La Crisi Delle Fondamenta Del Pensiero Matematico

Stefano Sarao

Le Tappe della Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico

Materie Coinvolte: Matematica, Filosofia, Fisica

V A p.n.i.

Stefano Sarao

Verso la Matematica Pura: Le Geometrie

Non Euclidee

La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico

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Il Quadrilatero di Saccheri


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Sia ABCD un quadrilatero avente gli angoli A e B retti ed i lati AD e BC congruenti. Si possono fare tre ipotesi sugli angoli C e D:

•Ipotesi dell'angolo retto: gli angoli sono entrambi retti.

•Ipotesi dell'angolo ottuso: gli angoli interni sono entrambi ottusi.

•Ipotesi dell'angolo acuto: gli angoli interni sono entrambi acuti.

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Geometria Ellittica e Sferica


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Il V Postulato di Euclide nelle Geometria Ellittica e Sferica diventa:

“Due rette qualsiasi di un piano hanno sempre almeno un punto in comune.”

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Geometria Iperbolica

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Il V Postulato di Euclide nella Geometrie Iperbolica diventa:

“Data una retta r e un punto P disgiunto da r, esistono almeno due rette distinte passanti per P e parallele a r.”


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Geometria Iperbolica nell’Arte: Escher


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Stefano Sarao

Le Fondamenta del Pensiero Matatematico


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Età del Rigore


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“Età del rigore” è quel perdiodo storico che parte dalla pubblicazione nel 1797 di “Théorie des functions analytiques” di Carnot e si può dire non essere mai terminato.In questo periodo si è definita, grazie all’opera di Lagrange, Carnot, Cauchy, Fourier, Dirichlet, Abel, Jacobi, Green, Gauss, Weierstrass ed altri, l’analisi nella sua formulazione moderna.In questo possiamo vedere l’arché del Riduzionismo.

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Riduzionismo


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Il termine “riduzionismo” deriva dal procedimento di ridurre (cioè ricondurre) ogni parte della matematica ad altre parti via via più semplici, arrivando in fine al fondamento ultimo di tutta la matematica.

Per quanto il movimento sia moderno abbiamo già precursori.

È chiaro che l’intera matematica è fondata sul concetto di numero naturale, quindi bisognava definire il numero.

Stefano Sarao

Cantor e Peano


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Cantor definì i numeri con la cardinalità degli insiemi.

Peano definì i numeri attraverso i concetti primitivi: zero (0), numero (n) e successore (n’), e cinque assiomi:1. 0 appartiene a N;2. Se n appartiene a N, allora anche n’ appartiene a N;3. 0 non è successore di alcun numero;4. Se due numeri hanno lo stesso successore, allora i

due numeri sono uguali;5. Se 0 appartiene ad un insieme M e, appartenendo n a

M allora anche n’ appartiene a M, allora M=N (principio di induzione).

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Logicismo


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Frege


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Scrisse: “Ideografia”, “I Fondamenti dell’Aritmetica” e “I Principi dell’Aritmetica”

Gli obiettivi dell’intento logicista portato avanti da Gottlob Frege:• Risolvere i concetti matematici, anche quelli considerati non ulteriormente definibili e perciò primitivi, in termini puramente logici;• Dimostrare i teoremi della matematica mediante l'applicazione dei principi e delle regole di inferenza del ragionamento logico.

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L’Antinomia di Russell


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Supponendo che I non contenga se stesso come elemento, se ne deduce che I appartiene ad I (per la definizione di I), cioè IIII; supponendo che I contenga se stesso, allora se ne deduce che I è un elemento di un insieme che ha per elementi tutti gli insiemi che non contengono se stessi; quindi risulta un elemento a se stesso, cioè non può appartenere ad I, cioè IIII.

Sia I l'insieme di tutti gli insiemi che non contengono se stessi. Sia A un insieme che non contiene se stesso come elemento, allora A I.

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Predicativismo


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Hermann Weyl e Henri Poincaré sono i principali esponenti del predicativismo.

“Per l'analisi il circolo vizioso [della definizione non predicativa] che si è insinuato in essa attraverso l'incerta natura degli usuali concetti di insieme e di funzione, costituisce una forma di errore non trascurabile e non facilmente evitato.”

Hermann Weyl

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Principia Mathematica


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Questa opera monumentale è scritta a quattro mani da Bertrand Russell e Alfred North Whitehead.

La Teoria dei Tipi instaura una gerarchia dei tipi logici che non deve essere infranta.

Russel formulò “La Teoria dei Tipi Logici” ovvero l’alternativa logica alla teoria degli insiemi e costituisce l’impianto del primo libro dei “Principia Mathematica”.

Stefano Sarao

Formalismo


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Il programma di Hilbert

Hilbert era convinto che fosse possibile ricondurre tutta la matematica ad un modello assiomatico, riconducendo le teorie più complesse alle più semplici, fino a basare tutto sull’aritmetica.

Il programma doveva:• Formalizzare completamente le teorie matematiche.• Dimostrare la non-contraddittorietà.

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I Teoremi di Gödel


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In ogni teoria matematica T sufficientemente espressiva da contenere l'aritmetica, esiste una formula tale che, se T è coerente, allora né né la sua negazione sono dimostrabili in T.

Sia T una teoria matematica sufficientemente espressiva da contenere l'aritmetica: se T è coerente, non è possibile provare la coerenza di T all'interno di T.

Stefano Sarao

“La domanda riguardo ai fondamenti profondi e al significato ultimo della matematica resta aperta; noi non sappiamo lungo quale direzione troverà la sua soluzione finale e neppure se ci si debba aspettare una risposta finale oggettiva. “Far matematica” potrebbe ben essere un'attività creativa dell'uomo, come il linguaggio o la musica, di grande originalità, le cui prese di posizione storiche disattendono la completa ed oggettiva razionalizzazione.”

Hermann Weyl


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Thomas Kuhn


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Il capolavoro di Thomas Kuhn:“La Struttura delle Rivoluzioni Scientifiche”

Le fasi della Scienza:• Fase 0: Periodo Pre-Paradigmatico.• Fase 1: Accettazione del Paradigma.• Fase 2: Scienza Normale.• Fase 3: Nascita delle Anomalie.• Fase 4: Crisi del Paradigma.• Fase 5: Rivoluzione Scientifica.

Stefano Sarao

Le Equazioni di Maxwell


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And God said:

And there was light.

Stefano Sarao

La Relatività Ristretta


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Postulati della relatività ristretta:

1. Principio di relatività particolare: Le leggi della fisica sono invarianti rispetto al sistema di riferimento inerziale nel quale sono applicate.

2. Principio di invarianza della velocità della luce: La velocità della luce nel vuoto è indipendente dalla sorgente che l'ha emessa e dallo stato di moto rettilineo uniforme di chi la osserva.

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