UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO

Università degli Studi di BergamoDipartimento di Scienze Umane e SocialiCorso di Laurea in Scienze Psicologiche

LABORATORI DI PSICOMETRIALezione II

Prof. Andrea Greco

Dott.ssa Roberta Adorni

Dott. Agostino Brugnera

Dott. Nicola Palena

Dott.ssa Cristina Zarbo

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ANALISI FATTORIALE (AF) L’Analisi Fattoriale (AF) è un metodo statistico atto a semplificare un insieme di complesso di dati

Lo scopo della sua applicazione è di raggruppare un ampio numero di variabili in un minor numero di macro categorie o dimensioni, senza perdere le informazioni iniziali. In altri termini, attraverso l’AF è possibile ricondurre un insieme di variabili ad una o più dimensioni comuni alle variabili stesse, il cui numero è inferiore alle variabili originarie

L’applicazione dell’AF mira a verificare la validità di un questionario attraverso una serie di step che permette di ottenere una soluzione fattoriale

Indagando la dimensionalità sottostante a un insieme di variabili è possibile verificare se queste variabili possano essere considerate misure valide per esprimere e valutare specifici costrutti

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ANALISI FATTORIALE (AF)

Lo scopo è riassumere, semplificando, tutta l’informazione contenuta (VARIANZA) nelle relazioni di un insieme di variabili (MATRICE DI CORRELAZIONI) attraverso l’identificazione (ESTRAZIONE) di un numero ristretto di dimensioni (FATTORI)

Queste dimensioni possono essere definite latenti, ovvero non direttamente misurabili, ma espressione di dimensioni derivate dalla misura di altre variabili specifiche, direttamente osservabili e misurabili (gli item del questionario)

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Due tipi di analisi fattoriale:Esplorativa: ha come obiettivo quello di esplorare un insieme di variabili, di cui non si conoscono le dimensioni sottostanti, cercando di chiarire se esiste qualche configurazione sistematica dei dati. Il numero dimensioni latenti è incognito, proprio perché si esplorano possibili soluzioni alternative. E’ utile in caso di insiemi di dati complessi di cui non si conoscano le variabili più importanti sottese

Confermativa: ha come obiettivo quello di verificare delle ipotesi formulate circa la struttura delle relazioni tra variabili. Il numero di fattori da estrarre è noto e si basa su una teoria o sui risultati di ricerche precedenti. L’applicazione più importante dell’AFC è la verifica della validità interna di uno strumento, ovvero la verifica di quanto lo strumento in questione misuri con approssimazione accettabile i costrutti che intende misurare e la valutazione di quanto gli item (variabili di partenza) siano misure del costrutto (fattori finali) sufficientemente correlate tra loro

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Analisi fattoriale esplorativa e confermativa:

SOLO ALCUNE VARIABILI OSSERVATE CONTRIBUISCONO AI FATTORI LATENTI

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AF– DA RICORDAREMatrice di correlazione: riporta tutti i coefficienti di correlazione di un gruppo di variabili. E’ la matrice che viene analizzata e semplificata attraverso l’analisi fattoriale

Fattore: dimensione/costrutto non misurabile direttamente (latente). Riassume le relazioni tra le variabili originariamente misurate, delle quali si conosce la matrice di correlazione

Saturazione fattoriale: correlazione tra la variabile misurata e il fattore. Elevando la saturazione al quadrato si ottiene la porzione di varianza della variabile spiegata dal fattore

Autovalore (o radice caratteristica): somma dei quadrati delle saturazioni delle variabili costituenti un fattore. L’autovalore, diviso per il numero di variabili costituenti il fattore, esprime la proporzione di varianza spiegata dal fattore. Ogni fattore estratto ha un autovalore corrispondente

Comunalità (h2): proporzione di varianza della variabile spiegata dai fattori. Si calcola sommando i quadrati delle saturazioni della variabile su tutti i fattori estratti

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RICORDA - Condizioni di applicazione

• Disponibilità di dati su cui sia possibile calcolare coefficienti di correlazione r (scala a intervalli o rapporto)

• Rapporto di circa 5 soggetti per variabile osservata (40 variabili, almeno 200 soggetti). In ogni caso mai meno di 100

• Relazioni lineari fra le variabili• Conoscenze teorica del dominio di indagine• Il numero delle variabili considerate non dovrebbe essere

inferiore a 3-5 per ciascuno dei costrutti che ci si aspetta di ottenere (almeno 3-5 item per ogni fattore)

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Analisi fattoriale - STEPSTEP 1 – scegliere il numero di fattori da estrarre

STEP 2 – decidere il tipo di rotazione della soluzione fattoriale

STEP 3 – valutare la bontà della soluzione controllando gli autovalori e la percentuale complessiva di varianza spiegata dai fattori, eventualmente riconsiderare il numero di fattori da estrarre

STEP 4 – scartare, se necessario, le variabili che presentano scarse relazioni con i fattori estratti o che saturano in modo elevato su più fattori contemporaneamente (è un processo iterativo!)

STEP 5 – ripetere l’AF nel caso siano state scartate variabili o si sia deciso di aggiungere fattori

STEP 6 – verificare le correlazioni tra i fattori, nel caso in cui risultino indipendenti (con r

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AFE: esempio

Apriamo il data set

Come punto di partenza, selezioniamo tutte le variabili che considereremo per l’AF (i 21 item del questionario) e richiamiamo le statistiche descrittive

Valutiamo in particolare gli indici di asimmetria e curtosi: quali considerazioni possiamo fare sulla distribuzione delle variabili?

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Analisi degli itemE’ un passaggio fondamentale quando si vogliono selezionare gli item, ovvero scegliere gli item migliori allo scopo di arrivare alla versione finale di un test

Per item migliori si intendono quegli item che hanno determinate caratteristiche psicometriche

I principali criteri di selezione sono• di tipo distributivo (capacità discriminative)• di tipo dimensionale (numero di fattori latenti)

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Capacità discriminative

E’ necessario sapere quanto efficacemente ogni item è in grado di discriminare tra soggetti che presentano valori elevati e soggetti che presentano valori bassi nel costrutto

Un item che presenta un’elevata capacità discriminativa è tale che• un soggetto con un livello basso nel costrutto ha una

bassa probabilità di rispondere correttamente all’item (ovvero, ottiene punteggi bassi nell’item)

• un soggetto con un livello alto nel costrutto ha un’elevata probabilità di rispondere correttamente all’item (ovvero, ottiene punteggi elevati nell’item)

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Capacità discriminative

Per selezionare gli item migliori (con elevate capacità discriminative) è necessario studiare le proprietà distributive

Il potere discriminativo di un item è legato alla dispersione dei punteggi. Per selezionare gli item in base alla loro distribuzione, un criterio adeguato dovrà verificare che la loro distribuzione non si discosti troppo da una distribuzione normale → verificare la normalità della distribuzione attraverso due indicatori:l'asimmetria (skewness) e la curtosi (kurtosis)

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Indici per testare la normalità:Asimmetria e Curtosi

Asimmetria: misura l'asimmetria dei dati

• Positiva o destra: coda destra più lunga• Negativa o sinistra: coda sinistra più lunga

Ripasso:

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Indici per testare la normalità:Asimmetria e Curtosi

Curtosi: misura il picco di distribuzione dei dati

La curtosi della distribuzione normale è 0

Ripasso:

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Misure di forma della distribuzione

Skewness (asimmetria): indice che informa circa il grado di simmetria o asimmetria di una distribuzione

• Y = 0 distribuzione simmetrica• Y < 0 asimmetria negativa (mediana>media)• Y > 0 asimmetria positiva (mediana

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Misure di forma della distribuzione

Le distribuzioni delle variabili deviano fortemente dalla distribuzione normale se:

• Criterio stringente → valori di asimmetria e curtosi maggiori di |1| (Barbaranelli, 2007)

• Criterio più tollerante → valori di asimmetria maggiori di |2| e di curtosi maggiori di |7| (West, Finch, & Curran, 1995)

Ripasso:

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AFE: esempio

Estraiamo la matrice di correlazione delle variabili (item)

Quali sono gli item con la correlazione maggiore?

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AFE: esempio

AFE e PCA sono due tecniche NON completamente sovrapponibili, ma useremo la PCA in Jamovi per illustrare gli step fondamentali dell’analisi fattoriale (AFE in Jamovi dà errori)

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AFE in Jamovi (PCA)

A sx compare la lista delle variabili (item del questionario): trasportare a dx tutte le variabili da sottoporre ad AF

Jamovi utilizza alcune opzioni di default…

Come punto di partenza, selezioniamo:• Rotazione → nessuna• Numero delle componenti

da estrarre → basato su autovalori > 1

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Decisioni principali da prendere nell’AFE1. Decidere quanti fattori estrarre, in base

a diversi criteri, ad esempio• Autovalori > 1• Numero fisso di fattori• Scree test

2. Decidere il tipo di rotazione• Nessuna rotazione• Rotazione ortogonale• Rotazione obliqua

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Decidere quanti fattori estrarre

Estrazione di tutti i fattori che presentano un autovalore > 1

Vantaggio: consente di vedere quanti fattori emergono in fase esplorativa

Limite: tende a sovrastimare il numero di fattori se le variabili di partenza sono molte e, viceversa, a sottostimarlo se sono poche

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Decidere quanti fattori estrarre

Estrazione di tutti i fattori che presentano un autovalore > 1

• La logica è che i fattori con autovalore (varianza) > 1 sono in grado di spiegare più di una delle singole variabili osservate analizzate (che hanno varianza = 1)

• Inconveniente: questa scelta porta spesso ad estrarre un numero di fattori proporzionale al numero di variabilio Se fattorializzo molte variabili (es. 100) spesso ottengo 30 fattori con

autovalore > 1o Se fattorializzo poche variabili (es. 10) ma mi aspetto 5 fattori, difficilmente

avrò 5 autovalori > 1

• In genere, se lo scopo dell’analisi è ottenere una rappresentazione semplice dei dati, il criterio “prendo i fattori con autovalore > 1” non va bene

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Decidere quanti fattori estrarre

Estrazione di un numero fisso di fattori

Permette di selezionare a priori il numero di componenti estratte (ad esempio se abbiamo ipotesi teoriche sui costrutti, come nell’analisi fattoriale confermativa)

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Test degli assuntiTest di sfericità di Bartlett: viene applicato alla matrice di correlazione delle variabili. L’ipotesi nulla è che le correlazioni tra le variabili risultino = 0→ se il test è significativo, posso concludere che variabili hanno correlazioni sufficientemente elevate da essere considerate ≠ 0

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Test degli assunti

KMO (Test di adeguatezza campionaria di Kaiser-Meyer-Olkin): è un indice che permette di confrontare la grandezza delle correlazioni osservate rispetto alle correlazioni parziali. Se le correlazioni parzializzate sono piccole tende a 1, quindi (secondo Kaiser)• se > 0.90 è eccellente• fra .80 e .90 buono• fra .70 e .80 accettabile• fra .60 e .70 mediocre• inferiore a .60 meglio non fare

l’analisi

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Lettura e interpretazione dell’outputMatrice delle saturazioni (è l’unica che JAMOVI dà di default in output)

Fornisce informazioni su:• N di fattori estratti• Saturazioni di ogni variabile su

ogni fattore estratto• “Unicità” = 1- h2 (Comunalità)

N.B. L’unicità consente di valutare quanto le variabili sono rappresentate dalla soluzione fattoriale. I valori di unicità >.25 indicano che meno del 25% della loro rispettiva varianza è spiegata dalla soluzione fattoriale

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RICORDA - Lettura e interpretazione dell’output Più i valori di saturazione sono elevati, più forte è la correlazione tra la variabile e il fattore

Criteri per stabilire quando una saturazione fattoriale è da considerare significativa:• Saturazione > |0.30| o |0.40| → significativa• Saturazione ≤ |0.30| o |0.40| → trascurabile, indica che

meno del 9% (o 16%) della varianza della variabile è spiegata dal fattore

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RICORDA - Lettura e interpretazione dell’output La saturazione più alta di un certo item è detta saturazione principaleLe altre saturazioni sono dette secondarie

L’obiettivo è di ottenere una soluzione fattoriale che si avvicini il più possibile alle seguenti condizioni:1. Buone saturazioni principali (> |0.40|)2. Tutte le saturazioni secondarie < |0.40| (cioè non

significative) e3. Saturazioni secondarie minori della metà della saturazione

principale4. Comunalità sufficienti (>0.25; equivale a unicità < 0.75)

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Lettura e interpretazione dell’outputFactor loadings = SATURAZIONI

È possibile visualizzare la matrice delle saturazioni per intero, oppure nascondere le saturazioni sotto un certo valore (< 0.3). In questo modo è possibile visualizzare a colpo d’occhio tutte le saturazioni principali

MA se vogliamo accertarci che non ci siano saturazioni secondarie che «disturbano» la saturazione principale possiamo imporre “Hide loadings below 0.15”

Inoltre si può richiedere di ordinare le saturazioni in modo decrescente

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Cosa si può chiedere in più in output

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Cosa si può chiedere in più in output

«Initial Eigenvalues» riporta1. Gli autovalori (il n dei fattori corrisponde al totale delle variabili sottoposte ad AF)

2. La % di varianza spiegata corrispondente3. La % di varianza cumulata, data dalla somma delle varianze relative ai fattori analizzati fino a quel punto

La % di varianza cumulata esprime la capacità della soluzione adottata di rendere ragione delle correlazioni tra le variabili

N.B. La tabella «Component summary» equivale alla tabella degli autovalori, ma riporta solo i fattori estratti secondo il criterio stabilito (nel nostro caso le componenti con autovalore > 1)

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RICORDA - Gli autovalori…• Gli autovalori appresentano le varianze dei fattori latenti• Gli autovalori sono ricavati da un «ricompattamento» della

varianza totale della matrice

• Invece di rappresentare la varianza della matrice come dovuta a p (numero variabili) fonti di variazione, tutte di var = 1, vogliamo rappresentarla come dovuta a k (n. fattori) < p fonti di variazione, ognuna di esse in grado di spiegare più di quanto fatto da una singola variabile osservata

• Il ricompattamento produce k = p autovalori, ma solo alcuni dei fattori rappresentati dagli autovalori sono sufficientemente grandi da risultare utili per la sintesi dei dati

• Se non estraggo tanti fattori quante sono le variabili, non spiego tutta la varianza originale

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Cosa si può chiedere in più in output

Scree Plot: rappresentazione grafica degli autovalori relativi a tutte le componenti, ordinati in modo decrescente

• Si identifica il punto di flesso (cambiamento della pendenza)

• Per Harman si esclude il punto di flesso (3-1)• Per Cattel si include il punto di flesso (3)

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RIASSUMENDO - Decidere quanti fattori estrarreCriteri di scelta più frequenti e indicazioni generali comunemente accettate:

1. Chi conduce la ricerca può disporre di modelli teorici che anticipano o ipotizzano il modo di raggrupparsi delle variabili originarie. L’estrazione in questo caso sarà congruente con il modello teorico di riferimento

2. Estrazione di tutti i fattori che presentano un autovalore > 1. Ha come vantaggio quello di vedere quante dimensioni emergono in fase esplorativa. Il limite di tale criterio è che tende a sovrastimare il numero di fattori se le variabili di partenza sono molte e, viceversa, a sottostimarlo se sono poche

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RIASSUMENDO - Decidere quanti fattori estrarreCriteri di scelta più frequenti e indicazioni generali comunemente accettate:

3. Scree test: traduce graficamente la progressione decrescente delle grandezze degli autovalori, riportando i primi sull’asse delle ordinate e i fattori in ascissa. Dall’analisi dello Scree plot si può decidere di interrompere il processo di estrazione nel punto in cui la curva degli autovalori cambia pendenza fino a diventare piatta. Lo svantaggio è che spesso si verificano più punti di appiattimento della curva, rendendo l’utilizzo di questo criterio soggettivo

4. A partire dallo Scree test si tiene conto empiricamente delle differenze nell’entità degli autovalori, partendo dai più alti fino ad arrivare ai più bassi

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RIASSUMENDO - Decidere quanti fattori estrarreCriteri di scelta più frequenti e indicazioni generali comunemente accettate:

5. Tenendo presente, man mano che si misurano gli “scarti” tra autovalori, la percentuale cumulata di varianza che i fattori spiegano complessivamente all’avanzare dell’analisi, è possibile decidere se e quando interrompere l’estrazione. Per l’interruzione dell’estrazione si può utilizzare un CRITERIO DI PARSIMONIA: quando la percentuale cumulata di varianza spiegata non aumenta più di molto, quindi l’entità dell’autovalore è simile a quella dell’autovalore precedente, è possibile interrompere l’estrazione

6. Su ogni fattore dovrebbero esserci almeno 3 item

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AFE: esempio

Proviamo ad estrarre 14 fattori (cioè un numero di fattori equivalente al numero di variabili originarie)

Quali considerazioni possiamo fare? 2

CO

MP

ON

EN

TI

14

CO

MP

ON

EN

TI

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Lettura e interpretazione dell’output

Torniamo alla soluzione di partenza:• Rotazione → nessuna• Numero delle

componenti da estrarre → basato su autovalori > 1

Cosa possiamo dire delle saturazioni?

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Decidere il tipo di rotazioneIn questo primo STEP di analisi abbiamo valutato la soluzione NON ruotata

Quando le medesime variabili (item) presentano saturazioni elevate su più fattori, l’interpretazione dei risultati è difficoltosa →

Diventa necessaria una trasformazione della matrice delle saturazioni. Tale trasformazione viene effettuata ruotando i fattori, ovvero spostandone la posizione nello spazio fattoriale, in modo che una singola variabile correli con un solo fattore e per nulla o poco con gli altri

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Obiettivi della rotazione

• Le soluzioni non ruotate mostrano un primo fattore troppo “pesante” e “acchiappatutto”, mentre i successivi fattori sono “leggeri” e di difficile interpretazione

• Tramite la rotazione miriamo alla “struttura semplice”:➢Poche ma forti saturazioni diverse da zero➢Assenza di variabili saturate da più di un

fattore

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Decidere il tipo di rotazione

Varimax è un tipo di rotazione ortogonale, gli assi rispetto ai quali i fattori si posizionano vengono mantenuti ortogonali (fattori non correlati fra loro). Questa rotazione massimizza la somma delle varianze, ossia i quadrati delle saturazioni delle variabili sui fattori, aumentando le saturazioni iniziali elevate e riducendo quelle con valori iniziali bassi

Oblimin è una rotazione di tipo obliquo, gli assi non sono più ortogonali e i fattori sono correlati tra loro. Questa rotazione fa in modo che le variabili abbiano saturazioni vicine allo 0 in tutti i fattori tranne uno

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Decidere il tipo di rotazione

La rotazione obliqua è opportuna qualora sia teoricamente giustificato attendersi una correlazione fra i costrutti indagati dalle variabili osservate.

In questo caso le relazioni tra variabili e fattori sono riassunte attraverso due matrici di saturazione

• la Matrice Pattern rappresenta i coefficienti di regressione della variabile sul fattore, al netto degli altri fattori

• la Matrice Struttura (Jamovi non la produce) è meno utile a interpretare i fattori, perché le sue saturazioni tengono conto anche della correlazione fra i fattori

N.B. L’interpretazione dei fattori va fatta sulla matrice Pattern

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Rotazione obliqua – ObliminSi suggerisce di utilizzare una rotazione Oblimin in via esplorativaDopo aver verificato le correlazione tra i fattori estratti, se nessuna di queste raggiunge valori superiori a |0.3|, è meglio procedere con un’analisi mediante rotazione Varimax

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Rotazione obliqua– Oblimin

Come sono cambiate le saturazioni?

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Rotazione ortogonale -VarimaxProviamo comunque a fare una rotazione ortogonale

Come sono cambiate le saturazioni?

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Problemi nell’interpretazione dell’output

Stabilito che oblimin è la rotazione migliore, ispezioniamo in dettaglio la matrice delle saturazioni

Nella pratica è comune trovarsi di fronte a variabili (item) che presentano saturazioni elevate su più di un fattore o che non saturano in maniera accettabile su nessuno dei fattori estratti

In questo caso può essere utile eliminare la variabile e ricondurre l’AFE (togliendo una variabile per volta)

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Problemi nell’interpretazione dell’output

Un altro aspetto da valutare è la comunalità (nel caso di Jamovi l’unicità), che riflette quanto le variabili sono rappresentate dalla soluzione fattoriale prescelta

Valori di comunalità

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RICORDA: ricerca della soluzione miglioreL’obiettivo è di ottenere una soluzione fattoriale che si avvicini il più possibile alle seguenti condizioni:1. Buone saturazioni principali (> |0.40|)2. Tutte le saturazioni secondarie < |0.40| (cioè

non significative) e3. Saturazioni secondarie minori della metà della

saturazione principale4. Comunalità sufficienti (>0.25; equivale a unicità

< 0.75)

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Ricerca della soluzione migliore

Un aspetto complesso riguarda l’interpretazione dei fattori, soprattutto in caso di AFE, quando non si hanno idee precise sulla struttura fattoriale e sul significato dei fattori

Può accadere che sui fattori estratti saturino variabili non immediatamente riconducibili a un contenuto comune, creando problemi di interpretazione e denominazione del fattore

• Confronto la soluzione ottenuta con il contenuto degli item → gli item così organizzati hanno senso?

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Ricerca della soluzione migliore

Valutiamo la soluzione con 2 fattori

Rivalutiamo gli item fino ad arrivare ad una soluzione che ci sembra buona

Diamo un nome ai 2 fattori

1. Ansia

2. Depressione