Libro de Economia Matematica III

7/26/2019 Libro de Economia Matematica III

1/90

FACULTAD DE INGENIERA

ECONMICA

Escuela Profesional Ingeniera Econ!ica

LIBRO DE MATEMTICA

TEMA: DINMICA ECONMICA Y CLCULO INTEGRAL

CURSO:ECONOMA MATEMTICA III

DOCENTE:WILLIAM PARRILLO MAMANI

PRESENTADO POR: DIGNA YUDITH MAMANI NINA

LISBETH WHITNEY CALLI VILCA

EUDOMAR SANTOS QUISPE

BRENDA HASLEY REJES CCOSI

HERIBERTO TURPO QUIRO

SEMESTRE: TERCERO

GRUPO: B

PUNO PER

20!


2/90

DINMICA ECONMICA Y CLCULO INTEGRAL

Dinmica Nominal:


3/90

I" INTEGRALES INDE#INIDAS $%&


4/90

II" REGLAS DE INTEGRACI'N

1. regla pote!"al:

# # $ !

# $ !

E%er!"!"o&:

1' # $ ! (' # $ !

)' # $ ! *' # $ !

+'

# $! ,' # $ !

-'

# $ ! ' # $ !

/' # $ ! 10' # $ !

2" ()*+, -) ./, -1)()341,5

#E%er!"!"o&:

# #10 ' # $ !


5/90

6" ()*+, -) +, /34173 )89:3)341,+5

a'

E%er!"!"o&:

1' -'

)' /'

+' ('

E2!ep!"3:

4'

Ejercicio:

1)

Repasando:

1)

2)


6/90

3)

4. Regla logartmica

a)

Ejercicio:

1) , si x0

b)

Ejercicio:

1)

5. Regla de sustitucin:

Ejercicios:

1)

Por sustitucin:


7/90

2)

Por sustitucin:

3)

4)

5)


8/90

6)

;" I3


9/90

3) )

4)

5)


10/90

)

!)

")


11/90

#)

x (x+1)1 /2 dx

INTEGRACION POR PARTES5

x (x+1 )1

2 dx = X .2

3. (X+1 )

1

2- 2/3 (X+1)

3

2 dx

U=x > du = dx

dv = 1(x+

1)

1 /2

dx


12/90

V=2

3(x+1)3/2

=2x . (x+1)3/2

3-

2

3

2

5(x+1)5/2 + C

=2x . (x+1)3/2

3-

4

15(x+1)5 /2+C

=2(X+1)5 /2

5-

2(X+1)3 /2

3+ C

INTEGRACION POR SUSTITUCION5

x (x+1 )1

2 dx =

u2

(1) .2u.du

=

2u4

(2u2)du

U= (x+1)1 /2

>u2=x+1

X = u21

= 2 u5

5 .2u

3

3 +C

Reemplazando =2(x+1)5/2

5 .

2(x+1)3/2

3+ C

COMPROBANDO5

F(x)=

2(x+1)5/2

5 .

2(x+1)3/2

3

dy

dx=2.

5

2(x+1)3/2

5- 2.

3

2(x+1)1 /2

3

dy

dx=(x+1)

3

2(x+1)1 /2

dy

dx=(x+1)1 /2

(x+11)


13/90

dy

dx=(x+1)1 /2x

Ejemplo

E!alua" la #n$e%"al& (4x3 ) dx , si y=5 ; x=0

'olu#n&

(4x

3

) dx=2x

2

3x+C

*=(x)= 2 x23x+C ........ ()

Remplazando (x)=, en () en la eua#n ()

5= 2 023 (0 )+C

C = 5

>y=f(x )=2x23x+5

Ejemplo 2

Reol!e"&dy

dx=2x 9x2 ( 5=1

SOLUCION5

d f(x )= 2x9x2dx

F(x) =

9x2x (2)1/2 dx

Remplazando

= ( 5 = -

9x(2)3/2+C

2

3


14/90

= -

95(2)3/2+C

2

3

=2

3 . / + C

19

3=C

F(X) = -

9X

( 2)2/3+19

3

2

3

APLICACIONES A LA ECONOMIA

1.- COSTOS5El o$o $o$al (C0=*) de p"odu#" ome"#al#za" una an$#dad(1=X) de #ene e$a dado po" la #%u#en$e un#n&

C0= (1) o *= (X)

El o$o ma"%#nal e&

C% =dCT

dQ =dy

dx

dCT

dQ=CMg

dy

dx=CMg

dCT = CMgdQ

dy=CMgdx

CT=CMg dQ = CMgdx

EE78& ea la un#n de C%

dCT

dQ=900.5 Q


15/90

9alla" la un#n de C0 # uando la emp"ea p"odue , un#dade el C0=':. ,,

SOLUCION5

dCT= (900.5Q ) dQ

C0= ;,1 < 0.5Q

2

2 + C

,,= ;,(,) < ,.5 (10)2+C

,, = ;,, < 25 + C

-5= C

C0= ;,1 < ,.25 Q2

775

2"= INGRESOS

'ea la un#n de demanda& = (1) o * = (X)

>onde&

* = = "e#o po" un#dad

X = 1 = Can$#dade de un#dade demandada

El #n%"eo $o$al e&

?0 = .1 = (1).1 = (X).X

El #n%"eo ma"%#nal e&

dIT

dQ=IMg=f (Q ) .Q+ f(Q )

7a un#n de ?0 e #%ual a la #n$e%"al del ?% on "epe$o a 1

dIT=IMgdQ

?0 = IMg dQ

Ejemplo&

'ea la un#n de ?%& ?@(1) =/ - 6(1) - 3 Q2

a) 9alla" la un#n de ?0 '# ?0(,) = ,) 9alla" la un#n de demanda

S:+/4173 $,&


16/90

dIT

Q =I (Q )

86 Q3 Q2

( )dQ

dIT=

?0 = /16 Q

2

2

3 Q3

3 +C

?0(1) = ?0 = /1 -6 Q

2

2

3 Q3

3 + C

?0(,) = ,

, = /(,) < 3 (0)2(0 )3+C

C = ,

?0 = /1 - 3 Q2Q3

S:+/4173 >&

?0 = .1

=IT

Q

=8Q3 Q2Q3

Q

= / - 31 - Q2

INTEGRALES DE #UNCIONES TRIGONOMETRICAS

) senudu=cosu+C ; cosudu=senu+C

2) sec2udu=tgu+C A csc

2udu=ctgu+C

3) tgudu=ln cosu+C A ctgu du=ln senu+C


17/90

= ln eu + C = ln u + C

4) secudu=ln (secu+tgu )+C ; cscudu=ln (cscuctgu)+C

= ln $%(u

2+

4 A ln tan

u

2+C

5) tg2udu= tanuu; ctg2udu=ctguu

6) sen2udu=

u

2

sen2u

4 ;cos2u du= u

2

sen2u

4

=1

2(usenu.cosu)=1

2(u+senu.cosu)

E?)9+:.5

.- tanu du=sinu

cosudu

o" u$#$u#n&

x = cosu

dx = - sinu du

du = -dx

sinu

tgu du= senux (dxsenu

)

1xdx=lnx+C

= - lnou + C

= ln

cosu

= ln1

cosu+C


18/90

= lneu + C

2.- sen (5x ) dx =cos (5x)

5 +C

sen (5x ) dx= senudu5

u = 5x >du=5 dx & dx=du

5

sen (5x ) dx =1

5 senu du

sen (5x ) dx =cos5x

5 +C

COMPROBANDO5

(x) =cos5x

5

@(x)=(sen5x . 5)

5

@(x)= en5x

3.- (42 cos)3sen d= u3 sen( du

2 sen)

u= 4-2oB > du=2enB dB A dB=du

2 sen

12u3 du

=1

2

u4

4+C

=(42cos)4

8 +C

COMPROBANDO5


19/90

f(x )=(42cos)4

8

f (x )=4 (42 COS)3 .2(sen)

8

f (x )=(42 cos)3 sen

4.- ctg (12x )dx=ln sen(12x )

2 +C

U= -2x > du=-2dx A dx=du

2

= ctgu(du

2)

=1

2ctgu du

=1

2 ln senu+C

=12 ln sen(12x )+C

COMPROBANDO5

F(x)=1

2 ln sen(12x )

@(x)=1

2 .

cos (12x ) .2sen(12x )

@(x)=cos (12x)sen(12x)

@(x)= $%(-2x)

INTEGRALES DEFINIDAS


20/90

'ea la #n$e%"al #nden#da& f(x ) dx=F(x)+C

7a #n$e%"al den#da dede (a) Da$a () e&

!

f(x ) dx

>onde&

a= lm#$e #ne"#o" de #n$e%"a#n

= lm#$e upe"#o" de #n$e%"a#n

!

f(x ) dx=F(! )+C(F( )+C)

= F()-F(a)

E?)9+:5

.-

x4

4

x3dx=()3

1

3

=3

4

4

14

4

=81

4

1

4

= 2,

2.-

!

2 ex

dx=2 e!2 e

PROPIEDADES


21/90

.-

!

f(x ) dx=!

f(x ) dx

Ejemplo&

3

1

x3dx=(

x4

4)

= -( 1

4

4

34

4

= - (181

4

= 2,

2.-

f(x ) dx=0

3.-

!

"f(x ) dx="

!

f(x ) dx

4.-

!

[ f(x)+g(x )]dx =

f(x ) dx+

!

g (x )dx

!

5.- = ()+(2)+(3)+(4)

=

f(x ) dx+c

d

f(x ) dx

f(x ) dx+!

c

f(x ) dx+

!

0

6.-

!

uv=uv

!

vdu

E?)9+:5

.- 2

2

xdx=

2

0

xdx+

0

2

+xdx=

(0

2

222

2

)+(

22

2

02

2)


22/90

= +2+2

=4 u2

2.- 'ea&

*=(x)= x+5 A -2 # x #0

5 A , x


23/90

0

2

xex2=

0

2

eudu=eu=

1

2 ( e

41

4.-

e3x

34xe

3x

3

4xe3x

dx=4x ()1

2e

3x

3 4 dx=

1

2

- 4e

3x

9 H

=G

4 (2 ) e3 (2)

3 4e

3 (2)

9 [ 4 (1 ) e

3 (1)

3 4 e

3 (1 )

9 ]

=8 e

6

3

4 e6

9

4 e3

3 +

4 e3

9

=20 e

6

9

8 e3

9

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

.-

x+1x+1

1

x+1

( )dxx+11

x+1 dx=

X

X+1dx=

=

x+1

11

()dx

= x-lnx++C

2.- (ex+ex) dx=ex+ex

1+C=exex+C


24/90

3.- u+1

1+u2du

I 1

2

+u2du=

1

$ctg( u )+C

=1

tg

1( u )+C

( u1+u2+ 1

1+u2 )du= u

1+u2du+ 1

12+u2

du

X= 1+u2=dx=2udu;du=

dx

2 u

=

u

x.dx

du

)dx

1

2 1

xdx

=

1

2ln 1+u2

=1

2ln 1+u2+$ctg (u )+C

4.- 1u21

du= %u+1

du+ &u1

du=

12

u+1du+

1

2

u1du

=1

2 1

u+1du+

1

2 1

u1du

=1

2 ln (u+1 )+

1

2ln (u1 )+C

?n$e%"ando po" pa"#ale


25/90

1

u21

= 1

(u+1)(u1)

1

u21

= %

u+1+

&

u1

1

u21

=(u1 )%+ (u+1 ) &

u21

= (u-) + (u+)J >Siu=1; 1=0%+2 & '&=1

2

'# u = - A = -2 + ,J ' %=1

2

COMPROBANDO

f(x )=12 ln (u+1 )+

1

2ln (u1 )

f (x )=1

2 .

1

(u+1)+

1

2.

1

(u1)

f (x )=(u+1 )+(u1)2(u+1)(u1)

f (x )= 1

u21

5.- (1+ ln (xy ))dx=dx+ ln (xy ) dx

u= lnx 'du=dx

x

dv= dx

!=x

= x + Gln(x).x -x

dx

x

= x + xlnx < x +C


26/90

= xlnx + C

COMPROBANDO(x)= xlnx

f (x )=x . y

xy+ ln (xy )

@(x) =+ln(x)

6.- ( tg(+sec( ) cos(d(

'olu#n

sen(cos(

. cos(d(+ 1cos(

.cos( d(

( sen(+1) d(

sen(+d(

-o (+(

C8R8JK>8

F( (=cos(+(

F@( (=(sen( )+1

F@( (=sen(+1

INTEGRAL SUPERIOR5 A9(:81,4173 9:( )84).:

>eeamo Dalla" el L"ea de la "e%#n ao$ada po" la %"La de la u"!a

= x2, el eje de la a#a po" la "e$a x= x=5


27/90

-6 -4 -2 , 2 4 6,

5,

5

2,

25

3,

= 1

5

x2dx=

x3

3 =5

3

3

13

3 =124

3 =4.33 u2

EE78

>e$e"m#na" el L"ea l#m#$ada po" la u"!a x2 (y1 )=4

'87UC?8K

x2y=x4=x2 (y1 )=4

x2 (1y )=4

X=

)

4

1y

'# =, >x=) 410=)4=)2'# =- >x=)2

-5 -4 -3 -2 - , 2 3 4 5

-3.5

-3

-2.5

-2

-.5

-

-,.5,

,.5

Eje x


28/90

=

14x2

(1 4x2 )dx=24

()dx

2

4

= (x - 4x

1

1

= (4+4

4(2+

4

2)

= u2

2.-8$ene" el L"ea l#m#$ada po" la u"!a = x3+3x2 po" el eje x po" la

"e$a x=, x=2

'olu#on

-3 -2 - , 2 3,

5,

5

2,

25

C8

*@ = 3x2+6x=0 'x=0y=0

3x(x+2)=, x=-2 =4

EE X

= 0

2

(x3+3x2)dx

=x

4

4+

3x3

3

=16

4 + /


29/90

= 2 u2

3.- 9alla" el L"ea de la "e%#n ao$ada po" la %"aa de la un#n (x)=

x2+2 el eje x la "e$a x=-2 x=2

'olu#on

-2.5 -2 -.5 - -,.5 , ,.5 .5 2 2.5,

2

4

6

/

,

2

C8

*@= 2X-2 >X=1*=1

EE X

2

2

x22x+2

x3

3x2+2x

-(8

344 +(

8

34+4)

32

3+

8

3

40

3u

2


30/90

AREA COMPRENDIDA ENTRE DOS CURVAS

Caso A:

y=f(x)

y=g(X)

a

%=

!

[ f(x )g(x) ]dx

Trabajo encara!o

8$ene" el L"ea l#m#$ada po" la u"!a y=x3+3x2 po" el eje x

po" la "e$a x=0 x=2

-2.5 -2 -.5 - -,.5 , ,.5 .5 2 2.5,

5

,

5

2,

25


31/90

CPO: y +=3x2+6x

3x (x+2)=0

x=0y=0

x=2y=4

C'8& y + +=6x+6

x=0y + +>0in

x=0y + +


32/90

-2.5 -2 -.5 - -,.5 , ,.5 .5 2 2.5,

2

4

6

/

,

2

C8 y +=2x2

x=1y=1

C'8 y + +>0in

- En el eje x

(x22x+2) dx+0

2

(x22x+2)dx

2

0

32

3+

8

3=

40

3

Cao J

%=

c

( g (y )f(y ))dy+c

!

( f(y )g (y )) dy


33/90

-9alla" el L"ea de la"e%#n l#m#$ada po"&

y=x3+2x2 y=3x

- C8y +=3x2+4x

x (3x+4 )=0

x=0,y=0

x=4

3 , y=1,18

-C'8

y + +=6x+4

Si x=0,y + +=6 (0 )+4>0in

Si x=4

3 , y + + =6(43)+4


34/90

x (x+3)(x1)=0

x=0,y=0

x=3,y=9

x=1,y=3

-3.5 -3 -2.5 -2 -.5 - -,.5 , ,.5 .5

-,

-/

-6

-4

-2

,

2

4

%=2

0

(x3+2x23x ) dx+0

1

(3xx32x2 )dx

1

2133

%=(34

4 +

2x3

3

3x2

2)+


35/90

%=( 814 18272)+(32 1423 )

%=45

2+

7

12=

71

6u

2

9alle el L"ea po" la "e%#n l#m#$ada de la un#n x=4yy2

la "e$a x=2y3

En x=2y3 :x=0,y=32=1.5y=0,x=3

En x=4yy2

C8

x+=42y

y=2,x=4

C'8

x+ +=2


36/90

-6 -4 -2 , 2 4 6

-.5

-

-,.5

,

,.5

.5

2

2.5

33.5

-

4yy22y+3

%=1

3

%=(2y

2

y

3

3y2

+3y )13

112

%=(2 (32 )33

332+3 (3 ))

%=95

3=

32

3=10

2

3

INTEGRALES MULTIPLES

1

4

0

3

(2x )dxdy


37/90

x2

1

4

1

4

(3202)dy

91

4

dy

y

9

27

0RJ8 EKCRM>8

1

2

yy

y2

0

lnx

e-

d-dxdy

e-

1

2

yy

y2

1

2

yy

y2

(elnxe0)dxdy

1

2

yy

y2

(x1)dxdy


38/90

x2

2x

1

2

y

1

2

y(y4

2y2

y2

2+y)dy

1

2

(y

5

2y3y

3

2+y2)dy

1

2y

5

2dy

1

23y

2

2 dy+

1

2

y2dy

J C

-En = 1

2 y5

2dy

%=(y

6

12)

1

2

%=2

6

12

1

12=

21

4

-En J= 1

2 3y3

2 dy

&=(3y

4

8 )

1

2

&=3(2)4

8 +

3(1)8 =

45

8


39/90

-En C= 1

2

y2dy

C=(y

3

3

)1

2

C=2

3

3

1

3=

7

3

21

4+

45

8+

7

3=

47

24

INTEGRALES IMPROPIAS'on la #n$e%"ale den#da on uno de lo lm#$e de#n$e%"a#n #nn#$a o on amo lm#$e de #n$e%"a#n#nn#$a.

f(x)dx= lim! '

!

f(x)dx

!

f(x )dx= lim'

!

f(x)dx

f(x )dx=lim!'

!

f(x)dx

E!alua" 1

dx

x2=

1

1

x2dx

x1

1!

x

2dx= lim

!'

1

!

lim!'


40/90

1

(1)1!

(+1)(!1 )=lim!'

lim!'

1+1=1u2

,.5 .5 2 2.5 3 3.5 4,

2

3

4

5

6

Calule 0

x e2x

dx

lim! '

0

xe2x

dx

u=x

du=dx

dv= e2xdx


41/90

v=e2x

2

x e2x

2

e2x

4

lim!'

!

2 e2!

(1

4 e2 !+

1

4)

lim! '

lim! '

!

2e2!lim

! '

1

4e2!+ lim

! '

1

4

o" 9op#$al&

lim! '

!

2 e2 !lim

!'

1

4 e2 !+ lim

!'

1

4

14

APLICACI"N A LA ECONOMIA

E#ce!en$e !e% cons&'(!or ) *ro!&c$or


42/90

pl#a#n de un #mpue$o de oe"$a (0=$ax)

-'#n #mpue$o&

EC=N"eaCEoI

E=N"ea IEo>

-Con #mpue$o&

EC= N"ea CE,

E= N"ea p

-Va"#a#n de exeden$e&

/0C=1c01001

/01=100% 12

0 "eaudado po" el %o#e"no= 0+0p


43/90

0= "ea 1c01 & 1

0p= N"ea 1&% 12

- De'an!a E%+s$(ca

I#en$"a mL elL$#a ea la demanda mao" an$#dad del#mpue$o pa%a"a el p"odu$o".

- Per,ec$a'en$e e%+s$(ca


44/90

I'# la demanda e pe"e$amen$e elL$#a $odo el #mpue$olo pa%a el p"odu$o"

- De'an!a (ne%+s$(ca.

I'# la demanda e #nelL$#o la mao" pa"$e del #mpue$o lopa%an lo onum#do"e

- Per,ec$a'en$e (ne%+s$(ca


45/90

I'# la demanda e pe"e$amen$e #nelL$#a $odo el#mpue$o lo pa%a el onum#do"

TRAAO ENCARGADO-'Oala u"!a de demanda oe"$a y=203x

2y y=2x2

"epe$#!amen$e

>nde& = p"e#o en ole

X= an$#dad

a) 9alla" el EC el E %"aPue.

9allando el pun$o de ePu#l#"#o

203x2=2x2

5x220=0

x

( 24)=05

x=+2,y=8

x=2,y=8


46/90

Exeden$e del onum#do" (EC)

-Eje x 0

2

(203x2)dx2(8)

(20xx3)0216

2

20 (2 )

-Eje

20y3

8

20

u=20y

du=dy

1

3

1

2

8

20

u

1

2 dy


47/90

1

3

1

2

(23

u3

2)8

20

2020

3

2

208

3

2

2

16 u2

-Exeden$e del p"odu$o" (E)

-Eje x 2 (8 )0

2

2x2dx

16(2x

3

3 )

0

2

232

16

-Eje

y

2

0

8

1

2

1

2

0

8

y

1

2 dy


48/90

1

2

1

2

(2y

3

2

3 )

0

8

2

1

2y

3

2

3

2

1

2 8

3

2

3

2

1

2 0

3

2

3 =

32

3 u

2

) '# e e$alee un #mpue$o ad##onal de ': 3po"

un#dad de p"odu$o. Calule la !a"#a#n en el EC %"aPue.

7a nue!a un#n de oe"$a e"#a& y=2x2+3

- El pun$o de ePu#l#"#o e&

203x2=2x2+3

5x217=0

x= 175 =1.8,y=9.8

x= 175 =1.8,y=9.8


49/90

0= -p

3=;./-p

p=6./

- EC = 0

1.8

(203x2 )dx(1.8)(9.8)

(20xx3)01.8=17.64

1.80

20 (1.8)

12.54

-Q /0C=0 Co0 C1


50/90

1612.54

3.46

APRO/IMACION DE LA PROAILIDAD DE UNAFUNCION GAUSSIANA

7a un#n de den#dad de una d#$"#u#n no"mal e$Lnda"e&

f(x )= 1

2 e

1x2

2 3(1)

IK80= p"ox#ma#n de la un#n y=ex

-0alo"&

x1

y=(x ) f( )

0 4 +

-alau"#n& uando a=,

x01

y=(x0 )04

f(0)+

'# y (x )=ex

f(x )=ex ' x=0'f(0 )=e0=1

f +(x )=ex 'x=0 'f +(0 )=e0=1

f + +(x )=ex 'x=0'f + +(0 )=e0=1


51/90

y= f(x )=ex=

x0

0 4+

x1

1 4+

x2

2 4+3

x"

" 4()

ex=

"=0

n

x"

" 4()

ex=

"=0

9allando la #n$e%"al de e$a un#n&

1$ (0 # x# 1 )=0

f(x ) dx

0

1

2 e

12

x2

dx

1

2

0

e

12

x2

dx S(2)


52/90

El pol#nom#o de alau"#n e&

y=ex="=0

(x

"

"4

)3(3)

o" analo%a (2) en (3)

e

12

x2

="=0

(x"

" 4 )

"=0

(12)"x

2"

"43(4)

(4) en (2)

1

2

0

"=0

(12)"x

2 "

" 4dx

12

"=0

(" x

2 "+1

(2 "+1 )" 4)

0

1

2


53/90

12

("

2"+1

(2"+1 )" 4

)

"=0

1

2

1

2"=0

(1

2)

"

2"+1

(2"+1 )" 4

'# deeamo Dalla" el L"ea #%u#en$e&

0

0.5

f(x ) dx= 12

"=0

'n

(1

2 )

"0.5

2 "+1

(2 "+1)" 4

REGLA DE LEINIT0:

'# $en%o la #%u#en$e un#n&


54/90

Ejemplo&

#UNCION CONSUMO

La 67!"3 !o&78o e&:

C=f(y ) 0


55/90

1MgS=S +(y)=0.30.1 *1

2

D:3-)5

Y#"gre&o. S" el aorro agrega5o e& 7lo !7a5o la reta o "gre&o e& ,1 &ole&;

allar la 67!"3 5e aorro < la 67!"3 5e !o&78o.

S" S#0; Y#,1

1MgS=5 S

5 *=0.30.1*

12

5 S= (0.30.1 *1

2 )5*

S= (0.30.1 *1

2 )5*

S=0.3 *0.1(*1

2) (2 )+C

S=0.3*0.2*1

2+C

SI S $@&0

0=0.3 (81 )0.2(811

2

)+C

0=3

10(81 )

2

10(9 )+C

0=243

10

18

10+C

0=22510 +C


56/90

C=22.5

S (*)=0.3*0.2*1

222.5

S,>):. /)5

1MgC+1MgS=1

1MgC+0.30.1*12 =1

1MgC=0.7+0.1 *1

2

dC

d*=0.7+0.1*

12

dC= (0.7+0.1 *1

2 )d*

C=0.7 *+0.2 *1

2+6

TIEMPO CONTINUO Y ECUACIONES DI#ERENCIALES

*=f( t)=f(x )

=# =t' La >ar"a4le 2 5epe5e 5el t"e8po '7I8%MIC%

d*

dt=f+( t)

*=*+= f+(t)=df( t)5t TIEMPO CONTINUO

9 f( t)

9 t TIEMPO DISCRETO

V.>


57/90

CLASI?ICACION DE LAS ECUACIONES DI?ERENCIALES

E!7a!"oe& 5"6ere!"ale& or5"ar"a&

EDO'

E!7a!"oe& 5"6ere!"ale& par!"ale&

EDP'

Y#62'

5 y

5 x,

52y

5 x2,

53y

5 x33

Y#62;@'

5 y

5 x,

52y

5 x2,3.

5 y

5-,

52y

5 -2,3.

1.1' ORDEN DE UNA EDO: E&ta 5a5o por el or5e 5e la 5er">a5a 8a& alta

B7e apare!e e la e!7a!"3 5"6ere!"al.1.)' GRADO DE UNA EDO: E&ta 5a5o por el e2poete 5el 8aa5a& apare!e e

6or8a l"eal.

EEMPLO: Deter8"e el or5e; el gra5o < la l"eal"5a5

1' L"eale e2poete 1

(x +)1+2x=3 t ; pr"8er gra5o; pr"8er or5e; l"eal

x=x (t)

)' (x++ +)1+ (4x +)3+2x=4, te$ce$o$den, 2$ie$ g$do, nolinel

+'

5 y

5 x+(5

2y

5 x

)

3

+yx=0, segundoo$den,te$ce$ g$do, nolinel

-' yiv+(y v )

2+yiii+3yt=0,te$ce$ o$den, segundog$do ,nolinel

NOTA:

*=*+=dX

d**=*+ +=

d2y

dx2

Y#6='

>epend#en$


58/90

x=x+

=

dy

dx x=x++

=

52y

5 x2

METODOS NUMERICOS DE INTEGRACION

La "tegra!"3 apro2"8a5a e& t"l !7a5o 7a "tegral o p7e5e e2pre&ar&e e

tr8"o& 5e 67!"oe& ele8etale&; e2"&te 8to5o& 5e "tegra!"3

apro2"8a5a.

Lo& 8to5o& 5e "tegra!"3 apro2"8a5a &o e!e&ar"o& porB7e:

No e2"&te pr"8"t">a ?2' 5e la 67!"3 62'

E2"&te pr"8"t">a ?2' 5e 62' pero &7 o4te!"3 e& e2tre8a5a8ete la4or"o&a o

e2"ge art"6"!"o& 5e8a&"a5o &o6"&t"!a5o&.

La pr"8"t">a ?2' 5e 62' e& 5e 87< la4or"o&a e>al7a!"3.

La 67!"3 62' e&t9 5a5a por 7a ta4la 5e >alore&.

La 67!"3 62' e&t9 5a5a por 7 gr96"!o e el !7al &e p7e5e 8e5"r or5ea5a&.

La 67!"3 62' e& 7 tre 5e &eFale& 5ete!ta5a& ele!tr3"!a8ete a e&pa!"o&

5e t"e8po !o&tate&.

MTODO DEL RECTNGULO

El 8to5o 5el re!t9g7lo e& el &"g7"ete: Para ) N; part"8o& el "ter>alo a;4H

e &74"ter>alo& 5e "g7al log"t75 #!

n e& 5e!"r:

P# aJ t0J t1JK... t # 4 !o t" # a $ " < apro2"8a8o&

!

f(x ) dx:i=1

n

f(ti1 ) (titi1 )=i=1

n

f(ti1 )

E& 5e!"r; apro2"8a8o& !a5a "tegral e t"1J t"H por el 9rea 5el

re!t9g7lo 5e 4a&e < alt7ra 6 t"1'.

?ndepend#e


59/90

4H

En o$"a pala"a alulamo la #n$e%"al de la un#n Pue en ada#n$e"!alo

G$#A $#) e on$an$emen$e #%ual a ($#) llamamo ?n = D i=1

n

f(ti1 )

a Demo !#$o Puelim

n'I

n=

!

f(x ) dx

dede lue%o Da un e""o"

uando alulamo ap"ox#madamen$e. 7o Pue no p"e%un$amo aDo"a

e # podemo med#" o e$#ma" el e""o" ome$#do al alula" In$ .

0eo"ema.-'ea & GaA HT R una un#n on p"#me"a de"#!ada on$#nua

en Ga H. '# M1=Mx|f|0ntonces:

#-

|In$!

f(x ) dx|#M1

2

(! )2

n

>em& $enemo Puei1t

f

|In$

!

f(x ) dx|=|i=1n

f(ti1 )ti1

ti

f(x )dx

|#i=1

n

Ga


60/90

|ti1

ti

f(ti1 )dxti1

ti

f(x ) dx|=i=1

n

|ti1

ti

(f(ti1 )dxf(x ))dx|#i=1

n

ti1

ti

|f(ti1 ) f(x)|dx

i=1

n

o" el $eo"ema undamen$al del Llulo&

f(x ) f(ti1 )=t

i1

x

f+(t) dt

o" lo $an$o

|f(x ) f(ti1)|dx #ti1

ti

M1 (xti1 )dx=M1

0

udu=M1u

2

2 |0

=M12

2

o" $an$o

|In$

!

f(x ) dx|#i=1

n

ti1

ti

|f(ti1 )f(x )|dx #i=1

n

M12

2=nM1

2

2=n M1

(! )2

2n2 =

M12

(! )2

n

8e"!a#n. '# onoemo una o$a pa"a en$one podemoae" uLl e el !alo" de n Pue dee $oma"e pa"a alula" la #n$e%"alap"ox#mada on un e""o" dado.

O$odo del 0"ape#o

7a "e%la del $"ape#o e la #%u#en$e& a"a n 2 K pa"$#mo (de la m#mamane"a Pue an$e) = a = $oA $ASS $n = on $# = a + #D ap"ox#mamo.

!

f(x ) dx: Int=i=1

n f(ti1)+f(ti )2

(titi1)

E de#" ap"ox#mamo ada #n$e%"al en G$#A $#H po" el L"ea del $"ape#ode al$u"a D ae ($#) ($#)


63/90

E!alua"

16x2

1

2dx

x

2

4

# , 2 3 4

x1 2., 2.5 3., 3.5 4

f(x )=y1 4

3=6.983 3

439=7.0863

7=7.937

6/ ,

1

2( 6983 )+(7806+7937+6778)

0.5


64/90

12993

IKo$a

/xi=1n

yi #0

!

f(x)dx# /xi=0n1

y i

16x2

x

11261#2

4

2.- Re%la de '#mpon (ap"ox#ma#n uad"L$#a)

U$#l#za una e"#e de a"o pa"al#o pa"a ap"ox#ma"e a laun#n dada (x)A en $al en$#do !#ene #endo un mO$odo deap"ox#ma#n uad"L$#a.

7a "e%la p"opo"#ona una ap"ox#ma#n mejo" Pue la del$"ape#o pa"a ualPu#e" nWme"o de ud#!##one del#n$e"!alo del ual Da de e!alua"e la #n$e%"al.

%=/x

3 (y0+4y1+y2)

/x=x1x0=x2x1


65/90

Ejemplo

E!alua"

16x2

x

2

4

16x2

x

2

4

0.53 (6928+4 (9806+6778 )+2 (7937 )+0 )

13523


66/90

IKo$a

16x2

16x2

1

2 (3

2 )

x

2

4

12

0+1

2

83 =2./56

EDO LINEALES DE PRIMER ORDEN

Una E>8 de p"#me" o"den e una eua#n de la o"ma

F( x , x ,t)=0 *=* ($) X=X ($)

'# la eua#n no #n!olu"a expl#$amen$e al $#empo ($) de#mo Pue

e una eua#n au$noma. '# la eua#n no poee $e"m#no

#ndepend#en$e e d#e Pue e una eua#n Domo%Onea.

Ejemplo& En la #%u#en$e eua#one de$e"m#ne # e au$noma no

au$noma Domo%Onea l#neal.

) x=5x+ t

x5x=t ' x5xt=0' F( x , x , t)=0

Eua#n no Domo%Onea no au$noma l#neal.

2) x+2x=0 ' F( x , x )=0

Eua#n Domo%Onea au$noma l#neal.

3) 2 x3x2t3=0

Eua#n no Domo%Onea no au$noma l#neal

7a o"ma %ene"al de una E>8 de p"#me" o"den e


67/90

x= (t)x+! ( t)3 33(1 )

>onde&X= !a"#ale depend#en$e0=!a"#ale #ndepend#en$e

x=dxdt 0aa de am#o de la !a"#ale x en el $#empo on$#nuo , x e$L

am#ando en el $#empo ($).x

x 0aa de "e#m#en$o de la !a"#ale.

(t)=coeficiente

! ( t)=te$ino

a) C'8 U08K88 (E>8 l#neal de p"#me" o"den Domo%eneaon oe#en$e on$an$e.)

'# ($)=, a($)=a= on$an$e

x=x x

Reol!#endo de $"e o"ma

)dx

dt=x

dxx= dt


68/90

x=" e$t333 ( )

x="$t33 3(! )

(a)* () en (2)"$e

$t"e$t=0

"e$t($ )=0

Ra#z Ca"a$e"#$#a$=3 3 3 (c )

(c ) en ( ) o!teneoslsolucion gene$lco2leent$i x="et33 (3 )

) C'8 U08K88 ( E>8 l#neal de p"#me" o"den no Domo%eneaon oe#en$e on$an$e $e"m#no on$an$e)'# a($)=a= on$an$e ($)== on$an$e&x=x+!3 3 3 (4 )

"opo##on& En la eua#one de o"den n on oe#en$eon$an$e&x+0x=! ( t)

nx

(n )

+3+3x+2 x+1 x+0x=!( t)

En$one x e una olu#on de e$a eua#on # olo # x=xc+x2

>onde&

xc=solucionco2leent$i (solucion delecucionoogene )

2= solucion 2$ticul$ (solucionde lecucionnooogene)x

Valo" de ePu#l#"#o d#nLm#o de la"%o plazo (7-).

un$o de ePu#l#"#o

'87UC?8K C87EEK0R?

Re!ela pa"a ada momen$o del $#empo la de!#a#n del ePu#l#"#o dela $"ae$o"#a $empo"al de x.

#) 'olu#n omplemen$a"#a (xc) &

si !=0

l ecucionoogene es: x=x cuy soluciones


69/90

xc=x=" et

3(3)

##) 'olu#n pa"$#ula" (x2 ) &lecucion nooogenees: x=x+!

M3$o!o !e %os coe4c(en$es (n!e$er'(na!os:

Con#$e en plan$ea" la olu#n Pue $en%a la m#ma o"ma %ene"al del$e"m#no G ($)H u$#$u#"la en la eua#n d#e"en#al de$e"m#na" looe#en$e de mane"a Pue la eua#n ea !Ll#da.

!(t) x2

!=10 x=

"

t"

2t %t+&t"

t4 %t+&t"

t2+4 %t2+&t+Ct"

t2

%t2+&t+Ct"

2t24 t+5 %t2+&t+Ct"

t22t %t2+&t+Ct"

t3+3 t %t3+&t2+Ct+7t"

n tn+n1t

n1+3+1t+0 (%ntn+%n1t

n1+3+%1 t+%0 ) t6

5cos4 t+2sin4 t % cos4 t+& sin4 t=% sin 4 t+& cos 4 tt"

cos3 t % cos3 t+& sin3 t=% sin3 t+& cos3 tt"

et (% et)t"

e4 t (% e4 t) t"

2t e2t (%t+& )(e2t) t"

t2e

4 t%t

2+&t+C(e4 t)

et

cos &t+!etsin &t &t +& etsin&tt"

% et

cos

etsin2t 2t+ & etsin2 tt"

% etcos

J) C'8 U08K88 E>8 l#neal no Domo%Onea

0e"m#no


70/90

'# a ($)=a ($)=

x=x+!333333 ( 4 )

7a olu#n a la eua#n e&

x=xc+x2 33333.(5) =x

x

So%&c(5n co'*%e'en$ar(a (xc ):

7a eua#n Domo%Onea (=,) e x=x ua olu#n e&

xc=" et

333333. (6 )

So%&c(5n co'*%e'en$ar(ax

(2):

7a eua#n no Domo%Onea e x=x+!333333.(7)

>ado Pue el $O"m#no e una on$an$e

x=" 3 3 3 3 .. (7 )

x=03333 ..(8)

'u$#$uendo en (4)A 0="+!

"=!

3333 ..(9)

(;) "eemplazado en () o$#ene la x2

x2=x=!

@ 0 3333.(10)

'olu#n %ene"al&

x=xc+x2

x="et+(!)

x ( t)=x=" et!

3 3 3 3 3.. (11)


71/90

Comp"oa#n&

x=dx

dt="et!+!

x= ["et !

]+! x=x+!

a"a enon$"a" el !alo" de Y e e$alee la ond##n #n##al x (0 )=x0en

[ t=0,xvle x0 ]

x0="e (0 )

!

"=x0+

!

33333.. (12 )

(2) en () o$enemo la olu#n&

'# a=, x=x+!

x=(0 )x+!

x=!

dx

dt=!

dx= !dt

x=!t+"

EL ENFO6UE GRAFICO CUALITATIVO7 Caso &n(!('ens(ona%!(ara'as !e ,ase

x=x+!

d xdx=


72/90

x

x="et!

x2

x= x0+!

e

t!

$$

?

xx2

0; A x ' x A

'

x2

x

$


73/90

"olema&

.->ado x=2x+8.ll$ l soluciongene$l 2$x (0 )=8

'87UC?8K& ('olu#n omplemen$a"#a)

7a eua#n Domo%Onea e& x=2x

xx

dt=2 dt

lnx=2 t+c

elnx=e2 t+c

x=ec e2 t

xc=x="e2 t

;"=ec

'olu#n pa"$#ula" x2:

7a eua#n no Domo%Onea e& x=2x+8

x="=constnte 0=2"+8

0e"m#no


74/90

x=0 Y=-4

'x2=x=4

'olu#n %ene"al&

x=xc+x2

x="e2 t+(4 )

x ( t)=x="e2 T4 solucion gene$l

Si x (0 )=8 8="e2( 0)4

"=12


75/90

-4

2.->ado x=x+2.ll$ lecucion gene$l 2$ x (0 )=8y x (0 )=1

'olu#n& 'olu#n omplemen$a"#a (xc) &

7a eua#n Domo%Onea uando el $O"m#no e , e& x=x

dx

dt=x e

lnx=et+c

xx=dt x=" et;"=et

lnx=t+c xc=x="et

'olu#n pa"$#ula" (x2 ) &

7a eua#n no Domo%Onea e& x=x+2

'x=" 0="+2'"=2

x=0 'x2=x=2

'olu#n %ene"al& x=xc+x2

x=

" et

+2

'? x (,)=/ '8="e(0 )+2' "=6

'? x (,)= '1="e(0)+2 '"=1

nal#zando la e$a#l#dad&

limt '

x=limt '

(" et+2)=limt' ("e t+2)=

"

e+2=

"

+2=2=x2=070

xA


76/90

2

2X1

/

2 X1

0

X

X


77/90

II. CASO NO AUTONOMO. 8EDO LINEAL DE

PRIMER ORDEN CON COEFICIENTE VARIALE 9TERMINO VARIALE2.

Fo"ma %ene"al&

x= ( t)e

t

x+!(t)e

2 t

Coefciente y trmino independientea) Cao Domo%Oneo G ! ( t)=0 H

7a eua#n Domo%Onea e&

x=( t)x

Reol!#endo&

xxdt=(t)dt

pl#ando an$#lo%a"#$mo

elnx=e

(t)dt+C

x=e (t)dt

eC

Ejemplo&

,. "eol!e"&

x=4 tx

'olu#n

x="e (t)dt

;"=eC


78/90

xx

dt=4 tdt

lnx=2 t2+C

elnx=e2 t

2+C

x=e2 t2

eC

x=" e2 t2

;"=eC

8$"a o"ma&

x=4 tx

dx

dt=4 tx

dxx= 4 tdt

lnx=2 t2+C

elnx=e2 t

2+C

x=e2 t2

eC

x=" e2 t2

;"=eC

) Cao no Domo%Oneo&

Fo"ma %ene"al&

x= ( t)x+!( t)

Juamo un a$o" de #n$e%"a#n fi=e (t)dt

ul$#pl#amo a la E>8 po" fi

x( t)x=!(t)

xe (t)dte

(t)dt(t)x

ddt(x e (t) dt)

=!(t)e (t)dt


79/90

d

dt(xe ( t)dt)=! (t)e (t)dt

d (x e (t) dt)= !(t)e (t)dtdt

xe ( t)dt=!( t)e (t)dtdt

xe

(t) dt= !(t)e (t)dtdt

Ko$a&

d

dt(xe ( t)dt)=x e(t)dt+x (e (t) dt) +

xe (t)dt+x e (t) dtd

dt( (t)dt)

t dt (t) dt

x=e (t) dt

( !(t)e (t)dtdt)

Ko$a& lpDa CD#an%

x+u ( t)x=D ( t)(1)

ul$#pl#amo a la eua#n () po" fi=e (t) dt

En$oneA

D ( t) dt( )


80/90

Ejemplo&

Reol!e"&

x2 tx=t

'olu#n

El a$o" de #n$e%"a#n e fi=e2 tdt=et

2

x et2

et2

2 tx

d

dt(x e t

2

)

=t et2

d

dt(xet

2

)=t et2

d (x et2

)= t et2

dt

x et2= t et

2

dt

Seu=t2du=2 tdt

xet2=

12et

2

(2tdt)

xet2=

12eu du=1

2(eu )+C

x

et2=1

2

(et2

)+C

x=et2

[1

2 e

t2+C]

x=1

2s

2

+C et2

sc

8$"a o"ma&


81/90

x2 tx=t

x=e2 tdt[ ( t e2 tdt)dt+C]

x=et

2

[ (t et2

) dt+C]

x=et2

[1

2 e

t2+C]

x=1

2 +C et

2

Ejemplo&

Reol!e"&x=x+2, ( t)=1 ,! (t)=2

'olu#n

El a$o" de #n$e%"a#n

fi=e1dt=et

x et+etxd

dt(xe t)

=2et

d

dt(xe t)=2 et

d (x et)=2 e tdt

xe

t

=2et

+C

x=2+C et< . I .

8$"a o"ma&

x+x=2

2e1dt+c

x=e1dt

lpDa CD#an%& Six+u ( t)x=D ( t)

D ( t)dt u ( t) dt dt+C


82/90

x=et[2et+c ]

x=2+cet

Ejemplo&Reso%er %os s(&(en$e EDOS

;1.

(x+1 )dy2ydx=0

(x+1 )dy=2ydx

dy

2y= dx

(x+1 )

dy2y

= dx(x+1 )

1

2 dy

y= dx(x+1 )

1

2

ln|y|=ln|(x+1 )|+C

lny|y|1

2=ln|(x+1 )|+C

e ln|y|1

2

=eln|(x+1)|eC

y1/2="(x+1 ) ,"=eC

y=("(x+1 ))

2

;.

xdy

xdx+(3x+1)y

x =

e3x

x

>eo exp"ea"lo en&

x= ( t)x+!( t)


83/90

dy

dx=(3x+1 )

x

(t)

y+e3x

x! (t)

dy

dx=(3+

1

x )y+

e3x

x

F"mula&

lpDa CD#an%& Six+u ( t)x=D ( t)

D (t)dt(e

u ( t) dt)dt+C

x=eu(t)dt

dy

dx+(3+ 1x )

u (t)

y=e3x

xD(t)

Reemplazando en la "mula&

e3x

x(e

(3+1x)dx)dx+C

y=e(3+1x )dx

e3x

x

(e3x+lnx)dx+C

y=e(3x+lnx )

e3x

x

(e3x elnx)dx+C

y=e3xe lnx

1


84/90

e3x

x

(e3xx)dx+C

y=e3x

x

1

y=e3xx1[dx+C]

y=e3xx1[x+C]

y=e3x+C e3xx1

;.8&

d-

dt1=-2

d-

dt=-2+1

d-

-2+1

=dt

d-

-2+1=dt

$ctg (- )=t+C

$ctg (1+ t+y )=t+C

ECUC?8KE' >E JERK8U77?

01. x+1 ( t)x=Q ( t)xn; n@0,18o linel (1 )

Uamo la #%u#en$e u$#$u#n&

D=x1n

D=(1n )xn x (2)

Reemplazando la eua#n () en (2)

D=(1n )xn[Q ( t)xn1(t)x]

D=(1n )xnQ (t)xn (1n)xn1(t)x

D=(1n )Q ( t)(1n )1(t)x1n

D=(1n )Q ( t)(

1n )1 (t) D'linel (

3)


88/90

,2. Reol!e" el #$ema l#neal (3) lue%o "eemplaza"en&

D=x1n

Ejemplo "eol!e"&

x+ tx=6 t x2 , donde 1 ( t)=t ,Q ( t)=6 t yn=2(1)

'olu#n

'#

D=x12

D=x1dD

dt=x2 x(2)

() en (2)

D=x2(6 t x2 tx)

D=x2 6 t x2+x2 tx

D=6 t+x1t

D=6 t+Dt

DtD=6 t(3)

Reol!#endo po" a$o" #n$e%"a#n

fi=etdt=e

t2

2

ul$#pl#ando po" el a$o" #n$e%"ando a la eua#n(3)&

D e

t2

2 et2

2 tD

d

dt(D e

t2

2 )

=6 t et2

2

d

dt

(D et2

2 )=6 t et2

2


89/90

d (D et2

2 )=6 t et2

2 dt

D et

2

2 =6 et

2

2 (tdt)

Seu=t2

2 du=tdt , luego;

D e

t2

2 =6 eu du=6 eu+c=6 et2

2 +c

D e

t2

2

=6 e

t2

2

+c

D=et2

2 [6et2

2 +c]=6+c e t2

2

D=6+cet

2

2

F#nalmen$e&

D=x1

=1

x

x=1

D=

1

6+cet2

2

x= 1

6+cet2

2

Comp"oa#n

DtD=6 t D=6+cet

2

2

D=ct et

2

2+6 t6 t

D=t(6+c et

2

2 )

D

6 t

D=tD6 t

D

tD=

6 t


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Libro de Economia Matematica III

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