L'ipotesi del continuo: conseguenze per la pratica e per i...

L’ipotesi del continuo: conseguenze per la pratica e peri fondamenti della matematica

Alessandro Andretta

Dipartimento di Matematica “Giuseppe Peano”Universita degli Studi di Torino

Accademia delle Scienze, Torino 15 febbraio 2018

Alessandro Andretta (Torino) Ipotesi del continuo 15-02-2018 1 / 29

Confronto tra insiemi

Dati due insiemi A e B poniamo A - B se c’e una funzione iniettivaf : A→ B; se f e anche suriettiva diremo che A e B sono equipotenti, insimboli A B.

Teorema (Cantor-Schroder-Bernstein)

A B se e solo se A - B e B - A.

Esempi

N 2n | n ∈ N; piu in generale N X per ogni X ⊆ N infinito.

N Z, testimoniato da N→ Z, 2n 7→ n e 2n+ 1 7→ −(n+ 1).

tan: (−π/2;π/2)→ R e una biezione, quindi ogni intervallo (a; b) ein biezione con R.

[a; b] - R e per il punto precedente R - [a; b], quindi R [a; b] perCantor-Schroder-Bernstein. Analogamente per gli intervalli semiapertidi estremi a < b.


N N× N

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0 1 2 3

0

1

2

3

Enumerazione triangolare

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0 1 2 3

0

1

2

3

Enumerazione quadrata

J(x, y) = 12(x+ y)(x+ y + 1) + x.


Insiemi numerabili

Un insieme si dice numerabile se e finito, oppure in biezione con N.

Esempi di insiemi numerabili

N,

Z,

N×N e quindi anche il prodotto cartesiano di due insiemi numerabili,

un sottoinsieme di un insieme numerabile,

Q.

Infatti ogni q ∈ Q puo essere scritto in un unico modo come n/m conn ∈ Z e m ∈ N \ 0, e quindi Q puo essere identificato con unsottoinsieme di Z× N.


Teorema di Cantor

P(A) = B | B ⊆ A e l’insieme potenza di A.P(A) 2A = f | f : A→ 0, 1, B 7→ χB, la funzione caratteristica diB.

Teorema (Cantor)

Per ogni insieme A, non esiste alcuna funzione suriettiva A→P(A). Inparticolare P(A) 6 A.

Dimostrazione.

Se F : A→P(A), l’insieme B = a ∈ A | a /∈ F (a) non puo esseredella forma F (a) per nessun a ∈ A. Infatti se B = F (a) alloraa ∈ B ⇔ a /∈ F (a) = B: una contraddizione.

P(N) non e numerabile.


R non e numerabile

R puo essere costruito come l’insieme delle sezioni di Dedekind, cioel’insieme degli ∅ 6= x ⊂ Q che sono un segmento iniziale di Q (vale a dire:q < p ∈ x⇒ q ∈ x) e sono privi di massimo. Ne segue cheR - P(Q) P(N).L’insieme 2N si inietta nell’intervallo [0; 1] ⊆ R mediante la funzione

C : 2N → [0; 1], s 7→∞∑i=0

2s(i)

3i+1,

quindi P(N) - R. Per Cantor-Schroder-Bernstein R P(N).

R non e numerabile.


La funzione Φ: (AB)C → AB×C che ad ogni F : C → AB associaΦ(F ) : B × C → A definita da

Φ(F )(b, c) = F (c)(b),

e una biezione. Tenendo presente che N× N N, si ha che

R 2N 2N×N RN.

In particolare R - R× R = C - RN, quindi C e equipotente ad R.

Esempio

L’insieme C(R,R) delle funzioni continue da R in R.Infatti una funzione continua reale di variabile reale e completamentedeterminata dalla sua restrizione sui razionali, quindi C(R,R) - RQ da cuiC(R,R) R.


Cardinali infiniti

La cardinalita di un insieme X la si denota con |X|. Useremo κ, λ perdenotare i numeri cardinali. I numeri naturali 0, 1, 2, . . . sono cardinali eℵ0 = |N| e la cardinalita di un insieme infinito e numerabile.

ℵ0 ℵ1 ℵ2 . . . ℵω ℵω+1 . . .

in generale: ℵα+1 e il piu piccolo cardinale > ℵα e se λ e limite ℵλ el’estremo superiore degli ℵα con α < λ.Se X,Y sono insiemi disgiunti di cardinalita κ e λ, allora definiamo κ+ λcome la cardinalita di X ∪ Y .Analogamente definiamo κ · λ come la cardinalita di X × Y .Le operazioni di somma e prodotto sui cardinali sono banali: semax(κ, λ) ≥ ℵ0, allora κ+ λ = κ · λ = max(κ, λ). Invece l’esponenzialedi cardinali

κλ = |XY |

e un’operazione non banale.


L’ipotesi del continuo

R 0, 1N, quindi |R| = 2ℵ0 > ℵ0. Ne segue che 2ℵ0 ≥ ℵ1 e piu ingenerale 2ℵα ≥ ℵα+1.

Ipotesi del continuo CH (Cantor)

Ogni sottoinsieme infinito di R o numerabile oppure e in biezione con R.In altre parole: 2ℵ0 = ℵ1.

Poiche R P(ω), possiamo generalizzare questa congettura:

Ipotesi generalizzata del continuo GCH (Hausdorff)

Sia X infinito. Per ogni A ⊆P(X) o |A| ≤ |X| oppure |A| = |P(X)|.In altre parole: 2ℵα = ℵα+1.

Per i risultati di Godel (1938) e Cohen (1963) ne CH ne GCH sonodimostrabili o refutabili in ZFC, la teoria Zermelo-Frænkel con l’Assioma diScelta.


La funzione i

La funzione i e definita da i0 = ℵ0, iα+1 = 2iα e iλ = supα<λ iα.

Esempi

Gli insiemi infiniti numerabili hanno cardinalita i0 = ℵ0.

R, C, la famiglia dei Boreliani di R, gli spazi di Banach separabili, . . .hanno cardinalita i1 = 2i0 = 2ℵ0 .

RR, Aut(C), la famiglia degli insiemi Lebesgue misurabili, βN lacompattificazione di Stone-Chech dei naturali, . . . hanno cardinalitai2 = 2i1 = 22ℵ0 .

In un certo senso, iα e un concetto piu naturale di ℵα.

CH ⇔ i1 = ℵ1 GCH ⇔ ∀α(iα = ℵα)


Una caratterizzazione degli ℵ

(e1, e2, . . . , en) e la base canonica di Rn.Una retta di Xn di direzione ei con 1 ≤ i ≤ n e un insieme della forma(a1, . . . , ai−1, x, ai+1, . . . , an) | x ∈ X cona1, . . . , ai−1, ai+1, . . . , an ∈ X sono fissati.

Teorema (Kuratowski 1951)

|X| ≤ ℵ0

⇔ ∃A1, A2

[X2 = A1 ∪A2 e ogni retta di direzione ei interseca Ai in

un insieme finito, cioe di cardinalita < ℵ0

].


Teorema (Kuratowski 1951)

|X| ≤ ℵ0

⇔ ∃A1, A2


un insieme finito, cioe di cardinalita < ℵ0

],

|X| ≤ ℵ1

⇔ ∃A1, A2


un insieme numerabile, cioe di cardinalita < ℵ1

],

⇔ ∃A1, A2, A3

[X3 = A1 ∪A2 ∪A3 e ogni retta di direzione ei

interseca Ai in un insieme di cardinalita < ℵ0

],

|X| ≤ ℵ2

⇔ ∃A1, A2


un insieme di cardinalita ≤ ℵ1, cioe di cardinalita < ℵ2

],

⇔ ∃A1, A2, A3

[X3 = A1 ∪A2 ∪A3 e ogni retta di direzione ei

interseca Ai in un insieme di cardinalita < ℵ1

],

⇔ ∃A1, A2, A3, A4

[X4 = A1 ∪A2 ∪A3 ∪A4 e ogni retta di direzione

ei interseca Ai in un insieme di cardinalita < ℵ0

],

eccetera.


Una domanda

Ci sono enunciati matematici equivalenti a CH?


Spazi euclidei

Teorema

CH⇔ ∃A1, A2

[R2 = A1 ∪A2 tali che ogni retta orizzontale interseca A1 in

un insieme numerabile e ogni retta verticale interseca A2 in un insiemenumerabile

](Sierpinski 1919)

⇔ ∃A1, A2, A3

[R3 = A1 ∪A2 ∪A3 tale che ogni retta parallela al vettore

ei ha intersezione finita con Ai (i = 1, 2, 3)]

(Sierpinski 1951)

Teorema

2ℵ0 ≤ ℵn se e solo se ∃A1, . . . , An+2

[A1 ∪ · · · ∪An+2 = Rn+2 tale che

ogni retta parallela a ei ha intersezione finita con Ai].

Piu in generale, per ogni k ≤ n, 2ℵ0 ≤ ℵn e equivalente all’esistenza di unricoprimento A1 ∪ · · · ∪An+2−k = Rn+2−k tale che ogni retta parallela aei interseca Ai in un insieme di taglia < ℵk.


Spazi euclidei

In particolare sono equivalenti:

l’esistenza di un ricoprimento A1 ∪A2 ∪A3 ∪A4 = R4 tale che ogniretta parallela a ei interseca Ai in un insieme finito, cioe di taglia< ℵ0,

l’esistenza di un ricoprimento A1 ∪A2 ∪A3 = R3 tale che ogni rettaparallela a ei interseca Ai in un insieme numerabile, cioe di taglia< ℵ1,

l’esistenza di un ricoprimento A1 ∪A2 = R2 tale che ogni rettaparallela a ei interseca Ai in un insieme di taglia < ℵ2,

il fatto che R sia di taglia < ℵ3, cioe di taglia ≤ ℵ2.


Spazi euclidei

Teorema (Bagemihl 1961 n = 1, Davies 1963 n ≥ 2)

2ℵ0 ≤ ℵn se e solo se c’e un ricoprimento A0 ∪ · · · ∪An+2 = R2 e ci sono0 ≤ θ0 < · · · < θn+2 < π tali che ogni retta di direzione θi ha intersezionefinita con Ai.

I risultati precedenti sono stati generalizzati considerandopartizioni/ricoprimenti della varieta Grassmaniana affine Graff1(Rk), cioel’insieme delle rette di Rk, e anche oggetti geometrici piu complessi(Erdos-Jackson-Mauldin, 1994).


Spazi euclidei

Teorema (Erdos 1943 k = 1, Davies 1972 k = 2, Kunen 1987 k ≥ 3)

Per ogni k ≥ 1, CH vale se e solo se c’e una partizione Dn | n ∈ ω diRk tale che per ogni n ∈ ω l’insieme Dn ha distanze diverse, vale a dire:per ogni P0, P1, P2, P3 ∈ Dn

0 6= d(P0, P1) = d(P2, P3) ⇒ P0, P1 = P2, P3

dove d e la metrica usuale di Rk. Equivalentemente: se i punti Pi sonodistinti d(Pi, Pj) | 0 ≤ i < j ≤ 3 ha taglia 6.


Spazi euclidei

Una nuvola di centro C ∈ R2 e un sottoinsieme di R2 che ha intersezionefinita con ogni retta passante per C; uno spray di centro C e unsottoinsieme di R2 che ha intersezione finita con ogni circonferenza dicentro C. R2 non puo essere ricoperto da due nuvole o da due spray.

Teorema

CH se e solo se R2 e ricoperto da tre nuvole; inoltre queste tre nuvolepossono essere prese con centri (0, 0), (0, 1) e (1, 0) (Komjath 2001).

2ℵ0 ≤ ℵn se e solo se R2 e ricoperto n+ 2 nuvole (Komjath 2001 eSchmerl 2003).

R2 e ricoperto da tre spray i cui centri non sono allineati (Schmerl2010)

CH se e solo se R2 e ricoperto da tre spray i cui centri sono allineati(de la Vega 2009).


Analisi complessa.

Se F e una famiglia di funzioni intere e z ∈ C definiamoFz

def= f(z) | f ∈ F. Chiaramente, se F e numerabile, allora anche Fz lo

e.

Teorema (Erdos, 1964)

¬CH vale se e solo se per ogni F , se Fz e numerabile, per qualsiasi z ∈ C,allora F e numerabile.

F e κ-piccola se |Fz| < κ per ogni z ∈ C.

Lemma

Se κ < 2ℵ0 e F e κ-piccola, allora |F| < κ.

Corollario

Se Fz e finito per ogni z ∈ C, allora F e finita e quindi c’e un numero ntale che |Fz| ≤ n per ogni z.


Analisi complessa

Quindi se vale CH, allora c’e una F di taglia 2ℵ0 che e 2ℵ0-piccola edErdos chiese se questa implicazione potesse essere invertita.

Teorema (Kumar-Shelah 2017)

E coerente con ZFC che esista una famiglia F di taglia 2ℵ0 > ℵ1 che sia2ℵ0-piccola.

In quel modello il continuo e piuttosto grande 2ℵ0 = ℵω1 e non e noto seuna risposta negativa al problema di Erdos si possa ottenere quando ilcontinuo e piu piccolo, per esempio quando 2ℵ0 = ℵ2.


Analisi reale

Teorema (Davies, 1974)

CH e equivalente a ciascuno dei seguenti enunciati:

1 Per ogni f : R2 → R ci sono gn, hn : R→ R tali che per ogni(x, y) ∈ R2 l’insieme n ∈ ω | gn(x) · hn(y) 6= 0 e finito ef(x, y) =

∑n gn(x) · hn(y).

2 Come sopra, ma con f(x, y) = ex·y.

Teorema (Morayne 1987)

Per ogni k ≥ 1, CH e equivalente all’esistenza di una suriezione(f1, . . . , fk, fk+1) : R→ Rk+1, dove fi : R→ R e 1 ≤ i ≤ k + 1, tale cheper ogni x ∈ R almeno una delle fi e derivabile in x.In particolare, CH⇔ ∃(f1, f2) : R→ R2 suriettiva tale che o f ′1(x) esiste of ′2(x) esiste per ogni x ∈ R.


Aspetti fondazionali

Teorema (Godel 1938)

GCH non e refutabile a partire da ZFC, cioeCon(ZFC)⇒ Con(ZFC + GCH).

Teorema (Cohen 1963)

CH (e quindi a maggior ragione GCH) non e dimostrabile a partire daZFC: Con(ZFC)⇒ Con(ZFC + 2ℵ0 = ℵ2).

La funzione esponenziale κ 7→ 2κ e uno degli argomenti piu studiati inteoria degli insiemi.

Ci sono prospettive per decidere CH, cioe per deciderequanti sono i numeri reali?


Scenari possibili

Considerato che il metodo del forcing ci consente di violare o di verificarel’ipotesi (generalizzata) del continuo a nostro piacimento, si prospettanodue possibilita:

Possibilita 1 CH e quindi GCH non saranno mai decisi ed i vari modelliche gli insiemisti hanno prodotto e continuano a produrresono l’analogo della pletora di modelli che si studiano nellevarie discipline.

Possibilita 2 troveremo dei nuovi assiomi della teoria degli insiemi chedecideranno il problema del continuo.

Quali assiomi?


Nuovi assiomi

Godel 1947

There might exist axioms so abundant in their verifiable consequences,shedding so much light upon a whole discipline, and furnishing suchpowerful methods for solving given problems (and even solving them, asfar as that is possible, in a constructivistic way) that quite irrespective oftheir intrinsic necessity they would have to be assumed at least in thesame sense as any well established physical theory.

Godel sembrava propenso a credere che 2ℵ0 = ℵ2.


Cohen 1966

A point of view which the author feels may eventually come to beaccepted is that CH is obviously false. The main reason one accepts theaxiom of infinity is probably that we feel it absurd to think that theprocess of adding only one set at a time can exhaust the entire universe.Similarly with the higher axioms of infinity. Now ℵ1 is the cardinality ofthe set of countable ordinals, and this is merely a special and the simplestway of generating a higher cardinal. The set 2ℵ0 is, in contrast, generatedby a totally new and more powerful principle, namely the power set axiom.It is unreasonable to expect that any description of a larger cardinal whichattempts to build up that cardinal from ideas deriving from thereplacement axiom can ever reach 2ℵ0 .Thus 2ℵ0 is greater than ℵn, ℵω, ℵa, where a = ℵω, etc. This point ofview regards 2ℵ0 as an incredibly rich set given to us by one bold newaxiom, which can never be approached by any piecemeal process ofconstruction. Perhaps later generations will see the problem more clearlyand express themselves more eloquently.


Woodin: la prima fase (1995–2005) Ω-logic

L’universo degli insiemi e stratificato

V =⋃α∈Ord Vα =

⋃κ∈Card Hκ

Vα = x | rank(x) < α e la gerarchia di von Neumann, eHκ = x | |TC(x)| < κ e TC(x) = x ∪

⋃x ∪

⋃⋃x ∪

⋃⋃⋃x ∪ . . .

Hω e Hω1 sono la famiglia degli insiemi ereditariamente finiti eereditariamente numerabili, rispettivamente.〈Hω,∈〉 e equivalente a 〈N,+,×〉 ed e adeguatamente assiomatizzatadall’aritmetica di Peano PA.〈Hω1 ,∈〉 e equivalente a 〈P(N),N,+,×,∈〉 ed e adeguatamenteassiomatizzata dall’aritmetica del second’ordine con l’aggiunta dell’assiomadi determinatezza proiettiva PD


Woodin: la prima fase (1995–2005) Ω-logic

Woodin ha individuato la corretta assiomatizzazione per 〈Hω2 ,∈〉assumendo grandi cardinali: e una teoria invariante per forcing e implicache 2ℵ0 = ℵ2.Per fare questo Woodin ha individuato un’estensione della logica delprim’ordine, la Ω-logic, in cui si definisce una nuova nozione di derivazione`Ω e una nuova relazione di soddisfazione |=Ω che sono invarianti perforcing.Questi risultati si trovano nel libro The axiom of determinacy, forcingaxioms, and the nonstationary ideal De Gruyter 1999, 934 pagine


Woodin: la seconda fase (2010–2018) Ultimate-L

W.H. Woodin ha sviluppato un formidabile apparato matematico al fine direalizzare un ambizioso programma che, se coronato dal successo,fornirebbe una chiara indicazione sulla verita di CH e GCH.Il punto di partenza e un risultato di dicotomia che asserisce che al disopra di un cardinale extendible, la classe degli insiemi ereditariamentedefinibili a partire dagli ordinali HOD e molto simile a V oppure e moltodifferente da V. L’obbiettivo di Woodin e dimostrare che la secondapossibilita non puo avvenire e nel contempo dimostrare che HOD deveessere simile ad L, l’universo costruito da Godel, da cui Ultimate-L.

Suitable extender models I, J. of Math. Logic 2010, p. 101–339

Suitable extender models II, J. of Math. Logic 2011, p. 115–436

In search of Ultimate-L, Bull. of Symb. Logic 2017, p. 1–109

Fine structure at the finite levels of supercompactness, 710 pagine

The Ultimate-L conjecture, 419 pagine


Osservazioni finali

Faccio mie le seguenti osservazioni di Woodin:

Woodin 2001

So, is the Continuum Hypothesis solvable? Perhaps I am not completelyconfident the “solution” I have sketched is the solution, but it is for meconvincing evidence that there is a solution. Thus, I now believe theContinuum Hypothesis is solvable, which is a fundamental change in myview of set theory.. . .The universe of sets is a large place. We have just barely begun tounderstand it.

Il punto di partenza di tutto questo e nel lavoro di Georg Cantor.

Grazie per l’attenzione!


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