Agosto 1989Numero 252Anno XXIIVolume XLIII

LE SCIENZESCIENTIFICAMERICAN

raggiunge il calor rosso, l'anello vieneestratto. Prima che troppo calore vengaceduto all'atmosfera, l'anello viene se-polto in fine sabbia isolante e ne vienemisurata la temperatura lungo il profiloesterno (si veda l'illustrazione a pa-gina 14).

All'inizio la distribuzione della tempe-ratura è irregolare: l'anello è in parteuniformemente freddo e in parte unifor-memente caldo; fra le due parti la tem-peratura fa un brusco salto. Via via cheil calore passa per conduzione dalla re-gione calda a quella fredda, tuttavia, la

distribuzione della temperatura comin-cia a lisciarsi e ben presto assume unaforma sinusoidale: la curva della tempe-ratura sale e scende dolcemente e ha unaforma a S proprio come le funzioni se-no e coseno. Pian piano la sinusoide siappiattisce, finché tutte le parti dell'a-

La trasformata di FourierCon questo potente strumento matematico, flussi di informazione comequelli provenienti dalla doppia elica del DNA, dai cicli di attività solareo dai segnali elettrici si possono ridurre a una serie di curve sinusoidali

di Ronald N. Bracewell

p

er calcolare una trasformata bastaascoltare. L'orecchio esegue au-tomaticamente un calcolo che il

nostro intelletto può effettuare solo do-po anni di studio della matematica. L'o-recchio esegue una trasformata conver-tendo il suono, cioè le onde di pressioneche si spostano nel tempo e nell'atmo-sfera, in uno spettro, in cui il suono èdescritto come una serie di volumi allediverse frequenze. Il cervello trasformaqueste informazioni nella percezione diun suono.

Operazioni analoghe possono essereeseguite per via matematica sulle ondesonore e virtualmente su qualsiasi altrofenomeno ondulatorio, dalle onde lumi-nose alle maree e ai cicli solari. Questistrumenti matematici possono scompor-re le funzioni che rappresentano tali fe-nomeni ondulatori in un insieme di com-ponenti sinusoidali, curve ondulatorieche passano da un massimo a un minimoe viceversa, più o meno come l'altezzadelle onde del mare. La trasformata diFourier è una funzione che descrivel'ampiezza e la fase delle sinusoidi, cia-scuna delle quali corrisponde a una fre-quenza particolare. (L'ampiezza descri-ve l'altezza della sinusoide; la fase defi-nisce il punto iniziale del ciclo dellasinusoide.)

La trasformata di Fourier è divenutauno strumento utilissimo in diversi do-mini della scienza. In certi casi essa offrela possibilità di risolvere le astruse equa-zioni che descrivono le risposte dinami-che a sollecitazioni elettriche, termicheo luminose. In altri casi serve a identifi-

care le componenti regolari di un segnaleondulatorio, consentendo così di inter-pretare certe osservazioni in astrono-mia, medicina e chimica.

Il mondo apprese questa tecnica dal ba-rone Jean-Baptiste-Joseph Fourier, il

matematico da cui la trasformata presenome. Una caratteristica singolare diFourier fu il suo interesse, addiritturaossessivo, per il calore. A casa sua, aGrenoble, la temperatura era così altache spesso i visitatori se ne lamentavano.Per di più Fourier si avvolgeva in abitipesanti. Forse allettato dalla prospettivadel clima caldo, nel 1798 Fourier decisedi unirsi al gruppo di 165 dotti che ac-compagnavano Napoleone nella spedi-zione in Egitto.

Mentre Napoleone combatteva con-tro i siriani in Palestina, cacciava i turchidall'Egitto e inseguiva il capo dei Mame-lucchi, Murad Bey, gli scienziati francesiintraprendevano ambiziosi studi di geo-grafia, archeologia, medicina, agricoltu-ra e storia naturale. Fourier fu nominatosegretario di un ente scientifico dettoIstituto d'Egitto e sbrigò i compiti am-ministrativi con tale competenza che glifurono assegnati molti incarichi diplo-matici. Nonostante questi impegni riuscìa svolgere ricerche approfondite sulleantichità egizie e a formulare una teoriasulle radici delle equazioni algebriche.

Poco prima che i francesi venisserocacciati dall'Egitto, nel 1801, Fourier ei suoi colleghi salparono per la Francia.L'ammiraglio Sir Sidney Smith, coman-dante della flotta britannica, catturò

subito la loro nave con il suo carico didocumenti e reperti egizi. Con la caval-leria tipica di quei tempi, Smith prov-vide a sbarcare gli scienziati, illesi, adAlessandria. In seguito, il comandanteinglese si recò a Parigi e restituì ilmateriale confiscato, tranne la pietra diRosetta (chiave dei geroglifici), che og-gi si trova al British Museum e rappre-senta un monumento alla disfatta milita-re di Napoleone e al suo contributo al-l'egittologia.

Tornato in Francia relativamente in-denne, Fourier divenne docente di ana-lisi all'Ecole Polytechnique e si concen-trò sulla matematica, ma nel 1802 tornòdi nuovo al servizio di Napoleone, assu-mendo la carica di prefetto del diparti-mento dell'Isère. Nell'intento di porrerimedio ai guasti provocati dalla Rivolu-zione del 1789, fece costruire il trat-to francese della strada per Torino eprosciugare 80 000 chilometri quadratidi paludi malariche. In questo periodoFourier ricavò un'equazione che descri-veva la conduzione del calore nei solidi.Nel 1807 era in possesso di un metodoper risolvere questa equazione: la tra-sformata di Fourier.

Fourier usò la sua tecnica matematica

per spiegare molti casi di conduzio-ne termica. Un esempio particolarmenteistruttivo, che non presenta complica-zioni computazionali, è la conduzionetermica nell'anello di un'ancora (l'anellodi ferro al quale viene attaccata la cate-na) che sia stato immerso per metà nelfuoco. Quando parte della circonferenza

Lo spettro di un raggio solare rappresenta un'analogia fisica delletrasformate matematiche (in al(o). L'intensità della luce solare cheentra nel prisma varia da un istante all'altro (in basso). La luce chelascia il prisma risulta separata spazialmente in colori puri, cioè infrequenze. Un colore è tanto più forte quanto maggiore è l'ampiez-

za della frequenza che corrisponde a esso. Quindi l'intensità, fun-zione del tempo, è stata trasformata in un'ampiezza, funzione del-la frequenza. Mediante la trasformata di Fourier, che in più for-nisce informazioni anche sulla fase, si può rappresentare un segnalevariabile nel tempo come funzione della frequenza e dell'ampiezza.

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nello raggiungono la stessa temperatura.Fourier ipotizzò che la distribuzione

irregolare iniziale si potesse scompor-re in molte sinusoidi semplici, ciascunacon la propria temperatura massima e la

270 propria fase, cioè la posizione relativalungo la circonferenza. Inoltre, per ognigiro completo dell'anello ciascuna com-ponente sinusoidale variava dal valoremassimo a quello minimo e poi a quellomassimo un numero intero di volte. Lasinusoide con un solo ciclo lungo la cir-

conferenza prese il nome di armonicaT-i fondamentale, mentre le sinusoidi con270 360 due o tre cicli o più furono dette rispet-

tivamente seconda e terza armonica earmoniche superiori. La funzione mate-matica che descrive la temperatura mas-sima e la posizione, o fase, di ciascunaarmonica è la trasformata di Fourier del-la distribuzione di temperatura. Fourieraveva sostituito un'unica distribuzione,difficile da descrivere per via matemati-ca, con una serie più maneggevole difunzioni seno e coseno (con numero in-tero di periodi) le quali, sommate, ripro-ducevano la distribuzione originaria.

360 Applicando questa analisi alla condu-zione del calore lungo l'anello, Fourierconcluse che quanto maggiore è il nume-ro di periodi di una componente sinusoi-dale, tanto più rapido sarà il suo smor-zamento. È possibile seguire il suo ra-gionamento considerando la relazionetra la fondamentale e la seconda armo-nica della distribuzione di temperatu-ra. Lungo la circonferenza dell'anellola temperatura della seconda armonicapassa due volte dal caldo al freddo, men-tre la fondamentale subisce una sola va-riazione. Quindi per la seconda armoni-ca la distanza che il calore deve percor-rere per passare dalla cresta calda al ven-tre freddo è metà rispetto a quanto ac-cade per la fondamentale. Inoltre per laseconda armonica il gradiente di tempe-ratura è doppio di quello per la fonda-mentale. Poiché un flusso doppio di ca-lore occupa metà distanza, la secondaarmonica si smorza quattro volte più ra-pidamente dell'armonica fondamentale.

Le armoniche superiori si smorzanocon velocità ancora maggiore. Quindi,

a

90

90 180POSIZIONE

180POSIZIONE

TEMPERATURA

TEMPO 10

360360 360100

180POSIZIONE

180POSIZIONE

180POSIZIONE

La conduzione termica modifica nel tempo la distribuzione di tem-peratura in un anello di ferro (a sinistra). Proprio come la distri-buzione di temperatura in un qualsiasi istante può essere descrittacon una serie di curve sinusoidali, l'evoluzione nel tempo di questadistribuzione può essere descritta in termini della variazione dellesinusoidi. Sono illustrate la distribuzione avente un solo ciclo, ossia

la prima armonica o fondamentale (al centro), e la distribuzione a-vente due cicli, o seconda armonica (a destra). Fourier dimostròche la seconda armonica si smorza con velocità quadrupla rispettoalla prima e che le armoniche superiori si smorzano ancor più rapi-damente. Poiché la fondamentale persiste più a lungo delle altre ar-moniche la distribuzione complessiva tende ad assumerne la forma.

180

360POSIZIONE

14

180POSIZIONE

360

La temperatura di un anello di ferro fu unodei primi fenomeni analizzati con la tecnicadi Fourier. Si parte da una data distribu-zione di temperatura lungo l'anello (a); ilcolore più intenso corrisponde alle zone piùcalde. Per eseguire l'analisi, l'anello vienedapprima sviluppato (b), quindi si misurala temperatura in ciascun punto per otte-nerne la distribuzione lungo tutta la circon-ferenza (e). Alla fine, questa distribuzioneviene scomposta in diverse curve sinusoida-li aventi uno, due, tre o più cicli (d).Se si sommano 16 di queste curve (curvacontinua in e) si ottiene una buona appros-simazione della distribuzione della tempe-ratura di partenza (curva tratteggiata in e).

via via che la temperatura dell'anellotende all'equilibrio, rimane solo la distri-buzione sinusoidale della fondamentale.Fourier era convinto che con la sua tec-nica si potesse calcolare l'evoluzionetemporale di qualunque distribuzioneiniziale di temperatura.

T 'analisi di Fourier metteva in discus-L-1 sione le teorie matematiche cui ade-rivano senza riserve i suoi contempora-nei. Molti dei grandi matematici francesidel primo Ottocento, tra cui Lagrange,Laplace, Legendre Biot e Poisson, si ri-fiutavano di accettare la tesi di Fouriersecondo la quale qualunque distribuzio-ne iniziale di temperatura poteva esserescomposta in una semplice somma arit-metica di un'oscillazione fondamentalee delle sue armoniche superiori. AncheLeonhard Euler (Eulero) era in disac-cordo con le idee di Fourier, benchéavesse già ipotizzato che alcune funzionisi potessero rappresentare come sommadi sinusoidi. Accadde dunque che, quan-do Fourier sostenne la sua tesi a unaseduta dell'Accademia francese dellescienze, Lagrange si alzò in piedi e ladichiarò impossibile.

Nonostante ciò, l'Accademia non po-té ignorare la portata dei risultati diFourier e gli conferì un premio per lateoria matematica della propagazionetermica e per il confronto da lui compiu-to fra i risultati della sua teoria e quellidi accurati esperimenti. Il premio, tutta-via, gli fu concesso con la seguente riser-va: «La novità della materia, insieme al-la sua importanza, ci ha convinto a con-ferire il premio, ma non possiamo nonosservare che il modo in cui l'autore per-viene alle sue equazioni non è esente dadifficoltà e che il suo metodo analiticoper integrarle lascia a desiderare quantoa generalità e anche a rigore.»

Il sospetto con cui i colleghi conside-

ravano il suo lavoro ne ritardò la pubbli-cazione fino al 1815. Anzi, un resocontocompleto comparve solo nel 1822, quan-do Fourier pubblicò il libro Théorieanalytique de la chaleur.

Le obiezioni mosse all'impostazionedi Fourier riguardavano in particolarel'asserzione che una funzione evidente-mente discontinua potesse essere rap-presentata come somma di sinusoidi,che sono funzioni continue. Le funzionidiscontinue descrivono curve o rettespezzate; per esempio, la funzione dettagradino di Heaviside vale zero a sinistrae salta al valore uno a destra. (Con unafunzione siffatta si può descrivere il flus-so della corrente quando viene chiuso uninterruttore.) Per i contemporanei diFourier era cosa mai vista che una fun-zione discontinua risultasse dalla combi-nazione di funzioni continue ordinarie,per esempio funzioni lineari, quadrati-che, esponenziali e sinusoidali. Tuttavia,se Fourier aveva ragione, la somma diun numero infinito di sinusoidi conver-geva e rappresentava con precisione unafunzione dotata di discontinuità, anchenumerose. A quel tempo ciò sembravauna patente assurdità.

Nonostante queste obiezioni, molti ri-cercatori, tra cui la matematica SophieGermain e l'ingegnere Claude Navier,cominciarono a estendere i risultati diFourier oltre il dominio dell'analisi delcalore. I matematici tuttavia continuaro-no a essere ossessionati dal problema seuna somma di funzioni sinusoidali potes-se convergere a una funzione disconti-nua e rappresentarla con precisione.

I' problema della convergenza si pre-

senta ogni volta che si deve sommareuna serie infinita di numeri. Si consideriquesto classico esempio: potrò mai arri-vare alla parete se a ogni passo percorrometà della distanza residua? Il primo

passo mi porta a metà strada, il secondoa tre quarti e dopo il quinto passo ho giàquasi percorso il 97 per cento del cam-mino. E evidente che ciò equivale quasia essere arrivato alla parete, ma perquanti passi io faccia non la raggiungeròmai esattamente. Si può tuttavia dimo-strare per via matematica che prima opoi giungo a una distanza dalla pareteinferiore a qualsiasi distanza fissata apriori. (Questo equivale a dimostrareche la somma di un mezzo, un quarto,un ottavo, un sedicesimo e così via tendea uno.)

Il problema della convergenza dellaserie di Fourier si presentò di nuovo ver-so la fine dell'Ottocento, in rapporto altentativo di prevedere le alte e le bassemaree. Lord Kelvin aveva inventato uncalcolatore analogico che forniva infor-mazioni sulle maree agli equipaggi dellenavi mercantili e militari. Dapprima sicalcolava a mano un insieme di ampiezzee di fasi a partire da una tavola su cuierano state pazientemente registrate perun anno le escursioni di marea e le orecorrispondenti in un determinato porto.

Ciascuna ampiezza e fase rappresen-tava una componente sinusoidale dellafunzione escursione di marea e mettevain luce uno dei contributi periodici allamarea. I risultati venivano poi introdottinel calcolatore di Lord Kelvin il qualesintetizzava una curva che forniva l'e-scursione delle maree per l'anno succes-sivo. Ben presto furono costruite curvedi marea per i porti di tutto il mondo.

Sembrava ovvio che una macchina perla previsione delle maree dotata di piùparti potesse elaborare più ampiezze efasi e quindi fornire previsioni migliori.Ciò si rivelò non del tutto esatto se lafunzione matematica da elaborare con-teneva un salto brusco, cioè se era insostanza una funzione discontinua.

Supponiamo di ridurre una funzione

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Il dispositivo Ferrell era un calcolatore analogico costruito verso lafine dell'Ottocento, che eseguiva la sintesi di Fourier per prevederel'andamento delle maree. Dai dati sulle escursioni di marea raccoltiin un porto particolare si ricavava, con calcoli eseguiti a mano, uninsieme di numeri, ciascuno dei quali rappresentava un contributo

periodico alla marea, come l'attrazione gravitazionale della Luna.I numeri ottenuti per quel porto potevano poi essere introdotti nel-l'apparecchio posizionando le manopole sul suo retro (a sinistra).Impostando l'ora desiderata sulla parte anteriore (a destra), l'am-piezza prevista della marea poteva essere letta su un quadrante.

del genere a un piccolo insieme di am-piezze e di fasi, cioè a pochi coefficientidi Fourier. La funzione originale può es-sere allora ricostruita dalle componentisinusoidali che corrispondono ai coeffi-cienti e in ciascun punto può essere mi-surato lo scostamento tra la funzione ori-ginale e quella ricostruita. La procedu-ra per la misurazione degli scostamentiviene ripetuta, calcolando ogni voltaun maggior numero di coefficienti e in-troducendoli nella funzione ricostruita.Nonostante queste ripetizioni, il valoredello scostamento massimo non dimi-nuisce. In compenso l'errore resta sem-pre più confinato intorno alla disconti-nuità e quindi, in definitiva, in qualsiasipunto assegnato l'errore tende a zero.Nel 1899 questo risultato ricevette unaconferma teorica da Josiah Willard Gib-bs della Yale University.

L'analisi di Fourier non si può ancoraapplicare a funzioni insolite, per esem-pio quelle che possiedono un numero in-finito di discontinuità in un intervallo fi-nito. In generale, tuttavia, una serie diFourier converge se la funzione di par-tenza rappresenta la misura di una gran-dezza fisica.

Gli studi sulla convergenza della seriedi Fourier di una particolare funzionehanno aperto nuove ampie aree dellamatematica. Un esempio è la teoria dellefunzioni generalizzate, associata ai nomidell'inglese George F. J. Tempie, del po-lacco Jan G. Mikusiiíski e del franceseLaurent Schwartz. Nel 1945 questa teo-ria fornì una solida base per la funzionea gradino di Heaviside e per la funzionedelta di Dirac (quest'ultima descriveun'area unitaria concentrata in un pun-to). La teoria consentì di applicare latrasformata di Fourier alla risoluzione diequazioni in cui intervenivano alcuniconcetti intuitivi ampiamente accettati,come la massa puntiforme, la carica pun-tiforme , i dipoli magnetici e la concen-trazione di un carico su una trave.

D°P° quasi due secoli di progressi, lateoria che sta alla base della trasfor-

mata di Fourier è solida e chiara. Comesi è visto, nell'analisi di Fourier una fun-zione dello spazio o del tempo vienescomposta in componenti sinusoidali difrequenza, ampiezza e fase diverse. Latrasformata di Fourier è una funzioneche rappresenta l'ampiezza e la fase cor-rispondenti a ciascuna frequenza. La tra-sformata si può ricavare con due metodimatematici diversi, uno dei quali si ap-plica quando la funzione di partenza ècontinua e l'altro quando essa è compo-sta da molti valori discreti.

Se la funzione è costituita da una suc-cessione di valori a intervalli discreti, lasi può scomporre in una serie di sinusoidia frequenze discrete, che da una fre-quenza minima, la fondamentale, co-prono tutta una serie di frequenze chesono il doppio, il triplo, e così via, dellafondamentale. Questa somma di sinu-soidi si chiama serie di Fourier.

Se la funzione di partenza ha un valorein corrispondenza di ciascun numeroreale, allora viene scomposta in funzionisinusoidali corrispondenti a tutte le fre-quenze, che vengono combinate me-diante un'operazione detta integrale diFourier. La trasformata non è né la se-rie, né l'integrale: nel caso della funzio-ne discreta è l'elenco delle ampiezze edelle fasi, dipendenti dalla frequenza,che compaiono nella serie di Fourier; nelcaso della funzione continua è la funzio-ne della frequenza che si ricava quandosi calcola l'integrale di Fourier.

A prescindere dal modo in cui la tra-sformata viene ricavata, per ogni fre-quenza è necessario assegnare due nu-meri, che potrebbero essere l'ampiezzae la fase. Ma anche altre coppie di nu-meri potrebbero codificare la stessa in-formazione. Questi valori possono esse-re espressi sotto forma di un unico nu-mero complesso. (Un numero comples-so è la somma di un numero reale conun altro numero reale moltiplicato a suavolta per l'unità immaginaria, cioè la ra-dice quadrata di —1.) Questa rappresen-tazione è molto diffusa perché sfruttal'algebra dei numeri complessi. L'alge-bra dei numeri complessi e la trasforma-ta di Fourier sono diventate indispensa-bili nei calcoli numerici utilizzati per ilprogetto dei circuiti elettrici, per l'analisidelle vibrazioni meccaniche e per lo stu-dio della propagazione delle onde.

La rappresentazione di una funzionemediante la sua trasformata di Fouriercomplessa presenta vantaggi computa-zionali. Un problema tipico è quello dicalcolare la corrente che passa in un cir-cuito quando a esso viene applicata unatensione nota. Il metodo diretto com-porta la risoluzione dell'equazione diffe-renziale che lega le funzioni corrente etensione. Le trasformate di Fourier dellatensione e della corrente, invece, posso-no comparire in un'equazione la cui ri-soluzione è banale.

Oggi lo studio della trasformata diFourier consiste in massima parte

nella ricerca di tecniche per passare confacilità dalle funzioni alle loro trasforma-te e viceversa. Per calcolare l'integraledi Fourier e ricavare la trasformata sipossono applicare metodi analitici. An-che se questi metodi sono forse difficiliper la media degli utenti, molti integralidi Fourier sono stati calcolati e sonoelencati in tavole di consultazione. Ac-canto a questi metodi esiste un certo nu-mero di teoremi relativi alle trasforma-te, con l'ausilio dei quali si possonoaffrontare forme d'onda più o menocomplicate riducendole a componentipiù semplici.

Per fortuna esistono metodi numericiper calcolare la trasformata di Fourier difunzioni la cui forma è basata, su datisperimentali o il cui integrale di Fouriernon è facilmente calcolabile e non si tro-va nelle tavole. Prima dell'avvento deicalcolatori elettronici, il calcolo numeri-

co di una trasformata era piuttosto noio-so perché si dovevano fare moltissimeoperazioni aritmetiche con carta e mati-ta. Il tempo necessario poteva essere ri-dotto un po' usando regole e piani dicomputazione che guidavano i ricercato-ri nel calcolo, ma di solito il lavoro re-stava enorme.

Quante operazioni si dovessero ese-guire dipendeva dal numero di punti ne-cessari per descrivere l'onda. Il numerodi addizioni era circa pari al numero dipunti e il numero di moltiplicazioni erapari al quadrato del numero di punti.Quindi per analizzare un'onda indivi-duata da 1000 punti a intervalli regolarioccorrevano circa 1000 addizioni e unmilione di moltiplicazioni.

Questi calcoli divennero più agevoliquando si resero disponibili calcolatori eprogrammi in grado di applicare nuo-vi metodi dell'analisi di Fourier, comequello proposto nel 1965 da James W.Cooley del Thomas J. Watson ResearchCenter della IBM e da John W. Tukeydei Beh l Telephone Laboratories di Mur-ray Hill, nel New Jersey. Il loro lavoroportò all'allestimento di un programmachiamato trasformata rapida di Fourier.

La trasformata rapida di Fourier fa ri-sparmiare tempo in quanto fa diminuireil numero delle moltiplicazioni occorren-ti per analizzare una curva. A quel tem-po si teneva molto conto del numero del-le moltiplicazioni semplicemente perchéla moltiplicazione era lenta rispetto adaltre operazioni del calcolatore, comel'addizione, il caricamento o la registra-zione dei dati.

Nella trasformata rapida di Fourier lacurva viene divisa in un gran numero dicampioni a intervalli uguali. Quando ilnumero di campioni viene dimezzato, ilnumero delle moltiplicazioni occorrentiper l'analisi di una curva si dimezza. Peresempio una curva con 16 campioni ri-chiederebbe 16 al quadrato, cioè 256,moltiplicazioni. Ma se si suppone che lacurva venga divisa in due pezzi di ottopunti ciascuno, il numero di moltiplica-zioni occorrenti per analizzare ciascunsegmento è 8 al quadrato, cioè 64, e peri due segmenti il totale è 128, cioè metàdel numero precedente.

Se dimezzando la sequenza assegnataraddoppia il risparmio in termini di ope-razioni, perché non si prosegue con que-sto metodo? Continuando a suddivideresi arriva a otto pezzi irriducibili condue punti ciascuno. Le trasformate diFourier di questi pezzi con due puntipossono essere calcolate senza eseguiremoltiplicazioni, ma la moltiplicazioneoccorre di nuovo quando si voglionocombinare le trasformate parziali per co-struire la trasformata complessiva. Dap-prima le trasformate dei pezzi con duepunti vengono combinate in trasformatecon quattro punti, poi in trasformate conotto punti e infine nella trasformata vo-luta con sedici punti. Questi tre passaggiin cui vengono combinati i pezzi richie-dono 16 moltiplicazioni ciascuno e quin-

di si devono eseguire 48 moltiplicazioniin tutto, cioè 3/16 delle 256 di partenza.

Questo metodo per ridurre il numero

\-1 di operazioni è molto più antico dellavoro di Cooley e Tukey e può esserefatto risalire al matematico e astronomoCari Friedrich Gauss. Gauss voleva cal-colare le orbite degli asteroidi e delle co-mete a partire da poche osservazioni.Dopo avere scoperto una soluzione, tro-vò un metodo per ridurre la complessi-tà dei calcoli basato su principi simi-li a quelli della trasformata rapida diFourier. Descrivendo il suo lavoro inuna memoria del 1805, Gauss scriveva:«L'esperienza insegnerà a chi lo usa chequesto metodo riduce grandemente il te-dio del calcolo meccanico.» Quindi ilproblema dei moti celesti non solo ci for-nì l'analisi infinitesimale e le leggi diKeplero, ma stimolò anche la scopertadi un moderno strumento di calcolo.

I fisici e gli ingegneri, abituati all'usodell'algebra dei numeri complessi, si tro-

vano a loro agio con la rappresentazionedelle sinusoidi. La convenienza di rap-presentare la trasformata di Fourier sot-to forma di funzione complessa ci fa di-menticare che le componenti sinusoidalisoggiacenti sono reali e non necessaria-mente complesse. Quest'abitudine con-cettuale ha oscurato il significato e haritardato l'adozione di una trasformatasimile a quella di Fourier, ideata nel 1942da Ralph V. L. Hartley.

Presso il laboratorio di ricerca del-la Western Electric Company, Hartleyaveva diretto le prime fasi di sviluppodei radioricevitori per un radiotelefonotransatlantico, inventando anche il cir-cuito oscillante di Hartley. Durante laprima guerra mondiale, Hartley studiò ilmodo in cui un ascoltatore percepisce ladirezione di un suono grazie a meccani-smi nell'orecchio e nel cervello. Dopo laguerra Hartley lavorò nei Bell Labora-tories , dove formulò per primo un im-portante principio nel campo della tec-nologia dell'informazione, secondo il

quale la quantità complessiva d'informa-zione che un sistema può trasmettere èproporzionale al prodotto dell'intervallodi frequenze su cui il sistema trasmetteper la durata della trasmissione. Nel1929 Hartley rinunciò alla direzione delsuo gruppo per ragioni di salute. Rista-bilitosi, si dedicò agli studi teorici cheportarono alla trasformata di Hartley.

Questa trasformata è un metodo alter-nativo per analizzare una funzione asse-gnata in termini di sinusoidi. Differi-sce dalla trasformata di Fourier per unaspetto piuttosto semplice. Mentre nellatrasformata di Fourier entrano in gioconumeri reali e immaginari e una sommacomplessa di funzioni sinusoidali, nellatrasformata di Hartley compaiono solonumeri reali e una somma reale di fun-zioni sinusoidali.

Nel 1984 misi a punto un algoritmoper una trasformata rapida di Hartley.La differenza nel tempo di computazio-ne tra la trasformata rapida di Hartley ela trasformata rapida di Fourier dipende

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1EALE ain

IMMAGINARIA

LE TRASFORMATE DI FOURIER E DI HARTLEY

Le trasformate di Fourier e di Hartley fanno passare da funzioni del tempo a funzioni della frequenza incui è codificata l'informazione relativa alla fase e all'ampiezza. I grafici seguenti rappresentano lafunzione rilevata con continuità g(t) e la funzione per punti, o discreta, g(r), dove tè il tempo e T è ilvalore corrispondente sull'ascissa per ogni punto dato.

TEMPO (t) «TEMPO» (T)

Entrambe le funzioni partono dal valore zero, saltano a un valore positivo e poi decrescono in modoesponenziale. Per la prima funzione, la trasformata di Fourier viene definita da un integrale infinitoF(f), mentre per la funzione discreta, da una somma finita F(v).

n-1F(f) = fcc g(t) (cos 2n ft — i sin 2rrf t) dt F(v) = —

1g(t) (cos 2rrvr — i sin 2rrvr)

n = O

Qui f è la frequenza, v è legata alla frequenza, n è il numero totale di campioni e i è l'unità immaginaria(radice quadrata di —1). La rappresentazione integrale è più adatta alla trattazione teorica, mentre larappresentazione tramite somma finita si presta meglio alle elaborazioni mediante calcolatore. Latrasformata di Hartley e la trasformata di Hartley discreta vengono definite in modo simile.

n-1H(f) fg(t) (cos 2nft + sin 2

1nft) dt H(v) = — E g(t) (cos 2rrvr + sin 2rrvr)_

n T = 0

Per quanto l'unica differenza di notazione tra le due trasformate sia un fattore —i che moltiplica lafunzione seno, il fatto che la trasformata di Fourier possegga una parte reale e una immaginaria rendela rappresentazione delle due trasformate molto diversa. Le trasformate discrete di Fourier e diHartley hanno essenzialmente la stessa forma delle loro corrispondenti continue.

CO

FREQUENZA

FREQUENZA

Benché i grafici appaiano diversi, le informazioni sulla fase e sull'ampiezza che si possono ricavaredalle trasformate di Fourier e di Hartley sono, come si vede qui sotto, le stesse.

FREQUENZA

FREQUENZA

L'ampiezza di Fourier è la radice quadrata della somma dei quadrati delle parti reale e immaginaria.L'ampiezza di Hartley è la radice quadrata della somma dei quadrati di H( — v) e H(v). La fase diFourier è l'arcotangente del rapporto tra la parte immaginaria e la parte reale, mentre la fase di Hartleyè l'arcotangente del rapporto tra H(— v) e H(v), più 45 gradi.

NuJcT_2

cnu_

L'analisi di Fourier può trasformare le figure di diffrazione deiraggi X in modelli molecolari. I raggi X diffusi dagli elettroni di unvirus, per esempio, producono su una pellicola (a sinistra) figureche rappresentano parte della trasformata di Fourier della strut-

tura molecolare di quell'organismo. Invertendo il procedimento ditrasformazione, si può ricavare la distribuzione degli elettroni equindi degli atomi (al centro); da queste distribuzioni si costruisco-no modelli del virus (a destra). I colori indicano le diverse proteine.

dal calcolatore, dal linguaggio di pro-grammazione e dallo stile. A parità diquesti fattori e se non si commettonosviste nella programmazione, i program-mi per la trasformata rapida di Hartleysono più veloci da eseguire di quelli perla trasformata rapida di Fourier. Benchéi due programmi richiedano lo stessotempo per reperire i dati, fornire le fun-zioni trigonometriche e sbrigare altripreliminari, il tempo impiegato nelle va-rie fasi della trasformata di Hartley è me-tà di quello occorrente per la trasformatadi Fourier.

All'inizio tuttavia non era chiaro se latrasformata di Hartley fornisse le stesseinformazioni di quella di Fourier. Per-tanto i primi programmi per calcolare latrasformata di Hartley venivano corre-dati di un passaggio in più, che la con-vertiva nella più nota trasformata diFourier. Gli studiosi, tuttavia, si reseroconto ben presto che le intensità e le fasisi potevano ricavare direttamente dallatrasformata di Hartley, senza bisogno diquel passaggio supplementare. In segui-to si capì anche che entrambi i tipidi trasformata forniscono per ogni fre-quenza una coppia di numeri che rappre-sentano un'oscillazione fisica in ampiez-za e in fase.

Un'altra riserva relativa alla trasfor-mata di Hartley stava nel fatto che latrasformata di Fourier pareva descriverei fenomeni fisici in modo più naturale.Molti fenomeni, per esempio la rispostadi un sistema semplice alla vibrazione,sono di solito descritti mediante unasomma complessa di funzioni sinusoida-li, che è il tratto distintivo della trasfor-mata di Fourier. Può dunque sembrareche le trasformate di Fourier siano piùidonee alla descrizione dei fenomeni innatura.

In realtà questa conclusione è più unriflesso della nostra educazione matema-tica che della natura. In fin dei conti,quando misuriamo le grandezze fisiche,i dati che ricaviamo sono numeri reali enon complessi.

L'avvento della trasformata rapida diHartley ha reso superflui alcuni adat-tamenti della trasformata rapida di Fou-rier, per esempio quelli usati per elimi-nare il rumore della musica registrataper via digitale. Questi adattamenti ri-chiedono due programmi: uno trasfor-ma le funzioni reali nel dominio com-plesso di Fourier, mentre l'altro conver-te le funzioni complesse del dominio diFourier in funzioni reali. Il rumore adalta frequenza nella musica registrataper via digitale può essere eliminato fil-trando certe porzioni della trasformataottenuta con il primo programma. Il se-condo programma fa poi passare dallatrasformata così modificata a un segnalemusicale migliore. Benché la velocità diesecuzione di ciascuno di questi ingegno-si programmi competa con quella dellatrasformata rapida di Hartley, in que-st'ultimo caso basta un unico program-ma per passare da una funzione reale a

una trasformata di Hartley e per ricon-vertire la trasformata in una funzionereale dopo il filtraggio voluto. Quindi sirisparmia memoria perché non è neces-sario immagazzinare nel calcolatore dueprogrammi.

I n generale le trasformate di Fourier e di Hartley sono state applicate ovun-

que si presentino fenomeni di oscillazio-ne. Pertanto il loro campo di applicazio-ne è vastissimo.

Molte sono le applicazioni in biologia.In effetti la forma a doppia elica delDNA fu scoperta nel 1962 grazie alle tec-niche di diffrazione dei raggi X e all'a-nalisi di Fourier. Un fascio di raggi X fuconcentrato su un cristallo di filamentidi DNA e i raggi X diffratti dalle mole-cole di DNA furono registrati su pellico-la. La figura di diffrazione fornì l'infor-mazione relativa all'ampiezza della tra-sformata di Fourier della struttura cri-stallina. L'informazione sulla fase, che lefotografie da sole non davano, fu ricava-ta confrontando la figura di diffrazionedel DNA con figure prodotte da sostan-ze chimiche simili. Dall'intensità dei rag-gi X e dall'informazione relativa alla fa-se fornita dalla trasformata di Fourier, ibiologi riuscirono a risalire alla funzionedi partenza, cioè alla struttura cristalli-na. Negli ultimi anni, studiando la dif-frazione dei raggi X e utilizzando questaanalisi di Fourier «inversa», si è rico-struita l'organizzazione di molte altremolecole biologiche e di strutture piùcomplesse, come i virus.

La National Aeronautics and SpaceAdministration (NASA) si serve dell'a-nalisi di Fourier per migliorare la niti-dezza e il dettaglio delle immagini di og-getti celesti ottenute nello spazio da son-de planetarie e da satelliti in orbitaterrestre. Le immagini vengono trasmes-se a Terra sotto forma di successioni diimpulsi radio. Un calcolatore trasformaquesti impulsi utilizzando le tecniche

di Fourier, quindi modifica le varie com-ponenti di ciascuna trasformata per ac-centuare alcune caratteristiche ed elimi-narne altre, più o meno come si eliminail rumore dalla trasformata di Fourier diuna registrazione musicale. Infine, i datimodificati vengono ritrasformati per ri-costruire l'immagine. Questo procedi-mento può mettere meglio a fuoco l'im-magine, può eliminare la foschia di fon-do e modificare il contrasto.

La trasformata di Fourier è utile anchenella fisica dei plasmi, nella fisica dei se-miconduttori, nell'acustica a microon-de, in sismografia, in oceanografia, nellaricognizione radar e nella realizzazionedi immagini in medicina. In chimica frale molte applicazioni segnaliamo l'im-piego di uno spettrometro basato sullatrasformata di Fourier.

L'analisi di Fourier si è dimostrata uti-le anche nelle mie ricerche sulla costru-zione di immagini bidimensionali. Nel1956 scoprii un teorema di proiezione «afette» che forniva un metodo per rico-struire le immagini a partire da integralidi striscia, un problema che oggi è notocon il nome di ricostruzione tomografi-ca. In seguito riuscii a formulare l'«algo-ritmo di proiezione inversa modificato»,oggi universalmente usato nella torno-grafia a raggi X assistita da calcolatore,la TAC.

Ero anche interessato alla ricostruzio-ne di immagini basate su dati forniti dairadiotelescopi. Volendo individuare sor-genti di onde radio sulla superficie delSole, applicai i metodi della trasformataal progetto di un radiotelescopio a scan-sione che potesse costruire quotidiana-mente mappe a microonde della tempe-ratura del Sole per 11 anni. Questi me-todi, che portarono alla prima antennadotata di un fascio così stretto da forni-re una risoluzione superiore a quella del-l'occhio umano, si sono poi diffusi nellatecnica generale delle antenne. La NA-SA apprezzò le mappe solari, che ave-

vano contribuito alla sicurezza degli a-stronauti inviati sulla Luna.

Ho applicato la trasformata di Hartleyanche ad altre ricerche. Di recente il miocollega John D. Villasenor e io abbiamodescritto un metodo ottico per trovare latrasformata di Hartley. Questa scopertaconsente di codificare in un'unica imma-gine reale la fase e l'ampiezza di Fourier.Abbiamo anche allestito un dispositivoche costruisce la trasformata di Hartleyusando le microonde. In questo momen-to sto scrivendo articoli sulla fisica sola-re, nella quale le tecniche di trasforma-zione sono alla base di nuovi metodi peranalizzare i dati ricavati dal conteggiodelle macchie solari e dallo spessore de-gli strati sedimentari sulla Terra.

Grazie all'ampio uso del metodo diFourier e di tecniche analitiche affi-ni, quanto disse Lord Kelvin nel 186,7resta vero ancora oggi: «Il teorema tuiFourier non è soltanto uno dei risul-tati più belli dell'analisi moderna, ma sipuò affermare che esso fornisce unostrumento indispensabile per affrontarequasi tutti i problemi più ardui della fi-sica moderna.»

BIBLIOGRAFIA

HERVIEL JOHN, Joseph Fourier: theMan and the Physicist, Clarendon Press,1975.

BRACEWELL RONALD N., The FourierTransform and Its Applications, SecondEdition, Revised, McGraw-Hill BookCompany, 1986.

BRACEWELL RONALD N., The HartleyTransform, Oxford University Press,1986.

VILLASENOR JOHN e BRACE WELL R. N.,Optical Phase Obtained by AnalogueHartley Transformation in «Nature»,330, n. 6150, 24 dicembre 1987.

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