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LEZIONI N° 39 E 40

FLESSIONE SEMPLICE: LA DOPPIA ARMATURA E LA SEZIONE A T

LA VERIFICA DELLA SEZIONE INFLESSA CON DOPPIA ARMATURA

a) Caso di rottura duttile con armatura compressa minore di quella tesa

Si può procedere in perfetta analogia con quanto già fatto per la semplice armatura.

Si ipotizza, in prima istanza, che l’armatura compressa sia snervata.

La procedura si articola in due fasi consecutive:

1) determinazione della posizione dell’asse neutro mediante la condizione:

C+C’ = T

2) calcolo del momento ultimo mediante la relazione (equilibrio alla rotazione intorno

all’asse neutro):

MRd = C (1-0.416) y + C’ (y-d’) + T (d-y)

Per imporre l’equilibrio alla traslazione delle forze interne esplicitiamo:

C = 0.81 fcd by

162

C’ = fyd A’s

T = fyd As

'0,81 0cd yd s yd sf by f A f A

Quindi si ricava immediatamente l’incognita posizione dell’asse neutro:

y = fyd (As-A’s) /(0.81 b fcd)

Nota la posizione dell’asse neutro, risulta nota in modo completo la sezione

resistente.

Resta da controllare se l’ipotesi fatta circa l’acciaio compresso, e cioè che esso sia

snervato, risulti confermata.

Occorre quindi valutare la deformazione dell’armatura compressa, mediante la

proporzione:

': : 'cu sy y d

' 's cu

y d

y

L’armatura compressa è snervata se:

' yks

s s

f

E

Se l’ipotesi sull’armatura compressa è confermata si può procedere con la

valutazione del momento flettente ultimo, in caso contrario, occorre utilizzare la

procedura del punto successivo.

Nel caso di armatura compressa snervata, si valuta il momento ultimo:

MRd = C (1-0.416) y + C’ (y-d’) + T (d-y)

Ed infine si controlla che sia:

MEd MRd

163

b) Caso di rottura duttile con armatura doppia simmetrica

Anche in questo caso occorre valutare la posizione dell’asse neutro y = kd tramite

l’equazione di equilibrio delle forze interne C + C’= T.

L’acciaio compresso non può essere snervato, poiché, in tal caso, si avrebbe C’=T e

quindi sarebbe C = 0.

Poiché l’acciaio teso è snervato, T è nota e vale:

T = fyd As

La risultante di compressione nel calcestruzzo è:

C = 0,81 fcd by

Per quanto riguarda C’, la tensione di compressione nell’acciaio dipende dalla

deformazione unitaria dell’acciaio compresso, che non è snervato:

' ' ' '' s s s s sC A E A

Il valore della deformazione unitaria dell’acciaio compresso si ricava facilmente

mediante la similitudine di triangoli:

''s cu

y d

y

in cui cu =3,5 ‰

164

L’equazione di equilibrio diviene pertanto:

'3 '0,81 3,5 10 cd s s yd s

y df by E A f A

y

Sviluppando si ottiene l’equazione di secondo grado determinatrice della posizione

dell’asse neutro, tenendo conto che le armature tesa e compressa sono uguali:

2 3 3 '0,81 3,5 10 3,5 10 0cd s yd s s sf by E f A y E A d

che vale quindi:

23 3 2 3 '3,5 10 3,5 10 4 0,81 3,5 10

2 0,81

s yd s s yd s cd s s

cd

E f A E f A f b E A dy

f b

La conoscenza dell’asse neutro permette infine di valutare la deformazione unitaria

dell’acciaio teso:

s cu

d y

y

e di controllare la deformazione dell’acciaio compresso:

''s cu

y d

y

Infine si può valutare il momento ultimo della sezione:

MRd = C (1-0.416) y + C’ (y-d’) + T (d-y)

e controllare che sia:

MEd MRd

165

IL PROGETTO DELLA DOPPIA ARMATURA

Consideriamo una sezione rettangolare con semplice armatura, di dimensioni

assegnate (b, d). Siano anche assegnate le caratteristiche dei materiali (Rck; fyk).

Ipotizzando una rottura di tipo duttile (cu = 3,5 ‰, s > s,bil) determiniamo il momento

flettente massimo di progetto che la sezione può sopportare e l’armatura tesa As

corrispondente.

Utilizzando le tabelle per il progetto condizionato relative ai materiali considerati (Rck;

fyk), individuiamo il più piccolo valore di , che possiamo chiamare *, associato alla

più bassa deformazione dell’acciaio che riteniamo di poter accettare, naturalmente

non minore di s,bil . In corrispondenza di * ricaviamo la percentuale di armatura *.

Utilizzando la relazione:

/Edd M b

Valutiamo il massimo momento flettente che la sezione può sopportare, che è:

2

**2

bdM

La corrispondente armatura è:

* *sA bd

Se il momento flettente di progetto, MEd è maggiore di M* occorre rinforzare la

sezione, affinché essa possa sopportare anche la differenza di momento flettente:

*

EdM M M

Se non vogliamo modificare la carpenteria, occorre disporre dell’armatura aggiuntiva,

sia in zona tesa, che in zona compressa, tali da assorbire le forze:

' ''

MC T

d d

166

Aggiungiamo armatura senza modificare il diagramma delle deformazioni unitarie che

abbiamo prescelto, in modo di non alterare le caratteristiche di duttilità della sezione,

fissate inizialmente con la scelta dei valori marginali delle deformazioni unitarie.

Entrambe le armature che andiamo ad aggiungere sono snervate: quella tesa (As)

perché si trova in corrispondenza della armatura As, che è snervata, quella

compressa ( 'sA ) perché la sua distanza dal lembo compresso del calcestruzzo è tale

che le deformazioni unitarie non possono scendere molto al di sotto del 3.5 ‰ e

comunque sono superiori al valore di snervamento.

Pertanto le due armature sono uguali e la loro determinazione è molto semplice:

'

's syd

MA A

d d f

Nel complesso, quindi, la sezione risulta armata con l’area tesa: s sA A e con l’area

compressa 'sA .

Occorre osservare che, naturalmente, la procedura descritta certamente non fornisce

un’area d’acciaio compressa uguale all’area d’acciaio tesa complessiva (armatura

doppia simmetrica), né conduce alla determinazione di un’armatura compressa che

si trova in un rapporto prefissato rispetto all’area tesa totale, come invece è pratica

ricorrente nella pratica professionale.

167

CONSIDERAZIONI SULLE SEZIONI INFLESSE CON DOPPIA ARMATURA

Le sezioni inflesse con armatura doppia simmetrica non possono andare incontro alla

rottura con acciaio compresso snervato, perchè questo comporterebbe che la forza

di compressione nell’acciaio compresso C’ sia uguale in valore assoluto a quella di

trazione T nell’acciaio teso:

C’ = T

e che, di conseguenza, sarebbe impossibile soddisfare l’equazione di equilibrio alla

traslazione:

C + C’ = T

Pertanto l’acciaio compresso deve restare in campo elastico, in modo che possa

essere:

C = T - C’

Tenuto conto del fatto che la deformazione unitaria allo snervamento dell’acciaio è

un poco minore del 2 ‰, che l’acciaio compresso si trova a pochi centimetri di

distanza dal lembo compresso del calcestruzzo e che la deformazione unitaria del

calcestruzzo è pari al 3,5 ‰, si raggiungono valori elevati della deformazione

dell’acciaio teso.

Ciò comporta che nel caso di una sezione rettangolare armata con armatura doppia

simmetrica non si può verificare mai la condizione di rottura bilanciata ed essa va

sempre incontro ad una rottura di tipo duttile.

168

L’IMPIEGO DELLA DOPPIA ARMATURA NON SIMMETRICA PER LA RIDUZIONE

DELLA FRAGILITÀ

Altra interessante osservazione che si può formulare è la seguente.

Consideriamo una sezione inflessa dotata di armatura doppia non simmetrica ed

esaminiamo la condizione di rottura bilanciata in questo caso.

Per determinare l’area dell’acciaio scriviamo l’equazione di equilibrio delle forze

orizzontali interne:

C + C’ - T = 0

La risultante delle tensioni di compressione nel calcestruzzo, C, vale:

C = 0,81 fcd b y

In cui y è noto, naturalmente:

cu

cu s

y d

La risultante delle tensioni di compressione nell’acciaio A’s, che è snervato, vale:

C’ = A’s fyd.

La risultante delle tensioni di trazione nell’acciaio As:

169

T = As fyd.

L’equilibrio alla traslazione è espresso dalla:

0,81 fcd b y + A’s fyd - As fyd = 0

Si ricava pertanto:

',

0,81 cds s bil s

yd

f byA A A

f

Pertanto il quantitativo di armatura tesa che corrisponde alla rottura bilanciata

aumenta all’aumentare dell’armatura compressa, sempre, naturalmente, con il

vincolo che l’armatura compressa sia minore di quella tesa.

Allora si può osservare che una soluzione per ridurre la fragilità delle sezioni inflesse

è quella di aggiungere armatura in zona compressa.

170

LA VERIFICA DELLA SEZIONE A “T”

Nella verifica a flessione della sezione a “T” possono verificarsi 2 casi:

a) l’asse neutro taglia la soletta (y ≤ s);

b) l’asse neutro taglia l’anima della trave (y > s).

Il caso a) è in realtà un caso di flessione semplice di una sezione rettangolare di

larghezza b’, in virtù della ipotesi di calcolo di calcestruzzo teso non reagente, ed è

quindi un caso già studiato.

Il caso b) può essere trattato in modo analogo a quello di una sezione rettangolare

con doppia armatura.

Quindi il diagramma delle deformazioni unitarie prevede il calcestruzzo al 3,5 ‰ e

l’acciaio teso con una deformazione superiore a quella di snervamento.

Peraltro è facile osservare che una modalità di rottura di questo tipo comporta

un’armatura tesa molto elevata, per bilanciare il contributo del calcestruzzo

compresso che ha una superficie molto grande per la presenza dell’ala della “T”.

Non ha quindi senso ipotizzare anche la presenza di acciaio compresso.

Consideriamo una sezione rettangolare di larghezza b’.

Per essa si ha:

C = 0.81 fcd b’y

T = fyd As

171

Per determinare la risultante di compressione nel calcestruzzo della sezione a “T”, al

termine C bisogna sottrarre il termine C’ che corrisponde alla parte mancante di

calcestruzzo di larghezza b’-b ed altezza y-s, indicata in figura con la lettera S:

C’ = fcd (b’ – b)(y –s)

In cui è il coefficiente di riempimento del diagramma parabola rettangolo

incompleto compreso tra le deformazioni = 0 ed

cu

y s

y

, con cu = 3,5 ‰.

Il coefficiente , necessario a determinare l’area di un diagramma parabola-

rettangolo incompleto (che non si estende fino al 3,5 ‰) ed il coefficiente , che

individua la distanza tra il baricentro della figura ed il lembo compresso della sezione

(distanza = y), sono riportati nella tabella seguente.

Quindi si può ricavare l’incognita posizione dell’asse neutro imponendo l’equilibrio

alla traslazione:

C – C’ – T = 0

Sostituendo i valori di C, C’ e T si ottiene:

'0,81 ' 0cd cd yd sf b y f b b y s f A

'0,81 ' ' 0cd d cd yd sf b y f b b y f b b s f A

'0,81 ' ' 0cd d cd yd sf b f b b y f b b s f A

Infine si ricava:

' '

'

0,81

yd s cd

cd

f A f b b sy

b b b f

172

Tabella per la determinazione dei parametri del diagramma parabola rettangolo

cmax

3.5000 0.8095 0.4160 3.4500 0.8068 0.4150 3.4000 0.8039 0.4139 3.3500 0.8010 0.4129 3.3000 0.7980 0.4118 3.2500 0.7949 0.4107 3.2000 0.7917 0.4095 3.1500 0.7884 0.4084 3.1000 0.7849 0.4072 3.0500 0.7814 0.4060 3.0000 0.7778 0.4048 2.9500 0.7740 0.4035 2.9000 0.7701 0.4022 2.8500 0.7661 0.4009 2.8000 0.7619 0.3996 2.7500 0.7576 0.3982 2.7000 0.7531 0.3968 2.6500 0.7484 0.3954 2.6000 0.7436 0.3939 2.5500 0.7386 0.3924 2.5000 0.7333 0.3909 2.4500 0.7279 0.3894 2.4000 0.7222 0.3878 2.3500 0.7163 0.3862 2.3000 0.7101 0.3846 2.2500 0.7037 0.3830 2.2000 0.6970 0.3814 2.1500 0.6899 0.3798 2.1000 0.6825 0.3782 2.0500 0.6748 0.3766 2.0000 0.6667 0.3750 1.9500 0.6581 0.3735 1.9000 0.6492 0.3720 1.8500 0.6398 0.3705 1.8000 0.6300 0.3690

cmax

1.7500 0.6198 0.3676 1.7000 0.6092 0.3663 1.6500 0.5981 0.3649 1.6000 0.5867 0.3636 1.5500 0.5748 0.3624 1.5000 0.5625 0.3611 1.4500 0.5498 0.3599 1.4000 0.5367 0.3587 1.3500 0.5231 0.3575 1.3000 0.5092 0.3564 1.2500 0.4948 0.3553 1.2000 0.4800 0.3542 1.1500 0.4648 0.3531 1.1000 0.4492 0.3520 1.0500 0.4331 0.3510 1.0000 0.4167 0.3500 0.9500 0.3998 0.3490 0.9000 0.3825 0.3480 0.8500 0.3648 0.3471 0.8000 0.3467 0.3462 0.7500 0.3281 0.3452 0.7000 0.3092 0.3443 0.6500 0.2898 0.3435 0.6000 0.2700 0.3426 0.5500 0.2498 0.3417 0.5000 0.2292 0.3409 0.4500 0.2081 0.3401 0.4000 0.1867 0.3393 0.3500 0.1648 0.3385 0.3000 0.1425 0.3377 0.2500 0.1198 0.3370 0.2000 0.0967 0.3362 0.1500 0.0731 0.3355 0.1000 0.0492 0.3347 0.0500 0.0248 0.3340 0.0000 0.0000 0.3333

175

La soluzione y può essere determinata utilizzando una procedura iterativa secondo

lo schema seguente:

a) assegnazione di un valore di tentativo della posizione dell’asse neutro y0, tale da

realizzare una deformazione dell’acciaio teso s > s,bil;

b) valutazione iniziale della deformazione unitaria all’intradosso dell’ala compressa

mediante la

00

cu

y s

y

;

c) individuazione del valore di i nella tabella;

d) calcolo della posizione aggiornata dell’asse neutro con la relazione precedente;

e) controllo di convergenza: 1i iy y toll

f) se è stata raggiunta la convergenza la procedura termina, altrimenti si determina

un valore aggiornato della deformazione unitaria all’intradosso dell’ala

compressa mediante la i

i cui

y s

y

e si ritorna al punto c).

Una soluzione di prima approssimazione del problema della determinazione dell’asse

neutro può essere ottenuta ponendo 0,50 , supponendo cioè che nelle due zone

di area S il legame costitutivo del calcestruzzo possa essere approssimato con una

legge triangolare.

Si ha allora che:

' '' '

' 0,50 '

0,81 0,500,81

yd s cd yd s cd

cd cdcd

f A f b b s f A f b b sy

f b f b bb b b f