LE EQUAZIONI DI 1° GRADO

Senza dimenticare il calcolo letterale, proveremo ora a ripassare un argomento che avrei volutoaffrontare in classe in questo periodo con voi. Vi dico “ripassare” perché sicuramente è unargomento che avete già fatto alle scuole medie: le equazioni di primo grado.Però proverò a spiegarvele nuovamente in modo semplice dall'inizio.

→ Intanto... cos'è un' equazione ?Tutte quelle che abbiamo visto finora a scuola sono espressioni, non equazioni, perché avevanol'uguale messo alla fine. Ad esempio:

3 + 7 – (4 : 2 + 5 ) + 1 = è un'espressione, perché ha l'uguale alla fine.

Anche:

310

x3 − xy+19

xy −35

x3 −2 xy = è un'espressione, perché ha l'uguale alla fine.

E poi, se ci pensate bene, noi non abbiamo mai cercato di calcolare il valore della x o della y, masolo di “semplificare” tutta l'espressione.

Un'equazione invece è un'uguaglianza, che vuol dire che l'uguale non sarà alla fine, ma sempre inmezzo tra due “cose”, tra due espressioni.

Per esempio: + 2x - 4 = - 3x + 11 è un'equazione

E qui il nostro obiettivo sarà scoprire il valore numerico “nascosto” dalla lettera x.Cioè un'equazione in sostanza ci dice che ci sono due espressioni matematiche uguali tra loro, mache sono uguali davvero solo sostituendo un particolare numero alla lettera x. Questo numero èdiverso in ogni equazione, ed è quello che noi chiamiamo “soluzione”, e la lettera x che lonasconde si chiama “incognita”.

Quindi, DEFINIZIONE: si dice equazione un'uguaglianza tra due espressioni, verificata solo peralcuni valori dell'incognita (cioè della x).

→ Sì, ma come si fa a scoprire il valore della x?

Partiamo dalla nostra equazione di prima: + 2x - 4 = - 3x + 11

Intanto ci può servire sapere che la parte prima dell'uguale si chiama primo membro, la partedopo l'uguale secondo membro: + 2x - 4 = - 3x + 11 ↑ ↑

primo membro secondo membro

Poi, vediamo proprio come fare: Se non ci sono parentesi né frazioni il primo passaggio è quello di spostare tutti termini con la x asinistra e tutti i termini senza la x a destra, facendo attenzione al fatto che tutti i termini che

passano da una parte all'altra dell'uguale cambiano il segno che hanno davanti da + a – e viceversa.Quindi:

+ 2x - 4 = - 3x + 11 diventa: + 2x + 3x = + 11 + 4 perché il -3x e il -4 hanno attraversato l'uguale e hanno cambiato segno ↑ ↑qui i termini con la x qui i termini senza la x

Poi si sommano tra loro i termini con la x e dall'altra parte dell'uguale i termini senza la x. Quindi:

+ 5x = + 15

Infine si divide per il coefficiente (cioè il numero che sta davanti alla x) sia a destra che a sinistra. Ilrisultato è che quel numero “sparisce” da vicino alla x e lo troviamo solo a denominatore dall'altraparte. Cioé:

5x = + 15 diventa x=+15+5

che vuol dire + 15 diviso + 5 cioè +3 → x = +3

→ Ma come faccio a controllare se ho fatto giusto?

Si può fare la prova, che vuol dire sostituire il numero che ho trovato al posto della x nel testoiniziale e vedere se l'equazione risulta verificata, cioè se è vera. Ripartiamo da:

+2x – 4 = –3x +11 e sostituiamo +3 al posto della x, ricordandoci che tra ogni x e il suo coefficiente numerico c'è sempre un “per”:

+2 . (+3) – 4 = –3 . (+3) + 11 +6 – 4 = – 9 + 11 +2 = +2 è vero che +2 è uguale a +2? Sì! Allora ho fatto giusto!

Se avessi provato a sostituire un altro numero, ad esempio x = + 5, cosa sarebbe successo?

+2 . (+5) – 4 = –3 . (+5) + 11 +10 – 4 = – 15 + 11 + 6 = – 4 e non è vero che + 6 è uguale a -4, quindi qui capiamo meglio la definizione... Cioè che un'equazione di primo grado è verificata per un solo valore di x, la

soluzione giusta!

(In realtà scopriremo poi che le equazioni di questo tipo si chiamano DETERMINATE, neesisteranno anche altre con tante, infinite soluzioni, e altre senza soluzioni, ma lo vedremo piùavanti).

Ora, per vedere se ci ricordiamo bene dalle medie o se abbiamo capito questa spiegazione vi lascioun paio di esempi e un po' di esercizi da svolgere (mi raccomando fateli, al ritorno a scuolacontrollerò i quaderni!)

Esempio 1:

12x + 7 – 6x = 14 + 4x - 3 (se davanti al primo numero non c'è niente è sottinteso il +)

12x – 6x – 4x = 14 - 3 -7 Al primo passaggio sposto le x a sinistra e i numeri a destra,

2x = 4 cambiando i segni a ciò che attraversa l'uguale. Poi sommo tra

x=42

loro i termini con le x a sinistra, e sommo tra loro i numeri a destra.

x = 2 Infine divido per il coefficiente della x.

Esempio 2:

5x - 6x - 3 - 4 = 6x +7 5x - 6x - 6x = +7 +3 +4 -7x = +14

x=+14−7

x = -2

ESERCIZI

1. x + 5 + 3x = 13 [x = 2]2. 14x - 13 = -4 + 8x [x = 3/2]3. 2 + 5x - 19x + 1 = - 13x + 18 + 9x [x = - 3/2]4. -3x + 15 -2x = -4x + 10 [x = 5]5. 7 + x - 9x + 3 = 7x – 5 [x = 1]6. 7x + 5 - x + 9 - 8x = 0 [x = 7]7. -x + 17 + 15x = -13 + 7x – 5 [x = -5]

Poco più difficili sono le equazioni con le parentesi, ciò che cambia è che prima di “spostare” devo risolvere e togliere le parentesi. Ma come si fa? Sempre per togliere la parentesi devo guardare cosa c'è davanti.Il + davanti ad una parentesi non cambia i segni quindi “ricopio” così com'è quello che c'è dopo:

4x + (2x – 6) → 4x + 2x – 6

oppure: 3x + 5 + (-1 + 7x) → 3x + 5 – 1 + 7x

Il – cambia i segni:

4x – (2x – 6) → 4x – 2x + 6

oppure: 3x + 5 – (– 1 + 7x) → 3x + 5 + 1 – 7x

Con il . (“per”) si moltiplica:

4 .(2x – 6) → 8x – 24

Se davanti ad una parentesi c'è subito un numero senza nessun segno, anche in questo caso vuol dire “per”. Esempio:

3(2x – 1) – 8 (2 – x) = 10x + 1 6x – 3 – 16 + 8x = 10x + 1 Ora che ho risolto le parentesi posso procedere come

facevo finora, “spostando”, sommando, ecc... 6x + 8x – 10x = + 1 + 3 + 16 4x = +20

x=+20

4 x = +5

ESERCIZI

(Anche questi da svolgere sul quaderno!)In caso di dubbi sullo svolgimento degli esercizi o sul testo scrivete pure a Fabiana: scuola@csf.lombardia.itChe mi girerà le vostre domande.Però, importante, studiate e cercate di fare tutti gli esercizi!Vi invio qui di seguito anche la correzione degli esercizi sul calcolo letterale che servivano da preparazione alla verifica che sarà al ritorno a scuola. Buono studio!