Lezione introduttiva allo studio dellaGEOMETRIA SOLIDA

Geometria solida

Lo spazio euclideo è uninsieme infinito di elementi

detti punti e contienesottoinsiemi propri ed

infiniti : le rette e i piani.

.

In ogni piano valgono gli assiomi del pianoeuclideo.

Ogni punto appartiene ad infiniterette dello spazio, l’insieme dellequali si dice stella di rette.

Ogni punto appartiene ad infinitipiani: il loro insieme si dice stella dipiani.

Ogni retta r appartiene ad infinitipiani; il loro insieme si dice fascioproprio di piani; r è detta asse delfascio.

ASSIOMI

Per tre punti non allineati passa uno ed unsolo piano.

Se due punti di una retta appartengono a unpiano, essa giace interamente sul piano.

Se due piani distinti hanno in comune unpunto, essi hanno in comune un’intera retta.

Ogni piano α divide lo spazio in due insiemiinfiniti e disgiunti, detti semispazi tali cheper ogni coppia di punti, non appartenenti adα,si ha uno solo dei due seguenti casi:-se A e B appartengono allo stesso semispazioallora il segmento AB non interseca il piano-se C e D appartengono a semispazi oppostiallora il segmento CD interseca il piano

Posizioni reciproche

RETTA - RETTADue rette distinte nello spazio possono essere :- complanari: esiste un piano che le contiene. In tal

caso possono essere incidenti o parallele.- sghembe: non esiste un piano che le contenga

entrambe.

• A proposito di rette parallele, possiamo citareil teorema:Se due angoli, nello spazio, hanno i latiparalleli e concordi, sono congruenti

RETTA – PIANOUna retta e un piano nello spazio possono essere :- incidenti: se hanno un solo punto in comune.- paralleli: se non hannopunti in comune,oppure se li hanno tutti.

TeoremaSe una retta è parallela ad una retta di un piano,

essa è parallela al piano

PIANO – PIANO

Due piani distinti nello spazio possono essere :- incidenti se hanno una retta in comune.-paralleli se non hanno punti in comune.

L’insieme di tutti i piani paralleliad un piano dato si dicefascio improprio di piani

Proprietà• Le intersezioni di piani paralleli con un piano incidente sono

rette parallele.• Per un punto esterno ad un piano si può condurre uno ed un

solo piano parallelo al piano dato

Teorema di Talete nello spazioUn fascio di piani paralleli determina su due

rette trasversali segmenti corrispondentidirettamente proporzionali

RETTA E PIANO PERPENDICOLARI

Per definire il concetto di perpendicolarità tra retta e pianoabbiamo bisogno di due teoremi

TeoremaSe una retta è perpendicolare a due rettedi un piano che passano per un suo punto,allora è perpendicolare a tutte le altre rettedel piano passanti per quel punto

Come conseguenza del teorema precedentesi dimostra anche il seguente:TeoremaTutte le rette perpendicolari ad una retta data in un suo punto

giacciono sullo stesso piano.

Ora siamo in grado di dare la definizione:

una RETTA ed un PIANO si dicono

perpendicolariquandola retta interseca il piano ed èperpendicolare a tutte le rette del pianoche passano per il punto di intersezione,detto piede della perpendicolare

Teorema delle tre perpendicolariSe dal piede H della perpendicolare r ad un

piano π si conduce la perpendicolare s adun’altra retta t del piano π, quest’ultima (t)sarà perpendicolare al piano individuato dalleprime due (r e s)

Teoremi sulla perpendicolarità tra retta e piano

• Dati un punto e un piano, esiste una sola rettapassante per il punto e perpendicolare alpiano.

• Dati un punto e una retta, esiste un solo pianopassante per il punto e perpendicolare allaretta.

• Piani perpendicolari alla stessa retta sonoparalleli tra loro. Rette perpendicolari allostesso piano sono parallele tra loro.

PROIEZIONILa proiezione di un puntosu un piano è il piede della perpendicolarecondotta dal punto al piano.La lunghezza del segmento che haper estremi il punto e la sua proiezionesul piano si dice distanzadel punto dal piano.

Se una retta è parallela ad un piano, tutti i suoi punti sonoequidistanti dal piano; tale distanza si dice distanza della retta dalpiano.

La proiezione di una figura su un piano è la figura costituita dalleproiezioni dei suoi punti sul piano.

La proiezione di una retta su un piano non perpendicolare ad essa èuna retta.

TeoremaSe da un punto esterno ad un piano si conducono il segmento

perpendicolare e diversi segmenti obliqui, si ha:• il segmento perpendicolare è minore di qualunque

segmento obliquo,• due segmenti obliqui aventi proiezioni congruenti sono

congruenti e viceversa,• due segmenti obliqui aventi proiezioni disuguali sono

disuguali nello stesso verso.

Si chiama angolo di una rettacon un piano l’angolo acuto chela retta forma con la sua proiezionesul piano.

DiedroSi definisce diedro ciascuna delle due parti di spazio delimitate

da due semipiani che hanno la stessa origine, compresi isemipiani stessi.

I due semipiani prendono il nomedi facce del diedro e la loroorigine comune di spigolodel diedro.

Un diedro è convesso se non contiene nel suo interno iprolungamenti delle proprie facce, concavo se li contiene

Si dice sezione normale di un diedro l’angoloche si ottiene intersecando il diedro con unpiano perpendicolare al suo spigolo.

Valgono le seguenti proprietà:

• Due sezioni parallele di un medesimo diedro sonocongruenti

• Le sezioni normali di uno stessodiedro sono congruenti.

• Diedri congruenti hanno sezioni normalicongruenti e viceversa.

Si dice ampiezza di un diedro l’ampiezza della suasezione normale.

Per tale motivo è possibile trasportare ai diedri laterminologia degli angoli(retto,acuto, ottuso,diedricomplementari e supplementari, opposti al vertice…)

In particolare un diedro la cui ampiezza è un angoloretto si dice diedro retto.

• Due piani incidenti si dicono perpendicolarise formano quattro diedri retti.

Proprietà dei piani perpendicolari

• Se una retta è perpendicolare a un piano, qualunque pianopassante per essa è perpendicolare al piano dato.

• Se due piani incidenti α e β sono perpendicolari a un piano γ,allora anche la retta r d’intersezione di questi due piani èperpendicolare a γ

• Data una retta incidente un piano, esiste uno e un solo pianopassante per essa e perpendicolare al piano dato

• Dati due piani perpendicolari α e β , se r è una retta di βperpendicolare ad α ,essa sarà perpendicolare all’intersezionedei due piani

ANGOLOIDEDato un poligono convesso ABCDE… e un punto

V non appartenente al piano del poligono, sidice angoloide la parte di spazio delimitatadagli angoli AVB, BVC, CVD… e contenente ilpoligono ABCDE…

ANGOLOIDE• Dato un poligono convesso ABCDE… e un

punto V non appartenente al piano delpoligono, si dice angoloide la parte di spazioformata da tutte le semirette che hannoorigine in V e che passano per un punto delpoligono.

• Il punto V è detto vertice dell’angoloide• Le semirette Va,Vb, Vc, Vd si chiamano spigoli

dell’angoloide• Gli angoli AVB, AVD,DVC, BVC, sono detti facce

dell’angoloide

Proprietà di un angoloide

• L’ampiezza di ogni faccia di un angoloide èminore delle somma di tutte le altre.

• La somma delle ampiezze delle facce diun angoloide è minore di un angolo giro.

Si dice triedro un angoloidecon tre facce.

Criteri di congruenza dei triedri

1. Due triedri che hanno due facce e il diedrocompreso congruenti sono congruenti

2. Due triedri che hanno due diedri e la facciacompresa congruenti sono congruenti

3. Due triedri che hanno le tre facce congruentisono congruenti

4. Due triedri che hanno i tre diedri congruentisono congruenti.

Teorema delle sezioni paralleledi un angoloide

Le sezioni di un angoloide con due pianiparalleli, non passanti per il vertice, sonodue poligoni simili i cui perimetri sonoproporzionali alle rispettive distanze dalvertice e le aree sono proporzionali aiquadrati delle stesse distanze