M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Esempio – Manipolatore Antropomorfo...

M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion

Esempio – Manipolatore Antropomorfo

(tre giunti rotativi)

p0 p1

p2

p

Nota: lo Jacobiano è funzione dello stato del sistema, ovvero della postura


Dello Jacobiano trovato, solo 3 righe possono essere linearmente indipendenti

Si hanno solo 3 gradi di mobilitàConsideriamo (ad esempio) le prime tre che esprimono la relazione che esiste tra le velocità dei giunti e le velocità lineari dell’organo terminale

La velocità angolare dell’organo terminale non potrà essere specificata in maniera indipendente

Esempio – Manipolatore Antropomorfo

}


Singolarità Cinematiche

Lo Jacobiano, che consente di definire la trasformazione lineare tra velocità ai giunti e velocità dell’organo terminale, è in generale funzione della configurazione (postura) q

Quelle configurazioni per cui J diminuisce di rango, vengono definite singolarità cinematiche

La caratterizzazione delle singolarità cinematiche è di fondamentale interesse:

• le singolarità rappresentano configurazioni in corrispondenza delle quali si ha una perdita di mobilità della struttura

• quando la struttura è in una configurazione singolare, possono esistere infinite soluzioni al problema cinematico inverso

• nell’intorno di una singolarità, velocità ridotte nello spazio operativo, possono indurre velocità molto elevate (e quindi non realizzabili) nello spazio dei giunti


Le singolarità si classificano nelle seguenti due tipologie:

• ai confini dello spazio di lavoro raggiungibile: si presentano quando il manipolatore è tutto steso o tutto ripiegato su se stesso. In generale non rappresentano un inconveniente in quanto è in generale possibile evitare che il manipolatore lavori in prossimità dei confini dello spazio di lavoro

• all’interno dello spazio di lavoro raggiungibile: si generano tipicamente con l’allineamento di due o più assi di moto od in corrispondenza di particolari posture. Queste rappresentano un problema oggettivo in quanto, essendo all’interno dello spazio di lavoro, possono essere incontrate nelle tipiche traiettorie pianificate senza volerlo!

Singolarità Cinematiche


Esempio - Singolarità Cinematiche

Manipolatore planare a due bracci:

Considerando solo le componenti di velocità nel piano lo Jacobiano è pari a:

In cui il determinante è pari a:

( ) ( )

( )⎩⎨⎧

==

⇒=

⋅⋅=

πϑϑ

ϑ

2

2

221

00det

sindet

J

aaJ Singolarità di confine dello spazio operativo

Singolarità interna allo spazio operativo


e1

e2


Manipolatore planare a due bracci:

In corrispondenza della singolarità di confine lo jacobiano diviene:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ]11

12121

121212 coscos

sinsin0 ee

aaa

aaaJ ⋅⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅+

⋅−⋅+−=⇒= βα

ϑϑ

ϑϑϑ

Che vuol dire che sia azionando il motore del primo che del secondo braccio, il manipolatore ha la possibilità di muoversi solamente lungo e1 e non lungo e2, e

quindi non è in grado di seguire una generica traiettoria



Esempio qualitativo di traiettorie percorribili e NON percorribili

Quale delle due traiettorie è percorribile ???e1

e2

TARGET

Traiettoria percorribile

Traiettoria NON percorribile


Manipolatore antropomorfo con Polso Sferico

Per strutture complesse ed a molti gradi di libertà, l’individuazione delle singolarità cinematiche basata sull’annullamento del determinante dello Jacobiano può risultare complessa (soluzioni multiple, non in forma chiusa, etc.)

Una maniera di disaccoppiare le singolarità è quella di impiegare un polso sferico montato su di un robot antropomorfo, cartesiano, etc.

In tale maniera infatti la struttura (i primi tre bracci) si occupano di portare il polso in posizione, il polso si occupa di orientare l’organo finale

In una configurazione del genere è possibile articolare il problema nei due sottoproblemi indipendenti:

• calcolo delle singolarità della struttura portante (moto dei primi 3 bracci)

• calcolo delle singolarità del polso (moto dei giunti di polso)

Disaccoppiamento delle Singolarità Cinematiche


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211

JJ

JJJ

Partizioniamo lo Jacobiano in blocchi 3x3:

Essendo il polso sferico costituito da tre giunti rotativi, i due blocchi a destra dello jacobiano ovvero quelli relativi agli ultimi 3 assi risultano:

In cui, scegliendo l’origine della terna che esprime posizione ed orientamento dell’organo terminale in corrispondenza dell’intersezione degli assi di polso, quindi p e non p’, si ha: J12 = 0

p = p3 = p4 = p5 origine delle

terne di polso


p’ = origine della terna organo terminale (convenzione usuale)

Nota: così lo Jacobiano non rappresenta le velocità dell’organo terminale ma del centro del polso

p-pi = 0

NOTA: ci mettiamo nel centro del giunto sferico che può solo ruotare e non traslare


In tale caso la matrice diviene triangolare inferiore a blocchi (blocco in alto a destra nullo), ed il determinante si semplifica in:


( ) 0det 11 =J

( ) 0det 22 =J

Singolarità di struttura portante

Singolarità di polso

( ) ( ) ( )2211 detdetdet JJJ ⋅=11

21 22

0JJ

J J

⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦


Singolarità di Polso

Dunque si hanno singolarità di polso quando due tra z3 z4 z5 risultano allineati:

In questo caso non si possono avere rotazioni attorno a zx

Poiché tale singolarità può incontrarsi ovunque all’interno dello spazio raggiungibile dal manipolatore, particolare cura va posta all’atto della pianificazione del moto

πϑ ,05 =

05 =ϑ

zx


Singolarità di Struttura portante - Antropomorfo

( ) ( ) ( ) ( )( )3232233211 coscossindet ϑϑϑϑ +⋅+⋅⋅⋅⋅−= aaaaJ

Nota: lo Jacobiano non dipende dall’angolo del giunto di base il quale semplicemente determina rispetto a z0 l’orientazione del robot, ma non ne cambia

la postura relativa dei bracci

11


( ) ( )( ) ( )⎩

⎨⎧

=+⋅+⋅=

⇒=0coscos

0sin0det

32322

311 ϑϑϑ

ϑ

aaJ

( )⎩⎨⎧

==

⇒=πϑ

ϑϑ

3

33

00sin

Si verifica quando il gomito è tutto steso o ripiegato su se stesso. Vengono definite singolarità di gomito ed è concettualmente analoga a quella del manipolatore planare a due bracci

Singolarità di gomito – Manip. Antropomorfo


Singolarità di spalla – Manip. Antropomorfo

( ) ( )( ) ( )⎩

⎨⎧

=+⋅+⋅=

⇒=0coscos

0sin0det

32322

311 ϑϑϑ

ϑ

aaJ

px = py = 0

11Per la prima colonna si ha che un movimento del giunto di base 1 non

muove l’organo terminale

L’asse z0

rappresenta infiniti punti di singolarità

11

000

0 3 permette un

movimento nel piano ortogonale agli assi z1 e z2 e passante

per z0

Per la seconda si ha che un movimento della spalla (2) non produce un moto lungo z0



Per la prima colonna si ha che un movimento del giunto di base 1 non

muove l’organo terminale (il polso)

11

000

0

Per la seconda si ha che un movimento della spalla (2) non produce un moto lungo z0

3 permette un

movimento nel piano ortogonale agli assi z1 e z2 e passante

per z0


11

000 0

L’asse z0


z1

z0

Per convenzione z1 si trova

allineato con –y0

(con variabile di giunto 1 nulla)


0

1

( )( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=0

cos

sin

1

1

1 ϑ

ϑ

z


11

000 0

( )( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=0

cos

sin

1

1

1 ϑ

ϑ

z


( ) ( )[ ] [ ]0000cossin 1111111 =⋅−=⋅ JJz T ϑϑ

L’asse z0


z1

z0

In singolarità di spalla il manipolatore Antropomorfo non ha possibilità di muoversi lungo z1

z1’


Analisi della Ridondanza

n: gradi di mobilità (lunghezza vettore q)

m: numero di variabili necessarie a caratterizzare lo spazio operativo

r: numero di variabili necessarie a specificare il compito

Lo Jacobiano determina il legame tra le n componenti del vettore velocità ai giunti

(dq/dt) con le r m componenti del vettore velocità generalizzata v necessarie a specificare il compito

Ad esempio nel caso del manipolatore planare a tre bracci, esso non è intrinsecamente ridondante (m = n = 3) e lo Jacobiano ha rango 3

Ma, se il compito non impone vincoli sull’assetto, r = 2 e quindi n > r il manipolatore risulta funzionalmente ridondante

I gradi di mobilità ridondanti si definiscono R = n - r

Il manipolatore è ridondante se R > 0



R(J) immagine di J (Jacobiano) è il sottospazio in Rr che individua le velocità dell’organo terminale che possono venire generate dalle velocità di giunto

N(J) nullo di J è il sottospazio di Rn a cui appartengono le velocità di giunto che non producono alcuna velocità all’organo terminale:

Se lo Jacobiano ha rango pieno:

• dim(R(J)) = r

• dim(N(J)) = n-r = R (gradi di mobilità ridondanti)

dim(R(J)) + dim(N(J)) = n (indipendentemente dal rango della matrice J)

Spazio delle variabili di giunto

Spazio operativo( ) 0'' =⋅⇒∈ qJJNq &&


L’esistenza per i manipolatori ridondanti di un sottospazio N(J) ≠ 0 consente di individuare procedure sistematiche per la gestione dei gradi di ridondanza

Se con si indica un vettore soluzione della cinematica differenziale (che

consente di raggiungere le velocità desiderate nello spazio operativo), e se P è una

matrice tale che: (R: ‘range’) ovvero che P · q0 appartiene al nullo

di J per ogni q0

Anche il vettore è soluzione della cinematica differenziale

E risulta:

*q&

( ) ( )JNPR ≡

00* qqPqq &&&& ∀⋅+=

0*

0* qqJqPJqJqJ &&&&& ∀⋅=⋅⋅+⋅=⋅




La possibilità di aggiungere al moto dei giunti un moto dei giunti sovrapposto

che non ha influenza sul moto nello spazio operativo (ovvero genera dei

moti interni alla struttura), è di fondamentale importanza per i seguenti motivi:

• consente di aggirare ostacoli

• minimizzare l’energia

• far assumere posture destre al manipolatore

• …

*q&0qP &⋅


Impiego della Ridondanza – Aggiramento ostacoli


Impiego della Ridondanza – Minimizzazione Energia

Supponiamo che il compito sia lo

spostamento degli ingranaggi dalla

posizione iniziale a quella mostrata

in figura

Si potrebbero muovere tutti i giunti in maniera coordinata, oppure …



… assumere una postura tale da avere la possibilità di raggiungere la posizione

desiderata con il solo moto dell’ultimo braccio (e quindi con minima coppia

applicata)


Impiego della Ridondanza – Posture Destre

Quale delle due posture consente maggiore destrezza ???


Impiego della Ridondanza – Posture Destre

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