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Liceo Scientifico “E. Fermi”Aversa (CE)

Indice degli argomento trattati a scuola negli incontri del laboratorio Concetto di misura. Misura dell'area di una superficie

rettangolare A usando come unità di misura vari oggetti.

Cambiamento di unità fattore di conversione

Analisi dati. Errori di misura.

Col metodo della conta dei campioni di misura ,ricavare le formule per il calcolo dell’area delle seguenti figure : rettangolo,quadrato,parallelogramma, triangolo isoscele, scaleno,i trapezi (rettangolo, isoscele, scaleno).

Ricondurre le aree dal quadrato in poi a quella del rettangolo.

Ricerca di una tecnica per il calcolo dell’area di un rombo simmetrico, asimmetrico, di un deltoide.

Trasformazioni del piano per ricondurre le aree a quella di un rettangolo.

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La formula di Erone Il geopiano. Calcolo di aree irregolari con il

teorema di PICK. Calcolo di aree di figure di forma qualsiasi,

metodo di esaustione. Ricerca storica sulla teoria della misura e

su come essa si sia evoluta nel corso dei secoli. Personaggi evidenziati Erone, Archimede.

La vita di Archimede Archimede fisico

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Archimede Matematico: il problema dei buoi e la

quadratura della parabola Il conicografo a filo teso : la

parabola Il metodo dell’equilibrio di

Archimede per il calcolo del segmento parabolico

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In breve la nostra esperienza Archimede matematico Il conicografo Il metodo dell’equilibrio di Archimede per il

calcolo del segmento parabolico

Argomenti selezionati per la

presentazione di oggi

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Questo progetto ci ha fatto amare ancora di più la matematica, in quanto ci ha permesso di verificare praticamente nozioni e teoremi, ma ancor di più ci ha permesso di conoscere meglio un genio come Archimede. Siamo passati dal calcolo dell‘area di un rettangolo, utilizzando vari campioni di misura e vedendo quante volte le varie unità di misura prese arbitrariamente erano contenute nel rettangolo

LA NOSTRA ESPERIENZA

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Ci siamo occupati del calcolo dell’area di figure regolari per poi utilizzare i risultati per il calcolo di formule per dell’area di figure di forma diversa, anche strane, attraverso il metodo applicato nella prima fase delle attività e riconducendole, in questo modo, all’area di un rettangolo.

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Poi abbiamo trattato dell’utilità di altre formule per il calcolo delle aree di figure irregolari, quindi evidenziato e approfondito la formula di Erone e il teorema di Pick.

Infine il modello con cui Archimede riuscì a misurare l’area del segmento parabolico e per costruirlo non abbiamo voluto utilizzare mezzi moderni .

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Archimede

Archimede uno dei massimi scienziati della storia. Fu matematico, fisico, inventore di grandissima genialità

Nacque a Siracusa nel 287 a.C. Il suo nome è legato a fondamentali studi dell’idrostatica (equilibrio dei liquidi) e soprattutto sul calcolo delle aree e dei volumi. Egli studiò ad Alessandria d’Egitto ma rientrato a Siracusa si applicò ai suoi studi: la matematica, la fisica, l’ottica, la geometria e l’astronomia. Nel 212 a.C. le truppe romane saccheggiarono Siracusa e Archimede fu assassinato da un soldato.

A lui si deve la teoria della leva che lo portò a pronunciare la celebre frase: “ Datemi un punto d’appoggio e vi solleverò il mondo”.

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Archimede matematico

Il problema dei buoi è costituito da due manoscritti che presentano un epigramma nel quale Archimede sfida i matematici alessandrini a calcolare il numero di buoi e vacche degli Armenti del Sole risolvendo un sistema di otto equazioni lineari con due condizioni quadratiche. Si tratta di un problema diofanteo espresso in termini semplici, ma la sua soluzione più piccola è costituita da numeri con 206.545 cifre.

IL PROBLEMA DEI BUOI

La questione è stata affrontata sotto un diverso punto di vista nel 1975 da Keith G. Calkins, ripreso successivamente nel 2004 da Umberto Bartocci e Maria Cristina Vipera, due matematici dell'Università di Perugia. Si fa l'ipotesi che un "piccolo" errore di tradizione del testo del problema (non "traduzione"!) abbia reso "impossibile" (quasi una beffa, e c'è anzi chi ha concluso che proprio tale era l'intenzione di Archimede!) un quesito che, formulato in maniera leggermente diversa, sarebbe stato invece affrontabile con i metodi della matematica del tempo.

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Costruzione del conicografo Abbiamo costruito il conicografo a filo teso per disegnare il segmento parabolico. Per questo è stato utilizzato un piano di cm 98x40.Trovata la metà della lunghezza è stata disegnata una linea verticale sulla quale è stato fissato il fuoco O. Successivamente sono state costruite due aste a forma di L che fungono da guida queste aste misurano 41,5cm x 17,5cm che sono state fissate con una piccola asta di 10,5cm per evitare che si aprissero.

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E’ stato utilizzato un filo di lunghezza 41,5cm uguale alla lunghezza dell’asta AH

E’ stata fissata un’asta s lungo la lunghezza del piano che funge da direttrice della parabola. Si fa scorrere l’asta ad “L” sulla direttrice s e contemporaneamente con una matita, mantenendo il filo teso sull’asta mobile, si disegna un arco di parabola che ha il fuoco in O.

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L’asta mobile AH è uguale alla lunghezza del filo, per cui la distanza PO del punto P dal fuoco O è uguale ad AH-AP. Ma AH-HP è uguale a PH, e quindi il ramo della parabola è il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso O e da una retta fissa.

Nella macchina il sistema è raddoppiato in modo da poter disegnare due archi simmetrici di parabola.

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Il metodo dell’equilibrio di

ArchimedeDella breve opera Il Metodo di Archimede  (287-212 a.C.) si erano perdute le tracce a partire dai primi secoli dell’Era cristiana, fino alla sua riscoperta avvenuta nel 1906. Fu in tale anno che Heiberg, recatosi a Costantinopoli per esaminare un manoscritto del X secolo su un rotolo di pergamena proveniente dal monastero del santo Sepolcro di Gerusalemme, scoprì in esso la riproduzione del testo greco di vari scritti di Archimede tra cui una lettera indirizzata ad Eratostene un suo amico e direttore della biblioteca di Alessandria.

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Dall’insieme dell’opera e in particolare dall’Introduzione si ricava il metodo meccanico: esso risulta dalla felice combinazione di ragionamenti meccanici e di ragionamenti infinitesimali, ed è utile tanto per la determinazione di centri di gravità che per quadrature e le cubature delle figure piane.

Nei suoi tratti essenziali lo schema del nuovo metodo è il seguente: ogni figura si considera composta di elementi infinitesimali, che sonolinee rette nel caso di figure piane e superfici nel caso di solidi.

In ogni figura il numero degli elementi è infinito, ma Archimede dice soltanto che ogni figura è composta o riempita da tutti i suoi elementi.

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Il risultato di ciò che appariva riducibile, nel linguaggio moderno, ad una integrazione, e cioè il calcolo di un’area o di un volume, veniva ricondotto all’esistenza di un punto di equilibrio della massa geometrica.Se si ripensa, ad esempio, al calcolo archimedeo dell’area di un segmento parabolico, tutto qui viene ricondotto all’esistenza di un centro di equilibrio tra un triangolo e detto segmento trasferito in una regione opportuna del piano.

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Questo centro di gravità, capace di annullare, se sostenuto, gli sbilanciamenti provocati dal peso, esercita il suo potere di equilibrio sulla infinità dei segmenti rettilinei di cui si può immaginare “composto” rispettivamente il triangolo ed il segmento parabolico. Per questa funzione equilibratrice procede, da un punto, il bilanciamento di due aree, e, in ultima istanza, la scoperta di una perfetta armonia di rapporto tra l’area del segmento parabolico e l’area del triangolo inscritto: l’uno è i 4/3 dell’altro.

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Ispirati al metodo di Archimede abbiamo con il conicografo costruito un segmento parabolico ABC,di vertice B , BE è l’asse della parabola che incontra in E la tangente alla parabola in C e in Z la parallela a BD in A.

Archimede aveva dimostrato che la sottotangente ED ha il vertice B come punto medio, DB=BE, quindi ZK=KA , CB=BK,essendo K il punto in cui CB incontra AZ,Ne consegue che S(ABC)= 1/2 S(ACK) =1/4 S(ACZ)

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Archimede posiziona un punto X su AC e traccia la linea XM perpendicolare ad AC con O ed N rispettivamente sulla parabola e su CK. E con le proprità della parabola dimostra che MX:OX=AC:AX

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Si prolunga CK di un segmento KT = CK e poi si trasporta Il segmento OX in T con SH = OX e ad esso parallelo. A causa del parallelismo si ha MX:OX=KC:KN e quindiMX:SH=KT:KN

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Archimede considera MX e SH come pesi su una bilancia a bracci TK , KN e fulcro K .Questo vale per tutte le linee OX ,la cui somma è il segmento parabolico e tutte le linee MX la cui somma è il triangolo ACZ.

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Il triangolo ACZ posizionato in N è in equilibrio con il segmento parabolico ABC posizionato in T rispetto al fulcro K. Ma essendo N variabile perché dipende da X,lo si può posizionare nel baricentro di ACZ a 1/3 da K

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Siccome il braccio di ACZ è 1/3 del braccio del segmento parabolico ABC si ha che S (ACZ)= 3 S segm parab (ABC)S segm parab (ABC)=1/3 S (ACZ)= 4/3 S (ABC)

L’area del segmento parabolico ABC è 4/3 dell’area del triangolo isoscele

ABC inscritto in esso

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Con la bilancia elettronica, abbiamo pesato il triangolo ed il segmento parabolico. La bilancia elettronica è uno strumento dotato di un unico piatto e di un display digitale. Si pone l'oggetto da pesare sul piatto, ed il display indica immediatamente la sua massa con una precisione (in questo caso) di 0,01 g. Si noti che la bilancia dispone di un tasto per l'azzeramento automatico, che consente di riportare a zero il display qualunque massa vi sia posta sopra; ciò è particolarmente utile per apprezzare le variazioni di massa, specie se piuttosto piccole. Il triangolo pesa 72.90g mentre il segm parabolico 27,49g per questo abbiamo aggiunto al segm parabolico una zavorra di 3.2 g e abbiamo risistemato il braccio della bilancia.

grazie