La legge di raffreddamento di Newton: determinazione della costante di raffreddamento

Obiettivo

Studiare il fenomeno del raffreddamento di un corpo caldo in un ambiente a temperatura costante proponendo un modello interpretativo. Descrivere i dati sperimentali determinando con procedure diverse il valore della costante di raffreddamento.

Materiale: contenitore di vetro; termometro digitale; orologio; fornello per riscaldare l’acqua

Acquisizione dati

Fatti dare dall’insegnante il contenitore con l’acqua calda, il termometro digitale e il cronometro.

Registra con il termometro digitale il valore della temperatura ambiente Ta.

Introduci il termometro nell’acqua calda ed aspetta fino a che la temperatura registrata, dopo essere inizialmente aumentata, incomincia a diminuire.

Fai allora partire il cronometro e registra in tabella la temperatura iniziale T.

Tempo

(minuti)

Temperatura

(gradi centigradi)

Modello scarto

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Ripeti le misure ad intervalli di 1 minuto, per una durata complessiva di 15 minuti, e registrale in tabella.

Costruzione del modello interpretativo

Innanzitutto sembra ragionevole supporre che per effetto degli scambi di calore fra l‘acqua contenuta nel bicchiere e l’ambiente circostante la temperatura di quest’ultimo resti praticamente costante pari cioè a Ta.

E’ inoltre ipotizzabile che le variazioni di temperatura registrate siano:

• proporzionali agli intervalli temporali d’osservazione Δt (scelti nel nostro caso pari a 1 minuto);

• proporzionali alle differenze di temperatura tra quella attuale T dell’acqua che si raffredda e la temperatura dell’ambiente Ta in cui si raffredda (T-Ta);

• tutti gli altri fattori che possono influenzare la rapidità con cui avviene il raffreddamento (natura del liquido che si raffredda, quantità di liquido, natura del contenitore) possono essere inglobati

in un unico fattore costante r (in quanto non cambiano durante il fenomeno) detto appunto costante di raffreddamento

Il fenomeno può essere descritto dalla cosiddetta legge di raffreddamento di Newton

ΔT = -r*(T-Ta) * Δt

con

r = costante di raffreddamento tipica del sistema considerato;

Δt = intervallo durante il quale vengono fatte le rilevazioni della temperatura

ΔT = variazioni della temperatura nell’intervallo di tempo Δt

T = temperatura attuale del liquido che si raffredda

Ta = temperatura costante dell’ambiente i cui avviene il raffreddamento

Costruisci il grafico dei tuoi dati sperimentali della temperatura al variare del tempo.

Determinazione del valore della costante di raffreddamento r a partire dai dati

Per la determinazione della costante di raffreddamento si possono seguire due procedure

1) Confronto delle rappresentazioni in forma grafica

Si tratta in questo caso di sovrapporre il Grafico 2 (ottenuto dal modello) al Grafico 1 (derivato dai dati sperimentali).

Poiché l’andamento del grafico da modello dipende dal valore della costante di raffreddamento potete variare r fino a che visivamente vi sembra che l’andamento della curva teorica riproduca adeguatamente i dati sperimentali.

Il valore di r per cui si ha l’accordo è quello determinato nel nostro esperimento

2) Analisi mediante test del Chi-quadro

Ricordate che il valore di r che meglio si adatta ai dati sperimentali può essere determinato utilizzando il test del Chi-quadro

χ2 = ∑115(Ok – Ak)2/(sdk)^2

dove:

Ok= le temperature misurate ad ogni minuto;

Ak= temperature ricavate da modello per un particolare valore di r

sdk = indeterminazione nelle misure che nel nostro caso essendo state fatte con il termometro digitale possiamo ragionevolmente assumere uguale per tutti i valori di k

Pertanto l’espressione da minimizzare (per la quale cioè trovare il valore di r che la rende minima, è molto semplicemente:

χ2 = ∑115(Ok – Ak)2

Per tentativi cambiate r fino a che le previsioni del modello non vi danno un ragionevole accordo per il tempo t = 15 minuti.