LA PARABOLA

Tessarin Francesca&

Sala Cristina

La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto

fisso detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice.

Equazioni tipiche:

• y= ax²+bx+c• y= ax²+bx• y= ax²+c

Se a=0 → y= bx+c, diventa quindi una retta.

Se a>0 la parabola è concava verso l’alto

Se a<0 la parabola è concava verso il basso

Formule

• Vertice:

• Fuoco:

• Eq. direttrice:

• Asse di simmetria:

aa

b

4;

2

aa

b

4

1;

2

ay

4

1

a

bx

2

Esempio di applicazione della definizione

Determinare l’equazione della parabola avente fuoco nel punto F (2;3) e per direttrice la retta d: y=1

P (x;y) H (x;1) →

34

1

129644

132

2

222

22

xxy

yyyyxx

y)(y)(x

PHPF

Equazione di una parabola conoscendo il vertice e un punto

2)( vv xxayy

Esempio:

A(-1;16) V(4;-9)

Sostituisco le coordinate per trovare a

1

2525

)4(9 2

a

a

xay

Sostituisco a all’equazione di partenza...

... ottenendo così l’equazione

9168

)4(92

2

xxy

xy

782 xxy

Equazione di una parabola conoscendo tre punti

A(0;-1) B(-2;-3) C(-4;-1)

Sostituisco le coordinate all’equazione generale e

lego tutto a sistema.

1416

324

1

cba

cba

c

Si risolve il sistema e così otteniamo l’equazione della parabola:

122

1 2 xxy

Tangente della parabola in suo punto

)( 00 xxmyy

baxm 02

Esempio:

)( 00 xxmyy

122 xxy

91222

22

0

0

y

x

Ho sostituito la x che è 2 all’equazione della parabola.

P(2;9) Sostituisco le coordinate alla formula della tangente

)2(9 xmy Calcolo m usando la formula:

baxm 02

m= 2•1•2+2=6

Sostituisco m all’equazione di partenza, trovando così l’equazione della retta

tangente.

1269

)2(69

xy

xy

36 xy

Tangenti ad una parabola mandati da un punto esterno

xxy 62

xxy

xmy

6

)5(62

)( 00 xxmyy

P(-5;-6) → Punto esterno alla parabola

065)6(

0656

656

2

2

2

mmxx

mmxxx

mmxxx

b c

∆=0

2

6

0128

024201236

0)65(4)6(

2

1

2

2

2

m

m

mm

mmm

mm

)5(661 xyt3066 xy

366 xy

Sostituisco m1 e m2 all’equazione di partenza, ottenendo così le equazioni delle due tangenti.

)5(262 xyt1026 xy

162 xy

Parabola noti il fuoco e la direttrice

• Considero un punto P di coordinate x e y appartenenti alla parabola;

• considero un punto H di coordinate x e d appartenente alla direttrice;

• imposto l’equazione PF=PH, dove F rappresenta il fuoco della parabola;

• risolvendo l’equazione sopra riportata ricavo la parabola richiesta.

N.B. Tenere conto dei tre casi di distanza tra

due punti: • 1° caso: ascisse e ordinate diverse:

• 2° caso: ascisse uguali:

• 3° caso: ordinate uguali:

212

212 )()( yyxx

12 yy

12 xx

Equazione della parabola noti vertice e un punto

• Determino l’equazione del fascio di parabole aventi il vertice assegnato con la formula:

;• sostituisco alla x e alla y le coordinate del punto

per il quale passa la parabola, assegnato dal testo;

• ricavo a;• sostituisco il valore di a ottenuto nella formula,

e dopo opportuni calcoli, ricavo l’equazione della parabola richiesta.

2)( vv xxayy

Parabola passante per tre punti

• Scrivo l’equazione generale della parabola: ;• sostituisco alla x e alla y dell’equazione

generale le coordinate del primo punto, del secondo punto, del terzo punto;

• risolvo il sistema trovando così le incognite a,b,c;

• sostituisco le incognite trovate all’equazione generale, trovando così l’equazione della parabola.

cbxaxy 2

Rappresentare graficamente la parabola

• Determino le coordinate del vertice

;• analizzo la concavità della parabola per capire

se taglia l’asse delle x;• determino l’intersezione con l’asse x o con

un’opportuna retta parallela all’asse x legando al sistema la parabola con y=0 (asse x) o y=k (retta parallela all’asse x);

• rappresenta la parabola passante per i punti di intersezione con gli assi ed avente vertice nel punto trovato.

aa

b

4;

2

Ricavare la tangente ad una parabola in un suo punto

• I dati a disposizione sono: l’equazione della parabola e l’ascissa del punto di tangenza;

• determino, per prima cosa, l’ordinata del punto di tangenza sostituendo alla x di equazione della parabola il valore assegnato;

• per ricavare l’equazione della tangente sostituisco x0 e y0 dell’equazione con l’ascissa e l’ordinata del punto trovato e m la ricavo con la formula .

)( 00 xxmyy

baxm 02

Ricavare le tangenti ad una parabola da un punto esterno

• I dati disponibili sono: l’equazione della parabola e le coordinate di un punto;

• nell’equazione della retta passante per un punto sostituisco a x0 e y0 le coordinate del punto;

• lego a sistema l’equazione della retta passante per un punto con l’equazione della parabola;

• risolvo il sistema con il metodo della sostituzione;

• pongo il ∆=0, e due valori che trovo sono m1 e m2 ;

)( 00 xxmyy

• sostituisco m1 nell’equazione della retta passante per un punto che avevo legato al sistema e trovo l’equazione della tangente;

• eseguo lo stesso procedimento sostituendo m2 all’equazione e trovo la seconda equazione della tangente.