LIBER ARCHIMEDIS DE INSIDENTIBUS AQUEtesto digitalizzazto da heinrich f. fleck

Q uello riportato nell’intestazione è il titolo proposto dal Moer-beke per la sua versione in latino dei Corpi galleggianti. Il testo, comespecificato nelle note introduttive, segue l’edizione filologica del Clagettdedicata alle vicende dei codici archimedei nel medioevo, in particolare

alla redazione del monaco fiammingo. 1 Sulla versione poche note.Chi non abbia mai avuto accesso a questo genere di testi, rileverà l’incon-

sueto latino, distante persino da quello ecclesiastico. In effetti, a parte l’assenzadei dittonghi, voci latine rese secondo fonia e non secondo grammatica (que perquae), altre rese secondo scrittura (spere per sphaerae),. . . appare incomprensi-bile l’adozione di vocaboli che non agevolano, come le forme dianzi prodotte adesempio potrebbero lasciar supporre, un’intelligenza erga omnes del testo, anzila complicano specie nei confronti di chi non sappia nulla di greco.

Di fatto, se rendere ἔστω (sia) con esto si manifesta come scelta dubbia(forma utilizzata in apertura di enunciati) tanto più che il latino sit si trova spessousato, incomprensibile appare l’uso di un vocabolo come emiolius che traduceἡμιόλιος (una volta e mezzo), anziché l’uso della forma appropriata (sesquialter)come correttamente farà il Commandino, termine che contribuisce, almenoin quella parte, ad alimentare la non comprensione di un testo non propriosemplice, sempre per i non addetti ai lavori, tale da far supporre, piuttostoche il voler rendere fedelmente un testo, la scarsa padronanza – almeno – dellamateria; difficilmente un matematico si sarebbe espresso con locuzioni del tipofaciat angulum o anguli recti erunt facti.

Con questo non si vuole affatto significare che i vocaboli citati non fosseroutilizzati in testi composti secondo il latino dell’alto medioevo: esto risultamolto usato a significativa testimonianza della diffusione dei testi greci chevedevano alcune forme verbali transitare nel latino traslitterandole secondografia e fonia, ed anche ἡμιόλιος risulta usato, confinato tuttavia al campo dellateoria musicale come espressione di un rapporto fra suoni (2/3) piuttosto cheuna misura di lunghezza (1 + 1/2 nel testo, ossia 3/2).

La critica storica e filologica contemporanea è aliena dalla severa presa di posi-zione espressa da Ruggero Bacone che liquidava le traduzioni del Moerbeke qualelavoro di chi [numquam] scivit aliquid dignum de linguis et scientis, 2 ricondu-cendo spesso il negativo giudizio ad una presunta rivalità baconiana con Vitellioche aveva interessi scientifici (l’ottica) collidenti con quelli del doctor mirabilis. 3

Riesce difficile cancellare dalla mente la sensazione che si ha dalle edizionilatine del Moerbeke e precisamente questa: le traduzioni siano state pedissequa-mente condotte, senza comprendere quanto, di volta in volta, si stava operando;impressione, se veritiera, che getta una non felice ombra sul Moerbeke, conside-rando che operava in un ambiente culturalmente effervescente, e non gli sarebbestato difficile rivolgersi a frequentatori illustri della corte papale di Viterbo per

1. Archimedes in the Middle Ages; Archimede 1964-1984, vol. II, parti I, II, III.2. Ruggero Bacone, Compendium Studii Philosophiae.3. Orsola Rignani, Ruggero Bacone su traduttori e traduzioni, Rignani 2007.

1

chiedere lumi, esplicitare, commentare parti del testo, magari proprio a quelVitellio con cui era in amicizia e confidenza.

Le uniche glosse che compaiono nel testo sono del tipo di quella asetticariportata a pagina 7 per la ln. 211, ma sul fatto che (libro I, proposizione IX) iltesto enunci tre diverse fattispecie quando poi se ne esamina soltanto una, iltraduttore non fa chiose al testo latino. Un velato commento s’intravede soloalla X proposizione del libro II, Demonstratio quinte partis, quando il traduttoreriporta Omnes iste figure sunt false, sed sic erant in greco (→ pagina 27, notaper ln. 793), osservazione che riporterà ancora poche righe appresso.

Il caso sembra ridursi forzosamente ad uno: il traduttore non comprende-va quanto leggeva e traduceva, e personalmente sono fermamente convintodi quest’ipotesi che credo avvalorata dalla moltitudine di errori presenti neltesto in riferimento alle lettere dei disegni. Per contrappasso si veda il testolatino rivisitato dal Commandino con gli interventi sulla lingua e i numerosiintelligatur a spiegazioni di porzioni di testo, e che a buon diritto poteva scriverenel sottotitolo che i due libri erano in pristinum nitorem restituiti. Mi rendoconto che il paragone Commandino -Moerbeke rischia di essere ingeneroso neiconfronti del monaco fiammingo, paragonando un eccelso matematico con untraduttore. Al di là delle sintetiche osservazioni svolte, queste note intendevanosolo rappresentare all’eventuale lettore che s’imbatte per la prima volta inquesto testo come in altri archimedei del Moerbeke, la forma espositiva del testoove il traduttore si è limitato a rendere sostantivi, verbi, aggettivi,. . . in unaveste formale che (linguisticamente) possiede scarsa valenza, nemmeno quella diagevolare nella lettura e nella comprensione chi ha poca dimestichezza con il la-tino, perché adottare termini per la cui intelligenza occorre poi necessariamenterisalire al greco, non ha davvero alcun senso.

* * * * * * * * * *

Le annotazioni riportate sono quelle apposte dal Clagett all’edizione: l’espressio-ne ___ (lac.) individua una lacuna nel testo; il punto d’esclamazione racchiusofra parentesi tonde e seguito da lettere dell’alfabeto greco o latino del tipo:copuletur HK (! ZH), specifica la correzione apportata dal curatore; gli apicipresenti in alcune simbologie letterali del tipo B′ si riferiscono ad elaborazionigrafiche prodotte dal Clagett (ex Commandino) che non sono presentate. Isimboli letterali che compaiono con questa e questa simbologia, sono statiresi, come altrove, con ϛ e ϡ . I disegni sono collocati nel corpo della proposi-zione: nell’edizione compaiono in un volume dedicato.Come ricordato, nella scrittura si è riportata la latina adottata dall’edizione:gravitate e non grauitate, lettere capitali dopo un punto fermo. L’indentatura,presente ad ogni rinvio a capo, non è adottata per figure incorniciate da testo.

2

Liber I

Supponatur humidum habens talem naturam, ut partibus ipsius ex equo iacentibuset existentibus continuis expellatur minus pulsa a magis pulsa, ed unaquequeautem partium ipsius pellitur humido, quod supra ipsam existente secundumperpendicularem si humidum sit descendens in aliquo et ab alio aliquo pressum.

[I.] Si superficies aliqua plano secta per aliquod semper idem signum sectionem 5faciente circuli periferiam centrum habentem signum per quod plano secatur,spere erit superficies.

K

A

D

B

G

Sit enim superficies aliqua secta per si-gnum K plano semper sectionem facientecirculi periferiam, centrum autem ipsius 10

Fig. Ia. 1 K [Fig. Ia. 1]. Si igitur ipsa superficiesnon est spere superficies, non erunt om-nes que a centro ad superficiem occurren-tes linee equales. Sint itaque A, B, G, Dsigna in superficie et inequales que AK, 15KB, per ipsas autem KA, KB planumeducatur et faciat sectionem in superfi-cie lineam DABG. Circuli ergo est ipsa,centrum autem ipsius K, quoniam sup-

ponebatur superficies talis. Non sunt ergo inequales KA, KB. Necessarium 20igitur est superficiem esse spere superficiem.

[II.]Omnis humidi consistentis ita ut maneat immotum superficies habebitfiguram spere habentis centrum idem cum terra.

A

B

Z X K D

E

H

L

G

OP

Intelligatur enim humidum consistensita ut maneat non motum, et secetur ip- 25sius superficies plano per centrum terre.Sit autem terre centrum K [Fig. Ia. 2],

Fig. Ia. 2 superficiei autem sectio linea ABGD.Dico itaque lineam ABGD circuli esseperiferiam, centrum autem ipsius K. 30Si enim non est, recte a K ad lineamABGD occurrentes non erunt equales.Sumatur itaque aliqua recta que est

quarundam quidem a K occurrentium ad lineam ABGD maior, quarundamautem minor, et centro quidem K distantia autem sumpte linee circulus descri- 35batur. Cadet igitur periferia circuli habens hoc quidem extra lineam ABGD,hoc autem intra, quoniam que ex centro quarundam quidem a K occurrentiumad lineam ABGD est maior, quarundam autem minor. Sit igitur descripticirculi periferia que ZBH, et a B ad K recta ducatur et copuletur HK (! ZH),KEL equales facient angulos. Describatur autem et centro K periferia quedam 40que XOP in plano et in humido; partes itaque humidi que secundum XOPperiferiam ex equo sunt posite et continue invicem, [et] premuntur que quidem

1 Supponatur humidum ] (1 - A) L’enunciato del postulato e delle proposizioni, qui in corsivo;sono in maiuscoletto nell’edizione Clagett preceduti da un numero arabo.

3

secundum XO periferiam humido que (! quod) secundum ZB locum, que autemsecundum periferiam OP humido quod secundum BE locum. Inequaliter igitur

45 premuntur partes humidi que secundum periferiam XO ei que secundum OP .Quare non (! del) expellentur minus pressa a magis pressis. Non ergo constarefecimus aliquod humidum. Supponebatur autem constans ita ut maneret nonmotum. Necessarium ergo lineam ABGD esse circuli periferiam et centrumipsius K. Similiter autem demonstrabitur et [quomodocunque aliter] superficies

50 humidi plano secta fuerit per centrum terre, quod sectio erit circuli periferia,et centrum ipsius erit quod et terre est centrum. Palam igitur quod superfi-cies humidi constantis non moti habet figuram spere habentis centrum idemcum terra, quoniam talis est ut secta per idem signum sectionem faciat circuliperiferiam [centrum] habentis signum per quod secatur plano.

55 [III.] Solidarum magnitudinum que est equalis molis et equalis ponderis cumhumido demisse in humidum demergentur ita ut superficiem humidi non excedant[et] non adhuc ferentur ad inferius.

B

GE

Z

A K D

L N

O

M

PX

H

T S

C

RY

[Demittatur] enim aliqua magnitudoequegravium cum humido in humidum,

60 et, si possibile est, excedat ipsa superfi-ciem humidi, consistat autem humidum

Fig. Ia. 3 ut maneat immotum. Intelligatur au-tem aliquod planum eductum per cen-trum terre et humidi et per solidam

65 magnitudinem, sectio autem sit super-ficiei quidem humidi que / ABGD, so-lide autem magnitudinis que EZHT

insidentis, centrum autem terre K [Fig. Ia. 3]. Sit autem solide quidem magnitu-dinis quod quidem BGHT in humido, quod autem BEZG extra. Intelligatur et

70 solida figura comprehensa pyramide basem quidem habente parallelogrammumquod in superficie humidi, verticem autem centrum terre. Sectio autem sit planiin quo est ABGD periferia et planorum pyramidis que KL, KM . Describaturautem quedam alterius spere superficies circa centrum K in humido sub EZHTque XOP . Secetur hec a superficie plani [secundum XOP ]. Sumatur autem

75 et quedam alia pyramis equalis et similis comprehendenti solidam continuaipsi. Sectio autem sit planorum ipsius que KM , KN , et in humido intelligaturquedam magnitudo ab humido absumpta que RSCY equalis et similis solideque secundum BHEG (! BHTG), quod est ipsius in humido. Partes autemhumidi que scilicet in prima pyramide sub superficie in qua est XO et que

80 in altera in qua que PO, ex equo sunt posite et non (! del.) continue. [Non]similiter autem premuntur, que quidem enim secundum XO premitur a solidoTHEZ et humido intermedio superficie[rum] que secundum XO, LM et plano-rum pyramidis, que autem secundum PO solido RSCY et humido intermediosuperficierum que secundum PO, MN et planorum pyramidis. Minor autem erit

85 gravitas humidi quod secundum MN , OP eo quod secundum LM , XO, quodenim secundum RSCY est minus solido EZHT , ipsius enim ei quod secundumHBGT est equale, quia magnitudine equale et equegrave supponitur solidumcum humido, reliquum autem reliquo inequale (! equale) est. Palam igitur quiaexpelletur pars que secundum periferiam OP ab ea que secundum periferiam

90 OX, et non erit humidum non motum. Supponitur autem non motum existens;non ergo excedet superficiem humidi aliquid solide magnitudinis. Demersum

4

autem solidum non feretur ad inferiora, similiter enim prementur omnes parteshumidi ex equo posite, quia solidum est equegrave cum humido.

[IV.] Solidarum magnitudinum quecunque levior fuerit humido dimissa inhumido non demergetur tota, sed erit aliquid ipsius extra superficiem humidi. 95

Z H

K

B

A G

O

PX

Sit enim solida magnitudo levior hu-mido et demissa in humidum demer-gatur tota, si possibile est, et nihil

Fig. Ia. 4 ipsius sit extra superficiem humidi,consistat autem humidum ita ut ma- 100neat non motum. Intelligatur etiamaliquod planum eductum per centrumterre et per humidum et per solidammagnitudinem. Secetur autem a planohoc superficies quidem humidi secun- 105

dum superficiem ABGD (! ABG) [Fig. Ia. 4]. Solida autem magnitudo secun-dum figuram in qua Z, centrum autem terre sit K. Intelligatur autem quedampyramis comprehendens figuram Z secundum quod est prius verticem habenssignum K, secentur autem ipsius plana a superficie plani ABG secundum AK,KB, accipiatur autem et aliqua alia pyramis equalis et similis huic, secentur 110autem ipsius plana a plano ABG secundum KB, KG, describatur autem etquedam alterius spere superficies in humido circa centrum K, sub solida autemmagnitudine secetur ipsa ab eodem plano secundum XOP . Intelligatur autem etmagnitudo absumpta ab humido que secundum H in posteriori pyramide equalissolide que secundum Z, partes autem humidi quod in prima pyramide que sub 115superficiebus (! superficie) que secundum superficiem XO et quod in secundaque sub superficiebus (! superficie) que secundum superficiem OP ex equo suntposite et continue invicem. Non similiter autem premuntur; que quidem enim inprima pyramide premitur a solida magnitudine que secundum Z et ab humidocontinente ipsam et existente in loco pyramidis qui secundum AB, OX, que 120autem in altera pyramide premitur ab humido continenti ipsam et existente inloco pyramidis qui secundum PO, BG, est autem et gravitas que secundum Zminor gravitate humidi quod secundum H, quoniam magnitudine quidem estequalis. Solida autem magni/tudo supponitur esse levior humido ___ (lac.)humidi [autem] continentis magnitudines Z, H utraque pyramidum equalis; 125magis igitur premitur pars humidi quod sub superficiebus (! superficie) quesecundum periferiam OP . Expellet igitur quod minus premitur, et non manethumidum non motum; supponebatur autem non motum. Non ergo demergeturtota, sed erit aliquid ipsius extra superficiem humidi.

130

G

BT

H

SR

C

Y

K

M

Z

E O

PX

[V.] Solidarum magnitudinum quecun-Fig. Ia. 5 que fuerit levior humido demissa in

humido in tanto demergetur ut tantamoles humidi quanta est moles demer-se habeat equalem gravitatem cum tota 135magnitudine.Disponantur autem eadem prioribus, et

sit humidum non motum. Sit autem magnitudo EZHT levior humido. Si igiturhumidum est non motum, similiter prementur partes ipsius ex equo posite.Similiter ergo premetur humidum quod sub superficiebus (! superficie) que 140

5

secundum periferias XO et PO. Quare equalis est gravitas qua premuntur. Estautem et humidi gravitas quod in prima pyramide sine BHTG solido equalisgravitati humidi quod in altera pyramide sine RSCY humido. Palam igitur quodgravitas magnitudinis EZHT est equalis gravitati humidi RSCY . Manifestum

145 igitur quod tanta moles humidi quanta est demersa pars solide magnitudinishabet gravitatem equalem toti magnitudini.

[VI.] Solida leviora humido impressa in humidum sursum feruntur tanta vi ad su-perius quanto humidum habens molem equalem cum magnitudine est gravius ma-gnitudine.

150

B

A D

G

B

G

D

A

Sit enim magnitudo A levior humido [Fig.Ia. 6]. Sit autem magnitudinis quidem inqua A gravitas B, humidi autem habentis

Fig. Ia. 6 molem equalem cum A gravitas BG. De-monstrandum quod magnitudo A vi pressa

155 in humidum refertur ad superius tanta viquanta est gravitas G.Accipiatur enim quedam magnitudo in quaD habens gravitatem equalem ipsi G. Ma-gnitudo autem ex utrisque magnitudinibus

160 in quibus A, D in eandem composita estlevior humido; est enim quidem que exutrisque gravitas BG. Gravitas autem hu-

midi habentis molem equalem cum ipsis est maior quam BG, quia humidihabentis molem equalem cum A gravitas est BG. Dimittatur (! Dimissa) igitur

165 in humidum magnitudo ex utrisque A, D composita ad tantum demergeturdonec tanta moles humidi quantum est demersum magnitudinis habeat gravita-tem equalem cum tota magnitudine; demonstrandum est enim hoc. Sit autemsuperficies humidi alicuius que ABGD periferia. Quoniam igitur tanta moleshumidi quanta est magnitudo A habet gravitatem equalem com magnitudinibus

170 A, D, palam quod demersum ipsius erit magnitudo A; reliquum autem in quoD erit totum desuper supra superficiem humidi. Si enim ___ (lac.). Palamigitur quod quanta vi magnitudo A refertur ad superius tanta premitur ab eoquod supra, scilicet D, ad inferius, quoniam neutra a neutra expellitur. Sed Dad deorsum premit tanta gravitate quanta est G; supponebatur enim gravitas

175 eius in quo D esse equale (!) ipsi G. Palam igitur quod oportebat demonstrare.

A D

B

G

[VII.] Graviora humido dimissa in humidum fe-rentur deorsum donec descendant, et erunt leviorain humido tantum quantum habet gravitas humidi

180 habentis tantam molem quanta est moles solidemagnitudinis.Quod quidem igitur ferentur in deorsum donec de-

Fig. Ia. 7 scendant palam; partes enim humidi que sub ipsispremuntur magis quam partes ex equo ipsis iacen-

185 tes, quoniam solida magnitudo supponitur graviorhumido. Quod autem leviora erunt, ut dictum est,demonstrabitur.

Sit enim aliqua magnitudo, que A, que est gravior humido [Fig. Ia. 7]. Gravitasautem magnitudinis quidem in qua A sit que BG, humidi autem habentis mo-

6

lem equalem ipsi A gravitas B. Demonstrandum quod magnitudo A in humido 190existens habebit gravitatem equalem ipsi G.Accipiatur enim aliqua alia magnitudo in qua D levior humido molis equaliscum ipsa. Sit autem magnitudinis quidem in qua D gravitas / equalis gravitatiB, humidi autem habentis molem equalem magnitudini D gravitas sit equalisgravitati BG. Compositis autem magnitudinibus in quibus A, D magnitudo 195simulutrarumque erit equegravis humido, gravitas enim magnitudinum simulu-trarumque est equalis ambabus gravitatibus, scilicet BG et B, gravitas autemhumidi huius habentis molem equalem ambabus magnitudinibus est equaliseisdem gravitatibus. Dimissis igitur magnitudinibus et proiectis in humidumequerepentes erunt humido, et neque ad sursum ferentur neque ad deorsum, 200quoniam magnitudo quidem in qua A existens gravior humido feretur ad deor-sum et tanta vi a magnitudine in qua D retrahitur. Magnitudo autem in qua D,quoniam est levior humido, elevabitur sursum tanta vi quanta est gravitas G.Demonstratum est enim quod magnitudines solide leviores humido impresse inhumidum tanta vi referunter ad sursum quanto humidum eque molis cum ma- 205gnitudine est gravius magnitudine. Est autem humidum habens molem equalemcum D in gravitate G gravius magnitudine D. Palam igitur quod magnitudo inqua A feretur in deorsum tanta gravitate quanta est G.Supponatur eorum que in humido sursum feruntur unumquodque sursum ferrisecundum perpendicularem que per centrum gravitatis ipsorum producitur. 210

A DL

R

N

Z

B

G

X

KS

E

T

H

[VIII.] Si aliqua solida magnitudo ha-bens figuram portionis spere in humi-dum dimittatur ita ut basis portionisnon tangat humidum, figura insidebitrecta ita ut axis portionis secundum 215perpendicularem sit. Et si ab aliquo

Fig. Ia. 8a trahatur figura ita ut basis portionistangat humidum, non manet declina-ta, si dimittatur, sed recta restituatur[Fig. Ia. 8a-c].

[IX.] Et igitur si figura levior existens 220humido dimittatur in humidum ita utbasis ipsius tota sit in humido, figura

insidebit recta ita ut axis ipsius sit secundum perpendicularem.Intelligatur enim aliqua magnitudo qualis dicta est in humidum dimissa. Intel-ligatur etiam et planum productum per axem portionis et per centrum terre. 225Sectio autem sit superficiei quidem humidi que ABGD periferia, figure autemque EZH periferia et que EH recta [Figs. Ia. 9a-c]. Axis autem portionis sitque ZT. Si igitur est possibile, non secundum perpendicularem sit que ZT .Demonstrandum igitur quod non manet figura sed in rectum statuetur.

Est autem centrum spere usque (! super) ZT ; rursum enim sit figura primo 230maior emisperio, et sit centrum spere usque ad emisperium, scilicet T [Fig. Ia. b];

211 Si aliqua solida magnitudo ] (2 - A) Dopo l’enuciato della proposizione, il Moerbekepone la seguente annotazione: Et erat vacuum dimidium folium. probatio huius theorematisdeficiebat in exemplari greco, et erat finis quaterni et in principio sequentis quaterni stabantfigure istius theorematis, ut puto; Archimede 1964-1984, II, parte III, pag. 425.219 Fig. Ia. 8a-c ] (3 - A) Del disegno Clagett pubblica tre versioni (a, b, c), qui ed allapagina seguente, cui affianca le tre ricostruzioni del Commandino, quelle qui riportate.

7

in minori autem P [Fig. Ia. c]; in maiori autem K [Fig. Ia. a]. Per K autem etper terre centrum L ducatur que KL; figura autem extra humidum absumpta a

A DL

R

N

Z

B

G

X

S

E

T

H

A DL

R

NZ

BGX

E

S

P

T

H

Figure Ia. 8(b) e Ia. 8(c), ex Commandino

A DL

R

E

TB

G

O

C

Z N

H

K

A DL

R

E

T

BG

O

C

Z N

H

235

A DL

R

P

E

T

BG

O

C

Z N

H

Da alto in basso, da sinistra a destra, Fig. Ia. 9(a), Fig.Ia. 9(b), Fig. Ia. 9(c) ex Commandino

superficie humidi axemhabet in perpendicularique per K. Propter ea-dem prioribus est cen-trum gravitatis ipsius in

240 linea NK; sit enim R. To-tius autem portionis cen-trum gravitatis est in li-nea ZT inter K et Z, etsit C. Relique ergo figure

245 eius que in humido erit inrecta CR inducata et ab-sumpta ___ (lac.) quehabebit ad CR eandemproportionem quam ha-

250 bet gravitas portionis queextra humidum ad gravi-

tatem figure que in humido. Sit autem O centrum dicte figure et per O per-

8

pendiculari ___ (lac.); feretur igitur gravitas portionis quidem que est extrahumidum secundum rectam RA (! RL) ad deorsum; figure autem que in humidosecundum rectam OL ad sursum. Non manet igitur figura, sed partes quidem 255figure que versus H ferentur ad deorsum, que autem versus E ad sursum, etsemper hoc erit donec que ZT secundum perpendicularem fiat.

Archymedis Syracusani de insidentibus in humido liber primus explicit. .

9

Liber II

De eisdem eiusdem liber secundus incipit

[I.] Si aliqua magnitudo existens levior humido dimittatur in humidum, hanchabebit proportionem in gravitate ad humidum molis equalis sibi quam habetdemersa magnitudo ad totam magnitudinem.

5

F

A

N

I

B

O

R

Dimittatur enim in humidum aliqua so-lida que FA levior humido [Fig. Ia. 10].

Fig. Ia. 10 Sit autem quod quidem demersum ip-sius A, quod autem extra humidum F .Demonstrandum quod magnitudo FA

10 ad humidum equalis molis in gravitatehanc habet proportionem quam habet A ad FA.

Accipiatur enim aliqua humidi magnitudo que NI molis equalis cum FA etipsi quidem F sit equalis N , ipsi autem A, I, et adhuc gravitas quidem magnitu-dinis FA sit B, ipsius autem NI que RO; ipsius autem I, R. Magnitudo igitur

15 FA ad NI hanc habet proportionem quam gravitas B ad gravitatem RO. Sedquoniam magnitudo FA in humidum dimissa est levior existens humido, pa-lam quod demerse magnitudinis moles humidi habet gravitatem equalem cummagnitudine FA; demonstrandum est enum hoc, et quoniam quod secundum Ahumidum. . . est, ipsius autem I gravitas est R, ipsius autem FA gravitas est B,

20 gravitas B que est habentis equalem molem totius magnitudinis FA est equalisgravitati humidi I, scilicet ipsi R; et quoniam est ut magnitudo FA ad humidumquod secundum ipsam, scilicet NI, ita B ad RO, equale autem est B ipsi R,ut autem R ad RO ita I ad / NI et A ad FA, ut ergo FA ad humidum quodsecundum ipsam in gravitate magnitudo A ad FA ___ (lac.) factum est equale

25 demerse magnitudini, scilicet A. Habet ergo magnitudo FA in gravitate adNI ita B ad RO. Quam autem proportionem habet R ad RO hanc habetproportionem_ ... (lac.) ad R ___ (lac. et A ad FA; demonstratum est enim.

A

N

[L]

IF

SR

G

B

OK Ω

P T Ω

[II.] Recta portio rectanguli conoydalis,quando axem habuerit [non] maiorem

30 quam emiolium eius que usque ad axem,omnem proportionem habens ad humi-

Fig. Ia. 11 dum in gravitate, dimissa in humido itaut basis ipsius non tangat humidum, po-sita inclinata non manet inclinata sed

35 restituetur recta. Rectam dico consiste-re talem portionem quando quod secuitipsam fuerit equedistanter superficieihumidi.Sit portio rectanguli conoydalis qua-

40 lis dicta est, et iaceat inclinata.Demonstrandum quod non manet sed restituetur recta.

Secta autem ipsa plano per axem recte (! recto?) ad planum quod in superficiehumidi portionis sectio sit que APOL rectanguli coni sectio [Fig. Ia. 11], axisautem portionis et diameter sectionis que NO, superficies autem humidi que IS.

43 Fig. Ia. 11 ] (1 - A) Nel manoscritto la lettera L è omessa, Ω è riportata due volte, lacurva AP L è una semisfera.

10

Si igitur portio non est recta, non utique erit que AL equidistans ipsi IS. Quare 45non faciet angulum rectum que NO ad IS. Ducatur ergo que KΩ contingenssectionem coni penes P . . . .

[III.] Recta portio rectanguli conoydalis, quando axem habuerit [non] maioremquam emiolum eius que usque ad axem, omnem proportionem habens ad hu-midum in gravitate, dimissa in humido ita ut basis ipsius tota sit in humido, 50posita inclinata non manet inclinata sed restituetur ita ut axis ipsius secundumperpendicolarem sit.

K T O ΩO(?)

PB

I S

G

R

AF

L

K T O

ΩP

BI S

R

G

A

F

L

In alto disegno nel manoscritto, in bassoricostruzione

Dimittatur enim aliqua portio in humi-dum qualis dicta est. Et sit ipsius basis

Fig. Ia. 12 in humido. Secta autem plano per axem 55recto ad superficiem humidi sectio sitque APOL rectanguli coni sectio, axisautem portionis et diameter sectionisque PF [Fig. Ia. 12], superficiei autemhumidi sectio sit que IS. Et si inclinata 60iacet portio, non erit secundum perpen-dicularem axis. Non ergo faciet que PFangulos equales ad IS. Ducatur autemquedam que KΩ equedistanter ipsi IS

Fig. Ia. 12 contingens sectionem APOL penes O, 65et solide quidem magnitudinis APOLcentrum gravitatis sit R; ipsius autemIPOS solidi centrum B, et copulataque BR educatur, et centrum gravita-tis relique figure, scilicet ISLA, sit G. 70Similiter demonstrabitur angulus qui-dem qui sub RΩK (! RO, OK) acutus,perpendicularis autem que ab R ad KO

producitur cadens inter K et O; sit que RT . Si autem ab ipsis G, B ducanturequedistanter (! equedistantes) ipsi RT , quod quidem in humido absumptum 75feretur sursum secundum productam per G, quod autem extra humidum secun-dum productam per B feretur deorsum, et non manet solidum APOL sic sehabens in humido, sed quod quidem secundum A habebit lationem sursum, quodautem secundum L deorsum, donec fiat que PF secundum perpendicularem.

[IV.] Recta portio rectanguli conoydalis, quando fuerit levior humido et axem 80habuerit maiorem quam emiolium eius que usque ad axem, si in gravitatead humidum eque molis non minorem proportionem habeat illa quam habettetragonum quod ab excessu quo maior est axis quam emiolius eius que usquead axem ad tetragonum quod ab axe, dimissa un humido ita ut basis ipsius nontangat humidum, posita inclinata non manet inclinata sed restituetur in rectum. 85Esto portio rectangula (! rectanguli) conoydalis qualis dicta este, et dimissa inhumidum, si est possibile, sit non recta sed sit inclinata. Secta autem ipsa peraxem plano recto ad superficiem humidi portionis quidem sectio sit rectanguliconi sectio que APOL, axis autem portionis et diameter [sectionis] que NO[Fig. Ia. 13]. Superficiei autem humidi sectio sit IS. Si igitur portio non est 90

47 sectionem coni penes P . . . . ] (2 - A) Il Moerbeke pone questa dicitura: hic in exemplarierat vacuum dimidium folium et deficiebat residuum demonstrationis; op. cit. pag, 426.59 Fig. Ia. 12 ] (3 - A) La figura in basso è secondo la ricostruzione del Clagett.

11

recta, non faciet que NO ad IS angulos equales. Ducatur autem que KΩcontingens sectionem rectanguli coni penes P , equidistans autem ipsi IS, a Pautem equedistanter ipsi ON ducatur que PF . Et accipiantur centra gravitatum,et erit solidi quidem APOL centrum R, eius autem quod intra humidum centrum

95 B, et copuletur que TR (! BR) et educatur ad G, et sit solidi quod supra humi-

N

A

L

GRF

I S

B

T

M

K P

O H

Ω

dum centrum gravitatis G. Et quoniamque NO ipsius quidem RO est emiolia,

Fig. Ia. 13 eius autem que usque ad axem est maiorquam emiolia, palam quod que RO est

100 maior quam que usque ad axem. Sit igi-tur que RM (Commandino: rh) equalisei que usque ad axem, que autem ON(! OM ; Com.: oh) dupla ipsius RM (!HM ; Com.: hm). Quoniam igitur fit

105 que quidem NO ipsius RO emiolia, queautem MO (! HO; Com.: mo) ipsiusOH (! OM ; Com.: oh), et reliquia que

NM (! NH; Com.: nm) relique, scilicet RH (! RM ; Com.: rh), emiolia est;___ (lac.) ipsi (! ipsius) MO (! HO; Com.: mo) est (! igitur?) ___ (lac.

110 maior quam emiolius est axis eius que usque ad axem, scilicet RM (Com.:rh). Et quoniam supponebatur portio ad humidum in gravitate non minoremproportionem habens illa quam habet tetragonum quod ab excessu quo axisest maior quam emiolius eius que usque ad axem ad tetragonum quod ab axe,palam quod non minorem proportionem habet portio ad humidum in gravitate

115 proportione quam habet tetragonum quod ab MO (!HO; Com.: mo) ad idquod ab NO. Quam autem proportionem habet portio ad humidum in gravitatehanc habet demersa ipsius portio ad totam solidam portionem: demonstratumest enim hoc. Sed quam habet proportionem demersa portio ad totam hanchabet tetragonum quod [a PF ad tetragonum quod] ab NO; demonstratum est

120 enim in hiis que de conoydalibus, quod, si a rectangulo conoydali due portionisqualitercunque productis planis abscin/dantur, portiones ad invicem eandemhabebunt proportionem quia tetragona que ab axibus ipsorum. Non minoremergo proportionem habet tetragonum quod a PF ad tetragonum quod ab NOquam tetragonum quod ab MO (! Com.: mo) ad tetragonum quod ab NO.

125 Quare que PF non est minor quam MO (! HO; Com.: mo), neque que BPquam NO (! MO; Com.: oh). Si igitur ab M (! Com.:h) ipsi NO recta ducatur,cadet inter B et P . Quoniam igitur que quidem PF est equedistanter diametro,que autem MT (Com.: ht) est perpendicularis ad diametrum, et que RM(Com.: rh) equalis ei que usque ad axem ab R ad T copulata et educta faciet

130 angulos rectos ad contingentem secundum P . Quare et ad IS et ad eam queper IS superficiem humidi faciet equales angulos. Si autem per B, G ipsi RTequedistantes ducantur, anguli recti erunt facti ad superficiem humidi, ed quodquidem in humido absumitur solidum conoydalis sursum feretur secundum eamque per B equedistantem ipsi RT . Quod autem extra humidum absumptum

135 deorsum feretur in humidum secundum productam per G equedistantem ipsiRT , et per totum idem erit, donec utique conoydale rectum restituatur.

[V.] Recta portio rectanguli conoydalis, quando levior existens humido habueritaxem maiorem quam emiolium eius que usque ad axem, si ad humidum ingravitate non maiorem proportionem habeat illa quam habet excessus quo maius

12

est tetragonum quod AB axe tetragono quod ab excessu quo axis est maior 140quam emiolius eius que usque ad axem ad tetragonum quod ab axe, dimissain humidum ita ut basis ipsius tota sit in humido, posita inclinata non manetinclinata sed restituetur ita ut axis ipsius secundum perpendicularem sit.

L N

ASI

G F

BR

MH T

O

K P Ω Dimittatur enim in humidum aliquaportio qualis dicta est, et sit basis ip- 145

Fig. Ia. 14 sius tota in humido. Secta autem ipsaplano per axem recto ad superficiemhumidi erit sectio rectanguli coni sec-tio, et sit que APOL, axis autem [por-tionis] et diameter sectionis que NO, 150superficiei autem humidi sectio que IS[Fig. Ia. 14]. Et quoniam non est axis

secundum perpendicularem, non faciet que NO ad IS angolos equales. Ducaturautem que KΩ contingens sectionem APOL secundum P equedistans ipsi ISet per P ipsi NO equedistans que PF . Et accipiantur centra gravitatum, et 155sit ipsius quidem APOL centrum R, eius autem quod extra humidum B; etcopulata que BR educatur ad G; et sit G centrum gravitatis solidi absumptiin humido. Et accipiatur que RM (Com.: rh) equalis ei que usque ad axem.Que autem OH (! OM ; Com.: oh) dupla ipsius HM , et alia fiant consimilitersuperiori. Quoniam igitur supponitur portio ad humidum in gravitate non 160maiorem proportionem habens proportione quam habet excessus quo maiusest tetragonum quod ab NO tetragono quod ab MO (! HO; Com.: mo) adtetragonum quod ab NO. Sed quam proportionem habet in gravitate portioad humidum equalis molis hanc proportionem habet demersa ipsius portioad totum solidum; demonstrandum est enim hoc in primo theoremate. Non 165maiorem ergo proportionem habet demersa magnitudo portionis ad totam por-tionem quam sit dicta proportio. Quare non maiorem proportionem habet totaportio ad eam que extra humidum proportione quam habet tetragonum quodab NO ad tetragonum quod ab MT (! HO; Com.: mo). Habet autem totaportio ad portionem que extra humidum eandem proportionem quam habet 170tetragonum quod ab NO ad id quod a PF . Non maiorem ergo proportionemhabet quod ab NO ad id quod a PF quam quod ab NO ad id quod ab MO (!HO; Com: mo). Non minor ergo fit que PF quam que OM (! OH; Com.: om).Quare neque que PB quam NO ( MO; Com.: oh). Que ergo ab M (Com.: h)producitur ipsi RO equedistans (! ad rectos angulos); concidet ipsi BP inter P 175et B; concidat secundum T . Et quoniam in rectanguli coni sectione que PF estequedistanter diametro RO, que autem MT (Com.: ht) perpendicularis superdi/ametrum, que autem RM (Com.: rh) equalis ei que usque ad axem, palamquod que RT educta facit angulos rectos ad KPΩ; quare et ad IS. Que ergoRT est perpendicularis ad superficiem humidi, et per signa B, G equedistanter 180ipsi RT producte erunt perpendiculares ad superficiem humidi. Que quidemigitur extra humidum portio deorsum feretur in humidum secundum productamper B perpendicularem, que autem intra humidum sursum feretur secundumperpendicularem que per G. Et non manet solida portio APOL, sed intrahumidum erit in motu donec utique que NO fiat secundum perpendicularem. 185

[VI.] Recta portio rectanguli conoydalis, quando humido levior existens axem ha-buerit maiorem quidem quam emiolium, minorem autem [quam] ut hanc habeatproportionem, ad eam que usque ad axem quam habent quindecim ad quatuor,

13

dimissa in humidum ita ut basis ipsius contingat humidum nunquam stabit in-190 clinata ita ut basis ipsius secundum unum signum contingat humidum.

N LA

GI

T FΩBH R

KS

OP

C

A

N

L

G

I FS

ΩT

B

O

CP

R

Sit portio qualis dicta est, et dimissa inhumido consistat, sicut ostensum est,ita ut basis ipsius secundum unum si-gnum contingat humidum; secta autem

195 per axem plano recto ad superficiemFig. Ia. 15 humidi sectio superficiei portionis sit

que APOL rectangoli coni sectio [Fig.Ia. 15]. Superficiei autem humidi queAS, axis autem portionis et diameter

200 [sectionis] sit que NO, et secetur se-cundum F quidem ita ut que OF sitdupla ipsius FN , secundum Ω autemita ut que NO ad F Ω habeat propor-tionem quam quindecim ad quatuor,

205Fig. Ia. 16 et ipsi NO adducatur que ΩF . Queautem NO maiorem proportionem ha-bet ad F Ω quam ad eam que usque adaxem. Sit que FB equalis ei que usquead axem et ducatur que quidem PC

210 equedistanter ipsi AS contingens sec-tionem APOL secundum P , que autemPI equedistanter ipsi NO. Secet autemque PI prius ipsam KΩ. Quoniam igi-tur in portione APOL contenta a recta

215 et a sectione rectanguli coni que quidem KH equedistanter ipsi AL, que autemPI equedistanter diametro secta ipsa KΩ, que autem AS equedistanter contin-genti secundum P , necessarium est ipsam PI aut eandem proportionem haberead PH quam habet que NΩ ad ΩO [aut] maiorem proportionem; demonstratumest enim hoc per sumpta. Que autem ΩH (! ΩN) est emiolia ipsius ΩO et que

220 IH (! IP ) ergo aut emiolia est ipsius HP aut maior quam emiolia. Que ergoPH ipsius HI aut dupla est aut minor quam dupla. Sit autem que PT ipsius TIdupla; centrum ergo gravitatis eius quod in humido est signum T . Et copulataque TF educatur, et sit centrum gravitatis eius quod extra humidum G, et aB ipsi NO recta que BR. Quoniam igitur est que quidem PI equedistanter

225 diametro NO, que autem BR perpendicularis super diametrum, que autemFB equalis ei que usque ad axem, palam quod que TR (! FR) educta equalesfacit angulos ad contingentem sectionem APOL secundum P . Quare et ad ASet ad superficiem aque. Ductis autem per T , G equedistanter ipsi FB (! FR)erunt et ipse perpendiculares ad superficiem aque, et magnitudo quidem intra

230 humidum absumpta ex solido APOL sursum feretur secundum eam que perT perpendicularem, que autem extra humidum deorsum feretur in humidosecundum eam que per G perpendicularem. Revolvetur ergo solidum APOL etbasis ipsius non tanget superficiem humidi secundum unum signum.

Si autem que PI non secuerit lineam KΩ, sicut in solida (! secunda) figura235 descriptum est, manifestum quod signum T , quod est centrum gravitatis demerse

197–198 Fig. Ia. 15 ] (4 - A) Una semisfera nel manoscritto, Clagett riporta un paraboloide.

14

portionis, cadet inter P et I, et reliqua similiter demonstrabuntur [Fig. Ia. 16].

[VII.] Recta portio rectanguli conoydalis, quando humido levior fuerit et axemhabuerit maiorem quidem quam emiolium eius que usque ad axem, minorem au-tem [quam] ut proportionem habeat ad eam que usque ad axem quam quindecimad quatur, dimissa in humidum ita ut basis ipsius tota sit in humido numquam 240stabit ita ut basis ipsius tangat superficiem humidi sed ut tota sit in humidoneque secundum unum signum tangens superficiem.

C O

P

KT

IB

H

Ω

RS LN

GF

A

Sit portio qualis dicta est, et dimissa inhumidum, sicut dictum est, consistatita ut basis ipsius tangat superficiem hu- 245midi. Demonstrandum quod non manetsed revolvetur ita ut basis ipsius tan-gat superficiem humidi non secundumunum signum.Secta enim ipsa plano recto ad super- 250

Fig. Ia. 17 ficiem humidi sectio sit que APOL rec-tanguli coni sectio. Sit autem et super-ficiei humidi sectio que SA (! SL), axisautem portionis et diameter [sectionis]sit que PF [Fig. Ia. 17]. Rursus autem 255secetur que PF secundum R quidem itaut que RP sit dupla ipsius RF , secun-dum Ω autem ita ut que P Ω (! PF ) adRΩ proportionem habeat quam quin-decim ad quatuor, et que ΩK recta 260ducatur super PF . Erit autem minor

que RΩ quam ea que usque ad axem. Accipiatur igitur ei que usque ad axemequalis que RH et que quidem CO ducatur contingens sectionem penes O exi-stens equedistans ipsi AS (! SL) et que NO etiam equedistans ipsi PF . Secetautem que NO ipsam KΩ prius secundum I. Consimiliter autem precedenti 265demonstrabitur quod que NO aut emiolia est ipsius OI aut maior quam emiolia.Fit autem que OT (! OI) ipsius TB (! IN) minor quam dupla. Sit igitur queOB dupla ipsius BN et disponantur eadem prioribus. Similiter igitur demon-strabitur que RF (! RT ) faciens angulos rectos ad CO et ad superficiem humidiet ab ipsis B, G producte equedistanter ipsi RF (! RT ) erunt perpendiculares 270super superficiem humidi. Portio igitur que quidem extra humidum deorsumferetur in humidum secundum eam que per B perpendicolarem, que autem intrahumidum sursum feretur secundum eam que per G. Manifestum igitur quodadvolvetur solidum ita ut basis ipsis ipsius neque secundum unum contingatsuperficiem humidi, quoniam nunc secundum unum tangens ad deorsum fertur 275ex parte A (! L).

236 Fig. Ia. 16 ] (5 - A) Per la figura il Moerbeke riporta nel manoscritto questa dicitura:linea BR debet protrahi usque ad IP eductam.. Annota il Clagett in proposito: Moerbekecould not do this because the figure was drawn to near the bottom of the page.255 Fig. Ia. 17 ] (6 - A) La linea tratteggiata è stata aggiunta dal Clagett che riporta: I haveadded the broken line TR. MS O [manoscritto O] omittes line RT. It also omits the secondfigure necessary for Proposition Seven, later supplied by Commandino. Thid latter figure wasthe only figure in greek Ms C.

15

Manifestum autem quod, et si que NO non secuerit ΩK, eadem demonstrabuntur.

[VIII.] Recta portio rectanguli conoydalis, quando axe habuerit maiorem quamemiolium eius que usque ad axem, minorem autem [quam] ut ad eam que ad

280 axem, hanc habeat proportionem quam habent quindecim ad quatuor, si gravitasad humidum habeat proportionem minorem proportione quam habet tetrago-num quod ab excessu quo axis est maior quam emiolius eius que usque adaxem ad tetragonum quod ab axe, dimissa in humidum ita ut basis ipsius nontangat humidum neque in rectum restituetur neque manebit inclinata nisi quan-

285 do axis ipsius ad superficiem humidi fecerit angulum equalem ei qui dicendus est.

A

N

L

G

MX SKΩ

HZ I

OP Y

F

Q

B

ΨERCK

D

Sit portio qualis dic-ta est, et sit que BDequalis axi, et que qui-dem BK sit dupla

290Fig. Ia. 18 ipsius KD, que au-tem RK equalis eique usque ad axem[Fig. Ia. 18]. Sit au-tem et que quidem

295 CB emiolia ipsiusBR, que autem CDipsius KR. Quam au-tem proportionem ha-bet portio in gravita-

300 te ad humidum hanc quod ab FQ / tetragonum ad id quod a DB. Sit autem etque F dupla ipsius Q. Palam igitur quod que FQ ad ipsam DB proportionemhabet minorem proportione quam habet que CB ad ipsam BD; execessus enimque GD (! CB) est quo axis est maior quam emiolius eius que usque ad axem.Que ergo FQ erit minor ipsa BC; quare et que F minor ipsa BR. Sit autem

305 ipsi F equalis que RΨ , et super ipsam BD recta ducatur que ΨE , que possitdimidium eius quod sub KR, Ψ [B], et copuletur que B. Demonstrandum quodportio dimissa in humidum, ut dictum est, consiste inclinata ita ut axis adsuperficiem humidi faciat angulum equalem angulo EBΨ .

Dimittatur enim aliqua portio in humidum et basis ipsius non tangat super-310 ficiem humidi et, si posibile est, axis ipsius ad superficiem humidi non faciat

angulum equalem angulo B sed primo maiorem.Secta autem portione per axem plano recto ad superficiem humidi sectio

erit que APOL rectanguli coni sectio, superficies autem humidi que XS, axisautem [portionis] et diameter portionis (! sectionis) que NO. Ducatur autem et

315 que quidem PY equedistanter ipsi XS contingens sectionem APOL secundumP , que autem PM equedistanter ipsi NO, que autem PI perpendicularis superNO, et que quidem BR sit equalis ipsi IΩ (! OΩ), que autem RK ipsi T Ωet que ΩH recta super axem. Quoniam igitur supponitur axis portionis adsuperficiem humidi facere angulum maiorem angulo B, palam quod angulo

320 (! trianguli) PIN (! PIY ) angulus qui ad ___ (lac. Y ) est maior angulo B.Maiorem igitur proportionem habet tetragonum quod a PI ad tetragonumquod ab I[Y ] quam tetragonum quod ab EΨ ad tetragonum quod a ΨB. Sed

293 Fig. Ia. 18 ] (7 - A) Il segmento sormontato da un triangolo, quello individuato dallelettere Q ed F ed il prolungamento tratteggiato (lettera O) sino alla linea di base (la direttricedel paraboloide); ex Commandino.

16

quam quidem proportionem habet tetragonum quod a PI ad id quod ab I[Y ]hanc habet que KR ad [Y ]I. Quam autem proportionem habet tetragonumquod ab EΨ ad tetragonum quod a ΨB hanc habet medietas ipsius KR ad ΨB. 325Maiorem ergo proportionem habet que KR ad [Y ]I quam medietas ipsius KRad ΨB. Minor ergo et quam dupla que [Y ]I ipsius CD (! ΨB), ipsius autem OIdupla est que Ω (! IY ) propter septimum theorema primi libri elementorumconicorum Apollonii. Est ergo que OI minor quam ΨB. Quare que IΩ est maiorquam ΨR, que autem ΨR est equalis ipsi F . Maior ergo est que IΩ quam F . Et 330quoniam supponitur portio ad humidum in gravitate habere proportionem quamtetragonum quod ab FQ ad tetragonum quod a BD, quam autem proportionem

A

N

L

G

M ST

Ω

ZH I

OP Y

F Q

D K C R

ΨB

E

habet portio ad humidum in gravi-tate hanc habet proportionem parsipsius demersa ad totam portionem, 335quam autem pars demersa ad totamhanc habet tetragonum quod a PM

Fig. Ia. 19 ad tetragonum quod ab ON . Quamergo proportionem habet tetragonumquod ab FQ ad tetragonum quod a 340BD hanc proportionem habet tetra-gonum quod ab MH (! MP ) ad te-tragonum quod ab ON . Equalis ergoest que FQ ipsi PM ; que autem PHdemonstrata est esse maior quam F . 345Palam igitur quod que PM est minor

quam emiolia ipsius PH, que autem PH est maior quam dupla ipsius HM .Sit igitur que PZ dupla ipsius ZM . Erit autem T quidem centrum gravitatissolidi, eius autem quod intra humidum Z, relique autem magnitudinis centrumgravitatis erit in linea ZT copulata et educta. Et educatur ad G. Demonstrabi- 350tur autem similiter que TH perpendicularis existens ad superficiem humidi, etportio quidem que intra humidum feretur ad extra humidi secundum perpendi-cularem ductam per Z super superficiem humidi, que autem extra humidumferetur intra humidum secundum eam que per G. Non manet / autem portiosecundum suppositam inclinationem. 355

Neque etiam in rectum restituetur. Palam enim propter hoc, quoniam [qua-rum] que producuntur per Z, G perpendiculares que quidem per Z producituripsi GL (! GZ) ad easdem partes cadit ad quas est [L] et secundum G, queautem per G ad easdem ipsi ZG (! A), palam quod propter predicta Z quidemcentrum sursum feretur, G autem deorsum. Quare totius magnitudinis que ex 360parte A deorsum ferentur.Hoc autem erat inutile (! utile) ad demonstrandum.Supponantur rursum alia quidem eadem, axis autem portionis ad superficiemhumidi faciat angulum minorem eo qui apud B, minorem autem proportionemhabet tetragonum quod a PI ad tetragonum quod ab IΩ (! IY ) quam quod ab 365EΨ ad id quod a ΨB, et que KR ergo ad ΩI (! Y I) minorem proportionemhabet quam medietas ipsius KR ad ΨB [Fig. Ia. 19]. Est ergo que IΩ (! IY )maior quam dupla ipsius ΨB, ergo que ΩI minor |ΨR|; ipsius autem OI dupla___ (lac.); ergo est que OI [maior] ipsius (! ipsa) ΨB. Est autem et tota queΩT (! ΩO) equalis ipsi RB et reliqua [ΩI] minor est quam ΨR. Erit ergo et 370

367 Fig. Ia. 19 ] (8 - A) Segmenti orizzontali in alto a sinistra ex Commandino.

17

que PH minor quam F . Que autem MP ipsi FQ est equalis; palam quod quePM est maior quam emiolia ipsius PH, que autem PH minor quam duplaipsius HM . Sit igitur que PZ ipsius ZM dupla. Rursum igitur totius quidemcentrum gravitatis erit T , eius autem quod intra humidum Z. Copulata autem

375 ZT invenietur centrum eius quod extra humidum in educta, et sit G, et ducanturperpendiculares ad superficiem humidi per Z, G equedistanter ipsi HT . Palamigitur quod non manet tota portio sed revolvetur ita ut axis ad superficiemhumidi faciat angulum maiorem illo quem nunc facit.

Quoniam neque axe faciente ad humidum angulum maiorem quam B consistit380 portio neque minorem, manifestum quod tantum angulum faciente consistet;

sic enim erit que IO equalis ipsi ΨB et que ΩI ipsi ΨR et que PH ipsi F .Erit igitur que MH (! MP ) emiolia ipsius PH, que autem PH ipsius HMdupla. Quod autem [H] ergo eius quod in humido centrum gravitatis est. Quaresecundum eandem perpendicularem sursum feretur, et quod extra deorsum

385 feretur; manebit ergo, contrapelluntur enim ab invicem.

[IX.] Recta portio rectanguli conoydalis, quando axem habuerit maiorem quidemquam emiolium eius que usque ad axem, minorem autem [quam] ut hanc habeatproportionem quam habent quindecim ad quatuor, et in gravitate ad humidumhabeat proportionem maiorem proportione quam habet excessus quo tetragonum

390 quod ab axe est maius tetragono quod ab excessu quo axis est maior quam emio-lius eius que usque ad axem ad tetragonum quod ab axe, dimissa in humidumita ut basis ipsius tota sit in humido, posita inclinata neque convertetur ut axisipsius secundum perpendicularem sit, neque manebit inclinata nisi quando axisipsius ad superficiem humidi fecerit angulum equalem accepto similiter ut prius.

395

L

N

A

G

ICM

H

Z

Ω

S

Υ P

F Q

D K C R

ΨB

E

Esto portio qualis dicta est, et pona-tur que DB equalis axi portionis etque quidem BK sit dupla ipsius KD,que autem KR equalis ei que usque adaxem, que autem CB emiolia ipsius

400 BR [Fig. Ia. 20]. Quam autem pro-portionem habet portio ad humidum

Fig. Ia. 20 in gravitate hanc habeat excessus quoexcedit tetragonum quod a BD tetra-gonum quod ab FQ ad tetragonum

405 quod a BD. Sit autem que F duplaipsius Q. Palam igitur quod excessusquo excedit tetragonum quod a BDtetragonum quod a BC ad tetrago-num quod a BD [quam excessus quo

410 tetragonum quod a BD excedit quodab FQ ad tetragonum quod a BD,

est enim BC excessus] quo axis portionis est maior quam emiolius eius queusque ad axem minor est. In / maiori ergo tetragonum quod a BD excedit idquod ab FQ quam tetragonum quod a BD excedat tetragonum quod a BC.

415 Quare que FQ est minor quam BC; ergo et que F quam BR.Sit igitur ipsi F equalis que RΨ , et que ΨE recta ducatur super BD potens

medietatem eius quod continetur sub KR, ΨB. Dico quod portio dimissa in

400 Fig. Ia. 20 ] (9 - A) Segmenti orizzontali in alto a sinistra ex Commandino.

18

humidum ita ut basis ipsius tota sit in humido consistet ita ut axis ipsius adsuperficiem humidi faciat angulum equalem angulo B.

Dimittatur quidem enim portio in humidum ut dictum est, et non faciat axis 420ad superficiem humidi angulum equalem B sed maiorem primo.

Secta autem ipsa plano recto ad superficiem humidi portionis sectiosit que APOL rectanguli coni sectio, superficiei autem humidi que CT , axisautem portionis et diameter [sectionis] sit que NO, et sit secta secundumΩ, I, ut et prius. Ducatur autem et que quidem ΥP equedistanter ipsi C ′I 425contingens sectionem secundum P , que autem MP equedistanter ipsi NO,que vero PS perpendicularis super axem. Quoniam igitur axis portionis adsuperficiem humidi facit angulum maiorem angulo B, erit utique et angulusqui sub SΥP maior angulo B. Tetragonum ergo quod a PS ad tetragonumquod ab SΥ habet proportionem maiorem quam tetragonum quod a ΨE ad 430tetragonum quod a ΨB. Ergo et que KR ad SΥ habet proportionem maioremquam medietas ipsius KR ad ΨB. Minor ergo que SΥ quam dupla ipsius ΨB.Et que SO quam ΨB minor; que SΩ ergo maior quam RΨ et que PH quamF . Et si (! quoniam) portio in gravitate ad humidum habet proportionemquam excessus quo tetragonum a BD est maius tetragono quod ab FQ ad 435tetragonum quod a BD, quam autem proportionem habet portio in gravitatead humidum hanc proportionem habet demersa ipsius portio ad totam, palamquod eandem habebit proportionem demersa ipsius portio ad totam portionemquam execessus quo tetragonum quod a BD execedit tetragonum quod ab FQad tetragonum quod a BD. Habebit igitur et tota portio ad eam que extra 440humidum proportionem quam tetragonum quod a BD ad id quod ab FQ. Quamautem proportionem habet tota portio ad eam que extra humidum hanc habetquod ab NO ad id quod a PM . Equalis ergo que MP ipsi FQ. Que autemPH demonstrata est maior quam F . Que ergo MH est minor quam Q; ergoque PM (! PH ) est maior quam dupla ipsius HM . Sit igitur que PZ dupla 445ipsius ZM et copulata que ZT educatur ad G. Erit ergo totius quidem portioniscentrum gravitatis T , eius autem que extra humidum Z, eius vero que intrain linea TG; sit autem G. Demonstrabitur autem similiter prioribus que THperpendicularis ad superficiem humidi, et que per Z, G equedistanter ipsi TN(! TH ) producte perpendiculares et ipse super superficiem humidi. Feretur ergo 450que quidem extra humidum portio deorsum secundum eam que per Z, queautem intra secundum eam que per G elevabitur. Non manet ergo tota portiosine inclinatione. Neque etiam convertetur ita ut axis sit perpendicularis supersuperficiem humidi, quoniam que ex parte L [deorsum, que autem ex parte A]ad superiora ferentur propter proportionalia dictis in precedenti. 455

Si autem axis ad humidum faciat angulum minorem angulo B, consimiliterprioribus demonstrabitur quod non manebit portio sed inclinabitur donec utiqueaxis ad superficiem humidi faciat angulum egualem angulo B.

[X.] Recta portio rectanguli conoydalis, quando levior existens humido habueritaxem maiorem quam ut habeat proportionem ad eam que usque ad axem quam 460habent quindecim ad quatuor, dimissa in humidum ita ut basis ipsius nontangat humidum, quandoque quidem recta consistet, quandoque autem inclinata,et quandoque quidem ita inclinata ut basis ipsius secundum unum signum

425–426 C′I contingens sectionem ] (10 - A) La lettera C′ corrisponde alla lettera C neldisegno riportato. Il Clagett presenta una ricostruzione secondo il Commandino e riporta inproposito: I have added the prime to C’ here and in the text.

19

tangat superficiem humidi, et hoc in duabus dispositionibus faciet, et quandoque465 ita inclinata consistet ut basis ipsius secundum ampliorem locum humiefat,

quandoque autem ita ut / basis ipsius neque secundum unum tangat superficiemhumidi, quam autem proportionem habente ad humidum in gravitate, singulahorum demonstrabuntur.

Sit portio qualis dicta est, et secta ipsa plano recto ad superficiem humidi470 sectio in superficie sit que APOL rectanguli coni sectio, axis autem [portionis] et

diameter sectionis sit que BD [Fig. Ia. 21]. Secetur autem que BD secundum K

A QH Z N D I L

Υ ER

C

KX

S

BO

P

ϛΨ

S

X

RC

K

Individuazione della posizione delle lettere: elabora-zione di particolare dalla figura

ita ut dupla sit que BD(! BK ) ipsius KD, secundumC autem ut que BD ad KC

475 habeat proportionem quamFig. Ia. 21 habent quindecim ad quatuor.

Palam igitur quod KC estmaior ea que usque ad axem;[sit que KR equalis ei que

480 usque ad axem;] ipsius au-tem KR sit emiolia que ___(lac.) (! DS ;) est autem et queSB emiolia ipsius BR. Co-pulata autem ipsa AB et ip-

485 sa CE recta producta duca-Fig. Ia. 21,particolare tur que EZ equedistanter ipsi

BD; et rursum ipsa AB sec-ta in duo equa penes T duca-tur equedistanter ipsi BD que

490 TH, et accipiatur rectangu-li coni sectio que AE[I] circadiametrum EZ et que AT [D]circa diametrum TH, ita utsimiles sint que AEI, ATH

495 (! ATD) portioni ABL. De-scribetur autem que AEI co-

ni sectio per K, que autem ab R recta producta ipsi BD secat ipsam AEI. Secetsecundum Y , G, et per Y , G ducantur equedistanter ipsi BD que PY Q, NGO.Secent autem ipse sectionem AOD (! ATD) penes X, F (! F, X). Ducantur

500 autem et que P Ψ , Oϛ contingentes sectionem APOL secundum O, P (! P, O).Sunt autem tres quedam portiones que APOL, AEI, ATD contente a rectis eta sectionibus rectangolorum conorum recte et similes et inequales, et tangentessuper unamquamque basem ___ (lac.); ab N autem sursum ducta est queNX, [NG,] PNO (! NO); ___ (lac.) (que ?); OG ergo ad GX habet ___

505 (lac.) proportionem compositam ex proportione quam habet que IL ad LAet quam habet que AD as DI. Habet autem et que LI ad LA quam duo adquinque, que enim CB ad BD habet proportionem quam sex ad quidecim, hocest, quam duo ad quinque, et est ut que CB ad BD ita que EB ad BA et que

471 Fig. Ia. 21 ] (11 - A) Per questa figura nel manoscritto è presente la seguente annotazione:puto quod plures deberent hic esse figure; in exemplari multum erat corrupta, et EI et DXusque ad mdietatem. . . Il Clagett precisa: the rest is leggible because the page was cut.500 Oϛ ] (12 - A) Nel manoscritto accanto alla lettera O è presente un segno grafico similealla lettera ϛ qui riportata.

20

DZ ad DA. Harum autem DZ, DA duple ___ (lac.) (que ?) LI, LA, queautem AD ad DI proportionem habet quam quinque ad unum, proportio autem 510composita ex proportione quam habent duo ad quinque et ex proportione quamhabent quinque ad unum est eadem cum proportione quam habent duo adunum; duplam autem proportionem habent duo ad unum. Dupla ergo est queGO ipsius GX; propter eadem autem et que P Υ ipsius ΥF . Quoniam igiturque DS est emiolia ipsius KR, palam quod que BS est excessus quo axis est 515maior quam emiolius eius que usque ad axem.

[Pars I.]

Si quidem igitur portio ad humidum in gravitate hanc habet proportionem quamtetragonum quod a BS ad id quod a BD aut maiorem hac proportione, portiodimissa in humidum ita ut basis ipsius non tangat humidum recta consistet;demonstratum est enim prius quod si (! del.) portio habens axem maiorem quam 520emiolium eius que usque ad axem, si ad humidum in gravitate non minoremproportionem habeat proportione quam habet tetragonum quod ab excessu quoaxis est maior quam emiolius eius que usque ad axem ad tetragonum quod abaxe, dimissa in humidum ita ut dictum est recta consistet.

[Pars II.]

Si autem portio ad humidum in gravitate minorem quidem proportionem habeat 525proportione quam habet tetragonum quod ab SB ad tetragonum quod a BD,maiorem autem proportione quam habet tetragonum quod ab XT (! XO) ad idquod a BD, dimissa in humidum inclinata ita ut basis [ipsius non] contingathumidum consistet inclinata ita ut basis ipsius nichil tangat superficiei humidiet axis ipsius faciat ad superficiem humidi angulum maiorem angulo M (! ϛ). 530

[Pars III.]

Si autem portio ad humidum in gravitate hanc habet proportionem quam habettetragonum quod ab XO ad id quod a BD, dimissa in humidum inclinata itaut basis non tangat humidum consistet et manebit ita ut basis non tangathumidum consistet et manebit ita ut basis ipsius secundum ampliorem (! unum)locum (! signum) humectetur (! tangat) ab (! superficiem) humido (! humidi) 535[et axis ipsius faciat ad superficiem humidi angulum equalem angulo ϛ]. Sivero portio ad humidum in gravitate hanc proportionem habet quam habettetragonum quod a PF ad tetragonum quod a BD, dimissa / in humidum etposita inclinata ita ut basis ipsius non tangat humidum consistet inclinata itaut basis ipsius secundum unum signum tangat superficiem humidi et axis ipsius 540faciat angulum equalem angulo Ψ .

[Pars IV.

Si portio ad humidum in gravitate maiorem quidem proportionem habeat quamtetragonum quod a FP ad tetragonum quod a BD, minorem autem ea quamhabet tetragonum quod ab XO ad id quod a BD, dimissa in humidum et posita

21

545 inclinata ita ut basis ipsius secundum ampliorem locum humectetur ab humido.]

[Pars V.]

Si autem portio ad humidum in gravitate habeat proportionem minorem pro-portione quam habet tetragonum quod ab FB ad tetragonum quod a BD,dimissa in humidum et posita inclinata ita ut basis ipsius non tangat humi-dum consistet inclinata ita ut axis quidem ipsius ad superficiem humidi faciat

550 angulum minorem angulo Ψ , basis autem ipsius neque secndum unum tangatsuperficiem humidi.

Demonstrabuntur autem hec deinceps.

[Demonstratio secunde partis]

Habeat itaque primo portio ad humidum in gravitate proportionem quidemmaiorem ea quam habet tetragonum quod ab XO ad id quod a BD, minorem

555 autem ea quam habet tetragonum quod ab excessu quo axis est maior quamemiolius eius que usque ad axem ad tetragonum quod a BD, et supponaturprius disposita figura, quam autem proportionem habet portio ad humidum ingravitate hanc tetragonum quod a Ψ ad id quod a BD [Fig. Ia. 22]. Est autem

A Q

L

D

X

KR

CB

P OΥ

A O

L

D

T K

RΩZ

SB

PG

que Ψ maior quidem quam XP (! XO,560 Fig. Ia. 21; XM , Fig. Ia. 22), mi-

Fig. Ia. 22 nor autem excessu quo axis est ma-ior quam emiolius eius que usque adaxem. Inaptetur autem quedam inter-media conicarum sectionum APOL,

565 AZD (! AXD) que NO equalis ipsi Ψ ,et secet ipsa reliquam coni sectionempenes ϡ, ipsam autem Rϛ (! RS) rec-tam penes B′. Demonstrabitur autemque [Oϡ dupla] ipsius ϡN , sicut de-

570 monstrata est que Pϛ (! MS) ipsiusSX dupla; ab O autem ducatur queOϛ contingens sectionem APOL, queautem OC perpendicularis super BD,et ab A ad N copuletur [linea AN

575 et producta ad Q]. Erunt autem queAN , QN equales invicem. Quoniam

Fig. Ia. 23 enim in similibus portionibus APOL,AXD producte sunt a basibus ad por-tiones que AN , AQ equales angulos

580 facientes ad bases, eandem proportio-nem habebunt que QA, AN cum ipsisLA, AD propter secundam figuramprescriptarum, equalis ergo que AN

ipsi QN , et equedistans ipsi Oϛ. Demonstrandum quod dimissa in humidum ita585 ut basis ipsius non secundum unum tangat [humidum ita inclinatum consistet

ut basis eius in nullo puncto superficiem humidi tangat, et] axis ad superficiemhumidi angulum acutum faciat maiorem excessu (! angulo ϛ).

Dimittatur enim et consistat ita ut basis ipsius tangat secundum unum

22

signum superficiem humidi, secta autem portione per axem plano recto adsuperficiem humidi superficiei quidem portionis sectio sit que APOL rectanguli 590coni sectio, superficiei autem humidi que OA, axis autem sectionis (! portionis)et diameter [sections] que BD, et secetur que BD penes K, R ut dictum est[Fig. Ia. 23]. Ducatur autem et que quidem PG equedistanter ipsi AO rectacontingens sectionem APOL secundum P , que autem PT equedistanter ipsi BD,que autem PS perpendicularis super BD. Quoniam igitur portio ad humidum 595in gravitate proportionem habet quam tetragonum quod a Ψ ad id quod a BD,quam autem proportionem habet portio ad humidum hanc habet demersa ipsiusportio ad totam, quam autem demersa ad totam tetragonum quod a TP ad idquod a DB, erit que Ψ [Fig. Ia. 22] ipsi TP equalis. Quare et portiones APQ,APS (! APO) invicem sunt equales. Quoniam autem un portionibus equalibus 600et similibus APOL, ABLK (! AMQL) ab extremitatibus basium producte suntque TA (! OA), AQ, et portiones ablate faciunt ad diametros angulos equalespropter tertiam figuram prescriptarum; quare anguli qui apud Υ (! ϛ), G suntequales, et que ΥB (! ϛB), GB ergo equales sunt. Quare et que SR, CR et quePZ, Oϛ (! OB’) et que ZT , ϛKN (! B’N ). Quoniam minor est quam dupla que 605OϡS (! OB’) ipsius SϡN (! B’N ), palam quod que PZ ipsius ZT est minorquam dupla. Sit igitur que P Ω ipsius ΩT dupla, et copulata que KΩ educaturad E. Totius quidem igitur centrum gravitatis erit K, eius autem portionisque intra humidum centrum Ω, eius autem que extra in linea KE, et sit E.Que autem KZ perpendicularis erit super superficiem humidi; quare et que per 610signa E, Ω equedistanter ipsi KZ. Non ergo manet portio sed reclinabitur / utbasis ipius neque secundum unum tangat superficiem humidi, quoniam nuncsecundum unum tacta ipsa reclinatur. Manifestum igitur quod portio consistetita ut axis ad superficiem humidi faciat angulum maiorem angulo Υ (! ϛ).

[Demonstratio tertie partis]

Habeat autem portio in gravitate hanc proportionem uam habet tetragonum 615quod ab XO ad id quod a BD [Fig. Ia. 24], et dimittatur in humido itainclinata. Secta autem ipsa per axem plano recto ad superficiem humidi solidiquidem sectio sit que APOL rectanguli coni sectio, superficiei autem humidique OI [Fig. Ia. 25], axis autem portionis et diameter sectionis que BD, etsecetur que BD ut prius, ed ducatur que quidem PN equedistanter ipsi IO 620contingens sectionem secundum P , que autem PT equedistanter ipsi BD, queautem PS perendicularis super BD. Demonstrandum quod portio non manetinclinata sic sed inclinatur donec utique basis secundum unum signum tangatsuperficiem humidi.

Preiaceant autem et que in superiori figura prius disposita sint [Fig. Ia. 24], 625et que CO perpendicularis ducatur super BD, et que AX copulata educaturad Q. Erit autem que AX ipsi XQ equalis, et ducatur ipsi AQ que OY (! Oϛ)equedistans. Et quoniam supponitur portio ad humidum in gravitate hanchabere proportionem quam habet tetragonum quod ab XA (! XO) ad id quoda BD, habet autem hanc proportionem et demersa portio ad totam, hoc est, 630quod a TP ad id quod a BD, equalis utique erit que PT ipsi XO. Et quoniamportionum IBO, ABQ diametri sunt equales, et portiones. Rursum quoniam in

616 Fig. Ia. 24 ] (13 - A) Nel manoscritto la figura è indicata come prima per la serie dellefigure da 24 a 26.619 Fig. Ia. 25 ] (14 - A) La figura nel manoscritto è indicata come secunda.

23

portionibus equalibus et similibus APOL, AOQL producte sunt AQ, IO equalesportiones auferentes, hoc quidem ab extremitate basis, hoc autem non ab extre-

635

A Q

L

D

X KR

CB

P O Υ

F

AOI

L

D

X KΩ

RH

S

BP

N

A O

L

D

T

Ω

R

H

S

BP

N

mitate, palam quod minorem facitFig. Ia. 24 acutum angulum ad diametrum to-

tius portionis que ab extremitatebasis producta est. Et quoniam an-gulus qui apud Υ (! ϛ) est minor

640 [quam] qui apud H (! N ), maior estque BC quam BS, que autem CRminor quam RS. Quare et que OΥ(! OS) ___ (lac.) minor quam PN(! Pϡ) ___ (lac.) μξτησϡη (! et

645 SX) maior est quam dupla (! ϡT ).Et quoniam que OΥ (! OS) duplaest ipsius Υ ?? (! SX), palam quodque Pϡ maior est quam dupla ipsiusϡT . Sit igitur que PH dupla ipsius

650Fig. Ia. 25 HT et copuletur que HK, et educa-tur ad Ω. Erit autem totius quidemportionis centrum gravitatis K, eiusautem que intra humidum H, eiusautem que extra in linea KΩ, et sit

655 Ω. Demonstrabitur autem similiterque Kϡ perpendicularis super su-perficiem humidi, et que per signaH, Ω equedistanter ipsi Kϡ. Ma-nifestum igitur quod non manebit

660 portio sed inclinabitur donec utiquebasis ipsius secundum unum signumtangat superficiem humidi, sicut de-monstrabitur in tertia figura quomo-do se habet in tertio theoremate, et

665Fig. Ia. 26 manebit portio ita consistens.In portionibus enim equalibusAPOL, AOQL producte erunt abextremitatibus basium que AQ, AOequales [portiones] auferentes [Figs.

670 Ia 24, 26]; demonstrabitur enimAPQ equalis ipsi APO similiterprioribus; equales igitur facient acu-tos angulos que AO, AQ ad diame-

tros portionum, quoniam equales sunt qui apud N , Υ (! ϛ) anguli. Et [sit Pϡ675 dupla ipsius] ϡT [Fig. Ia. 26]. Copulata autem ipsi ϡK ed educta ad Ω erit totius

quidem portionis centrum gravitatis K, eius autem que intra humidum ϝ (! ϡ),eius autem que extra in linea KΩ et sit Ω, et que Kϡ perpendicularis est supersuperficiem humidi. Secundum easdem igitur rectas quod quidem in humidosursum feretur et quod extra humidum deorsum feretur. Manebit autem portio647 Υ ?? (! SX) ] (15 - A) Dopo la lettera Υ il manoscritto riporta un segno grafico assimilabilead un «3» allungato che non sono stato in grado di riprodurre.675 Fig. Ia. 26 ] (16 - A) La figura nel manoscritto è indicata come tertia.

24

et basis et magnitudo et secundum unum signum tanget superficiem humidi, 680et axis portionis ad superficiem humidi faciet angulum equalem prescriptio.Similiter autem demonstrabitur [quod] et si portio ad humidum in gravitatehabeat proportionem eandem quam tetragonum quod ab HP (! ΩP ) ad idquod a BD, dimissa in humidum ita ut basis ipsius non tangat superficiemhumidi consistet inclinata ita ut basis ipsius secundum unum signum tangat 685superficiem humidi et axis ipsius ad superficiem humidi faciat angulum equalemangulo qui apud F [Fig. Ia. 24].

[Demonstratio quarte partis]

A Q

L

D

XI

Z

E

H

ΥG

RK

CB

P FO

Ω

AE

Z

D L

KT

R

LE′

HB

L

Habeat autem rursum portioad humidum in gravitate ha-

Fig. Ia. 27 bens quidem proportionem ma- 690iorem illa quam habet tetrago-num quod a ZP ad id quod aBD, minorem autem propor-tione quam habet tetragonumquod ab XO ad id quod a BD 695[Fig. Ia. 27]. Quam autem pro-portionem habet portio ad hu-midum in gravitate hanc ha-bet tetragonum quod a Ψ adid quod a BD. Palam igitur 700quod que Ψ est quidem ma-ior quam ZP , minor autemquam XO. Inaptetur autem inintermedio portionum APOL,

Fig. Ia. 28 A[X]D equalis ipsi Ψ , equedi- 705stans autem ipsi BD que FIsecans sectionem intermediamconi penes Υ . Rursum autemque F Υ dupla ipsius ΥI de-monstrabitur, sicut que T ___ 710

(lac.) (! OG) ipsi XΥ (! XG), ut et prius demonstratum est. Ducatur autemab F sectionem APOL contingens que F Ω. Similiter autem prioribus demon-strabitur que quidem AI ipsi QI equalis, que autem AQ ipsi FQ equedistans.Demonstrandum autem quod portio dimissa in humidum ita ut basis ipsius nontangat humidum et posita inclinata ita inclinabitur ut basis ipsius secundum 715ampliorem locum humectetur ab humido.

Dimittatur enim in humidum ut dictum est, et iaceat primo sic inclinata utbasis ipsius neque secundum unum tangat superficiem humidi [Fig. Ia. 28]. Sectaautem ipsa per axem plano recto ad superficiem humidi in superficie quidemportionis fit sectio que ABG, in superficie autem humidi que EZ, axis autem 720sectionis (! portionis) et diameter portionis (! sectionis) sit que BD, et seceturque BD penes signa K, R similiter prioribus. Ducatur autem que quidem HLequedistanter ipsi EZ contingens sectionem ABG penes H, que autem HT

696 Fig. Ia. 27 ] (17 - A) Nel manoscritto la figura è indicata come prima per la serie difigure dalla 27 alla 29.718 Fig. Ia. 28 ] (18 - A) Nel manoscritto la figura è indicata come secunda: → nota precedente.

25

equedistanter ipsi BD, que autem HS perpendicularis super BD. Quoniam725 portio ad humidum in gravitate proportionem habet quam tetragonum quod a Ψ

ad id quod a BD, palam quod que Ψ est equalis ipsi HT . Demonstrabitur enimsimiliter prioribus. Quare et que HT est equalis ipsi FI et portiones ergo AFQ,EBZ sunt equales invicem. Quoniam in equalibus et similibus portionibusAPOL, ABG sunt producte que AQ, EZ equales portiones auferentes, et que

730 quidem ab extremitate basis, hec autem non ab extremitate, minorem facietacutum angulum ad diametrum portionis que ab extremitate basis productaest. Et quoniam trigoni HLE′ (! HLS) angulus [L] est maior angulo Ω [trigoniFCΩ], palam quod minor est quam que BS quam BC, que autem SR maiorquam RC, et que Hϡ maior quam FH, que ___ (lac.) (ergo ?) ϡT minor

735 est quam HI. Et quoniam dupla est que F Υ ipsius ΥI, palam quod que Hϡest maior quam dupla ipsius ϡT . Sit igitur que HL′ dupla ipsius L′T . Palamautem ex hiis quod non manebit portio sed inclinabitur donec utique basisipsius tangat secundum unum signum superficiem humidi.

A

Z

Q

D G

K OT

RL

CH

B

Tangat autem secundum unum740Fig. Ia. 29 signum ut in tertia figura scrip-

tum est [Fig. Ia. 29], et alia ea-dem disponantur. Demonstra-bitur autem rursum que TM(! TH ) equalis existens ipsi

745 FI et portiones AFQ, ABZequales invicem [Fig. Ia. 27 etFig. Ia. 29]. Et quoniam in por-tionibus equalibus et similibus

APOL, ABG sunt producte que AQ, AZ equales portiones auferentes, equales750 faciunt angulos ad diametros. Portionum igitur AHBZ, AFQ qui apud signa

L′, Ω anguli sunt equales et que BS recta ipsi BC equalis et que SR ipsi RCet que Hϡ ipsi FH et que ϡT ipsi MI (! HI ). Et quoniam dupla est que F Υipsius ΥI, manifestum quod que Hϡ est maior quam dupla ipsius ϡT . Sit igiturque Hϡ (! HL) ipsius LT dupla. Rursum autem ex hiis palam quod non manet

755 portio sed inclinabitur ex parte A. Quoniam supponebatur portio secundumunum signum tangere humidum, palam quod secundum ampliorem locum basisab humido comprehendetur.

[Demonstratio quinte partis]

Habeat etiam rursum portio ad humidum in gravitate proportionem minoremea quam habet tetragonum quod ab NO′ (! NT) ad id quod a BD, quam

760 autem proportionem habet portio ad humidum in gravitate hanc habeat te-tragonum quod a Ψ [ad tetragonum quod a BD]; minor autem que Ψ quamTN [Fig. Ia. 30]. Rursum igitur inaptetur quedam intermedia portionum AMD,APOL que PI equedistanter ipsi BD producta equalis ipsi Ψ . Secet autem ipsaintermediam coni sectionem penes Υ , ipsam autem XR (! ϛR) rectam penes H.

765 Demonstrabitur autem que P Υ dupla ipsius ΥI, sicut demonstrata est que GOipsius GH (! GX in Fig. Ia. 21). Ducatur autem et que quidem P Ω contingens

741 Fig. Ia. 29 ] (19 - A) Nel manoscritto la figura è indicata come tertia. Sotto il disegnoMoerbeke appone la seguente dicitura: Omnes iste figure sunt false, sed sic erant in greco.762 Fig. Ia. 30 ] (20 - A) Nel manoscritto la figura è indicata come prima per la serie difigure dalla 30 alla 32.

26

sectionem APOL secundum P , que autem PE perpendicularis super BD, etAI copulata ducatur ad Q. Erit autem que AI ipsi IQ equalis et que AQ ipsi

A D L

I N M2

3 K41 R

ES

B

FΩ

O

A D L

T 1Ko C

ϛ3H C

R

Z

I

A D

T R G

Υ

PC

B

L

P Ω equedistans. Demonstran-Fig. Ia. 30 dum est autem quod portio di- 770

missa in humidum et posita in-clinata ita ut basis ipsius nontangat humidum inclinata con-sistet ita ut axis ipsius ad su-perficiem humidi faciat angu- 775lum minorem angulo F , basisautem ipsius neque secundumunum tangat superficiem humi-di.Dimittatur enim in humidum 780et consistat ita ut basis ipsiussecundum unum signum tangatsuperficiem humidi. Secta au-tem portione per axem planorecto ad superficiem humidi sec- 785

Fig. Ia. 31 tio sit superficiei quidem portio-nis que AHBI, rectanguli conisectio, superficiei autem humidique AZ, axis autem portioniset diameter sectionis que BD, 790et secetur que BD penes signaK, R consimiliter superioribus[Fig. Ia. 31]. Ducatur autemet que HI equedistanter ipsiAZ contingens sectionem coni 795penes H, que autem HT eque-distanter ipsi BD, que autemHS perpendicularis super BD.Quoniam igitur portio ad hu-midum in gravitate hanc habet 800proportionem quam habet te-

Fig. Ia. 32 tragonum quod a Ψ ad id quoda BD, quam autem proportio-nem habet portio ad humidumin gravitate hanc habet tetra- 805gonum quod ab HT ad id quoda BD propter eadem prioribus,palam quod que HT est equa-lis ipsi Ψ . Quare et portiones

AMZ (! AHZ ), APQ sunt equales [cf. Figs. Ia. 31, Ia. 30]. Et quoniam in por- 810tionibus equalibus et similibus APOL, AKHLK (! AHZL) ab extremitatibusbasium sunt producte que AQ, AZ equales portiones auferentes, palam quodequales faciunt angulos ad diametros portionum, adhuc autem et trigonorum

793 Fig. Ia. 31 ] (21 - A) Nel manoscritto la figura è indicata come secunda; inoltre, conriferimento alle figure da 30 a 32, il Moerbeke riporta ancora false omnes.

27

HIS, P ΩE equales sunt anguli qui apud I, Ω; erunt et SB, EB equales. Quare815 et que SR, ER equales, et que Hϡ, PH, et que ϡT , HI. Et quoniam est dupla

que P Υ ipsius ΥI, manifestum quod minor est quam dupla que Hϡ ipsius ϡT .Sit igitur que NΥ (! HΥ) dupla ipsius ΥT , et copulata protrahatur que ΥKT (!ΥKC). Sunt autem centra gravitatum totius quidem K, eius autem quod intrahumidum Υ , eius autem quod extra in linea KC et sit C. Erit autem propter

820 precedens theorema hoc manifestum quod non manet portio sed inclinabiturita ut basis ipsius neque secundum unum tangat superficiem humidi.

Quod autem consistet ita ut axis ipsius ad superficiem humidi faciat angulumminorem angulo F demonstrabitur. Consistat enim, si possibile est, ita ut faciatangulum non minorem angulo F , et alia disponantur eadem hiis que in tertia

825 figura [Fig. Ia. 32]. Similiter autem demonstrabitur que TM (! TH ) equalisipsi Ψ , quare et ipsi IH (! IP) [Fig. Ia. 30]. Et quoniam HL (! angulus L)[non] minor est quam F , non ergo maior est [que SB (Fig. Ia. 32) quam SB(Fig. Ia. 30)], neque que SR quam SR, neque que Nϡ (! Hϡ) quam O′G (!Tϛ). Et quoniam que IH (! IP) est emiolia ipsius P Υ , minor autem que P Υ

830 quam GO (! Tϛ) et que quidem HT equalis ipsi PC (! PI ) est, que autemHϡ non est minor quam OG (! Tϛ), maior ergo que ϡH quam PΥ . Que ergoHϡ est maior quam dupla ipsius Tϡ. Sit autem que HΥ dupla ipsius ΥT , etcopulata que ΥK educatur. Palam autem similiter prioribus quod non manetportio / sed volvetur ita ut axis ipsius ad superficiem humidi faci[at] angulumminorem angulo F .

835

825 Fig. Ia. 32 ] (22 - A) Nel manoscritto la figura è indicata come tertia; → note precedenti.834 faci[at] angulum minorem angulo F ] (23 - A) Dopo queste parole il manoscritto riporta:Archymedis de insedentibus in humido liber secundus explicit.Completa fuit translatio eius decima die Decembri anno Christi 1269.

28

BIBLIOGRAFIA

Archimede1964-1984 Archimedes in the Middle Ages, latino, a cura di Marshall Cla-

gett, trad. da Wilhelm von Moerbeke, redazione dal codice va-ticano Ottobonianus 1850, The American Philosophical Society,Philadelphia, vol. II (1976), parti I, II, III.

Rignani, Orsola2007 «Ruggero Bacone su traduttori e traduzioni», Rivista online di

storia della filosofia medievale, 7, p. 203-220, riviste.unimi.it.

29

riviste.unimi.it

Liber ILiber IIBibliografia