Lezione del 20 novembre 2006

GRAFICO DI UNA FUNZIONE

Una variabile: il grafico di f è

contenuto in R2

Due variabili: il grafico di f è

contenuto in R3

RESTRIZIONE DI UNA FUNZIONE SU UNA RETTA

In questo caso valuto f sull’intero campo di esistenza Valuto f lungo la

retta x1=3+2t, x2=3-t

RESTRIZIONE DI UNA FUNZIONE SU UNA SEMIRETTA USCENTE DA UN PUNTO x0

Determinare la restrizione di sulla semiretta di direzione (2,-3), uscente dal punto (0,1).

204),( 212121 xxxxxf

La semiretta ha equazione ,0,3

2

1

0

2

1

tt

x

x

020312020)31,20( 2 ttttttf 4

2121 4 xxx

203184)31,20( 2 tttttf

020208202484 222 tttttt

La restrizione di f sulla semiretta è data da:

ovvero x1=2t, x2=1-3t

RESTRIZIONE DI UNA FUNZIONE SU UNA SEMIRETTA USCENTE DA UN PUNTO x0

La restrizione di f sulla semiretta è una funzione ad una variabile che si denota con

020208

)31,20()(2

t tt

ttft

)0()1,0( fOsserviamo che

x0

x0+td

DIREZIONE DI CRESCITA LOCALE

Data la restrizione di f sulla semiretta x0+td t0,

0()( 0 ttd) xft

x0

x0+td

d è una direzione di crescita locale uscente da x0 per f se esiste tale che:

),0()0()( t t

0),0()()( 00 t x ftdxf

o equivalentemente

DIREZIONE DI CRESCITA LOCALE

x0

x0+td

Stabilire, in base alla definizione, se d=(-2,3) è una direzione di crescita locale uscente dal punto x0=(0,1) per la funzione 204),( 21

2121 xxxxxf

020208)31,20()( 2 t ttttft

)0()( t

20)1,0(0 f 0208 2 tt

0 5/2La disequazione è soddisfatta per e quindi d è direzione di crescita locale uscente da x0 per f

2/5,0t)0()( t

DIREZIONE DI DECRESCITA LOCALE

Data la restrizione di f sulla semiretta x0+td t0,

0()( 0 ttd) xft d è una direzione di decrescita locale uscente da x0 per f se esiste tale che:

),0()()( t t t

0),0()()( 00 t x ftdxf

o equivalentemente

x0x

0+td

DIREZIONE DI CRESCITA LOCALE

x0x

0+td

Stabilire, in base alla definizione, se d=(-1,2) è una direzione di decrescita locale uscente da x0=(-1,1) per la funzione 204),( 21

2121 xxxxxf

071017)21,1()( 2 ttt ttft

)0()( t

17)1,1(0 f

0710 2 tt

-10/7 0

La disequazione è soddisfatta per t>0 e quindi d è direzione di decrescita locale uscente da x0 per f

)0()( t