Esame Svizzero di MaturitàLocarno, giugno 2014

Gruppo e n°: .............................................................

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Matematica

• La durata dell'esame è di 4 ore.• Gli esercizi 1 e 2 sono obbligatori.• Degli esercizi 3, 4 e 5 saranno considerati solo i due risolti meglio.• Ogni esercizio risolto in modo completo e corretto vale 10 punti.• La nota 6 è conseguita con 40 punti.• È permesso l'uso delle tavole numeriche senza annotazioni né aggiunte personali.• È permesso l'uso di una calcolatrice non programmabile e priva di display grafico, che non possa

emettere né ricevere informazioni a distanza.• Passaggi poco chiari o mancanti, imprecisioni, presentazioni disordinate delle soluzioni,

pregiudicano la valutazione.• Si richiedono (quando possibile) risultati esatti, non approssimati.

Per ottenere la nota 6 si devono risolvere in modo completo e corretto i due esercizi obbligatori e due dei tre problemi a scelta.

1

Prima parte: Esercizi obbligatori:

Esercizio 1

Sono dati il piano α : k⋅x−y+h⋅z−1=0

la retta r : (xyz)= (

2−60 )+ λ⋅(

h−3h

1 ) , λ∈ℝ , h ,k ∈ℝ

i. Stabilire per quali valori di h e k:

• la retta r è parallela al piano α e non contenuta nel piano;• la retta è contenuta nel piano;• la retta e il piano sono incidenti.

ii. Porre h=−2 e k=2 .Siano inoltre

A (2,1,0) e B(2,−4,1) ;s la retta passante per il punto A e perpendicolare al piano α;p la retta passante per il punto B e parallela alla retta r.

Verificare che s e p sono incidenti e trovare l'equazione del piano β che le contiene.

iii. Porre h=−2 . Sia inoltre C(6, 8, 6) .Trovare l'equazione della retta t, passante dal punto C e perpendicolare (quindi incidente) alla retta r.

Esercizio 2

Considerare le funzioni reali f e g così definite:

f (x)={x⋅ln (

x+2x

)−x x∈] 0;+∞

0 x=01−e−x2

xx∈] −∞ ; 0

g(x)=2x

x+2

i. Verificare se la funzione f è continua e derivabile. Schizzare il grafico di f in un intorno di 0.ii. Trovare gli zeri della funzione f.iii. Verificare che la funzione f possiede due asintoti.iv. Spiegare perché è possibile affermare che la funzione f possiede almeno un estremo relativo

nell'intervallo ]0 ;2

e−1 .

v. Sia a>0 . Dimostrare che g(a) è l'ordinata all'origine della retta tangente nel punto di ascissa x=a al grafico di f.

2

Esercizio 3L'esercizio si compone di due parti indipendenti.

Prima parte:

Considerare la seguente figura, formata da un triangolo isoscele OAB e da una semicirconferenza di diametro AB. Sia 2x=AOB .

Determinare x, in modo che l'area della figura sia un estremo (determinare se si tratta di un massimo o di un minimo).

Seconda parte:

Trovare la primitiva F della funzione f (x)=e2x

ex+1

tale che F(0)=1−ln(2) .

Esercizio 4

L'esercizio si compone di tre parti indipendenti

Prima parte:

È dato il numero complesso z=√3+1−i1+i

Calcolare le radici quarte di z e rappresentarle nel piano complesso.Determinare i valori α∈ℕ tali che zα

∈ℤ .

Seconda parte:

Risolvere in ℂ :

•z−2z−1

=z

• z2−(1+3i)z−2+2i=0

Terza parte:

Rappresentare nel piano di Gauss gli insiemi

]A={z∈ℂ∣ R e(z) ≥∣z∣2

2}

B={ z∈ℂ ∣ z+1z

∈ ℝ }

3

Esercizio 5

Un' urna contiene 3 palline bianche;7 palline nere;2 palline verdi.

Prima parte:Vengono estratte senza reinserimento 3 palline.i. Calcolare la probabilità che:

• siano tutte bianche;• almeno due siano bianche;• siano di tre colori diversi;• siano tutte dello stesso colore.

ii. Sia X la variabile aleatoria che associa ad ogni estrazione il numero di palline bianche ottenute.Determinare la distribuzione di probabilità di X.

Seconda parte:

Considerare ora il gioco che consiste nell'estrazione di 3 palline. Per vincere occorre estrarne almeno due bianche. Non tutti i giocatori però sono onesti. Si stima che un giocatore su dieci sia un imbroglione e che imbrogliando abbia il 50% di probabilità di vincere.Considerare gli eventi:

B: il giocatore è un imbroglione (Barare) ( B è l'evento complementare: “non è un imbroglione”);V: il giocatore vince.

i. Esprimere a parole i seguenti eventi e calcolarne le probabilità: (V /B) ; (V∩B)

ii. Dimostrare che p(V)=1811100

iii. Calcolare la probabilità che una persona che ha vinto sia un imbroglione.

4