La Struttura dei Cristalli

Distanza fra atomi/molecole Densità

Solido pochi Å 1022 ÷1023 atomi/cc

Gassoso ~ 30 Å 1019 molecole/cc (T, P standard)

Liquido fra i due precedenti fra i due precedenti

SOLIDI. Si suddividono in solidi cristallini e solidi amorfi.

Solidi cristallini : atomi sono disposti in modo regolare con struttura tridimensionale ordinata con ripetizione periodica e regolare di una stessa unità di base. La più piccola unità ripetente in un cristallo è detta “cella”, la disposizione spaziale periodica della cella è detta “reticolo”. • Monocristalli: all’interno di essi gli atomi sono disposti regolarmente per tutta

l’estensione del pezzo. • Policristalli: insieme di singoli cristalli uniti tra loro, detti“grani”. L’orientazione dei diversi

grani l’uno rispetto all’altro è solitamente casuale.

Solidi Amorfi: In un solido amorfo gli atomi sono disposti casualmente. Si ha una certa regolarità nella disposizione atomica solo su scale di ridottissime dimensioni. 

STRUTTURE CRISTALLINE

a

b c

d

La cella elementare è la più piccola unità ripetente che mostra pienamente le simmetrie e la struttura del cristallo.

La cella elementare di base in tre dimensioni è un parallelepipedo.La lunghezza di ogni lato è dato da a, b e c (parametri della cella elementare). L’angolo fra i lati è dato dagli angoli a, b e g. Il regolare impilamento di questi parallelepipedi da origine ad una struttura tridimensionale

Esempio: NaCl.Gli ioni Na+ sono ai vertici e ai centri delle facce, gli ioni Cl- sono al centro degli spigoli della cella cubica.

SETTE SISTEMI CRISTALLINI

Reticoli di BravaisDal momento che i punti reticolari della cella elementare possono essere sistemati in modi diversi, all’interno di ogni sistema cristallino sono possibili diversi tipi di reticolo.Ci sono 14 diversi modi di distribuire punti reticolari per formare reticoli spaziali. Questi 14 reticoli sono detti reticoli di Bravais.

INDICIZZAZIONE DELLE DIREZIONI E DEI PIANI CRISTALLOGRAFICI. INDICI DI MILLER E DI MILLER-BRAVAIS

Si impiega un riferimento di assi ortogonali x, y, z con la convenzione che l’asse x ha comeVerso positivo quello uscente dal foglio

DIREZIONI. Si può seguire la seguente procedura:

1- determinare le coordinate dei punti che giacciono lungo la direzione di interesse;2 – sottrarre alle coordinate della ‘punta’ le coordinate della ‘coda’;3 – eliminare le frazioni e/o ridurre i risultati ottenuti ai minimi interi;4 – racchiudere gli indici entro parentesi quadra. Se sono presenti segni negativi,tracciare una barretta su quel numero

NOTA. • Una direzione e il suo negativo non sono identici: [100] è diverso da [-100]• Una direzione e un suo multiplo sono direzioni identiche: [100] = [200] = [300]• Certi gruppi di direzioni sono equivalenti, in quanto hanno degli indici particolari solo per come si è posizionato il riferimento. Ad es.:[110] = [101] = [011] = [-110] == [1-10] = [10-1] = [-10-1] = [0-11]; un gruppo di direzioni equivalenti si indica

adottando la notazione <110>

PIANI. Si può seguire la seguente procedura:

1- identificare le intercette del piano con gli assi x, y, z in termini di numero di parametri cristallini;2 – fare il reciproco delle intercette;3 – eliminare le frazioni senza ridurre agli interi più piccoli;4 – racchiudere gli indici entro parentesi tonda. Se sono presenti segni negativi, tracciare una barretta su quel numero

NOTA. • Un piano e il suo negativo non sono identici: (020) è diverso da (0-20)• Un piano e i suoi multipli non sono identici, poiché possono differire i

valori di densità planare e frazione di impacchettamento planare;• Certi gruppi di piani sono equivalenti, in quanto hanno degli indici

particolari solo per come si è posizionato il riferimento. Ad es.:(110) = (101) = (011) = (-110) = (1-10) = (10-1) = (-10-1) = (0-11); un gruppo di direzioni equivalenti si indica adottando la notazione {110}

SISTEMA ESAGONALE – INDICI DI MILLER BRAVAIS A 4 ASSI (a1,a2,a3,c)

DIREZIONI. Si determina il numero di parametri cristallini necessari per spostarsi dalla ‘coda’Alla ‘punta’ del vettore indicante la direzione.

PIANI.1- identificare le intercette del piano con gli assi x, y, z in termini di numero di parametri cristallini;2 – fare il reciproco delle intercette;3 – eliminare le frazioni senza ridurre agli interi più piccoli;4 – racchiudere gli indici entro parentesi tonda. Se sono presenti segni negativi, tracciare una barretta su quel numero

NOTA. Con il sistema a 4 assi si ha sempre (hkil) con h + k = -i

STRUTTURE CRISTALLINE METALLICHEI metalli sono caratterizzati da elevato numero di atomi primi vicini e da strutture compatte. Se si rappresentano gli atomi come sfere rigide di raggio pari al raggio atomico, queste hanno tipicamente dimensioni di 0.10.2 nm. I più comuni tipi di celle elementari dei metalli sono tre:• FCC (faced centered cubic): Cubico a

facce centrate;• BCC (body centered cubic): Cubico a

corpo centrato;• HCP (hexagonal close-packed): Esagonale

compatto.

“numero di coordinazione” (CN, coordination number) : numero di atomi con i quali un atomo è legato, cioè il numero di sfere tangenti una data sfera.

“numero di atomi per cella elementare”:valore unitario intero ad ogni atomo appartenente esclusivamente alla cella data, ½ ad ogni atomo posizionato al centro di una faccia, ¼ a quelli posizionati su uno spigolo e 1/8 a quelli sui vertici.

“fattore d’impacchettamento atomico” (APF, atomic packing factor) : frazione di volume occupata dalle sfere all’interno della cella. 

Numero di coordinazioneè il numero di atomi con i quali un atomo è legato,cioè il numero di sfere tangenti una data sfera.

FCC: 12BCC: 8HCP: 12

STRUTTURE CRISTALLINE METALLICHE

Numero atomi per cella elementareNumero di atomi “interi” contenuti all’interno della cella elementare- Gli atomi che appartengono a due celle diverse (cioè si trovano al centro delle facce) contano per ½.- Gli atomi che appartengono a 4 celle diverse (centro degli spigoli in cella cubica) contano per ¼.- Gli atomi che si trovano sui vertici della cella (cubica) contano per ⅛.

FCC: 4BCC: 2HCP: 6

STRUTTURE CRISTALLINE METALLICHE

Struttura cubica a corpo centrato

Esempi: Cr, Mo, a-Fe …

NUMERO DI COORDINAZIONE = 8ATOMI/CELLA =2

Struttura cubica a facce centrate

Esempi: Cu, Al, Ag, Au, ...

STRUTTURE CRISTALLINE METALLICHE

NUMERO DI COORDINAZIONE = 12ATOMI/CELLA = 4

Struttura esagonale compatta

Esempi: Cd, Mg, Zn, Ti, …

STRUTTURE CRISTALLINE METALLICHE

NUMERO DI COORDINAZIONE = 12ATOMI/CELLA =6

Approssimazione di sfere rigide: consideriamo gli atomi come sfere perfettamente rigide poste nelle posizioni di un reticolo cristallinoa contatto fra loro.

 

FCC: le sfere si toccano lungo la diagonale di una faccia.

Fra le dimensioni atomiche e quelle della cella elementare vale la relazione: 

Date le dimensioni del raggio atomico possiamo dedurre le dimensioni della cella elementare

Ra 42

Ra 43

STRUTTURE CRISTALLINE METALLICHE

BCC: le sfere si toccano lungo la diagonale della cellaFra le dimensioni atomiche e quelle della cella elementare vale la relazione: 

Calcolo del fattore d’impacchettamento atomico

Frazione della cella elementare occupata dagli atomi =numero di atomi per cella elementare volume atomico

volume cella elementare

 

33

3

16

3

44 RRVoccupato

74,023216

316

316

3

3

3

3

R

R

a

R

V

VAPF

cella

occupato

33 2162242 RaVRaRa cella FCC:

33

3

8

3

42 RRVoccupato

68,08

3

33

6438

38

3

3

3

3

R

R

a

R

V

VAPF

cella

occupato

33

33

64

3

443 RaVRaRa cella

BCC:

STRUTTURE CRISTALLINE METALLICHE

Densità Planari e Lineari Il concetto di equivalenza di piani e direzioni cristallografiche riflette il fatto che piani e direzioni equivalenti presentano rispettivamente densità planari e lineari uguali. Il valore di densità planari e lineari è fondamentale per comprendere le proprietà di deformazione plastica di un materiale metallico. Calcoliamo la densità planare deI pianI 110  di un reticolo FCC.

(110) RaRa 2242

228)22(2)22(2 RRRaaAtotale

222 2414

212 RRRAoccupata

555,02428

22

2

)110(

R

Rd FCCplanare

NOTA: CON LO STESSO METODO SI CALCOLA LA DENSITA’ PLANARE DEI PIANI DI MASSIMO

ADDENSAMENTO ATOMICO 111 PER CUI RISULTA d (111) FCC= 0,9

Densità lineare della direzione <100> di un reticolo BCC.

x

y

z

[100]

La lunghezza occupata è pari a: R2

RaRa 3

443

866,023

3

42

]100[

R

Rd lineare

La relazione tra R e a nel c.c.c. è già stata trovata:

la densità lineare lungo <100> sarà:

NOTA: NATURALMENTE CON LO STESSO METODO SI CALCOLA LA DENSITA’ LINEARE DELLE DIREZIONI DI MASSIMO ADDENSAMENTO ATOMICO <111> PER CUI RISULTA

d <111> FCC= 1

CALCOLO DENSITA’ TEORICA La densità di un materiale cristallino, r, sarà pari alla densità della cella elementare,cioè pari al rapporto fra il numero di atomi nella cella per la massa di un atomo e il volume della cella:

Ac NV

An

n = numero di atomi nella cella elementare (BCC=2, FCC=4, HCP=6);

A = peso atomico;Vc = volume della cella elementare

NA = numero di Avogadro (pari al numero di atomi in una mole)Peso atomico e raggio atomico si possono trovare sulla tavola

periodica.

Esempio. Calcolare la densità teorica del rame (Cu) con struttura c.f.c. , PesoAtomico 63,5 g/mol. e raggio atomico 0,128 nm.

n= 4 ; ACu= 63,5 g/mol ; NA= 6.023 x 1023 atomi/mol ; V c.f.c. = 16 R321/2

r = (4x63,5)/ 16 (1,28x10-8)321/2x6.023 x 1023 = 8,89 g/cm3

STRUTTURE COMPATTE CFC E EC

Impilamento di piani di massimoImpacchettamento atomico

C A B

           CFC  

SEQUENZA DI IMPILAMENTO

ABCABCABCABC…..

Nella cella elementare CFC i piani a massimo impacchettamento atomico corrispondono ai piani atomici 111

Metalli CFC : Al, Cu

HCP 

Sequenza di impilamento di piani a massimo impacchettamento atomico

ABABABABAB…….

Nella cella esagonale i piani a massimo impacchettamento atomico sono i piani basali ed hanno indici di Miller 0001

Appartengono a questa classe Cd, Mg, Zn, Ti …

ALLOTROPIAUn materiale solido può assumere più di una forma cristallina e tale fenomeno è detto allotropia. Un esempio di allotropia ci è dato dal carbonio. Il carbonio può formare 4 diverse strutture solide ordinate. Il diamante e la grafite sono forme allotropiche del carbonio, queste due strutture sono caratterizzate da differenti tipi di legame fra gli atomi di carbonio. Inoltre esistono anche i fullereni e i nanotubi in cui un gran numero di atomi da origine a forme sferiche e cilindriche, rispettivamente.

ISOTROPIA/ANISOTROPIA

Direzioni diverse in un cristallo hanno diverso impacchettamento. Per esempio gli atomi lungo gli spigoli della cella elementare FCC sono più lontani di quelli lungo la diagonale delle facce. Questo causa anisotropia nelle proprietà del cristallo. Ad esempio la deformazione dipende dalla direzione in cui lo sforzo è applicato.

In alcuni materiali policristallini l’orientazione dei diversi grani è random , pertanto anche se la cella elementare presenta anisotropia il solido nel suo complesso risulta isotropo. Nel caso in cui i grani del materiale policristallino abbiano un orientazione preferenziale le proprietà del solido possono conservare una certa anisotropia.

METALLO MODULO DI [100]

ELASTICITA’ [110] [111]

ALLUMINIO 63,7 72,6 76,1

RAME 66,7 130,3 191,1

FERRO 125,0 210,5 272,7