La risoluzione dei telai piani - Dario Flaccovio Editore · 3.8 – Metodo di Cross ... è infatti...

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Francesco Beninato - Dora Foti - Vitantonio Vacca

La risoluzione dei telai pianiAnalisi del comportamento statico-deformativo

e calcolo delle sollecitazioni

Dario Flaccovio Editore


F. Beninato - D. Foti - V. VaccaLA RISOLUZIONE DEI TELAI PIANI

ISBN 9788857903293

© 2014 by Dario Flaccovio Editore s.r.l. - tel. 0916700686

www.darioflaccovio.it [email protected]

Stampa: Tipografia Priulla, Palermo, settembre 2014

Nomi e marchi citati sono generalmente depositati o registrati dalle rispettive case produttrici. L’editore dichiara la propria disponibilità ad adempiere agli obblighi di legge nei confronti degli aventi diritto sulle opere riprodotte. La fotocopiatura dei libri è un reato. Le fotocopie per uso personale del lettore possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume/fascicolo di periodico dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall’art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941 n. 633. Le riproduzioni effettuate per finalità di carattere professionale, economico o commerciale o comunque per uso diverso da quello personale possono essere effettuate solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata dagli aventi diritto/dall’editore.

Prima edizione: settembre 2014

Beninato, Francesco <1942-> La risoluzione dei telai piani : analisi del comportamento statico-deformativo e calcolo delle sollecitazioni / Francesco Beninato, Foti, Dora, Vitantonio Vacca. - Palermo : D. Flaccovio, 2014.ISBN 978-88-579-0329-31. Telai piani. I. Foti, Dora <1962->.II. Vacca. Vitantonio <1984->. 624.1773 CDD-22 SBN Pal0272869 CIP - Biblioteca centrale della Regione siciliana “Alberto Bombace”


INDICE

PresentazionePrefazione

Cap. 1 – Preliminari1.1 – Generalità sui telai ............................................................................... pag. 111.2 – Carichi e spostamenti ........................................................................... » 121.3 – Rigidezze e deformabilità delle aste .................................................... » 131.4 – La sovrapposizione degli effetti ........................................................... » 231.5 – Rigidezze di nodo e di piano; coefficienti di ripartizione .................... » 27

Cap. 2 – Comportamento statico-deformativo2.1 – Analisi geometrica dei telai: simmetria, emisimmetria, parasimmetria 2.2 – Telai parziali ....................................................... » 212.3 – Diagrammi qualitativi della sollecitazione flettente e deformate elastiche ............................................................................................... » 35

Cap. 3 – Calcolo delle sollecitazioni3.1 – Premessa .............................................................................................. » 1143.2 – Metodo degli spostamenti .................................................................... » 1163.3 – Forze di vincolo perfetto ...................................................................... » 1203.4 – Applicazioni del metodo degli spostamenti ......................................... » 1363.5 – Metodo delle forze ............................................................................... » 2683.6 – Applicazioni del metodo delle forze .................................................... » 2723.7 – Confronto fra i metodi ......................................................................... » 2793.8 – Metodo di Cross ................................................................................... » 2823.9 – Procedimento approssimato per telai soggetti a forze di piano ........... » 292

Cap. 4 – Applicazioni4.1 – Premessa 4.2 – Schemi vari ................................................................ » 303

Bibliografia .................................................................................................... » 340


Presentazione

Gli insegnamenti di Tecnica delle Costruzioni in Italia hanno conosciuto negli ultimi venti anni importanti cambiamenti nell’approccio metodologico, dovuti all’introduzione nella normativa vigente di nuovi e più recenti metodi di calcolo e verifica delle strutture, che rispondono all’esigenza di conferire alle costruzioni civili maggiori performance di sicurezza e funzionalità strutturale. Al contempo, la necessità quindi di condurre verifiche strutturali sempre più complesse ed articolate ha introdotto vieppiù i software di calcolo nei processi di progettazione strutturale e, di conseguenza, gli insegnamenti di Tecnica delle Costruzioni in molte scuole italiane hanno risposto a tale esigenza, avvicinando già nei corsi universitari gli studenti all’utilizzo dei software di calcolo più avanzati.

Ciononostante, resta essenziale, per garantire percorsi formativi di elevata qualità, che gli insegnamenti di Tecnica delle Costruzioni siano impostati lasciando ampio spazio ai concetti fondamentali del calcolo strutturale, fornendo tutti quegli strumenti di base che consentano all’ingegnere di avere padronanza anche dei processi di calcolo strutturale più complessi ed articolati.

E proprio in tale direzione va il lavoro fatto per la preparazione di questo testo, che tratta in maniera ampia ed esaustiva i concetti fondanti dell’analisi strutturale con un’esposizione manualistica che, con un oculato equilibrio tra la trattazione più strettamente matematica dei modelli strutturali e quella più fisico-meccanica, conduce il lettore, in maniera chiara e semplice, attraverso la conoscenza di diversi metodi di risoluzione delle strutture e di diversi casi applicativi.

Un lavoro che gli studenti di Tecnica delle Costruzioni impareranno ad apprezzare per la chiarezza espositiva e per la diversità delle esercitazioni proposte, che potrà fornire loro la giusta conoscenza delle metodologie di calcolo, quale è richiesta a strutturisti maturi per affrontare con padronanza la progettazione strutturale in ambito professionale. Un testo questo, che potrà essere di grande ausilio anche ai progettisti, per riprendere concetti trattati nei percorsi universitari e gestire con più acuta consapevolezza e più profonda competenza l’analisi e la progettazione strutturale.

Gaetano Manfredi, Università di Napoli “Federico II”


Prefazione

Il presente lavoro nasce con l’intento di fornire, per i corsi di “Tecnica delle costruzioni”, una sistematizzazione ed una sintesi per quanto possibile efficaci delle questioni di base riguardanti l’analisi preliminare del comportamento statico-deformativo e la successiva determinazione delle sollecitazioni dei telai piani.

Fermo restando, al giorno d’oggi, l’indispensabile utilizzo dei programmi di calcolo, in particolare per lo studio avanzato di sistemi complessi con azioni sismiche, la conoscenza di tali questioni rimane purtuttavia essenziale per un ingegnere, laddove viceversa, in base alla ultra quarantennale esperienza didattica dello scrivente, esse tendono sovente a non trovare sufficiente interesse da parte degli studenti, spesso acriticamente fiduciosi dei risultati forniti dagli anzidetti programmi e poco attenti ad indagare sulla “credibilità” dei risultati stessi.

In tale ottica ogni argomento è stato trattato privilegiandone sempre gli aspetti fisico-meccanici rispetto a quelli prettamente matematici, ritenendo che tale approccio sia il più congeniale alla figura dell’ingegnere strutturista, quale “fisico delle strutture”.

In conseguenza gli sviluppi analitici sono stati ovunque limitati al minimo necessario e si è preferito dare spazio agli elementi caratterizzanti le correlazioni fra morfologia strutturale, condizione di carico, spostamenti e sollecitazioni, mettendo in primo piano i concetti di “rigidezza” e “deformabilità” delle aste.

Nello spirito dei testi a impostazione didattico-manualistica si è ritenuto inoltre utile riportare sia un’ampia elencazione di tali grandezze per aste monolitiche (o con sconnessioni) e con vincoli perfetti (o elastici), unitamente alle reazioni vincolari di aste con varie condizioni di carico e di vincolo, sia proporre numerosi schemi con specifici aspetti di interesse.

Tutti i modelli sono stati scelti in modo da poter evidenziare le anzidette correlazioni in modo chiaro e semplice, attraverso un’analisi condotta preferenzialmente senza fare ricorso alla metodologia degli “esplosi strutturali” (nodi e aste), spesso tale da risultare non immediatamente efficace, se non addirittura dispersiva o inutile.

A valle dei classici metodi di risoluzione “degli spostamenti” e “delle forze”, particolare risalto si è ritenuto opportuno dare al celebre “metodo di Cross”, evidenziandone l’origine ed il significato meccanico di ogni fase, e ricordandone inoltre la grande utilità pratica, ancora oggi, per valutazioni preliminari (soprattutto in fase di dimensionamento) negli usuali schemi ridotti efficacemente utilizzati in ambito professionale per le ordinarie strutture intelaiate, in particolare se “regolari”.

E' infine, nello stesso ambito delle valutazioni preliminari, si è ritenuto altresì utile proporre un semplice procedimento non iterativo per modelli regolari soggetti solo a forze orizzontali di piano, basato sull’utilizzo di valori approssimati delle rigidezze alla traslazione delle aste con i vincoli di estremità angolarmente cedevoli e facilmente utilizzabile con l’ausilio di un foglio elettronico di calcolo.

Francesco Beninato


1. Preliminari

1.1. Generalità sui telai

Indicato con il termine struttura un qualsiasi insieme di corpi connessi fra loro, opportunamente collegato con l’ambiente ed in grado di trasferire a quest’ultimo le azioni cui è soggetto, il telaio piano rappresenta una particolare struttura costituita da un insieme di aste giacenti in un piano e caricate nello stesso. Le aste (elementi monodimensionali rettilinei o comunque a piccola curvatura, monolitici o con sconnessioni) sono assemblate comunemente in maglie rettangolari (o più in genere poligonali) i cui vertici, detti nodi, rappresentano i punti di intersezione degli assi delle aste che vi convergono. Il collegamento dei telai con il suolo avviene tramite vincoli (incastri, cerniere, carrelli, doppi pendoli) tali da rendere il sistema esternamente isostatico o iperstatico; tali vincoli possono essere perfetti oppure imperfetti a seconda che vietino in assoluto gli spostamenti secondo le proprie direzioni efficaci, ovvero consentano dei cedimenti vincolari u (traslazioni η e δ, rotazioni γ) di tipo elastico (dipendenti dai carichi) o di tipo anelastico (indipendenti dai carichi, e quindi costituenti essi stessi condizione di carico). Di questi i primi si hanno quando il vincolo è cedevole con assegnate rigidezze k (kη verticale, kδ orizzontale, kγ angolare) e, nell’ipotesi comunemente adottata di elasticità lineare, assumono entità proporzionale alla reazione vincolare X secondo la relazione X = k·u (fig. 1.1a). I nodi vengono considerati in genere nodi incastro, cioè tali da non consentire alcuna rotazione relativa fra le estremità delle aste che vi convergono, ma possono anche essere ipotizzati come cerniere perfette (in particolare per le strutture metalliche) e più raramente come cerniere elastiche, ossia tali da permettere rotazioni relative di tipo elastico. In quest’ultimo caso il nodo può essere schematizzato come una cerniera perfetta con l’aggiunta di molle angolari, ciascuna con propria rigidezza kγ , fra le varie aste (fig. 1.1b).

Fig. 1.1 - Connessioni elastiche

Nel merito delle sconnessioni che possono interessare un’asta, non appare superfluo ricordare che esse possono essere semplici:


12 La risoluzione dei telai piani

oppure doppie:

oppure triple:

dove con γr , δr , ηr si sono indicati gli spostamenti relativi (rotazione e traslazioni) dei due tronchi dell’asta in corrispondenza della sconnessione.

1.2. Carichi e spostamenti

La generica condizione di carico [C] su un telaio è costituita dall’insieme di più azioni agenti sulle aste (forze e coppie distribuite o concentrate) e sui nodi (forze e coppie di nodo). Oltre a tali carichi possono però essere presenti anche altre azioni, quali variazioni termiche, uniformi o variabili linearmente nello spessore delle aste interessate, nonché cedimenti anelastici di vincolo. Nel merito delle variazioni termiche variabili linearmente dal valore ΔT1 al valore ΔT2, è conveniente che


Preliminari cap 1 13

vengano trasformate nella somma di una variazione costante pari a 2

' 21 TTT

ed una variazione cosiddetta “a farfalla” 2

" 21TT

T

.

Per effetto della condizione di carico [C] si determina nel telaio un sistema di spostamenti {s} (traslazioni e rotazioni), fra i quali particolarmente importanti sono quelli {u} dei nodi: attraverso la loro conoscenza, nell’ipotesi di comportamento lineare della struttura (elasticità lineare del materiale costituente e regime di piccoli spostamenti, ossia spostamenti trascurabili rispetto alla lunghezza delle aste), che consente l’utilizzazione del principio di sovrapposizione degli effetti (forze o spostamenti), è infatti possibile pervenire sia alle sollecitazioni che allo stato de formativo di tutte le aste componenti il telaio stesso. In termini generali, in relazione agli spostamenti possibili, i telai piani si distinguono in:

telai a nodi fissi, se i nodi possono subire esclusivamente delle rotazioni; telai a nodi spostabili, se i nodi, oltreché rotazioni, possono subire anche delle

traslazioni.

A tal riguardo, un nodo si definisce “isso se risulta collegato, tramite due aste inestensibili e non allineate, a due punti del telaio (sezioni, nodi, vincoli) certamente fissi.

1.3. Rigidezze e deformabilità delle aste

La determinazione delle sollecitazioni di una generica asta, di cui si conoscono la condizione di carico e gli spostamenti delle estremità, è possibile mediante l’uso delle sue rigidezze W, oppure delle corrispondenti deformabilità Φ = 1/W, cioè di quelle caratteristiche fisico-meccaniche che ne caratterizzano la risposta strutturale, relazionando le forze con gli spostamenti. Data un’asta deformabile flessionalmente ed assialmente, libera nel piano, le cui estremità possiedono quindi ciascuna 3 gradi di libertà, ossia 3 possibilità di spostamento, definiamo rigidezza propria relativa a ciascuno di tali spostamenti quella forza o quella coppia che determina lo spostamento stesso di valore unitario quando tutti gli altri sono impediti. A seconda che la rigidezza in questione sia una coppia, una forza ortogonale all’asta, oppure una forza assiale, si parlerà rispettivamente di rigidezze flessionali, rigidezze tangenziali e rigidezze estensionali; le rigidezze flessionali e quelle tangenziali, inoltre, si definiscono più propriamente flessionali alla rotazione e flessionali alla traslazione, nonché tangenziali alla rotazione e tangenziali alla traslazione a seconda che lo spostamento ad essere correlato sia rispettivamente una rotazione od una traslazione. Allorquando nell’asta in questione allo spostamento unitario imposto si accompagnano anche altri spostamenti delle estremità, del tutto liberi oppure elasticamente contrastati, le rigidezze si definiscono rispettivamente improprie e reali (fig. 1.2).



Fig. 1.2 - Rigidezze proprie, improprie e reali

Nell’ambito di tutte tali fattispecie, in modo duale rispetto alle rigidezze W, che sono forze in grado di produrre spostamenti unitari, le deformabilità Φ rappresentano spostamenti prodotti da forze unitarie. Gli schemi che seguono individuano, per elementi a sezione costante e trascurando il contributo deformativo del taglio, sia le più comuni rigidezze proprie ed improprie di aste monolitiche e con vincoli perfetti, che varie rigidezze relative ad aste con sconnessioni e con vincoli elastici. In tali schemi si sono indicate con W1 [F·L] le rigidezze flessionali alla rotazione, con W2 [F] le rigidezze flessionali alla traslazione, con W3 [F] quelle tangenziali alla rotazione e con W4 [F·L-1] quelle tangenziali alla traslazione. In ossequio al teorema di Maxwell, in ogni schema risulta W2=W3.


Preliminari cap 1 15


0

0chetale90valoreunesiste)destra verso(1 n. telaiovedi90

cos

BCBC

CDCDBA

F

NsenTTF

TELAIO n. 2.43 81

B – Diagrammi qualitativi del momento flettente e deformate elastiche

Osservazioni

lo spostamento orizzontale δBC è ortogonale alla direzione del carico agente (effetti secondari);

il diagramma del momento flettente non è difforme da quello a spostamento impedito (schema A).

A – Schema strutturale – Spostamenti nodali e di piano


TELAIO n. 2.44 82

A – Schemi strutturali – Spostamenti nodali e di piano



TELAIO n. 2.45 83




TELAIO n. 2.46 84




TELAIO n. 2.47 85


B – Diagramma qualitativo del momento flettente e deformata elastica

Osservazioni

lo spostamento orizzontale δBC è ortogonale alla direzione del carico agente (effetti secondari);

sull’asta EC il momento non si intreccia per la presenza del carico sull’asta BC.


TELAIO n. 2.48 86



Osservazioni

il cedimento anelastico ηD costituisce la condizione di carico;

il modello è emisimmetrico e può essere studiato sovrapponendo gli schemi A e B;

la deformata si ottiene traslando verticalmente la deformata dello schema B.


TELAIO n. 3.09 186

0

0

0

0

4

3

2

1

F

F

F

F

F

34

23

22

1

12

6

6

0

l

EJF

l

EJF

l

EJF

F

F

0

0

0

0

4

3

2

1

F

F

F

F

F

0

0

2

6

4

3

2

21

F

F

h

EJF

h

EJF

F


TELAIO n. 3.10 187

A – Schema strutturale e sistema di coordinate indipendenti

B – Costruzione della matrice delle rigidezze [K]

cos66

cos66

0

0

1212cos

12cos

12

2251

2241

31

21

23

233311

l

EJtg

h

EJk

l

EJtg

h

EJk

k

k

tgh

EJtg

h

EJ

l

EJ

l

EJk

252

242

32

3322

12

6

6

0

1212

0

h

EJk

h

EJk

kh

EJ

h

EJk

k


TELAIO n. 3.10 188

cos2

cos2

cos4

cos4

0

0

53

43

33

23

13

l

EJk

l

EJk

l

EJ

l

EJk

k

k

0

cos44

cos2

6

cos66

54

44

34

224

2214

kl

EJ

h

EJk

l

EJk

h

EJk

l

EJtg

h

EJk

cos44

0

cos2

6

6cos

6

55

45

35

225

2215

l

EJ

h

EJk

kl

EJk

h

EJk

tgh

EJ

l

EJk


TELAIO n. 3.10 189

CONDIZIONE DI CARICO SIMMETRICA

B.1 – Costruzione della matrice delle rigidezze [K]

A.1 – Schema ridotto e sistema di coordinate indipendenti

senl

EJ

h

EJk

senl

EJ

h

EJk

1cos

66

1cos

1212

22221

23

3311

l

EJ

h

EJk

senl

EJ

h

EJk

44

1cos

66

22

22212

'' 11

h

luu

h

u

l

uS

S


Calcolo delle sollecitazioni cap 3 291

Fig. 3.13 - Telaio bipiano a nodi spostabili: metodo di Cross generalizzato

Si pone quindi la già vista equivalenza con gli schemi 1 e 2, e dopo aver calcolato le forze 1X e 2X che vietano gli spostamenti 1 e 2 , si trasforma lo schema 2

attraverso gli schemi )1(2 e )2(2 , anch’essi entrambi a nodi fissi essendo gli spostamenti rispettivamente 11 , 02 nel primo modello e 01 , 12 nel

secondo. Al pari di 1X e 2X le forze )1(iX e )2(

iX si ricavano con semplici equazioni

di equilibrio alla traslazione dei traversi.

L’equivalenza dello schema 2 con la somma degli schemi )1(1 2 e )2(

2 2 consente

di scrivere il sistema



2)2(

22)1(

21

1)2(

12)1(

11

XXX

XXX

dal quale si ricavano gli spostamenti incogniti 1 e 2 , e si possono ottenere infine le

sollecitazioni S dello schema in esame tramite la sommatoria )2(

22)1(

21121 SSSSSS .

Nel caso più generale di n piani, con ovvio significato dei simboli, si ha evidentemente

n

iiSSSSS )(

2121 ,

ove gli n spostamenti i si ricavano dal sistema di n equazioni

n

jij

iiii XXX )()( (con ij ).

Appare peraltro evidente come l’anzidetta metodica generalizzata, rimettendo in gioco la sovrapposizione di più modelli e la risoluzione di un sistema di equazioni, perde il peculiare pregio di automaticità meccanica del procedimento a nodi fissi, diventando non pratico già per un numero di spostamenti i maggiore di due. In tal

caso potrebbe però risultare ancora utile, per quanto laborioso, l’utilizzo di altri metodi classici di risoluzione (Kani, Grinter, ecc.), anch’essi basati solo su operazioni di tipo automatico.

3.9. Procedimento approssimato per telai soggetti a forze di piano

In presenza di strutture intelaiate multipiano (n piani) e multi campata (m pilastri) cimentate esclusivamente da forze orizzontali di piano Fi (fig. 3.14), che com’è noto rappresenta il modello utilizzato per l’analisi statica equivalente su strutture soggette a sisma, è possibile valutare le sollecitazioni ove siano note le rigidezze reali alla traslazione kp dei singoli pilastri di ciascuna tesa.



Fig. 3.14

Nel merito, se le travi di piano fossero infinitamente rigide rispetto ai ritti, tali cioè da impedirne le rotazioni γ delle sezioni di estremità, le rigidezze in questione varrebbero kp=12EJp/h

3 e per ogni ritto la condizione statico-deformativa (spostamento δ, forza agente Fp, coppie di estremità M1 ed M2) sarebbe quella illustrata in fig. 3.15,



Fig. 3.15

ma poiché nella realtà esse sono deformabili e consentono quindi rotazioni γ non nulle, ogni ritto può essere schematizzato come in fig. 3.16, ove le rigidezze kp sono state ricavate con la consueta metodica della sovrapposizione degli effetti già illustrata a pag. 26.



Fig. 3.16



A loro volta le rigidezze di vincolo k1 e k2, che rappresentano la rigidezza flessionale complessiva delle travi che concorrono rispettivamente al piede e alla sommità di ciascun pilastro, nell’ipotesi di telaio geometricamente regolare e per gli usuali rapporti geometrici ed inerziali tra le aste, con ottima approssimazione possono essere determinate considerando che:

1. per ogni generica campata interna, flessionalmente in condizioni disostanziale emisimmetria, si può porre (fig. 3.17).

Fig. 3.17

e quindi:

prime tese → 3

; sup2211

t

t,dsds l

EJkkkk

tese intermedie → 3

; 3

sup,22

inf,11

t

tds

t

tds

l

EJkk

l

EJkk

ultime tese → 6

; 3

sup,22

inf,11

t

tds

t

tds l

EJkk

l

EJkk

2. per ogni generica campata di bordo sinistro (a) o destro (b), si può porre(fig. 3.18):



Fig. 3.18

e quindi:

prime tese → (a) t

td

t

ts

ds

l

EJk

l

EJk

kk

sup,2

sup,2

11

75.3 ; 5.2

;

(b) t

td

t

ts

ds

l

EJk

l

EJk

kk

sup,2

sup,2

11

5.2 ; 75.3

;



tese intermedie → (a)

t

td

t

ts

t

td

t

ts

l

EJk

l

EJk

l

EJk

l

EJ.k

,sup2

,sup2

,inf1

,inf1

75.3 ; 5.2

75.3 ; 52

(b)

t

td

t

ts

t

td

t

ts

l

EJk

l

EJk

l

EJk

l

EJk

,sup2

,sup2

,inf1

,inf1

5.2 ; 75.3

5.2 ; 75.3

ultime tese → (a)

t

td

t

ts

t

td

t

ts

l

EJk

l

EJk

l

EJk

l

EJ.k

,sup2

,sup2

,inf1

,inf1

5.7 ; 5

75.3 ; 52

(b)

t

td

t

ts

t

td

t

ts

l

EJk

l

EJk

l

EJk

l

EJk

,sup2

,sup2

,inf1

,inf1

5 ; 5.7

5.2 ; 75.3

per cui, in definitiva, per ogni pilastro dette rigidezze k1=k1s+k1d (al piede) e k2=k2s+k2d (in sommità) potranno essere assunte come rappresentato nella fig. 3.19.



Fig. 3.19

In conseguenza i momenti flettenti M1 (in testa) e M2 (al piede) di ogni singolo pilastro si ottengono tramite le relazioni riportate in fig. 3.16, ed i momenti flettenti alle estremità delle travi a loro volta possono essere stimati tenendo conto dell’equilibrio del nodo e delle rigidezze W delle travi che vi convergono; lo sforzo


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