Lezione n. 4 (caratterizzazione dei segnali e analisi in ... · Elettrici (potenziali, correnti,...

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Lezione n. 4(caratterizzazione dei segnali e analisi in

frequenza)

Corso di Elaborazione di Segnali Biomedici

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I ruoli del medico e del bioingegnere nell’analisi di segnali biomedici

MEDICO• Quali segnali misurare

• Quale informazione possono contenere

• Come utilizzarli nella diagnosi prognosi e terapia

TECNOLOGO• Come misurare i segnali

• Come estrarre il contenuto informativo

• Come renderli utilizzabili dal medico


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•Il progresso delle scienze biomediche e della tecnologia applicata ad esse non consentono più di tenere rigidamente separate le figure professionali di medico e di tecnologo.

•Esiste una necessità di integrazione continua delle rispettive conoscenze.

PROCESSO DECSIONALE IN MEDICINA

1. Collezione ed acquisizione di dati e segnali

2. Analisi dei dati e dei segnali

3. Decisione del medico

4. Trattamento del paziente in seguito alla decisione

5. Ripetizione dal punto 1 fino al recupero del paziente

Le tecnologie e le metodologie della bioingegneria assistono il medico in questo processo fornendo alcuni mezzi per estendere la propria conoscenze e crearne di nuova attraverso l’acquisizione di nuove informazioni.


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ACQUISIZIONE ED ELABORAZIONE DI SEGNALI BIOMEDICI

Problematiche fondamentali:

1. Trasduzione di una grandezza fisica in un segnale elettrico e sua manipolazione

a. Aspetti metodologici (filtraggio, compressione,..)

b. Aspetti tecnologici (trasduttori, amplificatori, condizionamento,..)

2. Registrazione o memorizzazione del segnale

a. Analogica (durata, supporti, trattamento,..)

b. Digitale (conversione A/D, quantizzazione, supporti,..)

3. Elaborazione ed estrazione del contenuto informativo.

a. Trasformazione del segnale

b. Analisi automatica

c. Elaborazioni statistiche


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CLASSIFICAZIONI DEI SEGNALI BIOMEDICI

1. In base alla loro origine fisica:a. Elettrici (potenziali, correnti, capacità, resistenze..)b. Meccanici (forze, pressioni, deformazioni, ..)c. Termodinamici (temperature, calore, ..)d. Chimici (concentrazioni, ph, ..)

2. In base alla loro origine biologicaa. Generati autonomamente da un organismob. Evocati in risposta ad uno stimolo (energia)

3. In base alle loro caratteristiche matematiche:a. Monodimensionali o pluridimensionalib. Deterministici o aleatoric. Periodici o non periodicid. Continui o discreti


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Segnali Deterministici

Periodici Non Periodici

Sinusoidali Non Sinusoidali Pseudo-periodici Transienti

Segnali Non-Deterministici (aleatori)

Stazionari Non-stazionari

Segnali continui o discreti nel tempo

Segnali continui in ampiezza o quantizzati

CLASSIFICAZIONE MATEMATICA DEI SEGNALI

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Segnali temporali

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Segnali bidimensionali spaziali (immagini)

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Tipi di segnali - EsempiUn segnale a tempo continuo x(t) èdefinito in ogni istante di tempo.

Il segnale a tempo discreto x(n) si ottiene campionando x(t) cioèprendendo solo alcuni valori di x(t), uniformemente spaziati nel tempo.

In questo caso abbiamo utilizzato 5 campioni per sec


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Segnali continui nel tempo: segnali periodici

0( ) cos( )x t A tω φ= +

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Segnali continui nel tempo: esponenziale reale

a>0

a<0

atCetx =)(

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Segnale sinusoidale discreto

• Non è detto che sia periodico

x(n)=cos(2πn/12) SI

x(n)=cos(8πn/31) SI

x(n)=cos(n/6) NO!!

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Condizione di periodicità di segnali sinusoidali

• Segnale continuo– Segnali distinti per valori distinti

di ω0

– Periodico per tutti i valori di ω0

– La frequenza fondamentale è ω0

– Periodo fondamentale

• Segnale discreto– Segnali identici per valori di

frequenza separati di 2π– Periodico solo se

per valori interi N>0 e m.

– La frequenza fondamentale è

– Periodo fondamentale

)( 0nsen Ω)( 0tsen ω

Nmπ2

0 =Ω

m0Ω

00 /2 0per ωπω =≠ T00 /2 0per Ω=≠Ω mT π

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⎩⎨⎧

≥<

=0per 1

0per 0)(

t

ttu

Funzioni base: il gradino unitario

Il gradino unitario è discontinuo per t=0, tuttavia, in termini di teoria delle distribuzioni, se ne può calcolare la derivata: per definizione la derivata del gradino è la distribuzione δ(t) o impulso unitario

Essa può essere vista come il limite a cui tende la derivata di funzioni con pendenza 1/∆, con ∆ sempre più piccolo.

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Gradino e impulso discreti

⎩⎨⎧

≥<

=0per 1

0per 0)(

n

nnu

⎩⎨⎧

=≠

=0per 1

0per 0)(

n

nnδ

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Il segnale a tempo discreto x(n) si ottiene campionando x(t) cioèprendendo solo alcuni valori di x(t), uniformemente spaziati nel tempo.

E’ possibile decidere quanti campioni considerare (di solito in 1 sec) come mostrano i 3 esempi.

L’intervallo temporale tra due campioni successivi si chiama intervallo o periodo di campionamento TC


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Tipi di segnali - Esempi

Segnale analogico a tempo continuo

Segnale discreto nel tempo

Segnale discreto nel tempo e nelle ampiezze:

numerico


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Tipi di segnali – EsempiSINUSOIDE DETERMINISTICO E

PERIODICO

ELETTROCARDIOGRAM. DETERMINISTICO QUASI PERIODICO

POTENZIALE D’ AZIONE DETERMINISTICOTRANSIENTE

ELETTROENCEFALOGRA. STOCASTICO STAZIONARIO PER BREVI TRATTI

ELETTROMIOGRAMMA STOCASTICO STAZIONARIO PER BREVI TRATTI

POT. EVOCATO +ELETTROENCEFALOGRA.

DETREMINISTICO TRANSIENTE +

STOCASTICO STAZIONARIO


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Sistema LineareInvariante

Ingresso u(t) Uscita y(t)

Nei sistemi lineari invarianti vale il principio della sovrapposizione delle cause e degli effetti. Ovvero, se u1(t) e u2(t) sono ingressi del sistema che producono rispettivamente le uscite y1(t) e y2(t), allora

dato l’ingresso u(t)=a.u1(t)+b.u2(t),

esso produrrà un’uscita y(t)=a.y1(t)+b.y2(t)

Se in ingresso ad un SLI fornisco un impulso δ(t) ed ottengo un’uscita h(t), essa prende il nome di risposta impulsiva del sistema.Ogni sistema lineare è caratterizzato dalla sua risposta impulsiva h(t).

Sistemi lineari invarianti


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Analisi in frequenza

• Un segnale monodimensionale può genericamente essere definito come la sequenza dei valori assunti da una grandezza fisica.

• Rappresentazione più comune: andamento temporale

• Alternativa: rappresentazione in frequenza (SPETTRO)

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• Un segnale sinusoidale ha espressione analitica:

dove A è detta Ampiezza e T periodo

Si definisce la frequenza come f=1/T, di conseguenza una rappresentazione analitica equivalente sarà:

a cui corrisponde la rappresentazione grafica( ) ( )ftAtY π2sin⋅=

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

T

tAtY

π2sin

t


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• Rappresentazione spettrale del segnale sinusoidale

• l’altezza della barra è A e la sua posizione sull’asse delle frequenze è f.

Frequenze

Am

pie

zze


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• Facendo la somma di n segnali sinusoidali, ciascuno di ampiezza Ai e di frequenza fi, si ottiene un segnale la cui rappresentazione analitica è:

( ) ( )tfAtY i

n

ii π2sin

1∑=

⋅=


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• Esempio di andamento temporale di un segnale somma di sinusoidi

t

Y(t

)


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• Corrispondente rappresentazione spettrale di segnale somma di sinusoidi

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Frequenze

Am

pie

zze


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• E’ possibile generalizzare la definizione di spettro a segnali nonsinusoidali perché secondo il teorema di Fourier, una funzione periodica y(t), di periodo T, è sviluppabile in una serie costituita da un termine costante A0 e da una somma di infinite sinusoidi. Cioè:

( ) ( )tfiBtfiAAtYi

ii

i 01

01

0 2*sin2*cos)( ππ ⋅+⋅+= ∑∑∞

=

∞

=

∫ ⋅⋅=T

dttyT

A00 )(

1

in cui si ha: f0=1/T;le frequenze delle sinusoidi sono multiple della frequenza f0 (cioè fi=i*f0).

I coefficienti A0, Ai e Bi sono calcolabili secondo le formule:

∫ ⋅⋅⋅⋅=T

i dttfityT

A0 0 )2cos()(

2 π

∫ ⋅⋅⋅⋅=T

i dttfityT

B0 0 )2sin()(

2 π


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• Infine è possibile generalizzare ulteriormente la definizione di spettro a funzioni non periodiche allorché il periodo tende a crescere all’infinito. La distanza tra le righe dello spettro tende a zero e lo spettro diventa continuo. La serie di Fourier si trasforma in un integrale che assume il nome di Trasformata di Fourier

Frequenze

Am

piez

ze


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• Consideriamo un qualsiasi sistema lineare dotato di un ingresso ed una uscita.– Imponiamo un segnale sinusoidale, y(t), all’ingresso e

registriamo l’uscita u(t).

( ) ( )ftAtY π2sin⋅=

( ) ( )ftBtU π2sin⋅=

• Esaurito un transitorio iniziale, l’uscita assume un andamento sinusoidale avente la stessa frequenza del segnale di ingresso.

t

t

Risposta in frequenza

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• Per completezza occorre dire che l’ampiezza non sarà l’unica differenza tra ingresso e uscita, ma i due segnali differiranno tra loro, in generale, anche per la fase e quindi le espressioni analitiche che andrebbero in realtà considerate sono:

( ) ( )ϑπ +⋅= ftAtY 2sin

( ) ( )φπ +⋅= ftBtU 2sin

φϑ ≠con:


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• Tracciando graficamente l’andamento del rapporto tra le ampiezze B/A in funzione della frequenza del segnale otteniamo il diagramma del modulo della risposta in frequenza del sistema in esame.

• Per la rappresentazione di questo diagramma vengono utilizzate scale logaritmiche su entrambi gli assi. Inoltre per la scala orizzontale viene utilizzata la pulsazione:

• Per la scala verticale viene utilizzata l’unità di misura logaritmica dB (decibel), definendo:

• Nella scala bilogaritmica come sopra definita, gli andamenti diventano lineari, quindi possono essere approssimati da rette ottenendone i diagrammi asintotici.

fπ2=Ω

( )MM dB 10log20][ =


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• Esempio di diagramma reale con il relativo diagramma asintotico.

• L’ascissa del punto di intersezione, Ωt, tra i due asintoti viene detta pulsazione di taglio.

• La frequenza di taglio risulterà quindi:• Comportamenti passa-basso, passo-alto, ecc.

π2t

tfΩ

=


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Analisi in frequenza di un segnale

• l’analisi in frequenza di un segnale o analisi di Fourier descriveil segnale y(t) come somma di sinusoidi in numero eventualmente illimitato

• Se si considera il caso di un segnale periodico di periodo T; questo mediante la serie di Fourier viene descritto come somma di coseni e seni con frequenza pari alla frequenza fondamentale f1=1/T e con frequenza multipla (componenti armoniche) fk=k/T.

• la trasformata di Fourier generalizza questo concetto a funzioni aperiodiche.


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Scomposizione di funzioni periodiche 1• consideriamo un segnale con periodico 0.2 sec (freq.

fondamentale 5 Hz) costituito da 3 armoniche:

)t202(sin6.0)t102cos(25.1)t52(sin)t(y ⋅⋅π+⋅⋅π+⋅⋅π=

• si nota che l’andamento del segnale su un periodo descritto dal valore di y per tutti i valori reali 0 ≤ t < 0.2 viene riassunto da solo 3 valori, le ampiezza delle armoniche


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Esempio 1 - scomposizione di un ECG• esempio di sintesi di un tracciato ECG da un numero

crescente di armoniche: a) 4; b) 10; c) 30

• si noti come per riprodurre picchi stretti occorra un gran numero di armoniche

a) 4 armoniche b) 10 armoniche

c) 30 armoniche


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Esempio 1 - scomposizione di un ECG• le prime 10 armoniche della sintesi di ECG vista preced.:

k=0, componente continua; k=1, armonica fondamentale;k=2, .... , 10, armoniche superiori


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Esempio 2 - scomposizione di un onda quadra

• onda quadra; prima e terza armonica; più armoniche (1, ... , 11)

• serie di Fouriersono presenti solo frequenze armoniche dispari e solo coseni(la funzione è pari)con coeff. > 0 (fase 0)opp. < 0 (fase 180°)


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