Lezione VI 2

Circuiti in regime sinusoidaleCircuiti mutuamente accoppiati

Giuseppe Calabrò1 Bruno Viola2

1Associazione EURATOM ENEA sulla [email protected]

2DIFA - Università degli Studi della [email protected]

April 23rd2010

G. Calabrò e B. Viola (ENEA,DIFA) Lezione VI April 23rd2010 1 / 64

Introduzione

Finora sono stati studiati i circuiti eccitati da generatori costanti o tempo-invarianti.D’ora in poi si farà riferimento a eccitazioni che variano nel tempo secondo leggi sinusoidali.Perchè si studiano i segnali sinusoidali?

molti fenomeni sono sinusoidali;

una sinusoide è facile da generare;

una sinusoide è la forma d’onda dominante;

una sinusoide è facile da manipolare matematicamente;

un segnale può essere scomposto nella somma di più sinusoidi.


Segnali sinusoidali

Si considerino i segnali

v1(t) = Vm sin(wt)

v2(t) = Vm sin(wt + φ)

Si definiscono:Vm ampiezzaω frequenza angolareφ fase iniziale

Con riferimento alla figura, si dice che: v2 anticipa v1 di φ, oppure che v1 è in ritardo rispettoG. Calabrò e B. Viola (ENEA,DIFA) Lezione VI April 23rd2010 3 / 64

I fasori

Le sinusoidi vengono facilmente rappresentate tramite fasori.

Definizione di fasore

Un fasore è un numero complesso che rappresenta l’ampiezza e la fase di una sinusoide.

La nozione di risolvere i circuiti usando i fasori fu introdotta per la prima volta da CharlesSteinmetz nel 1893.


I numeri complessi

Un numero complesso z può essere scritto nella forma rettangolare come:

z = x + jy (1)

dove j =√−1; x viene detta parte reale di z; y viene detta parte immaginaria di z. Le

variabili x e y NON rappresentano la posizione in uno spazio vettoriale bidimensionale;esse sono la parte reale e immaginaria del numero complesso z sul piano complesso.


Rappresentazioni di numeri complessi

Un numero complesso z = x + jy può essere rappresentato così:

z = x + jy forma rettangolare (2)

z = r φ forma polare (3)

z = r e jφ forma esponenziale (4)

conr =√

x2 + y2 φ = tan−1 yx

(5)

o, alternativamentex = r cos φ y = r sin φ (6)


Operazioni fra numeri complessi

addizionez1 + z2 = (x1 + x2) + j(y1 + y2) (7)

sottrazionez1 − z2 = (x1 − x2) + j(y1 − y2) (8)

moltiplicazionez1z2 = r1r2 φ1 + φ2 (9)

divisione z1

z2=

r1

r2φ1 − φ2 (10)

reciproco1z=

1r−φ (11)

radice squadrata √z =

√r φ

2 (12)

complesso coniugatoz∗ = x − jy = r −φ = r e−jφ (13)


Perchè i fasori?

Grazie all’identità di Eulero si ha che

e±jφ = r cos φ ± r sin φ (14)

quindi cos φ = Re[e jφ] e sin φ = Im[e jφ]Per cui il segnale v(t) può essere riscritto come:

v(t) = Vm cos(ωt + φ) = Re[Vmeωt+φ]

= Re[Vme jφeωt ] = Re[Ve jωt ](15)

dove la quantità V = Vme jφ è detta fasore della sinusoide v(t).


Rappresentazione dei fasori


Fasori: teoremi e proprietà

La somma algebrica di un qualunque numero di sinusoidi alla stessa frequenzaangolare, ω, e di un qualsiasi numero delle loro derivate di qualunque ordine è ancorauna sinusoide della stessa frequenza angolare ω.

l’operatore di parte reale (immaginaria) è additivo e omogeneo

Re[z1(t) + z2(t)] = Re[z1(t)] + Re[z2(t)] Re[αz(t)] = αRe[z(t)] (16)

dato un segnale v(t) ed il corrispondente fasore V:

ddt

Re[Ve jωt ] = Re[ddt

Ve jωt ] = Re[jωAe jωt ] (17)∫

Re[Ve jωt ]dt = Re[∫

Ve jωt d]] = Re[1jω

Ae jωt ] (18)

dati due segnati a(t) e b(t) e i loro corrispondenti fasori A e B:

Re[Ae jωt ] = Re[Be jωt ]⇐⇒ A = B (19)


Applicazione dei fasori agli elementi circuitali

resistorev = Ri = RIm cos(ωt + φ)⇐⇒ V = RIm φ = RI (20)

induttore, se la corrente che lo attraversa è i(t) = Im cos(ωt + φ)

v = Ldidt

= ωLIm cos(ωt + φ+ π2 )⇐⇒ V = jωI (21)

condensatore, se è sottoposto alla tensione v(t) = Vm cos(ωt + φ)

i = Cdvdi⇐⇒ I = jωV⇐⇒ V =

Ijω

(22)


Metodo dei fasori applicato alle equazioni differenziali

E’ il metodo più conveniente per ottenere una soluzione particolare di un’equazionedifferenziale.

α0dnxdtn

+ α1dn−1xdtn−1

+ . . .+ αn−1dxdt

+ αnx = Am cos(ωt + φ) (23)

si introducono i fasori: X = Xme jψ e A = Ame jφ

dn

dxnRe[α0Xe jωt ] + . . .+ Re[αnXe jωt ] = Re[Ae jωt ] =

= Re[α0(jω)nXe jωt ] + . . .+ Re[αnXe jωt ] = Re[Ae jωt ] =

= [α0(jω)n + α1(jω)

n−1 + . . .+ αn]X = A

(24)

quindi

X =A

α0(jω)n + α1(jω)n−1 + . . .+ αn(25)

X è un numero complesso di cui si può calcolare modulo e fase e ricavare la soluzione delproblema:

x(t) = |X| cos(ωt + X) (26)


Il concetto di impedenza

Le relazioni costitutive così come sono state trovate possono essere riscritte come rapportotra il fasore della tensione e fasore della corrente:

Z =VI

(27)

Z è una quantità che dipende dalla frequenza ed è chiamata impedenza ed è espressa in ΩPoichè è un numero complesso, si può scrivere Z = R + jX , dove R = Re[Z] è laresistenza mentre X = Im[Z] è la reattanza.In quanto tale Z viene generalmente rappresentata sul piano di Gauss, ottenendo quelloche viene definito triangolo di impedenza.


Il concetto di ammettenza

A volte conviene lavorare con il reciproco dell’impedenza

Y =1I=

IV

(28)

Y è chiamata ammettenza ed è espressa in SCome numero complesso, si può scrivere Z = G + jB, dove G = Re[Y] è la conduttanzamentre B = Im[Y] è la suscettanza.

G + jB =1

R + jX=

1R + jX

R − jXR − jX

=R − jX

R2 + X2

eguagliando le parti reali e immaginarie si ha:

G =R

R2 + X2B = − X

R2 + X2


Analisi nel dominio della frequenza

Lavorando in regime sinusoidale con i fasori è possibile effettuare un’analisi in frequenzadel circuito: il fattore e jωt è soppresso nell’espressione del fasore, e la frequenza non èesplicitamente mostrata nella rappresentazione nel dominio dei fasori poichè ω è costante.Tuttavia la risposta dipende dalla pulsazione. Per questa ragione il dominio dei fasori èanche detto dominio della frequenza.


Le leggi di Kirchhoff nel dominio dei fasori

Le leggi per l’analisi dei circuiti viste finora, sono ancora valide nel dominio dei fasori.Si prenda ad esempio la legge di Kirchhoff alle tensioni:

v1 + v2 + . . .+ vn =

Vm1 cos(ωt + θ1) + Vm2 cos(ωt + θ2) + . . .+ Vmn cos(ωt + θn) =

Re[(V1e jθ1 + V2e jθ2 + . . .+ Vne jθn )e jωt ] =

Re[(V1 + V2 + . . .+ Vn)ejωt ] = 0

(29)

Poichè e jωt, 0 allora:

V1 + V2 + . . .+ Vn = 0 (30)

il che dimostra che la legge vale ancora. Un’analoga dimostrazione può essere effettuataper la legge alle correnti.


Risoluzione delle reti nel dominio dei fasori

analisi nodale

analisi alle maglie

sovrapposizione degli effetti

teoremi di Thevenin e Norton


Potenza in regime alternato

La potenza istantanea è data dal prodotto tra tensione e corrente, istante per istante.

p(t) = v(t)i(t) (31)

Per una tensione e una corrente con andamento sinusoidale:

p(t) = VmIm cos(ωt + θv) cos(ωt + θi) =

=12

VmIm cos(θv − θi) +12

VmIm cos(2ωt + θv + θi)(32)

Questo mostra che la potenza ha due contributi: uno costante, dipendente dallosfasamento tra tensione e corrente; uno variabile a frequenza 2ω


La potenza media è data da

1T

∫ T

0p(t)dt =

1T

∫ T

0

12

VmIm cos(θv − θi)dt +12

VmIm

∫ T

0cos(2ωt + θv + θi)dt =

12

VmIm cos(θv − θi)

(33)

L’angolo θv − θi è l’angolo di sfasamento tra tensione e corrente, pari all’angolo diimpedenza. La potenza media dipende dallo sfasamento tra tensione e corrente.La potenza media può essere espressa in termini fasoriali:

P =12

Re[VI∗ =12

VmIm cos(θv − θi) (34)

Applicando questa legge ai bipoli resistore, induttore e condensatore si trova che:

il resistore assorbe sempre una potenza. Essa è pari a12

Vm Im =12

R |I|2 =12|V|2

Rinduttore e condensatore non assorbono potenza media.


Massimo trasferimento di potenza media 1/2

La potenza che arriva al carico ZL è:

P =12

RL |I|2 =|Vth |2RL/2

(R2th + R2

L ) + (X2th + X2

L )(35)

Si devono determinare i parametri RL e XL affinchè P sia massima, per cui si procede alcalcolo di

∂P∂XL

=|Vth |2RL(Xth + XL)

[(Rth + RL )2 + (Xth + XL )2]= 0 (36)

∂P∂RL

=|Vth |2[(Rth + RL )

2 + (Xth + XL )2 − 2RL (Rth + RL )]

2[(Rth + RL)2 + (Xth + XL)2]= 0 (37)


Massimo trasferimento di potenza media 2/2

Questo comporta:

XL = −Xth (38)

RL = Rth (39)

Per cui si ha massimo trasferimento di potenza media se:

ZL = RL + jXL = Rth − jXth = Z∗th (40)

che comporta

Pmax ,assorbita =|Vth |2

8Rth(41)

Pmax ,generata =|Vth |2

4Rth(42)


Valore efficace

Il valore efficace di un segnale periodico x(t) è pari al suo valore quadratico medio (rms).

Xrms =

√

1T

∫ T

0x(t)2dt (43)

Il valore efficace di una corrente sinusoidale, pari al suo valore quadratico medio,rappresenta quella intensità di corrente continua che, in pari tempo, produce i medesimieffetti termici.

Per un segnale sinusoidale x(t) = Xm cos(ωt) si può dimostrare che Xrms =Xm√

2.


Potenza apparente e fattore di potenza

La potenza è stata definita come

12

VmIm cos(θv − θi)

con Vm e Im valori massimi delle sinusoidi di tensione e corrente. Tramite la definizione divalore efficace si ha questa espressione:

Vrms Irms cos(θv − θi)

Se ora si definiscono

S = Vrms Irms (44)

pf = cos(θv − θi) (45)

S è detto potenza apparente ed è misurata in VA (per distinguerla dalla potenza realemisurata in W), pf è detto fattore di potenza ( o power factor), si ottiene una nuovadefinizione per la potenza media:

P = S pf (46)


Potenza complessa 1/3

Una ulteriore definizione per la potenza in regime sinusoidale è quella data dalla potenzacomplessa definita come:

S =12

VI∗ (47)

assumendo la convenzione dell’utilizzatore, in termini del valore efficace (rms):

S = Vrms I∗rms (48)

dove Vrms = Vrms√2= Vrms θv e Irms = Irms√

2= Irms θi

Si può riscrivere (47) come:

S = Vrms Irms θv − θi =

= Vrms Irms cos(θv − θi) + jVrms Irms sin(θv − θi)(49)

L’ampiezza della potenza complessa è pari alla potenza apparente, per cui anche S vienemisurata in VA.



Si può esprimere la potenza complessa anche in funzione dell’impedenza. Attraverso ladefinizione di impedenza si ottiene che Vrms = ZIrms per cui sostituendo nella (48):

S = I2rmsZ =

Vrms

Z∗(50)

Poichè Z = R + jX si può scrivere:

S = I2rms(R + jX) = P + jQ (51)

dove P, detta potenza attiva, e Q, detta potenza reattiva, sono la parte reale e immaginariadella potenza complessa:

P = Re[S] = I2rmsR

Q = Im[S] = I2rmsX

(52)

confrontando (49) e (52) si ha che:

P = Vrms Irms cos(θv − θi)

Q = Vrms Irms sin(θv − θi)(53)



P è la potenza media trasferita al carico: è l’unica potenza utile ed è la potenza dissipatasul carico. Q, la potenza reattiva è una misura dello scambio energetico tra la sorgente e laparte reattiva del carico. Q si misura in VAR (volt-ampere reattivi).L’energia immagazzinata in un bipolo non viene nè dissipata nè eroga potenza, ma vienescambiata in un senso e nell’altro tra sorgente e la rete. Allo stesso modo la potenzareattiva viene trasferita tra carico e sorgente.

Q = 0 per un carico resistivo

Q > 0 per un carico induttivo

Q < 0 per un carico capacitivo


Potenza complessa: riepilogo

Potenza complessa = S = P + jQ =12

VI∗ (54)

Potenza apparente = S = |S| = Vrms Irms =√

P2 + Q2 (55)

Potenza attiva = P = Re[S] = S cos(θv − θi) (56)

Potenza reattiva = Q = Im[S] = S sin(θv − θi) (57)

Fattore di potenza =PQ

= cos(θv − θi) (58)


Triangolo delle potenze

Per rappresentare le potenze si utilizza il triangolo delle potenze, molto simile al triangolo diimpedenza.


Conservazione della potenza

Il principio di conservazione della potenza si applica anche ai circuiti in regime alternato.

Teorema di Boucherot

La potenza complessa, reale e reattiva delle sorgenti è uguale alle rispettive somme dipotenza complessa, reale e reattiva di ogni carico.


Correzione del fattore di potenza: rifasamento 1/3

Il processo di incremento del fattore di potenza senza alterare la tensione o la correnteoriginale sul carico è detto rifasamento. Poichè molti dei carichi sono induttivi, è lecitoconsiderare il seguente circuito:

Come si può vedere dal diagramma fasoriale, l’aggiunta di un condensatore in parallelo, hal’effetto di ridurre l’angolo di sfasamento tra tensione e corrente da θ1 a θ2



Inoltre a parità di tensione applicata al carico, la corrente si è ridotta.Scegliendo un opportuno valore per la capacità, si può far in modo che la corrente risulti infase con la tensione, portando il fattore di potenza all’unità.

Guardando il triangolo delle potenze si ha che:

P = S1 cos θ1 Q1 = S1 sin θ1 = P tan θ1 (59)

Si vuole ora incrementare il fattore di potenza da cos θ1 a cos θ2 senza alterare la potenzaattiva (P = S2 cos θ2).



Quindi la nuova potenza reattiva èQ2 = P tan θ2 (60)

La riduzione nella potenza reattiva è:

QC = Q1 −Q2 = P(tan θ1 − tan θ2) (61)

Poichè QC =V2

rmsXC

= ωCV2rms , il valore da assegnare a C è:

C =QC

ωV2rms

=P(tan θ1 − tan θ2)

ωV2rms

(62)

Lo stesso ragionamento si può fare qualora il carico fosse ohmico-capacitivo: perincrementare il fattore di potenza, si dovrà inserire un induttore in parallelo al carico coninduttanza pari a:

L =V2

rms

ωQL(63)

Il rifasamento (totale) rende la corrente reale e riduce il suo valore efficace.


Teorema di Cohn

Vedi appunti


Teorema di Foster

Vedi appunti


Risonanza serie 1/6


Risonanza serie 2/6


Risonanza serie 3/6


Risonanza serie 4/6


Risonanza serie 5/6


Risonanza serie 6/6


Risonanza serie: fattore di qualità

Alla risonanza la corrente è puramente resistiva (X = 0) pari a I =VR

. Allora si ha che:

VL = ZL I = jω0VL

R= j

VR

√

LC

(64)

VC = ZC I = −jV

ω0RC= −j

VR

√

LC

(65)

Si definisce fattore di qualità serie il rapporto tra il valore efficace della tensione sulcondensatore (o induttore perchè sono uguali ed in opposizione di fase alla risonanza) e latensione di alimentazione quando il circuito è in risonanza.

Q =VL

V=

VC

V=ω0

2α(66)

con ω0 pulsazione di risonanza pari a1

LCe α =

R2L

Q =1R

√

LC

(67)

Se Q è molto alto e si eccita il circuito alla frequenza di risonanza le tensioni su induttore econdensatore possono essere talmente elevate da distruggerli!


Risonanza parallelo 1/6

Mentre nella risonanza serie la corrente assumeva il valore massimo per ω = ω0, in questaconfigurazione alla risonanza la corrente che fluisce nel circuito è la minima!Si dice anche che nella configurazione parallelo ω0 è la pulsazione di anti-risonanza.


Risonanza parallelo: fattore di qualità

Le correnti fluenti nell’induttore e condensatore non sono nulle:

IL = YL V = −jV1ω0L

= −jV

√

CL

(68)

IC = YCV = jVω0C = jV

√

CL

(69)

Si definisce fattore di qualità parallelo il rapporto tra la corrente nel condensatore ( oinduttore dato che sono uguali ed in opposizione di fase) e la corrente di ingresso al circuitoquando il circuito è in anti-risonanza

Q =ILI=

ICI=ω0

2α(70)

con ω0 pulsazione di risonanza pari a1

LCe α =

12RC

Sostituendo le due espressioni nella (70) si ottiene:

Q = R

√

CL

(71)

che è il reciproco del fattore di qualità serie.G. Calabrò e B. Viola (ENEA,DIFA) Lezione VI April 23rd2010 48 / 64

Introduzione

Fino ad ora sono stati considerati circuiti accoppiati per conduzione, poichè la tensione diuna maglia influenza la maglia vicina tramite la corrente di conduzione. Quando due magliesi influenzano vicendevolmente, con o senza contatto tra loro, attraverso il campomagnetico generato da una di loro si dice che sono magneticamente accoppiate.


La mutua induttanza 1/2

Quando due induttori sono in prossimità, il flusso magnetico causato dalla corrente fluentein uno dei due si concatena con l’altro avvolgimento, inducendo una tensione. Questofenomeno è chiamato mutua induttanza. Si consideri un solo avvolgimento percorso dacorrente variabile:

v = Ndφdt

= Ndφdi

didt

= Ldidt

(72)


La mutua induttanza 2/2

Si consideri il caso di due induttori stavolta il flusso (φ1) prodotto dal primo induttore ha duecomponenti: quello autoconcatenato (φ11) e quello che si concatena con entrambi (φ12):φ1 = φ11 + φ12. verranno indotte due tensioni v1 e v2:

v1 = N1dφ1

dt= N1

dφ1

di1

di1dt

= L1di1dt, v2 = N2

dφ12

dt= N2

dφ12

di1

di1dt

= M21di1dt

(73)

M21 è detta mutua induttanza dell’avvolgimento 2 rispetto all’avvolgimento 1. Il pedice 21indica che l’induttanza M21 lega la tensione indotta nel coil 2 dalla corrente che fluisce nelcoil 1. Come terzo caso si imponga una corrente solo nel secondo induttore; il flussomagnetico (φ2) prodotto dal coil 2 è composto da due componenti: quello (φ22) e (φ21) taliche φ2 = φ22 + φ21.

v2 = N2dφ2

dt= N2

dφ2

di2

di2dt

= L2di2dt, v1 = N1

dφ21

dt= N1

dφ21

di2

di2dt

= M12di2dt

(74)

M12 è la mutua induttanza dell’avvolgimento 1 rispetto all’avvolgimento 2. Il pedice 12 indicache l’induttanza M12 lega la tensione indotta nel coil 1 dalla corrente che fluisce nel coil 2.Si dimostrerà che M12 = M21 = M.La mutua induttanza è l’abilità di un induttore di indurre una tensione su un avvolgimentovicino.


Convenzione dei puntini

Se la corrente entra nel terminale col punto, la polarità della tensione mutua nelsecondo avvolgimento è positiva nel terminale col punto del secondo avvolgimento.Se la corrente esce dal terminale col punto, la polarità della tensione mutua nelsecondo avvolgimento è negativa nel terminale col punto del secondo avvolgimento.


Convenzione dei puntini: esempio

Per gli avvolgimenti in figura, l’induttanza totale è:

L = L1 + L2 + 2M connessione in serie (75)

L = L1 + L2 − 2M connessione in anti-serie (76)


Energia in un circuito accoppiato 1/2

Si voglia ora determinare l’energia immagazzinata in un circuito accoppiatomagneticamente.Si assuma che inizialmente le correnti i1 e i2 siano nulle. Si incrementi i1 e si lasci i2 = 0, lapotenza nel coil 1 è:

p1(t) = v1i1 = i1L1di1dt

(77)

e l’energia immagazzinata nel circuito è:

w1 =

∫

p1dt = L1

∫ I1

0i1di1 =

12

L1I21 (78)

Se si mantiene i1 = I1 e si dà un incremento a i2 da zero a I2,la tensione indotta nel coil 1 è M12

di2dt , mentre è nulla quella indotta sul coil 2 è nulla. In

questa configurazione la potenza è:

p2(t) = i1M12di2dt

+ i2v2 = M12di2dt

+ i2L2di2dt

(79)

e l’energia immagazzinata nel circuito è:

w2 =

∫

p2dt = M12I1

∫ I2

0di2 + L2

∫ I2

0i2di2 = M12I1I2 +

12

L2I22 (80)


Energia in un circuito accoppiato 2/2

L’energia totale è:

w = w1 + w2 =12

L1I21 +

12

L2I22 + M12I1I2 (81)

Se ora si inverte il procedimento con cui le correnti raggiungono il loro massimo valore,l’energia totale sarà:L’energia totale è:

w = w1 + w2 =12

L1I21 +

12

L2I22 + M21I1I2 (82)

Poichè l’energia immagazzinata deve essere la stessa, si può dedurre che:

M12 = M21 = M (83)

In generale, dovendo applicare la convenzione dei punti, l’energia è:

w =12

L1i21 +12

L2i22 ±Mi1i2 (84)


Limite superiore di M

L’energia in un circuito passivo non può essere negativa, per cui:

12

L1i21 +12

L2i22 −M i1 i2 ≥ 0 (85)

manipolando opportunamente questa espressione si giunge a:

12(i1√

L1 − i2√

L2)2 + i1i2(

√

L1L2 −M) ≥ 0 (86)

per cuiM ≤

√

L1L2 (87)

La misura di quanto M si avvicina a questo limite è data dal coefficiente di accoppiamento k:

k =M√

L1L2

(88)

k =φ12

φ1=

φ12

φ11 + φ12(89)

k =φ21

φ2=

φ21

φ21 + φ22(90)

Se l’intero flusso prodotto da un avvolgimento si concatena totalmente con un altro, allorak = 1 e si dice che c’è un accoppiamento perfetto.


Il trasformatore lineare

Il trasformatore lineare è una macchina che sfrutta il fenomeno della mutua induttanza.

Il trasformatore si dice lineare se i fili sono avvolti attorno ad un materiale lineare (µ = cost):aria, legno, plastica, etc.L’impedenza di ingresso Zin vista dalla sorgente governa il comportamento del circuitoprimario.

V = (R1 + jωL1)I1 − jωMI2 (91)

0 = −jωMI1 + (R2 + jωL2 + ZL)I2 (92)

si trova:

Zin = R1 + jωL1 +ω2M2

R2 + jωL2 + ZL(93)

E’ evidente che trattare coi circuiti accoppiati magneticamente è complicato poichè si devesempre tenere in conto della mutua induttanza.


Circuiti equivalenti a T e Π del trasformatore lineare

Ignorando la resistenza degli avvolgimenti ed assumendo un potenziale di terra comune:

[

V1

V2

]

=

[

jωL1 jωMjωM jωL2

] [

I1I2

]

(94)

mentre la relazione ingresso uscita per il circuito a T è:[

V1

V2

]

=

[

jω(La + Lb) jωLc

jωLc jω(Lb + Lc)

] [

I1I2

]

(95)

per cui i parametri per passare al circuito equivalente sono:

La = L1 −M, Lb = L2 −M, Lc = M (96)


Circuito equivalente a Π del trasformatore lineare

Invertendo la matrice nell’equazione (94):

[

I1I2

]

=

L2

jω(L1L2 −M2)

−Mjω(L1L2 −M2)

−Mjω(L1L2 −M2)

L1

jω(L1L2 −M2)

[

V1

V2

]

(97)

mentrela relazione ingresso uscita per il circuito a Π è:

[

I1I2

]

=

1jωLA

+1

jωLC−

1jωLA

− 1jω(L1L2 −M2)

1jωLB

+1

jωLC

[

V1

V2

]

(98)

per cuii parametri per passare al circuito equivalente sono:

LA =L1L2 −M2

L2 −M, LB =

L1L2 −M2

L1 −M, LC =

L1L2 −M2

M(99)


Il trasformatore ideale 1/4

E’ un trasformatore in cui si verifica l’accoppiamento perfetto.

V1 = jωL1I1 + jωMI2 (100)

V2 = jωMI1 + jωL2I2 (101)

combinando queste due equazioni si può ottenere una relazione che lega V1 e V2:

V2 =

√

L2

L1V1 = nV1 (102)

il parametro n è detto rapporto tra gli avvolgimenti.



In generale un trasformatore viene definito ideale se:

L1,L2 e M tendono a infinito;

il coefficiente di accoppiamento è unitario (k = 1);

non ci sono perdite al primario ed al secondario.



Per le ipotesi alla base della definizione deltrasformatoreideale, si trova facilmente la relazionetra le tensioni al primario ed al secondario:

V2 =N2

N1V1 = nV1 (103)

Poichè non ci sono perdite, l’energia fornitaal primario sarà uguale a quella assorbitaal secondario, per cui:

I2 =1n

I1 (104)

Sulla base delle (103) e (104) si possono fare delle considerazioni:

se n = 1 si ha un trasformatore di isolamento;

se n > 1 si ha un trasformatore in salita

se n < 1 si ha un trasformatore in discesa



Se V1 e V2 sono entrambe positive (o negative) ai terminali col punto allora si userà(n), altrimenti (-n)Se I1 e I2 entrambe entrano (o escono) nel terminale col punto allora si userà (-n),altrimenti (n)


Proprietà del trasformatore ideale

il trasformatore è trasparente alle potenze:

S1 = V1I∗1 =V2

n(nI2)∗ = V2I∗2 = S2 (105)

l’impedenza di ingresso è:

Zin =V1

I1=

1n2

V2

I2=

ZL

n2(106)


Lezione VI 2

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