Slide 1

Slide 2

La maggior parte degli oggetti della natura sono caratterizzati da un carattere irregolare e non possono essere studiati usando le propriet della geometria euclidea. Questo ha giustificato l'introduzione di un nuovo tipo di geometria da parte del matematico Benoit B. Mandelbrot (1982): la geometria frattale. Durante una passeggiata in campagna oltre alla bellezza dell'ambiente, un occhio pi esperto pu cogliere nella forma di tutti questi oggetti delle particolari propriet geometriche. Prendiamo in esame una comune felce. Ci che si nota immediatamente che una parte di essa simile alla felce stessa, ovvero una copia in piccolo della foglia completa.

Slide 3

Allo stesso modo si pu procedere innumerevoli volte fino a ridursi a parti sempre pi piccole. Nella figura accanto sono evidenziati i primi tre passi di questo confronto. La parte evidenziata in rosso la copia in piccolo dell'intera foglia. La parte evidenziata in blu a sua volta la copia ridotta della parte in rosso. Infine la parte celeste la copia ridotta della parte blu. Questa propriet prende il nome di autosimilarit (o autosomiglianza) : una parte dell'oggetto simile al tutto. In geometria gli oggetti che sono autosimili vengono definiti frattali e possono essere costruiti seguendo precise regole di tipo matematico.

Slide 4

Consideriamo un insieme di N trasformazioni del piano cartesiano: { T 1, T 2, T 3,..., T N } ed applichiamole allo stesso sottoinsieme A del piano. Come risultato otterremo una famiglia di N sottoinsiemi del piano cartesiano { T 1 ( A ), T 2 ( A ), T 3 ( A ),..., T N ( A )}. Sia A 1 l'insieme ottenuto come unione di questi sottoinsiemi. Applichiamo di nuovo le N trasformazioni all'insieme A 1 cos ottenuto e consideriamo l'unione degli N insiemi immagine. Chiamiamo questo insieme A 2. Continuando allo stesso modo, otteniamo una successione di insiemi { A 1, A 2, A 3,...}. Il problema che ci poniamo il seguente: continuando in questo modo, la successione di insiemi converger ad un insieme A oppure no? Sotto certe condizioni la successione di insiemi converger ad un insieme limite F definito come frattale IFS (Iterated Function System) ovvero "frattale ottenuto iterando un insieme di trasformazioni del piano". Per chiarire la definizione di frattale esaminiamo l'esempio seguente.

Slide 5

Un esempio: la costruzione della felce. La costruzione di un frattale, quale la felce, strettamente legata alle trasformazioni affini. Infatti basta applicare pi volte un certo numero di trasformazioni affini per ottenere una figura come quella precedente. Si parte da una forma iniziale qualsiasi. Questo e' l'insieme iniziale A. Tale insieme viene trasformato: si ruota e si rimpicciolisce tre volte applicando tre distinte trasformazioni geometriche. Linsieme A viene cancellato e restano solo i tre quadrilateri ottenuti dalle tre affinit, cio l'insieme A 1. All' insieme A 1, applicando di nuovo le tre trasformazioni ricaviamo l'insieme A 2. Anche in questo caso l'insieme precedente non viene pi visualizzato. Procedendo di nuovo in questo modo e cancellando il passo precedente si ottiene l'insieme A 3. Si noti che la successione di insiemi { A 1, A 2, A 3,...} converge ad un insieme A che proprio la felce. AA1A1 A2A2 A3A3 A4A4 A5A5

Slide 6

La figura a lato mostra come generare il cosiddetto fiocco di neve di von Koch: si prende un segmento, lo si taglia in 3 parti e si sostituisce quella centrale con due segmenti uguali a quello eliminato; ora si ripete l'operazione con ciascuno dei quattro segmenti cos ottenuti e si continua a ripeterla per un numero infinito di volte. La curva che si ottiene dopo un numero infinito di iterazioni una curva frattale e come tutte le curve frattali dotata di affascinanti propriet matematiche, facili da intuire ma, spesso, difficili da dimostrare. Se il nome "fiocco di neve" vi sembra poco appropriato per la curva, forse cambierete idea osservando ci che si ottiene applicando il procedimento appena descritto ai lati di un triangolo.

Slide 7

Slide 8

Possiamo affermare che una curva si dice frattale se ha la propriet dell'autosimilitudine: ingrandendo un qualsiasi tratto di curva si visualizza un insieme di particolari altrettanto ricco e complesso del precedente; questo procedimento di "zoom" pu proseguire all'infinito.

Slide 9

La domanda pu sembrare banale ma la risposta, se non avete mai sentito parlare dei frattali, vi sorprender: la sua lunghezza infinita! Come si pu arrivare a giustificare una simile affermazione? Beh, diciamo subito che si tratta solo di una estrapolazione matematica, tuttavia il risultato lascia senza parole

Slide 10

Un tratto di costa pu essere visto come un tratto di curva frattale. La scioccante risposta alla domanda posta in precedenza, dipende dalla scala alla quale viene fatta la misurazione: una valutazione sommaria fornisce un risultato relativamente basso che per cresce a dismisura, fino a giungere allincredibile risultato dellinfinito. Come gi detto si tratta di una estrapolazione matematica, che non tiene infatti conto del limite della materia.

Slide 11

Un altro esempio di frattale il Triangolo di Sierpinski. Cerchiamo le trasformazioni geometriche che applicate al frattale, lo trasformano nelle tre copie che abbiamo individuato. Abbiamo tre copie e di conseguenza cerchiamo tre trasformazioni. Si tratta di tre trasformazioni geometriche. Per ottenere un'espressione analitica delle trasformazioni, occorre fissare un opportuno sistema di riferimento. Per semplicit supponiamo che il frattale sia costruito dentro il quadrato di lato unitario e l'origine sia posta nell'angolo a sinistra in basso. T1=T2 =T3=

Slide 12

In geometria frattale la dimensione frattale, spesso indicata con D una quantit statistica che d un'indicazione di quanto completo appare un frattale per riempire lo spazio. La definizione di dimensione frattale non unica, infatti vi sono diverse specifiche definizioni. Alcune tra le pi importanti sono la dimensione di Hausdorff, la dimensione di Minkowski-Bouligand.

Slide 13

Consideriamo un segmento AB e sezioniamolo in parti con un fattore di scala s=1/2: otterremo N=2 segmenti identici e simili all'originale. Se utilizziamo invece un fattore di scala s=1/3, otterremo N=3 segmenti identici e simili all'originale, e cos via. Se facciamo lo stesso procedimento su un quadrato, con s=1/2 otteniamo N=4 pezzi, con S=1/3 otteniamo N=9 pezzi. Se infine ripetiamo lo stesso procedimento su un cubo otteniamo N=8 con s=1/2, N=27 con s=1/3, e cos via.

Slide 14

Prendiamo in esame un quadrato di lato 1 che abbiamo gi considerato nella introduzione della autosimilarit. Poich il quadrato un sottoinsieme del piano, lo rappresentiamo in un piano, che supponiamo di avere quadrettato con dei quadrati di lato s. Ci proponiamo di contare, al variare di s, il numero N(s) di quadretti occupati, magari parzialmente, dal nostro quadrato. E' chiaro che, in perfetta analogia con quello che abbiamo ottenuto nel caso dell'autosimilarit, potremo costruire la seguente tabella

Slide 15

Si constata quindi che, se indichiamo con d la usuale dimensione topologica di questi oggetti, vale la seguente formula: N=s -d ovvero

Slide 16

Consideriamo ora un triangolo, isoscele e di lato 1 per semplicit, e applichiamo lo stesso procedimento.

Slide 17

Se applichiamo questo procedimento al triangolo di Sierpinski, otteniamo:triangolo di Sierpinski D=log 3 / log 2 = 1,585 Infatti, il triangolo di Sierpinski pu essere diviso in 3 parti simili all'intero triangolo. Ciascuna di esse si ottiene grazie ad un'omotetia di rapporto K=1/2.

Slide 18

Proviamo a ripetere il calcolo con il merletto di Koch: se sezioniamo con un fattore 1/3 otteniamo 4 parti identiche e simili all'originale, se usiamo un fattore 1/9 otteniamo 16 parti identiche e simili all'originale, e cos via. Questa volta il rapporto, ancora costante, vale log4/log3=1.2619. Anche ora il rapporto non intero e strettamente maggiore della dimensione topologica della curva che uno.

Slide 19

Inizia a sorgere il sospetto che questi rapporti abbiano un ben preciso significato e che sia giustificato attribuire loro un nome specifico che ricordi la somiglianza con la formula della dimensione valida per segmento, quadrato e cubo. In realt il fatto che il Triangolo di Sierpinsky questo numero sia maggiore di uno soddisfa una certa idea intuitiva che ci fa pensare che la dimensione uno, attribuita con il metodo tradizionale, sia un po' troppo poco per un insieme che ha cos tanti punti. Analogo discorso per il merletto di Koch, dove il fatto che questo rapporto sia maggiore di uno in accordo con l'idea intuitiva che l'oggetto sia un po' pi di una curva, anche se non chiaramente una superficie, che avrebbe dimensione due.

Slide 20

La definizione appena data uno dei metodi, ma non l'unico, per introdurre la cosiddetta dimensione frattale. L'aggettivo frattale dovuto al fatto che essa pu essere espressa da un numero non intero. E' opportuno, per sgomberare il campo da equivoci, segnalare che il concetto di dimensione frattale appena introdotto completamente diverso da quello usuale di dimensione topologica. La dimensione topologica continua ad avere un chiaro e preciso significato, solo che oltre a questo numero che caratterizza una determinata propriet degli oggetti, ora ne abbiamo considerato un altro, che caratterizza un'altra propriet degli stessi oggetti d Fr =d top d Fr >d top

Slide 21

Osserviamo che la definizione di dimensione frattale aggiunge, per ora solo per gli insiemi autosimili, un nuovo numero tra quelli che possiamo collegare agli insiemi di punti dello spazio, numero che va ad aggiungersi alla cardinalit e alla dimensione. Per fare un esempio possiamo raggruppare quanto finora detto nella seguente tabella: SegmentoQuadratoCubo Triangolo di Sierpinski Merletto di Koch Dimensione12311 Dimensione frattale 1 2 31,5851,262

Slide 22

In realt i frattali sono in grado di rappresentare egregiamente un gran numero di diversi oggetti e fenomeni della Natura. Ne sono alcuni esempi il tratto di costa ma anche i rami o le radici di un albero, una nuvola, le ramificazioni di un fulmine e la dentellatura di una foglia.

Slide 23

Slide 24

Si ringraziano le professoresse dellUniversit Federico II che ci hanno guidato alla scoperta dei modelli matematici. Francesca Visentin Mariarosaria Tricarico Le professoresse del Liceo F. Silvestri, che ci hanno accompagnato in questa esperienza Maria Rosaria Parlato Paola Scelzo E la dirigente scolastica del nostro Liceo Enrichetta Idato

Slide 25

Hanno partecipato al progetto: De Rosa Giuseppe Di Cicco Valentina Maestri Alberto Zito Valerio Scognamiglio Ciro Salerno Claudia Sannino Sara Oratore Elena Cozzolino Eva Marotta Pasquale De Ponte Andrea De Grado Concetta Brunetti Federico Buonocunto Valentina Marsei Alessia Esposito Dario Poliso Gianluca Acampora Anna