La Sezione d’urtoSupponiamo di avere un fascio di particelle (protoni, elettroni, fotoni o qualsiasi altra particella) di ben definita energia che incide su un bersaglio (target). L’intensità I di un fascio è definita come il numero di particelle che passano attraversano una sezione perpendicolare alla direzione del fascio nell’unità di tempo.

geometria di un apparato di conteggio

Le particelle emesse dal bersaglio entro un angolo solido infinitesimo dΩ attorno alla direzione ϑ,ϕ a seguito della reazione indotta dal fascio sono “contate” da un opportuno rivelatore.

Il numero dN di particelle rivelate per unità di tempo è ovviamente proporzionale all’intensità del fascio incidente, all’angolo solido dΩ, al numero di centri diffusori del bersaglio per unità di volume n e allo spessore x del bersaglio stesso.

dN ∝ I n x dΩ

La costante di proporzionalità è indicata con σ(ϑ) o σ(ϑ,E) ed è chiamata sezione d’urto

differenziale: σ θ( ) = dσ

dΩ

dN = I ⋅ n ⋅ x ⋅

dσdΩ

dΩ

Il numero totale di particelle emesse per unità di tempo si ottiene integrando su tutto l’angolo solido:

N = I ⋅ n ⋅ x ⋅

dσdΩ

dΩ4π∫ = I ⋅ n ⋅ x ⋅

dσdΩ

dΩ =4π∫ I ⋅ n ⋅ x ⋅ σ

tot

dove: σ

tot=

dσdΩ

dΩ4π∫

σtot è chiamata sezione d’urto totale (o semplicemente sezione d’urto) della reazione: essa dipende ovviamente dal tipo di reazione e assai spesso dall’energia del proiettile.

La sezione d’urto ha le dimensioni di un’area e le unità di misura più usate sono il barn ed i suoi sottomultipli millibarn (mbarn) e microbarn (µbarn). 1 barn = 10-24 cm2.

Misura di sezioni d’urto

La misura delle sezioni d’urto è importantissima in fisica nucleare, in quanto la sua conoscenza permette di risalire ai meccanismi dinamici della reazione e quindi alle interazioni nucleari. Proprio attraverso la misura delle sezioni d’urto si ricavano quindi informazioni relative alle forze nucleari.

La sezione d’urto di un certo processo nucleare si deduce dalla misura del numero di eventi rivelati per unità di tempo da un appropriato rivelatore.

Nota l’intensità del fascio e le caratteristiche del bersaglio (essenzialmente il numero di centri diffusori indipendenti), è necessario conoscere l’efficienza di rivelazione εdet che in genere consta di due fattori indipendenti: εdet = εgeom⋅εintr

L’efficienza geometrica del rivelatore εgeom è definita come la frazione di angolo solido totale (4π) coperta dal rivelatore.

Se la distanza d rivelatore-bersaglio è molto maggiore delle dimensioni del bersaglio,

questo può essere considerato “puntiforme” e si ha: εgeom ≈

ΔΩ4π

=S

4πd2 , dove S

rappresenta la sezione del rivelatore perpendicolare al bersaglio. Infatti, presa una sfera di raggio d e quindi di superficie 4πd2, essa sottende un angolo solido pari a 4π rispetto al suo centro. Una porzione di sfera di superficie S sottenderà rispetto al centro un angolo solido proporzionalmente minore dato dalla seguente relazione:

4πd2

4π=

SΔΩ , da cui appunto

ΔΩ =

Sd2

L’efficienza intrinseca del rivelatore εintr dipende dal tipo di particelle e dal materiale del rivelatore. Essa esprime la probabilità che una particella che incide nel volume sensibile del rivelatore venga da questo rivelata. Vedremo nel seguito, quando parleremo di interazione radiazione-materia e dei rivelatori, come è possibile valutarla nei casi più complicati di rivelazione di particelle neutre come fotoni e neutroni.

Nel caso di particelle cariche invece essa praticamente vale: εintr ≈ 1.

Supponiamo di far incidere un fascio di intensità I particelle al secondo su un bersaglio di spessore x contenente n centri diffusori (in genere nuclei, se siamo interessati a sezioni d’urto di processi nucleari) per unità di volume e di rivelare i prodotti di reazione tramite un rivelatore di area S posizionato alla distanza d lungo la direzione ϑ,ϕ. Il numero R di eventi al secondo rivelati sarà dato da:

R = I ⋅ n ⋅ x ⋅ ε

int rσ θ( )dΩ

ΔΩ∫

Se il numero di massa dei nuclei bersaglio è A e la densità del bersaglio è ρ, risulta:

n =

NAv

Aρ . Pertanto si può scrivere:

R =

NAv

Aρx ⋅ I ⋅ ε

int rσ θ( )dΩ

ΔΩ∫

Se σ(ϑ) è costante entro l’angolo solido ΔΩ (condizione senz’altro vera perché vogliamo misurare proprio σ(ϑ) ), possiamo scrivere:

R =

NAv

Aρx ⋅ I ⋅ ε

int rσ θ( )ΔΩ

da cui possiamo ricavare il valore della sezione d’urto:

σ θ( ) = RA

NAvρx ⋅ I ⋅ ε

int rΔΩ

Nel caso particolare di sezione d’urto isotropa, si avrà:

σ

tot=

dσdΩ

dΩ =4π∫

dσdΩ

dΩ =4π∫ 4π dσ

dΩ

ossia: σ θ( ) = dσ

dΩ=σ

tot

4π per ogni valore di ϑ.

Le relazioni precedenti diventano:

R =

NAv

Aρx ⋅ I ⋅ ε

int rσ θ( )ΔΩ =

NAv

Aρx ⋅ I ⋅ ε

int rσ

tot

ΔΩ4π

=N

Av

Aρx ⋅ I ⋅ σ

totε

int rε

geom

σ

tot=

4π ⋅R ⋅AN

Avρx ⋅ I ⋅ ΔΩ ⋅ ε

int r

=R ⋅A

NAvρx ⋅ I ⋅ ε

int rε

geom

Vediamo ora alcuni esempi.

Esercizio 1

Calcolo dell’angolo solido di un contatore quadrato di lato 5 cm posto a distanza di 50 cm dal bersaglio.

Si ha: ΔΩ =

52

502 = 0.01 sterad.

Se il rivelatore ha invece forma circolare, sempre di raggio 5 cm e distanza 50 cm:

ΔΩ =

π52

502 = 0.314 sterad.

Esercizio 2Vediamo la reazione

p + 210Tl → 210Pb + n

Troviamo il numero totale di neutroni emessi al secondo se la sezione d’urto totale è σtot = 50 µbarn, l’intensità del fascio di protoni è I = 5⋅107 protoni al secondo, ed il bersaglio ha uno spessore massico τ = ρ·x = 100 mg/cm2.

Quando studieremo le interazioni delle radiazioni con la materia vedremo che gli spessori vengono misurati in g/cm2: si chiamano spessori massici e sono dati dal prodotto dello spessore lineare per la densità: τ = ρ⋅x. Poiché siamo interessati al numero totale di neutroni emessi, l’angolo solido da considerare sarà pari a 4π steradianti, equivalente a εgeom = 1. Inoltre prendiamo ovviamente εintr = 1. Dalla formula:

R =

NAv

Aρx ⋅I ⋅ ε

int rσ

tot

ΔΩ4π

=N

Av

Aτ ⋅I ⋅ σ

tot

sostituendo i valori numerici si ottiene: R = 0.7 neutroni/secondo = 42 neutroni/minuto

Esercizio 3Studiamo ora la reazione

γ + 12C → 11B + p

Supponiamo di avere un flusso di fotoni pari a Φ = 108 fotoni/cm2/s con una sezione del fascio pari ad a = 1 cm2. Supponiamo di sapere che la sezione d’urto del processo sia in prima approssimazione isotropa e valga σ(ϑ) = 1 µbarn/sterad.I protoni vengono contati da un rivelatore di raggio r = 5 cm posto alla distanza d = 100 cm dal bersaglio di 12C che ha uno spessore x = 10-2 cm, una densità ρ = 2.2 g/cm3, ed è di dimensioni maggiori del fascio. Si domanda quanti protoni vengono contati al secondo.

R =

NAv

Aρx ⋅ I ⋅ ε

int rσ θ( )ΔΩ

R =

NAv

Aρx ⋅ I ⋅ ε

int rσ θ( )ΔΩ

dove:A = 12σ(ϑ) = 10-30 cm2/sterad

ΔΩ =

πr2

d2 = 7.85⋅10-3 sterad

I = Φ⋅a = 108 fotoni/sεintr = 1sostituendo si ottiene:R = 8.6⋅10-4 protoni al secondo = 3.1 protoni all’ora.

Nota: se le dimensioni del bersaglio fossero state minori delle dimensioni del fascio avremmo dovuto considerare la sezione del bersaglio e non quella del fascio per il calcolo dell’intensità effettiva I. Infatti, ai fini delle interazioni, ha importanza solo la intersezione fascio-bersaglio: la parte di fascio e/o bersaglio che non si sovrappongono non ha alcun affetto.

Esercizio 4Un fotone incidente su un bersaglio di idrogeno produce un mesone π+ (di massa m = 139.6 MeV/c2) secondo la reazione:

γ + p → n + π+

a) Trovare la soglia della reazione;

b) Se il mesone ha una energia cinetica di 10 MeV ed è emesso a 90° rispetto alla direzione del fotone incidente, calcolare l’energia del fotone;

c) Calcolare l’energia cinetica del neutrone e la sua direzione;

d) Avendo a disposizione un fascio di intensità I = 5⋅108 fotoni/secondo, un bersaglio di spessore τ = 0.8 g/cm2, un rivelatori di pioni di dimensioni 15x15 cm2 posto a distanza d = 150 cm dal bersaglio, valutare il numero di pioni rivelati al secondo se la sezione d’urto del processo è σtot = 0.1 µbarn/sterad.

γ + p → n + π+

pγ = Eγ

pπ

Pn

z

y

la cinematica della reazione γ + p → n + π

Q = mp –mn - mπ = -141 MeV

Tthr

=m

n+ m

π( )2 − mp2

2mp

= 151.47 MeV

Per calcolare l’energia del fotone scriviamo la reazione in termini di 4-vettori.

p

γ+ p

p( )2 = pn+ p

π( )2

Poichè il protone è in quiete e p

n= p

γ+ p

p− p

π , si ottiene:

m

p2 + 2E

γm

p= m

n2 + m

π2 + 2p

πp

n= m

n2 + m

π2 + 2p

πp

γ+ p

p− p

π( )Sviluppando i prodotti di 4-vettori, poiché l’angolo tra il π ed il fotone è 90° il termine con il prodotto scalare scompare.

m

p2 + 2E

γm

p= m

n2 − m

π2 + 2E

πE

γ+ 2E

πm

p

Dove Eπ = Tπ + mπ = 149.6 MeV

svolgendo i conti si ricava:

Eγ=

mp2 + m

π2 − m

n2 − 2E

πm

p

2 Eπ− m

p( ) = 167.16 MeV

la quantità di moto del pione è : p

π= T

πT

π+ 2m

π( ) = 53.78 MeV

e per la conservazione della quantità di moto sarà:pn⊥ = pπ = 53.78 MeVpn|| = pγ = Eγ = 167 MeVpn = (pn⊥2 + pn||2 )2 = 175 MeV

T

n

pn2

2mn

= 15.4 MeV

la direzione è data da: ϕ = atan(pn⊥/pn||) = 17.9°Infine:

R =

NAv

Aρx ⋅ I ⋅ ε

int rσ θ( )ΔΩ = 36 s-1

Esercizio 5Quando il nuclide 197Au è bombardato con deutoni ha luogo la reazione:

d + 197 Au → p + 198Au

2.7d( )β−

⎯ →⎯⎯ 198Hg

La sezione d’urto totale della reazione è σtot = 1 mbarnL’ 198Au è instabile e decade β- in 197Hg con un tempo di dimezzamento di 2.7 giorni.

In prima approssimazione esso emette un unico spettro beta seguito da fotoni da 0.412 MeV.

a) Trovare la soglia della reazione;

b) Calcolare l’energia massima dei beta emessi;

c) Supponendo di avere un fascio di deutoni di intensità I = 107 s-1, un bersaglio di 197Au di spessore τ = 10 mg/cm2, valutare il conteggio di protoni che si ha su un rivelatore di superficie S = 10 cm2 posto alla distanza d = 10 cm dal bersaglio;

d) Valutare il numero di nuclei di 198Au presenti nel bersaglio dopo un tempo di irraggiamento di 80 ore;

e) Supponendo di contare la radiazione beta con un rivelatore che sottende un angolo ΔΩ = 1 sterad, valutare il rateo di conteggio atteso immediatamente dopo la fine dell’irraggiamento.

Soluzione:

a) Q = md + m(197Au) – mp – m(198Au) = 4.28 MeVLe reazione è quindi endotermica e pertanto Tthresh = 0

b) Poichè la transizione beta finisce sullo stato eccitato del 198Hg:

Eβ max = m(198Au) - [ m(198Hg) + 0.412] = 1.463 MeV

Tβ max = Eβ max – me = 0.952 MeV

c) Dalla geometria si ricava : ΔΩ = S/d2 = 0.1 sterad

R =

NAv

Aρx ⋅ I ⋅ ε

int rσ

tot

ΔΩ4π = 2.42⋅10-3 s-1.

c) Per valutare il numero di nuclei presenti nel bersaglio dopo un certo tempo bisogna fare il bilancio tra il processo di formazione ed il processo di decadimento.

dn t( )dt

= r − λ ⋅ n t( )dove λ è la costante di decadimento beta del nucleo 198Au che vale:

λ =

ln22.7 ⋅86400 =2.97⋅10-6 s-1

r invece rappresenta la velocità di formazione del nucleo 198Au, che dipende dalla sezione d’urto, dalla intensità del fascio e dallo spessore massico del bersaglio. Si può quindi usare la stessa formula che fornisce il rateo di produzione R, avendo posto ΔΩ=4π e εintr = 1:

r =

NAv

Aτ ⋅ I ⋅ σ

tot = 0.3 s-1

Nel bersaglio si formano quindi 0.3 nuclei di 198Au per secondo e se questo nucleo fosse stabile la sua quantità crescerebbe linearmente con il tempo.

Dobbiamo però tenere conto del processo di decadimento e risolvere l’equazione differenziale:

dn t( )dt

= r − λ ⋅ n t( )

dove n(t) indica il numero di nuclei di 198Au presenti nel bersaglio al tempo t. Risolvendo l’equazione differenziale e utilizzando la condizione iniziale: n(t=0) = 0, si ricava:

n t( ) = r

λ1 − e−λt( )

La curva è un esponenziale crescente che tende al valore asintotico r/λ per t→∞.

In pratica, dopo un tempo t ≈ 3τ =3/λ non si ha più alcun incremento significativo della attività della sorgente essendo ormai prossimi alla regione asintotica.

Sostituendo t = 80⋅3600 = 2.9⋅105 s si ottiene:

n =

0.32.97 ⋅10−6

1 − e−2.97 ⋅10−6 ⋅2.95⋅105( ) ≈ 105(1 – 0.42) ≈ 6⋅104

dopo 80 ore di irraggiamento sono presenti nel bersaglio 6⋅104 nuclei di 198Au. Da quando cessa l’irraggiamento il bersaglio decade con la solita legge esponenziale:

n t( ) = n

0e−λt

dove n0 = 6⋅104 e t è il tempo misurato a partire dalla fine dell’irraggiamento.L’attività del campione è data da:

a t( ) = dn t( )dt

= n0λ ⋅ e−λt

e l’attività iniziale è quindi: a0 = n0λ = 0.18 s-1

Le particelle beta vengono emesse isotropicamente dal bersaglio e se si trascurano effetti di autoassorbimento delle radiazioni nel bersaglio stesso, in prima approssimazione il rateo di conteggio sul rivelatore di particelle beta è dato da:

R = a ΔΩ

4π = 1.4⋅10-2 s-1.

Esercizio 6Protoni di energia cinetica 40 MeV vengono diffusi da nuclei di 12C. Calcolare l’energia cinetica del protone dopo l’urto quando questo viene deviato di un angolo pari a 30° rispetto alla direzione di moto iniziale se:

1) il 12C è lasciato nel suo stato fondamentale (urto elastico);

2) il 12C dopo l’urto è lasciato nello stato eccitato a 4.43 MeV (urto anelastico).

Vediamo il primo caso.Si tratta di uno scattering elastico, quindi:

a + X → a + XLa formula esatta è data dalla seguente espressione:

T'

a=

ma

Tacos θ ± T

am

x2 − m

a2 sin2 θ( )

mx+ m

a

In particolare, se “a” è un nucleone ed “x” un nucleo, si può scrivere: ma = mN e mx ≈ A⋅mN

T'

N=

TN

cos θ ± TN

A2 − sin2 θ( )A + 1

avendo sostituito A al rapporto mx/ma (in realtà A =12, mentre mx/ma = 12.01: stiamo così commettendo un errore del 7.5 per mille, del tutto trascurabile per gli scopi che ci prefiggiamo). Quadrando si ottiene:

T'N=

TN

A + 1( )2cos θ + A2 − sin2 θ⎛⎝

⎞⎠

2

e sostituendo i valori numerici troviamo.T’N = 39.11 MeV

Poiche’, trattandosi di uno scattering elastico, Q = 0, abbiamo che il nucleo 12C rincula con una energia cinetica TA = 40 – 39.11 = 0.88 MeV.

Se vogliamo sapere in quale direzione esso rincula, possiamo usare la conservazione della quantità di moto e fare un calcolo non relativistico. Supponiamo che il protone si muova inizialmente lungo l’asse z, e che la reazione avvenga nel piano xz. Se indichiamo con p la quantità di moto del protone e con P quella del nucleo 12C, dovrà essere:p = p’ + P , che proiettata sugli assi x e z fornisce:p = p’z + Pz

0 = p’x + Px → | Px | = | p’x |

dove: p = 2m

pT

p = 273.97 MeV/c2

p’z = p’⋅cosϑ = 237.27 MeV/c2 p’x = p’⋅sinϑ = 136.99 MeV/c2

pertantoPx = -p’x = - 136.99 MeV/c2 Pz = p - p’z = 36.71 MeV/c2

L’angolo ϕ di rinculo del nucleo risulta: ϕ = atan (Px/Pz) = -74.9°Il segno meno indica che il nucleo di 12C rincula nel semipiano xz opposto a quello del protone.

Vediamo il secondo caso. Adesso lo scattering è anelastico, e quindi le reazione è del tipo:

a + X → a + Y

dove X rappresenta il 12C prima dell’urto ed Y il 12C dopo l’urto. Le masse sono infatti diverse: la massa del 12C dopo l’urto è la sua massa a riposo aumentata dell’energia di eccitazione di 4.43 MeV. Dobbiamo usare la formula completa:

T

b=

mam

bT

acos θ ± m

am

bT

acos2 θ + m

y+ m

b( ) myQ + m

y− m

a( )Ta⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

my+ m

b

che per mb = ma diventa:

T'

a=

ma

Tacos θ ± m

a2T

acos2 θ + m

y+ m

a( ) myQ + m

y− m

a( )Ta⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

my+ m

a

Q = ma + mx - ma - my = ma + mx - ma - (mx + 4.43) = - 4.43 MeV Q ovviamente coincide con l’energia del livello eccitato cambiata di segno:

ma = 938.272 MeV

Ta = 40 MeV

my = m(12C) – Q = 11174.861 + 4.43 = 11179.291 MeV

cosϑ = 0.866

Sostituendo i valori numerici si trova:

T’a = T’N = 34.75 MeV

In pratica questo valore è il valore calcolato per l’urto elastico diminuito dell’energia dello stato eccitato: questo è dovuto al fatto che i 4.43 MeV di energia di eccitazione sono trascurabili rispetto alla massa del 12C.