LAUREA IN INGEGNERIA BIOMEDICA Modulo di ELABORAZIONE DI DATI E SEGNALI BIOEMIDICI University of...
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LAUREA IN INGEGNERIA BIOMEDICA Modulo di ELABORAZIONE DI DATI E SEGNALI BIOEMIDICI University of Naples “Federico II” - Dept. of Electronic Engineering and Telecommunications Biomedical Engineering Unit - Via Claudio, 21 80125 Napoli tel: +39 081 7683788 fax: +39 081 5934448 AUTOCORRELAZIONE Fissati due istanti di tempo t 1 e t 2 la funzione di autocorrelazione per un processo aleatorio continuo x è data da: 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 , ; , , x x x dx dx t t x x f x x t X t X E t t R La funzione di covarianza è definita come: E’ valida la relazione 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 , ; , , x x x x x x x dx dx t t x x f t x t x t t X t t X E t t C 2 1 2 1 2 1 , , t t t t R t t C x x x x Se il segnale è stazionario almeno in senso lato, le sue statistiche devono dipendere solo dalla distanza di tempo: 2 1 2 1 , t t R t t R x x 2 1 2 1 2 1 , t t C t t R t t C x X x x X X t Vitetta capitolo 8
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LAUREA IN INGEGNERIA BIOMEDICA Modulo di ELABORAZIONE DI DATI E SEGNALI BIOEMIDICI
University of Naples “Federico II” - Dept. of Electronic Engineering and TelecommunicationsBiomedical Engineering Unit - Via Claudio, 21 80125 Napoli tel: +39 081 7683788 fax: +39 081 5934448Prof. Mario CESARELLI - e-mail: [email protected]
AUTOCORRELAZIONEFissati due istanti di tempo t1 e t2 la funzione di autocorrelazione per un processo aleatorio continuo x è data da:
1 2
212121212121 ,;,,x x
x dxdxttxxfxxtXtXEttR
La funzione di covarianza è definita come:
E’ valida la relazione
1 2
2121212211
221121
,;,
,
x x
xx
xxx
dxdxttxxftxtx
ttXttXEttC
212121 ,, ttttRttC xxxx
Se il segnale è stazionario almeno in senso lato, le sue statistiche devono dipendere solo dalla distanza di tempo:
2121, ttRttR xx 212121, ttCttRttC xXxx XX t Vitetta capitolo 8
LAUREA IN INGEGNERIA BIOMEDICA Modulo di ELABORAZIONE DI DATI E SEGNALI BIOEMIDICI
University of Naples “Federico II” - Dept. of Electronic Engineering and TelecommunicationsBiomedical Engineering Unit - Via Claudio, 21 80125 Napoli tel: +39 081 7683788 fax: +39 081 5934448Prof. Mario CESARELLI - e-mail: [email protected]
AUTOCORRELAZIONEPer la funzione di autocorrelazione di un segnale stazionario valgono le seguenti proprietà:1) La funzione di autocorrelazione è pari
xx RtXtXEtXtXER
Il valore nell’origine è uguale alla potenza media statistica
E’ massima in modulo nell’origineConsiderando la diseguaglianza
00 21 Xx PtXER
xx RR 0
Se il segnale non contiene componenti periodiche si ottiene : 2lim xx
xR
02 tXtXE
XXX RRRtXtXtXtXEtXtXE 2002222
XX RR 0da cui
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University of Naples “Federico II” - Dept. of Electronic Engineering and TelecommunicationsBiomedical Engineering Unit - Via Claudio, 21 80125 Napoli tel: +39 081 7683788 fax: +39 081 5934448Prof. Mario CESARELLI - e-mail: [email protected]
TEOREMA DI Wiener-KhintchineLa funzione di autocorrelazione invocando l’ergodicità e per un segnale stazionario si può scrivere come:
t
jXx deRfS
ma la trasformata di un prodotto di convoluzione è data dal prodotto delle trasformate:
Se il segnale non contiene componenti periodiche si ottiene :
Ma essendo il segnale reale risulta cheda cui
xxdxxdxxfRtt
x
fXfXRX
fXfX *
fEfXR xX 2
