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Mezzi porosi: l’applicazione dei moti ondulatori (1)

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Romolo Di Francesco

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Prima parte: dalla teoria generale ai test di validazione

Lo scienziato francese d’Alembert (figura 1) era un

uomo di vasti interessi che spaziavano dalla medicina

alle scienze naturali, alla matematica e anche alla legge.

Tra i suoi studi più importanti sono da ricordare il

principio di d’Alembert (che afferma che le azioni e le

reazioni interne a un sistema di corpi rigidi sono in

equilibrio tra loro), così come trattati dedicati alla

musica, al problema dei tre corpi, alla precessione degli

equinozi, al moto in mezzi resistenti, alle perturbazioni

lunari e – non ultimo – all’equazione differenziale, alle

derivate parziali e relativa soluzione, che governa il

problema della corda vibrante nella sola condizione

monodimensionale (anche se in realtà è di dimensione 1+1 trattando il tempo e una dimensione lineare) tramite

funzioni trigonometriche utili per la loro periodicità.

Era il 1747 e ci vollero altri tre anni affinché, grazie a Eulero, tale soluzione raggiungesse la piena maturità

matematica –

così come oggi è ancora conosciuta – e ci volle ancora altro tempo affinché si giungesse alla scrittura

dell’equazione generale nello spazio (di dimensione 3+1) e nel piano (di dimensione 2+1) e alla ricerca delle

relative soluzioni.

Così oggi tali soluzioni, basate sulla linearità

dell’equazione di d’Alembert (del secondo ordine

di tipo iperbolico) e sulla simmetria sferica,

sono applicate a tutti i campi scientifici e tecnici

interessati dalla propagazione di vibrazioni

come ad esempio l’acustica, l’elettromagnetismo,

la fluidodinamica e la sismologia, mentre varianti

dell’equazione differenziale originaria sono

presenti anche all’interno della meccanica

quantistica e della relatività generale.

Nell’affrontare il problema della propagazione

delle vibrazioni nei mezzi porosi (quali ad esempio le terre, le rocce, il calcestruzzo, le ceramiche e molti altri)

ripartiamo dal termine fisico e dalla definizione matematica di onda: nel primo caso con onda si indica una

qualunque perturbazione che ha origine in una sorgente e si propaga con velocità v  nello spazio-tempo

trasportando energia e quantità di moto ma non materiale; nel secondo caso un’onda è una soluzione periodica

dell’equazione differenziale che ne descrive il moto.

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