La probabilità e i suoi approcci. Quale punto di vista per l’insegnante?

Prof. Stefano Bonaccorsi

17 Aprile 2014

Alcuni esempi

• Probabilità di ottenere 6 lanciando un dado

(e quella di trovare positivo al test antidoping un atleta

“pulito")

• Probabilità di avere gruppo sanguigno Rh positivo

• Probabilità che la ragazza-bionda del terzo banco esca

con me

Alcuni esempi

• Probabilità di aver contratto l’ AIDS

• Probabilità di default per l’emettitore di un titolo di

debito

• Probabilità di trovare vita intelligente nell’universo

(formula di Drake)

• Probabilità di sopravvivere ad un trapianto di rene

Alcuni esempi

Cosa hanno in comune queste domande?

Facciamo il punto

La parola “probabilità” e il fatto che ho un problema da affrontare

Cos’è la probabilità?

La probabilità, operativamente, è uno strumento matematico utilizzato nel modello.

Problema modello(spazio di probabilità, classe degli eventi, misura di probabilità)

(Possibili esiti, asserzioni, giudizio di probabilità)

Modello

“(…) le scienze non cercano di spiegare, a mala pena tentano di interpretare, ma fanno soprattutto dei modelli. Per modello si intende un costrutto matematico che, con l’aggiunta di certe interpretazioni verbali, descrive dei fenomeni osservati.

John von Neumann

Modello

La giustificazione di un costrutto matematico del genere è soltanto e precisamente che ci si aspetta che funzioni – cioè descriva correttamente i fenomeni di un’area ragionevolmente ampia. Inoltre, esso deve soddisfare certi criteri estetici – cioè in relazione con la quantità di descrizione che fornisce, deve essere piuttosto semplice.”

Definizioni di probabilità?

Si interpreta erroneamente come definizione di probabilità la nostra scelta del giudizio nel problema che stiamo affrontando

(confondere la definizione con il metodo che si usa)

Ripensiamo agli esempi elencati in precedenza:In alcuni casi giudico usando l’approccio (o costruzione) frequentista, in altri conto i casi favorevoli sui casi totali…

Dipende solo dall’evento?

Il mio giudizio di probabilità cambia a seconda delle informazioni di cui dispongo sull’ esperimento

Intolleranza al lattosioQual è la probabilità che una persona scelta a caso sia intollerante al lattosio?Come varia il vostro giudizio in relazione, ad esempio, alla provenienza della persona?

Link ai dati

Dipende solo dall’evento?

Condizionamento e informazioneCreo un mazzo da 20 carte (estraendole da un mazzo da 40). Qual è la probabilità che pescando una carta, questa sia rossa?

Approccio soggettivista:

“l’interpretazione soggettiva (De Finetti) è una tra le più oneste perché non cerca di ricondurre ad altri principi la definizione di probabilità, ma con franchezza dice che “ne siamo convinti” sfruttando tutte le informazioni in nostro possesso” (Furio Honsell)

gioco di De Finetti: riduzione ad una urna equivalente

Qualche nota sui tre approcci

Approccio frequentista:

Esiti: 53 T, 47 C…

…quale valore di probabilità per T?Perché diciamo che la moneta è equilibrata e scegliamo p = ½?

perché è un numero “semplice”?perché mi riferisco alla mia idea intuitiva di probabilità per una moneta?

Qualche nota sui tre approcci

Lanci di una moneta

Qualche nota sui tre approcci

• Ma siamo proprio sicuri del 50% (1/2)?

link

Qualche nota sui tre approcci

• Comunque tutti sono d’accordo su ½, 1/6, ecc…. • Cosa pensiamo se invece otteniamo 31 teste su 100 lanci?

(monete truccate) (se i casi possibili sono equiprobabili, allora siamo di fronte al manifestarsi di un evento raro; oppure, per interpretare tale differenza si sarà propensi a escludere l’ipotesi della equipossibilità dei casi: in tal caso, si tratta del manifestarsi di un evento altamente probabile nell’ambito di un esperimento in cui i possibili esiti non sono equiprobabili)

Test di ipotesi : prove ripetute per rifiutare le ipotesi

Qualche nota sui tre approcci

Su cosa si basa? Su una applicazione della Legge dei Grandi Numeri. Ma la LGN si dimostra dentro la teoria delle probabilità: si tratta di un argomento circolare.

La “definizione”Approccio frequentista

In una serie di prove ripetute un gran numero di volte nelle stesse condizioni, ciascuno degli eventi possibili si manifesta con una frequenza relativa che è presso a poco eguale alla sua probabilità. L’approssimazione cresce ordinariamente col crescere del numero delle prove

Qualche nota sui tre approcciL’approccio classico.

Probabilità di un evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli all’evento ed il numero di casi totali, se questi ultimi sono egualmente possibili. [Laplace]

Cosa vuol dire che i casi sono “egualmente possibili”?

Ancora sulla scelta del modello

probabilità zero ?

–cigno nero –bond argentini

Attenzioni: •Interpretare la serie storica•Non considerare solo pochi fattori

Libri di testo

qual è la situazione?Definizione (?!?) di evento

Definizione (?!?) classica?

Definizione (?!?) frequentista

Definizione (?!?) soggettiva

Teorema di Bayes

Teorema(?!?) della differenza

Simulazioni con excel: numeri casuali?

Interpretazione di test medici

• "Lei è sieropositivo" ma era falso

• (Germania) ad un gruppo di medici è stato chiesto di stimare la probabilità che una donna asintomatica (40-

50 anni) positiva a una mammografia, avesse davvero il cancro sapendo l’incidenza, i falsi negativi, ecc. Un terzo dei medici è giunto alla conclusione (errata) che la probabilità fosse intorno al 90%. La probabilità corretta è invece il 9% (link)

Diciamo qualcosa sul mondo…

• “Dove sono finiti tutti quanti?” (E. Fermi)

• Chi è il padre?

• I filtri antispam

… ma attenti all’uso corretto dei dati

•Uomini che picchiano le donne

Bibliografia per studenti

•“Numeri assassini” di Mariano Tomatis, Edizioni Kowalski

•“Chance. Dai giochi d’azzardo, agli affari (di cuore)”, Amir Aczell, Edizioni Raffaello Cortina

•“Il matematico e il detective”, K. Devlin e G. Lorden, ed. Longanesi (capitolo 6,7, 12)

Bibliografia per studenti•“La passeggiata dell’ubriaco”, Leonard Mlodinow, Edizioni Rizzoli

•“Le regole del caso istruzioni per l’uso”, Jeffrey S. Rosenthal, Edizioni Longanesi

•“La Matematica dell’incertezza”, Carla Rossi, Zanichelli

•“Giocati dal caso”, N. Taleb, Il Saggiatore tascabile