Le basi del calcolo statistico

stat-1

equilibrio statistico di N particelle su k stati possibili:

• descrizione del sistema: individuare gli stati possibili (microstati), mediante i relativi numeri quantici

• calcolare l’energia Ei dell’i-esimo stato

• calcolare la degenerazione gi dell’i-esimo stato

• calcolare la probabilità di una certa partizione, cioè in quanti

modi si possono disporre Ni particelle sui k stati conservando l’energia

totale a disposizione (probabilità di una certa partizione di stati)

• ipotesi: tutti i microstati accessibili sono egualmente probabili

Microstati e macrostati

Esempio: microstati accessibili agli elettroni di atomi di idrogeno per i primi 6 livelli energetici (macrostati)

numeri quantici: ni, li, mi

livello energetico: Ei

degenerazione : gi

numero di occupazione: Ni

stat-2

),,(),,(22

),,(2

2

22 rEr

r

Ze

mr

L

m

prH r

),()(

),()(),,( ll ml

ml Y

r

ruYrRr

n l mE1=-13,6

eV

E2=-3,4

E3=-1,6

E4=-0,85E5=-0,54E6=-0,38

2 1 +12 1 02 1 -12 0 0

3 2 +23 2 +13 2 03 2 -13 2 -23 1 +13 1 03 1 -13 0 0

4 3 +34 3 +24 3 +14 3 04 3 -14 3 -24 3 -34 2 +24 2 +14 2 04 2 -14 2 -24 1 +14 1 04 1 -14 0 0

i

1

2

3

5

4

6

N1

N2

N3

N5

N4

N6

1

4

9

25

16

36

gi

1 0 0

Statistica di Boltzmann

stat-3

Esempio: probabilità della partizione

22

212

12 )!(!

)!( NgNNNN

NNW

N1=4N2=3N3=5N4=3N5=4N6=2

!!

i

Ni

i N

gNW

i

)!(!

!

!4

)3)(2)(1(

111 NNN

NNNNNW

si cerca il massimo di lnW con i vincoli sul numero totale N di particelle e l’energia totale E (massimo vincolato):

Wi= numero di modi in cui si possono disporre Ni particelle sul livello i

n l mE1=-13,6

eV

E2=-3,4

E3=-1,6

E4=-0,85E5=-0,54E6=-0,38

2 1 +12 1 02 1 -12 0 0

3 2 +23 2 +13 2 03 2 -13 2 -23 1 +13 1 03 1 -13 0 0

4 3 +34 3 +24 3 +14 3 04 3 -14 3 -24 3 -34 2 +24 2 +14 2 04 2 -14 2 -24 1 +14 1 04 1 -14 0 0

i

1

2

3

5

4

6

N1

N2

N3

N5

N4

N6

1

4

9

25

16

36

gi

1 0 0

EEN

NN

NgNNW

i ii

i i

i ii ii

!lnln!lnln

Statistica di Boltzmann

stat-4

metodo dei “moltiplicatori di Lagrange”

i i

i

ii

i

i

i

i dNdN

EdN

dN

dN

dN

Wd0

ln

formula di Stirling:

lnx! = x lnx - x

ii

iiii

iiii

i

i

Eg

NENg

NNNg

dN

Wd

ln;0lnln

)11

(lnlnln

iEii eCgN

ha le dimensioni dell’inverso

di una energia =1/ kBT kB=costante di Boltzmann, T=temperatura assolutagi fattore

di “spazio delle fasi”

fBol (E,T) = e-E/kT

funzione di distribuzione di Boltzmann

),( TEfCgN iBzii

si richiede che sia nullo ogni termine della sommatoria

La distribuzione in energia di elettroni di atomi di idrogeno

stat-5

Esempio: distribuzione sui livelli energetici di atomi di idrogeno a T=50000K (temperatura di una stella?)

kBT = 8,6 10-5 eV K-1 5 104 K = 4,3 eV

i gi Ei fBlz(Ei,T) gi fBlz

(eV) (e-E/kT )

1 1 -13,6 24 24

2 4 -3,4 2,2 9

3 9 -1,6 1,5 13

4 16 -0,85 1,2 19

5 25 -0,54 1,14 28

6 36 -0,38 1,09 39

Per avere la probabilità di occupazione dello stato occorre dividere per la funzione di partizione Z (“Zustand Summe”): Z

TEfgP iBzii

),(

fBz

5 104 K

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

-16 -12 -8 -4 0

E (eV)

g fBlz

La distribuzione in energia di elettroni di atomi di idrogeno

a diverse temperature

T (K) kBT (eV) 6500 0,5510000 0,8550000 4,25

stat-6

scala logaritmica

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

-14 -10 -6 -2

E (eV)

fBz

5 104 Kln(g fBlz)

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

-14 -10 -6 -2

E (eV)

fBz

104 K

ln(g fBlz)

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

-14 -10 -6 -2

E (eV)

fBz

6,5 103 K

ln(g fBlz)