Lego: un gioco di costruzioni I processi iterativi per la...

Lego: un gioco di costruzioniI processi iterativi per la modellizzazione

del quotidiano

Primo Brandi

Dipartimento di Matematica ed Informatica

Università degli Studi di Perugia

http://www.matematicaerealta.it

[email protected] Pellegrino Terme, 6 settembre 2006

Summer School - Incontriamo la Matematica

P.Brandi (Univ. Perugia) - Lego: un gioco di costruzioni, San Pellegrino 6 settembre 2006

Lego: un gioco di costruzioni - I processi iterativi per la modellizzazione del quotidiano

Cosa è un processo iterativo

Processi iterativi nella simulazione della realtà

La dinamica della geometria frattale

Il progetto MATEMATICAC&REALTA’

Mondo reale & mondo matematico

“azione ripetuta più volte”

processo iterativo


Zoom di una fotocopiatrice



Processo iterativoun secondo esempio

diffusore-microfono-amplificatore-diffusore


segnale

rumore bianco


10 cicli 50 cicli

1250 cicli 6250 cicli

i 0

u0

i1

u1

i2 u

2

i3

T

Schema di processo iterativo


Approccio numerico Formalizzazione analitica

0

1

0,1, 2,...

( )n n

n

x start

x T x+

=

=

(xn)n è detta successione delle iterate


Perchè gli algoritmi iterativi?… per almeno 6 buone ragioni:

sono uno strumento elementare

utilizzati sin dagli albori della modellizzazione

di costante attualita’

di crescente interesse (computers)

offrono una vasta gamma di applicazioni

propongono spunti di riflessione ed approfondimento multidisciplinare


Alcuni problemi della vita reale


Depurazione di carburante

Le leggi federali USA prescrivono di depurare il kerosene utilizzato come carburante dei jet.

L’operazione avviene mediante filtraggio attraverso un’apposita condotta contenente argilla.

Se 1 foot di filtro elimina il 20% di impurità, quanto deve essere lunga la condotta per abbattere gli inquinanti del 75%?


Problemi di vita reale

Caratteristiche conformi

Detersivo residuo

5%

ogni risciacquo finale

25/109

in economynormaleLavaggio

13 l0 g21 l0 grisciacquo13 l50 g21 l80 glavaggio

H2OdetersivoH2Odetersivo


Piani di investimento a confronto

12,50% sugli interessi

12,50% sugli interessi

Ritenute di legge

100€ annuali posticipati

100€ sem. anticipati

Spese fisse

4% annuale2% sem.Tasso di interesse

Piano BPiano A

L’agente finanziario afferma che il Piano A è più conveniente per investimenti superiori a 10.000 €. VERO O FALSO?


Prescrizione medica

Iodio131 è somministratoa pazienti ipertiroidei

Non è prudente prendere in braccio i bambini fin

quando l’attività radioattiva non si è ridotta del 70%

50

100

25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Tempo di emi-vita 8 giorni

Quale sarà il consiglio del medico?


Datazione di sostanze organiche

Castello di Winchester

E’ la leggendaria tavola rotonda di re Artù ?

datazione con C14 : alberi tagliati nel secolo XIII

Diametro 5.5 m 25 settori


I problemi presentati sono suscettibili di una medesima

formulazione matematica

attraverso la struttura di

processo iterativo


Depurazione di carburante

Le leggi federali USA prescrivono di depurare il kerosene utilizzato come carburante dei jet.

L’operazione avviene mediante filtraggio attraverso un’apposita condotta contenente argilla.

Se 1 foot di filtro elimina il 20% di impurità, quanto deve essere lunga la condotta per abbattere gli inquinanti del 75%?


Depurazione di carburante –Costruzione del modello

Start: quantità iniziale di inquinanti

1 foot di filtro elimina il 20% di impurità, quanto deve essere lunga la condotta per abbattere gli inquinanti del 75%?


( )2 10.8P P=

MM

( ) 10.8n nP P −=

Stadio 1: ( )1 00.8P P=

Stadio 2:

Stadio 3: ( )3 20.8P P=

0P

Stadio n:


Start: quantità iniziale di inquinanti



( ) ( ) ( ) ( )2

2 1 0 00.8 0.8 0.8 0.8P P P P= = =

MM

( ) ( )1 00.8 0.8n

n nP P P−= =

Stadio 1: ( )1 00.8P P=

Stadio 2:

Stadio 3: ( ) ( )( ) ( )2 3

3 2 0 00.8 0.8 0.8 0.8P P P P= = =

0P

Stadio n:




MM

( ) 0 1 2

0

00 8 n , , , ...n

n

P start

P . P =

=

Sequenza delle iterate




MM

( ) 0 1 2

0

1 00 8 n , , , ...n

n

P start

P . P =+

=

Sequenza delle iterate

Depurazione di carburante –Risposta ai quesito



MM

( ) 0 1 2

0

1 00 8 n , , , ...n

n

P start

P . P =+

=

( ) ( )0

04

0.8 0.8 0.25n

n nPP P <= ⇔ <

Risposta al quesito:

Il primo intero che soddisfa la disuguaglianza è 7n =La condotta deve essere lunga almeno 7 feet

Decadimento radiattivo

Gli isotopi radiattivi decadono: % ad ogni stadio λ

Start step 1 step 2 step 3 …

Successione decrescente

00

1 1,2,(1 )

(1 )n

nn n

start

n

RR R

R Rλ

λ+ =

= − = − K

λ


Classi di Processi iterativi elementari

( )T x x q= + una traslazione genera un processo lineare

Progressione aritmetica, capitalizzazione semplice…


diagramma di Web


( )T x m x=Progressione geometrica, capitalizzazione composta, lavatrice, decadimento radioattivo, …


una omotetia genera un processo exp

diagramma di Web



( )T x m x q= +una trasformazione lineare genera un processo exp


( )T x m x=

( )T x x q= + una traslazione genera un processo lineare

Progressione aritmetica, capitalizzazione semplice…

Progressione geometrica, capitalizzazione composta, lavatrice, decadimento radioattivo, …


( )T x m x q= +

una omotetia genera un processo exp

una trasformazione lineare genera un processo exp

Processi iterativi associati a trasformazioni punto-punto

1 1| ( ) ( ) | | |n n n nT x T x x x+ +− = −

1 1| ( ) ( ) | | |n n n nT x T x x x+ +− > −

1 ( )n nx T x+ =

1 1| ( ) ( ) | | |

0 1n n n nT x T x K x x

K+ +− ≤ −

≤ <

P. isometrico

P. di espansione

P. di contrazione




Teorema di Renato Caccioppoli per le contrazioni

Ogni contrazione ammette un unico punto fisso

Fissato comunque un punto start, il processo

ammette come attrattore . L’approssimazione dell’attrattore migliora ad ogni pass o

( )x T x=

( )0

1 0 1 2n n n , , ,

x start

x T x+ =

= K

x

1 0 1 2n n n , , ,...| x x | | x x |+ =− ≤ −

Il caffè versato in una tazzina si raffredda secondo la legge di Newton: la diminuzione della temperatura è proporzionale all a differenza di temperatura tra il caffè e l’ambiente

Raffreddamento di una tazzina di caffè


Processo iterativo del raffreddamento

Ta la temperatura ambiente

T0 la temperatura del caffè appena versato

Tn la temperatura del caffè dopo n stadi



Ta la temperatura ambiente

T0 la temperatura del caffè appena versato

Tn la temperatura del caffè dopo n stadi

0

1

0,1, ...

0

( ) 0 1a

n n n a

n

T T start

T T k T T k+

=

− > − = − − < <


Una opportuna semplificazione

Introduciamo una nuova variabile

la differenza termica tra caffè e ambiente

Sn=Tn-Ta

( ) ( )1 1 ( )

1 ( ) 1n n a n n a a

n a n

S T T T k T T T

k T T k S+ += − = − − −

− − = −

0

1

0,1, ...0 1

0

(1 )n n

nk

S start

S k S+

=< <

> = −



Il processo è generato dalla trasformazione

T(x) = (1-k) x

si tratta di un processo di contrazione

0

1

0,1, ...0

(1 ) 0 1nn

nS start

S k S k+=

> = − < <



Formula chiusa

0 .0,1,..(1 )nn nS k S == −

01 (1 )S k S= −2 1 0 0

2(1 ) (1 ) (1 ) (1 )S k S k k S k S= − = − − = −..................................

0 .0,1,..(1 ) ( )na an nT T k T T =− = − −



Il processo evolve verso l’ attrattore, punto fisso di T T(x) = (1-k) x = x

x=0

0nS →

n aT T→


Verifica e messa a punto del modello

Esperimento con sensore di temperatura collegato ad un CBL

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

tempo [minuti]

tem

pera

tura

[°C

elsi

us]

valori osservati

0

10

20

30

40

50

60

70

1 368 735 1102 1469 1836 2203 2570 2937 3304 3671 4038 4405 4772

Confronto

0

10

20

30

40

50

60

70

1 363 725 1087 1449 1811 2173 2535 2897 3259 3621 3983 4345 4707

valori osservati

valori teorici

Differenza max: 1.5 gradi errore ma x 2,5%�

Prato di erba medica

Famiglia R: seme da incrocio

Famiglia V: seme da auto impollinazione

i Rossi diventano parte Verdi e parte restano Rossi secondo un rapporto fisso

i Verdi diventano Rossi

Evoluzione della popolazione al trascorrere delle generazioniStimare il rapporto fra le due popolazioni in un prato naturale

Prati di erba medicaInterazione tra ROSSI e VERDI: ad ogni stadio

VERDI ROSSI

% ROSSI VERDE

Start step 1 step 2 step 3 …

λ

0 0

1 1

1 1, 2, 3,

1

1n n

n n

start

n

R V

R V

V Rλ+ +

+ =

+ = = − = K


Prati di erba medica

Formula chiusa

( )

0 0

12 30 1, 2, ...

1

1

1

n n

n nn

start

n

R V

R V

V Rλ λ λ λ+=

+ = = −

= − + + + − L

• L’evoluzione tende a stabilizzarsi dopo un certo numero di generazioni

• La configurazione asintotica non dipende dalla configurazione iniziale, ma solo dal parametro

λ

λλλλ

Nei nostri prati si è stimato λ = 40%λ = 40%λ = 40%λ = 40% 71%R ≅n


Preda-predatori


Il tasso di accrescimento di due popolazioni isolate è proporzionale al numero di individui di ciascuna

1

1

n n n n

n n n n

x x ax by

y y cx dy+

+

− = + − = +

Modello lineare

Preda-predatori


Il tasso di accrescimento di due popolazioni isolate è proporzionale al numero di individui di ciascuna

1

1

n n n

n

n n

n n nn

x x ax

y y

hx y

y kx yd+

+

− = + − = +

Modello non lineare

Modello preda predatore

lepri e volpi

Le lepri senza le volpi esploderebbero

Le volpi senza le lepri scomparirebbero

invece la loro interazione …


I Premio - Migliore comunicazione

Tommaso Bientinesi

Tutor Prof. Mara Massarucci

Classe V Liceo scientifico Donatelli, Terni

III convegno Esperienze a confronto

Perugia, 10-11 aprile 2001


Processi iterativi

Trasformazionipunto-punto

modelli lineari

eco-sistemi isolatiregimi di coop/comp mod. preda-predatori

modelli non lineari

crescita logisticaeffetto farfalla

caos

Trasformazionifigura-figura

geometria frattale

crescita dentritica in una cellula elettrolitica

fluttuazioni di un titolo azionario

dithering di stampa

percolazione di liquidi

paesaggi virtuali

strutture frattali in anatomia, astronomia, botanica

compressione immagini

Trasformazionifunzionali

Algoritmi di approssimazione

algoritmo babilonese quadratura del cerchio e rettificazione della circonferenza

processo di esaustionesecondo Archimede

metodi di linearizzazioneper il calcolo degli zeri(corde, secanti, regula

falsi, tangenti)


Processi iterativi


automi cellulari

A new kind of science di Wolfram

Life-game

automi a stati finiti


geometria frattale

crescita dentritica in una cellula elettrolitica

fluttuazioni di un titolo azionario

dithering di stampa

percolazione di liquidi

paesaggi virtuali

strutture frattali in anatomia, astronomia, botanica

compressione immagini






falsi, tangenti)


Processi iterativi


tecniche diInterpolazione frattale

per lo studio di seriestoriche






falsi, tangenti)


automi cellulari


Life-game



Processi iterativi


modelli continui in dinamica delle popolazioni

equazioni diff. ordinarie

teorema di punto fisso di Banach

metodo delle approssimaz. successive


automi cellulari


Life-game



tecniche diInterpolazione frattale

per lo studio di seriestoriche


Introduzione alla geometria frattale

•Crescita dentritica in una cellula elettrolitica

•Fluttuazioni di un titolo azionario

•Dithering nel processo di stampa computerizzata

•Percolazione di liquidi

•Paesaggi virtuali

•Strutture frattali in anatomia, astronomia, botanica

•Algoritmi di compressione delle immagini

•Interpolazione frattale

Processi iterativi associati a trasformazioni figura-figura


La geometria frattale introduce una dinamica nella geometria Euclidea.

I frattali sono definiti attraverso algoritmi che, pur agendo sugli usuali elementi della geometria classica, introducono un processo dinamico.

Questa teoria, proprio perché espressione della complessità della natura, si presta a numerose applicazioni.


Processi iterativi su figure

alcuni esempi

F0 startF1

F2 F3

Gerla di Sierpinski

F1F0 start

F2 F3

Tappeto di Sierpinski

Il merletto a trina

di

Helge von Koch (1904)



T1


T1

T2


T1

T2 T3


T1

T2 T3

T4

CODICE GENETICO di un IFS

Il generatore della curva di Koch è governato dallatrasformazione geometrica T(w 1,w2.w3,w4)

T=(w1,w2,w3,w4)


=′

=′ω

3

yy

3

xx

)1

=′

+=′

3

3

2

3)4 yy

xx

ω

++

=′

+−

=′ω

03

2

yx

2

3

y

3

1

3

y2

3

2

x

x)2

++−

=′

++

=′

ω

6

3

32

yx

2

3

y

2

1

3

y2

3

2

x

x

)3

Trasformazioni geometriche

Contrazione

Contrazione+ traslazione

Contrazione + traslazione + rotazione


Curva di Koch

Koch classico

Metodo del codice genetico

L-system



Principali caratteristiche dei frattali

� dimensione frazionaria

curva di Koch D= 1.2619

interpolanti frattali in Idrologia 1.2 < D < 1.4

� invarianza per scala (autosimiglianza)

se si esaminano i frattali su scale diverse, si

osservano sempre gli stessi elementi fondamentali

Frattali con condensing

felce

alberi



Maila Agostini – Valeria Fabbri – Jonathan Monti

Classe IV

Prof. Maria Vittoria Buzzi

Liceo scientifico Galilei, Terni

IV convegno Innovamatica

Esperienze a confronto

Perugia, 10-11 aprile 2002


Il concetto di modello e … il Lego


Mediante strutture semplici combinate possiamo modellare fenomeni complessi

Matematica e mondo reale

Una possibile interazione…

Educazione alla modellizzazione

Sviluppare un’attitudine sperimentale nei confronti della matematica evidenziando il suo ruolo chiave nella modellizzazione della realtà


PROGETTO INNOVAMATICAUniversità di Perugia

MATEMATICA & REALTA’

[email protected]


CENTRO PRISTEMUniversità Bocconi


Il progetto Matematica & Realtà è nato con l’intento di offrire una gamma di opportunità:

per un insegnamento più tradizionale , mettendo a disposizione numerosi modelli di supporto da svilup pare alla voce “saper fare” come “esercizi”




per un insegnamento più aperto alla innovazione tecnologica , fornendo un ampio ventaglio di modelli (per il cui sviluppo è indispensabile il ricorso alle nuove tecnologie)




per un insegnamento più aperto alla innovazione tecnologica , fornendo un ampio ventaglio di modelli (per il cui sviluppo è indispensabile il ricorso alle nuove tecnologie)

per un insegnamento aperto all’innovazione didattica , proponendo un percorso di educazione alla modellizzazione.


Educare alla modellizzazione comporta un modo diverso di proporre lo studio della matematica, riv olto alla descrizione e comprensione del mondo reale.

Punto centrale della proposta è una

interazione dinamica tra mondo reale e mondo matematico

azione principale

LABORATORI DIDATTICIsvolti presso la propria scuola o all’Università

… abbiamo raccolto una sfida …

E’ possibile introdurre ai modelli matematici con strumenti elementari

Riavvicinare alla matematica … chi si sente indifferente al sentore scientifico

… e nutriamo una speranza …



Grazie per l’attenzione

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