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M A R I O G A R G I U L O

L E F U N Z I O N I

E C O N O M I C H E A P P L I C A Z I O N E

D E L L A N A L I S I M A T E M A T I C A

APPLICAZIONE DELLANALISI MATEMATICA ALLE FUNZIONI ECONOMICHE

2

FUNZIONI ECONOMICHE

Leconomia lo studio di come impiegare, con maggior convenienza, il denaro di cui si di-

spone per raggiungere determinati fini.

Per descrivere ci si fa ricorso alle leggi economiche, basate sulle funzioni economiche.

Lo scopo ultimo, quindi, osservabile fondamentalmente sotto due aspetti:

o t t e n e r e i l m a s s i m o u t i l e a p a r i t d i c o s t i ;

s o s t e n e r e i l m i n i m o c o s t o a p a r i t d i u t i l e .

Le principali funzioni economiche sono:

l a f u n z i o n e d i d o m a n d a ;

l a f u n z i o n e d i v e n d i t a ;

l a f u n z i o n e d i r i c a v o ;

l a f u n z i o n e d i c o s t o .

Dobbiamo sempre distinguere, poi, tra due tipi di mercato:

c o n c o r r e n z a p e r f e t t a : caratterizzato dalla presenza di molti operatori, che

singolarmente, con il loro operare, non riescono ad influenzare il prezzo di mer-

cato e/o la quantit di equilibrio;

m o n o p o l i o p e r f e t t o : caratterizzato dalla presenza di un solo operatore che de-

cide ed impone il prezzo di mercato e la quantit di equilibrio.

Esistono, poi, numerosi tipi di mercati intermedi a quelli indicati, che si spostano su unasse

immaginario tra la concorrenza perfetta ed il monopolio perfetto, come la concorrenza

monopolistica e loligopolio.


3

FUNZIONE DI DOMANDA

La domanda latto con cui un individuo fa richiesta di un bene dietro corresponsione di

un corrispettivo in denaro.

Le variabili che influenzano la domanda sono:

i l p r e z z o d e l b e n e ;

i l r e d d i t o d i s p o n i b i l e ;

i p r e z z i d e g l i a l t r i b e n i ;

i f a t t o r i p s i c o l o g i c i c h e i n f l u e n z a n o l a s c e l t a .

La funzione di domanda una funzione matematica che ci spiega come, al variare del prez-

zo p, varia la quantit q domandata del bene.

Quindi, diremo che q = f (p).

Le funzioni pi comuni sono:

f u n z i o n e l i n e a r e :

espressa da q = a bp dove a e b sono due

variabili positive.

f u n z i o n e q u a d r a t i c a :

espressa da q = a bp dove a e b sono due

variabili positive.

f u n z i o n e i p e r b o l i c a :

espressa da bcp

aq +

= dove a, b e c sono tre

variabili positive.

q

p

a

a/b

q

p

a

(a/b)

q

p

a/c -b

a/b -c


4

f u n z i o n e e s p o n e n z i a l e :

espressa da q = a e-bp dove a e b sono due

variabili positive.

Si pu facilmente verificare , comunque, che la quantit domandata di un bene funzione

inversa del prezzo dello stesso bene, quindi la funzione di domanda decrescente.

q

p

a


5

FUNZIONE DI VENDITA

La funzione di vendita indica il prezzo in funzione della quantit.

Sono due i tipi principali di funzione di domanda:

f u n z i o n e l i n e a r e :

espressa da p = a bq dove a e b sono due

variabili positive.

f u n z i o n e i p e r b o l e :

espressa da qap = dove a una variabile

positiva.

La pi importante e nota la funzione lineare, comunemente nota come curva di domanda.

p

q

a

a/b

q

p

a

a/b


6

FUNZIONE DI RICAVO

Il ricavo totale di unimpresa la somma del prodotto tra il prezzo e la quantit venduta di

ogni bene. Per facilit di calcolo e di rappresentazione grafica, standardizziamo il modello

economico ad unimpresa che produce e vende un solo bene. Ci troviamo di fronte ad una

funzione rappresentabile su di un diagramma cartesiano, diversa a seconda che il mercato :

c o n c o r r e n z a p e r f e t t a :

espressa da R = pq.

m o n o p o l i o :

espressa dalla stessa funzione della concorrenza

perfetta, dove per p = a bp dove a e b sono due

variabili positive.

R

q

R

q


7

FUNZIONE DI COSTO

La teoria economica classifica i costi in costi di breve periodo e costi di lungo periodo. La

classificazione basata sulla possibilit di variare tutti i fattori della produzione, ed abbiamo

i costi di lungo periodo, o meno, ed abbiamo i costi di breve periodo.

Esistono altre tipologie di costi, cio:

c o s t i f i s s i : costi che non variano al variare delloutput;

c o s t i v a r i a b i l i : costi che variano al variare delloutput;

c o s t o m e d i o f i s s o : costi fissi per unit di output;

c o s t o m e d i o v a r i a b i l e : costi variabili per unit di output;

c o s t o t o t a l e : somma dei costi fissi e dei costi variabili;

c o s t o m e d i o t o t a l e : somma dei costi medi fissi e dei costi medi variabili.

Dato C il costo totale, abbiamo i seguenti altri costi:

Cmf Cmv Cm

qCf

qqCv )( CmvCmf

qqCv

qCf

qqCvCf

qC

+=+=+

=)()(


8

LA TEORIA DEI COSTI NEL BREVE PERIODO

Nel breve periodo troviamo tutte le configurazioni di costo analizzate sopra, con le seguen-

ti caratteristiche:

c o s t i f i s s i :

costanti rispetto alla produzione.

c o s t i v a r i a b i l i :

variano al variare della produzione.

c o s t o m e d i o v a r i a b i l e :

rappresenta linclinazione della funzione di costo variabile.

c o s t i m e d i o f i s s o :

c o s t i m e d i o t o t a l e :

Il punto di minimo della funzione dei costi totali medi rappresenta il punto in cui la produ-

zione ottimale, ci indica cio la quantit da produrre al minor costo sostenibile, dati i vin-

coli ed i costi di produzione.

C

q C

q

C

q C

q


9

IL COSTO MARGINALE

Il costo marginale il costo da sostenere per la produzione di ununit aggiuntiva di output.

La funzione del costo marginale ci aiuta a quantificare le variazioni del costo marginale al

variare delloutput.

Il costo marginale, in termini matematici, la derivata prima della funzione di costo totale,

quindi:

dqqdCqC )()(' =

da cui deriva:

)(')()()()(' qvCdqqdCv

dqqdCv

dqdCf

dqqdCqC ==+==

Il costo marginale dunque la derivata prima del costo variabile.

Graficamente la funzione di costo marginale rappresentata da:

Nel punto di intersezione della funzione del costo marginale con la funzione del costo me-

dio, si ha il punto di minimo della curva del costo medio, cio le coordinate ottimali di pro-

duzione quantit e costi.

C

q

C C

q

C Cm


10

RICAVO MARGINALE E RICAVO MEDIO

Il ricavo totale dato dal prodotto tra la quantit venduta ed il prezzo di vendita. Abbiamo

visto che la formula del ricavo R = pq.

Il ricavo medio il ricavo per unit di output venduto, che, in base al tipo di mercato in cui

limpresa opera, corrisponde:

concorrenza perfetta monopolio

pqpq

qqR

==)( bqaqp

qqqp

qqR

=== )()()(

Come si vede il ricavo medio uguale al prezzo di vendita, sia nel mercato in concorrenza

perfetta che nel mercato monopolistico.

Il ricavo marginale il ricavo ottenuto dalla vendita di ununit addizionale di output.

In concorrenza perfetta abbiamo:

pdqdpq

dqqdRqR === )()('

Il ricavo marginale, in concorrenza perfetta, uguale al ricavo medio.

In un mercato monopolistico abbiamo:

bqadqbqdaq

dqqbqad

dqqdRqR 2)()()('

2

=

=

==

che corrisponde al ricavo medio in monopolio, ma con inclinazione doppia.

Graficamente:

C

q

concorrenza

Rm = R

C

q

monopolio

Rm R


11

MASSIMIZZAZIONE DEL PROFITTO

La massimizzazione del profitto impone due alternative per il calcolo prima del profitto e

successivamente, in termini matematici o grafici, il calcolo del punto in cui il profitto il

massimo.

Il profitto si determina come differenza tra il ricavo totale ed il costo totale. Graficamente

abbiamo due metodi:

d i f f e r e n z a t r a i l r i c a v o t o t a l e e d i l c o s t o t o t a l e ;

p u n t o d i i n t e r s e z i o n e t r a l a c u r v a d e l r i c a v o m a r g i n a l e e l a c u r -

v a d e l c o s t o m a r g i n a l e .

In concorrenza perfetta, analiticamente, per massimizzare la differenza tra il ricavo totale

ed il costo totale bisogna determinare il punto di massimo della funzione del profitto, cio

la derivata prima della funzione di profitto = R C, e porlo uguale a 0:

0''' == CR e quindi pCR == ''

Per massimizzare il profitto la produzione deve essere tale

che il costo marginale sia uguale al prezzo. Questo passaggio

ci riporta al secondo punto, cio lintersezione tra la curva del

ricavo marginale, il prezzo, e la curva del costo marginale.

Anche in regime di monopolio abbiamo luguaglianza tra costo marginale e ricavo margina-

le, ma in questo caso dobbiamo tener presente delle due funzioni di costo. Abbiamo quindi

il sistema formato da R = aq bq e da C = c + dq. La soluzione sar:

dbqaCR == 2''' da cui deriva che = 0 se bdaq

2

= .

C

q

C Cm

R=p


12

ELASTICIT DELLA DOMANDA

Lelasticit di una funzione f in un punto x la quantit:

yx

dxdy

yxy == '

ed esprime il limite degli incrementi di y e della variabile x.

Lelasticit, nella teoria economica, ci aiuta a determinare lelasticit del mercato in base al

prezzo.

Tale valore ci guida su come varia la quantit venduta al variare del prezzo.

Lelasticit della domanda sar, quindi:

pdpqdq

qp

dpdq

//

==

che per valori assoluti assume i seguenti significati:

|| < 1 || = 1 || > 1

domanda inelastica domanda unitaria domanda elastica

La domanda elastica se ad una variazione del prezzo segue una variazione dello stesso se-

gno della quantit domandata.

La domanda inelastica, invece, caratterizzata da un comportamento del mercato in senso

opposto alla variazione del prezzo.

La domanda unitaria se la variazione del prezzo e della quantit hanno lo stesso segno e

lo stesso rapporto costante.


13

DOMANDA, OFFERTA ED EQUILIBRIO

Lofferta la quantit di merce posta sul mercato dai produttori. Essa

funzione crescente del prezzo, nel senso che allaumentare del prez-

zo aumenta la quantit di output posto sul mercato.

La domanda la quantit di merce richiesta dal mercato dai consuma-

tori. Essa funzione decrescente, nel senso che allaumentare del

prezzo diminuisce la quantit di merce richiesta dai consumatori.

Dallequilibrio tra i due mercati abbiamo il punto di equilibrio, che

definisce la quantit ed il prezzo di equilibrio tra domanda ed offerta.

Allaumentare del prezzo i produttori tenderanno a offrire pi output

ed i consumatori a domandare pi merce. I produttori allora tende-

ranno ad offrire quantit decrescenti di output fino a trovare la quantit domandata dai

consumatori. In questo punto dincrocio si torna al punto dequilibrio.

Analiticamente la quantit domandata q = a bp e la quantit offerta s = - c + dp. Il punto

di equilibrio sar il punto in cui q = s, cio dpcbpa += da cui deriva capdb += )(

e da cui si ottiene il prezzo e la quantit di equilibrio:

dbcap

+

= e bpaq =

q

p q

p q

p


14

INDICE

FUNZIONI ECONOMICHE ..................................................................................................................2

FUNZIONE DI DOMANDA..............................................................................................................3

FUNZIONE DI VENDITA ................................................................................................................5

FUNZIONE DI RICAVO...................................................................................................................6

FUNZIONE DI COSTO.....................................................................................................................7

LA TEORIA DEI COSTI NEL BREVE PERIODO...................................................................................8

IL COSTO MARGINALE........................................................................................................................9

RICAVO MARGINALE E RICAVO MEDIO .........................................................................................10

MASSIMIZZAZIONE DEL PROFITTO................................................................................................11

ELASTICIT DELLA DOMANDA .......................................................................................................12

DOMANDA, OFFERTA ED EQUILIBRIO...........................................................................................13

INDICE ...............................................................................................................................................14

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