Le origini della Teoria dei Quanti - cs.infn.it · - atomo di Thomson, atomo di Rutherford ... In...

1

Le origini dellaTeoria dei Quanti

Alessandro PapaDipartimento di Fisica, Università della CalabriaE-mail: [email protected] - Tel.: 0984-406015

Minicorso per gli studenti delLiceo Scientifico “A. Guarasci” (Rogliano)

e dell’Istituto Magistrale “I Licei” (Belvedere)

Programma del corso

• Introduzione- la fine del periodo classico della Fisica- la Fisica teorica classica- stato delle conoscenze microscopiche a fine ‘800

• Quantizzazione nella lucecenni sulla radiazione di corpo nero- effetto fotoelettrico- effetto Compton- doppia fenditura di Young

2

• Quantizzazione nella materiaatomo di Thomson, atomo di Rutherford- atomo di Bohr- esperimento di Franck-Hertz- la “antica teoria dei quanti”

• La teoria quantistica modernacenni storici- ipotesi di De Broglie, “onde di materia”- esperimento di Davisson e Germer- incertezza della misura e indeterminazione diHeisenberg

IntroduzioneLa fine del periodo classico

Paradigma della dottrina classica

• di un sistema fisico si vuole studiare l’evoluzione neltempo o, equivalentemente, determinarne la dinamica

• ad ogni sistema viene associato un certo numero divariabili dinamiche, che possiedono tutte, ad un certoistante, un valore ben preciso

• l’insieme di queste variabili dinamiche costituisce lo stato dinamico del sistema; noto lo stato dinamico del sistema, la sua evoluzione è determinata

3


Da Newton in poi, successo della dottrinaclassica

• nuova scoperta→ nuove variabili dinamichee/o nuove equazioni di evoluzione

• sempre maggiore semplicità e unità delleconoscenzeI. Newton (1642-1727)


Verso il 1900, crisi della Fisica classica

le conoscenze microscopiche diventano sempre più precise ed appaiono difficoltà e contraddizioni della teoria classica

→ nuovi princìpi→ nuova teoria, la meccanica quantistica (1900-1925)

Cosa intendiamo qui per “microscopico”?Relativo a scale di lunghezza atomiche, cioè a lunghezze inferiori a1 Å=10-8 cm.

4

IntroduzioneLa Fisica teorica classica

materia irraggiamentofenomeni fisici

Teoria corpuscolare

- dalla meccanica dei corpi celesti e dei solidi macroscopicifino alla scala microscopica

- confermata l’ipotesi atomica dei chimici(leggi delle proporzioni costanti e delle proporzioni multiple)

-la difficoltà di operare con sistemi con un numero di variabilidell’ordine del numero di Avogadro porta alla nascita dellameccanica statistica (Boltzmann, 1884)

L. Boltzmann (1844-1906)



Teoria ondulatoria

- le variabili dinamiche sono i campi elettrici e magnetici in tutti i punti dello spazio-tempo

- esse obbediscono alle equazioni di Maxwell (1855) che unificano l’ottica con l’elettricità e il magnetismoe portano alla previsione delle ondeelettromagnetiche, scoperte da H.R. Hertz (1887)

J.C. Maxwell (1831-1879)

5



Tutto sembra trovare spiegazione nell’ambito della teoria corpuscolareo in quella dell’irraggiamento, con sorprendente grado di unità.

Fu proprio la ricerca di un grado di unità ancora maggiore, quello tra la propagazione delle onde elettromagnetiche e delle onde elastiche, cheportò alla ricerca dell’etere. Il fallimento di questa ricerca sta all’originedella formulazione della teoria della relatività (Einstein, 1905).

IntroduzioneStato delle conoscenze microscopiche a fine ‘800

Gli sforzi sperimentali a fine ‘800 sono mirati allo studio della struttura della materia, delle mutue interazioni tra corpi e della interazione materia-radiazione.

Conducibilità elettrica nei gas rarefatti

- raggi catodici (elettroni; J.J. Thomson, 1897)- raggi canale (ioni di gas residuo, Goldstein, 1886)- raggi anodici (ioni strappati dall’anodo)

In seguito a queste scoperte l’esistenza di atomi emolecole da ipotesi di lavoro diventa realtà.

Inoltre, si affinano le tecniche sperimentali per isolareparticelle atomiche e sub-atomiche:- misura carica elettrone (Millikan, 1910)- camera di Wilson (1912)- contatore Geiger (1913)

mm/Hg)10( 3−

6

IntroduzioneStato delle conoscenze microscopiche a fine ‘800

Scoperta della radioattività (Bequerel, 1896): -prima manifestazione delle proprietà deinuclei atomici- si comincia a disporre dei raggi α come potentemezzo di investigazione dell’atomo

A.H. Bequerel (1852-1908)

M. Curie (1867-1934)

Onde elettromagnetiche:- scoperta dei raggi X (Röntgen, 1895) …- … e delle loro proprietà ondulatorie(von Laue, 1912)

W.C. Röntgen (1845-1923)Analisi spettrale dell’irraggiamento: informazioni suemissione, assorbimento e diffusione della radiazionee primi disaccordi con la teoria classica.

Digressione: Onde elettromagnetiche

λ = “distanza tra due creste consecutive” = “lunghezza d’onda”

T = “periodo dell’onda”

ν = 1/T = “frequenza dell’onda”ν

λ c=

7

Digressione: spettro elettromagnetico I

Digressione: spettro elettromagnetico II

8

Digressione: spettro elettromagnetico III

> 105> 3 x 1019< 10-9< 0.1Raggi Gamma

103 - 1053 x 1017 - 3 x 101910-7 - 10-910 - 0.1Raggi X3 - 1037.5 x 1014 - 3 x 10174 x 10-5 - 10-74000 - 10Ultravioletto2 - 34.3 x 1014 - 7.5 x 10147 x 10-5 - 4 x 10-57000 - 4000Visibile

0.01 - 23 x 1012 - 4.3 x 10140.01 - 7 x 10-5106 - 7000Infrarosso10-5 - 0.013 x 109 - 3 x 101210 - 0.01109 - 106Microonde

< 10-5< 3 x 109> 10> 109Radio

Energia(eV)

Frequenza(Hz)

Lunghezza d’onda

(centimetri)

Lunghezza d’onda

(Angstrom)

RegioneSpettro della radiazione elettromagnetica

Digressione: spettro elettromagnetico IV

9

Digressione: Interferenza di onde elettromagnetiche I

Interferenza costruttiva Interferenza distruttiva

Digressione: Diffrazione I

Posizione dei minimi:

,....3,2,1sin=

=n

nd λθ

10

Digressione: Diffrazione II

Esempi di figure di diffrazione

sinistra: forma aperturadestra: immagine sullo schermo

ad apertura piccole corrispondonopicchi centrali più estesi

Posizione primo minimo:

dλθ =sin

Quantizzazione nella luceCenni sulla radiazione di corpo nero

Corpo nero: oggetto ideale che assorbe il 100% delle radiazioni che lo colpiscono, quindi non riflette alcuna radiazione e appare perfettamente nero.

Un corpo può apparire nero ai nostri occhi perché assorbe solo la luce visibile. Un corpo nero ideale assorbe su tutto lo spettro elettromagnetico.

In natura niente assorbe totalmente (la migliore approssimazione è la grafite che riflette solo il 3%).

In pratica, un piccolo foro in una scatola con l'interno annerito, si avvicina molto al concetto di corpo nero: la radiazione che entra viene totalmente assorbita.

Quella che ne uscirà corrisponderà all'equilibrio di temperatura del corpo.

11


Il corpo nero dunque è anche idealmente un perfetto emettitore di radiazione.

L'emissione è isotropa e dipende solo dalla temperatura, non dal materiale di cui è fatto.

La lunghezza d'onda a cui avviene la massima emissione dipende dalla temperatura del corpo.

Legge di spostamento di Wien:

K cm2898.0max =Tλ


Ogni corpo emette radiazioni, anche se non ce ne rendiamo conto, poiché un oggetto deve essere molto caldo per emettere luce visibile (es. il ferro incandescente, la lava di un vulcano).

m9 K 310C37 max µλ ≅→== oT

B(λ,

310

K)(

x108

erg

cm-3

s-1 )

λ (µm)

Ad esempio, per l’uomo

12


Le stelle sono buone approssimazioni di emissione di radiazione di corpo nero, ad es. la superficie del Sole ha un massimo di emissione intorno ai 6000 K, che corrisponde al suo tipico colore giallo-arancio.


I fisici già nel 1800 tentavano di trovare la teoria che spiegasselo spettro di corpo nero, utilizzando le leggi di Maxwell dell’elettromagnetismo classico. Molte cose furono capite, come ad esempio la dipendenza dalla temperatura dellapotenza totale emessa da un corpo nero e la forma dellalegge di spostamento di Wien.

Nel 1900 che M. Planck riuscì a trovare la formula cheriproduce I valori osservati dello spettro di corpo nero.Ma per farlo dovette introdurre un’ipotesi nuova, cheapparve inizialmente come un mero artificio matematico.

M. Planck (1858-1947)

W. Wien (1864-1928)

13


Spiegazione di Planck (1900)

le pareti di una cavità, come qualsiasi superficie emittente, contengono particelle, che assorbendo energia dall’esterno aumentano la loro temperatura e iniziano ad oscillare.

Oscillando emettono radiazione, ma, contrariamente ai principi classici, l’energia di questa radiazione èemessa in quantità definite o pacchetti di energiahν, dove h=6.626x10-34 J s (costante di Planck).

L’emissione alle alte frequenze (piccole lunghezzed’onda) è sfavorita perché comporterebbel’emissione di pacchetti di energia “grandi”.

In effetti, lo spostamento verso le lunghezze d’ondapiù piccole si verifica alle temperature più elevate.

Digressione: La radiazione cosmica di fondo

L’universo è permeato da radiazione omogenea e isotropa, ritenuta essere il residuo termico del big bang. Questa radiazione, chiamata radiazione cosmica di fondo, scoperta nel 1964 da A. Penziase R.W. Wilson, è caratterizzata da un perfetto spettro di corpo nero a una temperatura di 2,726 K.

Questa radiazione è estremamenteuniforme su tutto il cielo; le anisotropiesono dell’ordine dello 0.0001-0.001% e danno utilissime informazioni su età, dimensione, composizione ed evoluzione futura dell’universo.

R.W. Wilson e A. Penzias

Mappa del fondo cosmico a microonde ottenuta da WMAP

14

Quantizzazione nella luceEffetto fotoelettrico

Misure effettuate da H. Hertz (1887),Hallwachs (1888), Elster e Geitel (1889-92), Lenard (1899-1902).

Luce monocromatica (tipicamente UV) suplacche di metalli alcalini; rilevazione dellacorrente tra catodo e anodo, in un tubo a vuoto.

Fenomenologia:

1. esiste frequenza di soglia, al di sotto della quale non vengono emessi elettroni; 2. numero di elettroni emessi proporzionale alla intensità della radiazione incidente3. velocità degli elettroni dipendente solo dalla frequenza della luce, secondo legge

Ahvm −= ν2

21

A costante caratteristica del metallo

Quantizzazione nella luceEffetto fotoelettrico

Ipotesi di Einstein dei “quanti di luce” (1905):

- ogni quanto di luce colpisce un elettrone del metallo e gli cede la sua energia hν

- se questa energia è maggiore del lavoro diestrazione del metallo A, l’elettrone vieneemesso

- l’avanzo di energia hν-A di cui disponel’elettrone costituisce l’energia cinetica con cui si muove dopo l’emissione

L’esistenza di una frequenza di soglia è in contrasto con la teoria ondulatoria:un’onda di luce trasporta energia in proporzione alla sua intensità; essa cederebbequesta energia agli elettroni del metallo in modo continuo, fino a consentire loro disfuggire dal metallo → emissione ritardata, non osservata sperimentalmente.

15

Quantizzazione nella luceEffetto Compton

A. Compton (1892-1962)

Diffusione di raggi X su grafite (1922)

Aspettativa secondo la teoria ondulatoria: gli elettroni del materiale vengono messi in oscillazione dalle onde elettromagneticheincidenti e diventano essi stessi sorgente di radiazione elettromagnetica con la stessa frequenza della radiazione incidente.


Osservazione sperimentale:

1. la radiazione diffusa ha una lunghezzad’onda λ’ diversa da quella della radiazioneincidente, λ

2. la differenza λ’-λ dipende dall’angolo dirilevazione

16


'

sinsin'

0

coscos'

42222 νν

θλ

θλλ

hcmcphmc

ph

phh

e

e

e

++=+

Φ−=

Φ+=

Teoria corpuscolare della luce:radiazione incidente costituita difotoni di energia E=hν e quantità di motop= E/c=hν/c=h/λ; ogni singolofotone incide su un elettrone, trasferendogli parte della suaenergia.

Conservazione dell’energia e della quantità di moto:

)cos1(' θλλ −=−mch

Fotone incidente

Elettrone diffuso

Fotone diffuso

Φ

θ

xpγo

pγ

pe

Fotone incidente

Elettrone diffuso

Fotone diffuso

Φ

θ

xFotone incidente

Elettrone diffuso

Fotone diffuso

Φ

θFotone incidente

Elettrone diffuso

Fotone diffuso

Φ

θ

Elettrone diffuso

Fotone diffuso

Φ

θ

xpγo

pγ

pe

in accordo con l’esperimento

Quantizzazione nella luceDoppia fenditura di Young

Singola fenditura: interpretazione ondulatoria

17

parete

Sorgente

A

B

otturatore

Singola fenditura: interpretazione corpuscolare

parete

Sorgente

A

B

otturatore


18

parete

Sorgente

A

B

otturatore


parete

Sorgente

A

B

otturatore


19

parete

Sorgente

A

B

otturatore


Esperimento di Young (1801)

Frange diinterferenza

20

Doppia fenditura: interpretazione ondulatoria

parete

Sorgente

A

B

Doppia fenditura: interpretazione corpuscolareAspettativa classica

21

A

BFrange di

interferenza

Sorgente

Doppia fenditura: interpretazione corpuscolareOsservazione sperimentale

Quantizzazione nella luceDoppia fenditura di Young

Cosa possiamo concludere?

La luce si comporta come un flusso di corpuscoli (fotoni); ma il comportamento diciascuno di essi può essere previsto solo in senso probabilistico.

La funzione di probabilità obbedisce alla teoria ondulatoria.

Infatti, dopo aver inviato contro la parete un numero elevatissimo di fotoni, l’insiemedei loro impatti localizzati formerà una figura come quella prevista dalla teoriaondulatoria nelle stesse condizioni sperimentali.

→ Dualismo onda-corpuscolo

22

Quantizzazione nella materiaAtomo di Thomson

Nel 1903 J.J. Thomson ipotizzò che un atomo connumero atomico Z fosse costituito da una sferauniformemente carica di raggio dell’ordine di 1 Å,con carica totale positiva pari a +Ze, all’internodella quale siano distribuiti Z elettroni, comel’uvetta in un panettone o i semi in un’anguria.

Dallo studio delle frequenze di oscillazione degli elettroniintorno alle loro posizioni di equilibrio, si può determinarelo spettro di emissione di un atomo di Thomson, che non èin accordo con i dati sperimentali.

Un atomo siffatto deve risultare praticamente trasparente,se “bombardato” con particelle pesanti, come le particelle α.

J.J. Thomson (1856-1940)

Quantizzazione nella materiaEsperimento di Rutherford

E. Rutherford (1871-1937)

Nel 1911 Rutherford condusse un esperimento fondamentale:bombardò un sottilissimo foglio di oro, posto fra una sorgente di particelle α (nuclei di elio) e uno schermo al solfuro di zinco (materiale fluorescente che emette lampi di luce quando viene colpito dalle particelle).

Le particelle, passate attraverso la lamina, sarebbero rimaste impresse sullo schermo.

Risultato sperimentale: le particelle α non venivano quasi mai deflesse; ma quando ciò succedeva, la deflessione era notevole (in alcuni casivenivano respinte all’indietro).

23

Quantizzazione nella materiaAtomo di Rutherford

Nell’atomo la carica positiva non può esseredistribuita in modo uniforme su una sfera diraggio dell’ordine di 1 Å, ma deve essereconcentrata in un nucleo di dimensionidell’ordine di 10-13 cm.

Il modello atomico di Rutherford è di tipo “planetario”:gli elettroni orbitano intorno al nucleo, occupando unospazio delle dimensioni di 1 Å; essi determinano le proprietà chimiche degli elementi.

Quantizzazione nella materiaDifficoltà del modello di Rutherford

Secondo la teoria elettromagnetica una carica soggetta ad accelerazione emette energia sotto forma di radiazione elettromagnetica: gli elettroni dell'atomo di Rutherford dovrebbero emettere onde elettromagnetiche e, perdendo energia,spiralizzare fino a cadere sul nucleo … Nel caso dell’idrogeno, tutto ciò dovrebbe succedere in un tempo dell’ordinedi 10-10 secondi!

24

Digressione: Spettri di riga

Spettro solare(continuo)

Spettro emissioneidrogeno atomico

Spettro emissioneazoto mlecolare

Spettroassorbimento

del sole

Linee spettrali nel visibile del mercurioλ = 435.835 nm (blu), 546.074 nm (verde), 576.959 nm e 579.065 nm (giallo-arancio).

Linee spettrali nel visibile dell’Elio

Linee spettrali nel visibile del Neon

25

Quantizzazione nella materiaAtomo di Bohr

Nel 1913 N. Bohr propose un modello atomico chesuperasse le difficoltà di quello di Rutherford e fosse compatibile con le osservazioni spettroscopiche.

N. Bohr (1885-1962)

1. L'elettrone può muoversi solo su alcune determinate orbite non-radiative, dette stati stazionari.

2. L'atomo emette (o assorbe) radiazione quando l'elettrone effettua una transizione da uno stato stazionario ad un altro.

Quantizzazione nella materiaAtomo di idrogeno secondo Bohr I

Gli stati stazionari dell’atomo diidrogeno hanno energie date dalla formula

,....3,2,1=n

J 10x 1.6eV 1Rydberg) di (costante eV6.13

19-

2

=

≅

−=

RnREn

Alla transizione tra il livello ni ed il livellonf < ni corrisponde l’emissione di un fotonedi frequenza ν tale che

−=→

−−=−= 2222

1111

iffinn nnh

Rnn

REEhfi

νν

26

Atomo di idrogeno secondo Bohr II

nf =3 Paschen, infrarosso

nf =2 Balmer, visibile

nf =1 Lyman, ultravoletto

Quantizzazione nella materiaL’esperimento di Franck-Hertz (1914)

J. Franck (1889-1964)

G.L. Hertz (1887-1975)

In un tubo di vetro riempito di vaporidi mercurio, gli elettroni emessi dal catodo vengono accelerati verso unagriglia carica positivamente. Urtandocontro gli atomi di mercurio, essicerdono parte della loro energia.

Se gli atomi di mercurio possono trovarsisolo in stati stazionari quantizzati, le energie perse dagli elettroni nell’urtodevono coincidere con le energie dieccitazione dell’atomo di mercurio.

27

Quantizzazione nella materiaL’esperimento di Franck-Hertz (1914)

La corrente aumenta all’aumentare del potenziale della griglia; quando esso raggiunge i 4.9 V, la corrente scende improvvisamente, segnalando una perdita brusca di energia da parte degli elettroni. Quello che succede è che gli elettroni cedono tutta la loro energia cinetica agli atomi di mercurio (che passano così dallo stato fondamentale al primo stato eccitato) e, di conseguenza, non hanno più l’energia sufficiente a vincere il campo frenante tra griglia e anodo e a raggiungere quest’ultimo.

Quantizzazione nella materiaLa antica teoria dei quanti

Il successo del modello atomico di Bohr, in particolare per la descrizione dell’atomodi idrogeno incoraggiò la formulazione di una teoria, oggi nota come “antica teoria dei quanti” in grado di descrivere il comportamento di altri sistemi.

Essa si basava sulla imposizione di regole di quantizzazione per le variabili dinamichedi un sistema e si poteva applicare senza difficoltà a sistemi multiperiodici, cioè asistemi per i quali tutte le variabili dinamiche hanno carattere periodico.

La antica teoria dei quanti ebbe successo nella descrizione dell’atomo di idrogeno,degli atomi idrogenoidi (He+, Li++, …), atomi alcalini e di altri sistemi atomici e molecolari.

Tuttavia la teoria è incompleta in quanto non può descrivere atomi complessi (presenta difficoltà anche per la descrizione dell’atomo di elio); inoltre non sonocontemplati I fenomeni che coinvolgono urti.

→ Occorre una nuova teoria, completa e non contraddittoria

28

La meccanica quantistica è la teoria delle interazioni tra le particelle elementari.Finora non è stata smentita da alcuna osservazione sperimentale.

Essa è nata tra il 1923 e il 1927, con il contributo di diversi fisici.

Inizialmente apparve in due formulazioni apparentemente diverse: la meccanicadelle matrici (Heisenberg, Born, Jordan) e la meccanica ondulatoria(Schrödinger). Successivamente fu lo stesso Schrödinger a dimostrarel’equivalenza delle due formulazioni.

La messa a punto del formalismo generale della teoria quantistica si deve a Dirac.

L’interpretazione e la coerenza interne della teoria sono state pienamentecomprese grazie ai lavori di Bohr, Born e Heisenberg.

La teoria quantistica modernaCenni storici

Alla base della meccanica ondulatoria si trova l’ipotesidi de Broglie (1924): la stessa corrispondenza cheesiste tra un’onda luminosa ed un quanto di luce deveesistere tra una particelle ed una onda di materia.

La teoria quantistica modernaIpotesi di de Broglie; “onde di materia”

L. de Broglie (1892-1987)

Ad una particella che possiede quantità di moto paria p viene associata un’onda piana di lunghezza d’ondapari a

Broglie) de di ondad' (lunghezzaph

=λ

Per l’elettrone di un atomo di idrogeno la condizione distazionarietà è data dalla condizione di non-autointerferenza:

πλπ

22 hnmvr

phnnr =→==

- quantizzazione del momento angolare (Bohr)

29

La teoria quantistica modernaEsperimento di Davisson e Germer (1927)

C. Davisson (1881-1958)L. Germer (1896-1971)

L’esperimento di Davisson e Germer prova la validità dell’ipotesi di de Broglie sull’esistenzadi onde di materia.

Un fascio di elettroni era diretto verso un cristallo di nickel, che poteva essere ruotato per misurare la distribuzione angolare degli elettroni.

Si poteva variare anche il voltaggio che accelerava il fascio di elettroni e, quindi, la loro velocità.

La teoria quantistica modernaEsperimento di Davisson e Germer (1927)

A certi angoli si osservava un picconell’intensità degli elettroni diffusi, in accordocon la condizione di interferenza costruttivatra “onde elettroniche” riflesse da diversipiani reticolari, come accade con i raggi X.

Raggi X Elettroni

Diffrazione da fogli sottili

30

La teoria quantistica modernaLa funzione d’onda

Il fatto che una particella come l’elettronemostri comportamento di tipo ondulatorionon significa che l’elettrone siaidentificabile con un’onda piana didefinita frequenza. Se fosse così sarebbeun oggetto di estensione infinita.

Per avere un oggetto di estensione finita è necessario sovrapporre più ondepiane con lunghezze d’onda distribuite intorno a quella di de Broglie λ=h/pper una particella di una data quantità di moto (pacchetto d’onde).Tuttavia, anche in questo caso, non vale l’identificazioneparticella = pacchetto d’onde.

La teoria quantistica modernaLa funzione d’onda

Un pacchetto d’onde, proprio perché costituito da onde con lunghezze d’onda diverse,tende a “sparpagliarsi” man mano che si propaga, quindi non può essere identificatocon un oggetto di estensione limitata.

Ma allora, cos’è l’onda associataad una particella? È un’onda di probabilità! Essadescrive la probabilità che unaparticella possa essere osservatain un certo punto dello spazio.

E. Schrödinger (1887-1961)

Schrödinger ha sviluppato la formulazioneOndulatoria della meccanica quantistica, basatasul concetto di funzione d’onda; la celebreequazione di Schrödinger (1925) è in grado didescrivere perfettamente lo spettro dell’atomodi idrogeno e, in generale, il comportamento di unaparticella in un potenziale.

31

Orbitali atomici: atomo di idrogeno

La teoria quantistica modernaIndeterminazione di Heisenberg

W. Heisenberg (1901-1976)

Heisenberg sviluppò contemporaneamente aSchrödinger l’approccio della meccanica dellematrici, che rappresenta una formulazioneequivalente della moderna teoria quantistica.

Ad Heisenberg si deve la formulazione della notarelazione di indeterminazione (1927).

hpxxhp

phx

xx ≈∆∆→∆

≈∆→

=≈∆ λθsinθ∆x

32

I postulati della meccanica quantistica

Postulato I

Ad un sistema dinamico (per semplicità costituito da una sola particella, in motounidimensionale) è associata una funzione d’onda ψ(x,t). Le funzioni d’ondaψ(x,t) e C ψ(x,t), con C costante, corrispondono allo stesso stato fisico.

La probabilità di trovare la particella all’istante di tempo t nell’intervallocompreso tra x e x+dx è data da |ψ(x,t)|2= ψ(x,t) ψ(x,t)*.

Per dare una corretta interpretazione della realtà, la funzione d’onda deve essereuna funzione

- continua- ad un solo valore- a quadrato sommabile

∫+∞

∞−

=1|),(| 2 dxtxψCondizione di normalizzazione:la probabilità di trovare la particella in un puntoqualsiasi dello spazio deve essere pari ad 1.


Postulato II (principio di sovrapposizione)

Se un sistema si può trovare nello stato descritto dalla funzione d’onda ψ1(x,t) e in quello descritto dalla funzione d’onda ψ2(x,t), allora può trovarsi in tutti gli statidescritti dalle funzioni d’onda

),(),( 2211 txCtxC ψψ +dove C1 e C2 sono costanti.

L’insieme delle funzioni d’onda di un sistema ha la struttura di spazio vettoriale.

33


Postulato III

Ad ogni osservabile fisica corrisponde un operatore O che, quando agisce suuna funzione d’onda ψ(x,t) dà come risultato una nuova funzione d’onda ψ’(x,t):

),('),( txtxO ψψ =

Per una data osservabile, ci sono alcune funzioni d’onda particolari, per le qualisuccede che

),(),( txtxO λψψ =

L’insieme di tutte le funzioni di questo tipo costituisce l’insieme delleautofunzioni di O; l’insieme dei corrispondenti valori di λ costituisce lo spettrodegli autovalori di O. Tale spettro può essere continuo o discreto.


Postulato III - continuazione

L’insieme delle autofunzioni di un dato operatore O forma una base per tutte le funzioni d’onda del sistema, cioè ogni funzione d’onda ψ(x,t) può esserecostruita per sovrapposizione di autofunzioni di O.

Se si misura l’osservabile associata ad O su uno stato descritto da una genericafunzione d’onda ψ(x,t), il risultato della misura può essere solo uno degliautovalori λ, con probabilità che dipende dal peso che ha l’autofunzione con autovalore λ nella sovrapposizione che costruisce ψ(x,t).

Dopo una misura che abbia dato come risultato un certo autovalore λ, la funzione d’onda ψ(x,t) si riduce alla autofunzione che ha quel λ come autovalore.

34


Postulato IV

L’evoluzione temporale di una funzione d’onda ψ(x,t) è governatadall’equazione di Schrödinger

),(),(2 txHtxi th ψψπ =∂

∂

Qui H è l’operatore corrispondente alla osservabile energia del sistema.

Si tratta di una equazione differenziale del prim’ordine rispetto al tempo, quindirichiede la conoscenza della sola funzione d’onda ψ(x,t=0).

L’evoluzione del sistema è causale e deterministica, fin tanto che non si effettuiuna operazione di misura. La misura di una osservabile perturba drasticamentelo stato del sistema, producendo la riduzione della funzione d’onda ad unadelle autofunzioni dell’osservabile misurata (postulato III).

La meccanica quantistica

La teoria costruita a partire da questi postulati è in grado di spiegare tutti i fenomeni finora osservati alle scale atomiche.

In particolare, essa ha consentito

- di descrivere correttamente il moto di particelle soggette a campi di forza;

- di determinare i livelli energetici dell’atomo di idrogeno e le corrispondentifunzioni d’onda dell’elettrone (orbitali);

- di ottenere, applicando il principio di esclusione di Pauli, la configurazioneelettronica degli atomi più complessi;

- di ottenere, quando integrata con una teoria quantistica della radiazioneelettromagnetica, le probabilità di transizione tra due diversi livelli energetici diun atomo.

La meccanica quantistica non è stata finora contraddetta da alcun fattosperimentale.

35

Alcune conseguenze della Meccanica QuantisticaPropagazione libera di un pacchetto gaussiano

Classicamente, una particella in moto con una certa velocità, non soggetta adalcuna forza, si muove mantenendo inalterata la sua velocità.

Secondo la teoria quantistica, la funzione d’onda associata alla particella evolve nel tempo diventando più estesa: se all’istante iniziale la particella era localizzabilein una regione di spazio piccola, col passare del tempo la regione in cui è possibile trovarla diventa sempre più estesa.

Alcune conseguenze della Meccanica QuantisticaMoto di un corpo soggetto a forza elastica

Classicamente, una particella soggetta a forzaelastica, compie un moto oscillatorio armonico.

Quantisticamente, l’insieme dei valori possibili perl’energia forma uno spettro discreto

Velocità media non nulla Velocità media nulla

....,2,1,0),( 21

2 =+= nnE hn ωπ

Il valore più basso possibile per l’energia (n=0) non è zero, in accordo con la indeterminazione di Heisenberg.

36

Alcune conseguenze della Meccanica QuantisticaMoto di un elettrone contro barriera “dura”

Classicamente, una particella che incontri lungo il suo percorso una barriera dipotenziale infinitamente alta, ne viene respinta all’indietro, manentendo immutatoil valore assoluto della sua velocità.

Vediamo come si presenta questo processo secondo la teoria quantistica:

Alcune conseguenze della Meccanica QuantisticaEffetto tunnel

• Una particella, secondo la meccanica classica, non può assolutamente superare una barriera se non ha l’energia sufficiente

• Secondo la meccanica quantistica, invece, c’è sempreuna probabilità non nulla di trovare la particella oltre una barriera qualunque sia l’energia della particella. Questo è il cosiddetto effetto tunnel (la probabilità evolve nel tempo, una “parte” di probabilità rimbalza sulla barriera, un’altra “parte” la supera)

secondo la meccanica classica

effetto tunnel

37

Alcune conseguenze della Meccanica QuantisticaEffetto tunnel

Pacchetto d’onde gaussiano in moto con energia E verso una barriera di potenzialepari a V=2 E.

Classicamente la particella verrebbe respinta indietro in ogni caso.Quantisticamente, esista la probabilità di attraversare la barriera; questa probabilitàdecade esponenzialmente con lo spessore della barriera.

Barriera di potenziale di spessore d,pacchetto di spessori (d,2d).

Barriera di potenziale di spessore 2d,pacchetto di spessori (8d,8d).

Alcune conseguenze della Meccanica QuantisticaEffetto Tunnel

La corrente elettrica è trasportata in generale da particelle cariche (elettroni). All’interno di materiali conduttori, come i metalli, gli elettroni hanno la possibilità dimuoversi liberamente sotto l’azione di una tensione applicata.

Tuttavia se la separazione tra i due conduttoriè molto piccola (< 10 mm), c’è una certaprobabilità che gli elettroni possano passareattraverso la barriera dando luogo a un flusso di corrente I (effetto Tunnel)

Se si elimina la barriera, passa la corrente.

La probabilità di passaggio di un elettrone diminuisce esponenzialmenteal crescere della separazione d tra i due conduttori (Fowler – Nordheim):

I ∝ (V2 / d2) exp(-d / V)

Se si hanno due conduttori ravvicinati, tra cui è imposta unatensione V, lo spazio non conduttore tra di essi costituisceuna barriera per il passaggio di elettroni (corrente).

38

Microscopio a Scansione Tunnel (STM, G. Binnig – H. Rohrer, 1982)

Microscopio a scansione tunnel : se uno deidue conduttori è una punta piccolissima, tenutaseparata dalla superficie di un campioneconduttivo, misurando la corrente circolante per effetto tunnel si può conoscere la distanza dellapunta dal punto del campione.

PUNTA METALLICA

CAMPIONE CONDUTTIVO

1 2

Se si mantiene costante la tensione V tra i due conduttori,- aumentando la loro distanza, diminuisce la corrente I- diminuendo la loro distanza, aumenta la corrente I

Misurando la corrente I si può ottenere una misura precisa della distanza.

Superficie di un cristallo di silicio(si può distinguere la posizionedei singoli atomi di silicioarrangiati con simmetria esagonale).

Alcune conseguenze della Meccanica QuantisticaLaser (Light Amplification by Stimulated Emitted Radiation

E2

E1

E2

E1

E1 E1

E2 E2

Emissione spontaneaL’atomo in uno stato eccitato E2 passa “spontaneamente”, cioè senza nessunasollecitazione esterna, in uno stato di energia inferiore E1

Emissione stimolataL’atomo immerso in un campo e.m. di frequenza ν = (E2 – E1)/h, viene “indotto” a compiere la transizione, cioè la presenza di un fotone “stimola” l’emissione di un fotonealla stessa ν.

Due fotoni indistinguibili: stessa frequenza, direzione, fase, ecc.

EMISSIONEINCOERENTE

EMISSIONECOERENTE

39


Normalmente la luce viene assorbita quando si propaga attraverso un materiale.

In un mezzo in cui è stata creata una inversione di popolazione si ha emissione ed amplificazione della luce.


Schema di funzionamento di un laser

EMISSIONEDI LUCE LASER

SPECCHIOPARZIALMENTERIFLETTENTESPECCHIO

COMPLETAMENTERIFLETTENTE

MEZZO ATTIVO

SISTEMA DI POMPAGGIO(CHE SERVE A CREARE L’INVERSIONE DI POPOLAZIONE NEL MEZZO OTTICO)

40


Esempio di schema per la creazione di inversione di popolazione in unsistema a tre livelli.

In vista del test di verifica …

Cos’è un’onda elettromagnetica piana? Quali sono i parametri che la caratterizzano?Come sono legati tra di loro? Cosa si intende per “parte visibile” dello spettrodella radiazione elettromagnetica?

Cosa si intende per “corpo nero”? Lo spettro di emissione di un corpo nero è continuoo discreto? Quali sono le possibili frequenze della luce emessa da un corpo nero?Come è legata la lunghezza d’onda alla quale c’è il picco di emissione di un corpo nerocon la temperatura? Qual è la lunghezza d’onda di picco di una stella con temperaturasuperficiale pari a 6000 K? In cosa consiste l’ipotesi di Planck? Quanto vale la costante di Planck?

Perché è necessario ipotizzare che la luce sia costituita di corpuscoli per spiegarel’effetto fotoelettrico? Se il potenziale di estrazione A di un materiale è pari a 5 eV,quale sarà il valore della frequenza di soglia per l’emissione di elettoni per effettofotoelettrico?

41


Perché la teoria corpuscolare della luce spiega l’effetto Compton, mentre quellaondulatoria fallisce? Di quanto differisce la lunghezza d’onda della radiazionediffusa da quella incidente se nell’effetto Compton il rivelatore è posto a 90 gradirispetto alla direzione del fascio incidente?

Lo spettro di emissione e di assorbimento di radiazione degli atomi e delle molecoleè continuo o discreto? Quali sono la frequenza e la lunghezza d’onda dellaradiazione emessa dall’idrogeno atomico in seguito alla transizione dal livello n=2al livello n=1? Un fotone emesso in seguito a questa transizione, potrebbe provocareuna emissione fotoelettrica su un materiale con potenziale di estrazione A pari a 10 eV?

Se si ripetesse l’esperimento di Franck-Hertz usando idrogeno atomico invecevapore di mercurio, per quale valore della tensione tra catodo e griglia si osserverebbela “caduta” della corrente?


A parità di velocità, quale è maggiore tra la lunghezza d’onda di de Broglie di unelettrone e di un protone? Per produrre diffrazione di elettroni per mezzo di unafenditura di larghezza pari a 1 Å, quale deve essere la velocità degli elettroni dautilizzare?

Cosa si intende per dualismo onda-corpuscolo? Cosa rappresenta la funzioned’onda per un sistema di una particella?

Perché, secondo il principio di indeterminazione di Heisenberg, non è possibileche un corpo puntiforme soggetto a forza elastica abbia energia totale ugualenulla?

Cos’è l’effetto tunnel? Perché non è mai stato osservato per un corpo macroscopico?

42

Grazie per l’attenzione!!!

Le origini della Teoria dei Quanti - cs.infn.it · - atomo di Thomson, atomo di Rutherford ... In...

Documents

Transcript of Le origini della Teoria dei Quanti - cs.infn.it · - atomo di Thomson, atomo di Rutherford ... In...