La radiazione di corpo neroovvero:l’ingresso nel mondo quantistico

breve storia dello sviluppo del

modello teorico

energia, intensità,irraggiamento, radianza …

)( RTH

)()( RCC THT

)( CC TR

C

)()()( CCRCC TRTHTA

Q

RCCCCCC TTTRTHT ),()()(

Indipendenza dal materiale: corpo nero (ideale)) ( ) ( ) ( ) ( , 1R B R R B B BT R T H T H T

)] ( ) ( )[ (

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

C B R B C C

C B C C R B C C C C R C C

T R T R T

T R T T R T T R T H TA

Q

) ( ) ( / ) (T R T T RB C C

(Kirchoff)

flusso termico per irraggiamento

flusso termico

equilibrio termico

Potere emissivo R e coefficiente di assorbimento a

?)(TRB

il corpo nero

indipendenza dal materialedel potere emissivo ed assorbente.

radianza per unità di frequenza.

densità di energia/radianza:

leggi di Wien e di Stefan-Boltzmann.

TfTu /),( 3 4)()( TTHTRB

dTuc

Tuc

TRB ),(4

)(4

)(

][)( 44CRCC TTT

A

Q

radianza del corpo nero e pressione di radiazionepressione di radiazione:

forza media per unità di area esercitata dal campo con densità u

dW

cos4

cdtud

Hquantità di moto (densità u/c) trasferita nell’urto speculare (per unità di area e tempo)

coscos4

2

cdtc

ud

quantità di moto totale trasferita nell’urto speculare

2/

0

22

0

3/sincos2

coscos4

2/

udtddudt

cdtc

udareaqdm

dtpareadtFareaqdm rad // 3/uprad

radianza del corpo nero e termodinamica classica

TdSdVpdWQ rad dT

dT

duVdVTudWVTuW )(,)(

dTdT

duVdVTuTdS )(

3

4

dT

du

T

V

T

Su

TV

S

,3

41

dT

du

TdT

du

Tu

TVT

S 1

3

41

3

412

2

)(4

TuTdT

du 44 )(,)( TTHTTu

legge di Wien Stefan-Boltzmanne legge dello spostamentolegge di Wien dallo studio dell’effetto Doppler sulla radiazione incidente alle pareti

4343 /)()( TdxxfxTdTfdHTH

d

T

cf

v

d

T

vfd

T

vfdHdH

4

43)()(

d

v

d

T

cf

c

T

cfH

5

44 1

)(

d

Tcdf

T

c

T

cf

c

d

dH )/(5

)(0

6

4

0)(5)(' xfxxf

soluzione (se esiste) in x=x0=c/lT, ovvero lT=cost=cW.

K m2898,K W/m1067.5 W428 c-

quale funzione f (v/T) ?Modello “storico” di Planck per il corpo irraggiante: OSCILLATORE ARMONICO (carico)

Potenza emessaPotenza assorbita dal campo di radiazione uv

Emc

eP 2

3

2

3

2

)(3

2

um

eW

EW all’equilibrio:

Ec

HEc

u2

2

3

2 2)(,

8)(

per calcolare la densità di radiazione bisogna conoscere l’energia media degli oscillatori

quale energia media per gli oscillatori?

equipartizione classica dell’energia: kBT per grado quadratico di libertà nell’hamiltoniano:

TkE B

calcolo statistico classico secondo Maxwell-Boltzmann: energia e con probabilità exp( e /kBT ) all’equilibrio termico

Tkd

d

d

dTk

dTk

E B

B

B

0

0

0 1expln

/exp

/exp

legge di Rayleigh-Jeans

che catastrofe (ultravioletta) !

Tkc

RHTkc

u BB 2

2

3

2 2,

8

Hlim dHH

la proposta di Planckgli oscillatori possono scambiare solamente quantità di energia multiple intere di un “grano” e0:

e = 0, e0, 2e0, 3e0, … , ne0, …

La probabilità di eccitazione di un modo di frequenza elevata tende a zero!

nuovo calcolo dell’energia media degli oscillatori in termini non più di integrali ma di somme discrete:

1expexpln

exp

exp

0

00 0

0 0

0 00

n

n

n nd

d

n

nnE

TfTkc

vTH

B

/1/exp

2, 3

0

02

2

se h 00 o

1/exp

12,

2

3

Tkhc

hvTR

B

la curva di Planck(e le sue approssimazioni)

Tk

chRTk

c

hvvRTkh

BBvB 4

22

2

3 2;

21/

Rayleigh-

Jeans

TkhcTkhvvB

BB ehc

Rec

hvvRTkh

/

3/

2

3 2;

21/ Wien

4432

45

0

3

32

44

/

3

2

15

2

1

2

1

2

)(

TThc

k

e

dxx

hc

Tk

e

d

c

h

dRTR

B

xB

Tkh B

i problemi del modello

Inadeguatezza (a posteriori) del modello di Planck: è semi-classico e non tratta correttamente gli oscillatori armonici ed gli scambi associati di energia con la radiazione della cavità.

La radiazione in equilibrio termico va descritta in termini di un “gas” di fotoni secondo la statistica bosonica (Bose-Einstein) per particelle indistinguibili di spin intero e puramente quantistiche.

densità di energia e radianza a partire da:

energia della particella x densità degli stati x probabilità di occupazione

Il tutto rispettoso del principio di indeterminazione di Heisenberg

il modello di Einstein

)()(2

vfV

vghvu BE

energia dell’oscillatore

densità degli stati di energia(inclusi i due modi di polarizzazione)

probabilità di occupazione

la densità quantistica dei livelliSi risolve il problema dello spettro di energia in una buca tridimensionale a pareti infinite di potenziale con l’equazione di Schroedinger:

22

22222

2

22

2)(

2),,( n

mLnnn

mLnnnEE zyxzyx

Numero di livelli e loro densità in funzione dell’energia:

2/3

33 2

3

4

3

4

8

1)( mE

h

VnEN

2/13

38

2)( Em

h

V

dE

dNEg

In termini di quantità di moto e di frequenza di De Broglie:

23

4)()( p

h

V

dp

dEEgpg

2

3

4)()(

c

V

dv

dppgg

la probabilità di occupazionenumero di modi possibili di occupare livelli energetici (degeneri) Ei da parte di un numero non fisso di particelle identiche ed indistinguibili:

!1!

!1

ii

ii

i gn

gnW

Partizionamento in gruppi di ni particelle nei livelli con degenerazione gi

Si massimizza W per trovare la partizione più probabile

1 iE

ii e

gn

I parametri a e b sono legati ai dettagli della distribuzione. In particolare a=0 per il gas di fotoni e b=1/kBT.

Nel limite di densità elevata di livelli si passa al limite continuo e si ottiene la distribuzione di probabilità di Bose-Einstein:

1

1)(),()(

1

)(//

TkEBEBETkE BB eEfEfdEEg

e

dEEgdn

(ancora) la legge di Planck

1

18

1

18

)()(2

/3

3

/3

2

Tkhv

Tkhv

BE

B

B

ec

hv

ec

vhv

vfV

vghvu

1

12

4

/2

3

Tkhv Bec

hv

uc

R

Riferimenti Bibliografici

Born – Fisica AtomicaAlonso, Finn – Fundamental University

Physics, Vol.3Zemanski – TermodinamicaMatthews – Introduzione alla meccanica

quantisticaMateriale selezionato da Hyperphysics (

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/HFrame.html)