LE DEFINIZIONI

Una definizione è essenzialmente una abbreviazione:

“un quadrilatero con i lati opposti paralleli si dice parallelogramma”

Esercizio: provare ad enunciare teoremi senza ricorrere a determinate definizioni

Esempio: “le diagonali di un parallelogramma si incontrano nel punto medio di entrambe”, provare ad enunciarlo senza usare le parole: diagonali, parallelogrammi e rette parallele”

“se le rette che contengono i lati opposti di un quadrilatero non hanno punti in comune, allora i due segmenti che congiungono ciascun vertice di quel quadrilatero con il vertice opposto si incontrano in un punto che divide ciascuno di essi in due parti congruenti”

0. Quando / cosa si definisce?

• Oggetti che siano significativi dal punto di vista matematico.

ALTEZZA ???

Numeri divisibili per 2 NUMERI PARI

Numeri divisibili per 7 ???

Esempi di definizioni poco significative dal punto di vista matematico e didattico:

• Frazioni ‘apparenti’

• Equazioni ‘spurie’

• …

La significatività, soprattutto a livello di scuola di base, è costruita all’interno dell’ambiente classe.

1. Forma linguistica

• Non sempre permette di riconoscere una definizione

Un quadrilatero è un poligono con 4 lati.

Un numero divisibile per 6 è divisibile per 2 e per 3.

Un poligono con 4 lati si dice quadrilatero.

2. I termini usati devono essere noti

Un quadrilatero è un poligono con 4 lati.

Devo PRIMA aver definito ‘poligono’ e ‘lati’

In particolare non ci dev’essere circolarità

I numeri naturali sono i numeri interi positivi.

I numeri interi sono i numeri naturali positivi e negativi.

Nel linguaggio quotidiano la circolarità è d’obbligo

Azione: il risultato dell’agire

Agire: ciò che risulta in una azione

Esempio di Luciano Coen e Achille C. Varzi, La Stampa, 5 marzo 2002

In matematica ci sono oggetti ‘non definiti’ esplicitamente

• Insieme

• Numero naturale

• Punto, Retta, Piano…

Sono definiti implicitamente attraverso gli ASSIOMI

• …

• Per 2 punti passa una e una sola retta

• …

3. Deve individuare univocamente l’oggetto

La circonferenza è una linea curva chiusa.

Vale in un contesto che spesso rimane implicito

Tangente a una curva: retta che interseca la curva in un solo punto

Un numero pari è un numero divisibile per 2

3

4???

Non deve dipendere da aspetti non strutturali

• Un numero irrazionale è un numero con la radice

• Un numero pari è un numero che finisce per 0, 2, 4, 6, 8

25

10 in base tre

4. Non è una descrizione

• Un martello è uno strumento che serve per piantare i chiodi; ha un manico di legno e una parte di metallo, che …

• Un quadrato è un quadrilatero che ha 4 lati uguali e paralleli 2 a 2, 4 angoli uguali e retti, le diagonali uguali che si tagliano a metà e perpendicolari, …

Dice solo le cose essenziali, e non quelle che si possono dimostrare come conseguenza

• Un quadrato è un quadrilatero che ha 4 lati uguali e paralleli 2 a 2, 4 angoli uguali e retti, le diagonali uguali che si tagliano a metà e perpendicolari, …

• Un quadrato è un quadrilatero che ha 4 lati uguali e 4 angoli uguali

Dice solo le cose essenziali, e non quelle che si possono dimostrare come conseguenza

• Si coglie l’importanza di questo quando si ‘fa’ matematica, ad esempio quando si dimostra

• Dal punto di vista didattico può essere opportuno in alcuni casi non essere così ‘minimali’. Esempio: definireste i rettangoli come quadrilateri con 3 angoli retti?

• In ogni caso una stessa definizione si può dare in modi diversi equivalenti. Esempio: un numero si dice primo se ha esattamente due divisori, oppure se è diverso da 1 e divisibile solo per 1 e se stesso

Come non dare definizioni…• L'altezza del triangolo è la distanza di un

vertice dal lato opposto

• Retta: insieme consecutivo e infinito di punti aventi sempre la stessa direzione.

• Piano: insieme continuo e infinito di rette.

• Un’ equazione non è altro che una forma abbreviata di annotazione dei dati di un problema