prof,.ssa Alessandra Sia

Logaritmi

INDICE

1.Definizione2.Proprietà dei logaritmi3.Cambiamento di base4.Basi più comuni5.Cenni storici

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Supponiamo di voler trovare l'esponente a della

potenza 3a per ottenere 81. Questa è un'operazione

inversa della potenza. Anche i radicali sono operazioni

inverse della potenza, in essi si deve ricavare la base,

ora invece il problema è ricavare l'esponente.

La soluzione prende il nome di logaritmo in base 3 di 81.

DefinizioneIl logaritmo in base a>0  di un numero b>0 è l'esponente x che da dare ad a per ottenere b.

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Il logaritmo del prodotto di due o più numeri è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori, cioè:

Proprietà

loga(bc)=logab+logac

Dimostrazione

Logaritmo del prodotto

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Il logaritmo della potenza di un numero è uguale all'esponente di tale potenza per il logaritmo della base della potenza.

Proprietà

logabx=xlogab

Logaritmo della potenza

Dimostrazione

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Il logaritmo del rapporto di due o più numeri è uguale al logaritmo del numeratore meno il

logaritmo del denominatore, cioè

ProprietàLoga(b/c)=logab –logac

Logaritmo del rapporto

Dimostrazione

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Cambiamento di base

Si vuole trovare la relazione che intercorre fra il

Logaritmo di un numero in una base a e il

logaritmo dello stesso numero in un'altra base c.

Proprietà.

          logablogcb=—————        logac

Dimostrazione

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Dimostrazione

posto logab=x e logac=y allora ax=b e ay=c quindi

bc=axay=ax+y (proprietà delle potenze)

loga(bc) =logaax+y loga(bc) =(x+y )logaa

logaa=1

cioè x+y=loga(bc)  ma x+y=logab+logac    c.v.d.

loga(bc)=logab+logac

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logabx=xlogab

Dimostrazione

posto logab=y   perciò ay=b e   (ay)x=bx  ma

(ay)x=ayx   perciò

logabx=xy essendo

y= logab allora

logabx=xloga c.v.d.

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Loga(b/c)=logab –logac Dimostrazione

posto

loga(b/c)=loga(bc-1)=

per il logaritmo del prodotto è uguale a  

 = logab+logac-1 =

per il logaritmo della potenza     

= logab-logac  c.v.d.

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          logablogcb=—————        logac

Dimostrazione

posto y=logab e x=logcb

allora ay=b e cx=b quindi cx=ay

calcoliamo il logaritmo in base a di entrambe i membri

otteniamo          logacx=logaay

quindi applicando il logaritmo della potenza

otteniamo          xlogac=ylogaa  cioè xlogac=y

sostituendo a x ed y le relazioni  iniziali si ha

logcb∙logac=logab

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Anche se in linea di principio i logaritmi possono essere calcolati in qualunque base, quelle più

utilizzate sono tre:

• base 10 (logaritmi decimali o volgari o di Briggs), usati per le operazioni di calcolo; li si indica con log10, più genericamente con log.

• base e (logaritmi naturali o neperiani), usati in analisi infinitesimale; li si indica con ln, più raramente con log (quando, dal contesto, la base a cui ci si riferisce è chiara).

• base 2 (logaritmi binari), usati soprattutto nell'analisi della complessità computazionale, nella teoria dei codici e nella teoria dei segnali; li si indica con log2.

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Cenni StoriciI logaritmi vennero proposti nel 1614 da John Napier, noto

anche col nome latinizzato di Neperus o in italiano Nepero, come ausilio per semplificare i calcoli. Infatti, è facile dimostrare che, scelta una base, il logaritmo del prodotto di due numeri è pari alla somma dei loro logaritmi: pertanto, al prezzo di due conversioni da un numero al suo logaritmo e una conversione inversa (verso il cosiddetto antilogaritmo) è possibile trasformare un prodotto in una somma. Le conversioni stesse venivano tabulate a priori e scritte in un volume ("Tavola dei logaritmi"). Lo stesso principio era usato nel regolo calcolatore.