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Lezione 20 del 20/05/2015Modelli Matematici Ambientali

Lorenzo Cioni - SNS

1 Introduzione

I cicli di materia definiscono i meccanismi mediante i quali i nutrienti ealtri elementi necessari alla vita sono messi a disposizione degli organismiviventi. I cicli di materia sono implementati mediante modelli caratterizzatida tanti livelli quanti sono gli stati distinti in cui si puo pensare che si troviun elemento di cui si vuole studiare l’evoluzione ciclica. In questi modelli sitrascura sia l’apporto di nuova materia dal mondo esterno sia la scomparsa ditale materia verso il mondo esterno. I livelli presenti nei modelli, inoltre, sonocollegati da legami sia di tipo informativo sia di tipo conservativo secondoparadigmi che verranno descritti in qualche dettaglio a breve.In questa lezione esamineremo con un certo dettaglio il ciclo del fosforo dicui esamineremo il flusso attraverso differenti stati. Il fosforo e un nutrienteindispensabile sia per le piante sia per gli animali. Altri elementi di cui epossibile e significativo descrivere l’evoluzione attraverso diversi stati sono iseguenti:

- carbonio,

- azoto,

- zolfo.

- ozono.

Un altro ciclo molto importante e significativo e quello dell’acqua. Nel casodel ciclo del fosforo vedremo di descrivere un ciclo all’equilibrio per poiintrodurre delle perturbazioni tendenti a valutare il possibile impatto di ru-scellamenti di fosforo a seguito di attivita antropiche. L’eccesso di fosforo,in genere, si traduce in una accresciuta crescita delle alghe in un lago, adesempio, crescita che causa sia una riduzione dell’ossigeno disciolto in acquasia un aumento della torbidita dell’acqua che, a loro volta, possono causare

1

problemi sia agli animali acquatici sia alle piante che vivono sui fondali. Perulteriori dettagli si rimanda alla Lezione 19.

2 I cicli di materia

I cicli di materia rappresentano i meccanismi mediante i quali i nutrientie altri composti o elementi chimici circolano all’interno di un ecosistema.Gli ecosistemi prosperi dipendono da questi cicli di materia che mettono adisposizione degli esseri viventi i nutrienti necessari alla vita.Questi cicli di materia sono guidati da svariati processi quali l’energia so-lare, la forza di gravita e la catena o rete di connessioni produttore −

consumatore − dcecompositore. Per quanto segue faremo riferimento allaFigura 1.

Figura 1: La catena o rete di connessioni produttore − consumatore −

dcecompositore

2

Il sole fornisce energia alle piante (i produttori) che usano questa energianei processi di fotosintesi in modo da combinare l’energia che ricavano dallaluce con il biossido di carbonio e altri nutrienti inorganici per formare com-posti del carbonio piu complessi che sono usati per immagazzinare l’energianecessaria per la crescita.Gli animali (i consumatori) si cibano dei produttori cosı da scomporre icomposti complessi formati dai produttori in modo da derivare l’energia e inutrienti a loro necessari. Quando sia i produttori sia i consumatori muoionoentrano in gioco i decompositori. La principale funzione di questi ultimi equella di decomporre sia i produttori sia i consumatori nei nutrienti e neglielementi base che sono rilasciati nell’ambiente. Una volta che che la decom-posizione e avvenuta i suoi prodotti sono di nuovo disponibili per i produttori.La forza di gravita influenza questo ciclo dato che guida fisicamente i flussi dimateria portando la materia dove si trovano i decompositori che, pertanto,sono in grado di svolgere la loro funzione.Nella Figura 1 viene presentata la catena o rete di connessioni produttore−consumatore − dcecompositore per un ecosistema semplificato. In questafigura le frecce individuano i flussi di materia fra quattro livelli distinti, cia-scuno dei quali rappresenta una popolazione di organismi viventi. Due diquesti livelli sono racchiusi in un rettangolo dal momento che, nell’analisi delciclo del fosforo, li vedremo come un livello unico.I principali cicli di materia che sono presenti in un ambiente sono quelli cheabbiamo gia elencato. Questi cicli hanno, in genere, notevole complessitaperche contengono flussi che descrivono il passaggio della materia attraversodiversi stati fisici e chimici.Ad esempio la materia puo essere in uno degli stati liquido, solido o gassosoe si puo trovare in diversi composti ovvero puo essere coinvolta in diversilegami per cui, ad esempio, si puo avere lo zolfo nella forma H2S o SO2 el’azoto nella forma N2 (in atmosfera) o NO−

3 o NH+

4 (nel suolo).Nel caso del ciclo dell’azoto, ad esempio, si hanno quattro livelli/luoghi diaccumulo ovvero l’atmosfera, il suolo, gli organismi viventi e quelli morti.L’azoto presente in atmosfera deve essere fissato nel suolo per essere disponi-bile agli esseri viventi che, quando muoiono, lo rendono accessibile ai processidi decomposizione che di nuovo fissano l’azoto nel suolo rendendolo di nuovodisponibile. L’azoto e in parte restituito all’atmosfera da processi di deazo-tazione.Nel caso del ciclo del fosforo si ha che il fosforo passa dal suolo (dove e presen-te sotto forma di fosforo inorganico) agli organismi viventi (dove e presentesotto forma di fosforo organico) per passare di nuovo al suolo tramite la de-composizione degli organismi viventi una volta che questi muoiono.Tutti questi cicli dei nutrienti hanno in comune uno o piu livelli in cui un

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nutriente e nello stesso stato. In modo simile ognuno di questi cicli ha unprocesso di morte che porta la materia da uno stato vivente ad uno statoin cui e morta o inerte. Tale processo di morte e seguito da un processo didecomposizione in cui i batteri o altri agenti simili decompongono la materianei suoi componenti elementari che sono reimmessi nella catena, di nuovodisponibili per i diversi tipi di consumatori.

3 Un paradigma descrittivo generale

In questa sezione faremo riferimento alla Figura 2 per descrivere il tipo direlazioni che, in genere, possono essere usate per descrivere un sistema in cuisi ha un ciclo di materia. Queste relazioni ci danno informazioni su come (intermini di quantita e velocita) la materia transita fra i vari livelli presenti nelmodello, ciascuno dei quali rappresenta uno stato significativo nel contestodato.

Figura 2: I tre tipi di flusso

In tutti i casi in cui la materia di cui si descrive l’evoluzione nel tempo frastati differenti e conservata (in modo che la quantita totale di materia nelsistema sia costante) i livelli devono essere connessi fra di loro da flussi iningresso e in uscita in modo che, dato un livello, un suo flusso in ingresso

4

sia un flusso in uscita da un altro livello e, in modo duale, un suo livello inuscita sia un flusso in ingresso ad un altro livello.Nel caso di tre livelli la Figura 2 contiene una possibile configurazione nelcaso di un tipo generico di materia che si puo trovare in tre stati distinti(ovvero M1, M2 e M3).

Figura 3: Il modello di Figura 2 in modalita simulatore di volo

In tale figura sono anche presentati i tre possibili tipi di flusso ovvero:

(1) di tipo push o controllati da un donatore ovvero da un livello che cedemateria;

(2) di tipo pull o controllati da un recettore ovvero da un livello che accettamateria;

(3) di tipo misto o push & pull.

Un flusso del primo tipo e quello in uscita dal livello M1 che e espresso dallaseguente relazione:

(13) push=M1*k1

Units: unit/Month

nella quale compare la costante esogena k1:

5

(03) k1=0.5

Units: 1/Month [0,1,0.1]

Un flusso del secondo tipo e quello in ingresso al livello M3 che e espressodalla seguente relazione:

(12) pull=M3*k2

Units: unit/Month

nella quale compare la costante esogena k2:

(04) k2=0.5


un flusso del terzo tipo, infine. e quello dal livello M3 al livello M1 che eespresso dalla seguente relazione:

(14) pushAndPull=k3*M1*M3

Units: unit/Month

che tiene conto delle interazioni fra i due livelli e nella quale compare lacostante esogena k3:

(05) k3=0.4

Units: 1/(Month*unit) [0,1,0.1]

Le relazioni caratteristiche del modello di figura 3 sono riportate qui diseguito.

(01) FINAL TIME = 100

Units: Month [10,200,1]

The final time for the simulation.

(02) INITIAL TIME = 0

Units: Month

The initial time for the simulation.

(03) k1=0.5


(04) k2=0.5


(05) k3=0.4

Units: 1/(Month*unit) [0,1,0.1]

(06) M1= INTEG (pushAndPull-push,M10)

Units: unit

(07) M10=10

6

Units: unit [0,100,1]

(08) M2= INTEG (push-pull,M20)

Units: unit

(09) M20=10


(10) M3= INTEG (pull-pushAndPull,M30)

Units: unit

(11) M30=10


(12) pull=M3*k2

Units: unit/Month

(13) push=M1*k1

Units: unit/Month

(14) pushAndPull=k3*M1*M3

Units: unit/Month

(15) SAVEPER = TIME STEP

Units: Month [0,?]

The frequency with which output is stored.

(16) TIME STEP = 1

Units: Month [0.0078125,1,0.0078125]

The time step for the simulation.

Figura 4: Gli andamenti delle variabili del modello di Figura 3

La Figura 4 mostra gli andamenti delle variabili del modello di Figura 3.Come e evidente dalle relazioni che abbiamo presentato ai flussi di tipo push

e a quelli di tipo pull sono associate equazioni relativamente facili da scrivere

7

dal momento che in entrambi i casi si deve tenere conto dell’azione di un sololivello.Un esempio di un flusso di tipo push e quello fra la materia vivente e quellamorta o inanimata. In questo caso il flusso dipende dalla disponibilita dimateria vivente ed e proporzionale alla disponibilita di questa secondo unacostante di solito assunta come esogena.Nel caso di un flusso di tipo pull si ha una proporzionalita con la quantitadi materia presente nel livello recettore.Nel caso di flussi di tipo misto o di tipo push & pull e necessario tenereconto di due livelli L1 e L2 interagenti in modo che siano soddisfatti i vincoliseguenti:

- se i livelli sono entrambi vuoti il flusso fra i due e nullo;

- se i livelli hanno valori elevati il flusso fra i due e di notevole intensita.

Queste specifiche sono soddisfatte dalle seguenti espressioni che definisconoil flusso fra i due livelli:

flusso = k ∗ L1 ∗ L2 (1)

flusso = k1 ∗ L1 + k2 ∗ L2 (2)

Se, tuttavia, si vuole imporre il requisito che la presenza di materia in en-trambi i livelli e necessaria perche si abbia un flusso non nullo fra tali livellil’unica forma utilizzabile e la prima ovvero la seguente:

flusso = k ∗ L1 ∗ L2 (3)

dato che nella seconda avremmo un valore non nullo del flusso anche nel casoin cui uno dei due livelli fosse vuoto, cosa che, almeno in certi casi, vogliamonon accada.

4 Il ciclo del fosforo

Per applicare quanto visto finora ad un caso pratico quale la descrizionemodellistica del ciclo del fosforo e necessario rispondere, in via preliminare,alle seguenti domande:

- quanti sono gli stati/livelli presenti in un sistema?

- quale e il tipo del flusso fra coppie di livelli?

- che valori assumono le costanti esogene?

8

Per poter rispondere alla prima domanda e necessario avere una piena com-prensione degli stati significativi in cui si puo trovare la materia di cui stiamodescrivendo la dinamica. Per rispondere alla seconda domanda e necessarioavere una piena comprensione delle modalita di trasferimento della materianel caso del sistema che si sta analizzando. Dato un flusso la materia chequesto trasferisce viene spinta da un livello (flusso di tipo push) o viene ti-rata da un altro (flusso di tipo pull) oppure il trasferimento e di tipo misto?Per poter dare una risposta a questa domanda si possono usare alcune regolepratiche quali le seguenti.

(1) I flussi di materia da uno stato vivente ad uno morto sono di solitodi tipo push dato che e la quantita di materia vivente presente checontrolla il flusso di trasformazione in materia morta.

(2) I flussi di materia che descrivono l’assorbimento di materia sotto formadi nutrienti inorganici da parte di esseri viventi sono di solito di tipomisto dato che sia la quantita di materia disponibile sia la quantita diesseri viventi che la assorbono determinano il flusso di materia.

(3) I flussi di materia da uno stato di materia morta ad uno di materiainorganica sono di solito di tipo push dato che ci si aspetta che ilflusso sia determinato dalla quantita di materia che si decompone enon dalla materia che si e gia decomposta.

Per un esempio di flussi di tipo pull si rimanda al modello di Figura 2.Per quanto riguarda i valori delle costanti esogene questi devono rappre-sentare accuratamente la velocita di trasformazione da uno stato/livello alsuccessivo. I loro valori, in genere, discendono da stime empiriche che sipossono giovare delle considerazioni seguenti:

- per i flussi da materia vivente a materia morta si possono usare leaspettative di vita degli organismi viventi;

- per i flussi da materia inorganica a materia vivente si possono usare itassi di crescita della materia vivente;

- per i flussi da materia morta a materia inorganica si possono usare levelocita alle quali la materia si decompone in varie condizioni.

A questo punto si puo affrontare la definizione di un modello che descriveil passaggio del fosforo da uno stato ovvero da un livello ad un altro. Perquesto modello faremo uso di tre livelli in modo da descrivere

- il fosforo nello stato di materia organica vivente L;

9

- il fosforo nello stato di materia inorganica I;

- il fosforo nello stato di materia morta D.

Una volta definiti i livelli e necessario capire di che tipo sono i flussi fra levarie coppie di livelli. In base alle regole empiriche che abbiamo elencato inprecedenza si ha che (se a, b, c sono costanti strettamente positive):

- il flusso dal livello L al livello D e di tipo push ovvero e definito dallaseguente relazione a ∗ L;

- il flusso dal livello D al livello I e di tipo push ovvero e definito dallaseguente relazione b ∗D;

- il flusso fra il livello I e il livello L e di tipo misto per cui e definitodalla seguente relazione c ∗ I ∗ L.

Sulla base di tali considerazioni e facile ricavare il modello di Figura 5.

Figura 5: Il ciclo del fosforo, primo modello

La Figura 6 riporta, invece, gli andamenti nel tempo dei livelli in una dellepossibili condizioni di equilibrio.Le relazioni caratteristiche di tale modello sono riportate qui di seguito.

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Figura 6: Gli andamenti dei livelli per il modello di Figura 5

(01) a=0.25

Units: 1/Minute [0.01,1,0.01]

(02) assorbimento=c*I*L

Units: moli/Minute

(03) b=0.05

Units: 1/Minute [0,1,0.01]

(04) c=2.5

Units: 1/(Minute*moli) [0,5,0.1]

(05) D= INTEG (morte-decomposizione,D0)

Units: moli

(06) D0=1

Units: moli [0,3,0.1]

(07) decomposizione=b*D

Units: moli/Minute


Units: Minute [10,100,1]


(09) I= INTEG (decomposizione-assorbimento,I0)

Units: moli

(10) I0=0.1



Units: Minute

11


(12) L= INTEG (assorbimento-morte,L0)

Units: moli

(13) L0=0.2


(14) morte=a*L

Units: moli/Minute


Units: Minute [0,?]


(16) TIME STEP = 1

Units: Minute [0.0078125,1,0.0078125]


Si fa notare che, invece che in termini assoluti (ovvero in termini di moli), epossibile ragionare in termini di concentrazioni ovvero in termini di moli/L.Le modifiche da fare sono banali e sono lasciate come esercizio. In modo ana-logo si puo facilmente sostituire l’unita di misura moli con un suo multiploper valutare cosa succede per ordini di grandezza superiori. L’unico vincoloda mantenere e quello del rapporto fra i valori iniziali dei livelli. Considera-zioni analoghe valgono per l’unita di tempo. Nei modelli presentati si e usatoil minuto (ovvero Minute) ma e possibile pensare altre scale temporali conpossibili conseguenti eventuali variazioni dei valori delle variabili esogene inmodo da poter tenere conto, se fosse necessario, di dati ricavabili da consi-derazioni teoriche o da rilevazioni sul campo.Al modello di Figura 5 corrispondono le seguenti equazioni differenziali:

L = cLI − aL = L(cI − a) (4)

I = bD − cLI (5)

D = aL− bD (6)

Le condizioni di equilibro per questo modello si ottengono facilmenterisolvendo le seguenti equazioni:

L(cI − a) = 0 (7)

bD − cLI = 0 (8)

aL− bD = 0 (9)

Dalla (7) si ricava L = 0 e, di conseguenza, dalla (9),D = 0 mentre, per la (8),I puo assume il valore I(0), conformemente alla (5) all’equilibrio. In questo

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caso si hanno, pertanto, infiniti equilibri, ciascuno dei quali corrisponde allaterna:

(L,D, I) = (0, 0, I(0)) (10)

Il significato fisico di questa condizione di equilibrio e facilmente compren-sibile: se non si ha fosforo negli organismi viventi ne il quelli morti allora ilfosforo presente nel nostro sistema sotto forma di fosforo inorganico rimane alvalore iniziale costante dato che tutti i processi di trasformazione del fosforodel nostro sistema sono inattivi.Dalla (7) si ha anche la seguente condizione di equilibrio:

I =a

c(11)

in modo che la (8) e la (9) assumono la forma seguente:

bD − aL = 0 (12)

ovvero:D =

a

bL (13)

Anche in questo caso si hanno gli infiniti punti di equilibri rappresentati dallaseguente terna di valori:

(L,D, I) = (a

c,a

bL(0), L(0)) (14)

L’analisi della tipologia delle suddette condizioni di equilibrioe lasciata peresercizio. Si fa solo notare che, dal momento che la somma I(0)+L(0)+D(0)ha un valore finito e il sistema e chiuso, nessuna delle variabili associate ai li-velli del modello puo assumere valori maggiori di tale somma. Considerazionianaloghe valgono per le variabili che descrivono i flussi presenti nel modello.

5 Usi ed estensioni del modello

Una volta sviluppato il modello di Figura 5, che possiamo definire co-me modello base, e possibile esaminare come possono evolvere i tre livelli alvarare dei valori delle variabili esogene e dei valori iniziali dei livelli stessi.Come e facilmente intuibile, tuttavia, data l’assenza di processi che causanol’immissione di nuovo fosforo nel sistema o che ne causano la definitiva di-struzione, i tre livelli mostrano andamenti nel tempo che variano ma in modoche la loro somma, definita dalla seguente relazione

(17) total=D+I+L

Units: moli

13

non varia nel tempo.A questo punto si puo usare il modello per valutare:

- l’effetto di un afflusso di fosforo inorganico nel sistema a causa dellacostruzione di un qualche impianto industriale o di depurazione;

- l’effetto di un incremento del fosforo contenuto in organismi morti aseguito di un qualche evento catastrofico che non si ha interesse adesaminare in maggiore dettaglio;

- l’effetto di un incremento del fosforo contenuto in organismi vivi a causadi fenomeni che non si ha interesse ad esaminare in maggiore dettaglio.

Dei tre suddetti scenari, che possono essere pensati verificarsi anche simulta-neamente in tutte le possibili combinazioni, esamineremo in qualche dettagliosolo il primo. Gli altri due sono lasciati come esercizi.Per descrivere l’afflusso di fosforo inorganico nel nostro sistema e sufficienteaggiungere un flusso in ingresso al livello I su cui applicare un segnale ditest quale il treno di impulsi che, agendo in modo opportuno sui parametriche lo definiscono, ci permette di simulare sia il gradino unitario sia un soloimpulso di ampiezza e durata a piacere.Il modello risultante e quello mostrato in Figura 7.

Figura 7: Il ciclo del fosforo, secondo modello

Le relazioni caratteristiche del modello di Figura 7 sono riportate qui diseguito.

14

(01) a=0.25

Units: 1/Minute [0.01,1,0.01]

(02) assorbimento=c*I*L

Units: moli/Minute

(03) b=0.05

Units: 1/Minute [0,1,0.01]

(04) c=2.5

Units: 1/(Minute*moli) [0,5,0.1]

(05) D= INTEG (morte-decomposizione,D0)

Units: moli

(06) D0=1


(07) decomposizione=b*D

Units: moli/Minute

(08) e=10





(10) I= INTEG (decomposizione+immissione-assorbimento,I0)

Units: moli

(11) I0=0.1


(12) immissione=q*trigger

Units: moli/Minute


Units: Minute


(14) L= INTEG (assorbimento-morte,L0)

Units: moli

(15) L0=0.2


(16) morte=a*L

Units: moli/Minute

(17) p=1


(18) q=2

Units: moli/Minute [0,10,0.1]

(19) s=0



15

Units: Minute [0,?]


(21) TIME STEP = 1

Units: Minute [0.0078125,1,0.0078125]


(22) total=D+I+L

Units: moli

(23) trigger=PULSE TRAIN(s, w , p , e )

Units: Dmnl

(24) w=1


Le relazioni che definiscono l’immissione del fosforo inorganico sono leseguenti:

(08) e=10


(12) immissione=q*trigger

Units: moli/Minute

(17) p=1


(18) q=2

Units: moli/Minute [0,10,0.1]

(19) s=0


(23) trigger=PULSE TRAIN(s, w , p , e )

Units: Dmnl

(24) w=1


Si noti che l’ampiezza dell’impulso (che ha durata pari a dieci unita di tempo)q = 2 e pari al doppio del contenuto iniziale di fosforo nella materia morta(dato dal valore D0 = 1) e venti volte il contenuto iniziale del fosforo inor-ganico (dato dal valore I0 = 0.1). La Figura 8 mostra gli andamenti dellevariabili per il modello di Figura 7. Una analisi di tali andamenti e lasciatacome esercizio. L’analisi di tale modello (come dei modelli che possono es-sere creati per descrivere gli altri scenari che abbiamo delineato) dovrebberispondere alle seguenti domande:

- quale e il livello che piu risente dell’immissione di nuovo fosforodall’esterno?

- come si riflette tale immissione nei livelli e nei flussi?

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Figura 8: Gli andamenti delle variabili per il modello di Figura 7

- il sistema recupera uno stato di equilibrio e con che tempi?

La velocita con cui un sistema si riporta in uno stato di equilibrio si definisce,di solito, resilienza. Tanto minore e tale tempo tanto piu velocemente unsistema riesce ad assorbire le perturbazioni a cui e sottoposto dal mondoesterno.Le analisi suddette dovrebbero essere condotte agendo sia sui parametri chedefiniscono la perturbazione sia sui valori delle altre costanti esogene delmodello.Una analisi alternativa potrebbe essere condotta, sia su questo sia su altrimodelli, utilizzando, come segnale di test, un segnale a rampa di cui si puofar variare:

- l’istante di inizio,

- l’istante di fine,

- la pendenza,

in modo da valutare come reagisce il sistema a variazioni graduali dellaquantita di fosforo immesso dall’esterno in uno o piu livelli.

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