilità alle sollecitazioni intralaminari (1), la molteplicità dei modi di cedimento (2) e la mancanza di metodi di analisi consolidati in

ambito non-lineare (3) rappresentano tre fondamentali motivi che impediscono di poter considerare l’analisi, da sola, adeguata a valutare affidabilmente la resistenza di elementi strutturali in composito. L’approccio tipicamente seguito nelle costruzioni aeronautiche in composito è il cosiddetto building-block approach che integra analisi e prove sperimentali lungo il percorso mostrato in Figura 32. 7. L’approccio, a partire dai più semplici provini di materiale, considera elementi sempre più complessi fino ai componenti di base del velivolo quali le ali, o gli elementi di fusoliera.

Figura 32. 7 – Gerarchia delle prove sperimentali nel building-block approach

L’approccio building-block è anche usato per identificare, a livello dei provini semplici, dei fattori di riduzione delle proprietà meccaniche associati a effetti ambientali, assumendo che tali effetti possano essere valutati sui test a basso livello e trasportati ai livelli di maggiore complessità. L’approccio si può suddividere nelle seguenti fasi:

- generazione di un data-base delle proprietà dei materiali a livello di semplici provini.

- identificazione, mediante analisi strutturale (tipicamente in ambito lineare) delle area strutturali più critiche per ulteriori verifiche.

- Individuazione delle modalità di cedimento più critiche per ogni area strutturale.

- Selezione delle condizioni che possono produrre la modalità di cedimento più critica.

- Progettazione ed esecuzione di una serie di prove sperimentali, corrispondenti alle aree strutturali e alle modalità di cedimento più critiche, con l’obiettivo di mettere a punto modelli teorici e previsionali che, grazie alla correlazione con i risultati sperimentali, possano prevedere i comportamenti non-lineari e la resistenza.

Livello micromeccanico (costituenti e loro interazione)

Livello macromeccanico:

materiale omogeneizzato (lamina)

Livello del laminato: sovrapposizione di strati con rinforzo multi-direzionale


7

- Progettare ed eseguire prove in condizioni più complicate, che prevedano molteplici possibilità di cedimento, per valutare le capacità di previsione degli approcci analitici.

- Progettare sub-componenti e componenti, introducendo i fattori di riduzione per gli effetti ambientali, e condurre le prove di validazione finale.

32.4 Legge Costitutiva elastica Ortotropa 32.4.1 Legame costitutivo elastico anisotropo e simmetrie nel comportamento dei materiali Come discusso nel precedente paragrafo, la legge costitutiva elastica anisotropa svolge un ruolo fondamentale nell’analisi e nella progettazione di elementi in composito. Il paragrafo 3.4.1 ha presentato il legame elastico per un materiale isotropo, dimostrando, sulla base di considerazioni teoriche, che tale legame dipende da due sole costanti indipendenti. Adottando una notazione vettoriale per lo sforzo e la deformazione, la matrice di cedevolezza per un materiale isotropo, riportata in Eq. 32. 1 mostra come non vi siano accoppiamenti tra l’applicazione di sforzi normale e la nascita di deformazioni a taglio e l’applicazione di componenti di taglio e la nascita di scorrimenti a taglio in altre direzioni.

xy

zx

yz

zz

yy

xx

xy

zx

yz

zz

yy

xx

G

G

G

EE

v

E

vE

v

EE

vE

v

E

v

E

100000

01

0000

001

000

0001

0001

0001

Eq. 32. 1 La matrice di rigidezza, per un materiale isotropo, ha struttura analoga (vedi Eq. 3.129) e conferma l’assenza di accoppiamenti fra estensioni-sforzi di taglio e fra scorrimenti e sforzi di taglio non corrispondenti. Come affermato nel par. 32.2 e qualitativamente illustrato in Figura 32. 4, i materiali compositi con rinforzo fibroso non sono isotropi, ma presentano un comportamento meccanico dipendente dalla direzione in cui sono sollecitati. Un comportamento di questo tipo, in generale, è detto anisotropo e prevede, potenzialmente, un legame completamente accoppiato fra tutte le componenti di sforzo e deformazione.

xy

zx

yz

zz

yy

xx

xy

zx

yz

zz

yy

xx

DDDDDD

DDDDDD

DDDDDD

DDDDDD

DDDDDD

DDDDDD

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

Eq. 32. 2 Se il materiale è elastico, si osservi che è sempre possibile introdurre un’energia di deformazione, che è una funzione delle componenti di deformazione, secondo la forma quadratica riportata in Eq. 32. 3.

D

dDd

T

TTijij

2

100

Eq. 32. 3 In modo assolutamente analogo a quanto fatto per i materiali isotropi, detti m ed n le posizioni delle componenti di deformazione nella rappresentazione vettoriale adottata, si ha, per l’uguaglianza delle derivate delle funzione energia di deformazione:

nmmn

mnnm

DD

Eq. 32. 4 L’Eq. 32. 4 indica che la matrice [D] è, anche nel legame generalmente anisotropo, simmetrica e che pertanto, è descritta, al massimo, da 21 costanti indipendenti. Esaminando i possibili legami fra componenti di sforzo e deformazioni non corrispondenti (coniugati nella definizione del lavoro e dell’energia di deformazione), il legame anisotropo prevede alcuni accoppiamenti fra le componenti di sforzo-deformazione che, a parte quello fra allungamenti e sforzi normali in direzione trasversale, non sono affatto previsti nel comportamento elastico isotropo. Tali accoppiamenti sono evidenziati in Figura 32. 8.


8

Figura 32. 8 – Classificazione degli accoppiamenti nel legame elastico anisotropo

In realtà, nei materiali compositi con rinforzo fibroso sono individuabili delle simmetrie che semplificano notevolmente il legame elastico, eliminando in parte o totalmente gli accoppiamenti. I materiali, infatti, possono presentare uno o più piani di simmetria quando la loro struttura non varia se si considera una trasformazione che inverte la posizione di ciò che sta dalle due parti del piano. Una trasformazione di questo tipo è descrivibile come l’applicazione di un operatore di simmetria. Ad esempio, la Figura 32. 9 mostra un materiale con un piano di simmetria, poiché la sua struttura, disordinata nel piano xy, è tuttavia invariante a un operatore di simmetria che scambia ciò che si trova dalla parte positiva dell’asse z con ciò che si trova dalla parte negativa z. Il piano perpendicolare all’asse z, cioè il piano xy, è dunque un piano di simmetria. Un materiale con un piano di simmetria è detto monoclino.

Figura 32. 9 – Esempio di materiale con un piano di simmetria

Se il materiale ha un piano di simmetria, anche la legge costitutiva deve rispettare la simmetria. Pertanto, se

una componente di sforzo e una componente di deformazione risultano legati attraverso la legge elastica anisotropa generale, definita in Eq. 32. 3, tale legame dovrà essere compatibile con la situazione che viene a crearsi applicando l’operatore di simmetria. Si consideri, ad esempio, l’espressione del termine yz in funzione delle deformazioni applicate. Se il termine di rigidezza D41 non è nullo, l’applicazione di una deformazione assiale xx al materiale, comporta la nascita di uno sforzo yz = D41xx come mostrato in Figura 32. 10-a. Per l’esistenza del piano di simmetria, tale legame deve essere compatibile con la situazione derivante dall’applicazione dell’operatore di simmetria (cioè scambiando ciò che sta dalle due parti del piano di simmetria). Tuttavia, in Figura 32. 10-b si osserva che, applicando la simmetria, si ottiene uno sforzo taglio in direzione opposta, mentre l’allungamento rimane invariato. Pertanto deve valere anche la relazione yz = -D41xx. Ciò comporta D41xx = -D41xx che implica D41 =0. In modo assolutamente analogo si può dimostrare che D42 e D43 sono nulli. La Figura 32. 11 si riferisce all’applicazione dell’operatore di simmetria al caso in cui, applicando yz,si ottenga un yz = D44yz. Il risultato ottenuto è descrivibile con la relazione -yz = -D44yz, da cui si deduce che D44 può essere non nullo. In questo caso, dunque, l’accoppiamento è compatibile con l’esistenza del piano di simmetria del materiale. Analogamente, come mostrato in Figura 32. 12, il termine D45 è anch’esso ammissibile per un materiale con un piano di simmetria. Si osservi, al contrario, il caso riportato in Figura 32. 13, relativa all’accoppiamento xy -yz. L’applicazione dell’operatore di simmetria non cambia il verso della componente di deformazione, mentre cambia quello dello sforzo. Pertanto il termine di accoppiamento, D46, deve essere nullo.

Figura 32. 10 – Applicazione dell’operatore di simmetria a un materiale monoclino per l’accoppiamento xx-yz

xy

zx

yz

zz

yy

xx

xy

zx

yz

zz

yy

xx

DDDDDD

DDDDDD

DDDDDD

DDDDDD

DDDDDD

DDDDDD

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

Accoppiamento tra allungamenti e sforzi normali trasversali

Accoppiamento scorrimenti a taglio – sforzi normali

Accoppiamento tra scorrimenti e sforzi di taglio in altre direzioni

x

y z

xx

yz yz

yz

xx

yz A B

xx

x

y

z


9

Figura 32. 11 - Applicazione dell’operatore di simmetria a un materiale monoclino per l’accoppiamento yz -yz

Figura 32. 12 - Applicazione dell’operatore di simmetria a un materiale monoclino per l’accoppiamento zx -yz

Figura 32. 13 - Applicazione dell’operatore di simmetria a un materiale monoclino per l’accoppiamento xy -yz

Applicando l’operatore di simmetria in modo analogo ad altri casi, si giunge all’espressione riportata in Eq. 32. 5, che mostra come, considerando la simmetria della matrice [D], un materiale monoclino ha solo 13 costanti elastiche indipendenti.

xy

zx

yz

zz

yy

xx

xy

zx

yz

zz

yy

xx

DDDD

DD

DD

DDDD

DDDD

DDDD

66636261

5554

4544

36333231

26232221

16131211

00

0000

0000

00

00

00

Eq. 32. 5 I materiali compositi con rinforzo fibroso, oggetto del presente capitolo, presentano, in effetti, più di un piano di simmetria. Infatti, per i compositi con rinforzo unidirezionale è possibile individuare almeno tre piani di simmetria, fra loro mutuamente ortogonali, come è evidenziato in Figura 32. 14-a. Trascurando la curvatura dei filati di trama e ordito, è anche possibile assumere tre piani di simmetria mutuamente ortogonali per i tessuti, come mostrato in Figura 32. 14-b.

Figura 32. 14 – Piani a assi di simmetria nei compositi unidirezionali (A) e tessuti (B)

I materiali che presentano tre piani di simmetria fra loro ortogonali sono detti ortotropi e, in base a ragionamenti analoghi a quelli seguiti per il materiale monoclino, si dimostra che devono seguire il legame espresso in Eq. 32. 6, con solo 9 costanti indipendenti.

xy

zx

yz

zz

yy

xx

xy

zx

yz

zz

yy

xx

D

D

D

DDD

DDD

DDD

66

55

44

333231

232221

131211

00000

00000

00000

000

000

000

Eq. 32. 6 Il legame costitutivo ortrotropo presenta, dunque, lo stesso tipo di accoppiamenti esistenti per un materiale isotropo. In particolare, solo l’accoppiamento fra gli allungamenti e gli sforzi ad essi trasversali è compatibile con l’esistenza dei tre piani di simmetria.

x

y z yz

A B

yz

xy

yz z

yz z

xy

xy

xy

x

y z yz

A B

yz

zx

zx zx z

yz z

zx

yz

x

y z yz

A B

yz yz

yz yz yz

yz yz z

x

y

z A

x

y

z B


10

La differenza con i materiali isotropi, consiste unicamente nella differenza fra le proprietà nelle diverse direzioni. 32.4.2 Significato delle costanti ingegneristiche nelle legame costitutivo elastico ortotropo I piani di simmetria presenti nei materiali ortotropi consentono di definire un sistema di assi di riferimento, perpendicolari ai piani di simmetria stessi, che sono definiti direzioni principali del materiale o assi materiale o assi lamina. Per le lamine di composito unidirezionale è abituale considerare: - il primo asse materiale (asse x) nella direzione delle fibre di rinforzo; - il secondo asse materiale (asse y) nel piano della lamina, perpendicolarmente alla direzione delle fibre; - il terzo asse materiale (asse z), perpendicolare al piano della lamina, nella direzione dello spessore. Per i tessuti, analogamente si considera: - il primo asse materiale (asse x) nella direzione delle fibre di rinforzo della trama; - il secondo asse materiale (asse y) nella direzione delle fibre di rinforzo dell’ordito; - il terzo asse materiale (asse z), perpendicolare al piano della lamina, nella direzione dello spessore. La legge costitutiva ortotropa prevede un ben determinato comportamento in prove uniassiali, caratterizzate dall’applicazione di una sola componente di sforzo non nulla al materiale. La Figura 32. 15 si riferisce all’applicazione di uno sforzo in direzione xx a un materiale ortotropo. Si avrà un allungamento in direzione xx proporzionale al carico. La costante di proporzionalità è il modulo elastico nella direzione x, indicato con Ex. A causa dell’accoppiamento fra sforzi e allungamenti trasversali, nascono delle contrazioni nelle direzioni y e z. Si definiscono i coefficienti di Poisson, vyx e vzx, che sono gli opposti dei rapporti fra la deformazione nella direzione di applicazione del carico e le contrazioni trasversali. Nel materiale ortotropo, a differenza del caso isotropo, tali coefficienti non sono, in generale, uguali fra di loro.

Figura 32. 15 – Applicazione di uno stato di sforzo uniassiale a un materiale ortotropo

Considerando l’applicazione di uno sforzo uniassiale nelle altre direzioni si ottengono situazioni analoghe, che permettono di definire i moduli elastici trasversali

Ey e Ez. Come regola generale, adottata in questo testo, il coefficiente di Poisson vij definisce la contrazione in direzione i per l’applicazione di uno sforzo in direzione j. Si osservi, tuttavia, che tale convenzione non è universalmente seguita e che, in molti casi, si adotta una convenzione opposta. La possibile ambiguità nell’interpretazione dei coefficienti di Poisson, è una delle più comuni cause d’errore nell’applicazione del legame elastico ortotropo. Applicando uno sforzo di taglio, la forma del legame elastico ortotropo indica che si potrà sviluppare solo la componente di deformazione corrispondente e coniugata. Si definiscono, pertanto, i moduli di rigidezza a taglio Gyz, Gzx e Gxy, che legano lo scorrimento allo sforzo di taglio corrispondente. La matrice di cedevolezza del materiale ortotropo elastico, che rappresenta il generico composito ha quindi la forma riportata in Eq. 32. 7.

xy

zx

yz

zz

yy

xx

xy

zx

yz

zy

zy

x

zx

z

yz

yx

yx

z

xz

y

xy

x

xy

zx

yz

zz

yy

xx

G

G

G

EE

v

E

v

E

v

EE

vE

v

E

v

E

100000

01

0000

001

000

0001

0001

0001

Eq. 32. 7 Per la simmetria della matrice di cedevolezza, che consegue da quella della matrice di rigidezza o può essere direttamente dimostrata dall’esistenza del potenziale elastico, si hanno seguenti relazioni:

z

zy

y

zy

x

zx

x

zx

y

xy

x

yx

E

v

E

v

E

v

E

v

E

v

E

v ;;

Eq. 32. 8 L’inversione della matrice di cedevolezza porta alla matrice di rigidezza

xy

zx

yz

yx

yxxy

yx

xzyxyz

yx

yzxyxz

zx

zxxyzy

zx

zxxz

zx

xzzyxy

zy

zyyxxz

zy

yzzxyx

zy

zyyz

G

G

GEE

vv

EE

vvv

EE

vvvEE

vvv

EE

vv

EE

vvvEE

vvv

EE

vvv

EE

vv

D

00000

00000

00000

0001

0001

0001

Eq. 32. 9 dove:

x

y

z

xx

xx

xx

xx

zz=-vzxxx

zz=-vzxxx

yy=-vyxxx

yy=-vyxxx


11

zyx

xzzyyxxzzxzyyzyxxy

EEE

vvvvvvvvv 21

Nei materiali isotropi, si è visto nel cap. 3 che alcune considerazioni energetiche pongono dei vincoli precisi alle due costanti ingegneristiche E e v che caratterizzano il legame. Nel par. 3.4.1 si è infatti dimostrato che:

5.01

0

v

E

Eq. 32. 10 Nei materiali ortotropi, le considerazioni energetiche portano a relazioni diverse e più complesse. E’ richiesto innanzitutto che i moduli di Young nelle diverse direzioni e i moduli di rigidezza a taglio siano positivi:

0,,,,, xyzxyzxyx GGGEEE

Eq. 32. 11 I coefficienti di Poisson devono inoltre soddisfare le seguenti disequazioni:

021

01;01;01

zyx

xzzyyxxzzxzyyzyxxy

yxxyzxxzzyyz

EEE

vvvvvvvvv

vvvvvv

Eq. 32. 12 Infine, devono valere le seguenti limitazioni fra i moduli dei coefficienti di Poisson ed i moduli di Young.

x

zzx

z

yyz

y

xxy

z

xxz

y

zzy

x

yyx

E

Ev

E

Ev

E

Ev

E

Ev

E

Ev

E

Ev

;;

;;

Eq. 32. 13 Si osservi, che in base alle Eq. 32. 13 i coefficienti di Poisson possono raggiungere, nei materiali ortotropi valori molto elevati o estremamente bassi. Ad esempio, se consideriamo una lamina unidirezionale in carbonio con Ex = 120 GPa e Ey = 10 GPa, si ha |vxy| < 3.46. 32.4.3 Ipotesi di isotropia trasversale I materiali compositi ottenuti da lamine con rinforzo unidirezionali si possono ritenere caratterizzati da un livello di simmetria superiore all’ortotropia. E’ infatti possibile osservare che tutti i piani paralleli alle direzioni di rinforzo sono di simmetria per il materiale, come illustrato in Figura 32. 16. Un materiale di questo tipo, ortrotropo e con infiniti piani di simmetria attorno

ad uno degli assi materiali si definisce trasversalmente isotropo.

Figura 32. 16 – Piani di simmetria in un materiale trasversalmente isotropo

Con riferimento alle costanti ingegneristiche del materiale ortotropo, l’isotropia trasversale implica l’equivalenza delle proprietà nelle due direzioni principali del materiale perpendicolari alla direzione di rinforzo, y e z. Si possono anche definire nuove notazioni per gli assi indicando con l’indice a la direzione del rinforzo e con l’indice t la generica direzione perpendicolare ad esso. Valgono pertanto le seguenti relazioni:

taxyzx

tayxzx

tzy

GGG

vvv

EEE

Eq. 32. 14 Per l’isotropia trasversale, inoltre, è possibile stabilire una relazione analoga quella dei materiali isotropi fra Et = Ey = Ez, Gt = Gyz e vt = vxyz:

t

t

yz

yyzt v

E

v

EGG

1212

Eq. 32. 15 La matrice di cedevolezza per un materiale trasversalmente isotropo ha dunque la forma:

xy

zx

yz

zz

yy

xx

ta

ta

t

t

tt

t

a

ta

t

t

ta

ta

t

at

t

at

a

xy

zx

yz

zz

yy

xx

G

G

E

vEE

v

E

vE

v

EE

vE

v

E

v

E

100000

01

0000

0012

000

0001

0001

0001

Eq. 32. 16

x,a

t


12

L’Eq. 32. 16, unitamente alla simmetria della matrice di cedevolezza, implica che, per la caratterizzazione di un materiale trasversalmente isotropo sono necessarie solo 5 costanti indipendenti: Ea, Et, Gta, vta, vt. L’isotropia trasversale, come del resto l’ortotropia, è una assunzione che non tiene conto di possibili disomogeneità nella struttura del materiale e di possibili disallineamenti. E’ tuttavia di particolare utilità per stimare le proprietà del composito fuori dal piano delle lamine (Ez, vzx, vzy, Gyz, Gxz) che sono di difficile determinazione e che possono venire ricondotte, quasi completamente, a proprietà misurabili con l’applicazione di stati di sforzo nel piano delle lamine. Per i tessuti l’ipotesi di isotropia trasversale non è applicabile. Nel caso in cui il rinforzo sia equamente distribuito fra trame e ordito è possibile, tuttavia, ritenere equivalenti queste due le direzioni. Si riduce anche in questo caso il numero delle costanti da misurare per identificare i parametri elastici del materiale. L’ipotesi di equivalenza fra trama e ordito porta alle semplificazioni:

yzzx

yzzx

yx

vv

GG

EE

Eq. 32. 17 Si osservi comunque che, soprattutto nel caso dei tessuti, la curvatura dei filati può indurre sensibili differenze (fino al 10%) fra il modulo elastico nelle direzioni dei rinforzo a trazione e compressione, contraddicendo l’assunzione di comportamento elastico lineare. 32.4.4 Legge elastica ortotropa per stati di sforzo piano Le lamine di un materiale composito possono essere soggette a stati di sforzo con componenti agenti nel loro piano o fuori dal loro piano, descritti in Figura 32. 17.

Figura 32. 17 – Componenti di sforzo nel piano (A) e fuori dal piano (B) in una lamina di composito

I laminati sono in generale elementi con spessori molto piccoli rispetto alle dimensioni in pianta. I carichi trasversali applicati al laminato hanno a disposizione aree resistenti molto grandi. D’altre parte, se caricati trasversalmente, sulle facce aventi normali in direzione dell’asse z, i laminati si flettono e la flessione origina uno stato di sforzo nel piano delle lamine. Tali sforzi devono equilibrare i momenti dei carichi esterni con bracci limitati, con ordine di grandezza pari allo spessore del laminato stesso. In tali condizioni, gli stati di sforzo nel piano governano la rigidezza e la resistenza dei laminati. L’analisi dello stato di sforzo di un laminato in composito di piccolo-medio spessore, pertanto, si può inizialmente focalizzare sugli stati di sforzo piani. Infatti, prima che le componenti di sforzo fuori dal piano possano raggiungere valori tali da influenzare significativamente gli spostamenti o la possibilità di rottura del laminato, le deflessioni o gli sforzi di origine flessionale sono verosimilmente giunti a livelli non accettabili. Deve essere rilevato, tuttavia, che le componenti di sforzo fuori dal piano agiscono negli strati interlaminari. Tali strati sono già stati identificati, al termine del paragrafo 32.2, come critici dal punto di vista della resistenza del laminato in composito, poiché hanno livelli di resistenza particolarmente bassi. Di conseguenza, nel caso di laminati spessi, che possono sostenere la flessione originata da carichi trasversali elevati, di carichi trasversali molto concentrati o di concentrazioni di sforzo dovuti a variazione di geometrie, a curvature, o all’interruzione di lamine, gli sforzi fuori dal piano non possono trascurati nell’analisi della resistenza del laminato. Rimanendo nell’ambito dei laminati di piccolo-medio spessore, con basse curvature e limitate concentrazioni di sforzo trasversale, il comportamento del laminato è approssimato con sufficiente accuratezza considerando solo stati di sforzo piani. La legge costitutiva che lega tali stati di sforzo alle corrispondenti deformazioni nel piano è, in termini di legame diretto fra sforzi applicati e deformazioni, espressa in Eq. 32. 18.

xy

yy

xx

xy

yx

yx

y

xy

x

xy

yy

xx

G

EE

vE

v

E

100

01

01

Eq. 32. 18 La matrice di flessibilità nel piano della lamina ortotropa è definita in Eq. 32. 19.

xx

yy

xy

yx x

z

y

zx zx

zz

yz

xz


13

xy

yx

yx

y

xy

x

G

EE

vE

v

E

100

01

01

S

Eq. 32. 19 Invertendo tale matrice si definisce la matrice di rigidezza Q le cui componenti, in funzione delle costanti di rigidezza ingegneristiche sono esplicitate in Eq. 32. 20.

xy

yxxy

y

yxxy

xxy

yxxy

yyx

yxxy

x

Gvv

E

vv

Evvv

Ev

vv

E

00

011

011

Q

Eq. 32. 20 Le matrici di flessibilità e rigidezza delle lamine ortotrope nel piano risultano pertanto definite da 4 costanti ingegneristiche indipendenti: Ex, Ey, vxy e Gxy. Per la simmetria delle matrici, infatti, il coefficiente di Poisson vyx può essere ottenuto conoscendo Ex, Ey e vxy, come indicato nella prima relazione in Eq. 32. 8. 32.4.5 Variazione delle proprietà elastiche con la rotazione del sistema di riferimento I legami sforzo-deformazione per lo stato di sforzo piano, descritti nel par. 32.4.4 sono validi in un sistema di riferimento in assi lamina. Le constanti ingegneristiche Ex, Ey, Gxy rappresentano la rigidezza, cioè la pendenza della curva sforzi-deformazioni, in stato di trazione-compressione uniassiale o di puro taglio, se tali componenti di sforzo sono espresse in assi materiale, come indicato dall’ Eq. 32. 18. Applicando le regole di trasformazione di coordinate per le componenti dei tensori di sforzo e deformazione è possibile mostrare che le matrici di flessibilità e rigidezza, definite in Eq. 32. 19 e Eq. 32. 20, consentono di individuare le rigidezze della lamina quando questa è sollecitata in direzioni diverse da quelle corrispondenti agli assi materiale. In generale è anzi possibile descrivere completamente il legame sforzi-deformazioni in un generico sistema di riferimento, ruotato di un angolo nel piano della lamina rispetto agli assi materiale. Con riferimento alla Figura 32. 18, siano X e Y nuovi assi di riferimento, ruotati rispetto agli assi materiale, attorno a un asse normale al piano della lamina. L’angolo di rotazione, , sia misurato, in senso antiorario, dal nuovo asse X all’asse materiale x.

Figura 32. 18 – Rotazione del sistema di riferimento nel piano della lamina

La regola di trasformazione delle componenti del tensore degli sforzi per la generica rotazione del sistema di riferimento, espressa nell’Eq. 3.84 del cap. 3, può essere riscritta per le componenti piane di sforzo nel caso di rotazione nel piano, in forma matriciale:

xy

yy

xx

XY

YY

XX

22

22

22

sincoscossincossin

cossin2cossin

cossin2sincos

Eq. 32. 21 La matrice introdotta in Eq. 32. 21, dipendente dall’angolo è definita come l’inversa della matrice di rotazione [T], riportata in Eq. 32. 22.

22

22

22

sincoscossincossin

cossin2cossin

cossin2sincos

][T

Eq. 32. 22 La legge di trasformazione dalle vecchie componenti in assi materiale alle nuove componenti in assi X e Y è quindi esprimibile nella seguente forma:

xy

yy

xx

XY

YY

XX

T

1

Eq. 32. 23 Poiché le regole di trasformazioni sono valide per il generico tensore, anche le componenti del tensore di deformazione ruotano applicando la matrice [T], ma è necessario ricordare che le vere componenti del tensore non comprendono lo scorrimento xy, ma la deformazione ad indici misti xy = xy/2. Pertanto la legge di rotazione per le deformazioni prescrive:

x

z, Z

y

X Y

x y

X

Y


14

22

2

sincoscossincossin

cossin2cossin

cossin2sincos

2

1

22

22

22

xy

yy

xx

XY

YY

XX

xy

yy

xx

XY

YY

XX

T

Eq. 32. 24 Per permettere l’utilizzo della notazione vettoriale comprendente lo scorrimento xy o, in coordinate trasformate, XY, è possibile introdurre una semplice matrice di trasformazione [R]:

2200

010

001

2

][

2

200

010

001

2

][

XY

YY

XX

XY

YY

XX

XY

YY

XX

xy

yy

xx

xy

yy

xx

xy

yy

xx

R

R

Eq. 32. 25 L’utilizzo della matrice [R] consente di formulare le seguenti leggi di trasformazione per i vettori deformazione, quando questi siano espressi con le componenti ingegneristiche:

XY

YY

XX

XY

YY

XX

xy

yy

xx

xy

yy

xx

xy

yy

xx

xy

yy

xx

XY

YY

XX

XY

YY

XX

RTRTRR

RTRTRR

1

111

]][][[

2

]][[

2

][

][]][[

2

]][[

2

][

Eq. 32. 26 Avendo a disposizione le leggi trasformazione del vettore delle componenti di sforzo e di deformazione è possibile ricavare il legame elastico ortotropo nei nuovi assi, a partire dal legame in assi materiale:

xy

yy

xx

xy

yy

xx

Q

Eq. 32. 27

Partendo dalla trasformazione delle componenti di sforzo, sostituendo il legame esrpresso in Eq. 32. 27 e applicando la legge di trasformazione per le deformazioni si ottiene:

XY

YY

XX

xy

yy

xx

xy

yy

xx

XY

YY

XX

RTRQT

QTT

11

11 ][][

Eq. 32. 28 Poiché è possibile dimostrare che:

TTRTR 1 Eq. 32. 29 dove l’apice “T” indica l’operazione di trasposizione, la rotazione di coordinate trasforma il legame elastico nella seguente forma:

XY

YY

XXT

XY

YY

XX

TQT

1

Eq. 32. 30 L’Eq. 32. 30 consente di definire la matrice di rigidezza ruotata del materiale elastico ortotropo.

TTQT

QQQ

QQQ

QQQ

Q

1

666261

262221

161211

Eq. 32. 31

Gli indici utilizzati per le componenti di Q , (1,2,6), si

riferiscono alla posizione delle corrispondenti componenti di sforzo e deformazione nel legame completo, in presenza di sforzi nel piano e fuori dal piano.

Invertendo la matrice Q si ottiene la matrice di

flessibilità S , in coordinate ruotate:

666261

262221

161211

11

SSS

SSS

SSS

S

TSTTQTQS TT

Eq. 32. 32 Le matrici di rigidezza e flessibilità in coordinate ruotate esprimono il legame sforzi-deformazioni nel nuovo sistema di riferimento:


15

XY

YY

XX

XY

YY

XX

XY

YY

XX

XY

YY

XX

SQ

;

Eq. 32. 33 In base al legame espresso in Eq. 32. 33 e alla forma della matrice di flessibilità indicata in Eq. 32. 32, l’applicazione di sforzi assiali in direzione X e Y provoca deformazioni assiali in direzioni X e Y che possono essere caratterizzate da rigidezze EX e EY e da coefficienti di Poisson vXY e vYX. Tali rigidezze possono essere messe in relazione con i termini della matrice di flessibilità come riportato in Eq. 32. 34, dove si è anche considerato che, per l’esistenza del potenziale elastico, le matrici di flessibilità (e rigidezza) devono comunque essere simmetriche anche in coordinate ruotate.

YX

YX

Y

XY

X

ESS

E

vS

SE

vS

ES

1

1

221221

211211

Eq. 32. 34 Analogamente, è possibile definire un modulo di rigidezza a taglio GXY in coordinate ruotate, tale che:

XYGS

166

Eq. 32. 35 Tuttavia, a differenza di quanto accade nel sistema di riferimento degli assi lamina, le matrici nel generico sistema di riferimento possono essere piene. In generale sono pertanto presenti degli accoppiamenti fra sforzi assiali e deformazioni a taglio (e viceversa) che le simmetrie del materiale ortotropo avevano permesso di escludere, in assi materiale, in base alle considerazioni riportate nel par. 32.4.1. Per caratterizzare tali accoppiamenti, si possono introdurre i quattro coefficienti di mutua influenza X-

XY, XY-X, Y-XY e XY-Y con espressione:

YY

XYYXY

XY

YYXYY

XX

XYXXY

XY

XXXYX

Eq. 32. 36 I due coefficienti X-XY e Y-XY si riferiscono, rispettivamente, alla deformazione assiale in direzione X e Y dovuta a uno sforzo di taglio, che provoca uno scorrimento XY. Viceversa, i due coefficienti XY-X e XY-Y caratterizzano lo scorrimento XY rispettivamente

originato da sforzi assiali tali da produrre deformazioni XX e YY nelle direzioni di applicazione dello sforzo. Con l’introduzione dei coefficienti di mutua influenza, i termini che introducono gli accoppiamenti fra deformazioni assiali e sforzi di taglio della matrice di flessibilità possono essere espressi nel modo seguente:

YY

YXY

XY

XYY

XX

XXY

XY

XYX

ES

GS

ES

GS

6126

6116

Eq. 32. 37 In base alle leggi di trasformazioni indicate in Eq. 32. 32, alla definizione della matrice [T] in Eq. 32. 22 e ai legami riportati in Eq. 32. 34, Eq. 32. 35 e Eq. 32. 37, si possono ricavare le espressioni per le rigidezze e i coefficienti di Poisson nel generico sistema di riferimento, in funzione delle proprietà del materiale in assi lamina:

44

22

4224

22

44

4224

cossin1

cossin1422

21

sin1

cossin21

sin11

cossin111

cossin

sin1

cossin21

cos11

xy

xyx

xy

yxXY

Yx

xy

xyxY

xyyx

x

xyXXY

xx

xy

xyxX

G

GE

v

EEG

EE

v

GEE

GEE

E

vEv

EE

v

GEE

Eq. 32. 38 32.4.5 Variazione delle proprietà elastiche con la direzione nel piano delle lamine per alcuni materiali L’Eq. 32. 38 consente di valutare come le rigidezze estensionali e a taglio ed i coefficienti di Poisson variano nel piano della lamina ortotropa. Gli andamenti, anche dal punto di vista qualitativo, dipendono dal tipo di materiale preso in considerazione. Per tale motivo si considereranno i valori tipici di tre tipi di materiali compositi con rinforzo a fibre continue: un unidirezionale in carbonio (alta resistenza), un tessuto in carbonio (alta resistenza) e un unidirezionale in fibra di vetro S. Le costanti ingegneristiche considerate per tali materiali sono riportate in Tabella 32. 2. I valori sono rappresentativi di materiali compositi a matrice epossidica utilizzati nell’industria aerospaziale. Si osservi come l’unidirezionale in fibra


16

di carbonio presenta il valore massimo di modulo elastico nella direzione delle fibre di rinforzo e un coefficiente di Poisson simile a quello dei materiali isotropi metallici. Il modulo elastico nella direzione perpendicolare alle fibre e il modulo di rigidezza a taglio sono molto inferiori. Per l’unidirezionale in fibra di vetro, la rigidezza nella direzione delle fibre di rinforzo è molto minore rispetto a quella del materiale con rinforzo in carbonio. Anche in questo caso, comunque, la rigidezza nella direzionale perpendicolare alle fibre e la rigidezza a taglio è sensibilmente inferiore. Il paragrafo successivo, dedicato alla stima delle caratteristiche del composito dalle proprietà delle fasi costituenti, giustificherà i motivi di queste differenze. Il tessuto con rinforzo in fibra di carbonio presenta un modulo elastico minore della metà dell’unidirezionale in carbonio. In un materiale di questo tipo, infatti, metà delle fibre è orientata in una direzione e metà nell’altra. Inoltre, l’architettura della lamina richiede di abbassare il contenuto totale delle fibre rispetto ai livelli raggiungibili negli unidirezionali, per permettere alla matrice di bagnare tutte le fibre e ottenere un materiale compatto e senza porosità. Il tessuto, comunque, presenta l’evidente vantaggio di possedere due direzioni a elevata rigidezza, mentre il modulo di rigidezza a taglio rimane comunque basso. Il coefficiente di Poisson è molto piccolo: infatti, sollecitando il materiale a trazione in una direzione di rinforzo, le fibre nell’altra direzione si oppongono con la loro rigidezza elevata alla contrazione. Per questo motivo le deformazioni trasversali sono molto limitate ed i coefficienti di Poisson piccoli e sensibilmente differenti da quelli dei materiali isotropi di comune utilizzo strutturale. Tabella 32. 2 – Proprietà tipiche di lamine con rinforzo a fibre continue e matrice epossidica

Fibre di rinforzo

Struttura lamina

Exx (MPa)

Eyy (MPa)

Gxy (MPa)

vyx (-)

Carbonio (alta

resistenza) UD 150000 10000 4500 0.3

Carbonio (alta

resistenza) Tessuto 60000 60000 4500 0.05

Vetro S UD 46000 13000 5000 0.24

L’applicazione della prima delle relazioni in Eq. 32. 38 ai tre materiali considerati in Tabella 32. 2, consente di ottenere il grafico riportato in Figura 32. 19. Si osservi come il modulo elastico decresca abbastanza rapidamente con allontanandosi dalla direzione di rinforzo. Per gli unidirezionali il modulo raggiunge valori prossimi a quelli di Eyy già con angoli di 40°50°. Per =90° le direzioni x e y si scambiano ed il modulo EXX tende al modulo Eyy che caratterizza le direzione perpendicolare alle fibre. Il modulo di rigidezza del tessuto raggiunge un minimo in corrispondenza di 45° per poi risalire, a causa della presenza delle fibre nell’altra direzione. Gli andamenti

per i moduli EYY sono immediatamente ricavabili considerando un angolo ’=90-.

Figura 32. 19 – Andamento del modulo elastico EXX con la direzione del piano della lamina

La Figura 32. 20 riporta il risultato dell’applicazione dell’ultima relazione in Eq. 32. 38, relativa ai moduli di rigidezza a taglio, ai tre materiali considerati. I valori massimi per il modulo di rigidezza a taglio si ottengono sempre in prossimità di =45°, poiché, per tale direzione, è massimo il contributo delle fibre alla rigidezza a taglio. Nel tessuto, che presenta fibre in due direzioni, l’effetto è amplificato e le rigidezze a taglio ottenute sono molto elevate. Si osservi, tuttavia, che questo effetto è ottenibile anche avendo a disposizione due lamine unidirezionali, sovrapposte con direzioni +45° e -45° rispetto al sistema di riferimento considerato.

Figura 32. 20 – Andamento del modulo di rigidezza a taglio GXY con la direzione del piano della lamina

Infine, la Figura 32. 21 indica l’andamento con la direzione del coefficiente di Poisson, cioè del rapporto fra la contrazione in direzione Y causata dall’applicazione di un carico in direzione X. Il grafico è ottenuto applicando la seconda relazione in in Eq. 32. 38 ai tre materiali considerati. E’ evidente la notevole variabilità dei coefficienti, in particolare per il tessuto che può raggiungere, come anticipato al par. 32.4.2, valori superiori a 0.5.


17

Figura 32. 21 – Andamento del coefficiente di Poisson vYX con la direzione nel piano della lamina

32.5 Approccio micromeccanico alla rigidezza dei materiali compositi 32.5.1 Introduzione all’approccio micromeccanico Nei precedenti paragrafi la lamina di materiale composito è stata considerata un materiale omogeneo e ortotropo. Tale approccio ha permesso di sviluppare formulazioni analitiche che consentono di modellare le caratteristiche meccaniche della lamina in ambito lineare ed elastico. L’omogeneità comporta che le proprietà elastiche del composito non sono state considerabili variabili da punto a punto ma costanti nel volume occupato dal materiale. L’ortotropia, un caso speciale di anisotropia, conferisce al materiale composito una variazione delle proprietà elastiche con la direzione considerata: il materiale, sempre omogeneo, potrà essere più rigido in una direzione piuttosto che in un'altra. In realtà, l’ortotropia dei materiali compositi è originata dalla presenza delle fibre e, in ultima analisi, dalla disomogeneità del materiale. Se, tuttavia, il materiale è descritto a una scala strutturale sufficientemente grande, gli effetti della disomogeneità sulla rigidezza potranno essere completamente compresi in un modello di materiale elastico-lineare ortotropo. Tale operazione è definita omogeneizzazione del materiale e si basa, formalmente, sull’individuazione di un legame fra gli sforzi e le deformazioni medi, agenti in volume disomogeneo di materiale. L’omogeneizzazione traduce la presenza delle fibre negli elevati coefficienti di rigidezza nelle direzioni di rinforzo e descrive le limitate proprietà della fase matrice mediante i relativamente bassi valori di rigidezza nelle direzioni trasversali e taglio. Il modello ortotropo risultante è in grado di predire le caratteristiche di rigidezza al variare della direzione con notevole accuratezza. Tuttavia, per applicare il modello, le proprietà in assi lamina devono essere state precedentemente misurate. Il materiale composito deve essere stato prodotto, e devono essere stati realizzati i provini che, mediante opportune procedure sperimentali, consentono la misura delle proprietà del materiale in assi lamina.

L’approccio finora seguito, che è generalmente chiamato approccio macromeccanico, non è in grado, infatti, di stimare le proprietà elastiche del composito da quelle dei costituenti. Tale stima è invece di notevole interesse, sia dal punto di vista teorico, per comprendere l’origine delle proprietà dei materiali compositi, sia da un punto di vista applicativo, poiché consente di progettare il materiale composito in modo che possa svolgere al meglio le funzioni strutturali richieste. L’approccio micromeccanico allo studio dei materiali composito ha, fra i principali obiettivi, la stima delle proprietà elastiche di una lamina in materiale composito a partire dalla sua composizione e dalle proprietà delle fasi costituenti. Nel presente paragrafo, uno dei più semplici approcci micromeccanici, basato su una serie di ipotesi semplificative, sarà applicato per valutare le proprietà elastiche in assi lamina di una lamina di composito con rinforzo unidirezionale a fibre continue. Come affermato, la micromeccanica considera il materiale composito a una scala di osservazione più piccola di quella alla quale il materiale può essere considerato omogeneo. A tale scala, gli stati di sforzo e deformazione del materiale omogeneizzato, sono da considerarsi delle medie, eseguite in un volume di materiale , con caratteristiche e dimensioni adeguate. Nello specifico caso di un composito unidirezionale, con un'unica tipologia di fibre di rinforzo, inglobate in una matrice omogenea, il volume può essere considerato la somma dei sottovolumi occupati dalla fibra e dalla matrice:

mf Eq. 32. 39 Spezzando l’operazione di media nei due sottovolumi, f e m, è possibile definire i valori medi rappresentativi della deformazione e dello sforzo nella fibra e nella matrice. I passaggi dell’operazione sono riportati nella seguente equazione:

mm

ff

mmf

ff

mf

mf

mf

mdd

dd

dzyx

111

1

,,1

Eq. 32. 40 I passaggi riportati in Eq. 32. 40 possono essere replicati per lo stato di sforzo. Inoltre, l’Eq. 32. 40 permette di definire le frazioni volumetriche di fibra e matrice:

m

mf

f VV ;


18

Eq. 32. 41 Gli stati di sforzo e di deformazione che compaiono nel legame elastico ortotropo, valido per il materiale omogeneizzato, sono pertanto espressi in funzione degli sforzi medi agenti nella fase fibra e nella fase matrice attraverso le seguenti relazioni:

mmff

mmff

VV

VV

Eq. 32. 42 Le Eq. 32. 42 formalizzano l’operazione di omogeneizzazione nel volume . Affinché tale operazione sia fisicamente indicativa, tuttavia, il volume deve possedere determinate caratteristiche. Le proprietà elastiche del materiale ortotropo risultante dall’operazione di omogeneizzazione non devono variare con le dimensioni di . Ciò comporta che esiste una minima dimensione di che deve essere rappresentativa delle caratteristiche del materiale (morfologia, composizione e, conseguentemente, caratteristiche meccaniche). Tale minima dimensione del volume individua l’Elemento di Volume Rappresentativo del materiale (RVE). Ogni approccio micromeccanco, dunque, si basa sullo studio delle proprietà di un Elemento di Volume Rappresentativo. Attraverso diversi approcci, teorici o numerici, l’obiettivo dell’approccio è la valutazione delle proprietà dell’RVE sulla base delle leggi costitutive che rappresentano i legami fra gli sforzi e le deformazioni agenti nelle singole fasi. 32.5.2 Regola delle miscele per la determinazione della rigidezza nella direzione del rinforzo Alla base dell’approccio semplificato che sarà adottato per la stima delle caratteristica di rigidezze dei compositi, vi è la scelta di un RVE soggetto a una condizione di carico e una serie di ipotesi semplificative. Le ipotesi che saranno considerate per sviluppare le formulazioni saranno:

i) matrice isotropa, caratterizzata da un modulo elastico Em e un coefficiente di Poisson vm;

ii) fibre trasversalmente isotrope, con rigidezza assiale Ef

a, rigidezza trasversale Ef

t, rigidezza a taglio (per sforzi di taglio paralleli alla fibra) Gf

ta e coefficiente di Poisson vf

ta (che caratterizza la deformazione nella direzione trasversale della fibra per un allungamento in direzione assiale)

La determinazione del modulo elastico in direzione delle fibre di rinforzo considera l’elemento di volume rappresentativo riportato in Figura 32. 22, comprendente una porzione di lamina costituita da una

fibra, di lunghezza L, immersa nella matrice e soggetta a un carico assiale xx.

Figura 32. 22 – Elemento di volume rappresentativo per la determinazione di Exx

L’ipotesi semplificativa che è introdotta si riferisce allo stato di deformazione nelle due fasi, fibra e matrice, che sono poste in parallelo in questa configurazione. Si assume, infatti, che la deformazione media sia uguale nelle due fasi:

xxmxx

fxx

Eq. 32. 43 Tale ipotesi determina l’applicazione di un modello dove le due fasi, fibra e matrice, sono poste in parallelo, come schematizzato in Figura 32. 23

Figura 32. 23 - Disposizione in parallelo di fibra e matrice

Le leggi costitutive di fibra e matrice comportano che:

xxmm

xxmm

xx

xxf

af

xxf

afxx

EE

EE

Eq. 32. 44 Dove Ef

a ed Em rappresentano, rispettivamente, i

moduli di Young della fibra di rinforzo nella direzione assiale e della matrice. Si consideri una sezione trasversale della lamina di area A, e sia Af la frazione di area occupata dalle fibre e Am quella occupata dalla matrice. Lo sforzo unitario agente nella sezione della lamina di composito è:

A

AA mmxx

ffxx

xx

Eq. 32. 45 Occorre tuttavia considerare che, trattandosi di un composito con rinforzo a fibre continue, le frazioni di area equivalgono alle frazioni volumetriche. Pertanto, sostituendo le Eq. 32. 44 nella Eq. 32. 45 si ha:


19

xxmmf

afm

xxmf

xxf

xx EVEVVV

Eq. 32. 46 L’Eq. 32. 46 consente di stimare il valore del modulo elastico del composito con la seguente espressione, che è nota con il nome di regola delle miscele:

mmfa

fxx EVEVE

Eq. 32. 47 La Figura 32. 24 mostra l’andamento di Exx in funzione della frazione volumetrica Vf. In base alla regola delle miscele si ottiene una retta che parte dal valore di rigidezza della matrice, per Vf = 0 e giunge al valore delle fibre per Vf = 1. Si consideri che, nei materiali reali, la frazione volumetrica di fibra in un unidirezionali non può superare eccessivamente il 60%, per garantire che tutte le fibre siano bagnate dalla resina.

Figura 32. 24 – Andamento del modulo in direzione delle fibre con la frazione volumetrica delle fibre

Nonostante la sua semplicità, l’accuratezza della regola delle miscele è più che adeguata a una prima stima delle caratteristiche del composito, sebbene si possa dimostrare che essa fornisce un limite superiore alle rigidezze del composito. Si può anche osservare che, ipotizzando Ef

a >> Em la regola delle miscele indica che la rigidezza in direzione delle fibre di rinforzo è essenzialmente determinata dalla rigidezze delle fibre stesse. Infatti:

ffaff

a

mmff

a VEVE

VEVEE

1

Eq. 32. 48 L’Eq. 32. 48 indica dunque che la rigidezza Exx è una proprietà dominata dalla fibre. 32.5.3 Determinazione delle rigidezze trasversali, a taglio e dei coefficienti di Poisson L’elemento di volume rappresentativo che può essere considerato per il calcolo del modulo del composito nella direzione trasversale alle fibre è mostrato in Figura 32. 25. L’RVE è simile a quello usato per Exx,

ma agisce uno sforzo trasversale, yy su una porzione di larghezza w.

Figura 32. 25 – Elemento di volume rappresentativo per la determinazione di Eyy

In questo caso l’ipotesi semplificativa è relativa agli sforzi. Infatti, lo sforzo dovrà trasferirsi dalla fibra alla matrice attraverso l’interfaccia e, per ragioni di equilibrio, è ragionevole ipotizzare:

yymyy

fyy

Eq. 32. 49 Il modello adottato, pertanto, è schematizzabile come un sistema in serie, come illustrato in Figura 32. 26.

Figura 32. 26 – Disposizione in serie di fibra e matrice

La deformazione complessiva dell’RVE in direzione y è dovuta ad un allungamento w che è da attribuirsi in parte alla fibra e in parte alla matrice.

mm

mf

f

fmf w

w

ww

w

wwww

Eq. 32. 50 Le frazioni di lunghezza trasversale wf e wm occupate dai volumi di fibra e matrice possono essere espresse in funzione delle frazioni volumetriche:

mm

ff

Vw

wV

w

w ;

Eq. 32. 51 Considerando che, in generale, yy = w/w, si ottiene, dividendo per w l’Eq. 32. 50:

fmyy

ffyyyy

m

m

mf

f

fmf

VV

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

Eq. 32. 52 Si possono quindi applicare le leggi costitutive di fibra e matrice, ricordando l’ipotesi semplificativa sugli sforzi espressa in Eq. 32. 49.


20

yymmyym

myy

yyft

fyyf

t

fyy

EE

EE

11

11

Eq. 32. 53 Si deve inoltre considerare che, nella condizione di carico uniassiale ipotizzata, si ha, a livello dell’intero composito:

yyyy E 1

Eq. 32. 54 Sostituendo l’Eq. 32. 53 e l’Eq. 32. 54 nell’Eq. 32. 52, si ottiene:

yymft

f

yyyy E

Vm

E

V

E

1

Eq. 32. 55 La relazione ottenuta permette l’individuazione di un’espressione per la rigidezza trasversale del composito:

ft

mmf

mft

m

m

ft

fyy

EVEV

EE

E

V

E

VE

1

Eq. 32. 56 La Figura 32. 27 riporta le curve di variazione del rapporto Eyy/Em.

Figura 32. 27 – Variazione del rapporto fra Eyy e Em al variare della frazione volumetrica delle fibre

Si osservi che le curve dipendono dal rapporto fra la rigidezza delle fibre e quella della matrice. Tipicamente la rigidezza trasversale delle fibre è più elevata di quella delle fibre, ma a differenza del caso della rigidezza nella direzione del rinforzo, non è possibile elevare oltre certi limiti la rigidezza del

composito in direzione trasversale, anche disponendo di fibre con rigidezza trasversale molto elevata. Infatti, assumento Ef

t >>Em, si può approssimare l’espressione della rigidezza nel seguente modo:

m

m

mff

t

m

m

ft

mmf

mft

yyV

E

VVE

E

E

EVEV

EEE

Eq. 32. 57 La rigidezza trasversale, pertanto, non può superare il limite dato dalla rigidezze della fase più cedevole amplificata del fattore 1/Vm. Si tratta pertanto di una proprietà dominata dalla fase matrice e la presenza del rinforzo può aumentarla ma non modificarla radicalmente. La determinazione del modulo di rigidezza a taglio del composito, Gxy, può considerare un elemento di volume rappresentativo in cui matrice e fibra sono in poste serie, rappresentato in Figura 32. 28.

Figura 32. 28 – Elemento di volume rappresentativo per la determinazione di Gxy

La Figura 32. 28-A mostra la condizione di carico considerata, caratterizzata da uno sforzo di taglio xy, che origina, nel composito uno scorrimento xy, tale che:

xy

xyxy G

Eq. 32. 58 In modo analogo allo sforzo normale trasversale, lo sforzo di taglio deve trasferirsi dalla fibra alla matrice ed è ragionevole supporre che esso sia uguale nelle due fasi. L’ipotesi semplificativa per sviluppare l’approccio micormeccanico è pertanto relativa agli sforzi:

xymxy

fxy

Eq. 32. 59 Lo scorrimento originato dall’applicazione dello sforzo di taglio è pari al rapporto fra lo spostamento , in direzione x, mostrato in Figura 32. 28-B, e la larghezza del volume rappresentativo w. Come illustrato in Figura 32. 28-B, lo spostamento può essere considerato come la somma dei due spostamenti nelle due fasi.

A B


21

mm

mf

f

fmf w

ww

w

Eq. 32. 60 Considerando che, in generale, = /w, e che le frazioni di lunghezza trasversale wf e wm possono essere espresse in funzione delle frazioni volumetriche, come già formalizzato in Eq. 32. 51, l’Eq. 32. 60 può essere rielaborata come:

mmxy

ffxyxy VV

w

Eq. 32. 61 Introducendo le leggi costitutive per la fibra e la matrice e l’ipotesi semplificativa sugli sforzi, si ha:

xym

m

fta

f

mm

mxyf

fta

fxy

xy

xyxy

G

V

G

V

VG

VGG

Eq. 32. 62 Con passaggi analoghi a quelli effettuati per il modulo di rigidezza in direzione trasversale, l’Eq. 32. 62 conduce al seguente risultato:

fta

mmf

mfta

m

m

fta

fxy GVGV

GG

GV

GV

G

1

Eq. 32. 63 Anche nel caso del modulo di rigidezza a taglio, pertanto, la proprietà elastica è dominata dalla fase matrice. L’approccio micromeccanico semplificato presentato in questi paragrafi è in grado di stimare anche i coefficienti di Poisson del materiale. In particolare, la trattazione si focalizza su vyx che caratterizza la deformazione in y dovuta all’applicazione di un carico in direzione x.

Figura 32. 29 – Elemento di volume rappresentativo per la determinazione di vxy L’elemento di volume rappresentativo utilizzato è illustrato in Figura 32. 29. L’elemento è soggetto a uno sforzo xx e si contrae in direzione y con uno

spostamento, w, di segno opposto a quello di xx, che può esprimersi come somma degli spostamenti trasversali nella fibra e nella matrice e messo in relazione con le deformazioni trasversali nelle due fasi, come formulato nella seguente equazione:

mmyy

ffyy

mm

nf

f

fmf

yy

ww

ww

ww

w

wwwww

Eq. 32. 64 Per esprimere il coefficiente di Poisson del composito in funzione di quelli delle fasi, le deformazioni yy vanno messe in relazione con xx, trasformando l’Eq. 32. 64 nel seguente modo:

mmxx

mffxx

ftaxxyx wvwvwv

Eq. 32. 65 In base all’elemento di volume rappresentativo e alla condizione di carico rappresentate in Figura 32. 29, è possibile introdurre l’ipotesi semplificativa sulle deformazioni affermando che le deformazioni in direzione xx sono identiche in tutte le fasi. Sotto questa ipotesi, analoga a quella adottata nel par. 32.5.3 per la determinazione di Exx, l’Eq. 32. 65 può essere elaborata nel modo seguente:

xxmmff

ta

xx

mm

ff

taxxyx

xxmmff

taxxyx

VvVv

w

wv

w

wvv

wvwvwv

Eq. 32. 66 dove le frazioni di lunghezza trasversale occupate da fibra e matrice sono state espresse in funzione delle frazioni volumetriche. L’espressione risultate del coefficiente di Poisson vyx è ottenuta in modo analogo alla regola delle miscele:

mmfftayx VvVvv

Eq. 32. 67 Il coefficiente di Poisson è pertanto una media pesata dei coefficienti di fase fibra e matrice. Bibliografia R. M. Jones, Mechanics of Composite Materials, Second Edition, Taylor & Francis, 1999 Dept. of Defense of United States of America, Composite Material Handobook, MIL-HDBK-17, 1997

MATERIALI COMPOSITI: LEGGE COSTITUTIVA ORTOTROPA · proprietà meccaniche del composito da quelle...

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