Maria Pia FANTI Dipartimento di Elettrotecnica ed Elettronica Modelling by Petri nets Polytechnic of...

Maria Pia FANTI

Dipartimento di Elettrotecnica ed Elettronica

Modelling by Petri netsModelling by Petri nets

Polytechnic of Bari, ITALY

OutlineOutline

What are Petri Nets?

Definitions and basic concepts

Modelling with Petri Nets: main structures

High level Petri nets and Timed Petri nets

Conclusions

Petri NetsPetri Nets (PN) offer advantages because of their twofold representation: graphical and mathematical.

It is a graphical and mathematical tool for the formal description of the logical interactions and the dynamics of complex systems.

PN are particularly suited to model: Concurrency; Conflict; Sequencing; Synchronization; Sharing of limited resources;Mutual exclusion.

Petri NetsPetri Nets (PN) originated from the Phd thesis of Carl Adam Petri in 1962.

A web service on PN is managed at the University of Aarhus in Denmark, where a bibliography with more that 8,500 items can be found.

http://www.daimi.au.dk/PetriNets/

The main International Conference:

ATPN - Application and Theory of PN

Other conferences:

Int. IFAC conference, IEEE SMC conference, IEEE CASE, WODES, etc.




Main references about definitions and properties of ordinary Petri nets

Murata T., (1989), “Petri nets: properties, analysis and applications”, IEEE Proceedings, Vol. 77, no. 4, 541-580.

Peterson, J.L., (1981), Petri Net Theory and the Modeling of Systems, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, USA.

DefinitionsDefinitions

A Petri net is a bipartite directed graph consisting of two kinds of nodes: places and transitions

– Places typically represent conditions within the system being modeled. They are represented by circles.

– Transitions represent events occurring in the system that may cause change in the condition of the system. They are represented by bars.

– Arcs connect places to transitions and transitions to places (never an arc from a place to a place or from a transition to a transition).


Input arcs are directed arcs drawn from places to transitions, representing the conditions that need to be satisfied for the event to be activated

Output arcs are directed arcs drawn from transitions to places, representing the conditions resulting from the occurrence of the event


Input places of a transition are the set of places that are connected to the transition through input arcs

Output places of a transition are the set of places to which output arcs arrive from the transition

Example of a PNExample of a PN

p1 – resource idle

p2 – resource busy

t1 – task arrives

t2 – task completes

p1

t2

p2

t1t1

DefinitionsDefinitionsMore formally, a Petri net is described by the four-tuple PN=(P, T, Pre, Post) where:P P is the set of places and |P|=m

T is the set of transitions and |T|=n

Pre: P×TN is the pre incidence matrix, that specifies the arcs directed from places to transitionsPost: P×TN is the post incidence matrix, that specifies the arcs directed from transitions to places

Example of Petri netExample of Petri net

Incidence MatrixIncidence Matrix

Tokens are dots (or integers) associated with places; a place containing tokens indicates that the corresponding condition holdsMarking is a function M: PN that associates to each place a non negative number. It is a vector listing the number of tokens in each place of the net

PN DefinitionsPN Definitions

M0 is the initial marking

A net system <PN, M0 > is a dynamical system

PN DefinitionsPN Definitions

When input places of a transition have the required number of tokens, the transition is enabled.

An enabled transition may fire (event happens) removing one or more tokens from each input place and depositing one or more tokens in each of its output place.

PN dynamicsPN dynamics

2

p1p1

p1

p2

p2

t1

t1

3

3

2

Example of a PNExample of a PN

p1 – resource idle

p2 – resource busy p3 – user

t1 – task starts

t2 – task completes

p1

t2

p2

t1p3

Transition t2 is enabled at M0 because M0 Pre(.,t2).An enabled transition may fire (event happens) removing one token from each input place and depositing one token in each of its output place.

Enabling conditionEnabling condition

Firing

Firing

Introducing the firing vector

0

1

0

0

0

u

It holds: M=M0+ C u

SequenceSequence

Modelling by Petri nets: main structuresModelling by Petri nets: main structures

Concurrency (or Parallelism)Concurrency (or Parallelism)

Choice (non determinism)Choice (non determinism)


SynchronizationSynchronization


Limited ResourcesLimited Resources


Transmitter/receiver processTransmitter/receiver process

Modelling by Petri netsModelling by Petri nets

Mutual exclusion or choiceMutual exclusion or choice


Insiemi di postit={pP Pre(p,t)>0} è l’insieme dei posti in ingresso a tt={pP Post(p,t)>0}è l’insieme dei posti in uscita da t

Insiemi di transizionip={tT Post(p,t)>0} è l’insieme delle transizioni in ingresso a pp={tT Pre(p,t)>0}è l’insieme dei delle transizioni in uscita da p

Alcune definizioniAlcune definizioni

A marking M’ is reachable from M if there exists a firing sequence s=t1t2..tn starting from M that results in the new marking M’

Hence: M’=M+Cu where u is the firing vector associated to s.

The reachability set of a PN system <PN,M0> is the set of all markings that are reachable from its initial marking

Reachability Analysis

Reachability AnalysisReachability Analysis

A reachability graph is a directed graph whose nodes are the markings in the reachability set, with directed arcs between the markings representing the marking-to-marking transitions

The directed arcs are labeled with the corresponding transition whose firing results in a change of the marking from the original marking to the new marking

7ab15e

Reachability AnalysisReachability Analysis

If the reachability set is infinite then the nodes of the reachability graph are infinite in number: it is necessary to build a coverability graph.

Several analysis are based on the reachability graph: behavioral analysis.

By properly identifying the frontier nodes, the generation of the reachability graph involves a finite number of steps, even if the PN is unbounded. Three type of frontier nodes: terminal (dead) nodes: no transition is enabled; duplicate nodes: already generated; infinitely reproducible nodes.

Reachability graphReachability graph

Structural properties Structural properties

The structural properties are the properties that depend on the structure of the net and on the initial marking.

Reachability

Bundness

Liveness

Conservativeness

Deadlock

Analysis may be based on the rechability graph or on the state equation

Posto k-limitatoUn posto di una rete di Petri (PN) si dice k-limitato se in tutte le marcature raggiungibili dalla rete il numero di token presenti nel posto non supera mai un valore prefissato k.

Rete k-limitata e limitataUna rete si dice k-limitata se tutti i posti sono k-limitati. Una rete si dice limitata se è limitata per qualche k finito.Una rete 1-limitata si dice sana o binaria.

Proprietà comportamentali (I)Sono quelle proprietà che dipendono dalla struttura della rete e dalla marcatura iniziale

RaggiungibilitàProblema della raggiungibilità: data una rete marcata <N,M0>, è possibile raggiungere M da M0?

Limitatezza

Una rete marcata <N,M0> è limitata se e solo se ha un insiemedi raggiungibilità finito.

Proprietà comportamentali (II)

Reversibilità:Una rete di Petri con marcatura iniziale M0 è detta reversibile seper ogni marcatura M raggiungibile da M0, M0 è raggiungibile daM.

Conservatività strettaUna rete marcata è strettamente conservativa se per ogni marcaturaraggiungibile MR(N,M0) il nr. di gettoni che la rete contiene non varia:

pP M(p)= pPM0 (p)

ConservativitàUna rete marcata è conservativa se esiste un vettore di interi positivi x tale per ogni marcatura raggiungibile M R(N,M0) vale:

xTM=xTM0

Cioè il numero di gettoni pesato con x non varia.

Se una rete marcata è conservativa allora essa è limitata.

Proprietà comportamentali (III)

VIVEZZA

Transizione quasi vivaUna transizione t è quasi viva se e solo se esiste almeno una marcatura MR(N,M0) tale che t è abilitata in M.

Transizione vivaUna transizione t è viva se e solo se per ogni MR(N,M0)esiste M’ raggiungibile da M tale che t è abilitata in M’.

Transizione mortaUna transizione t è morta se e solo se non esiste MR(N,M0) tale che t è abilitata in M.

Proprietà comportamentali (IV)

VIVEZZA

Rete mortaUna rete R(N,M0) è morta se ogni t è morta.

Rete quasi vivaUna rete R(N,M0) è quasi viva se e solo se tutte le transizioni sono quasi vive

Rete vivaUna rete R(N,M0) è viva se tutte le transizioni sono vive.

Rete bloccanteUna rete R(N,M0) è bloccante se esiste una transizioneraggiungibile morta (in cui nessuna transizione è abilitata).

Proprietà comportamentali (V)

Si vogliono caratterizzare le situazioni in cui sequenze di transizioniportano ad incrementare alcune componenti della marcatura.

Si considera allora un nuovo vettore con il simbolo che si puòpensare come un simbolo di infinito.

Si dice una -marcatura di una rete un vettore M in cui una o piùcomponenti può assumere il valore .Per determinare se t è abilitata da una -marcatura M>Pre(.,t) si deve tener conto che per ogni n N vale >n e ±n=.

Perdendo alcune informazioni sulla raggiungibilità, si costruisce il grafo di copertura.

Il grafo di coperturaIl grafo di copertura

Grafo di copertura

1-Si parta dalla marcatura iniziale M0

2-Si consideri una marcatura M senza etichetta 2.1 - per ogni t abilitata da M

- si calcoli M’ raggiunta da M scattando t- si consideri il cammino che parte dal nodo radice e arriva a M’, se questo cammino ha un nodo M*<M’ allorasi sostituisca ad M’ il nodo M’ il vettore ottenuto da M’ in cui tutte le componenti strettamente maggiori delle componenti di M’ si sostituiscono con il simbolo

- si aggiunga un arco t tra M e M’- se esiste già un nodo M’ nel grafo si elimini il nuovo nodo e si aggiunga l’arco tra M e M’ già esistente 2.2 -si etichetti come vecchio il nodo M e si torni a 2

Grafo di coperturaGrafo di copertura:: alcune proprietàalcune proprietà

Data una marcatura Data una marcatura MM si dice che è si dice che è -coperta -coperta da da MM se se MM(p)=(p)=MM(p) per ogni p tale che (p) per ogni p tale che MM(p)(p)tale relazione si indica con tale relazione si indica con MMMM..MM è raggiungibile è raggiungibile allora esiste nel grafo allora esiste nel grafo MM che copre che copre MM..MM è raggiungibile se è raggiungibile se MM è un nodo del grafo. è un nodo del grafo.SeSe M MR(N,MR(N,M00)) esiste nel grafo un cammino esiste nel grafo un cammino orientato da Morientato da M00 ad M ad M, con M coperta da M, con M coperta da M..MMR(N,MR(N,M00)) solo se esiste nel grafo un cammino solo se esiste nel grafo un cammino orientato da orientato da MM00 ad ad MM..

Una rete marcata <N,M0> è limitata se e solo se ha un insiemedi raggiungibilità finito.

Si consideri la rete marcata <N,M0> ed il suo grafo di copertura: un posto p è k-limitato se e solo se per ogni M0 vale M(p)<k.

La rete marcata è limitata se e solo se nessun nodo del grafo contiene il simbolo (il grafo di copertura è un grafo di raggiungibilità).

Proprietà comportamentali con il grafo di copertura

P-invarianteSi dice P-invariante di una PN un vettore colonna x di m elementi non negativi tale che xTC=0.

Tale equazione può avere infinite soluzioni: se x è un P-invariante anche kx è un P-invariante

Il supporto di un P-invariante x è l’insieme dei posti corrispondenti agli elementi non-nulli di x.

Analisi basata sulla matrice di incidenza (I)

P-invariante a supporto minimoUn P-invariante è a supporto minimo se il suo supporto non contiene quello di nessun altro P-invariante della rete.

Proprietà strutturali (I)Sono quelle proprietà che dipendono dalla struttura della rete

Rete coperta da P-invariantiUna rete si dice coperta da p-invarianti se ogni posto della reteappartiene al supporto di almeno un p-invariante.

N è strutturalmente strettamente conservativa se il vettore 1 è un p-invariante.

N è strutturalmente conservativa se esiste un vettore p-invariante x il cui supporto contenga tutti i posti.

T-invarianteSi dice T-invariante di una rete un vettore colonna y di dimensione n soluzione della seguente equazioneCy=0ovvero M=M0+Cy=M0

Un T-invariante indica che se fosse possibile fare scattare ognitransizione del supporto di y, tante volte quante indicate da y, la rete tornerebbe alla marcatura iniziale.

Analisi basata sulla matrice di incidenza (I)

Sia <N, M0> una PN e sia X=x1 x2…xk la matrice formata dalle colonne dei p-invarianti xi per i=1,…,k.

L’insieme X-invariante di <N, M0> èIX(N,M0)={Mm | XT M=XT M0 Ovvero l’insieme dei vettori M tali che xi

T M=xiT M0 per

ogni xi

Vale:R(N,M0)PR(N,M0) IX(N,M0)

Insieme potenzialmente raggiungibile di <N, M0>

PR(N,M0)={Mm | yn : M=M0+Cy Ovvero l’insieme dei vettori M per cui esiste y che soddisfa l’equazione di statoVale:R(N,M0)PR(N,M0)

ANALISI MEDIANTE EQUAZIONE DI STATO

L’insieme PR(N,M0) può aiutare a verificare la raggiungibilitàdi una marcatura. Ad esempio se l’equazione M=M0+Cy non ammette soluzione allora M non è raggiungibile.

Insieme di raggiungibilità di <N, M0>

R(N,M0)={Mm | T* : M0[>M Ovvero l’insieme delle marcature che possono essere raggiunte dalla marcatura iniziale.

Classi di reti di Petri Classi di reti di Petri

Una PN è detta:Una PN è detta:

Ordinaria se ogni arco ha molteplicità unitaria cioè Pre(p,t)=0 o =1 e Post(p,t)=0 o =1 .

Pura se per ogni posto p e t vale Pre(p,t)Post(p,t)=0, cioè se la rete non contiene alcun cappio.

Ristretta se è pura e ordinaria.

Una macchina di stato è una rete ordinaria in cui ogni transizione ha esattamente un arco in ingresso ed un arco in uscita.

Un grafo marcato è una rete ordinaria in cui ogni posto ha esattamente un arco in ingresso ed uno in uscita.

For performance and dependability analysis it is necessary to introduce the duration of the events associated with PN transitions.

The structures to extend the PN by time are different.

Delay times can be associated with places, transitions or arcs.

Typically time is associated with timed transitions.

Powerful modeling tools: Timed Petri Nets (TPN)Powerful modeling tools: Timed Petri Nets (TPN)

Firing in 3 phases: 1- tokens are removed from the input places, 2- the delay time associated with the transition elapses, 3- tokens are deposed in the output place.

Firing in one phase: tokens arrive in the input place, enable the transition and stay in the place for the delay time associated with the transition. If at the end of the delay time the transition is enabled, then the transition fires.

In this case conflicts are solved.

Powerful modeling tools: Timed Petri Nets (TPN)

Immediate transition : transition fires as soon as it is enabled, the associated delay time is equal to zero.

Deterministic timed transitions: the delay associated with the transition is deterministic and usually constant (black box).

Stochastic timed transition : a stochastic variable is associated to the delay with a known distribution function (white box)

If has exponential distribution f()=e-, then the average delay time is 1/.

Classification of timed transitions

Infinite server: each transition represents a server that can perform infinite parallel operations.

Single server: each transition represents a server that can perform only one operation at a time.

Server semantic

Multiple server: each transition represents a server that can perform k operations at a time.

Total memory: transition remembers that it has been previously enabled.

Abilitation memory: transition remembers just the actual enabling

Transition memory

t1

t2 t3

example

Una transizione ti è abilitata da Mj se per ogni pP si ha MjPre(.,ti).

Il grado di abilitazione ai(j) di ti abilitata da Mj è il più grande numero intero k tale che Mj kPre(.,ti).

Evoluzione dinamica

Detto oi il più piccolo degli orologi associati a ti, esso rappresenta il tempo che deve passare a partire dall’istante attuale, prima del prossimo scatto di ti, se ti non viene disabilitata prima che trascorra il tempo oi.

Ad ogni transizione ti sono associati, all’istante j, ai(j) orologi, ogni orologio viene inizializzato ogni volta che la transizione viene abilitata, ai valori indicati dalla temporizzazione.

All’istante j la TPN abbia la marcatura Mj e per ogni ti siano noti i valori minimi oi degli orologi associati.

•Determinare o*=mini[oi] sia t* la transizione corrispondente

•Il tempo avanza j+1=j+o*

•la nuova marcatura è Mj+1=Mj+C(.,t*)

•Gli orologi vengono aggiornati:

•Se ai(j+1)< ai(j) allora sono scartati gli ai(j)-ai(j+1) orologi con i valori più alti, gli altri sono diminuiti di o*

•Se ai(j+1)>ai(j) allora ai(j+1)-ai(j) orologi vengono aggiunti a ti, gli altri sono diminuiti di o*.

Evoluzione dinamica: serventi infiniti, memoria di abilitazione

Le strutture di temporizzazione per estendere le reti di Petri sono molte: i tempi di ritardo possono essere associati a posti, transizioni o archi.

Caso più frequente: temporizzazione associata alle transizioni.

Scatto in 3 fasi: 1-le marche sono prelevate dal posto di ingresso, 2- trascorre il tempo associato alla transizione, 3-le marche sono depositate nel posto di uscita.

Scatto atomico: le marche arrivano nel posto di ingresso, abilitano la transizione e vi rimangono il tempo di ritardo associato alla transizione. Se al termine del ritardo la’abilitazione sussiste la transizione scatta.

Soluzione semplice dei conflitti.

Reti di Petri temporizzate: TPN

Transizione immediata: scatta appena è abilitata, ad essa è associato ritardo nullo.

Transizione deterministica: ad essa è associato un ritardo deterministico di solito costante.

Transizione stocastica: al ritardo è associata una variabile aleatoria con funzione di distribuzione di probabilità nota.

Se ha distribuzione esponenziale f()=e- il tempo medio di ritardo è pari a 1/.

Classifica delle transizioni temporizzate

Una transizione ti è abilitata da Mj se per ogni pP si ha MjPre(.,ti).

Il grado di abilitazione ai(j) di ti abilitata da Mj è il più grande numero intero k tale che Mj kPre(.,ti).

Evoluzione dinamica

Detto oi il più piccolo degli orologi associati a ti, esso rappresenta il tempo che deve passare a partire dall’istante attuale, prima del prossimo scatto di ti, se ti non viene disabilitata prima che trascorra il tempo oi.

Ad ogni transizione ti sono associati, all’istante j, ai(j) orologi, ogni orologio viene inizializzato ogni volta che la transizione viene abilitata ai valori indicati dalla temporizzazione.

All’istante j la TPN abbia la marcatura Mj e per ogni ti siano noti i valori minimi oi degli orologi associati.

•Determinare o*=mini[oi] sia t* la transizione corrispondente

•Il tempo avanza j+1=j+o*

•la nuova marcatura è Mj+1=Mj+C(.,t*)

•Gli orologi vengono aggiornati:

•Se ai(j+1)< ai(j) allora sono scartati gli ai(j)-ai(j+1) orologi con i valori più alti, gli altri sono diminuiti di o*

•Se ai(j+1)>ai(j) allora ai(j+1)-ai(j) orologi vengono aggiunti a ti, gli altri sono diminuiti di o*.

Evoluzione dinamica: serventi infiniti, memoria di abilitazione

Grafo Marcato temporizzato (GMT)Grafo Marcato temporizzato (GMT)

Un Un grafo marcato temporizzatografo marcato temporizzato è una rete ordinaria in è una rete ordinaria in cui ogni posto ha esattamente un arco in ingresso ed uno in cui ogni posto ha esattamente un arco in ingresso ed uno in uscita.uscita.

Un Un grafo marcato temporizzato fortemente connesso grafo marcato temporizzato fortemente connesso (GMTFC) è un GMT con le seguenti proprietà:(GMTFC) è un GMT con le seguenti proprietà:La rete è fortemente connessa, ovvero esiste un cammino La rete è fortemente connessa, ovvero esiste un cammino orientato da un qualunque nodo ad ogni altro nodo, quindi orientato da un qualunque nodo ad ogni altro nodo, quindi ogni posto ed ogni transizione appartengono ad un ciclo ogni posto ed ogni transizione appartengono ad un ciclo orientato.orientato.La struttura di temporizzazione se deterministica è La struttura di temporizzazione se deterministica è costituita da sequenze di ritardi costanti.costituita da sequenze di ritardi costanti.

Analisi delle prestazioniAnalisi delle prestazioni

Un modello utilizzato per la determinazione delle prestazioni è il GMT ed il Un modello utilizzato per la determinazione delle prestazioni è il GMT ed il GMTFC. In un GMT il numero di marche in ogni ciclo rimane costante per GMTFC. In un GMT il numero di marche in ogni ciclo rimane costante per ogni sequenza di scatto.ogni sequenza di scatto.

Tempo di ciclo:Tempo di ciclo: Il tempo di ciclo di una transizione C(ti) di una transizione Il tempo di ciclo di una transizione C(ti) di una transizione ti di una GMT è definito sulla base del suo k.mo tempo di scatto ti di una GMT è definito sulla base del suo k.mo tempo di scatto ikik

C(tC(tii)=lim)=limkk→∞→∞ ikik/k/k

In una GMT tutte le transizioni appartenenti ad un ciclo In una GMT tutte le transizioni appartenenti ad un ciclo jj hanno il hanno il

medesimo tempo di ciclo Cmedesimo tempo di ciclo C, definito come il rapporto tra la somma dei , definito come il rapporto tra la somma dei tempi di ritardo delle transizioni che formano tempi di ritardo delle transizioni che formano jj e il numero delle marche e il numero delle marche

che circolano in esso, ossia: Cche circolano in esso, ossia: Cjj=somma dei ritardi associati alle transizioni/ =somma dei ritardi associati alle transizioni/

somma delle marcature dei posti del ciclosomma delle marcature dei posti del ciclo

In una GMTFC in condizioni stazionarie tutte le transizioni hanno lo stesso In una GMTFC in condizioni stazionarie tutte le transizioni hanno lo stesso tempo di ciclo dato da tempo di ciclo dato da

C=max CC=max Cj, j, Che identifica il massimo fra I tempi di ciclo di tutti I cicli Che identifica il massimo fra I tempi di ciclo di tutti I cicli

elementari della GMTFC, ovvero tutte le transizioni hanno a regime elementari della GMTFC, ovvero tutte le transizioni hanno a regime frequenza di scatto frequenza di scatto =1/C=1/C

Main advantage of the Petri net modeling: Main advantage of the Petri net modeling: linear algebraic structurelinear algebraic structure

While the state of a DES is non numerical the state of a Petri net is a vectorThe model of an machine that may fails:

Main advantage of the Petri net modeling: Main advantage of the Petri net modeling: linear algebraic structurelinear algebraic structure

We can express qualitative specification numerically:the two machines can not work simultaneously

M(p2)+M(p5)1

Powerful modeling tools:Powerful modeling tools:

High Level (colored) Petri NetsHigh Level (colored) Petri Nets

In standard PN tokens are indistinguishable entities.

The semantics of the model does not allow to follow the behavior of an individual token through the PN.

High Level PN overcome this limitation by assigning to each individual token an attribute (color).

Places, arcs and transitions can have functions and guards depending on the colors.

For performance and dependability analysis it is necessary to introduce the duration of the events associated to PN transitions.

Hence Petri nets are extended by associating time with the firing of transitions, resulting in timed Petri nets.

Deterministic timed transitions are typically represented by black boxes

Powerful modeling tools:Powerful modeling tools:timed Petri Netstimed Petri Nets

t1 t2

2 s

A special case of timed Petri nets are stochastic Petri nets where the firing times are considered random variables.A special case of stochastic Petri net (SPN) is where the firing times are exponentially distributed.The marking process is mapped into a continuous time Markov chain with state space isomorphic to the reachability graph of the PN.Stochastic timed transitions are represented by boxes

Stochastic Petri Nets (SPN)Stochastic Petri Nets (SPN)

The Continuous and Hybrid Petri Net ModelsThe Continuous and Hybrid Petri Net Models

Hybrid Petri nets are an extension of PN able to model the coexistence of discrete and continuous variables.

Main advantages: increasing computational efficiency for simulation, reducing the dimension of the state space, defining optimization problems of polynomial complexity

Places, transitions and arcs are partitioned in two groups:

discrete places and transitions handing discrete tokens (as in standard PN);

continuous places and transitions handling continuous quantities.

Hybrid Petri NetsHybrid Petri Netstap

Main referencesMain referencesAjmone Marsan, G. Balbo, G. Conte, S. Donatelli, G.Franceschini, Modeling with Generalized Stochastic Petri Nets. J. Wiley & sons, Great Britain, 1996.

K. Jensen, K. Jensen, Colored Petri nets:Colored Petri nets: basic concepts, analysis methods and basic concepts, analysis methods and practical use.practical use. Vol. 1, New York Springer, 1992, Vol. 2, New York Springer, Vol. 1, New York Springer, 1992, Vol. 2, New York Springer, 19951995..

Balduzzi, F., Giua, A., Menga, G., 2000. Balduzzi, F., Giua, A., Menga, G., 2000. Modelling and Control with Modelling and Control with First First Order Hybrid Petri NetsOrder Hybrid Petri Nets. . IEEE Transactions on Robotics and AutomationIEEE Transactions on Robotics and Automation, , vol. 4, no. 16, 382-399.vol. 4, no. 16, 382-399.

H. Alla and R. David, “H. Alla and R. David, “Continuous and hybrid Petri netsContinuous and hybrid Petri nets”, ”, Journal of Journal of Circuits, Systems and ComputersCircuits, Systems and Computers, vol. 8, no. 1, pp. 159-188, 1998., vol. 8, no. 1, pp. 159-188, 1998.

Silva, M., Recalde, L., 2004. On the Silva, M., Recalde, L., 2004. On the Fluidification of Petri NetsFluidification of Petri Nets: from : from Discrete to Hybrid and Continuous Models. Discrete to Hybrid and Continuous Models. Annual Reviews in ControlAnnual Reviews in Control, , vol. 28, no. 2, 253-266.vol. 28, no. 2, 253-266.

Maria Pia FANTI Dipartimento di Elettrotecnica ed Elettronica Modelling by Petri nets Polytechnic of...

Documents

Transcript of Maria Pia FANTI Dipartimento di Elettrotecnica ed Elettronica Modelling by Petri nets Polytechnic of...