![[E-Book - ITA] Gioseffo Zarlino - Dimostrazioni Armoniche (1571)](https://static.fdocumenti.com/doc/165x107/55cf9897550346d033988528/e-book-ita-gioseffo-zarlino-dimostrazioni-armoniche-1571.jpg)
[E-Book - ITA] Gioseffo Zarlino - Dimostrazioni Armoniche (1571)
Introduzione all’Analisi Armonica - · PDF fileLa voce umana, il violino, il pianoforte...
80
L2/1 Introduzione all’Analisi Armonica Analisi del suono: Suono Semplice (Diapason) Le molecole dell’aria a seguito di una compressione e rarefazione oscillano attorno alla posizione di riposo, con legge: ( ) y Dsin 2 ft π = • f Frequenza delle oscillazioni (o cicli al secondo, hertz, Hz) • D Ampiezza delle oscillazioni che dipende dal massimo spostamento del braccio del diapason e dal mezzo in cui il suono si propaga Forma d’onda del sostenuto del “la” di un diapason y D Conversione in un segnale elettrico
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L2/1
Introduzione all’Analisi Armonica Analisi del suono: Suono Semplice (Diapason)
Le molecole dell’aria a seguito di una compressione e rarefazione oscillano attorno alla posizione di riposo, con legge:
( )y D sin 2 ftπ=
• f Frequenza delle oscillazioni (o cicli al secondo, hertz, Hz)
• D Ampiezza delle oscillazioni che dipende dal massimo spostamento del braccio del diapason e dal mezzo in cui il suono si propaga
Forma d’onda del sostenuto del “la” di un diapason
y
D
Conversione in un segnale
elettrico
L2/2
Suono Composto
Forma d’onda e spettro sonoro del “la” (sostenuto). Per il pianoforte:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
y t sin 2 440t 0.2 sin 2 880t 0.25 sin 2 1320t0.1sin 2 1760t 0.1sin 2 2200t
π π ππ π
= + + +
+ +
L2/3
Caratteristiche del Suono
• Altezza: dipende dalla frequenza di oscillazione dell’aria
• Intensità: dipende dall’ampiezza delle oscillazioni (energia sonora irradiata nell’aria) e dalla frequenza (banda percepibile dall’orecchio)
• Timbro: qualità estetica del suono, dipende dal numero di armoniche presenti e dal rapporto delle loro ampiezze. La voce umana, il violino, il pianoforte sono suoni ricchi di armoniche, il flauto dolce possiede poche armoniche.
Attraverso l’analisi di Fourier
⇓ ogni suono può essere decomposto quindi riprodotto
⇓ Sintetizzatori di musica
L2/4
Violoncello “Mi bemolle” Clarinetto
Analisi armonica FFT
su 8/100 secondo
L2/5
Tromba “Mi bemolle” Grancassa
Analisi armonica FFT
su 8/100 secondo
L2/6
SERIE DI FOURIER Data una funzione periodica ( )x t di periodo T, cioè tale che
( ) ( )x t x t kT= + , k 0, 1, 2,...,= ± ± ∞
se essa è integrabile in modulo, cioè se
( )T/2
T/2x t dt <
−∞∫
allora è possibile definire una serie di Fourier ad essa associata, cioè una
somma infinita di sinusoidi (o “armoniche”) di frequenze kT
, k = 0, 1,...,∞ :
( ) 0
k kk 1 k 1
a 2 kt 2 ktx t a cos b sin 2 T T
∞ ∞
= =
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑
L2/7
COEFFICIENTI DELLA SERIE DI FOURIER
I coefficienti di Fourier ak e bk sono dati da:
( )T/2
kT/2
2 2 kta x t cos dtT T−
π⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∫
( ) tT/2
kT/2
2 2 ktb x t sin dT T−
π⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∫
k = 0, 1, 2, ... , ∞
L’espressione dei coefficienti di Fourier si ricava come segue.
L2/8
ESEMPIO
0.5−
( )x t
t0
0.5+1.0−1.5− 1.0+ 1.5+
1
0.5−
( )x t
t0
0.5+1.0−1.5− 1.0+ 1.5+
1
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-0.5
0
0.5
1
tempo t
Seg
nale
1 armonica
3 armonica 5 armonica
continua
somma prime5 armoniche
L2/9
COEFFICIENTI DELLA SERIE DI FOURIER (Cont.)
Si ricorda che le funzioni (di periodo T ):
( ) ( ) ( ) ( )21k k
2 kt 2 ktf t cos , f t sin k 1,2,...,T Tπ π
= = = ∞
sono ortogonali in un intervallo di durata T:
( ) ( ) ( ) ( ) T / 2 i j
k hT / 2
f t f t dt 0 i j , 1 i , j 2 , k ,h+
−= ≠ ≤ ≤ ∀∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T / 2 T / 21 1 2 2
khk h k hT / 2 T / 2
T f t f t dt f t f t dt2
+ +
− −= = δ∫ ∫
ovvero, in forma sintetica: ( ) ( ) ( ) ( )
T / 2 i ikhk h
T / 2
T f t f t dt 1 i 2, k ,h2
+
−= δ ≤ ≤ ∀∫
dove, per definizione: se se kh
1 k h0 k h
=⎧δ = ⎨ ≠⎩
L2/10
COEFFICIENTI DELLA SERIE DI FOURIER (Cont.)
Le funzioni ( ) ( ) ( ) ( )1 2k k
2 kt 2 ktf t cos , f t sin , k 1,2T Tπ π
= = =
T T
T T
t t
t t
f
f f
f(1) (2)
(2)
1 1
2
0 0
0 0
2
(1)
Ortogonalità (i = j = 1)
( ) ( ) ( ) ( )T 2 1 1
h kT 2
f t f t dt−∫
T 2 T 2
k hT 2 T 2
2 kt 2 htcos cos dt cos cos dtT T− −
π π= = α α =∫ ∫
( ) ( ) se
se
T 2
k h k hT 2
T 2 h k1 cos cos dt0 h k2 −
=⎧⎡ ⎤= α − α + α + α = ⎨⎣ ⎦ ≠⎩∫
L2/11
ORTOGONALITA’ TRA ( )13f E
( )21f
L2/12
COEFFICIENTI DELLA SERIE DI FOURIER (Cont.) Identico risultato si ottiene per il prodotto ( ) ( ) ( ) ( )2 2
k hf t f t
Il prodotto ( ) ( ) ( ) ( )1 2k hf t f t ha integrale nullo sul periodo, come si verifica
immediatamente osservando che i contributi negativi eguagliano quelli positivi.
Calcolo dei Coefficienti di Fourier
Moltiplicando l’espressione della serie di Fourier:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 20k kk k
k 1 k 1
ax t a f t b f t2
∞ ∞
= =
= + +∑ ∑
per ( )1hf e per ( )2
hf e integrando termine a termine si ottiene l’espressione cercata dei coefficienti di Fourier:
( )T 2
hT 2
2 2 hta x t cos dtT T−
π= ∫ ( )
T 2
hT 2
2 2 htb x t sin dtT T−
π= ∫
L2/13
CONVERGENZA DELLA SERIE DI FOURIER (Criterio di Dirichlet)
Avere definito la serie di Fourier di una generica funzione periodica ( )x t non vuol dire che essa esista.
L'esistenza della serie di Fourier, ovvero la sua convergenza, sono garantite se ( )x t , oltre a essere integrabile in modulo, è limitata nell'intervallo [0 ,T]. Ciò equivale a dire che nel periodo il segnale ( )x t :
• è continuo o presenta un numero finito di discontinuità di prima specie;
• presenta un numero finito di massimi e minimi.
In questo caso la serie converge a ( )x t in tutti i punti di continuità di ( )x t ; in ogni punto di discontinuità, indicato qui con 0t , essa converge
invece a:
( ) ( )0 01 x t x t2
+ −⎡ ⎤+⎣ ⎦
L2/14
Esempio di violazione del criterio di Dirichlet
( ) 2x t sintπ⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠ presenta un numero infinito di massimi e minimi
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
x(t)
L2/15
Esempio di violazione del criterio di Dirichlet
( )x t presenta un numero infinito di discontinuità di primo tipo
L2/16
Esempio di convergenza
L2/17
FORMA ESPONENZIALE COMPLESSA DELLA SERIE DI FOURIER
Poiché secondo la formula di Eulero:
tj2 kT t te cos 2 k j sin 2 k
T T± π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= π ± π⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠,
la serie di Fourier
( ) 0k k
k 1 k 1
a 2 kt 2 ktx t a cos b sin2 T T
∞ ∞
= =
π π= + +∑ ∑
può essere scritta sotto la forma
( )tj2 kT
kk
x t c e∞ π
=−∞
= ⋅∑
in cui
( ) tT 2 j2 kT
kT 2
1c x t e dt , k ,...,T
− π
−= = −∞ +∞∫
L2/18
FORMA ESPONENZIALE COMPLESSA DELLA SERIE DI FOURIER (Cont.)
Si ha infatti, raccogliendo i termini a due a due:
t tj2 k j2 kT T
k kc e c eπ − π
−+ =
k kt t t tc cos 2 k j sin 2 k c cos 2 k j sin 2 kT T T T−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= π + π + π − π =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ( )k k k kt tc c cos 2 k j c c sin 2 k T T− −= + π + − π =
k kt ta cos 2 k b sin 2 kT T
= π + π
con: k k kc c a−+ = k k kc c jb+ −− = k k k k k k2c a jb ; 2c a jb− +−= =
L2/19
FORMA ESPONENZIALE COMPLESSA DELLA SERIE DI FOURIER (Cont.)
Relazione tra i coefficienti delle due forme della serie di Fourier:
Tra i coefficienti ak , bk , ck , sussistono pertanto le importanti relazioni
( )
( )
k k k
0 0
k k k
1c a jb2
1c a21c a jb2
−⎧ = +⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪ = −⎪⎩
L2/20
COEFFICIENTI DI FOURIER DI UNA FUNZIONE REALE Se ( )x t è reale, allora i coefficienti ak e bk sono reali, mentre i coefficienti ck sono hermitiani, cioè:
k kc c∗−=
se ( )x t è reale e simmetrica (pari), cioè ( ) ( )x t x t= − allora i coefficienti bk sono tutti nulli ed i coefficienti ck sono anch'essi reali e simmetrici:
[ ]k k kc c , Im c 0−= =
L2/21
SPETTRO DI AMPIEZZA E SPETTRO DI FASE Poiché i coefficienti ck sono in generale complessi, si possono scrivere come:
kjk kc c e θ= ⋅
Al variare di k da +a−∞ ∞ ; si ha quindi la sequenza dei kc , che viene detta spettro d'ampiezza di ( )x t , e la sequenza ( )k karg cθ = , che viene detta spettro di fase di ( )x t .
kc
k0 1 2 31−2−3− .............. k1 2 31−2−3−
..............
( )k karg cθ =
π+
π−
kc
k0 1 2 31−2−3− .............. k1 2 31−2−3−
..............
( )k karg cθ =
π+
π−
Spettro di ampiezza Spettro di fase
L2/22
TEOREMA DI PARSEVAL
Per un segnale periodico in un periodo T, la sua energia mediata in un
periodo (Potenza media), vale:
( )T 2 22
kT 2k
1c x t dtT
∞
−=−∞
=∑ ∫
Il generico termine 2kc rappresenta la potenza media della armonica di
ordine k del segnale:
( ) ( )2 22 2 T 2 T 22 k k
kT 2 T 2
a b 1 2 kt 1 2 ktc x t cos dt x t sin dt2 2 T T T T− −
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫
Si ha infatti:
L2/23
TEOREMA DI PARSEVAL (Cont.)
( )2tT 2 T 2 j2 k2 T
kT 2 T 2 k
x t dt c e dt∞
π
− −=−∞
= =∑∫ ∫
t tT 2 j2 k j2 h*T T
k hT 2 k h
c e c e dt∞ ∞
π − π
−=−∞ =−∞
⎡ ⎤= ⋅ =⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑∫
per l'ortogonalità delle funzioni t tj2 k j2 hT Te , e
π − π solo per h k= , si ha un
contributo diverso da zero:
T 2 2 2k k
T 2 k k
c dt T c∞ ∞
− =−∞ =−∞
= = ⋅∑ ∑∫
Quindi: ( )T 2 22
kT 2k
1c x t dtT
∞
−=−∞
=∑ ∫
L2/24
CALCOLO DEI COEFFICIENTI DI UN “TRENO” DI IMPULSI RETTANGOLARI DI PERIODO T
( )x t
1
tτ/2−τ/2 T
( )x t
1
tτ/2−τ/2 T
( )
1 per tx t 2 2
0 altrove
τ τ⎧ − < <⎪= ⎨⎪⎩
(funzione pari)
Sviluppo in Serie di Fourier: ( ) 0k
k 1
a tx t a cos 2 k2 T
∞
=
⎛ ⎞= + π⎜ ⎟⎝ ⎠∑
Coefficienti di Fourier: ( )T 2
kT 2
2 ta x t cos 2 k dtT T−
= π∫
L2/25
CALCOLO DEI COEFFICIENTI DI UN “TRENO” DI IMPULSI
22
k2 2
2 t 2 T ta cos 2 k dt sen2 kT T T 2 k T
ττ
−τ τ−
⎡ ⎤= π = ⋅ π =⎢ ⎥π ⎣ ⎦∫
1 sen 2 k sen 2 kk 2T 2T
τ τ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= π − − π⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥π ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
k
sen kTa 2
k
τ⎛ ⎞π⎜ ⎟⎝ ⎠=π
Moltiplicando e dividendo per Tτ si ottiene il classico spettro ( )sin x
x
k
sen kTa 2
T kT
τ⎛ ⎞π⎜ ⎟τ ⎝ ⎠= ⋅τ
π con 0a 2
Tτ
=
I coefficienti dipendono dal rapporto τ /T (duty cicle)
L2/26
ESEMPIO: T/τ = 4
Il primo nullo si ha per: Tk k 4
Tτ
π = π ⇒ = =τ
L2/27
ESEMPIO: T/τ = 2.5
Il primo nullo si ha per: Tk 2 k 5
Tτ
π = π ⇒ = =τ
L2/28
CALCOLO DEI COEFFICIENTI DI UN “TRENO” DI IMPULSI Utilizzando la rappresentazione complessa: k
kac2± =
0cTτ
= , 1
senTc
TT
±
τ⎛ ⎞π⎜ ⎟τ ⎝ ⎠= ⋅τ
π , ... , k
sen kTc
T kT
±
τ⎛ ⎞π⎜ ⎟τ ⎝ ⎠= ⋅τ
π
kc 0= quando k mTτ
π = ⋅ π con m 1, 2,...= ± ±
cioè per Tk m=τ
(se mTτ
intero)
Ponendo 02Tπ
= ω 0
k
0
sen k2c
T k2
τ⎛ ⎞ω⎜ ⎟τ ⎝ ⎠= ⋅τ
ω k 1, 2,...= ± ± 0c
Tτ
=
L2/29
Coefficienti di Fourier di un Treno di Impulsi rettangolari Esempio: T 8=
τ
0.125Tτ
=
4c
8c
L2/30
ANALIZZATORE DI SPETTRO PER SEGNALI PERIODICI
ΣINTEGRAZIONE
PER UN
TEMPO T
MODULO
QUADRO
1 2 ktcosT T
π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
1 2 ktsinT T
π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ka2
kb2
2kc
INTEGRAZIONE
PER UN
TEMPO T
MODULO
QUADRO
( )x t ΣΣINTEGRAZIONE
PER UN
TEMPO T
INTEGRAZIONE
PER UN
TEMPO T
MODULO
QUADRO
MODULO
QUADRO
1 2 ktcosT T
π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
1 2 ktsinT T
π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ka2
kb2
2kc
INTEGRAZIONE
PER UN
TEMPO T
INTEGRAZIONE
PER UN
TEMPO T
MODULO
QUADRO
MODULO
QUADRO
( )x t
L2/31
Esempio: Serie di Fourier di un treno di impulsi rettangolari di ampiezza unitaria con T = 1 e τ = 0.5.
-1.5 -1.25 -1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
tempo t
Seg
nale
1 armonica
3 armonica 5 armonica
continua
0a 1= , ( )k paria 0= , k2a k 1,5,9,13,...
kπ= = , k
2a k 3,7,11,15,...kπ
= − = .
E’ riportata la somma fino alla quinta armonica.
L2/32
Serie di Fourier di un treno di impulsi triangolari
0.5−
( )x t
t0
0.5+1.0−1.5− 1.0+ 1.5+
1
0.5−
( )x t
t0
0.5+1.0−1.5− 1.0+ 1.5+
1
Coefficienti di Fourier
01a2
= , ( )k paria 0= , k 2 24a k 1,3,5,7,...
k π= = .
L2/33
Serie di Fourier di un treno di impulsi triangolari
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-0.5
0
0.5
1
tempo t
Seg
nale
1 armonica
3 armonica 5 armonica
continua
somma prime5 armoniche
E’ riportata la somma fino alla quinta armonica.
L2/34
ESEMPIO:
a) Un treno di impulsi gaussiani σ = T/6
b) Primi 3 termini della serie di Fourier
c) La loro somma
T6
σ =
L2/35
DERIVAZIONE DELLA SERIE DI FOURIER Derivando termine a termine la serie si ha:
( ) ( )n
n
dx t d 2 nty t c exp jdt dt T
∞
=−∞
π⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠∑
n nn n
2 n 2 nt 2 ntjc exp j q exp jT T T
∞ ∞
=−∞ =−∞
π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑
per cui ( )y t , dove esiste, ammette lo sviluppo di Fourier con coefficienti:
nn2q j ncTπ
=
n nTc q
j2 n=
π
L2/36
COEFFICIENTI DI FOURIER - TRENO DI IMPULSI AL CRESCERE DI T
T 3= τ
L2/37
COEFFICIENTI DI FOURIER - TRENO DI IMPULSI AL CRESCERE DI T
T 8.5= τ
L2/38
COEFFICIENTI DI FOURIER - TRENO DI IMPULSI AL CRESCERE DI T
T → ∞
L2/39
TRASFORMATA DI FOURIER (INTEGRALE DI FOURIER) La rappresentazione di Fourier per un segnale aperiodico ( )x t si può ottenere in maniera euristica considerando ( )x t come un segnale periodico con periodo T tendente ad ∞ .
La variabile 0kfT
= , discreta nella serie di Fourier, diventa continua per
T → ∞.
Si ricordi che:
( )kT 2 j2 tT
kT 2
1c x t e dtT
− π
−= ∫
Lo spettro o Trasformata di Fourier del segnale ( )x t è dato da (valore principale di Cauchy):
( ) ( ) ( ) ( )T
T 2j2 ft j2 ft
T 2F x t X f x t e dt lim x t e dt
→∞
+∞− π − π
−−∞⎡ ⎤ = = ⋅ = ⋅⎣ ⎦ ∫ ∫
L2/40
TRASFORMATA DI FOURIER (INTEGRALE DI FOURIER)
( )px t è periodico con periodo 0
1Tf
= , ottenuto “periodicizzando” ( )x t :
( )x t
1
tτ/2−τ/2 T
( )x t
1
tτ/2−τ/2 T
( ) 0j 2 kf tp k
k
x t c e π+∞
=−∞
= ∑ ( ) 0
T 2j2 kf t
kT 2
1c x t e dtT
− π
−= ∫
( ) ( ) 0j 2 kf tp 0 0
k
x t X kf e fπ+∞
=−∞
= ⋅∑ ( ) ( ) 0
T 2j2 kf t
0 kT 2
X kf c T x t e dt− π
−= ⋅ = ∫
( )px t
L2/41
TRASFORMATA DI FOURIER (INTEGRALE DI FOURIER)
( ) ( ) 0j 2 kf tp 0 0
k
x t X kf e fπ+∞
=−∞
= ⋅∑ ( ) ( ) 0
T 2j2 kf t
0 kT 2
X kf c T x t e dt− π
−= ⋅ = ∫
⇓ Se T → ∞ , 0f 0→ ⇓
( ) ( ) j2 ftx t X f e dfπ+∞
−∞=∫ ( ) ( ) j2 kftX f x t e dt
+∞− π
−∞= ∫
⇓ ⇓
Sintesi Analisi
L2/42
TRASFORMATA DI FOURIER (INTEGRALE DI FOURIER) (CONT.)
Spesso in luogo della variabile “ f ” su usa la variabile “ω”
(pulsazione angolare) scrivendo:
( ) ( ) ( )j tF x t x t e dt X+∞
− ω
−∞⎡ ⎤ = ⋅ = ω⎣ ⎦ ∫
Una condizione sufficiente per l'esistenza della trasformata di Fourier
è la assoluta sommabilità di ( )x t espressa da:
( )x t dt+∞
−∞< ∞∫
L2/43
SEGNALI DI ENERGIA E TRASFORMATA DI FOURIER Un segnale ( )x t di energia, cioè tale che:
( ) 2x t dt E
+∞
−∞= < ∞∫
e di durata finita, soddisfa la condizione di assoluta sommabilità
( )x t dt+∞
−∞< ∞∫
e quindi di trasformabilità secondo Fourier (condizione sufficiente).
L2/44
RICHIAMI SULLA CONVOLUZIONE DI DUE FUNZIONI
Date due funzioni, ( )f t e ( )h t si chiama convoluzione di ( )f t con ( )h t ,
la funzione ( )g t definita come segue:
( ) ( ) ( )g t f h t d∞
−∞= τ ⋅ − τ τ∫
o brevemente: ( ) ( ) ( )g t f t h t= ∗ Tra le proprietà di tale operatore si segnalano quella commutativa: ( ) ( ) ( ) ( )f t h t h t f t∗ = ∗ e quella distributiva: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t h t k t f t h t k t∗ ∗ = ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
L2/45
ESEMPIO DI CONVOLUZIONE
1
11
1
1
1
2
22
2
2
2
1
11- 1
1
1
1
t t
h t( )
h( )
h( )h( )
f t( )
f( )
f( )h t( - )O
Ot Rappresentazione delle funzioni ( ) ( ) ( ) ( ) 0f t , h t , h t , h t t− −
L2/46
La convoluzione di f(t) con h(t)
L2/47
INVERSIONE DELL'INTEGRALE DI FOURIER
Intuitivamente, dalla serie di Fourier:
( ) kk
kx t c exp j2 tT
∞
=−∞
⎛ ⎞= + π⎜ ⎟⎝ ⎠∑
con e kT fT
→ ∞ → si ha:
( ) ( ) ( )x t X f exp j2 ft df+∞
−∞= + π∫
L2/48
INVERSIONE DELL'INTEGRALE DI FOURIER (Cont.) Se definiamo la funzione ( )ax t come:
( ) ( ) ( )a
aa
x t X f exp j2 ft df−
= + π∫
dove a è un numero reale, e dove ( ) ( ) ( )X f x t exp j2 ft dt∞
−∞= − π∫ ,
otteniamo, dall'espressione di ( )X f come integrale di Fourier:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
a
aa
a
a
x t x exp j2 f d exp j2 ft df
x exp j2 f t df d
∞
− −∞
∞
−∞ −
⎡ ⎤= θ − π θ θ π =⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤= θ π − θ θ⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫
L2/49
INVERSIONE DELL'INTEGRALE DI FOURIER (Cont.)
L'integrale interno vale (ricordando che ( )sin 2 f t⎡ ⎤π − θ⎣ ⎦ è una funzione dispari della frequenza f ):
( ) ( )a a
a aexp j2 f t df cos 2 f t df
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤π − θ = π − θ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫
( ) ( ) ( ){ }1 sen 2 t a sen 2 t a2 t
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= π − θ − − π − θ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦π − θ
( )
( )( )
( ) ( )sen 2 t a sen 2 t a
2a 2a sinc 2 t a t 2 t a
⎡ ⎤ ⎡ ⎤π − θ π − θ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤= = ⋅ = ⋅ π − θ⎣ ⎦π − θ π − θ
Il risultato dell'integrazione, pensato funzione della differenza tτ = − θ, è la
funzione Kernel: ( ) ( )a atϕ − θ = ϕ τ
L2/50
FUNZIONE KERNEL DI TIPO "SINC" TRASFORMATA DI FOURIER DI UNA "FINESTRA"
RETTANGOLARE DI AMPIEZZA 2a
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-0.5
0
0.5
1
1.5
2
τ
φ (τ )
a = 12a
1/2a
( ) ( ) ( )a
sin 2 a2a 2a sinc 2 a
2 aπ τ
ϕ τ = ⋅ = ⋅ π τπ τ
L2/51
INVERSIONE DELL'INTEGRALE DI FOURIER (Cont.) Pertanto la funzione ( )ax t è ottenuta dal calcolo del seguente integrale:
( ) ( ) ( )a ax t x t d∞
−∞= θ ⋅ϕ − θ θ∫
Essa è la convoluzione della funzione originaria ( )x t con la funzione Kernel ( )a tϕ
( ) ( ) ( )a ax t x t t= ∗ϕ
L2/52
TRASFORMATA DI FOURIER INVERSA
Nell’inversione dell’integrale di Fourier si calcola ( ) ( )ax t t∗ϕ :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )a
aa
x t x t d x t t−
= θ ϕ − θ θ = ∗ϕ∫
Facendo tendere a ad ∞:
• in ogni punto t di continuità di ( )x t si ha
( ) ( )aalim x t x t→∞
=
Infatti per a → ∞, ( ) ( )a tϕ τ → δ "impulso di Dirac".
I contributi alla convoluzione per valori di θ diversi da t divengono
sempre più piccoli quando a cresce se ( )x t è continua in t
• Quindi:
( ) ( ) ( ) ( )aalim x t x t X f exp j2 ft df
∞
→∞ −∞= = π∫
Si è così dimostrata la trasformata di Fourier inversa.
L2/53
OSCILLAZIONI DI GIBBS
Se ( )x t è discontinua per t = t0 si ha:
( )( ) ( )0 0
a 0a
x t x tlim x t
2
+ −
→∞
+=
Nell’intorno del punto di discontinuità t0 la funzione ( )ax t mostra le cosiddette “oscillazioni di Gibbs” che risultano dalla convoluzione con la funzione ( )a tϕ .
0
( )ax t( )x t
0t00t− t
( ) ( )0 0x t x t2
+ −+
0
( )ax t( )x t
0t00t− t
( ) ( )0 0x t x t2
+ −+
Il fenomeno delle "oscillazioni di Gibbs”
L2/54
ESEMPIO DI OSCILLAZIONI DI GIBBS
L2/55
TEOREMA DI PARSEVAL PER SEGNALI DI ENERGIA Analogamente al caso dei segnali periodici, per segnali di energia E si ha:
( ) ( )2 2X f df x t dt E
∞ ∞
−∞ −∞= =∫ ∫
La funzione ( ) 2X f viene chiamata Densità Spettrale di Energia del segnale ( )x t , e si ricava con un analizzatore di spettro:
INTEGRATOREMODULO
QUADRO
( )cos 2 ftπ
( )sin 2 ftπ
( ) 2X f
MODULO
QUADRO
( )x t
INTEGRATORE
+
+INTEGRATOREINTEGRATORE
MODULO
QUADRO
MODULO
QUADRO
( )cos 2 ftπ
( )sin 2 ftπ
( ) 2X f
MODULO
QUADRO
MODULO
QUADRO
( )x t
INTEGRATOREINTEGRATORE
+
+
L2/56
ANALIZZATORE DI SPETTRO
In generale, per realizzare l'analisi armonica (di Fourier, spettrale) per funzioni tempo-continue, aperiodiche, reali si fa uso dello schema che fornisce la parte reale e quella immaginaria dell'integrale di Fourier.
Sintetizzatore
Integratore(passa-basso)
Integratore(passa-basso)
∼90°( )cos 2 ftπ
( )sin 2 ft− π
( )x t ( )Re X f⎡ ⎤⎣ ⎦
( )Im X f⎡ ⎤⎣ ⎦
( ) ( ) ( )X f A f exp j f
⎫⎪⎪⎪⎪ ⎡ ⎤= ⋅ φ⎬ ⎣ ⎦⎪⎪⎪⎪⎭
Spettro delSegnale
( ) ( ){ } ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ){ }
j 2 ft
SIMM . ANTIS .
X f F X t x t e dt
x t cos j2 ft dt j x t sin j2 ft dt F X t jF X t
+∞π
−∞
+∞ +∞
−∞ −∞
= = =
= π − π = −
∫∫ ∫
Sintetizzatore
Integratore(passa-basso)
Integratore(passa-basso)
Integratore(passa-basso)
Integratore(passa-basso)
∼90°( )cos 2 ftπ
( )sin 2 ft− π
( )x t ( )Re X f⎡ ⎤⎣ ⎦
( )Im X f⎡ ⎤⎣ ⎦
( ) ( ) ( )X f A f exp j f
⎫⎪⎪⎪⎪ ⎡ ⎤= ⋅ φ⎬ ⎣ ⎦⎪⎪⎪⎪⎭
Spettro delSegnale
( ) ( ){ } ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ){ }
j 2 ft
SIMM . ANTIS .
X f F X t x t e dt
x t cos j2 ft dt j x t sin j2 ft dt F X t jF X t
+∞π
−∞
+∞ +∞
−∞ −∞
= = =
= π − π = −
∫∫ ∫
L2/57
IMPIEGO DELLA TRASFORMATA DI FOURIER
La trasformazione di Fourier è molto usata nell'analisi dei segnali: A. Segnali ad energia finita (brevemente: “di energia”), cioè tali che
( )2
x t dt∞
−∞< ∞∫
Esempio: un impulso rettangolare.
B. Segnali a potenza finita (brevemente: “di potenza”), cioè tali che
( )x t < ∞ ma in generale ( )2
x t dt∞
−∞∫ è infinito.
Esempi: - un “treno” o successione di infiniti impulsi - una sinusoide - un rumore • Nel caso A la trasformata di Fourier fornisce lo spettro di energia.
• Nel caso B si parla di spettro di potenza, che è ottenuto dalla serie di Fourier nel caso di segnali periodici, ed è ottenuto facendo la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione per segnali aleatori, come il rumore.
L2/58
PROPRIETÀ DELL’INTEGRALE DI FOURIER 1) Traslazione
Se ( )X f è la trasformata di Fourier di ( )x t , allora sono valide le seguenti relazioni
1a) ( ) ( ) ( )0 0F x t t X f exp j2 ft⎡ ⎤− = ⋅ − π⎣ ⎦
1b) ( ) ( ) ( )0 0F x t exp j2 f t X f f⎡ ⎤⋅ + π = −⎣ ⎦
Infatti per la 1a):
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0j2 f t j2 ft j2 ftj2 ft j2 f
0x t t e dt x e d e x e d e X f∞ ∞ ∞
− π θ+ − π − π− π − π θ
−∞ −∞ −∞− = θ θ = θ θ =∫ ∫ ∫
La dimostrazione della 1b) è immediata:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )00 0j2 f f tj2 f t j2 f t j2 ft
0F x t e x t e e dt x t e dt X f f∞ ∞
− π −π π − π
−∞ −∞⎡ ⎤ = = = −⎣ ⎦ ∫ ∫
L2/59
PROPRIETÀ DELL’INTEGRALE DI FOURIER 2) Convoluzione Se ( )X f e ( )Y f sono le trasformate di Fourier dei segnali ( )x t e ( )y t :
( ) ( ) ( ) ( )F x t y t X f Y f⎡ ⎤∗ = ⋅⎣ ⎦
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j2 ftF x t y t F x y t d x y t d e dt∞ ∞ ∞
− π
−∞ −∞ −∞
⎡ ⎤⎡ ⎤∗ = θ − θ θ = θ − θ θ =⎢ ⎥⎣ ⎦
⎣ ⎦∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )j2 f tj2 fdt x y t e e d∞ ∞
− π −θ− π θ
−∞ −∞= θ − θ θ =∫ ∫
( ) ( ) ( )j2 f tj2 fx e d y t e dt∞ ∞
− π −θ− π θ
−∞ −∞= θ θ⋅ − θ =∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )j2 f j2 fx e d y e d X f Y f∞ ∞
− π θ − π λ
−∞ −∞= θ θ⋅ λ λ = ⋅∫ ∫
Per dualità dell’integrale di Fourier, si ha:
( ) ( ) ( ) ( )F x t y t X f Y f⎡ ⎤⋅ = ∗⎣ ⎦
L2/60
PROPRIETÀ DELL’INTEGRALE DI FOURIER 3) Simmetria Se ( )x t è reale: ( ) ( )*X f X f= − cioè la trasformata di Fourier di una funzione reale è Hermitiana
Infatti:
( ) ( ) ( )X f x t cos 2 ft dt j x t sin2 ft dt∞ ∞
−∞ −∞= π − π =∫ ∫
( ) ( )A f jB f= −
( ) ( ) ( )X f x t cos 2 ft dt j x t sin2 ft dt∞ ∞
−∞ −∞
⎡ ⎤− = π + π =⎢ ⎥
⎣ ⎦∫ ∫
( ) ( ) ( )A f jB f X f∗= + =
Ne consegue che: Se ( )x t è reale e simmetrica allora ( )X f è reale e simmetrica. Infatti se ( )x t è anche simmetrica si annulla ( )B f .
L2/61
PROPRIETÀ DELL’INTEGRALE DI FOURIER 4) Linearità Se ( )1S f ed ( )2S f sono le trasformate di Fourier dei segnali ( )1s t ed ( )2s t , e “a” e “b” sono due costanti, la trasformata di Fourier di ( ) ( )1 2a s t b s t⋅ + ⋅ è:
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2F a s t b s t a S f b S f⎡ ⎤⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅⎣ ⎦ 5) Dualità Se ( )Y f è la trasformata di Fourier di ( )x t , allora la trasformata di Fourier di ( )Y t è:
( ) ( )F Y t x f⎡ ⎤ = −⎣ ⎦
Infatti: ( ) ( ) j2 fF Y t Y e d∞ − π θ
−∞⎡ ⎤ = θ θ⎣ ⎦ ∫
( ) ( ) j2 tx t Y e d∞
+ πα
−∞= α α∫
( ) ( ) ( )j2 f j2 fx f Y e d Y e d∞ ∞
− πα − π θ
−∞ −∞− = α α = θ θ∫ ∫
L2/62
PROPRIETÀ DELL’INTEGRALE DI FOURIER 6) Scalatura Se si moltiplica la variabile temporale per la costante "a" e
si opera la trasformata di Fourier risulta:
( ) 1 fF s a t Sa a
⎛ ⎞⎡ ⎤ = ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠
Ad una contrazione |a| > 1 (dilatazione |a| < 1) della scala dei tempi
corrisponde una dilatazione (contrazione) della scala delle frequenze.
Infatti
( ) j2 fts at e dt∞
− π
−∞∫ ( ) ( ) ( ) ( )j2 f aj2 f a 1s e d a s e da
∞ ∞ − π θ− π θ
−∞ −∞= θ θ = θ θ∫ ∫
L2/63
Effetto di Scalatura per l’Impulso Rettangolare
L2/64
Effetto di Scalatura per l’Impulso Triangolare
L2/65
Effetto di “Smussamento” di un segnale
L2/66
PROPRIETÀ DELL’INTEGRALE DI FOURIER 7) Coniugio
( ) ( )F x t X f∗ ∗⎡ ⎤ = −⎣ ⎦
Infatti:
( ) ( )* j2 ft *x t e dt X f∞
+ π
−∞=∫
( ) ( )* j2 ft *x t e dt X f∞
− π
−∞= −∫
8) Derivazione
( ) ( )dF x t j2 f X fdt
⎧ ⎫⎡ ⎤ = π ⋅⎨ ⎬⎣ ⎦⎩ ⎭
Infatti: ( )
( ) ( ) ( )
j2 ft
j2 ft j2 ft
dx te dt
dt
x t e j2 f x t e dt j2 f X f
∞− π
−∞
∞∞− π − π
−∞ −∞
=
⎡ ⎤= − − π ⋅ = π ⋅⎣ ⎦
∫∫
L2/67
PROPRIETÀ DELL’INTEGRALE DI FOURIER 9) Integrazione
( ) ( )t 1F x d X f
j2 f−∞
⎧ ⎫θ θ =⎨ ⎬ π⎩ ⎭∫
si dimostra ponendo
( ) ( )t
y t x d−∞
= θ θ∫
quindi
( ) ( )dx t y tdt
=
per la proprietà di derivazione
( ) ( )X f j2 f Y f= π ⋅ cioè
( ) ( )1Y f X fj2 f
=π
L2/68
Trasformata di Fourier dell’impulso rettangolare
T2
−
( )x t
t0
T2
+
1
T2
−
( )x t
t0
T2
+
1
( ){ } ( ) ( )Tsin fT
F rect t T T sinc fTfTπ
= ⋅ = ⋅ ππ
-6/T -5/T -4/T -3/T -2/T -1/T 0 1/T 2/T 3/T 4/T 5/T 6/T
0
T
( )T
T T1 Trect t 2 2
0 altrove
⎧ − ≤ ≤ +⎪= ⎨⎪⎩
L2/69
Trasformata di Fourier dell’impulso rettangolare
Anti-trasformando:
( ) ( ) ( )j 2 ft j 2 ftT
sin fTrect t X f e df T e df
fT
+∞ +∞π π
−∞ −∞
π= = ⋅
π∫ ∫
( ) ( ) ( )T
sin fTrect 0 X f df T df 1
fT
+∞ +∞
−∞ −∞
π= = ⋅ =
π∫ ∫
Per T → ∞
( ) ( )Trect t 1 costante t→ ∀ Fourier⎯⎯⎯→ ( ){ } ( )TF rect t f→ δ
x(t)
0 t
1x(t)
0 t
1
X( f )
0 f
δ ( f )
X( f )
0 f
δ ( f )
L2/70
Trasformata di Fourier dell’impulso di Dirac
( ){ } ( ) ( ) j 2 ft j 2 ftt 0
F t f t e dt e 1+∞
− π − π
=−∞⎡ ⎤δ = Δ = δ = =⎣ ⎦∫
t0
( )tδ
f0
( )fΔ
1
t0
( )tδ
t0
( )tδ
f0
( )fΔ
1
L2/71
Trasformata di Fourier del coseno e seno
( ) ( ) ( ) ( )0 00
exp j2 f t exp j2 f tx t cos 2 f t
2π + − π
= π =
( ) ( ) ( ) ( )0 00
exp j2 f t exp j2 f tx t sin 2 f t
2 jπ − − π
= π =
0 0f+0f−
( )X f12
0 0f+
0f−
( )j X f12
12
−
0 0f+0f−
( )X f12
0 0f+
0f−
( )j X f12
12
−
Coseno Seno
L2/72
Esempio di Modulazione
( ) ( ) ( )z t x t y t= ⋅
dove ( )x t e ( )y t ammettono trasformata di Fourier ( )X f e ( )Y f
Per lo spettro di ( )z t si ha (convoluzione degli spettri):
( ) ( ) ( )*Z f X f Y f=
Caso A:
( ) ( )0x t sin 2 f t= π Fourier⎯⎯⎯→ ( ) ( ) ( )0 0j jX f f f f f2 2
= − δ − + δ +
( )
1 t 1y t
0 altrove<⎧
= ⎨⎩
Fourier⎯⎯⎯→ ( ) ( )sin 2 fY f 2
2 fπ
=π
L2/73
Caso A: Segnale z(t) Ipotizzando 0f 1>> (ad esempio 0f 15= )
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
t
z(t)
L2/74
Caso A: Spettro di z(t)
( ) ( ) ( ) ( )0 0
sin 2 fj jZ f f f f f * 22 2 2 f
π⎡ ⎤⎡ ⎤= − δ − + δ + ⎢ ⎥⎢ ⎥ π⎣ ⎦ ⎣ ⎦
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Frequenza
Mod
ulo
di Z
(f)
( ) ( )( )
( )( )
0 0
0 0
sin 2 f f sin 2 f fZ f j
2 f f 2 f f⎡ ⎤π − π +
= − +⎢ ⎥π − π +⎣ ⎦
f0 = 15
L2/75
Caso B:
( ) ( )0x t sin 2 f t= π ( ) ( )
1cos 2 f t t 1y t
0 altroveπ <⎧
= ⎨⎩
con 1 0f f<<
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
t
z(t)
Con 1f 0.25= e 0f 15=
L2/76
Caso B: calcolo degli spettri
( ) ( ) ( )0 0j jX f f f f f2 2
= − δ − + δ + (come nel caso A)
( ) ( ) ( ) ( )1 1
j 2 ft1 1
1 1Y f cos 2 f t e dt cos 2 f t cos 2 ft dt
+ +− π
− −= π = π π =∫ ∫
( )[ ] ( )[ ]( )1
1 11
1 cos 2 f f t cos 2 f f t dt2
+
−= π + + π − =∫
( )[ ]( )
( )[ ]( )
11 1
1 1 1
sin 2 f f t sin 2 f f t12 2 f f 2 f f
+
−
π + π −⎡ ⎤= + =⎢ ⎥π + π −⎣ ⎦
( )[ ]( )
( )[ ]( )
( )[ ] ( )[ ]1 11 1
1 1
sin 2 f f sin 2 f fsinc 2 f f sinc 2 f f
2 f f 2 f fπ + π −
= + = π + + π −π + π −
L2/77
Caso B: spettro di y(t)
( ) ( )[ ] ( )[ ]1 1Y sinc 2 f f s ff inc 2 f= +π + π −
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Frequenza
Y(f
)
per 1f 0.25=
L2/78
Caso B: spettro di z(t)
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Frequenza
Z(f
)
per 1f 0.25= e 0f 15=
L2/79
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Frequenza
Mod
ulo
di Z
(f)
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Frequenza
Mod
ulo
di Z
(f)
Caso A
Caso B
L2/80
