Laurea Magistrale in Ingegneria Civile percorso Strutture ... · • Verifica dei sistemi a più...

DINAMICA delle

STRUTTURE

Università degli Studi di Cagliari

Laurea Magistrale in Ingegneria Civile – percorso Strutture

Docente: Maria Cristina Porcu

1

DINAMICA (dal greco dunamis :forza, potenza)

BRANCA DELLA MECCANICA CHE STUDIA I SISTEMI IN MOTO

Corso di Dinamica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu

2

Interessa certamente l ’Ingegneria Meccanica

DINAMICA

Interessa le strutture dell’ingegneria civile?


3

PIAZZA DEI MIRACOLI (PISA) NOTRE DAME (PARIGI)

NURAGHE LOSA (NUORO)

SAN PIETRO (ROMA) PONTE DI PIETRA (VERONA)

ROCCA SCALIGERA DI SIRMIONE (LOMBARDIA)

DINAMICA Interessa anche le strutture dell’ingegneria civile!


4

EFFETTI DINAMICI DOVUTI AL VENTO

TAKOMA NARROW BRIDGE (Washington)

Inaugurato a luglio del 1940, crollò quattro mesi dopo


Nuovo ponte sospeso doppio

TAKOMA NARROW BRIDGE inaugurato nel 2007

5


VOLGOGRAD BRIDGE (Russia)

Inaugurato nell’Ottobre 2009,

chiuso al traffico nel Maggio 2010

a causa delle forti oscillazioni.

Semi-active mass dampers

per smorzare le oscillazioni.


6


Tall Buildings

121-story Shanghai Tower

Tuned mass damper with a

magnetic system Park Tower (198m), Chicago

Tuned Mass Damping

Taipei 101 (509 m) – Taiwan

Tuned mass damper:

Sistema costituito da una sfera in acciaio

di 5.5m vincolata con ammortizzatori e

molle, che controbilancia le oscillazioni

dell’edificio, che possono raggiungere

1.5m)

7

One Rincon Hill in San Francisco

Liquid tuned mass damper

Torre Eiffel 1889 (304m), Parigi

Oscillazioni di 15 cm in sommità Muscat ATC, Oman

Tuned mass damping

520 Park Avenue: New York,

Tuned Mass Damping

EFFETTI DINAMICI DOVUTI ALLA FOLLA

MILLENNIUM BRIDGE - LONDON

ARUP – Foster & patners

Chiuso a causa delle forti oscillazioni innescate dalla folla

durante la sua inaugurazione nel 2000, il Millennium Bridge fu

dotato di smorzatori e poi riaperto al pubblico.


8


Passerella Pedonale ad Assago Mediolanum Forum


Chiusa al pubblico nel Febbraio del 2011 a causa delle forti

oscillazioni innescate dalla folla al termine di un concerto al

Mediolanum Forum, fu riaperta dopo l’irrigidimento delle pile.

9



10

Passerella Pedonale ad Assago Mediolanum Forum

Assago-Forum walkway FEM Model

Lateral vibration first mode

M.C. Porcu, F. Pittau, Excessive Pedestrian-Induced Swaying in Code-Compliant Walkways,

Structural Engineering International 2015 - DOI: 10.2749/101686615X14355644771298

Lateral vibration second mode


Tribune e gradinate Passerelle pedonali

Solai di sale da ballo

Trampolini


11



12

Eintracht Frankfurt Stadion

19 maggio 2016: il moto dei tifosi fa oscillare vistosamente lo stadio

EFFETTI DINAMICI DOVUTI AD AZIONI SISMICHE

BASILICA S. FRANCESCO DI ASSISI

Terremoto 26 Settembre 1997 – magnitudo 5.8


13


L’Aquila – terremoto 6 Aprile 2009 – magnitudo 6.3


14

15

SEISMIC POUNDING

Dessalvi M, Porcu M.C., Saba M., Numerical analysis of the medieval Civic Tower of L’Aquila to prevent seismic

pounding effects, Convegno ANIDIS 2017

Civic Tower and Palazzo Margherita – L’Aquila


L’Aquila – Casa dello studente


16


Amatrice –terremoto del 24 agosto 2016 – magnitudo 6


17

Hotel Roma - Amatrice



18



19

EFFETTI DINAMICI DOVUTI AL TRAFFICO

Ponte ferroviario

a) Interazione dinamica con la struttura deformabile sottostante (ponti-viadotti)

rilevante in caso di veicoli pesanti, elevate velocità percorrenza e strutture snelle

b) Trasmissioni vibrazioni attraverso il terreno (traffico stradale pesante – metropolitana)

Ponte autostradale

Ponte sullo Stretto di Messina


20

EFFETTI DINAMICI DOVUTI A TRAFFICO

Ponte Goshiki-Zakura-Ohashi sul fiume Arakawa in Giappone

Curiosità: in un ponte stradale sito in Giappone sono stati inseriti dei micro-generatori

che sfruttano le vibrazioni dovute al passaggio dei veicoli sul ponte,

per produrre energia elettrica (in grado di fornire l’energia necessaria per

l’illuminazione del ponte)

Moto dei pedoni


21

EFFETTI DINAMICI DOVUTI AL MOTO DELLE CAMPANE

Torre Matilde di San Miniato (Pisa)

Non era nata come torre campanaria

e presenta numerose lesioni dovute

al moto delle campane.

Torre S. Patrizio - ROMA – 2007

Dopo l’inaugurazione fu chiusa e irrigidita


22



23

Tesi di Laurea - Andrea Frau, 2012 Torre di Matilde (campanile della Chiesa di SS. Maria e

Genesio, Duomo della città di San Miniato (Pisa)



24

Campanile Chiesa di San Patrizio, Roma

Tesi di Laurea - Lucia Podda, 2012

Pre-irrigidimento

Post-

irrigidimento

1° MODO 1° MODO

EFFETTI DINAMICI DOVUTI A URTI O ESPLOSIONI


25

EFFETTI DINAMICI DOVUTI A URTI O ESPLOSIONI


26

EFFETTI DINAMICI DOVUTI A MACCHINARI E MOTORI

solaio

F(t) F(t)

ISOLAMENTO DALLE VIBRAZIONI

u(t) u(t)

solaio


27

http://4.bp.blogspot.com/-WEp1T8aUOWI/Ts08HEcovFI/AAAAAAAACHk/vYr0HqE68no/s1600/Offshore-turbine-2-B-Energy-537x357.jpg

EFFETTI DINAMICI PER APPLICAZIONE IMPROVVISA DI CARICHI


28

EFFETTI DINAMICI DOVUTI A MOTO ONDOSO


29

EFFETTI DINAMICI DOVUTI A MOTO ONDOSO


30

Tesi di Laurea - Daniele Deplano, 2013

EFFETTI DINAMICI SULLE STRUTTURE

• vento

• folla

• traffico stradale o ferroviario

• terremoto

• macchinari

• moto ondoso

• moto campane

• urti o esplosioni

• applicazione improvvisa di carichi

• …


31

PROVE DINAMICHE SULLE STRUTTURE


32

SHAKER

VIBRODINA

Prove su strutture in situ

ACCELEROMETRI

PROVE DINAMICHE SULLE STRUTTURE


33

Prove in laboratorio

MARTELLO STRUMENTATO

AMPLIFICATORE

ACCELEROMETRO SHAKING TABLE

SOFTWARE ELABORAZIONE DATI SISTEMA di ACQUISIZIONE

SHAKER


34

Analisi modale sperimentale

Finalità

Identificazione del modello numerico

Caratterizzazione dei materiali

Monitoraggio del comportamento strutturale

Rilevare danni o malfunzionamenti

Analisi strutturale


35

Analisi modale sperimentale

Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 20

Tesi di Laurea - Stefano Murtas, 2015

Trave

A Modo 1 Modo 2 Modo 3

ξ [%] 0.127 0.084 0.13

f [Hz] 22 82 243

ω

[rad/s] 138 515 1527

ξω 0,176 0,433 1,724


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Identificazione del danno con metodi dinamici

Tesi di Laurea - Diego Patteri, 2015

Tesi di Laurea - Stefania Melis, 2016

X1 H11 H12 H13 ...H1n F1 X2 H21 H22 H23 ...H2n F2 X3 H31 H32 H33...H 3n F3

: : :

Xn Hn1 Hn2 Hn3...Hnn Fn

Matrice di Risposta in Frequenza (Matrice Inertanza)

I N

P

U

T

S

O

U

T

P

U

T

Parte Immag. [-] Primo

Modo Secondo

Modo Terzo

Modo

Force Force Force Force Force Force Force Force Force Force Force

-0,03

-0,025

-0,02

-0,015

-0,01

-0,005

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0 0,15 0,3 0,45 0,6 0,75 0,9 1,05 1,2 1,35 1,5 1,65 1,8 1,95 2,1 2,25 2,4 2,55 2,7 2,85 3

u [

m]

t [s]

T=0.15s

x=1%

umax= 2.6 cm Resonance

( )mu du ku F t

SCHEMATIZZARE LE STRUTTURE

STUDIO DEL MOTO

INGEGNERIA SISMICA

DUTTILITA’ STRUTTURALE

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

El Centro, California 1940, accelerazioni

max = 0.33 g b) 1° modo di vibrare

T1

c) 2° modo di vibrare T2

d) 3° modo di vibrare

T3

m3 q3(t)

M1

m2

q1(t)

q2(t)

SPETTRI DI RISPOSTA

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

8,00

9,00

10,00

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50

Se [m

/s2]

T [s]

Categoria suolo A (bedrock)

Smorzamento 5%

ZONA 4

ZONA 1

ZONA 2

ZONA 3

h

h

h

h qmt

q mt

q mt

q mt

q mt

q mt

q mt

q mt

Dm

qmt

Dm

qmp

H

Maggiore dissipazione

Minore impegno plastico

F(t)

t

T

f

m

prima fessura cls (first crack)

inizio deformazione

plastica acciaio

h

b

DEBOLE

PERCENTUALE

PERCENTUALE OTTIMALE

rottura calcestruzzo

FORTE

ARMATURA

Mcr

My

rottura cls prima che inizi la deformazione plastica acciaio

( a meno che non ci sia opportuno confinamento)

As

cambio di pendenza a causa della diminuzione della rigidezza dovuta al crack

u(t)

k , x

m

k x

Torre Montjuic Barcellona

(Calatrava)

m1

m2

m3

m4

q1

q2

q3

q4

Sistemi ad 1 grado di libertà

Sistemi a più gradi di libertà

m

u(t)

q2 q4

m m m m m

q1 q3 q5

DETERMINARE I PARAMETRI DINAMICI

T2 T1 T3

MASSA RIGIDEZZA SMORZAMENTO

PERIODO

PROPRIO

Oscillazioni libere

t

m1

m2

m3 q3

q2

q1

Oscillazioni forzate [ ]m q d q k q G

( )u t

Moto impresso alla base (TERREMOTO)

m

K , x

u(t)

m

MODELLI PIANI (più semplici ma meno realistici)

Villa Savoye – Le Corbusier

[d] [k] [m]

CN Tower - Canada

-12,00

-10,00

-8,00

-6,00

-4,00

-2,00

,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

0 0,20,40,60,8 1 1,21,41,61,8 2 2,22,42,62,8 3 3,23,43,63,8 4

u(t) F(t)/ku(t) [cm]

t [s]

VERIFICHE CON FORZE STATICHE EQUIVALENTI

t

37

Dinamica delle Strutture

Richiami di Dinamica dei Sistemi

Dinamica dei Sistemi ad 1 grado di libertà (1GDL)

• Oscillazioni libere (non smorzate e smorzate). Equazioni del moto.

• Oscillazioni forzate (forza armonica, a gradino, impulsiva, periodica, qualsiasi, moto impresso al supporto)

• Verifica delle strutture soggette a forze dinamiche (forza statica equivalente)

• Principio di funzionamento di accelerometri e vibrometri

• Isolamento dalle vibrazioni

Dinamica dei Sistemi a più gradi di libertà (più GDL)

• Matrice cinematica, matrice di inerzia, matrice di rigidezza

• Oscillazioni libere (modi principali di vibrare – frequenze proprie)

• Equazioni del moto

• Coordinate principali - contributo al moto dei modi di vibrare

• Disaccoppiamento equazioni del moto forzato (non smorzato)

• Verifica dei sistemi a più GDL (forze statiche equivalenti)

Cenni sulle vibrazioni di travi continue


TESTI CONSIGLIATI

• E. Viola “Fondamenti di Dinamica e Vibrazione delle Strutture”, vol. 1, Pitagora Ed., 2001

• R. W. Clough, J. Penzien “Dynamics of Structures”, Mc Graw Hill , 1975, ISBN 0-07-011392-0

• A. K. Chopra “Dynamics of Structures" , Prentice Hall, 2001, ISBN 0-13-086973-2

38

DIFFERENZA TRA PROBLEMI DI TIPO STATICO E DINAMICO

DIPENDENZA DALLE FORZE DI INERZIA

(forze proporzionali alle masse, che si oppongono al moto)

P P(t)

forze di inerzia

EQUILIBRIO DINAMICO EQUILIBRIO STATICO

R1(t) R2(t) P/2 P/2 R1 R2

(costanti)

funzione solo della

posizione del carico P

(variabili con t)

funzione della posizione di P(t)

ma anche del tempo t

(in certi istanti sono persino nulle!)

R2(t) R1(t)


39

I carichi dinamici sono carichi applicati in maniera veloce oppure sono forze che variano nel tempo. VARIAZIONE IN FUNZIONE DEL TEMPO: Le caratteristiche della sollecitazione, le deformazioni e gli sforzi variano, non solo in funzione della posizione nello spazio (come succede per i carichi statici), ma anche in funzione del tempo.

ust

t

u

t

2ust

t

ust

t

u

Tf

Risposta Statica o Risposta Dinamica? Tutto dipende da come variano le forze e da come vengono applicate

F

L

F

FORZA QUASI STATICA

t

F* F* F*

F

FORZA A GRADINO (applicata improvvisamente)

t t t

F*

F

FORZA SINUSOIDALE

F*

Tf

ust

u

t

costante

moto oscillatorio

RISPOSTA STATICA RISPOSTA DINAMICA RISPOSTA DINAMICA

umax~2ust umax=Dust umax=ust


D è il fattore di

amplificazione dinamica

che può essere anche molto

maggiore di 2

40

Richiami di Dinamica dei Sistemi

Se le forze esterne sono solo di tipo meccanico (si trascurano fenomeni di altra natura) allora il sistema si dice sistema meccanico.

p

F

x

y

z

Sistema fisico

Si definisce come sistema fisico o sistema materiale una porzione di materia vincolata al mondo esterno e soggetta a delle forze esterne. Le forze esterne possono essere di varia natura: meccaniche, magnetiche, elettriche, termiche, etc.


41

2) SCEGLIERE LE COORDINATE CHE NE DESCRIVONO LO STATO (o configurazione).

Si chiama processo o moto del sistema una famiglia di valori delle coordinate (variabili) che descrivono il sistema, nella quale il tempo risulta l’elemento ordinatore, cosicché ad ogni valore di tempo si può far corrispondere un unico valore per le coordinate e quindi un’unica configurazione del sistema.

3) DESCRIVERE IL SISTEMA MECCANICO attraverso un MODELLO MATEMATICO.

u(t)

t

SISTEMA

MECCANICO

MODELLO MATEMATICO DI UN SISTEMA MECCANICO

SCHEMATIZZAZIONE

SCELTA COORDINATE

1) SCHEMATIZZARE OPPORTUNAMENTE IL SISTEMA MECCANICO (corpo rigido, masse

concentrate, sistema continuo, discreto, a uno o più gradi di libertà).

La scelta della schematizzazione dipende a sua volta dagli scopi che ci si prefigge nello studio del

sistema, dalla semplicità della struttura reale, dalla accuratezza dei risultati che si vogliono ottenere…

u(t)

m


moto

42

( )mu cu ku F t

MODELLO MATEMATICO

EQUAZIONI DEL MOTO (dipendenti dalle coordinate che

descrivono il sistema)

F(t)

Diremo che un sistema è discreto se è sufficiente un numero finito (discreto) di coordinate per determinare la posizione di tutti i suoi punti

(e quindi il suo moto).

(xs, ys, zs) s=1,..., m sistemi discreti

Per descrivere il moto di un sistema discreto sono sufficienti equazioni differenziali alle derivate ordinarie (perchè i parametri che descrivono il moto del sistema sono funzione solo del tempo).

Diremo invece che un sistema è continuo se è necessario un numero infinito di coordinate per descriverne il moto. In questo caso le coordinate sono funzioni continue dei punti del sistema.

(xs, ys, zs) s=1,..., sistemi continui

Per descrivere il moto di sistemi continui servono equazioni differenziali alle derivate parziali (perchè le coordinate che descrivono il moto dipendono sia dal tempo che dallo spazio).

Sistemi Discreti e Sistemi Continui


43

SISTEMI DISCRETI I sistemi reali sono in genere dei sistemi continui.

Nella stragrande maggioranza dei casi è però possibile descrivere il comportamento di un sistema reale attraverso un sistema discreto.

Nel caso dei problemi dinamici, ciò significa schematizzare i sistemi reali, che hanno massa distribuita, attraverso dei modelli più semplici con masse concentrate in punti opportuni.

Struttura reale

Schematizzazione

Schematizzazione

Gran Canyon Skywalk - Arizona

CN Tower - Canada

Struttura reale

m

Noi ci occuperemo di sistemi discreti a uno o più gradi di libertà


44

COORDINATE GEOMETRICHE

COORDINATE LIBERE (GENERALIZZATE)

ASTA RIGIDA

INCERNIERATA AD UN ESTREMO

x

θ

y

yA

xA

R

cosA

A

x R

y R sen

q

q

A

L’angolo q è in grado di fornire completamente e in qualunque istante la

posizione dell’asta.

1 Coordinata generalizzata: q=q(t) capace da sola di descrivere la posizione dell’asta

Legame in forma parametrica

(tra coordinate geometriche e

coordinate generalizzate):

2 Coordinate geometriche: xA e yA

q(t)

Per esempio si può descrivere il moto anche con il parametro q=q(t)= xA (t)

MA NON E’ L’UNICO PARAMETRO CHE POTREMMO SCEGLIERE!

Esistono altre possibilità.

dipendenti l’una dall’altra perché xA2 + yA

2 =R2

O

Oppure con q=q(t)= yA (t)

Per esempio: q=q(t)= θ(t)


45

COORDINATE GEOMETRICHE

COORDINATE LIBERE (GENERALIZZATE)

2 Coordinate geometriche (DIPENDENTI TRA LORO): xA , yA , xB , yB

1 Coordinate generalizzate (LIBERE):

4

2

Oppure q1=q1(t)= xA (t)

q2=q2(t)= yB (t)

θ1

θ2

x

A

y

yA

xA

B yB

xB

q1=q1(t)= θ1(t)

q2=q2(t)= θ2(t)

Oppure q1=q1(t)= yA (t)

q2=q2(t)= xB (t)

DUE ASTE RIGIDE INCERNIERATE TRA LORO E AD UN PUNTO A TERRA


46

Se le masse possiedono vincoli tra di loro e con il mondo esterno n < 3 m

COORDINATE GENERALIZZATE (O LAGRANGIANE)

m1

z

x

y

m2 m3

ms

mm

Solo se le masse fossero senza vincoli (esterni e tra di loro) le coordinate geometriche

sarebbero tutte indipendenti e si avrebbe n = 3m

m1 (x1,y1,z1) ; m2 (x2,y2,z2) ; … ; mm (xm ,ym ,zm)

Dato un sistema meccanico costituito da m masse puntiformi vincolate tra loro e con l’esterno

sono sufficienti n parametri per conoscerne la posizione in ogni istante.


Le coordinate generalizzate (LAGRANGIANE)

sono l’insieme di parametri in grado di

descrivere univocamente la posizione del

sistema in qualunque istante.

47

- m = numero delle masse

- 3m coordinate geometriche xs, ys, zs (s=1,2,…, m)

- n coordinate libere qr (con r=1,2,…,n) che chiamiamo coordinate generalizzate

perché possiamo scegliere qualsiasi parametro che descriva il moto del sistema

(spostamenti o angoli).

GRADI DI LIBERTA’

I gradi di libertà di un sistema sono per definizione il numero di variazioni virtuali delle

coordinate del sistema che possono essere assegnate indipendentemente le une dalle

altre.

m1

z

x

y

m2 m3

ms mm

n gradi di libertà → n coordinate libere (generalizzate o lagrangiane)

s=1,..., m

m masse

3m coordinate geometriche

n gradi di libertà = n coordinate libere (generalizzate)

n ≤ 3m


48

Una variazione virtuale dqr di una coordinata qr, deve soddisfare le seguenti condizioni: dqr è infinitesima dqr è compatibile con i vincoli dqr avviene a tempo congelato

dqr è ideale (non dipende dalle forze applicate) Si chiama spostamento virtuale del sistema un dato insieme di variazioni virtuali delle sue coordinate

In altre parole, i gradi di libertà (gdl) sono il numero di movimenti indipendenti che possono essere compiuti

dalle masse del sistema.

Per i sistemi di nostro interesse, il numero di gradi di libertà coincide con il numero di coordinate

libere del sistema. Ci sono sistemi (esempio l’automobile) per i quali questo non è vero.

SISTEMI AD 1 GDL

(nell’ipotesi di piccoli spostamenti)

q y(t)

m

q q(t)

q q(t)

m

q q(t)

m

q y(t)

m

y

x


49

m

k , x

q x(t)

TELAIO SHEAR TYPE

q y(t)

SISTEMI A PIU’ GDL

q1 y1(t)

m q2 y2(t)

q3(t) q4(t) q5(t) y5 y7 y9

y2 y4 y6 y8 y10

m2 m1 m4 m3 m5

y3 y1 q2(t) q1(t)


50

m1

m2

m3

m4

q1

q2

q3

q4

TELAIO SHEAR TYPE

q1 y1(t)

m1 q2 y2(t)

m2 q4 y4(t)

q3 y3(t)

2 GDL

4 GDL

4 GDL

5 GDL

Il MOTO di un sistema meccanico a n GDL può essere descritto

attraverso n coordinate generalizzate qr(t), con r=1,..,n, che sono in

grado di fornire la posizione delle m masse del sistema in qualunque

istante.

Per conoscere il moto di un sistema occorre

scrivere le EQUAZIONI DEL MOTO

nelle coordinate generalizzate qr(t).

Per scrivere le equazioni del moto nelle coordinate generalizzate

servono i legami parametrici tra coordinate generalizzate e

coordinate geometriche (noti una volta data la geometria del sistema)

Noti i legami parametrici possiamo esprimere tutte le grandezze in

coordinate generalizzate e poi scrivere le equazioni del moto.

MOTO DEL SISTEMA NELLE COORDINATE GENERALIZZATE

Legami parametrici

1 2

1 2

1 2

( , , ..., , )

( , , ..., , )

( , , ..., , )

s s n

s s n

s s n

x x q q q t

y y q q q t

z z q q q t

s = 1,.., m


51

Massa MASSA GENERALIZZATA

Rigidezza RIGIDEZZA GENERALIZZATA

Smorzamento SMORZAMENTO GENERALIZZATO

Forze esterne FORZE GENERALIZZATE

Moto

1 1

2 2

...

( )

( )

( )n n

q q t

q q t

q q t

Equazioni del moto

11 1 12 2 13 3 1 11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 21 1 22 2 23 3 2 2

31 1 32 2 33 3 3 31 1 32 2 33 3 3 3

... ...

... ...

... ...

..

n n n n

n n n n

n n n n

m q m q m q m q k q k q k q k q G



1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

.

... ...n n n nn n n n n nn n nm q m q m q m q k q k q k q k q G

Energia Potenziale

Forze conservative Le forze per le quali il lavoro eseguito non dipende dal percorso si chiamano conservative

Il lavoro in questo caso si può esprimere come differenza tra i valori che assume una funzione delle sole

coordinate dei punti iniziale e finale della traiettoria (A e B).

Energia potenziale La funzione delle coordinate che permette di calcolare il lavoro di una forza conservativa è detta energia

potenziale Ep (energia che dipende dalla posizione).

Se il sistema di forze applicato al sistema ammette una funzione scalare solo della posizione (e non

esplicitamente del tempo) , Ep = Ep(q1 , q2 … qn ) il cui differenziale a tempo congelato è uguale ed opposto al lavoro virtuale compiuto dalle forze applicate al sistema, cioè tale che

d Ep= - dW

allora si dice che le forze ammettono potenziale e si chiamano FORZE MONOGENE (generate da una sola funzione).

WA-B= - [EP(B)-EP (A) ] = - DEP

E cioè si può dire che il lavoro compiuto dalle forze viene fatto a spese di un’energia EP

dipendente dalla posizione: l’energia potenziale.


NOTA BENE Non esiste una forma generale per l’energia potenziale ma la sua espressione dipende dalla

forza conservativa.

52

A B

• Forze elastiche che seguono la legge di Hooke

• Forze gravitazionali

Nei sistemi che studieremo, avremo le forze di richiamo elastico che sono conservative.

Sul sistema in figura agisce solo la forza di richiamo elastico FE esercitata dal pilastro sulla

massa, proporzionale allo spostamento attraverso la rigidezza k

Energia potenziale del sistema (nella coordinata u)

F k u

Le forze che ammettono potenziale si dicono conservative Esistono casi pratici di notevole interesse in cui le forze sono conservative. Per esempio:

• Forze elettriche

Sistema ad 1 gdl

m

x=u(t)

FE= -ku

k → rigidezza flessionale

pilastro

Lavoro virtuale

dW = FE du = -ku du

Si, esiste ed è questa:

21 2

PE k u

q(t)=u(t)

Nota bene: questa è l’energia potenziale del sistema se si sceglie come coordinata generalizzata lo spostamento orizzontale u.

Se cambiassimo coordinata cambierebbe anche l’espressione di Ep!

L’energia potenziale ha le dimensioni di un lavoro ed è data dal prodotto, dimezzato, di rigidezza (generalizzata)

per spostamento (generalizzato) al quadrato. Per sistemi a più gradi di libertà il prodotto è matriciale.

Esempio 1. Sistema ad 1 GDL (a pendolo rovescio). Il sistema in figura ha 1 GDL. Nelle ipotesi di asta rigida assialmente e

piccoli spostamenti, la massa non può spostarsi verticalmente e quindi è sufficiente 1 parametro per descrivere la posizione

della massa in qualunque istante. Scegliamo come coordinata generalizzata lo spostamento orizzontale x che chiamiamo u(t).

componente

scalare lungo x

della forza FE=-kui (i = versore asse x)


53

Esiste una funzione il cui differenziale a tempo congelato è uguale (ma di segno

opposto) al lavoro virtuale?

Esempio 2. Energia potenziale di un pendolo (nell’ipotesi di asta inestensibile)

q(t) q(t)

m

1 grado di libertà (1 gdl)

ENERGIA POTENZIALE nella coordinata q 21

2

PE mgL q

per piccole oscillazioni

rigidezza generalizzata (dimensioni forza x lunghezza)

P=mg

q

FE=-mgsenq

Forza di richiamo elastico

L

La forza applicata al sistema è solo la forza peso P, che si può scomporre lungo due direzioni: una ortogonale

all’asta e una lungo l’asta. La componente ortogonale rappresenta la forza di richiamo per la massa, mentre

la componente longitudinale non è attiva (l’asta è inestensibile quindi questa componente non può compiere

lavoro). Conviene riferirsi alle coordinate geometriche: una lungo l’asta e una ortogonale all’asta.

Lavoro virtuale della componente di forza attiva W mg sen sd q d

W mg Ld q dq

Si! E’ la seguente 21

E 2

p mgLq

s

s L senq

s Ld dq

q

Nota bene: Se scegliessimo come coordinata generalizzata lo spostamento s avremmo

e quindi l’energia potenziale sarebbe

s

W mg s mg sL

d q d d

rigidezza generalizzata (in questo caso è proprio una rigidezza) (dimensioni forza / lunghezza)

21 2

P

mgE s

L

spostamento generalizzato (è proprio uno spostamento) (dimensioni di lunghezza)

spostamento generalizzato (adimensionale)

Scegliamo come coordinata generalizzata

Lavoro virtuale nella coordinata q


relazione parametrica

energia potenziale

nella coordinata s

La rigidezza generalizzata è quella quantità che nell’espressione dell’energia

potenziale moltiplica lo spostamento generalizzato al quadrato (escluso ½)

54

s L q

differenziale a tempo congelato

Esiste una funzione il cui differenziale a tempo congelato è uguale (ma di segno

opposto) al lavoro virtuale?

Energia Cinetica di un sistema di masse

Il quadrato del vettore velocità è una quantità scalare perché è dato da:

In un sistema di riferimento ortogonale cartesiano, fisso con il mondo esterno, la velocità della generica

massa ha componenti (scalari) . Il suo modulo è quindi dato da

Energia cinetica in coordinate geometriche

L’energia cinetica di un sistema di m masse è data per definizione da:

2) • s2( v s s sv v v

2 22

s s s sv = x + y + z

1

1

2

2ss

s

E mc

m

v

x y

z

m1

m2

m3

mm

(x1,y1,z1 )

(x2,y2,z2 )

(xm,ym,zm )

ms (xs,ys,zs )

quantità scalare !

L’energia cinetica è una quantità scalare sempre positiva. Ha le dimensioni di energia e si misura in Joule

(1 J = 1N x 1m)

NOTA BENE:

vs=vs(t)

NOTA BENE:

Ec=Ec(t) 2 2 2

1

1 ( )

2

m

C s s s ss

E m x y z


55

s s sx , y , z

Energia cinetica di una sola massa

L’energia cinetica di un sistema con una sola massa m è data da:

dove v è il modulo della velocità dell’unica massa m . Si può scrivere anche:

21 2

CE m v

2 2 21 ( )2

CE m x y z

nel piano

nello spazio

2 21 ( )2

CE m x y


56

Sistema ad 1 gdl

m

k → rigidezza flessionale

pilastro

Esempio 1. Sistema ad 1 GDL (a pendolo rovescio).

x=u(t) q(t)=u(t)

( 2 21

2

CE m x y

Nota bene: questa è l’energia cinetica del sistema se si sceglie come coordinata generalizzata lo spostamento orizzontale u.

Se cambiassimo coordinata cambierebbe anche l’espressione di EC!

L’energia cinetica ha le dimensioni di un lavoro (si misura in Joule) ed è data dal prodotto, dimezzato, di massa

(generalizzata) per spostamento (generalizzato) al quadrato. Per sistemi a più gradi di libertà il prodotto è matriciale.

Energia cinetica nelle coordinate geometriche

21 2

CE m u

Energia cinetica nella coordinata generalizzata u

massa (generalizzata)

0

x u

yRelazioni parametriche

Derivate rispetto a t

0

x u

y

massa generalizzata

La massa generalizzata è quella quantità che moltiplica la velocità generalizzata al quadrato nell’espressione

dell’energia cinetica (escluso ½). In questo caso la massa generalizzata ha dimensioni di massa per

lunghezza al quadrato (momento di inerzia polare della massa rispetto a O). Questo perché la velocità

(generalizzata) è data da un angolo diviso un tempo (velocità angolare).

Esempio 2 Energia cinetica di un pendolo (nell’ipotesi di asta inestensibile) Il sistema ha 1 grado di libertà e quindi basta 1 coordinata per descriverne il moto. Scegliamo

come coordinata generalizzata l’angolo q

2 2 21 1 ( )2 2

CE m v m x y Energia cinetica in coordinate geometriche

cosx L

y Lsen

q

q

Legami parametrici

cos

x Lsen

y L

q q

q q

Derivate rispetto al tempo

( ( 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1

cos2 2 2

CE m x y m L sen m Lq q q q Sostituendo si ha

Energia cinetica nella coordinata generalizzata q(t) 2 21

2

CE m L q

y

O x

q(t)=q(t)


2 m m L

m

q L

s l

x

57

UNITA’ DI MISURA DELLA MASSA

Il chilogrammo è la massa di un

particolare cilindro di altezza e

diametro pari a 0,039 m fatto con

una lega di platino-iridio e

depositato presso l'Ufficio

Internazionale dei pesi e delle

misure a Sèvres, in Francia.

La massa è una grandezza fisica fondamentale nel S.I.

Unità di misura della massa nel S.I. è il chilogrammo Kg

(detto anche chilogrammo-massa per distinguerlo dal chilogrammo-peso)

2[ ] [ ]1[ ] 1

[ ]

N sKg

m

NOTA BENE: Se il peso P è espresso in Kgpeso e l’accelerazione g è espressa in m/s2, la massa si ottiene in

Kgpeso s2/m che non sono Kgmassa ! E’ un’altra unità di misura (un po’ spuria) della massa.

Si noti anche che poiché 1N ~ 1Kgpeso x10 e l’accelerazione di gravità g~10m/s2 si ha che NUMERICAMENTE il

valore del peso in Kgpeso coincide con il valore della massa in Kgmassa

(Solo numericamente, perché le unità di misura sono diverse!)

ESEMPIO: un uomo che pesa 80 Kgpeso ha una massa di 80 Kgmassa

Dalla legge di Newton si vede che la massa si può ricavare come rapporto

tra forza e accelerazione. In particolare, la massa di un corpo che ha un

dato peso P si ottiene come rapporto tra peso e accelerazione di gravità.


Pm

g

Pesomassa

acc gravità

58

Teorema di conservazione dell’energia meccanica

Se le forze applicate al sistema sono conservative e se il sistema ha solo vincoli fissi, allora si può

dimostrare che il moto del sistema avviene in modo che la somma dell’energia cinetica e dell’energia

potenziale rimanga sempre costante, in qualunque istante:

Ec+EP = cost = E

In questo caso il sistema è detto meccanicamente conservativo.

TEOREMA DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA:

In un sistema conservativo, la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale rimane sempre

costante durante il moto ed è pari all’energia totale E


59

QUESTO TEOREMA CONSENTE DI SCRIVERE L’EQUAZIONE DEL MOTO DI SISTEMI AD 1 GDL NON SMORZATI (CONSERVATIVI). Basta imporre che: e cioè che:

0dE

dt

0 C PdE dE

dt dt

u(t)=0EC + EP = cost = E

Per

u(t)=0

Per

EC-max = EP-max = cost = E

Per piccole oscillazioni

Quando lo spostamento è massimo la

velocità si annulla e poi cambia segno

Quando lo spostamento è nullo, la velocità

è massima e poi inizia a diminuire

maxu(t)=u

maxu(t)=u C C C-MAXE = E (u)= E

C C E = E (u)= 0

P P max P-MAXE = E (u )= E

P PE = E (u)= 0


2 21 1 + 2 2

mu ku E

60

Conservazione della Energia Meccanica per la mensola incastrata alla base con massa

concentrata all’estremo libero (sistema ad 1 GDL detto anche PENDOLO ROVESCIO)

EQUAZIONE DEL MOTO LIBERO NON SMORZATO DELLA MENSOLA

(ipotesi piccoli spostamenti – linearità)

2 21 1 + 0 2 2

dmu ku

dt + 0 mu u ku u + 0 mu ku

Sistema ad 1 gdl

m q(t)=u(t)

21 2

CE m u

21 2

PE k u

x=u(t)

Questa equazione si ritrova anche seguendo altre strade ed è l’equazione del moto di un qualunque sistema ad 1 GDL

lineare e non smorzato descritto dalla coordinata generalizzata coincidente con l’unico spostamento consentito u(t)

θ(t)=0

qmax

m

EC + EP = cost = E

Per

θ(t)=0

Per

EC-max = EP-max = cost = E

Per piccole oscillazioni

Quando lo spostamento è massimo la

velocità si annulla e poi cambia segno

Quando lo spostamento è nullo, la velocità

è massima e poi inizia a diminuire

maxθ(t)=θ

maxθ(t)=θ

q =0

C C C-MAXE = E (θ)= E

C C E = E (θ)= 0

P P max P-MAXE = E (θ )= E

P PE = E (θ)= 0


2 2 21 1 + 2 2

q q mL mgL E

2 21 2

CE mL q

21 2

PE mgLq

61

Conservazione della Energia Meccanica nel PENDOLO (senza attriti)

(http://www.walter-fendt.de/html5/phit/pendulum_it.htm)

EQUAZIONE DEL MOTO LIBERO NON SMORZATO DEL PENDOLO SEMPLICE

(ipotesi piccoli spostamenti – linearità)

2 2 21 1 + 0 2 2

q q

dmL mgL

dt

2 + 0 q q q q mL mgL + 0 q q L g

Periodo proprio del pendolo T=2π𝒎𝒂𝒔𝒔𝒂 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍𝒊𝒛𝒛𝒂𝒕𝒂

𝒓𝒊𝒈𝒊𝒅𝒆𝒛𝒛𝒂 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍𝒊𝒛𝒛𝒂𝒕𝒂 = 2π

𝒎𝑳𝟐

𝒎𝒈𝑳 = 2π

𝑳

𝒈

http://www.walter-fendt.de/html5/phit/pendulum_it.htm

PRINCIPIO DI D’ALAMBERT “Un qualunque insieme di forze applicato

ad un sistema meccanico in moto è in equilibrio (in ogni istante) ed è in grado di

soddisfare le condizioni che sarebbero soddisfatte nel caso statico se si considerano

applicate al sistema anche le forze d’inerzia.”

Jean Baptiste D’Alambert Parigi 1717 - 1783


62

s s s s sm m x y z I

s sF a i j k

La forza d’inerzia agente su un punto materiale di massa ms è il

prodotto tra la massa ms e l’accelerazione del punto considerato

cambiata di segno:

sono i versori degli assi coordinati x, y e z.

Attraverso le relazioni parametriche che legano le coordinate

geometriche e le coordinate generalizzate, possiamo scrivere

anche le forze di inerzia in coordinate generalizzate.

ATTRAVERSO IL PRINCIPIO DI D’ALAMBERT SI POSSONO

SCRIVERE LE EQUAZIONI DEL MOTO DI UN SISTEMA MECCANICO

Per scrivere le equazioni del moto in genere si utilizzano le componenti scalari delle forze

lungo le direzioni del moto.

i j k

2a Legge (o Principio) di Newton

Sir Isaac Newton

Inghilterra 1642 - 1727

relazione vettoriale

In ogni istante, la risultante di tutte le forze attive agenti

su una massa in moto è pari al prodotto della massa per

la sua accelerazione.

NOTA BENE: c’è una equivalenza tra Principio di D’Alambert e 2a legge di Newton

(ma Newton è morto quando D’Alambert era ancora un bambino! )

Quindi D’Alambert poteva conoscere la legge di Newton, ma Newton non sapeva nulla del Principio di

D’Alambert )


63

ATTRAVERSO LA LEGGE DI NEWTON SI POSSONO

SCRIVERE LE EQUAZIONI DEL MOTO DI UN SISTEMA MECCANICO

Però si può usare agevolmente solo per sistemi semplici.

𝑭 = 𝑚 𝒂

Si definisce funzione lagrangiana L l’eccesso di energia cinetica rispetto all’energia potenziale:

def

r r c r r p r rL(q ,q ,t)= E (q ,q ,t) - E (q ,q ,t)

Si tratta di una funzione che dipende dal sistema e dalle forze applicate ad esso.

Siccome Ec e Ep sono delle funzioni caratteristiche del sistema, allora anche la funzione

lagrangiana L è una caratteristica del sistema.

Nei nostri sistemi in genere l’energia cinetica dipende solo dalle derivate delle coordinate

generalizzate qr mentre l’energia potenziale dipende solo dalle qr (dalla posizione)

FUNZIONE LAGRANGIANA


64

Joseph-Louis Lagrange

(Giuseppe Luigi Lagrangia)

Torino, 25 -01-1736

Parigi, 10 -01-1813

Equazioni Lagrangiane del moto


65

( ) 1,2,...,prr r

d L LG r n

dt q q

( ) ( ) 1,2,...,m pC C r rr r

E EdG G r n

dt q q

(1)

(2)

Forze generalizzate relative alle forze monogene agenti sul sistema ( )m

rG

( )p

rG

Funzione lagrangiana ( )def

c pL = L(t)= E (t) - E t

c cE = E (t) Energia cinetica

Forze generalizzate relative alle forze poligene agenti sul sistema

n equazioni differenziali del secondo ordine

p pE = E (t) Energia potenziale

http://it.wikipedia.org/wiki/Torinohttp://it.wikipedia.org/wiki/25_gennaiohttp://it.wikipedia.org/wiki/25_gennaiohttp://it.wikipedia.org/wiki/25_gennaiohttp://it.wikipedia.org/wiki/1736http://it.wikipedia.org/wiki/1736http://it.wikipedia.org/wiki/Parigihttp://it.wikipedia.org/wiki/10_aprilehttp://it.wikipedia.org/wiki/10_aprilehttp://it.wikipedia.org/wiki/10_aprilehttp://it.wikipedia.org/wiki/1813

Equivalenza delle espressioni (1) e (2) delle Equazioni Lagrangiane

Sostituendo si ottiene:

( ) 1,2,...,

pC C P P

r r r r

E Ed d E EG r n

dt q q dt q q

Poiché si dimostra che le forze generalizzate relative alle forze monogene (che ammettono potenziale)

sono date da:

( )m P Pr

r r

d E EG

dt q q


66

( ) 1,2,...,prr r

d L LG r n

dt q q

(1)

( )def

c pL = L(t)= E (t)- E t

( ) ( ) 1,2,...,m pC C r rr r

E EdG G r n

dt q q

(2)

Partiremo da queste equazioni (nella forma (1) oppure (2) per scrivere le equazioni del moto

di sistemi a uno e a più gradi di libertà

si ha che:

Lavoro Virtuale delle forze in coordinate geometriche

Dato un sistema meccanico costituito da un certo numero m di masse, intese come punti massa, vincolate

tra loro e con l’esterno. La posizione della massa s-esima rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano

nello spazio è individuata da tre coordinate geometriche xs, ys, zs. Supponiamo che sulle masse agiscano

delle forze, in generale funzione del posto e del tempo. Le forze sono dei vettori che hanno tre componenti

scalari nelle direzioni dei tre assi coordinati ( Xs , Ys , Zs ). Supponiamo ora di fornire uno spostamento

virtuale al sistema, cioè assegniamo a ciascun punto materiale di massa ms uno spostamento virtuale dss nella direzione della forza.

Il lavoro virtuale compiuto dalle forze agenti sulle masse si può esprimere come sommatoria dei

prodotti scalari delle forze per gli spostamenti virtuali nella direzione delle forze.

x

y

z

m1

m2

(x1,y1,z1 )

(x2,y2,z2 )

(xm,ym,zm )

ms (xs,ys,zs)

Nota bene: in grassetto si indicano i vettori!

1 1• )

m md

s s s s s s s s

s sW (X δx Y δy Z δzF δs

vettore forza sulla s-esima massa ( , , )X Y Zs s s sF

vettore spostamento virtuale della s-esima massa ( , , )x y zd d ds s s ssd

Fm F1

F2

... ... ...W X X X Y Y Y Z Z Zm m m m m md 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2δx δx δx δy δy δy δz δz δz

Lavoro virtuale espresso in termini di coordinate geometriche


67

(3m termini)

mm

DEFINIZIONE: La forza generalizzata G è quel vettore (a n dimensioni) che moltiplicato scalarmente per il

vettore incremento virtuale delle coordinate generalizzate dq fornisce il lavoro virtuale compiuto dalle forze applicate alle masse (in genere quelle esterne, ma il concetto si applica anche per forze di richiamo, dissipative

e persino per forze statiche) Fs per gli spostamenti virtuali dss delle masse.

Le componenti Gi vengono spesso chiamate anch’esse “forze generalizzate”.

Le forze generalizzate (scalari) relative a delle forze esterne e a date coordinate generalizzate sono

quei coefficienti Gr (con r=1,2,..,n) per i quali bisogna moltiplicare gli incrementi virtuali delle

coordinate generalizzate dqr per ottenere il lavoro virtuale compiuto dalle forze esterne per degli spostamenti virtuali dati.

1 1• )

m md

s s s s s s s s

s sW (X δx Y δy Z δzF δs

FORZE GENERALIZZATE

1 1 2 2 ... n nW G q G q G qd d d d


68

dq=(dq1, dq2, …, dqn)

vettore forza generalizzata

(n dimensioni)

vettore spostamenti virtuali

generalizzati (n dimensioni)

G=(G1, G2, …, Gn)

Come le otteniamo?

Attraverso la definizione: uguagliando il lavoro virtuale in coordinate

geometriche con il lavoro virtuale nelle coordinate generalizzate

Perché ci servono?

Per poter scrivere le equazioni del moto nelle coordinate scelte

(n termini)

= G dq

n = numero di GDL

Fs=(Xs, Ys, Zs)

vettore forza sulla

s-esima massa

spostamento virtuale

della s-esima massa

( , , )x y zd d ds s s ssd

METODO DIRETTO per il Calcolo delle Forze Generalizzate

1 1 2 21 1

( ) ...m

d d d d d d d d

ndef

s s s s s s r r n ns r

W X x Y y Z z G q G q G q G q

Lavoro virtuale delle forze esterne =

Lavoro virtuale in coordinate generalizzate

Sostituendo si ricavano le forze generalizzate

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

...

...

...

d d d d

d d d d m

d d d d

s s ss n

n

s s ss n

n

i s ss n

n

x x xx q q q

q q q

y y yy q q q s = 1,2,...,

q q q

z z zz q q q

q q q

1 21 1 2

1 1 1

1 21 2

1 1 1

1 21 2

1 1 1

...

...

...

m

m

m

m

m

m

xx xG X X X

q q q

yy yY Y Y

q q q

zz zZ Z Z

q q q

Componenti delle forze ESTERNE (note)

Incrementi virtuali delle coordinate geometriche


69

Per sistemi piani con 1 GDL è molto semplice!

1 2

1 2

1 2

( , ,..., , )

( , ,..., , )

( , ,..., , )

m

s s n

s s n

s s n

x x q q q t

y y q q q t s = 1,2,...,

z z q q q t

Legami parametrici

differenziali a tempo congelato dei legami parametrici

Componenti delle forze GENERALIZZATE (incognite)

Incrementi virtuali delle coordinate generalizzate

Per sistemi piani con PIU’ GDL si lavora con matrici (più semplice)

1. Perché il loro studio consente di introdurre in maniera semplice ed immediata (vicina all’intuizione fisica) i concetti fondamentali della dinamica strutturale (validi anche per sistemi a più gradi di libertà e per sistemi continui);

2. perché lo studio di sistemi più complessi come i sistemi a più gradi di libertà e anche i sistemi continui (ad infiniti gradi di libertà), si può spesso ricondurre a quello di una serie di opportuni sistemi ad un GDL. Questo, come vedremo, è possibile grazie a quella parte della dinamica che prende il nome di analisi modale (o analisi dei modi principali di vibrazione);

3. perché il modello meccanico costituito da un oscillatore ad un grado di libertà consente spesso di descrivere in maniera sufficientemente accurata il comportamento di strutture più complesse e quindi risulta di grande utilità pratica per le applicazioni. In particolare, ci si può ricondurre allo schema dell’oscillatore semplice tutte le volte che si ha un sistema strutturale con una massa predominante, le cui oscillazioni possono essere descritte attraverso un solo parametro.


70

SISTEMI AD 1 GDL

Perché studiamo i sistemi ad 1 gdl?

Laurea Magistrale in Ingegneria Civile percorso Strutture ... · • Verifica dei sistemi a più...

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