MATEMaTICA basica · 2021. 3. 12. · 3.6. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 3...

MATEMaTICA basica

AutoraSandra Patricia Narváez Bello

B={2,4,6,8,...}

APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL

MATEMaTICA basica


APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL

B={2,4,6,8,...}

Narváez Bello, Sandra Patricia

Matemática básica : aplicada a la ingeniería civil /

Sandra Patricia Narváez Bello

Bogotá: Universidad Piloto de Colombia, 2018

251 páginas: ilustraciones gráficos

Incluye referencias bibliográficas

ISBN : 9789588957883

1. MATEMÁTICA BÁSICA

2. CONJUNTOS – MATEMÁTICAS

3. INGENIERÍA CIVIL

CDD. 510

v

Universidad Piloto de Colombia

PresidenteJosé Maria Cifuentes Páez

RectoraÁngela Gabriela Bernal Medina

Director de Publicaciones y Comunicación GráficaRodrigo Lobo-Guerrero Sarmiento

Director de InvestigacionesMauricio Hernández Tascón

Coordinador General de Publicaciones

Diego Ramírez Bernal

Decana Programa Ingeniería CivilMyriam Jeannette Bermudez Rojas

Matemática básica aplicada a la Ingeniería Civil


ISBN978-958-8957-88-3

Copyright © Primera edición - 2019Bogotá, Colombia

Diseño y diagramaciónMaría Paula Martín

Daniela Martínez Díaz

Departamento de Publicaciones y

Comunicación Gráfica de la Universidad

Piloto de Colombia

Al Ser Supremo que me ha inspirado para seguir

adelante y me ha pemitido disfrutar de mis

seres queridos.

Valoro la posibilidad que me ha dado de seguir

aprendiendo y divulgando el conocimiento de

manera didactica y agradable.

La obra literaria publicada expresa exclusivamente la opinión de sus respectivos autores, de manera que no representan el

pensamiento de la Universidad Piloto de Colombia. Cada uno de los autores, suscribió con la Universidad una autorización o

contrato de cesión de derechos y una carta de originalidad sobre su aporte, por tanto, los autores asumen

la responsabilidad sobre el contenido de esta publicación.

contenido

B={2,4,6,8,...}

x

x

+

+

{

{

·

·

}

26

27

21 49

57

29

29

30

30

30

31

32

32

36

34

37

35

38

35

39

36

40

40

42

42

45

47

01

00 02

03

CONJUNTOS

INTRODUCCIÓN NÚMEROS

NÚMEROS FRACCIONARIOS

50

50

51

51

51

52

52

52

53

5353

54

54

55

55

58

5959

59

60

61

1.1. Concepto de conjunto

1.2. Tipos de conjuntos

1.2.1. Conjunto vacío o nulo

1.2.2. Conjunto unitario

1.2.3. Conjunto finito

1.2.4. Conjunto infinito

1.2.5. Conjunto Universal o referencial

Ejercicio N.° 1

Respuestas

1.3. Comparación entre conjuntos

1.3.1. Igualdad

1.3.2. Contenencia o subconjunto

1.3.3. Disyuntivos

1.4. Operación entre conjuntos

1.4.1. Unión de conjuntos

1.4.2. Intersección de conjuntos

1.4.3. Complemento de un conjunto

1.4.4. Diferencia de conjuntos

1.4.5. Diferencia simétrica de conjuntos

Ejercicio N.º 2.

Respuestas

1.5. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 1

1.6. Respuestas de los ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 1

2.1. Clasificación de los números

2.1.1. Números Naturales (N)

2.1.2. Números Cabales (W)

2.1.3. Números Enteros Negativos

2.1.4. Números Enteros (Z)

2.1.5. Números Racionales no Enteros o Fraccionarios

2.1.6. Números Racionales (Q)

2.1.7. Números Irracionales (H)

2.1.8. Números Reales (R)

2.1.9. Números Imaginarios

2.1.10. Números Complejos

Ejercicio N.° 3

Respuestas



3.1. Elementos de una fracción

3.2. Conceptos de fracción

3.2.1. Fracción como parte de una unidad

3.2.2. Fracción como cociente

3.2.3. Fracción como operador

3.2.4. Fracción como razón

61

62

62

63

64

64

64

65

66

66

67

68

69

70

70

70

71

74

75

76

77

78

80

v

04 POTENCIACIÓN3.2.5. Fracción como porcentaje

3.3. Comparaciones entre fracciones

3.3.1. Fracciones equivalentes

3.3.2. Fracciones homogéneas

3.3.3. Fracciones no homogéneas

3.4. Tipos de fracciones

3.4.1. Fracciones propias

3.4.2. Fracciones impropias

3.4.3. Fracciones mixtas

3.4.4. Fracciones unitarias

3.4.5. Fracciones decimales

Ejercicio N.° 4

Respuestas

3.5. Operaciones entre fracciones

3.5.1. Suma y resta entre fraccionarios



3.5.4. Multiplicaciones entre fraccionarios

3.5.5. División entre fraccionarios

Ejercicio N.° 5.

Respuestas



4.1. Elementos de la potenciación

4.2. Tipos de potencias

4.2.1. Potencia de base positiva

4.2.2. Potencia de base negativa

Ejercicio N.° 6

Respuestas

4.3. Propiedades de la potenciación

4.3.1. Potencia con exponente igual a cero

4.3.2. Potencia con exponente igual a uno

4.3.3. Potencia de un producto

4.3.4. Potencia de un cociente o fraccionario

4.3.5. Potencia de potencias

4.3.6. Potencia con exponente negativo

4.3.7. Potencia con exponente fraccionario

4.3.8. Potencia de bases iguales

Ejercicio N.°7

Respuestas

4.4. Clases especiales de potencias

4.4.1. Potencia en base natural o base e

4.4.2. Potencia en base 10

Ejercicio N.°8

4.5. Ejercicios de aplicación en la ingeniería civil N.° 4

4.6. Respuestas de los beneficios de aplicación en la ingeniería civil N.° 4

84

85

86

86

86

87

88

89

89

89

90

90

90

90

91

92

93

93

94

94

94

96

96

98

05 RADICACIÓN 06 LOGARITMACIÓN5.1. Elementos de la radicación

5.2. Clases de raíces

5.2.1. Raíz de índice par

5.2.2. Raíz de índice impar

Ejercicio N.° 9

Respuestas

5.3. Propiedades de los radicales

5.3.1.Raíz expresada como una potencia

5.3.2. Raíz de cero

5.3.3. Raíz de uno

5.3.4. Raíz de un productor con un mismo índice

5.3.5. Raíz de un cociente o fracción

5.3.4. Raíz de una raíz

5.3.5. Potencia de una raíz

5.3.6. Multiplicación de dos radicales con dife-rentes índice y la misma cantidad subradical

Ejercicio N.° 10

Respuestas

5.4. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil

5.5. Resultados de los ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 5

100 117

101

102

102

103

105

105

106

106

106

107

107

108

108

109

110

111

111

112

116

119

119

120

120

121

122

122

123

123

123

123

124

124

124

125

125

126

127

128

129

131

6.1. Tipos de logaritmos

6.1.1. Logaritmo decimal o vulgar

6.1.2. Logaritmo natural o neperiano

6.1.3. Logaritmo binario

6.1.4. Logaritmo en base a: loga x

Ejercicio N.° 11

Respuestas

6.2. Propiedad de los logaritmos

6.2.1. Logaritmo de cero

6.2.2. Logaritmo de uno

6.2.3. Logaritmo de la misma base

6.2.4. Logaritmo de un producto

6.2.5. Logaritmo de un cociente o fracción

6.2.6. Logaritmo de una potencia

6.2.7. Logaritmo de un radical

6.2.8. Igualdad de logaritmos

6.2.9. Transformación de logaritmos

Ejercicio N.° 12

Respuestas



07 TÉRMINOS ALGEBRAICOS7.1. Expresiones algebraicas

7.2. Tipos de expresiones algebraicas

7.3. Polinomios según el número de términos algabráicos

7.3.1. Monomio

7.3.2. Binomio

7.3.3. Trinomio

Ejercicios N.° 13

Respuestas

7.4. Polinomios según su grado

7.4.1. Polinomio grado cero

7.4.2. Polinomio de primer grado

7.4.3. Polinomio de segundo grado

7.4.4. Polinomio de tercer grado

7.4.5. Polinomio de cuarto grado

Ejercicio N.° 14

Respuestas

7.5. Simplificación de expresiones algebraicas

7.5.1. Términos semejantes

7.5.2. Ley de multiplicación de signos

7.5.3. Signos de agrupación

7.6. Suma y resta de polinomios

132

135

135

136

136

136

137

138

138

139

139

139

140

140

141

143

143

143

143

144

144

145

Ejercicio N.° 15

Respuestas

7.7. Multiplicación algebraica

7.7.1. Multiplicación de una constante (número) por un polinomio

Ejercicio N.°16

Respuestas

7.7.2. Multiplicación de un monomio por un polinomio

Ejercicio N.° 17

Respuestas

7.7.3. Multiplicación de polinomios

Ejercicio N.° 18

Respuestas

7.8. División algebraica

7.8.1. División entre monomios

7.8.2. División entre fracciones

7.8.3. División de un polinomio por un monomio

7.8.4. División entre polinomios

Ejercicio N.° 19

Respuestas

7.9. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 7 Términos algebraicos


147

147

147

147

148

148

149

149

149

150

151

151

151

151

152

153

154

156

156

157

162

08 FACTORIZACIÓN 164

166

166

166

168

169

171

173

173

174

176

176

176

177

178

179

179

179

181

182

182

182

184

187

8.1. Métodos de fractorización

8.1.1. Factorización de un monomio

8.1.2. Factorización de un polinomio

8.2. Caso I: factor común

8.3. Caso II: factor común por agrupación de términos

8.4. Caso III: trinomio cuadrado perfecto

Ejercicio N.° 20

Respuestas

8.5. Caso IV: Diferencia de cuadrados

Ejercicio N.° 21

Respuestas

8.6. Caso especial del caso IV (diferencia de cuadra-dos y combinación de los casos III y IV)

8.6.1. Caso especial de diferencia de cuadrados

8.6.2. Caso especial combinación de los casos III y IV

Ejercicio N.° 22

Respuestas

8.7. Caso V: trinomio cuadrado perfecto por adición y sustratación

8.7.1. Caso especial: suma de los cuadrados

Ejercicio N.° 23

Respuestas

8.8. Caso VI: Trinomio de la forma x2 + bx + c

8.8.1. Caso especial del caso VI

Ejercicio N.° 24

Respuestas

8.9. Caso VII: trinomio de la forma ax2 + bx + c

8.9.1. Casos especiales del caso VII

8.9.1.1. Casos especiales del caso VII

Ejercicio N.°25

Respuestas

8.10. Caso VIII: cubo perfecto de binomios

Ejercicio N.° 26

Respuestas

8.11. Caso IX: suma o diferencia de cubos

Ejercicio N.° 27

Resultados

8.11.1. Caso especial del caso IX

Ejercicio N.° 28

Respuestas

8.12. Caso X: suma o diferencia de dos potencias iguales

Ejercicio N.° 29

Respuestas

8.13. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 8. Factorización

8.14. Respuestas de los ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 8. Factorización

187

187

189

189

192

192

193

195

195

195

197

197

197

200

200

200

203

203

203

209

09 11

10

FRACCIONES ALGEBRAICAS ANEXOS

REFERENCIAS

9.1. Reducción de fracciones

9.1.1. Fracciones con monomios

9.1.2. Fracciones con polinomios

9.2. Operaciones entre fracciones algebraicas

9.2.1. Suma y resta de fracciones algebraicas

Ejercicio N.° 30

Resultados

9.2.2. Multiplicación de fracciones algebraicas

Ejercicio N.° 31

Resultados

9.2.3. División entre fracciones algebraicas

Ejercicio N.° 32

Resultados

9.3. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 9. Fracciones Algebraicas

9.4. Respuestas de los ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 9 Fracciones algebraicas

Números

Clasificación de los números

Números fraccionarios

Conceptos de fracción

Las formas de comparar fracciones

Resumen de los diferentes tipos de fracciones

Potenciación

Resumen tipos de potencia

Resumen propiedades de la potenciación

Resumen clases especiales de potencias

Radicación

Resumen características de raíz índice par e impar

Resumen propiedades de la radicación

Logaritmación

Resumen tipo de logaritmos

Resumen propiedades de los logaritmos

Términos algebraicos

Resumen tipo de expresiones algebraicas

211 233

229

213

214

214

215

215

217

217

217

219

219

219

221

221

221

227

234

235

236

237238

239

240

241

242

243

244

245

246

247

248

249

250

251

B={2,4,6,8,...}

x

x

x

+

{

{

}

introduccion

23

SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO

De manera sencilla y visual, este libro presenta conceptos de

matemática básica aplicados a la Ingeniería Civil. Por ello, cada

tema contiene una gráfica en la que se explica el procedimiento

matemático correspondiente a un ejercicio. El uso del color se-

ñala los diversos elementos que se deben tener presentes para

desarrollar cada ejercicio.

También se presentan ejercicios relacionados con las diversas

áreas de aplicación de la Ingeniería Civil. Ejercicios relacionados

con la construcción, el diseño de vías y estructuras, la hidráuli-

ca de fluidos, el financiamiento de proyectos, la construcción

de redes de suministro de agua caliente o presas de embalses,

el manejo de escombros, los ensayos de laboratorio, las herra-

mientas de construcción, el diseño de acueductos y tanques de

almacenamiento, la hidráulica de pozos, los caudales de tuberías,

la geotecnia, entre otros.

Los conceptos plasmados en este texto se fundamentan en im-

portantes publicaciones de autores como: Álvarez Jiménez, R. A.

y Mejía Duque, F. G. (2006), Baldor, Cárdenas, J. L. (2014), Escu-

dero Trujillo, R. (2015), Fuentes Medina, A. A. (2015), Peters, M. y

Schaaf, W. L., Pérez, K. M. (1984), Ramírez V., A. P. y Cárdenas A.,

J. C. (2001), Sánchez Hernández, R. (2014) y Viedma, J. A. (1957).

El álgebra básica es una de las bases de la In-

geniería Civil, pues contribuye al desarrollo del

pensamiento lógico-matemático. Además propor-

ciona herramientas importantes para resolver problemas

cotidianos propios del ejercicio profesional.

Para avanzar en la construcción de nuevos conocimientos,

es indispensable que el estudiante de los primeros niveles

de Ingeniería Civil afiance los conceptos relacionados con

conjuntos, números, números fraccionarios, potenciación,

radicación, logaritmación, términos algebraicos, factori-

zación y fracciones algebraicas.

B={2

,4,6

,8,..

.}

x

x x

+

{ }

conjuntos

01

27


Un conjunto es la agrupación de elementos que se carac-

terizan por cumplir con alguna particularidad, el cual está

conformado por un grupo de objetos (llamados elementos)

que tiene alguna característica en común.

Los conjuntos usualmente se denominan con letras ma-

yúsculas, tales como S, M, P, etc.

Los conjuntos se pueden especificar por comprensión

y por extensión.

Por comprensión. Se expresa claramente la característica por la

cual se agrupan elementos que hacen parte del conjunto.

Por extensión. Se relaciona expresamente cada uno se los elemen-

tos que hacen parte del conjunto. Para este ejemplo, el conjunto se

expresa además por extensión de la siguiente forma:

P = { x/x por las letras que forman la palabra “disciplina” }

P = {d,i,s,c,p,l,n,a}

Ejemplo N.° 1

1.1. Concepto de conjunto

Es importante aclarar que cuando un conjunto está conformado por

un número infinito de elementos, sólo se define por compresión y

no por extensión.

Como se observa en la gráfica N.° 1, el conjunto P está conformado

por ocho elementos. La gráfica muestra que el elemento a hace

parte del conjunto P. Matemáticamente esto se expresa como sigue:

a ∈ P, donde el símbolo ∈ se lee “pertenece”, es decir, “a pertenece

al conjunto P”.

Cuando un elemento no hace parte del conjunto, matemáticamente

se expresa así: b ∉ P, donde el símbolo ∉ se lee “no pertenece”. Es

decir, “b no pertenece al conjunto P”.

28 29{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO

Los cinco tipos de conjuntos con los que usualmente se analizan

son representados en la gráfica 2.

Gráfica 2. Tipos de ConjuntosFuente. Sandra Patricia Narvaez

Como se puede observar, en la forma de extensión se relacionan

de manera expresa cada uno de los elementos que conforman la

palabra disciplina. De otra parte, en un conjunto especificado por

comprensión se indican las características comunes que comparten

sus elementos.

Agrupación de elementos que se caracterizan por cumplir con alguna particularidad

Conjuntos

Extensión Comprensión Diagrama de Venn

P = {d,i,s,c,p,l,n,a} P = { x/x por las letras que forman la palabra “disciplina”}

d IS

P

P

n

ica

Gráfica 1. Ejemplo Conjuntos por Extensión, Comprensión y Diagrama de Venn

Fuente. Sandra Patricia Narvaez

Diagrama de Venn. Para representar un conjunto de manera

gráfica se emplea el diagrama de Venn. Para ello, se utilizan ele-

mentos geométricos como: círculos, óvalos, triángulos, rectán-

gulos, entre otros.

Para el ejemplo planteado anteriormente, el conjunto P se podría

representar por medio del diagrama de Venn relacionado en la si-

guiente gráfica:

1.2. Tipos de conjuntos

Tipos de Conjuntos

Conjunto InfinitoEs el conjunto el cual tiene un número incontable de

elementos.

Conjunto UnitarioContiene un solo elemento

Conjunto FinitoContiene una cantidad limitada de elementos.

Conjunto Vacío o NuloNo contiene algún

elemento. Se representa con la letra (fi): Φ

Conjunto Universal o Referencial

Contiene todos los elementos posibles en un ejercicio o

problema planteado.

1.2.1. Conjunto vacío o nulo

Ejemplo N.° 2

Considerando el siguiente conjunto J.

Por comprensión: J = { x/x todas las ballenas que tienen agallas }

Por extensión: J = { }


1.2.2. Conjunto Unitario

Ejemplo N.° 3

Considerando el siguiente conjunto K.

Por comprensión:

K = { x/x Estrellas que iluminan el día al planeta tierra }

Por extensión: K = { sol }

1.2.3. Conjunto finito

Ejemplo N.° 4.

Considerando el siguiente conjunto L.

Por comprensión:

L = { x/x son los números enteros positivos menores que 7 }

Por extensión: L = { 1,2,3,4,5,6 }

1.2.4. Conjunto Infinito

Ejemplo N.° 5.

Considerando el siguiente conjunto M.

Por comprensión:

M = { x/x son los números enteros mayores que 7 }

Por extensión: M = {8,9,10,…}

1.2.5. Conjunto Universal o Referencial

Ejemplo N.° 6.

Considerando el siguiente conjunto R:

R = { x/x todos los números reales}

Como contiene una cantidad infinita de elementos, no se puede

expresar por extensión, sólo por comprensión.

Los conjuntos tienen dos características: (a) pueden compararse y

(b) es posible realizar operaciones . En las gráficas 4 y 6 se describen

la comparación y la operación entre conjuntos.

32 33

Ejercicio N.° 11. Exprese por extensión los siguientes conjuntos:

1.1. A = {x/x por las letras que conforman la palabra 'musical' }

1.2. B = { x/x son los números que son divisibles por 2 }

1.3. C = { x/x cantidad de países ubicados en el continente americano}

2. Exprese por compresión los siguientes conjuntos:

2.1. D = { 7,14,21,28,35,42,49,56 }

2.2. E = { a,e,i,o,u }

2.3. F = { bicicleta,moto,automóvil,avión,tren,bus,barco,metro }

3. Represente por medio del diagrama de Venn los siguientes

conjuntos:

3.1. G = { x/x las 3 capitales más importantes de Colombia }

3.2. H = {-10,-5,0,1,2}

3.3. M = {-20,-10,-2,-1}

4. Clasifique los siguientes conjuntos:

4.1. N = { x/x son los números impares entre 3 y 7 }

4.2. O = { x/x son las letas que conforman el abecedario }

4.3. P = { x/x los números que son divisibles por 5 }

4.4. Q = { x/x los números que son divisibles por 0 }

2. Conjuntos por comprensión:

2.1. D = { x/x son los números positivos menores de 60 y que son

divisibles por 7}

2.2. E = { x/x son las vocales del castellano}

2.3. F = { x/x principales medios de transporte}

3. Diagramas de Venn

3.1. Diagrama de Venn

BOGOTÁ

MEDELLÍN

CALI


-10 -5 01 2


Gráfica 3. Respuesta del Ejercicio 1Fuente. Sandra Patricia Narváez

-20-10-2-1

4. Clasificación de conjuntos:

4.1. N: Conjunto unitario

4.2. O: Conjunto finito

4.3. P: Conjunto infinito

4.4. Q: Conjunto vacío

Respuestas:1. Conjuntos por expresión:

1.1. A = {M,U,S,I,C,A,L}

1.2. B = {2,4,6,8,...}

1.3. C = {35}


1.3. Comparación entre conjuntos

DisyunciónS ≠ T

Comparación entre conjuntos

IgualdadN = O

ContenenciaN ⊂ Q

S T N O

S

Q

Gráfica 4. Comparación entre conjuntos Fuente. Sandra Patricia Narváez

Estos conceptos se analizarán teniendo presente el ejercicio descrito a

continuación, el cual se expresa con diagrama de Venn en la Gráfica 5.

Se tienen los conjuntos:

U = {a,b,c,d,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

N = {1,2,4,a,b,c}

O = {a,b,c,1,2,4}

Q = {1,3,5,7,9,11}

S = {1,3,9}

T = {a,b,c}

V = {1,9,12,c}

1.3.1. Igualdad

Dos conjuntos son iguales cuando los elementos que los conforman

son idénticos.

Ejemplo N.° 7

N={1,2,4,a,b,c}

O={a,b,c,1,2,4}

Se observa que ambos conjuntos tienen los mismos elementos.

Por lo tanto, se afirma que N=O.

1.3.2. Contenencia o subconjunto

Se afirma que un conjunto está contenido en otro cuando los ele-

mentos del primero se encuentran entre los elementos del segundo

conjunto. Se emplea el símbolo ⊂

Ejemplo N.° 8

Q = {1,3,5,7,9,11}

S = {1,3,9}

Se observa que los elementos del conjunto S se encuentran en

el conjunto Q. En este caso se afirma que S está contenido en Q.

Matemáticamente se expresa así: Q = S

Al comparar dos conjuntos se obtiene las situaciones expresadas

en la gráfica 4.


1.3.3. Disyuntivos

Dos conjuntos son disyuntos cuando no tienen un elemento en

común.

Ejemplo N.° 9

S = {1,3,9}

T = {a,b,c}

Estos dos conjuntos no tienen elementos en común, entonces se

afirma que son conjuntos disyuntos matemáticamente expresamos

la relación entre estos conjuntos así: S ≠ T

El siguiente ejercicio ilustra las diversas comparaciones entre conjuntos:

N

U

Q

S

V

T

4 2

1 39

8 1210

5

117

6

b a cd

Gráfica 5. Respuesta de los ejercicios del 7 al 9.Fuente. Sandra Patricia Narváez

Gráfica 6. Operación entre conjuntos.Fuente. Sandra Patricia Narváez

1.4. Operación entre conjuntos

Al operar varios conjuntos se encuentran las situaciones presentadas

en la gráfica 5. A continuación explicaremos con más detalle estas

operaciones partiendo del ejercicio ya planteado.

Diferencia simétrica Q Λ V

DiferenciaQ ‒ S

ComplementoN'

N'

UniónS ∪ T

IntersecciónQ ∩ N

Operación entre

conjuntos

Q V

Q △ V

Q S

S-Q

Q S

Q-S

Q S

S ∪ T

Q S

Q ∩ V

N

1.4.1. Unión de conjuntos

Es la reunión de todos los elementos que hacen parte de diferentes

conjuntos en un conjunto nuevo. Para representar esta relación se

emplea el signo ∪.


S T∪

ST

ba

c

139

Gráfica 7. Ejemplo 10 S∪T.Fuente. Sandra Patricia Narváez

Gráfica 8. Ejemplo 11 Q∩V. Fuente. Sandra Patricia Narváez

Gráfica 9. Ejemplo 12 N'.Fuente. Sandra Patricia Narváez

1.4.2. Intersección de conjuntos

Es el nuevo conjunto en el cual se relacionan sólo los elementos

que tienen en común los diferentes conjuntos. Para representar

esta relación se emplea el signo ∩.

Ejemplo N.° 11

Q = { 1,3,5,7,9,11 }

V = { 1,9,12,c }

Q ∩ V = { 1,9 }

Q

V

139

12

511

7c

Q ∩ V

1.4.3. Complemento de un conjunto

Es un conjunto nuevo (N') que incluye los elementos que no existen

en el conjunto de estudio (N) y que lo harían idéntico al conjunto

universal. Se emplea el símbolo '

Ejemplo N.°12

U = { a,b,c,d,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 }

N = { 1,2,4,a,b,c }

N' = { d,3,5,6,7,8,9,10,11,12 }

N'

N'

U

4 2

13

98 1210

51176

b

N

a cd

Ejemplo N.° 10

S = {1,3,9}

T = {a,b,c}

S ∪ T={a,b,c,1,3,9}


1.4.4. Diferencia de conjuntos

Es un conjunto nuevo en el cual se relacionan los elementos del

conjunto de estudio que no se encuentran en otro conjunto de

comparación. Se emplea el símbolo —

Ejemplo N.° 13

Q = { 1,3,5,7,9,11 }

S = { 1,3,9}

Q - S = { 5,7,11 }

Q

S

1

3 9 5

117

Q – S

1.4.5. Diferencia simétrica de conjuntos

Es un conjunto nuevo o conformado por los elementos que per-

tenecen a la unión de dos conjuntos y que no se encuentran en la

intersección de los mismos. Se emplea el símbolo: Δ

Gráfica 10. Ejemplo 13 Q-S. Fuente. Sandra Patricia Narváez

Gráfica 11. Ejemplo 14 Q∆V. Fuente. Sandra Patricia Narváez

Ejemplo N.°14

Q = { 1,3,5,7,9,11 }

V = { 1,9,12,c }

Para hallar la diferencia simétrica se deduce inicialmente:

Q ∪ V = { 1,3,5,7,9,11,12,c }

Q ∩ V = { 1,9 }

Luego se define:

Q Δ V = { 3,5,7,11,12,c }

Q

V1

39

12

5

117

c

Q Δ S

42 43

Ejercicio N.º 2 Comparación y operación entre conjuntosTeniendo presente los siguientes conjuntos:

A = { 1,2,3,a}

B = { 3,4,5,e }

C = { a,e,i,o,u}

D = { 6 }

U = { a,e,i,o,u,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 }

Determinar:


2.2. A∪B∪C

2.3. A∩B∩C

2.4. D'

2.5. AΔB

Respuestas:2.1. Diagrama de Venn

A∪B∪C

A∩B∩C

Gráfica 12. Respuesta del Ejercicio 2.1 Q∆V. Fuente. Sandra Patricia Narváez

Gráfica 13. Respuesta del Ejercicio 2.2 A∪B∪C.Fuente. Sandra Patricia Narváez

Gráfica 14. Respuesta del ejercicio N.° 2.2 A∩B∩C.Fuente. Sandra Patricia Narváez

2.2. A∪B∪C = { a,e,i,o,u,1,2,3,4,5 }

2.3. A∩B∩C = { }

UA B

D

C

42

13

9

8

10

5

7

6

a e

io u

UA B

D

C

42

13

9

8

10

5

7

6

a e

io u

UA B

D

C

42

13

9

8

10

5

7

6

a e

io u

44 45


Gráfica 16. Respuesta del Ejercicio 2.5 A∆B.Fuente. Sandra Patricia Narváez

UA B

D

C

42

13

9

8

10

5

7

6

a e

io u

2.4. D' = { a,e,i,o,u,1,2,3,4,5,7,8,9,10 }

2.5. A∆B = { a,e,1,2,4,5 }

UA B

D

C

42

13

9

8

10

5

7

6

a e

io u

Gráfica 15. Respuesta del Ejercicio 2.4 D'.Fuente. Sandra Patricia Narváez

D'

A∆B

1.5. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.º 1

1. Encuesta de uso de materiales para agua caliente.

Al realizar una encuesta sobre el uso de diferentes materiales

para el sistema de red de agua caliente CPVC y cobre, entre

40 obras de construcción de vivienda. Se determinó que 28

de éstas prefieren el uso de CPVC y 18 emplean cobre. Final-

mente, 8 de ellas indican que usan ambos materiales.

Determine la cantidad de obras que no emplean ninguno de

estos materiales y realice el diagrama de Venn respectivo.

2. Vinculación de personal con posgrado.

Una empresa constructora y de diseño requiere vincular 22

ingenieros civiles con las siguientes maestrías:

• Maestría en geotecnia: 11

• Maestría en estructuras: 12

• Maestría en recursos hídricos: 10

Se ha establecido que pueden vincularse profesionales con

dos maestrías:

• Maestría en estructuras y geotecnia: 5

• Maestría en estructuras y recursos hídricos: 4

• Maestría en geotecnia y recursos hídricos: 4

Debido a la importancia de los proyectos se vincularán tam-

bién profesionales con triple titulación.


Establezca:

• ¿Cuántos profesionales cuentan con tres maestrías?

• ¿Cuántos profesionales cuentan sólo con una maestría?

3. Encuesta sobre tipo de presas en embalses.

Se realizó una encuesta en 28 empresas especialistas en el

diseño y la construcción de diferentes tipos de presas de em-

balses y se determinó que:

• 12 empresas se especializaron en el diseño de presas

de enrocado (Tipo A).


construidas en concreto de arco (Tipo B).


en tierra (Tipo C).

• 12 se especializaron en 2 tipos de presas.

Establezca:

• ¿Cuántas empresas se especializaron en el diseño y

construcción de las tres tipos de presas?

1.6. Respuestas de los ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.º 1

1. Encuesta de uso de materiales de agua caliente

• Cantidad de obras que sólo usan CPVC: 20

• Cantidad de obras que sólo usan Cobre: 10

• Cantidad de obras que emplean ambos materiales

(CPVC y cobre): 8

• Cantidad de obras que no emplea ninguno de estos

materiales (CPVC y cobre): 2

Diagrama de Venn

UCPVC COBRE

20

2

8 10

Gráfica 17. Respuesta del ejercicio N.º 1 de aplicación a la Ingeniería Civil. Uso de

materiales Red agua caliente.Fuente. Sandra Patricia Narváez

2. Vinculación de personal con postgrado.

• Ingenieros con tres maestrías: 2

• Ingenieros con la maestría en geotecnia: 4

• Ingenieros con la maestría en estructuras: 5

• Ingenieros con la maestría en recursos hídricos: 4

48{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL

U GEOTECNIA ESTRUCTURAS

RECURSOS HIDRÍCOS

4

4

22

2

3 5

U Presas T1 Presas T2

Presas T3

7

1

45

6

2 3

3. Encuesta sobre tipo de presas en embalses.

Empresas que se especializaron en el diseño y la construcción

de las tres tipos de presas:

Gráfica 18. Respuesta del Ejercicio N.° 2 de aplicación a la Ingeniería Civil. Vinculación

de personal con postgrado.Fuente. Sandra Patricia Narváez

Gráfica 19. Respuesta del Ejercicio N.° 3 de aplicación a la Ingeniería Civil. Tipos de

presas en embalses.Fuente. Sandra Patricia Narváez

B={2,4,6,8,...}

x

x x

+

+

{ }

NUMEROS

02

51


En los diferentes tipos de conjuntos se encuentran los que

relacionados con los números, es decir, los números na-

turales, cabales, enteros negativos, enteros, fraccionarios,

racionales, irracionales, reales, imaginarios y complejos.

A continuación explicamos cada clase.

2.1.1. Números Naturales (N)

Es el conjunto de números enteros positivos comenzando

desde el número uno. No contiene el cero. Los números

2.1. Clasificación de los números

naturales se subdividen en números pares e impares, números

primos y compuestos.

Ejemplo N.° 15

N = { 1,2,3,4,5,6,7,…,100,… }

2.1.2. Números Cabales (W)

Es el conjunto de números enteros positivos, incluyendo el cero.

Ejemplo N.° 16

W = { 0,1,2,3,4,5,6,7,…,100,… }

2.1.3. Números Enteros Negativos

Es el conjunto de números enteros negativos, excluyendo el cero.

Ejemplo N.° 17

Enteros negativos = { …,-20,…,-4,-3,-2,-1 }

2.1.4. Números Enteros (Z)

Es el conjunto que reúne los elementos de los números cabales y

los números enteros negativos.

Ejemplo N.° 18

Z = { …,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,... }


2.1.5. Números Racionales no Enteros o Fraccionarios

Es el conjunto de números que no son enteros y que se expresan

como una fracción. Se clasifican en propios o impropios, homogé-

neos o no homogéneos.

Ejemplo N.° 19

= 52

13

78

, —... , — ...,

R = 52

, 0, e, 1030... , — √2, —20, — ...

Q = 52

78

, 0, , 108... , — 20 — ...

2.1.6. Números Racionales (Q)

Es el conjunto que incluye los elementos de los números enteros y

los racionales no enteros.

Ejemplo N.° 20

2.1.7. Números Irracionales (H)

Es el conjunto que agrupa a los números que no se expresan como

una fracción.

Ejemplo N.° 21

H = { … , -√11, √2, π, e, … }

2.1.8. Números Reales (R)

Es el conjunto que agrupa a los números racionales e irracionales.

Se caracterizan porque se pueden ubicar en la recta numérica.

Ejemplo N.° 22

2.1.9. Números Imaginarios

Es el conjunto de números que no se encuentran en la recta numérica.

Ejemplo N.° 23

Imaginarios = { …, √(-2), √(-1), 3√(-15), … }

2.1.10. Números Complejos

Es el conjunto de números que incluyen los elementos de los nú-

meros reales e imaginarios.

Ejemplo N.° 24

Enteros fraccionarios

12

, π,3√(-15), …... , —20, — √2, — e, 0,Complejos =

54 55


Ejercicio N.° 3Al tener presente los conceptos explicados sobre las operaciones

entre los conjuntos, indique si las afirmaciones que aparecen a conti-

nuación son correctas o incorrectas. Tenga en cuenta la clasificación

de los números explicada en la gráfica 139.

3.1. W = N ∪ {0}

3.2. Z = W ∩ N

3.3. R = H ∩ Q

3.4. H = R — Q

3.5. Números complejos = Números imaginarios ∪ R

3.6. Números enteros = Z ― W

3.7. R = N Δ {0}

3.8. Z ⊂ R

Respuestas3.1. W = N ∪ {0} Correcta

3.2. Z = W ∩ N Incorrecta

3.3. R = H ∩ Q Incorrecta

3.4. H = R — Q Correcta

3.5. Números complejos = Números imaginarios ∪ R Correcta

3.6. Números enteros = Z ― W Correcta

3.7. R = N Δ {0} Incorrecta

3.8. Z ⊂ R Correcta

2.2. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.º 2

Indique si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. En

caso de que la afirmación sea falsa, especifique el motivo.

Para la realización de los cálculos ingenieriles relacionados con el

análisis estructural se requiere tener presente que:

a. La cuantía del acero no es equivalente a un número negativo,

pues pertenece a los números naturales (N) enteros positivos.

b. La reacción de una viga no es equivalente a un número imagi-

nario, pues pertenece a los números complejos.

c. La cantidad de flejes en un elemento estructural es equivalente

a un número entero, el cual pertenece al grupo de los números

enteros negativos.

d. La deformación de un elemento empotrado es cero. Por lo tanto,

no es un número cabal.

e. La longitud de una viga es equivalente a un número complejo.

f. El área de una sección transversal de una columna se caracteriza

por ser un número imaginario.

2.3. Respuestas de los ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.º 2

a. La cuantía del acero no es un número negativo, pues pertenece

a los números naturales (N) enteros positivos.

Verdadero


b. La reacción de una viga no puede ser equivalente a un número

imaginario, pues pertenece al conjunto de los números complejos.

Falso: los números complejos incluyen los números imaginarios.

En este caso se afirma que la reacción de una viga pertenece a

los números reales.

c. La cantidad de flejes en un elemento estructural debe ser un

número entero, el cual pertenece al grupo de los números en-

teros negativos.

Falso: La cantidad de flejes es un número entero natural positivo.

d. La deformación de un elemento empotrado es cero, pues es

un número cabal.

Verdadero

e. La longitud de una viga es equivalente a un número complejo.

Falso: cualquier longitud se caracteriza por ser equivalente a

un número real positivo.

f. El área de una sección transversal de una columna se caracteriza

por ser equivalente a un número imaginario.

Falso: Toda área se caracteriza por ser equivalente a un número

real positivo.

B={2,4,6,8,...}

x

x x

+

+

{ }

NUMEROSFraccionarios

03

59


En matemática se entiende el concepto de frac-

ción como la división de dos números enteros,

haciendo la salvedad de que el denominador

debe ser diferente de cero.

La fracción se trabaja bajo los siguientes conceptos:

3.2.1. Fracción como parte de una unidad

Se considera que una unidad se divide en partes iguales y se ha

seleccionado algunas de ellas.

Ejemplo N.° 25

Representar la fracción como parte de una unidad. En la siguiente

gráfica se describe que de cinco partes se toman sólo tres, tal como

se ilustra en la siguiente gráfica:

3.1. Elementos de una fracción

La fracción se encuentra comprendida por el numerador y

denominador, tal como se muestra en la siguiente gráfica:

Gráfica 20. Elementos de una fracciónFuente. Sandra Patricia Narváez

Gráfica 21. Ejemplo 25Fuente. Sandra Patricia Narváez

NumeradorDenominador

35

35

3.2. Conceptos de fracción

35

35

3.2.2. Fracción como cociente

El concepto de fracción está relacionado con la operación mate-

mática de división, la cual se realiza teniendo como base las tablas

de multiplicar.


3.2.3. Fracción como operador

Para calcular la fracción de un número se multiplica dicho valor por

el numerador y el resultado se divide por el denominador.

Ejemplo N.° 27

Representar la fracción de $90 bajo el concepto de operador.

En la gráfica 23 se muestra cómo se calcula la fracción de un número.

Se multiplica el numerador por $90 y el resultado se divide por 5,

ya que es el denominador de esta fracción.




35

30= 0 0,65

35

3 35 5 5

Calcular de $90

x $90 ($90) $270 $54

35

35

Ejemplo N.° 26.

Representar la fracción como cociente. En la gráfica 22 se ob-

serva que el concepto de cociente consiste en el desarrollo de la

división expresada en la fracción.

3.2.4. Fracción como razón

Se emplea la fracción como razón o proporción cuando se comparan

dos cantidades de una misma magnitud.

Ejemplo N.° 28

En una caja de colores, hay disponibles ocho lápices, de los cua-

les tres son rojos y cinco son azules. Indique la razón que hay

entre los colores rojos y los azules. En la gráfica 24 se representa

la situación descrita; por cada tres colores rojos, se encuentran

cinco de color azul.

En una caja hay 3 colores rojos y 5 azules. La razón entre colores rojos y azules es:

35

3 : 5 ó

3.2.5. Fracción como porcentaje

Se denomina un porcentaje a una porción que es proporcional al

número 100, el cual se expresa matemáticamente como una fracción.

Si se tiene el 50% se entiende que es la mitad del cien.


Ejemplo N.° 29

Representar como un porcentaje la fracción .

En la gráfica 25 se observa que la fracción corresponde

al 60%.

35

35


3

2

1

4

5

5

5

5

5

5100%

80%

60%

40%

20%

Es muy importante conocer cómo se realiza una comparación en-

tre fracciones, ya que esto facilita su operación. Al comparar dos

fracciones se pueden encontrar que son fracciones equivalentes,

homogéneas o no homogéneas.

3.3.1. Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes a otra cuando, al multiplicar en

cruz sus elementos en cruz, se obtiene el mismo resultado.

Ejemplo N.° 30

Verificar que las fracciones y son equivalentes.

En la gráfica 26 se puede observar este tipo de fracciones.

35

65

85

35

610



3

3

6

6

5

55(6) = 3(10)

30 = 30

10

10

es equivalente a ya que:


Dos fracciones son homogéneas si ambas tienen el mismo denominador.

Ejemplo N.° 31

Verificar que las fracciones , , sean homogéneas. En la

gráfica 27 se representa este tipo de fracciones:−

65 8

5 35

−

Fracciones homogéneas

3.3. Comparaciones entre fracciones


3.4.2. Fracciones impropias

Son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador.

Ejemplo N.° 34

Verificar si es una fracción impropia. Ver gráfica 30.

Ejemplo N.° 33

Verificar si , , son fracciones propias.

En la gráfica 29 se observa cómo se ubican estas fracciones en la

recta métrica decimal.


Dos fracciones no son homogéneas cuando tienen diferente de-

nominador.

Ejemplo N.° 32

Verificar que las fracciones , , sean no homogéneas.

Ver gráfica 28.

35

121

14

24

74

34

27


121

27

35

−

Fracciones no homogéneas

3.4. Tipos de fracciones

Las fracciones se clasifican en propias, impropias, mixtas y unitarias.

3.4.1. Fracciones propias

Son aquellas fracciones cuyo numerador es menor que el deno-

minador. Se identifican porque al ubicalas en la recta numérica se

encuentran entre el cero y el uno.



1 2 3 4

0.75

4

0 12

0,25 0.50

4 4 4

74=+


Ejemplo N.° 36

Verificar si es una fracción unitaria. Ver gráfica 32.

Al analizar esta expresión matemática se observa que el numerador

y el denominador tienen el mismo número. En la siguiente gráfica

se observa cómo se representa gráficamente esta fracción.

3.4.3. Fracciones mixtas

Está compuesta por una parte entera y otra fraccionaria. Para con-

vertir una fracción mixta en una impropia se multiplica el denomi-

nador por el número entero y se suma al numerador. El resultado

corresponde al numerador de la fracción impropia y se mantiene

como denominador el número de la fracción mixta.

Ejemplo N.° 35

Verificar si 1 es una fracción mixta.

Al analizar esta expresión matemática vemos que está compuesta

por un número entero y una fracción. Ver gráfica 31.

Para convertir una fracción mixta en una impropia se realiza la si-

guiente operación:

34


3 3 74 + 31 1 + = = =4 4 44

Fracciones mixtas

31 4=+

3.4.4. Fracciones unitarias

Las fracciones unitarias se caracterizan porque el numerador y el

denominador tienen el mismo número.



Fracciones unitarias

44=

3.4.5. Fracciones decimales

Se caracterizan porque su denominador es una potencia de diez.

Ejemplo N.° 37

Verificar si es una fracción decimal. Ver gráfica 33.

Al analizar esta fracción se observa que el denominador es el nú-

mero diez.

44

910

Fracciones decimales

910=

68 69

Ejercicio N.°4 4.1. Después de estudiar los conceptos de fracción (parte de una

unidad, porcentaje, cociente, razón y operador), represente

gráficamente la fracción.

4.2. Compare las siguientes fracciones e indique si son equivalentes,

homogéneas o no homogéneas:

4.2.1. y

4.2.2. y

4.2.3. y

4.3. Clasifique las siguientes fracciones en propias, impropias, mixtas,

unitarias y decimales.

4.3.1.

4.3.2.

4.3.3.

4.3.4.

4.3.5.

56

53

1214

−310

22

1231

3112

-5 25

27

67

88

58

Respuestas4.1. En la gráfica 34 se ilustra la fracción como parte de una unidad:

Gráfica 34. Solución Ejercicios 4Fuente. Sandra Patricia Narváez

Parte de una unidad

PorcentajeCociente

OperadorRazón


1 Numerador6 Denominador 1

0,166610

404

1

1

6

6 6 6x $12 1 ($12) $12 $2

Calcular de $12

16

1

6

1

8

616,675%

100% 8

6 116

ó:

En una bolsa hay 1 pelota roja y 6 azules. La razón entre colores rojos y azules es:

70 71


4.2.1. y : Fracciones no homogéneas

4.2.2. y : Fracciones equivalentes

4.2.3. y : Fracciones homogéneas

4.3.1. : Fracción decimal

4.3.2. : Fracción unitaria

4.3.3. : Fracción mixta

4.3.4. : Fracción propia

4.3.5. : Fracción impropia

53

1214

−310

22

1231

3112

-5 25

2767

88

58

3.5. Operaciones entre fracciones

definitivo. Se deja como denominador el mismo número que

tienen las fracciones originales.

Ejemplo N.° 38

Realizar las siguientes operaciones matemáticas: − +

Como son fracciones homogéneas, los denominadores son iguales,

sólo se suman o restan los numeradores para definir la expresión final.

En la gráfica 35 se relaciona el procedimiento a seguir.

15

35

25

Gráfica 35. Ejemplo N.º 38Fuente. Sandra Patricia Narváez

15

5

− +3

3 − 1 + 2

525


Sumar (o restar) los numeradores para definir el nuevo numerador

Emplear el mismo denominador

45

Entre fracciones se realizan las siguientes operaciones matemáticas.

3.5.1. Suma y resta entre fraccionarios

Para realizar la suma o resta de las fracciones se debe tener en

cuenta qué tipo de fracción se está estudiando.


Las fracciones homogéneas tienen el mismo denominador y se

suman o restan los numeradores para obtener el numerador


Para sumar o restar varias fracciones con diferente denominador

se debe determinar el común denominador.


73


Ejemplo N.° 39

Realizar las siguientes operaciones matemáticas: + −

Como son fracciones no homogéneas sus denominadores son di-

ferentes. En la gráfica 36 se relaciona el procedimiento a seguir.


Gráfica 37. Suma y resta entre fraccionesFuente. Sandra Patricia Narváez


Hallar el mínimo común multiplo (mcm) de los denominadores, descomponiéndolos en factores y seleccionando los que tienen ma-yor exponente, sean comunes o no.

Hallar el numerador apli-cando la siguiente norma:Numerador por denomina-dor común (mcm) dividido por su denominador.

Operar (sumar o restar) los numeradores y tener pre-sente que el denominador es el obtenido como mcm.

Simplificar la fracción.

1

1 x (12)

2 x (12)

1 x (12)

4

4

33 + 8 − 2

12

6

4 = 22 3 = 3

mcm = 22 x 3 = 12

6 = 2 x 3

16

912

2

3 31

1

4 42 2

1 1

6 63 3

3

3

8

2

En la gráfica 37 se observa un resumen de este tipo de sumas y

restas de fracciones según si son homogéneas o no homogéneas.

Suma y resta entre fracciones

15

5

− +3

3 − 1 + 2

525


Sumar (o restar) los numeradores para definir el nuevo numerador

Emplear el mismo denominador

45


Hallar el mínimo común multiplo (mcm) de los denominadores, descomponiéndolos en factores y seleccionando los que tienen ma-yor exponente, sean comunes o no.

Hallar el numerador apli-cando la siguiente norma:Numerador por denomina-dor común (mcm) dividido por su denominador.

Operar (sumar o restar) los numeradores y tener pre-sente que el denominador es el obtenido como mcm.

Simplificar la fracción.

1

1 x (12)

2 x (12)

1 x (12)

4

4

33 + 8 − 2

12

6

4 = 22 3 = 3

mcm = 22 x 3 = 12

6 = 2 x 3

16

912

2

3 31

1

4 42 2

1 1

6 63 3

3

3

8

2

14

16

23


3.5.4. Multiplicaciones entre fraccionarios

La multiplicación de dos o más fraccionarios se obtiene multiplican-

do los numeradores para obtener un nuevo numerador. La misma

operación se realiza con los denominadores.

Ejemplo N.° 40

Realizar las siguientes operaciones matemáticas: × ×

En la gráfica 38 se encuentra el procedimiento que se realiza para

establecer la solución de esta multiplicación entre fracciones.

14

23

16−


Gráfica 39. División ente fraccionarios Fuente. Sandra Patricia Narváez

14

2x x316−

− −1 x (2) x (-1)4 x (3) x (6)

Multiplicación entre fracciones

Realizar las multiplicaciones entre numeradores y entre denominado-res, incluyendo la multiplicación de signos. Simplificar la fracción

2 172 36

3.5.5. División entre fraccionarios

La división entre fracciones se realiza teniendo presente la multi-

plicación de medios y extremos, tal como lo muestra la gráfica 39.

2 2 x 6 12−1 x 3 33

23÷ 1

6 −4−16−

División entre fracciones

NumeradorProducto de extremos

DenominadorProducto de medios

Simplificando

76 77

Ejercicio N.°5. Operaciones entre fracciones5.1 Realice las siguientes operaciones matemáticas:

5.1.1.

5.1.2.

5.1.3.

5.1.4.

5.2. Realice las siguientes operaciones matemáticas:

5.2.1.

5.2.2.

5.2.3.

5.3. Realice las siguientes operaciones matemáticas:

5.3.1.

5.3.2.

5.3.3.

15 -2÷3 3

21 6÷12 15

-8 -5÷5 8

2 5 1210−+ +3 3 33

2 5 12 910−+ + = =3 3 3 3 33

4 2 95−− −3 9 78

1 -2 61xx3 3 3

21 -2 7 -5x xx2 3 4 5

-8 -2 -5 -9x xx5 3 8 2

= 3-8 -2 -5 -9x xx5 3 8 2

21 15 6−+8 3 7

1 9 57−+ −5 3 63

=21 -2 7 -5x xx2 3 4 5494

21 6÷12 15 = 358

-8 -5÷5 8 = 6425

15 -2÷3 3 = 5− 2

=4 2 95−− −3 9 78403504

=21 15 6−+8 3 7577168

=1 -2 61xx3 3 3122

3

=1 9 5 17−+ −5 3 6 303

Respuestas

5.1.1.

5.1.2.

5.1.3.

5.1.4.

5.2.1.

5.2.2.

5.2.3.

5.3.1.

5.3.2.

5.3.3.


3. Cantidad de concreto para fundir una columna

En el proceso de fundición de una columna se ha determinado

que falta del volumen del concreto para terminar este proceso.

Indique qué cantidad es equivalente a las siguientes opciones. Jusiti-

fique su respuesta.

•

•

•

•

4. Herramientas: llaves

El tamaño de las herramientas usadas en ingeniería se determina

por el nombre. Se dispone de las siguientes llaves:

• Llave de tubo 86902:





• Llave recta de servicio pesado para tubos 31005:

Indique ¿cuál de las fracciones es de mayor tamaño? ¿Cuál se caracteriza

por ser una fracción propia, una fracción mixta y una fracción impropia?

1. Manejo de escombros

Para el manejo de escombros de una ciudad se ha establecido que

de veinte localidades, dos de ellas son generadoras de escombros

de excavación (Tipo A), cinco de construcción (Tipo B), seis gene-

ran escombros de demolición (Tipo C) y tres son generadoras de

sedimentos (Tipo D). Finalmente, cuatro generadoras por remode-

laciones (Tipo E). Exprese cada uno de estos tipos de generación de

escombros bajo los siguientes conceptos de fracción:

• Fracción como parte de una unidad

• Fracción como cociente

• Fracción como razón

• Fracción como porcentaje

2. Presupuesto de obra

A continuación se relaciona el presupuesto en dólares para la am-

pliación de una vivienda. Determine el total del presupuesto y el

porcentaje con respecto al presupuesto a cada ítem:

• Ítem A: Excavación en tierra - US 390.

• Ítem B: Compactación de relleno - US 235.

• Ítem C: Construcción de paredes en bloques - US 1.740.

• Ítem D: Afinado e instalación de pisos- US 580.

• Ítem E: Construcción de techo - US 585.

• Ítem F: Construcción de baño - US 1.270.

• Ítem G: Instalación de puertas y ventanas - US 200.

14

510

41

34

78

2116

88

11 8

72 16

5102864



5. Avance de obra: vías

La firma AB Ingenieros está construyendo una vía que comunica

dos poblaciones.

El primer mes construyó de la vía, el segundo mes , el tercer

mes y el cuarto mes . Indique la cantidad de vía que debe

construir para dar por finalizada la obra.

6. Ensayos de laboratorio

En un solo ensayo de laboratorio relacionado con la calidad del

agua se emplean dos tercios de litro del líquido, ¿cuántos ensayos

de laboratorio se podrían realizar si se dispone de doce litros?

Tipo B:

Tipo C:

Tipo D:

Tipo E:

• Fracción como razón.

Tipo A: ó 2:20

Tipo B: ó 5:20

Tipo C: ó 6:20

Tipo D: ó 3:20

Tipo E: ó 4:20

• Fracción como porcentaje.

Tipo A: equivale a:10%

Tipo B: equivale a:25%

Tipo C: equivale a:30%

Tipo D: equivale a:15%

Tipo E: equivale a:20%

14

220

220

220

520

520

520

620

620

620

320

320

320

420

420

420

220 = 0,1

520 = 0,25

620 = 0,3

320 = 0,15

420 = 0,2

15

18

34


1. Manejo de escombros:

• Fracción como parte de una unidad.

Tipo A:

Tipo B:

Tipo C:

Tipo D:

Tipo E:

• Fracción como cociente.

Tipo A:


2. Presupuesto de la obra

• Total de presupuesto PT:US 5000

• Item A: US390=7.8%PT

• Item B: US235=4.7%PT

• Ítem C: US 1740=34.8%PT

• Item D: US580=11.6%PT

• Item E: US585=11.7%PT

• Item F: US1270=25.4%PT

• Item G: US200=4.0%PT

3. Cantidad de concreto para fundir una columna.

Equivale a , ya que al simplificar la segunda fracción se ob-

tiene el dato suministrado inicialmente.

4. Herramientas: laves de tubo

• Llave de tubo 86902: fracción propia

• Llave de tubo 86907: fracción propia

• Llave de tubo 86912: fracción mixta

• Llave de tubo 86917: fracción impropia

• Llave de tubo 86932: fracción impropia

• Llave recta de servicio pesado para tubos 31005: .

Fracción unitaria.

5. Avance de obra: vías-

Falta por construir de la vía que debe dar por finalizada la obra.

6. Ensayos de laboratorio

Empleando doce litros, puede elaborar diez y ocho ensayos de

laboratorio.

14

34

88

120

78

2116

28

11 8

72 16

B={2,4,6,8,...}

x

x

x

+

+{ }

Potenciacion

04

Es la operación matemática que representa la

multiplicación repetida de una base tantas ve-

ces como lo indica el índice.

4.1. Elementos de la potenciación

Los elementos que hacen parte de la potenciación son:

el exponente, la base y la potencia. Estos elementos se

ubican tal como se indican en la siguiente gráfica:

Gráfica 40. Elementos de la potenciaciónFuente. Sandra Patricia Narváez

53 = 5 x 5 x 5 = 125

Base

Exponente

Producto indicado

Potencia o resultado


Según la base se determina el tipo de potencia respectiva.

4.2.1. Potencia de base positiva

Se tiene presente si el exponente es positivo o negativo.

Existen dos posibilidades, las cuales se explican en la gráfica 41 y

en la que se relacionan los ejemplos respectivos.

Gráfica 41. Potencia de base positivaFuente. Sandra Patricia Narváez

Gráfica 42. Potencia de base negativaFuente. Sandra Patricia Narváez

53 = 1255–2 = 5–3 =

52 = 25

Potencia de base positiva

Exponente mayor que cero (positivo)Se obtiene potencias positivas.

Exponente menor que cero (negativo)Se obtiene potencias posi-tivas pero menores que 1.

1 11 125 12552 53

4.2.2. Potencia de base negativa

Se tiene presente si el exponente es par o impar. En la gráfica 42 se

relacionan dos ejemplos siguiendo esta clasificación.

Ejercicio N.° 6 6.1. Identifique los elementos de las siguientes potencias:

6.1.1. –83

6.1.2. 35

6.1.3. –6–2

6.2. Clasifique las siguientes potencias según el tipo de base, en

potencias con base positiva o negativa

6.2.1. 135

6.2.2. 8–5

87

4.2. Tipos de Potencias

(−5)2 = 25 (−5)3 = –125(−5)–2 = (−5)–3 =(−5)2 (−5)3

Potencia de base negativa

Exponente parSe obtiene potencias positivas.

Exponente imparSe obtiene potencias negativas

1 11 125 125–

88 89


6.2.3. –7–1

6.2.4. –135

Respuestas6.1.1. –83

Base: –8

Exponente: 3

Resultado: –512

6.1.2. 35

Base: 3

Exponente: 5

Resultado: 243

6.1.3. –6–2

Base: –6

Exponente: -2

Resultado: –

6.2.1. 135: Base y exponente positivos

6.2.2. 8–5: Base positiva y exponente negativo

6.2.3. –7–1: Base y exponente negativos

6.2.3. –135: Base negativa y exponente positivo

136

La potenciación cumple las siguientes ocho propiedades.

4.3.1. Potencia con exponente igual a cero

Cuando se tiene una base cuyo exponente es cero, el resultado o

potencia es igual a uno. Ver gráfica 43.

Gráfica 43. Potencia con exponente igual a ceroFuente. Sandra Patricia Narváez

Gráfica 44. Potencia con exponente igual a unoFuente. Sandra Patricia Narváez

a0 = 1

40 = 1Potencia con exponente igual a cero

a1 = a

41 = 4Potencia con exponente igual a uno

4.3.2. Potencia con exponente igual a uno

Cuando se tiene una base cuyo exponente es igual a uno, el resul-

tado es la misma base. Ver gráfica 44.

4.3. Propiedades de la Potenciación


4.3.3. Potencia de un producto

Una multiplicación de varios términos a una misma potencia es

equivalente a la multiplicación de cada factor elevado al exponente.

Ver gráfica 45.

Gráfica 45. Potencia con exponente igual a unoFuente. Sandra Patricia Narváez

Gráfica 48. Potencia con exponente negativoFuente. Sandra Patricia Narváez

Gráfica 46. Potencia de un cociente o fraccionarioFuente. Sandra Patricia Narváez

Gráfica 47. Potencia de potenciasFuente. Sandra Patricia Narváez

( a x b )n

( 3 x 4 )2an x bn

32 x 42

9 x 16144

====

Potencia de un producto

4.3.4. Potencia de un cociente o fraccionario

Como se observa en la gráfica 46 el fraccionario que se encuentra

elevado a una potencia que es equivalente a la fracción compuesta

con el numerador y el denominador elevado a la potencia dada.

=

= =

=

= =

=

Potencia de un cociente o fraccionario

an

n

3

25

an − m

25 − 3 22 4

am

23

a

3

an

33 27b

4

bn

43 64

Potencia con exponente negativo

=

=

1

1

a− n

4− 2

an

42

Potencia de potencias

{ (an) q } m = an.q.m

{ (42) 3 } 4 = 42.3.4 = 4 24

4.3.5. Potencia de potencias

Se obtiene la base elevada a los exponentes multiplicados.

Como se observa en la gráfica 47 el exponente final es el que se

obtiene de multiplicar los exponentes de expresión matemática.

4.3.6. Potencia con exponente negativo

La potencia con exponente negativo es equivalente al fraccionario

que tiene como numerador un uno y el denominador como la base

elevada al exponente positivo.

En la gráfica 48 se observa que este tipo de potencias se caracterizan

porque el exponente es negativo y su equivalente es una fracción.

92 93{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL

4.3.7. Potencia con exponente fraccionario

Es equivalente al radical de la base. En la gráfica 49 se encuentra un

ejemplo de este tipo de potencias, cuyo exponente es un fraccionario,

por lo tanto, es una expresión matemática que contiene un radical.

Gráfica 49. Potencia con exponente fraccionarioFuente. Sandra Patricia Narváez

Potencia con exponente fraccionario

= =

==

1

1

a a

2 2

n −n

3 3

m m

4 4

√an

√23

m

√anm

√a434

12

12

4.3.8. Potencia de bases iguales

En este tipo de potencia, si se está multiplicando varias veces la misma

base con diferente exponente, se suman los exponentes y se deja la

misma base. Ver gráfica 50.

Gráfica 50. Potencia de bases igualesFuente. Sandra Patricia Narváez

Potencia de bases igualesan am = am + n

42 4 3 = 45 = 1024

Ejercicio N.°77. Aplique las propiedades de la potenciación para hallar la solución

de las siguientes expresiones:

7.1. 130 + (–2)1

7.2. (5 × 2)2

7.3. – (([5]–3)–1 )2

7.4. 2–1

7.5. 25

7.6. (63) × (62) × (6–1)

Respuestas

7.1. 130 + (–2)1 = –1

7.2. (5 × 2)2 = 100

7.3. – (([5]–3)–1 )2 = –15609

7.4. 2–1 =

7.5. 25 =

7.6. (63) × (62) × (6–1) = 1296

86

84

86

84

12

15


De acuerdo con el número que hace parte de la base las potencias

especiales se clasifica en potencia base diez y potencia en base na-

tural o base e.

4.4.1. Potencia en base natural o base e

Este tipo de potencias se caracterizan por tener como base el número

e (Euler). El exponente puede ser positivo o negativo. Por ejemplo: e2

Ver gráfica 51.

Gráfica 51. Potencia en base natural o base eFuente. Sandra Patricia Narváez

Gráfica 52. Potencia en base 10Fuente. Sandra Patricia Narváez

Potencia en base natural o base e

1 = 2.7182818…n!n = 0

∞= 2 + 11 + 1

2 + 11 + 1

1 + 14 + 1 …

e

Potencia en base 10

4.4.2. Potencia en base 10

Estas potencias se caracterizan por tener como base el número 10. Su

exponente puede ser negativo o positivo. Se emplea en la notación

científica. Ver gráfica 52.

Multiplos de 10Prefijo Símbolo Potencia de 10 Equivalente Nombrado comoDeca D 101 10 Diez

Hecta H 102 100 Cien

Kilo K 103 1.000 Mil

Mega M 106 1'000.000 Millón

Giga G 109 1'000.000.000 Billón

Tera T 1012 1'000.000.000.000 Trillón

Peta P 1015 1'000.000.000.000.000 Cuatrillón

Exa E 1018 1'000.000.000.000.000.000 Quintillón

submúltiplos de 10Prefijo Símbolo Potencia de 10 Equivalente Nombrado comodeci d 10−1 0.1 décimo

centi c 10−2 0.01 centésimo

mili m 10−3 0.001 millésimo

micro μ 10−6 0.000001 millonésimo

nano n 10−9 0.000000001 billonésimo

pico p 10−12 0.000000000001 trillonésimo

femto f 10−15 0.000000000000001 cuatrillonésimo

atto a 10−18 0.000000000000000001 quintillonésimo

zepto z 10−21 0.0000000000000000000001 sextillonésimo

yocto y 10−24 0.000000000000000000000001 septillonésimo

4.4. Clases especiales de potencias

96 97


Ejercicio N.°88.1. Clasifique las siguientes potencias:

8.1.1. e 2

8.1.2. 102

Respuestas:

8.1.1. e 2: Potencia en base natural.

8.1.2. 102: Potencia en base diez.

1. Cantidad de materiales en obra

La urbanización La Alameda está compuesta por nueve manzanas

de casas. Cada manzana está conformada por nueve casas y cada

casa contiene nueve ventanas tipo uno, ¿cuántas ventanas tipo

uno deben ser instaladas?

2. Fundición de una estructura en concreto

Se desea fundir una estructura en concreto rectangular cuyas me-

didas son 3 2m de largo, 3 2m de ancho y 3 2m de alto, ¿cuál es el

área de formaleta necesaria para realizar esta labor considerando

que se empleará formaleta para 5 de sus 6 caras?

3. Diseño de acueductos

Una población de 2 mil habitantes triplica su población cada 10

años. Para proyectar la red de suministro de agua potable es pre-

ciso calcular la cantidad de habitantes P que se tendría en x años.

Teniendo en cuenta este caso determine:

• ¿Cuál sería la expresión matemática que debe usarse?

• ¿Qué cantidad de habitantes tendría que tenerse presente

para realizar el cálculo respectivo en 30 años?

4. Tanque de almacenamiento

Se requiere construir un tanque cilíndrico de almacenamiento de

agua de radio R. El tanque debe tener una capacidad de 150m3.

Para tal fin, y para garantizar el uso mínimo de concreto, se emplea

la siguiente expresión matemática:

Gráfica 53. Ejercicio de aplicación N.° 2Fuente. Sandra Patricia Narváez

32m

32m32m

300R22πR =

Establezca qué radio R cumple con esta condición.



5. Financiamiento de una constructora

Una empresa de ingeniería ha diseñado el sistema de financiamiento

de la construcción de un complejo habitacional y comercial bajo

la siguiente expresión:

12At = 2 + e−t + t

Donde

t: Tiempo en meses

At: Cantidad de socios requeridos dependiendo del tiempo t

Determine:

• Cantidad de afiliados con los que inició este esquema de fi-

nanciamiento. Es decir, cuando t = 0

• Cantidad de socios afiliados al proyecto luego de cuatro meses.

• Cantidad de meses que deben pasar para obtener nueve socios

afiliados al proyecto.

• En 30 años P = 54000 los habitantes emplearán la red de su-

ministro de agua potable.

4. Tanque de almacenamiento

• El radio sería de R = 6.90 m

5. Financiamiento de una constructora.

• Cantidad de afiliados con las que inició este esquema de fi-

nanciamiento: 3 afiliados

• Cantidad de socios luego de 4 meses: 4 afiliados

• Cantidad de meses que debe pasar para obtener 9 socios

afiliados al proyecto: 14 meses

4.6. Respuestas de los beneficios de aplicación en la ingeniería civil N.° 4

1. Cantidad de materiales en obra

Se necesitan 93 = 729 ventanas tipo uno:

2. Fundición de la estructura en concreto

Se necesitan 5 × 34 = 405 m2 de formaleta.

3. Diseño de acueductos

• La expresión matemática sería: P = 2000 × 3 :

x

x

x

+

+

{ }

Radicacio n

05

La radicación es la forma de hallar la base consi-

derando el exponente y la potencia trabajados

en la potenciación.

5.1. Elementos de la radicación

En la siguiente gráfica representa la relación entre la ra-

dicación y la potenciación.

Gráfica 54. Elementos de la radicaciónFuente. Sandra Patricia Narváez

35 = 243

5√243 = 3

Base Raíz

Exponente

Índice

Radical

PotenciaCantidad

Subradical

Potenciación Radicación


Índice. Es la cantidad de veces que se debe multiplicar un mismo

número para obtener la cantidad subradical o radicando.

Radical. Es el símbolo √ que se emplea para representar la raíz.

Raíz. Es la cantidad que al ser multiplicado la cantidad de veces

indicada por el índice, se obtiene el radicando.

Cantidad subradical o radicando. Es la cantidad a la cual se desea

determinar la raíz.

Gráfica 55. Característica de raíz indice parFuente. Sandra Patricia Narváez

Raíz con índice par

La cantidad subradical positiva

Se encuentra definida entre los números reales R

La cantidad subradical negativa

No se encuentra definido entre los números reales. Pertene a los números imaginarios.

a2 = b

32 = 9

(±a)2 = b

(±3)2 = 9

√b = ±a

√b = ±a

√9 = ±3

√9 = ±3

(–a)2 = b

(–3)2 = 9

√–b = √(–1)b = √b √(–1) = √b i

√–9 = √(–1)9 = √9 √(–1) = √9 i = 3 i

5.2.2. Raíz de índice impar

Se caracteriza porque su índice es un número impar. En este caso,

la raíz está definida tanto para cantidades subradicales positivas

como para negativas. La raíz de índice impar se caracteriza por-

que tiene un solo resultado, el cual tiene el mismo signo de la

cantidad subradical.

5.2. Clases de raícesLas raíces se clasifican según las características de sus índices.

5.2.1. Raíz de índice par

Se caracteriza porque el índice es un número par. Para que este

tipo de raíz pertenezca a los números reales, la cantidad subradical

debe ser positiva, ya que no se encuentra definida la raíz par para

los números negativos.

Si esta cantidad subradical es negativa se obtiene un número ima-

ginario.

La raíz par se caracteriza por obtenerse como resultado de dos nú-

meros: uno positivo y otro negativo. En la gráfica 55 se encuentran

las principales características de este tipo de raíces.


Gráfica 56. Característica de raíz indice imparFuente. Sandra Patricia Narváez

En la gráfica 56 se observa un ejemplo de este tipo de raíz.

Raíz con índice impar

La cantidad subradical positiva o negativa

En ambos casos se encuentra defi-nido entre los números reales.

a5 = b

25 = 32

(–a)5 = b

(–2)5 = –32

√b = a

√a = b √32 = 2

√32 = 5

√–b = –a

√–a = –b √–32 = –2

√–32 = –5

5

5 5

5

5

5 5

5

Ejercicio N.°99. Identifique los elementos de los siguientes radicales e indique

qué tipo corresponden:

9.1. √8 = 2

9.2. √–128 = –2

9.3. √16 = 4

Respuestas9.1. Índice: 3

• Radical Par

• Cantidad Subradical = 8

• Raíz: 2

9.2. Índice: 7

• Radical impar

• Cantidad Subradical = –128

• Raíz: –2

9.3. Índice: 2

• Radical par

• Cantidad Subradical = 16

• Raíz: 4

3

7


Los radicales cuentan con varias propiedades.

5.3.1.Raíz expresada como una potencia

Un radical se expresa como una potencia si su exponente es una fracción.

Ejemplo N.° 41

Analizando el radical √a = b se observa que es equivalente a

a = b, tal como se observa en la gráfica 57.

n

5

5

Gráfica 57. Ejemplo N.° 41Fuente. Sandra Patricia Narváez



Raíz expresada como una potencia

√a = b

√a = bn 5

√9 = ±3

√32 = 2

a = b

a = b

9 = ±3

32 = 2

Raíz de cero√0 = 0

√0 = 05

5.3.2. Raíz de cero

Si la cantidad subradical es cero se obtiene como resultado cero.

Ejemplo N.° 42

Analizando el radical de la gráfica 58 se observa que √0 = 0

5.3.3. Raíz de uno

Cuando la cantidad subradical es 1 el resultado es 1, sin importar

qué tipo de índice caracteriza el radical.

Ejemplo N.° 43

El radical √1 = 1

√1 = ±1

√1 = 1 √1 = 15 5

Raíz de uno

Si el radical y el índice es impar se obtiene como resultado el número uno. Si el índice es par se obtiene ± uno.

5.3.4. Raíz de un productor con un mismo índice

La raíz de un producto con el mismo índice es equivalente a la

multiplicación de los factores de la cantidad subradical.

Ejemplo N.° 44

En la gráfica 68 se analiza el desarrollo de este planteamiento.

√8 (125) (27) = √8 × √125 × √27

= 2 × 5 × 3 = 30

3 3 3 3

5.3. Propiedades de los radicales






Raíz de un producto con un mismo índice

√a · √b · √c = √a · b · c

√2 · √3 · √5 = √2 · 3 · 5 = √30

√2 · √3 · √4 = √2 · 3 · 4 = √245 5 5 5 5

5.3.5. Raíz de un cociente o fracción

La raíz de un cociente o fracción es equivalente a la división entre

la raíz del numerador y la raíz del denominador. Esto aplica sólo si

la cantidad subradical es una fracción.

Ejemplo N.° 45

En la gráfica 61 se analiza este tipo de ejercicios.

8 2125 5= =

√1253√83

3

( √2 )3 = (2 )3 = 2 = √23 = √810 10 10

√10 √10=3 155

Raíz de un cociente o fracción

a8

a4

b7

b9

==

==

√a√8

√a√4

√b√7

√b√9

33

3333

√a

√5

√a

√5

√a

√5

=

=

=

=

n

3

m

4

mn

12

m

4

n

3Raíz de una raíz

5.3.4. Raíz de una raíz

La raíz de una raíz equivale a la cantidad subradical elevada a la

multiplicación de los índices de las raíces.

Ejemplo N.° 46

Para aplicar este concepto se tienen presentes los valores de cada

subíndice, tal y como se muestra en la gráfica 62.

5.3.5. Potencia de una raíz

La potencia de una raíz equivale a la cantidad subradical elevada

al exponente dado.

Ejemplo N.° 47

Al analizar una potencia de una raíz se tienen presentes los valores

del índice y del exponente dado, tal y como lo muestra la gráfica 63.

( √a )n = a = √an

( √2 )4 = 2 = √24 = √16

m

3

m

3 3Potencia de una raíz


5.3.6. Multiplicación de dos radicales con diferentes índice y la

misma cantidad subradical

Este tipo de radicales se operan como 2 potencias que tienen la

misma base y diferente exponente. Es decir, sumando los exponentes

y dejando la misma base.

Ejemplo N.° 48

En este tipo de ejercicios se tienen presentes los valores de los

subíndices y del subradical, tal y como se muestra en la gráfica 64.

√3 (√3) = 3 (3 ) = 3 = 3

= 3

5 65 6

30

1 1

11

5 61 1

306 + 5


√a x √a = a = an mn m1 1

n · mn + m

√4 x √2 = 2 = 2 = 24 3 4 3 121 1 7

124 + 3

Multiplicación de dos radicales con diferente índice y la misma cantidad subradical

Ejercicio N.°1010. Halle el resultado de:

10.1. √25 (36) 4 + – (√8)2

10.2. √6 √6 √6

10.3. √531441

10.4. √0 + √1 – √32(243)(1)

10.5.

10.6. √46656

10.7. √15 √15 √15

Respuestas10.1. 56 +

10.2. 6 √6

10.3. 9

10.4. –5

10.5.

10.6. 6

10.7. √1547

3

3

3

3

3

30

60

3

5

4 5

5

81

3

125

72

2√4

8

3

52


1. Tolva de almacenamiento

Se quiere construir y pintar una tolva en forma de Tetraedro

en la que se almacenará arena en una obra de construcción.

Considerando que su arista a es de


Gráfica 66. Ejercicio de aplicación radicación N.° 2. Fuente. Sandra Patricia Narváez

a

• Establezca la cantidad de área en m2 que deben cubrir con

pintura si la expresión matemática respectiva es:

a = √81 metros

Área = a2 √3

V =

4

• Indique en m3 qué volumen de arena tendría esta tolva, si se

cuenta con la siguiente expresión matemática:

√2

4

4

12

3

3

a3

2. Tanque de almacenamiento esférico

En una construcción se cuenta con un tanque de almacenamiento

esférico de volumen V = 2304 m3 y se determina la necesidad de

recubrirlo con un impermeabilizante.

Considerando que para hallar el área superficial y volumen total

de un cilindro se emplean las expresiones matemáticas dadas

a continuación A = 4πR2 y V = πR3, halle:

• El radio interno del tanque R.

• El área total con la que se recubrirá de impermeabilizante

del tanque.

r

Área superficial: A = 4πR2

Volumen total: V = πR3

5.4. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.º5


3. Columnas de concreto

Una estructura especial que se emplea en una obra cuenta con un

tipo de columna de sección rectangular, cuyas características son:

Gráfica 67. Ejercicio de aplicación radicación N.° 3. Fuente. Sandra Patricia Narváez

Gráfica 68. Ejercicio de aplicación radicación N.° 4 Fuente. Sandra Patricia Narváez.

H

L

A

Largo L = √4 metros

Ancho A = √4 metros

Alto H = √4 metros

Considerando que para hallar el volumen de concreto se emplea

la siguiente expresión:

V = L × A × H

Indique la cantidad de concreto que se requiere para fundir 16

columnas que cumplan con estas características.

4

3

4. Almacenamiento de aguas residuales

Se requiere construir un tanque en forma de cilindro oblicuo para

almacenar V = 125m3 de aguas residuales de una zona residencial.

H

R

• Identifique el radio R requerido para la obra, teniendo

en cuenta que los estudios de suelos afirman que el te-

rreno apto se encuentra a H = 5m de profundad. Tenga

presente la siguiente expresión que define el volumen de

un cilindro oblicuo:

V = π × R2 × H

• Calcule el volumen de residuos que se podrían almacenar

en el tanque si el radio es R = √8π metros y la profundidad

es H = 2π metros.

3


5.5. Resultados de los ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 5.

√2

√π

4

5

1π

3

3

6637

x

x

x

+

+

{ }

Logaritmacion

06

1. Tolva de almacenamiento

• Área = 9√3 = 35 ⁄ 2m2

• V = =2–3 ⁄ 2m3

2. Tanque de almacenamiento esférico

• R = 12 = 12(π–1 ⁄ 3)m

• A = 576(√π)m2

3. Columnas de concreto

Cantidad de concreto requerido:

V = 64√2 = 2 m3

4. Almacenamiento de aguas residuales

• R = metros

• V = 8π8 ⁄ 3m3

119


Este concepto también está relacionado con la

potenciación. Veamos:

Para hallar el exponente es preciso elevar la base para obtener la

potencia o resultado.

loga x = b

Donde:

a: Base

x: Logaritmando o potencia

b: Logaritmo

Gráfica 69. Explicación de Logaritmación en relación con el tema Potenciación

Fuente. Sandra Patricia Narváez

Logaritmación

35 = 243

log3 243 = 5

5√243 = 3

Base

Base

Raíz

Exponente

Logaritmo

Índice

Radical

PotenciaCantidad

Subradical

Logaritmando

Potenciación Radicación

6.1. Tipos de logaritmos Se han establecido diferentes logaritmos dependiendo de la base

con la cual se está trabajando.

6.1.1. Logaritmo decimal o vulgar

Estos logaritmos tienen como base el número 10 : log10 x = log x

Ejemplo N.° 49

Analizar el siguiente logaritmo:

log100 = 2


En la gráfica 70 se observa otro ejemplo.

Gráfica 71. Logaritmo natural o neperianoFuente. Sandra Patricia Narváez

Gráfica 72. Logaritmo binarioFuente. Sandra Patricia Narváez

Gráfica 73. Logaritmo en Base aFuente. Sandra Patricia Narváez

loge 6 = In 6 = 1,79

log2 8 = Ib 8 = 2

log3 9 = 2

6.1.3. Logaritmo binario

Estos logaritmos tienen como base el número 2, se simboliza con

la letra lb: log2 x = lbx

Ejemplo N.° 51

La siguiente expresión es la correspondiente a un logaritmo binario:

lb4 = 2

En la gráfica 72 se encuentra otro ejemplo.Gráfica 70. Logaritmo decimal o vulgarFuente. Sandra Patricia Narváez

log10 100 = log 100 = 2

6.1.2. Logaritmo natural o neperiano

Estos logaritmos tienen como base el número Euler e: Se simboliza

con la letra ln: loge x = lnx

Ejemplo N.° 50

Analizar el siguiente logaritmo:

lne = 1

En la gráfica se encuentra otro ejemplo:

6.1.4. Logaritmo en base a: loga x:

La base es un número a.

Ejemplo N.° 52

La siguiente expresión se caracteriza porque su base es el número

3. log3 27 = 3 Ver gráfica 73

122 123


Los logaritmos tienen diferentes propiedades. A continuación ex-

plicamos estas propiedades por medio de gráficas.

6.2.1. Logaritmo de cero

No se encuentra definido el logaritmo en cualquier base de cero.

loga 0 = ∄ , es decir, no existe.

Ejercicio N.°1111. Identifique los principales elementos de los siguientes logarit-

mos y clasifíquelos:

11.1. log100

11.2. ln28

11.3. lb32

11.4. log5 125

Respuestas11.1.log100

Logaritmando: 100

Base: 10

Logaritmo en base 10

11.2. ln28

Logaritmando: 28

Base: e

Logaritmo en base e: Logaritmo natural.

11.3. lb32

Logaritmando: 32

Base: 2

Logaritmo en base: 2

11.4. log5 125

Logaritmando: 125

Base: 5

Logaritmo en base n. En este caso, logaritmo en base 5.

Gráfica 74. Logaritmo de ceroFuente. Sandra Patricia Narváez

Gráfica 75. Logaritmo de unoFuente. Sandra Patricia Narváez

Gráfica 76. Logaritmo de la misma base Fuente. Sandra Patricia Narváez

loga 0 = ∄

loga 1 = 0

loga a = 1

6.2.2. Logaritmo de uno

El logaritmo de 1 es igual a cero en cualquier base: loga 1 = 0 ya

que a0 = 1

6.2.3. Logaritmo de la misma base

En cualquier base, el logaritmo de dicha base es 1. loga a = 1 ya

que a1 = a

6.2. Propiedad de los logaritmos


6.2.4. Logaritmo de un producto

Este logaritmo es equivalente a la suma de los factores que hacen

parte del producto.

loga (xyz) = loga x + loga y + loga z

Gráfica 77. Logaritmo de un producto Fuente. Sandra Patricia Narváez

Gráfica 78. Logaritmo de un cociente o fracciónFuente. Sandra Patricia Narváez

Gráfica 80. Logaritmo de un radicalFuente. Sandra Patricia Narváez

Gráfica 79. Logaritmo de una potenciaFuente. Sandra Patricia Narváez

loga (x·y) = Loga x + Loga y

6.2.5. Logaritmo de un cociente o fracción

Esta operación es equivalente al logaritmo del numerador menos

el logaritmo del denominador.

loga = loga x – loga yxy

1n

1n


loga xy = yloga x

6.2.6. Logaritmo de una potencia

Esta operación equivale al exponente multiplicado por el logaritmo

de la base, tal y como se encuentra representado en la gráfica 79.

loga xy = yloga x

6.2.7. Logaritmo de un radical

Esta operación equivale al logaritmo del número dividido por el

subíndice del radical:

loga √x = loga (x ) = loga xn

loga xn

loga √x =n loga xn

=

6.2.8. Igualdad de logaritmos

Si 2 logaritmos de igual base son iguales, sus logaritmandos son

iguales.

loga x = loga y

Se deduce que:

x = y


6.2.9. Transformación de logaritmos

Para transformar un logaritmo de una base a otra se aplica la fór-

mula, denominada cambio de base:

Gráfica 80. Logaritmo de una potenciaFuente. Sandra Patricia Narváez

Gráfica 81. Transformación de logaritmosFuente. Sandra Patricia Narváez

loga x = loga y x = y

loga y = logb ylogb a


Fórmula general:

Fórmula con logaritmo binario:

loga y =logb ylogb a

Fórmula con logaritmo base diez:

loga y =log10 a

lna

lba

log10 y

lny

lby

Fórmula con logaritmo base natural o e:

loga y =

loga y =

Ejercicio N.°1212.1. Hallar la solución de la variable de cada ecuación:

12.1.1. x = loga 1 + 2(loga a) – loga (a4 )

12.1.2. y = log5 (5×25) + log3 – log7 √2401

12.1.3. log3 z = log3 5

12.2. Indique que tipo de propiedad se aplica en cada caso.

12.2.1. Log 0 = ∄

12.2.2. Ln(e)=1

12.2.3. log(5a) = log(5) + log(a)

12.2.4. ln = ln(b) – ln(6)

12.2.5. lb(a3 ) = 3lb(a)

12.2.6. Log √z =

12.2.7. Ln (z) = Ln (5) z = 5

12.2.8. log6 (40) =

12.2.9. Ln(1)=0

Donde a > 0, b > 0, y > 0, a ≠ 1 b ≠ 1

2781

log(z)

Ln(6)

b

7

40

6

7

4

128 129


Respuestas12.1.1. x = –2

12.1.2. y = 1

12.1.3. z = 5

12.2.1. Propiedad del logaritmo del cero.

12.2.2. Propiedad del logaritmo de la misma base.

12.2.3. Propiedad del logaritmo de un producto.

12.2.4. Propiedad del logaritmo de un cociente.

12.2.5. Propiedad del logaritmo de una potencia.

12.2.6. Propiedad del logaritmo de un radical.

12.2.7. Propiedad de igualdad de logaritmos.

12.2.8. Propiedad de transformación de logaritmos.

12.2.9. Propiedad del logaritmo de uno.

1. Escala de Richter

Considerando que se cuenta con la siguiente expresión mate-

mática para calcular la magnitud M de un sismo M = log

Donde:

I: Intensidad del movimiento telúrico medido en micrómetros.

P: Período de duración en segundos.

Determine:

• La escala de Richter M a la que es sometida una estructura

metálica si su intensidad I = 107 micrometros en un período

P = 5 segundos

• ¿Cuál es la duración P en segundos que tendría que soportar

un puente vehicular si es sometido a una intensidad del

sismo de I =204 micrometros y se ha determinado que la

escala es M = 6,5?

• ¿Cuál es la intensidad del movimiento telúrico cuando se ha

detectado que es M = 7 y duró P = 8 segundos?

IP



2. Financiamiento de un proyecto

Una constructora pretende realizar un análisis financiero para

ejecutar un proyecto de vivienda, teniendo presente la siguiente

expresión matemática:

log =log

Donde:

F: Valor futuro del dinero invertido.

P: Valor presente del dinero a invertido .

i: Tasa de interés en meses expresado en %

t: Tiempo de la inversión, en meses.

Se consideran las siguientes opciones para tomar la mejor decisión.

Para tal fin se requiere:

• Identificar el tiempo t, en meses, para que la constructora realice

un depósito de P = 1000 dólares en una corporación financiera.

El objetivo es que su inversión se convierta en F = 1950 dólares,

si el interés mensual es del i = 2,5%

• Identificar la tasa de interés mensual i que se debería obtener

para que la constructora, al realizar un depósito de P = 1000

dólares, convierta su inversión en F = 1550 dólares durante

t = 12 meses

• Identificar el dinero F que se recibirá si se invierte la tasa de

interés mensual i = 4% y si se depositan P = 1000 dólares

durante t = 16 meses

• ¿Cuánto dinero se tendría que depositar mensualmente si

se desea obtener F = 1700 dólares durante t = 10 meses con

el interés mensual de i = 3,5%?

i1 +Ft

100P


1. Escala de Richter

• M = 6.30

• P = 0,0506 segundos

• I = 8 × 107 micrometros

2. Financiamiento de un proyecto

• Debe realizar este depósito por un espacio de t = 27 meses.

• Debe realizar este depósito con un interés mensual del i = 3,72%

• Se obtendría un dinero de F = 1872,8 dólares

• Se debería invertir mensualmente P = 1205 dólares.

B={2

,4,6

,8,..

.}

x

x

+

{ }

TErminos algebraicos

07

Los términos algebraicos se caracterizan por con-

tener los siguientes elementos:

Signo

Coeficiente

5X5

Variable

Exponente

2√–

Gráfica 82. Elementos de los términos algebráicosFuente. Sandra Patricia Narváez


Signo. Se emplea el signo + para expresiones algebraicas positivas

y el signo – para las expresiones algebraicas negativas.

Coeficiente. Es el número o letra que se encuentra ente el signo y

la variable.

Variables. Son letras que representan cantidades no conocidas. También

se le llaman incógnitas o parte literal. Puede estar acompañada por un

exponente. Un término algebráico puede tener una o más variables.

Exponente. Es el número de veces que se está multiplicando la

base respectiva.

Grado. Hace referencia al valor del exponente que tiene la variable.

Si se presentan dos o más variables, se relaciona el grado relativo

por exponente.

Ejemplo N.° 53

Identificar los diferentes elementos de:

-4x2 y4 z9

Signo: -

Coeficiente: -4

Variables: x2 y4 z9

Exponentes:

• x2 tiene exponente 2

• y4 tiene exponente 4

• z9 tiene exponente 9

Grado: 4x2 y4 z9

• x2 Segundo grado 2

• y4 Cuarto grado.

• z9 Noveno Grado.

7.1. Expresiones algebraicas

Se entiende por expresión algebraica la operación matemática

(suma, resta, multiplicación y división) entre varios términos, los

cuales pueden ser numéricos o literales.

Ejemplo N.° 54

Las siguientes son expresiones algebraicas, ya que contienen varia-

bles y coeficientes expresadas como una operación matemática.

4x2 y4 z9 – 25

m2 + ∛6 m3 n5 z8

2x2 –5y4

x + 2 + 8z9 –√3x5 + y6 - 3

7.2. Tipos de expresiones algebraicas

Las expresiones algebraicas que contienen algunos términos alge-

braicos (polinomio) se clasifican según diversos criterios.


7.3. Polinomios según el Número de Términos Algebraicos

A continuación se indican los diferentes tipos de expresiones alge-

braicas. Cada una tiene una gráfica relacionada con un ejemplo.

7.3.1. Monomio

Son expresiones que tienen un solo término algebraico.

Ejemplo N.° 55

La expresión –13xy sólo tiene un término matemático.

En la siguiente gráfica se encuentra otro ejemplo de monomio:

Monomio –5x

Gráfica 83. Ejemplo de MonomioFuente. Sandra Patricia Narváez

7.3.2. Binomio

Se caracterizan por tener dos términos algebraicos.

7.3.3. Trinomio

Está conformado por tres términos algebraicos.

Ejemplo N.° 57

El polinomio x2 – y + z se caracteriza por tener tres términos algebraicos.

En la siguiente gráfica se encuentra otro ejemplo de un trinomio:

Trinomio –5x + 6y2 – z3

Gráfica 85. Ejemplo de TrinomioFuente. Sandra Patricia Narváez

En la siguiente gráfica se relaciona un resumen de la clasificación

de polinomios según la cantidad de términos que la contengan.

Binomio 6y2 – z3

Ejemplo N.° 56

El siguiente polinomio tiene sólo dos términos:12x–y

En la siguiente gráfica se encuentra otro ejemplo de binomio:

Gráfica 84. Ejemplo de BinomioFuente. Sandra Patricia Narváez

138 139


vSegún el número de

términos algebraicos

Monomio Binomio Trinomio

Gráfica 86. Clasidicación de polinomiosFuente. Sandra Patricia Narváez

–5x + 6y2 – z3–5x 6y2 – z3

Ejercicios N.°13. Tipos de polinomios según el número de tér-minos algebraicos.13. Clasifique las siguientes expresiones según la cantidad de tér-

minos que contengan:

13.1. 2xyz + √3 xy – 4

13.2. mn2

13.3. x4 – z

Respuestas13.1. 2xyz + √3 xy – 4: trinomio

13.2. mn2: monomio

13.3. x4 – z: binomio

7.4. Polinomios según su grado

Estos polinomios se caracterizan por el mayor exponente de la

variable. A continuación se relacionan las características de los

principales tipos de polinomios y unos ejemplos de representa-

dos gráficamente.

7.4.1. Polinomio grado cero

El exponente de la variable es cero.

Ejemplo N.° 58

La expresión –30x 0 se caracteriza por tener un exponente cuyo valor

es cero.

En la siguiente gráfica se encuentra otro ejemplo de polinomio de

grado cero:

Polinomio de grado cero –5x0

Gráfica 87. Ejemplo de Polinomio de grado ceroFuente. Sandra Patricia Narváez

7.4.2. Polinomio de primer grado

El exponente de la variable es uno.

Ejemplo N.° 59

La expresión: a + 3 se caracteriza por ser un polinomio de primer

grado, ya que la variable tiene como exponente el número uno.


Polinomio de segundo grado –4x2 + 2x –3

Polinomio de primer grado 2x + 3

Gráfica 88. Ejemplo de Polinomio primer gradoFuente. Sandra Patricia Narváez

Gráfica 89. Ejemplo de Polinomio de segundo gradoFuente. Sandra Patricia Narváez


primer grado:

7.4.3. Polinomio de segundo grado

El exponente de la variable es dos.

Ejemplo N.° 60

La siguiente expresión: x2 – 2x + 3 se caracteriza porque la variable

tiene como exponente de mayor valor el 2.


segundo grado:

7.4.4. Polinomio de tercer grado

El exponente de la variable es tres.

Ejemplo N.° 61

Si se observa la expresión algebraica: 8x3 – 5x2 – 4x + 1 se deduce

que es un polinomio de tercer grado, ya que el mayor exponente

es el número tres.


tercer grado:

Polinomio de tercer grado 7x3 + 2x2 – 1

Polinomio de cuarto grado –x4 – x2 – 2

Gráfica 90. Ejemplo de Polinomio de tercer gradoFuente. Sandra Patricia Narváez

Gráfica 91. Ejemplo de Polinomio de cuarto gradoFuente. Sandra Patricia Narváez

7.4.5. Polinomio de cuarto grado

El exponente de la variable es cuatro.

Ejemplo N.° 62

En la expresión: m4 – n + r se observa que cuatro es el mayor expo-

nente de las variables. En la siguiente gráfica se encuentra otro

ejemplo de este tipo de polinomios:


cuarto grado:


Polinomio de cuarto grado

Polinomio detercer grado

Polinomio de segundo grado

Polinomio de primer grado

Polinomio de grado cero

Polinomios según su grado

Gráfica 92. Tipos de polinomios según su gradoFuente. Sandra Patricia Narváez

A continuación se encuentra un resumen de los tipos de polinomios

que se pueden presentar según el grado.

–5x0

2x + 3

–4x2 + 2x –3

7x3 + 2x2 – 1

–x4 – x2 – 2

v

Ejercicio N.°14. 14. Clasifique las siguientes expresiones según el grado de cada

polinomio:

14.1. –2z0

14.2. 1 – n + n2

14.3. x4 – 2x3 + 3x2 – 9

14.4. –y3 ∓ 1

Respuestas14.1. –2z0: Grado cero

14.2. 1 – n + n2 Segundo grado

14.3. x4 – 2x3 + 3x2 – 9 Cuarto grado

14.4. –y3 ∓ 1 Tercer grado

La simplificación de expresiones algebraicas se realizan teniendo

presente el concepto de Términos semejantes.

7.5.1. Términos semejantes

Se entiende por términos semejantes a los monomios que sólo se dife-

rencian en su coeficiente, ya que tienen la misma parte literal (variable

y exponente). La característica de los términos semejantes es que pue-

den ser sumados o restados para simplificar la expresión matemática.

7.5. Simplificación de expresiones algebraicas


Ejemplo N.° 63

Las siguientes expresiones matemáticas son términos semejantes:

xyz2 + yz2 yxz2 – 3z2 xy +12

45

7.5.2. Ley de multiplicación de signos

Para operar las expresiones algebraicas es necesario tener presente

la siguiente ley:

(+) × (+) = +

(+) × (–) = –

(–) × (+) = –

(–) × (–) = +

7.5.3. Signos de agrupación

Son símbolos matemáticos con los que se reúnen algunos términos,

los cuales no necesariamente deben ser términos semejantes. Se

emplean para separar diversas operaciones matemáticas (suma,

resta, multiplicación, división, entre otras.).

Los signos de agrupación que más se emplean son los siguientes:

• Paréntesis: ( )

• Corchetes:[ ]

• Llaves:{ }

• Barras:

Si no se describe un signo entre el número y el signo de agrupación,

se está indicando una multiplicación.

Para simplificar la operación de adición y sustracción de polinomios, se

emplea la ley de multiplicación de signos y los signos de agrupación.

Ejemplo N.° 64

Simplificar:

xyz2 + yz2 yxz2 – 3z2xy +12

45

xyz2 +

xyz2

xyz2

xyz2

xyz2

=

=

=

=

yz2 yxz2 – 3z2xy +

1 +

– 2 +

– 3 +

+

12

12

12

– 12 + 3 + 86

– 112

45

43

43

Como se observa los cuatro términos tienen la misma parte literal

xyz2. No importa el orden como se encuentren escritas. Por lo tanto,

se suman algebraicamente los coeficientes:

Sólo se agrupan los coeficientes para luego sumarlos.

Luego de simplificar se obtiene:

En la siguiente gráfica se observa otro ejercicio relacionado con la

suma y la resta de polinomios.

7.6. Suma y resta de polinomios

v

147


146{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICAS BÁSICAS APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL

Operar algebraicamente

2x2 – –5yz + 3z – 4 { 2 – 3x2 + z } + 3 [ 2z + 3yz ] =

= 2x2 + 5yz – 3z – 8 + 12x2 – 4z + 6z + 9yz

= 2x2 + 12x2 – 3z – 4z + 6z + 5yz + 9yz –8

= 14x2 – z – 14yz – 8

2x2 + 12x2 = 14x2

– 3z – 4z + 6z = –z

+ 5yz + 9yz = 14yz

–8 = –8

Suma y resta de polinomios

Términos de un polinomio que solamente se diferencian en sus coeficientes, ya que son idénticos en la parte literal con sus exponentes

Propiedades

Unicidad a = b c = d a + c = d + b a · c = d · b

Conmutativa a + b = b + a a · b = b · a

Asociativa a + ( b + c ) = ( a + b ) + c a · ( b · c ) = ( a · b ) · c

Distributiva a · ( b + c ) = a · b + a · c

( b + c ) = a · b + c · a

Modulativa suma a + 0 = a Multiplicación 1 · ( a ) = a

Invertiva suma a – a = 0 Multiplicación a · = a

Eliminación de signos de agrupación

Agrupar los términos semejantes

Uso de propiedades de los números reales

Polinomio resultante

12

+ · + = ++ · – = –– · + = –– · – = +

Paréntesis: ( )Corchetes: [ ]Llaves: { }Barras:

Gráfica 93. Suma y resta de polinomiosFuente. Sandra Patricia Narváez

Ejercicio N.°15. Tipos de Polinomios según el grado15. Simplificar las siguientes expresiones algebraicas:

15.1. ab + 6ab2 – 3ab + 5ab2 + 3ab

15.2. –8xy – 3z + xyz + 2xy – 7z

15.3. ( 4ab – 7mn ) – [ 8ab + 5mn ] + { –6mn – ab }

15.4. { 6xy – y + x } – [ x – { 2xy – y} + 3x ]

Respuestas15.1. ab + 11ab2

15.2. –6xy – 10z + xyz

15.3. –5ab – 18mn

15.4. 8xy + 3x

7.7. Multiplicación algebraica

7.7.1. Multiplicación de una constante (número) por un polinomio

Se multiplica este valor por cada coeficiente que hace parte del

polinomio. Se debe tener presente la ley de multiplicación de sig-

nos. A continuación se relaciona un ejemplo correspondiente a la

multiplicación de una constante por un polinomio.

148 149

–5 [ 2x2– 3x – 8 ]

–5 [ 2x2– 3x – 8 ] = –10x2 + 15x + 40

Multiplicación de una constante por un polinomio

Multiplicar la constante (incluyendo el signo) por cada término del polinomio, consi-derando la ley de signos

+ · + = ++ · – = –– · + = –– · – = +


Ley de multiplicación de signos

Signos de agrupación

Gráfica 94. Multiplicación de una constante por un polinomioFuente. Sandra Patricia Narváez

Ejercicio N.°16. Multiplicación de un número por un polinomio.16. Simplificar las siguientes multiplicaciones:

16.1. –8 2y3 – 5x2 – 4x2 – 8y3

16.2. 5 2a2 – b5 + a2 – b5

16.3. 4 { –7rs – 5s2 t } – 9[ – 10ts2 + 12sr ]

Respuestas16.1. 36y3 + 30x2

16.2. 13a2 – 11b5

16.3. 70s2 t – 136rs

52

85

94

43

43

7.7.2. Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se realiza la multiplicación de cada término del polinomio por el

monomio dado, considerando la ley de signos

En la siguiente gráfica se relaciona un ejemplo de este tipo de mul-

tiplicaciones:

–2y { 5y2– 5x – 1 }

–2y { 5y2– 5x – 1 } = –10y3 + 10xy + 2

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Multiplicar el monomio (incluyendo el signo) por cada término del polinomio, consi-derando la ley de signos

+ · + = ++ · – = –– · + = –– · – = +




Gráfica 95. Multiplicación de un monomio por un polinomioFuente. Sandra Patricia Narváez

v

Ejercicio N.º 1717. Simplificar las siguientes multiplicaciones:

17.1. –8x [ 2x2 – 5x ]

17.2. 9mn [ m2 – n3 ]

17.3. 5a2 2a – b5

Respuestas17.1. –16x3 + 40x2

17.2. 9m3n – 9mn4

17.3. 10a3 – a2 b5

15


7.7.3. Multiplicación de polinomios

Se efectúa la multiplicación de todos los elementos del multiplicando

por cada uno de los términos que hacen parte del multiplicador.

Es importante aplicar la ley de signos y realizar la suma algebraica

de los resultados parciales obtenidos.

En la siguiente gráfica se encuentra un ejemplo de este tipo de ejercicios:

Gráfica 96. Multiplicación de polinomiosFuente. Sandra Patricia Narváez

[ x2 + 3x – 2 ] { 1 + 2x + x2 }

[ x2 + 3x – 2 ] { 1 + 2x + x2 }

= + x2 + 2x3 – x4

= x2 + 2x3 – x4 + ( + 3x + 6x2 – 3x3 ) + ( –2 – 4x + 2x2 )

= + 3x + 6x2 – 3x3

= –2 – 4x + 2x2

Realizar la multiplicación de los polinomios

Multiplicar cada término de un polinomio por cada término del otro polinomio

Agrupar en términos semejantes para simplificar

Polinomio resultante

+ · + = ++ · – = –– · + = –– · – = +




= – x4 + 2x3 + x2

= – 3x3 + 6x2 + 3x3 = + 2x2 – 4x – 2

= –x4 – x3 + 9x2 – x – 2

Ejercicio N.°18 18. Simplificar las siguientes multiplicaciones:

18.1. ( z + 1 ) ( 2z3 + z2 )

18.2. [ a2 – 2ab + 7b2 ] [ 3b2 – 8a2 – 2ab ]

18.3. [ x – 3y ] [ x + 3y ]

Respuestas18.1. 2z4 + 3z3 + z2

18.2. 14a3 b – 49a2 b2 – 8a4 – 20ab3 + 21b4

18.3. x2 – 9y2

Hay diversos tipos de división algebraica. A continuación explicamos

cada uno, apoyados por los ejemplos representados en las gráficas.

7.8.1. División entre monomios

Se tiene presente la ley de signos y se simplifican las variables

posibles. En la gráfica 97 se relaciona un ejemplo de este tipo de

divisiones:

7.8. División algebraica


Gráfica 97. División entre monomiosFuente. Sandra Patricia Narváez

+ · + = ++ · – = –– · + = –– · – = +


Realizar la división de

Simplificar los coeficientes

Simplificar las variables

Resultado obtenido

División entre monomios

15 x2 y3 z4

–6 x2 y5 z2

x2 y3 z4 z2

x2 y5 z2 y2= x2 – 2 y3 – 5 z4 – 2 = x0 y–2 z2 =

15 x2 y3 z4

–6 x2 y5 z2

5z2

2y2=

15 53(5)–6 2–3(2)

= = –

7.8.2. División entre fracciones

Una forma sencilla de realizar una división entre fracciones es multi-

plicar el numerador por el inverso multiplicativo del denominador,

teniendo presente la ley de signos y simplificando las variables posibles.

A continuación se relaciona un ejemplo de este tipo de divisiones:

Gráfica 98. División entre fracciones Fuente. Sandra Patricia Narváez

+ · + = ++ · – = –– · + = –– · – = +



Multiplicar por el inverso del denominador


Resultado obtenido

División entre fracciones

–2 r2 n3 –4 r2

÷3 m2 15 n2

–2 r2 n3 (15) n2 –2 (3) (5) r2-2 n3+2 5 r0 n5 5 n5

= = =3 m2 (–4) r2 –3 (2) (2) m2 3 (2) m2 6 m2

–2 r2 n3 –4 r2 5 n5

÷ =3 m2 15 n2 6 m2

–2 r2 n3 15 n2

x3 m2 –4 r2

7.8.3. División de un polinomio por un monomio

Se divide cada término que hace parte del polinomio por el monomio,

teniendo presente la ley de signos.


Gráfica 99. División de un polinomio por un monomio Fuente. Sandra Patricia Narváez

+ · + = ++ · – = –– · + = –– · – = +



Dividir cada término del polinomio por el monomio


Resultado obtenido

División de un polinomio por un monomio

15 x4 – 20x3 + 40x2 – 30x

5 x

15 x4 – 20x3 + 40x2 – 30x 3 x3 – 4x2 + 8x – 65 x

=

3 (5) x4-1 4 (5) x3-1 8 (5) x2-1 6 (5) x1-1– –+

5 5 5 5

15 x4 20 x3 40 x2 30 x– –+5 x 5 x 5 x 5 x

7.8.4. División entre polinomios

Inicialmente se ordenan los polinomios de acuerdo con una variable,

preferiblemente de exponente mayor a menor.

Se divide el primer término del dividendo por el primer término

del divisor.

Se multiplica el primer término del cociente por los términos del

divisor. Luego se resta este producto al dividendo.

Luego, se divide nuevamente el primer término del nuevo dividendo

entre el primer término del divisor.

Nuevamente se multiplica el primer término del cociente por los

términos del divisor. Finalmente se resta este producto al dividendo.

En la siguiente gráfica se relaciona un ejemplo de una división entre

dos polinomios:

Gráfica 100. División entre polinomios Fuente. Sandra Patricia Narváez


Ordenar los polino-mios en orden ascen-dente los exponentes

Dividir el primer término del dividendo entre el primer térmi-

no del divisor

Multiplicar el primer término del cociente

por el divisor

Restar el producto obtenido al dividendo

Dividir el primer término del dividendo entre el primer térmi-

no del divisor

Nuevamente multiplicar el primer término del cociente por el divisor

Restar el producto obtenido al dividendo

Resultado obtenido

División entre polinomios

x ( x – 4) = x2 – 4x

5 ( x – 4) = 5x – 20

x – 20 + x2

– 4 + x

x2 + x – 20x – 4

DividendoDivisor

x – 20 + x2

– 4 + x= x + 5

x – 4x2 + x – 20x2 – x2 = 0

x + 4x = 5x–x2 + 4x

0 + 5x

x

x2 + x – 20

x2 ÷ x = x

x – 4x

x2 + x – 20–x2 + 4x

0 + 5x

5x ÷ x = +5

x – 4x + 5

Cociente

Residuo

x2 + x – 20–x2 + 4x

5x2 – 5x = 0– 20 + 20 = 0

– 5x + 200 + 5x – 20

x – 4x + 5

0 0

156 157


Ejercicio N.°19. 19. Simplificar las siguientes expresiones:

19.1.

19.2.

19.3.

19.4.

19.5.

Respuestas

19.1.

19.2.

19.3.

19.4.

19.5. a + 9b

5x3 yz5

xz4

31b9

–6x2y3

x2y2

2x4 + 1 +

124a8 b15

a2 – 9b2

12x5y + 6xy + 2x4 y3

–2x5 y 10x3 z

20x2 y3 z

4y

50c

25z3

6

200a8 b6 c

a – 3b

6xy2

5z2 6y2÷


1. Distancia de visibilidad en una vía

Un consorcio ha establecido que la distancia de visibilidad

Da de adelantamiento para una vía de determinado territo-

rio, que se caracteriza por ser de dos carriles con tránsito en

ambas direcciones, está definida por la siguiente expresión:

Da = D1 + D2 + D3 + D4

Donde cada ítem tiene como variable la velocidad v y el tiempo

t de recorrido. Los demás parámetros se consideran constantes:

D1: Es la distancia recorrida en metros durante el tiempo de

percepción y reacción.

D2: Distancia recorrida en metros por el vehículo que adelan-

ta durante el tiempo desde que invade el carril del sentido

contrario hasta que regresa a su carril.

D3: Distancia de seguridad, una vez terminada la maniobra,

entre el vehículo que adelanta y el vehículo que viene en la

dirección opuesta, en metros

D4: Distancia recorrida por el vehículo que viene en el sentido

opuesto.


Establezca la expresión matemática en cada una de las opciones

dadas en las cuales se determina esta distancia de distanciamiento

si los parámetros requeridos tienen los siguientes valores:

• Opción 1:

v – 30 +

v – 50 +

v – 70 +

D1 = 0,278t

D1 = 0,3t

D1 = t

D2 = 0,278vt

D2 = 0,3vt

D2 = vt

D2

D2

D2

D3 = 85

D3 = 75

D3 = 90

D4 =

D4 =

D4 =

85t2

100t2

120t2

23

23

23

• Opción 2:

• Opción 3:

R

H

2. Cálculo de volumen de un silo

En la construcción de un silo cilíndrico para el almacenamiento

de material de obra se desea establecer la expresión mate-

mática en términos de x que permite definir su volumen V si:


V = πhR2

Donde,

V: volumen en m3

R :radio de la base en metros

h :altura del silo en metros


Identifique la expresión matemática en término de x del vo-

lumen V si:

• Opción 1:

Radio de la base R = 2x

Altura del silo h = 2 ( x + 5 )

• Opción 2:

Radio de la base

Altura del silo h = 2x

• Opción 3:

Radio de la base

Altura del silo

3. Hidráulica de pozos

En la hidráulica de un pozo, ubicada en una importante zona

de donde la población es surtida por agua subterránea, se ha

identificado que la siguiente ecuación corresponde al caudal

que pasa por el acuífero:

Q = (A)(V)

Donde

Q: Caudal en

A: área de la sección transversal del acuífero en m2

x2 + 2

x2

x2 +3

m3

x

x + 1

2x –1

día

R =

h =

V: velocidad en m/día en que la columna de agua tiene en la

sección A del acuífero.

Se pretende identificar la expresión matemática en término

del gradiente hidráulico i y la porosidad x del caudal Q si:

• Opción 1:

Área: A = 5ix-3

Velocidad: V =

• Opción 2:

Área: A = x2 – i2

Velocidad: V =

• Opción 3:

Área: A =

Velocidad: V = 2ix2

4. Caudal en una tubería

Considerando que la siguiente expresión permite calcular el

caudal por el cual se transporta un fluido a través de una tubería:

Q = AV

Donde

Q: caudal en

A:área de la sección transversal de la tubería en m2

x3

x – i

x3 – 1

10xi2

i2 – x2

xi

m3

seg


V: velocidad en m/seg del fluido a través de la tubería.

Identifique las siguientes expresiones matemáticas en término

del radio de la tubería r:

• Opción 1: hallar el caudal Q: si

Área: A = πr2

Velocidad: V =

• Opción 2: hallar el área: A si

Caudal: Q = x3 – 1

Velocidad: V = x – 1

• Opción 3: hallar la velocidad V si

Caudal: Q = x3 – 1

Área: A = x2 + x + 1

r – 5

r + 5


1. Distancia de visibilidad en una vía

• Opción 1:

Da = 11,815t2 + 0,74133vt – 8,34t + 85

• Opción 2:

Da = 15t2 + 0,83vt – 15t + 75

• Opción 3:

Da = 11,815t2 + 0,74133vt – 8,34t + 85

• Opción 2:

Da = 60t2 + vt – 70t + 90

2. Cálculo de volumen de un silo

Opción 1: V = 8πx3 + 20πx2

Opción 2: V =

Opción 3:V =

3. Hidráulica de pozos

Opción 1: Q =

Opción 2: Q = i – x

Opción 3: Q = 2x2 – 2x

4. Caudal en una tubería

Opción 1: Q =

Opción 2: A = x2 + x + 1

Opción 3: V = x – 1

83

2πx4 + 8πx2 + 8π

1

πr

πx6 + 3πx4 π

x

2xi2

r – 5

2x3 + 3x2 – 1


B={2

,4,6

,8,..

.}

x

x

+

{ }

Factorizacion

08

v

El concepto de factor está relacionado con encon-

trar los factores o multiplicadores en los que se

puede descomponer una cantidad o expresión

algebraica.

Ejemplo N.° 64

Las siguientes expresiones se descomponen en factores

teniendo presente la multiplicación:

45 = 5 × 32

50 x z3 = 2 × 52 × x × z3


Los métodos de factorización ofrecen técnicas para expresar un

polinomio como el producto algebraico de diversas expresiones

algebraicas más sencillas.

8.1.1. Factorización de un monomio

En este tipo de factorización se descompone en factores o multi-

plicandos que hagan posible el monomio.

Ejemplo N.° 65

Se tienen presente los factores que se obtienen al descomponer

tanto al coeficiente como a las variables.

50xz3 = 2 × 52 × x × z3

8.1.2. Factorización de un polinomio

En la siguiente gráfica se relacionan estos métodos de factorización.

Gráfica 102. Factorización de polinomiosFuente. Sandra Patricia Narváez

Factorización polinomios

Caso IFactor común

Caso IIFactor común agrupación de

términos

Caso IXSuma y diferencia

de cubos perfectos

Caso XSuma y diferencia

de 2 potencias iguales

Caso IIITrinomio cuadrado perfecto términos

Caso VIIICubos perfectos de

binomios

Caso IVDiferencia de

cuadrados

Caso VIITrinomio de la

formaax2 + bx + c

Caso VTrinomio

cuadrado perfecto por adición y sustracción

Caso VITrinomio de la

formax2 + bx + c

Factor común monomio

Factor común polinomio

8.1. Métodos de fractorización


Este caso de factorización se analiza teniendo presente el término

que tienen en común los elementos que hacen parte del polinomio.

Factor común monomio: al analizar los términos que hacen parte del

polinomio se deduce que tienen en común un monomio.

En la siguiente gráfica se relaciona un ejemplo de este tipo de des-

composición factorial.

Factor común monomio

Factor común polinomio

Factorizar:4 a2 x3 + 16 a x5 y2 – 8 a5 x3 z–1 + 4 a6 m3 x

Factorizar:5(x – 2y2) – 15(x – 2y2)z + 35(x – 2y2)r2

Se observa que 4ax es el elemento en común para todos los términos del polinomio

4 a2 x3 + 42 a x5 y2 – 4(2) a5 x3 z–1 + 4 a6 m3 x

Se observa que 5(x – 2y2) es el elemento en común para todos los términos

5(x – 2y2) – 3(5)(x – 2y2)z + 7(5)(x – 2y2)r2

Sacando factor común del monomio

4ax

Se obtiene

4 a2 x3 + 16 a x5 y2 – 8 a5 x3 z–1 + 4 a6 m3 x = 4ax (ax2 + 4x4y2 – 2a4x2z–1 + a5m3)

El elemento 5(x – 2y2) es común de la expresión dada, por lo cual es un factor de este polinomio.

5(x – 2y2) – 15(x – 2y2)z + 35(x – 2y2)r2 = 5(x – 2y2) (1 – 3z + 7r2)

Gráfica 103. Factorización de polinomiosFuente. Sandra Patricia Narváez

Gráfica 104. Factor común polinomioFuente. Sandra Patricia Narváez

Factor común polinomio: al analizar los términos que hacen parte

de la expresión algebraica a factorizar, se deduce que tienen en

común un polinomio.

En la gráfica 104 se encuentra un ejemplo de este tipo de factorización.

Este caso requiere una detallada inspección de los elementos que

hacen parte del polinomio. Se caracteriza porque puede reunirse

en un grupo de términos que tienen en común un factor que es

diferente para otro grupo de elementos del polinomio.

8.2. Caso I: factor común

8.3. Caso II: factor común por agrupación de términos


Factorizar:a x m2 – a x r n2 + b y m2 – b y r n2 – c z m 2 + c z r n2

Sacando factor común de cada grupo de términos

a x (m2 – r n2) + b y (m2 – r n2) – c z (m 2 – r n2)

Se observa que todos los elementos tienen en común (m2 – r n2) se obtiene

a x m2 – a x r n2 + b y m2 – b y r n2 – c z m 2 + c z r n2 = (m 2 – r n2) [a x + b y – c z ]

Se observa que:Los dos primeros elementos tienen en común axEl tercer y cuarto elemento tienen en común byLos dos ultimos elementos tienen en común cz

a x m2 – a x r n2 + b y m2 – b y r n2 – c z m 2 + c z r n2

Se caracteriza porque puede reunirse en un grupo de términos que tienen en común un factor que es diferente para otro grupo de

elementos del polinomio.

Gráfica 105. Caso II. Factor común agrupación de términosFuente. Sandra Patricia Narváez

Caso IIFactor común agrupación

de términos El trinomio cuadrado perfecto es el que tiene por estructura:

(ax)2 ± 2(ax)(by) + (by)2

Es decir, que cumple con las siguientes características:

El primer término es cuadrado perfecto porque tiene raíz cuadrada

exacta y es positivo.

El tercer término es cuadrado perfecto porque tiene raíz cuadrada

exacta y es positivo.

El segundo término es el doble producto de las raíces cuadradas

del primer y tercer término.

Cuando se cumple con estas condiciones se deduce que es un trinomio

cuadrado perfecto, el cual es equivalente a la siguiente expresión:

(ax)2 ± 2(ax)(by) + (by)2 = (ax ± by)2

En la siguiente gráfica se encuentra un ejemplo de este tipo de

factorización:

8.4. Caso III: trinomio cuadrado perfecto


(ax)2 ± 2(ax)(by) + (by)2

(ax)2 ± 2(ax)(by) + (by)2 = ( ax ± by )2

El primer término (ax) es cuadrado perfecto, es

decir, tiene raíz cuadrada exacta y es positivo

ax by

El segundo término 2(ax)(by) es el doble producto de las raíces cuadradas del primer

y tercer término.

Factorizar:16m2 + 24mn + 9n2

(4m)2 + 2(4m)(3)n + (3n)2

16m2 + 24mn + 9n2 = (4 m + 3n )2 16m2 – 24mn + 9n2 = (4 m – 3n )2

(4m)2 – 2(4m)(3)n + (3n)2

Factorizar:16m2 – 24mn + 9n2

El tercer término (by) es cuadrado perfecto, es

decir, tiene raíz cuadrada exacta y es positivo.

El trinomio cuadrado perfecto es el que tiene por estructura:

Comprobar si es un trinomio cuadrado perfecto

Raíz cuadrada del primer y tercer término

Considere el signo del segundo término

SignoSigno

Finalmente

Gráfica 106. Caso III. Trinomio cuadrado perfectoFuente. Sandra Patricia Narváez

Caso IIITrinomio cuadrado perfecto

Ejercicio N.° 2020. Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

20.1. 2xy3 – 8zy2 + 22y8 + 40y5

20.2. 7(a + b2) – 9(a + b2)2 + 11(a + b2)c

20.3. 2ax – 3ay + az + 4bx – 6by + 2bz

20.4. 25x2 + 30xy + 9y2

20.5. 49a2 – 154ab + 121b2

Respuestas

20.1. 2y2 (xy – 4z + 11y6 + 20y3)

20.2. (7 – 9a – 9b2 + 11c) (a + b2)

20.3. (2x – 3y + z) (a + 2b)

20.4. (5x + 3y)2

20.5. (7a – 11b)2


Para factorizar una diferencia de cuadrados es necesario que la

expresión algebraica cumpla las siguientes características:

Ser un binomio

Los dos términos son un cuadrado perfecto, es decir, tienen raíz

cuadrada exacta. Uno de los elementos es positivo y el otro es ne-

gativo. Cuando se cumple con estas condiciones se deduce que es

una diferencia de cuadrados. Esto es equivalente a la expresión:

(ax)2 – (by)2 = (ax – by)(ax + by)

A continuación se relaciona un ejemplo de este tipo de factorización.

(ax)2 – (by)2

(ax)2 – (by)2 = ( ax – by ) · ( ax + by )

El primer término (ax) es cuadrado perfecto, es

decir, tiene raíz cuadrada exacta y es positivo

ax by

Uno de los elementos es positivo y el otro es negativo

+ (ax)2

– (by)2

Factorizar:16m2 – 9n2

(4m)2 – (3n)2

16m2 – 9n2 = (4 m – 3n )(4 m + 3n )

El segundo termino (by) es cuadrado perfecto, es decir, tiene raíz cuadrada exacta.

La diferencia de cuadrados tiene la siguiente estructura:

Comprobar si es una diferencia de cuadrados

Raíz cuadrada del primer y segundo término

Considere el signo de cada binomio

FinalmenteGráfica 107. Caso IV: diferencia de cuadrados Fuente. Sandra Patricia Narváez

Caso IVDiferencia de cuadrados

8.5. Caso IV: Diferencia de cuadrados

176 177


Ejercicio N.º 21. 21. Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

21.1. 25x2 – y2

21.2. 196a2 – 289b2

21.3. –625m2 + n2

21.4. x2 – 25y2

Respuestas

21.1. (5x – y)(5x + y)

21.2. (14a – 17b)(14a + 17b)

21.3. (n – 5m)(n + 5m)

21.4. (x – 5y)(x + 5y)

8.6.1. Caso especial de diferencia de cuadrados

En este caso los dos elementos que hacen parte de la diferencia

de cuadrados se caracterizan por ser una expresión compuesta.

A continuación de relaciona un ejemplo sobre este caso especial

relacionado con la diferencia de cuadrados.

121(x –m)2 – 81(y + n)2

[11(x –m)]2 – [9(y + n)]2

[11(x –m) – 9(y + n)] · [11(x –m) + 9(y + n)]

[11x –11m – 9y – 9n] · [11x – 11m) + 9y + 9n]

Factorizar


Simplificado

Finalmente


Considere el signo de cada binomio

Caso especial de diferencia de cuadrados

Signo

Existen casos especiales en los cuales se requiere aplicar la diferen-

cia de cuadrados o el trinomio cuadrado perfecto. A continuación,

explicamos este caso especial a partir de varias gráficas.

Gráfica 108. Caso especial de diferencia de cuadrados Fuente. Sandra Patricia Narváez

8.6. Caso especial del caso IV (diferencia de cuadrados y combinación de los casos III y IV)


8.6.2. Caso especial combinación de los casos III y IV

Se aplica la descomposición factorial del trinomio cuadrado per-

fecto y la correspondiente a la diferencia de cuadrados. Para esto

se requiere ordenar los elementos que hacen parte del polinomio

de tal manera que se apliquen los casos de descomposición III y IV.

En la siguiente gráfica se encuentra el ejemplo correspondiente a

este tipo de caso especial de factorización.

Gráfica 109. Caso especial de combinación de los casos III y IVFuente. Sandra Patricia Narváez

v

4m2 – 9p2 + 36n2 – 36q2 – 24mn – 36pq

(4m2 – 24mn + 36n2) – (9p2 + 36pq + 36q2)

4 (m2 – 6mn + 9n2) – 9 (p2 + 4pq + 4q2)

4[(m)2 – 2(3n)(m) + (3n)2] – 9[(p)2 + 2(2q)(p) + (2q)2]

4(m – 3n)2 – 9(p + 2q)2

[2(m – 3n)]2 – [3(p + 2q)]2

[2(m – 3n) – 3(p + 2q)] · [2(m – 3n) + 3(p + 2q)]

[2m – 6n – 3p – 6q] · [2m – 6n + 3p + 6q]

Factorizar

Ordenar los elementos

Sacar factor común en cada grupo de paréntesis

Revisar si es trinomio cuadrado perfecto

Factorizar cada trinomio cuadrado perfecto


Simplificando

Finalmente


Considerar los signos de cada binomio

Caso especial combinación de los casos III y IV

Signo

Ejercicio N.°22.

22. Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

22.1. 4(a – n)2 – 9(b + m)2

22.2. (x + 1)2 – 25(y + 3)2

22.3. 25n2 – 50mn + 25m2 – 4b2 – 8ab – 4a2

22.4. 1 – 6xy – 9y2 – x2

Respuestas

22.1. (2a – 2n – 3b – 3m)(2a – 2n + 3b + 3m)

22.2. (x + 1 – 5y – 15)(x + 1 + 5y + 15)

22.3. (5n – 5m – 2b + 2b)(5n – 5m + 2b – 2b)

22.4. (1 – x – 3y)(1 + x + 3y)

En este caso se halla una expresión equivalente para uno de sus

términos, de tal manera que pueda aplicarse la factorización de

un trinomio cuadrado perfecto. Luego de factorizar, se emplea la

descomposición del caso III (diferencia de cuadrados).

8.7. Caso V: trinomio cuadrado perfecto por adición y sustratación


En la gráfica 110 se encuentra el desarrollo de un ejercicio aplicando

este tipo de factorización.

Gráfica 110.Caso IV: trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracciónFuente. Sandra Patricia Narváez

Gráfica 111. Caso V: Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracciónFuente. Sandra Patricia Narváez

16x4 – 25x2y2 + 9y4

–2(4x2)(3y2) equivale a –24x2y2

–25x2y2 = –24x2y2 – x2y2

16 x4 – 24 x2 y2 – x2 y2 + 9y4

(16 x4 – 24 x2 y2 + 9y4) – x2 y2

(4 x2 – 3y2) – x2 y2

[(4 x2 – 3y2) – x y] · [(4 x2 – 3y2) + x y]

[4 x2 – 3y2 – x y] · [4 x2 – 3y2 + x y]

Identificar cuál seria el segundo término que de-bería tener para ser trinomio cuadrado perfecto

Tener presente la equivalencia del segundo término para factorizar

Agrupar los términos de manera del segundo término para factorizar

Factorizar teniendo presente las características del caso III: Trinomio cuadrado perfecto

Factorizar teniendo presente las características del caso IV: Diferencia de cuadrados

Ubicar la equivalencia que tiene segundo término dado, teniendo presente el hallado en

el paso anterior

Caso VTrinomio cuadrado perfecto

por adición y sustracción

Signo

Signo

Simplificando

Finalmente

8.7.1. Caso especial: suma de los cuadrados

En este caso se requiere un término para completar el trinomio cua-

drado perfecto, al adicionarlo y restarlo (para no afectar la igualdad).

Además de aplicar este caso de descomposición factorial, se aplica

el caso relacionado con la diferencia de cuadrados.

En la gráfica 111 se detalla un ejercicio aplicando este caso especial

de factorización.

64x4 + 81y4

2(8x2)(9y2) equivale a 144x2y2 Para no afectar la expresión algebraica

144 x2y2 se suma y resta al mismo tiempo

64 x4 + 81 y4 + 144 x2 y2 – 144 x2 y2

(64 x4 + 144 x2 y2 + 81 y4) – 144 x2 y2

(8 x2 + 9 y2)2 – 144 x2 y2

[(8 x2 – 9 y2) – 12 x y] · [(8 x2 – 9 y2) + 12 x y]

[8 x2 – 9 y2 – 12 x y] · [8 x2 – 9 y2 + 12 x y]

Identificar cuál seria el segundo término que de-bería tener para ser trinomio cuadrado perfecto

Tener presente la equivalencia del segundo término para factorizar

Agrupar los términos de manera convenientemente para luego factorizar

Factorizar teniendo presente las características del caso III: Trinomio cuadrado perfecto

Factorizar teniendo presente las características del caso IV: Diferencia de cuadrados

Caso VTrinomio cuadrado perfecto

por adición y sustracción

Signo

Signo

Simplificando

Finalmente

182 183


Ejercicio N.°2323. Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

23.1. 9x12 + 144 + 23x6

23.2. x12 + 64

23.3. x4 + 1 + x2

23.4. 121m4 + 36n8 – 133m2 n4

23.5. 64b4 + c4

Respuestas

23.1. (3x6 – 7x3 + 12)(3x6 + 7x3 + 12)

23.2. (x4 + 4)(x8 – 4x2 + 16)

23.3. (x2 – x + 1)(x2 + x + 1)

23.4. (11m2 – mn2 – 6n4 )(11m2 + mn2 – 6n4 )

23.5. (8b2 – 4bc + c2 )(8b2 + 4bc + c2 )

• Segundo término bx: puede ser positivo o negativo y el expo-

nente de la variable es uno (1).

• Tercer término c: puede ser positivo o negativo y no tiene va-

riable, solo un número.

En la siguiente gráfica se relaciona un ejemplo de factorización em-

pleando el caso VI, en especial cuando los factores resultantes son

de signo contrario.

Este caso se aplica en trinomios que, al organizarlos por orden de

grado de la variable, cumplen con las siguientes características:

• Primer término x2: el exponente de la variable es dos (2) y su

coeficiente es uno (1). Gráfica 112. Caso VI: Trinomio de la forma x2 + bx + cFuente. Sandra Patricia Narváez

x2 – 6x – 16

(x ) · (x ) (x – ) · (x + ) (x – 8) · (x + 2)

Caso VITrinomio de la forma x2 + bx + c

Análisis 1

Signo igual al perteneciente al segundo término

Multiplicación de signos:+ · + = +– · – = ++ · – = –– · + = –

En este caso los signos son diferentes. Por tal motivo es Restando

Hallar dos números que cumplan simultáneamente:a. Multiplicados se obtenga 16= 8 x 2b. Restados se obtenga el coeficiente

del segundo término 6 = 8 – 2En el primer paréntesis se ubica el número mayor.En el segundo paréntesis se ubica el número de menor valor.

Primer término El exponente de la

variable es dos (2) y su coeficiente es uno (1)

Segundo términoPuede ser positivo o nega-

tivo y el exponente de la variable es uno (1)

Tercer términoPuede ser positivo o negati-vo y no tiene variable, solo

un número

8.8. Caso VI: Trinomio de la forma x2+bx+c


En la gráfica 113 se relaciona un ejemplo de factorización emplean-

do el caso VI, cuando los factores resultantes son de igual signo.

Gráfica 113. Caso VI: Trinomio de la forma x2 + bx + c Análsis 2Fuente. Sandra Patricia Narváez

Gráfica 114. Caso VI. Caso especial trinomio de la forma x2 + bx + c Proceso 1Fuente. Sandra Patricia Narváez

x2 – 10x + 16

(x ) · (x ) (x – ) · (x – ) (x – 8) · (x – 2)

Caso VITrinomio de la forma x2 + bx + c

Análisis 2


Multiplicación de signos:+ · + = +– · – = ++ · – = –– · + = –

En este caso los signos son iguales. Por tal motivo es Sumando

Hallar dos números que cumplan simultáneamente:a. Multiplicados se obtenga 16 = 8 x 2b. Sumados se obtenga el coeficiente

del segundo término 10 = 8 + 2En el primer paréntesis se ubica el número mayor.En el segundo paréntesis se ubica el número de menor valor.

Primer término El exponente de la

variable es dos (2) y su coeficiente es uno (1)



Tercer términoPuede ser positivo o nega-

tivo y no tiene variable, solo un número

8.8.1. Caso especial del caso VI

Este caso se aplica cuando el trinomio m2n + bm + c se organiza

por orden de grado de la variable principal y cuando cumple con

las siguientes condiciones:

• Primer término m2n: el exponente de la variable es par (2) y su

coeficiente no es necesariamente uno (1).

• Segundo término bm: puede ser positivo o negativo y el exponente

de la variable es la mitad de la indicada en el primer término.

• Tercer término c: puede ser positivo o negativo.

En la siguiente gráfica se relaciona un ejemplo de factorización em-

pleando el caso VI. Los factores resultantes son de signo contrario.

(5x2)2 – 7(5x2) (2y) + 12(2y)2

[ (5x2) (2y) ] [ (5x2) (2y) ]

[5x2 – 8y] [5x2 – 6y]

[ (5x2) – (2y) ] [ (5x2) – (2y) ] [ (5x2) – 4(2y) ] [ (5x2) – 3(2y) ]

Caso VICaso especial

Trinomio de la forma x2 + bx + c Proceso 1


Multiplicación de signos:– · – = +

12 = 4 x 37 = 4 + 3

En este caso los signos son iguales. Por tal motivo es Sumando

Hallar dos números que cumplan simultáneamente:a. Multiplicados se obtenga 12 = 4 x 3b. Sumados se obtenga el coeficiente

del segundo término 7 = 4 + 3En el primer paréntesis se ubica el número mayor.En el segundo paréntesis se ubica el número de menor valor.

Primer término El exponente de la varia-

ble es par.

Segundo términoPuede ser positivo o negati-

vo. Contiene la raíz cuadrada del primer y último termino

Tercer términoSi tiene una variable, si

exponente es par.


En la gráfica 115 se analiza un ejercicio de este tipo de descompo-

sición factorial cuando los factores resultantes son de igual signo.

Gráfica 115. Caso VI. Caso especial trinomio de la forma x2 + bx + c Proceso 2Fuente. Sandra Patricia Narváez

(3a3)2 – 14(3a3) – 15


En este caso los signos son diferentes. Por tal motivo es Restando

Hallar dos números que cumplan simul-táneamente:a. Multiplicados se obtenga 15 = 15 x 1b. Restados se obtenga el coeficiente del

segundo término 14 = 15 − 1

En el primer paréntesis se ubica el número mayor.En el segundo paréntesis se ubica el número de menor valor.

Primer términoEl exponente de la variable

es par

Segundo términoPuede ser positivo o negati-

vo. Contiene la raíz cuadrada del primer término.



Caso VICaso especial

Trinomio de la forma x2 + bx + c Proceso 2

[ (3a3) ] [ (3a3) ] [ (3a3) – ] [ (3a3) + ] [ (3a3) – 15 ] [ (3a3) + 1 ]

Multiplicación de signos:– · + = –

15 = 15 x 114 = 15 – 1


24.1. x2 + 15x + 50

24.2. y2 + 3y – 18

24.3. z2 – 3z – 18

24.4. a2 – 9a + 18

24.5. (5a)2 – 9(5a) + 20

Respuestas

24.1. (x + 10)(x + 5)

24.2. (y + 6)(y – 3)

24.3. (z – 6)(z + 3)

24.4. (a – 6)(a – 3)

24.5. 5(a – 1)(5a – 4)

Este caso se aplica en trinomios que, al organizarlo por orden de

grado de la variable, cumplen con las siguientes características:

• Primer término x2: el exponente de la variable es dos (2) y su

coeficiente es diferente a uno (1).


nente de la variable es uno (1).

8.9. Caso VII: trinomio de la forma ax2 + bx + c


• Tercer término c: puede ser positivo o negativo y no tiene va-

riable, sólo un número.

En la siguiente gráfica se desarrolla un ejercicio que cumple con

estas características:

Gráfica 116. Caso VI. Caso VII. Caso especial trinomio de la forma ax2+bx+cFuente. Sandra Patricia Narváez

10 y2 + 29 y – 21

10 (10 y2 + 29 y – 21)

10(10 y2) + 29(10y) – 10(21)

(10 y2) + 29(10y) – 210

(10y ) (10y ) (10y + ) (10y – ) (2y + 7) (5y – 3)(10y + 35) (10y – 6) 5(2y + 7) x 2(5y – 3)

10

10

10

10 10 10 5 x 2


Sacando factor común de cada paréntesis del numerador

Expresando el denominador de factores

SimplificandoEn este caso los signos no son iguales. Por tal motivo es Restando

Hallar dos números que cumplan simultáneamente:a. Multiplicados se obtenga 210 = 35 x 6b. Restados se obtenga el coeficiente


Primer términoEl exponente de la variable es dos (2) y su coeficiente

es diferente a uno (1)





Caso VIITrinomio de la forma ax2 + bx + c

Multiplicación de signos:+ · – = –

210 = 35 x 629 = 35 – 6

Multiplicar toda la expresión por 1, es decir 10

10

Realizando la multiplicación indicada en el numerador

Escribiendo de otra manera las expresiones del numerador

8.9.1. Casos especiales del caso VII

8.9.1.1. Casos especiales del caso VII

Este caso se aplica en trinomios que organizados por orden de grado

de la variable cumplen con algunas de las características del caso

VII (Trinomio de la forma ax2 + bx + c):

• Primer término x2: el exponente de las variables son pares y su

coeficiente es diferente a uno (1).


nente de la variable es la mitad de lo indicado en el primer y

tercer término.

• Tercer término c: puede ser positivo o negativo. En el caso de

tener variables su exponente debe ser par.

En la gráfica 117 se desarrolla un ejercicio en el que se aplica el

caso VII de factorización.


8 x4 + 53 x2 y – 21 y2

8 (8 x4 + 53 x2 y – 21 y2)

8 (8 x4) + 53( 8x2y) – 8(21y2)

(8 x2)2 + 53( 8x2)y – 168y2)

(8x2 ) (8x2 ) (8x2 y) (8x2 y) 8(x2 + 7y) (8x2 – 3y) (x2 + 7y) (8x2 – 3y)(8x2 + y) (8x2 – y) (8x2 + 56y) (8x2 – 3y)

8

8

8

8 8 8 8 8


Sacando factor común de cada paréntesis del numerador

SimplificandoEn este caso los signos son iguales. Por tal motivo es Sumando

Hallar dos números que cumplan simultáneamente:a. Multiplicados se obtenga 168 = 56 x 3b. Restados se obtenga el coeficiente


Primer términoEl exponente de las

variables son pares y su coeficiente es diferente a

uno (1)

Segundo términoPuede ser positivo o

negativo y el exponente de la variable es la mitad de lo indicado en el primer y

tercer término

Tercer términoPuede ser positivo o nega-tivo y en el caso de tener

variables su exponente debe ser par

Casos especiales del caso VIITrinomio de la forma ax2 + bx + c

Multiplicación de signos:+ · – = –

168 = 56 x 353 = 56 – 3

Multiplicar toda la expresión por 1, es decir 8

8

Realizando la multiplicación indicada en el numerador

Escribiendo de otra manera las expresiones del numerador

Gráfica 117. Casos especiales del VII. Caso espe-cial trinomio de la forma ax2 + bx + cFuente. Sandra Patricia Narváez

192 193



25.1. 2x4 + x2 y – 3y2

25.2. 2x4 + 5x2 y + 3y2

25.3. 2x4 – 5x2 y + 3y2

25.4. 2x4 – x2 y – 3y2

25.5. 2x2 – 14x + 20

Respuestas25.1. (x2 – y)(2x2 + 3y)

25.2. (x2 + y)(2x2 + 3y)

25.3. (x2 – y)(2x2 – 3y)

25.4. 2(x – 2)(x – 5)

Este caso se aplica en polinomios que se organizan respecto a una

variable. Está conformado por cuatro términos que cumplen con


• Primer término: es un cubo perfecto.

• Segundo término: es el triplo de obtener el cuadrado de la raíz

cúbica del primer término y de la raíz cúbica del último término.

• Tercer término: es el triplo resultado del cuadrado de la raíz

cúbica del último término y de la raíz cúbica del primer término.

• Cuarto término: es un cubo perfecto.

Cuando se cumplen estas condiciones se tienen presentes los signos

de cada uno de los términos para definir si es suma o resta de cubos.

Todos los términos son positivos. Esta expresión se factoriza como

la suma de la raíz cúbica del primer y último término. Todo esto

elevado al cubo.

Cuando el primer y tercer término son positivos y los demás nega-

tivos. Esta expresión se factoriza como la resta de la raíz cúbica del

primer y último término. Todo esto elevado al cubo.

En el desarrollo del ejercicio descrito en la gráfica 118 se observa

que se tiene presente estas características.

8.10. Caso VIII: cubo perfecto de binomios


Gráfica 118. Caso VIII. Cubo perfecto de binomiosFuente. Sandra Patricia Narváez

8x3 ± 36x2y ± 54xy2 ± 27y3

+ 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 + 8x3 – 36x2y + 54xy2 – 27y3

(2x 3y)3 (2x 3y)3

(2x) = 8x3 (2x) = 8x3(3y) = 27y3 (3y) = 27y3

(2x + 3y)3 (2x – 3y)3

Primer términoEs un cubo perfecto

(2x) = 8x3

Polinomios que al ser organizados con respecto a una variable se evidencia que:

Segundo términoEs el triplo de obtener el cua-

drado de la raíz cúbica del primer término y de la raíz cúbica del último término

3(2x)2 (3y) = 36x2y

Suma de binomio al cubo Todos los términos son

positivos

Resta de binomio al cubo Primer y tercer término:

positivosSegundo y cuarto término:

negativos

Tercer términoEs el triplo de obtener el cua-

drado de la raíz cúbica del último término y de la raíz cúbica del primer término

3(2x) (3y)2 = 54xy2

Cuarto términoEs un cubo perfercto

(3y2) = 27y3

Caso VIIICubo perfecto de binomios


26.1. a3 – 15a2 b + 75ab2 – 125b3

26.2. 27x3 + 54x2 y + 36xy2 + 8y3

26.3. 27x3 – 54x2 y + 36xy2 – 8y3

Respuestas

26.1. (a – 5b)3

26.2. (3x + 2y)3

26.3. (3x – 2y)3

Este caso se aplica en binomios con dos términos que tienen raíces

cúbicas exactas. Pueden ser presentados con una suma o diferencia.

En la siguiente gráfica se observa el desarrollo de un ejercicio equi-

valente a una suma de cubos.

8.11. Caso IX: suma o diferencia de cubos


Gráfica 119. Caso IX: suma o diferencia de cubosFuente. Sandra Patricia Narváez

Gráfica 120. Caso IX: suma o diferencia de cubos. Procedimiento 2Fuente. Sandra Patricia Narváez

8x3 + 27y3

8x3 – 27y3

[2x ][(2x)2 (2x) ]

[2x ][(2x)2 (2x) ]

[2x 3y][(2x)2 (2x)(3y)

[2x 3y][(2x)2 (2x)(3y) (3y)2]

[2x + 3y][(2x)2 – (2x)(3y) + (3y)2]

[2x – 3y][(2x)2 + (2x)(3y) + (3y)2]

(2x) = 8x3

(2x) = 8x3

(3y) = 27y3

(3y) = 27y3

Signos+ – +

Signos+ + +

Son binomios en el que sus dos términos son raíces cúbicas exactas.

Puede ser presentando una suma o diferencia.

Son binomios en el que sus dos términos son raíces cúbicas exactas.

Puede ser presentando una suma o diferencia.

Suma de cubos

Diferencia de cubos

Caso IXSuma o diferencia de cubos

Procedimiento 1

Caso IXSuma o diferencia de cubos

Procedimiento 2

En la gráfica 133 se observa el desarrollo de un ejercicio equivalente

a una resta de cubos.


27.1. x3 + 8y3

27.2. –x3 + 8y3

Resultados

27.1. (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2 )

27.2. (2y – x)(4y2 + 2xy + x2 )

8.11.1. Caso especial del caso IX

Este caso se aplica en binomios en el que sus dos términos son

raíces cúbicas exactas, puede tener una leve modificación con res-

pecto al caso IX.

En la siguiente gráfica se observa el desarrollo de un caso especial

de suma de cubos.


Gráfica 121. Caso especial del caso IX: suma o diferencia de cubos. Procedimiento 1Fuente. Sandra Patricia Narváez

Gráfica 122. Caso especial del caso IX: suma o diferencia de cubos. Procedimiento 2Fuente. Sandra Patricia Narváez

8(x + 1)3 + 27(y – 1)3 8(x + 1)3 – 27(y – 1)3

[2(x + 1) ][(2(x + 1))2 (2(x + 1)) ] [2(x + 1) ][(2(x + 1))2 (2(x + 1)) ]

[2(x + 1) 3(y – 1)][(2(x + 1))2 (2(x + 1)) (3(y – 1)) (3(y – 1))2] [2(x + 1) 3(y – 1)][(2(x + 1))2 (2(x + 1)) (3(y – 1)) (3(y – 1))2]

[2(x + 1) + 3(y – 1)][(2(x + 1))2 – (2(x + 1)) (3(y – 1)) + (3(y – 1))2] [2(x + 1) – 3(y – 1)][(2(x + 1))2 + (2(x + 1)) (3(y – 1)) + (3(y – 1))2]

[2x + 3y – 1)][4(x + 1)2 – 6(x + 1)(y – 1)) + 9(y – 1)2] [2x – 3y + 5)][4(x + 1)2 + 6(x + 1)(y – 1)) + 9(y – 1)2]

(3(y – 1))3 = 27(y – 1)3 (3(y – 1))3 = 27(y – 1)3

(2(x + 1))3 = 8(x + 1)3 (2(x + 1))3 = 8(x + 1)3

Signos+ – +

Signos+ + +

Suma de cubos Resta de cubos

Caso especial del caso IXSuma o diferencia de cubos

Procedimiento 1

Caso especial del caso IXSuma o diferencia de cubos

Procedimiento 2

En la siguiente gráfica se encuentra otro ejemplo de este tipo de

factorización con una resta de cubos.

200 201



28.1. 125(a – 1)3 + 343(b + 14)3

28.2. 125(a – 1)3 – 343(b + 14)3

Respuestas

28.1. (5a + 7b + 93)(25a2 – 35ab – 540a + 49b2 + 1407b + 10119)

28.2. (5a – 7b – 103)(25a2 + 35ab + 440a + 49b2 + 1337b + 9139)

Se tiene presente que son dos binomios cuyas potencias son impares.

A continuación se encuentra la gráfica 123 en el que se desarrolla un

ejercicio donde se plantean la suma de dos potencias impares iguales.

8.12. Caso X: suma o diferencia de dos poten-cias iguales

Gráfica 123. Caso X: suma o diferencia de dos potencias iguales. Procedimiento 1Fuente. Sandra Patricia Narváez

32x5 + 1024y5

[2x ][(2x)4 (2x)3 (2x)2 (2x) ]

[2x 4y][(2x)4 (2x)3(4y) (2x)2 (4y)2 (2x)(4y)3 (4y)4]

[2x + 4y][(2x)4 – (2x)3(4y) + (2x)2 (4y)2 – (2x)(4y)3 + (4y)4]

[2x + 4y][16x4 – 32x3y + 64x2 y2 – 128xy3 + 256y4]

(4y)5 = 1024y5

(2x)5 = 32x5

Signos(+) (alternados + –)

Resta de potencias iguales

Caso XSuma o diferencia de dos potencias iguales

Procedimiento 1



En la gráfica 124 se desarrolla un ejercicio donde se plantea la resta

de dos potencias impares iguales.

Gráfica 124. Caso X: suma o diferencia de dos potencias iguales. Procedimiento 2Fuente. Sandra Patricia Narváez

32x5 – 1024y5

[2x ][(2x)4 (2x)3 (2x)2 (2x) ]

[2x 4y][(2x)4 (2x)3(4y) (2x)2 (4y)2 (2x)(4y)3 (4y)4]

[2x – 4y][(2x)4 + (2x)3(4y) + (2x)2 (4y)2 + (2x)(4y)3 + (4y)4]

[2x – 4y][16x4 + 32x3y + 64x2 y2 + 128xy3 + 256y4]

(4y)5 = 1024y5

(2x)5 = 32x5

SignosPrimer factor -

Según factor todos son positivos +

Resta de potencias impares

Caso XSuma o diferencia de dos potencias iguales

Procedimiento 2



29.1. 7776a5 – 3125b5

29.2. 7776x5 + 3125y5

Respuestas

29.1. (6a – 5b)(1296a4 + 1080a3 b + 900a2 b2 + 750ab3 + 625b4 )

29.2. (6a + 5b)(1296a4 – 1080a3 b + 900a2 b2 – 750ab3 + 625b4 )

8.13. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 8. Factorización

1. Longitud de tirantes de un puente colgante

Al diseñar un puente colgante se considera que el cable supe-

rior adopta una forma parabólica, cuya expresión matemática


permite determinar la longitud y de los tirantes a x distancia

del estribo izquierdo: y = x2 + 9x + 20

Gráfica 125. Ejercicio de aplicación 1 Longitud de tirantes de un puente colgante


Tirantes y

x

Donde

y: longitud del tirante a distancia x del estribo izquierdo

en metros.

x: distancia desde el estribo izquierdo a la ubicación del ti-

rante y en metros.

Se requiere realizar la descomposición factorial de esta ex-

presión para ejecutar el análisis respectivo.

2. Cantidad de material para una estructura esférica con per-

foración cilíndrica

Revisando el diseño de un cilindro hueco hecho en acero inoxidable

para fundir un elemento estructural se requiere factorizar la siguiente

expresión matemática que permite establecer el volumen V del ma-

terial que se emplearía, considerando que la ecuación a emplear es:

V = π h(D2 – d2)

Gráfica 126. Ejercicio de aplicación 2 Estructura esférica con perforación cilíndrica


h

d

D

Donde

V: volumen del material a emplear para fundir la estructura

en forma de cilindro hueco en m3

h: altura del cilindro hueco en metros

D: diámetro exterior del cilindro hueco en metros

d: diámetro interior del cilindro hueco en metros


3. Cantidad de material para una estructura cilíndrica.

En el diseño de un elemento estructural cilíndrico de concreto

se tiene en cuenta la siguiente expresión matemática:

V = (27x3 + 64)π

π

4

4Gráfica 127. Ejercicio de aplicación 3. Estrcutura cilíndrica


Gráfica 128. Ejercicio de aplicación 5. Estadio deportivoFuente. Sandra Patricia Narváez

x

Donde

V: volumen de concreto empleado para fundir la estructura

en m3:

x altura del cilindro metros

Exprese la ecuación de la descomposición factorial del volu-

men de concreto a usar en términos de x.

4. Cantidad de material de excavación

La siguiente expresión permite calcular el volumen que se

excavará en un terreno cuya extracción es de profundidad y.

V = (y + 1)3 + (y – 2)2

Donde

V: volumen de material a excavar en m3.

y: profundidad de la excavación en metros.

Se requiere expresar esta ecuación en factores en términos de y.

5. Área de un estadio deportivo

La siguiente expresión permite calcular el área que encierra un

estadio deportivo, cuyo diámetro mayor es D y el menor es d.

A = (10D2 + 26Dd + 12d2)

d

D


Donde

A: área que encierra el estadio en m2

D: diámetro mayor en metros

d: diámetro menor en metros

Se requiere identificar los factores que equivalen a esta ecua-

ción en términos de D y d.

6. Volumen de un muro de contención rectangular

La siguiente expresión permite calcular el volumen de un

muro de contención en forma cúbica:

V =(a4 + a2 + 1) a2

a3 + a2 + a

a

Gráfica 129. Ejercicio de aplicación 6. Muro de contenciónFuente. Sandra Patricia Narváez

Donde

V: volumen de concreto en m3

a Lado en metros del muro de contención de forma cúbica.

Se requiere factorizar esta expresión en términos de a.

8.14. Respuestas de los ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.º 8. Factorización

1. Longitud de tirantes de un puente colgante

y = x2 + 9x + 20

y = (x + 5)(x + 4)

2. Cantidad de material para una estructura esférica con per-

foración cilíndrica.

V = πh(D2 – d2 )

V = πh(D – d)(D + d)

3. Cantidad de material para una estructura cilíndrica

V = (27x3 + 64)

V = (3x + 4)(9x2 – 12x + 16)

π4

π4


4. Cantidad de material de excavación

V = (y + 1)3 + (y – 2)2

V = (2y – 1)(y2 – y + 7)

5. Área de un estadio deportivo

A = (10D2 + 26Dd + 12d2 )

A = (5D + 3d)(2D + 4d)

6. Volumen de un muro de contención rectangular

V =

V = a3 + a2 + a

π4

π4

(a4 + a2 + 1) a2

a3 + a2 + a

x

x

x

+

+

{ }

FraccionesAlgebraicas

09

213


Las fracciones algebraicas son expresiones que

tienen una fracción cuyo numerador o denomi-

nador son expresiones algebraicas (monomio o

polinomio). Es importante resaltar que el denominador

no puede ser igual a cero.

En la siguiente gráfica se relaciona los tipos de facciones

algebraicas:

9.1. Reducción de fracciones

Gráfica 130. Ejercicio de aplicación 6. Fracciones algebraicasFuente. Sandra Patricia Narváez

Fracciones algebraicas

Expresión entera

Expresión mixta

Expresión racional

x – 2y3 + 3z7

n – 8m + 5m –m + n – 3

r3 – p + s3 + 5r –s2

En la siguiente gráfica se presentan las fracciones según sus carac-

terísticas y los dos procesos de reducción de fracciones: fracciones

con monomios y fracciones con polinomios.

Gráfica 131. Características de las fracciones algebraicasFuente. Sandra Patricia Narváez

Fracción positiva

Características

Fracción negativa

Cuando se multiplica por la misma cantidad

el numerador y el denominador

Reducción de fracciones

Fracciones con monomios


cuadrados

Caso VTrinomio x2 + bc + c

Fracciones con polinomios

Fracciones algebraicas

x –x–r r

30x2y3z4 (a – 1)2

a + 1

(a – 1) (a + 1)(a – 3) (a – 1)

10xy

3xy2z5 a2 – 4a + 3

a – 3

z

y y–s –s; ;a(x) ax xx ÷ mb(y) by yy ÷ m

;= =


9.1.1. Fracciones con monomios

Estas fracciones se reducen a su mínima expresión, simplificando

los factores comunes para el numerador y denominador, tal y como

se observa en el ejercicio de la gráfica 132:

Fracciones con monomios

30x2y3z4

10xy

3xy2z5

z

Gráfica 132. Fracciones con monomiosFuente. Sandra Patricia Narváez

Gráfica 133. Fracciones con polinomiosFuente. Sandra Patricia Narváez

9.1.2. Fracciones con polinomios

En estas fracciones se descompone el numerador y denominador

en factores. Luego se simplifican los factores comunes para ambos,

tal y como se observa en el ejercicio de la gráfica 133:


cuadrados

Caso VTrinomio x2 + bc + c

Fracciones con polinomios

(a – 1)2

a + 1

(a – 1) (a + 1)(a – 3) (a – 1)

a2 – 4a + 3

a – 3

Entre las fracciones algebraicas se encuentran las siguientes ope-

raciones:

9.2.1. Suma y resta de fracciones algebraicas

Para realizar sumas y restas entre fracciones algebraicas es necesario

emplear los conceptos de descomposición factorial, simplificación

de términos semejantes y simplificación de fracciones. En la gráfica

134 se encuentra detallado el procedimiento para la suma y la resta

de fracciones algebraicas.

9.2. Operaciones entre fracciones algebraicas


Suma y resta de fracciones algebraicas

2a + 2 63 + a+ –a3 – a 3a2a2 + 5a + 6

2 21+ –a(a – 1) a2(a + 2)

2a + 2 = 2(a + 1)

6 = 3(2)

3 + a = a + 3a3 – a = a(a2 – 1) = a(a – 1)(a + 1)

3a2 = 3(a)2

a2 + 5a + 6 = (a + 3)(a + 2)

a( a – 1)

mcm: a2( a – 1) (a + 2)

a2

(a + 2)

+ –2(a + 1) 3(2)a + 3a(a – 1)(a + 1) 3(a)2(a + 3)(a + 2)

Factorizar los numeradores y los denominadores

Cada fracción equivale en factores a:

Establecer el m.c.m entre los denominadores (común

denominador)

Realizar las operaciones indicadas en el numerador

Dividir el común denomi-nador (m.c.m) establecido entre cada denominador

Lo obtenido se multiplica por el respectivo numerador y se deja como denominador

el hallado como común denominador

Simplificar los fraccionarios

Simplificar

Finalmente

Caso IFactor común


cuadrados

Caso VITrinomio de

la forma x2 + bc + c

a2( a – 1) (a + 2) = a(a + 2)a( a – 1) (a + 2)

a2( a – 1) (a + 2) = a2( a – 1)(a + 2)

a2( a – 1) (a + 2) = ( a – 1) (a + 2)a2

2 21+ –a(a – 1) a2(a + 2)

2a (a + 2) + 1a2(a – 1) – 2(a – 1)(a+2)a2( a – 1) (a + 2)=

2a2 + 4a + a2 – a2 – 2(a2 + a – 2)

a2 + 4a + a2 – a2 – 2a2 – 2a + 4

– a2 + 2a + 4

a2( a – 1) (a + 2)

a2( a – 1) (a + 2)

a2( a – 1) (a + 2)

Gráfica 134. Suma y resta de fracciones algebraicasFuente. Sandra Patricia Narváez

Ejercicio N.° 3030. Simplificar las siguientes expresiones algebraicas:

30.1.

30.2.

Resultados

30.1.

30.2.

1

1 3

x x2

x2 – y2 x – y x + y+ –

–a2 – 1 – 5 – 11a – 2a2

1 + xy + x2 + x2 y – x3

x2 – y2

5a2 + 11a + 2(a2 – 1)(2a2 + 11a + 5)

9.2.2. Multiplicación de fracciones algebraicas

Para multiplicar varias fracciones algebraicas se requiere aplicar los

conceptos de descomposición factorial, simplificación de términos

semejantes y simplificación de fracciones

En la gráfica 135 se encuentra un ejemplo de este tipo de operación.


v

Multiplicación de fracciones algebraicas

2x + 2 4x + 6y8x3 – 36x2y + 54xy2 –27y3

x x4x2 – 9y2 4x2 – 12xy + 9y2x2 – 1

2x + 2 = 2(x + 1)4x + 6y = 2(2x + 3y)

8x3 – 36x2y + 54xy2 –27y3 = (2x – 3y)3

4x2 – 9y2 = (2x – 3y)(2x + 3y)4x2 – 12xy + 9y2 = (2x – 3y)2

x2 – 1 = (x – 1)(x + 1)

4(x – 1)

x x2(x + 1) 2(2x + 3y)(2x – 3y)3

(2x – 3y)(2x + 3y) (2x – 3y)2(x – 1)(x + 1)



Al simplificar los factores se obetiene


cuadrados


Caso IFactor común

Caso VIIICubo

perfecto de binomio

Gráfica 135. Multiplicación de fracciones algebraicasFuente. Sandra Patricia Narváez

Ejercicio N.° 3131. Simplificar las siguientes expresiones algebraicas:

31.1.

31.2.

Resultados

31.1. –x2 (x – 2)2

31.2.

x – 2x

a

– x(x – 2)3

a(a + 3)

x2 – 4x+4

(2 – a)

a2 + 5a + 6 –a2

a2 – 4

9.2.3. División entre fracciones algebraicas

Para dividir una expresión algebraica entre otra se realiza la multipli-

cación del numerador por el inverso multiplicativo del denominador.

Se requiere aplicar los conceptos de descomposición factorial, sim-

plificación de términos semejantes y simplificación de fracciones.


División de fracciones algebraicas

x2 – 9y2x2 – 6xy + 9y2

÷y3 + 6y2 + 6y + 8y2 – 3y – 10

x2 – 9y2

x2 – 6xy + 9y2

x y3 + 6y2 + 6y + 8y2 – 3y – 10

(x – 3y)(x + 3y)(x – 3y)2

x (y + 2)3

(y – 5)(y + 2)

(x + 3y)(x – 3y)

(x – 3y) (y + 2)2

x (y + 2)2

(y – 5)

(y – 5) (x + 3y)

x2 – 6xy + 9y2 = (x – 3y)2

x2 – 9y2 = (x – 3y)(x + 3y)

y2 – 3y – 10 = (y – 5)(y + 2)y3 + 6y2 + 6y + 8 = (y + 2)3


Multiplicar por el inverso multiplicativo de la

segunda fracción


Al simplificar los factores se obetiene

Es decir


cuadrados


Caso VIIICubo

perfecto de binomio

Caso VIITrinomio de

la formax2 + bc + c

Gráfica 136. División de fracciones algebraicasFuente. Sandra Patricia Narváez

Ejercicio N.° 32 32. Simplificar las siguientes expresiones algebraicas:

32.1.

32.2.

Resultados

32.1.

32.2.

x – y2x – 4x2

a2

1 – x

a2 + a

2a

÷

÷

x2 – y2

1 – x

a3 – 1

2x (1 – 2x)(x + y)

2 (a2 + a + 1)

(a – 1)2

9.3. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 91. Tanque cilíndrico circular recto de almacenamiento para gas

propano

Se requiere ubicar a una profundidad y un tanque de almace-

namiento en forma de cilindro circular recto para almacenar

gas propano en un conjunto residencial.

El volumen está definido por la expresión:

V = πhd2

4


Donde

V: capacidad de almacenamiento del tanque cilíndrico en m3:

h: altura del tanque cilíndrico en metros

d: diámetro de la base del tanque en metros

• Opción 2: simplificar la expresión para definir el diámetro d.

El volumen V y la altura h está definidos en términos de y:

Gráfica 137. Ejercicio N.° 1 de aplicación. Tanque de almacenamiento para gas


d

h

Si se desea expresar dichos términos en función de la pro-

fundidad de instalación y del tanque:

• Opción 1: simplificar la expresión que permita definir la altura

h si el volumen y el diámetro está definido en términos y:

V = (y + 1)3

d = y2 + 4y + 3

y + 1

y + 1

y – π

r – 11

11 +r –

r + 1

2

y

y2

y –

π – y

y –

πy

π

V =

h =

h =

d =

n =

• Opción 3: simplificar la expresión para definir el volumen

V. El diámetro d y la altura h está definido en términos y:

2. Índice de porosidad

En las relaciones de fase de un determinado suelo se ha es-

tablecido, por medio de ensayos de laboratorio, la siguiente

expresión para determinar el índice de porosidad n:

Donde

r: Relación de vacíos. Adimensional :

Se requiere simplificar a su mínima expresión.


3. Número de Reynolds Re

El número de Reynolds Re se emplea para analizar el régimen

del agua en las tuberías. Si se considera que

• Opción 3: hallar el diámetro D en términos de γ si:

γV(D)

(B + b) h2

γ – 1

γ2 + 4γ

γ3 + 9γ

4γ3 + 12γ2 + 8γ

2γ2 + 8γ + 6

2γ – 26γ

3

(4γ2 + 16γ)

γ2 – 8γ – 6

γ2 + 3γ + 2

γ2 – 5γ + 6Re =

A =

Re =

Re =

D =

D =

V =

D =

Donde

Re: número de Reynols: Adimensional.

V: velocidad del fluido a través de la tubería medido en .

D: diámetro de la tubería medido en metros.

γ: Viscosidad del fluido medido en .

Se requiere simplificar a su mínima expresión. Se presentan


• Opción 1: hallar el número de Re en términos de γ si:

seg

seg

m2

m

• Opción 2: hallar la velocidad V en términos de γ si:

4. Área de la sección transversal de un canal trapezoidal

Se requiere determinar el área transversal de un canal trape-

zoidal, considerando que la ecuación respectiva es:

Gráfica 138. Ejercicio 4 d. Canal trapezoidalFuente. Sandra Patricia Narváez

b

B

h

Donde

A: área del trapecio en m2

B: medida de la base mayor del trapecio, medida en metros


d: medida de la base menor del trapecio, medida en metros.

h: medida de la altura del trapecio, medida en metros.

Si se presentan las siguientes condiciones, se solicita:

• Opción 1: hallar el área A en términos de h si:


4h2

h(h + 3)

h3

h + 2

h + 1

h + 1

h + 1

h + 3

2

h2 + 5h + 6

h2 + 2h + 1

h

B =

A =

A =

b =

b =

B =

• Opción 2: hallar la medida de la base mayor B en términos

de h si:

• Opción 3: Hallar la medida de la base menor b en términos

de h si:

1. Tanque cilíndrico circular recto de almacenamiento para

gas propano

• Opción 1:

• Opción 2:

• Opción 3:

2. Índice de porosidad

3. Número de Reynolds Re

• Opción 1: Re = 1

• Opción 2: V =

• Opción 3: V = 2

4. Área de la sección transversal de un canal trapezoidal

• Opción 1: A =

• Opción 2: B =

• Opción 3: b =

4(y2 + 2y + 1)

(4h2 + 1) h

2h2 – 1

h2 + 2h – 1

1 m

m

r2 + r – 2r2 + r – 1

y4

y2 + y – 1)

h =

n =

V =

d = 2

π(y + 3)

2(h + 3)

h + 1

h

4 seg

seg

4y – π

y

x

x

x

+

+

{ }

Referencias

10

231


Álvarez, R. A. y Mejía Duque, F. G. (2006). Factorización.

Medellín: Universidad de Medellín.

Baldor, A. (2014). Algebra. México: Grupo editorial Patria

Colegio24hs. (2004). Fracciones Algebraicas. Buenos Aires:

Colegio24hs. ed.

Cárdenas, J. L. (2014). Álgebra: Serie Universitaria Patria. (La-

rousse - Grupo Editorial Patria). México, D.F.: ProQuestebrary

Escudero Trujillo, R. (2015). Matemáticas básicas (Universidad del

Norte). Barranquilla,

Fuentes Medina, A. (2015). Algebra. Un análisis matemático preliminiar

al cálculo. Colombia: Editor Aliz Aurora Fuente Medina

Peters, M. y Schaaf, W. L. (2007). Algebra y Trigonometría, Barcelona:

Editorial Reverté.

Pérez, K. M. (1984). Algebra Superior 1. República Dominicana: Ins-

tituto tecnológico de Santo Domingo.

Ramírez, A. P. y Cárdenas A., J. C. (2001). Matemática universitaria:

conceptos y aplicaciones generales. Vol. 1. San José: Cyrano

Sánchez, R. (2014). Álgebra. . México, D.F: Patria

Viedma, J. A. (1957). Lecciones de aritmética.Cali: Norma

x

x

x

+

+

{ }

ANEXOS

11

235


Números naturales NEnteros positivos:

{ 1, 2, 3, 4, ..., 100, ... }

Números enterosNegativos:

{ ..., −4, −3, −2, −1 }

Números enteros Z

{ ..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ... }

Números irracionales H

{ ..., −√11, √2, e, π, ... }

Números cabales W{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }

Número cero 0

Gráfica 139. Clasificación de los números.Fuente. Sandra Patricia Narváez

Números racionales no enteros

…, − −, , …5 1 72 3 8

…, −20, − −, , 0, 1, , 108 …5 1 72 3 8

Números racionales Q

…, −√11, −20, − −, , 0, 1, , √2, e, π, 310 …5 1 72 3 8

Números reales R

…, −√−5, −√11, −20, − −, , 0, √−1 3, √−15, 1, , √2, e, π, 310 …5 1 72 3 8

Números complejos

{ ..., −√−5, √−1, 3√−15, ... }

Números imaginarios

NUMEROS

237


Gráfica 140. Conceptos de Fracción.Fuente. Sandra Patricia Narváez

3

2

1

4

5

5

5

5

5

5100%

80%

60%

40%

20%

35

30= 0 0,65

35

3 35 5 5

Calcular de $90

x $90 ($90) $270 $54

En una caja hay 3 colores rojos y 5 azules. La razón entre colores rojos y azules es:

35

3 : 5 ó

35

35

NumeradorDenominador

35


Parte de una unidadSe considera que una unidad se divide en partes iguales y se ha seleccionado algunas

de ellas.

CocienteEl concepto de fracción está

relacionado con la operación matemática de división,

la cual se realiza teniendo como base las tablas de

multiplicar

PorcentajePorción que es proporcional

al número 100, el cual se puede expresarse matemáti-camente como una fracción

OperadorPara calcular la fracción de un número, se multiplica

dicho valor por el numerador y lo obtenido se divide por el

denominador.

RazónSe emplea la fracción como razón o proporción cuando

se comparan dos cantidades de una misma magnitud.

NUMEROSFraccionarios


3

3

6

6

5

55(6) = 3(10)

30 = 30

10

10

es equivalente a ya que:

121

27

35

−65 8

5 35

−

Comparación entre fracciones

Fracciones homogéneasCuando dos fracciones tienen

el mismo denominador.

Fracciones no homogéneasCuando dos fracciones tienen

diferente denominador.

Fracciones equivalentesDos fracciones son equivalentes a otra cuando al multiplicar sus

elementos en cruz, se obtiene un mismo resultado.

Gráfica 141. Las formas de comparar fracciones.Fuente. Sandra Patricia Narváez

Gráfica 142. Resumen de los diferentes tipos de fracciones.Fuente. Sandra Patricia Narváez

Tipos de fracciones

Fracciones unitariosSe caracterizan cuando

tanto el numerador como el denominador es el mismo

número.

Fracciones mixtasEstá compuesta por

una parte entera y otra fraccionaria.

Fracciones impropiasCuando el numerador es

mayor que el denominador.

Fracciones decimalesSe caracterizan cuando el denominador es una

potencia de 10.

Fracciones propiasEs cuando el numerador es menor que el denominador.

Cuando se ubica el fraccionario en la recta

numérica, se encuentran entre el 0 y el 1.

44=

31 4=+

910=1 2 3 4

0.75

4

0 12

0,25 0.50

4 4 4

74=+

241


Potenciacion

53 = 1255–2 = 5–3 =

52 = 25

Exponente mayor que cero (positivo)

Se obtiene potencias positivas.

Exponente menor que cero (negativo)

Se obtiene potencias positivas pero menores que 1.

1 11 125 12552 53

(−5)3 = –125 (−5)–3 = (−5)3

Exponente imparSe obtiene potencias negativas

11125

(−5)2 = 25 (−5)–2 = (−5)2

Exponente parSe obtiene potencias positivas.

1125

Tipos de potencia

Potencia de base positivaSe tiene presente si el

exponente es positivo o negativo.

Potencia de base negativa

Se tiene presente si el exponente es par o impar.

Gráfica 143. Resumen tipos de potencia.Fuente. Sandra Patricia Narváez

–


243


Gráfica 144. Resumen propiedades de la potenciación.Fuente. Sandra Patricia Narváez

Propiedades de la potenciación

Potencia con exponente igual a uno

Cuando se tiene una base cuyo exponente es igual a uno, el resultado es la misma base

Potencia con exponente fraccionario

Es equivalente al radical de la base

Potencia de un productoUna multiplicación de varios

términos a una misma potencia es equivalente a la

multiplicación de cada factor elevado al exponente.

Potencia con exponente igual a cero

Cuando se tiene una base cuyo exponente es cero,

el resultado o potencia es igual a uno.

Potencia de bases igualesCuando se están multipli-

cando varias veces la misma base con diferente exponen-te, se suman los exponentes

y se deja la misma base.

Potencia de un cociente o fraccionario

Cuando el numerador y el denominador del fraccio-

nario que está conformado por potencias de igual base con diferente exponente, el resultado es la misma base,

restando los exponentes.

Potencia de potenciasSe obtiene la base elevada a la multiplicación de los

exponentes.

Potencia con exponente negativo

Es equivalente al fraccionario que tiene como numerador un UNO y el denominador

como la base elevada al exponente positivo.

a1 = a

41 = 4

( a x b )n

( 3 x 4 )2an x bn

32 x 42

9 x 16144

====

an am = am + n

42 4 3 = 45 = 1024

{ (an) q } m = an.q.m

{ (42) 3 } 4 = 42.3.4 = 4 24

=

=

1

1

a− n

4− 2

an

42

=

= =

=

= =

=

an

n

3

25

an − m

25 − 3 22 4

am

23

a

3

an

33 27b

4

bn

43 64

a0 = 1

40 = 1

= =

==

1

1

a a

2 2

n −n

3 3

m m

4 4

√an

√23

m

√anm

√a434

1 = 2.7182818…n!n = 0

∞

= 2 + 11 + 1

2 + 11 + 1

1 + 14 + 1 …

e

Múltiplos de 10Prefijo Símbolo Potencia de 10 Equivalente Nombrado comoDeca D 101 10 Diez

Hecta H 102 100 Cien

Kilo K 103 1.000 Mil

Mega M 106 1'000.000 Millón

Giga G 109 1'000.000.000 Billón

Tera T 1012 1'000.000.000.000 Trillón

Peta P 1015 1'000.000.000.000.000 Cuatrillón

Exa E 1018 1'000.000.000.000.000.000 Quintillón

Submúltiplos de 10Prefijo Símbolo Potencia de 10 Equivalente Nombrado comodeci d 10−1 0.1 décimo

centi c 10−2 0.01 centésimo

mili m 10−3 0.001 millésimo

micro μ 10−6 0.000001 millonésimo

nano n 10−9 0.000000001 billonésimo

pico p 10−12 0.000000000001 trillonésimo

femto f 10−15 0.000000000000001 cuatrillonésimo

atto a 10−18 0.000000000000000001 quintillonésimo

zepto z 10−21 0.0000000000000000000001 sextillonésimo

yocto y 10−24 0.000000000000000000000001 septillonésimo

Clases especiales de potencias

Potencia en base natural o base a

Se caracterizan por tener como base el número e

(Euler). El exponente puede ser positivo o negativo.

Potencia en base 10Estas potencias se caracte-rizan por tener como base

el número 10. Su exponente puede ser negativo o

positivo.

Gráfica 145. Resumen clases especiales de potencias.Fuente. Sandra Patricia Narváez

245


RADICacion

Raíz con índice impar

La cantidad subradical positiva o negativa

En ambos casos se encuentra defi-nido entre los números reales.

a5 = b

25 = 32

(–a)5 = b

(–2)5 = –32

√b = a

√a = b

√32 = 2

√32 = 5

√–b = –a

√–a = –b

√–32 = –2

√–32 = –5

5

5

5

5

5

5

5

5

Raíz con índice par

La cantidad subradical positiva

Se encuentra definida entre los números reales R

La cantidad subradical negativa

No se encuentra definido entre los números reales. Pertene a los números imaginarios.

a2 = b

32 = 9

(±a)2 = b

(±3)2 = 9

√b = ±a

√b = ±a

√9 = ±3

√9 = ±3

(–a)2 = b

(–3)2 = 9

√–b = √(–1)b = √b √(–1) = √b i

√–9 = √(–1)9 = √9 √(–1) = √9 i = 3 i

Clases de raíces

Gráfica 146. Resumen característica de raíz indice par e impar.Fuente. Sandra Patricia Narváez

246{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICAS BÁSICAS APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL

Gráfica 147. Resumen propiedades de la radicaciónFuente. Sandra Patricia Narváez

Propiedades de la radicación

Raíz expresada como una potencia

El radical se expresa como una potencia, donde el exponente

es una fracción.

Raíz de ceroCuando la cantidad subradical

es cero, se obtiene como resultado, cero.

Potencia de una raízEquivale a la cantidad subradi-cal elevada al exponente dado

Raíz de 1Cuando la cantidad subra-dical es 1, se obtiene como resultado, 1 si el índice es

impar. Si el índice es par, se obtiene ±1.

Raíz de una raízEquivale a la cantidad

subradical elevada la multi-plicación de los índices de

las raices

Raíz de un producto con un mismo índice

Es equivalente a la multipli-cación de los factores que hacen parte de la cantidad

subradical.

Raíz de un cociente o fracción

Cuando la cantidad subradical es una fracción, es equivalente a la división

entre la raíz del numerador y la raíz del denominador.

Multiplicación de dos radicales con diferente

índice y la misma canti-dad subradical

Se opera como dos potencias que tienen la misma base y

diferente exponente, es decir, sumando los exponentes y

dejando la misma base.

√a = b

√a = bn 5

√9 = ±3

√32 = 2

a = b

a = b

9 = ±3

32 = 2

( √a )n = a = √an

( √2 )4 = 2 = √24 = √16

m

3

m

3 3

√a

√5

√a

√5

√a

√5

=

=

=

=

n

3

m

4

mn

12

m

4

n

3

√a x √a = a = an mn m1 1

n · mn + m

√4 x √2 = 2 = 2 = 24 3 4 3 121 1 7

124 + 3

a8

a4

b7

b9

==

==

√a√8

√a√4

√b√7

√b√9

33

3333

√a · √b · √c = √a · b · c

√2 · √3 · √5 = √2 · 3 · 5 = √30

√2 · √3 · √4 = √2 · 3 · 4 = √245 5 5 5 5

√1 = ±1

√1 = 1 √1 = 15 5

√0 = 0

√0 = 05

Logaritmacion


loge 6 = In 6 = 1,79

log2 8 = Ib 8 = 2

log3 9 = 2

log10 100 = log 100 = 2

Tipos de logaritmos

Logaritmo decimal o vulgar

Son los que tiene como base el número 10

Logaritmo natural o neperiano

Son los que tiene como base el número Euler e

Logaritmo binarioSon los que tiene como

base el número 2

Logaritmo en base aEs cuando la base es

un número

Gráfica 148. Resumen tipos de logaritmos Fuente. Sandra Patricia Narváez

Gráfica 149. Resumen propiedades de los logaritmos.Fuente. Sandra Patricia Narváez

Propiedades de los logaritmos

Logaritmo de ceroNo se encuentra definido el logaritmo en cualquier base

de cero

Logaritmo de unoEn cualquier base, el logarit-

mo de uno es igual a cero.

Logaritmo de una potencia

Equivale al exponente mul-tiplicado por el logaritmo de

la base.

Logaritmo de un producto

Es equivalente a suma del logaritmo de los factores que

hacen parte del producto.

Logaritmo de un cociente o fracción

Es equivalente al logaritmo del numerador menos el

logaritmo del denominador.

Logaritmo de un radicalEquivale al logaritmo del número dividido por el subíndice del radical.

Igualdad de logaritmosSi dos logaritmos de igual

base son iguales, sus logari-mandos son iguales.

Logaritmo de la misma base

En cualquier base, el logarit-mo de dicha base es uno.

Transformación de logaritmos

Para transformar un logarit-mo de una base a otra, se

aplica la fórmula, denomina-da cambio de base

loga 0 = ∄

loga 1 = 0

loga √x =n loga xn

loga a = 1


loga x = loga y x = y

loga (x·y) = Loga x + Loga y


loga xy = yloga x

251


TErminos algebraicos

Tipos de expresiones algebraicas

MonomioCuando solo contiene un

término algebraico.

Polinomio de grado ceroEl mayor exponente de la

variable es 0.

BinomioSe caracterizan por tener dos términos algebraicos.

Polinomio de primer gradoEl mayor exponente de la

variable es uno.

TrinomioEstá conformado por 3 términos algebraicos.

Polinomio de segundo grado

El mayor exponente de la variable es dos.

Polinomio de tercer grado

El mayor exponente de la variable es tres.

Polinomio de cuarto grado

El mayor exponente de la variable es 4.

Según el número de términos algebraicos

–5x + 6y2 – z3

–5x

6y2 – z3

Polinomios según su grado

–5x0

2x + 3

–4x2 + 2x –3

7x3 + 2x2 – 1

–x4 – x2 – 2

Gráfica 150. Resumen tipo de expresiones algebraicas.Fuente. Sandra Patricia Narváez

MATEMaTICA basica · 2021. 3. 12. · 3.6. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 3...

Documents

Transcript of MATEMaTICA basica · 2021. 3. 12. · 3.6. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 3...