1.1CAPITOLO 1 INTRODUZIONE 1.1. Introduzione Ilpresentecorsointendefornireinformazionidibasesuiprincipalitipidimacchineafluidomotrici eoperatriciesugliimpiantiperlaproduzionedienergiaelettrica,edicomponenticheli costituiscono.Loscopoquellodidotarelostudentedeglistrumentinecessariallasceltadella tipologiadimacchineeallanalisidellorofunzionamentoedelfunzionamentodegliimpiantiincui esse si inseriscono. Ilcorsoconsideracomeacquisitedallostudentenozioniriguardantilepropriettermodinamichedei fluidi,concettichegihannovistonelcorsodiFisicaTecnica,oltrechequantotrattatonelcorsodi Fluidodinamica.Ilfilologicoseguitonellaffrontarelostudiodellemacchinequellodipartire dallesterno,considerandodapprimalamacchinacomeunascatolanera,senzaporsiilproblemasu comeeffettivamentelatrasformazionevengarealizzata.Ilpassosuccessivoconsistenellandarea vederecometaletrasformazionevienerealizzataallinternodellamacchina.Inentrambigli approcci,coscomeanchenellostudiosuccessivodeiciclidipotenza,lanalisiverrdapprima condottaconsiderandounasituazioneideale,perpoiintrodurreneivariprocessiidiversitipidi perdite che rendono invece i processi reali. 1.2. Classificazione delle Macchine e degli Impianti PerMacchinasiintendeunsistemacheconverteenergiaprimaria(ades.energiaidraulica,da combustibilefossile)inunaformapicomodamenteutilizzabile(energiameccanica).Inuna macchinaafluidoinparticolaretaleconversionevienerealizzatautilizzandounfluido,adesempio aria,acquaovapore.Talefluidosubisceunatrasformazioneallinternodellamacchina,conun conseguente trasferimento di energia tra gli organi mobili della macchina (rotore) ed il fluido stesso. Ilfluidoacontattocongliorganidiunamacchinascambiaconquestidelleforze.Sisottolinea come tali forze compiono lavoro solo se gli organi sono in movimento. Unaprimaclassificazionevienefattaasecondadelsensodeltrasferimentodienergia,cioa secondacheillavorovengacompiutodallamacchinasulfluido(macchinaoperatrice)conun conseguenteassorbimentodipotenza,odalfluidosullamacchina(macchinamotrice),conuna erogazionedipotenzaallalberodellamacchina.Esempidimacchineoperatricisonoicompressori (figure1.2,1.10),iventilatori(figura1.9)elepompe(figura1.1e1.3).Esempidimacchinemotrici sonoleturbineidrauliche(figure1.51.7),quelleagasoavapore(figure1.111.13),eimotoria combustione interna, Diesel e a Ciclo Otto (figura 1.4).Unasecondaclassificazionesibasasullanaturadelfluidoevolvente.Sichiamanomacchine idraulichequellechelavoranoconfluidiincomprimibili(figure1.51.8);prendonoinveceilnome dimacchinetermichequellecheusanofluidicomprimibili(figure1.101.13).Perunfluido incomprimibilelasuastoriameccanicaseparatadaquellatermica,cheperaltroininfluente.Per unfluidocomprimibileinveceleduecosesonointimamentelegate.Seesercitounapressionesuun fluidocomprimibile,cambialasuadensitesiscalda;conunfluidoincomprimibilecinonaccade. 1.2Sihaquindienergiatermicachesiconverteinenergiameccanica,ecisiverificasoloinmacchine a fluido comprimibile. Sihapoiunaclassificazionecheriguardagliorganichescambianoenergia,cioquelliche interagisconoconilfluido:sidistinguetramacchinarotativaealternativaasecondachelorgano mobileseguaunmotorotatorio(ades.turbine,compressori,pompe)oalternato(motoria combustioneinterna).Esempidipomperotativesonoquellaadingranaggiriportatainfigura1.1,il compressore a lobi tipo Roots e quello ad alette di figura 1.2. Sidistinguepoitramacchinedinamicheevolumetricheasecondadellandamentodelflusso.Nelle macchinedinamiche,ilflussoattraversolamacchinacontinuo.Nellemacchinevolumetricheil flussoinveceperiodico:lamacchinaprelevaciclicamenteunacertaquantitdifluido,lefa compierelatrasformazione,equindilascarica.Esempidimacchinevolumetrichesonoi compressorirotativitipoRootseadalette(figura1.2).Lemacchinealternativepossonoesseresolo volumetriche, mentre quelle rotative possono essere sia volumetriche sia dinamiche. Unultimaclassificazioneriguardaunicamentelemacchinedinamiche:asecondadelladirezione delflussoallinternodellamacchinasidistinguetramacchineassiali,incuiilfluidoprocede prevalentementeindirezioneparallelaallassedirotazionedellamacchina,emacchineradiali, doveilfluidoprocedeinveceprevalentementeindirezioneperpendicolareallassedirotazionedella macchina.Esempidimacchineassialisonoilventilatoreassialedifigura1.9,ilcompressoreassiale difigura1.10eleturbineavaporeriportateinfigura1.111.13.Lapompacentrifugadifigura1.3 inveceunesempiodimacchinaradiale.LaTabella1.1riassumetutteleclassificazioniviste, mentreleTabelle1.2e1.3riportanoiprincipalitipirispettivamentedimacchineoperatriciedi quellemotrici.Diquesteultime,nellarealtsoloquellesottolineatetrovanoapplicazione.Nelcorso verrannodescrittetutteleturbomacchine,siamotricisiaoperatrici,inquantodicomuneutilizzo negli impianti di produzione di energia elettrica e in svariati settori industriali. Scambio di energiamotricioperatrici Tipo di fluidoidraulichetermiche Moto degli organi che scambiano lavoroalternativerotative Regime di flussovolumetrichedinamiche Direzione del flussoassialiradiali Tabella 1.1 Classificazione delle Macchine a Fluido Tipi di funzionamento Fluido motore Movimento organo motore Macchine volumetriche Macchine dinamiche (turbomacchine) AlternativoPompe alternative- Liquido Rotativo Pompe a ingranaggi, a palette, a eccentrici ecc. Pompe (assiali, miste, radiali) Alternativo Compressori a stantuffo e a membrana - Gas Rotativo Compressori Roost, a palette, a eccentrico Compressori (assiali, misti, radiali) Tabella 1.2Classificazione delle Macchine Operatrici 1.3Tipi di funzionamento Fluido motore Movimento organo motore Macchine volumetriche Macchine dinamiche (turbomacchine) Alternativo Macchine idrauliche a revolver, stellari ecc. - Liquido Rotativo Macchine idrauliche a ingranaggi, a palette, a eccentrici ecc. Turbine idrauliche (Pelton, Francis,Kaplan e eliche) Alternativo Macchine alternative a vapore - Vapore Rotativo- Turbine a vapore (assiali, radiali) Alternativo Motori alternativi a combustione interna, a combustione esterna, ad accensione comandata, Diesel - Gas Rotativo Motori rotativi a combustione interna ecc. Turbine a gas (assiali, radiali) Tabella 1.3Classificazione delle Macchine Motrici Figura 1.1 Sezione dei rotori di un motore-pompa idraulico rotativo, con vista esplosa. 1.4Figura 1.2 Sezione trasversale di a) un compressore tipo Roots; b) un compressore rotativo a palette. Figura 1.3 Sezione longitudinale di una pompa centrifuga (1. cassa, 4. girante, 14, albero). Figura 1.4 Sezioni trasversale e longitudinale di un motore ad accensione comandata a carburazione, a quattro cilindri, quattro tempi per autotrazione raffreddato ad acqua (Opel, cilindrata 1680 cm3, potenza 63.3 kW a 4300 giri/min). 1.5 Figura 1.5 Ruota Pelton dellimpianto di S. Massenza e sezione trasversale dellimpianto idroelettrico (Franco Tosi). (caduta 590 m; portata 14.8 m3/s; potenza 75 MW, velocit di rotazione 428 giri/min) Figura 1.6 Sezione trasversale di una turbina Francis dellimpianto di Ilha Solteira (Brasile) (Consorzio Voith, Neyrpic, Sfac, Escherwiss, Riva, Ansaldo, Tosi). (caduta 48 m; portata 450 m3/s; potenza 194 MW, velocit di rotazione 85.7 giri/min) 1.6 Figura 1.7 Sezione trasversale di una turbina Kaplan dellimpianto di Jupi. 1.7 Figura 1.8 Sezione longitudinale di una pompa di accumulazione dellimpianto del Lago Delio (Asgen-Franco Tosi). (Prevalenza 698 m; portata 11.83 m3/s; potenza 90.15 MW, velocit di rotazione 500 giri/min) 1.8 Figura 1.9 Ventilatore assiale. Figura 1.10 Compressore assiale. 1.9 Figura 1.11 Turbina a vapore. Figura 1.12 Turbina a vapore 1.10Figura 1.13 Rotore di una turbina a vapore Figura 1.14Turbogas bialbero aeroderivativo GE LM 1600. Perquantoriguardagliimpianti,sidistinguetraimpiantiacombustioneinternaeimpiantia combustioneesterna,asecondacheilprocessodicombustionesiaunadelletrasformazionisubite dalfluidodilavoro.Esempidiimpiantiacombustioneinternasonoilmotoreacombustioneinterna ainiezionecomandataeDiesel(figura1.4)elimpiantoTurbogas(figura1.14),mentregliimpianti 1.11avaporesonoimpiantiacombustioneesterna.Ovviamente,gliimpiantiacombustioneinternasono impianticherealizzanociclitermodinamiciaperti,mentrequelliacombustioneesternarealizzano cicli chiusi. 2.1CAPITOLO 2 EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE 2.1. Introduzione Inquestocapitolovengonobrevementerichiamatiiprincipidiconservazionedellaportata (EquazionediContinuit),dellaquantitdimotoedellenergiadautilizzarenellostudiodelle turbomacchine.Questetrerelazionicostituisconounsistemadicinqueequazioniscalarilacui risoluzionepermettedicalcolareletrecomponentidellavelocitelepropriettermodinamichedel fluido,oltrealleforzecheilfluido,consideratouncontinuo,scambiaconeventualisuperficiin movimento. Intuttalatrattazionechesegue,siassumelassenzadireazionichimicheonucleari,dicampi magnetici, elettrici o elettromagnetici. Figura 2.1 2.2. Conservazione della portata Ilprincipiodiconservazionedellaportatasibasasulprincipiofisicochelamassanonpuesseren creatandistrutta.Cisitraduce,perunsistemaapertocomequellorappresentatoinfigura2.1,nel fattocheilflussodimassaattraversolesuperficidelsistema,pileventualeaccumulodiportata allinterno del volume stesso, deve essere uguale a zero: 0

,_

+ v AdvdtddA n V (2.1) in cuiladensitdelfluido,V ilvettorevelocitdelfluido,nilversorenormaleallasezioneA, positivo se orientato verso lesterno (figura 1.1), e v il volume.Alprimoterminedellequazione(2.1)compareilprodottoscalaretralelementoinfinitesimodi superficiedinormaleneilvettorevelocit.QuellochecontainfattilaproiezionedelvettoreVlungolanormaleallasuperficie,oppurelaproiezionedellelementodisuperficielungoladirezione della velocit: ci che conta quindi la proiezione di un vettore sullaltro. C.V.dAnVn 2.2Sifainoltrenotarecomesidistinguatrasuperficipermeabilialtrasportodimassaesuperfici impermeabili.Attraversolesuperficiimpermeabilinoncflussodimassa,percuilintegraledi superficiechecomparenellequazione(2.1)nullo.Unesempiodisuperficieimpermeabile,e quindi non attraversata dal flusso di massa, la parete di un condotto. Nelcasoincuiilmotopossaessereconsideratopermanente(comeingranpartedelle applicazioni che tratteremo riguardo le macchine a fluido), la relazione precedente diventa: 0 AdA n V (2.2) Conleipotesifatte,questaequazioneindipendentedacicheaccadedentroilvolume.Noncio pinecessarioconoscereladistribuzionedieV allinternodelvolume,mabastachesianonotii valorichetaligrandezzeassumonoinognipuntodellesuperficipermeabilialflussodimassa,e cio quelle di ingresso ed uscita. Epossibilesemplificareulteriormentelequazionediconservazionedellaportataintroducendo opportuneipotesiriguardantiladistribuzionespazialedellediversegrandezze(V ,p,....)sutali superfici.Esistonodiversigradidiapprossimazione;lapprocciopisempliceconsistenel considerareilmotomonodimensionale(1D).Cisignificachetuttelegrandezze(V ,p,....)sono funzionediunasolacoordinata.Talecoordinataunacoordinataspaziale,manonnecessariamente una coordinata cartesiana (x, y, o z). Pu ad esempio essere lascissa curvilinea di una traiettoria. SesiindicaconVmlaproiezionedelvettorevelocitnelladirezionen,normaleallasezionedi passaggio,esiconsideracheilflussosiamonodimensionale(1D),laconservazionedellaportatasi traduce nella relazione seguente: cost A V A n V mm &(2.3) dove Vm si dice essere la componente della velocit responsabile del trasporto di massa. Lespressionetrovataestremamentesemplice,efornisceilrisultatocorrettoindipendentementeda cicheavvienedentroilvolume:bastasaperecosasuccedesullesezionidiingressoeuscitaesi riesce ad esprimere correttamente la conservazione della massa allinterno del volume. 2.3. Conservazione della quantit di moto Sibasasulprincipiofisicopercuilavariazionediquantitdimotodiunfluidoeguagliala sommatoria delle forze agenti su di esso. E lequivalente fluidodinamica della Legge di Newton: ( ) V mdtda m F (2.4) Consideriamoancorailsistemaapertorappresentatoinfigura2.1.Applichiamolaconservazione dellaquantitdimotoalvolumedicontrollotratteggiatoinfigura;ancheinquestocasoilflussodi quantitdimotoattraversolasuperficie,pileventualeaccumuloallinternodelvolumestesso, deve eguagliare la sommatoria delle forze agenti sul volume: ( )

,_

+ F dv VdtddA n V Vv A (2.5) Leforzecheagisconosulvolumepossonoessereforzedivolumeeforzedisuperficie.Leforzedi superficiesonotuttequelleforzescambiatepereffettodelcontattodelsistemaconqualcosachesta dallaltra parte (altro fluido, un corpo solido...). Leforzedivolumesonotuttequelleforzecheagisconoallinternodelvolumestesso indipendentementedalcontattosuperficiale.Sonoleforzedicampo,cioquellechedipendono dal fattocheilcorpositrovainunacertaregionedellospazioaffettadauncertocampodiforze(anche togliendolaria,comunquesoggettoallaforzadigravit).Esisteunaforzadicampodovutaal campodiforzagravitazionale,maesistonoancheforzedicampo(odivolume)chedipendonodalla non inerzialit del sistema di riferimento (forze di inerzia). 2.3LeforzedivolumesonoquindiilcampogravitazionaleG,mentreleforzedisuperficiesonoforze legate alla pressione e allazione delle forze viscose: + A AdA dA n p G F (2.6) LaLeggediconservazionedellaquantitdimotosiutilizzatuttelevoltechesivuolecalcolarela forza che si scambiano un fluido e una superficie in movimento. Anche in questo caso, se il moto permanente, la relazione (2.5) si semplifica: ( ) F dA n V VA (2.7) Figura 2.2 2.4. Conservazione dellenergia Ilprincipiodiconservazionedellenergiasibasasulseguenteprincipiofisico:lenergianonpu esserencreatandistrutta,mapusolocambiareforma.Nonaltrocheil1Principiodella Termodinamica.Siutilizzaquandosivoglionocalcolarelepropriettermodinamichediunfluido. Siconsideriilsistemaapertoalflussodimassaschematizzatoinfigura2.2,cheinteragiscecon superficifisseescambialavoroLe,equindipotenzaPeecaloreQe,equindipotenzatermica eQ&, conlesterno.Lavariazionedienergiadelsistemafluido,sommadienergiainternau,energia cinetica ed energia potenziale, deve uguagliare la sommatoria delle energie scambiate con lesterno: ( )Av AE dv gzVudtddA n V gzVu 1]1

,_

+ + +

,_

+ +2 22 2 (2.8) Questeenergiescambiatesono,oltreallapotenzatermica eQ&,assuntapositivaseentrantenel sistema,lenergiascambiataattraversoleeventualisuperficimobilipresentiallinternodelvolume. Nelcasoinfiguralesuperficifisichedelvolumefluidosonofisse,percuiilfluidononscambia lavoroconesse;pusoloscambiarelavoroattraversolesuperficidiingressoeuscita,sullequali agiscelapressionep,econeventualiorganiinmovimento,comelelica(dacuiassorbeillavoroLe e quindi la potenza Pe): + Ae e AdA n V p Q P E&(2.9) Il lavoro scambiato con lesterno considerato per convenzione positivo se entrante nel sistema. Nel caso in cui il moto possa essere considerato permanente, le relazioni precedenti forniscono: Pe Qe 2.4( )e eAQ P dA n VpgzVu&+

,_

+ + +22(2.10) Nellespressioneappenascrittatuttiiterminisonodelleenergie,equindivannoespressiin[W].Si notainoltrecome,ancheinquestocaso,lipotesidimotopermanentehapermessodiottenereuna relazionechecoinvolgesoloedesclusivamentegrandezzecalcolatesullasuperficiedicontrollo, risultando quindi indipendente da ci che avviene allinterno del volume. Figura 2.3 Si assumano ora le seguenti ipotesi: Moto monodimensionale nelle sezioni di ingresso e uscita Moto permanente Lapplicazionedelprincipiodiconservazionedellenergiaformulatodalla(2.10)alvolume tratteggiato in figura 2.3, conduce alla seguente relazione: ( ) ( )

,_

+ ++ +11221 221221 22 p pz z gV Vu u Q Le e(2.11) essendo A1 = A2 e, dalla conservazione della portata espressa dalla relazione (2.3), 2 2 1 1V V . Per un sistema chiuso come una macchina volumetrica, la relazione precedente si riduce a: 1 2u u Q Le e + (2.12) Perunsistemaapertoalflussodimassa,comeilcasodellemacchinedinamicheoturbomacchine, si introduce lentalpia h, cos definita: pv u h + (2.13) Siintroducelentalpiahperchlamassaperentrareeusciredevescambiarelavoro,lavorocheva sottoilnomedilavorodipulsione, chenonvieneconsideratonellavoroscambiatoconlesterno, ma inglobato nellentalpia. Sostituendo la definizione di entalpia nella (2.11), si ricava: ( ) ( )1 221221 22z z gV Vh h Q Le e ++ + (2.14) Nelricavarelarelazione(2.14)nonstatafattaalcunaipotesisultipoditrasformazione.Nerisulta cheessavalidasiapertrasformazionireversibilisiapertrasformazionireali.Sardirettamente Pe Qe 1 2 Parete permeabile (1V , p1, T1, 1, h1, z1) Parete permeabile (2V , p2, T2, 2, h2, z2) Parete mobile impermeabile Parete fissa impermeabile 2.5lentalpiaalluscitaatenereimplicitamentecontodellapresenzaomenodiirreversibilit,cheper non compaiono esplicitamente. Epossibilericavareunaformulazionealternativadellequazionedellenergia,incuiillavorosia solo funzione di grandezze termodinamiche. Dalla Termodinamica noto che: vdp dh pdv du Tds + (2.15) Inunsistemaapertoreale,comequelloconsiderato,ilcalorevienegeneratoattraversodue meccanismi:puesserescambiatoconlesternoinmanierareversibile,mapuancheessere generato internamente a causa degli attriti: w edL dQ Tds Q + (2.16) essendoLwillavoropersoperattrito.Siricordachecompareilsimboloinquantoilcalorenon unavariabiledistato,equindinondipendesolodallostatoinizialeedaquellofinalediuna trasformazione,maanchedalpercorsoseguito.Sostituendola(2.16)nella(2.15)eapplicandolaal caso in esame si ricava: w eL Q vdp h h + + 211 2(2.17) che, sostituita infine nella (2.14), fornisce: ( )1 22122212z z gV Vvdp L Lw e ++ (2.18) Sinotacomelespressionedellavoroappenatrovatasiaorafunzionedeltipoditrasformazione subitadalfluidonellattraversamentodellamacchina.Perpotercalcolarelintegralechecompare nella (2.18) necessario infatti conoscere la trasformazione. Leduerelazioniappenaricavatesonodeltuttogenerali,nelsensochenonsonostatefatteipotesi sultipodifluidonsultipoditrasformazionecheessosubisce.Quandosiapplicanoallemacchine (turbine,compressori,pompe),possibileingeneraletrascurarelavariazionediquotaacavallo della macchina (z2 z1). In tal caso si ricava: ( )221221 2V Vh h Q Le e+ + (2.19) 21dpL Lw e(2.20) Siricordacheledueformedellequazionediconservazionedellenergiaappenatrovate(2.19)e (2.20)valgonoqualunquetrasformazioneavvengatraingressoeduscita,purchvenganorispettate le seguenti ipotesi: Moto mono-dimensionale nelle sezioni di ingresso e uscita Assenza di reazioni chimiche o nucleari, di campi magnetici, elettrici o elettromagnetici Moto permanente Variazione di quota trascurabile fra ingresso e uscita Siricordainoltreche,sesivuoleutilizzarelarelazione(2.20),necessarioconoscereiltipodi trasformazionecheilfluidosubiscenellattraversamentodellamacchina,amenocheilfluidosia incomprimibile (=cost). In tal caso, la relazione (2.18) diventa: ( )1 22122 1 22z z gV V p pL Lw e ++ (2.21) che va sotto il nome di Equazione di Bernoulli. 2.62.5. Definizioni varie e stato totale Primadiapplicareiprincipidiconservazioneappenavisti,introduciamoalcunedefinizionidi utilizzo generale. Innanzitutto,ricordiamoche,perungasperfetto,entalpiaedenergiainternasonofunzione unicamente della temperatura: ( ) ( ) T u u T h h NerisultaquindicheancheicalorispecificiapressioneevolumecostanteCpeCvsonofunzione solo della temperatura: ( ) ( ) T C C T C Cv v p p Vale inoltre la relazione di Mayer: v pC C R (2.22) essendo R la costante dei gas. Un gas si dice poi caloricamente perfetto se Cp e Cv sono costanti. Definiamo velocit del suono a: spa

,_

2(2.23) la velocit di propagazione delle piccole perturbazioni, per cui vale lipotesi di isentropicit. Per un liquido perfetto = 0, quindi a = . Per un liquido reale a grande, ma non infinita. E noto che, per un gas perfetto che subisce un processo isentropico, vale: t p cos (2.24) Essendo vpCC , si ottiene: RTpa (2.25) Per lariaa 340 m/s. SidefiniscenumerodiMachdiunflussoMilrapportotralavelocitdelflussoVelavelocitdel suono: aVM (2.26) SeM1sidicesupersonico.SeM0.Quindi,larelazione(3.2) diventa: ( ) 01 2> e eQ h h L per macchine operatrici (Qe > 0)(3.3) ( ) 02 1> + e eQ h h L per macchine motrici (Qe < 0)(3.4) Analogamente per la relazione (2.20): w eL vdp L + 21 per macchine operatrici (Le > 0)(3.5) w eL vdp L 21 per macchine motrici (Le > 0)(3.6) Applichiamoquantovistodapprimaalcasodiunamacchinaoperatrice(compressore),equindidi una macchina motrice (turbina). 3.2 Figura 3.1: compressione ideale a Temperatura costante. 3.2.1.Compressore Consideriamoilcasodiunamacchinaoperatriceoperantesufluidocomprimibile(gasperfetto).Ci chiediamochetipoditrasformazionesubiscailfluidonellattraversamentodellamacchina.Prima ancorapervediamoqualelatrasformazionechecipermetterebbedicompiereilminimolavoro possibile.Taletrasformazionelatrasformazioneisoterma(figura3.1).Consideriamoungas perfetto e una trasformazione ideale (Lw = 0). Le due forme dellequazione dellenergia forniscono: e eQ L (3.7) 21 12121lnppRT dppRTvdp Le(3.8) Talilavorisonorappresentatidalleareesottesedalletrasformazioni:larea(12NM)tratteggiatanel piano(p,v)elareatratteggiatanelpiano(T,s)infigura3.1Taletrasformazionerisultaper irrealizzabilenellapratica.Letrasformazioninellemacchinedinamiche(continue)sonoinfatti estremamenteveloci.Nonctemponsuperficidiscambiotermicosufficientiperchilfluido, nellattraversamentodellamacchina,riescaacedere(oricevere)calore.Eallorapossibile consideraresempreletrasformazioninellemacchinedinamicheadiabatiche,esemplificare ulteriormente lequazione dellenergia: ( ) ( )1 2 1 2h h h h Lt t e (3.9) conlusualeipotesiditrascurarelavariazionedivelocitacavallodellamacchina.Datali considerazionirisultaquindichelatrasformazioneidealeconcuiconfrontarsinontantoquella isotermareversibile,quantoquellaadiabaticareversibile,eciolatrasformazioneisentropica.Con riferimento alla figura 3.2, e considerando un gas perfetto, si ricava: ( ) ( )1 2 1 2T T C h h Ls p s s e (3.10) che,nelpiano(T,s),rappresentatodallareaA02sB.Ricordandoche,perunatrasformazione adiabaticaisentropicadiungasperfettovalepv=costechevalelarelazionediMayer v pC C R , si ricava: ( )

,_

1111RT Ls e(3.11) essendo 1 2p p ilrapportodicompressione.Nelpiano(p,v)illavoroscambiato isentropicamenterappresentatodallareaM12sN.Unaformaidenticalasiottieneancheapartire dalla (3.5), imponendo Lw = 0. 1 2 P2 P1 s T v P P2 P1 M v1 1 2 N T = cost 3.3Figura 3.2: compressione adiabatica ideale a) e reale b). v P P2 P1 M v1 1 2s N s = cost 1 2s P2 P1 s h Ls 1 2s P2 P1 s T 0 Ls BA v P P2 P1 M v1 1 2s N LCR 2 1 2s P2 P1 s T 0 Ls BA 2 C LCR Lw1 2sP2 P1 s h Ls 2 Lr a) b) 3.4Conriferimentoalletrasformazionitracciateneipiani(p,v),(T,s)ed(h,s)riportateinfigura3.2a, siosservacomeillavorocompiutosulfluidosiamaggiorerispettoalcasoisotermo.Siricorda inoltrecheleareetratteggiatenelpiano(p,v)einquello(T,s)rappresentanoillavoroscambiato, essendo la trasformazione adiabatica reversibile. Nellarealt,latrasformazionesartaledafarscheilfluidositrovialluscitadelcompressore ancoraallostessolivellodipressionep2,maconunentropiamaggiorerispettoalcasoisentropico, come mostrato dal punto 2 in figura 3.2b. In questo caso, il lavoro scambiato con lesterno vale: ) 02 (1 2C A Area h h Le (3.12) che,nelpiano(T,s),consistenellareaA02C.Ilpercorsoseguitodalfluidoperpassaredalpunto1 alpunto2puesserequalunque.Epossibileapprossimarelatrasformazionerealeconuna trasformazionepolitropicareversibile,incuisisupponecheilcalore(chenellarealtlegatoalle irreversibilit) venga scambiato reversibilmente: ( )

,_

1111nny eRTnnL (3.13) oppure, partendo dalla (3.3): ( ) ( ) ( )y e y eQ h h L 1 2(3.14) Cerchiamodiindividuareneidiversipianilareacherappresentaladifferenzatraillavororealee quelloideale.Illavororealenelpiano(p,v)consistenellareaM12N.Sifanotarecomeilvolume specificonelpuntodifinecompressionerealesiamaggiorerispettoalcasoideale,acausadelle perdite. Sempre nel piano (p,v) si ha quindi: ( ) ( )ws sw s e r eL vdp vdp vdp L vdp L L +

,_

+ 21212121(3.15) Nelpiano(p,v)nonsivedechiaramentetuttoillavoroscambiato;larea212srappresentala differenzatraidueintegrali,mentrenonbenidentificabileillavoropersoperattrito;meglio considerare il piano (T,s): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )y e s e y e s e y e y e s e r eQ L L L Q L L L + + (3.16) TaledifferenzarappresentatadallareaB2s2Cnelpiano(T,s).Siricordache(Qe)y>0inquanto entrantenelsistema.Questocalorenellarealtlegatoalleperdite,essendolatrasformazione adiabatica. Esso dato dalla relazione (2.16) che, per una trasformazione adiabatica diventa: ( ) 21Tds L Qw y e(3.17) edquindirappresentato,nelpiano(T,s),dallareasottesadallatrasformazione1-2.Nesegueche illavoropersocoincideconlareaB12C,inferiorealladifferenzatralavororealeelavoroideale ( )sh h2 2 ,mentrelarea212srappresentaquellochevienechiamatolavorodicontro-recupero. Ne risultaquindiche,percomprimereilfluidodallecondizioni1allecondizioni2,illavorospeso maggiorerispettoallasommatralavoroidealeelavoroperso.Laquotapartedilavoroche necessariofornirealfluidoillavorodicontro-recupero,dovutoalfattoche,mentresicomprime, ilfluidosiriscaldadipirispettoalcasoideale.Ilfenomenodelcontro-recuperoallorauneffetto termodinamicolegatoallavariazionedivolumespecificodurantelacompressione.Seinfattisi pensadiapprossimarelacompressioneconunaseriedicompressioniinfinitesimepj,coscome schematizzato in figura 3.3, il lavoro complessivamente speso pu essere cos approssimato: wNjj j wL p v L vdp L + + 121(3.18) essendovjilvolumespecificomediosulsingolointervallodicompressione.Eevidenteche,col procederedellacompressione,ilvolumespecificoaumentarispettoalcasoideale,acausadella generazionedicalorecausatadalleperdite.Ogniincrementoulterioredipressionerichiedequindi 3.5unlavoromaggiorerispettoallostepprecedente.Lentitdelcontro-recuperoquindifunzionedel rapportodicompressione.Quantopiilrapportodicompressioneelevato,tantomaggioresaril lavorodicontro-recupero.Essotuttavianonunaperdita,nelsensochenondipendedallabont con cui si realizza la macchina, ma insito nella trasformazione. Pervalutareleprestazionidiuncompressore,sidefinisceilrendimentodelcompressorecome il rapportotralavoroidealeelavororeale.Asecondadeltipoditrasformazioneconsideratacome trasformazione ideale, si distingue tra rendimento adiabatico e rendimento politropico: 1 21 2,h hh hLLsrsad c (3.19) ad crcr sryy cnnLL LLL, ,11 >+ (3.20) Figura 3.3: Il fenomeno del contro-recupero. Figura 3.4: rendimento adiabatico e rendimento politropico di compressione. 3.6incuilesponentedellapolitropicanmaggioredi.Sifanotarecome,adifferenzadiquanto avvieneperilrendimentoadiabatico,ladefinizionedirendimentopolitropicovalutiinmaniera correttaillavorodicontro-recupero.Illavorominimodelcompressoreinfatticalcolatotenendo contodelfenomenodelcontro-recupero.Nerisultaunadefinizionedirendimentoindipendentedal rapportodicompressionedellamacchina,chequindirisultaessereunostrumentopiadeguatoed affidabile per la valutazione ed il confronto delle prestazioni delle macchine. Daquantovistorisultacheilrendimentoadiabaticosempreminoredelrendimentopolitropico.E poi possibile ricavare una relazione che lega i due rendimenti: 1111,yad c (3.21) ilcuiandamentoriportatoinfigura3.4,dovesonotracciatelecurvediadinfunzionedi, con yaparametro.Inaccordoaquantodettoinprecedenza,sivedecomeilrendimentoadiabatico diminuiscaalcresceredelrapportodicompressione,acausadelfenomenodelcontro-recupero.Per 1, il rendimento adiabatico tende a quello politropico. Ilrendimentopolitropicotienequindicontosolodelledissipazionicheavvengonoallinternodella macchina, depurate degli effetti termodinamici (contro-recupero). Figura 3.5:Compressione inter-refrigerata. 3.2.2.Compressione inter-refrigerata Sivistocomeilminimolavorodicompressionesiaottenibiletramiteunatrasformazione isoterma.Siinoltreosservatocometaletrasformazionenonsiapraticabilenellarealt,le macchinerealizzandotrasformazioniadiabatiche.Cisichiedeallorase,tramiteopportunesoluzioni impiantistiche,siacomunquepossibileindividuareunaopitrasformazionichepermettanodi ridurreillavorodicompressione.Larispostalacompressioneinter-refrigerata,checonsiste nel suddividerelacompressioneinunaseriedicompressionielementari,intercalatedaraffreddamenti dellaria,coscomemostratoinfigura3.5,limitatamentealcasodiunatrasformazioneideale. Laria,aspiratadallambiente,vienedapprimacompressafinoallecondizioni2;entraquindiinuno 3.7scambiatoredicaloredovevieneraffreddatafinoallatemperaturaT2.Subiscequindiunaseconda compressionefinoallecondizioni3,ecosdiseguito.Sinotainoltrecheinfigura3.5sono trascurateeventualiperditedicariconegliscambiatori,percuiiprocessidiscambiotermico risultano essere a pressione costante. Eevidentecheillavorodicompressionetotalesarinferiorerispettoalcasosenzainter-refrigerazione,aparitdirapportodicompressionetotale;lasemplicedivergenzadelleisobare spiegainfatticomeconvengacomprimereatemperatureinferiori,equindiavolumispecifici minori.Perragionidicostiedilimitazionisullacomplicazioneimpiantistica,nellarealtsirealizza una, o al massimo due inter-refrigerazioni. Cichiediamooraseesistaunlivellodipressioneottimoacuisuddividerelacompressione.Perfare cicilimitiamoalcasodiunasolainter-refrigerazione,percuiinfigura3.5cifermiamoalpunto3. Siano1=p2/p1e2=p3/p2irapportidicompressionedeiduestadidicompressione.La definizionedellivellodipressioneottimop2,equivaleascegliereilvaloredi1cheminimizzail lavoro di compressione. Il lavoro di compressione ideale dato da: ( )11]1

,_

+

,_

+ 1 111 12 ' 2 1 1 T T R L L LII Is e(3.22) sapendoche 1 2 , con =p3/p1 parialrapportodicompressioneglobale,eimponendoche sia nulla la derivata del lavoro rispetto a 1, si ricava: ( )( ) 1 21' 2110

,_

TT Ls e(3.23) Sifanotareche,seloscambiatoredicaloreriportalariainingressoalsecondostadiodi compressioneallastessatemperaturacheavevainingressoalprimo(T2=T1),coscomeavviene in figura 3.5, allora la relazione (3.23) si riduce a: 1(3.24) 3.2.3.Turbina Quantodettoperilcompressore,valeovviamenteancheperlaturbina.Quindilatrasformazione che avviene in turbina adiabatica, per cui vale: ( ) ( )2 1 2 1h h h h Lt t e (3.25) Conriferimentoalletrasformazionitracciateinfigura3.6,consideriamodapprimailcaso isentropico. In maniera del tutto analoga a quanto fatto per il compressore, si ottiene che: ( ) ( )s p s s eT T C h h L2 1 2 1 (3.26) Introducendolarelazionevalidaperletrasformazioniisentropichesiricava,avendochiamatoil rapporto di espansione = p1/p2: ( )

,_

11111RT Ls e(3.27) Ancheinquestocaso,possibileindividuaregraficamenteilavoriscambiatiattraversolearee sottesedalletrasformazioni:lareaM12sNnelpiano(p,v)elareaA01Bnelpiano(T,s),entrambe tratteggiate in figura 3.6. Nel caso reale, il lavoro diventa: 2 1h h Le (3.28) 3.8checorrispondeallareaC01Bnelpiano(T,s).Approssimandoancoralatrasformazionerealecon una politropica reversibile di esponente n, si ottiene: Figura 3.6: espansione adiabatica. ( )

,_

nn y eRTnnL11111(3.29) che,nelpiano(p,v),rappresentatodallareaM12N.Sinotacomeorailvolumespecificonel punto di fine espansione reale sia maggiore rispetto al caso ideale. Oppure: ( ) ( ) ( )y e p y eQ T T C h h L + 2 1 2 1(3.30) Ancheinquestocaso,ilcalorescambiatoreversibilmenteconlesternoinrealtgenerato internamenteacausadelledissipazioni.Essoquindivale,essendolatrasformazionenellarealt adiabatica: ( ) 21Tds L Qw y e(3.31) ed rappresentato dallarea B12D nel piano (T,s). Cerchiamoancheperlaturbinadiindividuareneidiversipianilareacherappresentaladifferenza tra il lavoro reale e quello ideale. Nel piano (p,v) si ha: ( ) ( )wswsr e s eL vdp vdp L vdp vdp L L +

,_

+ + 21212121(3.32) Comesidettoinprecedenza,illavoropersononchiaramenteindividuabilenelpiano(p,v), mentreladifferenzatragliintegralitraparentesicoincideconlarea212s.Consideriamoallorail piano (T,s), sapendo che, in questo piano, il lavoro reale scambiato corrisponde allarea C01B: v P P1 P2 M 2s 2 N LR 1 2s 1 P1 P2 s h Ls 2 Lr s 2s 2 P1 P2 T 0 LwBA 1 D LR Lr 0 C 3.9( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )y e y e s e y e y e s e r e s eQ L L Q L L L L + + (3.33) essendoQep1),larelazione(3.41)dicechesideve decelerare(V2 A1), realizzando quindi un diffusore oSesivuoleottenereunespansione(p1>p2),larelazione(3.41)dicechesideve accelerare(V1 1 oNonvariaillegametrapressioneevelocitmentrecambiaquellotravelocite sezioni.Allora,sesivuoleespanderesideveancoraaccelerare,maperacceleraresi deve ora realizzare un condotto divergente e viceversa. Riferendosiallequazione(3.39),sivedeinoltrecheunfluidopuessereconsiderato incomprimibile (d/ trascurabile) quando M 0.3 0.4. In tal caso, la relazione (3.42) diventa: VdVAdA (3.43) ManmanocheilnumerodiMachsale,levariazionididensitconseguentiadaccelerazionio decelerazionidelflussodiventanosemprepiimportanti,finoarichiederevariazionidisezione dA/A sempre maggiori. Sifainfinenotareche,perpassaredaunregimeallaltro,lunicapossibilitutilizzareuncondotto convergente - divergente, come mostrato in figura 3.8c. Applichiamolaconservazionedellenergiaespressadalla(3.1)aunodeicondottidifigura3.8, sapendo che il processo adiabatico e senza scambio di lavoro: 2 1 t th h (3.44) 3.12 Figura 3.8: conformazione dei condotti. Figura 3.9:Andamento dello strato limite su superfici di condotti divergenti. Figura 3.10:Separazione del flusso in un canale altamente divergente. Nederivache,qualunquesialatrasformazione(realeoisentropica),lentalpiatotalesiconserva tra ingresso e uscita di un condotto fisso. Eopportunonotarecheicondottidivergentiinpresenzadiflussosubsoniconondevonopresentare angolidiaperturaeccessivi,alfinedievitarepossibiliseparazionidelflusso,checomporterebbero linsorgere di notevoli perdite. 1 2 2 1 a) b) c) 12 3.13Comeinfattimostralafigura3.9,inpresenzadidecelerazionedelflusso,selacurvaturadella pareteeccessiva,lostratolimitepusepararsi(alpuntoDinfigura3.9),creandounazonaad elevateperdite.Lostessofenomenobenevidenziatodallafigura3.10.Ilflussocheattraversail condottovedrareechecresconoinmisurainferioreaquantoimpostodalleparetifisichedel condottostesso,acausadellapresenzadellazonaseparata(figura3.10).Ilflussoquindiuscirdal condottodotatodiunapressioneinferiorerispettoaquellapercuiilcondottoerastatoprogettato. Questafenomenologiasipresentatuttelevoltechesivuoledecelerareilflusso,evedremoche laspetto che pi limita le prestazioni dei compressori. 3.3.2.Condotti mobili Sivistocomeunamacchinaafluidosiacompostadaunaparterotante,dettarotoreogirante,eda una parte fissa, detta statore.Irotoridellemacchineafluidocompionounmotorotatoriointornoallassedellamacchina. Supponendochefunzioniaregime,sipuritenerechelepartimobilisimuovanoallavelocitU, detta velocit periferica o di trascinamento: 60Dnr U (3.45) essendo la velocit angolare (rad/sec), r il raggio, n il numero di giri (giri/min) e D il diametro. Linsiemedeidue,rotoreestatore,formaquellochevasottoilnomedistadio.Infigura3.11viene schematicamenterappresentatounostadiodicompressorecentrifugo,conevidenziateletraccedelle paledelrotoreedellostatore.Unosservatorefissovedelesuperficidelrotoremuoversialla velocitUeilfluidocheentranellamacchinadotatodiunavelocitassolutaV1.Unosservatore postonelsistemadiriferimentorelativosolidalealrotore,vedeleparetidellamacchina(rotore) fermeeilfluidoiningressoalrotoredotatodellavelocitW1, dettavelocitrelativa.Letrevelocit sono tra loro legate dalla relazione vettoriale: W U V + (3.46) che prende il nome di triangolo delle velocit, ed rappresentato in figura 3.11 in basso.Figura 3.11: Stadio di Compressore centrifugo a pale radiali con diffusore palettato. pala del rotore pala dello statore 3.14Alluscitadelrotore,ilfluidodotatodiunavelocitrelativaW2,direttacomelatangentealbordo duscitadellapala.Inparticolare,nelcasodifigura3.11,essa direttasecondoladirezioneradiale. Perunosservatorefisso,chevedeilrotoreruotareallavelocitperiferica,ilfluidolasciailrotore dotatodiunavelocitV2,chesiottienecomponendovettorialmentelavelocitrelativaconquella perifericaU2,coscomeespressodalla(3.46).Lostatorevedeallorainingressounflussodotatodi unavelocitV2che,alluscita,sisarridottaalvaloreV3.Sifanotarecomeiltriangolodivelocit alluscitadelrotorenongiaccianellostessopianoincuistatotracciatoquelloiningressoalrotore stesso.Infatti,ilflussoiningressoalrotoresimuovenelpianoassialetangenziale,mentre alluscita giace nel piano radiale tangenziale. Figura 3.12:Sistemi di riferimento assoluto e relativo. Perunosservatorepostonelsistemadiriferimentorelativo,ilflussopermanente,nonclavoro scambiatotrafluidoemacchina,perchleparetidellamacchinasonoferme,mentrecompareun terminedienergiapotenzialeassociatoalcampodiforzecentrifughe,chesonoforzedivolumeche dipendono dalla non inerzialit del sistema di riferimento.Quandosiconsideraunriferimentoinmotorelativorispettoallosservatoreinerziale(figura3.12), laccelerazionechecomparenellintegraledivolumeaprimomembrodellequazionedi conservazione della quantit di moto (2.5) diventa: ( ) W R Rdtddtr ddtW ddtV d + + + + 222(3.47) dove dtW dlaccelerazionerelativa, 22dtr dlaccelerazionedelsistemadiriferimentonon inerziale(accelerazionelineare),Rdtdlaccelerazionetangenziale,( ) R laccelerazionecentripetaeW 2 dettaaccelerazionediCoriolis.Inoltre,r rappresentala distanzadalloriginedelsistemainerziale, lavelocitangolarerispettoalsistemainerziale, mentreR ilvettoreposizionerispettoalloriginedelsistemanoninerziale.SifanotarecheR nonaltrochelavelocitditrascinamentoU.Nellipotesicheilsistemadiriferimentoofermoo ruota con velocit angolare costante nel tempo, la (3.47) diventa: ( ) W RdtW ddtV d + + 2 (3.48) dovegliultimidueterminirappresentanorispettivamentelaforzacentrifugaelaforzadiCoriolis. Taliforzesonovistedallosservatorenoninerziale.Sonodueforzedivolumecheprimanon cerano. Ora laa m F , scritta per un osservatore non inerziale, le comprende. 3.15Passandodalleforzealleenergie,iltermineW 2 noncontaperlosservatorenoninerziale, essendodirettoortogonalmenteaW ,equindinoncompielavoro.Laforzacentrifugainvece scambia lavoro, e ad essa pu essere associato un potenziale centrifugo 2202URdR ERp . Nellequazionediconservazionedellenergianelsistemarelativoperflussomonodimensionale compare quindi un nuovo termine legato al campo centrifugo: ( )2 2212221221 2U U W Wh h Q Le e+ + (3.49) Ricordandoche,nelsistemarelativo,leparetisonofermeequindinoncscambiodilavoro,eche comunqueilflussoadiabatico,lequazionediconservazionedellenergianelsistemarelativo assume la forma seguente: 2 2 2 22222221211U WhU Wh + + (3.50) doveoraipedici1e2siriferisconoallesezionidiingressoeuscitadalrotore.Sidefinisceentalpia totale relativa o rotalpia il trinomio: 2 22 2U Wh htr + (3.51) Nel rotore quindi si conserva lentalpia totale relativa: 2 , 1 , tr trh h (3.52) Sostituendolarelazione(3.50)nellequazionediconservazionedellenergiaperilsistemadi riferimentofisso(3.37),tenutocontodella(3.44)chepostulalaconservazionedellentalpiatotale nello statore, per una macchina operatrice si ricava: 2 2 2 2) (21222221212221221 2 1 2 1 3U U W W V V V Vh h h h h h Lt t t t e+++ (3.53) avendoindicatoconilpedice3lasezionediuscitadallostatore,equindidallostadioedalla macchina. Analogamente, per una macchina motrice si ottiene: 2 2 2 2) (22212122222122212 1 2 1 2 0U U W W V V V Vh h h h h h Lt t t t e+++ (3.54) dove con 0 si questa volta indicata la sezione di ingresso allo statore, e quindi alla macchina. Figura 3.13 r t ax 3.16Lerelazioniappenaricavatesonodeltuttogeneriche,nelsensochevalgonoqualunquesiala direzionedelflussoallinternodellamacchina,assiale,mistooradiale.Lultimotermine,legato allazionedellaforzacentrifuga,diversodazerotuttelevoltecheidiametriiningressoeduscita dallamacchina,odallostadio,sonodiversitraloro(D1D2).Sesiconsideraunamacchina operatriceaflussomistooradiale,perchilcampodiforzecentrifugocontribuiscaalla compressione,opportunocheU2>U1,equindicheD2>D1eciochelamacchinasia centrifuga.Viceversaperunamacchinamotrice,cheintalcasosidicecentripeta. QuandoD1 = D2 equindiancheU1=U2,lultimoterminesiannullaesidicechelamacchina(motriceooperatrice) aflussoassiale.Sifanotarecome,nellemacchinecentrifughe,lultimoterminenelleequazioni (3.53) e (3.54) diventi preponderante rispetto agli altri due. Ilsistemadiriferimentonormalmenteutilizzatonellemacchineunsistemadiriferimento cartesiano(figura3.13)incuiitreassihannoleseguentidirezioni:direzioneassiale,coincidente conlassedirotazionedellamacchina,radialeetangenziale,orientatonelladirezionedellavelocit periferica. Si individuano quindi le seguenti componenti della velocit: Assiale: ax axW V Radiale: r rW V (3.55) Tangenziale:U W Vt t+ Questerelazionisiottengonoproiettandolarelazionevettoriale(3.46)nelletredirezioniassiale, radialeetangenziale,ricordandochelavelocitperifericaU hacomponentenonnullasoloed esclusivamenteindirezionetangenziale.Sostituendoquesterelazioninelleequazioni(3.53)e(3.54) si ricava, ad esempio nel caso di macchina operatrice: ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )2 22 2 22 2 21 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2212222212122U U V V V V U UU U U U W W W W V V V VU U W W V VLt t t tt t t t t t t tt t t te ++ + ++ + +++(3.56) essendo( ) ( )1 2 1 2 1 2U U W W V Vt t t t + . Con semplici passaggi si ricava infine: t t euV U V U L1 1 2 2 macchina operatrice(3.57) Analogamente, nel caso della turbina si ottiene: t t euV U V U L2 2 1 1 macchina motrice(3.58) Inquestaespressione,chevasottoilnomediLavorodiEulero,lecomponentitangenzialidella velocithannosegnopositivosesonodirettecomelavelocitperifericaU.Siricordainfinecheil Lavoro di Eulero il lavoro reale scambiato dal fluido con la macchina. 3.4. Forze scambiate tra fluido e macchina e Lavoro Euleriano IlLavorodiEuleropuesserecalcolatoancheapartiredallequazionediconservazionedella quantit di moto (2.7). Sivuolecalcolareillavoroscambiatotrafluidoemacchina,risultantedallazionemeccanica esercitatadalfluidosulleparetimobilidellamacchina.Consideriamoilcasodiunamacchina motrice, e che valgano le ipotesi seguenti: Moto permanente Superfici assialsimmetriche Azione del peso trascurabile ( 0 G ) 3.17Consideriamoilvolumedicontrollorappresentatoinfigura3.14,cherappresentauncondottoche ruotaintornoaunassedirotazioneadunavelocitangolarecostante.Lasuperficiechedelimita ilvolumedicontrollounasuperficieorientata,percuiessaindividuatadalversoretangentealla superficiet edalversorenormaleallasuperficien ,positivoseuscentedalsistema.Talesuperficie puesserescompostatrasuperficimobiliA(lasuperficiepalare),esuperficidiinterfaccia,le sezioni di ingresso ed uscita A1 e A2 in figura 3.14. Esso invece non contiene superfici fisse. Inaccordoconlequazione(2.6),leforzeagentisulvolumedicontrollo,conleipotesifatte, consistononelleazionidelcampodipressioneedeglisforziditagliosullesolesuperficimobiliAm della macchina: + m mA AdA pdA n F (3.59) dove il vettore degli sforzi viscosi diretto parallelamente alla superficie: t (3.60) Percalcolarelapotenzacedutadalfluidoallamacchina,necessariovalutareilmomentoesercitato dalfluidorispettoallassedirotazione.Lacoppiaallalberoa C risultadallazionedelle componentidelleforzedirettelungoladirezionetangenziale.Essavienecalcolatamoltiplicando vettorialmenteogniterminedellequazionedellaconservazionedellaquantitdimoto(3.55)peril vettorerr, che rappresenta la distanza del punto considerato dallasse di rotazione della macchina: + m mA Aa dA r t dA p r n C (3.61) Ilcalcolodiforzeemomentitramitelapplicazionedirettadelleequazioni(3.59)e(3.61)alquanto difficoltoso,inquantopresupponelaconoscenzadellandamentodituttelegrandezze fluidodinamicheetermodinamichelungotuttelesuperficimobilidellamacchina.Eperpossibile calcolarliinmanieraindiretta,comefunzionedellegrandezzetermo-fluidodinamichenellesole sezioni di ingresso e uscita, partendo dallequazione di conservazione della quantit di moto. Consideriamoancorailvolumerappresentatoinfigura3.14,eapplichiamoilprincipiodi conservazione della quantit di moto con le ipotesi precedenti. La relazione (2.7) fornisce: ( ) + A A AdA pdA n dA n V V (3.62) Figura 3.14: Sezione assiale di un volume di controllo assialsimmetrico. 3.18SuddividendogliintegralitrasuperficifisseAf, mobiliAmesuperficidiinterfacciaA1eA2,tenendo contodella(3.59)edellipotesidisuperficiassialsimmetriche,siricavalaforzachescambianole superfici mobili della macchina con il fluido: + + + + 2 1 2 1 2211222 111 222 1112 1A A A A AAAAdA t dA t dA n p dA n p dm V dm V F (3.63) essendodA n V dmA laportatainfinitesimacheattraversalasezioneelementaredA.Sinota comela(3.63)permettaorailcalcolodellarisultantedelleforzescambiatetrafluidoeorgani mobilidellamacchinaconoscendolostatotermo-fluidodinamicodelfluidonellesolesezionidi ingressoeuscita.Setalisezionisonosufficientementelontanedallepale,ladistribuzionedi velocitsutalisezionipuessereconsideratasufficientementeuniformedapotertrascurarelazione degli sforzi viscosi. In questo caso la relazione precedente diventa: + + 2 1 2211222 1112 1A A AAAAdA n p dA n p dm V dm V F (3.64) Seinfinesiconsiderailflussonellesezionidiingressoeuscitamono-dimensionale,lequazione integrale(3.64)cheforniscelarisultantedelleforzescambiatetrafluidoemacchinasiriduceauna semplice equazione vettoriale: ( )222 1112 1 A n p A n p V V m F &(3.65) doveilprimoterminedopolugualerappresentalavariazionediquantitdimotodelfluidotra ingressoeduscitadellapalettatura,eglialtriterminisonoleforzedovutealcampodipressione agente sulle superfici di ingresso ed uscita. Lerelazioni(3.64)e(3.65)vengonocomunementeusateperilcalcolodellaspintaesercitatadal fluido sulle pale, necessaria in fase di progetto e verifica meccanica e strutturale. Siricordachela(3.64)stataricavataimponendolaconservazionedellaquantitdimotoaun sistema fluido che soddisfi le seguenti ipotesi: Moto permanente Superfici assialsimmetriche Effetti dellazione del peso trascurabili Azioni viscose sulle superfici di ingresso A1 e uscita A2 trascurabili. Larelazione(3.65)invecevalidase,alleprecedenti,vieneaggiuntalipotesidiflussomono-dimensionale (1D). Inmanieradeltuttoanalogasicalcolalacoppiaesercitatarispettoallassedellamacchina aC . Applicandoilrotoreallequazionediconservazionedellaquantitdimoto,eutilizzandoleipotesi precedenti si ricava: 22112 1AAAAa r dm V r dm V C (3.66) essendolacoppiaesercitatadallapressionesullesuperficiA1eA2nulla,perlipotesidi assialsimmetria. Se si aggiunge lipotesi di monodimensionalit, la relazione precedente diventa: ( )t m t m aV r V r m C2 2 1 1 &(3.67) dove rm il raggio medio della sezione. Incondizionidiregime,lesuperficibagnateruotanoallavelocitcostante.Lapotenzascambiata dal fluido con la macchina, con le ipotesi fatte vale: ( )t t aV U V U m C P2 2 1 1 & (3.68) ed infine, il lavoro specifico allunit di massa scambiato tra fluido e palettatura diventa: t tV U V UmPL2 2 1 1 &(3.69) 3.19deltuttoidenticaallespressionedelLavorodiEulerofornitadalla(3.55).Siricordacheessa permettedicalcolareillavororealescambiatotrafluidoepalettatura.Inmanieradeltuttoanaloga si procede nel caso di macchina operatrice. Lerelazionivistesonostateottenuteimponendoalcuneipotesisemplificatrici,tracuilapi restrittivastataquelladiconsiderareilflussomono-dimensionale.Avallediunaschierainfattiil flussobenlungidallessereuniforme,acausadellapresenzadellesciedellepale,comemostrail graficodifigura3.15dovevieneschematicamenteriportatolandamentodellavelocitadiverse distanzedallasezionediuscitadellaschiera.Comemostratoinfigura,ilflussotendeaduniformarsi procedendoversovalle.Allinternodellamacchinalassunzionediflussouniformenonalloraa rigoriverificata,acausadellimitatospazioesistentetrarotoreestatore,etrastadisuccessivi,nel casodimacchinemulti-stadio.Tuttavia,lerrorechesicommettepiccolo,risultandoquindiinun approcciogeneralmenteapplicabile,chedutiliinformazionisugliscambidilavorocheavvengono allinterno della macchina, fornendo nel contempo uno strumento di semplice e immediato utilizzo. Figura 3.15. Rappresentazione schematica dello sviluppo dello strato limite sulle superfici palari e delle scie in una schiera piana. 3.203.5. Analisi mono - dimensionale di uno stadio Neiparagrafiprecedentisiintrodottoilconcettodistadio,compostodaunorganofisso,detto statoreodistributore,edaunomobile,dettorotoreogirante.Nellemacchineidrauliche,spessola singolamacchina,pompaoturbina,compostadaununicostadio.Viceversa,nelleturbinea vaporeeagas,coscomeneicompressori,spessosihannopistadiinseriechevannoacostituire larchitetturadellamacchina.Entrambiicomponentisonocostituitidaunaseriedipaleaffiancatea formareicondottipalari,dettaschieraopalettatura.Unesempiodipalettaturerotorichediun compressore assiale riportato in figura 1.10. Lageometriadellemacchineafluidoaltamentetridimensionale,coscomeilflussocheinesse evolve.Etuttaviaspessoapplicabile,inprimaapprossimazione,unapprocciomono- dimensionale,inmanieradeltuttoanalogaaquantostatofattoperdeterminareilLavoro Euleriano.Consideriamoquindichesianovalideleassunzionifatteinprecedenzaequidiseguito riportate: Moto permanente Superfici assialsimmetriche Effetti dellazione del peso trascurabili Azioni viscose sulle superfici di ingresso e uscita trascurabili. Vediamomegliocomenellarealtpuessereschematizzatalageometriadiunagenerica palettatura, per poter ritenere applicabile lipotesi di moto monodimensionale. Conriferimentoallafigura3.16,supponiamodieffettuareunasezionedellamacchinalungola superficieS1.Questasuperficiesiestendeindirezionetangenzialesututtii360:AB,CDeEF sonoletraccedellasuaintersezioneconlepale.Cichesiottiene,nelcasodimacchinaaflusso misto,lasuperficiedirivoluzionedifigura3.17,checonsideriamoassialsimmetrica.Nelcaso particolaredimacchinaassiale,S1unasuperficiecilindrica,coscomeriportatoinfigura3.18. Comunquesia,ognipuntoappartenenteallasuperficieS1distadallassedirotazionedirm,definito come: 2b amr rr+ (3.70) dettoraggiomedio,doverailcorrispondenteraggioallapicedellapala(ilpuntoLinfigura3.16) erbquelloallabase(ilpuntoKinfigura3.16).Sifanotarecomeilraggiomedio,nellapproccio 1D siaquellochedivideinduelaportata,equindilasezionedipassaggio.Epoipossibiledefinire,nel casodimacchinaaflussomisto(figura3.17),unacoordinatacurvilineailcuiversoresiatangentein ognipuntoallasuperficieS1.Questacoordinataindividualadirezionemeridiana.Nelcasodiuna macchina assiale, la coordinata meridiana coincide con la direzione assiale. Nelcasodimacchinaassiale(figura3.18),poipossibiletagliarequestasuperficiecilindrica, srotolarlaeadagiarlasuunpiano.Ilrisultatoditaleoperazionedettopiano intrapalareo blade toblade,edriportatoanchessoinfigura3.18.Sonochiaramenteindividuabiliicanalicheil fluidodevepercorrere,delimitatidallesuperficidellepale.Persemplicit,solopochepalettesono riportateneldisegno.Perrispettarelacondizionediperiodicitdelflusso,sarebbenecessario disegnarneunnumero.Lostessoprocedimentopuessereeffettuatosiaperilrotore,siaperlo statore, indipendentemente dal tipo di macchina, motrice o operatrice. Einfinepossibileindividuareunaltrasuperficie,semplicementeandandoatagliarelamacchina secondounpiano(r,z),essendorilraggioezladirezioneassiale.Ilpianocosindividuatodetto pianomeridiano.Unesempiolasuperficiedifigura3.19,chefariferimentoadunaturbina assiale multi-stadio. Lapprocciomonodimensionalepualloraessereapplicatoallemacchineassiali,nellipotesiche qualunquegrandezzatermofluidodinamicavariunicamentelungolacoordinataassiale,ealle macchine a flusso misto, supponendo che esse varino solo lungo la coordinata curvilinea meridiana. 3.21 Figura 3.16. Figura 3.17. Superficie di flusso assialsimmetrica. Applichiamooralequazionediconservazionedellaportataallagenericapalettatura,supponendo valide le ipotesi richiamate in precedenza: 2 2 2 1 1 1A V A Vm m (3.71) avendoindicatoconilpedicemlacomponentedivelocitnormaleallasezionedipassaggio,detta componentemeridianadellavelocit.Perunamacchinaassiale,comequellarappresentatain figura3.19,ilsensodiattraversamentodellamacchinacoincideconladirezioneassiale,percuila componentedivelocitresponsabiledeltrasportodimassalacomponenteassiale.Inuna macchinaradialeinvece,lacomponentedellavelocitresponsabiledeltrasportodimassaattraverso la macchina coincide con la componente radiale della velocit. Sifanotarecome,graziealleipotesifatte,ilpianointrapalaresiainteressatounicamentedagli scambidienergia.Infatti,nellequazionediEulerocomparesololacomponentetangenzialedella velocit,oltreallavelocitperiferica,mentrenellequazionediconservazionedellaportatacompare unicamente la componente meridiana. 3.22 Figura 3.18. Trasformazione di una superficie di flusso assialsimmetrica in una schiera Figura 3.19. Turbina assiale multi stadio: piano meridiano. Vediamooradientrarepineldettaglionelmeritodicomedevonoessererealizzatelepaletteche definisconoicondottipalaricheilfluidoattraversa.Lageometriadellasingolapalavienedefinita dandolandamentodellalineamedia,ininglesecamberline,elaleggedivariazionedellospessore delprofilolungotalelineamedia,coscomeriportatoinfigura3.20.Sifanotarecomelacamber line sia definita come la linea che unisce i centri dei cerchi inscritti nel profilo, e ad esso tangenti. 3.23Figura 3.20. Geometria di una pala. Infigura3.20vieneinoltreindicatalacordacdiunprofilocomeladistanzatraleduetangentiagli estremidelprofilo,quandoquestosdraiatoconlaconcavitversoilbasso.Talelatodellapalasi chiamaventre,ointradosso,oancoralatoinpressione(pressureside),mentreillatoconvesso dettodorsooestradossooancoralatoindepressione(suctionside).Unultimoparametroche permette di definire pienamente una pala la sua altezza l. Unavoltadefinitoilprofilopalare,ilpassosuccessivoconsistenellindividuareiparametrichene descrivonolamessainschiera.Conriferimentoallafigura3.21,chesiriferisceadunaschieradi compressoreassiale,sidefiniscepassotladistanzatraibordiduscita(trailingedge)diduepale successive.Sempreinfigura3.21sonoindicatidiversiangoli:langolodincidenzaitralatangente allalineamediaincorrispondenzadelbordodattacco(leadingedge)eilvettorevelocitin ingresso,langolo1trailvettorevelociteladirezioneassiale,langolodicalettamentotrala cordaeladirezioneassiale,langolo2trailvettorevelocitinuscitadellaschieraeladirezione assiale,elangolodideviazionetrailvettorevelocitelatangenteallalineamedianelbordo duscita.Infigura3.21vieneusataunaconvenzionesulladefinizionedegliangolirispettoalla direzioneassiale.Nullavietadidefiniregliangoli1e2rispettoalladirezionetangenziale. Limportante fissare unorigine e un senso positivo e conservarli in tutte le sezioni. Eopportunoinfinedirecheesistonodueparametria-dimensionalifondamentalinelladefinizione diunaschierapalare,qualunqueessasia,dicompressoreoturbina,distatorepiuttostochedirotore. Questiparametrisonoilrapporto passo cordat/c(ilsuoinversodettosolidity, ed indicato con ) e quello che, con terminologia anglosassone, viene chiamato aspect ratio l/c. Consideriamodiavereachefareconunfluidocomprimibile,comeariaovaporesurriscaldato,e applichiamoquantovistoinprecedenzaalcasodiunostadiodicompressoreprima,editurbinapoi. Vedremo in ultimo il caso delle macchine idrauliche. Eopportunoquiricordarechelipotesiditrascurareglieffettidellaviscositnellesezionidi ingressoeuscitadellapalettaturaimplica,comevistoinprecedenza,chetalisezionisitrovino sufficientementelontanodallapalettaturastessa,ecialfinedipoterconsiderareilflussouniforme 3.24intalisezioni.Latrattazionechesegueassumeinfine,oltrealleipotesiprecedenti,cheilflusso seguaperfettamentelasuperficiedellapala,senzachesiverifichinodistacchidellostratolimiteo comunquedeviazionidelflusso.Ciimplicachegliangolidiincidenzaedideviazionesaranno considerati nulli. Figura 3.21. Geometria di una schiera rappresentativa di un rotore di un compressore assiale. 3.5.1.Stadio di Compressore Lafigura3.22riportainmanieraschematicaipianimeridianoeintrapalarediunostadiodi compressoreassiale,incuipossibileindividuarelatracciadelrotorecheprecedelostatore.Si indichicon1lasezioneiningressoalrotore,con2lasezionediuscitadalrotoreediingressonello statoreecon3lasezionediuscitadallostatore.Lafigura3.11riportainveceilcasoanalogoperun compressore centrifugo. Nellasezionediingressoalrotore,sequestoilprimorotoreallingressodellamacchina,la velocitassolutaV1direttalungoladirezioneassiale,qualunquesialamacchina,assialeoradiale. Seinveceunostadiointermedio,lasuadirezionesarimpostadaglistadiprecedenti.Un osservatoresolidaleconilrotore,equindiappartenentealsistemadiriferimentorelativo,vedrin ingressounflussodotatodiunavelocitW1.Conlaconvenzioneutilizzatainfigura3.22,gliangoli delflussosonocalcolatirispettoalladirezioneassiale:langolo1(negativo)trailvettorevelocit relativaeladirezioneassialeelangolo1(positivo)trailvettorevelocitassolutaeancorala direzione assiale. Alluscitadelrotore,ilfluidodotatodiunavelocitrelativaW2che,perleipotesifatte,diretta comelatangentealbordoduscitadellapala.Inparticolare,nelcasodifigura3.11,essadiretta secondoladirezioneradiale.PercalcolarelavelocitditalefluidonelsistemaassolutoV2,basta comporrelavelocitrelativaconquellaperifericaU2.Epoipossibiledefinireunangolodelflusso relativo 2 e un angolo del flusso assoluto 2, cos come stato fatto nella sezione di ingresso. Alluscitadellostatore(diffusorenelcasodicompressorecentrifugo)ilfluidosegueperfettamente lapala.EssosardotatodiunavelocitassolutaV3.Talevelocitsarlavelocitdiscaricodalla macchina,sesitrattadiunamacchinamonostadiooselostadioinoggettolultimo;sarinvecela velocitiningressoallostadiosuccessivonelcasodistadiointermedio(percompressoriassiali).In questocaso,lapaladelrotoreappartenenteallostadiosuccessivodovressereconformatain 3.25manierataledaavereilnaso(bordodattacco)orientatosecondoladirezionedellavelocitrelativa W3,ottenutacomponendolavelocitassolutaconquelladitrascinamento.Itriangolidivelocit nelle diverse sezioni della macchina sono riportati in figura 3.11 e 3.22. Figura 3.22: Stadio di Compressore assiale Applichiamooralequazionediconservazionedellamassa,coscomeespressadalla(3.71),tra ingresso ed uscita dello stadio, nel caso di macchina assiale: 3 3 3 1 1 1A V A Vax ax (3.72) Assumendochelacomponenteassialedellavelocit,responsabiledeltrasportodimassa,si mantengacostante,perchlaportatasiconservialloranecessariochelesezionidipassaggio diminuiscano, cos come evidenziato in figura 3.22. Nel caso di macchina centrifuga, la conservazione della portata fornisce: 3 3 3 1 1 1A V A Vr ax (3.73) dacui,apriori,nonpossibiledefinireunlegameunivocotravariazionedidensitevariazionidi sezione lungo la compressione. Guardandoorailpianointrapalare(bladetoblade),anchessoriportatoinfigura3.11e3.22,sinota comeilfluidoincontrisezioniviaviacrescenti,sianelrotoresianellostatore.Ilrotoreprecedelo 3.26statore,avendoilcompitoditrasformarelenergiameccanicaresadisponibileallalberodella macchinainenergiacineticadelflusso(V1V0).Assuntochesiconservi lacomponenteassialedellavelocit(V0ax=V1ax),siricavachelangolodiuscitadeveessere minore dellangolo di ingresso (calcolati rispetto alla direzione tangenziale): 0 110011sinsin < < VV(3.93) 3.32Ilrotorericeveriningressounflussoadaltavelocit(nelsistemaassoluto),enetrasformer lenergiacinetica,elarestantequotapartedienergiadipressione,inenergiameccanicadisponibile allalberodellalternatore.Ilflussolascerquindiilrotoreconunavelocitassolutainferiore(V2< V1),maconunavelocitrelativamaggioreouguale,asecondacheabbiaomenoconvertitoanche energia di pressione (W2 W1), e deviata rispetto alla direzione tangenziale: 1 221121sinsin < < WW(3.94) Figura 3.27: Canale palare di Turbina: variazione delle sezioni di passaggio. Nelcasodimacchinaradialevalgonolestesseconsiderazioniriguardantilevelocit(V1>V0nel distributoreeW2>W1nelrotore),mentrenonpossibilederivareleggigeneralisullandamento degliangolidelflusso,essendoitriangolidivelocitinuscitadallostatoregiacentenelpiano radiale tangenziale, e in uscita dal rotore appartenente al piano assiale tangenziale. Qualunquesialatipologiadimacchinamotriceconsiderata(assialeoradiale),perchsirealizzino lesuddettetrasformazioni,suppostoilregimediflussosubsonico,icondottidelimitatidalle superficipalaridevonoessereconvergenti,coscomeevidenziatoinfigura3.27perunamacchina assiale,dovesinotaladiminuzionedellasezionedipassaggio,chepassadaA1iningressoaA2 in uscita.Questoverosiaperlostatore,siaperilrotore.Questorisultatoovvio,sesipensaalla formadellequazionedellenergiadatadalla(3.54),percui,sesivuoleottenerelavoro,deveessere V2 < V1 e W2 > W1. Epoipossibiletracciarenelpiano(h,s)letrasformazionirealizzatenellostadio.Conriferimento allafigura3.28cheriportailcasodiunamacchinaassiale(U1=U2),consideriamoinizialmentele trasformazioniisentropiche(lafigura3.29riportalanalogocasodimacchinaradiale).Conquesta ipotesi,latrasformazioneseguelalineaverticale0-1s-2s,avendoancoraindicatocon0lingresso allostatore,con1lingressoalrotoreecon2luscitadallostadio.Supponiamonotelecondizioni delflussoiningressoallostadio(p0,T0,0,h0,V0,ht0).Latrasformazione0-1savvienenello statore,percuiht0=ht1s.Senotoillivellodipressionep1,allorapossibileindividuareancheil livello entalpico h1s ed infine la velocit assoluta di uscita dallo statore V1s, essendo: 2211 1 , 0ss s t tVh h h + (3.95) 3.33Inquestecondizioni,ecionelcasodiflussoisentropicoinassenzadiscambiodilavoro,si conserva anche la pressione totale: s t tp p1 , 0 (3.96) Ilpunto1scostituiscelingressonelrotore;spostandosinelsistemadiriferimentorelativo, possibilecalcolarelavelocitrelativaW1s,notalavelocitperifericaU1.Equindiimmediatoil calcolo,elindividuazioneneldiagramma(h,s),dellentalpiatotalerelativahtr,1s.Talegrandezzasi conservaallinternodelrotore,percuihtr,1s=htr,2s.Notoillivellodipressionealloscaricodello stadiop2elavelocitperifericanellasezionediuscitaU2,infinepossibilecalcolarelavelocit relativa di uscita dal rotore W2s: 2 222222 2 , 1 ,U Wh h hss s tr s tr + (3.97) Ladistanzatraiduelivellidientalpiatotaleacavallodelrotorefornisceinfineillavoroideale scambiato tra fluido e macchina: s t s t s t t sh h h h L2 , 1 , 2 , 0 (3.98) Nelcasoincuiilfluidoevolventesiaungasperfetto,possonoessereusatetuttelerelazionivistein precedenza,relativamentealcalcolodellavorodiespansione,fermorestandoilsignificatodei pedicieilfattocheleespressioniricavatenelparagrafo3.2.2vannomodificatepertenereconto dellavariazionedienergiacineticatraingressoeduscitadellamacchina.Larelazione(3.27) assume ora la forma seguente:

,_

11 ,111ts t sRT L (3.99) essendot=pt1/pt2.Sifainfinenotarecomelarelazioneprecedentetorniacoincidereconla(3.27) nelcasoincuilostadiosiaripetitivo,ilcheavvienequandolavelocitassolutainingressoallo statore V0 coincide con quella assoluta in uscita dal rotore V2s. In questa ipotesi infatti vale:

,_

+ 10 2 022202 0 2 , 0111 2RT h hV Vh h h h Lsss s t t s(3.100) dove ora il rapporto di espansione vale = p0/p2. Nelcasoditurbineavaporelerelazioniprecedenti(3.99)e(3.100)nonsonopivalide,mentre utile,perilcalcolodellespansione,ilpianodiMollier.Restainvececomunquevalidala semplificazionederivantedallipotesidistadioripetitivo,chefascheladifferenzadientalpia totale a cavallo della macchina si riduca ad una semplice differenza di entalpie. Nellarealtilflussosubiscedelleperditenellattraversamentodellamacchinachefannoschela trasformazioneseguailpercorso0-1-2evidenziatoancorainfigura3.28.Ancheperlaturbina,le perditesonoproporzionalialquadratodellavelocitassolutanellostatore,ealquadratodella velocitrelativanelrotore.Assuntocheilflussoseguacomunqueperfettamentegliangoliimposti dallepalettature,lapresenzadelleperditefascheilflussoescadallostatorealpunto1, caratterizzatodaunentropiamaggiore,equindidaunavelocitminoreV1edaunlivelloentalpico maggiore h1, essendo comunque verificata la costanza dellentalpia totale allinterno dello statore: 2211 1 0Vh h ht t+ (3.101) Siosservacome,ancheinquestocaso,lapresenzadelleperdite,equindilacadutadellipotesidi trasformazione reversibile, faccia s che la pressione totale non sia pi costante: 1 0 t tp p (3.102) 3.34Figura 3.28: Trasformazioni nel piano (h,s) in uno stadio di turbina assiale. ComponendoorailvettorevelocitassolutaV1conlavelocitperifericaU1possibilecalcolarela velocitrelativaW1,chesaranchessainferiorerispettoalcasoi deale.Acausadelleperditenel rotore,anchelavelocitinuscitaW2sarminore,mentreancorasiconservalentalpiatotale relativa, anche se su un altro livello rispetto al caso ideale: 2 2 2 222222 2 ,21211 1 ,U Wh hU Wh htr tr + + (3.103) ComponendoinfinevelocitrelativaW2editrascinamentoU2siricavalavelocitassolutadi scaricodalrotoreV2,chepermetteinoltrediindividuareillivellodientalpiatotaleht2,necessarioal calcolodellavororealmentescambiatotrafluidoepalettatura.Ilflussolascerquindilostadioal punto2,caratterizzatodaunlivelloentropicomaggiore,equindidaunaminorevelocitV2edaun maggiore livello entalpico h2. Nelgraficodifigura3.28evidenziatoillavorodiespansionereale,comeladifferenzatrailivelli entalpici totali a cavallo del rotore: 2 1 2 0 t t t t rh h h h L (3.104) LespressioneprecedentedeltuttoequivalenteallavorodiEulero,esiriduceadunasemplice differenza di entalpie nel caso di stadio ripetitivo: 2 022202 0 2 02h hV Vh h h h Lt t r + (3.105) Inanalogiaaquantofattoperlostadiodicompressione,possibiledefinireduerendimenti adiabaticidellostadio,asecondachelenergiacineticaalloscaricodellostadiosiaomenoda considerare come una perdita: un rendimento Total to Total: 3.35Figura 3.29: Trasformazioni nel piano (h,s) in uno stadio di turbina radiale. 2 2222 0222 02 0Vh hLVh hh hs teus tt tTT (3.106) e un rendimento Total to Static: s teus tt tTSh hLh hh h2 0 2 02 0 (3.107) Eevidenteche,mentreilrendimentoTotaltostaticinferiorea1anchenelcasodistadio ideale, il rendimento total to total per uno stadio ideale vale 1. Nel caso di stadio ripetitivo, le due relazioni precedenti diventano: sTTh hh h2 02 0 (3.108) s tTSh hh h2 02 0 (3.109) SepoilavelocitassolutainingressoallostadioV0trascurabile,percuiht0h0,ledue definizioni precedenti coincidono. Ricordandopoiilfenomenodelrecupero,legatoallavariazionedidensitdelfluidodurante lespansione,evidentecome,inunamacchinaapistadi,ilrendimentoadiabaticodellamacchina, coscomecalcolatoalparagrafo3.2.2siamaggioredelrendimentoadiabaticodelsingolostadio,in maniera del tutto speculare rispetto al caso del compressore. 3.363.5.3.Pompe e Turbine idrauliche Iduecasiprecedentisiriferisconoamacchinecheoperanosufluidocomprimibile.Vediamoora checosasuccedenelcasodifluidoincomprimibile,qualeadesempioacqua.Innanzituttosifa notarecome,adifferenzadellemacchinetermiche,checioelaboranofluidicomprimibili,le macchineidraulichepresentanobasseenergieperunitdimassa.Cidovutoallanecessitdi limitareglisforziagentisullesuperficidellamacchina;bastipensareallenormedifferenzadi densittraacqua(1000kg/m3)earia(circa1.2kg/m3).Tuttocifasche,rispettoallemacchine termiche,nellemacchineidraulichesiabbianobassevelocitebassiregimidirotazione,main presenzadigrandiportateinmassa.Inoltre,lemacchineidraulichesonospessomacchinemono stadio. Quandoilfluidoincomprimibile,sivistochelequazionedellenergiaassumelaformadata dalla (2.21), che va sotto il nome di Equazione di Bernoulli: ( )1 22122 1 22z z gV V p pL Lw e ++ (3.110) SidefiniscePrevalenzagHlincrementodienergiameccanicachesubisceilfluidoperkgdimassa nellattraversare la macchina: ( ) ( )w r eL L z z gV V p pgH ++1 22122 1 22 (3.111) Ealloralenergiacheilfluidoricevenellattraversarelamacchina,espressain[J/kg],erappresenta il lavoro ideale. Siinoltretrovatoche,sempreperfluidoincomprimibile,lapressionetotaledefinitadalla relazione (2.31) che, sostituita nella (3.111) fornisce: ( )1 21 2z z gp pgHt t +(3.112) Spessosiutilizza,alpostodellaprevalenzagHespressain[J/kg],laprevalenzaH,dettaanche salto, espressa in [m]: ( )

,_

+ +

,_

+ + ++121 1222 21 22122 1 22 2 2zgVgpzgVgpz zgV Vgp pH (3.113) doveilterminetraparentesiadestradelsecondosegnodiuguaglianzavasottoilnomeditrinomio di Bernoulli. Inanalogiaaquantofattopericompressori,anchenelcasodimacchineidraulichesidefinisceil rendimento idraulico come rapporto tra lavoro ideale e lavoro reale: w rididrL gHgHLL+ (3.114) Del tutto speculare risulta la trattazione per le turbine idrauliche, di cui si riportano solo i risultati: ( )

,_

+ +

,_

+ + ++222 2121 12 12221 2 12 2 2zgVgpzgVgpz zgV Vgp pH (3.115) gHL gHLLwidridr (3.116) Quantovistoinprecedenzariguardoallarchitetturadellamacchina,einparticolarealladefinizione delpianointrapalareedeitriangolidellevelocit,restadeltuttoidentico.Cicheinvececambia lageometriadellamacchinanelpianomeridiano,dovelasezionedipassaggionondevepiessere variatapercompensarelevariazionididensitdelfluido.Perunapompaalloralespressionedella conservazione della portata diventa: 3 3 1 1A V A Vm m (3.117) che in pratica postula la conservazione della portata volumetrica. 3.37Ovviamentenonpipossibileandareatracciareletrasformazionineidiversipiani,mentre, trattandosiperlopidimacchinemonostadio,lenergiacineticaalloscaricorisultaessereuna perdita, per cui normalmente si utilizza un rendimento total to static. 3.6. Grado di reazione Sidettocomeillavorovengaraccoltodalsolorotore,masianchedettocomeinrealtci avvengaattraversoduemeccanismiditrasferimentodienergianelfluido:attraversovariazionidi energiacineticaevariazionidipressione.Cisichiedeaquestopuntoqualesiailcontributorelativo diquestiduemeccanismialleffettivoscambiodilavorotrafluidoemacchina.Atalescoposi definisce Grado di Reazione: LV VL22221 (turbina)(3.118) dovealnumeratoreviquellapartedilavorochenonderivadallavariazionedivelocitassolutaa cavallodelrotore,malegataalcampodipressione(siricordinoledueespressionidellequazionedi conservazionedellenergia(1.18)e(3.54),incuisitrascuratalavariazionediquotaesi ipotizzataunatrasformazioneisentropica).Questultimoterminepuesserechiamatolavorodi reazione.Ladefinizionedigradodireazionefornitadalla(3.118)valepermacchinemotricia fluido comprimibile. Nel caso di compressori, essa diventa: LV VL22122 (compressore)(3.119) Ladefinizionedigradodireazionenonunivocainletteratura.Consideriamodapprimaunfluido comprimibile.Pernoiilgradodireazionedefinitocomeilrapportotrailsaltoentalpicoideale elaborato dal rotore ed il salto entalpico ideale elaborato dallo stadio: stadio srot shh,, (3.120) Larelazioneappenascrittanoncoincideconleprecedenti,amenodinonconsiderareole variazionidienergiacineticatraingressoeduscitadellostadiotrascurabili(ilchepuessere assuntoconbuonaapprossimazionepermacchinemonostadio)olostadioripetitivo(equindiV0 = V2).Ovviamenteancheapattodiconsiderareletrasformazioniideali.Infatti,adesempionelcaso dellaturbina,illavorocompiutodallostadiopariallavariazionedientalpiatotaleacavallodello stadio,equindianchedelrotore,essendolentalpiatotalecostantenellostatore.Ilnumeratore dellequazione (3.120) quindi diventa: rot s s ss s s ss ss ss t s ts ss t ts ssh h hV V V Vh hV Vh hV Vh hV VL, 2 1222122212 122212 , 1 ,22212 , 022212 22 2 2 + (3.121) Per quanto riguarda invece il denominatore, introducendo lipotesi di stadio ripetitivo si ricava: stadio s sss s t t sh h hV Vh h h h L, 2 022202 0 2 , 02 + (3.122) Quando=0lostadiosidiceadazione:tuttalaccelerazioneavvienenellostatore,mentrenel rotoreilflussovienesolodeflesso.Vedremochequestistadisonocaratterizzatidallapresenzadi altevelocit,equindialteperditeerendimentilimitati.Quandoinvece>0lostadiosidicea reazione:accelerazioneedeflessionedelflussoavvengonoinpartesianellostatoresianelrotore. 3.38Glistadiareazionepresentanominorivelocitrispettoaquelliadazione,equindiminoriperditee maggiori rendimenti. Vedremoche,sesiconfrontanoleduetipologiedistadiaparitdisollecitazioni,ecioaparitdi velocitperifericaU,glistadiadazionepresentanoaltiVt,equindielevatilavori.Glistadia reazioneviceversasonocaratterizzatidaminorivaloridiVt,equindipermettonodielaboraresalti entalpici inferiori. Sesiparlainvecedimacchineidrauliche,ilgradodireazionevienedefinitoattraversolaformula seguente: stadiorotpp (3.123) Trattandosiperlopi,comedetto,dimacchinemonostadio,lipotesiditrascurarelavariazionedi energiacineticaacavallodellostadiopuessereritenutaaccettabile,coscomequelladitrascurare lavariazionediquota.Conquesteipotesi,larelazione(3.121)deltuttoanalogaalla(3.118), infatti: ( ) rott t t tp V Vz z gV V p pV V p p V V p p V VL ++2 22 2 222212 12221 2 12221 2 12221 2 02221(3.124) ( ) stadio t tpz z gV V p p p pL ++2 02220 2 0 2 02(3.125) Bibliografia: Macchine a fluido incomprimibile, C. Casci, Ed. Masson Italia Editori Compressori di gas, C. Casci, Stampa Tamburini Editore Milano Macchine a fluido bifase, C. Casci, Masson Italia Editori Macchine Termiche, G. Cornetti, Ed. Il Capitello Torino 4.1CAPITOLO 4 IMPIANTI IDRAULICI 4.1. Introduzione Inquestocapitoloverrannotrattateleproblematicherelativeagliimpiantiidraulici,limitatamenteal casodegliimpiantidisollevamentoacqua.Siparlerquindidapprimadellepompecentrifughe,con particolareattenzioneallottenimentodellelorocurvecaratteristiche.Verrannoquindidescrittii circuiti,comecalcolarneleperditeevalutarelacurvacaratteristicadiunimpianto,perpoipassare alleproblematicherelativeallaccoppiamentomacchina-impianto.Infinesidarunadescrizione fenomenologicadellacavitazione,fornendoiparametrinecessariperlasceltadellaltezzadi aspirazione. Gli impianti idroelettrici e le turbine idrauliche verranno invece trattati nel Capitolo 6. Figura 4.1: Pompe centrifughe e pompe assiali. Esistonoduetipidipompedinamiche:centrifugheeassiali.Unesempioriportatoinfigura4.1. Nellamaggiorpartedelleapplicazionivengonotuttaviaimpiegatepompecentrifughe,mentre quelleassialitrovanoapplicazionipilimitate,laddovecisialacontemporanearichiestadi elaborareelevateportateconbassisalti.Esempidiapplicazionesonoicircuitidicircolazione dellacqua,ocomeboosterperlemacchinecentrifughe,perevitareproblemilegatiallinsorgere della cavitazione. La trattazione che segue si riferisce quindi al caso delle pompe centrifughe. 4.2 Figura 4.2: Pompa centrifuga. 4.2. Pompe centrifughe Lepompecentrifughesonomacchineoperatriciche,operandosufluidoincomprimibile(acqua), permettonodielaborareportateridotte,mafornendosaltielevati.Ilflussodacquadirettodal centroversolaperiferia(figura4.2),persfruttareilcontributoallavorodapartedellaforza centrifuga,evidenziatodalterzoterminenellespressionedellequazionedellenergiafornitadalla (3.51) e qui riportata: 2 2 2212222212122U U W W V VLe++ (4.1) Ingenerale,essesicompongonoditreelementi:ildistributore,lagiranteeildiffusore.Ilflussoin ingressoallamacchinadirettoassialmente.Ildistributorenonaltrocheunapalettaturafissa postaallimboccodellamacchinachehaloscopodifornirealflussoiningressolangolo dincidenzacorrettosullepaledellagirante.Spessoildistributorenonpresente.Intalcaso,il flussoassolutoiningressoallagiranteassiale(V1=V1ax).Avalledellagiranteavoltepresente unulteriorecomponente,ildiffusore,chehaloscopodirecuperarelenergiacineticacheilfluido ancorapossiedeeconvertirlainpressione.Ildiffusorepuessereomenopalettato.Comunquesia, essodeverealizzareunacompressionedelfluido,equindipresentersezionidipassaggiocrescenti alcresceredelladistanzaradialedallassedirotazione.Idiffusorinonpalettatihannoilvantaggiodi avereunfunzionamentoindipendentedallaportata,mapossonoavereuningombroelevato. Viceversa,idiffusoripalettatipresentanounfunzionamentoottimaleperunbenprecisoregimedi portata,conperditecrescenticonlallontanarsidallecondizionidiprogetto.Daltraparte presentano un ingombro minore. Consideriamo uncasoideale,incuinoncisianoperdite.Supponiamochenoncisiadistributore.In figura4.3vienerappresentatounoschemadimassimadellageometriadellamacchina.In particolare sono riportati i fondamentali parametri geometrici: diametro medio in ingresso D1: 21b aD DD+ (4.2) 4.3Figura 4.3: Schema di massima della sezione meridiana di una pompa centrifuga. Figura 4.4: Triangoli di velocit in ingresso (a) e uscita (b) di una pompa centrifuga. altezza di pala in ingresso alla girante l1: 21b aD D l (4.3) diametro esterno della girante D2, altezza di pala allo scarico l2 ApplichiamoiconcettivistinelCapitolo3alcasoinesame.Supponiamoquindichesiano verificatetutteleipotesiconcuistataricavatalespressionedellavorodiEulero,einparticolare cheilmotosiapermanente,chesiamonodimensionaleecheilcampogravitazionaleabbiaeffetti trascurabili,coscomenoncisianoeffettidicampielettrici,magneticiedelettro-magnetici,n reazionichimicheonucleari.Individuiamoledirezioniassiale,tangenzialeeradiale,coscome riportateinfigura4.3,elimitiamoilnostrocalcoloallalineamediatratteggiatanelpianomeridiano infigura,considerandolesezionidiingressoeduscitasufficientementelontanedallapalettaturada potertrascurarelazionedeglisforziviscosi.RicavandoillavorodiEuleroabbiamovistocomesia possibilecalcolareillavororealescambiatotrafluidoemacchinaconoscendounicamentele grandezzefluidodinamichenellesezionidiingressoeduscita.Cerchiamoalloradivalutare qualitativamentecomesonofattiitriangolidivelocitiningressoeduscitadallagirante,inmodo daottenereillavororealmentescambiatotramacchinaefluidoche,nelcasodifluido incomprimibileeinassenzadiperdite,coincideconlaprevalenzafornitadallapompaalfluido. Cercheremoquindidievidenziareladipendenzadellaprevalenzadallaportata,inmododa caratterizzarne il funzionamento. V1 V1ax U1 W11 V2 W2 U2 2 a) b) ax 4.4Considerandolapproccio1D,ilflussoiningressoallagiranterisulta,inassenzadidistributore, diretto secondo lasse della macchina: axV V1 1 (4.4) Iltriangolodivelocitiningressogiacealloranelpianoassiale-tangenziale,coscomeriportatoin figura 4.4a. Lespressione del Lavoro di Eulero diventa quindi: t euV U L2 2 (4.5) Essendo poi il caso in esame ideale, il Lavoro di Eulero coincide con la prevalenza gH. Consideriamoorailflussoinuscitadallagirante(figura4.4b):perunosservatoresolidalealrotore essodirettosecondoilvettoreW2che,conleusualiipotesi,risultatangenteallasuperficiedella pala.Sia2langolochetalevettoreformaconladirezionetangenzialepositivasecondoilsensodi rotazionedellagirante.Talevettoregiacenelpianoradiale-tangenziale.Lasuacomposizionecon lavelocitperifericaU2portaadefinirelavelocitassolutadelflussoinuscitadallagiranteV2, inclinatadellangolo2secondoladirezionetangenziale.Eevidentecheiduetriangolidivelocit, iningressoeuscitadallagirante,giaccionosupianidiversi,equindinonpossibiletracciarli insieme. Da semplici considerazioni geometriche risulta: 2 2 2 2sin W W Vr r 2 2 2U W Vt t+ 2 2 2cos W WtSostituendo tali relazioni nella (4.5) si ricava: ( ) ( ) ( )2 212 2 2 2 2 2 2 2 2tan cos U W U U W U U W U gHr t+ + + (4.6) Calcoliamolaportatavolumetricacheattraversalamacchina.Essendoilfluidoincomprimibile,la portata volumetrica si conserva, e quindi la si pu calcolare ad esempio nella sezione di uscita: 2 2 2 2l D V A V Qr r (4.7) Esplicitandolarelazioneprecedenteinterminidellacomponenteradialedellavelocit,e sostituendola nellespressione della prevalenza si ricava infine: 212 2222tan + l DQU U gH (4.8) Figura 4.5: Curva caratteristica ideale di pompe centrifughe al variare dellangolo di uscita delle pale della girante. gH Q U22 2 = 902 < 902 > 904.5cherisultaessere,nelcasoideale,lacurvadifunzionamentodellamacchina,inquantofornisceil legametraportataeprevalenza,alvariaredeiparametrigeometrici(D2)edelregimedirotazione (U2equindin).Sinotacome,perunamacchinaideale,unavoltafissatalageometriadella macchinaeilnumerodigirin,laprevalenzafunzioneunicamentedellaportata,coscome rappresentatoinmanieraschematicainfigura4.5.Lacurvadifunzionamentounarettalacui pendenzafunzionedellangolodiinclinazionedellepaledellagirantealloscarico2.In particolare, si ottiene: se 2 < 90 (figura 4.6a - pale rivolte in avanti) la prevalenza aumenta con la portata se 2 = 90 (figura 4.6b - pale radiali) la prevalenza costante e pari a U22 se 2 > 90 (figura 4.6c - pale rivolte allindietro) la prevalenza diminuisce con la portata. Figura 4.6:Giranti centrifughe a scarico radiale (a,b), a scarico allindietro (c) e a scarico in avanti (d). Lenergiacineticacheilfluidoancorapossiedealloscaricodellagiranterappresentaunaperdita. Piquestaenergiagrande,minoresarilrendimentodellamacchina.Analizzandoitriangolidi velocitrelativiaitrecasiinesame(paleinavanti,radialieallindietro),rappresentatiinfigura4.6, evidentecomelapompaconpaleallindietrosiaquellachefornisce,aparitdivelocitperiferica, laminorvelocitassolutaalloscarico,equindiabbialeprestazionimigliori.Nellarealtpompe centrifugheconpaleinavantinonesistono,mentrevengonocostruitemacchineconpaleradiali quando leconomicit della realizzazione diventa un requisito fondamentale. Larelazione(4.8)stataottenutanellipotesidimacchinaideale.Nellarealt,allinternodella macchinasiverificanoduetipidiperdite:perditeconcentrateeperditedistribuite.Leperdite concentrate,chesichiamanoperditeperurto,sonolegateallangolodiincidenzadelflussorispetto allapala,esononullequandoilflussodirettosecondolatangentealbordodattaccodellapala (1).Quandolaportatavaria,varialacomponentedellavelocitresponsabiledellaportata.Nel caso dipompecentrifughesenzadistributore,cisignificachevarialavelocitassolutaV1.Con 4.6riferimentoallafigura4.7,seadesempiolaportatadiminuisce,ancheV1diminuisce,mentrela velocitperifericaU1restainvariata.NeseguechelavelocitrelativaW1cambiasiainmodulo,sia indirezione.Ilfluidosubirquindiunabruscadeviazioneallingressodellapalettatura,per adeguarsiallandamentodellesezionidipassaggio,conunconseguenteaumentodelleperdite. Discorsodeltuttoanalogoselaportataaumenta.Leperditeperurtoquindisononullein corrispondenzadellaportatadiprogettodellamacchina,edaumentanoprogressivamentemanmano checisiallontanadatalecondizionedifunzionamento,comemostratoinfigura4.8,dovesono indicate con y. Figura 4.7:Variazione del triangolo di velocit in ingresso con la portata. Figura 4.8:Andamento delle perdite concentrate (y) e distribuite(y). Leperditedistribuite,detteperditediprofilo,sonolegateallazionedelleforzeviscose.Sigi dettoinprecedenzacomequesteagiscanonellostratolimitechesisviluppalungolesuperfici bagnate,eciolungolasuperficiedellepalette,dellacassaedelmozzo,ecomesianoproporzionali alquadratodellavelocitrelativanelrotoreeassolutanellostatore.Nelcasoinesame,leperditedi profilosonoquellenellagirante,nonessendopresentenundistributorenildiffusore.Essesono quindiproporzionalialquadratodellavelocit,equindianchealquadratodellaportata,come mostratodallandamentodiyinfigura4.8.Lacurvacaratteristicadiunapompacentrifugareale, fissatoilregimedirotazione,haquindilandamentorappresentatoinfigura4.9,risultantedalla composizionedellacurvaideale(equazione(4.8))ediquellerelativealleperdite.Nellastessa figuravieneriportatoanchelandamentodelrendimentodellamacchinaedellapotenzaassorbita.Il rendimento della macchina risulta da tre contributi: m idr v p (4.9) dovevdettorendimentovolumetrico,evieneintrodottopertenerecontodelfattochenontutta laportatacheentranellamacchinacompielavoro(sipensiallapresenzadieventualitrafilamenti attraversoigiochi).idrilrendimentoidraulicodellamacchina,giintrodottonelCapitolo3 (equazione 3.111): V1 V1ax U1 W1 1 4.7 Figura 4.9:Curva caratteristica reale, curva di rendimento e di potenza assorbita di una pompa centrifuga a n = cost. w rididrL gHgHLL+ (4.10) Lultimo termine il rendimento meccanico m e tiene conto delle perdite nelle trasmissioni.Perquantoriguardainvecelapotenza,questavienecalcolatacomeilprodottotralavororealee portata: pQgHP (4.11) Questaovviamentelapotenzaassorbitaallalberodellamacchina.Sesivuoleinvececalcolarela potenzaelettricaassorbitadalmotore,necessariodividerelespressioneprecedenteperil rendimentodelmotoreelettricoel.Seviceversasiinteressatiavalutarequantoassorbela pompa,alnettodelleperditenelletrasmissionieneicuscinetti,lapotenzaespressatramitela(4.11) dovr essere moltiplicata per il rendimento meccanico. Ilfunzionamentodiunapompavieneinrealtcompletamentedescrittounavoltanotigliandamenti dellaprevalenzaedelrendimentoalvariaredellaportata,iltuttoinfunzionedelnumerodigiri,cos comeespresso,informasemplificata,dallandamentodellacurvacaratteristica(4.8).Lafigura4.10 4.8riporta,atitolodiesempio,lecurvecaratteristichediunapompacentrifugaincorrispondenzadi diversiregimidirotazione.Lafigurainaltomostra,oltreallecurveprevalenzaportataperi diversiregimidirotazione,sovrapposteanchelecurveiso-rendimento.Lavariazionedel rendimentoconilnumerodigirivedremo,nelCapitolo5relativoallateoriadellaSimilitudine, essere legato allinfluenza del numero di Reynolds. Figura 4.10:Campo caratteristico di impiego di una pompa centrifuga a velocit di rotazione differenti. 4.3. Impianti di sollevamento acqua NelCapitolo2stataricavata,apartiredallequazionediconservazionedellenergia,lespressione dellavoroscambiatodaunsistemafluidoconlesternoperilcasodifluidoincomprimibile.Tale relazione, nota sotto il nome di Equazione di Bernoulli, ha la forma seguente: ( ) ( )1 22122 1 22z z gV V p pL L gHw r e ++ (4.12) dovelaPrevalenzagHlincrementodienergiameccanicachesubisceilfluidoperkgdimassa nellattraversarelamacchinatralasezionediuscitaediingresso.Siricordachelequazionedi Bernoulli vale con le seguenti ipotesi: Assenza di reazioni chimiche o nucleari, di campi magnetici, elettrici o elettromagnetici Moto mono-dimensionale (1D) nei condotti 4.9 Figura 4.11: Impianto di sollevamento acqua. Moto permanente Fluido incomprimibile Laprevalenzarappresentaquindiillavoroidealescambiatotrafluidoemacchina.Sianchevisto comespesso,inidraulica,sipreferiscaesprimeretuttiiterminidella(4.12)inmetridicolonna dacqua: ( )1 22122 1 22z zgV Vgp pH ++(4.13) dove H prende il nome di Salto, ed espresso in [m]. Consideriamolimpiantodisollevamentoacquaschematizzatoinfigura4.11.Essoconsistedidue bacini,oserbatoi,ediunacondotta.Sisuppongadivolervalutarelecaratteristicheditaleimpianto, eciolacoppiaportatavolumetricaQ-saltoH,edivolerinoltrevalutarelarelazionechelelega. Cialloscopodistimarelenergiachelapompachevainstallatadeveinviaidealecederealfluido (acqua),perchquestovengapompatodalbacinodivalleaquellodimonte.Indicandoconilpedice 2legrandezze(quota,velocitepressione)relativealbacinodimonteeconilpedice1quelle relative al bacino di valle, lapplicazione dellequazione di Bernoulli tra queste due sezioni fornisce: Y zgVgpzgVgpH + + + + + +222 2121 12 2 (4.14) dove,neltermineYsonostateconglobatetutteleperditecheilfluidoincontralungoilpercorsodal bacinodisedimentazioneaquellodimonte.Supponendochelavariazionediquotatrailpelolibero deiduebacinisiataledanonindurrevariazionirilevantinellapressioneatmosferica(p2 p1 patm),esupponendoinoltrechelavelocitconcuivarianoipeliliberideiduebacinisiatrascurabile (V1 V2 0), la (4.14) si semplifica: ( ) Y H Y z z Hg v m+ + (4.15) dovesiindicatoconHgilsaltogeodetico,ossialadifferenzadiquotatraipeliliberideidue bacini. Leperditecheilfluidosubiscenellattraversamentodellimpianto(nonnellamacchina)anchein questo caso sono di due tipi: Perdite concentrate Yc Perdite distribuite Yd Leperditeconcentratevarianoapprossimativamenteconilquadratodellavelocit,evengono quindi espresse in funzione della quota cinetica: gVYc22 (4.16) Z2 Z1 1 2 4.10essendoilcoefficientediresistenzalocalizzata.Perditelocalizzatesonoquelledovutealla presenzadicurve,gomiti,strozzatureebruschiallargamenti,valvoleeorganidiregolazione,filtri, ecc.Ivaloridirelativiadognitipodiperditalocalizzatasononormalmenteottenutipervia sperimentale,maggioratiperragionicautelative.Ivaloripicomunisonoreperibiliinformadi Tabelle,comeadesempioquelleriportatenellefigure4.124.14.Allasommatoriacosricavata va poi aggiunta ununit per tener conto delle perdite di sbocco. Figura 4.12: Valori rappresentativi del coefficiente di resistenza localizzata per varie geometrie di variazione della sezione trasversale del condotto. Figura 4.13: Valori rappresentativi del coefficiente di resistenza localizzata e del rapporto le/D (lunghezza equivalente /diametro) per valvole, curve e collegamenti vari nelle tubazioni. 4.11 Figura 4.14: Coefficienti di resistenza localizzata in funzione del diametro D della sezione interessata dal passaggio del fluido per alcuni elementi tipici di un circuito idraulico. 4.12 Figura 4.15: Abaco di Moody 4.13LeperditedistribuiteYdsonodirettamenteproporzionaliallaquotacineticaeallalunghezzadel tubo,edinversamenteproporzionalialdiametrodeltubo.Pertubazionicircolari,detto(spesso indicato anche come Cf) il coefficiente dattrito, le perdite distribuite risultano: DLgVYd22 (4.17) Il coefficiente dattrito a sua volta funzione del numero di Reynolds e della rugosit relativa: ( ) D f / Re, (4.18) Nelcasoincuiilmotoallinternodelcondottosialaminare,esisteunasoluzioneanaliticadelmoto che porta alla seguente espressione per il coefficiente dattrito: Re64 (4.19) dove il numero di Reynolds espresso in funzione del diametro D: VD Re (4.20) Larelazione(4.19)veraseesoloseilmotolaminare,ecisicuramenteverificatoseRe< 2000.PernumeridiReynoldsmaggioriilregimedimotoallinternodelletubazionipudiventare turbolento,asecondaanchedellarugositsuperficialedelleparetiinternedelcondotto.Pervalori elevatidelnumerodiReynolds(Re>5105),ilmotosidiceturbolentocompletamentesviluppato. IntalicondizioniladipendenzadelleperditedalnumerodiReynoldsdiventatrascurabile,mentre restaladipendenzadallascabrezzarelativa.Tuttavia,unlegameanaliticochepermettailcalcolo delcoefficientedattritononesiste,eleinformazionidisponibilisonodioriginesperimentale.Tali informazionisonoraccolteinformagraficanellAbacodiMoody,riportatoinfigura4.15,che fornisceappuntoilvaloredelcoefficientedattritoinfunzionedelnumerodiReynoldsedella scabrezza relativa. Qualunquesiailregimediflusso(laminare,transizionaleoturbolentocompletamentesviluppato), lAbacodiMoodypermettedivalutareilcoefficientedattritoche,asuavolta,permettedicalcolare leperditedistribuitelungoicondottitramitela(4.17).Sostituendoleespressionidelleperdite concentrate (4.16) e distribuite (4.17) nella relazione (4.15) si ricava: gVDLH Hg22

,_

+ + (4.21) Daltraparte,dallespressionedellaportatapossibileesprimerelavelocitdellacquaneicondotti in funzione di questultima: AQV (4.22) essendoAlasezionedipassaggiodeltubo.Sostituendolarelazioneprecedentenella(4.21)siricava infinelacurvadifunzionamentodellimpianto,ciolaleggedivariazionedellaprevalenzaconla portata: 222gAQDLH Hg

,_

+ + (4.23) Sinotacomelacurvadifunzionamentodellimpiantoappenatrovatasiaunaparabolacheinterseca lasse delle ordinate quando H = Hg, come mostrato qualitativamente in figura 4.16. Siricordachela(4.23)stataricavataperuncircuitoincuiidueserbatoi,obacinidimonteedi valle,sitrovanoentrambiallapressioneatmosferica.Seuno,oentrambi,iserbatoirisultanoin pressione,alsaltogeod