La matematica: parole, immagini, simboli · 2015-01-19 · 15 luglio 2014 Raffaella Manara 4 4...

15 luglio 2014 Raffaella Manara

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La matematica:

parole,

immagini,

simboli Napoli

Summer School 2014


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Concetti e parole

“La ragione è l’organo per rapportarsi alla realtà in generale. Il suo rapporto con la realtà è costituito dal linguaggio, perché è attraverso la lingua che l’esperienza si articola, e attraverso la composizionalità del linguaggio l’essere umano rappresenta stati di cose.”

Le parole, intimamente legate ai concetti, forniscono la rete delle categorie con cui interroghiamo la realtà.

Esse non sono semplici “etichette”.


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Iniziamo sorridendo…


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“L’imporre dei nomi è il primo passo verso la presa di

coscienza. L’aritmetica incomincia come un linguaggio,

con l’atto di contare, che diventa poi, alla fine, contare

qualche cosa. E’ un linguaggio algoritmico, che produce il

primo algoritmo, un automatismo che produce la

successione dei numeri. Nell’aritmetica le cose vanno

così: ogni idea viene immediatamente verbalizzata, nel

momento in cui nasce, ed esiste come un vocabolo

nuovo.

La verbalizzazione spinge avanti l’astrazione.”

H. Freudenthal


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Le parole della matematica

Nella scienza e in matematica, per intendersi

si usa il linguaggio comune, ma per parlare

degli oggetti che si conoscono dal punto di

vista della matematica, si usano parole

speciali: si generano parole.

A. Gorini


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La funzione della lingua

“Più si fa parlare, più si fa guardare; la qualità del nostro sguardo dipende dalla qualità della nostra sintassi.

Bisogna dare un nome

a quel che si vede

per poterlo vedere.” A. Finkielkraut


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Parole e concetti

Il lessico della matematica comprende

• Nomi di oggetti

• Nomi di operazioni e relazioni

• Nomi per le caratteristiche

• Nomi per i nessi logici

e nel generare le parole può avvenire che si usino

- nomi “vecchi” per oggetti nuovi

- nomi nuovi per oggetti “vecchi”

- nomi nuovi per oggetti nuovi


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Parole e concetti

La forza delle parole nella matematica:

il nome non è solo un’etichetta, non è convenzionale e perciò mutabile, sostituibile.

Esso è l’accesso al concetto: quando si adotta un nome, la scelta esprime una sintesi del percorso di esperienza che ha portato al concetto

Le parole vivono e maturano insieme ai concetti che designano


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Alcune parole

La parola somma

In aritmetica:

Entra con i numeri naturali (in cui l’addizione è legata all’idea originaria di unione di insiemi e necessariamente all’intuizione di un accrescimento)

• Poi si passa alle frazioni (uguale significato, diversa complessità algoritmica )

• … ai numeri relativi: adesso la somma algebrica può anche far diminuire!


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La parola somma in algebra

Cosa significano le scritture:

n + 1

a + b

a2 + b2

fino a

f(x) + g(x) ?


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La parola somma in geometria

a) dapprima introduciamo

la somma tra segmenti

sulla stessa retta

Qui non ci sono dubbi che la “somma” sia il segmento “unione” dei due, che ha lunghezza somma delle due: ciò è associato all’esperienza con i numeri (li presentiamo anche come “passi” o “salti” sulla retta).


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b) Se i segmenti non sono sulla

stessa retta, però…

Le cose si complicano!


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c) Una nuova “somma”: sommiamo

due spostamenti (vettori)

Anche se sono

segmenti (orientati),

per sommarli

non si mettono più

“uno dopo l’altro”


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d) “Sommiamo” figure…

Cosa significa

sommare due figure?

Devo stabilire come si

fa, e si ritorna

al significato

insiemistico


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La parola “equivalente”

• In aritmetica:

frazioni equivalenti le equivalenze nelle misure

In questo contesto, alla parola “equivalente” si accompagna la

scrittura con il segno “=”:

diciamo che 4/6 è equivalente a 2/3 ,

ma scriviamo 4/6 = 2/3

o, anche, 0,01 = 1/100

• In algebra: equazioni equivalenti

2x = 1 è equivalente a 4x = 2 ma anche a 4x = 2 perché hanno le stesse soluzioni.


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• In geometria:

figure equivalenti in riferimento all’estensione e quindi ad avere uguale area

• equivalenza logica : la doppia negazione afferma

Potremmo dire che la parola “equivalente” si associa all’idea di

“avere lo stesso effetto” , quindi di sostituibilità

Infatti, il concetto più generale che coinvolge la parola “equivalente” è quello di

relazione di equivalenza


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Alcune parole della geometria

• Poligono

È un termine che nasce nella disciplina e ne ha un

uso pressoché solo interno

• Alto, altezza

Invece questo è un termine del linguaggio comune, con diversi significati anche metaforici (non mi sento all’altezza).

Il significato in matematica ha origine dall’esperienza comune, secondo un preciso riferimento spaziale, ma si specifica secondo una relazione indipendente dall’orientamento orizzontale e verticale.

A. Gorini


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Il termine distanza

Si associa a un concetto geometrico ricco e

continuamente in espansione nella

conoscenza matematica. Vediamo come.

Cominciamo dalla definizione euclidea:

“distanza tra due punti A e B è il segmento o

la misura del segmento - a seconda dei

contesti - che li congiunge”.


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Nel concetto euclideo di distanza tra due punti (nel

piano o nello spazio) sono “incorporati” due aspetti:

- l’unicità: il segmento che congiunge due punti è

unico,

mentre i possibili percorsi tra di essi sono infiniti

- il principio di minimo: il segmento che congiunge

due punti è la linea di minore lunghezza rispetto a

qualunque spezzata (qualunque “deviazione”) e a

qualunque arco di curva.

Questo è garantito dalla

disuguaglianza triangolare

A

B


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Per analogia…

Conserviamo tali

caratteristiche ogni volta che

nella geometria euclidea

introduciamo una nuova

“distanza”:

• Punto - retta

• Punto – piano


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• Retta – retta (parallele)

• Piano – piano (paralleli)

• Punto –

circonferenza


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La distanza euclidea

corrisponde ad assumere l’idea di

“distanza in linea d’aria”.

Si tratta di un concetto astratto, che non

tiene conto, per esempio, di eventuali

ostacoli o vincoli né della eventuale

curvatura della superficie.


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Abbiamo mantenuto il requisito di minimo, ma non l’unicità.

Distanza “del tassista”


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Generalizzando

Mettiamoci sulla superficie di una sfera, cioè in

un “piano” non euclideo.

A

B

Qui definiamo “distanza” tra

due punti A e B un arco di

cerchio massimo passante

per i due punti.

Così sono mantenute le

caratteristiche di unicità e di

minimo.


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Generalizzando ancora ...

Definiamo distanza in uno “spazio” di

natura qualsiasi una funzione che associa

ad ogni coppia di “punti” A e B un numero

reale non negativo, con le proprietà:

1) d(A, B) = 0 se e solo se A = B

2) d(A, B) = d(B, A)

3) d(A, B) ≤ d(A,C) + d(C,B)


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Immagini

• Guardare e riconoscere

osservare

• Rappresentare per comunicare il pensiero

illustrare

schematizzare


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http://www.google.it/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&docid=B7mkRuy3VEcaDM&tbnid=dmsO7VzqqQOMbM:&ved=0CAUQjRw&url=http://xn--80aqafcrtq.cc/it/?p=487065&ei=h_HgUt3rEo3Kswa95oDYAw&psig=AFQjCNH84-Uujx5NhtozhU32WBH35YNumQ&ust=1390559953219715


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Gaudì!

http://www.google.it/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&docid=3o-JVikHI9tcBM&tbnid=Rjayrr5QiAjDwM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.warrenphotographic.co.uk/04256-snake-skin-detail&ei=rvHgUvezJ8rEswau7YDoBg&psig=AFQjCNH84-Uujx5NhtozhU32WBH35YNumQ&ust=1390559953219715

http://www.google.it/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&docid=iDBQSr9ZNGVSRM&tbnid=ikd9zUFNBd2yGM:&ved=0CAUQjRw&url=http://turistipercaso.it/cayo-largo/image/13187/tartaruga.html&ei=HvDgUqj8BMnEtAag6YCgAg&bvm=bv.59568121,d.bGQ&psig=AFQjCNHNuyXzrM3t6xyxW8tqvAYThESlHQ&ust=1390559536214309


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triangolo

… magro

… cicciottello


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Illustrare


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Illustrare


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Non solo i bambini…


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Schematizzare

Utilizzare una rappresentazione simbolica, per far

emergere gli elementi presenti ma impliciti,

nascosti nel contesto: è l’idea di

modello Per essere utile all’elaborazione mentale, una

schematizzazione deve riflettere la realtà in modo

pertinente e omomorfo, cioè trasferendo nella

forma scelta per rappresentare la struttura

operatoria della realtà.


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Saccarosio


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Simboli: dare forma al pensiero

I passi:

La formazione dei concetti matematici ha inizio nell’esperienza sensibile, procede attraverso l’estrapolazione della fantasia, l’interiorizzazione e l’astrazione

Si cercano e scelgono forme di rappresentazione dei concetti: dall’illustrazione generica alla schematizzazione geometrica, in aritmetica e algebra si adottano simboli

Attraverso i simboli scelti, i concetti sono manipolati, per generare nuovi concetti: si passa al grado superiore di astrazione

Servono nuovi simboli per i nuovi concetti: la formalizzazione spinge avanti la concettualizzazione.


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SIMBOLI DI ROUTINE:

tappeto, frutta, gioco

negli angoli a

squadre, bagno,

lavoro-attività, arriva

la mamma, giardino,

nanna, merenda.


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“L’unico modo per apprezzare gran parte

della matematica consiste nell’imparare

una sorta di “lettura a prima vista” dei

simboli.” K. Devlin Il gene della matematica

“Il fatto è che il simbolico è più potente

dell’utilitaristico.” P. Meirieu I compiti a casa


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Simboli

La funzione dei simboli in matematica:

stenografia

sintesi

deduzione - nuovi segni per oggetti noti

- nuovi segni per le operazioni

- nuovi segni per oggetti nuovi


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Tre stadi

1. Algebra retorica calcoli, problemi, e procedimenti

sono espressi a parole, con espressioni prese

esclusivamente dalla lingua.

2. Algebra sincopata per esprimere relazioni numeriche

in forma sintetica, si introducono opportuni simboli,

ottenendo così formule che rappresentano equazioni e

calcoli.

3. Algebra simbolica i simboli, introdotti in funzione

sintetica e generalizzatrice, diventano loro stessi oggetto

della “manipolazione” concettuale, ovvero, le relazioni che

vengono analizzate e affermate sono relazioni tra i simboli

stessi.

Passaggio ai simboli: l’algebra


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Riguarda le relazioni tra i simboli:

• i concetti algebrici sono le relazioni numeriche

• le relazioni sono le proprietà (ad esempio, i prodotti

notevoli)

• le procedure algoritmiche di manipolazione simbolica, il

calcolo algebrico, sono il livello deduttivo.

Imparare a “pensare algebricamente”, dunque, non significa

imparare i meccanismi algebrici di manipolazione dei simboli,

ma lavorare sui significati delle relazioni, staccandosi da

contesti concreti.

Il pensiero algebrico è un pensiero generalizzante, da verità

piccola, particolare, a verità generale.

Il pensiero “ algebrico”


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• 3 3 + 4 4 = 5 5 9 + 16 = 25 (II primaria)

• 32 + 42 = 52 (I media)

terna pitagorica (II media)

• a2 + b2 = c2 teorema di Pitagora (II media)

• x2 + y2 = z2 equazione cartesiana della circonferenza

(III superiore)


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Il problema di Nassir

L’indiano Nassir chiese al re, che gli offriva qualunque cosa volesse come ricompensa per avergli insegnato il gioco degli scacchi, solo il grano che avrebbe ottenuto mettendo un granello sulla prima casella, 2 sulla seconda, 4 sulla terza, poi 8, e così via fino a esaurire le caselle della scacchiera.

Il re sorrise di una richiesta così modesta…

La leggerezza delle formule


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Ma… era impossibile esaudirla!

Il numero di chicchi di grano che sarebbero

spettati a Nassir per la sua richiesta è

talmente grande, che, stimando 1cm3

equivalente a circa 20 chicchi, si

otterrebbero 9 · 1011 m3 (novecento miliardi

di metri cubi). Tanto grano che, macinato,

darebbe farina sufficiente a ricoprire tutta la

superficie terrestre con uno spessore di un

paio di millimetri.


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Ebbene: per esprimere una quantità così

spropositata, a noi bastano pochi

simboli.

Scriviamo:

1 + 2+ 22 + 23 + … + 263 =

= 264 - 1


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Guardare per vedere

361 è un quadrato perfetto? Non abbiamo sottomano né tavole né calcolatrice….

Su cosa baso il mio ragionamento?

Osserviamo i numeri….

Per dimostrarlo occorre un po’ di algebra


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Guardare per vedere

Dimostrazioni senza parole


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Numeri…geometrici

Numeri triangolari

Formalizziamo 1 + 2 + 3 + … + n =

2

)1( nn


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13 + 23 + 33 =


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13 + 23 + 33 =

(1 + 2 + 3)2

La relazione in generale:


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Vedere

senza

guardare

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