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Esercizi e appendiciper il corso di Idraulica Ambientale

Marco Toffolon, Gianluca Vignoli

Bozza 7 ottobre 2005

Facolta di Ingegneria

Universita degli Studi di Trento

2

Questo volumetto completa le dispense del corso di Idraulica Ambientale fornen-do una panoramica di alcune possibili applicazioni delle soluzioni teoriche trovate.Gli esercizi riprendono in parte quelli proposti dal prof. Marco Tubino nel corso diIdraulica Ambientale all’Universita degli Studi di Trento. Si e scelto di suddivideregli esercizi a seconda del meccanismo dominante; tuttavia la stretta interrelazionetra i singoli processi, caratterizzabili come fasi di un unico processo di mescolamento,non deve mai essere dimenticata.

Sono state preparate inoltre delle appendici relative ad alcuni temi che vengonoaffrontati durante il corso. La loro connotazione predominante come strumenti dianalisi, piuttosto che come argomenti specifici della materia, ha suggerito l’oppor-tunita di una trattazione separata rispetto agli aspetti teorici discussi nei primivolumi delle dispense.

Trattandosi della prima edizione di questo volume di esercizi, e probabile cheerrori, sviste e argomentazioni poco chiare siano presenti nel testo. I lettori sonoquindi pregati di segnalare agli autori tutte le modifiche che ritengano utili permigliorarne la qualita.

Un vivo ringraziamento va a Gianluca Antonacci e a Luca Zanoni per il lorocontributo alla realizzazione e alla correzione di questo testo.

Trento, 23 gennaio 2004

Le pagine che seguono includono rilevanti aggiunte al volume di esercizi (Bozza23/1/2004). L’integrazione di questa parte con quella esistente e stata occasioneper una parziale correzione di errori e sviste; in ogni caso i lettori sono pregati disegnalare altre imperfezioni agli autori.

Nota per la stampa: a seconda della stampante utilizzata, alcune parentesi po-trebbero non essere visibili. Si consiglia di utilizzare un driver PS.

Trento, 7 ottobre 2005

Marco Toffolone-mail: [email protected]

tel.: +39 0461 88 2480

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Gianluca Vignolie-mail: [email protected]

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Dipartimento di Ingegneria Civile e AmbientaleUniversita degli Studi di Trentovia Mesiano 7738050 TrentoItaliafax: +39 0461 88 2672

BOZZA - 7 ottobre 2005

Indice

IV Esercizi 7

1 Diffusione molecolare 91.1 Concentrazione 1D, 2D e 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Diffusione 1D confinata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Numero di sorgenti immagine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Diffusione in due direzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Coefficiente di diffusione e massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5 Concentrazioni fissate agli estremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6 Diffusione in un moto a pistone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.7 Diffusione traversale tra due correnti parallele . . . . . . . . . . . . . 191.8 Diffusione traversale alla confluenza tra due correnti . . . . . . . . . 211.9 Punto sorgente in un fluido in movimento . . . . . . . . . . . . . . . 221.10 Diffusore di lunghezza finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.11 Scarico puntuale in acqua bassa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Coefficiente di dispersione 292.1 Dispersione longitudinale nel campo intermedio . . . . . . . . . . . . 292.2 Profili verticali di velocita in moto uniforme . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.1 Moto laminare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.2 Moto turbolento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3 Dispersione trasversale nel campo intermedio . . . . . . . . . . . . . 342.4 Dispersione nel campo lontano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4.1 Procedura numerica per il calcolo di K . . . . . . . . . . . . . 36

3 Getti e pennacchi 373.1 Getto assialsimmetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Pennacchio assialsimmetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3 Getto galleggiante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4 Scarico in atmosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4.1 Formule di Briggs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4 Campo vicino 474.1 Diffusore trasversale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2 Scarico puntuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3 Sorgente puntuale non stazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.4 Diffusione di uno strato di sedimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.4.1 Il caso di un soluto non pesante . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5 Stratificazione verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.6 Scarico a densita diversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3

4 INDICE

5 Campo intermedio 655.1 Sorgente puntuale stazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2 Scarico puntuale in sponda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.3 Sorgente puntuale o diffusore? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.4 Diffusore di lunghezza finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.5 Strato di mescolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.6 Portata cumulata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.7 Alveo con golene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.7.1 Calcolo con i valori mediati sulla sezione . . . . . . . . . . . . 775.7.2 Calcolo con i valori locali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.8 Scarico caldo in sponda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6 Campo lontano 856.1 Scarico puntuale accidentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.1.1 Origine virtuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.1.2 Metodo della nuvola congelata . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.2 Calcolo della portata mediante misure di conduttivita . . . . . . . . 906.2.1 Stima del massimo di concentrazione da misure di campo . . 91

7 Soluti reattivi 937.1 Scarichi stazionari successivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.1.1 Soluzione stazionaria semplificata . . . . . . . . . . . . . . . . 947.1.2 Effetto di scarichi successivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.2 Posizione del minimo dell’ossigeno disciolto . . . . . . . . . . . . . . 987.2.1 Assenza del minimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

V Appendici 101

A Soluzioni: una sintesi 103A.1 Soluzioni nelle diverse fasi di mescolamento . . . . . . . . . . . . . . 103

A.1.1 Scarico istantaneo M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103A.1.2 Scarico costante M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

A.2 Soluzioni grafiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107A.3 La funzione errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

B Analisi dimensionale 113B.1 Teorema di Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

B.1.1 Un esempio nell’ambito dell’idraulica . . . . . . . . . . . . . . 114B.1.2 Un’applicazione: mescolamento in ambiente stratificato . . . 116

B.2 Similarita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118B.2.1 Soluzioni autosimilari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

C Metodi numerici 121C.1 Classificazione delle equazioni differenziali . . . . . . . . . . . . . . . 121C.2 Alcune caratteristiche generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123C.3 Metodi numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

C.3.1 Approssimazioni alle differenze finite . . . . . . . . . . . . . . 125C.3.2 Convergenza della soluzione numerica . . . . . . . . . . . . . 126

C.3.2.1 Alcune definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127C.3.2.2 Analisi di stabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128C.3.2.3 Requisiti sul segno del coefficiente di diffusione . . . 128

C.3.3 Parametri significativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129C.4 Schemi numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130


INDICE 5

C.4.1 Schemi espliciti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130C.4.1.1 Schema upwind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130C.4.1.2 Metodo delle caratteristiche per la pura convezione 132C.4.1.3 Schema alle differenze centrate . . . . . . . . . . . . 133

C.4.2 Schemi impliciti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134C.4.2.1 Schema upwind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134C.4.2.2 Schema alle differenze centrate . . . . . . . . . . . . 134C.4.2.3 Schema di Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . 135

D Serie di Fourier 137D.1 Esempi di applicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

D.1.1 Onda triangolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138D.1.2 Onda quadra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

E Modelli lagrangiani di diffusione turbolenta 141E.1 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141E.2 Serie di numeri pseudo-random . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

F Modelli ADZ nel campo lontano 147F.1 Modelli a cella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

F.1.1 Interpretazione fisica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149F.2 Modelli convettivi-dispersivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Bibliografia 152


6 INDICE


Parte IV

Esercizi

7

Capitolo 1

Esercizi sulla diffusionemolecolare

1.1 Concentrazione in ambiti mono-, bi- e tridi-mensionali

La concentrazione viene di norma definita come la massa di soluto nel volume disoluzione considerato:

C =M

V

che dimensionalmente significa [C3D] = M/L3 (definizione tridimensionale). Esi-stono pero dei casi in cui risulta conveniente considerare una concentrazione perunita di larghezza o per unita di superficie. Nel primo caso il problema e definitoin un ambito bidimensionale, per il quale [C2D] = M/L2; nel secondo caso si parladi ambito monodimensionale e [C1D] = M/L.

Immaginiamo di considerare un condotto di lunghezza L avente sezione tra-sversale rettangolare di lati B e H; si assuma concentrazione costante ovunque.Dal punto di vista operativo, possiamo calcolare la concentrazione tridimensionaleconsiderando la massa di soluto presente e dividendola per il volume totale:

C3D =M

LH B.

Se una delle dimensioni e molto minore delle altre, ad esempio H ¿ B e H ¿ L,puo risultare piu utile definire la concentrazione come

C2D =M

LB,

che puo essere ricondotta alla definizione classica attraverso la semplice relazioneC3D = C2D/H. Se poi una sola dimensione e prevalente, ad esempio nel caso in cuiL À B À H, si puo definire una concentrazione per unita di area trasversale come

C1D =M

L,

che puo essere trasformata a sua volta in C3D = C1D/(B H).

9

10 1.2. Diffusione 1D confinata

1.2 Diffusione monodimensionale in un dominioconfinato

Determinare l’andamento della concentrazione per effetto dell’immissione di unamassa M di tracciante passivo, che diffonde con processo monodimensionale fradue pareti poste simmetricamente a distanza L dal punto di scarico.Dati: L = 1 cm, M = 10 g, D = 10−5 cm2/s

Il valore asintotico della concentrazione, che si realizza per tempi grandi, e:

C∞ =M

2L= 5 g/cm (1.1)

Il campo di concentrazione viene determinato utilizzando la soluzione fondamentalee ricordando che, per garantire la condizione di flusso nullo in corrispondenza dientrambe le pareti, e necessario considerare infinite sorgenti immagine. Assumiamoun sistema di riferimento con origine in una parete e orientato in modo tale daporre la seconda parete ad una distanza x = 2L. Poniamo il punto sorgente ad unacoordinata x = x0 all’interno del dominio [0, 2L]. Le sorgenti immagine vengonocollocate riflettendo la posizione della sorgente rispetto alle due pareti e originandoquindi due nuovi punti sorgente all’esterno del dominio. Tali sorgenti vengonopoi riflesse dalle pareti con un procedimento ricorsivo che porta a considerare unnumero virtualmente infinito di sorgenti. Il procedimento e illustrato in Figura 1.1.La concentrazione C, per 0 < x < 2L, e calcolabile come

C(x, t) =M√4πDt

·

∞∑

j=−∞exp

[− [x− x0 + 2j(2L)]2

4Dt

]+

+∞∑

j=−∞exp

[− [x + x0 + 2j(2L)]2

4Dt

] (1.2)

Figura 1.1: Sorgenti immagine dovute alle presenza di uno scarico tra due pareti nel sistema diriferimento con origine nella parete di sinistra. La sorgente e posta in una generica posizione x0.

Figura 1.2: Sorgenti immagine in un sistema di riferimento centrato tra le due pareti. La sorgentee posta in una generica posizione ξ0.


1. DIFFUSIONE MOLECOLARE 11

Lo scarico e posto in x0 = L. La concentrazione valutata nel punto di scaricoCs(t) = C(x0, t) si ottiene sostituendo x = L nella (1.2):

Cs(t) =M√4πDt

·

∞∑

j=−∞exp

[− (2jL)2

Dt

]+

∞∑

j=−∞exp

[− [(2j + 1)L]2

Dt

]

la quale, dato che le due sommatorie, dove (2j + 1) si riferisce ai termini disparimentre 2j a quelli pari, possono essere compattate in una sola con j, si semplificain

Cs(t) =M√4πDt

·∞∑

j=−∞exp

[− (jL)2

Dt

](1.3)

La soluzione (1.3) e rappresentata in grafico bilogaritmico in Figura 1.3. InFigura 1.4 e stato riportato l’andamento della (1.2) all’interno del dominio perdiversi istanti temporali. Si noti che per t > 105 s si raggiunge, per lo meno dalpunto di vista grafico, la concentrazione asintotica di equilibrio (1.1).

102

103

104

105

106

107

108

10−1

100

101

102

C∞

t[s]

C[g

/cm

]

n=0

n=1

n=5

n=20

C∞

Figura 1.3: Andamento della concentrazione Cs(t) nel punto di scarico al variare del tempo. Lecurve sono tracciate utilizzando un numero n di sorgenti immagine. Il grafico e bilogaritmico.

Sistema di riferimento centrato nella sorgente. Data la simmetria del pro-blema, puo risultare conveniente centrare il sistema di riferimento nella sorgente.Utilizzando la coordinata ξ troviamo che lo scarico e posto in ξ = ξ0 = 0 e le duepareti in ξ = ±L. Grazie a questa condizione di simmetria, le sorgenti immaginesono poste in ξ = ±2jL, con n = 1, 2, ...,∞. La soluzione puo cosı essere scrittanella forma

C(ξ, t) =M√4πDt

·∞∑

j=−∞exp

[− (ξ + 2jL)2

4Dt

]

che, valutata in ξ = 0 fornisce per Cs(t) = C(ξ0, t) lo stesso risultato trovato nella(1.3).

In Figura 1.2 sono riportate le coordinate delle sorgenti immagine nel sistemadi riferimento ξ. Quando non c’e una simmetria particolare, la soluzione espressautilizzando ξ risulta piu complessa rispetto alla (1.2) che utilizza x.


12 1.2. Diffusione 1D confinata

−1 −0.5 0 0.5 10

5

10

15

20

25

30

x [cm]

C [

g/cm

]

t=1E3 s

t=2E3 s

t=5E3 s

t=1E4 s

t=2E4 st=1E5 s

Figura 1.4: Andamento della concentrazione C(x, t) a diversi istanti t. Sono state considerate50 sorgenti immagine.

1.2.1 Considerazioni sul numero di sorgenti immagine dautilizzare

La soluzione (1.3), per essere valutata numericamente, deve essere riscritta nellaforma

Cs(t) =M√4πDt

·n∑

j=−n

exp[− (jL)2

Dt

](1.4)

con n numero delle sorgenti immagine che devono essere considerate. La proceduradi selezione del numero minimo di sorgenti da utilizzare puo essere descritta comesegue. La (1.4) puo essere esplicitata come

Cs(t) =M√4πDt

·

exp[− (0)2

Dt

]+ 2 exp

[− (L)2

Dt

]+ 2 exp

[− (2L)2

Dt

]+ ...

dove si e tenuto conto che, data la simmetria del problema, il contributo delle sor-genti immagine ±j e il medesimo. La sommatoria puo essere interrotta all’immaginej = n quando il contributo della sorgente j-esima, rapportato alla soluzione ottenutaconsiderando le (j − 1) sorgenti precedenti, e inferiore ad una soglia prefissata.

Prima fase. Nella prima fase del processo diffusivo la nuvola di tracciante ha unadimensione caratteristica ridotta e non interessa la regione del dominio vicino allepareti. Durante questa prima fase il contributo delle sorgenti immagine e trascu-rabile. Si noti ad esempio l’andamento della concentrazione nello spazio in Figura1.4 per tempi piccoli: la concentrazione in prossimita delle pareti e praticamentenulla. In Figura 1.3 sono rappresentate le curve relative alla soluzione valutata conun diverso numero di immagini: tutte le curve sono sovrapposte a dimostrazionedel fatto che la soluzione e ben rappresentata dalla sola sorgente principale.

Possiamo ottenere una stima del tempo al quale il contributo delle pareti diven-ta importante osservando la dimensione caratteristica della nuvola. La soluzione



−1 −0.5 0 0.5 10

5

10

15

20

25

30

x [cm]

C [

g/cm

]

t=1E3 s

t=2E3 s

t=5E3 s

t=1E4 s

t=2E4 s

t=1E5 s

Figura 1.5: Andamento della concentrazione C(x, t) a diversi istanti t quando viene consideratasolo la sorgente reale (n = 0). Si noti che per tempi grandi la massa totale nel dominio diminuisce.

fondamentale

C(x, t) =M√4πDt

· exp[− x2

4Dt

],

valida quando non sono presenti pareti, racchiude circa il 99.7% della massa totalein uno spazio compreso tra −3σ e 3σ, dove

σ =√

2D t

e la radice quadrata della varianza della nuvola non confinata. Possiamo quindi Dimensione dellanuvola.stimare il tempo in cui L = 3σ, che fornisce t3σ = 5.55 · 103 s. Il 68% della massa

e invece compreso tra −σ e σ; la relazione L = σ fornisce un tempo tσ = 5 · 104 s.Analogamente, per L = 2σ (95% della massa) si trova t2σ = 1.25 · 104 s. Dal graficoin Figura 1.3 si vede chiaramente una sorta di spigolo nel valore di Cs, che primadecade e poi si mantiene costante e pari a C∞. E’ interessante notare che tale spigolopuo essere compreso approssimativamente tra t2σ e tσ. La Figura 1.5 rappresenta lasoluzione quando si consideri solamente la sorgente fondamentale; da un confrontocon la Figura 1.4 si nota che parte della massa iniziale esce dal sistema quando ladimensione della nuvola raggiunge le pareti.

Seconda fase. Nella seconda fase, quando la nuvola di tracciante ha occupatotutto lo spazio fra le due pareti, il numero di sorgenti immagine da considerareper avere una buona approssimazione della soluzione e sempre crescente nel tempo.La concentrazione in x = 0, rappresentata in Figura 1.3, per valori del tempomaggiori di t ∼ 105 s dovrebbe mantenersi costante e pari a C∞. A seconda delnumero di sorgenti considerato, questo risultato e mantenuto per tempi che cresconoall’aumentare del numero di sorgenti.


14 1.3. Diffusione in due direzioni

1.3 Diffusione in due direzioni

Sia data una vasca a pianta quadrata, rappresentata schematicamente in Figura 1.6,piena di acqua in quiete, i cui spigoli misurano H = 1 cm quelli verticali, L = 10 cmquelli orizzontali. Un diffusore, collocato lungo uno dei quattro spigoli verticali (dicoordinate x0 = 0, y0 = 0), scarica istantaneamente una massa M = 100 g di untracciante passivo.Calcolare dopo quanto tempo la concentrazione e ovunque inferiore a 1000 Ce, conCe concentrazione di equilibrio raggiunta al termine del processo di mescolamento.Si assuma D = 10−5 cm2/s.

In questo caso il mescolamento lungo la verticale z viene imposto dalla presenzadel diffusore. Si tratta quindi di determinare il processo di mescolamento lungo ledue direzioni orizzontali x e y, tenendo conto della presenza delle pareti.

Figura 1.6: Schema della vasca e posizione del diffusore.

In questo caso il mescolamento lungo la verticale z viene imposto dalla presenzadel diffusore. Si tratta quindi di determinare il processo di mescolamento lungo ledue direzioni orizzontali x e y, tenendo conto della presenza delle pareti.

La concentrazione finale, raggiunta asintoticamente, e:

Ce =M

HL2= 1 g/cm3 (1.5)

Vedremo in seguito che il valore numerico (e con esso la massa scaricata M e ladimensione verticale H) risulta inessenziale per la soluzione del problema.

Calcoliamo ora l’istante temporale in cui la concentrazione e uguale a 1000Ce

nel punto piu sfavorevole, ossia nel punto di scarico x = x0, y = x0. Poiche laconcentrazione e molte volte (1000) piu grande di quella di equilibrio, il processo dimescolamento e presumibilmente nella sua fase iniziale, durante la quale la presenzadelle pareti sul lato della vasca opposto al diffusore e trascurabile. Non risultainvece affatto trascurabile la presenza delle pareti che determinano l’angolo nelquale e collocato il diffusore. Risolveremo il problema utilizzando questa ipotesie verificheremo a posteriori che il contributo delle sorgenti immagini possa essereconsiderato trascurabile.

La soluzione fondamentale, tenendo conto di tutte le pareti1, e

C =M/H

4πDt

∞∑

j=−∞

exp

[− (x− x0 + 2jL)2

4Dt

]+ exp

[− (x + x0 + 2jL)2

4Dt

]

·∞∑

j=−∞

exp

[− (y − y0 + 2jL)2

4Dt

]+ exp

[− (y + y0 + 2jL)2

4Dt

](1.6)

1Per quanto riguarda le sommatorie di infiniti termini, valgono le considerazioni discussenell’esercizio 1.2.



dove si noti il prodotto tra le due sommatorie (da non confondere con la som-ma). Trascurando le sorgenti immagine dei lati opposti all’angolo considerato, cherichiedono le sommatorie di un numero virtualmente infinito di termini, si ottiene

C =M/H

4πDt

exp

[− (x− x0)2

4Dt

]+ exp

[− (x + x0)2

4Dt

]

·

exp[− (y − y0)2

4Dt

]+ exp

[− (y + y0)2

4Dt

](1.7)

Valutata nell’origine dello scarico (x = x0 = 0, y = x0 = 0), la soluzione (1.7)si semplifica in

C =M/H

4πDt· 1 + 1 · 1 + 1 =

M/H

πDt

che equivale a considerare una sorgente di intensita quadrupla, come ci si potevaaspettare dato che lo spigolo divide il piano x − y in quattro parti e la sorgentescarica tutta la propria massa in una sola di queste. Introducendo la (1.5), si hainfine

C

Ce=

L2

πDt

che, per C/Ce = 1000 fornisce la soluzione

t =L2

1000πD= 3183 s

Resta ora da determinare il contributo delle sorgenti immagine trascurate altempo trovato. A tal fine e sufficiente considerare il contributo alla sommatoriadelle prime sorgenti trascurate (j = 1, j = 2, il problema e il medesimo in x e ydata la pianta quadrata),

exp[− (2L)2

4Dt

]∼ 10−1364, exp

[− (4L)2

4Dt

]∼ 10−5457

e confrontarlo con il termine considerato

exp[− (0)2

4Dt

]= 1

Emerge chiaramente come la soluzione sia esclusivamente determinata dalle solesorgenti considerate.

Si noti pero che all’avanzare del tempo le sorgenti immagine acquistano un’im-portanza sempre maggiore e risultano fondamentali per poter ottenere il valoreasintotico di concentrazione: per t →∞ si devono considerare n →∞ sorgenti.

Indipendenza direzionale. La (1.6) prevede che il comportamento nelle duedirezioni risulti indipendente (grazie al prodotto tra le due coppie di sommatorie).Cio puo essere spiegato osservando che la soluzione fondamentale in un dominiobidimensionale e

C(x, y) =M/H

4π√

DxDy t· exp

(− x2

4Dxt

)· exp

(− y2

4Dyt

)(1.8)

dove per semplicita sono state trascurate le immagini e la sorgente e stata postanell’origine. Se integriamo la (1.8) nella direzione y

C(x) =1Ly

∫ ∞

−∞C(x, y)dy ,


16 1.4. Coefficiente di diffusione e massa

che equivale a considerare raggiunta la concentrazione di equilibrio lungo y tra duepareti distanti Ly, otteniamo

C(x) =M/H

4π√

DxDyt· exp

(− x2

4Dxt

)·√

4Dyt

Ly=

M/(H Ly)√4πDxt

exp(− x2

4Dxt

)

che corrisponde esattamente alla soluzione fondamentale in un dominio monodi-mensionale, ovvero in uno tridimensionale confinato in una regione trasversale didimensioni H e Ly.

1.4 Determinazione del coefficiente di diffusione edella massa scaricata

Si consideri un problema di diffusione molecolare in un dominio bidimensionale conun rilascio di una massa M nell’origine degli assi x = 0, y = 0. Noto l’andamentonel tempo della concentrazione nel punto P, posto ad una distanza r = 1 cm dal-l’origine, stimare il coefficiente di diffusione D e la massa M rilasciata all’istanteiniziale.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000 90000 100000

t [s]

C [g

/cm

2 ]

Figura 1.7: Andamento della concentrazione nel tempo nel punto P.

Supposto un dominio non confinato, la concentrazione nel punto P viene deter-minata mediante la soluzione fondamentale

C =M

4πDtexp

(− r2

4Dt

). (1.9)

L’andamento della concentrazione nel tempo e rappresentato in Figura 1.7. Dalgrafico si puo stimare che il massimo di concentrazione Cmax = 1.171 g/cm2 sirealizza ad un tempo tmax = 25000 s. Annullando la derivata della (1.9)

∂C

∂t=

M

4πDt2

(r2

4Dt− 1

)exp

(− r2

4Dt

)= 0



si individuano le condizioni per cui si realizza il massimo di concentrazione

r2

4Dtmax− 1 = 0 , (1.10)

dalle quali si puo stimare il coefficiente di diffusione

D =r2

4t∼= 1 · 10−5 cm2/s .

Il significato della (1.10) e che la forma della funzione che esprime la concentrazionenel tempo dipende solamente dal processo diffusivo, ma non dalla massa scaricata.Infatti la dipendenza da M della soluzione (1.9) e lineare e quindi la posizione deimassimi e dei minimi non ne e influenzata; quello che conta e il coefficiente D.

La massa M si ottiene invece dal valore della concentrazione in un punto. Risultaconveniente considerare la concentrazione massima Cmax, che puo essere ottenutasostituendo la relazione (1.10) nella (1.9):

Cmax =M

4πD tmaxe−1 ,

dalla quale si puo calcolare infine la massa scaricata

M = 4π e D tmax Cmax = 10 g .

1.5 Concentrazioni fissate agli estremi

Sia dato un problema di pura diffusione monodimensionale con la condizione ini-ziale C = 0 al tempo t = 0, per ogni x, e le condizioni al contorno (per t > 0):C = C0 in x = 0 e C = CL in x = L.Assumendo D = 10−5 cm2/s si determini la soluzione asintotica per la concentra-zione all’interno del dominio 0 ≤ x ≤ 10 cm. Si valuti anche il flusso di massa aregime. Dati: C0 = 1 g/cm, CL = 0 g/cm, L = 10 cm.

Il problema e assolutamente analogo al classico problema di trasmissione delcalore tra due pareti a temperature fissate. Il fenomeno e retto dall’equazione didiffusione

∂C

∂t= D

∂2C

∂x2(1.11)

Il problema asintotico puo essere risolto molto semplicemente osservando che, con-cluso il transitorio, deve valere ∂C/∂t = 0 e quindi la (1.11) si semplifica in

∂2C

∂x2= 0

la cui soluzione e C(x) = a0 + a1 x. Utilizzando le condizioni al contorno si ottieneil risultato cercato:

C(x) = C0 − C0 − CL

Lx = 1 g/cm− 0.1 g/cm2 · x .

Il flusso di massa, costante in x a regime, e definito come

M = −D∂C

∂x= D

C0 − CL

L= 10−6 g/s


18 1.6. Diffusione in un moto a pistone

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x [cm]

C [

g/cm

]

t=1E4 s

t=1E5 s

t=3E5 s

t=1E6 s

t=1E7 s

Figura 1.8: Concentrazione tra due estremi fissati al variare del tempo, fino al raggiungimen-to della configurazione asintotica. La soluzione e ottenuta dalla (1.12) utilizzando un numerosufficiente di sorgenti immagine.

Transitorio. La soluzione per il campo di concentrazione nella fase di transizione,prima di arrivare alla soluzione asintotica, e descritta dalla relazione

C(x, t) = erfc( |x|√

4Dt

)+

∞∑

j=1

[−erfc

( |x− 2jL|√4Dt

)+ erfc

( |x + 2jL|√4Dt

)](1.12)

che, oltre alla soluzione fondamentale per la concentrazione fissate in un punto,tiene conto della presenza aggiuntiva di sorgenti immagine negative in x = 2jLper annullare la concentrazione in x = L e di sorgenti positive in x = −2jL permantenere il valore C0 in x = 0. Il risultato e presentato in Figura 1.8.

1.6 Diffusione in un moto a pistone

Si consideri una tubazione in cui un setto trasversale divide due zone; il fluido scorrealla medesima velocita U in entrambe, trasportando il setto. In una delle due zonee presente del soluto con concentrazione C0 inizialmente costante, nell’altra solo ilfluido. Si studi la diffusione del soluto nel moto a pistone considerato, dal momentoin cui il setto viene rimosso.

L’equazione che governa il problema

∂C

∂t+ U

∂C

∂x= D

∂2C

∂x2

puo essere semplificata mediante il cambiamento di variabile ξ = x − Ut, chepermette2 di eliminare formalmente la parte convettiva dell’equazione, che diventa:

∂C

∂t= D

∂2C

∂ξ2.

2In questo nuovo sistema di riferimento la funzione C(x, t) viene ridefinita come eC(ξ,et), con



La soluzione del problema per una distribuzione di concentrazione a gradino e

C =C0

2

[1− erf

(ξ√4Dt

)]=

C0

2erfc

(x− Ut√

4Dt

)(1.13)

nel caso in cui la concentrazione iniziale (t = 0) sia pari a C0 per x < 0 e 0 perx > 0. Nel caso in cui la concentrazione sia invece C0 per x > 0 e 0 per x < 0 si hainvece

C =C0

2

[1− erf

(− ξ√

4Dt

)]=

C0

2

[1 + erf

(x− Ut√

4Dt

)](1.14)

per l’antisimmetria della funzione erf (si veda l’Appendice A.3).

−200 0 200 400 600 800 1000 12000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x [cm]

C/C

0

t=0 s

t=100 s

t=300 s

t=600 s

t=1000 s

−200 0 200 400 600 800 1000 12000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x [cm]

C/C

0

t=0 s

t=100 s

t=300 s

t=600 s

t=1000 s

Figura 1.9: Andamento della concentrazione in un moto a pistone con velocita U = 1 cm/s: asinistra soluzione per un gradino sinistro (1.13), a destra soluzione per un gradino destro (1.14).Il coefficiente di diffusione e stato scelto ‘grande’ (D = 10 cm2/s) per amplificare la deformazionedell’onda di concentrazione.

Sfruttando l’autosimilarita della soluzione, le (1.13) e (1.14) possono essereconvenientemente riscritte in forma adimensionale:

C∗ =12

[1∓ erf (η)]

dove

C∗ =C

C0, η =

x− Ut√4Dt

.

1.7 Diffusione traversale tra due correnti parallele

Due correnti in moto con velocita costante U = 1 cm/s sono separate da un settodivisorio che definisce due zone, aventi concentrazione rispettivamente pari a C1 =10 g/m3 e C2 = 25 g/m3 dello stesso soluto (si veda la Figura 1.10). All’istantet = 0 il setto viene rimosso senza perturbare il campo di moto. Dato un coefficientedi diffusione molecolare D = 10−5 cm2/s, calcolare per t = 3600 s quanto vale ilrapporto tra le concentrazioni misurate nei punti A e B, disposti simmetricamentealla distanza di 1 mm dalla originaria posizione del setto.

ξ = ξ(x, t) e et = t. Le derivate nello spazio e nel tempo si trasformano rispettivamente in:

∂C

∂x→ ∂ eC

∂et∂et∂x

+∂ eC∂ξ

∂ξ

∂x=

∂ eC∂ξ

,∂C

∂t→ ∂ eC

∂et∂et∂t

+∂ eC∂ξ

∂ξ

∂t=

∂ eC∂et − U

∂ eC∂ξ

e quindi ∂C/∂t + U∂C/∂x → ∂ eC/∂et, in cui per brevita si puo eliminare il soprassegnoee ottenerel’equazione semplificata.


20 1.7. Diffusione traversale tra due correnti parallele

Figura 1.10: Schema di due correnti separate da un setto longitudinale che viene rimosso altempo t = 0.

Il fenomeno e governato dall’equazione di convezione-diffusione

∂C

∂t+ U

∂C

∂x= D

∂2C

∂x2+ D

∂2C

∂y2, (1.15)

scritta in ambito bidimensionale con le ipotesi che il moto sia unidirezionale e lavelocita e il coefficiente di diffusione siano costanti. Nel caso specifico del proble-ma in esame, il processo risulta indipendente dalla coordinata x in quanto tutte lederivate nella direzione longitudinale si annullano, dal momento che le condizioniiniziali non dipendono da x e la rimozione del setto avviene in tutto il dominio istan-taneamente e non genera alcuna differenza di concentrazione tra posizioni diverselungo un qualsiasi asse parallelo al setto. L’equazione (1.15) si semplifica quindi in

∂C

∂t= D

∂2C

∂y2

senza alcuna ipotesi sul numero di Peclet. La soluzione e quella valida per una distri-buzione di concentrazione a gradino nella direzione y , con l’accortezza di osservareche non contano i valori della concentrazione nelle due zone, ma la loro differenza,dato che l’equazione per la concentrazione e lineare e vale la sovrapposizione deglieffetti. La soluzione e quindi

C = C1 +C2 − C1

2

[1− erf

(y√4Dt

)]=

C1 + C2

2− C2 − C1

2erf

(y√4Dt

)(1.16)

e puo essere valutata in y = ±0.1 cm al tempo voluto. Il punto A, dove la con-centrazione e inizialmente C1, e posto nel semipiano positivo delle y. Si trova che,per t = 3600 s, CA = 15.32 g/m3 e CB = 19.68 g/m3, da cui un rapporto pari a0.78; il rapporto iniziale C1/C2 = 0.4 aumenta asintoticamente verso il valore 1all’avanzare del tempo. Dalla (1.16) si vede infatti che per t → ∞, l’argomentodella funzione erf tende a 0 e quindi il valore della concentrazione tende ovunqueal valore medio (C1 + C2)/2.



1.8 Diffusione traversale alla confluenza tra duecorrenti

Siano date due correnti in moto laminare, separate da un setto per x < 0, chesi muovono con la stessa velocita U nella direzione longitudinale. Una correntee pulita, mentre l’altra e caratterizzata da una concentrazione costante C0. Unarappresentazione schematica del sistema e riportata in Figura 1.11. Studiare ilmescolamento tra le due correnti a valle della loro confluenza.

Figura 1.11: Schema di confluenza tra due correnti.

Il problema della confluenza tra due correnti in ambito bidimensionale e rettodall’equazione (1.15). A differenza del problema 1.7, rispetto al quale valgono leipotesi fatte sulla costanza dei coefficienti, il problema e posto in termini stazionari,dato che non cambiano le condizioni al contorno: si puo quindi trascurare il termine∂C/∂t. Inoltre in questo caso non si annullano le derivate lungo x.

Il problema puo essere semplificato nel caso in cui sia possibile trascurare ladiffusione longitudinale rispetto alla convezione. Tale semplificazione e valida se ilnumero di Peclet Pe e sufficientemente elevato. Possiamo infatti valutare gli ordinidi grandezza dei termini U∂C/∂x e D∂2C/∂x2 utilizzando una grandezza scala Lper le variazioni lungo la coordinata longitudinale x; si trova

C0D

L2

∂2C∗

∂x∗2¿ C0U

L

∂C∗

∂x∗⇔ Pe =

UL

DÀ 1 (1.17)

Resta da definire la scala L che abbiamo assunto implicitamente. Una scelta possi-bile e la scala caratteristica del processo convettivo Lc = Ut, dove si e scelta l’otticalagrangiana di seguire la particella di tracciante; la condizione (1.17) diventa inquesto caso

t À D

U2= T0 . (1.18)

E’ interessante notare che utilizzando la scala caratteristica della diffusione Ld =√Dt il risultato non cambia. Il significato fisico e piu chiaro se si osserva che, per

tempi superiori a T0, Lc À Ld, ossia la convezione ‘sposta’ le particelle di unadistanza molto piu grande di quanto puo fare la diffusione. La condizione (1.18)e facilmente verificata se si considerano valori caratteristici dei moti laminari: seU = 1 cm/s e D = 10−5 cm2/s si trova t À 10−5 s.


22 1.9. Punto sorgente in un fluido in movimento

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x [cm]

y [c

m]

0.010.05

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.90.950.99

Figura 1.12: Curve di isoconcentrazione C/C0 nel dominio x, y a valle della confluenza tra duecorrenti. La soluzione e ottenuta utilizzando la (1.20).

La (1.15) si puo quindi scrivere come

U∂C

∂x= D

∂2C

∂y2. (1.19)

Si noti che il termine D∂2C/∂y2 non puo essere in alcun caso trascurato, percherappresenta l’unico meccanismo fisico che agisce nella direzione trasversale y. Lasoluzione della (1.19) e analoga a quella della diffusione nel tempo di un gradinodi concentrazione in un dominio monodimensionale; in questo caso la coordinata xassume il ruolo del tempo e la y quello dello spazio nel quale opera la diffusione. Sitrova quindi:

C =C0

2erfc

(y√

4Dx/U

)(1.20)

La soluzione e rappresentata in Figura 1.12 nel caso in cui le due correnti non sianoconfinate da pareti: la nuvola di concentrazione si allarga indefinitamente. Nelcaso in cui fossero presenti delle pareti laterali, la concentrazione finale risulteradipendente dalla larghezza delle due correnti e sara raggiunta per un valore di xdeterminabile in modo convenzionale.

1.9 Punto sorgente in un fluido in movimento

Calcolare il campo di concentrazione dovuto ad un punto sorgente posto nell’originedegli assi in un dominio tridimensionale non confinato. Il fluido e in moto convelocita U costante, diretta nella direzione dell’asse x; si assuma un coefficiente didiffusione D omogeneo (costante ovunque) e isotropo (indipendente dalla direzione).

Definiamo punto sorgente uno scarico, di dimensioni trascurabili rispetto alledimensioni caratteristiche del problema, che rilascia una portata massica M =dM/dt. La diffusione di massa in un dominio tridimensionale non confinato di



fluido in moto con velocita U e governata dall’equazione di convezione-diffusione

∂C

∂t+ U

∂C

∂x= D

∂2C

∂x2+ D

∂2C

∂y2+ D

∂2C

∂z2(1.21)

Introducendo la variabileξ = x− U(t− τ) , (1.22)

dove τ e l’istante temporale in cui avviene lo scarico infinitesimo M(τ)dτ , l’e-quazione (1.21) si semplifica nell’equazione di pura diffusione tridimensionale (ilprocedimento e analogo a quello descritto nella nota 2):

∂C

∂t= D

∂2C

∂ξ2+ D

∂2C

∂y2+ D

∂2C

∂z2

Stiamo infatti utilizzando un sistema di riferimento inerziale in moto con la stessavelocita U della corrente (si noti che questo genere di relazione semplificata e validosolo nel caso U=costante). La soluzione puo essere ottenuta come sovrapposizione

C(ξ, y, z, t) =∫ t

−∞M(τ)Cu dτ (1.23)

della soluzione elementare

Cu =1

[4πD(t− τ)]3/2exp

[− (ξ − x0)

2

4D(t− τ)

]exp

[− (y − y0)

2

4D(t− τ)

]exp

[− (z − z0)

2

4D(t− τ)

],

che nel caso in cui x0 = y0 = z0 = 0 si semplifica in

Cu =1

[4πD(t− τ)]3/2exp

[−ξ2 + y2 + z2

4D(t− τ)

]. (1.24)

Soluzione semplificata. Nel caso generale in cui il numero di Peclet sia grande(si veda l’esercizio 1.8), e lecito trascurare la diffusione in direzione longitudinale inquanto risulta piccola in confronto con la convezione nella stessa direzione associatacon la velocita U . Questo tipo di approssimazione, che trascura il flusso diffusivolongitudinale, implica che la massa di soluto M(τ)dτ scaricata nell’intervallo tem-porale (τ, τ + dτ) rimane confinata nella porzione di dominio (x, x + dx), infinitanelle direzioni y e z, in moto con velocita U . La posizione e lo spessore di questa‘fetta’ di fluido al tempo t sono rispettivamente x = U(t− τ) e dx = Udt.

Sotto queste ipotesi, la (1.21) si semplifica quindi nell’equazione

∂C

∂t+ U

∂C

∂x= D

∂2C

∂y2+ D

∂2C

∂z2

che, introdotta la trasformazione di coordinate (1.22), ammette la soluzione

C(ξ, y, z, t) =M(τ)

4πD(t− τ)Uexp

[− y2 + z2

4D(t− τ)

], (1.25)

che puo essere riscritta piu convenientemente ritornando alla variabile x:

C(x, y, z, t) =M(t− x/U)

4πDxexp

[−

(y2 + z2

)U

4Dx

]. (1.26)


24 1.10. Diffusore di lunghezza finita

Il caso stazionario. Un caso particolare e quello in cui la portata di massa Me costante nel tempo. E’ interessante notare che la (1.26) diventa una soluzionestazionaria

C(x, y, z) =M

4πDxexp

[−

(y2 + z2

)U

4Dx

](1.27)

che dipende solo da x, y e z, ma non dal tempo. La (1.25) dipende invece dal tempot− τ trascorso dall’istante τ in cui e avvenuto lo scarico M , mentre la dipendenzadalla distanza ξ rispetto al baricentro non e presente in quanto e stata trascuratala diffusione longitudinale.

Possiamo avere una stima dell’errore introdotto dal trascurare la diffusionelongitudinale utilizzando la soluzione (1.27) per paragonare i termini U∂C/∂x e−D∂2C/∂x2. Valutandoli per semplicita nella retta y = z = 0 si ottiene

−D∂2C

∂x2= − M

2πx3, U

∂C

∂x= − MU

4πDx2

da cui si puo valutare che il rapporto (in valore assoluto) tra diffusione e convezionelongitudinale e pari a 2D/(Ux) = 2/Pe, ossia l’inverso del numero di Peclet valutatoutilizzando la distanza x dallo scarico. L’ipotesi che Pe À 1 si traduce quindi nelladefinizione del campo di validita della (1.27) per x À 2D/U .

Per quanto riguarda l’integrazione (1.23) della soluzione completa (1.24) nel casostazionario, indichiamo con α = t−τ la distanza temporale tra l’istante consideratoe lo scarico infinitesimo. La (1.23), con la (1.24), si puo scrivere come

C(x, y, z) =M

(4πD)3/2

∫ ∞

0

1α3/2

exp[− (x− Uα)2 + y2 + z2

4Dα

]dα

la cui integrazione non e banale (si veda l’esercizio 4.3).

1.10 Diffusore di lunghezza finita

Un diffusore di lunghezza L scarica una portata di massa M di soluto in un fluidoin moto con velocita U costante. Lo scarico avviene uniformemente lungo tuttala lunghezza del diffusore. Calcolare il campo di concentrazione e valutare a qualedistanza il diffusore puo essere approssimato con una sorgente puntuale (si considerilo scarico stazionario).

Figura 1.13: Un diffusore come somma di sorgenti infinitesime m.



Il diffusore puo essere schematizzato come un insieme di sorgenti elementari,poste in x = z = 0 lungo la coordinata y, che scaricano istantaneamente una massamdtdy, dove

m =M

L

e la portata massica per unita di lunghezza (si veda la Figura 1.13). Trascurandoil contributo della diffusione longitudinale, come discusso nell’esercizio 1.9, ognisoluzione elementare assume la forma

dC =m (η, τ) dη

4πDxexp

[− (y − η)2 + z2

4Dx/U

](1.28)

dove τ = t− x/U e l’istante in cui viene scaricata la massa ed η e il generico valoredella coordinata trasversale y. La soluzione complessiva e data dall’integrale della(1.28):

C(x, y, z) =∫ yb

ya

dC(η) (1.29)

dove ya e yb sono le coordinate iniziali e finali del diffusore. Se m e costante in y,la (1.29) si semplifica in

C(x, y, z) =m (τ)4πDx

exp(− z2

4Dx/U

) ∫ yb

ya

exp[− (y − η)2

4Dx/U

]dη =

=m (τ)√4πDUx

exp[− z2

4Dx/U

]12

[erf

(y − ya√4Dx/U

)− erf

(y − yb√4Dx/U

)](1.30)

0 1 2 3 4 5−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

x*

y*

0.9

0.95

0.98

0.99

0.995

11.01

1.05

1.2

1.2 1.05

1.01 1

0.995

Figura 1.14: Rapporto C∗d/C∗p tra le concentrazioni adimensionali relative ad un diffusore dilunghezza finita e ad uno scarico puntuale, sulla base della (1.32).

Assumendo che lo scarico sia stazionario m(τ) = m = M/L e la (1.30) puo essereconfrontata con la soluzione (1.27) trovata per una sorgente stazionaria puntuale.Il problema puo essere reso adimensionale utilizzando le seguenti scale:

x = x∗UL2

D, y = y∗ L , z = z∗ L , C = C∗

M

UL2(1.31)


26 1.11. Scarico puntuale in acqua bassa

in cui la scala geometrica e la dimensione del diffusore. Troviamo cosı la soluzioneper il diffusore posto in x = z = 0 tra ya = −L/2 e yb = L/2:

C∗d(x∗, y∗, z∗) =1√

4πx∗exp

(− z∗2

4x∗

)· 12

[erf

(y∗ + 1/2√

4x∗

)− erf

(y∗ − 1/2√

4x∗

)]

e, dalla (1.27), la soluzione per il punto sorgente collocato in x = y = z = 0:

C∗p (x∗, y∗, z∗) =1

4πx∗exp

(− z∗2

4x∗

)exp

(− y∗2

4x∗

)

Il loro rapporto, indipendente da z∗, risulta

C∗dC∗p

=√

4πx∗12

[erf

(y∗ + 1/2√

4x∗

)− erf

(y∗ − 1/2√

4x∗

)]exp

(y∗2

4x∗

)(1.32)

In Figura 1.14 e rappresentata la (1.32) nel piano x∗, y∗. Si puo notare come lascala longitudinale UL2/D risulti appropriata per il confronto richiesto.

Figura 1.15: Rappresentazione schematica di un diffusore posto tra due sponde.

Diffusore di lunghezza infinita. Se si considera un diffusore di lunghezza infi-nita ya → −∞ e yb →∞ e la (1.30) si riduce a

C(x, z) =m (τ)√4πDUx

exp(− z2

4Dx/U

). (1.33)

E ’interessante notare che un diffusore di lunghezza finita risulta equivalente a undiffusore infinito quando la sua lunghezza L e pari alla larghezza del canale. Pertener conto delle pareti e infatti necessario introdurre delle sorgenti immagine (deidiffusori di lunghezza L) che, replicate all’infinito per la presenza delle sponde,vanno ad occupare l’intero asse y, come si evince dallo schema di Figura 1.15.

1.11 Scarico puntuale in acqua bassa

Si consideri uno scarico puntuale stazionario posto sul fondo di un canale infinita-mente largo, di profondita Y . La velocita U e costante sull’intera sezione trasversa-le. Verificare quando lo scarico puntuale puo essere approssimato con un diffusoreverticale (si veda la Figura 1.16).



Figura 1.16: Rappresentazione schematica del confronto tra un diffusore verticale e un puntosorgente per uno scarico in acqua bassa.

Quando la dimensione verticale e molto minore delle dimensioni orizzontali, siparla comunemente di acqua bassa. In questo caso assumiamo che la larghezzaB →∞, cosı da rispettare per definizione la condizione B/Y À 1.

Assumiamo che Pe À 1 e quindi che la diffusione longitudinale sia trascurabilein confronto alla convezione nella stessa direzione, come discusso in precedenza. Lasoluzione per uno scarico puntuale puo essere derivata dalla (1.27) con l’utilizzodelle sorgenti immagine per tenere in considerazione la presenza delle pareti:

C(x, y, z) =M

4πDxexp

(− y2U

4Dx

)·

·∞∑

j=−∞

exp

[− (z − z0 + 2jY )2

4Dx/U

]+ exp

[− (z + z0 + 2jY )2

4Dx/U

](1.34)

dove z0 e la coordinata verticale del punto di scarico.Quando il mescolamento sulla verticale e stato ottenuto3, la (1.34) si puo scrivere

come

C(x, y) =M/Y√4πDUx

exp(− y2U

4Dx

)(1.35)

come gia trovato per la (1.33), poiche un diffusore che occupa lo spazio tra duepareti e equivalente a un diffusore infinito. E’ infatti sufficiente integrare la soluzionefondamentale relativa ad uno scarico infinitesimo m(z0)dz0 = M/Y dz0 lungo tuttoil dominio verticale

∫ ∞

−∞

M/Y

4πDxexp

(− y2U

4Dx

)exp

[− (z − z0)

2

4Dx/U

]dz0

per ritrovare la (1.35).

3Il mescolamento puo essere definito come raggiunto solo definendo convenzionalmente unrapporto tra la concentrazione minima e quella massima sulla verticale. In questo esercizioutilizzeremo il valore Cmin/Cmax = 0.98.


28 1.11. Scarico puntuale in acqua bassa

Utilizzando le scale gia introdotte con la (1.31), sostituendo L = Y , la (1.34) ela (1.35) si possono scrivere rispettivamente come

C∗(x∗, y∗, z∗) =1

4πx∗exp

(− y∗2

4x∗

)· 2

∞∑

j=−∞exp

[− (z∗ + 2j)2

4x∗

](1.36)

C∗(x∗, y∗) =

1√4πx∗

exp(− y∗2

4x∗

)(1.37)

avendo posto il punto sorgente sul fondo (z∗0 = 0).Il rapporto C∗min/C∗max = 0.98 e raggiunto alla coordinata x∗ = 0.536 (per

x∗ = 0.134 nel caso z∗0 = 0.5) indipendentemente dalla posizione in y. Infatti nelcaso z∗0 = 0, C∗min = C∗(z∗ = 1) e C∗max = C∗(z∗ = 0) e dalla (1.36) si ottiene

C∗min

C∗max

=

∞∑

j=−∞exp

[− (2j)2

4x∗

] /

∞∑

j=−∞exp

[− (1 + 2j)2

4x∗

]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

diffusore

superficie

fondo

x*

C*

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

superficie

fondo

x*

Figura 1.17: Confronto tra punto sorgente e diffusore verticale. A sinistra sono riportati pery∗ = 0 i valori della concentrazione per un diffusore (1.37) e quelli per uno scarico posto sul fondo(1.36), in superficie e al fondo. A destra viene mostrato il rapporto (1.38), in superficie e al fondo.

Analogamente, il rapporto C∗/C∗

dipende solamente dalla coordinata x∗:

C∗

C∗ =

1√4πx∗

· 2∞∑

j=−∞exp

[− (z∗ + 2j)2

4x∗

](1.38)

Data l’indipendenza da y, a valle della posizione x∗ in cui si considera avvenuto ilmescolamento verticale, la soluzione (1.37) per il diffusore e sostanzialmente esatta.In Figura 1.17 si puo osservare il confronto tra le soluzioni al variare della distanzax∗ dallo scarico.

Canale di larghezza finita. Se il canale ha una larghezza B finita e sufficienteintrodurre le sorgenti immagine dovute alla presenza delle sponde, sommando iloro contributi al termine exp

(−y∗2/4x∗). Data l’indipendenza direzionale della

soluzione (1.34) tutte le considerazioni fatte per B → ∞ restano valide. Si facciapero attenzione al fatto che se la dimensione B e comparabile con Y perde disignificato operare la media in una direzione. Infatti, quando e avvenuto il completomescolamento nella direzione minore, quanto piu le dimensioni di B e Y sono similitanto piu anche il mescolamento nell’altra direzione e prossimo a realizzarsi e quindidiventa vantaggioso definire semplicemente una media sull’intera sezione trasversaledel canale.


Capitolo 2

Calcolo del coefficiente didispersione

La trattazione discussa in questo capitolo fa riferimento alla cosiddetta teoria diTaylor (1953, 1954) per la dispersione dovuta alla non uniformita spaziale del motomedio. Per la giustificazione delle ipotesi introdotte si rimanda al volume di teoriadelle Dispense del corso.

2.1 Dispersione longitudinale nel campo interme-dio

In questa sede ci limitiamo a considerare il caso dei moti piani, ossia quei moti incui i gradienti di tutte le grandezze sono nulli in una direzione (nel nostro caso lacoordinata trasversale y).

L’equazione di convezione-diffusione in un sistema di riferimento x = x − Ut,solidale con la velocita media U , e

∂C

∂t+

[U(z)− U

] ∂C

∂x=

∂

∂x

(Dx

∂C

∂x

)+

∂

∂z

(Dz

∂C

∂z

)(2.1)

Le variabili C(x, z) e U(x, z) rappresentano la concentrazione e la velocita locali. Nelcaso laminare (dove Dz e costante) sono effettivamente i valori istantanei, mentrenel caso di moto turbolento (in cui Dz e variabile nel dominio) tali grandezze siintendono mediate sulla turbolenza.

Utilizzando l’equazione di continuita del fluido e integrando la (2.1) sulla verti- L’equazionemediatacale si ottiene

∂∫ Y

0Cdz

∂t+

∂

∂x

∫ Y

0

(U(z)− U

)Cdz =

∂

∂x

∫ Y

0

Dx∂C

∂xdz + Dz

∂C

∂z

∣∣∣∣Y

0

(2.2)

Imponendo l’annullamento dei flussi diffusivi verticali per z = 0 e z = Y e sosti-tuendo

U(x, z, t) = U(x, t) + U ′(x, z, t) , C(x, z, t) = C(x, t) + C ′(x, z, t) , (2.3)

dove il soprassegno indica la media sulla verticale e con l’apice ′ si intende la de-viazione dalla media stessa1, e in maniera analoga per i coefficienti di diffusione, si

1La media e definita genericamente come F = 1Y

R Y0 F(z)dz. Si ha quindi, per definizione,R Y

0 F ′(z)dz = 0.

29

30 2.1. Dispersione longitudinale nel campo intermedio

ottiene∂Y C

∂t+

∂Y U ′C ′

∂x=

∂

∂x

(Y Dx

∂C

∂x

)+

∂

∂x

(Y D′

x

∂C ′

∂x

)

dove la deviazione del coefficiente di diffusione orizzontale, scomposto come Dx =Dx + D′

x, puo essere assunta trascurabile2. Riscrivendo l’equazione come

∂C

∂t=

1Y

∂

∂x

[Y

(Dx

∂C

∂x− U ′C ′

)](2.4)

emerge come il contributo congiunto di U ′ e C ′ possa essere interpretato in analogiaa quanto viene fatto per le tensioni di Reynolds.

Infatti, utilizzando la scomposizione (2.3) e assumendo valide le ipotesi di Taylor,La strutturaverticale di C la (2.1) puo essere approssimata dall’equazione

U ′ ∂C

∂x=

∂

∂z

(Dz

∂C ′

∂z

), (2.5)

che suggerisce la possibilita di esprimere lo scostamento di concentrazione dallamedia nella forma

C ′ (x, z) = g(z)∂C

∂x. (2.6)

Integrando la (2.5) lungo la verticale con l’ausilio della (2.6), si ottiene prima

Dzdg

dz=

∫ z

0

[U(ζ)− U

]dζ + c1 ,

nella quale c1 = 0 se non c’e flusso di massa alla parete z = 0, e quindi

g(z) =∫ z

z0

1Dz(ζ1)

(∫ ζ1

z0

[U(ζ)− U

]dζ

)dζ1 + c2 . (2.7)

Il termine U ′C ′, incognito nell’equazione (2.5), puo essere scritto comeIl coefficiente didispersione

U ′C ′ =1Y

∫ Y

0

U ′(ζ)g(ζ)dζ∂C

∂x. (2.8)

Il coefficiente di dispersione Kx viene definito attraverso la chiusura

U ′C ′ = −Kx∂C

∂x, (2.9)

che fornisce

Kx = − 1Y

∫ Y

0

U ′(ζ)g(ζ)dζ , (2.10)

Sostituendo la (2.32) nella (2.10), il coefficiente di dispersione puo essere quindistimato come

Kx = − 1Y

∫ Y

0

U ′(ζ2)

[∫ ζ2

0

1Dz(ζ1)

(∫ ζ1

0

U ′(ζ)dζ

)dζ1 + c2

]dζ2

da cui si evince che la costante c2 non influisce3 poiche

c2

Y

∫ Y

0

U ′(ζ2)dζ2 = 0

2La deviazione e nulla nel caso laminare, mentre nel caso turbolento le fluttuazioni orizzontali,che non sono isotrope, ...

3La costante c2 e comunque determinabile dalla definizione di mediaR Y0 Cdz = C che per la

(2.6) implicaR Y0 g(z)dz = 0.


2. COEFFICIENTE DI DISPERSIONE 31

Possiamo infine scrivere

Kx = − 1Y

∫ Y

0

U ′(ζ2)

[∫ ζ2

0

1Dz(ζ1)

(∫ ζ1

0

U ′(ζ)dζ

)dζ1

]dζ2 . (2.11)

Risulta interessante derivare una relazione che permetta di scrivere l’integralein forma adimensionale. Definendo le grandezze adimensionali

z∗ =z

Y, U∗ =

U

U , D∗z =

Dz

Dla (2.11) diventa

Kx =U2Y 2

D I (2.12)

dove I e il valore numerico dell’integrale

I = −∫ 1

0

U ′∗(ζ∗2 )

[∫ ζ∗2

0

1D∗

z(ζ∗1 )

(∫ ζ∗1

0

U ′∗(ζ∗)dζ∗)

dζ∗1

]dζ∗2 , (2.13)

dipendente solo dalla forma dei profili verticali della velocita e del coefficiente didiffusione.

Si noti che la (2.12) rivela una caratteristica fondamentale del meccanismo di-spersivo: il coefficiente Kx e inversamente proporzionale al valore del coefficiente didiffusivita. Infatti la tendenza ad uniformare il profilo verticale di concentrazionedovuta alla diffusione ostacola lo sviluppo di meccanismi dispersivi che necessitano,oltre alla non uniformita del profilo di velocita, anche una deviazione del profilo diconcentrazione dal suo valore medio.

Grazie alla chiusura fickiana (2.9) del termine dispersivo −U ′C ′, l’equazione L’equazione didiffusione-dispersione

(2.5) diventa∂C

∂t=

1Y

∂

∂x

[Y

(Dx + Kx

) ∂C

∂x

](2.14)

nella quale il contributo della dispersione si somma al coefficiente di diffusione Dx. Ilproblema diffusivo-dispersivo puo quindi essere trattato in modo formalmente ana-logo a quello della sola diffusione, a patto di considerare un coefficiente di diffusionegeneralizzato che tenga conto anche degli effetti dispersivi, che nella maggioranzadei casi reali risultano preponderanti.

2.2 Profili verticali di velocita in moto uniforme

In questa sezione vengono esaminati alcuni semplici tipologie di moti.Si noti come in generale la relazione che fornisce il coefficiente di dispersione e

invariante rispetto a profili di velocita che differiscano di una costante c. Infatti,dal momento che la (2.11) e definita solo in termini di U ′, qualsiasi relazione deltipo U(z) = f(z) + c fornisce U = f + c, da cui si ottiene che la deviazione dallamedia U ′(z) = f(z)− f resta invariata.

2.2.1 Moto laminare

Nel caso in cui il moto sia laminare, il coefficiente di diffusione Dz(z) e costante epari alla diffusivita molecolare D. La (2.11) si semplifica quindi nella

Kx = − 1Y D

∫ Y

0

U ′(ζ2)

[∫ ζ2

0

∫ ζ1

0

U ′(ζ)dζdζ1

]dζ2 . (2.15)


32 2.2. Profili verticali di velocita in moto uniforme

Figura 2.1: Il profilo verticale di velocita (2.16) nel caso di composizione dei moti alla Couettee alla Poiseuille.

Studiamo il caso dei moti laminari piani, ovvero quei moti che si realizzano tradue piastre, supposte illimitate nella direzione trasversale, ad opera di un gradientedi pressione (moto di Poiseuille) o del moto relativo delle due piastre (moto diCouette). La relazione generale, indicando con i la pendenza della linea dei carichipiezometrici, con ν la viscosita cinematica e con U1 e U2 le velocita delle due piastre,puo essere scritta come

U(z) =gi

2νY 2

(1− z

Y

) z

Y+ (U2 − U1)

z

Y+ U1 . (2.16)

Per il moto alla Couette, notando che possiamo scegliere un sistema di riferi-Moto alla Couette

mento in moto con velocita U1 (oppure nullo nel caso in cui la piastra inferiore siaferma), il profilo di velocita puo essere scritto come

U∗(z∗) = z∗

avendo scelto U = U2. Poiche U∗

= 1/2, l’integrale piu interno della (2.13) diventa

∫ ζ∗1

0

(ζ∗ − 1

2

)dζ∗ =

ζ∗12

2− ζ∗1

2,

mentre il secondo integrale, posto D∗ = 1 (ossia D = D), diventa

∫ ζ∗2

0

(ζ∗1

2

2− ζ∗1

2

)dζ∗1 =

ζ∗23

6− ζ∗2

2

4.

L’ultimo integrale della (2.13) assume quindi il valore

I = −∫ 1

0

(ζ∗2 −

12

)(ζ∗2

3

6− ζ∗2

2

4

)dζ∗2 = −

(ζ∗2

5

30− ζ∗2

4

12+

ζ∗23

24

)∣∣∣∣1

0

=1

120

e quindi il coefficiente di dispersione diventa

Kx =1

120U2

2 Y 2

D. (2.17)

Nel caso del moto alla Poiseuille, assumendo come scala U la velocita massimaMoto allaPoiseuille sulla verticale

U = Umax =gi

8νY 2 ,

si ottiene il profilo in termini adimensionali

U∗(z∗) = 4 z∗ (1− z∗) .



Figura 2.2: Il profilo verticale di velocita (2.19) nel caso di moto turbolento.

Ripetendo il procedimento descritto sopra, si trova I = 2/945, da cui

Kx =2

945U2

max Y 2

D. (2.18)

Il caso generale (2.16) si ottiene come somma dei due moti separati. Si faccia Altri tipi di moto

attenzione che in generale NON vale la regola additiva, dato che nella definizionedel coefficiente Kx (2.11) e presente il prodotto tra U ′. La possibilita di sommare irisultati e legata esclusivamente al caso particolare dell’accoppiamento dei due motiesaminati, quando il coefficiente di diffusione e costante.

2.2.2 Moto turbolento

Consideriamo sempre il caso di un moto piano, ma stavolta considerando un deflussoa superficie libera in cui il campo di moto sia turbolento. Il profilo di velocita eapprossimato da una legge logaritmica del tipo

U(z) =uf

κln

(z

z0

)(2.19)

dove z0 e la quota di riferimento dalla parete alla quale si annulla convenzionalmenteil profilo logaritmico di velocita, κ = 0.41 e la costante di von Karman e uf =

√τ0/ρ

e la velocita d’attrito (τ0 tensione al fondo, ρ densita del fluido), associabile allavelocita media U attraverso una chiusura del tipo

uf =UCh

(2.20)

nella quale Ch e il coefficiente di Chezy adimensionale (valori tipici negli alvei na-turali variano nell’intervallo 10÷20). Si dimostra che il profilo logaritmico (2.19) eassociato con un profilo parabolico di viscosita turbolenta

νT = κuf z(1− z

Y

). (2.21)

Utilizzando la definizione di velocita media e la (2.20), la relazione

U =1Y

∫ Y

z0

U(z)dz =U

κChY

∫ Y

z0

ln(

z

z0

)dz


34 2.3. Dispersione trasversale nel campo intermedio

consente di trovare4 la quota di riferimento

z0 ' Y exp (−1− κCh) (2.22)

e di esprimere il profilo di velocita in funzione della velocita media

U(z) = U +uf

κ

[1 + ln

( z

Y

)]. (2.23)

Il profilo del coefficiente di diffusivita turbolenta DTz puo essere assunto pari al

profilo (2.21):

DTz ' κuf z

(1− z

Y

). (2.24)

Utilizzando come grandezze scala U = uf e D = ufY , i profili (2.23) e (2.24)possono essere scritti in forma adimensionale per la (2.13):

U ′∗ =1κ

[1 + ln z∗] , D∗ = κ z∗ (1− z∗) .

La relazione (2.12) diventa quindi

Kx = ufY I (2.25)

dove il valore I puo essere trovato solo attraverso un’integrazione numerica (gliintegrali in questo caso dovrebbero essere valutati tra z∗0 e 1, e non tra 0 e 1 comenel caso laminare):

I = − 1κ3

∫ 1

z∗0

(1 + ln ζ∗2 )

[∫ ζ∗2

z∗0

ln ζ∗11− ζ∗1

dζ∗1

]dζ∗2 .

Ipotizzando z∗0 → 0, I assume valori compresi tra 6.31 e 5.86 per κ = 0.40÷ 0.41.

2.3 Dispersione trasversale nel campo intermedio

La presenza di un profilo verticale di velocita trasversale determina l’instaurarsi diun fenomeno dispersivo nella direzione trasversale, il cui effetto (posto di trovarsi adistanza sufficiente dallo scarico per far sı che il tracciante abbia fatto esperienza ditutta la variazione verticale del campo di moto, ovvero ad una distanza comparabilecon la lunghezza di mescolamento verticale) e sintetizzabile in un coefficiente didispersione trasversale

Ky = αufY ,

dove α e un parametro adimensionale dipendente dalla configurazione geometricadel corso d’acqua. La presenza di una curva, di una sinuosita della linea d’asse(meandri), la variabilita altimetrica del fondo, danno origine a circolazioni seconda-rie per le quali il parametro α varia da circa 0.15 (alvei rettilinei) a valori prossimiall’unita.

4La relazione (2.22) e approssimata perche

Z Y

z0

ln

z

z0

dz = Y

ln

Y

z0

− 1 +

z0

Y

' Y

ln

Y

z0

− 1

dove la seconda eguaglianza e valida nel limite z0/Y ¿ 1.



2.4 Dispersione nel campo lontano

Quando si considera il mescolamento nel campo lontano, la presenza di una va-riabilita trasversale della velocita longitudinale (mediata sulla verticale) produceun fenomeno dispersivo analogo a quello considerato per la variabilita verticale delmoto.

Ripetiamo l’analisi proposta nel caso dei moti piani nel campo intermedio. Con-sideriamo l’equazione differenziale per la concentrazione C mediata sulla verticale

∂C

∂t+

[U(y)− U

] ∂C

∂x=

1Y

∂

∂x

[Y

(Dx + Kx

) ∂C

∂x

]+

1Y

∂

∂y

[Y

(Dy + Ky

) ∂C

∂y

]

(2.26)dove U e la velocita media5 sull’intera sezione Ω = BY (con B larghezza e Yprofondita media), U e la velocita mediata sulla verticale, variabile lungo y, e Kx

e Ky sono i coefficienti di dispersione trovati precedentemente. In maniera analogaalla (2.1) ci si e posti in un sistema di riferimento mobile x = x − U t (si noti chestavolta si considera la velocita media sulla sezione e non la media sulla verticalecaratteristica dei moti piani).

Utilizzando la decomposizione

U(x, y, t) = U(x, t) + U′(x, y, t) , C(x, y, t) = C(x, t) + C

′(x, y, t) , (2.27)

e integrando l’equazione (2.26), moltiplicata per Y (y), sull’intera larghezza B siottiene

∂ΩC

∂t+

∂ΩU′C′

∂x=

∂

∂x

[Ω

(Dx + Kx

) ∂C

∂x

]+

∂

∂x

[∫ B

0

Y(D′x + K ′

x

) ∂C′

∂xdy

]

che puo essere riscritta, trascurando la variazione D′x lungo x nella scomposizione

Dx = Dx + D′x, come

∂C

∂t=

1Ω

∂

∂x

[Ω

(Dx

∂C

∂x− U

′C′)]

. (2.28)

Nell’ottica di ottenere anche in questo caso un’equazione diffusiva per il campolontano del tipo

∂C

∂t=

1Ω

∂

∂x

[Ω

(Dx + K

) ∂C

∂x

], (2.29)

la (2.26) puo essere semplificata assumendo delle ipotesi analoghe a quanto visto inprecedenza, fino ad ottenere la formulazione

U′(y)

∂C

∂x=

1Y

∂

∂y

[Y (Dy + Ky)

∂C′

∂y

](2.30)

che suggerisce la chiusura

C′(x, y) = g(y)

∂C

∂x. (2.31)

5La definizione generale di media sulla sezione e

eF =1

Ω

Z

ΩFdA =

1

Ω

Z B

0

Z Y (y)

0F(z, y)dzdy =

1

Ω

Z B

0Y (y)F(y)dy .


36 2.4. Dispersione nel campo lontano

Integrando la (2.30) due volte lungo la trasversale, con la (2.31) e le opportune con-dizioni al contorno, si trova il profilo trasversale della variazione della concentrazionemediata sulla verticale

g(y) =∫ y

0

1Y (η1)

[Dy(η1) + Ky(η1)

](∫ η1

0

Y (η)[U(η)− U

]dη

)dη1 + c2 . (2.32)

Il confronto tra la (2.28) e la (2.29) fornisce il coefficiente di dispersione longi-tudinale nel campo lontano

K = − U′C′

∂C/∂x= − 1

Ω

∫ B

0

Y (η)U′(η)g(η)dη , (2.33)

dove la seconda uguaglianza sfrutta la definizione di media e la chiusura (2.31).Rendendo adimensionali le (2.32)-(2.33) con

y∗ =y

B, U

∗=

U

U , D∗y =

Dy + Ky

D , Y ∗ =Y

Ω/B,

si trova

K =U2B2

D I (2.34)

I = −∫ 1

0

Y ∗(η∗2)U′∗

(η∗2)

[∫ η∗2

0

1

Y ∗(η∗1)D∗y(η∗1)

(∫ η∗1

0

Y ∗(η∗)U′∗

(η∗)dη∗)

dη∗1

]dη∗2 .

Nel caso di moto turbolento, ponendo U = U e D = DTy + Ky = αufΩ/B, laDispersione in

moto turbolento (2.34) diventa

K =U2B2

uf Y

Iα

.

per la quale Fischer propone I/α = 0.011.

2.4.1 Procedura numerica per il calcolo di K

Fare attenzione alla profondita al denominatore

L’integrazione numerica della (2.34) richiede una certa attenzione quando laprofondita si annulla (e presente al denominatore nel secondo integrale).

∫ η∗2

0

1

Y ∗D∗y

(∫ η∗1

0

Y ∗U′∗

dη∗)

dη∗1


Capitolo 3

Getti e pennacchi

Gli esercizi che seguono1 trattano il caso del miscelamento in ambienti stratificatidovuto a scarichi dotati di quantita di moto o di densita diversa da quella del fluidorecettore. Lo scarico puo essere assimilato ad un getto, ad un pennacchio o ad ungetto galleggiante, fino ad arrivare a casi piu generali. In tutti i casi il contesto diriferimento e quello del campo vicino.

3.1 Getto assialsimmetrico

Un getto turbolento scarica Q0 = 1 m3/s di liquido ad una velocita U0 = 3 m/sin un liquido avente la stessa densita. La concentrazione iniziale di tracciante eC0 = 1 kg/m3. Trovare, ad una distanza x = 60 m dall’orifizio, la massima velocita,la concentrazione di tracciante e la diluizione media.

La quantita di moto del getto e I = Q0 U0 = 3 m4/s2, la portata massicascaricata M = Q0C0 = 1 kg/s. La dimensione caratteristica iniziale del getto edata da L0 = Q0/

√I =

√A0, dove A e l’area dell’orifizio. L’area puo anche essere

calcolata come A0 = Q0/U0 = 0.33 m2. Si trova quindi L0 = 0.58 m e alla distanzax il rapporto x/L0 = 1042.

Le caratteristiche principali dei getti possono essere valutate mediante l’analisi Relazioni analitiche

dimensionale. Sfruttando l’ipotesi di autosimilarita, la struttura della velocita nelladirezione trasversale puo essere descritta dalla relazione

U = Um exp(−ξ2

), ξ = r/lv . (3.1)

I risultati teorici assicurano che la dimensione laterale lv del getto cresce linearmentesecondo la relazione

lv = a1x , a1 ' 0.107 (3.2)

La quantita di moto si mantiene costante e vale

I = U20 L2

0 . (3.3)

Sostituendo la struttura (3.1) e sfruttando la simmetria cilindrica, si trova

I =∫

A

U2dA =∫ ∞

0

U2(ξ)2πrdr = U2m2πl2v

∫ ∞

0

exp(−2ξ2)ξdξ

1Gli esercizi sono stati adattati da Fischer et al. (1979).2La distanza x e tale da superare abbondantemente la lunghezza necessaria per superare la

zona in cui e presente un nucleo irrotazionale di flusso (zona di sviluppo del moto, circa 6 L0) eper raggiungere uno stato di equilibrio (circa 10 L0).

37

38 3.1. Getto assialsimmetrico

che, grazie alla (3.3), fornisce3

U2m2πl2v

(14

)= U2

0 L20

da cui, sostituendo la (3.2), si trova

Um = U0L0

x

√2

πa21

= b1 U0L0

x. (3.4)

Il valore di b1 ' 7.0 trovato sperimentalmente e leggermente diverso da quelloderivante dall’ultima equivalenza della (3.4), che in base al valore di a1 riportatonella (3.2) risulta pari a b1 =

√2

πa21

= 7.46.La portata del getto e data per definizione da

Q =∫

A

UdA =∫ ∞

0

U(ξ)2πrdr = Um2πl2v

∫ ∞

0

exp(−ξ2)ξdξ = Umπl2v

Sostituendo Um dalla (3.4) si ha

Q = U0L0xπb1a21 = c1Q0

x

L0.

dove c1 ' 0.25 (valore sperimentale; teorico c1 = πb1a21 = 0.27).

Analogamente a quanto visto per la velocita, anche per la concentrazione si puoassumere un andamento gaussiano

C = Cm exp(−ξ2

c

), ξc = r/lc , (3.5)

dove ξc = αξ con α = lv/lc rapporto tra le dimensioni caratteristiche del getto,rispettivamente considerando velocita e concentrazione. Sperimentalmente si trova

lc = acx , ac ' 0.127 (3.6)

e quindi α = 0.84. La conservazione della massa impone

M =∫

A

CUdA = C0Q0 ,

relazione che puo essere esplicitata nella forma

CmUml2v

∫ ∞

0

exp[−(1 + α2)ξ2

]2πξdξ = Cm

πb1a21

1 + α2U0L0x = C0U0L

20

da cui si ottiene un’equazione per Cm del tipo (3.4) trovato per Um

Cm = bc C0L0

x. (3.7)

Anche in questo caso il valore sperimentale bc ' 5.6 e diverso da quello teoricobc = (1 + α2)/c1 = 6.37.

Volendo infine definire una concentrazione C mediata sulla portata del getto, sitrova

C =M

Q=

M

Q0

Q0

Q= C0

L0

c1x

Utilizzando la (3.7), si trova che il rapporto

Cm

C= 1 + α2


3. GETTI E PENNACCHI 39

e indipendente dalla coordinata x; il valore sperimentale 1.41 e inferiore a quelloteorico 1 + α2 = 1.71.

Applicando tali relazioni, alla distanza x = 60 m dall’orifizio, si trova per laValori numerici

velocita massima

Um = 7.0L0

x

I

Q0= 0.2 m/s ,

per la concentrazione massima

Cm = 5.6L0

xC0 = 54 g/m3

e per la diluizione mediaQ

Q0= 0.25

x

L0= 26 .

Si noti che tutti i precedenti valori si intendono media su un intervallo temporalesufficientemente lungo.

Le dimensioni laterali lv e lc del getto valgono

lt = 0.107x = 6.42 m, lc = 0.127x = 7.62 m.

Infine, la concentrazione mediata e

C =M

Q=

M

26Q0=

C0

26= 38.5 g/m3

da cui si ritrova che Cm/C = 1.41.

3.2 Pennacchio assialsimmetrico

Uno scarico di acqua dolce Q0 = 1 m3/s e localizzato ad una profondita H = 70mdalla superficie oceanica. Lo scarico ha un temperatura Ts = 17.8C e il mare edescrivibile come ben miscelato con una temperatura Ta = 11.1C e una salinitaS = 32.5 ppm. Assegnata una concentrazione iniziale di tracciante C0 = 1 kg/m3,quale sara la massima concentrazione ad una profondita H ′ = 10 m dalla superficie?

La densita di un fluido caratterizzato da temperatura Ta e salinita Sa puo esseredesunta dalla Tabella 4.3. Interpolando linearmente4 tra i valori noti, si trovaρa = 1024.8 kg/m3. Nello stesso modo si trova la densita dello scarico (aventesalinita nulla) alla temperatura di 17.8C: ρs = 998.6 kg/m3. La differenza didensita e pari a ∆ρ = 26.2 kg/m3, che ci consente di calcolare l’accelerazione digravita efficace

g′0 = g∆ρ

ρs= 0.257 m/s2 .

Il flusso di galleggiamento e per definizione

B = g′0Q0 = 0.257 m4/s3 ,

3Si noti che l’integraleR

exp(−x2)xdx = − 12

exp(−x2), da cuiR∞0 exp(−x2)xdx = 1

2.

4La procedura puo essere descritta come segue: (1) si interpola linearmente tra i valori ditemperatura di 15C e 20C per la salinita di 32 ppm e si ottiene l’anomalia σ1 = 2442.0; (2) siinterpola nello stesso intervallo di temperatura per Sa = 34 ppm e si trova σ2 = 2597.66; (3) aquesto punto si interpola lungo Sa tra i due valori trovati σ1 e σ2 e si trova σ = 2480.9, da cui ladensita indicata.


40 3.2. Pennacchio assialsimmetrico

mentre il flusso di massa del tracciante e

M = C0 Q0 = 1 kg/s = 1000 g/s .

L’analisi teorica e la conservazione della massa impongono che sia B sia M riman-gano costanti lungo z.

Indicando con Wm = f(B, z) la velocita verticale in asse, ad una distanzasufficiente dallo scarico, per il teorema Π si ha5 come scala di velocita

(Bz

)1/3

Wm = b1

(B

z

)1/3

. (3.8)

L’analisi dimensionale fornisce inoltre per la quantita di moto la struttura

I = b2

(B

z

)2/3

z2 = b2B2/3z4/3 (3.9)

e sperimentalmente si ricava b1 ' 4.7 e b2 ' 0.35.Assunta una struttura trasversale autosimilare

W = Wm exp(−ξ2

), ξ = r/lv ,

la portata nel pennacchio e

Q =∫

A

WdA = Wm2πl2t

∫ ∞

0

exp(−ξ2

)ξdξ = πl2vWm

Con l’andamento (3.8) trovato per Wm, data la crescita lineare della dimensionetrasversale lv = a1z, la portata puo essere scritta come

Q = πa21z

2b1

(B

z

)1/3

= b3B1/3z5/3

(con b3 ' 0.15 valore sperimentale) o anche, grazie alla (3.9), in una forma simile aquella trovata per i getti

Q = b3

√I

b2z = bp

√IL2

0

z

L0(3.10)

dove bp ' 0.254 (sperimentale). Eliminando z dalle relazioni (3.9) e (3.10) si trova

QB1/2

I5/4=

b3

b5/42

= Rp

con Rp = 0.557 numero di Richardson del pennacchio.Per la concentrazione in asse si ricava una struttura del tipo

Cm = bcM

B1/3z5/3

con bc ' 9.1.Alla distanza z = 60 m, la quantita di moto del pennacchio e pari aValori numerici

I = 0.35 B2/30 z4/3 = 33.2 m4/s2

5Le dimensioni di B sono [B] = L4/T 3, mentre [z] = L, da cui la scala per [Wm] = L/T .



con una velocita massima in asse

Wm = 4.7(

B0

z

)1/3

= 0.76 m/s .

La concentrazione massima risulta

Cm = 9.1M

B1/3z5/3= 15.6 g/m3 ,

e la portata del pennacchio

Q = 0.15B1/3z5/3 = 87.7 m3/s

da cui si ottiene la diluizione media Q/Q0 = 87.7. Si noti come la diluizione risultimolto maggiore di quella ottenuta in condizioni analoghe nell’esercizio 3.1.

3.3 Getto galleggiante

Nella configurazione dell’esercizio 3.2 si consideri uno scarico dotato di una velocitaU0 = 3 m/s.

Questo caso puo essere classificato come ‘getto galleggiante’, caratterizzato daQ0 = 1 m3/s, I0 = Q0U0 = 3 m4/s2 e B0 = g′0Q0 = 0.257 m4/s2. Le lunghezzecaratteristiche sono la dimensione iniziale del getto

L0 =Q0√I0

= 0.577 m

e la lunghezza oltre la quale il getto si comporta come un pennacchio

LB =I3/40

B1/20

= 4.5 m ;

da queste si ottiene il numero di Richardson del getto galleggiante

Rg =L0

LB= 0.128 .

Il ridotto valore della lunghezza LB suggerisce che il flusso diventa assimilabile adun pennacchio a breve distanza dal punto di scarico.

La soluzione puo essere trovata facendo riferimento a due comportamenti asin-totici in termini delle variabili adimensionali

z∗ = 0.25z

L0

Rg

Rp, Q∗ =

Q

Q0

Rg

Rp.

Per il comportamento a getto si trova

Q∗ = z∗ , (3.11)

per quello a pennacchioQ∗ = z∗5/3 . (3.12)


42 3.4. Scarico in atmosfera

Per z = 60 m, la coordinata adimensionale (Rp = QB1/2/I5/4 = 0.557) e z∗ = 6.0;in forma grafica6 o utilizzando la semplificazione (3.12) di pennacchio pienamentesviluppato (dato che z À LB), si trova Q∗ = 20 e quindi

Q = Q∗Q0Rp

Rg= 87 m3/s .

La diluizione Q/Q0 = 87 e equivalente al caso di pennacchio semplice consideratonell’esercizio 3.2.

3.4 Scarico in atmosfera

Un impianto di termodistruzione scarica dei fumi attraverso un camino di altezzahs = 100 m e diametro ds = 2.4 m. I fumi hanno una temperatura Ts = 140Ce una velocita verticale allo scarico ws = 20 m/s. L’atmosfera e caratterizzatada un temperatura Ta = 20C e da un vento orizzontale che soffia alla velocitaum = 1.5 m/s, misurata alla quota hm = 10 m. Stimare la risalita del pennacchio ela distanza sottovento di livellazione.

In questo esercizio si fa riferimento ad uno scarico in aria e non, come nei casiprecedenti, in acqua. L’approccio e simile in linea di principio, trattandosi di duefluidi, ma l’atmosfera e caratterizzata da una piu o meno marcata stratificazione.

Data la complessita della situazione, il calcolo deve essere effettuato avvalendosidi relazioni empiriche. Le parametrizzazioni utilizzate in seguito sono state proposteda Briggs e sono riportate in Sozzi et al. (2002).

3.4.1 Formule di Briggs

Il flusso di galleggiamento e dato per definizione daParametri delloscarico

B = g∆ρ

ρQ0

dove la portata d’aria scaricata e Q0 = wsπd2s/4 = 90.5 m3/s. Dato che la densita

ρ dipende dalla temperatura, il flusso B puo essere parametrizzato nella forma

Fb = gwsd2

s

4Ts − Ta

Ts= 82.1 m4/s3

dove le temperature sono espresse in Kelvin (Ta = 293.15 K, Ts = 413.15 K).Il flusso di quantita di moto del getto e dato da

I = Q0ws = w2sπ

d2s

4

Il parametro di Briggs correlato e

Fm = w2s

d2s

4Ts

Ta= 812 m4/s2 .

Per quanto riguarda l’atmosfera, per prima cosa e necessario conoscere la condi-Parametriatmosferici zione di stabilita attraverso sei classi che individuano l’instabilita (A-B), la neutra-

lita (C-D) e la stabilita (E-F ). Una stima qualitativa della classe a seconda dellavelocita del vento, della radiazione solare e della copertura nuvolosa e deducibiledalla Tabella 3.1.

6Si veda la parte teorica delle dispense del corso.



Vento [m/s] Radiazione solare (giorno) Copertura nuvolosa (notte)Forte Moderata Debole > 1/2 ≤ 1/2

< 2 A A-B B E F2-3 A-B B C E F3-5 B B-C C D E5-6 C C-D D D D> 6 C D D D D

Tabella 3.1: Tabella qualitativa per le classi di stabilita di Pasquill.

La velocita orizzontale segue un profilo verticale che puo essere approssimatodalla relazione di potenza

us = um

(hs

hm

)m

(3.13)

in cui il parametro m dipende dalla classe (instabile m = 0.15, neutra m = 0.20,stabile m = 0.30).

Nel caso in cui l’atmosfera sia stratificata stabilmente (e quindi solo per le classiE e F ), un parametro di stabilita e dato da

s =g

θ

∂θ

∂z' g

Ta

∂θ

∂z(3.14)

ovvero il quadrato della cosiddetta frequenza di Brunt-Vaisala7. Il gradiente termico∂θ/∂z puo essere stimato pari a 0.02 per la classe E, pari a 0.035 per la F .

Nella (3.14), θ e la temperatura potenziale

θ = T

(P0

P

)R/Cp

= T

(1000 hPa

P

)0.287

ovvero la temperatura equivalente di una porzione di fluido portata adiabaticamentealla pressione di 1000 hPa. Se θ aumenta con la quota, la stratificazione e stabile (e lacondizione equivalente ad un gradiente positivo di temperatura in un ambiente nonstratificato, in cui a temperature maggiori corrispondono densita minori e quindiuna tendenza a salire verso l’alto), se rimane costante la situazione e neutra, mentrese θ diminuisce si ha instabilita perche le masse piu ‘calde’ tendono a salire dal bassoverso l’alto.

Per distinguere due comportamenti diversi (dominato dal galleggiamento o do-minato dalla quantita di moto) si fa riferimento ad una differenza di temperaturacritica ∆Tc, che viene stimata in due modi diversi in base al valore di Fb

Fb < 55 m4/s3 ⇒ ∆Tc = 0.0297 Tsw1/3s d−2/3

s (3.15)Fb > 55 m4/s3 ⇒ ∆Tc = 0.00575 Tsw

2/3s d−1/3

s (3.16)

per poi essere confrontata con la differenza di temperatura tra scarico e atmosferaalla bocca. Si noti che i coefficienti che compaiono nelle (3.16), cosı come alcunedelle formule seguenti, sono dimensionali e pertanto il risultato dipendente dalleunita di misura scelte; nella formulazione attuale e necessario utilizzare le unita delS.I. (m, kg, s).

Se Ts − Ta > ∆Tc, il processo e dominato dal galleggiamento (buoyancy) del Buoyancydominated

7Tale frequenza N e in genere definita come N2 = − gρ

∂ρ∂z

e rappresenta la frequenza delle

oscillazioni di massa dovute ad uno spostamento infinitesimo di una porzione di fluido di densitadiversa in un fluido stratificato.



0 2 4 6 8 100

50

100

150

200

∆ h

um

0 2 4 6 8 100

500

1000

1500

2000

x f

0 100 200 300 40020

40

60

80

100

120

∆ h

Ts

0 100 200 300 400239

239.5

240

x f

Figura 3.1: Risalita del pennacchio ∆H [m] (linea continua) e distanza di livellazione xf [m](linea tratteggiata) in funzione della velocita del vento um [m/s] (a sinistra) e della temperaturadello scarico Ts [C] (a destra) nel caso di classe di stabilita E. La linea tratteggiata verticalesepara il caso momentum dominated (Ts minori) da quello buoyancy dominated (Ts maggiori).

pennacchio e nel caso instabile o neutro (classi A-D) valgono le stime

Fb < 55 m4/s3 ⇒ xf = 49 F5/8b , ∆h = 21.425 F

3/4b u−1

s (3.17)

Fb > 55 m4/s3 ⇒ xf = 119 F2/5b , ∆h = 38.71 F

3/5b u−1

s (3.18)

Nel caso in cui l’atmosfera sia stabile (classi E-F ), le stime dipendono invece dalparametro di stabilita s:

xf = 2.0715us√

s, ∆h = 2.6

(Fb

uss

)1/3

. (3.19)

Se invece Ts − Ta < ∆Tc, il processo e dominato dalla quantita di moto (mo-Momentumdominated mentum) dello scarico: il getto e molto veloce oppure la differenza di temperatura

e molto modesta. Per atmosfera instabile o neutra (classi A-D) si puo utilizzare larelazione

∆h = 3dsws

us. (3.20)

Analogamente, nel caso stabile (classi E-F ) si trova

∆h = 1.5(

Fm

us√

s

)1/3

. (3.21)

Nel caso dominato dalla quantita di moto ha poco senso definire una distanza xf . Sinoti che nella realta questa tipologia di scarico e meno frequente di quella dominatadal galleggiamento.

Applicazione delle relazioni. Assegnata la classe di stabilita E (e quindi m =0.30), la (3.13) fornisce la stima us = 2.99 m/s della velocita del vento all’altezzahs dello scarico, sulla base della misura um alla quota hm. Dato che il parametroFb > 55, la (3.16) fornisce ∆Tc = 13 K, chiaramente inferiore alla differenza ditemperatura Ts − Ta = 120 K: lo scarico e dominato dal flusso di galleggiamento.Con una classe di stabilita E si trova s = 6.69 · 10−4 s−2; le stime da utilizzare sonole (3.19). Si ha quindi xf = 240 m e ∆h = 90 m.

In Figura 3.1 e rappresentato, nel caso della classe di stabilita E, l’andamentodella risalita del pennacchio ∆H e della distanza di livellamento xf al variare dellavelocita del vento misurata um e della temperatura dello scarico Ts. Si nota cheil funzionamento dominato dal galleggiamento e prevalente e che solo per bassetemperature dello scarico il comportamento e dominato dalla quantita di moto. Nelcaso di classe di stabilita A, le stesse informazioni sono proposte in Figura 3.2.



0 2 4 6 8 100

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

∆ h

um

0 2 4 6 8 10692

694

696

x f

0 100 200 300 4000

100

200

300

400

∆ h

Ts

0 100 200 300 400200

400

600

800

1000

x f

Figura 3.2: Gli stessi grafici della Figura 3.2 nel caso di classe di stabilita A.


Capitolo 4

Esercizi sulla diluizione incampo vicino

In questo capitolo vengono affrontati alcuni problemi che sono dominati dal pro-cesso di mescolamento lungo la coordinata verticale. Nei corsi d’acqua, infatti,la dimensione verticale (profondita della corrente) e usualmente molto minore diquella trasversale e della scala di variazione longitudinale. Questa semplice conside-razione geometrica implica che il mescolamento sulla verticale avviene su una scalatemporale che e tipicamente minore della scala temporale legata al miscelamentosulla trasversale. Cio non significa, d’altra parte, che i due processi avvenganoseparatamente, l’uno di seguito all’altro; si ha invece che, alla distanza in cui ilmescolamento verticale si puo considerare concluso, il mescolamento trasversale ein piena azione e la nuvola di tracciante ha spesso una dimensione caratteristicatrasversale considerevole.

Coefficienti costanti. Negli esercizi di questo capitolo utilizzeremo sempre lasoluzione a coefficienti costati, ovvero ipotizzeremo che la velocita e il coefficiente didiffusione siano costanti su tutta la sezione. Si tratta di un’approssimazione, discus-sa nella seconda parte delle dispense del corso di Idraulica Ambientale, necessariaper poter ottenere delle soluzioni analitiche.

Da un punto di vista formale, tale ipotesi consiste nel riscrivere l’equazione diconvezione-diffusione

∂C

∂t+ u

∂C

∂x=

∂

∂x

(Dt

x

∂C

∂x

)+

∂

∂y

(Dt

y

∂C

∂y

)+

∂

∂z

(Dt

z

∂C

∂z

), (4.1)

scritta in un sistema di riferimento il cui asse x e allineato con la velocita dellacorrente (ipotizzata unidirezionale, ovvero v = w = 0), imponendo un valore co-stante lungo la verticale z alla velocita e ai coefficienti di diffusione turbolenta parial valore mediato sulla profondita Y :

U(x, y, t) =1Y

∫ Y

0

u(x, y, z, t)dz , Dt[x,y,z](x, y, t) =

1Y

∫ Y

0

Dt[x,y,z](x, y, z, t)dz

Nel caso in cui il moto sia uniforme e la sezione trasversale rettangolare e larga a suf-ficienza da poter trascurare la variabilita trasversale e longitudinale dei coefficienti,l’equazione (4.1) diventa

∂C

∂t+ U

∂C

∂x= Dt

x

∂2C

∂x2+ Dt

y

∂2C

∂y2+ Dt

z

∂2C

∂z2(4.2)

47

48 4.1. Diffusore trasversale

e ammette soluzione analitica, come gia visto nel caso della diffusione molecolare,con la differenza che in questo caso il processo diffusivo e anisotropo.

L’equazione (4.2) puo essere ulteriormente semplificata quando si consideri unproblema stazionario determinato da uno scarico di una portata massica M costante.In questo caso, verificato che il numero di Peclet turbolento sia grande abbastanza dapoter considerare trascurabile la diffusione nella direzione del trasporto convettivo,la (4.2) puo essere scritta come

U∂C

∂x= Dt

y

∂2C

∂y2+ Dt

z

∂2C

∂z2. (4.3)

4.1 Diffusore trasversale

Sia dato un corso d’acqua caratterizzato dai seguenti valori dei parametri: B =100m, Q = 100 m3/s (durante le condizioni di magra), Y = 2.5 m, if = 10−4.Viene realizzata un’opera di scarico di liquami pretrattati che presenta un trattoterminale costituito da un diffusore di lunghezza pari alla larghezza del canale di-sposto sul fondo trasversalmente rispetto all’asse della corrente. La portata di li-quame scaricata e pari a Ql = 0.5 m3/s, con una concentrazione di BOD5 pari aCl = 260 g/m3.Si valuti la lunghezza di completo miscelamento sulla verticale e si determini laregione in cui la concentrazione eccede 2g/m3.

Trascurando gli effetti dinamici dello scarico e il processo di miscelamento indot-to dall’efflusso attraverso gli ugelli del diffusore, si puo determinare la distanza Lmv

per il completo miscelamento verticale. Assumiamo che la sezione sia rettangolare(e quindi profondita locale costante Y (y) = Y). Assumiamo per semplicita che lavelocita U(y, z) sia costante sulla sezione e pari alla velocita media U della corrente:

U =Q

BY= 0.4 m/s

La velocita d’attrito puo essere valutata come

u∗ =√

g Rh if = 0.048 m/s

con Rh raggio idraulico della sezione. Il coefficiente di diffusione turbolenta mediatosulla verticale e

Dtz = 0.067 u∗Y = 8.04 · 10−3 m2/s

La soluzione del problema e data in questo caso dalla soluzione relativa al pro-cesso di miscelamento lungo la verticale, posto che quello lungo la trasversale e ope-rato dal diffusore, di larghezza comparabile con quella del corso d’acqua. Troviamoquindi

C =M/B√4πDt

zUx

∞∑

j=−∞

exp

[− (z − z0 + 2jY )2

4Dtz x/U

]+ exp

[− (z + z0 + 2jY )2

4Dtz x/U

]

(4.4)che puo essere riscritta in termini adimensionali utilizzando

x∗ =x

UY 2/Dtz

, z∗ =z

Y, C∗ =

C

Cm, (4.5)

avendo definito la concentrazione asintotica

Cm =M

Q=

Ql Cl

Q= 1.3 g/m3 . (4.6)


4. CAMPO VICINO 49

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1r

mix=0.98

x*

C* m

in/C

* max

n=0

n=1n>=2

Figura 4.1: Rapporto di mescolamento C∗min/C∗max al variare di x∗; e indicata la linea conven-zionale C∗min/C∗max = 0.98. Le curve dipendono dal numero n di sorgenti immagine considerato:si nota che per x∗ < 1 sono sufficienti due sorgenti.

dove, a rigore, al denominatore dovrebbe essere Q + Ql in luogo di Q (infatti laportata del corso d’acqua aumenta dopo lo scarico); essendo pero solitamente Ql ¿Q, i risultati non cambiano significativamente. La (4.4) fornisce quindi

C∗ =1√

4πx∗

∞∑

j=−∞

exp

[− (z∗ − z∗0 + 2j)2

4x∗

]+ exp

[− (z∗ + z∗0 + 2j)2

4x∗

]. (4.7)

Nel caso in esame, in cui il diffusore si trova sul fondo (z∗0 = 0), ossia in corrispon-denza di una parete, la soluzione (4.7) puo essere semplificata nella forma

C∗ =1√πx∗

∞∑

j=−∞exp

[− (z∗ + 2j)2

4x∗

]. (4.8)

Il processo di miscelamento si esaurisce quando la concentrazione e costanteovunque. Si assume convenzionalmente che sia completo quando Pm = Cmin/Cmax >0.98. Considerando che, nel caso di scarico sul fondo, il massimo di concentrazionee sempre localizzato sul fondo (z∗ = 0) e il minimo in superficie libera (z∗ = 1) ,dalla (4.8) si trova

Pm =

∑∞j=−∞ exp

[− (1 + 2j)2

4x∗

]

∑∞j=−∞ exp

(− j2

x∗

) > 0.98

L’andamento del rapporto Pm e rappresentato in Figura 4.1; numericamente sitrova che la coordinata longitudinale adimensionale alla quale si realizza convenzio-nalmente il completo miscelamento e

x∗mv = 0.536

da cui si ottiene

Lmv = x∗mv

UY 2

Dtz

= 166 m


50 4.2. Scarico puntuale

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x*

z*

C*=1.54

Figura 4.2: Mappa bidimensionale a curve di livello per la concentrazione C∗(x∗, z∗) ottenutadalla (4.8). In linea continua e disegnata la curva C∗ = 1.54 richiesta dalla (4.9).

Si noti che la soluzione e a rigori valida solo per un diffusore di larghezza pari aquella del canale.

Il miscelamento sulla verticale avviene in un tempo pari

Tmv = Lmv/U = x∗mv

Y 2

Dtz

= 415 s .

Su tale scala temporale non e apprezzabile il decadimento biochimico. Possiamocosı considerare la concentrazione espressa dalla (4.6) come un valore asintoticosulla scala del problema che stiamo considerando (nel senso che, essendo lo scaricocostante, tale valore non cambia per x > Lmv).

Dovendo trovare la regione in cui la concentrazione e superiore a un valore datoCs = 2 g/m3, si richiede

C∗ >Cs

Cm= 1.54 . (4.9)

Dalla Figura 4.2 si ottiene un confine approssimativo di tale regione come

0 < z∗ < 0.32 , 0 < x∗ < 0.14 ,

che puo essere riscritto in termini dimensionali utilizzando le scale (4.5) come

0 < z < 0.79 m, 0 < x < 42 m.

4.2 Scarico puntuale

Un collettore fognario scarica un liquame caratterizzato da BOD pari a 200 g/m3 conuna portata di 2 m3/s. Il punto di scarico e localizzato al centro sul fondo del canale.I dati caratteristici sono: B = 100 m, Y = 3 m, U = 0.3 m/s, u∗ = 0.04 m/s.Determinare la distanza dal punto di efflusso alla quale il BOD si e ridotto a valorinon superiori a 20 g/m3, ovunque nella sezione.


4. CAMPO VICINO 51

Il punto di scarico (z = 0 m, y = B/2) e caratterizzato da coordinate adimen-sionali z∗0 = 0, y∗0 = 0.5. La portata liquida e Q = UBY = 90 m3/s, la portatamassica di BOD e M = 200 g/m3 · 2 m3/s = 400 g/s. Trattandosi di uno scaricostazionario e dovendo considerare la prima fase del miscelamento, si trascura ladiffusione longitudinale e il decadimento biochimico. Si assume che il coefficiente didiffusione in direzione trasversale sia doppio rispetto a quello verticale:

Dty = 2Dt

z

La soluzione dell’equazione

U∂C

∂x= Dt

z

∂2C

∂z2+ Dt

y

∂2C

∂y2,

assegnate le condizioni al contorno, e

C =M

4π√

DtzD

tyx

∞∑

j=−∞2 exp

[− (z + 2jY )2

4Dtz x/U

] ·

·

∞∑

j=−∞exp

[− (y −B/2 + 2jB)2

4Dty x/U

]+

∞∑

j=−∞exp

[− (y + B/2 + 2jB)2

4Dty x/U

] (4.10)

Introducendo la concentrazione asintotica

Cm =M

Q= 4.44 g/m3

e utilizzando le usuali scale spaziali x∗ =x

UY 2/Dtz

, y∗ =y

B, z∗ =

z

Y, la (4.10)

puo essere riscritta come

C∗ =β

4π√

2x∗

∞∑

j=−∞2 exp

[− (z∗ + 2j)2

4x∗

] ·

·∞∑

j=−∞

exp

[−β2 (y∗ − 0.5 + 2j)2

8x∗

]+ exp

[−β2 (y∗ + 0.5 + 2j)2

8x∗

](4.11)

dove β = B/Y = 33.3.La richiesta C < 20 g/m3 si traduce di conseguenza nella

C∗ < C∗s =C

Cm= 4.50 (4.12)

che deve essere rispettata nel punto corrispondente alle coordinate dello scaricoz∗ = 0, y∗ = 0.5, dove la concentrazione e massima in ogni sezione trasversale. La(4.12) insieme alla (4.11) implicano quindi

β

2π√

2x∗

∞∑

j=−∞e−j2/x∗

∞∑

j=−∞

exp

(−β2j2

2x∗

)+ exp

[−β2(1 + 2j)2

8x∗

]< C∗s

(4.13)che risolta rispetto all’incognita x∗ fornisce

x∗ > 2.18 ⇒ x > 733 m

Si noti che la (4.13) prevede una sommatoria di infiniti termini; tuttavia, anchenel caso in cui si scelga di considerare solo n termini, la soluzione per x non e


52 4.3. Sorgente puntuale non stazionaria

10−1

100

101

102

103

10−2

10−1

100

101

102

x*

C*

n=0

n=1

n=10

n=100

Cm*

Cs*

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Cm*

Cs*

x*

C*

n=0

n=1

n=10, n=100

Figura 4.3: Concentrazione C∗ in funzione della coordinata adimensionale x∗, valutata nel puntoz∗ = 0 e y∗ = 0.5. Il grafico di sinistra e bilogartimico per poter osservare il fenomeno nella suaglobalita; il grafico di destra rappresenta un parte del precedente nella scala naturale. Le diversecurve corrispondono alla soluzione della (4.13) con un diverso numero n di sorgenti immagine; sinoti che sarebbe opportuno utilizzare n diversi per le sommatorie in y∗ e in z∗.

esprimibile in forma esplicita. Il metodo piu chiaro per trovare il valore cercatoe quello di rappresentare la concentrazione in un grafico in funzione di x∗, come estato fatto in Figura 4.3, e individuare l’intersezione con la retta C∗ = C∗s . Possiamovedere che, a seconda della distanza che stiamo considerando, dobbiamo considerareun numero diverso di sorgenti immagine; in particolare, a distanze maggiori dallasorgente deve corrispondere un numero maggiore di sorgenti immagine.

Confronto con il diffusore trasversale. Nel caso in cui sia presente un diffusoredi larghezza pari a quella del canale, la condizione C∗ < C∗s viene raggiunta moltopiu velocemente. Si trova infatti1 che la concentrazione e inferiore alla soglia perx∗ > 0.0157, corrispondente a x > 5.28 m. La spiegazione del fenomeno e chiaraquando si consideri che il diffusore compie la parte piu gravosa del processo dimescolamento, cioe quello lungo la trasversale che deve avvenire su una scala di50m invece dei 3 m lungo la verticale.

4.3 Sorgente puntuale non stazionaria

Sia dato uno impianto di depurazione che scarica una portata massica M variabilesecondo la Tabella 4.1 in un corso d’acqua caratterizzato dai seguenti dati: B =100m, Qmin = 100 m3/s, Y = 2 m, if = 10−4. Lo scarico e localizzato nel puntoz0 = Y/2, y0 = B/2. Valutare l’andamento della concentrazione nel tempo ad unadistanza x∗ = 0.134.

La variazione giornaliera e tipica degli impianti di trattamento delle acque re-flue di piccole dimensioni (per gli impianti di maggiori dimensioni la presenza divasche con elevato tempo di ritenzione elimina questo tipo di variabilita). Obiettivodell’esercizio e comprendere quando e possibile utilizzare la soluzione valida per loscarico stazionario anche nel caso di una variabilita dello stesso e valutare quandoquesta possa essere considerata lenta.

Ipotizziamo per semplicita di considerare un processo in cui le caratteristichegeometriche e idrodinamiche si mantengano costanti sulla sezione e nel tratto lon-

1Si veda l’esercizio 4.1.


4. CAMPO VICINO 53

t M t M t M t M1 10 7 100 13 70 19 902 5 8 150 14 130 20 1303 5 9 100 15 30 21 1004 5 10 70 16 20 22 705 5 11 60 17 20 23 606 20 12 90 18 20 24 20

Tabella 4.1: Portata massica M [g/s] scaricata in funzione del tempo t[h] durante una giornatanormale.

gitudinale considerato. La velocita media e U = Q/(BY ) = 0.50 m/s; la velocitad’attrito e uf =

√g Rh if = 0.043 m/s. Si assumono i coefficienti di diffusione

turbolenta

Dtz = 0.067u∗Y = 5.8 · 10−3 m2/s , Dt

x = Dtz , Dt

y = 2Dtz

e si adimensionalizza il problema come segue:

z∗ =z

Y, y∗ =

y

B, x∗ =

x

UY 2/Dtz

.

La media giornaliera della portata massica scaricata e 〈M〉 = 57.5 g/s, che fornisceuna concentrazione asintotica media

〈Cm〉 = 〈M〉/Q = 0.575 g/m3 . (4.14)

La concentrazione puo essere valutata mediante l’integrazione nel tempo

C(x, y, z, t) =∫ t

−∞M(τ)Cu dτ (4.15)

dove Cu e la soluzione elementare relativa ad uno scarico istantaneo di una massaunitaria al tempo τ :

Cu =1

[4π(t− τ)]3/2√

Dtx Dt

y Dtz

exp

− [x− U(t− τ)]2

4Dtx(t− τ)

·

·∞∑

j=−∞

exp

[− (y − y0 + 2jB)2

4Dty(t− τ)

]+ exp

[− (y + y0 + 2jB)2

4Dty(t− τ)

]·

·∞∑

j=−∞

exp

[− (z − z0 + 2jY )2

4Dtz(t− τ)

]+ exp

[− (z + z0 + 2jY )2

4Dtz(t− τ)

](4.16)

Osserviamo come e fatta la soluzione alla coordinata x∗ = 0.134, che in unprocesso bidimensionale stazionario corrisponde all’avvenuto mescolamento quandolo scarico si trova a meta della profondita. Dimensionalmente stiamo considerando

x = 0.134 · UY 2/Dtz = 46 m.

In Figura 4.4 sono riportate le curve di isoconcentrazione per due sezioni, distan-ti rispettivamente x∗ = 0.0134 (a sinistra, fase iniziale del mescolamento lungo laverticale) e x∗ = 0.134 (a destra, quando il mescolamento lungo la verticale e prati-calemente concluso). Le curve sono ricavate per uno scarico istantaneo puntuale iny∗0 = 0.5 e z∗0 = 0.5 sulla base della soluzione unitaria (4.16); sono valutate nell’i-stante in cui si localizza il massimo per l’assegnata coordinata x, ossia per t = x/U .


54 4.3. Sorgente puntuale non stazionaria

Possiamo notare due cose: nella prima parte del processo, il mescolamento nonrisente della presenza delle pareti e la nuvola ha una forma ellissoidale2; quandoinvece il mescolamento sulla verticale e avvenuto, le curve sono pressoche parallelee verticali. Si faccia attenzione pero che la nuvola ha comunque una dimensionetrasversale non trascurabile.

46 47 48 49 50 51 52 53 540

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

y [m]

z [m

]

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.4

0.4

0.4

0.7

0.7

1

1

46 47 48 49 50 51 52 53 540

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

y [m]z

[m]

0.01

0.010.01

0.01

0.01

0.01

0.02

0.020.02

0.02

0.02

0.02

0.03

0.030.03

0.03

0.03

0.03

0.04

0.040.04

0.04

0.04

0.04

0.05

0.050.05

0.050.05

0.05

Figura 4.4: Curve di isoconcentrazione in mg/l nella sezione trasversale dovute ad uno scaricounitario e valutate nella sezione x al tempo t = x/U . A sinistra ad una distanza x∗ = 0.0134, adestra a x∗ = 0.134. Viene considerata solo la sezione centrale del canale (46m < x < 54 m).

Avvalendosi dell’ipotesi che la variazione temporale dello scarico sia lenta rispet-to al periodo di tempo durante il quale il processo diffusivo ha avuto luogo nel trattospaziale fino a x∗ = 0.134, possiamo utilizzare la soluzione stazionaria relativa aduna portata massica scaricata M , scaricata nell’istante temporale τ = t − x/U .Il tempo impiegato dal baricentro della massa infinitesima per giungere alla sezio-ne che stiamo considerando e t = x/U = 92 s. Sotto queste ipotesi, la soluzionesemplificata si puo scrivere come:

C(x, y, z, t) =M(t− x/U)

4π√

Dty Dt

z x·

·∞∑

j=−∞

exp

[− (y − y0 + 2jB)2

4Dty x/U

]+ exp

[− (y + y0 + 2jB)2

4Dty x/U

]·

·∞∑

j=−∞

exp

[− (z − z0 + 2jY )2

4Dtz x/U

]+ exp

[− (z + z0 + 2jY )2

4Dtz x/U

](4.17)

L’andamento nel tempo della concentrazione alla distanza x∗ = 0.134 dalloscarico e rappresentato nel grafico di sinistra della Figura 4.6; la concentrazione evalutata in y = y0 e z = z0. Le curve relative alla soluzione non stazionaria (4.15)sono praticamente indistinguibili da quelle ottenute con la soluzione stazionaria(4.17). Dovendo trovare la concentrazione media giornaliera, si puo utilizzare ilgrafico adimensionale di Figura 4.5: per x∗ = 0.134 e B/Y = 50 si trova C∗ = 27.5;per tale valore, utilizzando la scala (4.14), si ottiene C = C∗ 〈Cm〉 = 15.8 g/m3, cherappresenta la media temporale della soluzione trovata.

Nel grafico di destra della Figura 4.6 e riportato l’andamento della soluzione(4.16) relativa ad uno scarico unitario istantaneo rilasciato a t = 0: si puo vederecome il massimo della soluzione venga determinato sostanzialmente dal trasporto

2Si noti che nella figura le scale sono deformate. In realta l’asse maggiore dell’ellisse e quellolungo y, poiche il coefficiente di diffusivita turbolenta in questa direzione e maggiore di quellolungo z.


4. CAMPO VICINO 55

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x*

z*

100

50 40 35 30 27.5

25 22.5

20

Figura 4.5: Curve di isoconcentrazione adimensionale C∗ in funzione di x∗ e z∗, in un pianoverticale con y∗ = y∗0 . Il rapporto tra larghezza e profondita della sezione e B/Y = 50.

0 3 6 9 12 15 18 21 24 0

10

20

30

40

C [

g/m

3 ]

t [h]

non stazionario stazionario

80 85 90 95 100 1050

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

t [s]

Cu [

m−

3]

t=x/U

Figura 4.6: Andamento della concentrazione nel tempo in x∗ = 0.134 e y = y0, z = z0: nel graficodi sinistra la soluzione non stazionaria (4.15) viene confrontata con la soluzione approssimatastazionaria (4.17), per un ciclo giornaliero. Nel grafico di destra e riportata la soluzione (4.16)relativa ad uno scarico unitario.

0 20 40 60 80 0

10

20

30

40

C [

g/m

3 ]

t [s]


0 2 4 6 8 0

10

20

30

40

C [

g/m

3 ]

t [s]


Figura 4.7: Andamento della concentrazione nel tempo in x∗ = 0.134, y = y0 e z = z0, per unascala temporale con ∆t = 3.6 s (a sinistra) e ∆t = 0.36 s (a destra).


56 4.4. Diffusione di uno strato di sedimenti

convettivo e si localizza quindi in t = x/U = 92 s3. La dimensione temporale dellasoluzione, dell’ordine dei 10 s e molto inferiore alla scala di variazione temporaledello scarico ∆t = 3600 s.

Risulta interessante osservare come si comporta la soluzione (4.15) quando loscarico varia piu rapidamente. In Figura 4.7 possiamo confrontare la soluzione con∆t = 3.6 s (a sinistra) e ∆t = 0.36 s (a destra). Notiamo che quando la scala tempo-rale di variazione dello scarico diventa comparabile con la scala tipica del processodi diffusione, la soluzione viene apprezzabilmente influenzata. Questa considera-zione puo essere trasferita sul piano spaziale utilizzando come scala caratteristicadel processo diffusivo LD =

√D t, con D = Dt

x. Considerando la concentrazionein x = 46 m, che corrisponde a t = 92 s, si trova che LD ' 0.73 m. Nel caso incui ∆t = 3600 s, la variazione temporale si traduce in una variazione spaziale chescala con ∆x = U∆t = 1800 m: per il processo diffusivo lo scarico risulta esserepraticamente costante. Nel caso invece in cui ∆t = 3.6 s o ∆t = 0.36 s si ha rispet-tivamente ∆x = 1.8 m e ∆x = 0.18 m: le variazioni nello scarico sono cosı rapideda risentire della diffusione.

Come ottenere la soluzione non stazionaria. L’equazione (4.15) prevedeun’integrazione nel tempo τ che nasconde alcune difficolta numeriche. Infatti la(4.16) fornisce un contributo trascurabile al di fuori dell’intervallo

(t− x

U

)− δ < τ <

(t− x

U

)+ δ (4.18)

a cavallo del massimo τ = t− x/U . Posto infatti

ξ2 =[x− U(t− τ)]2

4Dtx(t− τ)

(4.19)

il termine exp(−ξ2

)rende sostanzialmente nulla la soluzione quando ξ oltrepassa

una soglia dipendente dalla tolleranza richiesta. Se richiediamo quindi ξ2 ≤ ε, postoτ = t− x/U + δ, dalla (4.19) troviamo

δ2 +4Dt

x

U2ε · δ − 4Dt

x x

U3ε ≤ 0

che risolta fornisce i valori

δ1,2 =2Dt

x

U2

(−ε±

√ε2 +

Ux

Dtx

ε

)

che delimitano l’intervallo (4.18) nel quale operare l’integrazione, che deve utilizzareun numero sufficiente di passi temporali per garantire l’accuratezza della soluzione.

4.4 Diffusione di uno strato di sedimenti

Sul fondo di un lungo canale inerodibile con acqua in quiete e presente uno stratodi sedimenti di spessore h = 3 cm con concentrazione uniforme C0. L’acqua vienemessa in moto aprendo lo sbarramento di valle e si realizza un moto uniforme, senzainfluenzare apprezzabilmente lo strato; la pendenza del canale e if = 1 · 10−4 e laprofondita che si realizza e Y = 3 m, la velocita di sedimentazione e ws = 1 cm/s.Con il tempo i sedimenti tendono a diffondere verso l’alto. Valutare il profilo diconcentrazione che si realizza asintoticamente.

3In realta la soluzione (4.16) e asimmetrica nel tempo e il massimo temporale non coincideesattamente con il colmo spaziale.


4. CAMPO VICINO 57

Per studiare questo problema e necessario introdurre nell’equazione di convezione-diffusione l’informazione che i sedimenti sono un soluto pesante, caratterizzabili conuna velocita di sedimentazione ws. L’equazione si puo scrivere nella forma seguente:

∂C

∂t+ u

∂C

∂x− ws

∂C

∂z=

∂

∂x

(Dt

x

∂C

∂x

)+

∂

∂z

(Dt

z

∂C

∂z

)(4.20)

dove si e considerata solamente la componente longitudinale u della velocita delfluido (variabile a priori lungo z), ma abbiamo aggiunto la velocita di caduta delsedimento ws. Nel moto non si considera alcuna variabilita trasversale.

L’equazione (4.20) puo essere semplificata notando che, nei termini in cui edefinito il problema, non c’e motivo per il quale si realizzino dei gradienti longitudi-nali di concentrazione. Volendo poi studiare la configurazione asintotica, possiamoeliminare la derivata temporale ed ottenere

−ws∂C

∂z=

∂

∂z

(Dt

z

∂C

∂z

)(4.21)

Le condizioni al contorno sono condizioni di flusso nullo alle pareti

−Dtz

∂C

∂z− wsC = 0 (z = 0, Y )

e permettono di integrare la (4.21) e ottenere la condizione di flusso nullo ovunquetra il fondo e la superficie libera:

∂C

∂z= −ws

Dtz

C . (4.22)

Per semplificare la trattazione (anche se non e strettamente necessario), intro-duciamo a questo punto l’ipotesi di poter considerare la diffusivita turbolenta Dt

z

costante lungo la verticale. Un’ulteriore integrazione della (4.22) conduce a

C = c1 exp(−ws

Dtz

z

).

La costante di integrazione c1 puo essere ottenuta attraverso la condizione integrale∫ Y

0

Cdz = C0 h ⇒ c1 = C0wsh

Dtz

1

1− exp(−wsY/Dt

z

)

e si puo calcolare la soluzione

C = C0 Roh

Y

exp [Ro (1− z/Y )]exp (Ro)− 1

(4.23)

nella quale e stato introdotto il numero di Rouse

Ro =wsY

Dtz

= 14.9ws

u∗, (4.24)

che rappresenta un rapporto tra la sedimentazione che porta il sedimento versoil basso e la diffusione che tende a risollevarlo, a causa del gradiente negativo diconcentrazione.

Proviamo ora a vedere come sono fatti i profili verticali di concentrazione. Lavelocita d’attrito e u∗ =

√gifY = 0.054 m/s, il coefficiente di diffusione turbolenta

mediato Dtz = 0.067u∗Y = 0.0109 m2/s. Il numero di Rouse risulta in questo caso


58 4.4. Diffusione di uno strato di sedimenti

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Ro=2.57

Ro=1

Ro=10

Ro=0.1

C/C0

z/Y

Figura 4.8: Profili asintotici di concentrazione per un sedimento pesante, in termini adimensio-nali. In linea spessa la soluzione del problema (Ro = 2.57); le altre curve sono relative a valoridiversi del numero di Rouse.

Ro = 2.75 e il profilo risultante e riportato in Figura 4.8. Nella figura sono ancheriportate le curve corrispondenti ad altri numeri di Rouse: per valori elevati (cor-rispondenti a sedimenti piu ‘pesanti’) i sedimenti si concentrano sul fondo, mentreper valori minori ¿ 1 la concentrazione tende verso un valore costante pari a

Cm =C0h

Y= 0.01 C0 . (4.25)

4.4.1 Il caso di un soluto non pesante

Possiamo studiare in forma analitica l’evoluzione del problema di uno strato disedimenti solo se consideriamo

ws = 0

ossia la situazione in cui il numero di Rouse tende a 0. In questo caso, grazie anchealle considerazioni discusse in precedenza, la (4.20) si riduce alla

∂C

∂t=

∂

∂z

(Dt

z

∂C

∂z

)(4.26)

Il problema e analogo in questo caso a quello di due correnti separate da un setto1.7, ma differisce per la presenza delle pareti (fondo e superficie libera). Conside-riamo il coefficiente di diffusione costante lungo la verticale. Affrontiamo in primoluogo il problema della parete sul fondo: la soluzione della (4.26) con tale condizioneal contorno e la differenza di due soluzioni a gradino sinistro, uno in z = h e uno in


4. CAMPO VICINO 59

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t=0 s

t=1 s

t=10 s

t=60 s

t=120 s

t=600 s

C/C0

z/Y

Figura 4.9: Transitorio per la diffusione verticale di un gradino di sedimenti non pesanti (ws =0 ⇒ R0 = 0).

z = −h (si veda anche l’esercizio 1.10),

C =C0

2erfc

z − h√

4Dtz t

− C0

2erfc

z + h√

4Dtz t

=

=C0

2

erf

h− z√

4Dtz t

+ erf

h + z√

4Dtz t

(4.27)

Introdurre la parete in superficie libera equivale a replicare la (4.27) considerandole sorgenti immagine:

C =C0

2

∞∑

j=−∞

erf

h− z + 2jY√

4Dtz t

+ erf

h + z + 2jY√

4Dtz t

L’andamento dei profili di concentrazione nel tempo e rappresentato in Figura4.9: nel transitorio il gradino di concentrazione iniziale tende a diffondere versol’alto fino a raggiungere la concentrazione finale Cm data dalla (4.25). Si noti comequesta soluzione asintotica sia una soluzione limite per Ro → 0 della soluzionetrovata nel caso di sedimenti pesanti (Figura 4.8).

L’ordine di grandezza del tempo necessario a raggiungere il profilo di equilibriopuo essere valutato utilizzando la lunghezza scala della diffusione. Considerando la

radice della varianza σ =√

2Dtzt = Y si ottiene

td =Y 2

2Dtz

= 7.4Y

u∗= 412 s . (4.28)

Si tenga presente che questo non e un valore numerico accurato, ma ci permette diriconoscere la scala temporale caratteristica sulla quale avviene il fenomeno.


60 4.5. Stratificazione verticale

Tempo scala nel caso di sedimento pesante. La stima ottenuta con la (4.28)e valida anche nel caso di sedimento pesante; in questo caso si puo pero considerareanche la scala temporale caratteristica del fenomeno di sedimentazione wst = Y ,dalla quale si ottiene ts = Y/ws = 300 s. E interessante notare che la dipenden-za dalla profondita Y delle scale ts e td e la medesima. Il loro rapporto td/ts eesattamente il numero di Rouse definito dalla (4.24): per valori piccoli di Ro la dif-fusione avviene molto piu velocemente della sedimentazione ed e quindi il fenomenoprevalente.

4.5 Mescolamento in correnti stratificate vertical-mente

Si stimi il tempo richiesto per il mescolamento lungo la verticale di uno scaricoposto a meta della profondita in un corpo idrico ricettore stratificato. La profonditadel canale e Y = 2 m, la pendenza i = 10−4, la velocita media U = 0.12 m/s.Temperatura dell’acqua T = 20C. Altri dati: salinita in superficie Ssup = 18 ppt4,sul fondo Sfon = 23 ppt; velocita in superficie usup = 0.42 m/s, in prossimita delfondo ufon = 0.02 m/s.

L’esercizio prende spunto da un esempio riportato da Rutherford (1994): ilcorpo d’acqua considerato (Lucas Creek) e uno dei molti piccoli fiumi soggetti allamarea che scorrono ad Auckland (Nuova Zelanda). I profili verticali di velocita edi salinita sono stati misurati in una sezione vicino alla bocca (dove il fiume sboccanel mare), durante un ciclo di marea. I due momenti piu significativi sono la fasedi alta marea e quella di bassa marea. Durante la fase di alta marea la salinita esostanzialmente uniforme verticalmente, con un valore prossimo a quello delle acquecostiere adiacenti (29 ÷ 30 ppt). Durante la bassa marea, invece, il flusso di acquadolce del fiume causava una parziale stratificazione (con un profilo sostanzialmentelineare di salinita e valori decrescenti da Ssup = 18 ppt in superficie e di Sfon = 23 pptin prossimita del fondo). Negli ambienti a marea una situazione di stratificazionerilevante viene indicata con il termine cuneo salino.

Per prima cosa stimiamo il miscelamento nel caso in cui il corpo idrico sia nonstratificato. Essendo la velocita d’attrito u∗ = 0.044 m/s, stimiamo un coefficientedi diffusione turbolenta mediato

Dtz = 0.067 u∗ Y = 5.9 · 10−3 m2/s

Posto lo scarico in z0 = Y/2, sappiamo che la lunghezza convenzionale (Pm = 0.98)per realizzare il mescolamento lungo la verticale e

Lmv = 0.134UY 2

Dtz

= 11 m

da cui un tempotmv = Lmv/U = 91 s .

Durante la bassa marea il miscelamento verticale e parzialmente inibito. Nel casodi fluido stratificato il coefficiente di diffusione ridotto puo essere stimato utilizzandola relazione

Dtzstr = Dt

z (1 + a Ri)b (4.29)

4L’unita di misura della concentrazione in frazioni ppt corrisponde a parti per mille (part perthousand); quindi 1 ppt = 1000 ppm.


4. CAMPO VICINO 61

dove a e b sono coefficienti empirici (si veda la Tabella 4.2) e Ri e il numero diRichardson

Ri = −g∂ρ

∂z/

[ρ

(∂u

∂z

)2]

(4.30)

che rappresenta il rapporto tra le forze di galleggiamento e le forze inerziali. Ladensita ρ del fluido puo essere valutata in funzione della temperatura T e dellasalinita S utilizzando la Tabella 4.35. La densita al fondo alla temperatura T =20C e pari a ρfon = 1015.7 kg/m3; quella in superficie ρsup = 1011.9 kg/m3.

Autore a b(1) Munk and Anderson (1948) 10/3 -3/2(2) Officer (1976) 1 -2(3) Schiller amd Sayre (1975) 10/3 -5/4

Tabella 4.2: Coefficienti dell’equazione (4.30), nella quale il numero di Richardson Ri si intendevalutato con i valori mediati sul ciclo di marea (Rutherford, 1994).

T [C]S [ppt] 0 2 4 6 8 10 15 20 25 30

0 -13 -3 0 -5 -16 -32 -87 -177 -293 -4335 397 403 402 394 381 362 301 207 87 -5710 801 804 799 788 772 750 685 586 462 31515 1204 1204 1195 1181 1162 1138 1067 964 836 68620 1607 1603 1589 1573 1551 1532 1450 1342 1210 105725 2008 2001 1988 1970 1947 1920 1832 1720 1585 142830 2410 2400 2384 2363 2340 2308 2215 2098 1960 180132 2571 2560 2543 2521 2494 2464 2364 2250 2110 195034 2732 2719 2701 2678 2651 2619 2522 2402 2261 210036 2893 2879 2860 2836 2808 2775 2676 2554 2412 225038 3055 3040 3019 2994 2965 2931 2830 2707 2563 240040 3213 3200 3179 3153 3122 3088 2985 2860 2714 255042 3377 3361 3337 3310 3279 3243 3138 3011 2864 2700

Tabella 4.3: Variazioni dell’anomalia della densita σ con salinita e temperatura. La densita edata da ρ = (1000 + σ/100) kg m−3. Da Millero et al. (1976), citato in Rutherford (1994).

Poiche non conosciamo gli esatti profili di salinita e velocita, utilizziamo unadefinizione semplificata del numero di Richardson (4.30)

Ri = −gY∆ρ

ρ(∆u)2,

formalmente corretta solo nel caso di profili verticali lineari. Calcoliamo le grandezzeda utilizzare:

∆u = usup − ufon = 0.40 m/s , ∆ρ = ρsup − ρfon = −3.8 kg/m3 ,

ρ =ρsup + ρfon

2= 1013.8 kg/m3 ⇒ Ri = 0.46

Il coefficiente di diffusione in ambiente stratificato Dtzstr risulta variabile in fun-

zione dei parametri della relazione (4.29). Calcoliamo la lunghezza e il tempo di

5Per le temperature non riportate nella Tabella 4.3, i valori di σ da utilizzare nel calcolo di ρpossono essere ottenuti interpolando linearmente tra i valori noti.


62 4.6. Scarico a densita diversa

mescolamento verticale per le tre coppie di valori forniti dalla Tabella 4.2:

(1) : Dtzstr = 1.5 · 10−3 m2/s ⇒ Lmv = 44 m, tmv = 364 s



Come si nota chiaramente, in questo caso la stratificazione aumenta di 2 ÷ 4 vol-te (a seconda della formulazione utilizzata) il tempo necessario per ottenere ilmescolamento.

4.6 Mescolamento di uno scarico a densita diversa

Si stimi la distanza di diluizione di uno scarico a temperatura elevata (Ts = 23.4C)in un corpo idrico a temperatura Ta = 15C. Lo scarico avviene in sponda insuperficie libera. Dati: profondita Y = 2 m, velocita media U = 0.65 m/s, pendenzaif = 1.27 · 10−4, portata scaricata Qs = 32 m3/s.

Anche questo esercizio prende spunto da un esempio riportato da Rutherford(1994): una centrale scarica superficialmente le acque di raffreddamento nel fiumeWaikato (Nuova Zelanda) in prossimita di una sponda. Lo scarico, essendo piu caldodel fluido ambiente che lo riceve, subisce un effetto di galleggiamento che tende ainibirne il mescolamento. Questo caso e concettualmente diverso dai precedenti:non si realizza la diluizione di una concentrazione, bensı la diluizione dello scaricostesso fino ad una condizione in cui la differenza di densita scompare (corrispondenteal ‘miscelamento’ della temperatura). Lo scarico tendera a galleggiare e a creare unastratificazione del corpo idrico recettore, che pero non possiamo facilmente valutarea priori e non abbiamo indicazioni sul numero di Richardson se non quella che eplausibile ritenere che tendera a diminuire allontanandosi dallo scarico.

Calcoliamo inizialmente alcune grandezze idrauliche. La velocita d’attrito euf =

√gifY = 0.05 m/s; la diffusivita turbolenta mediata sulla verticale e Dt

z =0.067 u∗Y = 6.7 · 10−3 m2/s nel caso non stratificato. La distanza di mescolamentoe di conseguenza

Lmv = 0.536 UY 2/Dtz = 208 m (4.31)

(Pm = 0.98 e scarico in superficie libera); nel caso si consideri invece Pm = 0.8, ladistanza necessaria sara chiaramente minore:

Lmv = 0.293 UY 2/Dtz = 114 m . (4.32)

Dobbiamo poi calcolare la densita del corso d’acqua e quella dello scarico. As-sumendo una salinita nulla per entrambi, dalla Tabella 4.3 possiamo calcolare l’a-nomalia della densita alle due diverse temperature. Per il corso d’acqua a 15C sitrova σ = −87, da cui ρ = 999.13 kg/m3. Per lo scarico a 23.4C, interpolandolinearmente tra i valori a T = 20C e T = 25C, si ha invece σ = −255.88 e quindiρ = 997.44 kg/m3. Nel punto di scarico si ha quindi una differenze di densita pari a

∆ρ = ρa − ρe = 1.69 kg/m3 .

Nel caso di uno scarico caldo, il miscelamento dipende dal parametro

Fd =U√

gY ∆ρ/ρa

, (4.33)


4. CAMPO VICINO 63

Figura 4.10: Lunghezza adimensionale di mescolamento x/(UY/u∗) (4.34) in funzione delnumero di Froude densimetrico Fd (4.33). Il grafico e riportato in Rutherford (1994).

numero di Froude densimetrico dell’effluente. Per valori piccoli di Fd (Fd < 1,corrispondenti a forti differenze di densita) la stratificazione indotta dallo scaricotende ad essere stabile; per Fd > 15 si ha invece la condizione di scarico neutro.Trattandosi di un problema molto complesso, possiamo utilizzare il grafico di Figura4.10, nel quale la lunghezza di diluizione dello scarico e espressa in funzione di Fd

in termini adimensionali come

x∗ =x

UY/u∗, (4.34)

che non e altro che un modo alternativo di esprimere la scala L = UY 2/Dtz.

Sostituendo la struttura della diffusivita turbolenta, si trova infatti

L =UY 2

0.067 u∗Y= 14.9 UY/u∗

Nel caso in esame inizialmente si ha Fd = 3.57; per tale valore, dal grafico diFigura 4.10 si ricava

xu∗UY

' 10 ⇒ x ' 260 m (4.35)

che corrisponde alla distanza necessaria per diluire lo scarico caldo. Vale la penadiscutere il confronto tra i risultati ottenuti: Rutherford (1994) nota che la soluzione(4.35) e circa doppia rispetto alla distanza di miscelamento (4.32) per uno scaricoin un fluido non stratificato. Se pero consideriamo la (4.31), le due soluzioni sonocomparabili. La differenza sostanziale tra la (4.31) e la (4.32) e dovuta solamentealla definizione convenzionale dell’avvenuto mescolamento. In questo senso, la stimaoperata dalla (4.35) dipende dalla definizione utilizzata dagli sperimentatori perquanto riguarda il valore numerico, mentre rimane valido in ogni caso l’ordine digrandezza. Si noti che tutta l’analisi e comunque fortemente approssimata, perchesono stati trascurati molteplici fattori, come il fatto che lo scarico e un getto chepossiede una quantita di moto non trascurabile e che gli esperimenti che hannocondotto alla Figura 4.10 utilizzavano un diffusore trasversale.

E’ possibile infine fare un confronto con le misure di campo sul fiume Waikato: inun tratto fino a 300 m dallo scarico le differenze di temperatura erano apprezzabili,


64 4.6. Scarico a densita diversa

mentre dopo 450 m i gradienti diventavano trascurabili. L’analisi riesce quindi adindividuare correttamente l’ordine di grandezza del valore cercato, ma e bene tenersempre presenti le incertezze insite nell’individuazione di un valore numerico preciso.


Capitolo 5

Esercizi sulla diluizione incampo intermedio

In questo capitolo affronteremo il processo di mescolamento nel campo interme-dio, quando la concentrazione puo essere considerata costante lungo la coordinataverticale del corso d’acqua, ovvero ad una distanza dallo scarico

Lmv = L∗mv UY 2/Dtz (5.1)

tale da poter considerare concluso il mescolamento verticale. Nella (5.1) il valoredi L∗mv dipende dalla posizione z∗0 dello scarico e dal modello utilizzato (coefficientivariabili o coefficienti costanti).

Anche in questo capitolo viene utilizzata l’ipotesi che i coefficienti siano costanti.Non viene pero trascurato il fatto che i profili verticali di velocita e diffusivitaturbolenta non siano uniformi: cio da origine al fenomeno noto come dispersione,quantificabile attraverso dei coefficienti che si sommano agli usuali coefficienti didiffusione turbolenta.

I coefficienti di dispersione sono solitamente indicati con Kx e Ky, rispettiva-mente per la direzione longitudinale e trasversale. La dispersione connessa a Kx

e data dalla non uniformita del profilo verticale della velocita longitudinale, comedescritto nel primo volume delle Dispense del corso. Una stima teorica nel caso delprofilo logaritmico e

Kx = 5.86 u∗Y

e fornisce un valore molto piu elevato di quello relativo alla sola diffusione turbolentaDt

x ' Dtz = 0.067 u∗Y .

La dispersione trasversale e invece legata ai profili verticali della velocita tra-sversale e quindi alle correnti secondarie generate primariamente da variazione to-pografiche. Alcune relazioni per stimare Ky sono riportate nel secondo volume delleDispense.

5.1 Sorgente puntuale e stazionaria al centro delcanale

Un’industria scarica una portata Qe = 104 m3/giorno di effluente contenente unasostanza non reattiva in concentrazione pari a Ce = 200 ppm al centro di un corsod’acqua meandriforme. Calcolare l’estensione trasversale della nuvola e la massimaconcentrazione ad un distanza x = 1000 m dallo scarico, con U = 1 m/s, Y = 8 m,B = 200 m, if = 10−4.

65

66 5.1. Sorgente puntuale stazionaria

Inizialmente possiamo valutare le caratteristiche idrodinamiche della correnteper la stima del coefficienti di dispersione e le caratteristiche dello scarico:

u∗ =√

gRhiF = 0.085 m/s ,

M = Qe · Ce = 23.15 g/s ,

avendo ipotizzato che la densita dell’effluente sia pari a ρ = 1000 kg/m3. La portatadel refluo Qe = 0.116 m3/s e trascurabile in termini di contributo liquido rispetto aquella del corso d’acqua Q = UBY = 1600 m3/s. Il coefficiente di dispersione tra-sversale totale, includendo anche il coefficiente di diffusione turbolenta, puo esserevalutato, per un alveo meandriforme, assumendo α = 0.6:

Ky + Dty = αu∗Y = 0.6 u∗Y = 0.41 m2/s

Per prima cosa verifichiamo che il mescolamento sulla verticale sia completo. Ladistanza necessaria e

Lmv = (0.134÷ 0.536)UY 2

Dtz

= (2÷ 8)UY

u∗= (188÷ 751)m (5.2)

dove la variabilita e dovuta al punto di scarico e si utilizzata la stima di Dtz utilizzata

nel capitolo precedente. In x = 1000 m risulta quindi conclusa la fase di campovicino e la concentrazione si puo ritenere uniforme su tutta la profondita.

L’estensione trasversale della nuvola puo essere stimata in forma approssimatatrascurando la presenza delle sponde del canale, che rappresentano delle pareti im-permeabili al flusso di concentrazione. Ipotizzando come di consueto che il processodi diluizione sia diffusivo si trova

Lnuvola ∼ 4σ = 4√

2(Dt

y + Ky

)t = 4

√2

(Dt

y + Ky

)x/U = 114 m

dove σ e la radice quadrata della varianza della nuvola. Dal momento che Lnuvola

e sensibilmente minore della larghezza del canale B, ossia stiamo esaminando unpunto sufficientemente vicino allo scarico, equidistante dalle due pareti, la presenzadelle sponde puo essere ragionevolmente trascurata. Analogamente la massimaconcentrazione puo essere stimata come:

Cmax =M/Y√

4π(Ky + Dt

y

)Ux

= 0.0404 g/m3 (5.3)

Una stima dell’approssimazione introdotta puo essere effettuata effettuata uti-lizzando la soluzione completa, senza trascurare cioe la presenza delle sponde delcanale. Tale soluzione puo essere scritta in termini adimensionali come

C∗ =1√

4πx∗

∞∑

j=−∞

exp

[− (y∗ − y∗0 + 2j)2

4x∗

]+ exp

[− (y∗ + y∗0 + 2j)2

4x∗

](5.4)

avendo introdotto le scale

y = y∗B , x = x∗UB2

Ky + Dty

, C = C∗ Cm

dove Cm = M/Q = 0.145 g/m3. Cerchiamo una soluzione utilizzando i graficiadimensionali riportati nell’Appendice A.2. Il punto di osservazione x = 1000 m sitrova alla coordinata x∗ = 0.0103; dalla Figura A.4 relativa ad un punto di scarico


5. CAMPO INTERMEDIO 67

nel mezzo del canale (y∗0 = 0.5) si ottiene C∗max ' 3 e quindi Cmax ' 0.04 g/m3;la lettura del grafico non consente un numero di cifre significative piu elevato. Ilgrafico ci consente inoltre di avere un’idea approssimata della dimensione trasversaledella nuvola.

Risolvendo numericamente la (5.4) si puo ottenere una precisione maggiore etrovare C∗max = 2.78, ossia Cmax = 0.0404 g/m3, risultato equivalente a quellotrovato con la (5.3). Si noti che tale corrispondenza cessa di essere valida perdistanze x maggiori, quando la presenza delle sponde diventa determinante.

La lunghezza di mescolamento trasversale si ottiene facilmente utilizzando unaformulazione equivalente alla (5.2)

Lmt = 0.134UB2

Ky + Dty

= 13.1 km

5.2 Scarico puntuale in prossimita della sponda

Uno scarico accidentale di una sostanza non reattiva avviene in prossimita di unasponda di un corso d’acqua rettificato, con U = 0.6 m/s, B = 60 m, Y = 2 m eif = 2·10−4. Calcolare la distanza necessaria per completare la fase di mescolamentotrasversale.

L’unico meccanismo di diluizione nella direzione trasversale che si realizza in unalveo rettilineo e dovuto alla diffusione turbolenta. Infatti la non uniformita delprofilo verticale della velocita longitudinale u introduce un meccanismo dispersivoche agisce solo nella direzione longitudinale. La dispersione trasversale e invecedovuta alla non uniformita verticale della velocita trasversale v: in un alveo rettili-neo a fondo piano tale velocita puo essere assunta sostanzialmente nulla. Quindi ladiffusione turbolenta trasversale puo essere quantificata come:

Dty∼= 2Dt

z = 0.13 u∗Y = 0.0158 m2/s

dove e stata utilizzata una velocita d’attrito pari a u∗ =√

gRhiF = 0.061 m/s.L’equazione differenziale che governa il fenomeno si puo scrivere per il campo

intermedio nella forma

∂C

∂t+ U

∂C

∂x= Dt

x

∂2C

∂x2+ Dt

y

∂2C

∂y2, (5.5)

dove si e fatta l’ipotesi che il modello a coefficienti costanti sia adeguato e si con-sidera esaurito il mescolamento verticale (quindi la concentrazione C e un valoremediato sulla profondita). Introduciamo una variabile ξ = x− Ut per semplificarela (5.5):

∂C

∂t= Dt

x

∂2C

∂ξ2+ Dt

y

∂2C

∂y2. (5.6)

La soluzione della (5.6) e

C =M/Y

4π√

DtxDt

y texp

[(x− Ut)2

4Dtx t

]·

·∞∑

j=−∞

exp

[(y − y0 + 2jB)2

4Dty t

]+ exp

[(y + y0 + 2jB)2

4Dty t

](5.7)


68 5.2. Scarico puntuale in sponda

con y0 posizione dello scarico (per lo scarico in sponda y0 = 0). La (5.7) puoanche essere scritta separando la diffusione nella direzione longitudinale da quellatrasversale:

C(t, x, y) =M/Y√4πDt

x texp

[(x− Ut)2

4Dtx t

]C(t, y) (5.8)

dove

C(t, y) =1√

4πDty t

∞∑

j=−∞

exp

[(y − y0 + 2jB)2

4Dty t

]+ exp

[(y + y0 + 2jB)2

4Dty t

]

(5.9)La lunghezza necessaria per il completo mescolamento trasversale si determina

richiedendo che Pm = Cmin/Cmax sia superiore ad un valore fissato, ad esem-pio 0.98. Tale parametro, come si vede chiaramente facendo il rapporto tra leconcentrazioni C|y=B e C|y=0 calcolate mediante la (5.7), e indipendente dalladiffusione nella direzione longitudinale: infatti tale rapporto si puo scrivere comeC(t, B)/C(t, 0) e il mescolamento dipende solamente dal tempo t trascorso succes-sivamente allo scarico. Per il baricentro della nuvola si ha che x = U t e si puointrodurre di conseguenza una distanza di mescolamento. Il raggiungimento delmiscelamento trasversale si puo percio valutare in maniera analoga a quanto vistonell’esercizio 5.1 per una sorgente puntuale e stazionaria. La procedura appare piuchiara rendendo adimensionale la (5.9), utilizzando le scale introdotte per il campointermedio

y∗ =y

B, t∗ =

t

B2/Dty

,

con le quali si ottiene

C(t∗, y∗) =1B· 1√

4π t∗

∞∑

j=−∞

exp

[(y∗ − y∗0 + 2j)2

4 t∗

]+ exp

[(y∗ + y∗0 + 2j)2

4 t∗

]

(5.10)La (5.10) e identica alla (5.4) se si sostituisce t∗ con x∗. L’unica differenza e iltermine moltiplicativo 1/B: una volta raggiunto il mescolamento trasversale la(5.10) tende a tale valore e la (5.8) degenera nella soluzione valida nel campo lontano.

Per uno scarico ubicato in sponda la lunghezza di mescolamento risulta quindiessere pari a

Lmt = 0.536UB2

Dty

= 73.4 km .

Normalmente un corso d’acqua difficilmente si mantiene rettilineo per una tale di-stanza, quindi la diluizione si realizza ad opera non solo della diffusione turbolen-ta ma anche della dispersione indotta dall’andamento non perfettamente rettili-neo. Questo effetto puo essere quantificato stimando un opportuno coefficiente didispersione trasversale compreso tra i valori:

Ky + Dty = (0.15÷ 0.6)u∗Y = (0.018÷ 0.073)m2/s

In questo caso la nuova stima per la lunghezza di mescolamento risulta essereinferiore:

Lmt = 0.536Ub2

Ky + Dty

= (70÷ 16) km



5.3 Confronto fra una sorgente puntuale e un dif-fusore

Un corso d’acqua usato per l’allevamento delle trote e soggetto ad uno scarico diun effluente trattato proveniente da una miniera. Il mescolamento deve essere suf-ficientemente rapido da produrre un grado di mescolamento Pm = 0.9 in meno di 5minuti. E sufficiente uno scarico ubicato a B/4 dalla sponda o e necessario un dif-fusore? Si assuma if = 5 · 10−4, B = 6 m, ks = 15 m1/3s−1 (alveo con vegetazione)e Q = 1 m3/s.

Utilizzando la relazione di moto uniforme Q = BY ks

√ifR

2/3h si possono stimare

le grandezze caratteristiche del corso d’acqua: Y = 0.72 m, U = 0.23 m/s e u∗ =0.053 m/s. Il mescolamento nel piano della sezione si realizza, nel caso di sorgenteubicata a B/4 dalla sponda, ad opera della diffusione-dispersione trasversale. Nonavendo a disposizione alcuna indicazione sull’andamento planimetrico dell’alveo sistimano i coefficienti di diffusione turbolenta e dispersione nella seguente maniera:

Ky + Dty = (0.15÷ 0.30) u∗Y = (0.006÷ 0.012) m2/s

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Pm

=0.9

x*

Pm

z0* =0

y0* =0.25

Figura 5.1: Rapporto di mescolamento Pm = Cmin/Cmax in funzione della distanza adimen-sionale x∗, per uno scarico posizionato in z∗0 = 0 (diffusore trasversale posto sul fondo con me-scolamento sulla verticale) o in y∗0 = 0.25 (scarico puntuale, mescolamento trasversale nel campointermedio).

Dalla Figura 5.1 si ricava che il grado di mescolamento Pm = 0.9 per unasorgente ubicata in y∗0 = 0.25 si realizza per x∗ = 0.35. La scala longitudinale delmescolamento trasversale vale:

Lt =UB2

Ky + Dty

= (690÷ 1380)m


70 5.4. Diffusore di lunghezza finita

quindi il grado di mescolamento e 90% a una distanza dall’origine pari a:

x(Pm=0.9) = 0.35 Lt = (241.5÷ 483) m,

a cui corrisponde un tempo

t(Pm=0.9) =x(Pm=0.9)

U= (17.5÷ 35)minuti .

Lo scarico ubicato a B/4 non e quindi sufficiente a garantire il mescolamento in 5minuti. Un diffusore ubicato sul fondo del canale ed esteso lungo tutta la sezioneproduce un mescolamento piu rapido perche svolge il compito di distribuire la con-centrazione lungo la trasversale, che risulta essere il compito piu gravoso. Rimaneda compiere il mescolamento sulla verticale: essendo posto sul fondo (z∗0 = 0) ilgrado di mescolamento Pm = 0.9 si realizza per x∗ = 0.37, ma la scala longitudinalecaratteristica e in questo caso

Lv =UY 2

Dtz

=UY

0.067 u∗

e il mescolamento si realizza quindi per

x = 0.37 Lv = 17 m ⇒ t = 1.2 minuti .

5.4 Diffusore di lunghezza finita

Si valuti la distanza necessaria perche si completi il mescolamento trasversale inpresenza di un diffusore trasversale di lunghezza finita S collocato sul fondo di canalerettilineo di larghezza B e profondita Y . Si consideri uno scarico stazionario M euna portata del corso d’acqua Q.

Collochiamo idealmente il diffusore tra una sponda e un punto generico y0 = Sdella sezione trasversale, assumendo l’origine dell’asse y nella sponda stessa. Trascu-rando la diffusione longitudinale rispetto alla diffusione (numero di Peclet elevato),ponendosi nel campo intermedio (mescolamento verticale completato) e ipotizzandodi poter considerare costanti i coefficienti dell’equazione differenziale

U∂C

∂x= Dt

y

∂2C

∂y2,

la soluzione deriva da quella valida per una concentrazione iniziale a gradino dilarghezza finita (si vedano ad esempio l’esercizio 1.10, al quale vanno aggiunte lepareti date dalle sponde del canale, e l’esercizio 4.4.1):

C∗ =C∗02

∞∑

j=−∞

[erf

(y∗ + y∗S + 2j√

4x∗

)− erf

(y∗ − y∗S + 2j√

4x∗

)](5.11)

dove sono state introdotte le scale

y = y∗B , S = y∗SB , x = x∗UB2

Dty

, C = C∗M

Q. (5.12)

La concentrazione nella porzione di area della sezione relativa al diffusore, attraversola quale transita una portata QS = QS/B, e

C0 =M

QS⇒ C∗0 =

Q

QS=

B

S.



10−3

10−2

10−1

100

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

yS*=0.1

y0*=0.05

yS*=0.3

y0*=0.15

yS*=0.5

y0*=0.25

yS*=0.7

y0*=0.35

yS*=0.9

y0*=0.45

yS*=0.95

y0*=0.475

Pm

x*

Figura 5.2: Rapporto di mescolamento trasversale Pm = Cmin/Cmax in funzione della distanzaadimensionale x∗ (in scala logaritmica). Le curve in linea continua corrispondono a diverse lun-ghezze del diffusore trasversale y∗S = S/B; le curve punteggiate si riferiscono alla soluzione per unoscarico puntuale posto in y0 e possono essere confrontate con le precedenti quando y∗0 = y∗S/2.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

C*

y*0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

C*

y*

Figura 5.3: Diffusore di lunghezza finita S = 0.95 B, assumendo che la concentrazione siauniforme sulla verticale: a sinistra l’andamento della concentrazione per diverse sezioni (0 < x∗ <1); a destra la soluzione per il diffusore trasversale (linea continua) e confrontata con la soluzioneottenuta per x∗ = 0.01 nel caso di uno scarico posto in y∗0 = y∗S/2 = 0.475 (linea punteggiata).

In Figura 5.2 viene rappresentato il grado di mescolamento trasversale (fissatauna quota z)

Pm =Cmin

Cmax

in funzione della distanza per diverse lunghezze S del diffusore. Richiedendo Pm =0.98 sulla trasversale, dalla figura si trova una coordinata x∗mt per la quale ilmescolamento trasversale e realizzato.

Restano infine da discutere alcune considerazioni sulla distanza necessaria peril mescolamento verticale; assumendo che questo sia completo quando Pm = 0.98


72 5.5. Strato di mescolamento

sulla verticale e che lo scarico sia collocato sul fondo, la lunghezza risulta

Lmv = 0.536UY 2

Dtz

.

Quando x = Lmv, in base alle (5.12) si trova una coordinata adimensionale

x∗mv =Lmv

UB2/Dty

=0.536Dt

y

Dtz

(Y

B

)2

∼= 1.072(

Y

B

)2

(5.13)

che puo essere confrontata con la coordinata x∗mt trovata in precedenza. Quando ildiffusore e abbastanza lungo, il mescolamento trasversale si realizza prima di quelloverticale: fattori rilevanti sono i rapporti S/B e Y/B. Sono pero necessari diffusoripiuttosto lunghi: per B ' 10 Y la (5.13) prevede x∗mv ' 0.01; dalla Figura 5.2 sitrova che per x∗ ' 0.01 il mescolamento trasversale non e ancora completo neppureper un diffusore con S ' 0.95 B. Un diffusore di lunghezza prossima alla larghezzadel canale consente pero di diluire piu rapidamente ed uniformare la concentrazionesu gran parte della sezione trasversale, avvicinandola al valore asintotico raggiuntoal termine del mescolamento, come si puo notare in Figura 5.3. Naturalmente perS = B il mescolamento trasversale e istantaneo.

5.5 Mescolamento delle acque provenienti da duecorrenti

Una citta e servita da un acquedotto che utilizza le acque provenienti in parte dasorgenti locali, in parte da un corso d’acqua limitrofo. Le due acque hanno composi-zione chimica significativamente diversa e devono essere miscelate prima di essereconvogliate all’impianto di potabilizzazione. Sia Q = 1.5 m3/s la portata di ciascunacorrente. Si calcoli la distanza necessaria per il completo mescolamento trasversale(Pm = 0.9) per un canale rettangolare con B = 6 m, if = 0.001, ks = 35 m1/3s−1 indue casi: (a) canale rettilineo; (b) canale curvilineo con raggio di curvatura costantepari a R = 30 m.

Il problema richiede di miscelare due correnti, di cui una ‘pulita’ (corrente1) e l’altra ‘sporca’ (corrente 2, con concentrazione C0). Una volta mescolate laconcentrazione sara data da

Cm =Q2

Q1 + Q2C0 .

Nel caso specifico si ha che Q1 = Q2 = Q e quindi Cm = C0/2. Calcoliamodapprima le caratteristiche idrodinamiche della corrente di portata 2Q = 3 m3/s

dopo la confluenza. Mediante la relazione di moto uniforme Q = BY ks

√ifR

2/3h

troviamo Y = 0.67 m, U = 0.74 m/s e u∗ = 0.073 m/s; da questi valori si stima ilcoefficiente di diffusione-dispersione

Dty + Ky = αu∗Y (5.14)

dove α dipende dalla tipologia del canale. Nel caso (a) assumiamo α = 0.15: la(5.14) ci fornisce

Dty + Ky = 7.4 · 10−3 m2/s . (5.15)



Nel caso (b) valutiamo il coefficiente di dispersione utilizzando la relazione propostada Fischer (1969)

α = 22(

U

u∗

)2 (Y

R

)2

e otteniamoDt

y + Ky = 56 · 10−3 m2/s . (5.16)

Consideriamo avvenuto il mescolamento quando Pm = 0.9. Possiamo cer-care una soluzione approssimata considerando una sorgente puntuale ubicata inprossimita della sponda; in questo caso x∗mt ' 0.37 e di conseguenza

Lmt = x∗mt

UB2

Dty + Ky

, (5.17)

che fornisce: (a) Lmt = 1334 m e (b) Lmt = 177 m. Si tenga presente che questivalori rappresentano una stima in eccesso. Appare chiaramente poi come nel casodel canale curvo la generazione di correnti secondarie aumenta molto il coefficien-te di dispersione (5.16) rispetto al caso rettilineo (5.15) e quindi la lunghezza dimescolamento diminuisce di un ordine di grandezza.

Una soluzione piu precisa si ottiene osservando che la situazione in esame cor-risponde ad un diffusore di lunghezza finita pari a B/2, esaminato nell’esercizio5.4. La soluzione (5.11) ci fornisce un valore della coordinata x∗mt ' 0.32, da cui siottiene mediante la (5.17): (a) Lmt = 1153 m e (b) Lmt = 153 m.

5.6 Miscelamento in un alveo naturale

In prossimita dell’abitato di S. Michele all’Adige e localizzata la confluenza dellafossa di Caldaro nel fiume Adige. Le acque della fossa e dell’Adige hanno com-posizione chimica diversa. Circa 6 km a valle il torrente Noce sfocia nell’Adige.La portata dell’Adige a monte della confluenza con la fossa di Caldano e pari aQa = 116 m3/s. Sapendo che la portata e la concentrazione di inquinante nellafossa sono rispettivamente Qc = 20 m3/s e C0 = 1 mg/m3, stabilire (a) se il mesco-lamento e superiore al 90% in corrispondenza della confluenza con il Noce (sezione321). Determinare inoltre (b) il valore della concentrazione nel punto y = 20 m del-la sezione 295. La coordinata y ha origine in corrispondenza della sponda destra;in Figura 5.4 e rappresentanta la zona presa in considerazione.

Figura 5.4: Planimetria del tratto di Adige compreso tra la confluenza con la fossa di Caldaroe la confluenza con il torrente Noce.


74 5.6. Portata cumulata

Le caratteristiche geometriche ed idrodinamiche delle sei sezioni indicate inplanimetria sono riportate in Tabella 5.1.

j Sezione x B U Ω/B u∗ Ky Lj

[m] [m] [m/s] [m] [m] [m2/s] [m]1 287 0 57.58 0.67 3.50 0.082 0.086 8232 295 1646 60.66 0.56 4.02 0.066 0.080 13433 302 2686 59.42 1.05 2.18 0.138 0.090 1505.54 314 4657 57.86 0.82 2.86 0.103 0.088 1358.55 318 5403 56.75 0.77 3.10 0.095 0.088 580.56 321 5818 65.49 1.02 2.04 0.134 0.082 207.5

Tabella 5.1: Caratteristiche delle sezioni raffigurate in Figura 5.4: distanza x, larghezza insuperficie libera B, velocita media sulla sezione U , profondita media Ω/B (con Ω area della sezione),velocita d’attrito media sulla sezione u∗, coefficiente di dispersione mediato sulla sezione Ky,lunghezza del tratto Lj .

Il problema puo essere risolto applicando il metodo della portata cumulata,noto anche come modello a tubi di flusso; infatti in un alveo naturale l’altimetriadelle sezioni e molto variabile e un modello che ipotizzi una sezione rettangolare espesso poco realistico perche non si riesce a seguire lo spostamento della nuvola diconcentrazione nella sezione dovuto a variazioni topografiche.

La portata totale, dopo la confluenza tra la fossa di Caldaro e l’Adige, e

Q = Qc + Qa = 136 m3/s .

La sorgente ha un’estensione trasversale, valutata in termini della variabile trasver-sale q (portata cumulata), pari a qc = 20m3/s, che in forma adimensionale e paria

q∗c =Qc

Q= 0.147

Per la valutazione della scala longitudinale caratteristica e necessario stimare ilcoefficiente di diluizione efficace De:

De = ψKyU

(ΩB

)2

(5.18)

dove vengono considerati i valori mediati sulla sezione di Ky e U , il termine Ω/Brappresenta la profondita media e si assume che il fattore di forma ψ sia pari a 2; ivalori sono riportati nella Tabella 5.2. Per poter applicare il modello a coefficienticostanti sul tratto di fiume considerato e necessario definire la media pesata deicoefficienti valutati in ogni sezione attraverso la (5.18):

De =1

Ltot

6∑

j=1

De jLj = 1.20 m5/s2 . (5.19)

L’equazione differenziale che governa il problema e quindi

∂C

∂x= De

∂2C

∂q2(5.20)

dove C e la concentrazione mediata sulla profondita.La scala longitudinale caratteristica di questo problema, valutata con il metodo

della portata cumulata, vale:

L =Q2

De

= 15.4 km (5.21)



j 287 295 302 314 318 321De j [m5/s2] 1.43 1.44 0.88 1.18 1.31 0.70

Tabella 5.2: Valori del coefficiente di diluizione efficace De, valutato mediante la (5.18).

Ora abbiamo gli elementi necessari per poter risolvere il problema in maniera analo-ga a quanto fatto negli esercizi precedenti. Si noti che la scala caratteristica sarebbestata

L′ =U B2

Ky

= 32.4 km (5.22)

nel caso del modello tradizionale, avendo calcolato U = 0.800 m/s, B = 59.03 m eKy = 0.0861 m2/s. La differenza tra la (5.21) e la (5.22) e legata principalmenteal fattore di forma; si trova infatti che una valutazione del coefficiente di diffusioneefficace in termini delle grandezze mediate sul tratto di fiume

De = ψKyU Y 2 = 1.27 m5/s2

non differisce in modo significativo dalla (5.19).

(a) La sezione 321 si trova ad una distanza dalla confluenza fra l’Adige e la fossadi Caldaro pari a 5818 m, corrispondente a x∗321 = 5818 m/L = 0.377, dove L estato calcolato nella (5.21). Il campo di concentrazione e quindi il valore del gradodi mescolamento nel corso d’acqua sono rappresentati in forma adimensionale inFigura 5.5, sulla base della soluzione valida per un diffusore di lunghezza finitacompreso nell’intervallo 0 ≤ q∗ ≤ q∗c , gia trovata con la (5.11),

C∗ =C∗02

∞∑

j=−∞

[erf

(q∗ + q∗c + 2j√

4x∗

)− erf

(q∗ − q∗c + 2j√

4x∗

)]

dove il problema e stato reso adimensionale utilizzando le relazioni

q = q∗Q , x = x∗Q2

De

, C = C∗ Cm ,

e indicando con

Cm =Qc

QC0 = 0.147 mg/m3 (5.23)

il valore asintotico che si realizza al termine del processo di mescolamento, da cuisi ricava C∗0 = C0/Cm = 6.8.

In corrispondenza della sezione 321, cioe per x∗ = 0.377, si ricavano i valori:

C∗min = 0.95 , C∗max = 1.05

e il grado di mescolamento vale quindi

Pm =C∗min

C∗max

= 0.90 .

Il grado di mescolamento nella sezione 321 e dunque del 90% come richiesto dalproblema.


76 5.6. Portata cumulata

4.00

2.50

2.00 1.75 1.50

1.38

1.25

1.15 1.10

1.05

1.02

1.00

0.98

0.90

0.85

0.80

0.75

0.63

0.50

0.25

0.13

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.95

q *

x *

Figura 5.5: Campo di concentrazione a valle di uno scarico distribuito di larghezza q∗c = 0.15,avente concentrazione C∗0 = 6.8, ubicato in prossimita della sponda destra.

0 10 20 30 40 50 60 70

0

20

40

60

80

100

120

140

32

y[m]

Sezione 287

q[m

3 /s]

y[m]

0 10 20 30 40 50 60 70

0

20

40

60

80

100

120

140

Sezione 295

Figura 5.6: Andamento della portata cumulata lungo la coordinata trasversale.

(b) Il punto ubicato a 20 m dalla sponda in corrispondenza della sezione 295 hauna coordinata trasversale, espressa in termini di portata cumulata, che puo esserericavata dal grafico di destra della Figura 5.6: q(y=20 m) = 32m3/s. Le coordinateadimensionali del punto sono:

q∗ =(qy=20 m)

Q=

32136

= 0.24 , x∗ =1646 m

L= 0.11

In corrispondenza di questa coppia di punti, dalla Figura 5.5 si ricava

C∗ = 1.5

e quindi, ricordando la scala (5.23), il valore della concentrazione nel punto y = 20 mdella sezione 295 vale

C = C∗ Cm = 0.22 mg/m3 .



5.7 Miscelamento in un alveo con golene

Un’industria casearia scarica 250 g/s di sostanza inquinante in un corso d’acquaad andamento planimetrico rettilineo con le seguenti caratteristiche: portata liquidaQ = 250m3/s, pendenza del fondo if = 10−4, larghezza B = 120 m. Posto Ky =0.3 u∗Y , determinare la regione in cui si ha C ≥ Clim = 4 g/m3 nel caso in cuilo scarico sia ubicato in sponda. La geometria della sezione e schematicamenterappresentata in Figura 5.7.

Figura 5.7: Rappresentazione schematica di una sezione trasversale in presenza di zone golenali:Y1 = 1 m, Y2 = 3 m, b1 = 40 m, b2 = 80 m, ks2 = 2ks1.

Il problema puo essere risolto in forma approssimata utilizzando i parametriidrodinamici mediati sull’intera sezione. Il risultato a cui si perviene e un’approssi-mazione della soluzione tanto piu grossolana quanto piu e articolata la sezione delcanale.

5.7.1 Calcolo con i valori mediati sulla sezione

Dapprima si calcola il valore della concentrazione asintotica, da utilizzare comescala delle concentrazioni per rendere adimensionale il problema:

Cm =M

Q= 1 g/m3 ,

quindi, indicando come di consueto con l’apice ∗ le grandezze adimensionali, si trova

C∗lim =Clim

Cm= 4 .

La regione all’interno della quale la concentrazione adimensionale e maggiore di 4si ricava dalla Figura A.1 relativa al campo di concentrazione che si realizza a valledi una sorgente ubicata in sponda (y∗0 = 0); si ottiene approssimativamente

x∗ = 0.02 , y∗ = 0.12 . (5.24)

La conversione di questi valori in forma dimensionale passa attraverso la definizio-ne delle scale spaziali longitudinale e trasversale. Coerentemente con l’ipotesi diutilizzare i parametri mediati sulla sezione, calcolate Ω = b1 · Y1 + b2 · Y2 = 280me B = b1 + b2 = 120m, la profondita e la velocita da utilizzare per la valutazionedella scala longitudinale sono rispettivamente:

Y =ΩB

= 2.33 m , U =Q

Ω= 0.893 m/s .


78 5.7. Alveo con golene

Posto u∗ =√

giF Y = 0.0478 m/s, il coefficiente di dispersione trasversale assume ilvalore

Ky = 0.3 u∗Y = 0.0335 m/s

e la scala longitudinale da utilizzare nel problema e quindi

Ll =UB2

Ky= 384 km .

La nuvola di tracciante con concentrazione superiore a CLimite avra una estensioneapprossimata pari a:

y = y∗B = 14.4 m , x = x∗Ll = 7678 m . (5.25)

La regione delimitata dalla (5.24) individua una zona della fase ‘iniziale’ delmescolamento (x vicino alla sorgente). In questa zona si puo approssimativamentetenere conto solo della parete in prossimita della quale e ubicata la sorgente che hacome effetto quello di duplicare la sorgente; l’altra sponda e troppo lontana nellafase considerata per essere influente. Con le approssimazioni discusse nei capitoliprecedenti, la soluzione per uno scarico stazionario valida nel campo intermedio puoessere scritta come

C =2M/Y√4πKyUx

exp[− y2

4Kyx/U

]. (5.26)

La curva che delimita la regione con C = Clim e definita dall’equazione

y =

√√√√√2Ky x

Uln

(M

Clim UY

)2U

πKyx

(5.27)

Nel caso in esame y0 = 0; la curva ylim(xlim) e rappresentata in Figura 5.8 (lineacontinua).

5.7.2 Calcolo con i valori locali

Dato che il risultato (5.25) prevede che la zona critica rimane all’interno della go-lena in cui viene scaricato l’inquinante, proviamo a calcolare la soluzione facendoriferimento ai dati caratteristici della golena stessa. I valori U1 e Ky1 relativi sipossono ricavare utilizzando una suddivisione della sezione in tre parti. Poniamo

Q1 = b1Y1ks1

√ifY

2/31 , Q2 = b2Y0ks2

√ifY

2/30 ;

richiedendo che Q = Q1 + Q2 troviamo ks1 = 24.1 m1/3/s e quindi

Q1 = 9.6 m3/s , U1 = 0.24 m/s , u∗1 = 0.031 m/s , Ky1 = 9.4 · 10−3 m2/s .

Analogamente, per l’alveo inciso si ha

Q2 = 240.4 m3/s , U2 = 1.0 m/s , u∗2 = 0.054 m/s , Ky2 = 48.8 · 10−3 m2/s .

Utilizzando i valori trovati per la golena e ipotizzando che la (5.26) sia ancoravalida, la (5.27) prevede la curva tratteggiata in Figura 5.8. La zona dove C > Clim

e in questo caso molto piu ampia di quella del caso mediato, essendo delimitatada x ' 200 km e y ' 120 m, misura confrontabile con l’intera larghezza del corsod’acqua (e quindi non e possibile trascurare la parete opposta rispetto a quelladi scarico). E chiaro che la soluzione trovata in questo caso non e corretta perchesottostima la capacita diluitiva dell’alveo principale; d’altra parte anche la soluzione



0 10 20 30 40 500

20

40

60

80

100

120

valori mediati

valori golena

x [km]

y [m

]

limite golena

valori golena con C=0 in y=b1

Figura 5.8: Regione del piano x-y delimitata dalla condizione C = Clim, fornita dalla (5.27)trascurando la presenza della sponda opposta allo scarico: in linea continua il caso con i valorimediati sull’intera sezione, in linea tratteggiata con i valori caratteristici della golena. La lineapunteggiata rappresenta la soluzione (5.30) che impone C = 0 all’interfaccia tra golena e alveoy = b1.

trovata utilizzando i valori mediati sull’intera sezione non considera la diversita delmescolamento nelle due zone della sezione.

Il flusso di concentrazione per unita di lunghezza in prossimita dell’interfac-cia y = b1 dalla zona 1 alla zona 2 puo essere calcolato in generale mediante ladefinizione

qy1(x) = −Ky1∂C1

∂y

∣∣∣∣y=b1

· Y1 (5.28)

Una diversa approssimazione puo essere quella di ritenere che l’alveo princi-pale sia in grado di smaltire l’inquinante in maniera tale da poter imporre unaconcentrazione nulla all’interfaccia

C = 0 in y = b1 (5.29)

In tal caso la (5.26) va modificata introducendo delle sorgenti immagine negative iny = (2j + 1) (2b1) per imporre la (5.29) e delle sorgenti positive in y = 2j (2b1) perrispettare la condizione di flusso nullo alle pareti. Si ottiene quindi

C =2M/Y√4πKyUx

∞∑

j=−∞

exp

[− [y − 2j (2b1)]

2

4Ky x/U

]+

− exp

[− [y − (2j + 1) (2b1)]

2

4Ky x/U

](5.30)

La soluzione nell’alveo principale dovra tenere conto del flusso (5.28) che dalla golenaviene trasferito all’alveo.

La regione delimitata dalla condizione C = Clim nella zona golenale, secondo la(5.30), e rappresentata in Figura 5.8. Si noti che questa soluzione tende a sovrasti-mare la diluizione operata dall’alveo principale: la regione ‘corretta’ si trova nellazona tra la curva punteggiata e quella tratteggiata.


80 5.8. Scarico caldo in sponda

5.8 Scarico caldo in sponda

Un impianto di termovalorizzazione scarica una portata Qs = 2.6 m3/s di acqua adtemperatura superiore di ∆Ts = 8C rispetto a quella del corso d’acqua recettore, lacui portata e Q = 23.6 m3/s, nelle condizioni piu critiche corrispondenti ai periodidi magra con assegnato tempo di ritorno. La larghezza del corso d’acqua e B = 53 m,la sua scabrezza ks = 30 m1/3/s, la pendenza if = 1 · 10−3.

La verifica degli scarichi caldi deve soddisfare alle prescrizioni di legge1. Nelcaso in esame e necessario verificare due condizioni a valle dello scarico:

1. la temperatura mediata sulla sezione non deve superare per piu di 3C latemperatura media T0 a monte dello scarico;

2. la temperatura media, calcolata sulla meta sezione piu favorevole (ossia quellameno interessata dallo scarico), non deve superare per piu di 1C la tempera-tura media T0.

Per prima cosa e necessario determinare il flusso di entalpia dello scarico:

H = clρQs∆Ts = 0.87 · 108 W = 87 MW

essendo cl = 4186.8 J kg−1K−1 il calore specifico dell’acqua e ρ ' 1000 kg/m3 lasua densita. Per inciso, e interessante notare che la potenza termica dissipata enotevole rispetto alla potenza totale dell’impianto, che e di circa 150MW .

L’acqua per il raffreddamento viene prevelata dal corso d’acqua a monte del-l’impianto. A valle dello scarico, la portata del fiume torna ad essere quella diprogetto Q. In modo analogo a quanto visto in precedenza (per la concentrazionesi ha Cm = M/Q), si puo calcolare la temperatura finale di miscelazione adiabatica

∆Tm =H

ρcl Q= ∆Ts

Qs

Q= 0.79C ,

ovvero l’incremento di temperatura prodotto nel campo lontano, ad una distanzasufficiente per la completa miscelazione dello scarico sull’intera sezione trasversale,quando si trascurino i flussi di calore attraverso fondo, sponde e superficie libera(da cui l’indicazione di adiabaticita)2.

Si noti che ∆Tm rappresenta il valore mediato sulla sezione in tutte le sezioni avalle dello scarico. Poiche il valore trovato e inferiore al vincolo legislativo di 3C,si puo proseguire la verifica considerando le medie su meta sezione.

Cerchiamo di raffinare l’analisi assimilando l’incremento di temperatura ad untracciante particolare, dovuto al flusso entalpico. Dovendo valutare la concentrazio-ne mediata sulla verticale, possiamo porci nell’ottica del campo lontano e risolvere

1Il Decreto Legislativo dell’11 maggio 1999 n. 152 (Disposizioni sulla tutela delle acque dal-l’inquinamento e recepimento della direttiva 91/271/CEE concernente il trattamento delle acquereflue urbane e della direttiva 91/676/CEE relativa alla protezione delle acque dall’inquinamentoprovocato dai nitrati provenienti da fonti agricole, pubblicato nella Gazzetta Ufficiale 29 maggio1999, n. 124, S.O.), rappresenta la norma quadro per la tutela delle acque dall’inquinamento.Relativamente agli scarichi termici la normativa, secondo quanto riportato nella Tabella 3 dell’Al-legato 5 del Decreto Legislativo (Limiti di emissione degli scarichi idrici), stabilisce: Per i corsid’acqua la variazione massima tra le temperature medie di qualsiasi sezione del corso d’acqua amonte e a valle del punto di immissione non deve superare i 3C. Su almeno meta di qualsiasisezione a valle tale variazione non deve superare 1C.

2Si tratta di un’approssimazione, tanto meno valida quanto piu tempo convettivo trascorredallo scarico alla sezione considerata, dal momento che lo scambio di calore con l’ambiente esternonon puo essere trascurato troppo a lungo.



l’equazione

∂∆T

∂t+ U

∂∆T

∂x= (Dt

x + Kx)∂2∆T

∂x2+ (Dt

y + Ky)∂2∆T

∂y2, (5.31)

dove ∆T e la media sulla verticale dell’incremento di temperatura. Nel seguito si eindicato per semplicita con Ky la somma Dt

y + Ky

La condizione iniziale dipende dalla modalita di scarico. Assumiamo che questoavvenga mediante uno stramazzo che segue una legge di deflusso del tipo

Qs = LsCq

√2gh3/2

con Cq = 0.385 coefficiente di deflusso, Ls = 12 m lunghezza dello stramazzo.Sostituendo il valore della portata scaricata, si ottiene il carico h = 0.25 m dellavena nel punto piu elevato. Assunto un profilo inferiore della vena di tipo z/h =0.5(y/h)1.85, con z coordinata verticale e y orizzontale, posta l’altezza del pettodello stramazzo Hs ' 5 m (in condizioni di magra), si trova approssimativamente ilpunto di arrivo nel corso d’acqua ys = 1.85 m.

Definiamo quindi due casi semplificati: nel primo consideriamo lo scarico comepuntuale e posto in y0 = ys, nel secondo come uniformemente distribuito tra lasponda y = 0 e il punto yg ' 2ys (considerando in maniera approssimata gli effettidinamici dello scarico). Analoghe considerazioni sono possibili nel caso in cui loscarico avvenga con un getto.

Data la costanza del flusso scaricato, trascurando come di consueto la diffusione Scarico puntuale

longitudinale rispetto alla convezione nella stessa direzione, si ottiene la soluzione

∆T =H/(ρcl)

Y√

4πKyxU

∞∑

j=−∞

exp

[− (y − y0 + 2jB)2

4Kyx/U

]+ exp

[− (y + y0 + 2jB)2

4Kyx/U

]

(5.32)nella quale il flusso scaricato e stato assimilato ad una sorgente puntuale posta allacoordinata y0 dalla sponda.

Utilizzando le scale opportune per adimensionalizzare il problema

C∗ =∆T

∆Tm, y∗ =

y

B, x∗ =

x

UB2/Ky(5.33)

la soluzione puo essere riscritta nella forma gia nota

C∗ =1√

4πx∗

∞∑

j=−∞

exp

[− (y∗ − y∗0 + 2j)2

4x∗

]+ exp

[− (y∗ + y∗0 + 2j)2

4x∗

](5.34)

Nota la soluzione, e possibile trovare il valore mediato su un determinato inter-vallo trasversale

C =1

l2 − l1

∫ l2

l1

Cdy .

Sostituendo la (5.34), si trova

C∗

=1

2(l∗2 − l∗1)

∞∑

j=−∞

erf

(l∗2 − y∗0 + 2j√

4x∗

)+ erf

(l∗2 + y∗0 + 2j√

4x∗

)

−erf(

l∗1 − y∗0 + 2j√4x∗

)− erf

(l∗1 + y∗0 + 2j√

4x∗

)(5.35)

E’ pero possibile considerare una diversa condizione iniziale: se si immagina che Scarico distribuito



il getto produca un rapido miscelamento in una determinata zona del corso d’acqua,si puo assumere uno scarico distribuito con concentrazione costante

C0 =H/(ρcl)

Qg= ∆Tm

Q

Qg= ∆Tm

B

yg, (5.36)

dove Qg e la quota di portata del corso d’acqua interessata dallo scarico.La soluzione della (5.31) per una condizione iniziale a gradino e nota3 (si veda

ad esempio l’esercizio ...)

C∗ =1

2y∗g

∞∑

j=−∞

erf

(y∗ + y∗g + 2j√

4x∗

)− erf

(y∗ − y∗g + 2j√

4x∗

), (5.37)

dove sono state utilizzate le medesime scale previste dalla (5.36). La (5.37), mediatatra l∗1 e l∗2, fornisce

C∗

=√

4x∗

2y∗g(l∗2 − l∗1)

∞∑

j=−∞

ierf

(l∗2 + y∗g + 2j√

4x∗

)− ierf

(l∗2 − y∗g + 2j√

4x∗

)

−ierf(

l∗1 + y∗g + 2j√4x∗

)+ ierf

(l∗1 − y∗g + 2j√

4x∗

)(5.38)

dove e stata introdotta la funzione integrale della funzione erf

ierf(x) =∫ x

0

erf(ξ)dξ = x erf(x) +e−x2 − 1√

π,

dove la seconda eguaglianza e possibile grazie ad un’integrazione per parti.

Verifica dei limiti. Le soluzioni ottenute possono essere rappresentate in formagrafica per valutarne l’andamento lungo la coordinata longitudinale x. In Figura5.9 sono rappresentate le soluzioni per le concentrazioni mediate sulle due metadelle sezioni al variare della coordinata longitudinale adimensionale. Nella partesuperiore dei grafici sono rappresentate le medie tra l∗1 = 0 e l∗2 = 1/2 (nel graficodi destra) e i valori puntuali alla sponda (y∗ = 0) piu vicina allo scarico; nella parteinferiore le medie tra l∗1 = 1/2 e l∗2 = 1 e i valori puntuali all’altra sponda (y∗ = 1).

I risultati mostrano che l’incremento di temperatura adimensionale C∗

nellasemimeta piu favorevole (l∗1 = 1/2, l∗2 = 1) e sempre inferiore al valore 1 corri-spondente al completo miscelamento sulla sezione trasversale. Tradotto in terminidimensionali, significa che ∆T < ∆Tm.

L’incremento di temperatura piu critico si raggiunge all’avvenuto miscelamentosu tutta la sezione e quindi la verifica ricade nuovamente su ∆Tm = 0.79C, checomunque risulta inferiore alla soglia richiesta di 1C.

E’ interessante infine stimare la lunghezza di mescolamento trasversale. A talfine e necessario conoscere le grandezze idrauliche: ipotizzando una sezione rettan-golare ed ritenendo valida una relazione di moto uniforme (nonostante la portatascaricata sia rilevante rispetto a quella totale e quindi si realizzera localmente un

3La soluzione adimensionale relativa ad un gradino iniziale di valore C∗0 , posto tra una spondae la coordinata yg , e

C∗ =C∗02

∞X

j=−∞

erfc

y∗ − y∗g + 2j√

4x∗

− erfc

y∗ + y∗g + 2j√

4x∗

,

con C∗0 = 1/y∗g .



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

(y*=1)

(y*=0)

x*

C*

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

(l1*=0.5, l

2*=1)

(l1*=0, l

2*=0.5)

x*

C* m

edio

Figura 5.9: Valori dell’incremento di temperatura adimensionale C∗ alle sponde opposte (a

sinistra) e delle medie C∗

su meta canale (a destra). In linea continua e rappresentata la soluzioneper scarico iniziale distribuito, in tratteggio quella per scarico iniziale puntuale; nel grafico a destrale due soluzioni sono praticamente indistinguibili.

profilo di moto permanente), si trova

Q = BY ks

√ifR

2/3h → Y = 0.64 m

U =Q

BY= 0.69 m

u∗ =√

gifRh = 0.078 m/s

Ky = αufY = 0.020 m2/s (5.39)

dove il coefficiente α = 0.4 e stato trovato sperimentalmente.La lunghezza di mescolamento trasversale e

Lmt = x∗mt

UB2

Ky' 48 km

dove dalla Figura 5.9 si e stimato un valore approssimato di x∗mt ' 0.5. Si noti chela considerevole distanza richiesta per uniformare la temperatura sull’intera sezionepone delle limitazioni sull’ipotesi di trascurare i flussi termici al contorno.


Capitolo 6

Esercizi sulla diluizione incampo lontano

Il campo lontano inizia convezionalmente quando la concentrazione risulta costantesu tutta la sezione, ovvero quando sia la fase di mescolamento verticale sia quellatrasversale sono concluse. Dal momento che la seconda e generalmente molto piulenta della prima, a causa dell’elevato rapporto tra larghezza e profondita nei corsid’acqua naturali, si considera la distanza dallo scarico

Lmt = L∗mt UB2/Ky (6.1)

dove L∗mt dipende dalla posizione dello scarico.Nel campo lontano si instaura un meccanismo dispersivo legato alla non uni-

formita trasversale della velocita longitudinale, dovuta a variazioni altimetriche eplanimetriche dell’alveo. Il corrispondente coefficiente di dispersione K puo esserequantificato utilizzando le relazioni proposte nel secondo volume delle Dispense delcorso.

Si noti che nel caso in cui lo scarico sia stazionario e il soluto non sia soggettoa decadimento biochimico, la soluzione nel campo lontano e

C = M/Q

dove M e la portata massica scaricata e Q la portata liquida del corso d’acqua.

6.1 Scarico puntuale accidentale

Un impianto di potabilizzazione deriva l’acqua da un corso d’acqua naturale. Si deveprogettare una riserva necessaria per supplire all’eventuale arresto della captazioneconseguente allo scarico accidentale di contaminante, tenendo presente che 40 kma monte dell’opera di captazione e ubicato un ponte autostradale dal quale, in casodi incidente, puo cadere un’autocisterna, riversando il suo carico nel corso d’acqua.Risolvere il problema ipotizzando una massa scaricata M = 500 kg e una concen-trazione limite Clim = 5 mg/m3; si determini anche la concentrazione massima chesi realizza nella sezione considerata. Il corso d’acqua e caratterizzato dalle seguen-ti grandezze: pendenza if = 10−4, portata Q = 250 m3/s, larghezza B = 100 m,profondita media Y = Ω/B = 4 m.

Calcoliamo per prima cosa le grandezze idrodinamiche necessarie per risolvereil problema. La velocita media e U = Q/(BY ) = 0.625 m/s, la velocita d’attrito

85

86 6.1. Scarico puntuale accidentale

u∗ =√

gifRh = 0.060 m/s. Il coefficiente di dispersione trasversale (considerandoal suo interno anche il contributo della diffusione turbolenta) puo essere stimatocome

Ky = α′ u∗Y = 0.145 m2/s

dove α′ ' 0.6 per un alveo naturale meandriforme. La lunghezza di miscelamentotrasversale puo essere stimata nell’intervallo

Lmt = (0.134÷ 0.536)UB2

Ky= (5.8÷ 23) km

che risulta inferiore alla distanza x0 = 40 km a valle dello scarico, giustificandol’ipotesi di risolvere il problema utilizzando una schematizzazione di campo lontano.Questa ipotesi e ancora piu giustificata dal fatto che la lunghezza di mescolamentotrasversale Lmt puo essere ulteriormente ridotta se lo scarico accidentale occupauna porzione consistente della sezione come conseguenza delle modalita di scarico.

Una stima veloce della concentrazione massima nella sezione x = x0 puo essereeffettuata utilizzando la soluzione

C =M/(BY )√

4πKtexp

[− (x− Ut)2

4Kt

](6.2)

sapendo che il picco si realizza al tempo

tp =x0

U= 6.40 · 104 s = 17.78 h . (6.3)

Il coefficiente di dispersione longitudinale puo essere stimato facendo riferimentoalla relazione proposta da Fischer

K = 0.011U2 B2

u∗Y= 178 m2/s .

In questo caso per il picco si trova

C(x0, tp) =M/(BY )√

4πKtp= 104.4 mg/m3 . (6.4)

valore molto superiore al limite ammissibile Clim.Si noti che la (6.3) fornisce l’istante nel quale transita per la sezione x0 il colmo

dell’onda di concentrazione (ovvero il massimo in x). Il corrispondente valore diconcentrazione (6.4) non e pero il massimo locale (ovvero il massimo in t, assegnatala sezione x0), che si ottiene invece annullando la derivata della (6.2) rispetto a t econsiderando la radice positiva

tmax =K

U2

−1 +

√1 +

(Ux

K

)2 = 63545 s = 17.65 h (6.5)

con la quale si ottiene il valore

C(x0, tmax) = 104.6 mg/m3 , (6.6)

peraltro non dissimile dal valore (6.4).La (6.2) consente di stimare i tempi per i quali C = Clim; numericamente si

trova t1 = 4.73 · 104 s = 13.16 h e t2 = 8.52 · 104 s = 23.67 h, da cui si ottiene unintervallo t2 − t2 = 10.51 h.


6. CAMPO LONTANO 87

6.1.1 Origine virtuale

La soluzione (6.2) non tiene pero conto del fatto che la soluzione nel campo lontanonon si comporta da subito come gaussiana, ma e necessario introdurre un’originevirtuale della coordinata longitudinale xv e del tempo tv. Introdurre un’originevirtuale significa considerare un processo diffusivo usuale, con la sola differenza cheha inizio dal punto xv. Tutte le caratteristiche rimangono comunque immutate, adesempio la varianza cresce nel tempo con la legge σ2 = 2K(t− tv). La soluzione siottiene quindi a partire dalla (6.2) con la sostituzione di coordinate x → ξ e t → τ ,dove

ξ = x− xv , τ = t− tv .

Sulla base di esperimenti numerici si pone

xv = 0.07UB2

Ky= 3024 m

e si definisce l’origine virtuale dei tempi

tv = xv/U = 4838 s = 1.34 h . (6.7)

La soluzione puo essere scritta come

C =M/(BY )√

4πKτexp

[− (ξ − Uτ)2

4Kτ

]=

M/(BY )√4πK(t− tv)

exp[− (x− Ut)2

4K(t− tv)

](6.8)

E utile precisare quando tale soluzione e valida. Una valutazione della distanzaconvettiva, dopo la quale il processo si puo ritenere di tipo diffusivo, e basata sumisure di campo:

Lx = αUL2

t

Ky= 8.5 km

dove Lt ' 0.7B e una grandezza trasversale di riferimento e α ' 0.4. Poiche lasoluzione puo essere considerata gaussiana ad una distanza superiore a

L′x ' (2.5÷ 5)Lx = (21÷ 42) km ,

nel caso in esame x = 40 km risulta essere sostanzialmente oltre la soglia minimadi applicabilita della soluzione (6.8).

Il massimo locale della concentrazione secondo la (6.8) si realizza ad un istantetemporale calcolabile adattando la (6.5) al sistema di riferimento ξ-τ traslato

τmax =K

U2

−1 +

√1 +

(Uξ

K

)2 ,

da cui

tmax = tv + τmax = tp

(− 1

Pe+

√1 +

1P 2

e

)+ tv

(1 +

1Pe

−√

1 +1

P 2e

), (6.9)

dove nella seconda relazione e stato introdotto il numero di Peclet Pe = Uξ/K.Quando Pe À 1, l’istante in cui si realizza il massimo non differisce in manierasostanziale1 dal valore tp calcolato con la (6.3). Con i dati in nostro possesso

1Per1

Pe¿ 1, la (6.9) diventa infatti tmax ' tp − tp − tv

Pe≤ tp .


88 6.1. Scarico puntuale accidentale

12 14 16 18 20 22 240

20

40

60

80

100

120

Ccon o.v.

Csenza o.v.

Clim

t[h]

C[g

/m3 ]

Figura 6.1: Confronto tra la soluzione (6.8) in linea continua e la (6.2) in linea tratteggiata, alladistanza x = 40 km dal punto di scarico. La concentrazione limite e indicata con Clim.

troviamo Pe = 130, da cui si ottiene tmax = 63545 s = 17.65 h, previsto anche dalla(6.5). Il massimo di concentrazione previsto dalla (6.8) risulta in questo caso

C(x0, tmax) = 108.8 mg/m3

che non e molto distante dal risultato della (6.4) o della (6.6). Il confronto tra ledue soluzioni e rappresentato in Figura 6.1.

Vogliamo ora calcolare per quanto tempo e necessario chiudere l’impianto dipotabilizzazione per avere C < Clim. Una prima risposta approssimativa e possibiledalla Figura 6.1. Un secondo metodo e quello di risolvere la (6.8) numericamenteponendo C = Clim: si ottiene in questo caso t1 = 13.34 h e t2 = 23.51 h, da cui sivaluta un tempo totale t2 − t1 = 10.17 h.

6.1.2 Metodo della nuvola congelata

Un metodo alternativo e basato sull’approssimazione della nuvola congelata (ipotesidi Taylor). Si fissa la soluzione all’istante temporale tp = x0/U e si calcola l’am-piezza della nuvola. Per semplicita consideriamo la soluzione (6.8) nelle variabili ξe τ , che possiamo riscrivere nella forma

C(ξ, τp) = Cp exp[− (ξ − Uτp)2

4Kτp

](6.10)

con

Cp =M/(BY )√

4πKτp

= 108.6 mg/m3 , τp =x0

U− tv = 16.43 h .

Ponendo C = Clim, troviamo la condizione

ξ1,2 − Uτp = x1,2 − Utp = ±√

4Kτp ln(

Cp

Clim

)


6. CAMPO LONTANO 89

che consente di determinare le coordinate

x1,2 = x0 ±√

4Kτp ln(

Cp

Clim

). (6.11)

Le (6.11) possono infine essere riconvertite in istanti temporali secondo la relazionet1,2 = x1,2/U per dare t1 = 12.71 h, t2 = 22.84 h e t2 − t1 = 10.13 h. Il risultatoottenuto e abbastanza simile a quello trovato in precedenza solo per l’intervallotemporale, mentre e significativo per i tempi corrispondenti alla concentrazionelimite.

Per capire il motivo della discrepanza, possiamo riscrivere la soluzione conl’approssimazione della nuvola congelata in funzione del tempo sulla base della(6.10):

Cc(x, t) = Cp exp[− (x− Ut)2

4K(tp − tv)

](6.12)

Il confronto tra la soluzione (6.12) e quella corretta (6.8) sono rappresentanti in Fi-gura 6.2. Come appare anche graficamente, la condizione limite C(x0, t) = Clim =5 mg/m3 non viene rispettata Sostituendo i valori temporali t1 e t2 nella soluzio-ne ‘vera’ (6.8), si trovano infatti i valori C(x0, t1) = 1.53 mg/m3 e C(x0, t2) =9.03 mg/m3.

20 25 30 35 40 45 50 55 600

20

40

60

80

100

120

140

C(tp)

Cc(t

1)

Cc(t

2)

C(t1)

C(t2)

Clim

x[km]

C[g

/m3 ]

Figura 6.2: Confronto tra la soluzione corretta (6.8) in linea continua e la semplificazione dellanuvola congelata (6.12) in linea tratteggiata. La concentrazione limite e indicata con Clim.

Con la diffusione di potenti mezzi di calcolo numerico, il metodo della nuvolacongelata ha perso ormai gran parte del suo interesse applicativo. Al giorno d’og-gi risulta infatti molto piu semplice risolvere direttamente l’equazione (6.8) con lacondizione richiesta. Resta comunque utile per la comprensione del fenomeno ana-lizzare questa tipologia di metodi che sfruttano alcune caratteristiche della soluzioneper ottenere un modello semplificato.


90 6.2. Calcolo della portata mediante misure di conduttivita

6.2 Calcolo della portata mediante misure di con-duttivita

E’ possibile effettuare misure di campo della portata di un corso d’acqua mediantemisure dell’incremento di conducibilita dovuto allo scarico di un massa di soluto.Nel caso in esame viene scaricata istantaneamente una massa M = 6 kg di sale inmodo approssimativamente uniforme sull’intera larghezza e si misura in una sezionea valle l’andamento della conducibilita riportato in Figura 6.3. La temperaturadell’acqua e T = 8C.

0

5

10

15

20

25

30

0 50 100 150 200 250 300 350t [s]

C [mg/l], χ [µS/cm]

χ

χ 10

χ 10,a

C a

Figura 6.3: Conduttivita elettrica χ e concentrazione di sale C in funzione del tempo durantela rilevazione in campo.

Il metodo utilizzato sfrutta le caratteristiche della soluzione dell’equazione diconvezione-diffusione per un tracciante passivo e non reattivo nel campo lontano.E’ quindi necessario porsi in un tratto del corso d’acqua a valle dello scarico in cuisia stato raggiunto il completo mescolamento su tutta la sezione, in modo che lamisura puntuale di una grandezza (nella fattispecie la conducibilita) rappresenti inmaniera significativa il valore medio.

Nel caso in cui il soluto sia sale, la conducibilita elettrica dipende linearmentedalla concentrazione C [mg/l] secondo la legge

C = TDS · χ10 (6.13)

dove il parametro TDS = 0.71 mg l−1 cmµS−1 e stato tarato alla temperatura di10C, alla quale si considera la conducibilita χ10 [µS/cm].

Dato che le misure di campo sono state effettuate ad una temperatura diversa,e necessario riportare il valore misurato χ alla temperatura standard:

χ10 = χ−m(T − 10C)

dove il parametro m = f(χ, T ) deriva da una apposita taratura. Al valore diconducibilita trovato deve essere sottratto il valore di base dell’acqua:

χ10,a(t) = χ10(t)− χ10(0) .


6. CAMPO LONTANO 91

Nota la conducibilita aggiunta χ10,a, e possibile risalire alla concentrazione di saledovuta allo scarico utilizzando la (6.13)

Ca = TDS · χ10,a .

I risultati parziali della procedura per ricavare tale valore sono riportati in Figura6.3.

A questo punto e possibile risalire alla portata del corso d’acqua considerandola definizione che lega la massa scaricata alla concentrazione media sulla sezione

M =∫ ∞

0

(C(t)− C0) Qdt = Q

∫ ∞

0

Ca(t)dt , (6.14)

dove Ca = C − C0 e la concentrazione di sale aggiunta. La relazione si basa sulleipotesi che la portata non subisca variazioni nel tempo e nello spazio e che non cisiano perdite di massa. Dalla (6.14) si ottiene infine la portata

Q =M∫∞

0Ca(t)dt

= 7.82 m3/s .

Si noti che e possibile ottenere un valore approssimato per via grafica attraversol’integrazione della curva contando i quadretti della griglia al di sotto della curva.Un conteggio approssimato indica 76 quadri di lati ∆t = 10 s e ∆C = 1 mg/l, dacui si ottiene

∫∞0

Ca(t)dt ' 760 s g/m3 e quindi Q ' 7.9 m3/s.

6.2.1 Stima del massimo di concentrazione da misure di cam-po

Una massa M = 100 kg di tracciante viene rilasciata accidentalmente ed in modoistantaneo in un corso d’acqua caratterizzato da U = 1 m/s, B = 100 m, Y = 4 m,if = 1·10−4. In una sezione a valle dello scarico vengono misurate la concentrazioniC1 = 1.93 ·10−3 mg/l, C2 = 6.77 ·10−3 mg/l, C3 = 13.7 ·10−3 mg/l, rispettivamentedopo 8, 9, 10 ore dall’istante di scarico. Stimare il momento in cui e attesa lamassima concentrazione nella sezione di misura e il suo valore. Discutere comecambia la stima se si considera un’origine virtuale dei tempi.

Il coefficiente di dispersione puo essere stimato con la formula di Fischer

K = 0.011U2B2

ufY= 456 m2/s

avendo calcolato la velocita d’attrito uf =√

gifRh = 0.060 m/s. Per evitareproblemi con le unita di misura, e conveniente esprimere le concentrazioni con leunita del sistema internazionale: C1 = 1.93 · 10−6 kg/m3, C2 = 6.77 · 10−6 kg/m3,C3 = 13.7 · 10−6 kg/m3.

Come gia visto in precedenza, la soluzione nel campo lontano e

C =M

BY√

4πK(t− tv)exp

[− (x− Ut)2

4K(t− tv)

](6.15)

La posizione della sorgente puo essere ottenuta esplicitando la distanza x dallasorgente nella (6.15):

x = Ut +

√√√√4K(t− tv) ln

(M

CBY√

4πK(t− tv)

)(6.16)


92 6.2. Calcolo della portata mediante misure di conduttivita

Individuata l’origine del sistema di riferimento, si trova il momento in cui la con-centrazione e massima imponendo ∂C/∂t = 0: si ottiene

tmax = tv +K

U2

−1 +

√1 +

(U(x− xv)

K

)2 , (6.17)

La determinazione del massimo valore di concentrazione si ottiene sostituendo l’i-stante temporale tmax nella (6.15).

Senza origine virtuale. Ponendo tv = 0, la (6.16) fornisce rispettivamente x1 =39.82 km, x2 = 40.08 km, x3 = 39.96 km; la media di queste stime e x = 39.96 km.

Il tempo in cui si realizza il massimo di concentrazione e quindi, in base alla(6.17), tmax = 3.95 · 104 s = 10.99 h, da cui per la (6.15) si ottiene Cmax = 16.6 ·10−3 mg/l.

Con origine virtuale. Calcolando Ky = 0.6 ufY = 0.145 m2/s, l’origine virtualesi colloca a

tv = 0.07B2

Ky

corrispondente a xv = Utv = 4.8 km. La distanza necessaria affinche il processodiventi diffusivo e L ' 0.196 UB2/Ky = 13.5 km.

In questo caso la (6.16) fornisce rispettivamente x1 = 39.05 km, x2 = 39.76 km,x3 = 40.21 km, per una media pari a x = 39.67 km. Il tempo in cui si realizzail massimo molto vicino a quello gia trovato trascurando l’origine virtuale tmax =3.95 ·104 s = 10.99 h, mentre la concentrazione Cmax = 17.7 ·10−3 mg/l e superiore.


Capitolo 7

Miscelamento e decadimentodi soluti reattivi

7.1 Scarichi stazionari successivi

Lungo l’asta di un fiume sono localizzati numerosi impianti di depurazione che sca-ricano reflui trattati. Considerando solamente gli scarichi delle tre citta maggiori,indicate con F , G e H, valutare la concentrazione di ossigeno nelle condizioni piucritiche, ovvero in condizioni di magra estiva. Il corso d’acqua puo essere caratte-rizzato come segue: portata Q = 200 m3/s, larghezza B = 80m, profondita mediaY = 2m, pendenza if = 10−3, temperatura dell’acqua T = 15C. Si considerinocome soluti reattivi il BOD5 e l’azoto ammoniacale NH4-N e come valori criticii limiti allo scarico1 di Cb = 40 mg/l e Cn = 3 mg/l, rispettivamente; si assumanullo il deficit iniziale di ossigeno rispetto alla saturazione. Le portate scaricatesono2 QF = 40000 m3/d, QG = 36000 m3/d, QH = 90000 m3/d. Le distanze tra gliscarichi sono le seguenti: tra F e G circa 60 km, tra G e H circa 100 km, a valledi H lo sbocco in mare si trova a 150 km.

Per prima cosa cerchiamo di caratterizzare a livello idrodinamico il corso d’ac-qua. La velocita media e

U =Q

B Y= 1.25 m/s ,

la velocita d’attrito u∗ =√

gifRh = 0.137 m/s. Assumiamo che sia possibile stu-diare il fenomeno utilizzando uno schema di campo lontano con un modello a coeffi-cienti costanti. In questo caso l’equazione che governa il comportamento di un solutoreattivo e quella di convezione-dispersione longitudinale alla quale viene aggiuntoun termine di reazione

∂C

∂t+ U

∂C

∂x= K

∂2C

∂x2− krCb . (7.1)

Valutiamo il coefficiente di dispersione utilizzando la relazione proposta da Fischer

K = 0.011U2B2

u∗Y= 402 m2/s .

1I limiti allo scarico sono prescritti per legge. Per la normativa nazionale si fa riferimento allaTabella 3 dell’Allegato 5 al Decreto Legislativo 152/99.

2Le portate scaricate sono spesso espresse in metri cubi al giorno (d), considerando unadotazione idrica di alcune centinaia di litri per abitante equivalente al giorno.

93

94 7.1. Scarichi stazionari successivi

7.1.1 Soluzione stazionaria semplificata

Nel caso in cui gli scarichi siano stazionari, la (7.1) si semplifica eliminando laderivata temporale e fornisce la soluzione

C = C0 exp[− kr

x

U

], (7.2)

valida per ogni soluto C; la concentrazione C0 e la condizione posta in x = 0. Pertenere conto del contributo del mescolamento idrodinamico, nella (7.2) la costantecinetica della reazione kr e stata modificata in

kr =2α

(−1 +√

1 + α) kr −→(1− α

4

)kr + O

(α2

), (7.3)

dove3

α = 4Kkr

U2.

La seconda relazione della (7.3) vale per valori piccoli di α, come di solito accade.Nei casi comuni tale parametro e cosı piccolo che kr coincide sostanzialmente conkr, condizione che equivale a considerare una versione semplificata della (7.1):

U∂C

∂x= −krC (7.4)

nella quale la cinetica di reazione biochimica viene riferita ad un volume di controlloin moto con la velocita media U del corso d’acqua.

Possiamo ora particolarizzare la trattazione al caso del BOD5. Indicando conIl caso del BOD5.

Cb la sua concetrazione e con k1 la costante cinetica della reazione di ossidazione,l’equazione differenziale (7.4) puo essere scritta come

U∂Cb

∂x= −k1Cb (7.5)

e la soluzione (7.2) diventa

Cb = Cb0 exp[− k1

x

U

]. (7.6)

Per quanto riguarda la concentrazione di ossigeno CO2 disciolto nel corso d’ac-qua, conviene riferirsi al deficit

d = Cs − CO2 (7.7)

rispetto alle condizioni di saturazione Cs. La dinamica del deficit di ossigeno egovernata da un’equazione analoga alla (7.1), nella quale e presente un termine diriossigenazione avente come costante cinetica il parametro k2, il cui ordine di gran-dezza e comparabile con quello di k1. Ripetendo le considerazioni discusse sopra,possiamo anche in questo caso ricondurci ad un’equazione differenziale semplificata

U∂d

∂x= −k2d + consumo (7.8)

dove il termine di consumo e dato dall’ossidazione della sostanza organica. Nel casodel BOD5, per definizione si ha che

consumo = −dCb

dt= −U

∂Cb

∂x.

3La seconda relazione e valida nel caso α ¿ 1, per il quale vale lo sviluppo in serie di Taylor√1 + α = 1 + α

2− α2

8+ O(α3).


7. SOLUTI REATTIVI 95

Avvalendosi della (7.5) e della soluzione trovata (7.6), la (7.8) puo essere riscrittacome

U∂d

∂x= −k2d + k1Cb = −k2d + k1Cb0 exp

[−k1

x

U

](7.9)

la cui soluzione e

d = d0 exp(−k2

x

U

)+ Cb0

k1

k2 − k1

[exp

(−k1

x

U

)− exp

(−k2

x

U

)]. (7.10)

La concentrazione di ossigeno puo quindi essere trovata invertendo la (7.7).

Ossidazione di altre sostanze. Se, come normalmente avviene, nello scaricosono presenti altre sostanze, per ciascuna di esse vale un’equazione del tipo (7.1). Inprima approssimazione si puo ritenere che le reazioni siano indipendenti e che quindiper ciascuna specie valga una soluzione (7.2), usualmente nella forma semplificatarelativa all’equazione (7.4).

Prendiamo ad esempio l’azoto ammoniacale NH4-N , per il quale si puo scriverel’equazione semplificata

U∂Cn

∂x= −knCn (7.11)

dove Cn e la concentrazione, espressa in termini di N , e kn la costante cinetica dellareazione. La soluzione della (7.11) e chiaramente

Cn = Cn0 exp[−kn

x

U

](7.12)

Cambia invece il consumo di ossigeno: stechiometricamente per ossidare 1 moledi NH4-N sono necessarie 4.6 moli di ossigeno (O2). Quindi nella (7.8) si ha

consumo = −4.6dCn

dt= −4.6 U

∂Cn

∂x

Considerando quindi sia il BOD5 sia l’azoto ammoniacale NH4-N , l’equazione peril deficit di ossigeno diventa

U∂d

∂x= −k2d + k1Cb0 exp

[−k1

x

U

]+ 4.6 knCn0 exp

[−kn

x

U

](7.13)

la cui soluzione e

d = d0 exp(−k2

x

U

)+ Cb0

k1

k2 − k1

[exp

(−k1

x

U

)− exp

(−k2

x

U

)]+

+4.6 Cn0kn

k2 − kn

[exp

(−kn

x

U

)− exp

(−k2

x

U

)]. (7.14)

Il confronto con la (7.10) permette di estrapolare la soluzione nel caso di un maggiornumero di specie chimiche.

7.1.2 Effetto di scarichi successivi

In presenza di scarichi successivi e sufficiente suddividere il corso d’acqua in trattied assegnare a ciascun tratto le opportune condizioni al contorno. Nel nostro casoscegliamo un riferimento tale che lo scarico F sia in xF = 0, lo scarico G in xG =60 km, lo scarico H in xH = 160 km, lo sbocco in mare in xM = 310 km.

Per il primo tratto la soluzione e quella trovata in precedenza: (7.6), (7.12) e(7.14), con le condizioni iniziali assegnate dal problema

d0 = d|x=0 = 0 , Cb0 = Cb|x=0 =MbF

Q, Cn0 = Cn|x=0 =

MnF

Q.


96 7.1. Scarichi stazionari successivi

dove e stata fatta l’ipotesi che il mescolamento sulla sezione avvenga istantanea-mente in prossimita dello scarico (MbF e MnF sono rispettivamente le portate dimassa di BOD5 e di NH4-N). Per questa ipotesi, infatti, possiamo utilizzare, adesempio per il BOD5, la concentrazione che si realizzerebbe nel campo lontano

Cb0 = CbFQF

Q + QF' CbF

QF

Q(7.15)

dove CbF = 40 mg/l e la concentrazione dello scarico e QF = 40000 m3/d =0.463 m3/s la portata scaricata, trascurabile rispetto a quella del corso d’acqua.Si noti come la concentrazione Cb0 risulti molto inferiore grazie alla diluizione idro-dinamica. In maniera equivalente possiamo calcolare Cn0, imponendo la concentra-zione limite allo scarico per l’azoto ammoniacale CnF = 3mg/l, ed eventualmenteun deficit iniziale di ossigeno.

Per il secondo tratto, la soluzione puo essere riscritta con una traslazione delsistema di riferimento; ad esempio la (7.6) diventa

CIIb = Cb0G exp

[−k1

(x− xG)U

]

con la condizione iniziale ottenuta dalla soluzione nel primo tratto (CIb ) sommata

al nuovo scarico (con portata QG = 0.417 m3/s e concentrazione CbG = 40 mg/l):

Cb0G = CIb

∣∣x=xG

+ CbGQG

Q.

In modo analogo possiamo calcolare la soluzione per CIIn e per il deficit dII . In

quest’ultimo caso trascuriamo l’apporto di deficit dovuto allo scarico.Per il terzo tratto (a valle dello scarico di portata QH = 1.04 m3/s), e per

eventuali tratti successivi corrispondenti ad ulteriori scarichi, si ripete il procedi-mento illustrato discusso sopra. Si noti che e possibile considerare per ciascun trattouna diversa caratterizzazione idrodinamica, come e necessario fare usualmente neiproblemi reali.

0 50 100 150 200 250 3000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

F

G

H

x [km]

Cb [

mg/

l]

0 50 100 150 200 250 3000

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

F

G

H

x [km]

Cn [

mg/

l]

Figura 7.1: Andamento della concentrazione di BOD5 (Cb) e di azoto ammoniacale NH4-N(Cn) nel corso d’acqua.

I risultati per le concentrazioni Cb e Cn sono rappresentati in Figura 7.1. Laconcentrazione di ossigeno CO2 = Cs−d e riportata in Figura 7.2, nel caso richiesto(limiti di scarico del depuratore, in linea continua) e nel caso in cui lo scaricoconfluisca nel corso d’acqua senza essere trattato (in linea punteggiata), assumendodelle concentrazioni di BOD5 e di NH4-N rispettivamente pari a Cb = 200 mg/l e



0 50 100 150 200 250 3009.55

9.6

9.65

9.7

9.75

9.8

9.85

F GH

x [km]

CO

2 [m

g/l]

Cs

Figura 7.2: Andamento della concentrazione di ossigeno disciolto CO2 = Cs − d nel caso diuno scarico da depuratore (in linea continua, considerando i limiti massimi di emissione) e di unoscarico non trattato (in linea punteggiata). E’ stato trascurato l’apporto di deficit di ossigenointrodotto dallo scarico.

Cn = 35 mg/l; i grafici di Cb e Cn in questo secondo caso possono essere ottenutisemplicemente riscalando quelli di Figura 7.1.

Le concentrazioni dei soluti (nel caso esaminato BOD5 e NH4-N) hanno uncomportamento discontinuo in corrispondenza degli scarichi, mentre il deficit diossigeno (o in modo equivalente la concentrazione di ossigeno disciolto) manifestasolamente una variazione nella derivata; questo avviene perche abbiamo trascuratoil deficit di ossigeno introdotto dalla portata scaricata.

Nel calcolo abbiamo assunto come concentrazione di ossigeno alla saturazione ilvalore

Cs = 14.161− 0.3943T + 0.007714T 2 − 0.0000646T 3 = 9.8 mg/l (7.16)

(con T = 15C temperatura dell’acqua, alla pressione di 1 atm e con salinita assente)e come costanti cinetiche di reazione le stime

k1 = 1.16 · 10−6 1.047T−20 s−1 = 0.92 · 10−6 s−1 = 0.080 d−1

k2 = 1.16 · 10−5α 1.0159T−20 s−1 = 3.2 · 10−6 s−1 = 0.28 d−1

kn ' 0.008 d−1 (7.17)

dove α e un parametro che dipende dal tipo di corrente (abbiamo qui assunto α =0.3) e il valore di kn e stato scelto per finalita didattiche. Si faccia attenzione al fattoche utilizzando formulazioni differenti i parametri possono risultare sensibilmentediversi; in particolare la variabilita delle costanti cinetiche di reazione puo esserepiuttosto grande (anche come ordine di grandezza).

Come si puo vedere dalle formule utilizzate (7.15) e (7.16)-(7.17), le magre estivesono le condizioni piu critiche per due motivi: (1) in magra la portata Q del corsod’acqua e minore e quindi la diluizione e meno efficace; (2) in estate la temperaturapiu alta fa diminuire la concentrazione di ossigeno alla saturazione, poiche la (7.16)ha un andamento decrescente con T , e aumenta la cinetica delle reazioni (7.17),


98 7.2. Posizione del minimo dell’ossigeno disciolto

incrementando cosı il consumo di ossigeno. Quando la concentrazione di ossigenodisciolto scende sotto un valore critico di alcuni mg/l le condizioni anossiche che siinstaurano risultano pericolose per le forme di vita presenti nel corso d’acqua.

7.2 Posizione del minimo dell’ossigeno disciolto

Un impianto di trattamento scarica un refluo con M = 295 g/s di BOD5 in un corsod’acqua avente profondita Yf = 3 m, larghezza B = 30 m e portata Qf = 27 m3/s,attraverso un diffusore largo come l’intera sezione. Considerando lo scarico im-mediatamente miscelato sulla sezione, trovare il punto piu critico per l’ossigenodisciolto nel corso d’acqua. Il deficit di ossigeno nel corso d’acqua prima dello sca-rico e df = 1.5 mg/l, rispetto a una concentrazione alla saturazione Cs = 9.1 mg/l.

Se lo scarico e modesto rispetto al corso d’acqua, la portata dopo lo scarico eQ = Qf , la profondita Y = Yf e il deficit iniziale e d0 = df ; la concentrazioneiniziale di BOD5 e

Cb0 =M

Q= 10.29 g/m3 = 10.29 mg/l . (7.18)

Si assume una costante di decadimento k1 = 0.2 d−1 e si utilizza la relazione empirica

k2 = 3.9√

U

Y 3/2= 0.41 d−1 (7.19)

per stimare la costante di riossigenazione, dove la velocita media U = Q/(BY ) =0.3 m/s deve essere espressa in m/s, la profondita in m e il risultato in d−1.

Il punto di massimo deficit di ossigeno della curva (7.10) si trova4 in

x

U=

1k2 − k1

ln[k2

k1

(1− k2 − k1

k1

d0

Cb0

)]= 2.67 d (7.20)

da cui si ottiene x = U t[d]·86400[s/d] = 69 km. Si noti come, in assenza di occasionidi aerazione (dispositivi artificiali, cascate, rapide) che aumentano la costante k2, ilprocesso di riossigenazione e molto lento.

Il massimo deficit si ottiene dalla (7.10) per la coordinata x trovata ed e pari ad = 3.11 mg/l, corrispondente ad una concentrazione di ossigeno CO2 = Cs − d =5.98 mg/l.

Il problema e realistico? Esaminiamo piu a fondo i dati del problema. Assu-mendo una concentrazione allo scarico Cb = 40 mg/l (limite di legge), si trova chela portata massica M corrisponde a un portata

Qs =M

Cb

' 32.4 m3/s .

Assegnato un consumo idrico di dot = 400 l d−1ab−1eq , tale portata corrisponde a

n = Qs/dot ' 7 · 106 abitanti equivalenti. Per questo, e per il fatto che la scaricatae maggiore di quella del corso d’acqua, chiaramente il problema non e realistico.

4E’ sufficiente risolvere in x l’equazione dd/dx = 0.



Proviamo a svolgere in ogni caso il problema rimuovendo l’ipotesi assunta abi-tualmente che Qs ¿ Qf . In questo caso

Q = Qf + Qs = 59.4 m3/s

e la (7.18) fornisce Cb0 = 4.96 mg/l.La variazione di portata impone anche una variazione di quota. Con una

relazione di moto uniforme del tipo

Q = BY ks

√ifR

2/3h , Rh =

BY

B + 2Y

si trova che a monte dello scarico (Q = Qf ), la profondita Yf = 3 m corrispondea ks

√if = 0.162 m1/3/s. Con quest’ultimo valore si trova che la portata totale Q

determina una profondita Y = 5.0 m; la velocita risulta quindi U = 0.39 m/s. Diconseguenza, la (7.19) fornisce una costante di riossigenazione k2 = 0.21 d−1.

Il deficit di ossigeno dopo la confluenza puo essere determinato attraverso unbilancio di massa relativo alla concentrazione di ossigeno (e non al deficit stesso):

QfCO2,f + QsCO2,s = QCO2,0 .

Nel caso in cui Qs ¿ Qf si trova CO2,0 ' CO2,f = Cs − df = 7.6 mg/l; quandoinvece la portata Qs non sia trascurabile, piu correttamente la concentrazione diossigeno vale CO2,0 = 6.33 mg/l, da cui d0 = Cs − CO2,0 = 2.77 mg/l.

Con i nuovi parametri, il punto piu critico si porta a x/U = 1.93 d, ossia a x =66 km, con un deficit d = 3.1 mg/l e una concentrazione di ossigeno CO2 = 6.0 mg/l.

7.2.1 Assenza del minimo

La relazione (7.20) consente di stimare la posizione del massimo deficit (minimo diossigeno) in funzione dei valori iniziali d0 e Cb0. In particolare, un minimo esistesolo se x > 0, ovvero se si localizza dopo lo scarico. Risolvendo la disuguaglianza,per qualsiasi valore delle costanti cinetiche si trova

xmin > 0 ⇔ d0 <k1

k2Cb0 .

Se il deficit iniziale e molto grande, prevale quindi la riossigenazione e la curva dellaconcentrazione di ossigeno ha un andamento sempre crescente (xmin < 0 o nonesistente).

Un caso particolare e dato dalla situazione in cui k2 = k1, perche la (7.20) risultaindeterminata. Passando al limite l’espressione, si ottiene

limk2=k1

x

U=

Cb0 − d0

k1 Cb0,

per la quale la condizione di esistenza del minimo non cambia.


100 7.2. Posizione del minimo dell’ossigeno disciolto


Parte V

Appendici

101

Appendice A

Soluzioni: una sintesi

A.1 Soluzioni nelle diverse fasi di mescolamento

L’equazione differenziale di convezione-diffusione ammette soluzione analitica quan-do i coefficienti sono costanti. Sotto questa ipotesi, consideriamo uno scarico pun-tuale e analizziamo in dettaglio il comportamento della soluzione nelle diverse fasidel mescolamento (campo vicino, intermedio e lontano) in un dominio definito dauna sezione trasversale y-z delimitata da pareti, le cui dimensioni sono B e Y ri-spettivamente lungo y e z. Per semplicita facciamo riferimento a due casi: scaricopuntuale istantaneo di una massa M ; scarico puntuale continuo e stazionario di unaportata massica M .

Risulta utile definire la funzione

C∗(ζ∗, ξ∗) =1√

4πξ∗

∞∑

j=−∞

exp

[− (ζ∗ − ζ∗0 + 2j)2

4ξ∗

]+ exp

[− (ζ∗ + ζ∗0 + 2j)2

4ξ∗

],

(A.1)il cui andamento nel piano ξ-ζ e riportato graficamente nel paragrafo A.2. E’importante notare che la (A.1) e tale che per ξ∗ > ξ∗m, dove ξ∗m dipende dallaposizione ζ∗0 ∈ [0, 1], si ha che C∗ → 1.

Nel seguito vengono utilizzati dei generici coefficienti di diffusione Dx, Dy e Dz

nelle tre direzioni degli assi cartesiani x, y e z. Riguardo all’utilizzo nelle diverse fasidel mescolamento si puo fare riferimento alla Tabella A.1. Si noti che la successioneproposta e fondata sull’ipotesi B À Y ; si rimarca inoltre che i modelli per lesoluzioni dei paragrafi seguenti sono a coefficienti costanti.

Campo Dx Dy Dz

vicino Dtx Dt

y Dtz

intermedio Dtx + Kx Dt

y + Ky -lontano Dt

x + Kx + K - -

Tabella A.1: Coefficienti di diffusione in dipendenza della fase del mescolamento (con l’ipotesiB À Y ).

A.1.1 Scarico istantaneo M

In generale la soluzione del problema differenziale a coefficienti costanti

∂C

∂t+ U

∂C

∂x= Dx

∂2C

∂x2+ Dy

∂2C

∂y2+ Dz

∂2C

∂z2

103

104 A.1. Soluzioni nelle diverse fasi di mescolamento

puo essere scritta nella forma

C(x, y, z, t) =M√

4πDxtexp

[− (x− Ut)2

4Dxt

]Cy Cz (A.2)

dove i contributi della diffusione verticale

Cz(z, t) =1√

4πDzt

∞∑

j=−∞

exp

[− (z − z0 + 2jY )2

4Dzt

]+ exp

[− (z + z0 + 2jY )2

4Dzt

]

(A.3)e di quella trasversale

Cy(y, t) =1√

4πDyt

∞∑

j=−∞

exp

[− (y − y0 + 2jB)2

4Dyt

]+ exp

[− (y + y0 + 2jB)2

4Dyt

]

(A.4)possono essere quantificati separatamente.

Il comportamento della soluzione appare piu chiaramente quando si renda adi-mensionale il problema utilizzando le scale opportune. Per il mescolamento verticalesi pone

z = z∗ Y , t = t∗Y 2

Dz

e la (A.3) diventa

Cz(z∗, t∗) =1Y

1√4πt∗

∞∑

j=−∞

exp

[− (z∗ − z∗0 + 2j)2

4t∗

]+ exp

[− (z∗ + z∗0 + 2j)2

4t∗

].

(A.5)Per il mescolamento trasversale si ha analogamente

y = y∗B , t = t∗B2

Dy

da cui

Cy(y∗, t∗) =1B

1√4πt∗

∞∑

j=−∞

exp

[− (y∗ − y∗0 + 2j)2

4t∗

]+ exp

[− (y∗ + y∗0 + 2j)2

4t∗

].

(A.6)Ricordando la (A.1), possiamo porre

Cz(z∗, t∗) =1Y

C∗(z∗, t∗) , Cy(y∗, t∗) =1B

C∗(y∗, t∗) (A.7)

ed ottenere nella (A.2)

C(x, y, z, t) =M

BY√

4πDxtexp

[− (x− Ut)2

4Dxt

]C∗(y∗, t∗) C∗(z∗, t∗) , (A.8)

in cui la mancanza di rigore nella notazione e bilanciata dalla chiarezza dellaformulazione.

La soluzione scritta in questo modo si presta ad una semplice interpretazioneFasi delmescolamento. nella successione convenzionale di fasi distinte del mescolamento. In generale, posto

B À Y , si ha che la scala dimensionale dei tempi per il mescolamento trasversale emolto maggiore di quella per il mescolamento verticale. Si ha quindi, assegnato untempo t,

t∗ ¿ t∗ .


A. SOLUZIONI: UNA SINTESI 105

Seguendo questa gerarchia temporale, per tempi piccoli (t∗ ¿ 1) la soluzione(A.8) e quella del campo vicino:

C(x, y, z, t) =M

(4πt)3/2 √DxDyDz

exp[− (x− Ut)2

4Dxt

]·

·∞∑

j=−∞

exp

[− (y − y0 + 2jB)2

4Dyt

]+ exp

[− (y + y0 + 2jB)2

4Dyt

]·

·∞∑

j=−∞

exp

[− (z − z0 + 2jY )2

4Dzt

]+ exp

[− (z + z0 + 2jY )2

4Dzt

].

Al crescere di t (t∗ ∼ 1) si esaurisce il mescolamento verticale (ovvero la concentra-zione diventa uniforme lungo la verticale) e la (A.5) si semplifica in

t∗ ∼ 1 ⇒ Cz =1Y

,

cosicche la (A.8) diventa la ben nota soluzione per il campo intermedio:

C(x, y, t) =M

Y (4πt)√

DxDy

exp[− (x− Ut)2

4Dxt

]·

·∞∑

j=−∞

exp

[− (y − y0 + 2jB)2

4Dyt

]+ exp

[− (y + y0 + 2jB)2

4Dyt

].

L’ulteriore crescere di t (t∗ ∼ 1) comporta l’esaurimento del mescolamento trasver-sale, con la conseguente uniformita di concentrazione su tutta la sezione, e la (A.6)diventa

t∗ ∼ 1 ⇒ Cy =1B

,

lasciando che la (A.8) rappresenti la soluzione nel campo lontano:

C(x, t) =M

BY√

4πDxtexp

[− (x− Ut)2

4Dxt

].

Le stesse considerazioni sono valide quando si considerino le medie della concen- Medie dellaconcentrazione.trazione lungo la verticale o lungo la trasversale. Infatti la (A.1) e tale che

∫ 1

0

C∗(ζ∗, ξ∗)dζ∗ = 1

per ogni coordinata ξ∗. In conseguenza di cio, con una riserva sui coefficienti didiffusione da utilizzare, la soluzione per la concentrazione mediata sulla verticale esempre quella del campo intermedio e quella mediata sulla sezione e quella di campointermedio.

A.1.2 Scarico costante M

Nel caso in cui la portata massica scaricata M sia costante, assumendo che sia validal’ipotesi di trascurare la diffusione longitudinale rispetto alla convezione nella stessadirezione, ovvero si risolva l’equazione

U∂C

∂x= Dy

∂2C

∂y2+ Dz

∂2C

∂z2,


106 A.1. Soluzioni nelle diverse fasi di mescolamento

la soluzione generale e stazionaria e puo essere scritta come

C(x, y, z) =M

UC ′y C ′z (A.9)

dove i contributi della diffusione verticale e di quella trasversale sono analoghi alle(A.3)-(A.4):

C ′z(z, x) =1√

4πDzx/U

∞∑

j=−∞

exp

[− (z − z0 + 2jY )2

4Dzx/U

]+ exp

[− (z + z0 + 2jY )2

4Dzx/U

]

(A.10)

C ′y(y, x) =1√

4πDyx/U

∞∑

j=−∞

exp

[− (y − y0 + 2jB)2

4Dyx/U

]+ exp

[− (y + y0 + 2jB)2

4Dyx/U

].

(A.11)Ripetendo il procedimento del paragrafo precedente, si possono scegliere le scale

per il mescolamento verticale

z = z∗ Y , x = x∗UY 2

Dz,

e la (A.10) diventa

C ′z(z∗, x∗) =1Y

1√4πx∗

∞∑

j=−∞

exp

[− (z∗ − z∗0 + 2j)2

4x∗

]+ exp

[− (z∗ + z∗0 + 2j)2

4x∗

],

(A.12)mentre per il mescolamento trasversale si ha

y = y∗B , x = x∗UB2

Dy

da cui la (A.11) in coordinate adimensionali

C ′y(y∗, x∗) =1B

1√4πx∗

∞∑

j=−∞

exp

[− (y∗ − y∗0 + 2j)2

4x∗

]+ exp

[− (y∗ + y∗0 + 2j)2

4x∗

].

(A.13)Utilizzando anche in questo caso la (A.1), ricordando che Q = UBY , la (A.9)

diventa

C(x, y, z) =M

QC∗(y∗, x∗) C∗(z∗, x∗) . (A.14)

Il discorso sulla successioni delle fasi del mescolamento puo essere riproposto inFasi delmescolamento emedie diconcentrazione.

funzione della coordinata spaziale x in modo analogo a quanto visto per t; anche inquesto caso

B À Y ⇒ x∗ ¿ x∗

per x assegnato.A piccole distanze dallo scarico (x∗ ¿ 1) la soluzione (A.9)-(A.11) e quella del

campo vicino

C(x, y, z) =M

4πx√

DzDy

∞∑

j=−∞

exp

[− (z − z0 + 2jY )2

4Dzx/U

]+ exp

[− (z + z0 + 2jY )2

4Dzx/U

]·

·∞∑

j=−∞

exp

[− (y − y0 + 2jB)2

4Dyx/U

]+ exp

[− (y + y0 + 2jB)2

4Dyx/U

],



mentre per x maggiori (x∗ ∼ 1), esaurito il mescolamento verticale, si ottiene laben nota soluzione per il campo intermedio

C(x, y) =M

Y√

4πxDyU

∞∑

j=−∞

exp

[− (y − y0 + 2jB)2

4Dyx/U

]+ exp

[− (y + y0 + 2jB)2

4Dyx/U

].

Procedendo ulteriormente lungo x (x∗ ∼ 1) la concentrazione diventa uniforme e sitrova la semplice soluzione costante di campo lontano

C =M

Q.

Le considerazioni riguardo alle medie della concentrazione sono assolutamenteanaloghe a quelle del paragrafo precedente.

A.2 Soluzioni grafiche

Nella pratica molti problemi possono essere risolti riconducendosi ad un’equazione acoefficienti costanti; come discusso nel paragrafo A.1, la soluzione puo essere espres-sa in termini adimensionali come composizione di soluzioni fondamentali (A.1), chequi riscriviamo come

C∗ =1√

4πξ∗

∞∑

j=−∞

exp

[− (ζ∗ − ζ∗0 + 2j)2

4ξ∗

]+ exp

[− (ζ∗ + ζ∗0 + 2j)2

4ξ∗

](A.15)

dove le variabili ξ∗ e ζ∗ possono assumere di volta in volta significati geometricidifferenti. Una volta nota la soluzione della (A.15) in via grafica, si puo facilmenteottenere la soluzione dimensionale moltiplicando le variabili adimensionali per lescale caratteristiche del problema. Nelle Figure A.1-A.4 sono riportate le curve diisoconcentrazione ottenute dalla (A.15), per diverse posizioni del punto di scaricoζ∗0 .

Il grado di mescolamento Pm e il rapporto tra la concentrazione massima e laminima previste dalla (A.15):

Pm =C∗min

C∗max

=

=

∑∞j=−∞

exp

[− (ζ∗min−ζ∗0+2j)2

4ξ∗

]+ exp

[− (ζ∗min+ζ∗0+2j)2

4ξ∗

]

∑∞j=−∞

exp

[− (ζ∗max−ζ∗0+2j)2

4ξ∗

]+ exp

[− (ζ∗max+ζ∗0+2j)2

4ξ∗

] (A.16)

Nella (A.16) i punti in cui e localizzato il massimo di concentrazione si sposta alvariare di ξ∗ e del punto di scarico ζ∗0 , mentre il minimo si trova sempre in ζ∗ = 1 nelcaso in cui 0 ≤ ζ∗0 ≤ 0.5 (si noti per 0.5 ≤ ζ∗0 ≤ 1 la soluzione e simmetrica rispettoalla mezzeria). Possiamo pero osservare dalle Figure A.2 e A.3 che, fissato ζ∗0 , ilmassimo si sposta in funzione di ξ∗ solo nelle vicinanze dello scarico, per posizionarsipoi sempre verso ζ∗ = 0, come nel caso di ζ∗0 = 0 (Figura A.1); solo nel caso incui ζ∗0 = 0.5, per evidenti ragioni di simmetria, il massimo resta invariabilmenteposizionato in ζ = 0.5 (Figura A.4). Il grado di mescolamento Pm in funzione di ξe rappresentato in Figura A.5 per diverse posizioni di scarico ζ∗0 .

A.3 La funzione errore

La funzione errore (erf, error function) compare frequentemente nelle soluzionitrovate nelle pagine precedenti. Essa e definita come

erf(x) =2√π

∫ x

0

exp(−ξ2

)dξ (A.17)


108 A.3. La funzione errore

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.550

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

ξ*

ζ*

0.05

0.2

0.4

0.6

0.7

0.8

0.85

0.9

0.93

0.95

0.97

0.98

0.99

1

1.01

1.02

1.03

1.051.07

1.11.15

1.21.3

1.4

1.6

2

34

Figura A.1: Curve di isoconcentrazione dalla soluzione (A.15) per ζ∗0 = 0.

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.550

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

ξ*

ζ*

0.05

0.2

0.4

0.6

0.7

0.8

0.85

0.9

0.93

0.95

0.97

0.98

0.99

1

1.01

1.02

1.03

1.051.07

1.11.15

1.21.3

1.4

1.6

23

1.6

Figura A.2: Curve di isoconcentrazione dalla soluzione (A.15) per ζ∗0 = 0.25.



0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.550

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

ξ*

ζ*

0.05

0.2

0.4

0.6

0.7

0.8

0.85

0.9

0.93

0.95

0.97

0.98 0.99

1

1.01

1.021.03

1.051.07

1.11.15

1.21.3

1.41.6

2

1.4


0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.160

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

ξ*

ζ*

0.05

0.2

0.4

0.6

0.7

0.8

0.85

0.9

0.93

0.95

0.97

0.980.

99

1

1.011.02

1.03

1.05

1.07

1.1

1.15

1.2

1.3

1.4

1.6

2

34

1

0.99

0.98

0.97

0.95

0.93

0.9

0.85

0.8

0.7

0.6

0.4

0.20.05




0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

ζ0*=0

ζ0*=0.25

ζ0*=0.33

ζ0*=0.5

ξ*

Pm

Figura A.5: Grado di mescolamento Pm ottenuto dalla (A.16) in funzione di ξ∗ per diversi puntidi scarico ζ∗0 .

ed e rappresentata graficamente in Figura A.6. Si nota facilmente che la funzionee antisimmetrica, ossia f(x) = −f(−x) e che tende rapidamente al valore ±1 perx → ±∞.

La funzione complementare erfc e definita come

erfc(x) = 1− erf(x) . (A.18)

Approssimazione numerica. Poiche la funzione erf non puo essere espressa informa esplicita e non sempre e disponibile nelle librerie, puo essere utile una versioneapprossimata:

erf(x) ∼= 1− e−x2

(5∑

k=1

ak

(1 + p x)k

)(A.19)

i cui coefficienti valgono

p = .3275911, a1 = .254829592, a2 = −.284496736,

a3 = 1.421413741, a4 = −1.453152027, a5 = 1.061405429 (A.20)

Il confronto tra la (A.17) e la (A.19) e riportato in Figura A.7. Come si puo notare,l’approssimazione e soddisfacente per x > 0, dove l’errore rimane entro una fasciadell’ordine di 10−7, mentre la soluzione diverge per x < 0. Per ovviare a talemancanza, si possono sfruttare le proprieta di simmetria gia ricordate.

Molti dei moderni linguaggi di programmazione hanno la funzione erf incorpo-rata; sfortunatamente al FORTRAN manca. Di seguito viene riportata un esempio,in doppia precisione, di una procedura che utilizza la (A.19) per calcolare la erf in



0

0.050.1

0.150.2

0.250.3

0.350.4

0.450.5

0.550.6

0.650.7

0.750.8

0.850.9

0.951

00.

10.

20.

30.

40.

50.

60.

70.

80.

91

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

22.

12.

22.

32.

4

()(

)∫

−=

ξξ

π

Figura A.6: La funzione erf(x).



-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

erf(x)

-2 -1 1 2 3 4

x

Figura A.7: Confronto tra la soluzione esatta (A.17), in linea continua, e quella approssimata(A.19), in linea tratteggiata.

tutto il suo dominio di definizione (compresi i valori negativi di x):

function erf(x)real(8):: erf,x,xp,t1,t2xp=x*sign(1.d0,x)t1 = 1.d0/(1.d0+0.3275911d0*xp)t2 = t1*t1erf = 1.d0-exp(-xp*xp)*(0.254829592d0-0.284496736d0*t1

#+0.1421413741d1*t2-0.1453152027d1*t2*t1#+0.1061405429d1*t2*t2)*t1erf=erf*sign(1.d0,x)returnend


Appendice B

Analisi dimensionale

L’analisi dimensionale e basata sull’idea molto semplice che le leggi fisiche nondevono dipendere dalle unita di misura adottate per le variabili considerate. Leconseguenze di questa osservazione sono molto rilevanti per quanto riguarda l’in-terpretazione dei fenomeni fisici. Molte considerazioni tra quelle che seguono sonotratte da Barenblatt (1987), al quale si rimanda per un’analisi piu approfondita.

La maggior parte delle grandezze fisiche puo essere espressa utilizzando esclusi-vamente cinque dimensioni di base, come: lunghezza (L), tempo (T ), massa (M),temperatura (θ), intensita di corrente elettrica (I). La scelta delle grandezze di basee arbitraria e dipende da ragioni storiche e da considerazioni legate alla facilita eprecisione delle misure sperimentali; l’unico vincolo nella scelta e che le dimensionisiano indipendenti, cioe non sia possibile ottenerne una a partire da combinazionidelle altre.

Le unita di misura vengono utilizzate per misurare le grandezze fisiche confron-tandole con delle unita di riferimento esterne, che variano a seconda del sistema diriferimento utilizzato. Ad esempio una lunghezza puo essere misurata in metri, pol-lici, miglia, anni luce, ecc. Similmente una velocita puo essere misurata in metri alsecondo o miglia all’ora, ma rimane in ogni caso una lunghezza divisa per un tempo.Esistono diversi sistemi di riferimento; quello piu diffuso e il sistema internazionale(SI, Sisteme Internationale), nel quale la lunghezza viene misurata in metri (m),il tempo in secondi (s) la massa in chilogrammi (kg), la temperatura in kelvin (K,senza il simbolo del grado ), la corrente in ampere (A). Ad alcune grandezze diuso piu comune sono stati attribuiti dei nomi speciali, come ad esempio all’unitaper misurare la forza (newton, N = kg ·m/s2).

Alcune quantita non hanno dimensioni, come ad esempio il seno di un angolo,che rappresenta il rapporto tra due lati dello stesso e quindi si esprime come L/L.Queste grandezze vengono dette adimensionali. Esistono pero alcune quantita che,pur essendo adimensionali, sono espresse utilizzando delle unita di misura: ad esem-pio gli angoli possono essere misurati in radianti (rad), gradi sessagesimali (), gradicentesimali (gon).

Spesso le leggi fisiche sono espresse in termini dimensionali. In un caso generico,come f = ab + c, si deve avere che le dimensioni dei termini a sinistra dell’ugualesono le stesse di quelli a destra. Un caso in cui assolutamente e necessario avere dellegrandezze adimensionali e quando queste rappresentano gli argomenti di funzionitrigonometriche o esponenziali. Nella nota legge di decadimento exp (−kt), dove trappresenta un tempo (scriveremo [t] = T ), k deve essere espresso come l’inversodi un tempo, ossia T−1 per poter avere un termine adimensionale. Se quindi k eespresso in s−1, la variabile tempo t deve essere coerentemente misurata in s.

113

114 B.1. Teorema di Buckingham

B.1 Teorema di Buckingham

Il teorema di Buckingham, noto anche come teorema Π (Buckingham’s Pi Theo-rem), afferma che ogni relazione fisica del tipo f(x1, x2, ..., xn) = 0 e equivalentea una relazione del tipo g(π1, π2, ..., πn−r) = 0, dove r e il numero di dimensionicoinvolte nel problema e i termini πi sono gruppi adimensionali ottenuti scalando levariabili originarie xr+1, ..., xn utilizzando r variabili (x1, ..., xr) dimensionalmenteindipendenti. La conseguenza e che le funzioni che esprimono le leggi fisiche posso-no essere scritte in termini di gruppi adimensionali, che risultano essere in numeroinferiore alle grandezze considerate inizialmente.

L’indipendenza dimensionale puo essere verificata nel modo seguente. Consi-deriamo un caso in cui siano coinvolte masse (M), lunghezze (L) e tempi (T ) co-me dimensioni fondamentali. Prendiamo tre grandezze Q1, Q2 e Q3, per le qualipossiamo scrivere:

[Q1] = Mα1 Lβ1 T γ1

[Q2] = Mα2 Lβ2 T γ2

[Q3] = Mα3 Lβ3 T γ3

Se scriviamo la matrice degli esponenti delle dimensioni, possiamo individuarel’indipendenza richiedendo che il determinante di tale matrici non risulti nullo,ossia: ∣∣∣∣∣∣

α1 β1 γ1

α2 β2 γ2

α3 β3 γ3

∣∣∣∣∣∣6= 0 (B.1)

In tal caso non e possibile misurare una delle variabili utilizzando le altre. L’esten-sione al caso di un numero r 6= 3 di dimensioni considerate e banale.

Il significato del teorema appare piu chiaro quando si riflette sull’operazione chesi sta compiendo: invece di utilizzare delle scale esterne per misurare le grandezzecoinvolte nel problema (il metro, il secondo, il chilogrammo standard), si sono scelteproprio alcune di tali grandezze come unita di misura per le altre. In questo modoalcune variabili, tipicamente quelle piu rilevanti, assumono il significato di scaleinterne del problema, che devono quindi essere indipendenti dal punto di vistadimensionale per poter fungere da ‘metro’ per tutte le altre variabili.

B.1.1 Un esempio nell’ambito dell’idraulica

Per illustrare il procedimento, si e scelto il problema, noto nelle discipline idrauli-che, di determinare la caduta di pressione di una tubazione tra due punti distanti`. Individuate le grandezze fisiche coinvolte nel problema, ossia la distanza `, ildiametro D del tubo, la velocita U , la scabrezza es delle pareti, la viscosita µ e ladensita del fluido ρ, possiamo esprimere la caduta di pressione ∆p nella forma

∆p = f1 (`, D, U, es, µ, ρ) .

Dato che nel problema sono coinvolte r = 3 dimensioni (M,L, T ), scegliamocome tre scale interne D, U e ρ. Le loro dimensioni sono rispettivamente:

[D] = L, [U ] = LT−1, [ρ] = M L−3 (B.2)

Avvalendosi della (B.1) si puo vedere che le tre grandezze sono dimensionalmenteindipendenti. Si noti che la scelta non e univoca, ma implica la conoscenza delfenomeno fisico.


B. ANALISI DIMENSIONALE 115

Passiamo quindi alla definizione dei gruppi adimensionali coinvolti. L’analisidimensionale fornisce:

[∆p] = M L−1 T−2, [`] = L, [es] = L, [µ] = M L−1 T−1. (B.3)

Le variabili della (B.3) possono essere quindi espresse in funzione delle (B.2) nelseguente modo:

∆p = Da1U b1ρc1 , ` = Da2U b2ρc2 , es = Da3U b3ρc3 , µ = Da4U b4ρc4 (B.4)

Prendiamo in considerazione la prima delle (B.4); ricordando le (B.2) e la primadelle (B.3) si puo scrivere l’equazioni dimensionale

[∆p] [D] [U ] [ρ]

M L−1 T−2 = (L)a1(LT−1

)b1 (M L−3

)c1

dalla quale, considerando separatamente le dimensioni M , L, T , si ha

(M) 1 = c1

(L) −1 = a1 + b1 − 3c1

(T ) −2 = −b1

Risolvendo il sistema, si ottiene a1 = 0, b1 = 2, c1 = 1, da cui il primo gruppoadimensionale

Π0 =∆p

ρU2

Analogamente si trovano

Π1 =`

D, Π2 =

es

D, Π3 =

µ

ρUD

nei quali il lettore individuera facilmente alcuni numeri adimensionali gia noti: ilnumero di Reynolds Re = Π−1

3 e la scabrezza adimensionale della tubazione ε = Π2.Possiamo quindi esprimere la caduta di pressione in maniera semplificata1

∆p

ρU2= f2

(Re, ε,

`

D

)

Confronti sperimentali mostrano una dipendenza diretta dal parametro `/D e quindi

∆p = ρU2 `

Df3 (Re, ε) (B.5)

Volendo valutare il gradiente di pressione locale dp/dx, possiamo far tendere ladistanza ` a zero ed eliminare il parametro `/D. Si ha in questo caso

[dp

dx

]= M L−2 T−2 ⇒ Π4 =

dp

dx

D

ρU2

e la relazione (B.5) si semplifica in

dp

dx=

ρU2

Df4 (Re, ε) (B.6)

che si riconosce esprimere la dipendenza funzionale caratteristica della caduta dicarico nelle correnti in pressione.

1Si noti che e equivalente scrivere la dipendenza da Π3 = R−1e o dal suo inverso Re.


116 B.1. Teorema di Buckingham

Quando un parametro adimensionale risulta molto piccolo (o molto grande),spesso esiste la possibilita che il suo contributo al problema risulti trascurabile.Prendiamo ad esempio il caso dei condotti idraulicamente lisci, per i quali la variabilees non entra nella descrizione del sistema fisico; in questo caso vale es/D ¿ 1 e la(B.6) si semplifica in

dp

dx=

ρU2

Df5 (Re)

Un altro caso estremo, valido per i tubi idraulicamente scabri, e quello in cui ilnumero di Reynolds e molto grande e la soluzione dipende esclusivamente dallascabrezza relativa:

dp

dx=

ρU2

Df6 (ε)

Attenzione! Non inganni pero l’apparente facilita con cui si possono semplificarele relazioni: per ottenere risultati corretti e necessaria una buona conoscenza delsistema fisico che si sta analizzando.

B.1.2 Un’applicazione: mescolamento in ambiente stratifica-to

Un secondo esempio, piu complesso e direttamente connesso alle problematiche delmescolamento di inquinanti nei corpi idrici viene illustrato di seguito; e tratto daFischer et al. (1979).

Si consideri lo smaltimento di un volume Vs di fanghi in un corpo idrico stratifi-cato linearmente nella direzione verticale (si faccia riferimento alla Figura B.1). E’un problema di campo vicino analogo ad un pennacchio scaricato nell’atmosfera; inprima approssimazione non si tiene conto ne della diffusione ne degli effetti convet-tivi. Si ipotizza che il processo sia controllato dalla differenza di densita tra i fanghiscaricati e l’ambiente che li riceve. I fanghi, inizialmente piu pesanti, si mescolanocon il fluido piu leggero mentre depositano, finche la densita non raggiunge un va-lore pari a quello ambiente (se si tenesse in considerazione anche l’inerzia, la nuvoladei fanghi oltrepasserebbe tale limite). Durante il processo di sedimentazione, ladensita ρs dei fanghi si avvicina a quella ρa dell’ambiente sia perche ρs diminui-sce a causa dell’entrainment di acqua pulita, che fa aumentare la dimensione dellanuvola, sia perche ρa cresce linearmente con la profondita, secondo una legge deltipo

ρa = ρ0 − k z

Se la fase di discesa si esaurisce in un lasso di tempo sufficientemente ridotto da poterseparare la scala temporale di questo fenomeno da quelle successive di diffusionelaterale e di azione convettiva legata alle circolazioni interne nel corpo idrico, epossibile ottenere delle informazioni significative utilizzando l’analisi dimensionale.

Il primo obiettivo e quello di determinare la massima profondita di penetrazionedmax della nuvola. Il problema suggerisce che dmax possa dipendere dalle densitaρs e ρ0, dal grado di stratificazione k, dal volume dei fanghi Vs, dall’accelerazionedi gravita g e dalla viscosita cinematica ν, ossia

dmax = f (ρs, ρ0, k, Vs, g, ν) (B.7)

Tale relazione comprende 7 grandezze, che possono essere ridotte a 7 − 3 = 4parametri adimensionali avvalendosi del teorema Π, ma senza riuscire a semplificaredrasticamente il problema.

Il problema puo essere semplificato avvalendosi della conoscenza empirica deiprocessi fisici coinvolti: la dipendenza (B.7) puo infatti essere riscritta sulla basedelle seguenti osservazioni. La viscosita ν, pur influenzando il campo di moto, non



Figura B.1: Rappresentazione schematica del problema dello scarico di una nuvola di fanghipesanti in un mezzo stratificato

dovrebbe risultare cruciale nel meccanismo di discesa della nuvola. Nel processonon conta la gravita g semplice, ma l’eccesso di peso sommerso iniziale della nuvolag ∆ρ Vs (dove ∆ρ = ρs− ρ0). Analogamente, il gradiente di densita svolge un ruolorilevante solo nella forma −gdρa/dz. La (B.7) diventa quindi

dmax = f

(ρ0, g ∆ρ, −g

dρa

dz

)(B.8)

che puo essere ulteriormente elaborata eliminando scalando i termini comprenden-ti la massa con la densita ρ0. In questo modo si eliminano tutti i termini checoinvolgono come dimensione la massa stessa. Si ottiene infine

dmax = f (g′VS , gε) (B.9)

dove abbiamo introdotto la gravita modificata g′ = g(ρs − ρ0)/ρ0 e il gradiente

ε = − 1ρs

dρa

dz. Abbiamo quindi ridotto la relazione a 3 grandezze (nelle due dimen-

sioni L e T ) che possono essere scritte in termini di un solo gruppo adimensionaleadottando come scale le variabili g′Vs (azione motrice) e gε (meccanismo resisten-te), che risultano dimensionalmente indipendenti ([g′Vs] = L4T−2, [gε] = T−2).Possiamo definire cosı un gruppo adimensionale (3− 2 = 1):

dmax

(gε

g′Vs

)1/4

= A (B.10)

che deve risultare pari ad un valore costante A da determinare sperimentalmente:si trova A ' 2.66.

Il tempo di diluzione tmax puo essere determinato seguendo la medesima proce-dura. Data una dipendenza

tmax = f (g′VS , gε)

risultatmax

√gε = B

con B costante.La concentrazione di equilibrio Cmax del contaminante dipendera invece dalla

massa Mc scaricata, che si conserva durante la diluizione. Ponendo

Cmax = f (g′VS , gε, Mc)


118 B.2. Similarita

si fissa una relazione con 4 variabili in 3 dimensioni e si ottiene un solo gruppoadimensionale (4− 3 = 1)

Cmax

Cs= c con Cs = Mc

(gε

g′Vs

)3/4

dove c e la costante da determinare.

B.2 Similarita

Un’importante applicazione dell’analisi dimensionale e quella della costruzione dimodelli fisici in scala ridotta, che si basa sull’ipotesi che, mantenendo immuta-ti alcuni parametri adimensionali, sia possibile riprodurre i fenomeni da studiareriproducendone i tratti essenziali. Il concetto di similarita fisica e una generalizza-zione del concetto di similarita in geometria. Due triangoli sono simili quando, purdifferendo nella misura delle lunghezze dei lati, gli angoli racchiusi sono i medesimi.Analogamente, fenomeni fisici sono chiamati similari quando i valori dei parame-tri adimensionali sono uguali e differiscono solo per quanto riguarda le variabilidimensionali.

Modelli e prototipi L’analisi di similarita e alla base della modellazione dei fe-nomeni fisici. Definiamo prototipo il fenomeno fisico che stiamo esaminando (nella‘realta’). Vogliamo studiare il comportamento del prototipo utilizzando un mo-dello, tipicamente in scala ridotta, che ne preservi alcune caratteristiche. Per farequesto possiamo definire dei rapporti di scala (spaziali, temporali) che permetto-no di mantenere inalterati i gruppi adimensionali piu significativi. Purtroppo e ingenerale impossibile riprodurre tutte le proprieta del fenomeno, in quanto gruppiadimensionali diversi impongono rapporti di scala differenti. La modellazione delfenomeno puo essere d’altra parte condotta selezionando quegli aspetti che risultinopiu significativi ai fini dell’analisi.

B.2.1 Soluzioni autosimilari

Una delle possibilita piu interessanti dell’analisi dimensionale e quella di trovaredelle soluzioni autosimilari. In particolare per i processi che evolvono nel tempo, sipossono trovare delle relazioni che risultano invarianti qualora si adottino le scalegiuste per adimensionalizzare il problema: un fenomeno dipendente dal tempo vienedetto auto-similare se la distribuzione spaziale delle sue proprieta in istanti differentipuo essere ottenuta da un’altra, nota ad un dato tempo, per mezzo di trasformazionisimilari. Semplificando, questo significa che fotografie istantanee del fenomeno sonosempre identiche: solo la scala cambia al variare del tempo.

Un esempio ci permette di illustrare il concetto in maniera piu chiara. La solu-zione fondamentale monodimensionale per il campo di concentrazione in un dominiomonodimensionale (dimensionalmente [C] = M/L)

C =M√4πDt

exp(− x2

4Dt

)

trovata nel caso della diffusione e una soluzione autosimilare. Abbiamo infatti che,una volta scalate opportunamente le variabili C e x, utilizzando M , D e il tempo tnella forma

x∗ =x√Dt

, C∗ =C

M/√

Dt,



si ottiene una soluzione unica

C∗ =1√4π

exp(−x∗2

4

)(B.11)

che puo essere particolarizzata scegliendo il tempo t alla quale viene valutata. La(B.11) dipende esclusivamente da x∗ ed e quindi ‘costante’ nel tempo; e valida perogni t 6= 0 (al momento dello scarico t = 0 e la soluzione degenera in un Dirac).


120 B.2. Similarita


Appendice C

Metodi di soluzione numericadell’equazione diconvezione-diffusione

Queste brevi considerazioni intendono fornire un’introduzione alla soluzione nume-rica dell’equazione di convezione-diffusione monodimensionale

∂C

∂t+ U

∂C

∂x= D

∂2C

∂x2, (C.1)

considerando il caso particolare in cui i coefficienti U e D sono costanti.L’equazione (C.1), pur essendo uno dei casi piu semplici di equazioni differenziali

alle derivate parziali, presenta molte caratteristiche interessanti che sono riscontra-bili anche in sistemi piu complessi. La comprensione del funzionamento dei metodidi soluzione numerica e il commento delle loro proprieta peculiari, sviluppati in que-sto caso specifico, possono fornire un’indicazione su come affrontare diverse tipologiedi problemi.

C.1 Classificazione delle equazioni differenziali

Sulla base delle caratteristiche matematiche di un’equazione differenziale e possibiletrarre delle informazioni utili sul comportamento della soluzione. Per comprenderela natura delle equazioni differenziali e istruttivo fare riferimento ad alcune equazioniparticolari che descrivono fenomeni di cui si conoscono le caratteristiche salienti:

1. equazione di pura convezione:∂f

∂t+ U

∂f

∂x= 0

2. equazione di Fourier (pura diffusione):∂f

∂t− µ

∂2f

∂x2= 0

3. equazione di pura dispersione1:∂f

∂t− ν

∂3f

∂x3= 0

4. equazione delle onde:∂2f

∂t2− a2 ∂2f

∂x2= 0

1Si noti che il termine dispersione ha in questo capitolo un significato diverso da quello delladispersione intesa come meccanismo diluitivo originantesi dalla combinazione di diffusione e conve-zione non uniforme. Dal punto di vista matematico, la dispersione si riferisce alla presenza di unaderivata del terzo ordine nell’equazione differenziale, che da luogo alla separazione di armonichedi lunghezza d’onda diversa, come si vedra in seguito.

121

122 C.1. Classificazione delle equazioni differenziali

5. equazione di Laplace:∂2f

∂x2+

∂2f

∂y2= 0

6. equazione di Poisson:∂2f

∂x2+

∂2f

∂y2= g

Utilizzando una notazione ormai assodata, e stata considerata una funzione f(x, t)per i primi quattro tipi di equazione, data la natura evolutiva del problema. Negliultimi due casi si e considerata una funzione f(x, y) poiche si tratta di problemi dinatura spaziale.

L’ordine di un’equazione differenziale alle derivate parziali e dato dal gradomassimo in cui compare una qualsiasi derivata: l’eq. 1 e del primo ordine, leeq. 2, 4, 5 e 6 sono del secondo, mentre la 3 e del terzo. Le equazioni sonodette lineari se i coefficienti (nel caso specifico U , µ, ν, a, g) non dipendono dallafunzione f , ad esempio U = U(x, y, t), non-lineari altrimenti. Se i coefficienti nondipendono neppure dalle variabili indipendenti (x, y, t) sono dette a coefficienticostanti. Le equazioni lineari godono di alcune importanti proprieta, tra le quali sipuo ricordare il principio di sovrapposizione degli effetti , che consente di ottenerePrincipio di

sovrapposizionedegli effetti.

la soluzione di un problema sommando delle soluzioni particolari; questa proprietadelle equazioni lineari e stata abbondantemente sfruttata nei capitoli precedenti. Leequazioni non-lineari possono essere risolte analiticamente solo in casi particolari.Se i coefficienti non dipendono dalle derivate di ordine maggiore o uguale di quellea cui si riferiscono, ossia l’equazione e lineare nelle derivate di ordine massimo,l’equazione e detta quasi-lineare; un caso assai noto e quello delle equazioni delmoto dei fluidi.

Da un punto di vista matematico, le equazioni differenziali del secondo ordi-ne alle derivate parziali possono essere classificate in tre grandi categorie: ellitti-che, iperboliche, paraboliche. Prendiamo il caso dell’equazione quasi-lineare in duevariabili indipendenti (x, y):

Af,xx + Bf,xy + Cf,yy + Ef,x + Ff,y + Gf = H (C.2)

dove A, B, C possono dipendere da x, y, f , f,x, f,y, mentre E, F , G da x, y, f eH da x e y. Il carattere dell’equazione puo essere valutato sulla base del segno deldiscriminante ∆ = B2 −AC secondo la Tabella C.1.

∆ tipo< 0 ellittica= 0 parabolica> 0 iperbolica

Tabella C.1: Classificazione delle equazioni differenziali in base alla (C.2).

In conformita con la comune intuizione fisica, la classificazione puo essere in-terpretata assegnando un ruolo intrinsecamente differente alle derivate temporali ea quelle spaziali. Il significato di questa classificazione e intimamente legato allecaratteristiche: ipersuperfici (n − 1)-dimensionali nello spazio delle n variabili in-dipendenti lungo le quali si propagano le informazioni e si possono trasmettere lediscontinuita.

In base alla classificazione introdotta, l’equazione di convezione-diffusione (C.1)risulta essere di natura parabolica, e degenera in un’equazione del primo ordinequando il coefficiente di diffusione e nullo. La natura dell’equazione differenzialegioca un ruolo anche nella determinazione delle regioni in cui devono essere postele condizioni al contorno.


C. METODI NUMERICI 123

C.2 Alcune caratteristiche generali

Consideriamo l’equazione di convezione-diffusione-dispersione per la generica fun-zione f(x, t):

∂f

∂t+ U

∂f

∂x= D

∂2f

∂x2+ K

∂3f

∂x3(C.3)

che puo essere risolta separando le variabili e sviluppando la componente dellasoluzione in x in serie di Fourier (si veda l’Appendice D):

f(x, t) =∞∑

m=−∞gm(t) exp (ı km x) (C.4)

dove ı e l’unita immaginaria,

km =2π m

L

e il numero d’onda e L e il periodo fondamentale della soluzione; si noti che lun-ghezze d’onda maggiori corrispondono a numeri d’onda minori. La (C.4) si basasulla possibilita di esprimere qualsiasi funzione, che sia periodica o definita in unintervallo limitato, esprimendola come una sommatoria di seni e coseni (o, in manie-ra equivalente, di funzioni esponenziali con argomento immaginario). Cosı facendo,il problema si restringe a determinare il coefficiente complesso gm di ogni terminedella sommatoria, che risulta dipendente esclusivamente dalla variabile t.

Sostituendo lo sviluppo (C.4) nell’equazione (C.3) si ottiene un’equazione diffe-renziale indipendente per ogni componente gm della forma

∂gm

∂t= − (

ıkmU + k2mD + ık3

mK)gm ,

la cui soluzione e

gm(t) = α exp[− (

ıkmU + k2mD + ık3

mK)

t],

dove α e un coefficiente da determinare imponendo le condizioni iniziali.La generica componente dello sviluppo (C.4), riscritto come f =

∑fm, e quindi

fm = α exp(−k2

mDt)

exp[ıkm

(x− Ut− k2

mKt)]

(C.5)

nella quale si puo notare chiaramente una componente che introduce un decadimentoo un’amplificazione del segnale (a seconda del segno del coefficiente diffusione D) euna sua traslazione nello spazio (legata alla velocita U e alla dispersione K).

Possiamo analizzare alcuni casi particolari della (C.5):

• pura convezione (D = K = 0)

fm = α exp [ıkm (x− Ut)]

la soluzione si propaga indisturbata muovendosi con velocita U , uguale perogni numero d’onda km, come nell’esempio rappresentato nella parte sinistradella Figura C.1;

• pura diffusione (U = K = 0)

fm = α exp(−k2

mDt)exp [ıkmx]

la soluzione decade o si amplifica esponenzialmente con il tempo (rispetti-vamente per D > 0 e D < 0), come si puo notare nella parte destra dellaFigura C.1; i numeri d’onda maggiori (lunghezze d’onda minori) decadonopiu rapidamente;


124 C.2. Alcune caratteristiche generali

x

f

t

xf

t

Figura C.1: A sinistra, effetto del puro trasporto convettivo con velocita U > 0; a destra, l’effettodi attenuazione indotto dalla diffusione con D > 0.

x

f

t

x

f

Figura C.2: Effetto della pura dispersione (con K > 0). A sinistra si puo osservare la deforma-zione e la traslazione del segnale dovuta alla velocita di fase k2

mK; a destra si nota la separazionedelle frequenze piu elevate presenti in un segnale quadro.



• convezione + diffusione (K = 0)

fm = α exp(−k2

mDt)

exp [ıkm (x− Ut)]

la soluzione si propaga e decade con il tempo;

• pura dispersione (U = D = 0):

fm = α exp[ıkm

(x− k2

mKt)]

la soluzione si propaga senza decadere, ma la celerita di propagazione (= k2mK,

velocita di fase) dipende dal numero d’onda km; se la condizione iniziale none puramente sinusoidale (ossia e composta da piu armoniche), le armonicheche la compongono tendono a separarsi, e quelle con km maggiori si muovonocon celerita maggiore; due esempi sono riportati in Figura C.2.

C.3 Metodi numerici

Esiste un gran numero di metodi numerici per risolvere l’equazione (C.1). In questasezione verranno introdotti gli strumenti fondamentali per valutare le caratteristichedegli schemi numerici introdotti di seguito. Per un inquadramento piu dettagliato,si puo far riferimento ad esempio a Hoffman (1993), Abbott and Basco (1989).

Di seguito verranno presentate alcune caratteristiche dei metodi alle differen-ze finite, ossia degli schemi numerici che utilizzano dei rapporti incrementali perapprossimare i termini differenziali. Il dominio considerato viene suddiviso in ungriglia di calcolo nei cui nodi vengono valutate le funzioni incognite. Per semplicita,di seguito assumeremo una griglia spaziale di passo ∆x e temporale di intervallo∆t. Tale ipotesi riduce la complessita della notazione e non comporta importantidifferenze dal punto di vista concettuale. Si tenga presente che alcune proprietadegli schemi numerici possono venir meno qualora i passi spaziali della griglia nonsiano costanti.

Applicare uno schema numerico per risolvere un’equazione differenziale introdu-ce sempre degli errori di natura numerica. Vedremo pero nel seguito che discretizza-re un’equazione, trasformandola in un’equazione discreta, significa anche risolvereun’equazione differenziale diversa da quella originaria. Per questo motivo la soluzio-ne ottenuta mediante lo schema numerico puo mostrare delle caratteristiche che nonsono proprie dell’equazione differenziale che si vuole simulare. Obiettivo di questaanalisi e di acquisire alcuni strumenti concettuali per comprendere tale fenomeno.

Esistono altri metodi per risolvere numericamente le equazioni differenziali. Siparla di metodi ai volumi finiti quando le equazioni sono scritte in forma integralefacendo riferimento a degli elementi volumetrici e vengono calcolati i flussi entranti euscenti da tali volumi. I metodi agli elementi finiti, concettualmente piu complessi,fanno invece uso di formulazioni integrali in cui vengono utilizzate delle funzionipeso che ne caratterizzano le proprieta.

C.3.1 Approssimazioni alle differenze finite

Risulta utile poter valuatare le approssimazioni introdotte dalla soluzione numericadi un’equazione alle derivate parziali.

Possiamo sviluppare in serie di Taylor la funzione f calcolata nei nodi dellagriglia rispetto ad un nodo di riferimento di coordinate (xi, tk). Indicheremo lafunzione approssimata con il simbolo F k

i , dove i e k si riferiscono rispettivamentealla posizione spaziale e temporale. Si trova che:

fi+1 = F (x + ∆x) = Fi + ∆x∂F

∂x

∣∣∣∣i

+∆x2

2∂2F

∂x2

∣∣∣∣i

+∆x3

6∂3F

∂x3

∣∣∣∣i

+ O(∆x4) (C.6)


126 C.3. Metodi numerici

Una derivata puo essere valutata con tipi diversi di rapporti incrementali, adesempio differenze in avanti :

∂f

∂x∼= fi+1 − fi

∆x=

∂F

∂x

∣∣∣∣i

+∆x

2∂2F

∂x2

∣∣∣∣i

+∆x2

6∂3F

∂x3

∣∣∣∣i

+ O(∆x3) (C.7)

dove si e utilizzata la (C.6) per valutare l’errore di troncamento; dato che ladifferenza tra ∂f/∂x e ∂F/∂x e proporzionale2 a ∆x, la (C.7) e del primo ordine.

Analogamente possono essere valutate le differenze all’indietro:

∂f

∂x∼= fi − fi−1

∆x=

∂F

∂x

∣∣∣∣i

− ∆x

2∂2F

∂x2

∣∣∣∣i

+∆x2

6∂3F

∂x3

∣∣∣∣i

+ O(∆x3) , (C.8)

del primo ordine, dove si e valutata la (C.6) in x−∆x, e le differenze centrate:

∂f

∂x∼= fi+1 − fi−1

2∆x=

∂F

∂x

∣∣∣∣i

+∆x2

6∂3F

∂x3

∣∣∣∣i

+ O(∆x4) (C.9)

che risultano essere del secondo ordine poiche l’errore e proporzionale a ∆x2.La derivata seconda viene comunemente valutata con lo schema del secondo

ordine:

∂2f

∂x2∼= fi+1 − 2fi + fi−1

∆x2=

∂2F

∂x2

∣∣∣∣i

+∆x2

3∂4F

∂x4

∣∣∣∣i

+ O(∆x4) . (C.10)

Esistono poi altri schemi per valutare i termini differenziali che si appoggianosu un numero maggiore di punti della griglia di calcolo. La procedura per valu-tare l’ordine dell’approssimazione si basa in ogni caso sull’utilizzo della (C.6) o diformulazioni equivalenti.

Nel caso di derivate temporali, in luogo della (C.6) si utilizzano relazioni deltipo:

fk+1 = F (t + ∆t) = F k + ∆t∂F

∂t

∣∣∣∣k

+∆t2

2∂2F

∂t2

∣∣∣∣k

+∆t3

6∂3F

∂t3

∣∣∣∣k

+ O(∆t4) .

C.3.2 Convergenza della soluzione numerica

Per studiare la convergenza della soluzione numerica e necessario definire alcunetipologie di errori:

• di troncamento (truncation): derivano dal troncare gli sviluppi in serie diTaylor delle derivate ad un certo ordine;

• di arrotondamento (round-off ): il calcolatore lavora con un numero finito dicifre;

• globale: Eki = F k

i − f(xi, tk).

Questi errori sono differenti dal punto di vista concettuale. La bonta di uno schemanumerico si valuta facendo riferimento all’errore di troncamento, che e una caratte-ristica propria dello schema, mentre l’errore di arrotondamento dipende esclusiva-mente dalla precisione della macchina che si sta utilizzando (ed eventualmente dallaprecisione prescelta all’interno del linguaggio di programmazione).

2Lo sviluppo in serie puo essere troncato ad un determinato ordine quando il passo diintegrazione ∆x e sufficientemente piccolo e quindi il termine ∆x2 ¿ ∆x.



C.3.2.1 Alcune definizioni

Risulta utile definire alcuni termini che vengono utilizzati nella discussione deglischemi numerici. Con PDE (Partial Differential Equation) si intende l’equazionealle differenze parziali originaria, con FDE (Finite Difference Equation) l’equazionedifferenziale risultante dallo schema numerico.

Consistenza (congruenza). Un’equazione alle differenze finite e consistente conun’equazione alle derivate parziale se la differenza tra FDE e PDE (ossia l’erroredi troncamento) svanisce quando gli intervalli in cui e suddivisa la griglia di calcolotendono a zero indipendentemente.

∆t → 0, ∆x → 0 ⇒ FDE → PDE

Ordine. L’ordine di un’approssimazione alle differenze finite di un’equazione allederivate parziali e la rapidita con la quale l’errore globale della soluzione alle dif-ferenze finite va a zero quando gli intervalli in cui e suddivisa la griglia di calcolotendono a zero.

err.glob. ∝ O(∆tn)

Stabilita. Quando applicata ad un’equazione alle derivate parziali che ha unasoluzione limitata, un’equazione alle differenze finite e stabile se produce una so-luzione limitata e instabile se produce una soluzione illimitata. Ossia se e stabilel’errore non si amplifica.

Convergenza. Un metodo alle differenze finite e convergente se la soluzione dellaFDE tende alla soluzione esatta della PDE quando gli intervalli in cui e suddivisala griglia di calcolo tendono a zero.

∆t → 0, ∆x → 0 ⇒ Eki → 0

Teorema di equivalenza. (Lax, 1954) Assegnato un problema lineare ai valoriiniziali ben posto (ovvero assegnate la condizione iniziale e le condizioni al contorno)e una sua approssimazione alle differenze finite che sia consistente, la stabilita econdizione necessaria e sufficiente per la convergenza.

problema di Cauchy ben posto + consistenza⇓

stabilita ⇔ convergenza

Esempio: metodo di Eulero esplicito. Si prenda come equazione test

∂f

∂x+ αf − p(x) = 0 , (C.11)

con una condizione iniziale del tipo f(0) = f0, e si utilizzi lo schema di Euleroesplicito

∂f

∂x∼= fi+1 − fi

∆x

che fornisce un’equazione numerica del tipo

fi+1 = fi − αfi∆x + p(xi)∆x (C.12)


128 C.3. Metodi numerici

Sviluppando in serie di Taylor attorno al punto xi si trova

fi+1 = Fi + ∆x∂F

∂x

∣∣∣∣i

+∆x2

2∂2F

∂x2

∣∣∣∣i

+ O(∆x3)

che, sostituita nella (C.12), insieme a fi = Fi, fornisce

∂F

∂x+ αF − p(x) = −∆x

2∂2F

∂x2−O(∆x2) (C.13)

che approssima la (C.11) a meno dei termini a secondo membro; si noti che l’equa-zione (C.13) introduce derivate di ordine superiore al primo che non erano presentinella (C.11). Se ∆x → 0 allora l’equazione numerica (C.13) tende a quella differen-ziale (C.11) e risulta quindi verificata la consistenza dello schema numerico, il cuiordine e 1 visto che l’errore di troncamento introdotto e proporzionale a ∆x.

C.3.2.2 Analisi di stabilita: metodo di von Neumann

Seguendo l’indicazione del teorema di equivalenza di Lax, al fine di valutare la con-vergenza di uno schema numerico diventa essenziale poterne calcolare le condizionidi stabilita. Seguiamo il metodo di von Neumann. Discretizziamo la funzione neipunti xi utilizzando una griglia con passo costante ∆x: cosı facendo xi = i∆x.Possiamo esprimere la funzione nell’intorno di un generico punto xi utilizzando unosviluppo in serie di Fourier, in maniera analoga a quanto visto nella sezione C.2:

fi =∑m

αm exp [ı km i∆x]

Per una generica componente dello sviluppo si trova

fi±1 = f (xi ±∆x) = αm exp [ıkm (i± 1)∆x] = fi exp [±ıkm∆x] (C.14)

Mediante la C.14 (e formulazioni analoghe per i ± 2 e nel tempo), uno schemanumerico puo essere riscritto nella forma

fk+1i = Gfk

i

dalla quale si ottiene il fattore di amplificazione G (in generale un numero comples-so). La soluzione al tempo t = n∆t e data da

fni = (G)nf0

i ,

dove f0i e la condizione iniziale nota. Affinche la soluzione sia limitata il modulo

del coefficiente di amplificazione deve essere minore di 1, ossia

|G| < 1 . (C.15)

Nella valutazione della (C.14) si puo porre per semplicita eıkm∆x = eϑ e ve-rificare la condizione per ogni angolo ϑ del piano complesso corrispondente allediverse componenti armoniche della soluzione. L’analisi di stabilita si riduce quindia verificare le condizione necessarie perche sia verificata la condizione (C.15).

C.3.2.3 Requisiti sul segno del coefficiente di diffusione

Quando viene valutata la stabilita di uno schema numerico applicato all’equazione(C.1), e possibile fare riferimento ad una condizione piu semplice e dall’immediatosignificato fisico. Possiamo infatti notare che una soluzione della (C.1) e stabile(limitata) solo se il coefficiente di diffusione e positivo (D > 0).



Riscriviamo l’equazione di convezione-diffusione nella forma

df

dt= D

∂2f

∂x2, (C.16)

valida lungo la traiettoria nel piano x-t definita dall’equazione dx/dt = U . Questosignifica che si segue il segnale con la sua velocita U e quindi

∂f

∂t+ U

∂f

∂x=

df

dt.

Dalla (C.16) e possibile vedere che i massimi e i minimi vengono amplificatise D < 0, mentre vengono attenuati se D > 0. In un massimo si ha infatti che∂2f/∂x2 < 0; se D > 0, df/dt < 0 e il valore della funzione f diminuisce; seD < 0, df/dt > 0 e il valore della funzione f aumenta e il massimo si amplifica. Uncomportamento analogo vale per i minimi della funzione, dove ∂2f/∂x2 > 0: perD > 0 la funzione f cresce e riduce l’entita del minimo; per D < 0 f decresce e ilminimo viene amplificato.

Posto che e necessario che il coefficiente di diffusione D sia positivo perche lasoluzione sia fisicamente limitata, nell’applicazione di uno schema numerico puoessere introdotta una diffusione numerica artificiale Dnum, di cui tratteremo neiparagrafi seguenti. In questo caso per la limitatezza della soluzione numerica devevalere

Dtot = D + Dnum > 0 . (C.17)

C.3.3 Parametri significativi per l’equazione diconvezione-diffusione

L’analisi dell’equazione di convezione-diffusione (C.1) fa emergere alcuni numeri adi-mensionali, relativi alla griglia di calcolo, che possiedono importanti caratteristicheutili a valutare la possibilita e il campo di applicazione di uno schema numerico.

Possiamo infatti riscrivere l’equazione (C.1) utilizzando come scale del problemale dimensioni della griglia di calcolo, ossia x = x∗∆x, t = t∗∆t, per ottenere

∂C

∂t∗+

U∆t

∆x

∂C

∂x∗=

D∆t

∆x2

∂2C

∂x∗2, (C.18)

Si possono cosı individuare facilmente due parametri adimensionali, il numero diCourant

Cr =U ∆t

∆x(C.19)

e il parametro diffusivo

δ =D ∆t

∆x2. (C.20)

Il loro rapporto e noto come numero di Peclet di cella

Pe =Cr

δ=

U ∆x

D(C.21)

ed e analogo al numero di Peclet

Pe =U `

D,

introdotto in precedenza dove ` e la scala spaziale tipica del fenomeno osservato, cherappresenta il rapporto tra i meccanismi convettivi e quelli diffusivi. Nel caso delladefinizione (C.21) la scala ∆x non e evidentemente una scala fisica del problema,ma deve essere scelta in modo tale da consentire un corretta rappresentazione dellasoluzione del problema alla scala fisica `.


130 C.4. Schemi numerici

C.4 Schemi numerici

In questa sezione vengono esaminate le caratteristiche di alcuni tra i piu diffusischemi numerici a due livelli, che utilizzano cioe due livelli temporali (tk e tk+1). Persemplicita e senza perdere di generalita, nel seguito assumiamo U > 0; imponiamoanche D > 0 per avere una soluzione fisicamente limitata.

Al fine di ottenere una piu chiara classificazione, si distinguono gli scheminumerici in espliciti ed impliciti. Nei primi le incognite possono essere calcola-te direttamente, nei secondi e necessario risolvere un sistema lineare di equazionialgebriche.

I primi schemi numerici sono analizzati piu in dettaglio come esempio. Per iseguenti vengono segnalate solamente le caratteristiche piu significative. Nonostantesiano stati proposti numerosissimi schemi numerici, in questa sede consideriamo sololo schema upwind e quello alle differenze centrate. Per avere una casistica piu ampia,si rimanda a dei testi piu specialistici.

Nella maggior parte degli schemi che verranno analizzati, la derivata temporalee approssimata con una differenza finita del primo ordine:

∂f

∂t∼= fk+1

i − fki

∆t. (C.22)

Schemi piu complessi (ad esempio quelli di Lax, Lax-Wendroff o lo schema Leapfrog)usano approssimazioni del secondo ordine che coinvolgono la funzione valutata altempo k − 1 o altri artifici per incrementare l’ordine dello schema.

C.4.1 Schemi espliciti

Gli schemi espliciti consentono la determinazione diretta della soluzione al tempok + 1 una volta nota quella al tempo k, ossia

fk+1 = M fk

dove con f si intende il vettore spaziale della soluzione e con M la matrice deicoefficienti.

C.4.1.1 Schema upwind

In questo schema la derivata spaziale viene calcolata come differenza all’indietro(upwind, ossia nella direzione contraria alla velocita U)

∂f

∂x∼= fk

i − fki−1

∆x(C.23)

mentre per la derivata seconda si utilizza l’approssimazione del secondo ordine(C.10). Entrambe le derivate vengono valutate al tempo tk.

L’equazione (C.1) riscritta nella variabile f ,

∂f

∂t+ U

∂f

∂x= D

∂2f

∂x2,

ossia la PDE, viene cosı discretizzata nella forma

fk+1i = (δ + Cr)fk

i−1 + (1− Cr − δ)fki + δfk

i+1 (C.24)



Sviluppando in serie di Taylor la (C.24), dopo alcune manipolazioni algebriche3

e possibile evidenziare l’equazione differenziale da essa simulata (FDE):

∂F

∂t+ U

∂F

∂x= (D + Dnum)

∂2F

∂x2+ Knum

∂3F

∂x3+ O(∆x3) (C.25)

dove

Dnum = (1− Cr)U∆x

2, Knum = − (

1− 3Cr + 2C2r − 6δ

) U∆x2

6(C.26)

La (C.25) e chiaramente diversa dalla (C.1): applicare la (C.24) corrisponde arisolvere l’equazione (C.25). In particolare, il coefficiente di diffusione e modificatodella quantita Dnum e sono state introdotte delle derivate di ordine superiore; adesempio, la presenza di una derivata del terzo ordine proporzionale a Knum sugge-risce come la soluzione numerica possa mostrare un carattere dispersivo, che pero eestraneo all’equazione di partenza. Si noti che il segno del coefficiente di diffusioneDnum, introdotto numericamente, dipende dal valore di Cr: valori minori di 1 intro-ducono una diffusione artificiale, valori maggiori riducono la diffusione fisicamentepresente, fino al limite di stabilita in cui Dnum = −D richiesto per rispettare la(C.17).

La comparsa di un termine associato ad una dispersione numerica Knum influen-za la soluzione numerica nella maniera descritta nella sezione C.2. In particolareagisce in modo tale da separare le componenti armoniche del segnale aventi numerid’onda piu elevati. Tale comportamento si nota prevalentemente in presenza disegnali con spigoli pronunciati, che richiedono un numero elevato di armoniche peressere descritti con una sviluppo in serie di Fourier (si veda il paragrafo D.1.2). Nelcaso dello schema considerato, frequentemente la diffusione numerica, sommata aquella fisica, smorzano tali oscillazioni. Quando invece la diffusione reale e modestae lo schema numerico e tale da non introdurne in quantita rilevante, tale fenomenosi manifesta in maniera chiara. In ogni caso, i termini diffusivi legati alle derivate diordine pari tendono a smorzare maggiormente le componenti armoniche piu corte.Ricordando l’analisi svolta nella sezione C.2, il decadimento e infatti proporzionalea kq

m, dove q e il grado della derivata considerata.Lo schema upwind esplicito e stabile sotto condizione. Le condizioni per la

stabilita (secondo von Neumann) della (C.24) sono:

Cr + 2δ ≤ 1 (C.27)2δ + Cr − C2

r ≥ 0 (C.28)

Nel caso della pura convezione (δ = 0), si riducono alla condizione 0 ≤ Cr ≤ 1, chesi riflette nel vincolo ∆t ≤ ∆x/U sul passo temporale una volta assegnato quello

3Per questo primo caso e istruttivo ricostruire la successione di passaggi. Si introducono nella(C.24) gli sviluppi

fki+1 = F (x + ∆x, t) = F k

i + ∆x∂F

∂x

k

i

+∆x2

2

∂2F

∂x2

k

i

+∆x3

6

∂3F

∂x3

k

i

+ O(∆x4)

fki−1 = F (x−∆x, t) = F k

i −∆x∂F

∂x

k

i

+∆x2

2

∂2F

∂x2

k

i

− ∆x3

6

∂3F

∂x3

k

i

+ O(∆x4)

fk+1i = F (x, t + ∆t) = F k

i + ∆t∂F

∂t

k

i

+∆t2

2

∂2F

∂t2

k

i

+∆t3

6

∂3F

∂t3

k

i

+ O(∆t4)

e, ricordando le (C.19) e (C.20), si ottiene una prima versione della FDE

∂F

∂t+ U

∂F

∂x−D

∂2F

∂x2− U

∆x

2

∂2F

∂x2+ U

∆x2

6

∂3F

∂x3+

∆t

2

∂2F

∂t2+

∆t2

6

∂3F

∂t3+ O(∆x3, ∆t3) = 0

che contiene anche derivate nel tempo di ordine superiore al primo. Queste possono essere eliminateisolando il termine ∂F/∂t e sostituendolo nell’equazione stessa piu volte, fino ad ottenere la (C.25).



spaziale. Nel caso di pura diffusione (Cr = 0) si ottiene invece 0 ≤ δ ≤ 1/2, ossia∆t ≤ ∆x2/(2D).

Differenze in avanti. Qualora, in luogo della (C.23), si fossero utilizzate delle dif-ferenze in avanti (C.7), lo schema sarebbe risultato instabile solo sotto la restrittivacondizione

2δ ≥ Cr(1 + Cr)

e incondizionatamente instabile nel caso della pura convezione. La spiegazione diquest’ultima considerazione risulta piu chiara esaminando il metodo delle caratte-ristiche.

C.4.1.2 Metodo delle caratteristiche per la pura convezione

E’ possibile risolvere facilmente l’equazione della pura convezione

∂f

∂t+ U

∂f

∂x= 0 (C.29)

con il metodo delle caratteristiche. Se dx/dt = U , abbiamo infatti

df

dt= 0 ⇒ f = cost

e quindi la funzione nel nodo xi al tempo tk+1 puo essere espressa come

f(xi, tk+1) = f(xj , tk), (C.30)

dove xj viene individuato seguendo a ritroso le linee caratteristiche (x =∫

Udt =Ut).

Se scegliamo un’interpolazione lineare per valutare la funzione in xj nella (C.30),utilizzando i valori della funzione nei nodi xi e xi−1, ricadiamo in uno schemanumerico esplicito di tipo upwind4:

fk+1i = fk

j = Crfki−1 + (1− Cr)fk

i (C.31)

ottenibile dalla (C.24) ponendo δ = 0. La condizione di stabilita si riduce a

Cr ≤ 1 ⇔ ∆t ≤ U

∆x, (C.32)

che puo essere interpretata facendo riferimento alla Figura C.3. La condizione (C.32)richiede che il passo di avanzamento temporale ∆t sia minore del tempo richiesto alsegnale per percorrere lo spazio ∆x tra due nodi della griglia, ossia che lo schemanumerico abbia una ‘velocita massima’ ∆x/∆t superiore alla velocita fisica U e siaquindi in grado di seguire il segnale. Quando il numero di Courant eccede l’unita,invece, il segnale proviene da un punto posto all’esterno del dominio [xi−1, xi] altempo tk utilizzato dalla (C.31).

Diffusione fittizia. Vediamo ora come lo schema numerico introduca una diffu-sione che non sarebbe altrimenti presente nell’equazione (C.29) di pura convezione.

Per valutare come la soluzione viene modificata dallo schema numerico, pren-diamo come condizione iniziale un segnale unitario nell’origine (f(0, 0) = 1) e nulloaltrove. Applicando l’equazione discreta (C.31) possiamo trasferire il segnale nel

4Utilizzando interpolazioni piu complesse, che prevedono un numero maggiore di puntid’appoggio, si ritrovano schemi numerici di ordine piu elevato.



Figura C.3: Rappresentazione schematica del funzionamento del metodo delle caratteristicheper risolvere l’equazione di pura convezione. La (C.31) approssima la richiesta di seguire il segnalelungo le linee caratteristiche.

dominio di calcolo spazio-temporale. Con semplici calcoli algebrici troviamo che la‘massa’ del segnale si conserva:

Nx∑

i=o

fki = 1 ,

la ‘media’ (la posizione del baricentro) e corretta:

µ =Nx∑

i=o

ifki = kCr ,

ma la varianza aumenta:

σ2 =Nx∑

i=o

(i− µ)2fki =

Nx∑

i=o

(i2fk

i

)− µ = kCr(1− Cr)

Si nota facilmente che la varianza puo risultare nulla, come dovrebbe essere nel casoconsiderato in cui si ha pura convezione di un segnale unitario, solo quando Cr = 1(la condizione Cr = 0 non e significativa in quanto implica ∆t = 0). Solo in questocaso abbiamo infatti che il segnale si muove lungo i nodi nel reticolo di calcolo el’interpolazione (C.31) non introduce approssimazioni.

C.4.1.3 Schema alle differenze centrate

Utilizzando le differenze centrate (C.9) per il termine ∂c/∂x, la (C.1) viene discre-tizzata nella forma

fk+1i =

(δ +

Cr

2

)fk

i−1 + (1− 2δ) fki +

(δ − Cr

2

)fk

i+1 (C.33)

che corrisponde alla FDE

∂F

∂t+ U

∂F

∂x= (D + Dnum)

∂2F

∂x2+ Knum

∂3F

∂x3+ O(∆x3)

dove

Dnum = −CrU∆x

2, Knum = − (

1− 2C2r + 6δ

) U∆x2

6(C.34)



Le condizioni di stabilita secondo von Neumann sono:

Cr ≤ 1 (C.35)

δ ≤ 12

(C.36)

2δ − C2r ≥ 0 (C.37)

Come si puo notare dalle (C.34), questo schema introduce una diffusione nu-merica negativa che tende a rendere instabile la soluzione; in particolare, questoschema e incondizionatamente instabile nel caso della pura convezione (D = 0).

C.4.2 Schemi impliciti

Negli schemi impliciti la soluzione viene determinata risolvendo un sistema lineareche ha come incognite le funzioni incognite al tempo tk+1 in tutti i punti della grigliaspaziale. In forma compatta, per schemi a due livelli, si puo scrivere

Afk+1 = B fk

dove A e B sono le matrici delle incognite e dei coefficienti e il termine a secondomembro e noto. Nella quasi totalita degli schemi normalmente utilizzati, la matriceA delle incognite e una matrice a bande (spesso tridiagonale o pentadiagonale), chepuo essere risolta agevolmente tramite decomposizione LU .

C.4.2.1 Schema upwind

Lo schema upwind nella versione implicita e analogo a quello descritto nella sezioneC.4.1.1, con la differenza che le derivate spaziali sono valutate al tempo tk+1. Si hacosı una matrice A delle incognite tridiagonale corrispondente a:

−δfk+1i−1 + (1 + Cr + 2δ) fk+1

i − (δ + Cr) fk+1i+1 = fk

i (C.38)

che corrisponde ad una FDE del tipo (C.25) dove

Dnum = (1 + Cr)U∆x

2, Knum = − (

1 + 3Cr + 2C2r + 6δ

) U∆x2

6(C.39)

Rispetto ai coefficienti (C.26) dello schema esplicito, vediamo che la diffusione nu-merica introdotta e sempre positiva e rende lo schema sempre stabile. A fronte ditale vantaggio, esistono pero due limitazioni: la prima deriva dal fatto che qualsiasischema implicito viene rallentato dalla soluzione del sistema lineare; la seconda eche la diffusione numerica introdotta puo essere molto rilevante e diventare domi-nante nel comportamento della soluzione numerica, portando a gravi errori nellasimulazione del comportamento reale.

C.4.2.2 Schema alle differenze centrate

Lo schema implicito alle differenze centrate si comporta, rispetto alla versione espli-cita descritta nella sezione C.4.1.3, in maniera analoga allo schema upwind. Lamatrice tridiagonale delle incognite deriva da:

−(

Cr

2+ δ

)fk+1

i−1 + (1 + 2δ) fk+1i +

(Cr

2− δ

)fk+1

i+1 = fki (C.40)

che corrisponde ad una FDE del tipo (C.25) con

Dnum = CrU∆x

2, Knum = − (

1 + 2C2r + 6δ

) U∆x2

6(C.41)

Anche in questo caso la diffusione numerica introdotta e sempre positiva e rende loschema stabile, pero con gli svantaggi discussi nella sezione precedente.



C.4.2.3 Schema di Crank-Nicolson

Un’interessante modifica dello schema alle differenze centrate e ottenibile valutandole derivate spaziali ad un istante tk+θ, ad esempio per la derivata del primo ordine:

∂f

∂x∼= θ

fk+1i+1 − fk+1

i−1

2∆x+ (1− θ)

fki+1 − fk

i−1

2∆x(C.42)

e analogamente per quella del secondo ordine. Si ha quindi

−θ

(Cr

2+ δ

)fk+1

i−1 + (1 + 2θδ) fk+1i + θ

(Cr

2− δ

)fk+1

i+1 =

= (1− θ)(

Cr

2+ δ

)fk

i−1 + [1− 2(1− θ)δ] fki − (1− θ)

(Cr

2− δ

)fk

i+1 (C.43)

Lo schema risultante e implicito ed e conosciuto come schema di Crank-Nicolson.Per θ = 0 si ritrova lo schema alle differenze centrate esplicito, per θ = 1 quelloimplicito. L’aspetto piu interessante e che per θ = 1/2 gli errori si compensanoparzialmente. Per quanto riguarda la diffusione numerica si ha infatti che i terminiintrodotti dalla (C.34) e dalla (C.41) si bilanciano per dare Dnum = 0. In questomodo la diffusione simulata dalla FDE risulta uguale a quella originariamente pre-sente nella PDE. Termini legati alle derivate di ordine superiori sono pero ancorapresenti e fanno sı che la soluzione numerica differisca comunque da quella analitica.


Appendice D

Sviluppo in serie di Fourier

Lo sviluppo in serie di Fourier di una funzione F (x)puo essere scritto in termini dicomponenti trigonometriche come segue:

F (x) = a0 +∞∑

m=1

am cos (kmx) +∞∑

m=1

bm sin (kmx) (D.1)

dove km = 2π m/L e L e la lunghezza d’onda fondamentale. Note le relazioni

exp(ıθ) = cos(θ) + ı sin(θ)

cos(θ) =exp(ıθ) + exp(−ıθ)

2

sin(θ) =exp(ıθ)− exp(−ıθ)

2

dove ı =√−1, si puo riscrivere la (D.1) nella forma

F (x) = c0 +∞∑

m=1

cm exp (ıkmx) +∞∑

m=1

c−m exp (−ıkmx) (D.2)

Il passaggio da una formulazione all’altra e possibile attraverso le

c0 = a0, cm =am − ıbm

2, c−m =

am + ıbm

2ovvero attraverso le relazioni inverse

a0 = c0, am = cm + c−m, bm = ı (cm − c−m) .

La (D.2) puo essere scritta nella forma compatta

F (x) =∞∑

m=−∞cm exp (ıkmx) (D.3)

il cui generico coefficiente ci e determinabile attraverso la relazione

ci =1L

∫

L

F (x) exp (−ıkix) dx . (D.4)

Abbiamo infatti che l’integrale (D.4) puo essere riscritto, utilizzando la (D.3), come

1L

∞∑m=−∞

cm

∫

L

exp [ı (km − ki) x] dx = ci

dove si osserva che l’integrale e diverso da zero solo per i = m (e quindi km = ki ⇒e0 = 1), mentre e nullo per i 6= m poiche le funzioni integrande sono periodiche.

137

138 D.1. Esempi di applicazione

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

Figura D.1: Onda triangolare: confronto tra la funzione originaria e lo sviluppo in serie diFourier considerando 1, 3, 5, 10 e 50 armoniche.

D.1 Esempi di applicazione

Risulta utile analizzare alcuni esempi per comprendere meglio il significato dellecomponenti armoniche. L’analisi in serie di Fourier viene solitamente effettuatautilizzando delle routine numeriche che implementano la FFT (Fast Fourier Trans-form). Questa procedura richiede che la funzione da analizzare sia discretizzatain un numero N di punti pari a una potenza di 2 (N = 2k, dove k e un numeronaturale). Il risultato e uno spettro di potenza con N/2 componenti armoniche.

D.1.1 Onda triangolare

Consideriamo in primo luogo il caso di un’onda triangolare, come quella rappresen-tata in Figura D.1:

f(x) = 1− 4x 0 < x < 0.5f(x) = 3 + 4x 0.5 < x < 1

Lo spettro, rappresentato in Figura D.2, e dominato dalla prima armonica; si notiche, data la simmetria della funzione, sono presenti solo armoniche dispari. Ilconfronto tra la funzione originaria (linea di spessore maggiore) e le approssimazioniottenute troncando lo sviluppo ad un numero assegnato di componenti armonichee riportato in Figura D.1.

D.1.2 Onda quadra

Il caso dell’onda quadra e piu interessante perche risulta difficile ottenere una buonaapprossimazione di una funzione in cui siano presenti degli spigoli. Prendiamo ilcaso

f(x) = sign(x− 0.5)

Lo spettro di Figura D.4 e soprattutto il confronto di Figura D.3 suggeriscono chee necessario considerare un elevato numero di componenti armoniche di lunghezzad’onda ridotta per poter rappresentare in maniera adeguata la discontinuita dellafunzione.


D. SERIE DI FOURIER 139

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Armoniche

Figura D.2: Spettro di potenza per un’onda triangolare: le prime 10 armoniche.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

x

Figura D.3: Onda quadra: confronto tra la funzione originaria e lo sviluppo in serie di Fourierconsiderando 1, 3, 5, 10 e 50 armoniche.


140 D.1. Esempi di applicazione

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Armoniche

Figura D.4: Spettro di potenza per un’onda quadra: le prime 10 armoniche.


Appendice E

Modelli lagrangiani didiffusione turbolenta

E.1 Metodologia

Nei capitoli precedenti la diluizione di un tracciante dovuta a meccanismi di na-tura diffusiva e stata studiata utilizzando un punto di vista euleriano, scrivendoquindi delle equazioni differenziali valide in ogni punto del dominio, da risolverecon le opportune condizioni al contorno. E pero possibile studiare la diffusione diun tracciante anche per mezzo di un’ottica discreta, seguendo le traiettorie delleparticelle; si parla in questo caso di modelli lagrangiani. Noto il campo di moto,un’opportuna schematizzazione della turbolenza consente di simulare la diffusione.Introducendo all’inizio della simulazione un opportuno numero di particelle, si puoseguire la traiettoria di ciascuna mediante un’equazione del tipo

dXi

dt= u + f

i(E.1)

dove Xi e il vettore che indica la posizione della particella i-esima, u il campo dimoto (deterministico e assegnato, in funzione della posizione) a cui e sottoposta e f

il’effetto della fluttuazione turbolenta, assegnata attraverso una funzione probabili-stica; f

ie caratteristico della singola particella e dell’istante di calcolo, e la funzione

e data tramite un generatore di numeri pseudo random (si veda il paragrafo E.2).Nell’ottica lagrangiana rappresentata dall’equazione (E.1) viene seguito il per-

corso di ogni singola particella, mediante integrazione esplicita della traiettoria. Letre componenti dell’equazione vettoriale (E.1) sono indipendenti e quindi si possonointegrare indipendentemente:

Xi (t + ∆t) = Xi (t) + u∆t + fi∆t (E.2)

dove per semplicita si e supposto che il campo di moto non dipenda da t (la gene-ralizzazione e banale). Assegnate le caratteristiche della funzione f

i, l’oscillazione

casuale da essa introdotta riproduce gli spostamenti dovuti alle fluttuazioni turbo-lente di velocita1. La concentrazione locale del tracciante puo essere calcolata sud-dividendo il dominio in volumetti di dimensioni adeguate e contando le particellepresenti all’interno di ciascuno.

Operando una scelta opportuna per l’oscillazione casuale fi

nella (E.2), essarispecchia macroscopicamente, in una rappresentazione continua, il meccanismo

1Modelli piu raffinati introducono l’oscillazione casuale in termini di accelerazione, invece chedi velocita.

141

142 E.1. Metodologia

diffusivo che segue una legge fickiana del tipo

φk = −Dk∂C

∂xk(E.3)

con φk flusso di concentrazione in direzione k per unita d’area.

Parametri e schematizzazione. Caratteristiche essenziali dei modelli lagran-giani sono la funzione probabilistica f

ie l’intervallo di integrazione ∆t, che normal-

mente sono correlati con una misura dell’intensita della turbolenza. Il termine fi

deriva da una distribuzione di frequenza con media nulla e varianza pari al passotemporale di integrazione.

Definiamo TL il tempo di correlazione lagrangiano, ovvero quello dopo il qualesi puo considerare che la “storia” della particella sia indipendente da quella dellealtre partite dalla sorgente allo stesso istante. Al fine di avere sufficiente risoluzionenella traiettoria, si deve utilizzare un passo di integrazione ∆t ¿ TL.

Figura E.1: Simulazione della dispersione tramite sovrapposizione di un termine pseudocasualeche simula la turbolenza ad un termine deterministico corrispondente al campo di moto medio.

La funzione fie correlabile ai coefficienti di turbolenza; la corrispondente “PDF”

(Probability Density Function) avra una varianza tanto piu elevata quanto piu egrande il coefficiente di diffusione turbolenta che viene simulato. Si noti che loschema numerico utilizzato e di tipo esplicito, tuttavia non presenta i problemidi stabilita tipici degli schemi alle differenze finite. Il passo di integrazione dellatraiettoria delle particelle, ∆t, e una frazione del tempo di correlazione lagrangianaTL, tempo dopo il quale la particella perde “memoria” delle condizioni precedenti.∆t costituisce il fattore limitante dal punto di vista numerico nel caso di simulazionilunghe e con tante particelle (necessarie se il dominio e vasto). Si noti come, inassenza del termine stocastico f

i(ovvero di un termine diffusivo turbolento) le

particelle immesse nel campo di moto in uno stesso punto seguirebbero tutte lamedesima linea di corrente che passa per il medesimo punto di scarico (Figura E.1).

Ai bordi del dominio le particelle sono soggette a riflessioni elastiche per simularela condizione di flusso nullo, seguendo regole “geometriche” (Figura E.2); lo stessovale in corrispondenza delle interfacce tra fluidi diversi o a densita differente, ocomunque in qualsiasi caso si abbia una brusca variazione dei valori dei coefficientidi turbolenza.

E inoltre interessante notare come il meccanismo dispersivo che si genera, adesempio in corrispondenza di un profilo logaritmico di velocita in un corso d’acqua,come sovrapposizione di un moto orizzontale e di una oscillazione verticale, possa


E. MODELLI LAGRANGIANI DI DIFFUSIONE TURBOLENTA 143

Figura E.2: Riflessione geometrica in corrispondenza dell’interfaccia (condizione di flusso nullo).

essere rappresentato con uno schema a particelle a condizione di imporre un campodi moto ed una struttura della turbolenza consistenti (Figura E.3).

Figura E.3: Meccanismo di dispersione associato ad un profilo logaritmico di velocita

Qualora si voglia simulare un rilascio stazionario si rende necessario integrare letraiettorie di tutte le particelle rilasciate ad ogni passo temporale oltre a quelle giaimmesse nel campo di moto negli istanti precedenti. L’intervallo di rilascio ∆tr delleparticelle in questo caso deve essere tale da ben rappresentare un’emissione continua(Figura E.4). L’ordine di grandezza di ∆tr e fornito dalla diseguaglianza U ∆tr ≤ σ,dove σ e la dimensione caratteristica della nuvola e U la velocita euleriana media (delcampo di moto) in corrispondenza del punto di immissione del tracciante; ovvero,la distanza tra i baricentri di due nuvole “rilasciate” consecutivamente deve essereinferiore alla dimensione caratteristica delle nuvole stesse.

Vantaggi e svantaggi. L’adozione di un modello lagrangiano per il calcolo delladispersione porta alcuni vantaggi ma anche alcuni svantaggi rispetto ad un approcciopiu classico quale puo essere ad esempio uno schema numerico alle differenze finite.Un aspetto positivo e certamente il fatto che permette la descrizione del processodiffusivo anche a scala molto piccola, con una chiusura delle turbolenza che puovariare nello spazio e nel tempo anche in maniera non uniforme. Non esiste lalimitazione, tipica dei modelli a volumi finiti che lega una cella ad un unico valoredel coefficiente di diffusione turbolenta, poiche le celle vengono utilizzate nel metodolagrangiano solamente nella fase di conteggio delle particelle (si veda la Figura E.5).Un punto a sfavore invece consiste nell’elevato costo computazionale richiesto dallesimulazioni, specialmente quelle su domini tridimensionali vasti o su scale temporali


144 E.2. Serie di numeri pseudo-random

Figura E.4: Intervallo di rilascio delle particelle nel punto sorgente.

Figura E.5: Rappresentazione in termini di particelle e in scala di colore (o curve di livello) sullabase della densita di particelle all’interno di ogni cella.

lunghe. Per tale motivo questa tipologia di modelli e utilizzata prevalentementequando si voglia indagare nel dettaglio singoli scenari di diffusione di inquinanti, epiu raramente nel caso di simulazioni a lungo termine (ad esempio medie annualidi concentrazione su un’area).

In Figura (E.6) e riportato, a titolo esemplificativo, un modello lagrangiano chesimula l’emissione di inquinanti da una ciminiera.

E.2 Serie di numeri pseudo-random

Di seguito e riportata una subroutine in FORTRAN per la generazione di una seriepseudocasuale di numeri random, con distribuzione uniforme tra 0 e 1.

real*8 function rand unif()implicit nonereal*8 :: a, c, dlogical :: firstdata first /.true./save :: first, dparameter(a=16807.d0, c=2147483647.d0)if (first) then


E. MODELLI LAGRANGIANI DI DIFFUSIONE TURBOLENTA 145

Figura E.6: Esempio di simulazione di rilascio stazionario simulato con schema lagrangiano.

d = 1.d7first = .false.

endifd = d*ad = mod(d,c)rand unif = d/creturn

end function

La precedente subroutine puo essere sfruttata per creare un’analoga funzione diprobabilita di forma gaussiana con media nulla e varianza unitaria2.

real*8 function rand gauss()implicit noneinteger*1 :: isetreal*8 :: fac, gset, rsq, v1, v2, rand unifdata iset /0/, gset /0.d0/save :: iset, gsetif (iset == 0) then

rsq = 0.d0do while (rsq > 1.d0 .or. rsq == 0.d0)

v1 = 2.d0*rand unif()-1.d0v2 = 2.d0*rand unif()-1.d0rsq = v1*v1+v2*v2

enddofac = dsqrt(-2.d0*dlog(rsq)/rsq)gset = v1*facrand gauss = v2*faciset = 1

elserand gauss = gsetiset = 0

endifreturn

end function

2La generalizzazione a media non nulla e varianza qualsiasi si opera tramite un cambiamentodi variabile x′ = A x + B.


146 E.2. Serie di numeri pseudo-random


Appendice F

Modelli ADZ di dispersionenel campo lontano

La soluzione per il campo di concentrazione trovata nel campo lontano risolvendol’equazione di convezione-diffusione possiede il pregio di essere fisicamente basata.D’altra parte, la trattazione monodimensionale non consente a volte di riprodurrel’effetto della variabilita tipica dei corsi d’acqua naturali. Ad esempio, la presen-za di zone golenali richiederebbe di utilizzare modelli bidimensionali (o addiritturatridimensionali) a coefficienti variabili, rendendo assai complessa la procedura disoluzione. Una possibile alternativa per ottenere un risultato pratico e quella disviluppare dei modelli di tipo ‘scatola nera’ (black box ), che si avvalgono di formu-lazioni semplificate e parametri da tarare con dati di campo. Una classe particolaredi modelli e quella nota come ADZ (Aggregated Dead Zone). Distinguiamo dueformulazioni: la prima e costituita da un modello a celle, la seconda e accoppiatacon un modello di convezione-dispersione longitudinale.

F.1 Modelli a cella

In questo caso il corso d’acqua viene suddiviso in tronchi, per ciascuno dei quali siutilizza un modello zero-dimensionale (ovvero che utilizza esclusivamente equazionidi bilancio di grandezze scalari). L’equazione utilizzata e concettualmente moltosemplice e si basa sulla conservazione della massa nella forma nota come equazionedei serbatoi:

dM

dt= Min − Mout (F.1)

doveM = Cv V

e la massa di tracciante contenuta nel volume di controllo V che si sta considerandoe

Min = C1 Q1 , Mout = C2 Q2

sono rispettivamente le portate di massa entranti e uscenti nel sistema, corrispon-denti alle portate liquide Q1 e Q2, con le loro concentrazioni C1 e C2.

Quando le condizioni idrauliche sono stazionarie, Q1 = Q2 = Q; fissato quindiil volume di controllo V , la (F.1) si puo scrivere come

dCv

dt=

Q

V(C1 − C2) . (F.2)

147

148 F.1. Modelli a cella

Introduciamo un tempo caratteristico

tv =V

Q(F.3)

come rapporto tra volume e portata; tv viene detto tempo di percorrenza (traveltime). Ipotizziamo anche di poter legare la concentrazione in uscita C2 alla concen-trazione Cv all’interno del volume di controllo, come e usuale quando si consideranoreattori ben miscelati1, ovvero di porre la relazione

Cv(t) = γ C2(t) . (F.4)

Grazie alle (F.3)-(F.4), l’equazione di bilancio puo essere riscritta come

dC2(t)dt

=C1(t− τ)− C2(t)

γ tv(F.5)

dove e stato introdotto un ritardo τ tra l’ingresso C1 e l’uscita C2 per tener contodella non istantaneita della risposta del sistema.

Caratteristiche matematiche. Definiamo il momento n-esimo dell’onda di con-centrazione

m(n) =∫ ∞

−∞tn C(t) dt . (F.6)

Poiche la massa di tracciante che transita in una sezione e

M =∫ ∞

−∞QC(t) dt ,

data la costanza di Q deve risultare

m(0)C1

= m(0)C2

=M

Q,

ossia il momento di ordine 0 si conserva.D’altra parte, il momento di ordine 1 e legato al baricentro temporale dell’onda

di concentrazione. Integrando la (F.5) nella forma∫ ∞

−∞tdC2(t)

dtdt =

1γ tv

[∫ ∞

−∞t C1(t− τ)dt−

∫ ∞

−∞t C2(t)dt

]

si trova2 cheγ tv = tC2 − tC1 − τ (F.7)

avendo definito il baricentro di C(t):

tC =m

(1)C

m(0)C

.

1Per approfondimenti, si vedano i corsi di Ingegneria Sanitaria.2Integrando per parti il primo membro e operando il cambiamento di variabile ξ = t− τ si ha

infatti

t C2|∞−∞ −Z ∞

−∞C2(t)dt =

1

γ tv

Z ∞

−∞(ξ − τ)C1(ξ)dξ −

Z ∞

−∞tC2(t)dt

da cui, ricordando la definizione (F.6),

−m(0)C2

=1

γ tv

hm

(1)C1− τ m

(0)C1−m

(1)C2

i

e infine la (F.7).


F. MODELLI ADZ NEL CAMPO LONTANO 149

Sapendo che la differenza tra i baricentri dell’onda in ingresso e di quella inuscita e esattamente il tempo di percorrenza

tC2 − tC1 = tv ,

defininendo il tempo di residenza

T = γtv (F.8)

possiamo riscrivere la relazione (F.7) come

tv = T + τ . (F.9)

La (F.5) puo quindi essere espressa, grazie alla (F.8), in termini di tempo diresidenza:

dC2(t)dt

=C1(t− τ)− C2(t)

T(F.10)

Integrando la (F.5) per ottenere i momenti secondi:

∫ ∞

−∞t2

dC2(t)dt

dt =1

γ tv

[∫ ∞

−∞t2 C1(t− τ)dt−

∫ ∞

−∞t2 C2(t)dt

]

e sviluppando gli integrali in maniera analoga a quanto visto in precedenza, si trovache la varianza, definita per una generica C(t) come

σ2C =

m(2)

m(0)−

(m(1)

m(0)

)2

,

segue la leggeσ2

C2− σ2

C1= T 2 . (F.11)

F.1.1 Interpretazione fisica

Se facciamo riferimento ad un tratto di corso d’acqua naturale con una geometriacomplessa, normalmente si puo definire una porzione della sezione come alveo inciso(alveo principale) e altre parti come zone golenali. Quando un’onda di tracciante sipropaga, queste ultime svolgono il ruolo di trattenere il tracciante poiche la velocitaal loro interno e molto minore che nell’alveo inciso; per questo motivo vengono dette‘zone morte’ (dead zone). Successivamente, quando la concentrazione al loro internoe maggiore di quella nell’alveo inciso, esse rilasciano il tracciante e tendono quindi alaminare l’onda di concentrazione, cosı come le zone di espansione dei corsi d’acqualaminano le piene.

Suddividiamo quindi il volume totale V del tratto considerato in due parti

V = VA + VD

dove VA e il volume interessato dal comportamento convettivo (corrispondenteall’alveo inciso) e VD il volume di accumulo. Dalla definizione (F.3) si ottieneche

tv =VA

Q+

VD

Q. (F.12)

Proviamo ora a confrontare la (F.12) con i risultati trovati nel paragrafo prece-dente (F.9) e (F.11).


150 F.1. Modelli a cella

• Convezione dominante. Quando VD ∼ 0, l’onda di concentrazione viene tra-slata tra la sezione di ingresso e quella di uscita senza subire apprezzabilideformazioni: ponendo σ2

C1= σ2

C2, la (F.11) implica T = 0. Di conseguenza,

la (F.9) ci assicura che il ritardo

τ = tv =VA

Q

e la (F.8) fornisce γ = 0.

• Dispersione dominante. Quando invece VA → 0, mentre VD mantiene unvolume finito, il ritardo τ → 0 (un segnale entrante fornisce istantaneamenteuna risposta all’uscita). La differenza tra i baricentri di C1 e C2 deve esserelegata all’effetto di VD:

T = tv =VD

Q

e quindi γ = 1.

Tra i due estremi considerati, possiamo associare il ritardo τ al volume convettivo VA

e il tempo T impiegato mediamente dal tracciante per attraversare le zone golenalial volume di ristagno VD:

τ =VA

Q, T =

VD

Q

da cui si ottiene γ = T/tv = VD/V . Il significato dei parametri τ e T e evidenziatoin Figura F.1: il ritardo τ trasla rigidamente la curva C2 in uscita, il tempo diresidenza T deforma la curva aumentandone la varianza.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4C

1

T=1,τ=0

T=0,τ=2

T=1,τ=2

t

C

Figura F.1: Concentrazione C2 in uscita calcolata attraverso la (F.5). L’onda di concentrazionein ingresso C1 e disegnata in linea punteggiata. Le curve in linea continua corrispondono a diversecoppie di valori dei parametri T e τ ; i parametri dell’equazione (F.5) sono ricavabili come tv = T +τe γ = T/tv .

Taratura del modello. Un modello di questo tipo puo essere applicato conve-nientemente ponendo in serie (ed eventualmente in parallelo) N elementi che ri-spondono all’equazione di bilancio (F.5), che puo agevolmente essere integrata con


F. MODELLI ADZ NEL CAMPO LONTANO 151

un normale schema numerico. Per ogni elemento considerato devono essere tarati iparametri tv e γ. Il primo puo essere stimato come

tv =V

Q' L

U,

con L lunghezza del tratto e U velocita media, mentre γ dipende dall’entita dellezone golenali.

F.2 Modelli convettivi-dispersivi

La seconda formulazione, nota come D-DZM (Dispersion-Dead Zone Model) ac-coppia un modello di convezione-dispersione del tipo discusso nel capitolo 6 (ADE,Advection-Diffusion Equation), per la parte incisa della sezione, ad un modello ADZper la zona di ristagno. Il sistema di equazioni e dato quindi da due equazioni; laprima e relativa all’alveo inciso

∂C

∂t+ U

∂C

∂x−K

∂2C

∂x2= −ε

∂Cs

∂t, (F.13)

dove C e la concentrazione nell’alveo inciso, Cs quella nella zona di ristagno, U lavelocita media della corrente nella sezione, K il coefficiente di dispersione, e

ε =VD

VA

con VD volume attribuito alla parte di ristagno e VA al canale inciso. Utilizzandol’ipotesi geometrica che VA = AA L e VD = AD L, tale parametro puo essere ancheespresso come ε = AD/AA, con AD area trasversale efficace della parte di ristagnoe AA area trasversale del canale inciso. La seconda equazione si riferisce alla zonadi ristagno

∂Cs

∂t=

1T

(C − Cs) , (F.14)

dove T e una misura del tempo di ristagno, ovvero il tempo di residenza del trac-ciante nella ‘zona morta’ (dead zone). Si noti la stretta corrispondenza della (F.14)con la (F.10).

L’equazione (F.13) puo essere riscritta, grazie alla (F.14), come

∂C

∂t+ U

∂C

∂x−K

∂2C

∂x2=

ε

T(Cs − C) . (F.15)

I termini a secondo membro della (F.14) e della (F.15) rappresentano i flussi diconcentrazione scambiati tra la zona di ristagno e l’alveo inciso. Il parametro εtiene conto dei diversi volumi delle due zone e permette di rispettare il principio diconservazione della massa.

Il parametro T rappresenta il tempo necessario perche il flusso di massa si tra-sferisca dal canale alla zona di ristagno e viceversa. Valori elevati di T corrispon-dono ad una riduzione della capacita di scambio, mentre valori di T tendenti a 0rappresentano scambi quasi istantanei, grazie ai quali la concentrazione Cs risultapraticamente identica a C.

Per quanto riguarda la taratura del modello, i parametri relativi alla dispersionelongitudinale (U e K) sono normalmente valutati attraverso le relazioni viste nelcapitolo 6. I parametri del modello ADZ, ε e T , sono invece tarati di norma facendoriferimento a misure di campo riferite al corso d’acqua che si sta considerando.


152 F.2. Modelli convettivi-dispersivi


Bibliografia

M.B. Abbott e D.R. Basco, Computational fluid dynamics. An introduction forengineers, Longman S.T., 1989.

G. I. Barenblatt, Dimensional Analysis, Gordon and Breach Science PublishersS.A., OPA (Amsterdam), 1987.

H.B. Fischer, E.J. List, R.C.Y. Koh, J. Imberger e N.H. Brooks, Mixing in Inlandand Coastal Waters, Academic Press, NewYork, 1979.

J.D. Hoffman, Numerical methods for engineers and scientists, McGraw-Hill, 1993.

J.C. Rutherford, River Mixing, John Wiley & Sons, Chichester, 1994.

R. Sozzi, T. Georgiadis e M. Valentini, Introduzione alla turbolenza atmosferica, pp.525, Pitagora Editrice, Bologna, 2002.

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