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Corso di Fisica 2

TERMOLOGIA

Prof. Andrea Danani

DTI- Dipartimento Tecnologie Innovative

LaMFI- Laboratorio di Matematica e Fisica applicata

Galleria 2, 6928 Manno

Anno accademico 2010-2011

markright 2

SUPSI-DTI Corso di Fisica 2 Prof. Andrea Danani

Indice

Indice 3

1 La temperatura 7

1.1 Equilibrio termico, termoscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 I termometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 La scala centigrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 La scala Fahrenheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.3 Tipi di termometri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Dilatazioni termiche 11

2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 La dilatazione termica lineare nei solidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.1 La legge fenomenologica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.2 La legge esatta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 La dilatazione termica superficiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Le dilatazioni cubiche nei solidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5 Le dilatazioni libere nei liquidi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 I fluidi 21

3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Densita e pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.1 La pressione nei fluidi in equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.2 Legge di Stevino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Misura della pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3.1 La pressione nei gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3.2 Barometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3.3 Manometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4 Principio di Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4.1 Dimostrazione del principio di Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.4.2 Il principio di Pascal e il martinetto idraulico . . . . . . . . . . . . . . 29

3.5 Il principio di Archimede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.6 Studio del moto in un fluido perfetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3

INDICE 4

3.6.1 Corpo totalmente immerso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.6.2 Corpo parzialmente immerso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.6.3 Un esempio: il corpo poggiato sulla superficie del fluido . . . . . . . . 35

3.7 Fluidi in movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.7.1 Equazione di continuita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.7.2 Equazione di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4 Il gas ideale 45

4.1 Le relazioni fra pressione, volume e temperatura in un gas . . . . . . . . . . . 45

4.2 Temperatura costante: la legge di Boyle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3 Pressione costante: la prima legge di Gay-Lussac . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.4 Volume costante: la seconda legge di Gay-Lussac . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.5 Il gas ideale e la temperatura assoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.6 L’equazione di stato del gas ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.6.1 Le leggi di Gay Lussac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.6.2 L’equazione di stato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.7 Interpretazione molecolare della temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.7.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.7.2 Pressione del gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.7.3 Energia cinetica e energia interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5 Accenni di termodinamica 59

5.1 Il calore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.1.1 Il calore specifico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.1.2 La capacita termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.2 Equilibrio termodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.3 Primo principio della termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.4 Lavoro di un gas e diagramma pV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.5 Bilancio energetico nelle trasformazioni principali . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.5.1 Trasformazione isoterma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.5.2 Trasformazione isocora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.5.3 Trasformazione isobara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.5.4 Trasformazione adiabatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.5.5 Variazione delle grandezze in una trasformazione reversibile . . . . . . 66

5.5.6 Calore specifico dei gas ideali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6 Il trasporto di calore 69

6.1 La conduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.1.1 La conduzione termica di una sbarra omogenea . . . . . . . . . . . . . 69

6.1.2 La conduzione termica di una parete stratificata . . . . . . . . . . . . 73

6.2 La convezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.3 L’irraggiamento termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81


INDICE 5

6.3.1 Teoria generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.3.2 Il calore solare e l’effetto serra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.3.3 Le emissioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.3.4 Cambiamenti climatici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

A Problemi 89


INDICE 6


Capitolo 1

La temperatura

1.1 Equilibrio termico, termoscopio

La sensazione di caldo o freddo basata sulle nostre sensazioni viene precisata con il concetto di

stato termico o temperatura. Per darne una definizione operativa, si sfruttano due fenomeni:

• se due corpi a temperatura diversa sono messi in contatto tra loro, raggiungono la stessa

temperatura (equilibrio termico)

• all’aumentare della temperatura ogni corpo si dilata

Su questi due principi si basa il termoscopio, uno strumento che trasforma la misura

della temperatura in una misura di volume mettendo in evidenza la differenza tra la sua

temperatura e quella di un oggetto con cui e posto a contatto. Quando il livello del liquido

contenuto al suo interno sale (scende), significa che la temperatura dell’oggetto e maggiore

(minore) di quella che aveva in precedenza il termoscopio. Invece se il livello non cambia,

l’oggetto e il termoscopio si trovano alla stessa temperatura.

Come esempio scegliamo un bulbo cavo di vetro riempito di mercurio e collegato a un

capillare, immerso in acqua a due differenti temperatura.

Figura 1.1:

7

1.2. I TERMOMETRI 8

Se immergiamo il bulbo nell’acqua calda in mezzo notiamo che il mercurio si dilata e

che il menisco raggiunge un livello piu alto di quello raggiunto quando il bulbo e posto

nell’acqua fredda (vedi Fig.1.1 a sinistra). A poco a poco l’acqua all’interno del bicchiere si

raffredda, quella all’esterno si riscalda: i due livelli del menisco si avvicinano. Se attendiamo

sufficientemente a lungo il menisco tende allo stesso livello dentro e fuori del bicchiere (Fig. 1.1

a destra): diciamo allora che e stato raggiunto l’equilibrio termico. All’equilibrio termico

in entrambi i materiali a contatto cessano tutti i fenomeni termici, come la dilatazione, i

cambiamenti di stato (per esempio, dallo stato liquido a quello solido) ecc.

Se ripetiamo l’esperienza con le stesse quantita di liquido, ma entrambe inizialmente piu

calde, il menisco, all’equilibrio termico, raggiunge un livello superiore. Si intuisce percio

l’esistenza di una proprieta che all’equilibrio termico e comune tanto all’acqua nel bicchiere

quanto a quella esterna, caratterizzata dalla posizione del menisco.

Tale proprieta si chiama temperatura. Essa e l’indice dello stato termico del sistema.

Piu esso e caldo e quindi piu il menisco si trova in alto, maggiore, diciamo, e la temperatura.

1.2 I termometri

1.2.1 La scala centigrada

Per misurare la temperatura, cioe per esprimere questa grandezza con un numero, e neces-

sario perfezionare il termoscopio aggiungendogli una scala termometrica. Essa consiste in

una temperatura di riferimento, costante e facilmente riproducibile, da assumere come tem-

peratura zero, e in un’unita di misura. Un termoscopio munito di questa scala diventa un

termometro e possiamo dire che la temperatura e quella grandezza fisica che si misura

mediante un termometro. Essendo definita da un numero, la temperatura e una grandezza

scalare.

Come temperatura zero si e scelta inizialmente la temperatura del ghiaccio fondente,

quando la pressione e normale (760 mm/Hg). Per definire in modo operativo questo valore

zero si prende un termoscopio, per esempio a mercurio, e lo si immerge in un miscuglio di

acqua e ghiaccio. L’equilibrio termico definisce lo 0 in corrispondenza del livello a cui si e

fermato il mercurio. Poi, per fissare l’unita di misura delle temperature, si mette questo stesso

termoscopio nei vapori che si sprigionano dall’acqua bollente (sempre alla pressione di 760

mm/Hg) e si segna 100 (cento) in corrispondenza del nuovo livello raggiunto dal mercurio. Si

divide poi in 100 parti eguali la distanza lungo il cannello di vetro compresa tra i due punti fissi

(0 e 100) che corrispondono alla fusione del ghiaccio e all’ebollizione dell’acqua. Abbiamo cosı

fissato lo zero della scala delle temperature (temperatura del ghiaccio fondente) e il dislivello

unitario di temperatura (centesima parte del dislivello tra i due punti fissi), chiamato grado

Celsius ( ℃). La scala centigrada viene estesa al di sopra dei 100 ℃ e al di sotto di 0 ℃: le

temperature superiori a quella in cui fonde il ghiaccio sono espresse da numeri positivi, quelle

inferiori da numeri negativi.

Nel Sistema Internazionale la temperatura si misura in gradi Kelvin (K). Questa unita

di misura ha un valore uguale al grado Celsius, ma la temperatura del punto di fusione


1.2. I TERMOMETRI 9

del ghiaccio (0 ℃) corrisponde a 273, 15 K, mentre la temperatura del punto di ebollizione

dell’acqua (100 ℃) corrisponde a 373, 15 K. In seguito illustreremo per quale ragione e stata

introdotta questa nuova scala di temperatura.

1.2.2 La scala Fahrenheit

Fahrenheit e una scala di temperatura cosı chiamata in onore del fisico tedesco Gabriel

Fahrenheit, che la propose nel 1724. E’ tutt’ora in uso negli Stati Uniti d’America e in alcuni

altri paesi anglosassoni.

In questa scala, il punto di congelamento dell’acqua e di 32 gradi Fahrenheit, mentre

il punto di ebollizione si trova a 212 gradi, suddividendo cosı i due estremi in 180 gradi.

L’unita di questa scala, il grado Fahrenheit (o F) e 5/9 di un kelvin (e quindi anche di un

grado Celsius). Per trasformare i gradi Fahrenheit in gradi Celsius, la formula da usare e

quindi la seguente:

℃ =5

9(oF− 32) . (1.1)

Fahrenheit stabilı che il punto zero della sua scala (0oF) doveva essere la temperatura alla

quale un’uguale mistura di ghiaccio e sale si scioglie (alcuni sostengono che prese la mistura

fissa dei due che produceva la temperatura piu bassa). Fisso inoltre il punto di 96oF alla

temperatura del sangue, usando inizialmente del sangue di cavallo. La sua scala conteneva

originariamente solo 12 suddivisioni, ma in seguito divise ognuna di queste in 8, dando cosı

un totale di 96 suddivisioni. Osservo successivamente che l’acqua congelava a 32oF e bolliva

a 212oF.

La scala Fahrenheit risulta comoda per i bollettini meteorologici. Infatti, siccome l’unita

di misura e i 5/9 di un grado Celsius, se si vuole evitare di ricorrere alle cifre decimali, il valore

Fahrenheit e piu preciso del valore Celsius. Inoltre, la temperatura dell’aria al suolo nella

maggior parte delle aree abitate del pianeta tende a rimanere tra 0oF e 100oF: percio, la scala

Fahrenheit permette di indicare la temperatura con due sole cifre senza bisogno del segno.

Come curiosita , aggiungiamo inoltre che i congelatori sono normalmente impostati a −18 ℃perche corrispondono a 0oF (pari a −17.78 ℃) e che la carta brucia a 451oF (232.78 ℃), da

cui il motivo del titolo del famoso romanzo di Ray Bradbury Fahrenheit 451.

1.2.3 Tipi di termometri.

Le proprieta fisiche sfruttate nella costruzione di termometri abbracciano diversi campi della

fisica. Proprieta termo-meccaniche vengono sfruttate nei termometri a mercurio, alcool,

toluolo, pentano, gas e nei termometri bimetallici; quelle termoelettriche nei termometri a

resistenza e a coppia termoelettrica; quelle termo-ottiche nei pirometri. Gli intervalli di

temperatura in cui generalmente sono impiegati alcuni tipi di termometro si possono leggere

dalla Tab.(1.1). Si usa spesso il mercurio come liquido termometrico perche consente di

misurare un intervallo di temperature piuttosto ampio. Il limite inferiore e costituito dalla

temperatura di fusione del mercurio (−38 ℃), al di sotto della quale la sostanza diventa solida,


1.2. I TERMOMETRI 10

quello superiore dalla sua temperatura di ebollizione (350 ℃). Per misurare temperature piu

basse si usano l’alcol etilico, il pentano, il toluolo e altri liquidi. Il pentano, per esempio,

consente di misurare temperature fino a circa −200 ℃. Temperature basse si misurano anche

con termometri a effetto termoelettrico o a resistenza elettrica.

I requisiti di un termometro e cioe la sensibilita, la prontezza e la precisione potranno

essere discussi solo dopo avere trattato la calorimetria e la trasmissione del calore.

Tipo Minima Massima

termometri a mercurio -40 750

termometri bimetallici -50 1000

termometri a resistenza -250 1250

termometri a coppia termoelettrica -200 2000

termometri ad alcool -115 135

termometri a toluolo -90 200

termometri a pentano -200 40

termometri a gas (poco usati) -250 1000

pirometri a infrarossi 300 > 2000

Tabella 1.1: Intervalli d’applicazione dei termometri (in ℃)


Capitolo 2

Dilatazioni termiche

2.1 Introduzione

Elevando la temperatura molte sostanze solide, entro determinati limiti, si dilatano. Per

le sostanze omogenee isotrope (cioe che godono delle stesse proprieta in ogni punto ed

in tutte le direzioni) l’esperienza mostra che la dilatazione libera (cioe non ostacolata) di

ogni dimensione geometrica e direttamente proporzionale alla dimensione stessa. Un solido

scaldato omogeneamente rimane percio simile a se stesso. Una piastra di metallo con un

foro ad esempio (3.8) mantiene inalterate le proprie proporzioni; la superficie del foro in

particolare aumenta e la sua presenza non influenza il cambiamento di volume del resto della

piastra.

Figura 2.1:

La dilatazione termica dei materiali crea seri inconvenienti in molte applicazioni tecnolo-

giche. Per esempio, nella progettazione di macchinari, edifici, ponti occorre lasciare adeguati

spazi liberi tra i diversi componenti, affinche i materiali (soprattutto i metalli) possano di-

latarsi, senza deformare la struttura. Al fenomeno della dilatazione termica e dovuto anche

il fatto che gli oggetti di vetro si rompono, se vengono riscaldati in modo non uniforme. Se,

per esempio si mette un bicchiere sulla fiamma del gas, il suo fondo si riscalda, e quindi si

dilata, piu della parte superiore, ed il vetro si rompe; ma se, invece, si riscalda il bicchiere

gradualmente ed in modo uniforme, in un bagno di acqua, esso non si rompe perche tutte le

11

2.2. LA DILATAZIONE TERMICA LINEARE NEI SOLIDI 12

sue parti si dilatano ugualmente. I vetri speciali, come il pyrex, usati per le pentole resistenti

al fuoco, sono caratterizzati da coefficienti di dilatazione termica minori di quello del vetro

comune.

Figura 2.2: Dilatazione termica: qualche effetto spiacevole

2.2 La dilatazione termica lineare nei solidi

2.2.1 La legge fenomenologica

Se il solido possiede una dimensione geometrica preponderante (ad es. un tubo, una trave

o una rotaia) e interessante studiarne il suo cambiamento con il mutare della temperatura.

Naturalmente il solido si dilata anche nelle due altre dimensioni, ma di regola questi allun-

gamenti sono trascurabili. L’allungamento di tubi metallici si puo misurare mediante un

dilatometro (2.3).

Riscaldando la sbarra metallica, la sua estremita libera si sposta e spinge un indice che

ruota su una scala graduata. Si puo cosı misurare come varia la lunghezza della sbarra

all’aumentare della temperatura.

Se facciamo un grafico dell’allungamento ∆` in funzione della temperatura ϑ a partire

dalla lunghezza iniziale `0, corrispondente alla temperatura iniziale ϑ0 otteniamo, per un dato

materiale l’andamento lineare come in Fig. (2.4).

Dal grafico deduciamo che l’allungamento ∆` e proporzionale all’aumento di temperatura

∆ϑ. Simbolicamente scriviamo quindi

∆` ∼ ∆ϑ. (2.1)



Figura 2.3: L’allungamento di tubi metallici si puo misurare mediante un dilatometro

Figura 2.4: Andamento lineare di ∆` in funzione di ∆ϑ



Ripetendo l’esperienza con un altro materiale otteniamo ancora un grafico analogo a quello

di Fig.2.4 ma con un’altra pendenza (vedi Fig.2.5).

Figura 2.5: Il materiale fa cambiare la pendenza del grafico ∆` = f(∆ϑ)

Tenendo conto che, da quanto visto prima, l’allungamento, a parita di materiale e di au-

mento di temperatura ∆ϑ, e anche proporzionale alla lunghezza iniziale `0, possiamo scrivere

con la (2.1)

∆` = α`0∆ϑ, (2.2)

dove il coefficiente di proporzionalita α viene detto coefficiente di dilatazione lineare

e dipende dal materiale considerato. La sua unita di misura puo essere determinata dalla

relazione (2.2):

[α] =[∆`]

[`0] · [∆ϑ]= ℃−1,

dove le parentesi quadre indicano l’unita di misura della grandezza fisica fra esse racchiusa.

La formula (2.2) viene generalmente riscritta nella forma seguente:

`(ϑ) = `0(1 + α∆ϑ) (2.3)

dove `0 = `(ϑ0), e viene detta legge della dilatazione lineare. La legge (2.3) e una legge

fenomenologica e descrive accuratamente il fenomeno della dilatazione lineare solo in certi

intervalli di temperatura e per valori di α sufficientemente piccoli.

2.2.2 La legge esatta

La formula (2.2) si puo riscrivere anche come:

∆`

`= α∆ϑ, (2.4)



che indica che l’aumento percentuale della lunghezza e proporzionale all’aumento della tem-

peratura. La formula lineare non tiene pero conto del fatto che la lunghezza aumenta in

continuazione durante il riscaldamento. Come fare?

Per avere un’approssimazione migliore, dividiamo l’intervallo ∆ϑ in n intervalli di lun-

ghezza τ = ∆ϑ/n, e applichiamo la legge della dilatazione per n volte consecutive. Al primo

allungamento, si ottiene:

∆`1 = `0 α τ ⇒ `1 = `0 (1 + ατ) (2.5)

e generalizzando si ha che:

`n = `n−1(1 + ατ) = `n−2(1 + ατ)2 = · · · = `0 (1 + ατ)n (2.6)

Si dimostra in matematica che il limite di (1 + a/n)n per n → ∞ e uguale a ea dove

il numero e = 2.71828... e la base dei logaritmi naturali. Percio , ponendo a = α∆ϑ e

∆ϑ = ϑ− ϑ0, si ottiene:

`f (ϑ) = limn→∞

`n = `0eα∆ϑ = `0eα(ϑ−ϑ0) (2.7)

Lo sviluppo in serie della funzione esponenziale in (2.7) fornisce 1:

`fin(ϑ) = `0 (1 + α∆ϑ+1

2(α∆ϑ)2 + . . . ) (2.8)

per cui se la grandezza α∆ϑ e inferiore a circa 10−2, l’approssimazione lineare e sufficiente.

Si osserva quindi che se si compiono misure su intervalli di temperatura molto grandi (ad es.

500 ℃), la curva di dilatazione non e piu una retta. Cio accade in modo marcato per l’invar,

una lega metallica a bassissimo coefficiente di dilatazione (Fig.2.6).

Figura 2.6: Su intervalli di temperatura molto grandi, la curva di dilatazione non e piu una

retta

In Fig.2.4 e riprodotta solo una piccola parte del grafico di Fig.2.6. Per questo motivo

in essa la curvatura non e percettibile ed il grafico risulta essere una retta. Per lo stesso

1ex = 1 + x+ x2/2 + x3/6 + . . .


2.3. LA DILATAZIONE TERMICA SUPERFICIALE 16

motivo le tabelle indicano spesso in che intervallo di temperatura e stato misurato α, se si

vuole utilizzare la formula lineare (2.3); il valore indicato e da interpretare allora quale valore

medio nell’intervallo di temperatura considerato. Nella tabella (2.1) sono riprodotti i valori

medi di α per alcuni materiali allo stato solido.

Materiale (˚C−1)

alluminio 23,8.10−6

ottone 18,5.10−6

rame 16,5.10−6

acciaio 11,7.10−6

calcestruzzo 12.10−6

supra-invar 0,5.10−6

polistirolo 75.10−6

PVC 80.10−6

vetro di Jena G20 4,8.10−6

Tabella 2.1: Valori medi di α nell’intervallo di temperatura fra 0 e 100 ℃.

2.3 La dilatazione termica superficiale

Consideriamo una piastra metallica rettangolare (Fig.2.7) di dimensioni `0 e h0 alla tempe-

ratura ϑ0. La sua superficie e A0 = `0 · h0.

Figura 2.7: Dilatazione superficiale di una piastra

La nuova superficie A che si ottiene portando la piastra alla temperatura ϑ puo essere

facilmente calcolata, tenendo presente che la dilatazione in un materiale isotropo e omogeneo

non dipende dalla direzione considerata. Le nuove dimensioni nelle due direzioni dopo la

dilatazione sono:

` = `0 + ∆` = `0 (1 + α∆ϑ) , h = h0 + ∆h = h0 (1 + α∆ϑ) . (2.9)


2.4. LE DILATAZIONI CUBICHE NEI SOLIDI 17

La nuova area della superficie diventa percio

A = ` · h = `0 (1 + α∆ϑ)h0 (1 + α∆ϑ) = `0h0

(1 + 2α∆ϑ+ α2∆ϑ2

), (2.10)

e quindi la variazione di superficie ∆A = A−A0 vale

∆A = αA0∆ϑ (2 + α∆ϑ) . (2.11)

Con la legge esatta si ottiene invece:

A(ϑ) = ` · h = `0eα∆ϑ · h0eα∆ϑ = A0e2α∆ϑ = A0(1 + 2α∆ϑ+ 2α2∆ϑ2 + . . . ) (2.12)

In precedenza avevamo gia stimato l’ordine di grandezza del termine α∆ϑ, che valeva

grosso modo 10−3 per i metalli, considerando una variazione di temperatura di circa 102 oC.

Ne consegue che il secondo termine nelle parentesi delle due equazioni (2.11) e (2.12) e molto

piu piccolo del primo e puo essere trascurato. E quindi lecito scrivere

∆A = 2αA0∆ϑ . (2.13)

La formula (2.13) e analoga alla (2.2) per le dilatazioni lineari.

Il coefficiente di dilatazione superficiale e quindi il doppio di quello di dilatazione

lineare.

2.4 Le dilatazioni cubiche nei solidi

Per le dilatazioni cubiche dei solidi si ha analogamente alla (2.13)

∆V = 3αV0∆ϑ , (2.14)

dove V0 e il volume alla temperatura ϑ0 e ∆V l’aumento di volume.

Il coefficiente di dilatazione cubica e quindi il triplo di quello di dilatazione lineare.

Da quanto visto precedentemente l’ultima formula e applicabile anche al calcolo dell’aumento

del volume interno di un recipiente.

2.5 Le dilatazioni libere nei liquidi.

Come nei solidi vale in generale la legge

∆V = γV0∆ϑ , (2.15)

dove γ e il coefficiente di dilatazione dei liquidi (corrispondente quindi al 3 α dei

solidi) e V0 il volume iniziale. L’ordine di grandezza di γ e di 10−3...10−4 C−1, percio e piu

grande di quello nei solidi (3α). Anche qui valgono considerazioni analoghe a quelle viste per

i solidi riguardo alla temperatura di riferimento di γ.


2.5. LE DILATAZIONI LIBERE NEI LIQUIDI. 18

Materiale (˚C−1)

etere 1,62.10−3

alcool etilico 1,10.10−3

benzina 1,00.10−3

mercurio 0,181.10−3

olio d’oliva 0,72.10−3

glicerina 0,53.10−3

Tabella 2.2: Valori del coefficiente di dilatazione di alcuni liquidi in vicinanza di 20 oC.

Nella tabella (2.2) sono indicati i valori di γ per alcuni liquidi.

Fra i liquidi che non seguono la legge (2.15) l’eccezione piu importante e data dall’acqua.

Al di sopra dei 4°C la densita dell’acqua diminuisce all’aumentare della temperatura, anche

se non in modo lineare (Fig.2.8a). Cio che la distingue dagli altri liquidi e che nell’intervallo

tra 0 e 4 ℃ la sua densita diminuisce invece che aumentare. La densita massima dell’acqua

e a 4 ℃ dove il suo valore e 1, 000 g/cm3 (anche se misure piu accurate danno come valore

massimo della densita dell’acqua 999, 973 kg/m3 a 3, 98 ℃ ); ad ogni altra temperatura la

densita dell’acqua e minore (Fig.2.8b).

Figura 2.8: Densita dell’acqua in funzione della temperatura. A destra uno zoom sui primi

dieci gradi.

I laghi gelano prima di tutto in superficie perche in inverno lo strato d’acqua superficiale

si raffredda e, diventando piu denso dello strato inferiore, scende sul fondo. Questo processo

continua finche la temperatura dell’intera massa d’acqua non ha raggiunto la temperatura

di 4 ℃: oltre questo punto il raffreddamento dello strato superficiale rende quest’ultimo

meno denso di quelli inferiori (appunto perche tra 0 e 4 ℃ la densita dell’acqua diminuisce

), percio lo strato superficiale rimane fermo galleggiando sulla sommita del lago. Questo

strato superficiale finisce per congelare diventando una lastra solida di ghiaccio mentre il

resto dell’acqua del lago rimane a 4 ℃. Il ghiaccio formatosi impedisce la perdita di calore

del lago ed ogni altra perdita di calore causa soltanto un ispessimento della lastra senza

perturbare gli strati piu profondi che rimangono alla temperatura costante di 4 ℃: le forme



di vita che popolano il fondo del lago possono quindi sopravvivere.

Dalla figura 2.9 si comprende benissimo che lo stesso numero di molecole d’acqua cri-

stallizzate (ghiaccio) occupa uno spazio maggiore rispetto alla stessa quantita di molecole

d’acqua liquida, determinando l’anomalia nella densita .

Figura 2.9: Diversa disposizione delle molecole dell’acqua: (a) allo stato liquido, (b) allo stato

solido, cioe ghiaccio.


Capitolo 3

I fluidi

3.1 Introduzione

Un fluido, a differenza di un solido, e una sostanza che puo scorrere. I fluidi prendono

la forma dei contenitori nei quali sono confinati. Si comportano in questo modo poiche non

possono sopportare una forza tangenziale alla loro superficie anche se possono, come vedremo,

esercitare una forza nella direzione perpendicolare alla sua superficie. Alcuni materiali, come

la pece, impiegano molto tempo per assumere la forma del contenitore, ma alla fine lo fanno;

quindi vengono classificati tra i fluidi. In generale vengono chiamati fluidi senza distinzione

sia i liquidi che i gas, dove le interazioni intermolecolari sono limitate alle molecole vicine.

3.2 Densita e pressione

Per i corpi solidi, le grandezze fisiche adatte alla loro descrizione sono soprattutto la massa e

la forza. Con i fluidi, le proprieta piu interessanti sono quelle che variano da punto a punto

nella sostanza estesa. Per questo motivo, e piu utile parlare di densita e di pressione che di

massa e forza.

3.2.1 La pressione nei fluidi in equilibrio

L’esperienza mostra che un fluido (liquido o gas) contenuto in un recipiente spinge perpendi-

colarmente contro le pareti. Cio puo essere mostrato ad esempio applicando in un punto delle

pareti un cilindretto evacuato, provvisto di un pistone trattenuto da una molla (Fig. 3.1).

��

��

f

Figura 3.1:

21

3.2. DENSITA E PRESSIONE 22

L’accorciamento ∆x della molla e un indice della forza che il fluido esercita sulla superficie

del pistone e che e a sua volta uguale alla spinta della molla sul pistone. Per la legge di Hooke,

sappiamo che

F = k ·∆x, (3.1)

dove k e la costante elastica della molla. Si definisce con pressione e si indica con p, il

rapporto fra il modulo della forza F esercitata sul pistone e l’area A della superficie dello

stesso. Quindi:

p =F

A. (3.2)

Nel sistema internazionale si misura in pascal (indicato con Pa) e l’unita di misura ı¿½ quindi:

1Pa = 1N/m2.

Un’altra unita usata nel S.I. e il bar, che corrisponde a 10N/cm2, cioe a 105 Pa. La riga

seguente permette, se necessario, di passare dalle unita vecchie di pressione alle nuove del S.I:

1 bar = 105 Pa = 0.987 atm = 1.020 at = 750 Torr (mm Hg),

dove i simboli sopra riportati hanno il seguente significato:

at : atmosfera tecnica;

atm : atmosfera fisica;

Torr : pressione alla base di una colonnina di mercurio alta 1 mm, alla

temperatura di 0.00 ℃;

cm H2O : pressione alla base di una colonnina di acqua alta 1 cm, alla

temperatura di 3.98 ℃.

Nota. Le unita SI legali in Svizzera per la pressione sono il Pa e il bar.

3.2.2 Legge di Stevino

Se si immerge un solido in un liquido, quest’ultimo esercita sulle facce del solido una pressione

analogamente a quanto visto per le pareti del recipiente (Fig.3.2a).

L’esperienza mostra che la pressione non dipende ne dall’orientamento delle facce del

solido, ne dalla forma del recipiente ma solo dalla profondita h (misurata a partire dalla

superficie libera del liquido), dal tipo di liquido considerato e dalla pressione esercitata sulla

superficie libera. In particolare la pressione nei punti A e B di figura (3.2a) e la stessa. Lo

stesso ragionamento vale ovviamente per la pressione esercitata sulle pareti del recipiente.

Per scoprire la relazione quantitativa fra le grandezze citate, immergiamo il nostro cilindretto

munito di pistone nel liquido badando che la superficie del pistone resti rivolta verso l’alto

(Fig.3.2b).

Si constata che l’aumento della forza esercitata sul pistone alla profondita h (rispetto a

quella che gia esiste in superficie) e pari al peso della colonna di liquido che lo sovrasta. Il


3.2. DENSITA E PRESSIONE 23

ba

Figura 3.2: Legge di Stevino

peso si calcola a sua volta moltiplicando il valore locale del campo gravitazionale terrestre

g (in prossimita della superficie terrestre vale circa 9.8 N /kg) per la massa m di liquido

racchiusa nella colonna. Se A e l’area della sezione del pistone e % la densita del liquido (=

massa/volume), l’aumento di pressione ∆ p sul pistone e:

∆p =% g hA

A= % g h. (3.3)

L’aumento di pressione e dunque proporzionale alla profondita e alla densita del liquido.

In un lago, ad esempio, l’aumento di pressione che si ha calandosi alla profondita di 50m

vale:

∆p = 9.8N

kg· 103 kg

m3· 50m = 4.9 · 105 Pa = 4.9 bar .

Una semplice verifica che la pressione non dipende dalla quantita totale d’acqua presente

in un recipiente ma solamente dalla profondita h, si puo ottenere con il seguente dispositivo

(Fig.3.3): la forza impressa sulla membrana di gomma che chiude il fondo dei due recipienti

di forma diversa, e la medesima (a parita di profondita h).

Come vedremo nel prossimo paragrafo, anche i gas esercitano una pressione sulle superfici

di altri corpi. Se sopra il nostro liquido abbiamo un gas (ad esempio l’aria in un recipiente

aperto), quest’ultimo premera contro il liquido con una pressione p0.

La pressione assoluta p alla profondita h e data quindi da:

p = p0 + ∆p = p0 + %gh. (3.4)

nota anche come Legge di Stevino.


3.3. MISURA DELLA PRESSIONE 24

h

Figura 3.3: La pressione esercitata dal fluido dipende solo dalla profondita e non dalla

quantita

ESEMPIO 3.1. Un nuotatore inesperto pensa che se un tubo respiratore lungo 20 cm funziona

bene, cosı deve essere anche per uno lungo 6 metri. Se usasse un tubo cosı lungo, perche sarebbe in

pericolo?

Soluzione: La pressione esterna esercitata sul nuotatore alla profondita di h = 6 m e data dall’equa-

zione (3.4):

p = p0 + ρgh .

Senza tubo, il corpo si adatta a questa pressione e la pressione interna tende ad equilibrare quella

esterna. In particolare la pressione media del sangue aumenta e quella media dell’aria nei polmoni

raggiunge il valore p. Se il nuotatore respira con il tubo lungo 6 m, l’aria pressurizzata nei polmoni

comincerebbe a calare e a tendere a quella atmosferica p0. Si crea quindi una differenza di pressione

pari a ∆p = p − p0 = 5.9 · 104 Pa. Questa differenza di pressione e sufficiente a sgonfiare i polmoni

e a spingere il sangue ancora pressurizzato nei polmoni stessi: un tale processo e noto con il nome di

schiacciamento polmonare.

3.3 Misura della pressione

3.3.1 La pressione nei gas

Per l’aria che circonda il globo terrestre, valgono considerazioni analoghe a quelle per la pres-

sione di un liquido in un recipiente: in ogni punto esiste una pressione atmosferica indipendente

dalla direzione. Siccome pero la densita dell’aria – come vedremo piu avanti – dipende a sua

volta dalla pressione, in quanto l’aria e molto comprimibile, la formula (3.3) non e piu valida.

L’andamento della pressione atmosferica p0 in funzione dell’altitudine z, per un’atmosfera



isotermica, e mostrato in figura 3.3.1 ed e dato per i primi 7 km dalla formula seguente (errore

inferiore al 2.5 %):

p = p0 · e(−%0gz/p0) , (3.5)

dove:

%0 = densita dell’aria a 0 ℃ e alla pressione di 760 Torr = 1.2929kg/m3,

p0 = pressione standard a livello del mare = 1.0132 · 105Pa(= 760 Torr),

g = campo gravitazionale (livello mare, 45◦ di latitudine) = 9.80665 N /kg .

rappresentano le grandezze standard.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1050

p (bar)

z (km)

Una semplice verifica qualitativa dell’esistenza della pressione atmosferica si puo ottenere

capovolgendo un bicchiere colmo d’acqua sul quale era stato appoggiato precedentemente un

foglio di carta. L’acqua restera nel bicchiere grazie alla spinta dell’aria sul foglio di carta

(circa 10 N per ogni cm2 di superficie).

3.3.2 Barometri

Il barometro e lo strumento di misura per la pressione atmosferica. E’ usato per determinare

l’altitudine di un luogo e nell’ambito della meteorologia per rilevare dati utili per le previsioni

del tempo.

a) Barometro a mercurio

La figura (3.4) mostra un semplice barometro a mercurio che consiste in un lungo tubo di

vetro riempito di mercurio con l’estremita aperta immersa in una bacinella di mercurio. Lo



Figura 3.4: (a) Un barometro a mercurio (b) Un altro barometro a mercurio. La distanza h

ı¿½ la stessa in entrambi i casi

spazio sopra la colonna di mercurio contiene solo vapore di mercurio, la cui pressione e cosı

piccola a temperature ordinarie, che puo essere trascurata. Possiamo utilizzare l’equazione

(3.4) per trovare la pressione atmosferica p0 in termini di altezza h della colonna di mercurio.

Si ottiene:

p0 = ρgh (3.6)

A una data pressione l’altezza h della colonna di mercurio non dipende in nessun modo dalla

sezione del tubo verticale. Il bizzarro barometro a mercurio di figura (3.4b) misura la stessa

pressione di quello di figura (3.4a); la sola cosa che conta e la distanza verticale h tra i livelli

di mercurio.

Il primo barometro a mercurio fu costruito da Evangelista Torricelli nel 1643. Questo

tipo di barometro e molto preciso ed accurato, ma e difficilmente trasportabile, ingombrante

e soffre dei pericoli di tossicita e inquinamento del mercurio.

L’equazione (3.6) mostra che, per una data pressione, l’altezza della colonna di mercurio

dipende dal valore di g nel luogo dove e posto il barometro e dalla densita del mercurio

che varia con la temperatura. Se non si hanno condizioni standard, bisogna operare piccole

correzioni prima di trasformare l’altezza del mercurio in valore di pressione.

b) Barometri aneroidi

Questo tipo di barometro offre una alternativa piu pratica ed economica rispetto al baro-

metro a mercurio, ma a scapito di accuratezza e precisione. L’elemento sensibile e costituito

da un cilindro appiattito in cui e stato praticato il vuoto. Le ampie basi sono corrugate in

modo da presentare una ampia escursione per effetto della pressione atmosferica agente su

di esse. Un sistema di leve ed ingranaggi trasmettono questo movimento ad un indice che

visualizza la pressione su una scala graduata.



3.3.3 Manometri

Il manometro e uno strumento di misura della pressione dei fluidi. La corretta accezione del

lemma si riferisce a strumenti dedicati alla misura di pressioni maggiori dell’atmosferica; per

valori inferiori all’atmosferica il termine corretto e vacuometro (misuratore del vuoto).

Vi sono numerosi tipi di manometro adatti ad impieghi differenti. La maggior parte

di questi tipi in realta misura una pressione relativa, ossia la differenza tra la pressione

atmosferica nel punto di misura e la pressione dell’ambiente di cui si desidera la misura.

Questi includono i manometri a U, a membrana, Bourdon.

a) Manometro ad U

Figura 3.5: Un manometro a tubo aperto, collegato in modo da misurare la pressione del gas

nel serbatoio di sinistra. Il braccio destro del tubo a U e aperto all’atmosfera

Sono costituiti da un tubo (di solito trasparente) curvato a U e riempito di un liquido

di densita nota. Un’estremita del tubo e lasciata aperta all’atmosfera, mentre l’altra e in

collegamento diretto con l’ambiente di misura. Il liquido contenuto nel tubo si spostera verso

l’alto in uno dei due rami della U di un valore tale che la differenza di peso tra le due colonne

di liquido bilanci esattamente la pressione (o depressione) presente nell’ambiente di misura.

b) Manometri Bourdon


3.4. PRINCIPIO DI PASCAL 28

Sono costituiti da un tubo solitamente di sezione

ovale e il cui asse e disposto lungo una circonferen-

za (ma puo essere avvolto anche per piu di 360o, e

quindi assumere forma di spirale), detto appunto

tubo Bourdon. Si era notato che un tubo di ta-

le forma tende ad aumentare il proprio raggio di

curvatura all’aumentare della pressione interna al

tubo; la misurazione del raggio da la misura del-

la pressione. Nella pratica, il tubo e collegato ad

una estremita con un punto fisso, messo in connes-

sione con l’ambiente di misura; l’altra estremita e

connessa ad un leverismo che ne amplifica lo spo-

stamento, e lo traduce nel movimento circolare di

un indice lungo una scala graduata. I manometri

Bourdon costituiscono la stragrande maggioranza

dei misuratori di pressione oggi usati.

.

Molla Bourdon

c) Manometri a diaframma

Anche detti a membrana poiche l’elemento defor-

mabile euna membrana solitamente ondulata per

accrescerne la flessibilita. La membrana separa

l’ambiente di misura dall’esterno, e si gonfiera se la

pressione da misurare e maggiore di quella atmo-

sferica, e viceversa. Il leverismo, non molto diverso

da quello dei manometri Bourdon, amplifica que-

sto rigonfiamento e lo trasmette ad un indice, come

per i manometri Bourdon. Vi sono molte varianti

del manometro a membrana, generalmente usate

come manometri differenziali.

.

Separatore a diaframma

d) Manometri piezoelettrici

Sfruttano la proprieta di alcuni materiali di modificare la propria conducibilita quando al ma-

teriale stesso viene applicata una forza esterna. Poiche (per alcuni materiali) la conducibilita

varia in modo proporzionale alla sollecitazione unitaria, un semplice Ponte di Wheatstone

puo dare indicazione della pressione.

3.4 Principio di Pascal

Quando schiacciate un tubetto di dentifricio, state utilizzando il principio di Pascal. Questo

principio sta anche alla base della manovra di Heimlich usata nei primi soccorsi, con la



quale un secco aumento di pressione applicato all’addome viene trasmesso alla gola, forzando

l’espulsione delle particelle di cibo dalla trachea.

Il principio fu per la prima volta formulato chiaramente da Blaise Pascal (al quale fu

intitolata l’unita di pressione) nel 1652:

“Un cambiamento di pressione applicato a un fluido confinato viene trasmesso

inalterato a ogni porzione di fluido e alle pareti del recipiente che lo contengono.”

3.4.1 Dimostrazione del principio di Pascal

Consideriamo il caso in cui il fluido e un liquido incomprimibile contenuto in un cilindro,

come in figura (3.6). Nel cilindro scorre un pistone sul quale e posto un contenitore riempito

di pallini di piombo. L’atmosfera, il contenitore e i pallini esercitano una pressione pext sul

pistone e quindi sul liquido. La pressione p in un qualsiasi punto del liquido e quindi

Figura 3.6: I pesi caricati sul pistone creano una pressione esterna pext in cima al liquido

incomprimibile. Se si aumenta pext, aggiungendo altri pesi, la pressione aumenta della stessa

quantita in tutti i punti del liquido.

Aggiungiamo ora un po’ di pallini di piombo per aumentare la pressione esterna pext di

una quantita ∆pext. Le quantita p, g e h nell’equazione (3.4) rimangono invariate, quindi il

cambiamento di pressione in P e

∆p = ∆pext

Questo cambiamento di pressione e indipendente da h quindi deve valere per tutti i punti

del liquido, come asserisce il principio di Pascal.

3.4.2 Il principio di Pascal e il martinetto idraulico

La figura (3.7) mostra come il principio di Pascal sia la base per il funzionamento del mar-

tinetto idraulico. Sia data una forza esterna di intensita Fi che agisce verso il basso sul

pistone sinistro (o di azionamento), la cui sezione e Ai. Un liquido incomprimibile messo nel

dispositivo esercita quindi una forza verso l’alto di intensita F0 sul pistone di destra (o di



Figura 3.7: Un dispositivo idraulico utilizzato per amplificare la forza Fi. Il lavoro compiuto

dalla forza Fi, tuttavia, non e amplificato ed e lo stesso per le due forze nei due pistoni.

sollevamento), la cui area e A0. Per mantenere il sistema in equilibrio, un peso esterno deve

esercitare una forza verso il basso di intensita F0 sul pistone di destra. La forza Fi applicata

a sinistra e la forza F0 esercitata dal peso sulla destra producono un cambiamento ∆p nella

pressione del liquido dato da

∆p =FiAi

=F0

A0⇒ F0 = Fi

A0

Ai(3.7)

L’equazione (3.7) mostra che la forza F0 esercitata dal peso deve essere maggiore della

forza Fi se A0 > Ai, come nel caso della figura (3.7).

Se muoviamo il pistone di sinistra verso il basso di un tratto di, il pistone di destra si

muove verso l’alto di un tratto d0 in modo che venga mosso un ugual volume di liquido da

entrambi i pistoni. Quindi V = Aidi = A0d0, che puo essere scritta come

d0 = diAiA0

(3.8)

Questo mostra che, se A0 > Ai (come in figura 3.7), il pistone di destra si muove di un

tratto minore di quello di sinistra. Dalle equazioni (3.7) e (3.8) possiamo scrivere il lavoro

svolto dal pistone di destra come

L = F0d0 = Fidi (3.9)

che dimostra come il lavoro L svolto sul pistone di sinistra dalla forza applicata sia uguale al

lavoro L svolto dal pistone di destra nello spingere verso l’alto il carico posto sopra di esso.

Osserviamo qui che una data forza, esercitata per una certa distanza, puo essere trasfor-

mata in una forza maggiore esercitata per una distanza piu breve. Il prodotto della forza per

la distanza rimane invariato, cioe viene svolto lo stesso lavoro. Tuttavia, e spesso un grande

vantaggio poter esercitare una forza piu grande. Molti di noi, per esempio, non sono in grado

di sollevare un’automobile, ma con l’ausilio del martinetto idraulico cio e possibile a tutti,

anche se bisogna spingere giu il pistone molto di piu di quanto la macchina salga. Con questo

dispositivo, il tratto di viene compiuto non in un solo colpo ma in una serie di piccoli tratti.


3.5. IL PRINCIPIO DI ARCHIMEDE 31

3.5 Il principio di Archimede

Un sottile palloncino di plastica pieno di acqua (in cui la massa della plastica e trascurabile),

se immerso completamente in acqua rimane evidentemente in equilibrio statico; non tende

cioe ne a salire ne ad affondare. Per il fatto che l’acqua nel palloncino ha un peso, dovrebbe

affondare. Il suo peso deve dunque essere bilanciato da una forza verso l’alto la cui intensita

e uguale al peso dell’acqua nell’involucro. Questa spinta di galleggiamento ~FA verso l’alto

e esercitata sull’acqua nel palloncino dall’acqua che circonda l’involucro. Essa e dovuta al

fatto che la pressione aumenta nell’acqua all’aumentare della profondita e quindi la pressione

in prossimita del fondo del palloncino e maggiore della pressione in cima. Supponiamo per

semplicita che l’involucro abbia la forma di un parallelepipedo. Le forze orizzontali sull’invo-

lucro dovute alla pressione si annullano: rimangono solo le forze verticali.

Indicando con ρf la densita del fluido, con A l’area delle basi, con h l’altezza e con V = Ah

il volume del corpo immerso, con ρ la sua densita e con VS la parte di volume spostata, si

puo scrivere che

FA = F1 − F2 = p1 ·A− p2 ·A= [(% · g · h1 + p0)− (% · g · h2 + p0)] ·A= % · g · (h1 − h2) ·A= % · g · h ·A = % · g · V = m · g= peso dell’acqua nell’involucro.

h1

h2

F1

F2

Se ora rimuoviamo il palloncino dall’acqua e riempiamo lo spazio vuoto con un altro corpo

delle stesse dimensioni, la stessa forza di galleggiamento – diretta verso l’alto – che prima

agiva sul palloncino riempito d’acqua, ora agisce sul corpo.

Tutto questo viene riassunto nel principio di Archimede:

“Un corpo immerso in un fluido, interamente o parzialmente, e soggetto a una

spinta verticale, dal basso verso l’alto, pari al peso del fluido occupato dal corpo

stesso.”

La verifica sperimentale puo essere fatta con la bilancia rappresentata di fianco. Il di-

spositivo e costituito da una comune bilancia e da due cilindri appesi a uno dei piatti. Il

cilindro inferiore A e pieno, mentre quello superiore B e cavo e strutturato in modo che il suo

volume interno e uguale a quello del cilindro pieno. Dopo aver realizzato l’equilibrio in aria

mediante opportuni pesi sull’altro piatto, il cilindro inferiore viene completamente immerso

in un liquido. A causa della spinta di Archimede la bilancia non e piu in equilibrio. Per

ristabilirlo occorre riempire esattamente la cavita del cilindro superiore con lo stesso liquido.

Cio mostra che il corpo immerso riceve una spinta dal basso verso l’alto uguale al peso del

liquido aggiunto, ossia uguale al peso del liquido occupato dal cilindro pieno.


3.5. IL PRINCIPIO DI ARCHIMEDE 32

Figura 3.8:

Nota. Se sotto il bicchiere si pone una bilancia, quando il cilindro pieno viene immerso

nel bicchiere, la bilancia segna un aumento di peso corrispondente alla spinta di Archimede

(principio di azione e reazione).

Il principio di Archimede si puo applicare a problemi di galleggiamento. Vi sono due

situazioni principali da distinguere:

a) Il corpo e totalmente immerso: VS = V

• se ρf < ρ, il corpo affonda

• se ρf = ρ, il corpo rimane in equilibrio nel fluido

b) Il corpo e parzialmente immerso

• ρf > ρ e il corpo galleggia

Figura 3.9: (a) L’acqua che circonda la cavita esercita forze sui confini della cavita; la ri-

sultante e una forza di galleggiamento verso l’alto che agisce su qualsiasi cosa riempia la

cavita. (b) Per una pietra dello stesso volume della cavita il peso e maggiore della forza di

galleggiamento. (c) Per un pezzo di legno dello stesso volume il peso e minore della forza di

galleggiamento.


3.6. STUDIO DEL MOTO IN UN FLUIDO PERFETTO 33

Nel caso del galleggiamento, la spinta deve equilibrare il peso del corpo. Quindi la

condizione di equilibrio e data da:

ρf · VS · g = ρ · V · g ⇐⇒ ρ

ρf=VSV

(3.10)

Il rapporto trovato e giusto solo se si puo trascurare la spinta di Archimede sulla parte

del corpo “immersa” nell’aria. Altrimenti, la risposta corretta e la seguente:

mcorpo · g = %liquido · Vimmerso · g + %aria · (Vcorpo − Vimmerso) · gVimmerso

Vcorpo=

%corpo − %aria%liquido − %aria

.

Nota. La densita dell’aria alle condizioni normali e di circa 1.3 kg/m3, per cui se puo essere

trascurata rispetto alla densita del corpo e del liquido, l’ultima relazione trovata si semplifica

diventando uguale alla prima risposta.

3.6 Studio del moto in un fluido perfetto

3.6.1 Corpo totalmente immerso

In questo caso, la forza risultante verso il basso sara data dalla differenza fra il peso e la

spinta. Possiamo quindi scrivere l’equazione di Newton corrispondente:∑i

Fi = P − S = mg − ρfV g = ma (3.11)

Dato che mg = ρV g, semplificando, si ottiene un’accelerazione costante verso il basso data

da:

a = g(1−ρfρ

) (3.12)

Si tratta quindi di un moto uniformemente accelerato con l’accelerazione data dall’espressione

(3.12), per cui le equazioni di moto sono date da:{x(t) = x0 + v0t+ 1

2at2

v(t) = v0 + at(3.13)

dove x(t) rappresenta la profondita in funzione del tempo, x0 la profondita iniziale e v0

la velocita iniziale. Queste equazioni sono valide fintanto che il corpo rimane totalmente

immerso nel fluido.

Dalle equazioni (3.13) si puo notare che se il fluido e molto rarefatto, limρf→0ρfρ = 0 e quindi

a = g, cioe abbiamo una caduta libera. Se ρf > ρ, a < 0 e l’oggetto viene decelerato e

riportato in superficie poiche la spinta e maggiore del peso.



3.6.2 Corpo parzialmente immerso

In questo caso, la spinta non e piu costante ma dipende dalla quantita di corpo immerso

nel fluido. Per semplificare la trattazione, tratteremo corpi che possiedono un’area di base

costante (ad esempio un cilindro o un parallelepipedo), in modo che il volume immerso sia

direttamente proporzionale all’altezza immersa. Nel caso piu generale, la trattazione puo

diventare molto pesante.

Supponiamo che il corpo abbia un’area di base Ab e un’altezza L. Troviamo le forze agenti

sul corpo se un parte x e immersa nel fluido. Per la forza peso Fp, otteniamo:

Fp = ρV g = ρAbLg (3.14)

rivolta verso il basso, mentre per la spinta S, si ottiene:

S = ρfAbxg (3.15)

rivolta verso l’alto, per cui l’equazione di Newton diventa Fp − S = mx da cui si ricava,

semplificando, l’equazione seguente:

ρLg − ρfxg = ρL x (3.16)

ossia

x+ρfg

ρLx = g (3.17)

Definendo una pulsazione ω tramite la relazione

ω2 =ρfg

ρL(3.18)

otteniamo l’equazione differenziale

x+ ω2x = g (3.19)

che corrisponde a una oscillazione armonica, a parte il termine g a destra dell’equazione.

Quali implicazioni puo avere questo termine sul movimento oscillatorio armonico che ri-

sulta dall’equazione differenziale x+ ω2x = 0 (detta omogenea)?

Si puo mostrare che questo termine addizionale deriva esclusivamente dalla scelta di coordi-

nate in cui l’equilibrio non e posto in x = 0, vale a dire nell’origine, bensi in un altro punto.

Infatti nella scelta precedente, x = 0 e stato scelto sulla superficie del fluido e quindi non puo

assolutamente coincidere con una posizione di equilibrio. Sappiamo invece che l’equilibrio,

nel caso in cui ρ < ρf e dato da xeq = (ρ/ρf )L come si puo dedurre dall’equazione (3.10).

Percio possiamo chiederci se spostando l’origine in quel punto, nel nuovo sistema di coordina-

te, otteniamo l’equazione differenziale omogenea. A questo proposito, scegliamo una nuova

coordinata y(t) = x(t)− xeq in modo tale che y = 0 quando x = xeq. Questo implica che

x(t) = y(t) + xeq, x = y (3.20)

per cui l’equazione (3.19) si trasforma in

y + ω2(y + xeq) = g (3.21)



Poiche ω2xeq = g (vedi eq (3.18)), otteniamo nella nuova coordinata y l’equazione differenziale

y + ω2y = 0 (3.22)

che mostra che il moto del corpo e effettivamente un’oscillazione armonica attorno alla po-

sizione di equilibrio data da xeq = (ρ/ρf )L. In questo caso, la forza di richiamo tipica di

questo moto viene svolta dalla spinta di Archimede dovuta al fluido.

La soluzione generale dell’equazione (3.19) e quindi data da:{x(t)− g/ω2 = A sinωt+B cosωt,

v(t) = x(t) = ωA cosωt− ωB sinωt(3.23)

I coefficienti A e B sono da determinare in modo da soddisfare le condizioni iniziali x(0) = x0

(posizione iniziale) e v(0) = v0 (velocita iniziale). In genere, questi valori vengono forniti dal

problema e sostituendo nel sistema (3.23) t = 0, si puo risolvere il sistema nelle incognite A

e B. Come nel caso precedente, le equazioni (3.23) sono valide solo nel caso in cui il corpo e

parzialmente immerso. Altrimenti, bisogna utilizzare le equazioni (3.13).

3.6.3 Un esempio: il corpo poggiato sulla superficie del fluido

La fase oscillatoria

In questa sezione vediamo di analizzare un caso con condizioni iniziali particolari: il corpo

poggiato sulla superficie del fluido. Questo implica che avremo

x(0) = x0 = 0 e v(0) = v0 = 0 (3.24)

come condizioni iniziali. Nell’istante in cui il corpo viene lasciato libero, inizia a sprofondare

e fino a quando x(t) ≤ L (corpo parzialmente immerso), vanno usate le equazioni (3.23).

Sostituendo i valori (3.24) in (3.23), si ottengono per i coefficienti A e B i seguenti valori:

A = − g

ω2, B = 0 (3.25)

Definendo con λ la quantita ρ/ρf , le equazioni di moto sono date da{x(t) = λL (1− cosωt)

x(t) =√λLg sinωt

(3.26)

Il periodo dell’oscillazione e dato da T = 2π/ω = 2π√λLg . Qual e la condizione per cui

queste equazioni sono valide per ogni istante successivo a t = 0? Sappiamo che esse sono

valide se x(t) rimane inferiore all’altezza L del corpo, altrimenti la spinta diventa costante e

non siamo piu nel caso dell’oscillazione. Il massimo dell’oscillazione si ottiene quando t = T/2,

quindi

x(T

2) = λL(1− cosωT/2) = λL(1− cosπ) = 2λL (3.27)



Esso sara minore di L quando λ ≤ 1/2. Percio , solo se la densita del corpo e meno della

meta di quella del fluido, il movimento si limitera ad una oscillazione attorno al punto di

equilibrio.

Che cosa capita quando λ > 1/2 ? In questo caso, il corpo si ritrova totalmente immerso

prima di aver terminato la sua mezza oscillazione. In quell’istante, pur continuando la sua

discesa grazie alla velocita acquisita, la spinta diventa costante e ritorniamo in una situazione

di moto uniformemente accelerato, con l’accelerazione fornita dall’equazione (3.12). A questo

punto ci troviamo davanti a due possibilita :

a) ρ < ρf cioe λ < 1 =⇒ a < 0: il corpo verra frenato fino all’arresto, per poi risalire in

superficie

b) ρ > ρf cioe λ > 1 =⇒ a > 0: il corpo affondera senza piu risalire

La fase uniformemente accelerata

In entrambi i casi citati in precedenza vanno risolte le equazioni (3.13) ponendo x(0) = L e

v0 = v0 dove v0 va calcolata con le equazioni relative all’oscillazione nell’istante in cui x = L.

Dobbiamo avere

x(t) = λL(1− cosωt) = L =⇒ cosωt = 1− 1/λ (3.28)

Questa e la relazione che definisce l’istante t nel quale il corpo e completamente immerso. La

velocita in quell’istante e quindi:

v(t) =√λLg sinωt =

√λLg

√1− cos2 ωt (3.29)

e sostituendo l’espressione (3.28) si ottiene

v(t) =

√gL

λ(2λ− 1). (3.30)

Come si puo vedere, per λ = 1/2, v = 0 e per λ < 1/2 non esiste una soluzione. Infatti in

questo caso abbiamo visto che il corpo rimane in un regime oscillatorio e non e mai totalmente

immerso.

Per λ > 1/2 possiamo trovare quanto tempo impiega il corpo a fermarsi dall’istante t e a

quale profondita . Usando la relazione ∆v = a∆t, otteniamo:

∆t =∆v

a=−√

gLλ (2λ− 1)

g(1− 1λ)

=λ

1− λ

√L

g

(2− 1

λ

)(3.31)

Lo spazio massimo compiuto si puo ottenere dalla relazione a∆x = v2 − v20, per cui

∆x = 2L

(λ− 1

2

1− λ

). (3.32)

a cui naturalmente va aggiunto L per ottenere la profondita effettiva. Analizzando questo

risultato, si nota che per λ = 1/2 si ottiene ∆x = 0 e per λ = 1, si ottiene ∆x → ∞, che

indica un non ritorno in superficie come e stato appunto discusso in precedenza.


3.7. FLUIDI IN MOVIMENTO 37

3.7 Fluidi in movimento

Il movimento dei fluidi reali e complicato e ancora non del tutto conosciuto. Discutiamo

invece il movimento di un fluido ideale, che e piu semplice da descrivere matematicamente.

Nonostante i risultati ottenuti in questo modo non siano completamente in accordo con il

comportamento dei fluidi reali, saranno sufficientemente utili per una prima descrizione. Qui

di seguito elenchiamo le quattro caratteristiche che deve avere un fluido ideale:

Figura 3.10: A un certo punto il flusso dei gas caldi che salgono da una sigaretta cambia da

stazionario a turbolento.

1. Moto laminare Nel moto laminare la velocita del fluido in ogni punto fissato non

cambia nel tempo, ne in direzione, ne in intensita. Il lento flusso dell’acqua al centro di

un tranquillo ruscello e laminare; mentre non lo e quello delle rapide di un torrente. La

figura (3.10), che mostra il fumo di una sigaretta, illustra la transizione da flusso lami-

nare a flusso non laminare, o turbolento. La velocita delle particelle di fumo aumenta

con l’altezza e, a certe velocita critiche, il flusso cambia il suo regime da laminare a

turbolento.

2. Fluido incomprimibile Assumiamo, come gia abbiamo fatto con i fluidi a riposo, che

il nostro fluido ideale sia incomprimibile. Cioe che la sua densita abbia valore costante.

3. Flusso non viscoso Detto in parole povere, la viscosita di un fluido e la misura di

quanto un fluido si oppone allo scorrimento. Per esempio il miele denso si oppone

maggiormente allo scorrimento dell’acqua, e quindi si dice che il miele e piu viscoso

dell’acqua. La viscosita e l’analogo dell’attrito nei solidi. Entrambi sono processi nei

quali l’energia cinetica di oggetti in movimento viene trasformata in energia termica.

In assenza di attrito un corpo potrebbe scivolare per inerzia a velocita costante lungo



una superficie orizzontale. Allo stesso modo, un oggetto che si muova in un fluido non

viscoso non dovrebbe essere soggetto ad alcuna forza frenante, cioe, a nessuna forza di

resistenza dovuta alla viscosita. Lord Rayleigh affermo che, in un fluido ideale, non

potrebbe funzionare l’elica di una barca ma, d’altra parte, una barca (una volta in

movimento) non avrebbe bisogno di un’elica!

4. Flusso irrotazionale Anche se questo concetto non ci interessera piu in seguito,

assumiamo che il fluido sia irrotazionale. Per verificare questa proprieta, facciamo

muovere un piccolo granello di polvere in un fluido. In un fluido irrotazionale questo

corpo di prova non ruoterebbe intorno all’asse del suo centro di massa, anche se dovesse

muoversi lungo un cammino circolare. Con vaga analogia, il movimento della ruota

panoramica e rotazionale; mentre quello dei suoi passeggeri e irrotazionale.

3.7.1 Equazione di continuita

Figura 3.11: II flusso stazionario di un fluido intorno a un cilindro messo in evidenza da un

tracciante colorato.

La figura (3.11) mostra le linee di flusso evidenziate da un colorante immesso in un fluido

in movimento. Una linea di flusso e il cammino tracciato da un minuscolo elemento, che

potremmo chiamare una “particella”, di fluido.

Quando la particella di fluido si muove, la sua velocita puo cambiare, sia in direzione

sia in intensita. Come mostra la figura (3.12a), la sua velocita in ogni punto sara sempre

tangente alle linee di flusso in quel punto. Le linee di flusso non si intersecano mai poiche,

se questo avvenisse, una particella di fluido che arrivasse all’intersezione dovrebbe assumere

due differenti velocita contemporaneamente, e cio e impossibile.

In flussi come quello della figura (3.11), possiamo isolare un tubo di flusso delimitato dalle

linee di flusso. Questo tubo si comporta come una conduttura, poiche ogni particella di fluido

che vi entra non puo piu uscire attraverso le pareti; infatti se succedesse le linee di flusso si

intersecherebbero.



Figura 3.12: (a) Una particella di fluido P disegna una linea di flusso quando si muove. La

velocita della particella e tangente alla linea di flusso in ogni punto. (b) Un tubo di flusso e

definito dalle linee di flusso che lo delimitano. Il flusso del fluido deve essere uguale in tutte

le sezioni del tubo di flusso.



La figura (3.12a) mostra due sezioni, di area A1 e A2 lungo un sottile tubo di flusso.

Poniamoci a osservare il fluido in B che si muove con velocita v1 per un piccolo intervallo di

tempo ∆t. Durante questo intervallo, una particella di fluido percorrera una piccola distanza

v1∆t e un volume ∆V di fluido, dato da

∆V = A1v1∆t (3.33)

transitera attraverso l’area A1.

Figura 3.13: Quando un canale, come il tubo in figura, si restringe, le linee di flusso si

avvicinano, mettendo in evidenza un aumento di velocita del fluido. La freccia mostra la

direzione del flusso.

Il fluido e incomprimibile e non puo essere creato o distrutto. Quindi nello stesso intervallo

di tempo lo stesso volume di fluido deve passare dal punto C, piu oltre nel tubo di flusso. Se

la velocita qui e v2, significa che

∆V = A1v1∆t = A2v2∆t (3.34)

ossia

A1v1 = A2v2. (3.35)

Quindi lungo il tubo di flusso troviamo che

R = Av = cost (3.36)

dove R, che nel sistema SI si misura in metri cubi al secondo, e la portata volumica.

L’equazione (3.36) e chiamata equazione di continuita per un fluido in movimento. Ci

dice che il flusso e piu veloce nella sezione piu stretta del tubo di flusso, dove le linee di flusso

sono piu vicine tra loro, come in figura (3.36).

L’equazione (3.36) e una formulazione della legge di conservazione della massa, utile in

meccanica dei fluidi. Infatti, se moltiplichiamo R per la densita o massa volumica (costante)

del fluido, otteniamo la quantita Avρ che rappresenta la portata massica, misurata nel

sistema SI in kilogrammi al secondo. L’equazione (3.36) effettivamente ci dice che, in figura

(3.12b), la massa che transita ogni secondo attraverso B e uguale alla massa che passa ogni

secondo nel punto C.



ESEMPIO 3.2. La figura sotto mostra come il flusso d’acqua che esce da un rubinetto si restringe

mentre cade. L’area di sezione A0 e di 1.2 cm2, e A e 0.35 cm2. I due livelli sono separati da una

distanza verticale h = 45 mm. Qual e il flusso dell’acqua che esce dal rubinetto?

Soluzione: Dall’equazione di continuita (eq. 3.36) si ha

A0v0 = Av

dove v0 e v sono le velocita dell’acqua ai corrispondenti livelli. Poiche l’acqua cade liberamente

con l’accelerazione di gravita g, sappiamo dal teorema del lavoro che:

v2 = v20 + 2gh

Risolvendo rispetto a v0 le due precedenti equazioni, si ottiene

v0 =

√2ghA2

A20 −A2

= 0.286 m/s

La portata volumica R e quindi

R = A0v0 = 34 cm3/s

3.7.2 Equazione di Bernoulli

La figura (3.14) rappresenta un tubo di flusso (o anche un tubo reale) attraverso il quale

fluisce un fluido ideale in regime laminare. In un intervallo di tempo ∆t supponiamo che un

volume di fluido ∆V colorato piu scuro nella figura (3.14a), entri dall’estremita di sinistra

e un identico volume esca dall’estremita destra (o di uscita). Il volume uscente deve essere

uguale a quello entrante poiche il fluido e incomprimibile, con una densita costante ρ

Siano y1, v1 e p1 l’altezza, la velocita e la pressione del fluido quando entra dall’estremita

sinistra e y2, v2 e p2 le corrispondenti quantita per il fluido che esce dall’estremita destra.

Applicando la legge di conservazione dell’energia al fluido si dimostra che queste quantita

sono legate da

p1 +1

2ρv2

1 + ρgy1 = p2 +1

2ρv2

2 + ρgy2 . (3.37)



Figura 3.14: Un fluido scorre in un tubo a regime laminare su una lunghezza d. Durante

l’intervallo di tempo ∆t la quantita di fluido scuro in figura (a) si sposta dall’estremita di

ingresso all’estremita di uscita come mostrato in (b).

Possiamo riscrivere quest’equazione come

p+1

2ρv2 + ρgy = costante. (3.38)

Le equazioni (3.37) e (3.38) sono forme equivalenti dell’equazione di Bernoulli, dal

nome di Daniel Bernoulli, la cui intuizione nel 1738 porto poi a questa equazione 1.

Come l’equazione di continuita (Eq.3.36), l’equazione di Bernoulli non e un nuovo prin-

cipio, ma semplicemente la riformulazione di un principio familiare (la conservazione dell’e-

nergia meccanica) in una forma piu adatta alla meccanica dei fluidi.

Se si pone costante l’altezza (y = 0 per esempio) in modo che il fluido non cambi altezza

mentre scorre, l’equazione (3.37) diviene

p1 +1

2ρv2

1 = p2 +1

2ρv2

2 . (3.39)

Quindi, se lungo una linea di flusso, aumenta la velocita di un fluido, deve diminuire la

sua pressione e viceversa.

In altri termini, dove le linee di flusso sono vicine fra loro (cioe dove la velocita e

abbastanza grande), la pressione e piuttosto bassa, e viceversa.

Il legame tra un cambiamento di velocita e un cambiamento di pressione diviene chiaro

se si pensa a una particella di fluido. Quando una particella si avvicina a una strettoia,

1Per fluidi irrotazionali (quelli che noi consideriamo), la costante nell’equazione 15-17 ha lo stesso valore

per tutti i punti dentro il tubo di flusso



la maggior pressione a monte la accelera fino a farle raggiungere una grande velocita nella

strettoia. Quando si avvicina a una sezione piu ampia, la maggior pressione che trova davanti

a se la rallenta facendole diminuire la velocita.

L’equazione di Bernoulli e rigorosamente soddisfatta solo per un fluido ideale. Se sono

presenti forze viscose, intervengono fenomeni che coinvolgono conversioni in energia termica.

La sua dimostrazione verra lasciata come esercizio in classe.


Capitolo 4

Il gas ideale

4.1 Le relazioni fra pressione, volume e temperatura in un gas

Nei capitoli precedenti abbiamo studiato le dilatazioni libere dei solidi e dei liquidi in funzione

della temperatura senza badare all’influsso della pressione atmosferica. Infatti variazioni di

pressione dell’ordine di grandezza di 1 bar influenzano tali dilatazioni in modo trascurabile.1 I gas invece sono molto comprimibili, per cui il volume iniziale varia notevolmente con

la pressione. D’altra parte, mantenendo costante il volume, la pressione aumenta con la

temperatura. Infine, se si vuole mantenere la pressione invariata e aumentare la temperatura,

occorre aumentare anche il volume.

Percio per descrivere le proprieta dei gas, abbiamo bisogno di tre grandezze fisiche: il

volume, la pressione e la temperatura, che vengono definiti come i parametri di stato. Lo

stato di un gas e quindi caratterizzato da un determinato valore dei suoi tre parametri di

stato: si dice che la terna di valori (P, V, T ) definisce lo stato termodinamico del gas. Una

trasformazione termodinamica e il passaggio da uno stato a un altro, in cui almeno due dei

tre parametri di stato cambiano.

Per capire che relazione esiste tra di loro studiamo come si comporta un gas quando

teniamo fissa una di queste grandezze e lasciamo variare il valore di un’altra. Osserviamo

allora come cambia il valore della terza grandezza.

4.2 Temperatura costante: la legge di Boyle

Mantenendo costante la temperatura, il volume di una data massa di gas e inversamente

proporzionale alla pressione. E questo il contenuto della legge di Boyle.2 Se con P si indica

la pressione del gas e con V il suo volume, la legge di Boyle si esprime con la formula:

P · V = costante (4.1)

1Per i solidi: ∆V = V0(3 · α · ∆θ − κ · ∆p) dove κ e il coefficiente di compressibilita.

Analogamente per i liquidi: ∆V = V0(γ · ∆θ − κ · ∆p).2Robert Boyle (1627-1691), fisico scozzese. Studio le proprieta dei gas e perfeziono la pompa pneumatica

45

4.2. TEMPERATURA COSTANTE: LA LEGGE DI BOYLE 46

quando la temperatura T rimane fissa.

Per verificare sperimentalmente questa legge, si puo mettere il gas in un recipiente che e

chiuso in alto da un pistone mobile a tenuta (Fig.4.1). Per mantenere costante la temperatura

del gas immergiamo il recipiente in una grossa bacinella d’acqua e per variare la pressione

cambiamo il numero dei pesetti appoggiati sopra il pistone. Osserviamo allora che quando

aumentiamo la pressione, aggiungendo dei pesetti, il volume diminuisce.

Dopo un po’ di tempo il gas e l’acqua raggiungono l’equilibrio termico, cioe si trovano

alla stessa temperatura.

Figura 4.1: Legge di Boyle. Il recipiente e immerso in una grossa bacinella d’acqua che serve

per mantenere stabile la temperatura del gas.

Il gas, mentre passa dallo stato A allo stato B, subisce una trasformazione isoterma,

cioe una trasformazione a temperatura costante. Nel corso della trasformazione misurando

il volume V (la posizione del pistone) e la pressione P (dalla massa dei pesetti), e possibile

costruire un grafico P − V nel quale sull’asse orizzontale e riportato il volume e sull’asse

verticale la pressione (Fig.4.2). La curva che risulta e che rappresenta la legge pV = costante,

e un ramo di iperbole equilatera che rappresenta una relazione di proporzionalita inversa. Va

detto pero che la legge di Boyle non vale per qualsiasi valore della pressione: il comportamento

di un gas molto compresso si discosta da tale legge.

In pratica, per la verifica sperimentale della legge di Boyle si preferisce usare il dispositivo

illustrato nella figura 3.4. Dopo aver chiuso il rubinetto A, il volume V di gas e sottoposto

alla pressione atmosferica. A questo punto si raddoppia la pressione aggiungendo mercurio

nel tubo di sinistra fino a un dislivello di 76 cm: si nota che il volume del gas si dimezza.

Se aggiungiamo mercurio fino a 152 mm di dislivello, triplicando cosı la pressione iniziale, il

volume del gas si riduce a un terzo di quello originale.

La verifica sperimentale si deve condurre mantenendo costante la temperatura dell’aria

contenuta nel tubo.


4.2. TEMPERATURA COSTANTE: LA LEGGE DI BOYLE 47

Figura 4.2: Grafico che rappresenta la legge di Boyle in un diagramma PV . La curva, che e un

ramo di iperbole equilatera, visualizza la relazione di proporzionalita inversa tra la pressione

e il volume.

Figura 4.3: Verifica sperimentale della legge di Boyle


4.3. PRESSIONE COSTANTE: LA PRIMA LEGGE DI GAY-LUSSAC 48

4.3 Pressione costante: la prima legge di Gay-Lussac

Consideriamo ora un altro tipo di trasformazione, mantenendo costante la pressione e varian-

do la temperatura, detta trasformazione isobara. In questo caso, i gas aumentano di volume

al crescere della temperatura seguendo la stessa legge di dilatazione dei solidi e dei liquidi:

Vϑ = V0(1 + αϑ) , (4.2)

dove V0 e Vϑ sono rispettivamente il volume di una determinata quantita di gas a 0oC e

a ϑoC. Questa legge di dilatazione si chiama anche prima legge di Gay-Lussac 1.

Essa vale per tutti i gas a condizione che siano rarefatti (cioe a bassa densita ) e lontani

dalle condizioni di liquefazione. Mentre per i solido e i liquidi il coefficiente di dilatazione

varia a seconda delle sostanze, l’esperienza mostra che α e lo stesso per tutti i gas:

α =1

273, 15oC−1 (4.3)

Per realizzare una trasformazione del gas a pressione costante lasciamo inalterato il nume-

ro di pesetti appoggiati sul pistone (Fig.4.4). Aumentiamo la temperatura scaldando l’acqua

nella bacinella che contiene il recipiente di gas. Osserviamo allora che il gas si dilata e occupa

un volume sempre piu grande.

Questa trasformazione puo essere rappresentata in un grafico nel quale sull’asse orizzontale

e riportata la temperatura e sull’asse verticale il volume (Fig.4.4). La curva e una retta perche

la variazione di volume e direttamente proporzionale alla variazione di temperatura.

Figura 4.4: Prima legge di Gay-Lussac. A pressione costante se si aumenta la temperatura del

gas, il suo volume cresce in modo che la variazione di volume sia direttamente proporzionale

all’incremento di temperatura. La curva che rappresenta la prima legge di Gay-Lussac in un

diagramma V T e una retta che tocca l’asse delle temperature nel punto t = −273oC.

1Louis Joseph Gay-Lussac (1778-1850), chimico francese


4.4. VOLUME COSTANTE: LA SECONDA LEGGE DI GAY-LUSSAC 49

4.4 Volume costante: la seconda legge di Gay-Lussac

Vediamo infine che cosa succede quando manteniamo costante il volume. Se aumentiamo la

temperatura del gas (scaldando l’acqua dentro la bacinella), il volume tende ad aumentare

(Fig.4.5). Per evitare che questo accada dobbiamo aggiungere dei pesetti sopra il pistone.

Allora, tenendo fisso il volume, quando aumenta la temperatura aumenta anche la pressio-

ne. Una trasformazione di questo tipo si chiama isometrica, cioe trasformazione a volume

costante.

Figura 4.5: Seconda legge di Gay-Lussac. A volume costante se si aumenta la temperatura del

gas, il suo volume cresce in modo che la variazione di volume sia direttamente proporzionale

all’incremento di temperatura. La curva che rappresenta la prima legge di Gay-Lussac in un

diagramma PT e una retta

L’esperienza mostra che la relazione tra la temperatura e la pressione e espressa dalla

seconda legge di Gay-Lussac:

Pϑ = P0(1 + αϑ) , (4.4)

dove V0 e Vϑ sono rispettivamente la pressione del gas a 0oC e a ϑoC. La costante α ha

lo stesso valore che nella prima legge ed e quindi uguale per tutti i gas.

4.5 Il gas ideale e la temperatura assoluta

Le tre leggi che sono appena state enunciate descrivono in modo corretto le proprieta di tutti

i gas se sono soddisfatte due condizioni:

1. il gas preso in esame e piuttosto rarefatto;

2. la sua temperatura e molto maggiore di quella alla quale esso si liquefa.

In caso contrario vi possono essere delle deviazioni consistenti. Un gas che obbedisce

esattamente a queste leggi si chiama gas ideale o gas perfetto. Nella realta il gas perfetto

non esiste, ma e utile immaginare che esista per usarlo come termine di confronto, rispetto


4.6. L’EQUAZIONE DI STATO DEL GAS IDEALE 50

al quale si valutano le proprieta dei gas reali. In altri termini, un gas perfetto e un modello

di riferimento.

La legge di Boyle e le due leggi di Gay-Lussac possono essere sintetizzate in un’unica

relazione, chiamata equazione di stato del gas perfetto. Essa stabilisce un legame tra i tre

parametri di stato PVT.

Per ricavare l’equazione di stato e comodo scrivere in modo un po’ diverso la prima legge

di Gay-Lussac. L’intersezione della retta V = V0(1+αϑ) con l’asse delle temperature avviene

quando:

1 + αϑ = 0 (4.5)

da cui troviamo

ϑ = − 1

α' −273oC . (4.6)

Operiamo quindi una traslazione della scala che utilizziamo per misurare le temperature,

in modo che la nuova scala, i cui valori saranno indicati con il simbolo T , abbia l’origine

(T = 0) nel punto che corrisponde alla temperatura Celsius ϑ = −1/α.

Le temperature espresse nella nuova scala si ottengono da quelle in gradi Celsius som-

mando a queste ultime 1/α:

T = ϑ+1

α' ϑ+ 273, 15oC , (4.7)

dove T e ϑ indicano rispettivamente le temperature espresse nella nuova scala e quelle in

gradi Celsius. La temperatura T che abbiamo ora definito si chiama temperatura assoluta;

la temperatura T = 0 e chiamata zero assoluto. Si tratta della scala termometrica adottata

dal Sistema Internazionale. Come abbiamo anticipato nel paragrafo 1.2, la sua unita di

misura e il kelvin (K) e la scala viene chiamata scala Kelvin. Il valore della temperatura in

Kelvin che corrisponde alla temperatura Celsius ϑ = 0 si indica con T0 ed e pari a T0 = 273

K.

Quindi la costante di dilatazione cubica del gas perfetto si puo esprimere anche come

α =1

T0(4.8)

4.6 L’equazione di stato del gas ideale

4.6.1 Le leggi di Gay Lussac

Nella nuova scala, le due leggi di Gay-Lussac assumono una forma piu semplici di quelle viste

in (4.2) e (4.4). Infatti:

1 + αϑ = 1 +ϑ

T0= 1 +

T − T0

T0=

T

T0. (4.9)

La prima legge di Gay-Lussac, espressa nella temperatura assoluta, diventa quindi:

V = V0(1 + αϑ) = V0T

T0. (4.10)



Quindi, quando la pressione e costante, V e T sono proporzionali:

V

T=V0

T0(4.11)

Analogamente, per la seconda legge di Gay-Lussac, quando il volume e costante, si ottiene:

P

T=P0

T0(4.12)

Come si puo notare, nella scala Kelvin, le leggi di Gay-Lussac si esprimono tramite

relazioni di proporzionalita diretta.

4.6.2 L’equazione di stato

Ricaviamo ora l’equazione di stato del gas perfetto. Consideriamo una massa di gas che si

trova alla temperatura T0 = 273 K (cioe a 0oC) ed e sottoposta alla pressione P0. In queste

condizioni essa occupa un volume che chiamiamo V0. Sottoponiamo la massa di gas a due

trasformazioni successive.

1. Facciamo passare la pressione dal valore P0 al valore P1, mantenendo il gas alla tempe-

ratura costante T0 (trasformazione isoterma). Per la legge di Boyle il nuovo volume V ′0e diverso da quello iniziale. Otteniamo:

V ′0 =V0P0

P1(4.13)

2. Cambiamo la temperatura, facendola passare da T0 a un nuovo valore che indichiamo

con T1, mantenendo il gas alla pressione costante P1 (trasformazione isobara). Per la

prima legge di Gay-Lussac (4.11) il nuovo volume V1 e:

V1 =V ′0T0T1 (4.14)

Sostituendo al posto di V ′0 l’espressione (4.13), otteniamo:

V1 =V0P0

P1T0T1 . (4.15)

Riordinando i due membri dell’equazione, si ha

PV

T=P0V0

T0(4.16)

dove l’espressione tra parentesi e un numero che dipende soltanto dalla quantita di gas

che abbiamo preso in considerazione. Infatti il fattore

P0V0

T0(4.17)



e direttamente proporzionale al volume V0 del gas, misurato alla temperatura T0 e alla

pressione P0. Ma la pressione P0 e la temperatura T0 sono fissate, per cui V0 stesso non puo

che essere proporzionale al numero n di moli del gas. Ricordiamo che il numero di moli n e

dato dal rapporto fra il numero N di molecole e il numero di Avogadro NA:

NA = 6.02 · 1023 particelle/mole.

Quindi, ogni mole contiene lo stesso numero di particelle (atomi o molecole) pari al numero

di Avogadro.

Allora tutto il fattore (4.17) e direttamente proporzionale a n e possiamo scrivere

PV

T= nR (4.18)

dove

R = 8, 3143J/molK (4.19)

e una costante di proporzionalita che si chiama costante dei gas ideali.

Otteniamo quindi l’equazione di stato del gas perfetto:

pV = nRT (4.20)

L’equazione di stato stabilisce una relazione tra la pressione P , la temperatura T e il

volume V di una determinata quantita n di moli di gas perfetto. Essa afferma, in sostanza,

che il prodotto della pressione per il volume e direttamente proporzionale alla temperatura

assoluta.

Per i gas reali che non soddisfano le condizioni ideali l’equazione di stato che abbiamo

ricavato non e valida, quindi non vale neanche la legge di Avogadro. In questo bisogna

introdurre una nuova equazione, la legge di Van der Waals, che non tratteremo pero in

questo corso.

L’equazione di stato del gas perfetto implica la legge di Avogadro, secondo la quale, in

condizioni normali, una mole di un gas qualsiasi occupa sempre un volume di 22, 4 litri.

Infatti,

V =n ·R · T

p=

1mole · 8.31 (N ·m)/(mole ·K) · 273.2K

1.013 · 105N/m2= 22.4 dm3.

Terminiamo il paragrafo con un paio di definizioni tratte dalla legge federale sulla metrologia

del 1997.

• Massa atomica (art.58)

L’unita utilizzata in fisica atomica per definire la massa delle particelle e l’unita di

massa atomica (u). L’unita di massa atomica e uguale a 1/12 della massa di un atomo

di nuclide 12C.

1u =1

12massa 12C = 1.6605655 · 10−27 kg .



• Quantita di materia (art.55)

L’unita SI di base della quantita di materia e la mole (mol). La mole e la quantita

di materia di un sistema che contiene tante entita elementari quanti sono gli atomi

in 0.012 kg di carbonio 12. Quando si usa la mole le entita elementari devono esse-

re specificate e possono essere atomi, molecole, elettroni, ioni, altre particelle oppure

raggruppamenti specificati di tali particelle.

(mole: quantita in grammi di una sostanza che numericamente corrisponde alla massa

atomica o molecolare)

1 mole di H2 ⇒ ∼ 2 g

1 mole di O2 ⇒ ∼ 32 g

1 mole di CO2 ⇒ ∼ 44 g

1 mole di aria(70%N2 + 30%O2) ⇒ ∼ 29 g


4.7. INTERPRETAZIONE MOLECOLARE DELLA TEMPERATURA 54

4.7 Interpretazione molecolare della temperatura

4.7.1 Introduzione

In questo paragrafo, faremo una breve introduzione alla teoria cinetica dei gas, sviluppata da

James Clerk Maxwell e da Ludwig Boltzmann.

Ludwig Boltzmann James Maxwell

Lo scopo di questa teoria e quello di descrivere in maniera esauriente proprieta di gas,

considerati come sistemi composti di un grande numero di molecole. Per una descrizione

completa di un tale sistema, bisognerebbe risolvere le equazioni di moto di tutte le molecole

sottoposte alle forze considerate, problema matematico irrisolvibile anche per i computer piu

moderni, trattandosi di un sistema a ∼ 1023 − 1025 equazioni.

Il numero enorme di molecole rende sı inutile lo studio del moto di ogni singola molecola

ma permette di limitarsi ai valori medi di grandezze che ne caratterizzano il moto: velocita

media, energia media, ecc. La teoria cinetica si basa sull’assunzione di alcune ipotesi:

• Il volume occupato dalle molecole e trascurabile rispetto al volume occupato dal gas.

• Le molecole si muovono velocemente in linea retta e in modo casuale.

• Le molecole non si attraggono o respingono.

• Le molecole urtano elasticamente le pareti del recipiente o le altre molecole

• La pressione e dovuta agli urti delle molecole sulle pareti del contenitore.

Come si puo notare, le ipotesi precedenti descrivono il comportamento dei gas ideali, visti

nel paragrafo precedente.



4.7.2 Pressione del gas

La pressione e spiegata dalla teoria cinetica come conseguenza delle forze esercitate dalle

collisioni delle molecole del gas con le pareti del recipiente. Le leggi della meccanica ci

permettono di trovare la pressione dovuta a tutte le molecole. Per ottenerla, bisogna calcolare

la rapidita di variazione della quantita di moto delle particelle che e uguale alla forza esercitata

dalle pareti sulle molecole. Per la terze legge di Newton, questa forza e uguale a quella che

le molecole fanno sulla parete e dividendo per l’area della parete, si ottiene finalmente la

pressione.

Supponiamo che le N molecole di massa m che com-

pongono il gas siano contenute in un parallelepipedo

di volume V e che il gas si trovi all’equilibrio. Voglia-

mo calcolare la forza esercitata da queste molecole

sulla parete perpendicolare all’asse x, di area A. Co-

me si vede dalla figura a fianco, l’unica componente

della velocita che varia durante l’urto e la componen-

te lungo l’asse x, mentre i moduli restano uguali, dato

che l’urto e elastico. Allora avremo:

mv′x = −mvx mv

′y = mvy; mv

′z = mvz (4.21)

quindi:

∆px = −mvx −mvx = −2mvx (4.22)

Possiamo ora stimare la forza media che la parete

esercita sulla molecola. Una particella collide con la

parete in media una volta ogni 2L/vx unita di tempo

(deve fare un’andata e ritorno), dove L e la lunghezza

del contenitore nella direzione x. La forza risultante

esercitata e quindi:

F =∆px∆t

. (4.23)

La pressione esercitata dal gas si ottiene dividendo F per l’area A e per il terzo principio

della dinamica cambiando il segno. Percio :

p = −FA

= −−2mvx

A2Lvx

=mv2

x

V(4.24)



La pressione totale esercitata dal gas sulla parete e quindi la somma di tutte le pressioni

esercitate dalle molecole:

p =m

V

N∑i=1

(vx)2i (4.25)

Definiamo il valore quadratico medio della velocita lungo x, come media del quadrato delle

velocita lungo la direzione x per tutte le N molecole:

v2x =

1

N

N∑i=1

v2ix (4.26)

La pressione lungo la direzione x e allora:

p =N

Vmv2

x (4.27)

N e il numero di particelle pari a N = n ·NA, e poiche per definizione m ·NA = M dove M

e la massa molare, possiamo riscrivere la pressione come:

p =n ·M · v2

x

V(4.28)

Per ipotesi il gas ha distribuzione uniforme quindi per le velocita medie, sussiste la relazione:

v2x = v2

y = v2z =

1

3v2 (4.29)

Definiamo la velocita quadratica media vq come:

v2q = v2 (4.30)

abbiamo per la pressione:

p =M · n · v2

q

3V(4.31)

L’Eq.(4.31)) mette in relazione la velocita delle molecole con la pressione che esse esercita-

no sul recipiente. Utilizzando l’equazione di stato dei gas perfetti: pV = nRT , possiamo

estrapolare una stima della velocita quadratica media:

v2q =

3RT

M(4.32)

Da quest’ultima si deduce che la velocita delle molecole e direttamente proporzionale alla

temperatura e dipende ovviamente dalla massa molare delle molecole.



4.7.3 Energia cinetica e energia interna

L’energia cinetica media di una molecola del gas e data da:

Ec =1

N

N∑i=1

1

2mv2

i (4.33)

Usando le relazioni (4.30) e (4.32), si ottiene:

Ec =1

2m · v2

q =1

2m

3RT

M. (4.34)

Ricordando che M/m = NA e che R/NA = k, si ha:

Ec =3RT

2NA=

3

2kT , (4.35)

cioe la temperatura e una misura dell’energia cinetica media delle molecole. Questa formu-

la, come quella precedente per la pressione, mette in relazione una grandezza microscopica

come l’energia cinetica delle particelle di gas e una grandezza macroscopica come la loro

temperatura.

L’espressione (4.35) e pero valida solo per molecole assimilate a un punto che possono

compiere solo un moto di traslazione. In fisica statistica, si puo dimostrare che l’energia

cinetica media di un sistema di molecole in equilibrio termico si divide equamente fra tutti

i gradi di liberta, e ogni grado di liberta possiede un’energia pari a kT/2. Ad esempio un

molecola biatomica possiede cinque gradi di liberta: oltre ai tre di traslazione del centro di

massa, ne possiede due per gli angoli di rotazione del suo asse. Questo teorema dovuto a

Boltzmann prende il nome di legge di equipartizione e l’equazione (4.35) assume la forma

seguente:

Ec =f

2kT , (4.36)

dove f e il numero di gradi liberta delle molecole che compongono il gas. Se il gas contiene

N molecole, si definisce come energia interna U la grandezza:

U =f

2NkT =

f

2nRT , (4.37)


Capitolo 5

Accenni di termodinamica

5.1 Il calore

5.1.1 Il calore specifico

In una scatola di polistirolo contenente una massa m1 d’acqua fredda alla temperatura iniziale

T1, poniamo un recipiente di vetro con pareti sottili riempito con una massa m2 di alcool alla

temperatura T2 e leggiamo la temperatura finale T del sistema, dopo aver atteso l’equilibrio

termico. (Fig. 5.1).

m1t1 m2t2

t

Figura 5.1:

Si osserva che la temperatura finale T e data dalla relazione:

m1 (T − T1) = 0.57 ·m2 (T2 − T ) . (5.1)

In generale, quando si pongono in contatto termico due sostanze qualunque, vale la

relazione:

m1c1(T − T1) = m2c2(T2 − T ), (5.2)

dove c1 e c2 sono due costanti che dipendono dalle sostanze considerate (ad esempio, se

poniamo c = 1 per l’acqua, per l’alcool c vale 0.57).

59

5.1. IL CALORE 60

Supponiamo che il riscaldamento della sostanza fredda sia dovuto all’acquisto di qualcosa,

che la sostanza piu calda le cede. A questa nuova grandezza diamo inoltre il nome di calore

e le associamo il simbolo Q. In altre parole, il calore e trasferimento di energia tra due corpi

inizialmente a temperature diverse ed e quindi energia in transito.

A tal proposito osserviamo che nella relazione (5.2) compaiono nel termine di sinistra

solo grandezze fisiche relative alla sostanza 1, in quello di destra solo grandezze relative alla

sostanza 2. Questo fatto ci suggerisce di prendere il prodotto m1 c1(T −T1) quale misura del

calore acquistato dalla sostanza 1 ed il prodotto c2m2(T2−T ) quale misura del calore ceduto

dalla 2.

Quindi il calore ceduto o acquistato da un corpo risulta essere proporzionale alla massa e

alla variazione di temperatura subita dalla medesima e la relazione (5.2) diventa allora la

traduzione matematica dell’ipotesi:

|calore ceduto da una sostanza| = |calore acquistato dall’altra|.

Quale unita di misura del calore si puo scegliere indifferentemente la quantita di calore neces-

saria ad aumentare (o diminuire) di 1 ℃ la temperatura di 1 g d’acqua o di un’altra sostanza.

Siccome pero a dipendenza della sostanza tale quantita generalmente cambia, si e convenuto

di riferirsi sempre all’acqua. L’unita di misura cosı definita e stata chiamata caloria (cal). La

relazione matematica, che esprime il calore ceduto o acquistato da una sostanza qualsiasi,

diventa in generale:

Q = mc∆T ; (5.3)

dovem = massa del corpo,

∆T = differenza fra la temperatura finale e quellainiziale di m

e la grandezza c e una caratteristica di ogni sostanza. Essa viene chiamata calore specifico

della sostanza ed esprime quanto calore deve acquistare (o cedere) una massa unitaria per

riscaldarsi (o raffreddarsi) di un’unita di temperatura. Siccome abbiamo introdotto un’unita

di misura per il calore, automaticamente anche il calore specifico non e piu rappresentato da

un numero puro ma assume l’unita di misura cal/(g · ℃). Quindi nel caso dell’acqua il calore

specifico deve valere 1cal/g · ℃.

In generale, essendo il calore una forma di energia, si usa il joule come unita di misura.

Fra joule e caloria, vale la relazione seguente:

1 cal = 4.19 J. (5.4)

Nel S.I. il calore specifico dell’acqua diventa percio 4.19·103 J/(kg ·K).

Si osservi che il calore definito dalla 5.3 puo essere sia positivo, se acquistato, sia negativo,

se ceduto, mentre nella 5.2 compaiono solo termini positivi in quanto si eguagliano i valori

assoluti delle quantita di calore. Usando la definizione 5.3 possiamo riscrivere la 5.2 nel modo

seguente:

m1 c1(T − T1) +m2 c2(T − T2) = 0,


5.1. IL CALORE 61

da cui si ricava:

Q1 +Q2 = 0.

Si tratta di un’equazione di bilancio termico, che esprime la conservazione dell’ener-

gia in un sistema isolato termicamente con l’esterno. Tale equazione e facilmente

generalizzabile ad un sistema composto da piu di due corpi. In tal caso si ha:

n∑i=1

Qi = Q1 +Q2 + · · ·+Qn = 0. (5.5)

I termini da Q1 a Qn possono assumere sia valore positivo che negativo in accordo con la

definizione di calore data dalla 5.3. Il vantaggio di scrivere l’equazione di bilancio termico in

questo modo sta nel fatto di non dover conoscere a priori quali siano i corpi che acquistano

e quali siano quelli che perdono calore.

Dalla tabella 5.1 si nota che il calore specifico di una sostanza allo stato liquido puo essere

assai diverso da quello della stessa sostanza allo stato solido. Inoltre i gas mostrano calori

specifici differenti a dipendenza del fatto che il riscaldamento avvenga a pressione o a volume

costante. Infine e interessante rilevare che l’acqua ha un calore specifico fra i piu alti.

5.1.2 La capacita termica

Talvolta e utile usare il concetto di capacita termica (simbolo C), soprattutto quando si e in

presenza di oggetti composti da materiali diversi (ad esempio un termometro, un calorimetro,

ecc.). Essa e definita dalla relazione

C = m1c1 +m2c2 + · · ·+mncn (5.6)

ed esprime la quantita di calore necessaria per produrre un riscaldamento unitario dell’og-

getto. Il calore acquistato o ceduto da un oggetto puo quindi essere calcolato mediante la

capacita termica ed il cambiamento di temperatura:

Q = m1c1∆T +m2c2∆T + · · ·+mncn∆T

= (m1c1 +m2c2 + · · ·+mncn)∆T

= C ·∆T.(5.7)


5.2. EQUILIBRIO TERMODINAMICO 62

cal/(g·℃) kJ/(kg·K)

alluminio 0.214 0.896

rame 0.092 0.383

ottone 0.092 0.380

ferro 0.108 0.452

ghisa 0.129 0.540

calcestruzzo 0.20−0.25 0.84−1.05

polistirolo 0.35 1.46

vetro di Jena G20 0.191 0.800

ghiaccio 0.50 2.05

acqua 1.00 4.19

mercurio 0.033 0.139

alcool etilico 0.57 2.43

aria 0.240 1.005 p costante

aria 0.171 0.717 V costante

idrogeno 3.420 14.32 p costante

idrogeno 2.431 10.18 V costante

Tabella 5.1: Calori specifici di alcune sostanze

5.2 Equilibrio termodinamico

Abbiamo visto che e teoricamente impossibile determinare il legame fra i movimenti moleco-

lari e le proprieta delle sostanze. Alcune di queste possono pero essere studiate limitandosi a

grandezze macroscopiche che caratterizzano la sostanza nel suo insieme, come ad esempio la

temperatura e la pressione.

Per studiare le proprieta della materia legate alle agitazioni termiche delle particelle, si

usano inoltre leggi generali sempre valide indipendenti dalla natura dei movimenti molecolari.

Queste leggi riguardano l’energia, le sue variazioni e le grandezze che vi sono associate. Il

ramo della fisica che si occupa di questo studio e la termodinamica.

Un interesse particolare acquista la trasformazione di energia meccanica in calore e vi-

ceversa, tramite cosiddette macchine termiche. In questo paragrafo ci limiteremo alla ter-

modinamica dell’equilibrio. Un sistema si trova in equilibrio termodinamico se le grandezze


5.3. PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA 63

macroscopiche che definiscono il suo stato non variano ma si limitano a fluttuare attorno al

loro valore medio.

Lo stato d’equilibrio e lo stato verso il quale tende ogni sistema molecolare in assenza di

forze esterne. Stabilito l’equilibrio, il sistema non ritorna piu allo stato iniziale. Al contrario

dei movimenti meccanici, i fenomeni molecolari sono quindi irreversibili. Questo fatto appa-

rentemente contradditorio si spiega con il grandissimo numero di particelle nel sistema e il

completo disordine del loro moto. Si puo in verita chiarire in modo abbastanza semplice che

il processo reversibile spontaneo e possibile, ma altamente improbabile.

5.3 Primo principio della termodinamica

In ogni sistema e contenuta una certa quantita di energia, in varie forme, che viene percio

definita energia interna del sistema. In un gas questa energia e essenzialmente l’energia

cinetica totale delle molecole in movimento. Esistono due modi per modificare l’energia

interna di un corpo: fornendo calore o compiendo un lavoro sul sistema. Sappiamo che

l’energia interna del gas dipende dalla sua temperatura, infatti maggiore e questa e piu

velocemente le molecole del gas si muovono. Quando forniamo calore ad un gas vediamo

che la sua temperatura aumenta, quindi aumenta anche la sua energia interna. Allo stesso

modo se comprimiamo il gas, facendo quindi lavoro sul sistema, aumentiamo la sua energia

interna. Da qui nasce il primo principio della termodinamica, che non e altro se non una

generalizzazione del principio di conservazione dell’energia:

Il lavoro realizzato da un sistema e uguale alla differenza fra la quantita di calore ricevuta

e la sua variazione di energia interna

Chiamiamo L il lavoro e U l’energia interna, si

puo allora scrivere:

L↑ = Q↓ −∆U , ossia ∆U = Q↓ − L↑ . (5.8)

Qui useremo la convenzione in cui la freccia su

(↑) indica grandezza fornita dal sistema all’ester-

no, freccia giu (↓), grandezza fornita dall’esterno

al sistema, come indicato nella figura a fianco.


5.4. LAVORO DI UN GAS E DIAGRAMMA PV 64

5.4 Lavoro di un gas e diagramma pV

Un gas in espansione fornisce un lavoro meccanico. Analogamente, per comprimerlo, bisogna

fornire lavoro dall’esterno. Supponiamo che il gas sia contenuto in un recipiente chiuso da un

pistone mobile a tenuta perfetta e non soggetto a attriti (vedi Fig.5.2).

Figura 5.2: Gas racchiuso in un cilindro isolato termicamente e munito di un pistone mobile

Se il pistone viene spostato di una lunghezza dz da una forza F fornita dall’esterno, si ha

che:

dL = F dz = p A dz = p dV (5.9)

Dato che durante l’espansione (o la compressione), la pressione puo variare, per calcolare

il lavoro per una variazione di volume qualsiasi (∆V = V2 − V1), bisognera conoscere la

pressione in funzione del volume. Abbiamo visto nel capitolo precedente che lo stato di un

gas e determinato dalle tre variabili di stato P, V, T legate fra loro dall’equazione di stato

PV = nRT . E consuetudine in termodinamica rappresentare questi stati in un cosiddetto

grafico P − V dove a ogni punto (V, P ) e associata una temperatura T (e quindi un’energia

interna U).

Percio, dalla (5.9), per calcolare il lavoro totale, bisogna calcolare l’area sotto il grafico di

p in funzione di V , vale a dire l’integrale di p(V ):

L =

∫ V2

V1

p(V ) dV (5.10)


5.5. BILANCIO ENERGETICO NELLE TRASFORMAZIONI PRINCIPALI 65

Figura 5.3: Il lavoro L e l’area sotto il grafico P(V)

5.5 Bilancio energetico nelle trasformazioni principali

Vogliamo ora analizzare nuovamente le tre trasformazioni (Boyle e Gay-Lussac) considerate in

precedenza alla luce di questo principio ed aggiungerne un’altra, la trasformazione adiabatica.

In particolare, verra fatto un bilancio energetico nelle suddette trasformazioni da uno stato

(P1, V1, T1) a uno stato (P2, V2, T2).

5.5.1 Trasformazione isoterma

In questo caso la temperatura del gas non varia e quindi nemmeno la sua energia interna.

Percio, dato che ∆U = 0, Q↓ = L↑, tutto il calore fornito al gas si converte in lavoro. Con

l’equazione di stato, abbiamo che

p(V ) =nRT

V(5.11)

e usando la (5.10), si ha

Q↓ = L↑ =

∫ V2

V1

nRT

VdV = nRT ln

V2

V1(5.12)

5.5.2 Trasformazione isocora

In questa trasformazione il volume resta costante, quindi il gas non puo compiere nessun

lavoro. Percio, dato che L↑ = 0, Q↓ = ∆U , tutto il calore che viene fornito al gas va a variare

la sua energia interna e quindi la sua temperatura. Viceversa se il sistema cede calore, la sua

energia interna diminuisce e quindi il gas si raffredda. Si ha quindi che:

Q↓ = ∆U = ncV (T2 − T1) (5.13)



5.5.3 Trasformazione isobara

In questa trasformazione non vi e nessuna grandezza che si conservi: infatti il sistema compie

o subisce lavoro, assorbe o cede calore e quindi la sua energia interna e la sua temperatura

variano. In questo caso, dato che la pressione rimane costante, il lavoro e semplicemente dato

dal prodotto tra la variazione di volume e la pressione P = P1 = P2, vale a dire:

L↑ = P∆V = P1(V2 − V1) = nR(T2 − T1) . (5.14)

Il primo principio fornisce quindi che:

Q↓ = ∆U + L↑ = ncV ∆T + nR∆T = ncP∆T (5.15)

dove la grandezza cP = cV +R e il calore specifico a pressione costante.

5.5.4 Trasformazione adiabatica

Se il sistema e termodinamicamente isolato dall’ambiente, ossia se non vi sono scambi di

calore con l’esterno, si parla di trasformazione adiabatica (Q↓ = 0). In questo caso tutto il

lavoro compiuto dal gas va a discapito della sua energia interna, per cui:

L↑ = −∆U = ncV (T1 − T2). (5.16)

Si puo dimostrare (vedi esercizi) che esistono le seguenti relazioni fra i parametri nella

trasformazione adiabatica:

• pV γ = cost

• TV γ−1 = cost

• T γP 1−γ = cost

dove γ = cP /cV .

5.5.5 Variazione delle grandezze in una trasformazione reversibile

La tabella seguente riassume i bilanci energetici nelle quattro trasformazioni viste nei para-

grafi precedenti.

Trasformazione Q L ∆U

isocora ncv∆T 0 ncv∆T

isobara ncp∆T nR∆T ncv∆T

isoterma L nRT ln(V2/V1) 0

adiabatica 0 −ncv∆T ncv∆T

Tabella 5.2: I valori di Q,L,∆U nelle quattro trasformazioni



In questo paragrafo, vogliamo analizzare le trasformazioni viste nei in precedenza passando

da uno stato C a uno stato B, come illustrato in Fig.5.4, mostrando esplicitamente che essendo

gli stati iniziali e finali identici in tutte le trasformazioni, la variazione di energia interna e

nulla. A tale scopo, calcoliamo i valori Q,L e ∆U per tutte le trasformazioni indicate nella

Fig.5.4. Si ottengono cosı i valori riportati nella tabella (5.3)

Figura 5.4: Rappresentazione delle quattro trasformazioni principali passando dallo stato C

allo stato B

Trasformazione Q L ∆U

isocora A→ B -9019 0 -9019

isobara C → A +15019 +6000 +9019

isoterma C → B +4160 +4160 0

adiabatica C → F 0 +3323 -3323

isocora F → B +3323 0 +3323

Tabella 5.3: I valori di Q,L,∆U (in Joule) nelle diverse trasformazioni per passare dallo stato

C allo stato B



Per le trasformazioni globali che conducono da C a B, si ottiene quindi:

• Trasformazione C → A→ B:

Q = 6000 J

L = 6000 J

∆U = 0

• Trasformazione C → B:

Q = 4160 J

L = 4160 J

∆U = 0

• Trasformazione C → F → B:

Q = 3323 J

L = 3323 J

∆U = 0

Come si puo vedere, la variazione di energia interna e sempre uguale, qualunque sia la

trasformazione mediante la quale si realizza il passaggio da C a B. In verita, e persino nulla,

perche i due stati sono sulla medesima isoterma. Non e cosı invece per il calore e il lavoro,

che dipendono strettamente dalle trasformazioni intermedie.

Si dice che l’energia interna e una funzione di stato. Un funzione di stato e una funzione

la cui variazione dipende solo dagli stati iniziale e finale del sistema, e non da come si passa

da uno all’altro.

5.5.6 Calore specifico dei gas ideali

Abbiamo visto nel paragrafo (5.1.1) il concetto di calore specifico. In termodinamica, con i

gas, viene spesso usato il calore molare, riferito cioe a una mole di sostanza. Come si puo

dedurre dalle equazioni (4.37) e (5.13), il calore specifico molare a volume costante cV per un

gas ideale monoatomico e dato da:

cV =∆U

∆T=

3

2R . (5.17)

Di conseguenza, dalla (5.15), si deduce che cp = 5R/2 e γ = 5/3. Per un gas biatomico dove

i gradi di liberta sono cinque (f = 5), cV = 5R/2, cp = 7R/2 e γ = 7/5.


Capitolo 6

Il trasporto di calore

6.1 La conduzione

6.1.1 La conduzione termica di una sbarra omogenea

Una sbarra di metallo collega un bagno alla temperatura T1 con uno alla temperatura T2

(Fig. 6.1).

t1u t1u t1u t1u

t1 t2

x

Figura 6.1: Conduzione termica lungo una sbarra di metallo

Le due temperature sono regolate mediante l’afflusso e deflusso d’acqua. Ci interessiamo

qui all’andamento della temperatura in funzione della posizione x nella sbarra, quando que-

st’ultima e isolata termicamente lungo tutta la sua lunghezza: scambi di calore sono quindi

possibili solo fra le estremita. La misura delle temperatura nella sbarra avviene mediante

dei termometri equidistanti tra di loro. Prima d’iniziare l’esperienza le temperature dei due

bagni e della sbarra sono uguali, si ha cioe l’equilibrio termico. Se innalziamo bruscamente la

temperatura T1 avendo cura di mantenere T2 invariata, si osservano allora in istanti di tempo

successivi le distribuzioni di temperatura di Fig. 6.2.

69

6.1. LA CONDUZIONE 70

θ1

θ2

temperatura

θ

posizione x

situazione iniziale

dopo variazione di temperatura

piu tardi

dopo molto tempo

Figura 6.2: Distribuzioni della temperatura lungo la sbarra

Dopo tanto tempo si ha quindi una distribuzione lineare della temperatura in funzione di

x che non varia piu: si dice che si e raggiunto il regime stazionario (la situazione precedente

si chiama regime transitorio). Per mantenerlo occorre scaldare continuamente il bagno di

sinistra e raffreddare quello di destra: del calore sfugge continuamente attraverso la sbarra.

Si dice percio che essa conduce il calore.

Se il bagno di sinistra e pure isolato termicamente verso l’esterno ed e totalmente riempito,

possiamo determinare la quantita di calore che occorre fornire in un dato tempo, misurando

la massa m1 d’acqua che circola in quel tempo e la sua diminuzione di temperatura T1,e−T1,u:

Qfornito = cacqua m1(T1,e − T1,u). (6.1)

Analogamente, il calore che si asporta dal bagno di destra si puo determinare con la relazione:

Qasportato = cacqua m2(T2,u − T2,e), (6.2)

dove m2 e la quantita d’acqua di raffreddamento che circola nell’intervallo di tempo scelto.

L’esperienza mostra che nel caso stazionario vale:

Qfornito = Qasportato ,

cioe il calore scorre nella sbarra senza accumularsi: se esiste un afflusso di calore a sinistra oc-

corre un deflusso identico a destra. Chiamiamo flusso di calore Φ il calore fornito o asportato

in un dato intervallo di tempo ∆t diviso per tale tempo. Quindi definiamo:

Φ =Qfornito

∆t=Qasportato

∆t. (6.3)

Esaminiamo ora da quali grandezze dipende Φ e in che modo. Se si modifica ad esempio

una delle temperature Ti (i = 1, 2) e si attende il nuovo stato stazionario, l’esperienza mostra



che

Φ ∼ (T1 − T2); (6.4)

cioe che il flusso di calore dipende in modo direttamente proporzionale solo dalla differenza

di temperatura fra le due estremita della sbarra.

Modificando invece la lunghezza d della sbarra si trova, a parita di temperature e di sezione:

Φ ∼ 1

d. (6.5)

Il flusso di calore deve essere inoltre direttamente proporzionale all’area A della sezione, come

conferma anche l’esperienza:

Φ ∼ A. (6.6)

Infine il flusso di calore dipende dal materiale di cui e costituita la sbarra. Le tre relazioni

(6.4), (6.5) e (6.6) si possono riassumere in:

Φ = λ(T1 − T2)

dA (legge di Fourier), (6.7)

dove λ e il coefficiente di conducibilita termica (o semplicemente conduttivita termica). Esso

dipende dal materiale e rappresenta la quantita di calore (in J o kcal) che attraversa nell’unita

di tempo un elemento di lunghezza (in m) e sezione (in m2) unitarie, quando la differenza di

temperatura fra le estremita e anch’essa unitaria (in K o in ℃). Un’unita di misura possibile

per λ e la kcalm·h·℃ , ma nel S.I si adopera il J

m·s·k = Wm·k .

Il simbolo W(= J/s) sta per watt. Come abbiamo gia visto, tale unita di misura viene

usata per grandezze fisiche quali la potenza P (meccanica, termica o elettrica), ma anche per

il flusso di calore Φ, che rappresenta energia per unita di tempo.

Nella Tabella 6.1 sono riportati valori di λ per diversi materiali. Si puo notare che λ

e alto per i metalli ma dipende molto dal loro grado di purezza. I liquidi e soprattutto i

gas in quiete hanno invece delle conduttivita termiche molto basse. I materiali isolanti quali

il polistirolo, il poliuretano e la lana minerale devono il loro potere isolante alla presenza

d’aria (o d’anidride carbonica nel caso del poliuretano), che e racchiusa in spazi ristretti per

impedirne il movimento. A seconda delle dimensioni di tali spazi, e quindi della densita del

materiale, si modifica l’incidenza relativa dei tre effetti (conduzione, convezione e irraggia-

mento) responsabili del trasporto di calore in un isolante termico. Nel caso del polistirolo

esiste una densita ottimale in cui la somma dei tre effetti e minima (Fig. 6.3).



0 ℃ 20 ℃ 100 ℃ 500 ℃

argento 428 428 420 390

rame 395 395 390 360

oro 312 312 312 294

alluminio 239 239 237 220

zinco 113 112 110

ottone (70% Cu/ 30% Zn) 110 112 128

ferro 82 80 72 44

piombo 35 35 34

acciaio (18% Cr/ 8% Ni) 14.2 14.5 15.7 21

porcellana 1.40 1.42 1.45 1.70

vetro al quarzo 1.35 1.36 1.42 2.10

vetro di Jena G20 1.17

mercurio 8.2

acqua ferma 0.552 0.598 0.682

idrogeno 0.173 0.182 0.222 0.384

elio 0.142 0.148 0.171 0.300

ossigeno 0.0244 0.0255 0.0307 0.060

azoto 0.0242 0.0255 0.0307 0.056

aria 0.0242 0.0256 0.0312 0.057

anidride carbonica 0.0143 0.0158 0.0213 0.056

Materiali impiegati nell’edilizia:

calcestruzzo armato 1.8

vetro per finestra 0.81

mattoni 0.37−0.44

sughero (in lastre) 0.042

lana di vetro (< 60 kg/m3) 0.040

polistirolo estruso ( > 25 kg/m3) 0.036

Tabella 6.1: Conduttivita termica di alcune sostanze in W/mK, alla pressione di 1 atm



0.026

0.028

0.03

0.032

0.034

0.036

0.038

0.04

0 20 40 60 80 100 120

λ

densità

Figura 6.3: Conduttivita termica del polistirolo in funzione della densita

6.1.2 La conduzione termica di una parete stratificata

Studiamo ora la conduzione del calore attraverso una parete costituita da due strati adiacenti

(figura 6.4) con conduttivita termiche l1 e l2 differenti, nel caso del regime stazionario.

��

��

��

��

p p

d1 d2

l2l1

t1 ts t2

Figura 6.4:

Siccome la temperatura non varia nel tempo, il flusso di calore attraverso qualsiasi sezione



verticale sara lo stesso. Ogni strato si comporta come una sbarra omogenea e quindi possiamo

applicare la legge di Fourier due volte:

Φ = λ1(T1 − Ts)

d1A = λ2

(Ts − T2)

d2A, (6.8)

dove Ts e la temperatura sulla superficie di separazione. Inoltre la distribuzione della tempe-

ratura in ogni strato sara lineare (Fig. 6.5).

t

x

t1

ts

t2

d1 d2

Figura 6.5:

Per il calcolo seguente e comodo introdurre la trasmissione termica Λ di uno strato, definita

secondo:

Λ =λ

d, (6.9)

la quale rappresenta il flusso di calore attraverso una superficie unitaria (1 m2) quando la

differenza di temperatura fra le due estremita di una parete omogenea di spessore d e anch’essa

unitaria (1K). La sua unita di misura sara pertanto nel S.I. il W/(m2 ·K).

Dalla (6.8) segue con Λ1 = λ1/d1 e Λ2 = λ/d2 :

Λ1(T1 − Ts) = Λ2(Ts − T2),

da cui

Ts =Λ1T1 + Λ2T2

Λ1 + Λ2; (6.10)

e risostituendo ad esempio nella prima parte della (6.8) si ha per il flusso di calore:

Φ = Λ1

(T1 −

Λ1T1 + Λ2T2

Λ1 + Λ2

)A

=Λ1Λ2

Λ1 + Λ2(T1 − T2)A.

(6.11)


6.2. LA CONVEZIONE 75

Introducendo la trasmissione termica Λp della parete, definita con

Λp =Λ1Λ2

Λ1 + Λ2, (6.12)

si ha infine:

Φ = Λp(T1 − T2)A. (6.13)

La relazione (6.13) ci dice che il flusso di calore e proporzionale a (T1 − T2) e ad A, come

nel caso della sbarra o di una singola parete omogenea, e che i due strati si comportano

come un’unica parete la cui trasmissione termica e data dalla (6.12). Con quest’ultima si puo

verificare facilmente che Λp e sempre piu piccolo di Λ1 e Λ2. Infatti se si calcola dalla (6.12)

la cosiddetta resistenza termica di una parete

Rp =1

Λtot=

1

Λ1+

1

Λ2, (6.14)

si vede che l’aggiunta di 1/Λ2 fa aumentare il valore di 1/Λ1 e quindi diminuire quello di Λp.

Generalizzando i risultati ottenuti si puo verificare che per una parete costituita da n strati

vale ancora la (6.13), dove pero la resistenza alla conduzione termica e da calcolarsi secondo

la formula:

Rp =1

Λp=

1

Λ1+

1

Λ2+ · · ·+ 1

Λn. (6.15)

La resistenza termica rappresenta la differenza di temperatura ∆T fra le estremita di una

parete (semplice o composta) affinche il flusso di calore attraverso una sezione unitaria (1m2)

sia anch’esso unitario (1W ). La sua unita di misura risulta pertanto essere nel S.I. il (K ·m2)/W .

6.2 La convezione

I fluidi hanno una conducibilita termica molto bassa. Se il calore si propagasse al loro interno

solo per conduzione, ci vorrebbero persino ore per riscaldare in modo uniforme una pentola

d’acqua con un fornello. Ma nei fluidi, interviene anche un altro processo, la convezione, che

rende molto piu rapida la propagazione del calore.

Mettendo un recipiente pieno di acqua su una fiamma (Fig.6.6), lo strato di acqua a

contatto con il fondo si riscalda per primo. L’aumento di temperatura dilata l’acqua in

quella zona e diminuendo la sua densita , per il principio di Archimede, essa sale verso la

superficie. Nel frattempo, sul fondo del recipiente scende dall’alto acqua piu fredda che

subendo lo stesso processo, si riscalda e sale. Si producono cosi delle correnti convettive che

la rimescolano continuamente.



Figura 6.6: Convezione e conduzione riscaldando un pentolino

Queste correnti non si creano invece se si riscalda lo strato superiore di acqua, e il trasporto

di calore avviene per sola conduzione, come si potrebbe notare ponendo dei termometri a

diverse profondita (vedi Fig.6.6 a destra). In generale quindi, la propagazione di calore

avviene per convezione quando vi sono differenze di densita all’interno del fluido (dovute

alla differenza di temperatura) che generano correnti che trasportano il calore all’interno

del fluido. Per questo motivo, non puo esserci convezione in un solido dato che le molecole

possono muoversi solo intorno alla loro posizione di equilibrio.

Consideriamo un fluido, per esempio aria, in contatto termico con una parete. Se la

temperatura dell’aria e superiore (o inferiore) a quella superficiale della parete, si ha un

flusso di calore dall’aria verso la parete (o viceversa). Lungo lo strato d’aria in immediata

vicinanza della superficie della parete si osserva una caduta di temperatura, il cui andamento

e riportato in Fig. 6.7.

��

��

x

t

t1

t2

Figura 6.7:



Si nota inoltre che la distribuzione di temperatura non e lineare per cui la trasmissione del

calore non puo essere descritta dalla sola legge della conduzione. Quest’ultima infatti e valida

a rigore solo per l’aria immobile mentre l’esperienza insegna che lo strato d’aria in prossimita

della superficie della parete e in movimento (Fig. 6.8). Del calore viene quindi trasportato con

l’aria stessa cioe per convezione. Se il moto e generato unicamente da differenze di densita

dovute a loro volta a temperature diverse all’interno della massa d’aria, si parla di convezione

libera, se invece e generato da un fattore esterno, come un ventilatore o una pompa, si parla

di convezione forzata.

��

��

t2t1

Figura 6.8:

L’effetto combinato della conduzione e della convezione puo essere descritto matemati-

camente da una legge analoga a quella di Fourier se si introduce un coefficiente idoneo e

chiamato coefficiente di trasmissione termica superficiale . Si ha cioe

Φ = α(T1 − T′1)A, (6.16)

dove T1 e la temperatura del fluido e T′1 quella superficiale della parete. Il coefficiente α di-

pende dalla levigatezza della parete e dal movimento del fluido, che a sua volta e influenzato

dalla differenza di temperatura (T1 − T′1) nonche dalla forma e dalle dimensioni della parete.

Il calcolo di α e di solito impossibile o per lo meno molto complicato e impreciso per cui in

generale si introducono nella (6.16) dei valori sperimentali di α. Nella Fig. 6.9 sono riportati

degli ordini di grandezza del coefficiente α.

Occorre sempre tenere presente che, a differenza della legge di Fourier, la (6.16) non rap-

presenta neppure approssimativamente una relazione di linearita fra flusso Φ e differenza di

temperatura ∆T .

Se una parete separa due fluidi, come avviene per esempio nel caso di un muro (aria-

muratura-aria) o di un corpo riscaldante (acqua-metallo-aria), si osservano dei fenomeni

convettivi sui due lati della parete (Fig. 6.10).



��

��

��

��

aria

100...1000

4...10

acqua

piastra

Figura 6.9: Ordini di grandezza di α inW/m2K per situazioni di convezione termica

naturale.

��

��

x

t1

a1 a2

t

t11

t21

t2

L

p

Figura 6.10:

I due strati d’aria contribuiscono dunque all’isolamento termico e percio dobbiamo tenerne

conto, se vogliamo calcolare il flusso termico Φ utilizzando le temperature T1 e T2. Data

l’analogia fra la (6.13) e la (6.16), si definisce un coefficiente totale di trasmissione termica –

indicato con k:

1

k=

1

α1+

1

Λp+

1

α2, (6.17)



dove α1 e α2 sono i coefficienti di trasmissione termica superficiale dell’aria sui due lati della

parete. L’inverso di k viene chiamato resistenza termica totale della parete. Per il flusso di

calore si puo dunque scrivere:

Φ = k(T1 − T2)A. (6.18)

Tutto quanto e stato trattato in questo capitolo riguarda esclusivamente l’apporto di

calore per conduzione e per convezione e non tiene conto del fatto che l’energia si puo anche

trasmettere per irraggiamento. Un corpo puo infatti essere riscaldato a distanza cioe senza

contatto materiale con il corpo riscaldante: e il caso del Sole, i cui raggi riscaldano la Terra

anche se tra i due corpi c’ e il vuoto. Nel caso particolare di una parete l’irraggiamento puo

modificare le temperature superficiali, per cui la (6.16) e la (6.18) non valgono piu. Resta

invece valida la (6.13), dove T1 e T2 sono le temperature delle due superfici.

ESEMPIO 6.1. Scambiatore di calore

Si consideri una piastra quadrata di rame dello spessore d = 3mm e di lato ` = 50 cm, che

separa dell’acqua calda (in basso) alla temperatura T1 = 65.3 ℃ da acqua fredda (in alto) alla

temperatura T2 = 10.7 ℃ (figura 6.11).

��

��

acqua

acqua

t2

t21

d

t1

t11

rame

P

Figura 6.11:

Con un’analisi di fluidodinamica si puo mostrare che il moto dell’acqua sia sopra che

sotto la piastra e turbolento anche per una situazione di convezione libera: i coefficienti di

trasmissione termica superficiale valgono approssimativamente α1 = 7.2 · 102W/(m2 ·K) per

l’acqua calda e α2 = 4.5 · 102W/(m2 ·K) per l’acqua fredda.

Anche in questo esempio interessa conoscere il flusso termico Φ per unita di superficie e le

temperature superficiali T′1 e T

′2 in regime stazionario. Il coefficiente di trasmissione termica

totale k si calcola seconda la 6.17:

k−1 = α−11 +

d

λ+ α−1

2 ⇒ k = 273W

m2 ·K.

Il flusso areico Φ/A puo essere espresso in vari modi:

Φ

A= k(T1 − T2) = α1(T1 − T1

′) =

λ

d(T1

′ − T2′) = α2(T2

′ − T2).

Dalle equazioni sopra riportate si ricavano tutte le temperature incognite.



ESEMPIO 6.2. Parete di mattoni non intonacata ma con isolamento termico

101212

m lai m ae

No strato d λ α ∆θ/∆Ttot ∆θ θ

(m) (W/mK) (W/m2K) (%) ℃ ℃20.0

(i) aria interna − − 8.0 3.5 0.7

19.3

1 mattoni interni 0.12 0.6 5.0 5.7 1.1

18.2

2 lana minerale 0.12 0.04 0.3 84.9 17.0

1.2

3 mattoni esterni 0.10 0.6 6.0 4.7 1 (∗)0.2

(e) aria esterna − − 23.0 1.2 0.2

0.0

0.34 100 20.0

(*) valore preciso a due cifre significative: 0.94℃ k=0.28W/(m2 K)

-5

0

5

10

15

20

25

-5 0 5 10 15 20 25 30 35 40

tempe

ratur

a (´°C

)

distanza (cm)

tem

pera

tura

distanza


6.3. L’IRRAGGIAMENTO TERMICO 81

6.3 L’irraggiamento termico

6.3.1 Teoria generale

L’irraggiamento e una forma di trasmissione dell’energia che, al contrario della conduzione

e della convezione, non prevede contatto diretto tra gli scambiatori, e non necessita di un

mezzo per propagarsi. Inoltre, e un fenomeno che si presenta ad ogni temperatura e interessa

ogni aggregato materiale, non importa se solido, liquido o gassoso.

Come vedremo tra poco, la quantita di calore emessa da un corpo per irraggiamento e

proporzionale a T 4, cioe alla quarta potenza della sua temperatura: percio a basse tempe-

rature l’irraggiamento e responsabile di una frazione trascurabile del flusso di calore rispetto

alla convezione e alla conduzione, ma al crescere della temperatura la sua importanza au-

menta rapidamente fino a diventare il principale artefice della trasmissione del calore per

temperature medio-alte.

Fisicamente l’irraggiamento consiste nell’emissione di onde elettromagnetiche generate

dagli atomi e molecole eccitati dall’agitazione termica, che si diseccitano emettendo fotoni di

lunghezza d’onda proporzionale alla loro temperatura. Queste radiazioni trasportano energia

e quando investono e vengono assorbite, provocano un aumento dell’energia delle molecole

e di conseguenza un aumento di temperatura. Bisogna notare che nell’irraggiamento, non

vi e trasporto di calore ma di energia elettromagnetica. Il calore viene prodotto quando la

radiazione viene assorbita dal corpo.

Sperimentalmente si osserva che la potenza raggiante P in watt emessa da un corpo

dipende dalla temperatura assoluta T della sua superficie secondo la relazione:

P = eAσT 4 Legge di Stefan-Boltzmann, (6.19)

dove A e l’area, e e un numero compreso tra 0 e 1 chiamato emissivita (o emettanza) del

corpo, mentre σ rappresenta la costante di Stefan-Boltzmann e vale:

σ = 5.6705119 · 10−8W/(m2 ·K4).

0

500

1000

1500

2000

0 100 200 300 400 500 600 700 800

P (mW)

T (K)

∼ T4

punti di misura

Figura 6.12: Potenza termica irradiata da un corpo nero

Questo risultato fu trovato empiricamente da Josef Stefan nel 1879 e dedotta teoricamente

cinque anni dopo da Ludwig Boltzmann, da cui il nome della legge.



Si consideri un corpo caldo posto in un ambiente a temperatura piu bassa. Il corpo emette

piu radiazione di quanta ne assorba e quindi, si raffredda mentre l’ambiente esterno assorbe

radiazione dal corpo e sı riscalda; a regime, il corpo e l’ambiente esterno raggiungono ia stessa

temperatura o sono in equilibrio termico. A questo punto il corpo assorbe tanta energia

quanta ne emette. Percio, il coefficiente di assorbimento a deve essere uguale all’emissivita e.

La potenza totale irraggiata da un corpo a temperatura T posto in un ambiente a temperatura

T0 puo essere espressa nella forma

Ptot = eσA(T 4 − T 40 ) (6.20)

Un corpo che assorba tutta la radiazione che incide su di esso ha l’emissivita e = 1 ed

e chiamato corpo nero. Materiali come il velluto nero o il nerofumo sono molto vicini a un

corpo nero ideale, ma la migliore realizzazione pratica di un corpo nero ideale consiste in un

piccolo foro praticato in una cavita (Fig.6.13).

Figura 6.13: Una superficie chiusa molto scura, dotata di una piccola apertura costituisce un

corpo nero pressoche perfetto

La radiazione incidente sul buco ha poche probabilita di venire riflessa indietro fuori dal

buco, perche viene assorbita dalle pareti della cavita. Il concetto di corpo nero ideale e

importante perche le caratteristiche della radiazione da esso emessa possono essere calcolate

teoricamente

A temperature ordinarie (sotto circa 600 ℃), la radiazione termica emessa da un corpo

non e visibile; per la maggior parte e concentrata nella gamma degli infrarossi, vale a dire a

lunghezze d’onda molto maggiori di quelle della luce visibile (la luce e radiazione elettroma-

gnetica con lunghezza d’onda compresa tra 400 nm e 700 nm). Se il corpo viene riscaldato,

la quantita di energia emessa aumenta e l’energia irraggiata si estende a lunghezze d’onda

sempre piu corte. A temperature sopra i 600 ℃, i corpi cominciano ad emettere luce visibile,

dapprima rossa (temperatura del cosiddetto calor rosso, circa 700 ℃) poi sempre piu bianca

(temperatura del calor bianco, circa 1200 ℃): man mano che la temperatura aumenta, la

frequenza della luce emessa aumenta fino al bianco-azzurrino, per poi passare ai raggi ul-

travioletti, e ai raggi X nel caso di plasmi stellari a temperature dell’ordine di milioni di



gradi. La figura 13.10 rappresenta la potenza irraggiata da un corpo nero ın funzione della

lunghezza d’onda per diverse temperature. La lunghezza d’onda alla quale la potenza e mas-

sima e inversamente proporzionale alla temperatura; questo risultato e noto come legge dello

spostamento di Wien. Si e trovato che questa lunghezza d’onda vale

La quantita di energia che un corpo assorbe quando e colpito da radiazioni elettromagneti-

che dipende molto dallo stato della sua superficie. E minima se la superficie e chiara e lucida,

mentre e massima se essa e nera. E questa la ragione per cui d’estate si preferisce vestire

con abiti chiari. Ci sono materiali, come il vetro e alcune plastiche, che sono trasparenti alle

radiazioni visibili, mentre sono opachi per le radiazioni infrarosse. Essi vengono sfruttati ad

esempio nella costruzione delle serre (Fig.6.14). Consentono il passaggio verso l’interno della

luce solare, ma tendono a intrappolare le radiazioni infrarosse emesse dagli oggetti dentro la

serra, ostacolandone l’uscita. In questo modo si crea un equilibrio, per cui la temperatura

all’interno della serra si mantiene piu alta di quella esterna. L’anidride carbonica (CO2)

che si trova nell’atmosfera ha un comportamento simile a quello del vetro. E’ trasparente

alla radiazione luminosa proveniente dal Sole, ma tende a impedire alla radiazione infrarossa

emessa dalla Terra di disperdersi nello spazio. E’ questo l’effetto serra.

Figura 6.14: Le pareti della serra sono trasparenti alla luce visibile ma parzialmente opache

agli infrarossi emessi dai corpi all’interno della serra

L’aumento della concentrazione dell’anidride carbonica, provocato soprattutto dalla de-

forestazione e dai processi di combustione dovuti alle attivita umane, ha l’effetto di innalzare

la temperatura della superficie della Terra.

6.3.2 Il calore solare e l’effetto serra

Non tutta l’energia che il Sole ci invia giunge fino alla superficie della Terra. Al suolo ne

arriva quasi la meta. Il resto e assorbito dall’atmosfera, oppure viene assorbito e riflesso dalle

nubi.

Appena fuori dall’atmosfera, l’intensita della radiazione solare e pari a circa 1370 W/m2.

Questo valore si chiama costante solare. La quantita di energia che arriva ogni secondo sulla



Terra e uguale al prodotto della costante solare per l’area di un disco che ha raggio eguale a

quello della Terra (6370 km), per cui la potenza solare intercettata dalla Terra e di circa 170

miliardi di megawatt.

Di questi 1.7 · 1011 MW che giungono dal Sole, un 40% sono riflessi e in parte assorbiti

dalle nubi che coprono circa la meta della superficie terrestre. Altri 0.25 · 1011 MW (∼ 15%)

sono assorbiti dall’aria prima di giungere al suolo. I restanti 0.75 ·1011 MW (∼ 45%) arrivano

sulla superficie della Terra. Servono per fare riscaldare la crosta terrestre, per far evaporare

le acque, per mantenere i venti e le correnti marine. Una piccola parte, infine, e assorbita

dalle piante.

Questa energia che ogni secondo investe la Terra tenderebbe a riscaldarla, cioe a fare

aumentare la sua temperatura. Ma la Terra, a sua volta, irraggia ogni secondo nello spazio

una quantita di energia eguale a quella che assorbe. Essa resta cosı in equilibrio termico a

una temperatura che varia in modo apprezzabile soltanto su tempi molto lunghi.

L’effetto serra e essenziale per il mantenimento di questo equilıbrio. Senza l’anidride

carbonica (che gia era contenuta nell’atmosfera ben prima dell’avvento dell’uomo), la tempe-

ratura della Terra sarebbe di circa −20 ℃ e la vita non potrebbe sussistere. La temperatura

media dell’atmosfera e pari a 15 ℃ proprio per l’effetto serra dovuto all’anidride carbonico

e ad altri gas. Gli scienziati prevedono che a causa dell’aumento dell’effetto, serra dovuto

tra l’altro alla produzione di anidride carbonica, nei prossimi cinquant’anni la temperatura

media mondiale si innalzera. I processi atmosferici sono molto complicati e non del tutto noti,

quantificare questo aumento non e facile. Modelli meteorologici danno risultati che variano

do qualche decimo di grado fino a molti gradi per i prossimi 50 anni.

6.3.3 Le emissioni

Dall’inizio della Rivoluzione Industriale, la concentrazione atmosferica dell’anidride carbonica

e aumentata del 30% circa, la concentrazione del gas metano e piu che raddoppiata e la

concentrazione dell’ossido di azoto (N2O) e cresciuta del 15%.

Nei paesi piu sviluppati, i combustibili fossili utilizzati per le auto e i camion, per il

riscaldamento negli edifici e per l’alimentazione delle numerose centrali energetiche sono re-

sponsabili in misura del 95% delle emissioni dell’anidride carbonica, del 20% di quelle del

metano e del 15% per quanto riguarda l’ossido di azoto. L’aumento dello sfruttamento agri-

colo, le varie produzioni industriali e le attivita minerarie contribuiscono ulteriormente per

una buona fetta alle emissioni in atmosfera. Anche la deforestazione contribuisce ad au-

mentare la concentrazione di anidride carbonica nell’aria, infatti le piante sono in grado di

ridurre la presenza di CO2 nell’aria attraverso il processo fotosintetico. Il danno e ancora piu

evidente se si pensa che nel corso degli incendi intenzionali che colpiscono ogni anno le foreste

tropicali, viene emessa una qualita totale di anidride carbonica paragonabile a quella delle

emissioni dell’intera Europa. Da notare che la respirazione dei vegetali e la decomposizione

della materia organica rilasciano una quantita di CO2 nell’aria dieci volte superiore a quella

rilasciata dalle attivita umane, ma queste emissioni sono state comunque bilanciate nel corso

dei secoli fino alla rivoluzione industriale tramite la fotosintesi e l’assorbimento operato dagli



oceani.

Se le emissioni globali di CO2 fossero mantenute come in questi ultimi anni, le concentrazioni

atmosferiche raggiungerebbero i 500 ppm per la fine di questo secolo, un valore che e quasi

il doppio di quello pre-industriale (280 ppm).Il problema viene ulteriormente complicato dal

fatto che molti gas serra possono rimanere nell’atmosfera anche per decine o centinaia di

anni, cosı il loro effetto puo protrarsi per lungo tempo.

Due anni dopo la Conferenza delle Nazioni Unite per la Convenzione sui cambiamenti clima-

tici di Berlino si e svolto a Kyoto in Giappone dal 1 all’11 dicembre 1997 il vertice sul clima.

Il protocollo di Kyoto impegna i paesi industrializzati e quelli ad economia in transizione (i

paesi dell’est europeo) a ridurre complessivamente del 5% nel periodo 2008-2012 le principali

emissioni antropogeniche dei gas capaci di alterare il naturale effetto serra (questi Stati sono

attualmente responsabili di oltre il 70% delle emissioni). I sei gas serra presi in considerazione

sono: l’anidride carbonica, il metano, l’ossido di azoto (N2O), gli idrofluorocarburi (HFC), i

perfluorocarburi (PFC) e l’esafluoruro di zolfo (SF6). Il vapor d’acqua non e stato conside-

rato in quanto le emissioni di origine antropogenica sono estremamente piccole se paragonate

a quelle enormi di origine naturale. Per i Paesi in via di sviluppo il Protocollo di Kyoto non

prevede alcun obiettivo di riduzione. In queste regioni la crescita delle emissioni di anidride

carbonica e degli altri gas serra sta avvenendo ad un ritmo che e circa triplo ( +25% nel

periodo 1990-1995) di quello dei Paesi sviluppati (+8% nello stesso periodo).

La stima delle future emissioni diventa cosı estremamente difficile perche dipende dai vari

trend demografici, economici, tecnologici e dagli sviluppo politici ed istituzionali di tutti i

paesi del pianeta. In ogni caso, senza delle misure piu restrittive volte alla limitazione delle

emissioni, la concentrazione atmosferica dei gas serra continuera ad aumentare.

6.3.4 Cambiamenti climatici

Il clima del nostro pianeta e dinamico e si sta ancora modificando da quando la Terra si e

formata. Negli ultimi milioni di anni il clima della Terra ha subito ripetute oscillazioni tra

periodi di glaciazione e caldi periodi interglaciali. Una registrazione di 400’000 anni di tem-

perature e conservata nella coltre glaciale antartica, che, a eccezione delle frange costiere, si

e sottratta al disgelo anche nei periodi interglaciali piu caldi. Questa registrazione suggerisce

che l’attuale periodo interglaciale (l’Olocene), iniziato da circa 12’000 anni, sia prossimo alla

fine. Le millenarie oscillazioni climatiche naturali sono associate a lente variazioni dell’orbita

terrestre indotte dalla gravita di altri pianeti, soprattutto Giove e Saturno (a causa della loro

grande massa) e Venere (a causa della sua vicinanza).

Queste perturbazioni influenzano pochissimo l’energia solare media annua che arriva sulla

Terra, ma alterano la distribuzione geografica e stagionale dell’energia solare in arrivo (inso-

lazione) fino al 20%. Le variazioni di insolazione, sul lungo periodo, condizionano l’accumulo

e lo scioglimento dei ghiacci ma anche l’assunzione e il rilascio di anidride carbonica e di

metano da parte delle piante, del suolo e degli oceani. La composizione dell’atmosfera dei

periodi di glaciazione e nota con precisione grazie alle bolle d’aria intrappolate durante la



formazione delle coltri glaciali dell’Antartide e della Groenlandia, nonche di molti ghiacciai

di alta quota.

Dall’analisi di questi dati si deduce che le variazioni dell’orbita terrestre inducono il cam-

biamento climatico, ma operano alterando le proprieta dell’atmosfera e della superficie.

Oggi pero, queste proprieta dell’atmosfera sono piu influenzate dalle conseguenze dell’azione

dell’uomo che dalle variazioni orbitali del pianeta. Vi sono infatti molte evidenze scientifiche

che fanno presupporre che i cambiamenti climatici attuali stiano eccedendo quelli che ci si

potrebbe aspettare a seguito di cause naturali.

L’aumento della concentrazione dei gas serra in atmosfera sta causando un corrispondente

incremento della temperatura globale della Terra. La temperatura media globale superficiale

e aumentata di circa 0.75 ℃ dalla fine dell’Ottocento. La parte piu consistente del riscal-

damento (circa 0.5 ℃) si e pero verificato dopo il 1950. Anche il 70% dell’incremento dei

gas serra risale alla seconda meta del ventesimo secolo. Si ritiene che la temperatura media

globale superficiale possa aumentare di 0.6− 2.5 ℃ nei prossimi 15 anni e di 1.4− 5.8 ℃ nel

secolo in corso, pur con significative variazioni regionali.

Al momento, l’incremento risulta maggiore per quanto riguarda le temperature minime

che stanno aumentando ad una velocita che e doppia di quelle massime. Il riscaldamento

e maggiore nelle aree urbane sia a causa dei cambiamenti che si sono verificate nelle coper-

ture dei terreni che per il consumo di energia che avviene nelle aree densamente sviluppate

(fenomeno conosciuto come isole di calore).

L’aumento delle temperature comporta degli inevitabili effetti a livello meteorologico.

Con l’incremento della temperature vi e un conseguente aumento dell’evaporazione, per cui

si ritiene che, a livello globale, l’inasprimento dell’effetto serra portera ad una crescita delle

precipitazioni e ad una maggiore frequenza delle tempeste di forte intensita.



Non e ancora chiara la variazione che avranno i climi regionali, ma si ritiene che per il maggior

calore vi sara una riduzione dell’umidita in varie regioni delle zone tropicali che andranno

incontro a frequenti siccita.

Un’ipotesi e stata formulata sulle future condizioni climatiche in Europa. Alcuni ricercato-

ri ritengono che lo scioglimento dei ghiacci artici, dovuto al riscaldamento globale, provochera

un potenziamento delle correnti oceaniche provenienti dall’Artico. Queste causeranno la de-

viazione della Corrente del Golfo del Messico che attualmente lambisce le coste dell’Europa

occidentale. Per capire l’effetto che ha questa corrente sul clima europeo basta pensare che a

dicembre in Normandia la temperatura si aggira attorno a 0 ℃ mentre in Canada, alla stessa

latitudine si raggiungono spesso i −30 ℃. Il venir meno dell’effetto riscaldante della Corrente

del Golfo potrebbe paradossalmente condurre l’Europa verso una nuova glaciazione, in un

periodo in cui la maggior parte della Terra va incontro ad un riscaldamento.


Appendice A

Problemi

Serie 1: Dilatazione termica

Serie 2: Statica dei fluidi

Serie 3: Pressione

Serie 4: Fluidi in moto

Serie 5: Gas perfetti

Serie 6: Teoria cinetica dei gas

Serie 7: Termodinamica

Serie 8: Calorimetria

Serie 9: Conduzione

Serie 10: Irraggiamento

89

90

SERIE 1: DILATAZIONE TERMICA

1. Nella scala di temperature chiamata scala Gaga (OG), un aumento di un grado Gaga

corrisponde a un aumento di tre gradi Fahrenheit, e il suo punto zero corrisponde allo

temperatura di 200oK. A quanto corrisponde, in gradi Celsius, la temperatura di 180oG?

2. Due sbarre, A e B, dello stesso materiale si trovano a 20oC. La lunghezza iniziale di A

e il doppio di quella di B. A viene scaldata fino a 40o, B fino a 80oC. Che cosa succede?

A subiscono lo stesso allungamento

B A si allunga di piu di B

C B si allunga di piu di A

D non si puo dire, dipende dalla lunghezza delle sbarre

3. Una sbarra e composta per il 46.6 % della sua lunghezza di ferro: la parte rimanente e

di un materiale sconosciuto. Si sa che la sbarra si dilata come una sbarra di ottone della

stessa lunghezza, per qualsiasi variazione di temperatura. Determinare il coefficiente di

dilatazione del materiale sconosciuto. [24 · 10−6 ℃−1]

4. Una stanga di vetro (αv = 3.2 · 10−6 ℃−1) e un regolo di ottone graduato a 0.0 ℃ sono

lunghi 1000.00 mm. Che lunghezza avra la stanga di vetro misurata con il regolo di

ottone se entrambi sono portati a 100.0 ℃ ? [998.47 mm]

5. T e un tubo fisso nel punto A. Dall’altra parte appoggia su un tondino fisso S di diametro

2.0 mm. Dal punto A al punto d’appoggio ci sono 93.5 cm. Il tubo ha la temperatura

di 17.0 ℃. Se nel tubo si fa passare vapore acqueo (98.0 ℃) l’indice legato al tondino

ruota di 50.0◦.

Calcolare il coefficiente di dilatazione del tubo. [1, 15 · 10−6 ℃−1]


91

6. Alla temperatura di 20.0 ℃ un tubo di alluminio ha il diametro esterno di 12.00 cm,

mentre un anello di acciaio ha il diametro interno di 12.05 cm.

A che temperatura devono essere riscaldati entrambi affinche l’anello non scorra piu sul

tubo? [366 ℃]

7. Un lingotto d’oro (αoro = 14.3 · 10−6 ℃−1) ha la massa di 25 Kg ; la sua densita, alla

temperatura di 20.0 ℃, e di 19.29 Kg/dm3.

Calcolare la variazione relativa della sua densita se si porta il lingotto a 40.0 ℃. [−0.86 %]

8. Un serbatoio (α = 12.0 · 10−6 ℃−1) di un’auto ha la capienza di 55.0 dm3. Alla

temperatura di 15.2 ℃ esso e pieno al 99.0 %.

Calcolare fino a che temperatura puo riscaldarsi prima di traboccare. [25.7 ℃]

9. A 20.0 ℃ la densita del mercurio vale 13.5460 · 103 kg/m3 e il coefficiente di dilatazione

γ vale 0.1819 · 10−3 ℃−1.

Calcolare la densita del mercurio a 0 ℃. [13.59 · 103 kg/m3]

10. Una palla di rame (α = 16, 5 · 10−6 C−1) del volume di 100 cm3 e munita di un foro

e piena di una sostanza simile alla glicerina. Sapendo che, se la temperatura passa

da 20oC a 60o C, fuoriescono 1, 78 cm3 di tale sostanza, determinare il coefficiente di

dilatazione γ.

11. Considera due litri di etanolo (γ = 1.12 · 10−3 C−1) che vengono riscaldati di 50oC.

Calcola il volume finale dopo la dilatazione nei seguenti tre modi:

a) Considerando un intervallo unico di 50o C

b) Dividendo l’intervallo in cinque intervalli di 10o C

c) Calcolando il valore senza approssimazioni

12. Un idraulico deve infilare un tubo di sezione 320 cm3 in un foro diametro pari a 20 cm

ricavato su una lastra di ferro. Poiche la sezione del foro e minore di quella del tubo,

deve riscaldare la lastra che si trova a una temperatura di 20o C . A quale temperatura

l’idraulico deve portare la lastra per poter infilare il tubo nel foro?


92

SERIE 2: STATICA DEI FLUIDI

1. La parte di un eisberg che sporge dall’acqua ha piu o meno la forma di un parallelepipedo

di dimensioni 500 x 80 x 50 metri. Quanto vale il volume sommerso se la densita del

ghiaccio e quella dell’acqua sono in rapporto 9:10? [1.8 · 107 m3]

2. Un blocco di legno galleggia sull’acqua con 3/5 del suo volume ancora emersi (cioe fuori

dalla superficie). In olio rimangono immersi i 5/9 del suo volume. Calcolare le densita

del legno e dell’olio. [ρlegno = 2/5, ρolio = 18/25]

3. Un cubo di legno che galleggia nell’acqua sostiene una massa di 200 gr. Togliendo

questa massa, il cubo si alza di 2 cm. Determinare il lato del cubo. [l = 10 cm]

4. Un corpo possiede una massa di 10 kg mentre in un liquido con densita ρ = 0, 8 essa

risulta essere di 6 kg. Qual e la densita del corpo? [ρ = 2]

5. Per mantenere un blocco di legno totalmente immerso in acqua e successivamente in

olio, sono necessarie forze verso il basso rispettivamente di 206 N e 68,6 N. Se il volume

del blocco e di 85 dm3, quanto vale la densita dell’olio? [ρ = 0.84]

6. Quante persone di 70 kg possono stare su una zattera a base quadrata di sughero

(ρ = 0, 25 kg/dm3) di lato 250 cm e altezza 35 cm immersa in acqua salata (ρ = 1, 03

kg/dm3)? [n = 25]

7. Un recipiente colmo d’acqua e posto su una bilancia come in figura. La bilancia e in

equilibrio.

Che massa occorre sul piatto a destra per mantenere l’equilibrio se nel recipiente si

mette:

a) 10 cm3 di ottone (ρ = 8.4 · 103 kg/m3); [74 g]

b) un pezzo di legno (ρ = 0.7 · 103 kg/m3) di volume 10 cm3? [0 g]


93

8. Per mezzo di una molla, si tiene immerso in olio con densita ρ = 0, 8 kg/dm3 un cubo di

alluminio di densita ρ = 2, 7 kg/dm3 con un lato di 5 cm. Se la molla ha una costante

elastica k = 120 N/m, di quanto si allunga? [∆l = 1.94 cm]

9. Un tappo di sughero ha una massa di 0, 5 g. Un pezzo di piombo pesato in acqua

risulta avere una massa apparente di 8, 6 gr. Se si attacca il tappo di sughero al pezzo

di piombo, tutti e due insieme pesano 7, 1 gr in acqua. Qual e la densita del sughero?

10. Una recipiente sferico cavo di densita relativa ρ = 2, 9 sta galleggiando in acqua. Il

suo raggio e di 15 cm, mentre lo spessore e di 3 mm. Quanti decilitri (dl) di mercurio

(ρ = 13, 5) posso versare nel recipiente senza che esso affondi?

11. Una boa a base quadrata con altezza 10 cm e densita relativa ρ = 0.57 sta galleggiando

in acqua salata (ρ = 1, 03).

a) In una situazione di galleggiamento (in assenza di oscillazioni) quanti centimetri

rimangono a galla?

b) Quanto e grande il lato della base se aggiungendo un peso di 1200 grammi, l’acqua

sommerge totalmente la boa?

c) Se si mantiene la boa completamente immersa a una profondita di 7 metri, quanto

tempo impiega a riaffiorare?


94

SERIE 3: PRESSIONE

1. Su una bilancia sono posti due recipienti di massa uguale e di base 1.0 dm2. In entrambi

si versa 1.0 litro di acqua.

a) Calcolare la forza che l’acqua esercita sulla base dei recipienti. [45.08N ; 9.80N ]

b) Malgrado la risposta a), come mai la bilancia rimane in equilibrio?

c) Che forza esercita l’acqua sulla superficie superiore A del recipiente? [35.28 N]

2. Il ramo di sinistra di un tubo ad U viene immerso in un bicchiere contenente acqua,

l’altro in un bicchiere contenente petrolio (ρpetrolio = 0.85kg/dm3). L’acqua ed il pe-

trolio vengono fatti salire nei due rami aspirando attraverso il rubinetto un po’ d’aria

e poi chiudendolo. Si misurano allora i seguenti valori:

h1 = 1.06 cm, h2 = 12.4 cm, pamb = 990 mbar .

Determinare:

a) l’altezza h [14.6 cm]

b) la pressione dell’aria racchiusa nel tubo. [978 mbar ]

3. Un sollevatore idraulico (con olio: ρolio = 0.92 kg/dm3) e costituito da un cilindro di

diametro 20.0 cm. Auto, piattaforma e pistone hanno la massa di 1800 kg e sono tenuti

in equilibrio da un piccolo pistone, la cui sezione vale 0.50 cm2 (h1 = 75 cm, h2 =

100 cm). Determinare la massa minima del pistone piccolo. [2.9 kg ]


95

4. Un emisfero di raggio 10 cm, in cui e stato fatto il vuoto, e attaccato a una parete

verticale liscia. Se la pressione atmosferica vale 1.0 bar , calcolare la forza orizzontale

minima necessaria per staccarlo dalla parete. [3142N ]

(Chi non conosce il calcolo integrale puo trasformare in una sommatoria e scrivere un

programmino sulla calcolatrice.)


96

SERIE 4: FLUIDI IN MOTO

1. Il sangue scorre in un’aorta avente il raggio di 1 cm alla velocita di 30 cm/s. Qual e la

portata in litri/minuto [5.65 l/min]

2. In un tubo scorre acqua con la velocita di 4 m/s per effetto di una pressione di 200 kPa.

Il tubo si restringe alla meta del diametro iniziale. Qual e la pressione nella parte piu

stretta del tubo? [80 kPa]

3. In un tubo di 3 cm di diametro scorre acqua con la velocita di 0.65 m/s; il tubo termina

con una strozzatura che ha il diametro 3 mm.

a) Con che velocita passa l’acqua attraverso la strozzatura?

b) Se all’estremita del tubo c’e una pompa e all’altra estremita la strozzatura, entrambe

alla stessa quota, e la pressione alla strozzatura e quella atmosferica, quanto deve

essere la pressione nella pompa?

[(a) 65 m/s; (b) 2213 kPa]

4. Quando spirano venti molto veloci, la pressione atmosferica all’interno di una casa puo

far esplodere il tetto a causa della riduzione della pressione esterna. Si calcoli la forza

che si esercita su un tetto quadrato di 15 metri di lato se la velocita del vento sul tetto

e 30 m/s

[1.31 · 105 N]

5. Un tubo di Pitot viene immerso in un fluido che scorre con velocita v. Se tale fluido e

acqua e il liquido manometrico contenuto nel tubo e mercurio (ρ = 13.7), determinare

la velocita del fluido quando la differenza di altezza del liquido manometrico e h = 14

mm. [1.93 m/s]


97

SERIE 5: GAS PERFETTI

1. Se si mantiene costante la temperatura di un gas e si raddoppia la pressione, che cosa

succede alla densita ? Motivare la risposta.

A rimane costante

B raddoppia

C dimezza

D dipende dalla quantita di gas presente

2. Un contenitore rigido contiene aria alla pressione atmosferica e alla temperatura di

27OC. Viene scaldato finche la pressione dell’aria raddoppia. Quale temperatura ha

raggiunto?

A 573OC

B 327OC

C 300OC

D 54OC

3. In un recipiente cilindrico di 6,0 cm di raggio interno, chiuso da un pistone libero di

muoversi con attriti trascurabili, sono contenuti 2,4 litri di azoto. L’asse del cilindro

e verticale e il pistone si trova sopra il gas (massa del pistone: 12 gr). La pressione

atmosferica e di 980 mbar. Il sistema si trova inizialmente alla temperatura di 20O C.

Il peso del pistone viene trascurato.

a) Quante moli sono contenute nel recipiente? [n = 0.0966]

b) Di quanto si deve innalzare la temperatura del gas per far salire il pistone di 6,0

cm? [T2 = 375.8o K]

4. Una bottiglia di 20 litri contiene aria compressa alla pressione di 100 bar e alla tempe-

ratura di 20, 0 ℃. Si lascia uscire dell’aria finche la pressione nella bombola scende a

65 bar .

Che volume occupa l’aria uscita alle condizioni normali (1, 013 bar , 0 ℃)? [644 dm3]

5. In una scatola di volume 2, 00 dm3, munita di un piccolo foro verso l’esterno, e contenuta

dell’aria alla temperatura di 10, 0 ℃ e alla densita di 1, 24 kg/m3. Calcolare:

a) la densita dell’aria a 25, 0 ℃ e alla stessa pressione ambiente; [1, 18 kg/m3]


98

b) di quanto varia la massa d’aria nella scatola se essa viene riscaldata fino a 25, 0 ℃.

[−125 mg ]

6. Un cilindro di vetro provvisto di pistone mobile e immerso in una bacinella di mercurio.

Il cilindro racchiude una colonna d’aria di altezza h = 20, 0 cm; il livello del mercurio

al suo interno e lo stesso di quello all’esterno. Si innalza ora il pistone di a = 5, 0 cm.

La pressione esterna e di 975 mbar .

Di quanto si sposta il livello del mercurio all’interno del cilindro? [3, 9 cm]

(trascurare l’abbassamento di livello nella bacinella)

7. Un pistone mobile, senza attrito, divide in due parti di lunghezza l1 e l2 un cilindretto

di vetro di sezione A. Inizialmente si ha la stessa temperatura θ0 dappertutto. La

temperatura dell’aria a sinistra viene poi portata al valore θ1.

Calcolare algebricamente di quanto si sposta il pistone.

8. Un recipiente di volume 6,0 litri contiene O2 (massa molecolare 32 uma) alla pressione

di 950 mbar e alla temperatura di 15, 0 ℃. Si applica una pompa che fa diminuire la

pressione fino a 100 mbar , mentre la temperatura rimane costante.

Si chiede la massa di ossigeno estratta. [6, 8 g ]


99

SERIE 6: TEORIA CINETICA DEI GAS

1. Se dell’elio e dell’ossigeno si trovano alla stessa temperatura, quale delle seguenti

affermazioni e corretta? Motivare la risposta.

A hanno uguali velocita medie ma energie cinetiche medie diverse

B hanno uguali energie cinetiche medie ma velocita medie diverse

C hanno uguali energie cinetiche medie e uguali velocita medie

D hanno energie cinetiche medie e velocita medie diverse

2. Calcola la velocita quadratica media delle molecole in 10 grammi di gas di ammoniaca

(NH3) a 20OC.

3. Se si riscalda un gas raddoppiando la velocita quadratica media delle sue molecole, di

quale fattore si modifica la temperatura? Motivare la risposta.

A 4

B 2

C 1/2

D√

2

4. Un gas e contenuto in un recipiente rigido. Che cosa succede se la temperatura aumenta

da 10OC a 20OC?

A la velocita media delle molecole raddoppia

B l’energia cinetica media raddoppia

C La pressione raddoppia

D la velocita media aumenta di un fattore√

2

E nessuna delle risposte precedenti e corretta

5. Una quantita di gas alla pressione di 10 kPa e alla temperatura di 12OC e riscaldato a

volume costante fino alla temperatura di 85OC.

a) Quanto vale la pressione finale?

b) Determina il volume se la quantita corrisponde a 2 moli


100

6. Un recipiente di volume V = 20 litri contiene dell’ SO2 alla temperatura di 20OC e alla

pressione di 2 · 105 Pa. Si riscalda il sistema in modo tale da raddoppiare la velocita

quadratica media delle molecole? (c(SO2) = 0, 39 J/gr K, M=64)

a) Quanto valgono la temperatura e la pressione finale?

b) Quanto calore bisogna fornire per questa operazione?


101

SERIE 7: TERMODINAMICA

1. In una compressione isobara, l’energia interna del sistema:

A aumenta

B diminuisce

C rimane costante

D non ci sono dati sufficienti per rispondere

2. In una dilatazione adiabatica, l’energia interna del sistema:

A aumenta

B diminuisce

C rimane costante

D non ci sono dati sufficienti per rispondere

3. Un gas si trova in uno stato di equilibrio termodinamico in un recipiente chiuso da un

pistone scorrevole senza attriti. Dopo qualche tempo si nota che sono aumentati i valori

del volume e della temperatura, mentre la pressione e rimasta costante. Quale, tra i

seguenti fatti puo essersi verificato?

A il recipiente e stato messo su una fonte di calore

B e stato tolto del peso dal pistone

C il recipiente e stato messo su una fonte di calore ed e stato aggiunto del peso sul

pistone

D il recipiente e stato messo su una fonte di calore e sono stati tolti dei pesi dal

pistone

4. La relazione: Lavoro = (Pressione) x (Variazione di Volume)

che permette di calcolare il lavoro fatto da un gas in una trasformazione termodinamica

si puo applicare

A alle trasformazioni isotermiche

B alle trasformazioni isobariche

C alle trasformazioni infinitesime di volume

D a tutte le trasformazioni

E solo alle trasformazione cicliche


102

5. Un cilindro di sezione Ab = 200cm2 contiene un pistone mobile P situato inizialmente

a uguale distanza (d = 15 cm) dalle due estremita del recipiente.In ognuno dei due

sottovolumi V1 e V2 si introduce la stessa quantita di azoto N2 alla stessa pressione

(P1 = P2 = 760 mm Hg) e alla stessa temperatura (T1 = T2 = 300 K).

a) Calcola il numero di moli di azoto presente in ognuno dei due sottovolumi

b) Mantenendo fisso il pistone nella sua posizione, si innalza la temperatura del gas

contenuto nel sottovolume V1 di 100 K. In seguito, mantenendo le nuove tempera-

ture costanti (la temperatura in V2 non cambia), si lascia libero il pistone. Calcola

di quanto si sposta il pistone quando si raggiunge l’equilibrio.

6. In un cilindro con pistone sono contenute 0,08 moli di azoto N2. Il gas subisce delle

trasformazioni che lo portano dallo stato 1 (con P = 300 kPa, V = 0, 4 dm3) allo stato

2 (con P = 200 kPa, V = 1, 2 dm3). Determina

a) la variazione complessiva di energia interna

b) Il lavoro compiuto

7. Un gas e contenuto in un cilindro chiuso da un pistone mobile, la cui superficie e di

2 dm2. L’altezza del cilindro e di 60 cm e sul pistone, che pesa 1,6 kg, poggiano 4 pesini

di 800 grammi ciascuno.

a) Di quanto si abbassa il pistone se vengono aggiunti altri due pesini uguali e la

temperatura del gas e mantenuta costante da un termostato.

b) Se il gas e dato da 0, 02 moli di azoto (N2), quanto valgono le velocita delle molecole

prima e dopo l’aggiunta dei pesi?

8. In un recipiente cilindrico di 8,0 cm di raggio interno, chiuso da un pistone libero di

muoversi con attriti trascurabili, sono contenuti 1,8 litri di ossigeno. L’asse del cilindro

e verticale e il pistone si trova sopra il gas (il peso del pistone viene trascurata). La

pressione atmosferica supposta costante e di 0, 95 · 105 Pa, mentre il sistema si trova

inizialmente alla temperatura di 26O C. (O2: M = 32 gr/mole)

a) A quale velocita si muovono le molecole di ossigeno prima del riscaldamento?

b) Quante moli sono contenute nel recipiente?

c) Di quanto si deve innalzare la temperatura del gas per far salire il pistone di 4,0

cm?


103

9. In un cilindro a stantuffo isolato termicamente, ci sono 0,1 moli di ossigeno (O2) alla

temperatura di 80oC. Se il pistone si solleva aumentando il suo volume da uno a due

litri, determina la pressione e la temperatura finale del gas dopo l’espansione. Quanto

lavoro e stato compiuto?

10. Un cilindro rigido contiene un pistone fluttuante senza attriti. Inizialmente il cilindro

e diviso in due parti uguali dal pistone e ciascuna delle due parti contiene 1 mole dello

stesso gas ideale monoatomico a 2oC. Un riscaldamento a resistenza elettrica installato

nella porzione A del cilindro viene messo in funzione somministrando energia in modo

che temperatura della porzione A salga lentamente fino a 167oC. Supponendo che la

quantita di calore acquistata dal recipiente e dal pistone sia trascurabile, e che quindi

durante il riscaldamento, la porzione B sia isolata, calcolare la quantita di calore fornita

al sistema dalla resistenza elettrica [Q=2513 J].

Durante il riscaldamento, la porzione B e isolata poiche non riceve calore dal recipiente

e dal pistone


104

SERIE 8: CALORIMETRIA

1. Per determinare il calore specifico del rame, 82 g di Cu vengono riscaldati fino a 98, 0 ℃e poi messi in un calorimetro (C = 40 J/℃) contenente 146 g di acqua a 15.4 ℃. La

temperatura di equilibrio vale 19.2 ℃.

Calcolate il calore specifico del rame. [0.37 J/(g ·K)]

2. Si vogliono preparare 150 litri di acqua a 37 ℃ per fare un bagno. L’ acqua calda del

boiler e a 70 ℃ mentre quella fredda delle tubature e a 14 ℃.

Trascurando tutte le perdite:

a) quanta acqua del boiler si deve consumare? [62 litri]

b) sapendo che l’energia elettrica per scaldare l’acqua del boiler costa 0.15 CHF/kWh

(1 kWh = 3.6 · 106 J) e che 1m3 di acqua costa 1.00CHF , calcolare il costo del bagno.

[0.75CHF ]

3. Quanto e lungo un filo di acciaio di sezione 4.00 mm2 che si allunga dello 0.1 % assor-

bendo 1300J di calore? (Dati: c = 0.50J/(g ·K), ρ = 7.6 g/cm3 , α = 11.7 · 10−6 ℃−1)

[100 cm]

4. Si consideri un cilindro di alluminio di raggio 3.00 cm e di altezza 4.01 cm, annerito su

una faccia e ben isolato termicamente dalle altre parti. Se si espone la faccia annerita

alla luce del sole si osserva un riscaldamento del cilindro, il cui andamento nel tempo e

riportato nella figura.

a) Sapendo che la densita dell’alluminio e di 2.7 kg/dm3, calcolare qual e l’energia

solare che arriva per unita di tempo e di superficie su una superficie orientata come

quella annerita del cilindro dall’alluminio. Si ammetta per semplicita che tutta l’energia

incidente sulla faccia annerita venga assorbita. [1078W/m2]


105

5. Il mercurio ha la densita di 13.6 g/cm3 e il calore specifico di 0.14 J/(g ·K) ; il vetro

ha la densita di 2.5 g/cm3 e il calore specifico di 0.75 J/(g ·K).

a) Mostrare che ci vuole circa la stessa quantita di calore per aumentare di 1K la

temperatura di 1 cm3 di Hg e di 1 cm3 di vetro.

b) Un normale termometro a mercurio ( diametro 8 mm) si trova immerso per 9.0 cm

in acqua alla temperatura di 73.6 ℃. Si porta ora il termometro in 85 g di acqua

alla temperatura di 14.5 ℃ contenuta in un calorimetro (C = 45 J/℃), avendo cura

che la parte immersa sia pure di 9.0 cm. Calcolare la temperatura che si leggera sul

termometro all’equilibrio. [15.7 ℃]


106

SERIE 9: CONDUZIONE

1. Sia data una sbarra cilindrica di alluminio (λ = 220W/(m·K)), ben isolata lateralmente,

lunga 15.0 cm. L’estremita di sinistra viene mantenuta a 60.3 ℃ facendo circolare 0.12

litri di acqua al secondo (vedi disegno sulle dispense). Tra la temperatura d’entrata

e quella d’uscita dell’acqua si misura una differenza di 0.20K. L’estremita di destra

viene mantenuta a 10.0 ℃.

a) Calcolare il flusso di calore che attraversa la sbarra. [100.6W ]

b) Calcolare il diametro della sbarra. [4.2 cm]

c) Se a destra la temperatura e mantenuta costante facendo circolare 1.08m3 d’ac-

qua all’ora, che differenza di temperatura si misura tra l’entrata e l’uscita dell’acqua?

[0.08K, 30.1 ℃]

d) Calcolare la temperatura della sbarra a 9.0 cm dall’estremita di sinistra.

2. Due sbarre, una di rame (384W/(m · K)) e l’altra di un materiale sconosciuto, sono

poste a contatto termico (lateralmente sono isolate). Mentre una viene riscaldata ad

un’estremita, l’altra viene raffreddata all’estremita opposta. In regime stazionario si

leggono le seguenti temperature:

θ1 = 29.4 ℃, θ2 = 28.0 ℃, θ3 = 23.7 ℃.

a) Disegnare l’andamento della temperatura θ(x) nelle due sbarre.

b) Calcolare il coefficiente di conducibilita termica del materiale sconosciuto. [112W/(m·K)]

3. Un boiler elettrico di forma cilindrica (altezza 1.12m e diametro esterno 50 cm) ha una

capienza di 100 litri ed un coefficiente di trasmissione termica totale k delle pareti di

0.50W m−2K−1. Il coefficiente di trasmissione termica superficiale fra la superficie del

boiler e l’aria ambiente vale 8.0W m−2K−1. La temperatura dell’aria ambiente e di

20.0 ℃ mentre quella iniziale dell’acqua nel boiler di 66.0 ℃.

a) Calcolare il tempo minimo necessario affinche l’acqua si raffreddi di 2, 0 ℃.

b) Calcolare la temperatura superficiale iniziale del boiler. [4.8 ore; 22.9 ℃]


107

SERIE 10: IRRAGGIAMENTO

1. Il flusso d’ energia raggiante proveniente dal sole che arriva sulla terra per unita di

superficie e di circa 1400W/m2.

a) Sapendo che la distanza fra la Terra ed il Sole e di 1.5 · 1011m e che il raggio del

Sole vale 7.03 · 108m, calcolare la temperatura della superficie del Sole. (Ammettiamo

che il Sole si comporti come un corpo nero). [5800K]

b) Se tutta l’energia proveniente dal Sole fosse assorbita dalla Terra (assimilata ad un

corpo nero), valutare la sua temperatura superficiale media a partire da un’equazione di

bilancio termico fra radiazione solare incidente e radiazione termica emessa dalla Terra.

(raggio della Terra = 6378 km). [7 ℃]

2. Una piastra elettrica (diametro 20.0 cm) viene alimentata con una potenza di 1000W .

La temperatura di tutto l’ambiente circostante sia di 20.0 ℃ ed il fattore d’emittenza

di tutte le superfici (compresa quella della piastra) sia di 0.90. Si ammetta inoltre che

le perdite di calore avvengano anche per convezione ma solo dalla superficie superiore

(coefficiente di trasmissione termica superficiale α = 20W m−2K−1).

Calcolare la temperatura massima che raggiungera la piastra in regime stazionario.

[540 ℃]

3. Si consideri un vetro doppio. Esso e costituito da due lastre di vetro separate da aria.

Si sa che il coefficiente di trasmissione termica superficiale fra l’aria e ciascuna delle due

lastre vale:

α = 2.6W m−2K−1.25 · (θsuperficie − θaria)0.25,

dove θsuperficie rappresenta la temperatura superficiale interna di ogni lastra.

Le due temperature superficiali interne siano di 15.0 ℃ e 5.0 ℃.

Calcolare:

a) il flusso di calore areico (Φ/A) trasmesso per conduzione e convezione da una super-

ficie all’altra. [19

Wm−2]

b) il flusso d’energia areico trasmesso per irraggiamento ammettendo che i fattori

d’emittenza delle due superfici siano uguali e valgano 0.90. [42W m−2]

c) idem come b), ma con una delle superfici dotata di un fattore d’emittenza di 0.20

(per ottenerlo si ricopre la superficie di un sottile strato metallico). [10W m−2]

4. Una cellula di Moll viene puntata verso una superficie di ferro lucidato. L’involucro

della cellula rimane sempre alla temperatura ambiente di 21.5 ℃ mentre la temperatura

del ferro viene portata da 260 ℃ a 540 ℃.


108

Di quanto aumenta in percentuale il flusso netto d’energia raggiante scambiato fra la

cellula e la superficie? [850 %]

Nota. Il flusso netto d’energia raggiante fra due piccole superfici piane parallele A1 e

A2 vale:

φ =1

πe1 e2σ

A1A2

r2(T 4

1 − T 42 ) dove r e la distanza fra le superfici.


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