Lezione 8 Parte II - architettura.unige.it · il calcolo non lineare a stati limite ultimi asse...

Facoltà di Architettura – Università degli Studi di GenovaCorso di TECNICA DELLE COSTRUZIONIChiara CALDERINIA.A. 2007-2008

LEZIONE 8

PROGETTO DI STRUTTURE IN CEMENTO ARMATO

Parte II. Il calcolo non lineare a stato limite ultimo - Flessione

RESISTENZE E AZIONI DI CALCOLORESISTENZE E AZIONI DI CALCOLO

LA RESISTENZA DI CALCOLO DELLE DEI MATERIALI fd E’ DEFINITA MEDIANTE L’ESPRESSIONE:

RESISTENZE DI CALCOLO

ckcd

c

ffγ

=

( )n

d g k q 1k q 0i iki=2

F =γ G +γ Q + γ ψ Q∑

AZIONI DI CALCOLO

DISTRIBUZIONE DI CARICO

VALORE CARATTERISTICO AZIONI

PERMANENTI

VALORE CARATTERISTICO

DELL’AZIONE DI BASE VARIABILE

VALORE CARATTERISTICO DELLE

AZIONI VARIABILI INDIPENDENTI

ykyd

s

ff

γ=

RESISTENZE E AZIONI DI CALCOLORESISTENZE E AZIONI DI CALCOLO

STATI LIMITE

• STATO LIMITE DI COLLASSO DELLA SEZIONESI DEVE VERIFICARE CHE LA DEFORMAZIONE NELLA SEZIONE NON SUPERI LA DEFORMAZIONE LIMITE DEL CALCESTRUZZO E DELL’ACCIAIO

SI DOVRA’ ANCHE VERIFICARE CHE SIANO SODDISFATTE LE VERIFICHE NEI CONFRONTI DEI FENOMENI DI INSTABILITA’DELLA STRUTTURA, DEGLI ELEMENTI STRUTTURALI CHE LA COMPONGONO O DI PARTI DI ESSI.

• STATO LIMITE DI ESERCIZIOVERIFICHE DI DEFORMABILITA’ E DI FESSURAZIONE

γc = 1.6

γs = 1.15

γc = 1.0

γs = 1.0

LUNGHEZZA DI ANCORAGGIOLUNGHEZZA DI ANCORAGGIO

L’ANCORAGGIO DELLE BARRE DI ARMATURA

AFFINCHE’ L’ACCIAIO ED IL CALCESTRUZZO “COLLABORINO” E’ INDISPENSABILE CHE, SOTTO IL CARICO, LE BARRE NON SI SFILINO DAL CALCESTRUZZO. A TALE FINE, CIASCUNA BARRA DEVE ESSERE IMMORSATA NEL CALCESTRUZZO PER UNA LUNGHEZZA TALE CHE L’INTERA SUA FORZA POSSA TRASMETTERSI AL CALCESTRUZZO SENZA CHE LE TENSIONI TANGENZIALI DI “ADERENZA” SUPERINO IL VALORE LIMITE.

TALE LUNGHEZZA E’ DETTA LUNGHEZZA DI ANCORAGGIO.

τbF

∆L

LUNGHEZZA DI ANCORAGGIO

PERIMETRO DELLA BARRA

bF Lpτ= ∆FORZA SOLLECITANTE

TENSIONI DI ADERENZA

FORZA RESISTENTE

N.B. SI PUO’ ASSUMERE CHE LE TENSIONI DI ADERENZA ABBIANO ANDAMENTO COSTANTE



POICHE’ SI VUOLE CHE , FINO AL LIMITE DI COLLASSO DELL’ELEMENTO, ACCIAIO E CALCESTRUZZO “COLLABORINO”, E’ NECESSARIO CHE LO SFILAMENTO DELLA BARRA NON AVVENGA PRIMA DEL COLLASSO.

PERTANTO, UN VALORE DI RIFERIMENTO DELLA LUNGHEZZA DI ANCORAGGIO PUO’ESSERE DETERMINATO IMPONENDO LA CONDIZIONE LIMITE:

yd s bdf A f Lp= ∆FORZA SOLLECITANTE MASSIMA

TRASMISSIBILE DALLA BARRAFORZA RESISTENTE MASSIMA PRODOTTA DALL’ADERENZA ACCIAIO-CLS

ADERENZA MASSIMA ACCIAIO CLSTENSIONE (DI PROGETTO) DI SNERVAMENTO DELL’ACCIAIO

AREA DELLA BARRA

DA CUI: 2

4 4yd s yd yd

bd bd bd

f A f d f dL

p dπ

τ τ π τ∆ = = =



DA COSA DIPENDE fbd?

• DALLA CLASSE DI RESISTENZA DEL CALCESTRUZZO

• DAL TIPO DI BARRE (LISCIE O AD ADERENZA MIGLIORATA)

BARRE AD ADERENZA MIGLIORATA 0.32 ckbd

m

Rf

γ=

2.25 ctkbd

m

ffγ

=

Per barre lisce:

Per barre ad aderenza migliorata:

TECNICHE PER INCREMENTARE LA LUNGHEZZA:

PIEGA

GANCIO

FENOMENOLOGIAFENOMENOLOGIA

ASPETTI FENOMENOLOGICI

IL COMPORTAMENTO DI UN ELEMENTO IN CEMENTO ARMATO SOGGETTO AD AZIONI FLETTENTI AL CRESCERE DELLA SOLLECITAZIONE ESTERNA MOSTRA UNA SEQUENZA DI FASI CARATTERIZZATE DA PECULIARITA’ DI COMPORTAMENTO MOLTO DIVERSE TRA LORO. AL CRESCERE DELLA SOLLECITAZIONE POSSIAMO INFATTI DISTINGUERE:

1. UNA PRIMA FASE, NELLA QUALE LE LIMITATE AZIONI SOLLECITANTI SONO TALI DA NON INDURRE NEL CALCESTRUZZO DEFORMAZIONI DI TRAZIONE TALI DAPORTARLO A FESSURAZIONE: LA SEZIONE E’ QUINDI INTERAMENTE REAGENTE.

2. UNA SECONDA FASE NELLA QUALE IL CALCESTRUZZO CHE AVVOLGE LE BARRE DI ARMATURA TESE NON RIESCE PIU’ A SEGUIRE L’ACCIAIO NEI NOTEVOLI ALLUNGAMENTI RAGGIUNTI E SI FESSURA: LA SEZIONE SI PARZIALIZZA.

3. UNA TERZA FASE IN CUI LE AZIONI SOLLECITANTI PORTANO L’ACCIAIO A RAGGIUNGERE LO SNERVAMENTO. SI ENTRA NEL CAMPO DELLE GRANDI DEFORMAZIONI: L’AMPIEZZA DELLE LESIONI AUMENTA FINO A GIUNGERE AL COLLASSO.

CONDIZIONE TIPICA IN ESERCIZIO

CALCOLO LINEARE DEL CEMENTO ARMATO

CONDIZIONE TIPICA A COLLASSO

CALCOLO NON LINEARE DEL CEMENTO ARMATO

IL CALCOLO NON LINEARE A STATI LIMITE ULTIMIIL CALCOLO NON LINEARE A STATI LIMITE ULTIMI

IPOTESI DI BASE

CONSERVAZIONE DELLE SEZIONI PIANE1

( )y kyε =

A COLLASSO, TALE IPOTESI E’ OPINABILE ED AD ESSA SEMBRA IMPUTABILE IL DIVARIO TRA I RISULTATI DELLE ANALISI E IL COMPORTAMENTO SPERIMENTALE.

DISTANZA DALL’ASSE NEUTRO

ε (y)y

Asse neutro

PERFETTA ADERENZA TRA ACCIAIO E CALCESTRUZZO2

s cε ε=DEFORMAZIONE DELL’ACCIAIO DEFORMAZIONE DEL CALCESTRUZZO

TALE IPOTESI PUO’ RITENERSI VERIFICATA IN MEDIA.

RESISTENZA A TRAZIONE DEL CALCESTRUZZO NULLA3

ASSUNZIONE DI MODELLI COSTITUTIVI DEI MATERIALI NON LINEARI4

DATE LE GRANDI FESSURAZIONI ESISTENTI AL COLLASSO, TALE IPOTESI E’ ADERENTE ALLA REALTA’ FISICA.

MODELLI COSTITUTIVI DEI MATERIALICALCESTRUZZO (COMPRESSIONE)

fckαfcd

εcuεco

αfcd

εcu0.2εcu

fckαfcd

εcuεo

PARABOLA RETTANGOLO

TRIANGOLO RETTANGOLO

STRESS-BLOCK

0.002coε =0.0035cuε =

ckcd

c

ffγ

=

PARAMETRI DEFORMATIVI

PARAMETRI DI RESISTENZA

RES. DI PROGETTO DEL CALCESTRUZZO

RES. CARATTERISTICA DEL CALCESTRUZZO

COEFF. DI SICUREZZA

0.85α =COEFF. CHE TIENE CONTO DEGLI EFFETTI VISCOSI SU CARICHI DI LUNGA DURATA.

NOTA CHE SONO INDIPENDENTI DALLA RESISTENZA DEL CLS!

εc

σc

εc

σc

εc

σc

( )1000 250 1c c cd cfσ ε α ε= − +


MODELLI COSTITUTIVI DEI MATERIALI

ACCIAIO (TRAZIONE E COMPRESSIONE)

0.01suε =

ykyd

s

ff

γ=

PARAMETRI DEFORMATIVI

PARAMETRI DI RESISTENZA

RES. DI PROGETTO DELL’ACCIAIO

RES. CARATTERISTICA DI SNERVAMENTO DELL’ACCIAIO

COEFF. DI SICUREZZA

fyk

fyd

εsuεyd

σs

εs

ydε DIPENDE DALLA RESISTENZA CARATTERISTICA

fyk

fyd

εsuεyd

σs

εs

ftk

ftd

Es

2200000sE N mm=

Es


( )yd yd sf Eε =

CAMPI LIMITE PER FLESSIONE SEMPLICE O COMPOSTA


AL VARIARE DELLA SOLLECITAZIONE (SFORZO NORMALE E/O MOMENTO FLETTENTE), ASSEGNATE LE CURVE COSTITUTIVE PER IL CALCESTRUZZO E L’ACCIAIO E ASSUNTE LE IPOTESI DI CALCOLO NON LINEARE, E’ POSSIBILE IDENTIFICARE ALCUNI “CAMPI”TIPICI ENTRO CUI PUO’ RICADERE LO STATO DI DEFORMAZIONE DELLA SEZIONE DELL’ELEMENTO.

εydεsu

ε<0ε>00

Α

Α’

y n

d

h

d’

Ο’

Ο’’

ΟF

D B

E

1 2

34

5

6

εco εcu

M

N N

MASSE NEUTRO



IL CAMPO DI DEFORMAZIONE IN CUI RICADRA’ LA SEZIONE SARA’ FUNZIONE DI:

- LA SOLLECITAZIONE AGENTE;

- FORMA, DIMENSIONI DELLA SEZIONE IN CLS

- POSIZIONE E PERCENTUALE DI ARMATURA

εydεsu

ε<0ε>00

Α

Α’

y n

d

h

d’

Ο’

Ο’’

ΟF

D B

E

1 2

34

5

6

εco εcu

M

N N

MASSE NEUTRO

CAMPO 1


LA SEZIONE RISULTA COMPLETAMENTE TESA. LA SOLLECITAZIONE PUO’ ESSERE SEMPLICE (N) O COMPOSTA (N + M). L’ARMATURA INFERIORE SUBISCE LA MASSIMA DEFORMAZIONE PLASTICA POSSIBILE (εsu = 0.01).

TRA

ZIO

NE

SEM

PLIC

E

εydεsu

ε<0ε>00

Α

Α’

y n

d

h

d’

Ο’

Ο’’

ΟF

D B

E

1 2

34

5

6

εco εcu

M

N N

MASSE NEUTRO

CAMPO 1 – POSIZIONE DELL’ASSE NEUTRO


TRA

ZIO

NE

SEM

PLIC

E

Ο’ ≡ CMIN

εydεsu

ε<0ε>00

Α

Α’

y n

d

h

d’

Ο’’

ΟF

E

1 2

34

5

6

εco εcu

M

N N

M

• QUANDO LA SEZIONE E’ NELLA POSIZIONE ESTREMA A-A’, COINCIDENTE CON LA TRAZIONE SEMPLICE, L’ASSE NEUTRO SI TROVA ALL’INFINITO.

• QUANDO LA SEZIONE E’ NELLA POSIZIONE ESTREMA A-O’, L’ASSE NEUTRO E’ COLLOCATO SULL’ESTREMO SUPERIORE DELLA SEZIONE (PASSA PER CMIN).

• PER POSIZIONI INTERMEDIE TRA A-A’ E A-O’, L’ASSE NEUTRO SI TROVA TRA INFINITO E CMIN.

ASSE NEUTRO

CAMPO 2


LA SEZIONE RISULTA IN PARTE TESA ED IN PARTE COMPRESSA. LA SOLLECITAZIONE PUO’ ESSERE SEMPLICE (M) O COMPOSTA (N + M). L’ARMATURA INFERIORE SUBISCE LA MASSIMA DEFORMAZIONE PLASTICA POSSIBILE (εsu = 0.01). IL CLS DEL LEMBO SUPERIORE POTRA’ AL LIMITE AVERE CONTRAZIONE NULLA, OVVERO VALORI FINO AL MASSIMO POSSIBILE (εcu=0.0035).

εydεsu

ε<0ε>00

Α

Α’

y n

d

h

d’

Ο’

Ο’’

ΟF

D B

E

1 2

34

5

6

εco εcu

M

N N

M

0.25

9 d



εydεsu

ε<0ε>00

Α

Α’

y n

d

h

d’

O’ ≡ CMAX

Ο’’

ΟF

E

1 2

34

5

6

εco εcu

M

N N

M

• QUANDO LA SEZIONE SI TROVA NELLA POSIZIONE ESTREMA A-O’, L’ASSE NEUTRO E’ COLLOCATO SULL’ESTREMO SUPERIORE DELLA SEZIONE (PASSA PER CMAX).

• QUANDO LA SEIOZNE SI TROVA NELLA POSIZIONE ESTREMA A-B, L’ASSE NEUTRO PASSA PER CMIN.

• PER POSIZIONI INTERMEDIE TRA A-O’ E A-B, L’ASSE NEUTRO SI TROVA TRA CMAX E CMIN.

• PER ANALOGIA TRA TRIANGOLI, CMIN SI TROVA A 0.259d DALL’ESTREMO SUPERIORE.

CMIN

B

CAMPO 3


LA SEZIONE RISULTA IN PARTE TESA ED IN PARTE COMPRESSA. LA SOLLECITAZIONE PUO’ ESSERE SEMPLICE (M) O COMPOSTA (N + M). L’ARMATURA INFERIORE HA DEFORMAZIONE CHE VANNO OLTRE LO SNERVAMENTO. IL CLS DEL LEMBO SUPERIORE HA LA MASSIMA CONTRAZIONE POSSIBILE (εcu=0.0035).

ASSE NEUTRO

εydεsu

ε<0ε>00

Α

Α’

y n

d

h

d’

Ο’

Ο’’

ΟF

D B

E

1 2

34

5

6

εco εcu

M

N N

M

εydεsu

ε<0ε>00

Α

Α’

y n

d

h

d’

Ο’

Ο’’

ΟF

D B

E

1 2

34

5

6

εco εcu

M

N N

M



ASSE NEUTRO

• QUANDO LA SEZIONE SI TROVA NELLA POSIZIONE ESTREMA A-B, L’ASSE NEUTRO PASSA PER CMAX.

• QUANDO LA SEZIONE SI TROVA NELLA POSIZIONE ESTREMA F-B, L’ASSE NEUTRO PASSA PER CMIN.

• PER POSIZIONI INTERMEDIE TRA A-B E F-B, L’ASSE NEUTRO SI TROVA TRA CMAX E CMIN.

•CMAX SI TROVA A 0.259d DALL’ESTREMO SUPERIORE, MENTRE CMIN=0.0035d/(0.0035+εyd)

CMIN

CMAX

0.25

9 d

0.00

35d/

(0.0

035+

ε yd

CAMPO 4


LA SEZIONE RISULTA IN PARTE TESA ED IN PARTE COMPRESSA. LA SOLLECITAZIONE PUO’ ESSERE SEMPLICE (M) O COMPOSTA (N + M). L’ARMATURA INFERIORE SI TROVA ANCORA IN CAMPO ELASTICO. IL CLS DEL LEMBO SUPERIORE HA LA MASSIMA CONTRAZIONE POSSIBILE (εcu=0.0035).

ASSE NEUTRO

εydεsu

ε<0ε>00

Α

Α’

y n

d

h

d’

Ο’

Ο’’

ΟF

D B

E

1 2

34

5

6

εco εcu

M

N N

M



ASSE NEUTRO

εydεsu

ε<0ε>00

Α

Α’

y n

d

h

d’

Ο’

Ο’’

ΟF

D B

E

1 2

34

5

εco εcu

M

N N

M

CMIN

CMAX 0.00

35d/

(0.0

035+

ε yd

• QUANDO LA SEZIONE SI TROVA NELLA POSIZIONE ESTREMA F-B, L’ASSE NEUTRO PASSA PER CMAX.

• QUANDO LA SEZIONE SI TROVA NELLA POSIZIONE ESTREMA O’’-B, L’ASSE NEUTRO PASSA PER CMIN.

• PER POSIZIONI INTERMEDIE TRA F-B E O’’-B, L’ASSE NEUTRO SI TROVA TRA CMAX E CMIN.

CAMPO 5


LA SEZIONE RISULTA QUASI COMPLETAMENTE COMPRESSA (ECCETTO LA ZONA DI CALCESTRUZZO AL DI SOTTO DELL’ARMATURA INFERIORE). LA SOLLECITAZIONE PUO’ESSERE SEMPLICE (M) O COMPOSTA (N + M - PRESSOFLESSIONE). TUTTA L’ARMATURA E’ COMPRESSA. IL CLS DEL LEMBO SUPERIORE HA LA MASSIMA CONTRAZIONEPOSSIBILE (εcu=0.0035).

ASSE NEUTRO

εydεsu

ε<0ε>00

Α

Α’

y n

d

h

d’

Ο’

Ο’’

ΟF

D B

E

1 2

34

5

6

εco εcu

M

N N

M



ASSE NEUTRO

εydεsu

ε<0ε>00

Α

Α’

y n

d

h

d’

Ο’

Ο’’

Ο≡CMIN

F

D B

1 2

34

5

εco εcu

M

N N

M

• QUANDO LA SEZIONE SI TROVA NELLA POSIZIONE ESTREMA O’’-B, L’ASSE NEUTRO PASSA PER CMAX.

• QUANDO LA SEZIONE SI TROVA NELLA POSIZIONE ESTREMA O-B, L’ASSE NEUTRO PASSA PER CMIN.

• PER POSIZIONI INTERMEDIE TRA O’’-B E O-B, L’ASSE NEUTRO SI TROVA TRA CMAX E CMIN.

CMAX

CAMPO 6


LA SEZIONE RISULTA INTERAMENTE COMPRESSA. LA SOLLECITAZIONE PUO’ ESSERE SEMPLICE (N) O COMPOSTA (N + M – CON PICCOLA ECCENTRICITA’). TUTTA L’ARMATURA E’ COMPRESSA. IL CLS DEL LEMBO SUPERIORE RAGGIUNGE LA CONTRAZIONE MASSIMA NEL CASO DI COMPRESSIONE SEMPLICE (εco=0.002), OVVERO MASSIMA CONTRAZIONE POSSIBILE (εcu=0.0035) NEL CAS0 DELLA PRESSOFLESIONE.

ASSE NEUTRO

6

εydεsu

ε<0ε>00

Α

Α’

y n

d

h

d’

Ο’

Ο’’

ΟF

D B

E

1 2

34

5

6

εco εcu

M

N N

M



ASSE NEUTRO

6

• QUANDO LA SEZIONE SI TROVA NELLA POSIZIONE ESTREMA O-B, L’ASSE NEUTRO PASSA PER CMAX.

• QUANDO LA SEZIONE SI TROVA NELLA POSIZIONE ESTREMA E-D, L’ASSE NEUTRO SI TROVA ALL’INFINITO.

εydεsu

ε<0ε>00

Α

Α’

y n

d

h

d’

Ο’

Ο’’

Ο≡CMAX

F

D B

E

1 2

34

5

6

εco εcu

M

N N

M



CAMPO 1 CAMPO 6

MAX. IMPEGNO DELL’ACCIAIO

MAX. IMPEGNO DEL CLS

IL CAMPO 2, 3 SONO QUELLI IN CUI SI SFRUTTANO AL MEGLIO LE PROPRIETA’ DEI DUE MATERIALI

(“ARMATURA BILANCIATA”)

ROTTURA DUTTILE ROTTURA FRAGILE

QUESTO TIPO DI ANALISI CI DA’UTILI INFORMAZIONI SUL TIPO DI ROTTURA (DUTTILITA’/FRAGILITA’).

(PREFERIBILE “ROTTURA DUTTILE”)


STATO LIMITE ULTIMO PER FLESSIONE

LA VERIFICA DI UNA SEZIONE INFLESSA ALL STATO LIMITE ULTIMO DI COLLASSO PROCEDE PER SUCCESSIVE FASI:

1. IPOTIZZATO IL CAMPO DI APPARTENENZA DELLA SEZIONE, SI INDIVIDUA LA POSIZIONE DELL’ASSE NEUTRO.

2. SI DETERMINA QUINDI IL MOMENTO RESISTENTE DI CALCOLO DELLA SEZIONE MRd.

3. SI ESEGUE LA VERIFICA CONFRONTANDO IL MOMENTO RESISTENTE DI CALCOLO CON QUELLO SOLLECITANTE DI CALCOLO MSd. LA VERIFICA RISULTA OVVIAMENTE SODDISFATTA SE:

Rd SdM M≥

PROBLEMA PRINCIPALE!

PROCEDIMENTO DI VERIFICA

NOTA: NELLA FLESSIONE SEMPLICE, LA SEZIONE PUO’ TROVARSI UNICAMENTE NEI CAMPI 2, 3 O 4.



ADIMENSIONALIZZAZIONE DEI PARAMETRI

IN VIRTU’ DELL’IPOTESI ASSUNTA N°1 (CONSERVAZIONE DELLE SEZIONI PIANE), NELLA ZONA DI CALCESTRUZZO COMPRESSO LA DEFORMAZIONE ε(y) PUO’ ESSERE ESPRESSA COME:

( ) cn

yyy

ε ε

=




LA POSIZIONE DELLA RISULTANTE (C) DELLE TENSIONI DI COMPRESSIONE NEL CLS E’ESPRIMIBILE IN UN FUNZIONE DI UN PARAMETRO ADIMENSIONALE k, CHE RAPPRESENTA LA DISTANZA DAL BARICENTRO DEL DIAGRAMMA DELLE TENSIONI DEL CLS DAL LEMBO MAGGIORMENTE COMPRESSO E VALE:

( )( )

( )'

'

'

'c

c

c n cA

n c cA

y y y dA

ky y dA

σ

σ

−

=∫

∫εc

ASSE NEUTROy y n

σc

C kyn

y




SI DEFINISCA, INOLTRE, UN COEFFICIENTE ADIMENSIONALE β CHE RAPPRESENTA IL RAPPORTO TRA L’AREA EFFETTIVA DEL DIAGRAMMA DELLE TENSIONI NEL CLS E L’AREA DEL DIAGRAMMA RETTANGOLARE FITTIZIO CHE LO INGLOBA:

( )'

'

'c

c cA

c c

y dA

A

σβ

σ=∫

εc

ASSE NEUTRO

y n

σc

Cckyn




SE LA DEFORMAZIONE NEL CLS RAGGIUNGE IL VALORE ULTIMO εcu, ALLORA σc=αfcd. I VALORI DI k E β POSSONO ALLORA CON BUONA APPROSSIMAZIONE ESSERE ASSUNTI COME:

0.40k =0.80β =

SE INVECE LA DEFORMAZIONE NEL CLS NON RAGGIUNGE IL VALORE ULTIMO εcu, CON ACCETTABILE APPROSSIMAZIONE (MAGGIORE O MINORE A SECONDA DELLA CURVA COSTITUTIVA ASSUNTA) SI HA:

0.33 0.07 c

cu

k εε

= +

1.6 0.80 c c

cu cu

ε εβε ε

= −




SI INDICA INFINE LA DISTANZA DELL’ASSE NEUTRO DAL BORDO COMPRESSO IN FORMA ADIMENSIONALE MEDIANTE IL PARAMETRO:

nyd

ξ =



EQUILIBRIO DELLA SEZIONE

ASSE NEUTRO

σc

Cc y y n

σs

Cs

Ts

CLS ACCIAIO

EQUILIBRIO ALLA TRASLAZIONE DELLA SEZIONE:

+

( )'

' ' ' 0c

c c s s s sA

y dA A Aσ σ σ− − + =∫RISULTANTE DELLE TENSIONI DI

COMPRESSIONE NEL CLS (Cc)

RISULTANTE DELLE TENSIONI DI TRAZIONE NELL’ACCIAIO (Ts)

RISULTANTE DELLE TENSIONI DI COMPRESSIONE NELL’ACCIAIO (Cs)

M

d

d’



EQUILIBRIO DELLA SEZIONE


( )'

' ' ' 0c

c c s s s sA

y dA A Aσ σ σ− − + =∫RISULTANTE DELLE TENSIONI DI

COMPRESSIONE NEL CLS (Cc)

RISULTANTE DELLE TENSIONI DI TRAZIONE NELL’ACCIAIO (Ts)

RISULTANTE DELLE TENSIONI DI COMPRESSIONE NELL’ACCIAIO (Cs)

USANDO PARAMETRI ADIMENSIONALI INTRODOTTI PRECEDENTEMENTE, NEL CASO DI SEZIONE RETTANGOLARE L’EQUILIBRIO ALLA TRASLAZIONE PUO’ ESSERE SCRITTO COME:

' ' 0c n s s s sby A Aσ β σ σ− − + =

DOVE b E’ LA LARGHEZZA DELLA SEZIONE.

MOMENTO GENERATO DALLE TENSIONI DI COMPRESSIONE NELL’ACCIAIO (Cs)



MOMENTO RESISTENTE DI CALCOLO

ASSE NEUTRO

σc

Cc y y n

σs

Cs

Ts

CLS ACCIAIO

IL MOMENTO RESISTENTE DI CALCOLO (RISPETTO AD ARMATURE TESE) DELLA SEZIONE E’:

+

( )( ) ( )'

' ' ' 'c

c n c s sA

y d y y dA A d dσ σ− + − −∫

MOMENTO GENERATO DALLA RISULTANTE DELLE TENSIONI DI COMPRESSIONE NEL CLS (Cc)

M

d

d’

MOMENTO GENERATO DALLE TENSIONI DI COMPRESSIONE NELL’ACCIAIO (Cs)



MOMENTO RESISTENTE DI CALCOLO

IL MOMENTO RESISTENTE DI CALCOLO (RISPETTO AD ARMATURE TESE) DELLA SEZIONE E’:

( )( ) ( )'

' ' ' 'c

c n c s sA

y d y y dA A d dσ σ− + − −∫

MOMENTO GENERATO DALLA RISULTANTE DELLE TENSIONI DI COMPRESSIONE NEL CLS (Cc)

USANDO PARAMETRI ADIMENSIONALI INTRODOTTI PRECEDENTEMENTE, NEL CASO DI SEZIONE RETTANGOLARE IL MOMENTO RESISTENTE DI CALCOLO PUO’ ESSERE SCRITTO COME:

( ) ( )' ' 'Rd c n n s sM by d ky A d dσ β σ= − − −

DOVE b E’ LA LARGHEZZA DELLA SEZIONE.



MOMENTO RESISTENTE DI CALCOLO (RISPETTO AD ARMATURE TESE) DELLA SEZIONE:

( ) ( )' ' 'Rd c n n s sM by d ky A d dσ β σ= − − −

' ' 0c n s s s sby A Aσ β σ σ− − + =


QUESTE DUE RELAZIONI SONO VALIDE FORMALMENTE PER TUTTI I MECCANISMI DI ROTTURA DELLA SEZIONE. LE TENSIONI DEL CLS E DELL’ACCIAIO, ASSUMONO PERO’DIFFERENTI ESPRESSIONI A SECONDA CHE IL MECCANISMO STESSO SI INSTAURI IN CAMPO 2, 3 O 4, OLTRE CHE, OVVIAMENTE, IN FUNZIONE MODELLO COSTITUTIVO ADOTTATO PER I DUE MATERIALI.

IL PROBLEMA DI DEFINIRE LA POSIZIONE DELL’ASSE NEUTRO (yn) PUO’ ESSERE RISOLTO IN MANIERA ITERATTIVA.

NEL CAMPO 2, COME VISTO PRECEDENTEMENTE, IL COLLASSO AVVIENE PER IL RAGGIUNGIMENTO DELLA DEFORMAZIONE ULTIMA εsu DELL’ACCIAIO TESO; LA TENSIONE CORRISPONDENTE σs NELL’ACCIAIO VALE fyd . IL CLS INVECE NON HA RAGGIUNTO LA DEFORMAZIONE ULTIMA E L’ACCIAIO IN ZONA COMPRESSA (SE PRESENTE) E’ LONTANO DALLA CRISI.

L’ASSE NEUTRO, ESPRESSO IN FORMA ADIMENSIONALE, HA IL SEGUENTE CAMPO DI VARIABILITA’: .

INTRODUCENDO I COEFFICIENTI ADIMENSIONALI: E



EQUILIBRIO DELLA SEZIONE - CAMPO 2

0 0.259ξ≤ ≤

' ' 0c s s yd sfσ βξ σ ρ ρ− − + =

L’ EQUILIBRIO ALLA TRASLAZIONE DELLA SEZIONE DIVIENE:

( )s sA bdρ = ( )' 's sA bdρ =

DOVE σc E σs’ POSSONO ESSERE CALCOLATI SULLA BASE DELLE RISPETTIVE LEGGI COSTITUTIVE IN FUNZIONE DELLE DEFORMAZIONI:

1su

cε ξε

ξ=

−' '

1s sud dξε εξ

−=−




0.00350.2590.0035 yd

ξε

≤ ≤+

NEL CAMPO 3, COME VISTO PRECEDENTEMENTE, IL COLLASSO AVVIENE PER IL RAGGIUNGIMENTO CONTRAZIONE ULTIMA DEL CLS, CON L’ACCIAIO TESO IN CAMPO PLASTICO.

L’ASSE NEUTRO, ESPRESSO IN FORMA ADIMENSIONALE, HA IL SEGUENTE CAMPO DI VARIABILITA’:

' ' 0cd s s s sfα βξ σ ρ σ ρ− − + =

L’ EQUILIBRIO ALLA TRASLAZIONE DELLA SEZIONE DIVIENE:

( )1cus

ε ξε

ξ−

=

DOVE σs E σs’ POSSONO ESSERE CALCOLATI SULLA BASE DELLA LEGGE COSTITUTIVA DELL’ACCIAIO IN FUNZIONE DELLE DEFORMAZIONI:

' 's su

d dξε εξ

−=




0.0035 10.0035 yd

ξε

≤ ≤+

NEL CAMPO 4, COME VISTO PRECEDENTEMENTE, IL COLLASSO AVVIENE PER IL RAGGIUNGIMENTO CONTRAZIONE ULTIMA DEL CLS, CON L’ACCIAIO TESO ANCORA IN CAMPO ELASTICO.

L’ASSE NEUTRO, ESPRESSO IN FORMA ADIMENSIONALE, HA IL SEGUENTE CAMPO DI VARIABILITA’:

' ' 0cd s s s sfα βξ σ ρ σ ρ− − + =

L’ EQUILIBRIO ALLA TRASLAZIONE DELLA SEZIONE E’ SEMPRE:

( )1cus

ε ξε

ξ−

=

DOVE σs E σs’ POSSONO ESSERE CALCOLATI SULLA BASE DELLA LEGGE COSTITUTIVA DELL’ACCIAIO IN FUNZIONE DELLE DEFORMAZIONI:

' 's su

d dξε εξ

−=



PROCEDIMENTO ITERATTIVO:

• SI PREFISSA IL VALORE DI ξ ALL’INTERNO DEL SUO CAMPO DI VARIABILITA’;

• DATO ξ, SI CALCOLANO LE DEFORMAZIONI MASSIME NEL CLS AL LEMBO COMPRESSO (εc) E NELLE ARMATURE (εs’ εs);

• SULLA BASE DELLE LEGGI COSTITUTIVE ASSEGNATE, DATI εc, εs’ E εs, SI CALCOLANO LE TENSIONI MASSIME DI COMPRESSIONE NEL CLS (σc) E NELLE ARMATURE (σs’ , σs ).

• SI PROVA A VERIFICARE L’EQUILIBRIO ALLA TRASLAZIONE. SE L’EQUILIBRIO NON E’SODDISFATTO, SI PROCEDE ITERATIVAMENTE (CAMBIANDO DI VOLTA IN VOLTA ξ) FINO A DETERMINARE IL VALORE CORRETTO DI ξ E QUINDI DI yn.

• SULLA BASE DEL VALORE DI yn TROVATO, SI IMPONE L’EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE E SI CALCOLA IL MOMENTO RESISTENTE DI CALCOLO MRd.

SE NESSUN VALORE DI ξ SODDISFA L’EQUILIBRIO, SIGNIFICA CHE IL CAMPO DI ROTTURA IPOTIZZATO NON E’ CORRETTO

POICHE’ NON SEMPRE E’ FACILE RISOLVERE IL PROBLEMA IN MANIERA ANALITICA, SPESSO DI RICORRE AD UN PROCEDIMENTO ITERATIVO.

Lezione 8 Parte II - architettura.unige.it · il calcolo non lineare a stati limite ultimi asse...

Documents

Transcript of Lezione 8 Parte II - architettura.unige.it · il calcolo non lineare a stati limite ultimi asse...