Libro Algebra II

8/3/2019 Libro Algebra II

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M. A. Farinati — A. L. Solotar 53

• 1∈S .

La primera propiedad es la que le da el nombre de multiplicativamente cerrado,si S verica la primer propiedad pero 1 /∈S , entonces S = S ∪{1}verica las dos.

Se trata de construir a partir de A y S un anillo AS en el que todo elemento de S sea inversible (en el caso anterior, A = Z , S = Z −{0}, AS = Q ) y tal que exista unmorsmo de anillos A →AS que factorice todo morsmo de anillos que salga de A,en el que las imagenes de los s∈S sean inversibles.

Denimos entonces AS :Como conjunto, AS =

{(a, s )

∈

A

×A/a

∈

A, s

∈

S

}/

∼

, donde (a, s ) es equi-valente a ( a , s )⇔ ∃t∈S tal que ( as −a s)t = 0 (vericar que es una relaci on deequivalencia, ¿Que propiedades de S se usan para eso?)

Usaremos la siguiente notaci on (a, s ) = a/s .Deniendo en AS las siguientes suma y producto, se tendr´a una estructura de

anillo:

• a/s + a /s = ( as + a s)/ss

• (a/s ).(a /s ) = ( aa /ss )

Ejercicio: vericar que las operaciones est an bien denidas y que (AS , + , .) re-sulta un anillo con elemento neutro 1 / 1.

Se tiene entonces un morsmo de anillos i : A →AS (a →a/ 1) tal que la imagenpor i de un elemento s∈S es inversible, de inverso 1/s . Ademas, si B es otro anilloy f : A →B un morsmo tal que f (s)∈ U (B),∀s ∈S , entonces existe una unicaf : AS →B tal que f ◦ i = f (f est a denida por f (a/s ) = f (a).(f (s))− 1).

Ejemplos:

1. Si A es un anillo y S

⊆U (A), entonces A

S ∼

= A.

2. Si 0∈S , entonces AS = {0}porque a/s = 0 / 1 si y solo si existe t∈S tal quet(a −s) = 0, lo cual siempre se verica si se permite t = 0.

3. Sea A = Z , S = {1, 2, 22,...}= {2i / i ∈N0}. Entonces AS = {m/ 2i : m∈Z , i∈Z}= Z[12 ].



54 Anillos y sus categorıas de representaciones

4. Sea X un espacio topol ogico (por ejemplo R con la topologıa usual), A = C (X )

y sean x0∈X , S = {f ∈A : f (x0) = 0}. Entonces AS = {f /g : f, g : X →R , g(x0) = 0}/ ∼. (la notacion f/g se usa en este caso de forma coherente

con la notacion dada para localizaciones y no para indicar cociente de funcionesdenidas sobre X ). En AS , f 1/g 1∼f 2/g 2⇔∃h∈S tal que h(f 1g2 −f 2g1) = 0.

Pero h ∈S quiere decir que h(x0) = 0. Como h es continua, debe existir unentorno U de x0 en X tal que h|U = 0. Entonces, si x∈U , h(x) es inversibleen R , pero:

h(x)(f 1(x)g2(x) −f 2(x)g1(x)) = 0 entonces ( f 1(x)/g 1(x) = f 2(x)g2(x))

(Observar que existen entornos U 1 y U 2 de x0 tales que si x∈U 1 ∩U 2 entoncesg1(x) = 0 = g2(x), luego se toma U = U 1 ∩U 2 ∩U entorno de x0).

Por lo tanto, dos funciones coinciden como elementos de AS si y solo si existeun entorno U de x0 sobre el cual coinciden.

Este ultimo ejemplo (adem as de motivar el nombre de localizaci´ on muestra quela aplicacion i : A →AS no siempre es inyectiva.

2.7 Ejercicios1. Sea (A, + , .) un anillo. Ver que el producto en M n (A) dado por

(m.n )ij =n

k =1

m ik n kj

(m y n son dos matrices con coecientes en A, (m) ij = m ij , idem n) es un producto asociativo,poniendo adem´as la suma coordenada a coordenada, M n (A) es un anillo. Ver que si n > 1,M n (A) nunca es conmutativo, sin importar si A lo es o no.

2. Sea A un anillo conmutativo. Convencerse de que det : M n (A) →A es una funci on mul-tiplicativa, es decir, que la misma demostraci´ on que se us o en algebra lineal para ver quedet( M.N ) = det( M ). det( N ) vale. Ver que M ∈M n (A) es inversible si y solo si det(M ) esuna unidad. Encuentre todos los elementos de U (M 2(Z4)).

3. Sea G3 = {1, t , t 2 , con t3 = 1}, A = R[G3].

(a) Sea e = 13 (1 + t + t2) y e = (1 −e). Ver que e2 = e, e 2 = e y e.e = 0 = e .e.




(b) Sea B el anillo e.A y C el anillo e .A con la multiplicación inducida por la de A. (¿porque

no son subanillos de A?). Probar que la aplicaci´ onA →B ×C a →(e.a,e .a)

dene un isomorsmo de anillos, en donde B ×C tiene la suma y producto coordenadaa coordenada ( b, c)(b , c ) = ( bb , cc ).

(c) Ver que B tiene dimensión (sobre R) 1 y C tiene dimensi on 2, una base de B es porejemplo {e}, y una base de C es {e , f }donde f = t −t2 = e .(t −t2). Ver que valenlos siguientes isomorsmos de anillos:

i. B∼= R (e.(x.1 + y.t + z.t 2) →x + y + z)ii. f 2 =

−3.e , luego C ∼= C vıa ( a.e + b.j )

→a + b.i, donde j = f √3 .

4. Sea A = C [G3], ω ∈C una raız cúbica primitiva de la unidad, e1 = 13 (1 + t + t2), e2 =

13 (1 + ω.t + ω2 .t2), e3 = 1

3 (1 + ω2 .t + ω.t2).

(a) ei .ej = 0 si i = j , e2i = ei (i, j = 1 , 2, 3) y e1 + e2 + e3 = 1.

(b) Los anillos ei .A tienen dimensión (sobre C ) igual a uno y son isomorfos a C (isomorsmode anillos).

(c) La aplicaci on

A →e1C ×e2C ×e3C

a →(e1 .a,e 2 .a,e 3 .a)

es un isomorsmo de anillos tomando en e1C ×e2C ×e3C la suma y el producto coor-denada a coordenada (es decir, con la estructura producto).

5. Sea A un anillo y A[[x]] (llamado series formales con coecientes en A e indeterminada x) elsiguiente conjunto:

A[[x]] = AN 0 = {funciones de N0 en A}donde se adopta por notaci´ on an xn = la funci on que a cada n∈N0 le asigna an ∈A. Sedene en A[[x]] la operacion:

( an xn ).( bn xn ) := (n

k =0

ak .bn −k )xn

Ver que está bien denida y si denimos

( an xn ) + ( bn xn ) := (an + bn )xn

entonces A[[x]] resulta un anillo. ¿quien es 1 A [[x ]]? Sea s∈A[[x]], entonces 1+ x.s es inversibleen A[[x]].




6. Sea A un anillo, probar:

(a) Si a∈A −U (A) entonces existe un ideal a izquierda maximal que contiene a a.

(b) Si a ∈A es un elemento nilpotente, es decir, existe n ∈N tal que an = 0, entonces1 −a es una unidad.

(c) 1 −a.b es unidad si y s olo si 1−b.a es unidad. (sug.: demuestrelo primero suponiendoque a.b es nilpotente para ası hallar una relaci´ on entre (1 −a.b)−1 y (1 −b.a)−1 , verdespues que esa relaci´on vale en general).

7. Hallar todas las unidades de Z[x]/ x3 .

8. Sea P ⊂A un ideal de un anillo conmutativo A. Diremos que P es un ideal primo si cada

vez que a.b∈P entonces a∈P o b∈P . Demuestre:

• Si A = Z e I = n.Z entonces I es un ideal primo si y s olo si n es un numero primo.• Todo ideal maximal es primo.

• I es un ideal primo si y s olo si A/I es un dominio ıntegro.

• I es un ideal maximal si y s olo si A/I es un cuerpo.

9. Si I es un ideal bil atero de A entonces M n (I ) es ideal bilatero de M n (A) y M n (A)/M n (I )∼=M n (A/I ).

10. Sea A = k[x], f ∈A e I = f . Ver que A/ f es un cuerpo si y s olo si f es irreducible.

11. Sea k un cuerpo y sea k[i] un k-espacio vectorial de dimensi´on 2, con base {1, i}, o sea, todoelemento de k[i] es de la forma a.1+ b.i con a, b∈k, que tambien notaremos a + b.i. Denimosel producto

(a + b.i).(c + d.i ) := ac −bd + ( ad + bc).i

Ver que k[i] es un anillo. Si k = Z2 o Z5 , entonces k[i] no es un cuerpo, si k = Z3 sı es uncuerpo, tambien si k = Z7 .

12. Un anillo A se llama anillo de Boole si todos sus elementos son idempotentes (i.e. x2 = xpara todo x∈A). Probar:

(a) Todo anillo de Boole es conmutativo y ∀a∈A, a = −a.

(b) Todo subanillo y todo cociente de un anillo de Boole es anillo de Boole.

(c) Si X es un conjunto, entonces P (X ) (las partes de X con la operaci on + = diferencia

simetrica, y producto = intersecci´ on, es un anillo de Boole.(d) Todo anillo de Boole es un Z2-espacio vectorial.

(e) Sea X un conjunto, entonces Z X2 = Func (X, Z2) es un anillo de de Boole.

13. Sea f : R →R un morsmo de anillos. Ver:

(a) f (Q )⊂Q y f |Q : Q →Q es la identidad.




(b) f : R →R es necesariamente creciente.

(c) f = idR .14. Sea k un cuerpo. Bas andose en la demostraci´ on de que Z es un dominio principal y usando

la funcion grado gr : (k[x]− {0}) →N0 ver que k[x] es tambien un dominio principal.

15. Enteros de Gauss. Sea Z [i] la subalgebra de C generada por i, es decir, los elementos de C dela forma a + b.i con a y b en Z . Sea N : Z[i] →N0 la funci on (llamada norma) denida por

N (a + b.i) = |a + b.i|2 = a2 + b2

(a) Ver que N (x.y ) = N (x).N (y) ∀x, y∈Z [i].(b) Ver que si x, y ∈Z [i] entonces existen (no necesariamente ´ unicos) q, r ∈Z[i] tales que

x = q.y + r donde N (r ) < N (y). (sugerencia: hacer primero la cuenta en Q[i] y despuesvolver (como pueda) a Z[i]).(c) Deducir que Z [i] es un dominio principal, por lo tanto de factorizaci´ on unica.(d) Ver que Z[i]/ 5 ∼= Z 5[i] que no es un cuerpo, por lo tanto 5 no es un ideal maximal,

por lo tanto 5 se puede factorizar, factorıcelo.

16. Sea A ıntegro, entonces j : A →AS (a →a1 ) es inyectiva para cualquier S subconjunto

multiplicativamente cerrado (de aqui en adelante se entiende que 0 /∈S ). En general, j : A →AS es inyectiva si y solo si S no tiene divisores de cero. Dar un ejemplo en que j no seainyectiva.

17. Sea P ⊂A un ideal primo, entonces S P := A \ P es un subconjunto multiplicativamentecerrado. Idem con

M⊂A un ideal maximal y S

M= A

\M. NOTACION: para estos casos,

se escribir a AP := AA \P , idem AM.18. Sea A = C (R ) las funciones continuas sobre R y x0∈

R . Sea M = {f ∈A / f (x0) = 0 }. Verque es un ideal maximal, y que f

1 = g1 en AM si y solo si existe un entorno de x0 en donde f

y g coinciden.

19. Sea la aplicaci on A → M max. AM dada por a → {a1 }M max. en donde cada a1 pertenece

al AM correspondiente. Ver que esa aplicaci´ on es inyectiva. (sugerencia: si a es una unidad,ver que a

1 es distinto de cero en cualquier localizaci´ on; si a no es una unidad, entonces existeun maximal Mque contiene a a, ver que a

1 = 0 en el localizado por ese maximal).

20. Sea A = C (R), U = (0 , 1), S U = {f ∈A / f (t) = 0 ∀t∈(0, 1)}. Probar

(a) S U es un subconjunto multiplicativamente cerrado.

(b) Sea res : C (R) →C (0, 1) el morsmo f →f |(0 ,1) . Ver que es un morsmo de anillos, yque S U se mapea en unidades, luego ese morsmo se factoriza por AS U

C (R) res / /

j

C (0, 1)

AS U

: : u u u u u




Ver que la echa punteada es inyectiva.

(c) (opcional) Suryectividad de la echa punteada: si f ∈A, f = f + −f − con f + y f −mayores o iguales que cero, asi que para ver que toda funcion continua sobre (0 , 1) esel cociente de una continua sobre R dividida por otra continua que no se anula sobre(0, 1) basta demostrarlo para las funciones positivas. Ahora dada f ∈C (0, 1), f ≥ 0,se dene f 1(x) := max {1, f (x)}y g := f −f 1 . Ver que tanto f 1 como g pertenecen aC (0, 1), adem as f 1 se puede extender a una funci´ on continua globalmente denida.Sea s : R →R denida por

s(x) =0 si x /∈(0, 1)x si 0 ≤x ≤1/ 2

1 −x si 1/ 2 ≤x ≤1

Ver que s es continua y que s

∈

S U . Ademas s.g es una funci on que puede ser denida demanera continua sobre todo R , y la funcion f original en C (0, 1) proviene del elementof 1

1 + (s.g )s .



3

M odulos

3.1 Módulos: primeras deniciones y ejemplosDado un anillo A, nos interesa estudiar su categorıa de representaciones, que est´ a

formada por objetos llamados m odulos en los cuales A act ua, y por funciones entretales objetos que respetan la acción de A.

Sabemos que si (M, +) es un grupo abeliano, entonces End( M ) = {f : M →M / f (x + y) = f (x) + f (y) ∀x, y ∈M }es un anillo con el producto dado porcomposicion de funciones.

Denici´ on 3.1.1. Un A-m odulo a izquierda es un grupo abeliano (M, +) provistode un morsmo de anillos

ρ : A →End( M )a →ρa

Es decir, dar una estructura de A-modulo a un grupo abeliano M es asignar acada elemento a ∈A una transformación del grupo M . La condicion de que estaasignacion sea un morsmo de anillos dice que

1. ρ1 = IdM .

2. ρa.b = ρa ◦ρb.

3. ρa+ b = ρa + ρb (i.e. ρa+ b(m) = ρa (m) + ρb(m) para todo m∈M ).

Ejemplos:

59




1. M = A y ρa (b) = ab.

2. Si A = k es un cuerpo y V un k-espacio vectorial, ρλ (v) = λ.v .

3. Dado M un grupo abeliano, End( M ) es un anillo y por lo tanto existe un unicomorsmo de anillos Z →End( M ). Luego todo grupo abeliano es, de maneraunica, un Z -modulo. Explıcitamente, el morsmo de estructura esta dado, porejemplo para los n > 0, por ρn (m) = m + m + ... + m n-veces.

4. Si G es un grupo que act ua por morsmos de grupos en un grupo abelianoM , entonces M es un Z[G]-modulo tomando ρg(m) = g.m (g ∈G y m ∈M ) y extendiendo ρ linealmente. El m odulo M tambien se denomina unarepresentaci on de G.

5. Si V es un k-espacio vectorial y G es un subgrupo de GL(V ), entonces V es unk[G]-modulo.

Otra manera de mirar la estructura de A-modulo a izquierda de un grupo abeliano(M, +) es pensar que se tiene una funci´on A ×M →M que asigna un par ( a, m ) aun elemento “a.m , donde a.m es una notaci on para designar a ρa (m). El hecho deque ρ sea un morsmo de anillos entre A y End( M ) se escribe en esta notacion como:(a, b∈A, x, y∈M )

1. 1.x = x.2. (ab).m = a.(b.m).

3. (a + b).m = a.m + b.m.

4. y teniendo en cuenta que ρa∈End( M ), a.(x + y) = a.x + a.y .

Se puede a tomar estas ultimas 4 propiedades de una funci´on A ×M →M como de-nicion estructura de A-modulo a izquierda, la equivalencia entre las dos denicioneses inmediata.

Ejemplos:1. El grupo abeliano {0}es un A-modulo para cualquier anillo A.

2. Si M es un grupo abeliano y A = End( M ) entonces M es un A-modulo con laaccion End( M ) ×M →M dada por ( f, m ) →f (m). Vericar que esta accioncorresponde al morsmo de anillos id : A →End( M ).




3. Si I es un conjunto y M un A-modulo, se dene, en el grupo abeliano M I = {funciones f : I →M }, una estructura de A-modulo por a.{m i}i∈I := {a.m i}i∈I (donde como siempre {m i}i∈I es la notacion para la funci on i →m i).

4. M n (A) es un A-modulo con (a.m )ij = a.m ij .

5. Si V es un k-espacio vectorial de dimensi on n, entonces es un M n (k)-modulo(¿por que?).

Observaciones: En un A-modulo M (ejercicio) se verican:

1. a.0 = 0 ∀a∈A.

2. 0.m = 0 ∀m∈M .

3. (−a).m = −(a.m ).

De manera similar se puede denir un A-modulo a derecha a partir de una funci´onM ×A →M que verique propiedades an alogas a 1.- 4.Ejercicio: escribir la denicion de A-modulo a derecha, ver que equivale a tener unafuncion A →End( M ) con ciertas propiedades, escriba esas propiedades.

Si A es un anillo conmutativo y M es un A-modulo a izquierda, entonces se puededenir sobre M una estructura de A-modulo a derecha mediante m.a := a.m . Las

propiedades 1.- 4. se verican porque A es conmutativo. ¿que propiedades dejan devaler cuando A no es conmutativo?

Ejemplo: Sea A = M n (C) y M un M n (C)-modulo a izquierda (por ejemplo un C-espacio vectorial de dimensi on n). Se puede dotar a M de una estructura de A-moduloa derecha deniendo M ×M n (C) →M a traves de ( m, (a ij )) →(a ij )t .m. Vericarque esto efectivamente da una estructura de A-modulo a derecha. ¿Que propiedadesde la funcion ( )t se usaron?

Denici´ on 3.1.2. Sean A y B dos anillos, M un A-m´ odulo a izquierda y B-m´ oduloa derecha. Diremos que M es un A-B-bim´ odulo si para todo a∈A, b∈B y m∈M se verica

(a.m ).b = a.(m.b)

Ejemplos:

1. Si A es conmutativo, todo A-modulo M es un A-A-bimodulo.




2. Todo A-modulo (por ejemplo a izquierda) es un A −Z -bimodulo.

3. A es un A-A-bimodulo.

4. Sea M = Z 2⊕Z2, que es naturalmente un M 2(Z2)-modulo a derecha con la

accion dada por la multiplicaci´on de matrices. Sea (−)t : M 2(Z 2) →M 2(Z2) laaplicacion tomar traspuesta, vericar que como ( −)t ‘da vuelta’ los productos,entonces (a ij ).x := x.(a ij )t (x∈Z2⊕

Z 2 y (a ij )∈M 2(Z 2)) dene una estructurade M 2(Z2)-modulo a izquierda. Ejercicio con estas dos acciones a derecha y aizquierda vericar que Z 2⊕

Z 2 no es un bimodulo.

Ejercicio: Sea M un A-modulo a derecha y B = End A(M ). Ver que la accion

End A(M )×M →M , (f, m ) →f (m) dene sobre M estructura de End A(M )-moduloa izquierda, adem as M resulta un End A(M )−A-bimodulo (i.e. las dos estructuras soncompatibles. Si M = An × 1 (o sea An visto como ’vector columna’) es un A-moduloa derecha, ver que M ademas es un M n (A)-modulo a izquierda con la multiplicaci onusual de matrices. Ver que esta estructura coincide con la denida antes, identicandoEnd A(An )∼= M n (A).

Nota: En adelante, A-modulo querr a decir A-modulo a izquierda.

Denici´ on 3.1.3. Dado un anillo A, un subconjunto N de un A-m´ odulo M se dir´ a un subm´odulo si

• N es un subgrupo de (M, +) .

• a.n ∈N ∀a∈A, n∈N .

En particular, si N es un submodulo, entonces es en sı mismo A-modulo.

Ejemplos:

1. {0}y M son siempre submodulos de M . En caso de que un modulo M tengasolamente a {0}y M como submodulos se llamara simple (por ejemplo unk-espacio vectorial de dimension 1 es un k-modulo simple).

2. Si G es un grupo y H ⊂G es un subgrupo, entonces k[G] es un k[H ]-modulo yk[H ] es un k[H ]-submodulo de k[G].

3. Sea G = G3 = {1,ω ,ω2}y R 3 con la estructura de R[G3]-modulo dada porω.(x,y,z ) = ( y,z ,x ). Entonces N = {(x,y,z ) ∈R3 /x + y + z = 0}es unR [G3]-submodulo, ademas N es un modulo simple.




4. Si N ⊆M es un A-submodulo e I un conjunto, entonces N I ⊂M I es un

A-submodulo.5. Si M es un A-modulo e I un conjunto se dene M (I ) como el subconjunto de M I

formado por los elementos {m i}i∈I tales que m i = 0 para todos los elementosi de I salvo eventualmente una cantidad nita de ellos. (Vericar) M (I ) es unsubmodulo de M I .

6. Si M = M n (A) con la estructura de A-modulo coordenada a coordenada, en-tonces sl (A) := {A∈A /tr (A) = 0}es un A-submodulo.

Observaci´ on: Si N 1 y N 2 son dos submodulos de M , entonces N 1+ N 2 := {x+ y /x ∈N 1 e y∈N 2}es un submodulo. Tambien N 1 ∩N 2 es un submodulo.

Dados {x1,...,x n}elementos de un A-modulo M , siempre se puede hallar el menorsubmodulo de M (menor en el sentido de la inclusi on) que contenga a {x1,...,x n}.Es claro que si N es un submodulo que contiene a esos elementos y a1,...,a n sonelementos cualesquiera de A entonces a1x1 + ... + an .xn ∈N , por lo tanto el conjuntoS = {a1x1 + ... + an .xn /a i ∈A} ⊂N y S (vericar) es un subm odulo, luego S es el submodulo buscado. Notaci on: S := x1,...,x n y se llamara el subm´odulogenerado por {x1,...,x n}.

Ejercicios:

1. x1,...,x n = {x1 ,...,x n }⊂N N subm´odulo de M

N

2. Sean B y C dos anillos y A = B ×C con la suma y el producto coordenada acoordenada. Ver que e1 = (1 , 0) y e2 = (0 , 1) son dos idempotentes que conmutanentre si. Si M es un A-modulo, a partir de esos dos idempotentes ver que M ∼= M 1 ×M 2 donde M 1 es un B -modulo y M 2 es un C -modulo. Si {x1, . . . , x n}es un sistemade generadores de M 1 como B -modulo, e {y1, . . . , ym }es un sistemq de generqdoresde M 2 como C -modulo, ver que ( x i , y j )1≤ i≤ n ;1≤ j ≤ m es un sistema de generadoresde M 1 ×M 2 como B ×C -modulo. De hecho, el conjunto {(x1, 0), . . . , (xn , 0)} ∪{(0, y1), . . . , (0, ym )}tambien es un sistema de generadores de M 1 ×M 2 como B ×C -

modulo.3. Sea el anillo A = k ×k con la suma y el producto coordenada a coordenada (donde

k es otro anillo cualquiera). Ver que el morsmo diagonal k →k ×k (λ →(λ, λ )) esun morsmo de anillos por lo tanto todo A-modulo es un k-modulo. Ver que k ×{0}y {0} ×k son dos A-subm odulos de A, que son isomorfos como k-modulos pero nocomo A-modulos.




3.2 Subm´ odulos maximalesDado un A-modulo M , cuando existan x1,...,x n ∈M tales que x1,...,x n = M ,

M se dira nitamente generado (f.g.) o de tipo nito sobre A. Todo anillo Aconsiderado como modulo sobre si mismo es trivialmente nitamente generado, congenerador {1}, pero por ejemplo k[X ] no es nitamente generado sobre k.

Vimos usando el lema de Zorn que dado un ideal propio a izquierda de un anillo,siempre existe un ideal maximal (a izquierda) que lo contiene. Los ideales a izquierdade A son exactamente los A-submodulos de A visto como modulo a izquierda, esteresultado sobre ideales se generaliza a m odulos nitamente generados:

Proposici´ on 3.2.1. Si M es un A-m´ odulo nitamente generado y N es un subm´ odulopropio de M , entonces N est´ a contenido en un subm´ odulo maximal.

La demostraci on es analoga al caso de ideales. La idea es construir un conjuntoP parcialmente ordenado, probar que es inductivo superiormente para ası tener unelemento maximal en el orden de P , y despues ver que ese elemento maximal respectoal orden de P sirve como submodulo maximal.

Demostraci´ on: Sea P = {S / S es submodulo propio de M y N ⊂S }, parcialmenteordenado por inclusi on. P es no vacıo porque N ∈P . Sea ahora Cuna cadena novacıa en P y sea V =

∪ C. Del hecho de que la cadena es creciente se tiene que

V es un submodulo, tambien es claro que contiene a S y que contiene tambien atodos los elementos de la cadena, para ver que es un elemento de P basta ver que esun subm odulo propio. Como M = x1,...,x n , si V = M todos los xi ∈V = ∪ C,entonces cada xi pertenece a algun elemento de la cadena, como la cadena es crecientecada vez que un xi est a en un elemento de la cadena, digamos un Cα , entonces est a enlos Cβ con β ≥α. Como son una cantidad nita, podemos tomar un C β que contengaa todos los x1, pero entonces como los x i generan, ese Cβ = M lo que contradice quela cadena este formada por elementos de P . Luego P tiene un elemento maximalcon respecto al orden que es la inclusion, por lo tanto ese elemento es un subm odulomaximal como se buscaba.

Ejemplo: Consideremos un conjunto X provisto con una acci on de un grupo G. Seak un anillo y k(X ) = { λ x∈k λx .x de soporte nito }es un k-modulo, que ademas esun k[G]-modulo (vericar!) con la accion

g.(λ.x ) = λ.(g(x))




que se extiende linealmente. Por ejemplo X = {x1,...,x n}y G = Zn = t (escrito

multiplicativamente, G = {1, t , t2,...,t

n − 1

}) que actua sobre X mediante

t.x i = x i+1 si i < nx1 si i = n

Luego k(X )∼= kn es un k[Zn ]-modulo extendiendo linealmente esta acci´on.

¿Cuales son los k[G]-submodulos de k(X )? Por ejemplo si S es un submoduloque contiene a un x i0 , entonces t.x i0 = xi0 +1 ∈S y analogamente todos los xi ∈S ,luego S = M . De esta manera vemos que ningun subm odulo propio puede contenera alguno de los x i . En cambio x1 + x2 + ... + xn = {λ.(x1 + ... + xn ) / λ ∈k}sı esun subm odulo propio (n > 1).Ejercicio: si k tiene una raız n-esima de la unidad ω (por ejemplo ω = 1, o ω = −1si n es par y 2 = 0 en k, o ω = e

2kπin si k = C) entonces el k submodulo generado por

ni=1 ωi .x i es tambien un k[G]-submodulo de k(X ) .

3.3 MorsmosDado un anillo A, tomando como objetos los A-modulos se puede formar una

categorıa obvia deniendo los morsmos como las funciones entre los A-modulos querespeten la estructura de A-modulos, mas precisamente:

Denici´ on 3.3.1. Sean A un anillo, M y N dos A-m´ odulos y f : M →N una funci´ on. Diremos que f es un morsmo de A-m´ odulos si es morsmo de gruposabelianos y A lineal, es decir:

• f (x + y) = f (x) + f (y) ∀x, y∈M .

• f (a.x ) = a.f (x) ∀a∈A, x∈M (notar que en esta igualdad, la acci´ on en la izquierda es la de M y en la derecha es la de N ).

Ejemplos:

1. Para todo A-modulo M , Id : M →M es un morsmo de A-modulos, y sif : M →N y g : N →T son dos morsmos de A-modulos entonces (vericar)g ◦ f : M →T tambien es morsmo de A-modulos, por lo tanto los A-modulos consus morsmos como echas forman una categorıa.

2. Si V es un k-espacio vectorial y t : V →V un endomorsmo, entonces V (atraves de t) es un k[X ]-modulo deniendo P (x).v := P (t)(v). Sea W otro espacio




vectorial y s : W →W un endomorsmo de W , si se considera a W como k[X ]-

modulo a traves de s, entonces una transformaci´on lineal f : V →W es un morsmode k[X ]-modulos si y solo si f ◦ t = s ◦f .3. Si M y N son dos grupos abelianos considerados como Z -modulos (dado que

ambas categorıas son equivalentes), entonces los morsmos de Z-modulos entre M yN son exactamente los morsmos de grupos abelianos.

Observaci´ on: Si f : M →N es un morsmo de A-modulos, entonces Ker( f ) eIm(f ) son dos submodulos (de M y N resp.). Mas aun, por cada subm odulo S de M ,f (S ) es un submodulo de N , y por cada subm odulo T de N , f − 1(T ) es un submodulode M .

Denici´ on 3.3.2. Un morsmo de A-m´ odulos se dir´ a monomorsmo si es inyec-tivo, epimorsmo si es sobreyectivo e isomorsmo si es una biyecci´ on.

En la siguiente proposici on se daran varias caracterizaciones de monomorsmo:

Proposici´ on 3.3.3. Sean M y N dos A-m´ odulos y f : M →N un morsmo deA-m´ odulos. Las siguientes armaciones son equivalentes:

1. f es monomorsmo.

2. Ker( f ) = 0 .

3. Para todo A-m´ odulo T y todo par de morsmos g, h : T →M , la igualdad f ◦g = f ◦h implica g = h.

4. Para todo A-m´ odulo T y para todo morsmo g : T →M , la igualdad f ◦g = 0implica g = 0 .

Demostraci´ on: 1.⇔2. supongamos f un monomorsmo, es decir inyectivo. Seax∈M tal que f (x) = 0 = f (0), como f es inyectivo resulta x = 0, es decir Ker( f ) = 0.

Suponiendo ahora Ker( f ) = 0, sea x = y, por lo tanto x −y = 0. Como elunico elemento del nucleo de f es el cero, f (x) −f (y) = f (x −y) = 0 por lo tantof (x) = f (y).

2.⇒3. Supongamos Ker( f ) = 0 y g, h : T →M tal que f ◦g = f ◦h y sea x∈T unelemento cualquiera. Por la igualdad anterior, f (g(x)) = f (h(x)) o equivalentementef (g(x) −h(x)) = 0, por lo tanto g(x) −h(x)∈Ker( f ) = 0 entonces g(x) −h(x) = 0y el x era cualquier elemento de T , entonces g = h.

3.⇒4. Es claro tomando h = 0.




4. ⇒2. Supongamos 4. y consideremos el caso particular T = Ker( f ) y g la

inclusion iK : Ker(f ) →M . Es claro que f ◦iK = 0, por lo tanto iK = 0, como iK esinyectiva y tiene imagen 0 resulta Ker( f ) = 0.

Observaci´ on: La armaci on 3. de la proposicion dice que la nocion de monomors-mo dada aquı coincide con la noci on de monomorsmo categorico (ver apendice) en lacategorıa de A-modulos. En la categorıa de A-modulos las nociones de epimorsmo eisomorsmo dadas son las mismas que las nociones categ oricas. Para los isomorsmosbasta notar (vericarlo) que si un morsmo de A-modulos es biyectivo, entonces lafuncion inversa tamb ien es un morsmo de A-modulos. Para los epimorsmos veremosmas adelante, una vez que hayamos caracterizado los objetos cociente.

Denici´ on 3.3.4. Sean (M n )n∈Z una sucesi´ on de A-m´ odulos junto con morsmosf n : M n →M n − 1. Diremos que la sucesi´ on

. . . f n +2 / /M n +1f n +1 / /M n

f n / /M n − 1f n − 1 / /. . .

es exacta en el lugar n si Ker( f n ) = Im( f n+1 ). Si la sucesi´ on es exacta en todo lugar diremos simplemente que la sucesi´ on es exacta.

Observaciones:

1. La sucesion 0 / /M f

/ /N es exacta en M si y solo si f es un monomorsmo.

2. Dualmente, la sucesi on M f

/ /N / /0 es exacta en N si y solo si f es unepimorsmo.

3. Un tipo particular de sucesiones exactas que aparecer a a menudo son las llama-das sucesiones exactas cortas, que son las del tipo

0 / /M f

/ /N g

/ /T / /0

Decir que esta sucesion es exacta equivale a decir que f es monomorsmo, queg es un epimorsmo, y que Im(f ) = Ker( g).




3.4 CocientesConsideramos un espacio vectorial V sobre un cuerpo k, dado un subespacio S de

V , siempre existe T subespacio tal que V = S ⊕T . Si M es un A-modulo, dado unsubmodulo S no es cierto que siempre exista un complemento (observar el ejemploA = M = Z y S = 2 .Z). En el caso de espacios vectoriales, al tener V = S ⊕T uno sepuede contruir un proyector p : V →V tal que Im( p) = T , Ker( p) = S y p|T = IdT .De esta manera, aplicando p uno “olvida” a los elementos de S , identicando doselementos de V que dieran entre sı por un elemento de S .

En el caso de modulos, este ultimo punto de vista de identicar elementos quedieran en “un resto” de un submódulo S puede ser llevado a cabo, uno encontraráuna aplicaci on sobreyectiva π : M

→T cuyo nucleo sea exactamente S . El modulo T

se llamara el cociente de M por S , y en general no habr a una manera de identicarlocon ningun subm odulo de M .

Construcci on del cociente: Dado un A-modulo M y un subm odulo S , es claroque S es un subgrupo de M (normal porque M es abeliano) luego M/S es un grupoabeliano y se tiene un morsmo sobreyectivo de grupos abelianos π : M →M/S . Paracompetar la construcción solo hay que ver que es posible dar a M/S una estructura deA-modulo tal que la proyeccion sea un morsmo de A-modulos. Como π es suryectiva,esta estructura, de existir, es única. Denimos pues la accion a.m := a.m donde a∈Ay m∈M/S (m = π(m)).

Lema 3.4.1. Con las notaciones anteriores, la acci´ on de A sobre M/S est´ a bien denida.

Demostraci´ on: Supongamos m = n o sea m −n = s∈S . Por lo tanto a.m −a.n =a.s ∈S , luego a.m −a.n = a.m −a.n = a.s = 0, es decir, a.m = a.n .

Ejercicio: Ver que con esa accion, M/S es un A-modulo y que π es A-lineal.Observar que en la demostración del lema se utilizo el hecho de que el subgrupo porel que se cocienta es un submodulo. Si M es un A-modulo y S un subgrupo que noes submodulo, no es cierto que M/S admita una estructura de A-modulo.

Ejemplos:1. Si tomamos A = Z , la nocion de cociente de Z-modulos coincide con la nocion

de cociente de grupos abelianos.

2. Sea A = Z = M , S = 2 Z , entonces M/S ∼= Z2, que no es isomorfo a ningunsubmodulo de M .




3. Si V es un espacio vectorial y V = S ⊕T entonces V/S ∼= T .

4. Si M = A = k[X ] y S = x −a = {multiplos de x−a}, entonces eva : k[X ] →k (P →P (a)) es un morsmo sobreyectivo por lo tanto k[X ]/ x −a ∼= k. Laaccion de k[X ] sobre k en este caso esta dada por P.λ := P (a)λ.

Como toda noci on de cociente, M/S queda caracterizado por una propiedad uni-versal:

Proposici´ on 3.4.2. Dados un A-m´ odulo M y un subm´ odulo S , el par (M/S,π S :M →M/S ) tiene las siguientes dos propiedades:

• S ⊆Ker(πS : M →M/S ).

• Si f : M →N es un morsmo de A-m´ odulos tal que S ⊆Ker( f ), entonces el siguiente diagrama de echas llenas se completa de manera ´ unica por la echa punteada:

M πS

f / /N

M/S

f < < z

z z

z

o sea, si f (S ) = 0 , existe un ´ unico morsmo f : M/S →N tal que f = f ◦πS .

De manera completamente an´aloga al caso de grupos se tiene el siguiente

Corolario 3.4.3. (Teoremas de isomorsmo)

1. Sean M y N dos A-m´ odulos y f : M →N un morsmo de A-m´ odulos. EntoncesM/ Ker( f )∼= Im(f ).

2. Si T ⊆S ⊆M son subm´ odulos de M , entonces M/T S/T ∼= M/S .

3. Si S y T son dos subm´ odulos de M , entonces S + T S ∼=

T S ∩T .

Demostraci´ on: La cuenta es identica al caso de grupos, queda como ejercicio veri-car que todos los morsmos que aparecen son A-lineales.

Ejemplos:




1. Sea V un espacio vectorial de dimensi on nita y t : V →V un endomorsmo.

Supongamos que adem as existe en V un vector cıclico, es decir un v0∈V con

{v0, t (v0), t2(v0), . . . } = V (por ejemplo V = R3, t(x,y,z ) = ( y,z ,x ) y v0 =(1, 0, 0)). Consideremos la aplicacion k[X ] →V dada por P (x) →P (t)(v0).Como v0 es un vector cıclico la aplicaci on es sobreyectiva. Ker(k[X ] →V ) =mv0 (t) donde mv0 (t) es el polinomio monico de grado mınimo que anula a

t evaluado en v0. Notar que en este caso, por ser v0 un vector cıclico, mv0

coincide con el polinomio minimal y con el caracterıstico Por otro lado, ( V, t) esun k[X ]-modulo a traves de t. Vericar que la accion en el cociente esta dada justamente por t, es decir (V, t)∼= k[X ]/ mv0 (t) como k[X ]-modulos.

2. Sea I

⊂

R un cerrado y X

⊂

R un abierto que contiene al cerrado I . Se sabe quetoda funci on continua denida sobre I se puede extender a todo R , en particlara X , esto dice que el morsmo restriccion C (X ) →C (I ) es sobreyectivo, elnucleo de esta aplicacion se lo nota I 0 = {f : X →R / f (y) = 0 ∀y∈I }. Setiene entonces C (X )/I 0

∼= C (I ); el isomorsmo es de C (X )-modulos.

Ejercicio: Caracterizar el cociente Z⊕

Z por el Z submodulo generado por (2, 4) y(0, 3). (Sugerencia: trate de encontrar un morsmo cuyo dominio sea Z

⊕Z y que

tenga por n ucleo el submodulo generado por (2, 4) y (0, 3), despues mire la imagen).

Observaci´ on: (Subm odulos del cociente) Si S ⊆M es un A-submodulo, uno tiene elmorsmo π : M

→M/S , luego por cada submodulo T de M , π(T ) es un submodulo

de M/S . Esta correspondencia no es en general 1-1 pues si T ⊂S , claramenteπ(T ) = {0}, si tomamos T un subm odulo de M/S , π− 1(T ) es un submodulo de M ,pero ademas S ⊆π− 1(T ). Queda como ejercicio vericar que para los subm odulos T de M vale la igualdad:

π− 1(π(T )) = T, S = T + S

Demostrar tambien que a traves de π y π− 1, los submodulos de M/S est an en corres-pondencia 1-1 con los submodulos de M que contienen a S .

Veremos ahora una caracterizaci´ on de los epimorsmos:

Proposici´ on 3.4.4. Sean M , N dos A-m´ odulos, f : M →N un morsmo de A-m´ odulos. Las siguientes armaciones son equivalentes:

1. f es un epimorsmo.

2. Coker(f ) := N/ Im(f ) = 0 .




3. Para todo A-m´ odulo T y para todo par de morsmos g, h : N →T , la igualdad

g ◦ f = h ◦f implica g = h.4. Para todo A-m´ odulo T y para todo morsmo g : N →T , la igualdad g ◦ f = 0

implica g = 0 .

Demostraci´ on: 1.⇔2. es claro, pues N/ Im(f ) = 0⇔N = Im( f ).

2.⇒3. Sea n ∈N y g, h como en 3., al ser Im(f ) = N , existe un m ∈M talque n = f (m), ahora la identidad que verican g y h dice que g(f (m)) = h(f (m)) esdecir g(n) = h(n) para cualquier n∈N , luego g = h.

3.

⇒

4. Es claro tomando h = 0.

4.⇒2. Suponemos que vale 4., tomamos en particular T = N/ Im(f ) y g = π :N →N/ Im(f ). Claramente π ◦ f = 0, luego π = 0, pero π es suryectiva, entoncesN/ Im(f ) = 0.

Observaci´ on: La parte 3. de esta proposici on demuestra, como fue anticipado, quela nocion de epimorsmo denida anteriormente coincide con la noción de epimorsmocateg orico. Esto no sucede en otras categorıas, por ejemplo en la categorıa de espaciosmetricos y funciones continuas como morsmos, categorıa, una funci´ on con imagendensa es un epimorsmo categ orico. Un ejemplo mas algebraico el la categorıa deanillos y morsmos de anillos. En esta categorıa, dado un anillo B y un morsmoQ →B, la imagen del 1 tiene que ser 1B . Por linealidad, queda univocamentedeterminado en Z , y por multiplicatividad queda determinado en Q . En particular,queda determinado por su restriccion a Z , por lo tanto la inclusion Z →Q es unepimorsmo categorico.

Ejercicio: Si 0 / /M f

/ /N g

/ /T / /0 es una sucesion exacta corta, enton-ces M ∼= Ker(g) y T ∼= Coker(f ).

Terminamos esta sección mencionando otra direcci on hacia la que se pueden ge-neralizar las nociones de monomorsmo y epimorsmo en el contexto de espaciosvectoriales.

Si f : V →W es una transformaci on lineal entre dos espacios vectoriales quees un monomorsmo, entonces f induce un isomorsmo entre V e Im(f ) que es unsubespacio de W . Como para cualquier subespacio de un espacio vectorial uno lepuede encontrar un complemento, si escribimos W = Im( f )⊕T podemos denir unatransformación lineal r : W →V como r (w) = f − 1(w) si w∈Im(f ) y r (w) = 0si w ∈T . Para un w cualquiera escribimos (de manera unica) w = wf + wT con




wf ∈Im(f ) y wT ∈T y denimos r (w) := r (wf ). Esta transformación lineal verica

r ◦ f = Id V .Dualmente, si f : V →W es un epimorsmo, Ker( f ) ⊂V es un subespacio,uno puede encontrar un complemento y escribir V = Ker( f )⊕S . Es un ejerciciosencillo vericar que f |S es un monomorsmo y que f (S ) = f (V ) = W , por lo tantof |S : S →W es un isomorsmo. Podemos denir entonces una transformación lineal

s : W →V a partir de la composici on W (f |S )− 1

/ /S inc / /V . Aquı vericamos sindicultad f ◦s = IdW .

Denici´ on 3.4.5. Sea f : M →N un morsmo entre dos A-m´ odulos. El morsmof se dir´ a

• una secci on si existe un morsmo g : N →M tal que g ◦f = IdM .

• una retraccion si existe un morsmo g : N →M tal que f ◦g = IdN .

Observaci´ on: Si f es una seccion entonces es inyectiva porque si f (m) = 0⇒x =g(f (m)) = g(0) = 0 ⇒Ker( f ) = 0. Si f es una retracci on entonces es sobreyectivaporque dado un n∈N , n = f (g(n)), luego n∈Im(f ).

Como corolario de los comentarios de los dos parrafos anteriores, las nocionesde epimorsmo / retracción y monomorsmo / secci on coinciden en la categorıa deespacios vectoriales. En la categorıa de A-modulos con A un anillo cualquiera nosucede lo mismo, queda como ejercicio vericar que la proyeccion al cociente Z

→Z2 es un epimorsmo que no es una retracci on, y que la inclusion 2.Z →Z es unmonomorsmo que no es una seccion. Otro ejemplo puede ser fabricado tomandolos grupos abelianos Z 2 y Z4, se deja como ejercicio encontrar morsmos entre estosgrupos que sean monomorsmos o epimorsmos pero que no sean ni secciones niretracciones.

3.5 Suma y productoSea I un conjunto de ındices, A un anillo, y (M i)i∈I una familia de A-modulos.

Entonces el producto cartesiano i∈I M i es un A-modulo deniendo

a.{m i}i∈I := {a.m i}i∈I

Recordamos que el producto cartesiano está denido como

i∈I

M i := {f : I →∪i∈I M i tales que f (i)∈M i ∀i∈I }




Este modulo producto viene provisto de morsmos A-lineales que son las proyecciones

a cada coordenada, y tiene la propiedad de que para denir un morsmo φ : N →i∈I M i (donde N es un A-modulo cualquiera) basta denir “sus coordenadas”, esdecir, para cada i∈I un morsmo φi : N →M i .Observaci´ on: La estructura de A-modulo del producto cartesiano es la unica estruc-tura posible que hace de las proyecciones a las coordenadas morsmos de A-modulos.Ademas, la propiedad mencionada en el p arrafo anterior es una propiedad univer-sal que caracteriza completamente al producto (ver denici´ on 9.2.1 del capıtulo decategorıas).

Notamos que considerando en i∈I M i los elementos de la forma (m i)i∈I dondem i = 0 para todo i salvo eventualmente un i0, el modulo M i

0puede identicarse con

un subm odulo del producto.De esta manera podemos denir el subm odulo de i∈I M i “generado por los M i”,

que es, de alguna manera, el m odulo mas chico que contiene a los M i sin relacionesextra. M as precisamente, denimos la suma directa de los M i como:

i∈I

M i := {(m i)i∈I tales que m i = 0 salvo eventualmente un n´umero nito de ındices }Es un subm odulo del producto (por lo tanto un A-modulo), y para cada i0 ∈I setienen inyecciones j i0 : M i0 → ⊕i∈I M i . Si el conjunto de ındices es nito, la suma

directa obviamente coincide con el producto directo.Si se tienen denidos morsmos φi : M i →N donde N es un A-modulo cualquiera,como⊕i∈I M i esta generado por los M i , extendiendo por linealidad se tiene un unicomorsmo φ :⊕i∈I M i →N tal que restringido a cada M i0 coincide con φi0 . Esta pro-piedad, de hecho, es una propiedad universal que caracteriza en terminos categ´ oricosa la suma directa (ver denici on 9.2.3 y sus propiedades fundamentales en el capıtulode categorıas).

Una proposici on que da una idea de como la nocion de seccion y retracci on sedistingue de la de monomorsmo y epimorsmo es la siguiente:

Proposici´ on 3.5.1. Sea 0 / /M f / /N g / /T / /0 una sucesi´ on exacta corta de A-m´ odulos. Son equivalentes:

1. f es una secci´ on.

2. g es una retracci´ on.




3. La sucesi´ on exacta es trivial, m´ as precisamente, se tiene el siguiente diagrama

conmutativo:

0 / /M f

/ /N g

/ /

∼

T / /0

0 / /M j / /M ⊕T π / /T / /0

En esa situaci on, la sucesion exacta se dir a escindida , tambien diremos que lasucesion se parte, o que es “split”, la secci on de g o la retraccion de f se denominan“splittings”.Demostraci´ on: Mirando la condici on 3., es claro que π es una retracci on, tantocomo que j es una seccion, usando el isomorsmo N ∼= M ⊕T del diagrama se tieneque 3. implica 1. y 2.

Veremos que 1. implica 3. y dejaremos como ejercicio ver que por ejemplo 2.implica 3. Sea h : N →M una retracci on de f (o sea h ◦ f = IdM ). Denimosφ : N →M ⊕T por φ(n) := ( h(n), g(n)). Armamos que φ es un isomorsmo y quehace del diagrama en 3. un diagrama conmutativo.

Es claro que π◦φ = g (conmutatividad del cuadrado de la derecha), y la propiedadde que h sea retracci on de f es la conmutatividad del cuadrado de la izquierda.

Para ver que φ es un monomorsmo, si n ∈Ker(φ) entonces en particular n ∈Ker(g) = Im( f ), escribiendo n = f (m) se tiene que 0 = h(n) = h(f (m)) = m, por lo

tanto n = 0.Para ver que φ es un epimorsmo, sea m∈M y t∈T . Como g es epimorsmo,

existe n∈N tal que g(n) = t. Consideramos f (m) −f (h(n)) + n∈N , este elementoverica φ(f (m) −f (h(n)) + n) = ( m, t ).

Concluimos el capıtulo de generalidades de módulos con la caracterizaci on demodulos generados por un unico elemento:

3.6 Módulos cıclicos

En el caso de grupos abelianos se tenıa una descripción muy concisa de los gruposcıclicos, todos son un cociente de Z . Como los subgrupos de Z son conocidos, entoncesson conocidos todos los grupos abelianos cıclicos.

Si se tiene ahora un A-modulo cıclico M , es decir, un A-modulo en el que exista unelemento x∈M con A.x = x = M , podemos denir un morsmo sobreyectivo de Aen M a traves de a →a.x . El nucleo de esta aplicacion es un submodulo (a izquierda)




del A-modulo A, es decir, un ideal a izquierda de A, llamando I = Ker( A →M ), se

tiene M ∼= A/I .Recıprocamente, si I es un ideal a izquierda de A entonces es un A-submodulode A, y A/I es un A-modulo (a izquierda), que adem as es cıclico, pues A/I = 1 .Luego todo modulo cıclico es isomorfo a un cociente de A por un ideal a izquierda.Se conocen ası todos los A-modulos cıclicos siempre que se tenga una caracterizaciónde los ideales a izquierda de A.

3.7 Ejercicios1. Denicion: dado un anillo A y un A-modulo M , M se dice divisible si para cualquier

0 = a∈A y m∈M existe un m ∈M tal que a.m = m. Sea G∞ = ∪n∈NGn⊂S 1.

(a) Probar que es un subgrupo (abeliano) de S 1 por lo tanto un Z-modulo. Ver quees divisible.

(b) Ver que G p∞ := ∪n∈NG pn es un subm odulo de G∞ y que tambien es divisible.

2. Sea A un anillo conmutativo y M un A-modulo. Se dene la torsi´ on de M comot(M ) := {m ∈M tal que ∃a ∈A con a = 0 y a.m = 0}. Si A es ıntegro ver quet(M ) es un subm odulo. ¿d onde se usa que A sea ıntegro?

3. Sea A ıntegro, M y N dos subm odulos y f : M →N un morsmo A-lineal. Verque f (t(M )) ⊂t(N ) y por lo tanto la asignación M →t(M ) es funtorial. Ver quet(t(M )) = t(M ) y t(M/t (M )) = 0.

4. Viendo al grupo abeliano M = ( C − {0}, .) como Z-modulo, encontrar los elementosde torsi on.

5. Caracterizar M = Z⊕

Z / (4, 6) calcular t(M ) y M/t (M ).

6. Sea A ıntegro y M un A-modulo divisible y sin torsión. Ver que entonces M admiteuna estructura de k-espacio vectorial donde k es el cuerpo de fracciones de A.

7. Sea k un cuerpo, y C la categorıa formada por:

• Obj (C ) = pares ( V, φ) donde V es un k-espacio vectorial y φ : V →V es unendomorsmo.

• Para cada par de objetos ( V, φ) y (W, ψ ), HomC ((V, φ), (W, ψ )) = {f : V →W transformación lineal tal que f (φ(v)) = ψ(f (v)) ∀v∈V }.




(a) Ver que esta categorıa se identica con la categorıa de k[X ]-modulos. Probar que

(V, φ)∼= (V, ψ) como k[X ]-modulos si y solo si φ es un endomorsmo conjugadoa φ, es decir, que existe un α∈Aut k (V ) tal que φ = α ◦ψ ◦α − 1.

(b) Sea ( V, φ) como antes. Ver que los subespacios φ-estables se correspondenunıvocamente con los k[X ]-submodulos de V , y que hallar una base en la quela matriz de φ se escriba en bloques equivale a hallar una descomposici´ on de V en k[X ]-sumandos directos.

(c) Encontrar un k[X ]-modulo de dimensi on 2 (sobre k) que no admita sumandosdirectos no triviales.

(d) Si λ ∈k, evλ : k[X ] →k (P →P (λ)) es un morsmo de anillos, por lo tantoinduce una estructura de k[X ]-modulo sobre k. Sea kλ el k[X ]-modulo denido

de esa manera, ¿es kλ∼= kλ como k[X ]-modulo si λ = λ ?

(e) Sea V un espacio vectorial de dimensi´ on nita, φ un endomorsmo de V . En-tonces φ es diagonalizable si y s olo si V se descompone como k[X ]-modulo ensuma directa de subm´ odulos isomorfos a los kλ (λ∈k).

(f) Si M es un k[X ]-modulo cıclico, entonces o bien es de dimensi´ on nita, o bienes isomorfo a k[X ] (sug. ver el teorema de ‘clasicaci on’ de grupos cıclicos ycopiar la idea).

8. (Localizaci on de m odulos) Sea A un anillo, S ⊂Z (A) un subconjunto multipli-cativamente cerrado y M un A-modulo a izquierda. Se dene M S como el co-

ciente de los pares ( m, s ) con m ∈M y s ∈S bajo la relaci on de equivalencia(m, s ) ≡(m , s )⇔ ∃t∈S tal que t(s .m −s.m ) = 0. La clase del elemento ( m, s )bajo esta relación se lo denotar a (como era de esperar) m

s , y M S := {(m, s ) : m ∈M, s∈S }/ ∼= {m

s : m∈M, s∈S }.

(a) Ver que M S es naturalmente un A-modulo a izquierda y que la función j M :M →M S m →m

1 es A-lineal.

(b) Ver que además M S es un AS -modulo bajo la acci on obvia as . m

t = a.mst , y que

adem as j M : M →M S tiene la siguiente propiedad: Si N es un AS -modulo (ypor lo tanto tambien un A-modulo (¿porque?)) y f : M →N es una morsmoA-lineal entonces existe una única f : M S →N que factoriza a f a traves de

jM , es decir, que f = f ◦ jM . (diagrama de rigor:)

M f

jM / /M S

f } } { { {

{

N




(c) Por cada s ∈S sea M. 1s := M . Ver que M S ∼= ⊕s∈S

M. 1s / t.m. 1

st −m. 1s . La

funcion j M bajo este isomorsmo es la composici´on M = M 11 → ⊕s∈S M. 1s →π

⊕s∈S M. 1s / t.m. 1

st −m. 1s .

(d) Interpretar y demostrar la frase ‘la asignaci´ on M →M S es funtorial’.

9. (Polinomios de Laurent) Sea S ⊂k[X ], S = {1,X,X 2, X 3,...,X n ,...}. Entonces:

(a) k[X ]S ∼= k[X, X − 1]∼= k[X, Y ]/ X.Y −1 .

(b) Si (V, φ) es un k[X ]-modulo, V S ∼= V ⇔φ es un isomorsmo.

(c) Sea V es de dimensi on nita, Ker( φn ) ⊂V es un k[X ]-submodulo de V para

todo n, sea t(V ) := ∪n∈N Ker( φ

n

). Entonces t(V ) coincide con Ker( V →V S ) yadem as V S ∼= V/t (V ). (Sugerencia: ver que φ : V →V induce un isomorsmoV/t (V ) →V/t (V ) para asi obtener un morsmo natural V S →V/t (V ), para elmorsmo en el otro sentido usar que t(V ) = Ker( V →V S ).)

10. Sea k un cuerpo, probar que para P ∈k[X, X − 1], la funcion l (l de ‘largo’) tal queP = k= n ma kxk →m −n =: l(P ) donde P = m

k= n akxk es una escritura talque an y am son ambos distintos de cero hace de k[X, X − 1] un dominio euclidea-no (sugerencia: para obtener un algoritmo de divisi on primero multiplicar por unapotencia conveniente de x, hacer la cuenta en k[X ] y despues volver). Ver que todok[X, X − 1]-modulo cıclico o bien es de dimensi´on nita o bien es isomorfo a k[X, X − 1].

11. Sea (V, φ) un k[X ]-modulo con φ nilpotente. ¿Es ( V, φ) un k[[X ]]-modulo?

12. Sabiendo que en k[[X ]] los elementos de la forma λ + x.p con p∈k[[X ]] y 0= λ∈kson unidades (si no lo sabe, demuestrelo), probar que los todos los ideales de k[[X ]]son 0, y xn con n∈N0.

13. Sea M un k[[X ]]-modulo (por lo tanto un k[X ]-modulo).

(a) Si M es cıclico entonces M = ( M, φ) con M de dimensi on nita y φ nilpotente,o bien M ∼= k[[X ]].

(b) Si M es de dimensi on nita entonces el endomorsmo ‘multiplicar por x’ esnilpotente en M .

14. (Ideales a izq. de matrices) Sea k un cuerpo, consideremos el anillo M 3(k) y e∈M 3(k)

la matriz1 0 00 0 00 0 0

. Ver lo siguiente:




(a) e2

= e, el ideal a derecha e.M 3(k) consiste de las matrices de la forma∗ ∗ ∗0 0 00 0 0 ,

el ideal a izquierda M 3(k).e consiste de las matrices de la forma∗0 0

∗0 0

∗0 0,

y el ideal bil atero generado por e es M 3(k).

(b) Sea I ⊆A un ideal a izquierda, y sea S I el subespacio e.I ⊆∗ ∗ ∗0 0 00 0 0

,

entonces el ideal generado por S I (i.e. M 3(k).S I ) coincide exactamente con I .

(c) Los ideales a izquierda de M 3(k) est an en correspondencia 1-1 con los subespa-cios de k3. Encuentre los ideales asociados a los subespacios generados respec-tivamente por (0 , 0, 1), (0, 1, 0) y (1, 0, 0).

(d) Generalizaci on 1: demuestre que los ideales a izquierda de M n (k) est an en co-rrespondencia biyectiva con los subespacios de kn (con n∈N).Generalización 2: si A es un anillo cualquiera demuestre que los ideales a izquier-da de M n (A) est an en correspondencia biyectiva con los subm´ odulos a izquierdade An .

15. Sea k un cuerpo y n∈N, los unicos ideales bil ateros de M n (k) son 0 y M n (k). Si Aes un anillo, los unicos ideales bil ateros de M n (A) son de la forma M n (I ) con I ⊆Aun ideal bil atero (sug. si e es una matriz tipo la del ejercicio anterior, entonces paraJ ⊆M n (A), la asignaci on J →e.J.e da una matriz ‘concentrada’ en el lugar 11 yestablece una biyección entre ideales bilateros de A y de M n (A)). ¿puede haber unmorsmo de anillos M n (k) →k?

16. Sea M un A-modulo a derecha y B = End A(M ). Ver que la acción End A(M ) ×M →M , (f, m ) →f (m) dene sobre M estructura de End A(M )-modulo a izquierda,adem as M resulta un End A(M ) −A-bimodulo (i.e. las dos estructuras son com-patibles. Si M = An × 1 (o sea An visto como ’vector columna’) es un A-modulo aderecha, ver que M adem as es un M n (A)-modulo a izquierda con la multiplicaci´ onusual de matrices. Ver que esta estructura coincide con la denida antes, identicandoEnd A(An )∼= M n (A).



4

M odulos noetherianos y artinianos

4.1 Módulos noetherianos

En el contexto de espacios vectoriales sobre un cuerpo k, puede considerarse ladimension como funcion de los espacios en los numeros naturales. Esta función esmonotona con respecto a la inclusi on, es decir, si S es un subespacio de V entoncesdim k(S ) ≤dim k(V ). En particular si V es nitamente generado, entonces todos sussubespacios tambien lo son. En el caso de m odulos sobre un anillo arbitrario no existeuna nocion analoga a dimension, y la propiedad de ser nitamente generado no tiene

por que ser hereditaria, es decir, submódulos de un modulo nitamente generado notienen por que ser nitamente generados.

El ejemplo clasico es el siguiente: seaA = R [0,1] = {f : [0, 1] →R}, con la estructu-ra usual de anillo de funciones, M = A y S = {f ∈A/ f (x) = 0 s olo para nitos valores de x}.El conjunto S es un ideal de A, por lo tanto un A-submodulo de M . M est a generadopor la funcion constante 1, sin embargo S no es un A-modulo nitamente generado.Para ver esto, supongamos que existieran f 1, . . . , f n ∈S tales que f 1, . . . , f n = S .Sea {x1, . . . x s} ⊂[0, 1] la union de todos los puntos x tales que existe alguna f i conf i(x) = 0 (que claramente es un conjunto nito) y sea x0∈[0, 1] − {x1, . . . , x s}. Sidenimos φ : [0, 1] →R por φ(x0) = 1 y φ(x) = 0 si x = x0 entonces φ∈S pero φ

nunca puede pertenecer a f 1, . . . , f n .Tampoco puede asegurarse, dado un anillo A arbitrario, que si dos A-modulos M 1

y M 2 son de tipo nito (i.e. nitamente generados) entonces M 1∩M 2 sea de tipo nito.Sin embargo, para algunos anillos A (adem as de los cuerpos) y ciertos A-modulos M puede armarse que la propiedad de ser de tipo nito es hereditaria. Por ejemplolos anillos principales, como Z o k[X ] (k cuerpo) tienen la propiedad siguiente: todo

79




ideal est a generado por un elemento. De esta manera todo Z -submodulo de Z es

nitamente generado, y lo mismo con los k[X ]-submodulos de k[X ].La situaci on para cocientes es mas sencilla, porque todo cociente de un m odulonitamente generado es nitamente generado. Mas generalmente:

Proposici´ on 4.1.1. Sea A un anillo cualquiera y

0 / /M 1f

/ /M 2g

/ /M 3 / /0

una sucesi´ on exacta corta de A-m´ odulos. Entonces:

1. M 2 de tipo nito⇒M 3 es de tipo nito.

2. M 1 y M 3 de tipo nito⇒M 2 es de tipo nito.

Demostraci´ on: 1. Sea {y1, . . . , yn}un conjunto de generadores de M 2 y z∈M 3.Como g es un epimorsmo, existe y∈M 2 con g(y) = z. Ahora, y = n

i=1 a iyi paraciertos a i∈A, entonces z = n

i=1 a ig(yi), por lo tanto {g(y1), . . . , g (yn )}genera M 3.2. Sean M 1 = x1, . . . , x r , M 3 = z1, . . . , z s y sean y1, . . . , y s elementos de M 2

tales que g(yi) = zi (i = 1 , . . . , s ). Armamos que M 2 = f (x1), . . . , f (xr ), y1, . . . , y s .En efecto, sea y ∈M 2, g(y) ∈M 3 entonces existen a1, . . . , a s ∈A con g(y) =

si=1 a izi . Como g(y) = g( s

i=1 a iyi) entonces g(y − si=1 a iyi) = 0. El elemento

y = y − si=1 a iyi est a en la imagen de f , que es un modulo isomorfo a M 1 vıa f , en

consecuencia Im(f ) = f (x1), . . . , f (x

r) y existen b

1, . . . , b

rcon y = r

i=1b

if (x

i).

Despejando y se tiene y = ri=1 bif (xi) + s

i=1 a iyi .

Corolario 4.1.2. Si φ : M →N es un morsmo de A-m´ odulos tal que Ker(φ) eIm(φ) son de tipo nito, entonces M es de tipo nito.

Denici´ on 4.1.3. Dado un anillo A, un A-m´ odulo M se dir´ a noetheriano si y s´ olosi todo subm´ odulo de M es nitamente generado (en particular M mismo es de tipo nito).

Ejemplos:

1. Los A-modulos nulos, simples, nitos (como conjuntos, por ejemplo los Zn comoZ -modulos) y A-modulos con un numero nito de subm odulos son noetherianos.

2. Si A es principal, entonces A es un A-modulo noetheriano.

3. Dado un cuerpo k, un espacio vectorial V es noetheriano si y solo si dim k(V ) <

∞.




La propiedad “ser noetheriano” puede expresarse de manera equivalente mediante

cualquiera de las siguientes armaciones:1. Todo conjunto no vacıo de subm´odulos de M tiene un elemento maximal (res-

pecto a la inclusion).

2. Toda sucesion (no vacıa) creciente de subm´odulos se estaciona.

Veamos que 1 . y 2. son equivalentes:1 ⇒2: Se toma como conjunto no vacıo de subm odulos de M al conjunto de

submodulos que aparece en la sucesion. Este conjunto tiene un elemento maximal,que es un elemento de la sucesion, luego la sucesion se estaciona en ese elemento.

2

⇒

1: Sea

C =

∅

un conjunto de subm odulos de M sin elemento maximal. Como

C = ∅, ∃S 1∈ C, y como S 1 no es maximal⇒ ∃S 2∈ Ctal que S 1⊂S 2 y la inclusiones estricta. Siguiendo inductivamente se puede encontrar una sucesi´ on de elementosS i de Ctales que S i⊂S i+1 (inclusiones estrictas), lo que es un absurdo, porque serıauna sucesion que no se estaciona.

Veamos ahora que 1 . y 2. equivalen a la denicion de noetheriano:Sea M que verica 1 y N un subm odulo de M , queremos ver que N es nitamente

generado. Denimos para esto C= {submodulos de M de tipo nito contenidos enN }. Como {0} ∈ C, entonces Cno es vacıo. Por 1, Ctiene un elemeno maximal quellamaremos N 0. Veamos que N 0 = N . Si no, sea x∈N −N 0, y sea N 0 = N 0 + x .

Entonces N 0 es de tipo nito y N 0 est a contenido estrictamente en N 0, absurdo.Luego N 0 = N .Supongamos ahora M noetheriano y N 1 ⊂N 2 ⊂ · ·· ⊂N k ⊂. . . una cadena

creciente de subm odulos. Como es creciente, N := ∪k∈NN k es un submodulo, quees nitamente generado porque M es noetheriano. Sean x1, . . . , x n ∈N tales quex1, . . . , x n = N = ∪k∈NN k , luego, para cada i = 1 , . . . , n ∃ki / x i∈N ki . Si n0 es el

maximo de los ki entonces por ser la sucesion creciente, todos los xi ∈N k cada vezque k ≥n0, luego N k = N ∀k ≥n0.

Observaci´ on: Como la propiedad de un A-modulo de ser noetheriano se enunciaen terminos de todos los los subm odulos de M , resulta que un subm odulo S de unA-modulo noetheriano es noetheriano. Por otro lado, los subm´ odulos del cocienteM/S de M estan en correspondencia con los subm odulos de M que contienen a S .Luego, un cociente de un noetheriano es tambien noetheriano. M´ as generalmente:

Proposici´ on 4.1.4. Sea 0 / /M f

/ /M g

/ /M / /0 una sucesi´ on exacta deA-m´ odulos. Entonces




• M noetheriano ⇒M y M son noetherianos.

• M y M son noetherianos ⇒M noetheriano.

Demostraci´ on: Dado que (al ser f un monomorsmo) M ∼= Im(f ) que es unsubmodulo de M y que (al ser g epimorsmo) M ∼= M/ Ker(g), el primer ıtem ya seha demostrado.

Supongamos ahora M y M noetherianos. Sea N un subm odulo de M , queremosver que es nitamente generado. Consideramos la siguiente sucesión exacta corta:

0 / /f − 1(N )f

/ /N g / /Im(g|N ) / /0

Como M y M son noetherianos, tanto Im( g) como f − 1(N ) son nitamente genera-dos, por lo tanto N es nitamente generado (Proposición 4.1.1).

Observaci´ on: Ser noetheriano es una propiedad que se preserva por sumas directasnitas, ya que si M 1, . . . , M n son modulos noetherianos, se tiene la sucesi on exactacorta

0 →M 1 →⊕ni=1 M i →⊕

ni=2 M i →0

y lo enunciado se sigue inductivamente. Sin embargo, ser noetheriano no se preservapor sumas directas innitas ni por productos innitos, por ejemplo Z es un Z-modulonoetheriano (ya que es principal), pero Z (N) no es noetheriano porque no es nita-

mente generado (considerar la cadena creciente e1 ⊂ e1, e2 ⊂ e1, e2, e3 ⊂. . . ).Como Z (N) es un submodulo de Z N , entonces ZN tampoco es noetheriano.

Denici´ on 4.1.5. Un anillo A se dir´ a un anillo noetheriano si y s´ olo si A es un A-m´ odulo noetheriano.

Ejemplos:

1. Z y k[x] (k cuerpo) son anillos noetherianos porque son principales.

2. k[x1, . . . , x n , . . . ] es un anillo que no es noetheriano, sin embargo es ıntegro, porlo que se lo puede considerar como un subanillo de su cuerpo de fracciones, quees trivialmente noetheriano. Esto muestra que subanillos de anillos noetherianosno tienen por que ser anillos noetherianos.

Sea A un anillo noetheriano y M un A-modulo. ¿Podemos armar que M esnoetheriano? En principio M deberıa ser nitamente generado, por lo tanto no to-do A-modulo sera noetheriano. Pero como demostraremos ahora, esa es la únicaobstrucci on para serlo:




Proposici´ on 4.1.6. Sea A un anillo noetheriano, M un A-m´ odulo de tipo nito,

entonces M es noetheriano.Demostraci´ on: Como M es de tipo nito, existe un epimorsmo An →M paraalgun n ∈N. Si An fuera noetheriano entonces la demostraci´on estarıa completa.Pero es consecuencia de que An = ⊕

ni=1 A, A es un A-modulo noetheriano, y “ser

noetheriano” se preserva por sumas directas nitas.

Ejercicios:

1. Si A es un anillo noetheriano y S ⊂Z (A) es un subconjunto multiplicativamentecerrado, entonces AS es un anillo noetheriano porque los ideales de AS est an encorrespondencia con los ideales de A que no contienen a S (y esa correspondenciapreserva la inclusi´on). Sea M un A-modulo noetheriano, ¿es cierto que M S es unAS -modulo noetheriano?

2. Sea A un anillo y J un ideal bil atero. Caracterizar los ideales (a izquierda) de A/J enterminos de los ideales (a izquierda) de A. Concluir que si A es un anillo noetheriano,entonces A/J es un anillo noetheriano.

4.2 Teorema de HilbertEL siguiente teorema es una herramienta poderosa y no trivial para probar, en

casos especıcos, la noetherianidad de un anillo.Teorema 4.2.1. (Hilbert) Sea A un anillo noetheriano, entonces A[x] es un anillonoetheriano.

Demostraci´ on: Sea J un ideal de A[x], queremos ver que J es nitamente generadosobre A[x]. Consideramos para eso el siguiente ideal de A:

Sea I = {a ∈A/ ∃ p∈J ⊂A[x] con p = a.x m + m − 1i=0 a ix i}, es decir, I es el

“ideal de coecientes principales de los polinomios de J ”.Ante todo veamos que I es un ideal (a izquierda) de A:Sean a, a ∈I , luego existen p, p ∈J con p = a.x m + m − 1

i=0 a ixi y p =

a .xm +m − 1i=0 a ixi . Podemos suponer sin perdida de generalidad que m ≥m (sino

se multiplica a p por alguna potencia de x sucientemente grande) y resulta entoncesque a + a es el coeciente principal del polinomio p + xm − m .p que pertenece a J ypor lo tanto a + a ∈I .

Si b∈I y a ∈A, sea p un polinomio en J con coeciente principal b, entoncesa.p∈J y consecuentemente a.b∈I .




Ahora que sabemos que I es un ideal a izquierda de A, como A es noetheriano,

I es nitamente generado sobre A. Sean a1, . . . , a r un sistema de generadores (sobreA) de I , y sean p1, . . . , p r polinomios en J tal que el coeciente principal de cada pi

es a i , los cuales supondremos todos del mismo grado m (sino, se multiplica a cada pi por xm − grad ( pi ) donde m es el maximo de los grados de los pi). Veremos que estospolinomios “casi generan” a J en el siguiente sentido:

Sea N el A-modulo formado por los elementos de J de grado menor que m, esdecir, N = J ∩A<m [x]. J estar a generado por los pi “a menos de N ”. ComoA<m [x] es un A-modulo nitamente generado, A es noetheriano y N ⊆A<m [x] esun subm odulo, entonces N es nitamente generado (como A-modulo). Sea entonces

{q1, . . . , qs} ⊂N un sistema de generadores (sobre A) de N ; armamos que J est a

generado (como A[x]-modulo) por { p1, . . . , p r , q1, . . . , qs}.Demostremos esta ultima armaci´on. Sea p un polinomio de J , si gra ( p) < mentonces p∈N = q1, . . . , qr A ⊂ q1, . . . , qr A[x]. Si gra ( p) = g ≥ m razonaremosinductivamente. Sea a el coeciente principal de p, luego a∈I y se lo puede escribircomo a = r

i=1 λ ia i donde λ i∈A y los a i son los generadores de I . Ahora bien, losa i son los corcientes principales de los pi que tienen todos grado m ≤ g, luego elpolinomio p = xg− m . r

i=1 λ i pi es un polinomio que pertenece a J y que tiene comocoeciente principal a a, de hecho, p∈ p1, . . . , p r A[x]. Si consideramos el polinomio p− p, es un polinomio en J con grado menor estricto que el grado de p, por hipotesisinductiva este polinomio pertenece al ideal generado por { p1, . . . , p r , q1, . . . , qs}. Como p

∈

p1, . . . , p r A[x]

⊆

p1, . . . , p r , q1, . . . , qs , despejando p resulta que tambien est´ a enel generado por esos mismos polinomios.

Corolario 4.2.2. 1. Si A es un anillo noetheriano entonces A[x1, . . . , x n ] es anillonoetheriano, en particular, para k un cuerpo, k[x1, . . . , x n ] es noetheriano.

2. Sea B un anillo y A un subanillo de B que es noetheriano como anillo. Su-pongamos que existe un b∈B tal que b conmuta con los elementos de A y bgenera a B como A-´ algebra, es decir, que todo elemento de B se escribe comocombinaci´ on lineal de potencias de b (incluido 1 = b0) con coecientes en A.Entonces B es noetheriano. Lo mismo se puede decir de B si estuviera generado

como A-´ algebra por nitos elementos que conmuten entre sı .Demostraci´ on: 1. Es claro escribiendo A[x1, . . . , x n ] = (A[x1, . . . , x n − 1])[xn ], yaplicando inducci on mas el teorema de Hilbert.

2. Sea b∈B que genera a B como A-algebra. La denicion de “genera comoA-algebra” es equivalente a que el morsmo de anillos evb : A[x] →B ( p → p(b)) sea




sobreyectivo. Como A es noetheriano, por el teorema anterior A[x] es noetheriano,

luego B es un anillo noetheriano porque existe un epimorsmo de anillos de un noe-theriano en B . La asercion con varios generadores es identica sustituyendo A[x] porA[x1, . . . , x n ].

Ejemplo: Sea d∈Z un numero que no es un cuadrado, √d una raız compleja de d ysea Z[√d] = {a + b.√d / a, b∈Z}. Este subconjunto de C de hecho un subanillo de C(vericar que la multiplicacion de dos elementos de Z[√d] es de nuevo un elemento deZ[√d]). Por otro lado, existe un epimorsmo de anillos Z[x] →Z [√d] determinadopor (x →√d). Como Z es noetheriano, Z[√d] resulta tambien un anillo noetheriano.

4.3 M´odulos artinianosLos modulos artinianos se suelen presentar dentro del marco de una teorıa dual

a la teorıa de m odulos noetherianos. Dado un A-modulo M , cual es la armacion“dual” a “ M es nitamente generado”? Observemos que decir que M sea nitamentegenerado es equivalente a decir que existe un n∈N y un epimorsmo π : An →M (un sistema de generadores corresponde a tomar {π(e1), . . . , π (en )}). Si tomamos unA-modulo arbitrario M , siempre existe un conjunto I y un epimorsmo A(I ) →M ,pues siempre existe un sistema de generadores (por ejemplo I = M ). Lo que diceel hecho de que M sea nitamente generado es que se puede extraer un subconjunto

nito de I , de digamos n elementos, de manera tal que la proyecci on An

→M sigasiendo un epimorsmo. Mas aun, en esta armaci on, se puede cambiar el modulo queaparece sumado con el ındice I (es decir A) para pasar a un enunciado m´as generico:

Proposici´ on 4.3.1. Sea M un A-m´ odulo, son equivalentes:

1. M es nitamente generado.

2. Si {N i}i∈I es una familia arbitraria de A-m´ odulos y f : i∈I N i →M es un epi-morsmo, entonces existe F ⊂I un subconjunto nito tal que f |⊕i∈F N i i∈F N i →M es un epimorsmo.

Demostraci´ on: 2.⇒1. es claro tomando el epimorsmo A(M ) →M (em →m).Extrayendo un subconjunto nito de ındices se obtiene precisamente un subconjuntonito de generadores.

1.⇒2. Sea f : i∈I N i →M un epimorsmo, y sean {m1, . . . , m r }un sistema degeneradores de M . Por cada mk existe un zk = ( zk

i )i∈I ∈ i∈I N i tal que f ((zki )i∈I ) =




i∈I f (zki ) = mk (k = 1 , . . . , r ). Ahora bien, como zk = ( zk

i )i∈I ∈ i∈I N i →M , cada z

kes combinacion lineal nita de elementos de N i . Sea F la union parak = 1 , . . . , r de los ındices i ∈I tales que los zk

i son no nulos. Si tomamos ahoraf |⊕i∈F N i : i∈F N i →M , como los zk

∈⊕i∈F N i entonces los mk∈Im(f |⊕i∈F N i ), y setiene un epimorsmo porque los mk generan M .

Esta condici on equivalente a ser nitamente generado puede ser dualizada (en elsentido categ orico) sin problemas.

Denici´ on 4.3.2. Diremos que un A-m´ odulo M es nitamente cogenerado si dada una familia arbitraria de A-m´ odulos {N i}i∈I y un monomorsmo f = i∈I f i :M

→i∈I N i , entonces existe un subconjunto nito F

⊂

I tal que i∈F f i : M

→i∈F N i es un monomorsmo.Observamos que si M es un A-modulo nitamente cogenerado y N ⊂M es un

submodulo, entonces N es nitamente cogenerado, pero cocientes de nitamente co-generados no tienen por que ser nitamente cogenerados.

Denici´ on 4.3.3. Se dice que un A-m´ odulo M es artiniano si y s´ olo si todo cocientede M es nitamente cogenerado. El anillo A se dir´ a un anillo artiniano en caso deque A sea artiniano como A-m´ odulo.

Ejemplo: Z no es un Z-modulo artiniano, porque dado a ∈Z , a = 0 , 1, −1, la

aplicacion Z → n∈N Z / an

denida por x → {x}n∈N es un monomorsmo, puesdado un m∈Z basta tomar un n∈N tal que |m| < |a|n para que su clase moduloan .Z sea distinta de cero. Sin embargo, para cualquier subconjunto nito F ⊂N,Z → n∈F Z / an no es un monomorsmo.

A continuaci on daremos propiedades equivalentes a la denici´on de modulo arti-niano, que permitir´an encontar m as facilmente ejemplos de tales m odulos.Observaci´ on: Si M es nitamente cogenerado, entonces M tiene la siguiente pro-piedad:(†) Para toda familia {M i}i∈I de A-submodulos de M , ∩i∈I M i = 0 implica que existeun subconjunto nito F

⊂

I con

∩i∈F M i = 0

(tomar πi : M → i∈I M/M i y mirar los nucleos).Recıprocamente, si M verica la propiedad ( †) entonces M es nitamente coge-

nerado.

Al igual que en el contexto de modulos noetherianos, la condici on de ser artinianopuede expresarse en terminos del reticulado de subm´ odulos :




Proposici´ on 4.3.4. Sea M un A-m´ odulo. Las siguientes armaciones son equiva-

lentes:1. M es artiniano.

2. (Condicion de cadena descendente.) Toda cadena decreciente de subm´ odulos deM se estaciona.

3. Todo conjunto no vacıo de subm´ odulos de M tiene un elemento minimal.

Demostraci´ on:1.⇒2. Supongamos M artiniano y sea Cuna cadena decreciente L1⊃L2⊃. . .

de submodulos de M . Sea K =

∩n∈NLn , que es justamente el n ucleo de la aplica-

cion n∈N πn : M → n∈N M/L n . Consideremos la aplicaci on inducida M/K →n∈N M/L n que es un monomorsmo. Como M/K es nitamente cogenerado, exis-

te un m ∈N tal que tal que M/K → n<m M/L n es monomorsmo, por lo tantoK = ∩n∈NLn = ∩n<m Ln = Lm − 1, es decir, a partir de Lm − 1 la cadena se estaciona.

2.⇒3. Supongamos que M verica la condicion de cadena descendente y sea S un subconjunto no vacıo de submódulos de M . Supongamos que S no tiene elementominimal, entonces ∀L ∈ S el conjunto {L ∈ S / L ⊂L (inclusion estricta) }esno vacıo. Fijando L arbitrario, sea L0 = L y L1 un elemento del conjunto anterior,como L1 no es minimal, el conjunto {L ∈ S / L ⊂L1 (inclusi on estricta) }es novacıo, sea L2 un elemento de ese conjunto. Con este proceso se obtiene una cadenaL0 ⊃L1 ⊃L2 ⊃. . . que no se estaciona, lo cual es absurdo, luego S tiene algunelemento minimal.

3.⇒1. Supongamos que todo conjunto no vacıo de submódulos de M tengaun subm odulo minimal. Sea K ⊂M un subm odulo y f : M/K → i∈I N i unmonomorsmo. Sea M i0 el nucleo de la composicion M →M/K → i∈I N i →N i0 .Vale que K = ∩i∈I M i . Bastar a probar entonces que si K ⊂M es un submodulo y

S es una coleccion de submodulos de M con K = ∩M ∈S M , entonces K = ∩n j =1 M j

para alg un numero n∈N y elementos M j ∈ S . Sea P = {∩M ∈F M : F ⊂ S es unconjunto nito }. Por la propiedad 3., P tiene un elemento minimal correspondientea un F

0y K =

∩M ∈F 0M .

Ejemplos:

1. Z p∞ ∼= G p∞ es un Z-modulo artiniano. Para ver esto, notamos que sus ´ unicossubmodulos son {1}, G p∞ y los (G pn )n∈N que est an todos “encajados”, luegotoda cadena descendente de submódulos se estaciona porque los G pn son nitos.




2. Si k es un cuerpo, V un k-espacio vectorial, V es artiniano si y s olo si es de

dimension nita.3. Sea A un anillo que contiene un cuerpo k, y M un A-modulo (por lo tanto

un k-espacio vectorial). Si M es de dimension nita sobre k entonces M esartiniano.

Una de las propiedades m as importantes de los m odulos noetherianos y/o arti-nianos es que admiten una descomposici on en suma directa nita de submódulosindescomponibles, cosa que no es cierta si solo se pide que el modulo sea nitamen-te generado. Un modulo se dice indescomponible si no admite sumandos directospropios.

Proposici´ on 4.3.5. Sea M un A-m´ odulo noetheriano (o artiniano) no nulo. Enton-ces existen subm´ odulos indescomponibles M 1, . . . , M n tales que M ∼=

ni=1 M i .

Demostraci´ on: Sea M = 0. Si M es indescomponible no hay nada que demostrar,si no, supongamos que M no verica la propiedad del enunciado. Luego existe M unsumando directo propio de M que no tiene una descomposici on en suma directa nitade submodulos indescomponibles (un tal submódulo existe porque si no M la tendrıa).Como M es un modulo no nulo noetheriano (es subm odulo de un noetheriano) y noes suma directa nita de indescomponibles, entonces existe M un sumando directopropio de M que no tiene una descomposici on en suma directa nita de indescompo-

nibles. Llamemos a N al complemento de M , i.e. M = N M , M = N M .Continuando con este proceso se consiguen cadenas de submódulos propios

M ⊃M ⊃M ⊃. . . y N ⊂N ⊕N ⊂N ⊕N ⊕N ⊂. . .

que no se estacionan, con lo cual resulta que M no es noetheriano ni artiniano, lo quees absurdo.



5

M odulos libres, proyectivos e

inyectivos

5.1 Módulos libresEn el caso de espacios vectoriales, la existencia de bases es una herramienta que

permite, por ejemplo, denir transformaciones lineales indicando su valor en los ele-mentos de una base, y luego extendiendo por linealidad. A su vez esto asegura, entreotras cosas, que si V y W son k-espacios vectoriales y t : V →W es una transforma-

cion lineal suryectiva, existe entonces una transformaci´ on lineal f : W →V tal quet ◦ f = IdW . En otras palabras, las nociones de epimorsmo y retracción coincidenen la categorıa de espacios vectoriales. Sabemos que existen anillos A tales que estono sucede en la categorıa de A-modulos, por lo tanto, habrá modulos en los que nose pueda encontrar subconjuntos privilegiados que jueguen el rol de las bases en losespacios vectoriales sobre los cuales por ejemplo uno pueda denir una “vuelta” de unepimorsmo. Aun conociendo un sistema de generadores, las posibles relaciones quepudiera haber entre ellos hacen que uno no pueda extender por linealidad funcionesdenidas sobre este subconjunto. Esto mismo sucedıa con los sistemas de generado-res de un espacio vectorial, pero el problema desaparecıa eligiendo un subconjunto degeneradores que fuera linealmente independiente. Este proceso no puede copiarse alcaso general, el siguiente ejemplo muestra que la noci on de base en un A-modulo esmas sutil que en espacios vectoriales:

Ejemplo: Consideremos Z como Z-modulo. El conjunto {2, 3}es un sistema degeneradores de Z que no es “linealmente independiente” sobre Z (es claro que porejemplo 3.2 + (−2).3 = 0) y sin embargo es minimal en el sentido de que si se extrae

89




un subconjunto propio, deja de ser un sistema de generadores. Por otro lado, {1}(tambien {−1}) es un sistema de generadores minimal que merece ser llamado base.

Denici´ on 5.1.1. Dado un anillo A, un A-m´ odulo M y un subconjunto S ⊂M dire-mos que S es un conjunto linealmente independiente de A si toda combinaci´ on lineal nita de elementos de S con coecientes en A no todos nulos, es no nula.




Ejemplos:

1. Si M = A, el conjunto {1}es linealmente independiente. Si a∈A es un divisorde cero, entonces {a}no es linealmente independiente.

2. Si A = M 2(k) y M = 0 x0 y ∈M 2(k) . M es un A-modulo a izquierda,

y el conjunto 0 10 0 es un sistema de generadores minimal, que no es li-

nealmente independiente. Probar que no existe ningun conjunto de generadoreslinealmente independiente.

3. Si A = Z y M = Z n entonces ningun subconjunto de M es linealmente inde-pendiente.

4. Si r, s ∈Z , entonces {r, s }es siempre un conjunto linealmente dependiente.

5. Sean A = Z y M = Q . Sea 0 = r∈Q , entonces {r}es un conjunto linealmenteindependiente. Si r, s ∈Q entonces {r, s }es siempre linealmente dependiente.

Observaci´ on: A partir del ejemplo 3. se observa que un subconjunto linealmenteindependiente (l.i.) no puede tener elementos de torsi´ on. En el ejemplo 1., {1}nosolo es l.i. sino que ademas genera.

Algunas de las propiedades que tienen los subconjuntos l.i. y los conjuntos degeneradores de un espacio vectorial pueden generalizarse al caso de m odulos sobre unanillo A con demostraciones an alogas, por ejemplo:

Proposici´ on 5.1.2. Sea f : M →N un morsmo de A m´ odulos y S ⊂M un subconjunto.

1. Si S es un conjunto l.d. entonces f (S ) es un conjunto l.d..

2. Si S es un conjunto l.i. y f es monomorsmo, entonces f (S ) es un conjuntol.i..

3. Si S es un conjunto de generadores y f es epimorsmo entonces f (S ) es un conjunto de generadores de N .

Diremos que un subconjunto S ⊂M es una base de M si y solo si S es l.i. y S genera M .

Denici´ on 5.1.3. Un A-m´ odulo M se dice libre si y s´ olo si M admite una base.




Ejemplos:

1. Si k es un cuerpo, todo k-espacio vectorial es libre.

2. Si A es un anillo, entonces A es un A-modulo libre, una base es por ejemplo

{1}.

3. Q no es un Z-modulo libre ya que todo par de elementos es l.d. (y Q no escıclico).

4. Sea V un k-espacio vectorial de dimensi on nita y t : V →V una transformaci´onlineal. El par ( V, t) es un k[x]-modulo que no es libre, ya que todo elemento esde torsi on (si p = m t , entonces p.v = 0

∀

v

∈

V ).

Observaciones:

1. Un cociente de un A-modulo libre M no tiene por que ser libre, por ejemploZ n = Z /n. Z no es Z-libre.

2. Un submodulo de un A-modulo libre no es necesariamente libre. Por ejemplo siun A-modulo libre contiene un elemento de torsi on, entonces el submodulo ge-nerado por ese elemento no es libre. Como ejemplo concreto tomemos M = A =M 2(Z ), que es A-libre con base 1 0

0 1 . Sin embargo, N = a 0b 0 ,a ,b∈Z

es un submodulo de torsion de M , por lo tanto no puede tener una base comoA-modulo.

3. Sean M y N A-modulos. Si M es un A-modulo libre y f : M →N es unisomorsmo entonces N es libre.

4. Sea A(I ) = {f : I →A / sop (f ) < ∞}. A(I ) es un A-modulo libre con base

{ei}i∈I , donde, para todo i∈I , ei es la funcion denida por ei( j ) = δij .

A continuaci on caracterizaremos los A-modulos libres, viendo que todo A-modulolibre es isomorfo a un modulo del tipo A(I ) , para alg un conjunto I .

Proposici´ on 5.1.4. Dado un A-m´ odulo M las siguientes armaciones son equiva-lentes:

1. M es un A-m´ odulo libre con base {xi}i∈I .

2. Sea ρi : A →M ( a →a.x i), entonces ρ := ⊕i∈I ρi : A(I ) →M es un isomors-mo.




3. Para todo A-m´ odulo N y para todo subconjunto {yi}i∈I ⊂N , existe un ´ unico

morsmo de A m´ odulos f : M →N tal que f (xi) = yi .Demostraci´ on: 1.⇒2. Sea z∈A(I ) tal que ρ(z) = 0. Escribamos z = i∈I a i .ei

(donde la familia ( a i)i∈I ⊂A es una familia con soporte nito). Entonces 0 = ρ(z) =i∈I a i .x i . Como los x i son independientes, los a i deben ser todos cero, luego z = 0

y consecuentemente ρ es un monomorsmo. Por otro lado ρ(ei) = xi , por lo tanto laimagen de ρ contiene a un conjunto de generadores con lo que ρ resulta tambien unepimorsmo, luego un isomorsmo.

2.⇒3. La demostracion es igual que para el caso de espacios vectoriales. Enprimer lugar, est´a claro que de existir un tal morsmo, es unico, pues est a ya denidosu valor en los xi y estos generan. Para demostrar la existencia se extiende linealmenteel valor de f en la base. Si x∈M , por ser {xi}i∈I un sistema de generadores, x =

i∈I a i .x i ( suma con soporte nito) y esa escritura es unica debido a la independencialineal ( i∈I a i .x i = i∈I a i .x i⇒ i∈I (a i−a i).x i = 0⇒a i−a i = 0∀i∈I ), luego estabien denida la funcion f (x) := i∈I a i .yi . La vericacion de que f es un morsmode A-modulos es inmediata.

3.⇒1. Veremos que si M verica 3., entonces M ∼= A(I ) . Sean N = A(I ) eyi = ei para todo i∈I . Entonces existe (un unico) f : M →A(I ) tal que f (xi) = ei .Consideremos ρ ◦ f : M →M . Como ρ ◦ f (xi) = x i , es claro que el morsmoρ ◦ f coincide con IdM en los x i , luego, (eligiendo N = M e yi = xi) por unicidad,ρ

◦f = IdM . Para la composicion f

◦ρ se tiene f

◦ρ( i

∈

I a i .ei) = f ( i∈

I a i .x i) =i∈I a i .f (xi) = i∈I a i .ei , por lo tanto f ◦ρ = IdA ( I ) que es libre de base {ei}, ademas

resulta que ρ es tambien un isomorsmo, por lo tanto {f (ei)}i∈I = {x i}i∈I es una basede M .

Corolario 5.1.5. Con las notaciones de la proposici´ on anterior, se verica:

1. Si {yi}i∈I es una base de N , entonces f es un isomorsmo.

2. Dos A-m´ odulos con bases de igual cardinal son isomorfos.

Las demostraciones son inmediatas, se dejan como ejercicio.Observaci´ on: Si (M j ) j∈J es una familia de A-modulos libres, entonces

⊕

j∈J M j es unA-modulo libre. Mas aun, si {x j

i }i∈I j es una base de M j ( j∈J ), entonces∪ j∈J {x ji }i∈I j

es una base de j∈J M j .

Vimos que la propiedad de “ser libre” no es estable en general ni por cocientesni por subespacios. Veremos ahora sin embargo que todo m odulo es cociente de unlibre:




Proposici´ on 5.1.6. Sea M un A-m´ odulo. Entonces existe un A-m´ odulo libre L y

un epimorsmo f : L →M .Demostraci´ on: Sea {xi}i∈I un sistema de generadores de M (por ejemplo {m}m∈M )y sea L := A(I ) . L es un A-modulo libre, y h : A(I ) →M , denido por h(ei) = xi

es un epimorsmo pues la imagen contiene a un sistema de generadores. Se tieneademas M ∼= L/ Ker(h), Ker( h) suele llamarse el nucleo de relaciones de M .

Observemos que si M es un A-modulo libre y f : N →M un epimorsmo,entonces existe una secci on g : M →N tal que f ◦g = IdM . En efecto, dada una base

{xi}i∈I de M , existen n i ∈N tales que f (n i) = x i ya que f es un epimorsmo. Sedene entonces g(x i) = n i y se extiende por linealidad. Es decir, todo epimorsmo

con imagen en un modulo libre M es una retracci on.De manera an aloga, puede probarse que los m odulos libres verican una propie-

dad de “levantamiento” de morsmos. Consideremos el siguiente diagrama de echasllenas: M

h

h

} } z z z

z

M 1f

/ /M 2

¿Existe entonces un h morsmo en la direccion de la echa

punteada que haga el diagrama conmutativo, i.e. que f ◦h = h? En principio, delevantarse h a un morsmo h deberıa valer que Im( h) = Im( f ◦h)⊆Im(f ), restrin-giendonos entonces al subm´odulo Im(f ), para plantear correctamente el problema

supondremos que f es un epimorsmo.Proposici´ on 5.1.7. Sea M un A-m´ odulo libre. Entonces M resuelve el siguienteproblema de tipo universal, esquematizado a partir del diagrama:

M h

h

} } z z z

z

M 1f

/ /M 2 / /0

Para cualquier epimorsmo f : M 1 →M 2 entre dos A-m´ odulos arbitrarios y para cualquier morsmo h : M

→M 2, existe un morsmo (no necesariamente ´ unico)

h : M →M 1 tal que f ◦h = h.

Demostraci´ on: Sea {xi}i∈I una base de M . Como f es un epimorsmo, para cadaxi existe un m i∈M 1 tal que h(x i) = f (m i). Se dene pues h(xi) := m i y se extiendepor linealidad. Como f (h(x i)) = f (m i) = h(xi) entonces f ◦h = h (coinciden en unabase).




Observamos que la propiedad de que todo epimorsmo con imagen en un libre es

una retracci on puede obtenerse como consecuencia de la proposicion anterior poniendoM 2 = M y h = Id M .

Corolario 5.1.8. Sea M un A-m´ odulo y S ⊆M un subm´ odulo. Si M/S es libre,entonces S es un sumando directo de M .

Demostraci´ on: Basta ver que la sucesi on exacta corta 0 →S →i M →π M/S →0se parte. Pero como M/S es libre, π : M →M/S es una retracci on, es decir, admiteuna seccion s : M/S →M tal que π ◦ s = IdM /S , por lo tanto i es una seccion y S es un sumando directo cuyo proyector correspondiente es p = IdM −s ◦π.

Supongamos que A es un anillo tal que todo subm odulo de un A-modulo libre eslibre, en particular todo ideal de A resultar a libre. A conticuaci on probaremos queesta armaci on sobre los ideales de A, que en principio parece mas debil, resulta sinembargo equivalente a la primera:

Teorema 5.1.9. Sea A un anillo, son equivalentes:

• Todo subm´ odulo de un A-m´ odulo libre es libre.

• Todo ideal de A es A-libre.

Nombre: Un anillo tal que todo subm´odulo de un libre es libre se denomina hiper-hereditario .

Demostraci´ on: Una de las implicaciones es obvia, supongamos ahora que todo idealde A es libre. Sea M = 0 un A-modulo libre con base {xi}i∈I y S un subm odulo.Por el lema de Zorn, podemos suponer que I (I = ∅) es un conjunto bien ordenado(es decir que I tiene un orden tal que todo par de elementos es comparable y todosubconjunto no vacıo de I tiene primer elemento).

Sean F i := {x∈M /x es combinacion lineal de los x j con j < i }y F i := {x∈M /x es combinacion lineal de los x j con j ≤ i}. Si i < k , resulta que F i ⊂F k yademas M = ∪i∈I F i . Dado x∈S , existe i tal que x∈S ∩F i , luego existen unicos

ax∈A y x ∈S ∩F i tal que x = x + ax .x i .Consideremos ahora el morsmo φ : S ∩F i →A denido por φ(x) = ax . (Ejercicio:

vericar que es una funcion bien denida y que es un morsmo de A-modulos).Im(φ) resulta entonces un ideal de A y por lo tanto es un A-modulo libre, adem as

Ker(φ) = S ∩F i . Como Im(φ) ∼=S ∩F iS ∩F i es libre, entonces S ∩F i es un sumando

directo de S ∩F i . Esto es equivalente a que exista un subm´odulo C i ⊂M tal que




S ∩F i = S ∩F i⊕C i ; queremos ver que S = ⊕i∈I C i , luego S sera libre porque cada

C i lo es (notar que C i ∼= Im(φ) que es libre). Es claro que cada C i es un sumandodirecto de S , queremos ver que⊕i∈I C i = S .Supongamos que no, y sea H = { j∈I / ∃x∈S ∩F j con x /∈⊕i∈I C i}. Sea j 0 el

primer elemento de J (existe por el buen orden y porque H = ∅). Sea z∈S ∩F j0

tal que z /∈ ⊕i∈I C i , entonces existe un unico z ∈S ∩F j0 y un unico a ∈A talque z = z + a.x j0 . Como j 0 es el primer elemento de H , z es necesariamente unacombinacion lineal de xk con k < j 0, luego z ∈⊕i∈I C i , y por lo tanto z∈⊕i∈I C i , loque es absurdo. En consecuencia S = ⊕i∈I C i .

Corolario 5.1.10. Sea A un dip, es decir, un dominio ıntegro tal que todo ideal esprincipal. Entonces todo subm´ odulo de un libre es libre. En particular, esto dir´ a quetodo m´ odulo proyectivo es libre.

Demostraci´ on: Sea 0 = I ⊂A un ideal. Como A es principal, ∃a ∈A talque I = a . Como A es ıntegro {a}es linealmente independiente ( a = 0, luegob.a = 0 ⇒b = 0) por lo tanto {a}es una base, es decir que I es libre. Como todoideal de A es libre, la primera aserci on se debe ahora al teorema anterior. Como todomodulo proyectivo es isomorfo a un sumando directo de un libre (en particular a unsubmodulo), resulta que todo m´odulo proyectivo es libre.

Como ejemplos en donde se aplica el corolario anterior, tenemos que todo subgrupode un grupo abeliano libre es libre, en particular todo grupo abeliano proyectivo es

libre. Analogamente todo k[x]-submodulo de un k[x]-modulo libre (k cuerpo) es k[x]-libre. Lo mismo sucede con los anillos k[x, x − 1] y k[[x]].

5.1.1 Noci´ on de rangoDenici´ on 5.1.11. Sea A un anillo, diremos que A tiene noci on de rango si:A(I )∼= A(J ) implica # I = # J .

Ejemplo: Si A es un cuerpo, o mas generalmente si A es un anillo de division,entonces A tiene nocion de rango.

La siguiente proposici on da otros ejemplos de anillos con nocion de rango.Proposici´ on 5.1.12. Sea A un anillo tal que existe un anillo de divisi´ on D y un morsmo de anillos f : A →D, entonces A tiene noci´ on de rango.

Demostraci´ on: D admite una estructura de A-modulo a partir de f . Sea L unA-modulo libre y {xi}i∈I , {y j } j∈J dos bases de L. Sea g : L →A(J ) un isomorsmo,




se tiene que {g(x i)}i∈I es una base de A(J ) . Sea {e j} j∈J la base canonica de A(J ) ,

entonces existen elementos a ij∈A tales que para todo j ∈J : e j = i∈I a ij g(xi). Elmorsmo de A-modulos f : A →D induce h = f (J ) : A(J ) →D (J ) , que sobre la base

canonica resulta h(ek) = {f (δ jk )} j∈J = {δ jk } j∈J , es decir que da la base canonica deD (J ) . Como

h(ek) = hi∈I

a ik g(xi) =i∈I

a ik hg(xi)

obtenemos que {hg(xi)}i∈I genera D (J ) sobre D, por lo tanto # I ≥ # J . La otradesigualdad es an aloga, luego # I = # J .

Corolario 5.1.13. Si A es un anillo conmutativo, entonces A tiene noci´ on de rango.Demostraci´ on: A admite algun ideal maximal M, consideramos entonces A →A/ M.

Proposici´ on 5.1.14. Sea A un anillo con noci´ on de rango, M = ⊕i∈I M i un A-m´ odulo tal que todos los A-m´ odulos M i son libres, entonces M es libre y rg (M ) =

i∈I rg (M i).

Demostraci´ on: Si {xi j } j∈J i es una base de M i , entonces es claro que {xi j : i ∈I, j ∈J i}es una base de M .

Proposici´ on 5.1.15. Sea A un dominio principal, L un A-m´ odulo libre de rango nito n y M un subm´ odulo de L. Entonces M es libre y rg (M ) ≤n.Demostraci´ on: Sea {x1, . . . , x n}una base de L, sea M i = M ∩ x1, . . . , x i . Enparticular M 1 = M ∩ x1 es un submodulo de x1 , y por lo tanto existe a ∈Atal que M 1 = ax 1 . Si a = 0 entonces M 1 = 0 y si no rg (M 1) = 1, en todo casorg (M 1) ≤1. Veamos inductivamente que para todo r , rg (M r ) ≤ r .

Supongamos que M r es libre de rango menor o igual que r , y sea A= {a∈A :

∃b1, . . . , br ∈A con ri=1 bixi + ax r +1 ∈M r +1 }. Se verica facilmente que Aes un

ideal de A, y como A es principal existe a r +1 ∈A tal que A= a r +1 . Si a r +1 = 0entonces M r +1 = M r y por lo tanto rg (M r +1 ) ≤ r < r + 1. Si no, dado x∈M r +1

escribimos x = r +1i=1 cixi , el coeciente cr +1 resulta entonces divisible por a r +1 , luego

existe a∈A tal que x−aa r +1 xr +1 ∈M r . Esto dice que M r +1 = M r + ar +1 xr +1 , peroademas esta suma es directa porque porque los x i son linealmente independientes, porlo tanto rg (M r +1 ) = rg (M r ) + 1 ≤ r + 1.

Ejercicio: Sea G un grupo y consideremos el anillo de grupo Z[G]. Se dene elmorsmo : Z [G] →Z a traves de g →1∀g∈G.




1. Probar que es un morsmo de anillos.

2. Probar que Ker( ) est a generado por {(g −1)}g∈G .

3. Probar que si {gi}i∈I es un sistema de generadores de G (generadores comogrupo), entonces {(gi −1)}i∈I es un sistema de generadores de Ker( ).

4. Sea G un grupo libre con generadores {gi}i∈I , probar entonces que el morsmo

Z [G](I ) →Ker( )

i∈I

λ iei →i∈I

λ i(gi −1)

es un isomorsmo.

Este ejercicio muestra que existen anillos en donde hay módulos libres de “rango”uno (e.g. Z[G] con G grupo libre) que tienen submódulos libres de rango mayor queuno.

5.2 El funtor Hom

Dados M y N dos A-modulos a izquierda, consideremos el conjunto Hom A(M, N ) =

{f : M

→N : f (m + m ) = f (m) + f (m ) y f (a.m ) = a.f (m)

∀

m, m

∈

M, a

∈

A

},

que es un grupo abeliano, sumando punto a punto (i.e. es un subgrupo de M N ).En el caso de espacios vectoriales, si k es un cuerpo, V un k-espacio vectorial

de dimension n y W un k-espacio vectorial de dimensi on m, entonces uno sabe queHomk(V, W ), adem as de ser un grupo abeliano, en realidad es un espacio vectorialde dimension n.m . Volviendo al caso general de modulos sobre un anillo A, uno sepregunta sobre la estructura de Hom A(M, N ). En general, no es posible darle siempreuna estructura de A-modulo. Consideraremos a continuación, las posibles estructurasde modulo sobre algun anillo que puede admitir Hom A(M, N ).

Sea B el anillo EndA(M )op y C = End A(N )op. M no solo es un A-modulo aizquierda sino tambien un B-modulo a derecha, y las acciones conmutan (es decir, M

es un A-B-bimodulo). Analogamente N es un A-C -bimodulo.Como la composicion de morsmos A-lineales es un morsmo A-lineal, tenemosque la aplicacion

End A(M ) ×HomA(M, N ) ×End A(N ) →HomA(M, N )(f ,g ,h ) →f ◦g ◦h




provee a HomA(M, N ) de una estructura de End A(M )-End A(N )-bimodulo.

Supongamos en general que M no solo es un A-modulo sino que existe un anillo Btal que M es un A-B-bimodulo. Y supongamos tambien que N es un A-C -bimodulopara alg un anillo C . Para indicar este hecho, usaremos a veces la notaci´on AM B yAN C .

Se arma entonces que HomA(M, N ) admite una estructura de B-C -bimodulo,deniendo, para b∈B, c∈C y f ∈HomA(M, N ):

(b.f ) : M →N por: (b.f )(m) = f (m.b)

(f.c ) : M →N por: (f.c )(m) = f (m).c

Ejercicio: Vericar la asociatividad de las acciones y la compatibilidad de ambas.Observaciones:

1. Si M y N son A-modulos, siempre puede tomarse B = C = Z . Entonces M yN son A −Z-bimodulos, como se sabıa de antes, Hom A(AM Z ,A N Z ) tiene unaestructura de ( Z −Z)-bimodulo, es decir, de grupo abeliano (la misma de antes).

2. Si A es conmutativo, sabemos que a todo A-modulo M puede consider arselo co-mo un A-A-bimodulo “simetrico”, deniendo m.a := a.m . Entonces Hom A(AM A ,A N A)tiene una estructura de A-A-bimodulo. Notar que la accion de A sobre elHomA(M, N ) puede calcularse de cualquiera de las siguientes maneras:

(a.f )(m) = f (m.a ) = f (a.m ) = a.(f (m)) = f (m).a = ( f.a )(m)

es decir, HomA(M, N ) resulta un A-A-bimodulo simetrico.

3. Si N = A, que es un A-A-bimodulo y M es un A-modulo a derecha, enton-ces M ∗ := Hom A(AM Z ,A AA) es un Z −A-bimodulo, es decir, un A-moduloa derecha. La estructura est´a dada por ( f.a )(m) = f (m).a (donde f ∈M ∗,a∈A, m∈M ).

Ejemplo: Sea k un anillo conmutativo, G un grupo (o un semigrupo) y k[G] el anillodel grupo. Homk(k[G], k) es un k[G]-bimodulo isomorfo a kG . El isomorsmo estadado por:

kG →Homk(k[G], k)

f →g∈G

λg.g →g∈G

λgf (g)




En particular, k[x]∗∼= k[|x|].Sea ahora AM B un A-B-bimodulo jo y consideremos el funtor:

HomA(AM B , −) : AModC →B ModC

AN C →HomA(M, N )

y si f :A N C →A N C es un morsmo de A-C -bimodulos, denimos

HomA(M, f ) := f ∗ : HomA(M, N ) →HomA(M, N )g →f ◦g

Dejamos como ejercicio la vericacion de las siguientes propiedades:

1. (f ◦ f )∗= f ∗◦f ∗.

2. (IdN )∗= IdHom A (M,N ) .

3. (f + f )∗= f ∗+ f ∗.

4. f ∗(b.g) = b.f ∗(g) (b∈B).

5. f ∗(g.c) = f ∗(g).c (c∈C ).

Ejemplos:

1. Si M = A, HomA(A, −) es naturalmente isomorfo al funtor identidad, a travesde

HomA(M, N )∼= N φ →φ(1)

2. Si M = A(I ) , HomA(M, N ) = Hom A(A(I ) , N )∼= HomA(A, N )I ∼= N I .

3. Si A = B = C = Z , M = Z n , HomZ (Z n , N )∼= {x∈N /n.x = 0}es el subgrupode N formado por los elementos de n-torsi on.

4. Si A = B = C = k, k un cuerpo y V y W dos k-espacios vectoriales,M = V ⊗k W , entonces Homk(V ⊗k W, −) es naturalmente isomorfo al fun-tor Hom k(V, Homk(W, −)).

5. Como caso paricular del anterior, sean V = k[G] y W = k[H ] donde G y H sondos grupos, entonces Hom k(k[G ×H ], −)∼= Homk(k[G], Homk(k[H ], −)).




Proposici´ on 5.2.1. El funtor HomA(AM B , −) es exacto a izquierda, es decir, si

0 / /X f / /Y g / /Z es una sucesi´ on exacta de B-C -bim´ odulos, entonces

0 / /HomA(M, X )f ∗ / /HomA(M, Y )

g∗ / /HomA(M, Z )

es una sucesi´ on exacta de B-C -bim´ odulos.

Demostraci´ on: Por el ejercicio anterior, ya sabemos que f ∗ y g∗ son morsmos deB-C -bimodulos. Tambien sabemos que g∗◦ f ∗= ( g ◦ f )∗= 0∗= 0, por lo tanto s´olofalta ver que f ∗ es monomorsmo y que Ker(g∗)⊆Im(f ∗).

Nota: ¿Por que 0 ∗ es el morsmo nulo? Esto se sigue por ejemplo de la buena

relacion del funtor (−)∗ con la suma: como 0∗= (0 + 0) ∗= 0∗+ 0 ∗, resulta que 0∗debe ser el elemento neutro en el Hom.

Este resultado, admite la siguiente recıproca:

Lema 5.2.2. Sea A un anillo cualquiera, M , N , T tres A-m´ odulos. Entonces

1. La sucesi´ on 0 / /M f

/ /N g

/ /T es una sucesi´ on exacta si y s´ olo si

0 / /HomA(R, M )f ∗ / /HomA(R, N )

g∗ / /HomA(R, T )

es una sucesi´ on exacta de grupos abelianos para todo A-m´ odulo R.

2. La sucesi´ on M f

/ /N g

/ /T / /0 es una sucesi´ on exacta si y s´ olo si

0 / /HomA(T, R)g∗

/ /HomA(N, R )f ∗

/ /HomA(M, R )

es una sucesi´ on exacta de grupos abelianos para todo A-m´ odulo R.

Demostraci´ on: Solo hace falta demostrar la “vuelta”, ya que la “ida” ha sidodemostrada en la proposici´on anterior.

Para el punto 1. tomamos R = A, entonces tenemos el siguiente diagrama con-mutativo (vericar que es conmutativo!):

0 / /M f

/ /N g

/ /T

0 / /HomA(A, M )f ∗ / /HomA(A, N )

g∗ / /HomA(A, T )




en donde las echas dobles verticales indican los isomorsmos naturales (notar que

la denicion de naturalidad de estos isomorsmos es justamente la conmutatividadde estos cuadrados). Luego, al ser exacta la sucesi on de abajo, tambien lo es la dearriba.

El punto 2. es un poco mas sutil, pero igualmente es f acil eligiendo en cada casoun R conveniente. Vemos por ejemplo que la frase “ g∗ : HomA(T, R) →HomA(N, R )es un monomorsmo para todo A-modulo R es justamente la denici on categorica deepimorsmo, por lo tanto ya sabemos que g es epimorsmo.

Sabemos tambien que f ∗◦ g∗ = 0, pero entonces ( g ◦ f )∗ = f ∗◦ g∗ = 0 paratodo A-modulo R, o sea que si h : R →T es un morsmo cualquiera, resulta queh

◦g

◦f : M

→T es el morsmo cero. Si tomamos R = T y h = IdT obtenemos

que g ◦ f es cero y por lo tanto Im( f )⊂Ker(g). Veamos por ultimo la inclusi on alinversa.

Tomando R = N/ Im(f ), tenemos la sucesi on exacta

0 →HomA(T,N/ Im(f )) →HomA(N,N/ Im(f )) →HomA(M,N/ Im(f ))

y consideremos el morsmo π : N →N/ Im(f ) (la proyeccion canonica al cociente).Claramente f ∗(π) = π ◦ f = 0, o sea que π ∈Ker( f ∗) = Im( g∗). Esto signica queexiste h : T →N/ Im(f ) tal que π = h ◦g. Ahora resulta claro que Ker( g)⊂Im(f )pues si n

∈

N , n

∈

Im(f ) si y solo si π(n) = 0, y a partir de la f ormula π = h

◦g se

tiene que si n∈Ker(g) entonces n∈Ker(π) = Im( f ).

Ejemplo: Uno se podrıa preguntar, dado un epimorsmo de A-modulos f : Y →Z ,un modulo cualquiera M , si el morsmo f ∗ : HomA(M, Y ) →HomA(M, Z ) es tambienun epimorsmo. Esto no tiene por que suceder en general, consideremos el siguienteejemplo: A = Y = Z , M = Z = Zn , f = π : Z →Zn la proyeccion canonica.Entonces Hom Z (Zn , Z ) = 0, y por lo tanto nunca puede haber un epimorsmo enHomZ (Zn , Zn ) ya que este ultimo es no nulo (por ejemplo est a la identidad de Z n ).

A pesar del ejemplo anterior, hay muchos casos en que, para un M en particular,

el funtor HomA(M, −) preserva epimorsmos. Por ejemplo si M = A, el funtorHomA(A, −) se identica con la identidad, asi que trivialmente preserva epimorsmos.Otro ejemplo es cuando M es libre.

Ejercicio: Si M ∼= A(I ) para alg un conjunto I , y si f : X →Y es un epimorsmo deA-modulos, entonces f ∗ : HomA(M, Y ) →HomA(M, Z ) es tambien un epimorsmo.




5.3 M´odulos proyectivosEl objetivo de esta seccion es estudiar los modulos M que son tales que el funtor

HomA(M, −) es exacto. Comenzamos con una denici on:

Denici´ on 5.3.1. Un A-m´ odulo M se llama A-proyectivo si el funtor HomA(M, −)es exacto.

Es decir, M es proyectivo si y solo si HomA(M, −) preserva epimorsmos, si y solosi, dado el siguiente diagrama de echas llenas de A-modulos se puede completar, (demanera no necesariamente unica) con la echa punteada, de modo tal que el diagramacompleto sea conmutativo: Y

p / /Z / /0

M

O O

∃

` ` e e e

e

Observaciones:

1. Vimos en la seccion anterior que todo A-modulo libre es proyectivo.

2. Los cocientes de modulos proyectivos no son necesariamente proyectivos (con-siderar como ejemplo Z /n Z∼= Zn ).

3. Los submodulos de proyectivos no son necesariamente proyectivos, por ejemploconsiderar A = M = Z 4 y el submodulo 2Z 4. Se deja como ejercicio vericarque 2Z4 no es proyectivo.

4. Las localizaciones de proyectivos no son necesariamente proyectivas: tomar A =M = Z , S = {1, 2, 4, 8, . . . , 2n , . . . }considerar la proyecci on canonica Z →Z3.Se tiene que HomZ (ZS , Z ) = 0 pero el morsmo

Z S →Z3n2n →n.2n

est a bien denido (2 es el inverso de 2 enZ3) y no es cero, luego no puede haber

un epimorsmo de HomZ (Z S , Z) = 0 en HomZ (Z S , Z3) = 0.5. Veremos como corolario de la siguiente proposicion que un sumando directo de

un proyectivo es proyectivo.

Proposici´ on 5.3.2. Dado un A-m´ odulo M , las siguientes armaciones son equiva-lentes:




1. M es un A-m´ odulo proyectivo.

2. Toda sucesi´ on exacta corta de A m´ odulos del tipo 0 →X →Y →M →0 separte.

3. M es sumando directo de un A-m´ odulo libre.

Demostraci´ on: 1⇒2. Si M es A-proyectivo, dada una sucesi´on exacta

0 →X →Y →M →0

se considera el diagrama Y p

/ /M / /0

M

id

id

` ` e e

e e

. La existencia de id : M →Y tal que

p◦ id = IdM se debe a la proyectividad de M , luego la sucesion se parte.

2⇒3. Dado M , sabemos que existe un conjunto I y un epimorsmo π : A(I ) →M .Consideremos la sucesion exacta corta

0 →Ker(π) →A(I ) →M →0

Por hip otesis esta sucesion exacta se parte, es decir existe i : M →A(I ) tal queπ ◦ i = IdM , por lo tanto M es un sumando directo de A(I ) .

3⇒1. Sea M un sumando directo de A(I )

, queremos ver que M es proyectivo.Consideramos un epimorsmo f : X →Y y un morsmo cualquiera g : M →Y ,llamamos i : M →A(I ) la inclusion y π : A(I ) →M la proyeccion. Se quiere ver queexiste algun g : M →X tal que fg = g. El diagrama de rigor es el siguiente:

X f

/ /Y / /0

M

g O O

A(I )

π O Ogπ

X X P P

P P P

P P P

Denimos g : M →X por g = gπi. Es claro que es morsmo de A-modulos, ademas

fg = f (gπi) = ( fgπ )i = ( gπ)i = g(πi ) = gIdM = g

Por lo tanto M es proyectivo.




Observaci´ on: Si M es nitamente generado, puede elegirse siempre un epimorsmo

A(I )

→M con I nito, digamos # I = n, y si ademas M es proyectivo, existe n∈Ntal que M es sumando directo de An .

Corolario 5.3.3. Dada una familia de A-m´ odulos (M i)i∈I se verica:

1. ⊕i∈I M i es proyectivo si y s´ olo si cada M i es proyectivo.

2. Si i∈I M i es proyectivo entonces cada M i es proyectivo. La recıproca no esnecesariamente cierta.

Demostraci´ on: 1. Sea f : X →Y un epimorsmo y consideremos el cuadrado

conmutativo:

HomA(⊕i∈I M i , X )f ∗ / /HomA(⊕i∈I M i , Y )

i∈I HomA(M i , X )f i∗ / / i∈I HomA(M i , Y )

Luego la echa f ∗ de arriba es un epimorsmo si y solo si la echa f i∗ de abajo loes, y f i∗ es un epimorsmo si y solo si todas las f i∗ lo son, lo que demuestra 1.

2. Dado P = i∈I M i y M i0 se considera Q =

{(m i)i∈I

∈

i∈I M i / m i0 = 0

}.

Tenemos entonces que P = Q⊕M i0 , y por el punto 1., dado que P es proyectivoresulta que M i0 es proyectivo.

5.3.1 Anillos hereditariosVimos ejemplos de modulos proyectivos con subm odulos no proyectivos (por ejem-

plo 2Z4⊂Z4 no es un Z4-modulo proyectivo).

Denici´ on 5.3.4. Una anillo A se dice hereditario si y s´ olo si todo subm´ odulo deun A-m´ odulo proyectivo es proyectivo.

El siguiente teorema describe los subm odulos de modulos libres en anillos heredi-tarios.

Teorema 5.3.5. (Kaplansky) Sea A un anillo hereditario, L un A-m´ odulo libre y S ⊆L un subm´ odulo. Entonces si L = ⊕i∈I A.x i , existe una familia {Ai}i∈I deideales de A tales que S ∼= ⊕i∈I Ai .




Demostraci´ on: sea {x i}i∈I una base de L, podemos suponer que I es bien ordenado

y no vacıo, con orden ≤. Dado i∈I , sean Li = x j : j ≤ i y Li = x j : j < i ,entonces L i = Li⊕ x i . Se denen morsmos f i : Li →A por f i(y + ax i) = adonde y∈L i , a∈A. Los f i resultan retracciones de las inclusiones A∼= xi →Li ,y Ker(f i) = L i . Sea Ai = f i(S ∩Li), entonces gi := f i|S ∩L i

: S ∩Li → Ai es epi.Como Ai es proyectivo (pues A es hereditario), entonces gi es una retracci on, y porlo tanto Ker( gi) = Ker( f i) ∩S = S ∩Li es un sumando directo de S ∩L i . Sea T i uncomplemento de S ∩L i en S ∩Li , entonces T i ∼= Ai . Basta ver que S ∼= ⊕i∈I Ai , loque se realizara en dos partes:

• S = i∈I Ai :

L = ∪i∈I Li , por lo tanto, para todo x ∈L, existen {a i}i∈I

⊂A tal que x =i∈I a ix i . Si x = 0, sea j = max (sop{a i}) (que existe porque sop({a i}) es un

conjunto nito), luego x ∈L j . Si S = i∈I T i , sea C= {i ∈I / S ∩L i − j∈I T j = ∅}, que resulta no vacıo. Sea j 0 = min (C) (que existe por buena

ordenaci on) y sea x ∈S ∩L j0 − j∈I T j . Se puede escribir x = y + z cony∈S ∩L j0 y z∈T j0 , entonces y /∈ i∈I T i e y∈Lk para alg un k < j 0, es deciry∈S ∩Lk − i∈I T i , lo que contradice la minimalidad de j 0.

• La suma es directa:

Sea i∈I t i = 0, con t i∈T i , queremos ver que todos los t i son nulos.

Sea j = max {i / t i = 0}, entonces 0 = t j + i<j t i . Tenemos que t j ∈T j yi<j t i ∈S ∩L j , pero sabıamos que x j esta en suma directa con L j , luego

t j = − i<j t i implica t j = 0.

Corolario 5.3.6. Un anillo A es hereditario si y s´ olo si todo ideal de A es un A-m´ odulo proyectivo.

Demostraci´ on: la condicion es obviamente necesaria pues A es A-libre. La su-ciencia se ve de la siguiente manera: en primer lugar notemos que el Teorema deKaplansky es v alido para todo anillo A tal que sus ideales son A-modulos proyectivos.Ahora si P es un A-modulo proyectivo y P

⊂

P es un submodulo, sea L libre tal queP es sumando directo de L. Luego P resulta isomorfo a un subm odulo de L, y porel Teorema de Kaplansky P ∼= ⊕i∈I Ai con Ai ideales de A. Por hip otesis los Ai sonproyectivos, luego P es proyectivo.

Recordando la noci on de hiperhereditario y el Teorema 5.1.9, tenemos el siguientecorolario:




Corolario 5.3.7. Dado un anillo A, son equivalentes:

1. A es hiperhereditario (i.e. todo subm´ odulo de un libre es libre).

2. A es hereditario y todo A-m´ odulo proyectivo es libre.

3. Todo ideal de A es un A-m´ odulo libre.

Observaciones:

1. Si A es un dominio ıntegro y principal, entonces A es hiperhereditario.

2. Conmutativo + hiperhereditario ⇒principal. En efecto, si A es conmutativoe hiperhereditario, sea I un ideal de A. Dados dos elementos a, b en I , nuncapueden ser linealmente independientes pues a.b + ( −b).a = 0, luego la cantidadmaxima de elementos de una base de I es uno, es decir, I es principal.

3. Si A es un dominio ıntegro, A es principal si y solo si es hiperhereditario.

5.3.2 M´odulos proyectivos en dominios principalesDurante esta subsecci´on A denotar a un dominio ıntegro de ideales principales

(dip).Recordamos que si M es un A-modulo, entonces la torsi on de M es un A-submodulo,

donde la torsi on estaba denida por t(M ) =

{m

∈

M /

∃

a

∈

A, a = 0 con a.m = 0

}.

Proposici´ on 5.3.8. Sea M un A-m´ odulo nitamente generado, son equivalentes:

1. M es libre.

2. M es proyectivo.

3. t(M ) = 0 .

Demostraci´ on: es claro que 1⇒2. Mas aun, al ser A un dip es hiperhereditario,luego 1. y 2. son equivalentes. Veremos 1 ⇔3.

1 ⇒3. Como M es libre nitamente generado, entonces M ∼= An

para alg unnumero natural n. Si m = ( a1, . . . , a n ) y a = 0 es tal que a.m = 0, entonces0 = ( a.a 1, . . . , a .a n ), es decir que a.a i = 0 para todo i = 1 , . . . , n . Por ser A ıntegro ya = 0 se concluye que a i = 0 ∀i = 1 , . . . , n .

3⇒1. Sea M sin torsi on y consideremos K al cuerpo de fracciones de A. Necesita-remos el siguiente Lema:




Lema 5.3.9. Sea K el cuerpo de fracciones de A y M ⊂K un A-subm´ odulo de tipo

nito. Entonces existe x∈K tal que M = A.x.Demostraci´ on: Sea M = x1, . . . , x n , como M ⊂K existen p1, . . . , p n , q1, . . . , qn ∈A con los qi = 0 tales que x i = pi

qi, i = 1 , . . . , n .

Sea q = ni=1 qi , que por integridad es distinto de cero. Como para todo j =

1, . . . , n , q.x j ∈A, se sigue que q.M es un submodulo de A, es decir un ideal, yentonces es principal. Luego existe t∈A tal que q.M = t.A, es decir M = t

qA.

Volviendo a la demostración de 3⇒1., sea j M : M →M K el morsmo canonicode localizacion:

jM : M →M K

m →m1

Sabemos que Ker( jM ) = t(M ) = 0, luego j M es inyectiva y la imagen de M en M K noes cero. Por lo tanto existe una transformación lineal M K →K tal que la composicionM →M K →K es distinta de cero; llamemos p a esta composicion, y consideremosla sucesion exacta corta

0 →Ker( p) →M → p(M ) →0

Ahora bien, como M es nitamente generado como A-modulo y todos los morsmosson A-lineales, la imagen de p es nitamente generada como A-modulo. Esto implica(por el Lema anterior) que p(M )∼= A, luego tenemos que la sucesion anterior se parte,dando M ∼= Ker( p)⊕A. Llamando M 1 := Ker( p), tenemos que M 1 es un submodulode M , por lo tanto es sin torsi on, ademas es isomorfo a un cociente de M , por lotanto es nitamente generado, y se está de nuevo en las mismas hipotesis. Podemosentonces repetir la construcción para M 1 y descomponerlo como M 1∼= M 2⊕A (luegoM ∼= (M 2⊕A)⊕A). De esta manera obtenemos una cadena creciente de subm´ odulos,cada uno isomorfo a A, A⊕A, A⊕A⊕A, . . . , y por noetherianidad de M esta cadenase estaciona, luego M ∼= An para alg un n∈N.

Observaci´ on: De la demostraci on de la Proposici on 5.3.8 se sigue que si M esnitamente generado, entonces

HomA(M, K ) = 0⇔M K = 0⇔M/t (M ) = 0⇔M = t(M )

Corolario 5.3.10. Sea M un A-m´ odulo nitamente generado, entonces M ∼= t(M )⊕An para un ´ unico n∈N0.




Demostraci´ on: se considera la sucesion exacta corta

0 →t(M ) →M →M/t (M ) →0

Como t(M/t (M )) = 0 se sigue que M/t (M ) es libre, en particular proyectivo, porlo tanto la sucesi on exacta se parte y M ∼= t(M )⊕M/t (M ). Como M/t (M ) eslibre y nitamente generado, entonces es isomorfo a An para alg un n ∈N0, peron = dim K ((M/t (M ))K ) = dim K (M K ), luego esta unıvocamente determinado.




Ejercicios:

1. Sea A un dip, y M un A-modulo de tipo nito, se dene rg (M ) := rg (M/t (M )).

(a) M , N de tipo nito, entonces rg (M ⊕N ) = rg (M ) + rg (N ).

(b) M as en general, si 0 →M →N →T →0 es una sucesion exacta de m´ odulosde tipo nito, entonces rg (N ) = rg (M ) + rg (T ).

(c) Sea k el cuerpo de fracciones de A y M un A-modulo de tipo nito, entoncesrg (M ) = dim k (Hom A(M, k )).

(d) Ver que rg (M ) = rg (M ∗A ) (M es como siempre un A-modulo de tipo nito).

2. Sea A un dip, M un m odulo de tipo nito y T un subm odulo tal que M/T es sintorsi on. Entonces M es libre si y solo si T es libre.

5.4 M´odulos inyectivosAsı como la nocion de modulo proyectivo est a relacionada con las propiedades del

funtor Hom A(P, −), la de modulo inyectivo concierne al funtor Hom A(−, I ).Dado M un A-modulo, recordemos que HomA(−, M ) es exacto a izquierda, es

decir, para cualquier sucesi´on exacta X f

/ /Y g

/ /Z / /0 , la sucesion

0 / /HomA(Z, M )g∗

/ /HomA(Y, M )f ∗

/ /HomA(X, M ) es exacta. Resulta natu-ral preguntarse, en caso de que f sea monomorsmo, si f ∗ es epimorsmo o no. Larespuesta es que en general no es cierto, como se puede ver con el siguiente (con-tra)ejemplo:

Ejemplo: Tomamos X = Y = Z , f : X →Y dada por f (n) = 2 n, g la proyeccioncanonica a Z = Z2. Tenemos la siguiente suceci on exacta:

0 →Z →Z →Z 2 →0

Aplicando el funtor Hom Z (

−, Z2), se obtiene la sucesion

0 / /HomZ (Z2, Z2) π∗ / /HomZ (Z , Z2)f ∗

/ /HomZ (Z , Z 2)

Z2 Z 2 Z2




Esta sucesi on nunca puede ser exacta porque en ese caso la dimensi on, como Z2-

espacio vectorial del objeto del medio serıa la suma de las dimensiones de los objetosde las puntas. Igualmente en este caso se puede explicitar f ∗. Tenemos que, siφ : Z →Z 2,

f ∗(φ)(1) = φ(f (1)) = φ(2) = 2 φ(1) = 0

luego f ∗ = 0, y por lo tanto f ∗ no es epimorsmo. Notar que el problema se debea la 2-torsion de Z 2; si hubieramos puesto un Z-modulo divisible, el razonamientopara ver que f ∗= 0 no habrıa funcionado. Veremos luego que si M es un Z-modulodivisible entonces HomZ (−, M ) es exacto.

Denici´ on 5.4.1. Un A-m´ odulo M se llama A-inyectivo si el funtor HomA

(

−, M ) :

AMod →Ab es exacto.

Es decir, M es inyectivo si y solo si HomA(−, M ) transforma monomorsmos enepimorsmos, si y solo si, dado el siguiente diagrama de echas llenas de A-modulosse puede completar, (de manera no necesariamente ´ unica) con la echa punteada, demanera tal que el diagrama completo sea conmutativo:

0 / /Y i / /

h

Z

h ~ ~ } } }

}

M

Observaci´ on: Si ademas se tiene un A-B-bimodulo AM B , el funtor toma valores enla categorıa Mod B . Como una sucesion de B-modulos es exacta si y solo si es exactavista como sucesion de grupos abelianos, AM B es inyectivo como A-modulo si y solosi el funtor HomA(−, M ) : AMod →ModB es exacto.

Ejemplos:

1. Z no es un Z -modulo inyectivo. Consideramos, para veresto, la inclusi´ on Z →Qy la identidad de Z en Z

0 / /Z / /id

Q∃

Ð Ð Ð

Ð

Z

es claro que no hay morsmo Q →Z que restringido a Z sea la identidad puesde hecho no hay ningun morsmo no nulo de Q en Z .




2. Si k es un cuerpo, todo k-espacio vectorial es k-inyectivo.

3. Si A es un dominio ıntegro y K es su cuerpo de fracciones, entonces K es unA-modulo inyectivo:

Para esto recordemos que, en esa situaci´on, si f : X →Y es un monomors-mo, entonces f S : X S →Y S es un monomorsmo, para cualquier subconjuntomultiplicativo S de A. Tomando S = A − {0}, llamemos X K := X A−{ 0},analogamente Y K . Si g : X →K es un morsmo cualquiera de A-modulos,tenemos el siguiente diagrama:

0 / /X f

/ /

g

iXK

! ! g g g g g g g g Y

iY K

" " h h h h h h h h

X K f K / /

gK

} } { { {

{Y K

gK

v v m m m m m m m m

K

Las echas llenas f y g son los datos originales, iXK : X →X K es la echa

canonica de localizacion x →x1 , idem iY

K . Como los elementos de A − {0}soninversibles en K , el morsmo g : X →K se factoriza a traves de X K mediantegK . Si ahora solo consideramos X K , Y K y K , el diagrama est a en la categorıa

de K -espacios vectoriales, en donde todos los objetos son inyectivos, de ahi laexistencia de gK . Tomamos entonces g : Y →K denida por g = gK ◦ iY

K .Como en el diagrama anterior, todos los cuadrados y/o tri´ angulos conmutan,se sigue que g = g ◦ f , es decir, que g extiende a g.

4. Como caso particular del ejemplo anterior, Q es un Z-modulo inyectivo.

Observaci´ on: Si M es un submodulo de un modulo inyectivo, entonces M no tienepor que ser inyectivo (considerar Z

⊂Q ), sin embargo veremos ahora que un sumando

directo de un inyectivo es inyectivo.Dado que la denicion de inyectivo es dual a la denicion de proyectivo, muchos

de los resultados para proyectivos se dualizan y se obtienen enunciados de inyectivos,que se demuestran muchas veces dualizando las demostraciones anteriores:

Proposici´ on 5.4.2. Sea A un anillo y (M i)i∈I una familia de A-m´ odulos. Entonces:

1. i∈I M i es inyectivo si y s´ olo si cada M i es inyectivo.




2. Si ⊕i∈I M i es inyectivo entonces cada M i es inyectivo. La recıproca no es nece-

sariamente cierta.Demostraci´ on: 1. Sea f : X →Y un monomorsmo y consideremos el cuadradoconmutativo

HomA(Y, i∈I M i)f ∗

/ /HomA(X, i∈I M i)

i∈I HomA(Y, M i)f ∗i / / i∈I HomA(X, M i)

Luego la echa de arriba (f ∗) es un epimorsmo si y solo si la echa de abajo ( f ∗i )lo es. Y f ∗i es un epimorsmo si y solo si todas las f ∗i lo son, lo que demuestra 1.

2. Dado M = ⊕i∈I M i y M i0 , entonces M = ⊕i∈I −{ i0 }M i M i0 . Por 1., al serM inyectivo resulta M i0 inyectivo tambien.

El siguiente resultado dice que para vericar la exactitud a derecha de Hom A(−, M ),basta aplicar el funtor a las inclusiones J →A, donde J recorre el conjunto de idealesde A.

Teorema 5.4.3. (Baer) Un A-m´ odulo M es inyectivo si y s´ olo si tiene la siguiente

propiedad: para todo J ideal de A y para todo f : J →M morsmo de A-m´ odulos,existe f : A →M tal que f |J = f .

0 / /J f

/ /A

f ~ ~ } }

} }

M

Demostraci´ on: Es claro que si M es inyectivo, entonces tiene la propiedad delenunciado. Veamos ahora que un M con esa propiedad de extensi on con respecto aideales de A es en efecto un A-modulo inyectivo.

Dado un diagrama de lıneas llenas: 0 / /X f

g / /Y

f ~ ~ } } }

}

M

queremos ver que existe f .

Podemos suponer que X es un submodulo de Y y que g es la inclusion, si no sereemplaza X por g(X ) y f por f ◦g− 1.




Se dene Y = {(Y , f ) /Y ⊆Y es un submodulo, f es un morsmo de A-modulos

con f |X = f }. Se ordena parcialmente a Y a traves de(Y , f ) ≤ (Y , f ) ⇔Y ⊆Y y f |Y = f

Se verica que (Y , ≤) es un conjunto inductivo superiormente, luego tiene alg´ unelemento maximal, que llamaremos ( Y 0, f 0). Supongamos que Y 0 est a incluıdo estric-tamente en Y , sea entonces y∈Y −Y 0, luego y, Y 0 contiene estrictamente a Y 0.Sea J = {a∈A / ay ∈Y 0}; como Y 0 es un submodulo de Y , J resulta un ideal deA (ejercicio: vericarlo!). Sea entonces φ : J →M denida por φ(a) := f 0(ay). Porhipotesis, φ se puede extender a φ : A →M . Veamos que f 0 se puede extender ay, Y 0 .

Sea x = ay + y0 donde a

∈

A e y0

∈

Y 0, denimos

f 1(x) := φ(a) + f 0(y0)

Esta funci on f 1 : y, Y 0 →M esta bien denida pues si ay + y0 = a y + y0, entonces(a −a )y = y0 −y0∈Y 0, es decir, que (a −a )∈J , por lo tanto

φ(a) −φ(a ) = φ(a −a ) = φ(a −a ) == f 0((a −a )y) = f 0(y0 −y0) == f 0(y0) −f 0(y0)

Reordenando los terminos de estas igualdades obtenemos que φ(a) + f 0(y0) = φ(a ) +f 0(y0). Por lo tanto la funci on esta bien denida, y es claro que (Y 0, f 0) < ( y, Y 0 , f 1),lo que contradice la maximalidad de ( Y 0, f 0), luego Y 0 debe ser igual a Y .

Ejercicio: Utilizando el teorema anterior, demostrar nuevamente que Q es un Z-modulo inyectivo.

Ejemplo: Q / Z es un Z -modulo inyectivo, ası como tambien Z p∞ para cualquierprimo p.

Para obtener m´as ejemplos de modulos inyectivos, probaremos los siguientes doslemas:

Lema 5.4.4. Un grupo abeliano G es divisible si y s´ olo si es un Z -m´ odulo inyectivo.

Demostraci´ on: ⇒) Utilizaremos el Teorema de Baer, es decir, probaremos quetodo diagrama de grupos abelianos 0 / /I

h

/ /Z

G

(donde I es un ideal de Z) se

completa con una echa Z →G.




Recordamos ahora que todos los ideales de Z son de la forma nZ para alg un

n ∈N0. Luego, dado I ⊆

Z , consideremos el n tal que I = nZ . Si n = 0 se puedeextender siempre el morsmo 0 por 0. Si n = 0, como G es un grupo abeliano divisibleexiste v∈G tal que h(n) = n.v . Por linealidad, tenemos que h( j.n ) = j.n.v paratodo j.n ∈nZ . Basta denir h : Z →G de la forma h(m) := m.v.

⇐) Supongamos que G es un Z -modulo inyectivo. Dado g∈G, n ∈Z , n = 0,queremos ver que existe g ∈G tal que g = n.g .

Denamos un morsmo hg : Z →G por hg(m) = mg y consideremos el mono-morsmo .n : Z →Z (la multiplicaci on por n).

0 / /Z

hg

.n / /Z

h g

G

Como G es inyectivo, existe hg : Z →G que hace del diagrama anterior un diagramaconmutativo, i.e. hg(n.m ) = hg(m) = mg ∀ m ∈Z . Si tomamos el elementog := hg(1), este verica que

ng = nh g(1) = hg(n) = hg(1) = g

Proposici´ on 5.4.5. Si G es un grupo abeliano divisible, entonces el A-m´ odulo HomZ (A, G)es A-inyectivo.

Demostraci´ on: Sea N un subm odulo de M y h : N →HomZ (A, G) un morsmode A-modulos a izquierda. Recordamos que la estructura de A-modulo a izquierdaen HomZ (A, G) est a dada por la estructura a derecha de A, es decir que si φ ∈HomZ (A, G) y a, a perteneces a A, entonces (a.φ)(a ) := φ(a a).

Se dene f : N →G por:

f (n) := h(n)(1) ∀n∈N

Como G es Z-inyectivo, existe un morsmo de grupos abelianos f : M →G queextiende a f . Se dene una extension de h como

h : M

→Hom

Z(A, G)

h(m)(a) := f (am )

De esta manera h resulta A-lineal a izquierda (vericarlo!), y el diagrama conmutaporque dado n∈N ,

h(n)(a) = f (an ) = f (an ) = h(an )(1)




por otro lado, como h es A-lineal,

h(an )(1) = ( ah (n))(1) = h(n)(a)

Ejercicio: Adaptar los resultados anteriores para demostrar que si A es un dominiode ideales principales y M es un A-modulo, entonces M es A-inyectivo si y solo si esA-divisible.

Dado un A-modulo cualquiera M , siempre se puede encontrar un A-modulo pro-yectivo P y un epimorsmo P →M . Podemos preguntarnos si el enunciado duales cierto, es decir: dado un A-modulo cualquiera M , existe siempre un A-moduloinyectivo I y un monomorsmo M

→I ? La respuesta es sı, y se da en dos etapas.

Primero resolvamos el problema en la categorıa de grupos abelianos:

Lema 5.4.6. Sea M un grupo abeliano cualquiera, entonces existe un grupo abelianodivisible D y un monomorsmo M →D.

Demostraci´ on: Primero supongamos que M es cıclico (y no nulo). Entonces haydos posibilidades, o bien M ∼= Z o bien M ∼= Z n con n∈N.

En el primer caso, M ∼= Z →Q . En el segundo caso M ∼= Zn →Q / Z donde elmonomorsmo de Zn en Q / Z est a denido por 1 →1

n .Si ahora M es cualquiera y m ∈M , m es cıclico y existe un monomorsmo

m

→Dm donde Dm es un grupo abeliano divisible. Como los modulos divisibles

son inyectivos, se puede denir, para cada m ∈M , un morsmo M →Dm queextienda al monomorsmo anterior: 0 / / m

/ /M

f m } } { {

{ {

DmEl morsmo f m no tiene por que ser inyectivo, sin embargo uno siempre sabe que

m /∈Ker( f m ).Se considera ahora D := m∈M −{ 0} Dm y el morsmo

f : M →m∈M −{ 0}

Dm

x → {f m (x)}m∈M −{ 0}

Como todos los Dm son Z-modulos inyectivos, D resulta un Z-modulo inyectivo,ademas

Ker( f ) = ∩m∈M −{ 0} Ker( f m )




Pero dado m∈M , m /∈Ker( f m )⊇ ∩x∈M −{ 0} Ker( f x), luego Ker(f ) = 0, es decir, f

es un monomorsmo.Proposici´ on 5.4.7. Sea M un A-m´ odulo cualquiera, entonces existe un A-m´ oduloinyectivo I y un monomorsmo M →I .

Demostraci´ on: Si consideramos a M como grupo abeliano, sabemos que existe unmonomorsmo M →D, donde D es un grupo abeliano divisible. A partir de estemonomorsmo tenemos la siguiente cadena de monomorsmos:

M ∼= HomA(A, M ) →HomZ (A, M ) →HomZ (A, D )

Si llamamos I := HomZ

(A, D ), resulta de la proposici on 5.4.5que I es A-inyectivo.

Recordamos que los modulos proyectivos pueden ser caracterizados como los su-mandos directos de un libre. Como tener epimorsmo de un objeto libre en un m´odulocualquiera es equivalente a haber elegido un sistema de generadores, la manera dedualizar parcialmente esta caracterizaci´ on es introduciendo la noci on de cogenerador:

Denici´ on 5.4.8. Un A-m´ odulo M se dir´ a un cogenerador si para todo A-m´ oduloX , existe un conjunto J y un monomorsmo X →M J .

El ejemplo tıpico es Q / Z . Si M es un Z -modulo cıclico de torsi on, digamos Z n , esclaro que hay un monomorsmo Zn

→Q / Z . Si M

∼

= Z , se puede denir

Z →(Q / Z)N

1 →1n n∈N

y resulta inyectiva. Ahora un argumento similar al exhibido en la demostraci ondel lema 5.4.6 (utilizando el hecho de que Q / Z es inyectivo) muestra que siemprehay un monomorsmo de M en un producto de Q / Z . Considerando el A-moduloHomZ (A, Q / Z) y recordando que HomZ (A, Q / Z I ) ∼= (HomZ (A, Q / Z)) I se obtienenejemplos de cogeneradores en categorıas de A-modulos con A un anillo cualquiera.

Observaci´ on: El concepto dual del de cogenerador es el de generador, donde ladenicion de generador es la siguiente: un A-modulo es generador si, para todo A-modulo X existe un conjunto deındices J y un epimorsmo M (J ) →X . Por ejemploel A-modulo AA es generador, y cualquier m odulo libre tambien, aunque un generadorno es necesariamente libre.




Proposici´ on 5.4.9. Sea M un A-m´ odulo, son equivalentes:

1. M es inyectivo.

2. Toda sucesi´ on exacta corta del tipo 0 →M →X →Y →0 se parte.

Adem´ as, cualquiera de las dos anteriores implica que M es un sumando directo de un cogenerador.

Demostraci´ on: 1.⇒2. Considerando en particular el diagrama

0 / /M

Id M

/ /X

~ ~ | | | |

M

sabemos que existe la echa punteada que hace conmutar el diagrama debido a lainyectividad de M , esto dice que la sucesion

0 →M →X →Y →0

se parte.

2

⇒

1. Dado M , sabemos que existe un monomorsmo f : M

→I donde I es

inyectivo. Consideramos la sucesi on exacta corta 0 →M →I →Coker(f ) →0.Sabemos que esta sucesion se parte, luego M es un sumando directo de un inyectivo,luego un factor directo, por lo tanto M es inyectivo.

Veamos nalmente que 2 . implica que M es sumando directo de un cogenerador:Sabemos que HomZ (A, Q / Z) es un cogenerador en la categorıa de A-modulos. En

particular, dado M , existe un conjunto I y un monomorsmo f : M →HomZ (A, Q / Z)I .Considerando la sucesi on exacta

0 →M →HomZ (A, Q / Z)I →Coker(f ) →0

sabemos que se parte, luego M es un sumando directo de Hom Z (A, Q/ Z)I , y esta claroque si un A-modulo X es cogenerador, tambien lo es X I para cualquier conjunto novacıo I .

Observaci´ on: el A-modulo HomZ (A, Q / Z) ademas de ser cogenerador, es inyectivo,luego todo sumando directo de Hom Z (A, Q / Z)I tambien ser´a inyectivo.




5.5 Ejercicios1. Sea k un cuerpo y G un grupo nito tal que 1

|G | ∈k. Demostrar que todo k[G]-moduloes proyectivo e inyectivo (sug: usar el hecho de que todo subm´ odulo es un s.d.). ¿Estodo k[G]-modulo libre?

2. Sea (R n , φ) el R [x]-modulo que tiene a R n como espacio vectorial subyacente y lamultiplicación por x est a denida a traves de la transformaci´ on lineal φ.

(a) Supongamos que o bien φ (en la base can onica) es una matriz simetrica o bienes una matriz ortogonal. Demostrar que todo R [x]-submodulo de (Rn , φ) es unsumando directo.

(b) Dar ejemplos de ( Rn

, φ) que admitan R [x]-submodulos que no sean sumandosdirectos.

3. Sea A un anillo tal que existe un m´ odulo que no es proyectivo. Debe existir alg´ unmodulo cıclico no proyectivo? Debe A tener alg un ideal no proyectivo?

4. Sea A un anillo conmutativo, M y N dos A-modulos a izquierda. Si consideramosa M y N como A-bimodulos simetricos (i.e. m.a := a.m ∀a ∈A, m ∈M , idemN ), Decir todas maneras en que se puede dar a Hom A(M, N ) una estructura de A-modulo a derecha o a izquierda. Ver que todas coinciden y por lo tanto Hom A(M, N )es unA-modulo simetrico. Probar:

(a) M divisible ⇒HomA(M, N ) no tiene torsión.(b) N no tiene torsión⇒HomA(M, N ) no tiene torsión.

5. Probar que no existe un epimorsmo de grupos

(a) de G p∞ en G p∞⊕G p.

(b) de Q en G p∞⊕G p∞ .

(c) de Q / Z en G p∞⊕Gn .

6. Describir todos los Z-modulos proyectivos de tipo nito y todos los k[x]-modulos pro-

yectivos de tipo nito ( k un cuerpo).7. Probar que si existe un epimorsmo Zn →Zm entonces n ≥m. Probar tambien que

si existe un monomorsmo Zn →Zm entonces n ≤m.

8. Probar que si M es un A-modulo a izquierda nitamente generado y proyectivo enton-ces M ∗= Hom A(M, A ) es un A-modulo a derecha nitamente generado y proyectivo.




9. Sea A un anillo conmutativo, S ⊂A un subconjunto multiplicativo y M un A-modulo

proyectivo de tipo nito. Demuestre que M S es un AS -modulo proyectivo de tiponito.

10. Probar que M es un A-modulo nitamente generado y proyectivo si y solo si puedenencontrarse x1, . . . , x r ∈M y φ1, . . . , φ r ∈M ∗ tal que para todo m ∈M vale m =

ri=1 φi (m).x i .

11. Sea M un A-modulo proyectivo de tipo nito. Probar que M es isomorfo comoA-modulo a (M ∗)∗. Es cierto que M es isomorfo como A-modulo a M ∗?

12. Sea A un anillo que contiene en su centro a un cuerpo k.

(a) Demuestre que Hom k (AA , k) es un A-modulo a izquierda inyectivo.

(b) Demuestre en general que si P A es A-proyectivo, entonces Hom k (P A , k) es unA-modulo inyectivo.

(c) Supongamos que dim k(A) < ∞y que P A es nitamente generado, entonces P es proyectivo si y s olo si Homk (P A , k) es inyectivo.

13. El objetivo de este ejercicio es proveer ejemplos de m´ odulos inyectivos que tienencocientes no inyectivos. Notar que en la categorıa de Z-modulos, un m odulo es in-yectivo si y s olo si es divisible, y cocientes de divisibles son divisibles, luego un (con-tra)ejemplo de este tipo no puede darse en la categorıa de Z-modulos. Sea k un cuerpoy A = k⊕kx⊕ky⊕kxy el anillo con la multiplicaci´on denida por

x.x = 0 ; y.y = 0 ; x.y = xy ; y.x = −xy

Sea I = x, y = kx ⊕ky⊕kxy . Vericar que es un ideal bil atero y demostrarque no es un sumando directo de A como A-modulo, en particular no es proyectivo.Demostrar el isomorsmo de A-modulos M := Hom k (I, k )∼= Homk (A, k)/I ⊥ dondeI ⊥ = {f : A →k / f |I = 0}. Ver que M no es inyectivo.

14. Ver que el siguiente diagrama de A-modulos

P

P

0 / /X

/ /X / /X

/ /0

0 0




con P y P proyectivos y la la exacta, puede completarse al siguiente diagrama de

las exactas (con P tambien necesariamente proyectivo):

0 / /P / /

P / /

P / /

0

0 / /X

/ /X

/ /X

/ /0

0 0 0

15. Ver que el siguiente diagrama de A-modulos

I I

0 / /X

O O

/ /X / /X

O O

/ /0

0

O O

0

O O

con I e I inyectivos y la la exacta, puede completarse al siguiente diagrama delas exactas (con I tambien necesariamente inyectivo):

0 / /I / /I / /I / /0

0 / /X

O O

/ /X

O O

/ /X

O O

/ /0

0

O O

0

O O

0

O O

16. (a) Sean

·· · →P 2 →P 1 →P 0 →M →0

·· · →Q2 →Q1 →Q0 →N →0

dos sucesiones exactas de A-modulos en donde los P i y los Qi son proyectivos(i ≥ 0) y sea f : M →N un morsmo de A-modulos. Demuestre entoncesque f se levanta a un morsmo de sucesiones exactas, es decir que existe una




familia de morsmos {f i}i≥ 0, f i : P i →Qi tales que el siguiente diagrama es

conmutativo:. . . / /P 2 / /

f 2

P 1 / /

f 1

P 0 / /

f 0

M / /

f

0

. . . / /Q2 / /Q1 / /Q0 / /N / /0

(b) Sean

0 →M →I 0 →I 1 →I 2 →. . .

0 →N →J 0 →J 1 →J 2 →. . .

dos sucesiones exactas de A-modulos en donde los I i y los J i son inyectivos(i ≥0) y sea f : M →N un morsmo de A-modulos. Demuestre entonces quef se levanta a un morsmo de sucesiones exactas, es decir, a {f i}i≥ 0, f i : I i →J itales que el siguiente diagrama es conmutativo:

0 / /M / /

f

I 0 / /

f 0

I 1 / /

f 1

I 2 / /

f 2

/ /. . .

0 / /N / /J 0 / /J 1 / /J 2 / /. . .

17. Sea A un anillo conmutativo y M, N dos A-modulos nitamente generados y pro-yectivos. Probar entonces que Hom A(M, N ) es un A-modulo nitamente generado yproyectivo.

18. Sea M = k[x], f ∈k[x] y S = f . Demuestre que S 0 ∼= (k[x]/ f )∗ (dual respectode k).

19. Sea M un A-modulo y S ⊆M un subm odulo. Sea S 0 = {f ∈M ∗ tal que f (s) =0∀s∈S }.

(a) Probar que S 0 es un subm odulo (a izquierda de M ∗) y S 0∼= (M/S )∗.(b) Supongamos que S es un sumando directo, probar entonces que:

i. S ∗∼= M ∗/S 0.ii. (S 0)0

∼= S ⊕(M ∗)0.

20. Sea S el espacio vectorial formado por las sucesiones de n´ umeros reales que tienenlımite, sea S 0 el subespacio formado por las sucesiones que tienden a cero. Encuentreisomorsmos explıcitos S / S 0∼= R , S ∼= R

⊕S 0, S ∗∼= S ∗0⊕R .

21. Dado un A-modulo cualquiera M , ver que M ∗es siempre (via el morsmo can´onico)un sumando directo de M ∗∗∗.



6

Teoremas de estructura

Este capıtulo tratar´ a dos situaciones diferentes en donde hay una clasicacióncompleta de la categorıa de módulos (o modulos nitamente generados). Comenzare-mos con los anillos semisimples, y luego veremos el teorema de estructura de m odulosnitamente generados sobre anillos principales.

Estos teoremas de estructura tienen muchısimas aplicaciones. Particularmente,remarcamos el caso de representaciones de grupos nitos sobre espacios vectorialescomo caso de categorıa semisimple, e indicamos como obtener la representación ma-tricial de las formas de Jordan como aplicaci on del teorema de estructura sobre undominio principal.

6.1 Anillos semisimplesEl punto de vista del capıtulo anterior fue: dado un anillo A, cuales son los A-

modulos inyectivos o proyectivos? El problema que planteamos ahora es, en ciertosentido, inverso: caracterizar los anillos A tales que todo A-modulo sea proyectivo, oinyectivo, o libre.

Por ejemplo, para que todo A-modulo sea proyectivo se necesita que todo A-modulo sea sumando directo de un libre. En particular, todo ideal de A debe ser unsumando directo de A.

6.2 Módulos y anillos semisimplesRecordamos que un A-modulo M se dice simple si los unicos submodulos son {0}y M .

123




Sea A un anillo con la propiedad de que todo A-modulo a izquierda es proyectivo

y sea B un subconjunto de A, maximal para la propiedad: “ b∈B ⇔ b es simple,y b ∩b = 0 para todo b∈B, b = b”. Sea M = ⊕b∈B b , veamos que M = A:Supongamos que no, luego existe un ideal a izquierda I maximal tal que M ⊂I .

Como A/I es un A-modulo simple y A/I es (por hipotesis) un A-modulo proyectivo,entonces A∼= I ⊕A/I . Pero entonces A/I ⊂M ⊂I , lo que es un absurdo, luegoM = A. Resulta entonces que el A-modulo AA es suma directa de subm odulossimples.

Denici´ on 6.2.1. 1. Un A-m´ odulo M se dice semisimple si y s´ olo si M es suma directa de subm´ odulos simples.

2. Un anillo A se dice semisimple si y s´ olo si AA es un A-m´ odulo semisimple.Ejemplos:

1. Todo m odulo simple es semisimple (en particular {0}es semisimple).

2. Si k es un cuerpo, todo k-espacio vectorial es semisimple.

3. Si k es un cuerpo, y A = k×···×k (n-veces), entonces A es un anillo semisimple.

4. Z no es un Z -modulo semisimple pues los ideales de Z no son sumandos directosde Z .

5. G es un grupo abeliano simple si y solo si G∼=Z p con p un numero primo. G

es semisimple si y solo si G∼= p primo

Z (I p ) p .

6. Sea M ⊂A un ideal a izquierda maximal, entonces A/ Mes un A-modulosimple.

Observaci´ on: Si M es un A-modulo simple, entonces M es cıclico, y esta generadopor cualquiera de sus elementos no nulos, pues si 0 = m∈M , m es un submodulode M que no puede ser propio.

Ejercicio: Sea M un A-modulo. Entonces M es simple si y solo si existe

M ⊂A

ideal a izquierda maximal tal que M ∼= A/ M.Vimos antes que un anillo A tal que todo A-modulo es proyectivo es semisimple.

La armaci on recıproca se demostrar´a en la siguiente proposici on.

Proposici´ on 6.2.2. Sea A un anillo semisimple, entonces todo A-m´ odulo es proyec-tivo.




Demostraci´ on: Sea M un A-modulo y sea A = ⊕i∈I Ai donde los Ai son A-modulos

simples. El conjunto I es necesariamente nito pues 1 ∈A, 1 =nk=1 a ik cona ik ∈Aik . Si x∈A, x = x.1 = n

k=1 xa ik ∈⊕nk=1 Aik .

Sea B un subconjunto de M maximal con respecto a la propiedad: “ b∈B ⇔ bes simple, y b ∩b = 0 para todo b ∈B, b = b”. Sea N = ⊕b∈B b , veamos queN = M :

Como B es maximal, entonces N tiene que contener a todo subm´odulo simplede M , y por lo tanto a todo subm odulo semisimple. Pero como A = ⊕i∈I Ai con Ai

simple, entonces todo cociente de A es semisimple, luego todo A-modulo cıclico essemisimple. Por lo tanto N contiene a todo elemento de M , luego N = M , con loque resulta M semisimple.

Observaci´ on: Esta proposici on muestra que en particular, todo anillo semisimplees hereditario.

Proposici´ on 6.2.3. Sea M un A-m´ odulo, M es semisimple si y s´ olo si todo subm´ odulode M es un sumando directo.

Demostraci´ on: Supongamos que todo subm odulo de M es un sumando directo,queremos ver que M es semisimple.

Sea S la familia de submodulos simples de M , queremos probar que M = ⊕S ∈S S .Llamamos N := ⊕S ∈S S , por hipotesis N es un sumando directo. Sea N un comple-mento, es decir, N ⊆M y M = N ⊕N . Veamos que si N = 0 entonces contiene

algun subm odulo simple, lo que serıa absurdo.Podemos suponer que N es de tipo nito, entonces tiene alg un subm odulo maxi-mal M. Consideremos la sucesion exacta corta

0 → M →N →N / M →0

Al ser Mmaximal en N , el cociente N / Mes simple. Veamos que N / Mes isomorfoa un sumado directo de N , y para esto veremos que la propiedad de que “todosubmodulo es un sumando directo” es hereditaria. M´as precisamente: si X es talque todo subm odulo es un sumando directo e Y ⊆X un subm odulo, entonces todosubmodulo de Y es un sumando directo de Y .

Consideremos Y ⊆Y un subm odulo, entonces es un subm odulo de X , luegosumando directo de X , y por lo tanto existe p : X →Y tal que p|Y = Id Y .Llamemos π := p|Y . Es claro que π : Y →Y y verica π|Y = IdY , luego Y secomplementa en Y .

Supongamos ahora que M es semisimple y sea T un subm odulo propio de M ,sabemos que M = ⊕i∈I M i con M i simples. Sea F = {J ⊆I / ⊕i∈J M i ∩T = 0},




tenemos que F = ∅pues existe i∈I tal que M i⊆T , por lo tanto M i∩T = 0. Adem as

F es inductivo superiormente, luego admite un elemento maximal, que llamamos J 0.Es claro que ⊕i∈J 0 M i , T = (⊕i∈J 0 M i)⊕T , veamos que ademas es igual a M .Por la maximalidad de J 0, si k ∈I , M k ∩((⊕i∈J 0 M i)⊕T ) = 0, luego M k ∩((⊕i∈J 0 M i)⊕T ) = M k pues M k es simple. Esto dice que todos los submodulos

simples de M est an contenidos en (⊕i∈J 0 M i)⊕T , y como M es semisimple, la sumade los submodulos simples es todo M .

Corolario 6.2.4. Sea M un A-m´ odulo semisimple y N un subm´ odulo, entonces N y M/N son tambien semisimples.

Demostraci´ on: de la prueba de la proposici on anterior, si N es un submodulo de

M con M semisimple, entonces todo subm odulo de N es un sumando directo, luegoN es semisimple.

Por otro lado, como N es un sumando directo de M , entonces M/N es isomorfoa un sumando directo de M , luego es semisimple.

Ejercicio: Sean A y B dos anillos, entonces A ×B es un anillo semisimple si y solosi A y B lo son.

Observaci´ on: Si M es un A-modulo tal que admite un subm´odulo semisimple N ,y tal que adem as M/N es semisimple, no es cierto en general que M tenga que sersemisimple. Un (contra)ejemplo de esta situaci on es la extension 0 →Z p →Z p2 →Z p →0.Proposici´ on 6.2.5. Sea A un anillo, son equivalentes:

1. A es semisimple.

2. Todo A-m´ odulo es semisimple.

3. Todo A-m´ odulo libre es semisimple.

4. Todo A-m´ odulo es proyectivo.

5. Toda extensi´ on de A-m´ odulos es trivial.6. Todo A-m´ odulo es inyectivo.

7. Todo ideal (a izquierda) de A es inyectivo.

8. Todo cociente de A es proyectivo.




Demostraci´ on: 1⇒2). Todo A-modulo es suma de submodulos cıclicos, por lo

tanto basta ver que todo A-modulo cıclico es semisimple. Si M es cıclico, M ∼= A/I para alg un ideal (a izquierda) I , por ser A semisimple, M resulta semisimple puespor el Corolario 6.2.4 todo cociente de un semisimple es semisimple.

2⇒3). es trivial.

3 ⇒4). Sea M un A-modulo cualquiera, entonces M es cociente de un libre.Considerando un epimorsmo p : L →M donde L es libre, Ker( p) es (Proposici on6.2.3) un sumando directo de L, luego L/ Ker( p) ∼= M tambien es isomorfo a unsumando directo de L, luego M es proyectivo.

4⇒5). Consideramos una extensi on de A-modulos cualquiera 0 →X →Y →Z →0. Como en particular Z es proyectivo, esta sucesi on se parte.

5⇒6). Sea M un A-modulo, como en particular toda sucesi´on exacta 0 →M →X →Y →0 se parte, M resulta inyectivo.

6⇒7). es trivial

7⇒8). Sea I un ideal, que sabemos que es inyectivo, luego la sucesion exacta

0 →I →A →A/I →0

se parte. Esto dice que A/I es isomorfo a un sumando directo de A, luego A/I esproyectivo.

8⇒1). Por la Proposici on 6.2.3 basta ver que todo ideal I de A es un sumandodirecto. Considerando de nuevo la sucesi on 0 →I →A →A/I →0, como A/I esproyectivo, esta sucesi on se parte, luego I es un sumando directo, como se querıa ver.

Observaci´ on: Si A es semisimple, entonces A es artiniano y noetheriano. Paraver que es noetheriano, basta ver que todo ideal es nitamente generado, pero comotodo ideal es un sumando directo, entonces todo ideal es isomorfo a un cociente deA, luego cıclico, luego nitamente generado. Para ver que es artiniano consideremosuna cadena descendente de ideales

I 1

⊃

I 2

⊃

I 3

⊃

. . .

Como I 2 es un sumando directo de I 1, I 1∼= C 1⊕I 2. A su vez, I 3 es un sumando directode I 2, luego I 2 = I 3⊕C 2 y consecuentemente I 1 = I 3⊕C 1⊕C 2. Si consideramosla cadena creciente de ideales C 1 ⊂(C 1⊕C 2)⊂(C 1⊕C 2⊕C 3)⊂. . . , como A esnoetheriano se estaciona, luego existe un n0 tal que C n = 0 ∀n ≥n0, lo que signicaque I n ∼= I n+1 ∀n ≥n0.




Ejemplos:

1. (Teorema de Maschke) Sea G un grupo nito, k un cuerpo tal que1

|G |∈k, entonces

k[G] es un anillo semisimple.Demostraci´ on: Sea M un k[G]-modulo y S ⊆M un subm odulo, queremos verque S es un sumando directo. Como k es un cuerpo, existe una transformaci´on k-lineal π : M →S tal que π|S = IdS . Si π fuera k[G]-lineal, entonces S serıa unk[G]-sumando directo. Denamos φ : M →S a traves de

φ(m) :=1

|G| g∈G

gπ(g− 1.m)

Veamos que φ|S = IdS y que es k[G]-lineal:

Si s∈S , entonces g− 1

.s∈S y π(g− 1

.s) = g− 1

.s , luegoφ(s) =

1

|G| g∈G

gπ(g− 1.s)1

|G| g∈G

gg− 1.s =1

|G| g∈G

s = |G||G|

s = s

Si h∈G, φ(h.m ) = 1|G | g∈G gπ(g− 1hm ). Llamando g = hg, tenemos que

φ(h.m ) = 1|G | g∈G gπ(g− 1hm ) = 1

|G | g ∈G g π((g )− 1hm ) =

= 1|G | g ∈G hgπ (g− 1h− 1hm ) = 1

|G | h. g ∈G gπ(g− 1m) == hφ(m)

2. Sea D un anillo de division y A = M 2(D).

Llamemos I 1 := a 0b 0 / a,b ∈D e I 2 := 0 a

0 b / a,b ∈D . Es claro

que, como A-modulos a izquierda, A∼= I 1⊕I 2. Ademas son simples, por ejemplobasta ver que cualquier elemento de I 1 genera a I 1, (con I 2 es la misma cuenta).

Si a 0b 0 = 0, supongamos que a = 0, entonces a− 1 0

0 0a 0b 0 = 1 0

0 0 .

A su vez 0 0a− 1 0

a 0b 0 = 0 0

1 0 . Luego a 0b 0 genera I 1. Si a = 0

entonces necesariamente b = 0, se deja como ejercicio ver que en este caso 0 0b 0

tambien genera I 1. Por lo tanto M 2(D) es semisimple. Analogamente, M n (D) essemisimple para cualquier n∈N.

Ejercicio: (Lema de Schur). Sea M un A-modulo simple, entonces el anillo End A(M )es un anillo de division, i.e. todo morsmo A-lineal f : M →M o bien es cero, o bienes un isomorsmo.




Corolario 6.2.7. Sea A un anillo semisimple tal que no tiene ideales bil´ ateros pro-

pios. Entonces A es isomorfo a un anillo de matrices con coecientes en un anillode divisi´ on.

Corolario 6.2.8. Sea A un anillo, entonces A es semisimple a izquierda si y s´ olo si es semisimple a derecha.

Demostraci´ on: Es claro utilizando el Teorema de Wedderburn, y notando que latrasposici on de matrices da un isomorsmo de anillos:

M n (D)op∼= M n (D op)

Finalmente D es un anillo de division si y solo si D op es un anillo de division.

Ejercicio: Descomponer a R[Z2], R[Z3] y C[Z3] como producto de matrices sobrealgebras de division, (como dice el Teorema de Wedderburn). Sug.: Encontrarmodulos simples sobre los respectivos anillos. (nombre: modulos simples = repre-sentaciones irreducibles). Antes de hacer cuentas, sabiendo que las ´ unicas algebrasde dimension nita sobre R son R , C y H , cuales son las posibilidades?Ejercicio: Sea A semisimple, probar que rad( A) = 0, donde rad( A) es la interseccionde todos los ideales a izquierda maximales de A.

Proposici´ on 6.2.9. Sea A un anillo, entonces A es semisimple si y s´ olo si es arti-niano y rad( A) = 0 .

Demostraci´ on: Ya vimos que si A es semisimple entonces es Artiniano y su radicales cero. Supongamos ahora que A es artiniano y rad( A) = 0, veamos que todo idealde A es un sumando directo:

Sea I ⊂A un ideal de A, consideremos J = {J ⊂A ideal a izquierda de A tal queI + J = A}. El conjunto J es no vacıo pues A∈J , esta ordenado por la inclusi on, ypor ser A artiniano, admite un elemento minimal. Sea J ∈J un elemento minimal,es claro que I + J = A, veamos que I ∩J = 0.

Supongamos que I ∩J = 0, entonces, dentro del conjunto de los ideales (a izquier-da) no nulos contenidos en I ∩J existe uno minimal, que llamamos B .

Como rad( A) = 0, existe un ideal maximal Mtal que B ⊆ M, y por lo tantoA = B +

M. Como B

⊂

J , resulta que J

⊆ M, sea entonces J =

M ∩J

⊂

J .Entonces

A = I + J = I + ( B + M) ∩J ⊆I + B + J = I + J

pues B⊆I . Esto dice que J ∈J , lo que contradice la minimalidad de J .

Ejercicio: demostrar que rad( A) es un ideal bilatero.




Corolario 6.2.10. Sea A un anillo artiniano sin ideales bil´ ateros propios. Entonces

A es isomorfo a un anillo de matrices con coecientes en un anillo de divisi´ on (en particular A es semisimple).

Ejercicio: Sea G un grupo nito y k un cuerpo. Demostrar que la funci on k[G] →k(denida por (g) = 1 ∀g∈G) es un morsmo de anillos, luego k[G] siempre tienepor lo menos un ideal bilatero propio.

Corolario 6.2.11. Si A es artiniano, entonces A/ rad( A) es semisimple.

Demostraci´ on: basta demostrar que rad( A/ rad( A)) = 0, que se deja como ejercicio.

Observaci´ on: En algunos textos, aparece la siguiente denici´on de anillo simple: un anillo A se dice simple si es artiniano y no tiene ideales bil´ ateros propios . Notamosque la condicion de artiniano es esencial si se desea que la denicion de simple impliquesemisimple, como lo muestra el siguiente ejemplo:

Sea k un cuerpo de caracterıstica cero, el ´ algebra de Weyl A1(k) est a denidacomo la subalgebra de End k(k[x]) generada por la multiplicaci on por la variable x,que denotaremos q, y la derivada con respecto a x, que denotaremos p. Como severica la relacion de conmutaci on [ p,q] = 1 (vercar!), todo elemento del algebra deWeyl se puede escribir como combinaci on k-lineal de monomios de la forma piq j con iy j mayores o iguales que cero. Si P ∈A1(k) se escribe de la forma P = n

i=0 f i(q) pi ,en donde cada f i es un polinomio en q, y f n = 0, diremos que el grado de P es n, el

polinomio f n se llamara coeciente principal de P .Ejemplo / Ejercicio:

1. Si P es un elemento del algebra de Weyl de grado n, con coeciente principalf n , entonces [P, q ] es un elemento de grado n −1, y su coeciente principal esn.f n .

2. Si f es un polinomio en q, entonces [ p,f ] = f .

A partir del c alculo anterior, es f acil ver que A1(k) no tiene ideales bil aterospropios:

Sea I un ideal bil atero no nulo, y 0 = P ∈I . Como [P, q ]∈I , si el grado de P es positivo, haciendo el corchete iteradamente uno puede suponer que I contiene unelemento de grado cero no nulo, es decir, un polinomio en q, digamos f (q). Si f fuerauna constante, entonces I contiene una unidad, luego I = A. Si f no es una constante,entonces [ p,f (q)] = f (q) = 0 y f (q)∈I . Si f es una constante terminamos, si novolvemos a calcular conmutadores sucesivos hasta obtener una constante.




6.3 Ejercicios1. Demuestre que rad( A/ rad( A)) = 0.

2. Demuestre que rad( A) = {a∈A / 1 −x.a es inversible a izquierda para todo x}.

3. Sea A un anillo, probar que si r ∈rad( A) entonces 1 −r es una unidad de A.

4. Probar que si A es semisimple y L es un ideal a izquierda de A entonces,

• existe e∈A idempotente (i.e. e2 = e) tal que L = A.e.

• A no tiene ideales a izquierda nilpotentes.

• Si L es simple entonces el idempotente es primitivo (i.e. si e = e1 + e2 con

e2i = ei y e1.e2 = 0 = e2.e1 entonces alguno de los ei es cero).

5. Sea M un A-modulo simple con A semisimple, demostrar que M es isomorfo a unideal de A.

6. Encontar un ejemplo de anillo (necesariamente no semisimple) tal que exista unmodulo simple que no sea isomorfo a ning´un ideal de A.

7. Sea k un cuerpo y T 2(k) = a b0 c / a, b, c ∈k no es un anillo semisimple.

Calcular rad( T 2(k)) y T 2(k)/ rad( T 2(k)).

8. Sea k un cuerpo, A = k

×k con el producto coordenada a coordenada. Ver que A

es semisimple pero no simple. Quienes son los idempotentes ortogonales que sumanuno?

9. Para que n∈N es Z n un anillo semisimple? Para alguno que no sea semisimple, darun ejemplo de m odulo que no sea proyectivo.

10. Sea v = ( v1, . . . , vn ) un vector no nulo en kn (k cuerpo). Probar que el conjunto delas matrices de la forma

a1v1 a1v2 a1v3 . . . a 1vna2v1 a2v2 a2v3 . . . a 2vna3v1 a3v2 a3v3 . . . a 3vn

. . . . . . .an v1 an v2 an v3 . . . a n vn

con los a i∈k, forman un ideal (a izquierda) simple.

11. Encontrar en M n (A) una familia {e1, . . . , e n}de elementos tales que ei e j = 0 si i = j ,e2

i = ei y ni=1 ei = 1 M n (A) .




12. Sea A un anillo semisimple y M un A-modulo. A partir del teorema de Wedderburn

sabemos que A∼=ni=1 M r i (D i ) donde cada D i = End A(L i)

opes el anillo de endo-morsmos del ideal simple L i , y r i es la cantidad de veces que aparece L i en A como

sumando directo. A su vez, M se descompone en suma directa de subm´ odulos sim-ples, cada uno de ellos isomorfo a algún L i (porque?). Dar una condici´ on necesariay suciente sobre la multiplicidad de cada L i en M para decidir cuándo M es libre.Concluir que si A es semisimple, entonces A tiene noci on de rango.

13. Sea A = M n (k) con k un cuerpo, ver que es un ejemplo de anillo con noci´ on de rangopero que no existe ningún morsmo de anillos A →D con D un anillo de divisi on.

14. Sea k un cuerpo y G un grupo nito tal que |G| es inversible en k. A partir de lacaracterización que da el Teorema de Wedderburn, “tomar dimensi´ on” para obteneruna f ormula que relacione las dimensiones de las ´ algebras de divisi on y el tama no delas matrices que aparecen con el orden del grupo.

15. Sea S 3 el grupo de permutaciones de tres elementos.

(a) Ver que existe una sucesión exacta de grupos 1 →Z3 → S 3 →Z 2 →1, mas aun,

S 3 ∼= Z3 Z 2 donde la acci on de Z 2 en Z3 es “cambiar de signo”. Ayuda esopara encontrar representaciones de R [S 3] a partir de representaciones de R [Z3]y de R[Z 2]?

(b) Calcular el centro de R[S 3]. Que posibilidades de descomposici´ on en productode matrices tiene R [

S 3]?

(c) Sea M una representaci´ on irreducible de R [S 3] con dim R (M ) = 2 (cu antashay?). Calcular el álgebra de división End R [S 3 ](M ).

16. Sea k un cuerpo, G un grupo tal que k[H ] es semisimple para todo subgrupo H deG nitamente generado. Probar que k[G] es semisimple.

17. (Una versi on del Lema de Schur) Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado, G ungrupo nito tal que |G| es inversible en k. Sea M un k[G]-modulo simple no nu-lo. Probar que End k[G](M ) ∼= k, es decir, los unicos morsmos G-lineales son lashomotecias. (Sugerencia: pensar en autovalores)

18. Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado, G un grupo nito tal que |G| es inversibleen k. Entnces k[G]∼=

ri=1 M n 1 (k) (por que aparece k en las matrices en vez de

algebras de división cualesquiera?). Probar que r = # G , es decir, la cantidad declases de isomorsmo de representaciones irreducibles de k[G] es la misma que lacantidad de clases de conjugaci´ on de G. Sugerencia: r = dim k (Z (k[G])) (Z (..)=centro de . . . ).




19. Con las mismas notaciones del ejercicio anterior, demostrar que dim k (Z (k[G]) =

# G sin usar la hip´otesis de k algebraicamente cerrado.20. Es Z2[Z2] una Z 2-algebra semisimple?

6.4 Dominios principalesEl teorema principal de esta secci on es el teorema 6.4.7, que caracteriza com-

pletamente los m odulos nitamente generados sobre dominios a ideales principales(dip).

6.4.1 Anillos euclideanos, principales y de factorizaci´ onComenzaremos recordando algunas deniciones generales y daremos algunas pro-

piedades b asicas de los dominios principales que se utilizar an luego.

Denici´ on 6.4.1. Sea A un dominio ıntegro, diremos que A es euclıdeo si existeuna funci´ on d : A − {0} →N0 tal que

• d(r ) ≤d(r.s ) ∀r, ∀s = 0 .

•Dados a, b en A, b = 0 , entonces existen (no necesariamente ´ unicos) q, r en A

tales que a = bq+ r con r = 0 ´ o d(r ) < d (b).

Ejemplos:

1. k un cuerpo con d ≡0.

2. Z , con d(m) = |m|.3. k[x] con k un cuerpo y d = gr .

4. Z P donde P = pZ ( p un numero primo) con d mn = pq si m = pqm y (m :

m ) = 1.5. Ejercicio: k[x, x − 1] es euclıdeo.

6. Z [i] con d(a + bi) = ar + b2.

Proposici´ on 6.4.2. Si A es euclideano entonces A es principal.




Demostraci´ on: Sea I ⊂A un ideal no nulo, llamemos d a la funcion euclıdea de A

y sea n ∈N0 = min {d(x) : x∈I −0}. Sea y∈I tal que d(y) = n, es claro quey ⊆I , dado x∈I , si x = 0 se tiene que existen q y r en A con x = qy + r , donde o

bien r = 0 o bien d(r ) < d (y). Como r = x −qy tenemos que r∈I , luego d(r ) ≤d(y)por la minimalidad de y, esto es un absurdo a menos que r = 0, es decir que x∈y .

Recordamos que un elemento p en un anillo A se dice primo si y solo si p /∈U (A)y a.b∈ p ⇒a∈ p o b∈ p , equivalentemente p es primo si y solo si A/ p es undominio ıntegro. Recordamos tambien que un elemento q∈A se llama irreduciblesi y solo si q = 0, q /∈ U (A) y si q = b.c entonces o bien b o bien c son unidades. Si qes irreducible y u es una unidad, claramente uq es tambien irreducible, diremos que

uq es un irreducible asociado a q.Ejercicio: Si p es primo, entonces es irreducible.

Un dominio ıntegro A se dice de factorizaci´ on unica (dfu) si satisface: paratodo 0 = a ∈A, existen q1, . . . qr elementos irreducibles de A y u ∈ U (A) talesque a = u r

i=1 qi , y esta escritura es unica a menos de permutaci on y/o cambio deirreducibles por sus asociados.

Observaci´ on: Si A es dfu y q∈A es irreducible, entonces q es primo.

Proposici´ on 6.4.3. Sea A un dominio principal, entonces A es un dominio de fac-torizaci´ on ´ unica.

Demostraci´ on: Sea a∈A, a = 0, a /∈U (A) y supongamos que a no se escribe comoproducto de irreducibles (en particular a no es irreducible). Entonces existen a1 y b1

que no son unidades tales que a = a1b1 y ademas alguno de los dos no es productode irreducibles, por ejemplo a1. Como a1|a y b1 /∈ U (A), entonces a ⊂ a1 y lainclusion es estricta. A su vez, como el a1 no es irreducible, se repite el razonamientoanterior y se obtiene una cadena de ideales estrictamente creciente, lo que es absurdoporque si A es principal entonces debe ser noetheriano.

La unicidad se demuestra de la misma manera que se demuestra que todo n´ umeroentero se factoriza como un producto de primos. La mec´anica de la demostraci on esla misma usando que, como se est a en un dip, todo irreducible es primo.

Ejercicio: Mostrar (sin usar que dip ⇒dfu) que en un dip, todo elemento irreduciblees primo.




Ejemplos: todos los dominios euclıdeos son de factorizaci on unica, como Z , y k[x]

con k cuerpo. Tambien k[x, x− 1

] es un dfu, mas generalmente, toda localización deun dfu es dfu.

Como resultado folkl orico, mencionamos que en los dfu se tiene existencia demaximo comun divisor, donde, dados a1, . . . , a r , el maximo comun divisor est a de-nido como un elemento que divide a todos los a i , y que es maximo con esa propiedad(maximo con respecto al orden de la divisibilidad). En un anillo arbitrario, en casode existir un maximo comun divisor, este está univocamente determinado a menos demultiplicaci on por unidades. Observamos que como la noci on de dominio euclideanoimplica dip, que a su vez implica dfu, en todos estos tipos de anillos hay existencia

de maximo comun divisor.Teorema 6.4.4. Sea A un dfu, entonces A[x] tambien es dfu.

Demostraci´ on: Dado f ∈A[x], f = 0, escribimos f = c.g con c∈A y g es tal queel maximo comun divisor de todos sus coecientes es uno.

Si consideramos g∈A[x]⊂F [x], donde F es el cuerpo de fracciones de A, comoF [x] es dfu (ya que es euclideano, luego dip, luego dfu), entonces existe una descom-posicion g = a

b h1 . . . h k donde a, b∈A, b = 0 y h i∈F [x] son polinomios irreducibles.Cambiando eventualmente los elementos a y b se puede suponer que los h i ∈A[x] yque el maximo comun divisor de los coecientes de cada h i es uno. Pero entoncescada h i es irreducible en A[x], luego bg = ah 1 . . . h k , y como h1 . . . h k es un polinomiotal que el maximo comun divisor de sus coecientes es uno, resulta que a = bu conu∈ U (A) y entonces g = uh 1 . . . h k . Por lo tanto f = u.c.h 1 . . . h k . Factorizando ccomo producto de irreducibles en A se obtiene una factorizaci on completa de f . Launicidad se sigue de la unicidad de la factorizaci on en F [x] (para la parte de los h i)y de la unicidad de la factorizaci on en A (para el c).

Ejemplo: Z [x] es un dfu, y no es principal. Similarmente, si k es un cuerpo,k[x1, . . . , x n ] es un dfu, y no es principal a menos que n = 1.

6.4.2 Módulos nitamente generados sobre un dipHemos visto en la seccion de modulos libres que si M es un modulo nitamente

generado sobre un dominio principal A entonces M ∼= t(M )⊕Ar para un r dado.El objetivo de esta seccion es describir completamente los m odulos sobre un dominioprincipal que son nitamente generados y de torsión.




Lema 6.4.5. Sea A un dip, si L es un A-m´ odulo libre y M ⊆L es un subm´ odulo no

nulo, entonces existen 0 = z∈L, un subm´ odulo S de L, y c∈A tales que

• L = z ⊕S

• M = cz ⊕(S ∩M )

• Si f : L →A es una funci´ on lineal tal que f (z) = 1 , entonces f (M ) = c .

Demostraci´ on: Sea I = {I ideal no nulo de A tal que I = f (M ) para algunaf ∈HomA(L, A)}. Este conjunto es no vacıo pues en I est an las imagenes de lasfunciones coordenadas de L en A, y alguna coordenada de los elementos de M esno nula pues M = 0. Como A es noetheriano, I tiene un elemento maximal quellamamos I 0. Sea h : L →A tal que h(M ) = I 0; como A es principal, existe c∈Atal que I 0 = c.A. Llamemos u∈M a un elemento tal que h(u) = c, armamos que ues divisible por c en L.

En efecto, veremos que f i(u) es divisible por c para todo i, donde f i son lasfunciones coordenadas de L. Dado i, sea di el maximo comun divisor entre c y f i(u),sean r, s ∈A tales que di = rc + sf i(u) = rh (u) + sf i(u) = ( rh + sf i)(u). Denimosφ = ( rh + sf i), la cuenta anterior muestra que φ(M ) contiene al ideal generado pordi , que a su vez contiene al ideal generado por c, esto contradice la maximalidad deI 0 a menos que di = c. De esta manera vemos que c divide a f i(u) para todo i,por lo tanto c divide a h(u) (dado que h es una combinaci on lineal de las funcionescoordenadas). Llamamos z al elemento de L tal que u = c.z, es claro que h(z) = 1(recordar que A es ıntegro).

Sea ahora S = Ker( h):

• considerando la sucesion exacta 0 →Ker(h) →L →Im(h) →0, como Im(h) =A, la sucesion se parte, luego S es un sumando directo, y un complemento seobtiene a partir de una secci´on de h, que es por ejemplo enviar el 1 en z, luegoL = z ⊕S .

• La inclusion cz ⊕(S ∩M )⊆M es clara pues c.z = u∈M . En el otro sentido,si x

∈

M entonces h(x)z

∈

cz

⊂M , luego se puede escribir x = h(x).z + ( x

−h(x).z). Como el elemento h(x).z∈M se sigue que (x −h(x).z)∈M , ademash(x −h(x).z) = h(x) −h(x).h(z) = 0, luego (x −h(x).z)∈M ∩S .

• Sea f : L →A lineal tal que f (z) = 1. Entonces f (u) = f (c.z) = cf (z) = c,luego c ⊂f (M ), pero como c = I 0 es un ideal maximal con respecto a esapropiedad, entonces son iguales.




Corolario 6.4.6. Sea A un dip, L un A-m´ odulo libre y M un subm´ odulo de tipo

nito, entonces existe una base {ei}i∈I , una subfamila nita {ei j j = 1 , . . . , n }de{ei}i∈I y elementos a1, . . . a n ∈A tales a j |a j +1 ( j = 1 , . . . , n −1) y M = ⊕

n j =1 a j ei j .

Demostraci´ on: Es por inducci on en el rango de M . Por la proposicion anterior,si M = 0, existe z ∈L, c∈A y S un subm odulo de L tales que L = z ⊕S yM = cz ⊕(S ∩M ). Por lo tanto el rango de S ∩M es igual al rango de M menos uno.Aplicamos la hip otesis inductiva a M ∩S ⊆S , que es libre por ser submodulo de unlibre, luego existe una base {xk}k∈K de S , una subfamilia nita {xkl : l = 2 , . . . n}yuna sucesion a2|a3| . . . a n de elementos de A tales que S ∩M = ⊕

n j =2 a j xkj . Llamamos

a1 := c, xk1 := z, entonces obtenemos que M = ⊕n j =1 a j xkj . Falta ver que a1|a2.

Se dene f : L →A como f (ei) =1 si

∃

j / i = i j0 si no . Para todo j = 1 , . . . , n ,

a j = f (a j ei j )∈f (M ), por el ultimo ıtem de la proposici´on anterior, al ser f (z) = 1tenemos que f (M ) = c = a1 , por lo tanto a j ∈ a1 para todo j , en particulara1|a2.

Teorema 6.4.7. (De estructura de m´ odulos f.g. sobre un dip) Sea M un A-m´ odulode tipo nito, entonces

1. Existe una sucesi´ on d1|d2| . . . dn de elementos no inversibles de A tales que M ∼=

⊕ni=1 A/d iA

2. Si {di}ni=1 y {di}

ni=1 son dos familias de elementos de A que verican 1, entoncesn = n y existen unidades de A, u1, . . . , u n tales que di = u idi para todo i =

1, . . . n .

Demostraci´ on: Veamos primero la primer parte, la segunda la demostraremos luegode exhibir diversos corolarios.

Sea L un A-modulo libre de tipo nito con un epimorsmo p : L →M , luegoM ∼= L/ Ker( p).

Por diversas razones (por ejemplo noetherianidad, o Teorema 5.1.15), Ker( p) esde tipo nito. Por el corolario anterior existen {ei}i=1 ,...,r (r = rg (L)) una base de L,d j

|d j +1 , j = 1 , . . . s

−1 (s = rg (Ker( p))

≤r ) una sucesion de elementos de A tales

que {diei}i=1 ,...s es una base de Ker( p). Entonces

M ∼= L/ Ker( p)∼=ri=1 ei

si=1 diei

∼=r

i=1

A/ di

donde di = 0 si i = s + 1 , . . . , r .




Sea m = max {i / d i ∈ U (A)}(o m = 0 si el conjunto anterior es vacıo). Luego

M ∼=ri= m +1 A/ di , ya que si d es una unidad, entonces A/A.d = 0. Renumerandolos di y tomando n = r −m, obtenemos que los di no son unidades que se dividen

consecutivamente y que M ∼= ⊕ni=1 A/d iA.

Corolario 6.4.8. Sea A un dip. Un A-m´ odulo M es de tipo nito si y s´ olo si existeuna familia C i con i = 1 , . . . , n de A-m´ odulos cıclicos tales que M ∼= ⊕

ni=1 C i .

Observaciones: 1. La recıproca es cierta para cualquier anillo, no necesariamenteun dip.

2. Con las notaciones del teorema de estructura:

t(M ) =i=1 ,...,n

di =0

A/d iA

Corolario 6.4.9. Sea A un dip, M un A-m´ odulo nitamente generado, entoncesexiste n∈N0, una familia { p1, . . . p r}de primos de A, y n´ umeros enteros no negativosn1

i ≤ · · · ≤n ri ( i = 1 , . . . r ) tales que

M ∼=r

i=1

r

j =1

A/ pn ji

i ⊕An

Demostraci´ on: el n se elige como el rango de la parte libre de M , para la partede torsi on sabemos que t(M ) = ⊕

mi=1 A/ diA . Lo que hacemos ahora es escribir a

cada di como producto de primos, de hecho, como d1|d2| . . . |dm , basta factorizar dm =ri=1 pn r

ii , los primos que aparecen en los otros di son los mismos, con eventualmente

exponentes menores (que pueden ser cero).Por el teorema chino del resto,

A/r

i=1

pn ri

i ∼=r

i=1

A/ pn ri

i

Ahora el corolario se sigue de reordenar todos los sumandos.

Corolario 6.4.10. Sea A un dip y M un A-m´ odulo nitamente generado de torsi´ on,entonces existe una familia nita de A-m´ odulos cıclicos {C i}i∈I , con cada C i pi-primario (donde los pi primos, que en este caso es lo mismo que irreducibles).




Observaci´ on: 1. La condicion de ser “de tipo nito” es esencial en la demostraci on

del teorema, como lo muestra el siguiente ejemplo:Sea A = Z y M = Q . Es claro que Q no tiene torsi on, si el teorema de estructurafuera cierto sin la hip otesis de nitud, Q serıa libre. Recordamos que Q no es libre,pues cualquier par de elementos es linealmente dependiente, y Q no es isomorfo ni aZ ni a 0!.

2. La condicion di|di+1 es necesaria para la unicidad, por ejemplo Z 6∼= Z 2⊕Z3, son

dos descomposiciones, pero la segunda descomposicion no es “del tipo” del teoremade estructura.

Demostraci´ on de la parte de unicidad del Teorema 6.4.7.

Sean {I i}1≤ i≤ n , {J j}1≤ j ≤ m sucesiones decrecientes de ideales propios de A talesque ⊕

ni=1 A/I i ∼= ⊕

m j =1 A/J j . Sea Mun ideal maximal cualquiera de A, a partir de

⊕ni=1 A/I i∼= ⊕

m j =1 A/J j obtenemos

HomA(⊕ni=1 A/I i , A/ M)∼= HomA(⊕

m j =1 A/J j , A/ M)

o bien,

n

i=1

HomA(A/I i , A/ M)∼=m

j =1

HomA(A/J j , A/ M)

Consideramos los ideales transportadores ( M: I i) = {a∈A / aI i⊂M}. Sea

φ : (M: I i) →HomA(A/I i , A/ M)a →f a = ( x →ax )

Es un ejercicio sencillo ver que es un epimorsmo, con nucleo M, y por lo tanto quehay un isomorsmo HomA(A/I i , A/ M)∼= (M: I i)/ M.

Tomando Mun ideal maximal que contenga a I 1, como los I i estaban encajados,

Mcontiene a todos los I i , por lo tanto ( M: I i) = A∀i = 1 , . . . n , y

(A/ M)n∼= ⊕

m j =1 (M: J j )/ MComo M ⊆(M: J j ), esto implica que (M : J j ) o bien es Ao bien es M. Seaq = # { j / (M: J j ) = A}, entonces (A/ M)n

∼= (A/ M)q como A-modulo, luego sonisomorfos como A/ M-espacios vectoriales, lo que implica n = q ≤m. Analogamentem ≤n, y por lo tanto son iguales.




Partimos ahora de ⊕ni=1 A/I i ∼= ⊕

ni=1 A/J i , con I i ⊇I i+1 y J i ⊇J i+1 , para todo

i = 1 , . . . n −1.Para cualquier elemento c de A, el isomorsmo anterior implicani=1 c.A/I i∼=

ni=1 c.A/J i . Utilizaremos el siguiente Lema:

Lema 6.4.11. Sea A un anillo arbitrario, I un ideal de A y c∈A, entonces

c.(A/I )∼= A/ (I : c.A)

Demostraci´ on: Ejercicio.

Como los I i formaban una sucesi on decreciente, ( I i : c.A)⊇(I i+1 : c.A), idem conlos J i . Sea iA = max

{i / c

∈

I i}

y sea iB = max

{i / c

∈

J i}, entonces

n

i= iA +1

A/ (I i : c.A)∼=n

i= iB +1

A/ (J i : c.A)

Por la primer parte de la demostraci´ on resulta que iA = iB, por lo tanto I i = J i paratodo i.

6.5 Ejercicios

1. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo k, dim k (V ) < ∞ y φ : V →V unatransformaci´on lineal. Convencerse del siguiente “diccionario”:Pares ( V, φ) k[x]-modulos

ψ = αφα − 1 (V, φ)∼= (V, ψ) (iso en k[x]mod)

Existe una base en la que la matriz deφ se parte en dos bloques

(V, φ) se descompone en suma directade dos k[x]-submodulos

No existe ninguna base en la que φ seescriba en bloques

(V, φ) es un k[x]-modulo indescompo-nible, luego cıclico (por que?)

2. Teorema chino del resto . Sea A un anillo conmutativo, a1, . . . , a n elementos deA. Llamemos bi = a1.a2 . . . a i . . . a n y supongamos que 1 = n

i=1 t i .bi para ciertoselementos t i . Sea I = a1.a2 . . . a n .A, I i = a i .A. I ⊆I i luego A/I i es un A/I -modulopara todo i = 1 , . . . , n . Demuestre que A/I ∼= ⊕A/I i .

3. Escribir el Teorema chino del resto en el caso A = Z .




4. Sea (V, φ) un k[x]-modulo indescomponible, luego cıclico (¿porque?), ( V, φ)∼= k[x]/ p .

Si escribimos a p = qα 11 . . . q

α ss con los qi irreducibles y sin repeticiones, considerara i = qα i

i . Ver que se esta en las condiciones del teorema chino del resto (sugeren-cia: usar argumentos de divisibilidad) Concluir (a partir del teorema chino del resto)que existe una base de V en la que φ se escribe en n bloques, cada uno de elloscorrespondiene a un k[x] submodulo isomorfo a k[x]/ a i .

5. Sea T : Q3 →Q3 la transformaci´on lineal denida por la matriz −1 −2 6

−1 0 3

−1 −1 4,

considerar a Q 3 como Q[x]-modulo a traves de T , hallar su descomposici´on en suman-dos directos indescomponibles.

6. Calcular ( Z⊕

Z)/H donde H = {(x, y)∈Z⊕

Z tales que 3 x + 6 y = 0}(sugerencia:calcular una base de H que sea “m ultiplo” de alguna base de Z

⊕Z).

7. Hallar una base de Z⊕

Z⊕

Z que permita calcular ( Z⊕

Z⊕

Z)/H donde H = {(x,y,z )∈Z⊕

Z⊕

Z tales que 3 x +6 y+2 z = 0, y 2 x−4y = 0}. Calcule ( Z⊕

Z⊕

Z)/H . Encuentre“a ojo” alg un morsmo de grupos con dominio Z

⊕Z⊕

Z y nucleo H .

8. Listar las clases de isomorsmo de los grupos abelianos de orden 16, 18, 20, 189.

9. Caracterizar a todos los grupos abelianos G en cada una de las siguientes situaciones:

• todo elemento no nulo tiene orden primo.

• todo subgrupo propio es de orden primo.

• |G| = 36, G no tiene elementos de orden 4 y G tiene dos elementos de orden 3.

10. Sea k un cuerpo nito, considerar el grupo abeliano G = ( k −0, .), es decir, el grupomultiplicativo de los elementos no nulos de k. Demostrar que G es cıclico. Para estose sugieren las siguientes cosas:

(a) ver que el subgrupo aditivo generado por el 1 es un subcuerpo, necesariamenteisomorfo a Z p para alg un n umero primo p y conlcuir que |k| = pn para alg un n.

(b) Considerar el grupo abeliano G = ( k −{0}, .), usar el teorema de estructura dartodas las posibilidades de G. A traves de la traducci´ on de la notaci on aditivaa la multiplicativa, relacione la cantidad de ceros que pueden tener en k lospolinomios, y los ordenes de los elementos de G.




6.6 Formas de JordanSea k un cuerpo algebraicamente cerrado y sea ( V, φ) un k[x]-modulo. Sabiendo

que los polinomios irreducibles son todos de la forma (x −λ), a partir del teore-ma chino del resto en el contexto de polinomios (ejercicio 4 mas arriba) se puedefacilmente demostrar que existe una base en la que φ se escribe en bloques de Jordan,

es decir, en bloques de la forma

λ 0 0 . . . 0 01 λ 0 . . . 0 00 1 λ . . . . .0 0 1 . .

.

.

.... . . . . . . λ 0

0 0 . . . . . . 1 λ

. En efecto, esto se consigue

calculando en k[x]/ (x −λ)n la matriz del endomorsmo “multiplicar por x” en labase

{1, (x

−λ), (x

−λ)2, . . . , (x

−λ)n − 1

}.

Ejercicios:

1. Exhibir un ejemplo de matrices de dos por dos tales que sus polinomios caracterısticoscoincidan, pero que no sean conjugadas.

2. Hallar todos los C [x]-modulos M tales que dim C (M ) = 1 , 2, 3. Decir cuales de ellosson cıclicos, indescomponibles, simples, suma de simples o suma de indescomponibles.

3. Hallar todos los R [x]-modulos M tales que dim R (M ) = 1 , 2, 3. Decir cuales de ellosson cıclicos, indescomponibles, simples, suma de simples o suma de indescomponibles.

4. Deducir de la forma normal de Jordan que si A∈Cn× n

entonces A = D + N dondeD es diagonalizable, N nilpotente, y DN = ND .



7

Producto tensorial

7.1 Existencia y unicidad del producto tensorialEl producto tensorial de m´odulos es una construcci on que permite “linealizar”

funciones bilineales (o multilineales), m as precisamente, dados dos A-modulos M A yAN y un grupo abeliano P , consideramos las funciones φ : M ×N →P tales que:

• φ es lineal en la primera variable: φ(m + m , n) = φ(m, n ) + φ(m , n) para todom, m ∈M , n∈N .

• φ es lineal en la segunda variable: φ(m, n + n ) = φ(m, n ) + φ(m, n ) para todom∈M , n, n ∈N .

• φ es A-balanceada: φ(ma,n ) = φ(m,an ) para todo a∈A, m∈M y n∈N .

Una tal funci on se llamara bilineal A-balanceada .

Los ejemplos basicos de este tipo de funciones son:

1. M = N = P = A, φ(a, b) = ab (producto en el anillo).

2. M = A1× n , N = An × 1, P = A, φ((a1, . . . , a n ), (b1, . . . , bn )) = ni=1 a ibi .

3. M = N = C (X ) donde X es una subvariedad compacta de R n y P = R ,φ(f, g ) = X f.g .

4. N un A-modulo a izquierda, M = N ∗, φ(f, m ) = f (m).

145




5. Como subejemplo del anterior, si k es un anillo cualquiera y N = k[x], tomamos

M = kN0 y en este caso φ({an}, p) =gr ( p)i=0 λ ix i =

gr ( p)i=1 a i .λ i es bilineal, A-

balanceada.

El objetivo al construir el producto tensorial M ⊗A N es encontrar un objeto detipo universal tal que sea lo mismo tener una función φ : M ×N →P bilineal A-balanceada que una función lineal φ : M ⊗A N →P , es decir, que se busca un objetoM ⊗A N que verique

Bil A(M ×N, P )∼= HomZ (M ⊗A N, P )

donde Bil A(M ×N, P ) denota precisamente a las funciones bilineales A-balanceadas

de M ×N en P .Nos proponemos entonces mostrar que tal objeto existe y es único salvo isomor-smos de grupos abelianos.

Proposici´ on 7.1.1. Dados un A-m´ odulo a derecha M A y un A-m´ odulo a izquierda AN , existe un grupo abeliano T y una funci´ on τ : M ×N →T con las siguientespropiedades:

• τ es bilineal y A-balanceada.

• Si P es un grupo abeliano cualquiera y φ : M ×N →P es una funci´ on bilineal A-balanceada, entonces existe un ´ unico morsmo de grupos φ : T

→P tal que

φ = φτ , es decir, se completa el siguiente diagrama en forma conmutativa:

M ×N τ

φ / /P

T

φ ; ; v

v v

v v

• Si (T , τ ) es un par con la misma propiedad, entonces T ∼= T (isomorsmo degrupos abelianos).

Demostraci´ on: Existencia. Construimos el objeto ( T, τ ) de la siguiente manera:Sea F = Z (M × N ) el Z -modulo libre con base el conjunto M ×N y sea K el subgrupo

generado por los elementos de la forma

(m + m , n) −(m, n ) −(m , n) ; (m, n + n ) −(m, n ) −(m, n ) ; (ma,n ) −(m,an )

donde m, m ∈M , n, n ∈N y a∈A.




Denimos T := F/K y denotamos por m⊗n a la clase de (m, n ) en T . Denimos

τ : M ×N →T como τ (m, n ) = m⊗n. Es claro, a partir de c omo se denio K , queτ es bilineal y A-balanceada, veamos que τ verica ademas las otras propiedades:Sea P un grupo abeliano y φ : M ×N →P una funci on bilineal A-balanceada.

Como F es libre con base M ×N , existe un unico morsmo de Z-modulos h : F →P (propiedad universal de la base) tal que el siguiente diagrama de lıneas llenas conmuta:

M ×N φ

/ /

i

P

F

h ; ; v v v v v v v v v v

π

F/K

φ

D D Ù Ù

Ù Ù

Ù Ù

Ù Ù

Como φ es bilineal y balanceada entonces φ se anula en K , por lo tanto induce unaecha φ denida sobre el cociente, que verica φ = φπi = φτ . Notar que φ quedaunıvocamente determinada.

Unicidad. Sea (T , τ ) un objeto con las mismas propiedades de ( T, τ ). Consideremosel siguiente diagrama

M

×N

τ

τ / /T

τ { { v v v v v

T

τ ; ; v v v v v

Como (T, τ ) tiene la propiedad demostrada anteriormente, existe un ´ unico morsmode grupos τ : T →T tal que τ τ = τ . Analogamente, existe un unico morsmo degrupos τ : T →T tal que ττ = τ . Luego se tiene el siguiente diagrama conmutativo

M ×N τ

τ / /T

T

τ τ ; ; v

v v

v v Id T

; ; v v

v v

v

Por unicidad, tenemos entonces que τ τ = IdT , analogamente se demuestra que τ τ =IdT .

Notaci´ on: el grupo abeliano T se llama producto tensorial sobre A de M con N y se nota M ⊗A N .




Observamos que M ⊗A N es un grupo abeliano con un conjunto de generadores

{m⊗n}(m,n )∈M × N que verican las relaciones(m + m )⊗n = m⊗n + m ⊗nm⊗(n + n ) = m⊗n + m⊗n

ma⊗n = m⊗an

Notar que no todo elemento de M ⊗A N es necesariamente de la forma m⊗n paraalgun m ∈M y n ∈N , sino en general una combinaci on lineal nita de ellos concoecientes en Z ; los elementos de M ⊗A N de la forma m⊗n se denominan tensoreselementales . Ademas, dado un elemento de M ⊗A N , su escritura en terminos detensores elementales no es necesariamente unica (por ejemplo x

⊗

y+ x

⊗

y = ( x+ x )

⊗

y!).Observaci´ on: Para todo x∈M , x⊗0 = 0, y an alogamente 0⊗y = 0 para todoy∈N . Veremos incluso que puede suceder x⊗y = 0 sin que x sea cero ni que y seacero, ya que por ejemplo M ⊗A N puede ser cero sin que M ni N lo sean (ver porejemplo el caso M = Z n , N = Q / Z , A = Z , descripto m as adelante). Un ejemploconcreto es tomar un anillo A en donde exista un elemento x tal que x2 = 0 sin que xsea cero, tomamos M = N = A, y es claro que x⊗x = 1 .x⊗x = 1⊗x2 = 1⊗0 = 0.

Ejemplos:

1. Z n

⊗

Z Z

∼

= Zn mediante la aplicaci on x

⊗

y

→xy, con inversa x

→x

⊗

1.Observar que la buena denici on de esta aplicaci on se sigue de la propiedaduniversal del producto tensorial aplicada a la funci´ on bilineal Z-balanceadaZ n ×Z →Z n dada por ( x, y) →xy.

2. Z n⊗Z Q = 0, porque Z n⊗Z Q est a generado por elementos de la forma x⊗ab

con x,a,b∈Z , b = 0, pero x⊗ab = x⊗n a

nb = x.n⊗a

nb = 0⊗a

nb = 0.

3. Con la misma demostraci on que el ejemplo 1, tenemos que M ⊗A A ∼= M (isomorsmo de grupos abelianos) bajo la aplicaci on que proviene de (m, a ) →m.a , que tiene inversa m →m⊗1.

4. k[x]⊗k k[y]∼= k[x, y] mediante la aplicaci on p(x)⊗q(y) →p(x)q(y). Ejercicio:

calcular la inversa de esta aplicaci on; notar que en este ejemplo se ve claramenteque no todo elemento del producto tensorial es un tensor elemental, si no,todo polinomio en dos variables serıa un producto de dos polinomios, uno quedepende de x y otro que depende de y. Sin embargo sı es cierto que todopolinomio es una suma de polinomios a “variables separadas”.




5. El ejemplo 2 puede generalizarse de la siguiente manera: si M es un A-modulo

de torsi on y N es un A-modulo divisible, entonces M ⊗A N = 0. Un ejemplode este tipo es Z p∞

⊗Z Z p∞ = 0.

6. Dados m y n naturales, Z n ⊗Z Zm = Z (m ;n ) donde (m; n) denota el m aximocomun divisor, en particular, si ( m; n) = 1 tenemos que Z n⊗Z Z m = 0.

Observaci´ on: dados M A y AN , dos A-modulos, y M ⊆M , N ⊆N dos A-submodulos, se puede considerar M ⊗A N y M ⊗A N , mas aun, se tiene un morsmode grupos abelianos inducido por las inclusiones M ⊗A N →M ⊗A N , pero estemorsmo no siempre es inyectivo.

Ejemplo: Sean A = Z , N = M = Z 2, N = M = Q / Z , viendo Z 2 como subgrupode Q / Z bajo la inyeccion 1 →12 . Sabemos que Z 2⊗Z Z2∼= Z2, por otro lado, Q / Z es

divisible y de torsion simult aneamente, por lo tanto Q / Z⊗Z Q / Z = 0, luego ningunaaplicacion Z2⊗Z Z2 →Q / Z

⊗Z Q / Z puede ser inyectiva.

Observaci´ on: Si A es un anillo, queda denido otro anillo Aop, cuyos elementosson los mismos que los de A, con operacion suma tambien igual a la de A, pero conproducto denido por a.opb := ba.

Se verica sin dicultad (vericarlo!) que Aop resulta un anillo (con el mismo 1).Es claro que si A es conmutativo, A = Aop, tambien si M es un A-modulo a derecha,entonces es un Aop-modulo a izquierda (deniendo a.m := ma ) y viceversa.

Proposici´ on 7.1.2. Si M es un A-m´ odulo a derecha y N es un A-m´ odulo a izquier-da, entonces, con las estructuras de Aop-m´ odulo comentadas anteriormente:

M ⊗A N ∼= N ⊗Aop M m⊗n →n⊗m

Demostraci´ on: Basta vericar que la funci on f : M ×N →N ⊗Aop M denida porf (m, n ) = n⊗m es bilineal y A-balanceada; an alogamente la funci on g : N ×M →M ⊗A N denida por g(n, m ) = m⊗n es bilineal y Aop-balanceada. Una vez hechaesta vericacion, es claro que f y g inducen isomorsmos, uno el inverso del otro.

Ejemplos:1. Sea G un grupo y M un G-modulo a izquierda. Consideremos a Z como G-moduloa derecha trivial, i.e. n.g = n para todo n∈Z y g∈G, entonces

Z⊗Z [G] M ∼=

M m −g(m) : m∈M, g∈G




2. Sean V y W dos k-espacios vectoriales. La funcion

V ∗×W →Homk(V, W )(φ, w) →φ(−).w

donde φ(−).w aplicada a un vector v no es otra cosa que φ(v).w, es bilineal yk-balanceada, por lo tanto induce un morsmo de grupos abelianos V ∗⊗k W →Homk(V, W ). La imagen de φ⊗w es φ(−)w, que es una transformaci on lineal cuyaimagen tiene dimensi on 1 (siendo por ejemplo {w}una base de la imagen). Vemosde esta manera dos cosas, en primer lugar, que la imagen de F consiste en las trans-formaciones lineales cuya imagen es un subespacio de W de dimension nita, por lo

tanto, si V y W tienen dimensi on innita entonces F no puede ser suryectiva. Porotro lado, vemos nuevamente que no todo elemento de V ∗⊗k W es un tensor ele-mental, pues es claro que no toda transformación lineal de V en W tiene imagen dedimension 1.

Si bien, dados M A y AN , M ⊗A N es solo un grupo abeliano, en ciertos casos,este objeto tiene m as estructura. En el ejemplo precedente, V ∗⊗k W resulta un k-espacio vectorial, como segundo ejemplo vimos que M ⊗A A∼= M y A⊗A N ∼= N como grupos abelianos, veremos ahora como caso particular que M ⊗A A tiene unaestructura natural de A-modulo a derecha (A⊗A N tiene una estructura natural deA-modulo a izquierda) y que los isomorsmos anteriores son de hecho isomorsmos

de A-modulos.Proposici´ on 7.1.3. Sean A, B , C tres anillos, AM B y B N C dos bim´ odulos, entoncesM ⊗B N es naturalmente un A-C -bim´ odulo.

Demostraci´ on: La estructura de A-C -bimodulo queda determinada por la fórmula

a(m⊗n)c := ( am )⊗(nc)

y extendida por Z-linealidad en M ⊗B N . Es claro que esta aplicacion esta biendenida porque jados a y c, la aplicacion M

×N

→M

⊗

B N denida por (m, n )

→(am )⊗(nc) es bilineal B-balanceada. Se verica sin dicultad que la función

A ×M ⊗B N ×C →M ⊗B N (a, m⊗n, c) →(am )⊗(nc)

da la estructura de A-C -bimodulo buscada.




Ademas, dados morsmos A-lineales f : M →M y g : N →N , la aplicacion

M ×N →M ⊗A N (m, n ) →f (m)⊗g(n)

es bilineal y A-balanceada, luego determina un ´unico morsmo de grupos abelianos,que llamamos f ⊗g, caracterizado por la igualdad ( f ⊗g)(m⊗n) = f (m)⊗g(n).Ejemplos: Ver que los isomorsmos de grupos abelianos son de A-C -bimodulos paracada A y C convenientemente se nalado:

1. Si M es un A-modulo a derecha, entonces M ⊗A A∼= M , isomorsmo de Z-A-bimodulos (idem con A⊗A N ∼= N ).

2. Si M es un A-modulo a derecha y N un A modulo a izquierda, se consideraentonces a M como un Z (A)-A-bimodulo y a N como un A-Z (A)-bimodulo,entonces M ⊗A N es un Z (A)-bimodulo y M ⊗A N ∼= N ⊗Aop M es un isomorsmode Z (A)-bimodulos. Tambien M ⊗Z (A) N ∼= N ⊗Z (A) M como Z (A)-bimodulos.

3. El morsmo de grupos F : V ∗⊗k W →Homk(V, W ) descripto en el ejemploanterior a la proposici on es una transformaci on k-lineal.

4. Dado un anillo A cualquiera y para cada par de n´umeros naturales r , s, el conjunto Ar × s , con la suma y multiplicaci on usual de matrices tiene una estructurade M r (A) := Ar × r -modulo a izquierda y de M s (A)-modulo a derecha. En par-

ticular, An × 1

es un M n (A)-A-bimodulo y A1× n

es un A-M n (A)-bimodulo, y setienen los siguientes isomorsmos:

(a) An × 1⊗A A1× n

∼= An × n como M n (A)-M n (A)-bimodulo.(b) A1× n

⊗M n (A) An × 1∼= A como A-A-bimodulo.

(c) En general, An × r⊗M r (A) Ar × s

∼= An × s como M n (A)-M s (A)-bimodulo.

5. Si A es un anillo conmutativo y L es un A-modulo libre nitamente generado,M un A-modulo cualquiera, entonces L∗⊗A M ∼= HomA(L, M ).

7.2 Funtorialidad de ⊗Dado un bim odulo AM B , se pueden denir dos funtores asociados a M :

−⊗A M : C ModA →C ModB M ⊗B −: B ModC →AModC

X →X ⊗A M Z →M ⊗B Z f →f ⊗IdM g →IdM ⊗g




Como primer ejemplo, si M = A, el funtor A⊗A −es isomorfo al funtor identidad,

es decir, para todo A-modulo X , A⊗A X ∼= X como A-modulo a izquierda. En caso deser X un A-B-bimodulo, entonces el isomorsmo precedente es tambien isomorsmo

de A-B-bimodulos.Como segundo ejemplo, si A es un anillo conmutativo y S es un subconjunto

multiplicativo de A, entonces AS ⊗−es isomorfo al funtor localizacion, es decir, paratodo A-modulo M , se tiene un isomorsmo

AS ⊗M ∼= M S as⊗

m →ams

con inverso ams →1

s⊗am .Como tercer ejemplo, si V es un R -espacio vectorial, podemos considerar su com-

plexicacion: V ⊕i.V , que tiene una estructura obvia de C -espacio vectorial (de-niendo, para a + bi∈C , v + iw∈V ⊕i.V , (a + bi)(v + iw) := av −bw+ i(bv+ aw)).Por otro lado, C es un C-R-bimodulo, y esta entonces denido el funtor C

⊗R −, quees isomorfo a la complexicacion:

C⊗R V ∼= V ⊕i.V

(a + bi)⊗v →av + ibv

Mas generalmente, todo morsmo de anillos f : A →B provee a B de una estructurade A-modulo, tanto a izquierda como a derecha, deniendo a.b := f (a)b (idem parab.a), por lo tanto podemos considerar los funtores B ⊗A − : AMod →B Mod, y

−⊗A B : ModA →ModB . Estos funtores se denominan extensi´ on de escalares . SiM es un A-modulo, B⊗A M se llama el B-modulo extendido o inducido.

Enunciamos y demostramos algunas de las propiedades del funtor M ⊗A −:

Proposici´ on 7.2.1. Dado un A-m´ odulo derecha M , el funtor M ⊗A −preserva epi-morsmos.

Demostraci´ on: Sea f : N →N un epimorsmo de A-modulos a izquierda, entoncesId⊗f : M ⊗A N →M ⊗A N es un epimorsmo pues todos los tensores elementales deM ⊗A N est an en la imagen Id⊗f , y M ⊗A N est a generado por tensores elementales.

Observaci´ on: El funtor M ⊗A −no siempre preserva monomorsmos. Para ver estoexhibimos un contraejemplo:




Sea f : Z2 →Z4 denido por f (1) = 2. Consideramos el funtor Z 2⊗−, y tenemos

las siguientes identicaciones:

Z2⊗Z Z 2Id⊗f

/ /Z2⊗Z Z4

Z2g

/ /Z 2

Para calcular g, seguimos al elemento 1 bajo estas identicaciones. Llamemos µ :Z2⊗Z Z4 →Z2 al isomorsmo a⊗b →ab. Obtenemos entonces

g(1) = µ((id

⊗

f )(1

⊗

1)) = µ(1

⊗

2) = 2 = 0

Esto dice que Id⊗f = 0, que dista de ser monomorsmo. Sin embargo, se tiene lasiguiente propiedad de exactitud a derecha:

Proposici´ on 7.2.2. Sea N 1 →f N 2 →g N 3 →0 una sucesi´ on exacta de A-m´ odulosa izquierda, entonces, para cualquier A-m´ odulo a derecha M la sucesi´ on de gruposabelianos

M ⊗A N 1Id⊗f

/ /M ⊗A N 2Id⊗g

/ /M ⊗A N 3 / /0

es exacta.

Demostraci´ on: Ya vimos que Id⊗g es un epimorsmo, tambien es claro que ( Id⊗g) ◦ (Id⊗f ) = 0 pues ( Id⊗g) ◦ (Id⊗f )(m⊗n) = m⊗g(f (n)) = m⊗0 = 0, luegoIm(Id⊗f )⊆Ker( Id⊗g). Falta ver que Ker( Id⊗g)⊆Im(Id⊗f ).

Sea i m i⊗n i∈M ⊗N 2 tal que i m i⊗g(n i) = 0, esto no permite armar quecada g(n i) = 0!. Sin embargo, podemos considerar M ⊗A N 2/ Im(Id⊗f ) = M ⊗A

N 2/ m⊗f (n) y denimos φ : M ×N 3 →M ⊗A N 2/ Im(Id⊗f ) por φ(m, x ) := m⊗xdonde x ∈N 2 es un elemento tal que g(x ) = x (recordar que g es epimorsmo). φest a bien denida porque si x es otro elemento de N 2 tal que g(x ) = x, entoncesx

−x

∈

Ker(g) = Im( f ), esto dice que existe y

∈

N 1 tal que x

−x = f (y) y por

lo tanto

m⊗x = m⊗x + m⊗f (y) = m⊗x + m⊗(x −x ) = m⊗x

Ahora que sabemos que est a bien denida, es claro que φ es bilineal y A-balanceada,luego dene un morsmo de grupos abelianos φ : M ⊗N 3 →M ⊗A N 2

Im( Id⊗f ) que verica, por




construcci on, que φ(m⊗g(x )) = m⊗x , es decir, que φ◦(Id⊗g) = Id M ⊗A N 2Im( Id ⊗ f )

. Si ahora

w∈Ker( Id⊗g), entonces w∈Im(Id⊗f ) si y solo si w = 0 en M ⊗A N 2/ Im(Id⊗f ). Pero usando que φ ◦ (Id⊗g) = Id M ⊗A N 2

Im( Id ⊗ f )tenemos que w = φ(Id⊗g(w)) =

φ((Id⊗g)(w)) = φ(0) = 0 como querıamos ver.

La proposicion anterior puede generalizarse de la siguiente manera:

Proposici´ on 7.2.3. Dadas una sucesi´ on exacta de A-m´ odulos a derecha

N 1 →f N 2 →g N 3 →0

y una sucesi´ on exacta de A-m´ odulos a izquierda

M 1 →h M 2 →k M 3 →0

entonces la siguiente es una sucesi´ on exacta de grupos abelianos

Im(f )⊗A M 2 + N 2⊗A Im(h)γ

/ /N 2⊗A M 2g⊗k

/ /N 3⊗A M 3 / /0

Demostraci´ on: es analoga al caso anterior, se deja como ejercicio (tambien quedacomo ejercicio ver la denicion del morsmo γ ).

Observaci´ on: Supongamos ahora que dada una sucesi´on exacta de A-modulos aizquierda N 1 →f N 2 →g N 3 →0 sabemos que para todo A-modulo a derecha M ,

la sucesion correspondiente M ⊗A N 1 →M ⊗

A N 2 →M ⊗A N 3 →0 es exacta. Enparticular, tomando M = A, la sucesion de grupos abelianos A⊗A N 1 →A⊗A N 2 →A⊗A N 3 →0 es exacta; pero sabemos que A⊗A N i∼= N i como A-modulos a izquierda,

y bajo esta identicaci on Id⊗f se corresponde con f (resp. g), luego la sucesionoriginal es exacta.

Hay otra manera de demostrar estas propiedades de exactitud, que provienen de larelacion entre el funtor producto tensorial y el Hom, que es lo que se llama adjunci´ on ,que veremos en la seccion que viene. Esta propiedad tiene adem´as la ventaja de poderver rapidamente la relaci on del funtor⊗con otras operaciones como la suma directa.

7.3 Adjunci´ on entre ⊗y HomTeorema 7.3.1. Sean A, B y C tres anillos y AX B , B Y C y AZ C tres bim´ odulos. Setiene un isomorsmo de C -m´ odulos a derecha:

HomA(X ⊗B Y, Z )∼= HomB (Y, HomA(X, Z ))




y un isomorsmo de A-m´ odulos a izquierda:

HomC (X ⊗B Y, Z )∼= HomB (X, HomC (Y, Z ))

Demostraci´ on: es sencilla, pero larga, con una cantidad considerable de verica-ciones de caracter elemental. Daremos entonces las deniciones de los morsmosrelevantes en el primer isomorsmo y dejaremos tanto las vericaciones como lasdeniciones del segundo isomorsmo como ejercicio.

Sea g : X ⊗B Y →Z un morsmo de A-modulos, entonces, para cada y∈Y , laaplicacion x →g(x⊗y) es un morsmo de A-modulos de X en Z , por lo tanto setiene denida una aplicación

φ : HomA(X ⊗B Y, Z ) →HomB (Y, HomA(X, Z ))

g →(x →g(x⊗−))donde, g(x⊗−)) indica el morsmo y →g(x⊗y).

Recıprocamente, si f : Y →HomA(X, Z ), la formula f (y)(x) depende linealmentetanto de y como de x, luego dene una funcion bilineal (x, y) →f (y)(x). Estaaplicacion tambien verica (ejercicio) f (by)(x) = f (y)(xb), es decir es B-balanceaday por lo tanto dene un unico morsmo de grupos con dominio el producto tensorialX ⊗B Y . Sigue como ejercicio la vericacion de que esta aplicaci on es A-lineal,quedando entonces denida una función

ψ : HomB (Y, HomA(X, Z )) →HomA(X ⊗B Y, Z )f →((x⊗y) →f (y)(x))

Finalmente, queda como ejercicio ver que φ y ψ son uno el inverso del otro, y queademas son C -lineales a derecha.

El segundo isomorsmo es completamente an alogo.

Ejemplo: Sea A un anillo conmutativo, L un A-modulo libre nitamente generado,entonces (ejemplo precedente) L∗⊗A M ∗∼= HomA(L, M ∗), y a su vez

HomA(L, M ∗) = Hom A(L, HomA(M, A))∼= HomA(M

⊗

A L, A) = ( M

⊗

A L)∗.

A partir del teorema de adjunción, se obtiene una bonita demostración de laasociatividad del producto tensorial:

Corolario 7.3.2. Sean A, B , C , D cuatro anillos y AM B , B N C , C P D tres bim´ odulos,entonces se tiene un isomorsmo de A-D-bim´ odulos (M ⊗B N )⊗C P ∼= M ⊗B (N ⊗C P ).




Demostraci´ on: utilizaremos el hecho de que si se tienen dos A-D-bimodulos X e

Y tales que para todo A-modulo Z , HomA(X, Z )∼= HomA(Y, Z ) (isomorsmo de D-modulos a derecha), entonces X ∼= Y (dejamos la demostración de este hecho comoejercicio).

Dado ahora un A-modulo cualquiera Z , por la adjunci on tenemos los siguientesisomorsmos:

HomA((M ⊗B N )⊗C P, Z ) ∼= HomC (P, HomA(M ⊗B N, Z ))∼= HomC (P, HomB (N, HomA(M, Z )))∼= HomB (N ⊗C P, HomA(M, Z ))∼= HomA(M ⊗B (N ⊗C P ), Z )

A continuaci on, estudiaremos el comportamiento del producto tensorial con res-pecto a la suma directa.

Proposici´ on 7.3.3. Sea {M i}i∈I una familia de A-m´ odulos a izquierda y B X A un B-A-bim´ odulo, entonces X ⊗A (⊕i∈I M i)∼= ⊕i∈I (X ⊗A M i), isomorsmo de B-m´ odulos.

Demostraci´ on: Utilizamos la propiedad universal de la suma directa. Recordamosque ⊕i∈I M i es una suma directa de la familia {M i}i∈I si y solo si para todo i ∈I existen morsmos j i : M i →⊕r∈I M r tales que todo morsmo con dominio en ⊕i∈I M iqueda denido a partir de sus restricciones a cada M i , es decir, que la echa natural

HomA(⊕i∈I M i , X )∼= i∈I

HomA(M i , X )

f → {f |M i }i∈I

donde f |M i denota f ◦ j i : M i →X , es una biyeccion.Utilizando ahora la adjunción del producto tensorial, tenemos los siguientes iso-

morsmos:

HomB (X ⊗A (⊕i∈I M i), Z ) ∼= HomA(⊕i∈I M i , HomB (X, Z ))∼= i∈I HomA(M i , HomB (X, Z ))∼= i∈I HomB (X ⊗A M i , Z )

Esto dice que la aplicaci on HomB (X ⊗A (⊕i∈I M i), Z ) → i∈I HomB (X ⊗A M i , Z ) esuna biyeccion, por lo tanto X ⊗A (⊕i∈I M i) verica la propiedad universal de la sumadirecta.

Un corolario de la relacion del producto tensorial con la suma directa es su relacióncon los modulos libres:




Corolario 7.3.4. Sea M un A-m´ odulo, entonces A(I )⊗A M ∼= M (I ) . En particular,

A(I )

⊗A(J )

∼= A(I × J )

.Sin embargo, el producto tensorial no conmuta en general con productos arbitra-

rios, es decir, que ( i M i)⊗A N en general es distinto a i(M i⊗A N ). Por supuesto,si el producto es nito, es cierto; exhibimos un contraejemplo:

Sea A = k un cuerpo, consideremos N = k(N) y M = N ∗∼= kN . Se tieneun morsmo natural N ∗⊗k N →Homk(k(N) , k(N)) dado por (φ⊗v)(w) := φ(w)vdonde v, w ∈k(N) y φ∈k(N)

∗

. Si el producto tensorial conmutara con productos

arbitrarios, tendrıamos que kN⊗k(N)

∼= k(N)N

, es decir, las funciones de N en

k(N)

. Como k(N)

es libre con base N, tener una funci on de N en k(N)

es lo mismo quetener un morsmo k-lineal de k(N) en k(N) , es decir un endomorsmo. Pero sabemosque no todo endomorsmo de k(N) proviene de k(N)

∗

⊗k(N) , justamente la imagen

de k(N)∗

⊗k(N) en Homk(k(N) , k(N)) consiste de las transformaciones lineales cuyaimagen tiene dimensi on nita. Una de las transformaciones lineales que no est a enesta imagen es por ejemplo la identidad.

7.4 M´odulos Playos

Vimos anteriormente que si 0 →X →Y →Z →0 es una sucesion exacta deA-modulos a izquierda y M es un A-modulo a derecha, entonces la correspondientesucesion M ⊗A X →M ⊗A Y →M ⊗A Z →0 es exacta, pero no es posible armar engeneral que el morsmo M ⊗A X →M ⊗A Y sea un monomorsmo. Hay sin embargocasos particulares en que esto sucede:

Proposici´ on 7.4.1. Sea 0 →X →f Y →g Z →0 una sucesi´ on exacta corta deA-m´ odulos a izquierda.

• Si P es un A-m´ odulo a derecha libre, o m´ as generalmente proyectivo, entonces0 →P ⊗A X →P ⊗A Y →P ⊗A Z →0 es exacta.

• Si la sucesi´ on exacta se parte, y M es un A-m´ odulo a derecha cualquiera, en-tonces la sucesi´ on 0 →P ⊗A X →P ⊗A Y →P ⊗A Z →0 se parte, y en particular es exacta.

Demostraci´ on: 1. Si P = A, vimos antes que la sucesion quedaba exacta puestoque esencialmente la sucesion tensorizada es la misma.




Si P = A(I ) utilizamos el hecho de que el producto tensorial conmuta con la suma

directa, y que la suma directa de sucesiones exactas es exacta.Si P es proyectivo, entonces es un sumando directo de un libre, consideremosentonces Q tal que P ⊕Q = L con L libre, entonces

0 / /L⊗A X / /L⊗A Y / /L⊗A Z / /0

0 / /(P ⊗A X )⊕(Q⊗A X ) / /(P ⊗A Y )⊕(Q⊗A Y ) / /(P ⊗A Z )⊕(Q⊗A Z ) / /0

P ⊗A X Id P ⊗f

/ /

O O

P ⊗A Y Id P ⊗g

/ /

O O

P ⊗A Z

O O

/ /0

Falta s olo ver que IdP ⊗f es monomorsmo, pero IdP ⊗f es la restriccion a (P ⊗A

X )⊕(Q⊗A X ) de IdL⊗f , que sabemos que es monomorsmo.La parte 2. se deja como ejercicio.

Ejemplo: Sea A un anillo y S ⊂Z (A) un subconjunto multiplicativamente cerrado,entonces el funtor AS ⊗A −es exacto, es decir, preserva monomorsmos.

Para demostrar esto identicamos el funtor AS ⊗A −con el funtor de localizacion(−)S . Consideremos entonces f : M →N un monomorsmo de A-modulos, queremosver que f S : M S →N S es un monomorsmo.

Sea ms ∈Ker( f S ), entonces f (m )

s = 0 en N S , esto signica que existe t∈S tal que

0.s = 0 = t.f (m) en N . Pero f es lineal, entonces f (t.m ) = 0, lo que implica quet.m = 0 en M pues f : M →N es monomorsmo. Ahora bien, si t.m = 0 con t∈S ,entonces m

s = tmts = 0 es M S , luego Ker(f S ) = 0 como querıamos ver.

Denici´ on 7.4.2. Un A m´ odulo a derecha M se dice playo si el funtor M ⊗A −esexacto.

La proposicion anterior dice que los modulos proyectivos son playos. De la demos-traci on de la proposicion tambien se ve que sumas directas y sumandos directos deplayos son playos. El ejemplo de la localizacion dice tambien que la clase de m odulosde playos puede ser estrictamente mas grande que la de los proyectivos. Por ejemplo,

si A = Z y S = Z − {0}, tenemos que AS = Q es Z-playo, pero no es Z -proyectivo.En general, si A es un dominio ıntegro y K es su cuerpo de fracciones, entonces K esA-playo.

Ejemplo: Sea f : A →B un morsmo de anillos y P un A-modulo a derecha. Si P esA-playo, entonces el modulo inducido P ⊗A B es B-playo. Esto es cierto pues el funtor(P ⊗A B)⊗B −aplicado a un B-modulo a izquierda M es P ⊗A B⊗B M ∼= P ⊗A M ,




donde M es igual a M , pero con la estructura de A-modulo dada por restricci on.

Luego (P ⊗A B)⊗

B − es isomorfo a la composicion de dos funtores, el primeroes la restriccion de escalares, que es obviamente exacto pues es la identidad en losmorsmos, y el otro es tensorizar sobre A con P que es exacto por hipotesis.

7.5 EjerciciosDenici´ on: si k es un anillo conmutativo con uno, una k-´ algebra unitaria A es un anillo

unitario A junto con un morsmo de anillos k → Z (A). En particular A es un k-bimodulosimetrico.

1. Algebra tensorial, simetrica y exterior : Sea k un anillo conmutativo y V un k-modulosimetrico. Se dene T (V ) = ⊕n ≥ 0V ⊗n en donde se conviene que V ⊗0 := k yV ⊗n +1 := V ⊗n

⊗V . Es obviamente un k-modulo, que resulta una k-algebra conla multiplicación dada por la yuxtaposici´ on (nombre: algebra tensorial). Sea I S elideal bil atero generado por los elementos de la forma v⊗w −w⊗v donde v, w∈V y sea I Λ el ideal bil atero generado por los elementos de la forma v⊗w + w⊗v. Sedene S (V ) := T (V )/I S y Λ(V ) = T (V )/I Λ, se llaman respectivamente el ´ algebrasimetrica y el álgebra exterior. Notaci on: a la clase m odulo I S de v1⊗...⊗vk se ladenotará v1...vk y a su clase m odulo I Λ se la denotará v1∧...∧vk . Ver que estas tresconstrucciones son funtoriales, que S (V ) es una k-algebra conmutativa y que si V esun k-modulo nitamente generado, entonces Λ( V ) es tambien nitamente generadocomo k-modulo. Probar adem´ as que si A es una k-algebra cualquiera, entonces

Homk (V, A)∼= Homk− alg (T (V ), A)

si adem as A es conmutativa, entonces

Homk (V, A)∼= Homk− alg (S (V ), A)

Si V es k-libre de base {x1,...,x n}demuestre que S (V )∼= k[x1,...,x n ].

2. Sea k un cuerpo y f : V

→V un endomorsmo de un espacio vectorial de dimensi´ on

nita, dim k (V ) = n. Ver que Λ(V ) = ⊕ni=0 Λi (V ) donde Λ i(V ) = Im( V ⊗i →Λ(V )).

Calcular la dimensión de cada Λ i (V ), ver en particualar que dim k (Λn (V )) = 1. Verque Λ(f ) : Λ(V ) →Λ(V ) (denido en el ejercicio anterior) se restringe para dar variastransformaciones lineales Λ i (f ) : Λi(V ) →Λi(V ). Como Λn (V ) tiene dimensión 1,Λn (f ) debe ser un m ultiplo de la identidad, demuestre que Λ n (f ) = det (f ).Id Λn (V ) .Deducir de lo anterior y de la funtorialidad de Λ n que det (g ◦ f ) = det (g).det (f ).




3. Sea S ⊂A un subconjunto multiplicativamente cerrado de un anillo conmutativo

A. Si M es un AS -modulo a derecha y N es un AS -modulo a izquierda (luego sontambien A-modulos), entonces M ⊗AS N = M ⊗A N .

4. Sea M un A-modulo a derecha de torsión y N un A-modulo a izquierda divisible,entonces M ⊗A N = 0. ¿Cuánto vale G p∞

⊗Z G p∞ ? Demuestre que el unico producto(distributivo con respecto a la suma) que se puede denir en G p∞ es x.y = 0 ∀x, y∈G p∞ .

5. Si (n; m) = 1 entonces Z n⊗Z Zm = 0.

6. Calcular Z pn⊗Z Z pm .

7. Sea M un A-modulo proyectivo, entonces AS ⊗

AM es un A

S -modulo proyectivo.

8. Sea A un anillo conmutativo, M y N dos A-modulos playos (resp. proyectivos),entonces M ⊗A N es un A-modulo playo (resp. proyectivo).

9. Sea G un grupo y M un Z[G]-modulo, es decir, un grupo abeliano con una acci´ on deG sobre el. Sea Z el Z[G]modulo denido por g.n = n ∀n∈Z , g∈G, entonces:

(a) Hom Z [G](Z , M )∼= {m∈M / g (m) = m∀g∈G}=: M G (los invariantes).

(b) Z⊗Z [G] M ∼= M/ m −g(m) : m∈M, g∈G =: M G (los coinvariantes) ( . . .

signica el generado como grupo abeliano).

(c) Deducir que (

−)G y (

−)G son dos funtores de Z[G]-modulos en grupos abelianos,

(−)G es exacto a izquierda y ( −)G es exacto a derecha.

10. Demuestre que Q no es Z-proyectivo.

11. Sea 0 →M →M →M →0 una sucesi on exacta de A-modulos.

(a) M y M playos entonces M es playo.

(b) M y M playos entonces M es playo.

(c) Dar un contraejemplo donde M y M sean playos, pero que M no lo sea.(sugerencia: M y M pueden incluso ser libres).

Nota: Este ejercicio no sale de manera obvia y directa, se sugiere ir en etapas,pidiendo hipótesis adicionales para poder demostrar primero versiones m´ as debiles delo que se pide y despues ver que con eso alcanza.

12. Sea A un dominio ıntegro,

(a) Probar que si M es un A-modulo playo, entonces M es sin torsi on.




(b) Encuentre un contraejemplo para la recıproca. Sugerencia: considerar A =

k[x, y ] donde k es un cuerpo, M el ideal de A generado por x e y que es eviden-temente sin torsi´ on y ver que M no es playo.(c) Sea K el cuerpo de fracciones de A, ver que si M es sin torsi on y divisible,

entonces admite una ´ unica estructura de K espacio vectorial compatible con laestructura de A-modulo original; concluir que M es A-playo.

13. Sean M y N dos A-modulos a izquierda. Ver que si M es A-proyectivo de tiponito, entonces la aplicaci´ on natural M ∗⊗A N →HomA(M, N ) es un isomorsmo(sugerencia: demostrar que si para un M dado es un isomorsmo entonces es tambienun isomorsmo para los M que sean sumandos directos de M y para los M = M n ,nalmente demostrar que para M = A es un isomorsmo).

14. Sea N un A-modulo tal que la aplicaci´on del ejercicio anterior N ∗⊗A N →End A(N )

es un isomorsmo, demostrar entonces que N es proyectivo de tipo nito (sugerencia:explotar el hecho de que la identidad de N est a en la imagen).

15. Sea AP un A-modulo a izquierda, AU B un A-B -bimodulo y B N un B -modulo aizquierda. Se dene el morsmo

φ : HomA(P, U )⊗B N →HomA(P, U ⊗B N )φ(f ⊗n)( p) = f ( p)⊗n

Vericar que est´a bien denido y que si P es proyectivo y nitamente generado enton-ces φ es un isomorsmo. Considerar el caso particular de una k-algebra A, U = P =

An

, B = k, C una k-algebra cualquiera, y concluir que M n (A)⊗k C ∼= M n (A⊗C ).

16. Sea A un anillo conmutativo, ver que si A(I )∼= A(J ) entonces el cardinal de I es igual

al cardinal de J (sug.: usar −⊗A A/ Mdonde Mes algun ideal maximal de A).

17. Sea k un anillo conmutativo y sea k −Algc la categorıa de k-algebras conmutativas(con morsmos los morsmos de anillos k-lineales). Si A y B son dos k-algebrasconmutativas, entonces A⊗k B tiene estructura de k-algebra deniendo ( a⊗b)(c⊗d) := ac⊗bd y extendiendo por linealidad (para esto no hace falta que sean anillosconmutativos). Demostrar que las aplicaciones iA : A →A⊗k B (a →a⊗1B ) yiB : B →A⊗k B (b →1A⊗b) hacen de A⊗k B el coproducto de A y B en lacategorıa k −Algc .

18. Sean V y W dos k-modulos simetricos, demuestre que S (V ⊕W )∼= S (V )⊗k S (W ),en particular k[x]⊗k k[y]∼= k[x, y].

19. Sea A una k-algebra conmutativa, M = A⊗k V donde V es un k-modulo. Demuestreque T A(M )∼= A⊗T k (V ), S A(M )∼= A⊗S k (V ) y ΛA(M )∼= A⊗Λk (V ), los isomorsmosson de k-algebras.



8

Teoremas de Morita

8.1 Equivalencias de categorıasEn este capıtulo estudiaremos las respuestas a la siguiente pregunta: ¿Cu´ ando

dos anillos A y B son tales que las categorıas de A-m´ odulos y de B-m´ odulos son equivalentes?

Esta informaci on resulta muy util ya que muchas de las propiedades de un anillono dependen de el sino de la categorıa de módulos asociada. Por ejemplo dos anillosA y B cuyas categorıas de módulos sean equivalentes vericar an Z (A) ∼= Z (B) yA/ [A, A]

∼

= B/ [B, B ].Los teoremas 8.2.4 y 8.2.5 responden completamente a la pregunta. Estos teoremas

fueron demostrados por Kiiti Morita en los años ’60, es por esta razon que los teoremassimilares demostrados posteriormente en otros contextos llevan el nombre de “teorematipo Morita”.

Comenzaremos discutiendo una situaci´ on generica:Sean A y B dos anillos, y supongamos que se tienen dos bim odulos AP B y B QA .

Estos inducen dos funtores

−⊗A P : ModA →ModB ; −⊗B Q : ModB →ModA

donde ModA (resp. ModB ) denota la categorıa de A-modulos (resp. B-modulos) aderecha. Estos dos funtores son siempre exactos a derecha y preservan sumas directas,pero en general no son equivalencias. Componiendolos, se obtienen funtores

ModA →ModA ModB →ModB

M →M ⊗A (P ⊗B Q) X →X ⊗B (Q⊗A P )

163




No hay ninguna raz on a priori que permita decir que M ∼= M ⊗A (P ⊗B Q) como

A-modulos (y resp. con los B-modulos).Hacemos entonces las siguientes suposiciones adicionales: P ⊗A Q ∼= B (iso-morsmo de B-bimodulos) y Q⊗B P ∼= A (isomorsmo de A-bimodulos), entoncesM ⊗A (P ⊗B Q)∼= M ⊗A A∼= M para todo A-modulo M y X ⊗B Q⊗A P ∼= X ⊗B B∼= X para todo B-modulo X . Esto dice que uno puede “ir de una categorıa a la otra” sinperder informaci on. Notar de cualquier manera que la composici on de −⊗A P con

− ⊗B Q no es el funtor identidad, sino naturalmente isomorfo a la identidad (verdenicion 9.3.2).

Ejemplo y ejercicio: Sea A un anillo cualquiera, n ∈N y B = M n (A). Lamultiplicaci on usual de matrices da una estructura de A-B-bimodulo a P := A1× n

y de B-A-bimodulo a Q := An × 1. Llamamos {e1, . . . , e n}a la base canonica de P como A-modulo a izquierda y {f 1, . . . , f n}a la base canonica de Q como A-modulo aderecha. Demuestre entonces que las aplicaciones determinadas por

P ⊗M n (A) Q →A Q⊗A P →M n (A)ei⊗f j →δij f i⊗e j →eij

(en donde eij es la matriz con un uno en la la i columna j y ceros en los demaslugares) est an bien denidas y son isomorsmos de bimodulos.

La siguiente denicion formaliza el concepto de categorıas equivalentes:

Denici´ on 8.1.1. Dos categorıas C, D se dir´ an equivalentes en caso de que existan funtores F : C →D y G : D →C tales que G ◦F ∼= IdC y F ◦G∼= IdD , donde “ ∼= ”signica “isomorsmo natural”. Los funtores F y G se llamar´ an equivalencias.

Las propiedades categ oricas conservadas por equivalencias pueden ser entendidas(o mejor dicho deducidas) en terminos de adjunciones, por lo que demostramos elsiguiente Lema:

Lema 8.1.2. Sea F : AMod →B Mod una equivalencia, con quasi-inverso G, enton-ces F es adjunto a derecha y a izquierda de G.

Demostraci´ on: En primer lugar, notamos que si M, N ∈Obj( C), entonces F induceuna biyeccion F : HomC(M, N )∼= HomD (F (M ), F (N )). Esto es una consecuenciade que G ◦F ∼= IdC y de que F ◦G∼= IdD , pues estas ultimas dos igualdades dicenque G ◦F : HomC(M, N )∼= HomC(GF (M ), GF (N )) para todo par de objetos de C,y su analogo para F ◦G en D .




Consideramos ahora M un A-modulo cualquiera y X un B-modulo cualquiera.

Sean F : AMod →B Mod y G : B Mod →AMod dos funtores que dan una equivalencia.Se tienen entonces los siguientes isomorsmos naturales:

HomA(M, G (X ))∼= HomB (F (M ), F (G(X ))∼= HomB (F (M ), X )

La naturalidad del último isomorsmo se debe a la naturalidad del isomorsmoF (G(X )) ∼= X . Esto demuestra que F es adjunto a izquierda de G, para ver queademas es adjunto a derecha, utilizamos que G tambien es una equivalencia, por lotanto se tienen isomorsmos naturales

HomB (F (M ), X )∼= HomA(G(F (M )) , G(X ))∼= HomA(M, G (X ))

donde el primer isomorsmo est a dado por aplicar el funtor G, y el segundo provienedel isomorsmo G(F (M ))∼= M .

Corolario 8.1.3. Sea F : AMod →B Mod una equivalencia, entonces F preserva su-mas directas, productos directos, n´ ucleos, con´ ucleos, monomorsmos, epimorsmos,objetos inyectivos y objetos proyectivos.

Demostraci´ on: Es consecuencia inmediata de los teoremas 9.3.4 y 9.3.5, v alidospara adjunciones en categorıas arbitrarias.

Corolario 8.1.4. Sea F : AMod →B Mod una equivalencia, entonces F preserva generaci´ on nita y cogeneraci´ on nita.

Demostraci´ on: Es consecuencia de la caracterizaci on dada en la Proposici on 4.3.1de la propiedad de ser nitamente generado, y de la denición misma de nitamentecogenerado (denicion 4.3.2). Veamos por ejemplo que conserva objetos nitamentegenerados:

Sea M un A-modulo nitamente generado y ( X i)i∈I una familia de B-modulos.Sea p :⊕i∈I X i →F (M ) un epimorsmo arbitrario de B-modulos, y llamemos G alfuntor quasi-inverso de F . Como G es una equivalencia, G preserva sumas directasy epimorsmos, entonces G( p) :⊕i∈I G(X i) →GF (M ) es un epimorsmo. ComoGF (M )∼= M es nitamente generado, entonces existe un subconjunto nito J ⊂I

tal que la restricci on a⊕i∈J G(X i) de G( p) sigue siendo suryectiva, aplicando ahora F obtenemos que la restricci on de p a⊕i∈J X i es sobreyectiva, concluimos entonces que

F (M ) cumple con la propiedad que caracteriza a los m odulos nitamente generados.

Dado que se trata de adjunciones entre categorıas de m´ odulos, en donde el Homes un grupo abeliano, se puede obtener una versión mas fuerte de los teoremas deadjunci on mencionados anteriormente:




Teorema 8.1.5. Sean A, B dos anillos, F : AMod →B Mod un funtor que admite

un adjunto a derecha G : B Mod →AMod. Entonces F es exacto a derecha y G esexacto a izquierda.

En particular, F preserva epimorsmos y G preserva monomorsmos, propiedadque ya conocıamos a partir del teorema anterior.

Para demostrar este teorema vamos a hacer uso del Lema 5.2.2, que es la traduc-cion en terminos del funtor Hom de la propiedad de exactitud.

Delineamos ahora la demostración del teorema de exactitud a derecha (resp. aizquierda) de funtores con adjunto a derecha (resp. a izquierda), dejamos los detallescomo ejercicio.

Consideremos (con las notaciones del teorema 8.1.5 una sucesi on exacta de A-modulos M →N →T →0. Por el lema 5.2.2, 0 →HomA(T, G(X )) →HomA(N, G (X )) →HomA(M, G (X )) es una sucesion exacta de grupos abelianos para cualquier B-moduloX . Utilizando ahora la naturalidad de la adjunci´ on obtenemos que 0 →HomB (F (T ), X ) →HomB (F (N ), X ) →HomB (F (M ), X ) es una sucesion exacta de grupos abelianospara todo B-modulo X . Concluimos entonces a partir de lema anterior 5.2.2 queF (M ) →F (N ) →F (T ) →0 es una sucesion exacta de B-modulos. La exactitud aizquierda de G es analoga (o mejor dicho dual).

Observaci´ on: El enunciado anterior sigue siendo v alido para funtores adjuntos entrecategorıas aditivas.

Corolario 8.1.6. Sea F : AMod →B Mod una equivalencia, entonces F es un funtor exacto.

Ejemplo: Sean AP B , B QA dos bimodulos tales que P ⊗B Q ∼= A y Q⊗B P ∼=B. Consideremos las equivalencias F = Q⊗A − : AMod →B Mod y G = P ⊗B

− : B Mod →AMod. Entonces Q ∼= F (A) como B-modulo a izquierda, luego Qes B-proyectivo, P = G(B) como A-modulo a izquierda, luego P es A-proyectivo.Considerando las equivalencias entre categorıas de m´ odulos a derecha − ⊗A P y

−⊗B Q tenemos tambien que Q es A-proyectivo a derecha y P es B proyectivo a

derecha. Tenemos ası que la proyectividad de P y Q con respecto a sus dos estructurases condicion necesaria para que estos funtores induzcan una equivalencia.

Enumeramos, a continuación, algunas de las propiedades que son preservadas porequivalencias entre categorıas de módulos.

Proposici´ on 8.1.7. Sea F : AMod →B Mod una equivalencia, entonces:




1. El conjunto de subm´ odulos de M , ordenado por inclusi´ on, est´ a en correspon-

dencia biunıvoca con el conjunto de subm´ odulos de F (M ), esta correspondencia preserva el orden.

2. M es un A-m´ odulo nitamente generado si y s´ olo si F (M ) es un B-m´ odulo nitamente generado.

3. M es noetheriano (resp. artiniano) si y s´ olo si F (M ) es noetheriano (resp.artiniano).

4. M es indescomponible si y s´ olo si F (M ) es indescomponible.

5. M es simple si y s´ olo si F (M ) es simple.

Demostraci´ on: 1. Dado iN : N ⊆M un subm odulo, le asignamos Im(F (iN ) :F (N ) →F (M )) ⊆F (M ). El hecho de que F preserve el orden es consecuencia deque preserva monomorsmos. Es claro que G induce (de manera an aloga a F ) unaaplicacion del conjunto de subm odulos de F (M ) en el de GF (M )∼= M .2. Si bien este resultado ya lo conocıamos, lo incluimos aquı porque puede ser consi-derado tambien como consecuencia de 1.

3. Es consecuencia directa de 1. utilizando la denici on de cadena ascendente (resp.descendente).

4. Es claro que si M es descomponible entonces F (M ) es descomponible, luego F (M )indescomponible implica M indescomponible, la otra implicaci´on se demuestra igualutilizando G en vez de F .

5. M es simple si y solo si el conjunto de sus submodulos esta formado por {{0}, M }.En este caso el conjunto de subm odulos de F (M ) (utilizando 1.) est a formado por

{{0}, F (M )}por lo tanto F (M ) es simple. Por simetrıa la recıproca tambien escierta.

Corolario 8.1.8. Sea A un anillo cualquiera y n∈N, entonces

•A es noetheriano a izquierda (resp. a derecha) si y s´ olo si M n (A) es noetherianoa izquierda (resp. a derecha).

• A es artiniano a izquierda (resp. a derecha) si y s´ olo si M n (A) es artiniano a izquierda (resp. a derecha).

• A es un anillo semisimple si y s´ olo si M n (A) es un anillo semisimple.




Demostraci´ on: Sabemos a partir del primer ejemplo de este capıtulo que An × 1

y A1× n

son dos bimodulos que establecen una equivalencia entre las categorias deA-modulos y M n (A)-modulos (version a derecha y version a izquierda), y entoncesestamos en condiciones de utilizar la proposici on anterior.

Observaci´ on: La parte de semisimplicidad resulta un corolario de la última pro-posicion pues hemos tomado la siguiente denici on: A es semisimple (a izquierda)si y solo si todo A-modulo (a izquierda) se descompone en suma directa de simples.Existe otra caracterización de los anillos semisimples: A es semisimple (a izq.) ⇔todo A-modulo (a izq.) es proyectivo ⇔todo A-modulo (a izq.) es inyectivo. Conesta caracterizaci on, la invariancia por matrices de la semisimplicidad es corolario delhecho de que las equivalencias preservan proyectivos (o bien inyectivos).

8.2 Teoremas de MoritaPor razones de comodidad, durante esta secci´ on consideraremos modulos a derecha

en vez de a izquierda. Veremos de cualquier manera que todos los teoremas de estaseccion son simetricos en el sentido de que las armaciones que se demuestran para lascategorıas de módulos a derecha siguen siendo validas si se cambia la palabra derechapor izquierda.

Denici´ on 8.2.1. Sean A y B dos anillos. Diremos que A es equivalente Moritaa B si las categorıas ModA y ModB son equivalentes. Notaremos A∼

M B.

Resulta claro que ∼M es una relacion de equivalencia.

Ejemplos:1. Sea A un anillo y B otro anillo tal que B∼M A. Sabemos entonces que se tienenlos isomorsmos de anillos B ∼= End B (B)∼= End A(G(B)) donde G : ModB →ModA

es el funtor que da la equivalencia. Como B es B-proyectivo de tipo nito, entoncesG(B) es un A-modulo de tipo nito, luego B queda caracterizado como el anillo deendomorsmos de cierta clase de modulos proyectivos de tipo nito. Si A es tal quetodo modulo proyectivo de tipo nito es libre (por ejemplo A un cuerpo, o un anillo

de division, o un d.i.p., o un anillo local), entonces todo anillo equivalente Morita aA es isomorfo a un anillo de matrices con coecientes en A.2. Sea k un cuerpo, A = k ×k y B = k ×M 2(k). Es un ejercicio sencillo vericarque A∼M B, y uno se puede preguntar si M n (A)∼= M m (B) (isomorsmo de anillos)para algun n, m ∈N. La respuesta es no, por un simple argumento de dimensi on ydivisibilidad, la dimensi on sobre k de M n (A) es 2.n2 y la de M m (B) es 5.m 2, y nunca




puede ser cierta la igualdad 2 .n 2 = 5 .m 2 (n, m ∈N) pues en la factorizaci on de 2.n2,

el primo 2 aparece una cantidad impar de veces, y en 5 .m2

aparece una cantidadpar. Observamos que k ×k es un anillo tal que existen proyectivos de tipo nitoque no son libres, un ejemplo es k ×k2, cuyo anillo de endomorsmos es justamenteB = k ×M 2(k)∼= End k(k) ×End k(k2)∼= End k× k(k ×k2).

Como ejemplo fundamental recordemos que si A y B son tales que existen bim odulosAP B y B QA que verican P ⊗B Q ∼= A y Q⊗A P ∼= B (como bimodulos) entoncesA∼M B. Veremos en esta secci on que esta clase de ejemplos agota todas las posibi-lidades.

Supondremos que los funtores que dan la equivalencia son aditivos (es decir que

vale F (f + g) = F (f ) + F (g) si f, g son morsmos y F es el funtor), de cualquiermanera esta suposici on es superua pues se puede demostrar (ver ejercicio 1 del nalde este capıtulo) que todo funtor entre categorıas de m´ odulos que admite un adjunto(de algun lado) es aditivo.

Para la demostraci´on del primero de los teoremas principales de esta secci on co-menzaremos con dos lemas sencillos:

Lema 8.2.2. Sea F : ModA →ModB un funtor que es una equivalencia, entonces

1. Para cada par de A-m´ odulos M y N , F induce un isomorsmo de grupos abe-

lianos HomA(M, N ) →HomB (F (M ), F (N ))

2. Para cada A-m´ odulo M , F induce un isomorsmo de anillosEnd A(M ) →End B (F (M )) .

Demostraci´ on: En ambos casos, es claro que F induce biyecciones. Al ser F aditivo,dichas biyecciones son morsmos de grupos. Para el punto 2. notamos que el productoen End es la composicion, luego que F preserve el producto y la unidad se debesencillamente a la funtorialidad.

Lema 8.2.3. Sean M A y N A dos A-m´ odulos a derecha y F : ModA →ModB una equivalencia. Entonces

F : HomA(M, N ) →HomB (F (M ), F (N ))

es un isomorsmo de End A(M )-End A(N )-bim´ odulos.




Demostraci´ on: Sabemos que es una biyeccion, basta ver que F es EndA(M )-

End A(N )-lineal.Sea f ∈HomA(M, N ), φ∈End A(M ) y ψ ∈End A(N ). Es un ejercicio sencillover que en este caso la estructura de bimódulo de HomA(M, N ) est a dada por lacomposicion, es decir φ.f.ψ = φ ◦ f ◦ψ. Aplicando F y utilizando la funtorialidadtenemos

F (φ.f.ψ ) = F (φ) ◦F (f ) ◦F (ψ)

Pero la estructura de End A(M )-End A(N )-bimodulo de HomB (F (M ), F (N )) est a dadapor la identicaci on de los anillos EndA(M ) ∼= End B (F (M )) (resp. con N ) vıa F ,luego

F (φ) ◦F (f ) ◦F (ψ) = φ.F (f ).ψ

es decir que F es EndA(M )-End A(N )-lineal.

El siguiente teorema describe todas las equivalencias entre categorıas de m´ odulos.

Teorema 8.2.4. (Morita) Sea F : ModA →ModB una equivalencia con inver-so G : ModB →ModA . Entonces existen bim´ odulos AP B y B QA tales que F ∼=HomA(B QA , −) y G∼= HomB (AP B , −)

Demostraci´ on: Sea M un A-modulo a derecha, consideremos la siguiente cadenade isomorsmos naturales:

F (M )∼= HomB (B, F (M ))∼= HomA(G(B), M )

Llamando Q a G(B) queda casi demostrada el primer isomorsmo del teorema, puessolo falta ver que Q es un B-A-bimodulo y que los isomorsmos anteriores son deB-A-bimodulos.

Considerando a B como B-modulo a derecha, tenemos el isomorsmo de anillosB ∼= End B (BB , B B ) (notar la comodidad de considerar módulos a derecha, si noEnd B (B B, B B) ∼= B op). Ademas G induce un isomorsmo de anillos End B (B) ∼=End A(G(B)), como G(B) es claramente un End B (G(B))-A-bimodulo, entonces es unB-A-bimodulo. La A-linealidad de los isomorsmos antes mencionados es consecuen-cia del lema 8.2.3.

El otro isomorsmo de funtores es completamente análogo, si X es un B-modulo:

G(X )∼= HomA(A, G(X ))∼= HomB (F (A), X )




Llamamos P := F (A) que es, de manera an aloga a Q, un A-B-bimodulo.

Observaci´ on: Una consecuencia del teorema anterior es que P y Q quedan simetricamenterelacionados entre ellos, pues si observamos las f ormulas para F y G del teorema yespecializamos en A y en B obtenemos que

P = F (A)∼= HomA(B QA , A) =: Q∗A

Q = G(B)∼= HomB (AP B , B ) =: P ∗B

Como corolario del teorema 8.2.4, se tiene una segunda caracterización de las equi-valencias entre categorıas de módulos que escribimos en forma de teorema:

Teorema 8.2.5. (Morita) Con las mismas notaciones del teorema 8.2.4, se tienen isomorsmos de funtores:

F ∼= (−)⊗B P ; G∼= (−)⊗A Q

Demostraci´ on: a partir del teorema 8.2.4 sabemos que F ∼= HomA(B QA , −) y quey G∼= HomB (AP B , −). Por otro lado, para cualquier bimódulo se tienen transforma-ciones naturales

(−)⊗A (Q)∗A →HomA(B QA , −) ; (−)⊗B (P )∗B →HomB (AP B , −)

Estas transformaciones naturales son isomorsmos naturales siempre que Q sea A-proyectivo de tipo nito y P sea B-proyectivo de tipo nito. Este es el caso que nosconcierne pues las equivalencias preservan objetos proyectivos y nitamente generadosy P y Q son imagenes por equivalencias de A y B que son trivialmente proyectivosnitamente generados.

Notar que por la observaci on anterior sabemos que ( Q)∗A∼= P y que (P )∗B ∼= Q,por lo tanto podemos escribir F ∼= (−)⊗B P y G∼= (−)⊗A Q como querıamos probar.

Con este ultimo teorema se demuestra un hecho notable, y es la simetrıa en ladenicion de equivalencia Morita. Resulta en principio un poco molesto el hecho deque para denir una relación de equivalencia entre anillos, haya que elegir o bien losmodulos a derecha, o bien lo modulos a izquierda, pero mediante la caracterizaci´ ondel teorema anterior se tiene el siguiente corolario:

Corolario 8.2.6. Sean A y B dos anillos. Las categorıas AMod y B Mod son equiva-lentes si y s´ olo si son equivalentes las categorıas ModA y ModB . Adem´ as cualquiera de estas dos condiciones implica que las categorıas AModA y B ModB son equivalentes( AModA indica la categorıa de A-A-bim´ odulos, idem para B).




Demostraci´ on: A partir del teorema 8.2.5 sabemos que toda equivalencia entre

modulos a derecha est a dada por tensorizar con dos bimódulos AP B y B QA tales queP ⊗B Q ∼= A y Q⊗A P ∼= B. Entonces, tomando los funtores Q⊗A − y P ⊗B −obtenemos una equivalencia entre los módulos a izquierda. La recıproca es tambiencierta, para esto hay que demostrar versiones an´ alogas a los teoremas 8.2.4 y 8.2.5para m odulos a izquierda, las demostraciones son similares, cuidando algunos detallescomo por ejemplo que HomA(AA,A A)∼= Aop en vez de A.

Teniendo P y Q como antes, es claro que el funtor Q⊗A−⊗A P : AModA →B ModB

es una equivalencia, pues su inverso es P ⊗B −⊗B Q : B ModB →AModA .

Corolario 8.2.7. Sean A y B dos anillos equivalentes Morita, entonces

• Z (A)∼= Z (B) (isomorsmo de anillos).

• A/ [A, A]∼= B/ [B, B ] (isomorsmo de grupos abelianos).

Demostraci´ on:

Z (A) ∼= HomA− A(A, A) ∼= HomB − B (Q⊗A A⊗A P, Q ⊗A A⊗A P )∼= HomB − B (Q⊗A P, Q ⊗A P ) ∼= HomB − B (B, B )∼= Z (B)

y todos estos isomorsmos son de anillos.Para el segundo punto, observamos que la categorıa AModA se identica con la

categorıa de Ae

Mod y con la de ModAe

, donde Ae

= A⊗Z A

op

(idem para B). Utili-zando el teorema 8.2.5, el funtor Q⊗A −⊗A P debe ser necesariamente de la formaP ⊗Ae −o bien −⊗Ae Q, donde Q y P son dos bimodulos sobre Ae y B e. El lectorpuede vericar que P = P ⊗Z Q y Q = Q⊗Z P sirven. Tambien es fácil vericar (dehecho ya lo hicimos en el punto anterior) que P ⊗Ae A = A⊗Ae Q∼= P ⊗A A⊗A Q∼= B,por lo tanto

A/ [A, A] ∼= A⊗Ae A ∼= (P ⊗B Q)⊗Ae (P ⊗B Q)∼= (Q⊗A P )⊗B e (Q⊗A P ) ∼= B⊗B e B∼= B/ [B, B ]

Ejemplo: Sea k un cuerpo y n

∈

N. Si se quiere calcular

Z (M n (k)), una opci on

es demostrar “a mano” a partir de que una matriz que conmuta con cualquier otra,en particular conmuta con las matrices elementales, obtener ası condiciones sobre lamatriz para llegar, luego de penosas y largas cuentas, a ver que las únicas matricesque conmutan con cualquier otra son múltiplos de la identidad. Otra manera es,a la luz de la equivalencia Morita entre k y M n (k), aplicar el corolario anterior yobtener Z (M n (k)) ∼= Z (k) = k. Otra aplicaci on elemental al algebra lineal es por




ejemplo responder a la pregunta ¿cuándo una matriz es combinación lineal de con-

mutadores? Para esto sabemos que M n (k)/ [M n (k), M n (k)] ∼= k/ [k, k] = k, por lotanto [ M n (k), M n (k)] es un subespacio de codimension uno, por lo tanto es el nu-cleo de algun elemento del dual. Es conocido que tr (M.N −N.M ) = 0, por lo tanto[M n (k), M n (k)]⊆Ker( tr ), pero como tienen la misma dimensi on entonces son iguales.

8.3 ContextosEn esta seccion veremos la nocion de contexto de Morita, que junto al teorema

8.3.2 facilitan enormemente la tarea de vericación, en casos concretos, de que dosanillos sean equivalentes Morita.

Comenzamos comentando el caso en que A∼M B. Por el teorema 8.2.5 sabemos

que existen bim odulos AP B y B QA que inducen (a traves del producto tensorial) laequivalencia entre las categorıas de A-modulos y de B-modulos. Recordamos tambienque el anillo A∼= End A(A) se identica con End B (F (A)) = End B (P ) y que Q se puedetomar como P ∗B . Tenemos entonces dos aplicaciones naturales:

• v : P ⊗B Q →End B (P ) denida por i p⊗φ →(x → p.φ(x)),

• y la evaluacion u : Q⊗A P →B denida por φ⊗ p →φ( p).

Entre estos dos morsmos se verican las siguientes propiedades de compatibilidad:

• Para todo φ, ψ en P ∗, p en P , φ.v( p⊗ψ) = u(φ⊗ p).ψ. En efecto:

(φ.v( p⊗ψ))( x) = ( φ.( pψ(−))( x)) = φ( p.ψ(−))( x) = φ( p.ψ(x)) = φ( p)ψ(x) = ( u(φ

• Para todo p, p en P , ψ en P ∗, v( p⊗ψ).p = p.u(ψ⊗ p ). En efecto:

v( p⊗ψ) p = pψ( p ) = p.u(ψ⊗ p )

Esto motiva la siguiente denición:

Denici´ on 8.3.1. Dados dos bim´ odulos AP B y B QA y dos morsmos de bim´ odulos

u : Q⊗A P →B y v : P ⊗

B Q →A (no necesariamente isomorsmos), se dice que(A,B,P,Q,u,v ) es un contexto Morita entre A y B en caso de que se veriquen las siguientes condiciones de compatibilidad:

v( p⊗q).p = p.u(q⊗ p ) ; u(q⊗ p).q = q.v( p⊗q )

para todo p, p ∈P , q, q ∈Q.




Cuando u y v son isomorsmos, P y Q inducen una equivalencia.

Teorema 8.3.2. Sea (A,B,P,Q,u,v ) un contexto Morita tal que u y v son epimorsmos, entonces u y v son isomorsmos. En particular A resulta equivalente Morita a B .

Demostraci´ on: Consideremos 1A ∈Im(v), luego existen p1, . . . , p r elementos de P y q1, . . . , qr elementos de Q tales que 1A = r

i=1 v( pi⊗qi). Denimos s : A →P ⊗B Qa traves de la f ormula

s(a) :=r

i=1

a.( pi⊗qi)

Es claro que s es un morsmo de A-modulos a izquierda, veremos que es el inverso de v(en particular s sera un morsmo de bimodulos). Calculamos para esto explıcitamentelas composiciones s ◦v y v ◦s:

s(v( p⊗q)) = ri=1 v( p⊗q) pi⊗qi = r

i=1 p.u(q⊗ pi)⊗qi == r

i=1 p⊗u(q⊗ pi)qi = ri=1 p⊗q.v( pi⊗qi) =

= ( p⊗q) ri=1 v( pi⊗qi) = p⊗q

v(s(a)) =r

i=1

v(a.p i

⊗

qi) = a.r

i=1

v( pi

⊗

qi) = a

La demostraci on para ver que u es tambien un isomorsmo es completamente an´ aloga.

Ejemplos: 1. Sea R un anillo cualquiera y e∈R tal que e = e2. Consideramos elanillo e.R.e . Es claro que P = e.R es un e.R.e −R-bimodulo y que Q = R.e es unR −e.R.e -bimodulo. La multiplicaci on de R induce morsmos de bimodulos

u : R.e⊗e.R.e e.R →R

v : e.R

⊗

R R.e

→e.R.e

Es claro que v es siempre suryectiva, en cambio, la imagen de u es R.e.R , o sea, elideal bilatero generado por e. Hay veces en que esto ultimo es facil de calcular, porejemplo si R es un anillo simple (i.e. que no tiene ideales bilateros no triviales). Comocorolario del teorema 8.3.2 se tiene el siguiente resultado: si e∈R es un idempotentetal que R = R.e.R , entonces R∼M e.R.e .




2. Como subejemplo del ejemplo anterior, considerar R = M n (A) donde A es un

anillo cualquiera y e la matriz que tiene un uno en el lugar (1 , 1) y cero en el resto.El anillo e.M n (A).e consiste en las matrices que tienen ceros en todas sus entradassalvo eventualmente en el lugar (1 , 1), este anillo claramente se identica con el anilloA. Queda como ejercicio vericar que el ideal bilatero generado por e es M n (A), deesta manera hemos vuelto a demostrar que M n (A)∼M A.

Ejercicio: Sean A y B dos anillos tales que A∼M B. Demuestre que existe uncontexto Morita entre A y B que da la equivalencia.

8.3.1 Acciones de grupos sobre anillos y contextos Morita

Ası como en la teorıa de k-modulos, al considerar las acciones de grupos sobre losmodulos nos interesaban las acciones k-lineales, en anillos nos interesar an particular-mente las acciones de grupos que respeten la estructura de anillo. Sea entonces A unanillo y G un grupo nito que act ua en A por automorsmos de anillos, es decir, setiene una aplicaci on

G ×A →A(g, a) →g(a)

que es una accion y que verica ademas que para cada g

∈

G, g(

−) es un automorsmo

de anillos (i.e. g(a + a ) = g(a) + g(a ), g(a.a ) = g(a).g(a )∀a, a ∈A y g(1A) = 1 A).En estas condiciones, siempre es posible construir dos anillos asociados a A y a G queest an en contexto Morita, estos anillos son AG (el subanillo de invariantes) y A G(el producto cruzado de A con G). Antes de ver la construcci on, veamos dos ejemplosde acciones de grupos por automorsmos de anillos.

Ejemplos:1. Sea A un anillo cualquiera y G⊆Aut anillos (A), entonces claramente G act ua en Apor automorsmos de anillos.2. Si A = C , G = Z 2 act ua en C por conjugacion.3. Sea X un conjunto y G

×X

→X una accion de G sobre X . Sea k un anillo con-

mutativo y consideramos A = kX = Func (X, k ) con la estructura de anillo heredadade k punto a punto. Entonces G act ua sobre A a traves de la f ormula

G ×A →A(g, f ) →x →f (g− 1(x))




El lector podr a vericar sin dicultad que esta es una acci´on por automorsmos de

anillos.Ejercicio: Sea G un grupo que act ua por automorsmos de anillos en un anillo A,entonces AG = {a∈A / g (a) = a ∀g∈G}es un subanillo de A.

Damos ahora la denici on del producto cruzado:Consideramos A[G] con su estructura aditiva habitual pero con una estructura

multiplicativa diferente. Si a, a ∈A, g, g ∈G se dene

(ag).(a g ) := ( ag(a ))( gg )

y se extiende dicha denicion bilinealmente a los dem as elementos de A[G].

Ejercicio: Con ese producto, el conjunto A[G] es un anillo asociativo con 1 (cuales el uno?), que se llama producto cruzado de A por G y se denota A G

Observaci´ on: Aun teniendo A G un producto distinto en general al de A[G],contiene de cualquier manera a A como subanillo, y tambien el morsmo evidenteZ[G] →A G es un morsmo de anillos.

Los anillos AG y A G son construcciones naturales a partir del anillo A y de unaaccion de G sobre A por automorsmos, una relaci´on importante entre ambos est´ adada por la siguiente proposicion:

Proposici´ on 8.3.3. Sea A un anillo y G un grupo nito que act´ ua en A por auto-morsmos de anillos. Entonces AG est´ a en contexto Morita con A G.

Demostraci´ on: Debemos exhibir bim odulos P y Q que satisfagan la denici on decontexto. Para esto tomamos, como grupos abelianos, P = Q = A, pero con diferentesacciones.

Es claro que P = A es un AG-modulo a derecha. Si a.g∈A G y x∈A denimos

(ag).x := ag(x)

El lector podr a vericar que esta denici on cumple con los axiomas de accion, hacemosnotar que si b∈AG , entonces ag(x).b = ag(xb). Esta ultima igualdad dice que lasacciones de A G y AG son compatibles, por lo tanto P es un A G-AG -bimodulo.

Consideramos a Q = A de manera obvia como un AG -modulo a izquierda, ydenimos

x.(ag) := g− 1(xa) (a, x ∈A, g∈G)




Denimos ahora dos morsmos:

µ : P ⊗AG Q →A G τ : Q⊗A G P →AG

µ(a⊗b) :=g∈G

ag(b)g τ (a⊗b) :=g∈G

g(a.b)

Veremos la buena denici on, dejamos como ejercicio vericar que son morsmos debimodulos. Si x, y∈A, a∈AG , entonces

µ(xa⊗y) =g∈G

xag (y)g =g∈G

xg(ay)g = µ(x⊗ay)

En el caso de τ , sean x,y,a ∈A y h∈G, entonces

τ (x(ah )⊗y) = τ (h− 1(xa )⊗y) = g∈G g(h− 1(xa ).y)= g∈G g.h− 1(xa.h (y)) = g ∈G g (xah (y)) = τ (x⊗(ah ).y)

Veamos ahora la compatibilidad de µ y τ : sean x,y,z ∈A entonces

xµ(y⊗z) = x g∈G yg(z)g = g∈G g− 1(xyg(z)) =

= g∈G g− 1(xy)z = g∈G g− 1(xy) z = τ (x⊗y)z

Por otro lado

µ(x

⊗

y)z = g∈G xg(y)g z = g∈G xg(y)g(z) =

= g∈G xg(yz) = x g∈G g(yz) = xτ (y⊗z)

Observaci´ on: Una pregunta natural en este punto es ¿cu´ ando el contexto entre AG

y A G es una equivalencia? En virtud del Teorema 8.3.2, basta ver cu´ ando µ y τ son morsmos sobreyectivos. El m as sencillo es τ , pues es un promedio. Es claro quesi |G| es inversible en A y a∈AG , entonces A = 1

|G | g∈G g(a) = τ (a⊗1). Por otrolado, Im( µ) es un sub-bimodulo de A G, o sea, un ideal bilatero luego Im( µ) = A Gsi y solo si 1A G ∈Im(µ). Esto signica que existen a1, . . . , a r , b1, . . . , br ∈A talesque 1 = µ ( r

i=1 a i⊗bi) = ri=1 g∈G a ig(bi).g.

Denici´ on 8.3.4. Sea A un anillo y G un grupo que act´ ua por automorsmos deanillos en A. Diremos que la acci on de G sobre A es Galois si existen elementosa1, . . . , a s , b1, . . . , bs∈A tales que

s

i=1

a i .g(bi) =1 si g = 1 G

0 si g = 1 G




Si la accion de un grupo G sobre un anillo A es Galois y a1, . . . , a s , b1, . . . , bs son

los elementos de la denicion de Galois, entonces

µ(s

i=1

a i⊗bi) =s

i=1 g∈G

a ig(bi)g =g∈G

r

i=1

a ig(bi) g = 1

Luego, hemos demostrado el siguiente teorema:

Teorema 8.3.5. Sea A un anillo y G un grupo que act´ ua por automorsmos deanillos tal que |G| es inversible en A y la acci´ on de G es Galois. Entonces la categorıa de AG -m´ odulos es equivalente a la categorıa de A G-m´ odulos.

Ejemplos: 1. Sea k un anillo tal que 1/ 2∈k y A = k[x]. Sea G = Z2 que act ua enA a traves de x → −x. Ver que AG = k[x2], pero la accion no es Galois. Demuestreque G act ua (con la misma formula) en A := k[x, x − 1], y en ese caso la accion esGalois.2. Considerar A = k[x, y] y G = Z 2 actuando por permutaci´ on (i.e. y →x y x →y).Probar que AG = k[s, t ] donde s = x + y y t = x.y y que la accion no es Galois. Seaδ := x −y, ver que G act ua en A[δ− 1] (el localizado de A en las potencias de δ) y quela accion de G es Galois en A[δ− 1].

8.4 Ejercicios1. Sea F : AMod →B Mod un funtor cualquiera. Ver que:

(a) F preserva productos nitos si y s´ olo si F preserva sumas nitas.

(b) Si F preserva sumas nitas (o productos nitos), entonces F es aditivo (i.e. siF (f + g) = F (f ) + F (g) para todo par de morsmos A-lineales f , g).

2. Sea F : C →D un funtor entre dos categorıas C y D . Supongamos que F admiteun funtor adjunto a derecha que llamaremos G. Demostrar que si G es otro funtoradjunto a derecha de F entonces G∼= G , es decir G(X )∼= G (X ) para todo objeto X de la categorıa D , y ese isomorsmo es natural (sugerencia: demostrar primero que el

ejercicio es equivalente a probar que existe un isomorsmo natural Hom C(M, G (X ))∼=HomC(M, G (X )) para todo objeto X de D y M de C).

3. Sea F : AMod →B Mod un funtor que admite un adjunto a derecha G : B Mod →AMod. Demostrar que existe un B -A-bimodulo X tal que G ∼= HomB (X, −) yque F ∼= X ⊗A −, adem as la clase de isomorsmo (como bim´odulo) de X quedaunıvocamente determinada.




4. Probar que si A∼M B y A ∼M B entonces A ×A ∼M B ×B y que A⊗Z A ∼M

B⊗Z B .

5. Sean (n1, . . . , n r ) y (m1, . . . , m r ) dos r -uplas de n umeros naturales y k un anillocualquiera, ¿Es M n 1 (k) ×M n 2 (k) × · · · ×M n r (k) equivalente Morita a M m 1 (k) ×M m 2 (k) ×· · ·×M m r (k)? Supongamos que k es un cuerpo, ¿que dimensi´ on tiene elcentro de estas dos álgebras?

6. Sea A el anillo de matrices triangulares superiores de 2 ×2, i.e. A = a b0 c , a ,b,c∈k

donde k es un cuerpo, ¿Es A equivalente Morita a k o a k ×k?

7. Sea G un grupo nito que actúa en un anillo A.

(a) (Maschke) Probar que si 1|G | ∈A y f : M →N es un epimorsmo de A G-

modulos que se parte como morsmo de A-modulos, entonces f se parte comomorsmo de A G-modulos. En particular, si A es un anillo semisimple y |G|inversible en A, entonces A G es semisimple.

(b) Probar que si A es noetheriano entonces A G es noetheriano.

(c) Concluir que si |G| ∈A y la accion es Galois, entonces A semisimple (resp.noetheriano) implica AG semisimple (resp. noetheriano).

8. Consideremos a Z 2 actuando en C por conjugaci on. Demostrar que C G = R y queC Z 2∼= M 2(R). (Nota: sale de dos maneras diferentes). ¿Es Galois la acci´ on de Z2sobre C?

9. Ver que la categorıa de A G-modulos consiste en la categorıa cuyos objetos son A-modulos munidos de una acción del grupo G tal que vale la siguiente relaci´ on decompatibilidad:

g(a.m ) = g(a).g(m)

y los morsmos son los morsmos A-lineales que conmutan con la acci´ on de G.

(a) Sea M un A G-modulo, ver entonces que M G = {m ∈M / g (m) = m ∀m ∈M }es un AG -modulo.

(b) Si consideramos a A como un objeto de AG ModA G , entonces ver que A⊗A GM ∼= M G .




(c) La acci on de A en M induce un morsmo A⊗AG M G →M de tal manera que el

siguiente diagrama (salvo eventualmente multiplicaci´ on por |G|) es conmutativo:

A⊗AG M G / /M

A⊗AG (A⊗A G M )µ⊗1M / /A G⊗A G M

Concluir que si |G| es inversible en A y la accion de G sobre A es Galois, entoncesA⊗AG M G →M es un isomorsmo.

10. Sea A un anillo tal que todo m´ odulo proyectivo de tipo nito es libre (por ejemploun cuerpo, o un d.i.p. como Z o Z[i], o k[x] o k[x, x − 1]), entonces los unicos anillosequivalentes Morita a A son isomorfos a M n (A) para alg un n∈N.

11. Sea A un anillo y G un grupo que act´ua en A por automorsmos de anillos tal quela accion es Galois y 1/ |G| ∈A. Demuestre que si AG es tal que todo AG -moduloproyectivo de tipo nito es libre (por ejemplo AG un cuerpo, o un d.i.p.) entoncesA G∼= M n (AG ) donde n = |G| (notar que este es el caso del ejercicio 8). Calcular

Z (A G).



9

Categorıas: construcciones

universales, lımites y colımites

9.1 Categorıas

En este capıtulo se tratar´ an nociones basicas de categorıas que son necesarias alo largo del curso, haciendo enfasis en los ejemplos mas utilizados a tales nes.

9.1.1 Denici´ on de Categorıa y ejemplos b´ asicosDaremos, en esta seccion, la denicion de categorıa, y presentaremos, como excusa

de notaci on, varios ejemplos ilustrando la denici on.

Denici´ on 9.1.1. Denir una categorıa C es dar los siguientes datos:

• Una clase (no necesariamente un conjunto) de objetos, que se denotar´ a Obj( C).

• Para cada par de objetos X e Y de C, un conjunto de echas de X en Y , que se

denotar´ a HomC(X, Y ) (o a veces [X, Y ], o [X, Y ]C, o C(X, Y ), o Mor [X, Y ]).

Estos satisfacen los siguientes axiomas:

C1: Si X , X , Y , Y son objetos de C y o bien X = X o bien Y = Y , entoncesHomC(X, Y ) = Hom C(X , Y ).

181




C2: Para cada terna de objetos X , Y , Z de C est´ a denida una funci´ on que llama-

remos composici´ on HomC(Y, Z ) ×HomC(X, Y ) →HomC(X, Z )

(f, g ) −→f ◦g

que es asociativa (en el sentido obvio).

C3: Para cualquier objeto X , existe un elemento de HomC(X, X ) que es un elementoneutro (tanto a derecha como a izquierda) con respecto a la composici´ on demorsmos que salen de, o que llegan a X . Tal morsmo (se puede ver que es´ unico) se denota IdX .

Ejemplos: Damos a continuaci on la notaci on para categorıas usuales, se˜nalandoprimero los objetos, y luego las echas:

Sets Conjuntos y funciones.

kVect (k un cuerpo), los k-espacios vectoriales y las transformaciones k-lineales.

AMod (A un anillo), los A-modulos (por ejemplo a izquierda) y los morsmos de A-modulos.

G Grupos y homomorsmos de grupos.

Ab Grupos abelianos y homomorsmos de grupos.

ZA Mod Los A-modulos Z-graduados, y los morsmos de A-modulos graduados.

Sets 0 Los pares (X, x 0) donde X es un conjunto no vacıo y x0 ∈X , un morsmof : (X, x 0) →(Y, y0) es una funcion f : X →Y tal que f (x0) = y0.

Top 0 Los pares (X, x 0) donde X es un espacio topologico no vacıo y x0 ∈X , unmorsmo f : (X, x 0) →(Y, y0) es una funcion continua f : X →Y tal quef (x0) = y0.

An 1 Anillos con 1, morsmos de anillos que preservan la unidad.

An Anillos (no necesariamente unitarios), morsmos de anillos (i.e. funciones a lavez aditivas y multiplicativas).

k-Alg k-algebras (k es un anillo conmutativo con uno) y morsmos de k-algebras.




k-AlgC k-algebras conmutativas.

Cop Dada una categorıa C, si denimos Obj(Cop) = Obj( C) y para cada par deobjetos X e Y : HomCop (X, Y ) := Hom C(Y, X ), y la composicion f ◦op g := g◦f .Entonces Cop resulta tambien una categorıa, que se denomina la categorıaopuesta .

Otros ejemplo de categorıa es aquella formada por los conjuntos ordenados comoobjetos, y las funciones crecientes como morsmos.

Por otro lado, si I es un conjunto ordenado, podemos denir una categorıa to-mando como objetos a los elementos de I y como echas

Hom(i, j ) = {∗} si i ≤ j∅ si i y j no estan relacionados

donde {∗}denota a un conjunto con un unico elemento. La transitividad de la relación

≤hace que la composicion este bien denida, y el hecho de que siempre i ≤ i asegurala existencia del morsmo identidad.

Si M es un monoide con elemento neutro, entonces la categorıa con un únicoobjeto {∗}y las echas denidas como Hom({∗}, {∗}) := M resulta efectivamenteuna categorıa, deniendo la composición de funciones como el producto en el monoide.

9.1.2 Isomorsmos, monomorsmos y epimorsmos categoricosLa denicion mas sencilla que se puede hacer a partir de los axiomas de categorıas

es la de isomorsmo:

Denici´ on 9.1.2. Sea C una categorıa, dos objetos X e Y de C se dir´ an isomorfossi existen morsmos f : X →Y y g : Y →X tales que f ◦g = Id Y y g ◦f = IdX , en tal caso denotaremos X ∼= Y .

Un isomorsmo en la categorıa de conjuntos es una biyecci on, los isomorsmos enlas categorıas de grupos, tambien son los morsmos que son biyectivos, pues si unafuncion es un morsmo de grupos y ademas es biyectiva, entonces la funci on inversa

tambien resulta un morsmo de grupos. En la categorıa de m´ odulos sobre un anillojo sucede lo mismo. Llamamos la atencion sin embargo a que aun cuando se tengauna categorıa en donde los objetos sean conjuntos junto con alguna otra estructuraadicional, y las echas sean un subconjunto del conjunto funciones entre los objetos,la nocion de isomorsmo no tiene por que coincidir con la de biyeccion. Presentamoslos siguientes dos ejemplos:




En la categorıa de espacios topológicos, un isomorsmo es un homoeomorsmo, es

decir, una funci on continua f : X →Y biyectiva con inversa f − 1

: Y →X tambiencontinua.Un ejemplo de biyeccion que no es un homeomorsmo es considerar un mismo con-

junto, pero denir dos topologıas diferentes en el, una contenida en la otra, digamos(X, τ ) y (X, τ ) en donde todo abierto de τ pertenece a τ , pero con τ estrictamentemayor que τ . Entonces la funcion identidad ( X, τ ) →(X, τ ) es continua, pero suinversa, que es de nuevo la funcion identidad, pero vista como función de (X, τ ) en(X, τ ) no es continua. Observamos que esta funci on “identidad”, en realidad es lafuncion identidad de X , pero no la identidad de ( X, τ ).

Otro ejemplo es el caso de los conjuntos ordenados como objetos y las funciones

creciente como morsmos. Si (X, ≤) es un conjunto ordenado con una relaci on deorden no trivial (es decir, que existen por lo menos dos elementos distintos x e y talesque x ≤y), denimos sobre X otra relaci on de orden, que est a dada por x ≤x ∀x∈X , y si x = y, entonces x no esta relacionado con y; llamemos ≤ a esta nueva relaci on.Si consideramos la funcion identidad de X , como morsmo (X, ≤) →(X, ≤), es unafuncion (notar que como la relaci on ≤ es trivial, cualquier funci on con dominio enX es creciente) y biyectiva, pero ( X, ≤)∼= (X, ≤).

Sea CM la categorıa con un unico objeto {∗}, y Hom({∗}, {∗}) = M donde M es un monoide con elemento identidad, entonces M es un grupo si y solo si todomorsmo es un isomorsmo.

Ademas de la nocion de isomorsmo, hay muchas otras deniciones que se puedenhacer en el contexto generico de una categorıa. La clave de estas deniciones esencontar una caracterización, en terminos de diagramas de echas, de la propiedadque uno quiere generalizar, es decir, de una noci on que uno conoce en una categorıay desea contar con esa construcci on en alguna otra categorıa. Cualquier denici onhecha con diagramas con echas puede ser enunciada en una categorıa arbitraria, unode los ejemplos mas sencillos es la nocion de monomorsmo y epimorsmo, que damosa continuaci on en forma de proposicion, en las categorıas de conjuntos, y de módulos:

Proposici´ on 9.1.3. Sea f : X →Y un morsmo en la categorıa Sets o AMod

(donde A es un anillo jo). Entonces f es inyectiva si y s´ olo si cada vez que g, h :Z →X son dos morsmos (en las respectivas categorıas) tales que f ◦ h = f ◦ g,entonces g = h.

Demostraci´ on: En la categorıa de conjuntos esta proposici´ on es obvia, en la cate-gorıa de m odulos es la proposicion 3.3.3 del capıtulo 3.




Denici´ on 9.1.4. Dada una categorıa C, un morsmo f : X →Y se dir´ a un mono-

morsmo si y s´ olo si, para todo objeto Z y para todo par de morsmos g, h : Z →X tales que f ◦g = f ◦h, entonces g = h.

Reescribiendo esta denici on, tenemos la siguiente proposici on:

Proposici´ on 9.1.5. Sea f : X →Y un morsmo en una categorıa C, entonces f esun monomorsmo si y s´ olo si, para todo objeto Z la funci´ on de conjuntos

f ∗ : HomC(Z, X ) →HomC(Z, Y )h →f ◦h

es inyectiva.

La nocion de monomorsmo categorico en la categorıa de m odulos, o de grupos,coincide con la nocion de monomorsmo denida anteriormente. Como ejemplosextremos podemos comentar que todo isomorsmo es un monomorsmo (vericarlo!),y en categorıas en donde el Hom sea o bien vacıo o bien un conjunto unitario, todomorsmo es un monomorsmo.

Dejamos como ejercicio vericar que en la categorıa de espacios topol ogicos y fun-ciones continuas, los monomorsmos son tambien funciones continuas inyectivas. Sinembargo, como lo muestra el siguiente ejemplo, la noci on de monomorsmo categoricono tiene por que coincidir con la de inyectividad.Ejemplo: Consideremos la categorıa formada por los grupos abelianos divisibles

y los homomorsmos de grupos. La proyeccion al cociente p : Q →Q / Z es unmorsmo en esta categorıa pues tanto Q como Q / Z son divisibles. Claramente laproyeccion al cociente no es una funcion inyectiva, sin embargo armamos que es unmonomorsmo en esta categorıa. Para esto, consideremos un grupo abeliano divisibleG y dos morsmos de grupos f, g : G →Q , supongamos que f = g, veremos entoncesque necesariamente p ◦ f = p ◦g.

Como f = g, existe x ∈G tal que f (x) −g(x) = rs con r y s numeros enteros

distintos de cero. Como G es divisible, existe x ∈G tal que rx = x, cambiandox por x podemos suponer que r = 1. Con similar argumento, el elemento x puedesiempre elegirse de manera tal que s = ±1, de esta manera, la clase de 1

s en Q / Z es

distinta de cero, es decir ( p◦f )(x) = ( p◦g)(x).La nocion de epimorsmo es la nocion “dual” de monomorsmo. Dado un enun-

ciado a traves de echas, uno siempre puede dar vuelta el sentido de las echas yası obtener un nuevo enunciado que se suele llamar enunciado dual. M´ as formalmen-te, una denici on dual en una categorıa C no es otra cosa que la misma denicionpero enunciada en la categorıa Cop.




Se tiene siempre denido un morsmo que llamaremos α : G →K G dado por

g →(0, g).

Llamemos δ a la funcion que vale 1 en la clase de H y cero en las demas,denimos la funcion β : G →K G a traves de g →(δ −g(δ), g).

Esta funci on es un morsmo de grupos (vericarlo!) y ademas los elementos deG en donde α es igual a β son exactamente los elementos en donde δ = g(δ).Como g act ua permutando las clases a traves de la multiplicaci´ on a derecha,la clase de H es igual a la clase de H.g si y solo si g∈H . Esto dice que sicomponemos α o β con la inclusion H →G, entonces estos morsmos coinciden.

Si suponemos ahora que la inclusi on H →G es un epimorsmo categorico,deberıa valer α = β sobre todo G, pero como α coincide con β exactamente enH resulta G = H .

4. Si consideramos el ejemplo de categorıa en donde la coleccion de sus objetosforma un conjunto ordenado, y entre un objeto i y otro j hay un ( unico) mor-smo si y solo si i ≤ j , como los conjuntos Hom({i}, { j}) son o bien vacıos obien unitarios, entonces todo morsmo es un epimorsmo. Notar que esta esuna categorıa en donde todo morsmo es a la vez monomorsmo y epimorsmo

sin necesidad de que todo morsmo sea isomorsmo. ¿para que relaciones deorden todo morsmo es un isomorsmo?

9.2 Lımites y Colımites

9.2.1 Productos

Si X e Y son dos conjuntos, el producto cartesiano X ×Y es el conjunto de pares{(x, y) / x ∈X, y∈Y }. Se observa que toda funcion de un conjunto Z en X ×Y queda determinada de manera ´unica por una funci on de Z en X y otra de Z enY pues si f : Z →X ×Y , para un z ∈Z , f (z) ∈X ×Y , luego es de la formaf (z) = ( f 1(z), f 2(z)), la funci on f 1 se consigue componiendo f con la proyeccion p1 : X ×Y →X , ((x, y) →x), an alogamente f 2 componiendo f con la proyeccion




p2 : X ×Y →Y . Dicho en forma de diagrama:

X

Z ∃!f

f 1 ; ; w w w w w w w w w w

f 2 # # q q q q q q q q q q X ×Y

p1

O O

p2

Y

Es decir, dadas f 1 : Z →X y f 2 : Z →Y , existe una unica funcion f : Z →X ×Y tal que f i = pi ◦f , i = 1 , 2.

Esto ultimo permite generalizar la noci´on de producto cartesiano a una categorıaC, obteniendose:

Denici´ on 9.2.1. Dados {X i}i∈I una familia de objetos de una categorıa C indexa-dos por un conjunto I , se dene un producto directo i∈I X i como un objeto de Ccon las siguientes dos propiedades:

• ∀ j∈I , existe un morsmo p j : i∈I X i →X j .

• (Propiedad universal) Si Z ∈Obj( C) y para todo j ∈I se tiene dado un morsmo f j : Z →X j , entonces existe un ´ unico morsmo f : Z → i∈I X i tal quef i = pi

◦f para todo i

∈

I .

Observaci´ on: Dados {X i}i∈I ∈C, si un objeto producto existe, entonces es unico a

menos de isomorsmo, por lo tanto uno puede hablar (suponiendo que exista) de el objeto producto directo.Demostraci´ on: Sean (X, {πi : X →X i}), (X , { pi : X →X i}) dos objetos pro-ducto. Por la propiedad universal del producto de X , al tener denidas echas pi : X →X i queda denida una unica echa p : X →X tal que πi ◦ p = pi .Simetricamente, como X tambien es un producto, usando las echas πi : X →X iqueda denida una unica echa π : X →X tal que pi ◦π = πi .

X iId X i / /

X i

X

pi > > | | | | | | | | p / / X

π i O O π i > > | | | | | | | | π / / X

pi O O

Armamos que estos morsmos son isomorsmos, uno el inverso del otro. Para veresto, consideramos la composici on p ◦π : X →X , al calcular la composicion con las




proyecciones tenemos las igualdades:

πi ◦( p◦π) = ( πi ◦ p) ◦π = pi ◦π = πi = πi ◦IdX

Es decir, el diagrama siguiente con cualquiera de las dos echas conmuta

X π i

X

π i / /

p◦ π > > } } } } } } } } Id X

> > } } } } } } } } X i

Luego, por unicidad, tiene que ser p ◦π = IdX . La otra composicion es analoga.

Todo morsmo f : X →Y entre dos objetos de una categorıa C induce, por com-posicion, para cada objeto Z de C, una funcion entre los conjuntos f ∗ : HomC(Z, X ) →HomC(Z, Y ). Si ahora uno tiene un objeto i∈I X i y para cada j ∈I morsmos p j :

i∈I X i →X j , esto induce para cada objeto Z funciones ( p j )∗ : HomC(Z, i∈I X i) →HomC(Z, X j ). Ahora bien, estas aplicaciones son funciones entre conjuntos, y en lacategorıa de conjuntos uno sabe que es el producto cartesiano, luego tener una familiade funciones, una por cada coordenada, equivale a tener una función que llegue al pro-ducto cartesiano. Se puede comprobar sin dicultad que una denici on equivalentede producto en una categorıa C puede ser enunciada de la siguiente manera:

Proposici´ on 9.2.2. El par i∈I X i , { p j : i∈I X i →X j} j∈I es un producto de la familia {X i}i∈I en C si y s´ olo si la funci´ on natural

i∈I

( pi)∗ : HomC(Z,i∈I

X i) →i∈I

HomC(Z, X i)

f → { pi ◦f }i∈I

es una biyecci´ on para todo Z ∈Obj( C).

Demostraci´ on: Que la funcion natural de la proposici on sea suryectiva es precisa-

mente la parte de “existencia” de la denición de producto, la parte de “unicidad”corresponde a que la funcion entre los Hom sea inyectiva.

Ejemplos: En la categorıas de conjuntos, módulos sobre un anillo, anillos, grupos(conmutativos o no), el producto categ´ orico es el producto cartesiano, pero esto notiene por que ser siempre ası. Consideremos, dado un cuerpo k, la categorıa de k-espacios vectoriales Z-graduados, donde los objetos son espacios vectoriales provistos




de una descomposicion V = ⊕n∈Z V n , y los morsmos son transformaciones lineales

que respetan la graduación, es decir, dado V = ⊕n∈Z V n y W = ⊕

n∈Z W n dos espaciosvectoriales graduados, Hom C(V, W ) = {f : V →W transformaciones lineales talesque f (V n ) ⊆W n ∀n ∈Z}. Respetar la graduaci on es estable por composicion, yel morsmo identidad obviamente respeta la graduaci´ on, por lo tanto los espaciosvectoriales graduados junto con los morsmos graduados forman una categorıa. Sepuede probar f acilmente (vericarlo!) que el producto en esta categorıa existe, yse calcula coordenada a coordenada, es decir, si {V i}i∈I es una familia de espaciosvectoriales graduados, entonces el objeto ⊕n∈Z ( i∈I V in ) es el producto categ orico.

Si denimos k[n] como el espacio vectorial graduado que en grado n tiene a k ycero en los demas grados, entonces el producto categórico de {k[n]}n∈Z es un espacio

vectorial graduado con un espacio vectorial de dimensión uno en cada grado, es decires que es isomorfo a k(Z ) . Si en cambio olvidamos la graduacion, el producto en lacategorıa de espacios vectoriales (o en la categorıa de conjuntos) de los k[n] es kZ ,que contiene estrictamente a k(Z ) .

Otro ejemplo en donde el producto no se calcula con el producto cartesiano es elde la categorıa en donde los objetos forman un conjunto ordenado, y en donde existeuna ( unica) echa i →j si y solo si i ≤ j . Si (k →i, k →j ) es un producto, estosignica, por un lado que k ≤ i y que k ≤ j , ademas la condicion de la propiedaduniversal arma que si existen echas k →i y k →j , entonces existe una unicaecha k →k haciendo conmutar el correspondiente diagrama. Traduciendo “existe

una echa” por “es menor o igual que”, la propiedad universal se traduce en “dadoun k ≤ i y k ≤ j , entonces k ≤k; en otras palabras, el producto de i y j no es otracosa que el ınmo entre i y j , que nada tiene que ver con productos cartesianos. Esteejemplo muestra además que los productos categ oricos no necesariamente existen.

9.2.2 CoproductosDenici´ on 9.2.3. Sea { j i : X i →X }i∈I una familia de morsmos en una categorıa C indexada por un conjunto I , diremos que X (junto con los morsmos j i) es el coproducto de los X i si y s´ olo si la familia { j i : X →X i}i∈I es un producto en la

categorıa Cop

, se denotar´ a X := i∈I X i .

Con demostraci on obvia, se tiene la siguiente proposici on:

Proposici´ on 9.2.4. Dada {X i}i∈I una familia de objetos de C, si un coproductoexiste, entonces es ´ unico a menos de isomorsmo.




Proposici´ on 9.2.5. Sea {X i}i∈I un conjunto de objetos de una categorıa C, X un

objeto de C y j i : X i →X morsmos; son equivalentes:

• X es el coproducto de los X i .

• Para cualquier objeto Y de C y cualquier familia de morsmos f i : X i →Y ,existe un ´ unico morsmo f : X →Y tal que f ◦ j i = f i

X i j i / /

f i

X

∃ !f ~ ~ } }

} }

Y

• Dado cualquier objeto Y en C, la funci´ on natural

i∈I

j∗i : HomC(X, Y ) →i∈I

HomC(X i , Y )

es una biyecci´ on.

Demostraci´ on: se deja como ejercicio.

Ejemplos: / Ejercicios:

1. En la categorıa de conjuntos, y en la categorıa de espacios topol´ ogicos, el co-

producto es la uni on disjunta.2. En la categorıa de m odulos sobre un anillo, el coproducto es la suma directa.

3. En la categorıa de grupos (no necesariamente conmutativos), el coproducto dedos grupos G y H no es el producto cartesiano G ×H (para demostrar esto,encuentre un contraejemplo, bas´andose en que los elementos de G conmutancon los de H en G ×H ).

4. En la categorıa de anillos conmutativos con uno, el coproducto es el productotensorial sobre Z .

5. En la categorıa de anillos con uno (no necesariamente conmutativos) el productotensorial sobre Z no es el coproducto (compare con la categorıa de grupos).

6. En la categorıa en donde los objetos forman un conjunto ordenado y existe una(unica) echa i →j si y solo si i ≤ j , el coproducto entre dos elementos i y jes el supremo.




9.2.3 Objeto inicial, objeto nal, Ker y CokerEn una categorıa C, un objeto I se denomina inicial en caso de que, dado cualquier

otro objeto X de C, exista un unico morsmo I →X . Como es de esperar, un objetoinicial, si existe, es unico salvo isomorsmo. Para ver esto, si J es otro objeto inicial,existe un unico morsmo, llamemoslo j : J →I . Por otro lado existe un unicomorsmo i : I →J . Si componemos estos dos morsmos j ◦ i : I →I obtenemos unmorsmo de I en I , pero como I es un objeto inicial, el conjunto de morsmos deI en I contiene un unico elemento, luego ese unico elemento tiene que coincidir con j ◦ i. A su vez, Id I : I →I , luego por unicidad, j ◦ i = Id I . La cuenta para ver quei ◦ j = Id J es similar.

Ejemplos:

1. En la categorıa de conjuntos y en la categorıa de espacios topol´ ogicos, el conjunto vacıo es el objeto inicial.

2. En la categorıa de espacios topológicos con punto de base, el par ({x0}, x0) esun objeto inicial.

3. En la categorıa de m odulos sobre un anillo, el modulo {0}es un objeto inicial.El grupo {eG}es el objeto inicial en la categorıa de grupos.

4. En la categorıa de anillos con uno (no necesariamente conmutativos), Z es un

objeto inicial.5. En la categorıa en donde los objetos forman un conjunto ordenado y existe una

(unica) echa i →j si y solo si i ≤ j , un objeto inicial es el mınimo (que,naturalmente, podrıa no existir).

Dualmente, un objeto F en Obj(C) se llama objeto nal si, para cualquier otroobjeto X de C existe un unico morsmo X →F .

Ejercicio: Dada una categorıa C, un objeto F es nal si y solo si F es un objetoinicial en Cop. Si una categorıa C tiene un ob jeto nal, este es unico salvo isomorsmo.

Ejemplos:1. En la categorıa de conjuntos y de espacios topológicos un conjunto unitario es

un objeto nal.

2. En la categorıa de espacios topológicos con punto de base, el par ({x0}, x0) esun objeto nal.




3. En la categorıa de m odulos sobre un anillo, el modulo {0}es un objeto nal.

El grupo {eG}es un objeto nal en la categorıa de grupos.4. En la categorıa de anillos con uno el conjunto {0}es un objeto nal (en el anillo

{0}, 1 = 0).

5. En la categorıa en donde los objetos forman un conjunto ordenado y existe una(unica) echa i →j si y solo si i ≤ j , la nocion de objeto nal coincide con lade maximo.

Notamos que a veces el objeto inicial coincide con el objeto nal, y otras vecesno. Una categorıa se dice que tiene objeto cero en caso de que tenga objeto inicial,

objeto nal, y que estos coincidan. Las categorıas de m´ odulos sobre algun anillo,ası como la categorıa de grupos y la categorıa de conjuntos (o espacios topol´ ogicos)con punto de base tienen objeto 0, no ası la de conjuntos o de espacios topol´ogicos, nila de anillos. En una categorıa con objeto cero se puede denir la noci on de nucleo ydualmente de con ucleo. Observar que la noci on de objeto cero es autodual, es decir,C tiene objeto 0 si y solo si Cop tiene objeto cero, y el cero de C sirve como cero deCop.

Observaci´ on: Si C es una categorıa con ob jeto cero, entonces, dado un par de objetosX e Y , el conjunto HomC(X, Y ) nunca es vacıo pues siempre existe el morsmocomposicion:

X →0 →Y

La existencia de X →0 se debe a que 0 es objeto nal, y la existencia del morsmo0 →Y se debe a que 0 es tambien un objeto inicial. El morsmo X →Y denido deesta manera se llama morsmo cero, y se lo denota tambien 0.

Denici´ on 9.2.6. Sea f : X →Y un morsmo en una categorıa C con objeto cero,un morsmo i : K →X se dice un nucleo de f en caso de que:

• f ◦ i = 0 .

•Si j : Z

→X es un morsmo tal que f

◦j = 0 , entonces existe un ´ unico

morsmo j : Z →K tal que i ◦ j = j . En forma de diagrama:

K i / /X f

/ /Y

Z

j O O

∃! j

` ` e e

e e




Se deja como ejercicio vericar que si un morsmo f : X →Y admite n ucleo, este

es unico salvo isomorsmo, este objeto se denomina Ker( f ), y la echa Ker(f ) →X se suele denominar ker (f ).

Comparando esta denici´on con la propiedad universal del n ucleo en el contextode grupos y de modulos, vemos que la nocion de nucleo categorico dada aquı coincide,en estos casos, con la nocion de nucleo habitual.

La nocion de conucleo es dual a la de nucleo:

Denici´ on 9.2.7. Sea f : X →Y un morsmo en una categorıa C con objeto cero,un morsmo p : Y →C se dice un con ucleo de f en caso de que:

• p ◦f = 0 .

• Si j : Y →Z es un morsmo tal que j ◦ f = 0 , entonces existe un ´ unicomorsmo j : C →Z tal que j ◦ p = j , en diagramas:

X f

/ /Y p

/ /

j

C

∃! j ~ ~ ~

~

Z

Ejercicio: Dada f : X →Y , un morsmo p : Y →C es un conucleo de f si y solo si p : C →Y es un nucleo, en Cop de f : Y →X . Si una echa f admite con ucleo, estees unico salvo isomorsmo.

Al igual que en caso de nucleo, el objeto conucleo se suele denotar Coker(f ), y elmorsmo se denota en letras min usculas.

En la categorıa de m´odulos sobre un anillo, dado un morsmo f : M →N ,el conucleo de f es la proyeccion π : N →N/ Im(f ). En la categorıa de grupos,si f : G →H es un morsmo de grupos, el conucleo es la proyeccion al cocienteH →H/N (Im( f )), donde N (Im( f )) es el normalizador de Im( f ) en H , es decir, el

subgrupo normal m as chico que contiene a Im(f ) (que eventualmente puede contenerestrictamente a Im( f )).

Si f : (X, x 0) →(Y, y0) es un morsmo en la categorıa Sets 0 (es decir, f : X →Y es una funcion tal que f (x0) = y0), se puede comprobar f acilmente que Ker( f ) =({x∈X / f (x) = y0}, x0), y Coker(f ) = ( Y/∼, y0) donde la relacion de equivalencia

∼est a denida por f (x)∼y0 ∀x∈X .




9.2.4 Egalizadores y coegalizadoresSi consideramos intuitivamente los n´ucleos como los objetos formados por ele-

mentos que verican una igualdad, y los con ucleos como cocientes, resulta naturalgeneralizar estas construcciones a otras categorıas en donde la noci´ on de cero no exis-ta pero si exista una noci on de “ecuacion” o igualdad, ası como tambien a categorıasen donde exista la noci on de cociente por una relaci on de equivalencia.

Denici´ on 9.2.8. Sean f, g : X →Y dos morsmos en una categorıa cualquiera C. Llamaremos un egalizador de f y g a un objeto E provisto de un morsmoi : E →X tal que f ◦ i = g ◦ i, que sea universal con respecto a esa propiedad. M´ asprecisamente, si h : Z →X es un morsmo tal que f ◦h = g ◦h, entonces existe un

´ unico morsmo h : Z →E tal que h = i ◦h

E i / /X f

/ /g / /Y

Z

h O O

∃!h

` ` d d

d d

Ejercicios:

1. Si dos morsmos f, g : X →Y admiten egalizador, este es ´unico a menos deisomorsmo.

2. Si la categorıa admite objeto cero y f : X →Y , entonces Ker( f ) coincide conel egalizador de los morsmos f, 0 : X →Y .

La nocion de coegalizador es la dual:

Denici´ on 9.2.9. Sean f, g : X →Y dos morsmos en una categorıa cualquiera C. Llamaremos un coegalizador de f y g a un objeto C provisto de un morsmo p : Y →C tal que p ◦f = p ◦g, que sea universal con respecto a esa propiedad. M´ asprecisamente, si h : Y →Z es un morsmo tal que p ◦ f = p ◦g, entonces existe un ´ unico morsmo h : C →Z tal que h = h ◦ p

X f / /g / /Y

h

p / /C

∃!h ~ ~ ~

~

Z

Ejercicios:




1. Si dos morsmos f, g : X →Y admiten coegalizador, este es ´unico a menos de

isomorsmo.2. Si la categorıa admite objeto cero y f : X →Y , entonces Coker( f ) coincide con

el coegalizador de los morsmos f, 0 : X →Y .

3. Si f, g : X →Y son dos morsmos en la categorıa de conjuntos, entonces elegalizador de f y g consiste en el cociente de Y por la relacion de equivalenciay ∼y ⇔ ∃x ∈X tal que o bien y = f (x) e y = g(x), o bien y = g(x) ey = f (x).

4. Si f, g : M →N son dos morsmos entre dos modulos sobre un anillo A,entonces el coegalizador de f y g es N/ f (m)

−g(m) : m

∈

M .

9.2.5 Push-outs y pull-backs (productos brados y cuadradoscartesianos)

La nocion de coproducto se utiliza frecuentemente para construir un objeto apartir de otros dos, pero puede ocurrir que un objeto quede determinado por un parde subobjetos sin ser necesariamente su coproducto. Ilustrando este hecho, podemosconsiderar un m odulo M generado por dos subm odulos M 1 y M 2, tales que M 1∩M 2 =

{0}, y por lo tanto M = M 1⊕M 2, o bien un conjunto X que sea la union de dossubconjuntos Y y Z , donde esta uni on no sea necesariamente disjunta.

En el caso de los conjuntos, si se desea denir una funcion con dominio el conjuntoX = Y ∪Z , es claro que basta denirla por un lado en Y y por otro lado en Z ,pero como puede haber puntos en com un, las funciones denidas por separado debencoincidir en Z ∩Y .

En el caso de modulos la situaci on es similar, si se tienen denidos morsmosf 1 : M 1 →N y f 2 : M 2 →N , y M = M 1 + M 2, la condicion para que f este denidaen M se puede deducir de la siguiente manera:

Como M = M 1 + M 2, las inclusiones M 1 →M y M 2 →M denen un unicomorsmo M 1⊕M 2 →M que es un epimorsmo. Por lo tanto M es un cocientede M 1

⊕

M 2. Si un par (m1, m 2)

∈

M 1

⊕

M 2 va a parar a cero en M , signica que

m1 + m2 = 0, o lo que es lo mismo m1 = −m2, y como m1∈M 1 y m2

∈M 2 se sigueque m1 y m2 son elementos de M 1 ∩M 2, luego Ker(M 1⊕M 2 →M ) = {(m, −m) :m∈M 1 ∩M 2}. Si f 1⊕f 2 : M 1⊕M 2 →N , la condicion para que esta funci on paseal cociente es que se anule en el nucleo, es decir que (f 1⊕f 2)(m, −m) = 0 ∀m ∈M 1 ∩M 2 ⇔ f 1(m) + f 2(−m) = 0 ∀m∈M 1 ∩M 2, o lo que es equivalente, que f 1y f 2 coincidan en donde coinciden sus dominios.




Esta noci on, de construir un objeto a traves de dos partes, pero que pueden tener

relaciones entre ellas, es la que se formaliza categ oricamente a traves de la denici´onde push-out:

Denici´ on 9.2.10. Sean f : X →Y y g : X →Z dos morsmos (ver diagrama)

X f / /

g

Y

Z

Un objeto T , junto con dos morsmos i : Y →T y j : Z →T se llama un push-outde f y g si verica las siguientes dos condiciones: 1) i

◦f = j

◦g, y 2) es universal con

respecto a esa propiedad, es decir, dado un diagrama conmutativo de echas llenascomo el siguiente, siempre puede completarse de manera ´ unica y conmutativa con la echa punteada:

X f

/ /

g

Y i

β

H H H H H H H H H H H H H H H

Z j

/ /

α ' ' T

γ

e e

e e

T

Notaci´ on: el push-out de un diagramaX

f / /

g

Y

Z se denotar a Z X Y .

Ejercicios:

1. Sea X un conjunto, Y y Z dos subconjuntos de X . Demuestre queY ∩Z

/ / / / Y

Z / / / /Y

∪

Z es un cuadrado push-out.

2. Sea I un objeto inicial en una categorıa C con coproductos, X e Y dos objetos

de C, entonces el pushout deI / /

X

Y es X Y .




3. Sea C una categorıa que admite coproductos y coegalizadores, entonces el push-

out de dos morsmos f : X →Y y g : X →Z se calcula como el coegalizadorde iY ◦ f : X →Y Z y iZ ◦f : X →Y Z .

4. Calcule explıcitamente el push-out en la categorıa de m´ odulos.

5. Ver que en la categorıa de m odulos, un diagramaM

f / /

N g

0 / /T

es un cuadrado

push-out si y s olo si la sucesion 0 / /M f

/ /N g

/ /T / /0 es exacta.

6. Describir al coegalizador como la “composicion” de dos push-outs.

La nocion de pull-back es el concepto dual:

Denici´ on 9.2.11. Sean f : Y →X y g : Z →X dos morsmos (ver diagrama)

Y f

Z

g / /X

Un objeto T , junto con dos morsmos p : T →Y y q : T →Z se llama un pull-back

de f y g si satisface las dos condiciones siguientes: 1) f ◦ p = g ◦q, y 2) es universal con respecto a esa propiedad, es decir, dado un diagrama conmutativo de echas llenascomo el siguiente, siempre se pueda completar de manera ´ unica y conmutativa con la echa punteada:

T α

' '

β

H H H H H H H H H H H H H H H

d d

d d

T p

/ /

q

Y f

Z g

/ /X

Notaci´ on: el pull-back de un diagramaY

f

Z g / /X

se denotar a Z X Y .

Ejercicios:




1. Sea C una categorıa que admite productos y egalizadores, entonces el pull-back

de dos morsmos f : Y →X y g : Z →X se calcula como el egalizador def ◦ pY : Y Z →X y f ◦ pZ : Y Z →X .

2. Describir el pull-back en la categorıa de conjuntos y en la de m odulos.

3. Describa el pull-back en la categorıa de espacios topológicos.

4. SeaT / /

Y

Z / /X

un cuadrado conmutativo en una categorıa C. Ver que es un cua-

drado push-out (respectivamente pull-back) si y s´ olo si para todo objeto W enC, aplicando Hom C(−, W ) (respectivamente Hom C(W, −) ) queda un cuadradopull-back en la categorıa de conjuntos.

5. Sea f : X →Y un morsmo en una categorıa cualquiera. Probar que f es un

monomorsmo si y solo si el diagramaX Id / /

Id

X f

X

f / /Y

es un pull-back.

6. Enunciar y demostrar la versión dual del ejercicio anterior, con epimorsmos ypush-outs.

9.2.6 LımitesDaremos en esta seccion la denicion de lımite (o lımite inverso, o lımite pro-

yectivo) y la de colımite (o lımite directo, o lımite inductivo). Estas son nocionescateg oricas. En categorıas concretas, como la categorıa de conjuntos, o de m´ odulossobre un anillo, la parte de los datos que corresponde a los objetos puede interpre-tarse como las piezas con las que se construye el ob jeto lımite, y las echas como lasrelaciones que se le imponen. La nocion de lımite inverso generaliza la de producto,egalizador, y objeto nal, la noci on de colımite es la nocion dual a la de lımite, y como

es de esperar generaliza a la nocion de coproducto, coegalizador y objeto inicial.Para jar ideas, comenzamos con la construcción del lımite en la categorıa de

conjuntos:Consideremos un conjunto parcialmente ordenado ( I, ≤) (que puede ser vacıo),

una familia de conjuntos {X i}i∈I y por cada i ≤ j una funci on f i≤ j : X j →X i .A estos datos les pedimos la siguiente condici on de compatibilidad: si i ≤ j ≤ k,




entonces f i≤ j ◦ f j ≤ k = f i≤ k es decir, cada vez que hay tres elementos i, j ,k de I tales

que i ≤ j ≤k, entonces el siguiente es un diagrama conmutativo:

X kf j ≤ k

/ /

f i ≤ k f f f f f f f fX j

f i ≤ j

X i

A un conjunto de datos con esas propiedades se lo llamar´a un sistema proyectivo .Notemos que si elegimos una familia de funciones entre varios conjuntos, esta familiasiempre est a parcialmente ordenada diciendo que una funci´ on f es menor o igual queotra funci on g si y solo si son “componibles”, es decir, si el codominio def coincide conel dominio de g, luego, trat andose de datos que contienen una familia de funciones,resulta natural indexarlos por un conjunto parcialmente ordenado.

Lo que se busca es agregarle un supremo al conjunto parcialmente ordenado I , locual signicarıa agregar un conjunto X i0 en donde, para todo i∈I esten denidasfunciones f i : X i0 →X i (i.e. que i0 ≥ i∀i∈I ), y que el conjunto I ∪{i0}siga siendoun sistema compatible, es decir, que para cada i ≤ j , los diagramas que se agregan

X i0

f j / /

f i ! ! f f f f f f f f

X j

f i ≤ j

X i

sean conmutativos, y adem´as, que este conjunto X i0 sea lo mas grande posible, esdecir, que si un conjunto X tiene denidas funciones gi : X →X i compatibles conla relacion de orden de I , entonces estas funciones se factoricen a traves de X (verdiagrama).

X f j

/ /X j

f i ≤ j

X

gj

> > } } } } } } } }

gi / /

∃!g

O O 1 1 1

X i

La construccion de un conjunto X i0 con tales propiedades puede ser dada como sigue:Denir, para cada i ∈I , una funci on de X en X i es equivalente a denir una




funcion f : X → i∈I X i . Si ademas, para cada i ≤ j , el diagrama

X i0

f j / /

f i ! ! f f f f f f f fX j

f i ≤ j

X i

es conmutativo, entonces la imagen de f : X → i∈I X i est a necesariamente con-tenida en el subconjunto {(xi)i∈I : f i≤ j (x j ) = xi ∀i ≤ j }. Llamamos lim

←I X i a

este subconjunto del producto, y denimos f i : lim←I

X i →X i a la composicion de lainclusion del lımite en el producto con la proyecci on en la coordenada i-esima:

lim←I

X i → i∈I X iπ i / /X i

Por construcci on, queda demostrada la siguiente proposici´on:

Proposici´ on 9.2.12. (Propiedad universal del lımite) Sea I un conjunto parcialmen-te ordenado y {f i≤ j : X j →X i}i,j ∈I, i ≤ j un sistema proyectivo, entonces:

• Las funciones f i : lim←I

X i →X i verican que para todo i ≤ j , f i≤ j ◦ f j = f i .

• Si {gi : Y →X i} es un conjunto de funciones que verican que para todoi

≤ j , f i≤ j

◦g j = gi , entonces existe una ´ unica funci´ on g : Y

→lim←I

X i tal quegi = f i ◦g

La proposicion anterior sirve como denici on (en caso de que exista) del lımitede un sistema proyectivo de morsmos en una categorıa arbitraria.

Dejamos como ejercicio la demostracion del siguiente resultado:

Proposici´ on 9.2.13. Dado un conjunto parcialmente ordenado I , y un sistema pro-yectivo {f i≤ j : X j →X i}, un objeto X es el lımite de este sistema si y s´ olo si, para cada objeto Y , HomC(Y, X ) es el lımite (en la categorıa de conjuntos) del sistema proyectivo {(f i≤ j )∗ : HomC(Y, X j ) →HomC(Y, X i)}.

Ejemplos: / Ejercicios:1. Consideremos, en una categorıa cualquiera, un diagrama X 1

f

X 2g

/ /X 3

. Deni-

mos sobre el conjunto {1, 2, 3}el orden parcial en donde el 1 y el 2 no estan




relacionados, 3 ≤1 y 3≤2. Llamamos f 3≤ 1 := f y f 3≤ 2 := g, entonces el lımite

del sistema proyectivo {f 3≤ 1 : X 1 →X 3, f 3≤ 2 : X 2 →X 3}no es otra cosa queel pull-back del diagrama anterior.

2. Sea {X i}i∈I una familia de objetos de una categorıa C indexados por un conjunto I , y consideremos el orden parcial en I en donde ningun elemento est arelacionado con ningun otro (es decir, el conjunto de {f i≤ j : i, j ∈I, i ≤ j}solocontiene las identidades Id i = f i≤ i . Entonces el lımite de este sistema proyectivocoincide con el producto de los X i .

3. Sea I el conjunto vacıo, entonces lim←∅

es un objeto nal.

4. Los coegalizadores pueden calcularse a partir de dos lımites consecutivos, dehecho, a partir de dos pull-backs consecutivos:Sean f, g : X →Y y consideremos el pull back X Y X / /

X g

X

f / /Y

. Si estuviera-

mos en la categorıa de conjuntos, X Y X = {(x, x )∈X ×X/ f (x) = g(x )},pero como queremos denir el subconjunto formado por {x ∈X / f (x) =g(x)}, una manera es considerar la intersecci´on de X Y X con la diagonal

{(x, x ) / x ∈X }, es decir, la imagen de X en X ×X que se dene a traves deldiagrama:

X

X

Id w w w w w w w w w w

w w w w w w w w w w

Id q q q q q q q q q q

q q q q q q q q q q / / X X

O O

X

Llamemos ∆ : X →X X al morsmo denido anteriormente (que tienesentido en cualquier categorıa). Demostrar entonces que el egalizador de f y ges el pull-back del diagrama

X Y X

X ∆ / /X X




(se deja como ejercicio tambien descubrir cu´al es la echa natural X Y X →X X ).

5. En la categorıa de m odulos sobre un anillo jo, el lımite de un sistema proyectivocoincide con el lımite visto en la categorıa de conjuntos.

6. Sea k un anillo cualquiera, consideremos los naturales con el orden usual. En lacategorıa de anillos llamamos k[x]≤ n := k[x]/ xn +1 a los polinomios truncadosen grado n. Si n ≤ m, f n ≤ m :k[x]≤ m →k[x]≤ n denota la proyecci on canonica,probar que lim

←nk[x]≤ n = k[|x|], las series de potencias formales con coecientes

en k.

7. Sea I un conjunto parcialmente ordenado que tiene m´ aximo, es decir que existei0∈I tal que i0 es comparable con todo elemento de I y ademas i0 ≤ i∀i∈I .Demostrar que si {f i≤ j : X j →X i}es un sistema proyectivo cualquiera, entoncessu lımite existe y coincide con X i0 .

8. En la categorıa de conjuntos, si {X i}i∈I es una familia de subconjuntos de X ,ordenada por el orden inverso a la inclusi on, y se consideran como morsmostambien las inclusiones, entonces lim

←I X i = ∩i∈I X i .

9.2.7 Colımites

La nocion dual a la de lımite es la de colımite:Denici´ on 9.2.14. Sea I un conjunto parcialmente ordenado, {X i}i∈I una familia de objetos de una categorıa dada C, y para cada i, j en I con i ≤ j un morsmof i≤ j : X i →X j . La familia de objetos X i junto con los morsmos f i≤ j se denominar´ a un sistema inductivo en caso de que veriquen la condici´ on de compatibilidad f j ≤ k◦f i≤ j = f i≤ k para todo i ≤ j ≤k.

Denici´ on 9.2.15. Sea I un conjunto parcialmente ordenado, {f i≤ j : X i →X j}un sistema inductivo. Llamaremos lımite directo (o lımite inductivo, o lımite inyectivo,o colımite), en caso de que exista, a un par (X, {f i : X i →X }) que verique las

siguientes propiedades:

• si i ≤ j , f j ◦ f i≤ j = f i .

• Si Y es un objeto cualquiera, y gi : X i →Y es una familia de morsmos quesatisface que g j ◦ f i≤ j = gi para todo i ≤ j , entonces existe un ´ unico morsmog : X →Y tal que gi = g ◦f i .




A este objeto X lo denotaremos lim→I

X i .

La siguiente proposici on tiene demostraci on obvia:

Proposici´ on 9.2.16. Sea I un conjunto parcialmente ordenado y {f i≤ j : X i →X j}un sistema inductivo en una categorıa C.

1. Si un lımite directo existe, es ´ unico salvo isomorsmo.

2. Un lımite directo en una categorıa C es lo mismo que un lımite inverso en la categorıa opuesta.

3. Dado un objeto cualquiera Y , el sistema {(f i≤ j )∗

: HomC(X j , Y ) →HomC(X i , Y )}es un sistema proyectivo. Un objeto X es un lımite directo de los X i si y s´ olo si HomC(X, Y ) es el lımite inverso (en la categorıa de conjuntos) de losHomC(X i , Y ) para todo objeto Y .

Ejemplo: En la categorıa de conjuntos, si {X i}i∈I es una familia de subconjuntos deX , ordenada por la inclusi on, y se consideran como morsmos tambien las inclusiones,entonces lim

→I X i = ∪i∈I X i .

9.3 Funtores

9.3.1 Denici´ on y ejemplosUna vez denido el concepto de categorıa, en donde se tiene en cuenta simult´aneamente

la nocion de objeto y la de morsmo, el concepto de funtor resulta natural, pues esun “morsmo” de una categorıa en otra:

Denici´ on 9.3.1. Sean C y D dos categorıas, un funtor F de C en D , que denota-remos F : C →D , es el siguiente par de datos:

•Una asignaci´ on, para cada objeto X de C, de un objeto F (X ) de D .

• Para cada par de objetos X e Y de C, una funci´ on

F X,Y : HomC(X, Y ) →HomD (F (X ), F (Y )) .

Vericando los siguientes dos axiomas:




F1: Si g : X →Y y f : Y →Z son dos morsmos en C, entonces F (f ◦ g) =

F (f ) ◦F (g).F2: Para todo objeto X de C, F (Id X ) = IdF (X ) .

Nombres: Muchas veces se denomina funtor covariante a un funtor segun ladenicion anterior. Si en cambio se tiene una asignaci´on de objetos X →F (X ) y deechas F X,Y : HomC(X, Y ) →HomD (F (Y ), F (X )) que satisface el axioma F1 y elaxioma F2’: F (f ◦g) = F (g) ◦F (f ), entonces F se denomina funtor contravariante .

Ejemplos:

• O:G

→Sets , dado un grupo G,

O(G) es el conjunto G, y si f : G

→G es un

morsmo de grupos, O(f ) es simplemente f , vista como funcion.

• O: AMod →Sets , dado un A-modulo M , O(M ) es el conjunto subyacente M ,si f : M →N es una aplicacion A-lineal entre M y N , O(f ) = f .

• Se pueden denir de la misma manera, funtores “olvido” de la categorıa Top enSets , o de Top 0 en Top (olvidando el punto de base), de la categorıa AMod enAb , tomando un A-modulo y considerando solamente la estructura subyacentede grupo abeliano.

• Un ejemplo menos trivial es el funtor “abelianizaci´on” Ab :G→Ab , denido porG →G/ [G, G]f →f

Notar que si f : G →G es un morsmo de grupos, entonces f ([G, G]) ⊆[f (G), f (G)]. Es por eso que esta bien denida la aplicaci on de grupos (abelia-nos) f : G/ [G, G] →G / [G , G ]. Queda como ejercicio demostrar la funtoriali-dad de Ab (es decir, que f ◦g = f ◦g y que IdG = IdG/ [G,G ]).

Un ejemplo de construcci on que no es funtorial es la asignacion, de G en Ab dadapor G → Z (G) (Z (G) = el centro de G); ¿por que no es funtorial?

M as ejemplos:

1. Si X es un objeto jo en una categorıa C, entonces se tienen dos funtores en lacategorıa de conjuntos:




• HomC(X, −) : C →Sets (covariante)

Y →HomC(X, Y )(f : Y →Z ) →f ∗ : HomC(X, Y ) →HomC(X, Z )

donde, si φ : X →Y , f ∗(φ) : X →Z est a denido por f ◦φ.

• HomC(−, X ) : C →Sets (contravariante)

Y →HomC(Y, X )(f : Y →Z ) →f ∗ : HomC(Z, X ) →HomC(Y, X )

donde, si φ : Z →X , f ∗(φ) : Y →X est a denido por φ ◦f .

2. Si A es un dominio ıntegro, entonces t : AMod →AMod dada por M →t(M )(la A-torsi on de M ), es un funtor.

3. De Sets en Top se pueden denir dos funtores “extremos”, usando la topologıadiscreta: X →(X, P (X )), o la indiscreta: X →(X, {∅, X }).

4. De Sets a G o AMod se puede denir el funtor “libre”, es decir L(X ) = elgrupo libre generado por el conjunto X , o A(X ) , el A-modulo libre generado porX . Como denir un morsmo con dominio L(X ) (resp. A(X )) equivale a deniruna funci on de conjuntos sobre X con dominio en otro grupo (resp. en otroA-modulo), dada una funci´on X

→Y queda unıvocamente determinada una

echa de grupos de L(X ) →L(Y ) (resp. echa A-lineal de A(X ) →A(Y )).

9.3.2 Transformaciones naturalesAsı como los funtores pueden considerarse como los morsmos entre las categorıas,

las transformaciones naturales pueden considerarse como los morsmos entre funtores.

Denici´ on 9.3.2. Sean F 1, F 2 : C →D dos funtores (covariantes) entre dos cate-gorıas C y D . Dar un transformaci´ on natural η : F 1 →F 2 entre los funtores F 1y F 2 es dar un morsmo ηX : F 1(X ) →F 2(X ) para cada objeto X de C, con la propiedad siguiente:Si f : X →Y es un morsmo en C entonces el diagrama

F 1(X )ηX

F 1 (f ) / /F 1(Y )

ηY

F 2(X )

F 2 (f ) / /F 2(Y )




es conmutativo.

Nota: si los funtores F 1, F 2 son contravariantes, se dirá que η : F 1 →F 2 es unatransformación natural si es conmutativo el diagrama

F 1(X )ηX

F 1(Y )F 1 (f )

o o

ηY

F 2(X ) F 2(Y )

F 2 (f ) o o

para todo morsmo f : X →Y . Si ηX es un isomorsmo para todo objeto X de C (seacaso contravariante o covariante), diremos que F 1 y F 2 son naturalmente isomorfos y

que η es un isomorsmo natural (notar que en ese caso, el inverso de un isomorsmonatural tambien es una transformaci´ on natural).

Ejemplos:

1. Sean V, W dos k-espacios vectoriales y sea f : V →W una transformaciónlineal. Sabemos que las inclusiones en el doble dual son tales que el diagrama

V iV

f / /W iW

V ∗∗

f ∗∗ / /W ∗∗

es conmutativo, esto dice que la inclusi on en el doble dual es una transformaci onnatural entre los funtores F 1 = Id y F 2 = ( −)∗∗.

2. Sabemos que dados dos anillos A, B y (bi)m odulos AX B , B Y , AZ se tiene unisomorsmo

ηX,Y,Z : HomA(X ⊗B Y, Z )∼= HomB (Y, HomA(X, Z ))

(ver teorema 7.3.1).Fijados X e Y y consideramos los funtores HomA(X ⊗B Y, −) y HomB (Y, HomA(X, −)),dejamos como ejercicio vericar que este isomorsmo es una transformaci onnatural. De la misma manera jando X y Z , los funtores (contravariantes)HomA(X ⊗B −, Z ) y HomB (−, HomA(X, Z )) tambien son naturalmente iso-morfos.

3. Dado un anillo A, los funtores Id, HomA(A, −) y −⊗A A de ModA en ModA ,son todos naturalmente isomorfos entre sı.




4. Sea A un anillo y AZ A un A-bimodulo isomorfo a A como A-bimodulo, llamemos

u : Z →A ese isomorsmo. EntoncesηM : Z ⊗A M →M

z⊗m →u(z).m

dene un isomorsmo natural entre los funtores Z ⊗A −y el funtor identidad.

5. Consideremos la categorıa de anillos con unidad y la categorıa de grupos. Est´ adenido el funtor U (−) y (para cada entero positivo n jo) el funtor GL(n, −),que asocian respectivamente, dado un anillo A, el grupo de unidades de A, y lasmatrices inversibles de n por n con coecientes en A. Demuestre la funtorialidadde estas construcciones, y muestre a su vez que la funci on determinante deneuna transformaci´on natural entre GL(n, −) y U (−).

6. Se consideran los funtores sq : Sets →Sets y HomSets (2, −) denidos porsq(E ) = E ×E y HomSets (2, −)(E ) = Hom Sets (2, E ), donde 2 denota alconjunto de dos elementos {0, 1}. Probar estos funtores son naturalmente iso-morfos.

9.3.3 Funtores adjuntos, denicion y propiedadesPodemos enunciar ahora la denici´on de adjunci on de funtores, que ser a la nocion

central de esta secci on:

Denici´ on 9.3.3. Sean C y D dos categorıas, F : C →D y G : D →C dos funtorestales que para todo par de objetos M ∈Obj( C) y X ∈Obj( D ) existe un isomorsmoHomD (F (M ), X )∼= HomC(M, G (X )) que es natural con respecto a las dos variables.En este caso diremos que F es adjunto a izquierda de G y que G es adjunto aderecha de F .

Ejemplos:

1. Sea AX B un A-B-bimodulo, F = X

⊗

B

−y G = Hom A(X,

−). Entonces el

isomorsmo HomA(X ⊗B Y, Z )∼= HomB (Y, HomA(X, Z )) nos esta diciendo queF es adjunto a izquierda de G.

2. Sea A un anillo, I un conjunto, entonces el m odulo A(I ) es A-libre y tiene unabase que est a en biyeccion con I . La propiedad de la base nos dice que paradenir un morsmo A-lineal con dominio en A(I ) y codominio en otro A-modulo




M , basta denir una funci´on (de conjuntos) entre I y M . Llamemos O: A-

mod→Sets al funtor olvido, que a todo A-modulo M le asigna el conjuntosubyacente M . Entonces se tiene que, identicando el conjunto I con la basecanonica de A(I ) , la restricci on de A(I ) en I establece una biyecci on natural

HomA(A(I ) , M )∼= HomSets (I, O(M ))

3. Sea A un anillo conmutativo y S ⊂A un subconjunto multiplicativo de A.Sea O: AS -mod→A-mod el funtor que a todo AS -modulo N le asigna el mis-mo N pero considerado como A-modulo, con la estructura denida a partirdel morsmo canonico de anillos A →AS . Se puede vericar como ejerci-

cio que la propiedad universal de la localizaci on se traduce en la adjunci onHomAS (M S , N )∼= HomA(M, O(N )).

Ejercicios:

1. Dado un conjunto X , sea P (X ) la categorıa cuyos objetos son los subconjuntosde X , y las echas son las inclusiones. Fijamos dos conjuntos A y B y f : A →Buna funci on. Sea f → : P (A) → P (B) el funtor imagen y f ← : P (B) → P (A) elfuntor imagen inversa. Demuestre que f → es adjunto a izquierda de f ←.

2. V un k-espacio vectorial, A una k-algebra, T (V ) el algebra tensorial, Oel funtorolvido de k-algebras en k-espacios vectoriales, entonces

Homk− Alg (T (V ), A)∼= Homk(V, A)

3. V un k-espacio vectorial, A una k-algebra, S (V ) el algebra simetrica, Oel funtorolvido de k-algebras conmutativas en k-espacios vectoriales, entonces

Homk− AlgC (S (V ), A)∼= Homk(V, A)

4. G un grupo A un anillo, U (A) el grupo de unidades de A, entonces

HomG (G, U (A))∼= HomAn (Z [G], A)

5. G un grupo A una k-algebra, U (A) el grupo de unidades de A, entonces

HomG (G, U (A))∼= Homk− Alg (k[G], A)




6. Sea X un conjunto cualquiera, denotemos F (X ) al grupo libre generado por X ,

luego la propiedad universal del grupo libre se lee como:

HomG (F (X ), G)∼= HomSets (X, O(G))

La propiedad fundamental de los funtores adjuntos est´ a dada por el siguienteteorema:

Teorema 9.3.4. Sea G : C →D un funtor que admite un adjunto a derecha F :D →C, entonces F preserva lımites, en particular preserva productos, push-outs,egalizadores, monomorsmos, objetos nales, y si existe objeto cero preserva cero y

con´ ucleos. Dualmente G preserva colımites, en particular preserva coproductos, pull-backs, coegalizadores, epimorsmos, objetos iniciales, y si existe objeto cero preserva cero y n´ ucleos.

Demostraci´ on: Sea I un conjunto parcialmente ordenado y {f i≤ j : X j →X i}unsistema proyectivo en D que admite lımite ( X, p i : X →X i), queremos ver entoncesque el sistema proyectivo {F (f i≤ j ) : F (X j ) →F (X i)}tambien admite lımite, y quecoincide con (F (X ), F ( pi) : F (X ) →F (X i)). Para esto, recordemos que X es lımitede los X i si y solo si la funcion natural

HomD

(Y, X )

→lim←I

HomD

(Y, X i)

es una biyeccion para todo objeto Y . Si C es un objeto de C, entonces se tienen lassiguientes biyecciones naturales:

HomC(C, F (X )) ∼= HomD (G(C ), X )∼= lim

←I HomD (G(Y ), X i)

∼= lim←I

HomC(Y, F (X i))

Lo que demuestra el teorema. La parte dual puede demostrarse de manera directa, obien notando que F : C

→D es adjunto a derecha de G si y solo si F : Cop

→D op es

adjunto a izquierda de G : D op →Cop, y los colımites en D coinciden con los lımitesen D op.

Si G : C →D un funtor que admite un adjunto a derecha F : D →C, nonecesariamente G preserva epimorsmos, ni F monomorsmos, sin embargo, en casode que alguno de ellos tenga esa propiedad, tenemos el siguiente teorema:




Teorema 9.3.5. Sea G : C →D un funtor que admite un adjunto a derecha F :

D →C.

• Si G preserva monomorsmos entonces F preserva objetos inyectivos.

• Si F preserva epimorsmos entonces G preserva objetos proyectivos.

Demostraci´ on: veremos solo el primer ıtem, el segundo ıtem se demuestra o biende manera an aloga, o bien pasando a las categorıas opuestas.

Supongamos ahora que G preserva monomorsmos, queremos demostrar que F preserva objetos inyectivos.

Dado un objeto inyectivo I en D , consideremos F (I ) y un monomorsmo g : M

→N en la categorıa C. La denicion de inyectivo se esquematiza mediante el diagrama

M g

/ /

f

N

? | | z z

z z

F (I )

Es decir, dada una f ∈HomC(M, F (I )) se quiere saber si se “extiende” a N , o seasi existe alguna f : N →F (I ) tal que f = f ◦ g. La manera de reescribir esteparrafo en terminos del funtor Hom C(−, F (I )) es decir si g∗ : HomC(N, F (I )) →HomC(M, F (I )) es o no una funcion sobreyectiva, cada vez que g es un monomor-smo. A partir de la naturalidad de la adjunci´ on, tenemos el siguiente diagramaconmutativo:

HomC(N, F (I )) g∗ / /

HomC(M, F (I ))

HomD (G(N ), I ) G(g)∗

/ /HomD (G(M ), I )

Por hip otesis, G preserva monomorsmos, luego G(g) : G(M ) →G(N ) es un mono-morsmo, al ser I inyectivo en C se sigue que G(g)∗es una funcion sobreyectiva, comolas dos echas verticales son biyecciones, se sigue que g∗es una funcion sobreyectiva,como se querıa probar.

Ejemplos: El funtor olvido O: AMod →Sets conserva epimorsmos, usando elteorema re-encontramos la propiedad bien conocida que dice que los A-modulos libresson proyectivos.



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Bibliografıa

[F. W. Anderson – K. R. Fuller] Rings and categories of modules , Springer - Verlag1973.

[M. Auslander – I. Reiten – S. O. Smalø] Representation theory of Artin algebras .Cambridge University Press 1995.

[N. Bourbaki] ´ Elements de mathematique. Algebre . Chap. II, III y VIII (Hermann1970), Chap. X (Masson 1980).

[J. Dieudonne] Sur les groupes classiques. Troisieme edition, Hermann, 1967.

[C. Faith] Algebra II. Ring theory . Springer 1976.

[S. Lang] Algebra . Second edition, Addison – Wesley 1984.

[S. Mac Lane] Categories for the working mathematician . Springer 1971.

[B. Mitchell] Theory of categories . Academic Press 1966.

[H. Weyl] The classical groups . Princeton University Press 1946.

213



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Indice de Materias

Accionde un grupo sobre un conjunto, 24transitiva, 28

Anillo, 39ıntegro, 41cociente, 48conmutativo, 40de Boole, 56de division, 40de grupo, 42, 44de polinomios, 43

hereditario, 105hiperhereditario, 95producto de, 51simple, 47subanillo, 41

Artiniano, 127, 130, 131anillo, 86modulo, 86

Automorsmo interior, 26

Base, 91Bilineal, 145, 146, 148, 150Bimodulo, 61

Cıclicomodulo, 70, 74vector, 70

Categorıa, 65, 163, 166, 181Centralizador, 29Centro, 14 , 26Cociente

de anillos, 48de grupos, 16de modulos, 68

Coegalizador, 195Cogenerador, 117Colımite, 203, 210Conucleo, 70, 194

Conmutador, 14Contexto Morita, 173Coproducto, 190, 210

Determinante, 54Dominio

ıntegro, 41de factorizaci on unica (dfu), 135, 136de ideales principales (dip), 96, 134,

135, 138euclıdeo, 134

Ecuaci on de clases, 30Egalizador, 195Enteros de Gauss, 57Epimorsmo

categ orico, 186

214




de anillos, 43, 45, 186

de grupos, 15, 186de modulos, 66Equivalencia

de categorıas, 164, 166, 178relacion, 16

Estabilizador, 27, 29, 31

Funtor, 166, 204aditivo, 169adjunto, 164–166, 169, 178, 208 , 210,

211contravariante, 205exacto, 166libre, 206olvido, 205, 211

Galois, 177Generador

de un grupo, 23de un modulo, 74modulo generador, 117

Grupo, 9abeliano, 9cıclico, 23centro, 14cociente, 18conmutador, 14cuaterni onico, 33de Hamilton, 33de isotropıa, 29invariante, 14

normal, 14normalizador, 14simetrico, 10subgrupo, 12teorema de Lagrange, 21teoremas de isomorsmo, 20

Hereditario, 105

Hiperhereditario, 95Ideal

a derecha, 46a izquierda, 46bilatero, 46generado, 47maximal, 56, 57primo, 56, 57principal, 47Propiedad universal, 49

Idempotente, 56, 63Independencia lineal, 89Indice, 21Inyectivo

grupo abeliano, 114modulo, 111, 115objeto, 211

Isomorsmocateg orico, 183de anillos, 43

de grupos, 15Lımite, 210

directo, 203inductivo, 203inverso, 199inyectivo, 203proyectivo, 199

Librefuntor, 206modulo, 91monoide, 12

Linealmente independiente, 90Localizacion, 51, 53, 76

en un ideal primo, 57

Modulo, 59




artiniano, 86

bimodulo, 61cıclico, 74cociente, 68de tipo nito, 64divisible, 75nitamente cogenerado, 86nitamente generado, 64, 80indescomponible, 88inyectivo, 111libre, 91

noetheriano, 80playo, 158proyectivo, 103semisimple, 124simple, 62submodulo, 62submodulo maximal, 64teoremas de isomorsmo, 69

Matrices, 40, 46, 47, 54 , 62Monoide, 11Monomorsmo

categ orico, 184de anillos, 43de grupos, 15de modulos, 66

Morsmo, 181de anillos, 43de grupos, 14de modulos, 65

Moritacontexto, 173equivalencia, 168Galois, 177teorema, 170, 171

Multiplicativamente cerrado, 52, 57

Nucleo

categ orico, 193

de anillos, 45, 48de grupos, 15de modulos, 66

Nilpotente, 56Noetheriano, 127

anillo, 82modulo, 80

Norma, 57Normalizador, 14

Objeto nal, 192Objeto inicial, 192Orbita, 28–30Orden

de un elemento, 24de un grupo, 9, 21

Playo, 158Polinomio, 136

minimal, 70Producto, 187, 210

cruzado, 176de anillos, 51, 63de modulos, 63directo, 72directo de grupos, 10semidirecto, 34tensorial, 154, 208

Produtotensorial, 145

Proyectivomodulo, 103objeto, 211

Pull-back, 198, 210Push-out, 197, 210

Radical, 130, 132Rango, 96




Representaci on

conjuntista, 25lineal, 60Retracci on, 72

Seccion, 72Semisimple, 124 , 126Sistema inductivo, 203Soporte, 42Submodulo, 62Sucesion exacta 67 73 80–82

Libro Algebra II

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