INTRODUZIONE ALLA MECCANICADELLE TERRE E DELLE ROCCE

Evandro CozziGiuseppe Della Monica

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via Raffaele Garofalo, 133 A/B00173 Roma

(06) 93781065

ISBN 978–88–548–2809–4

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I edizione: settembre 2009

7

Indice 11 Introduzione

15 Capitolo I

Richiami di algebra vettoriale

Rappresentazione intrinseca dei vettori, 16 – 1.1. Rappresentazio-ne intrinseca dei vettori, 16 – 1.1.1. Operazioni sui vettori, 16 – 1.1.1.1. Somma di due vettori, 18 – REGOLA DEL PARALLELO-GRAMMO, 19 – PROPRIETÀ DELLA SOMMA VETTORIALE, 20 – 1.1.1.2. Differenza tra due vettori, 20 – PROPRIETÀ DELLA DIFFE-RENZA TRA DUE VETTORI, 20 – 1.1.1.3. Prodotto di un vettore per uno scalare, 22 – 1.1.1.4. Prodotto scalare o “interno”, 24 – 1.1.1.5. Prodotto vettoriale o “esterno”, 25 – 1.2. Rappresentazione carte-siana dei vettori, 26 – 1.2.1. Coseni direttori, 28 – 1.2.2. Somma e sottrazione, 29 – 1.2.2.1. Somma tra due vettori, 29 – 1.2.2.2. Dif-ferenza tra due vettori, 29 – 1.2.3. Prodotto interno, 30 – 1.2.4. Pro-dotto esterno, 31 – 1.3. Cenni di analisi vettoriale, 32 – 1.3.1. Gra-diente, 34 – 1.3.2. Osservazioni, 35 – 1.3.3. Divergenza, 35 – 1.3.4. Teorema della divergenza, 37 – 1.3.5. Rotore, 41 – 1.3.6. Circuita-zione, 42 – 1.3.7 Teorema di Stokes, 42 – 1.3.8. Laplaciano di uno scalare, 46 – 1.4. I Tensori, 46 – 1.4.1 Cambiamento di coordinate per rotazione e traslazione di assi, 48 – 1.5. Diagonalizzazione di una matrice quadrata, 49 – 1.6. Riepilogo, 57 – 1.7. Esercizi, 62

71 Capitolo II Il tensore delle deformazioni

2.1. Corpo continuo, 71 – 2.2 La matrice rotazione, 79 – 2.3. La matrice delle deformazioni, 80 – 2.4. Le componenti del tensore della deformazione, 81 – 2.4.1. Deformazione lineare specifica, 82 – 2.4.2. La deformazione angolare specifica, 83 – 2.4.3. Esempi di stili di deformazione, 85 – 2.5. La variazione specifica di volume, 87 – 2.6. Direzioni principali, 90 – Ap-pendice, 96

Indice 8

97 Capitolo III Il tensore degli sforzi

3.1 Analisi del campo di forze interne in un mezzo continuo, 97 – 3.1.1. Teorema della divergenza, 99 – 3.2. Condizione di equilibrio statico di un solido, 106 – 3.3. Stato dello sforzo in un punto, 109 – 3.4. Assi principali del tensore degli sforzi, 113 – 3.5. Sforzo idrostatico o sferico e sforzo deviatorico, 116

121 Capitolo IV Esercizi su invarianti dello sforzo 139 Capitolo V Diagramma circolare dello sforzo

5.1. Stato dello sforzo piano, 141 – 5.2. Esercizi, 159 – 5.2.2 Calcolo degli sforzi principali, 159 – Appendice, 160

167 Capitolo VI La legge di Hooke

6.1. Relazione lineare tra sforzo e deformazione, 167 – 6.2. Comportamento elastico, 174 – 6.3. Energia elastica di deforma-zione, 176 – 6.3.1. Comportamento elastico–fragile, 187 – 6.3.2. Comportamento elasto–plastico rammollente, 188 – 6.4. Princi-pio di sovrapposizione, 191 – 6.5. Esercizi, 191 – 6.6. Rapporto di Poisson, 193 – 6.7. Variazione volumetrica e costanti di Lamè, 197

201 Capitolo VII Legge di Hooke generalizzata

7.1. Matrice dei termini di cedevolezza e di rigidità, 201 – 7.2. Il modulo di scorrimento tangenziale, 207 – 7.3. Limiti del rappor-to di Poisson, 212

Indice 9

221 Capitolo VIII Proprietà di un mezzo granulare

8.1. Criterio di classificazione di un mezzo granulare, 221 – 8.2. Resistenza meccanica di un mezzo granulare, 224 – 8.3. Condizioni di fagliamento di una struttura litologica semplice, 227 – 8.4. Stato dello sforzo in uno strato litosferico, 234

245 Capitolo IX Stato dello sforzo in un terreno saturo

9.1. L’acqua in un mezzo granulare, 245 – 9.1.1. Terreno Sec-co, 246 – 9.1.2. Terreno saturo con acqua in quiete, 247 – 9.1.3. Terreno saturo con acqua in regime di filtrazione, 247 – 9.2. Proncipio di Terzaghi, 250 – 9.2.1. Le differenze, 254 – 9.2.2. Pressioni Neutre, 258 – 9.2.2. Pressioni Efficaci, 258 – 9.2.3. Pressioni Totali, 259 – 9.3. L’azione dell’acqua libera in condizioni dinamiche, 260 – 9.3.1. Equazione di Continuità, 261 – 9.3.2. Equazione di Bernoulli, 262 – 9.3.3. Energia po-tenziale, 263 – 9.3.4. Energia cinetica, 263 – 9.3.5. Energia di pressione, 263 – 9.4. Moti di filtrazione e Legge di Darcy, 270

277 Capitolo X Equazione delle onde elastiche

10.1. Confronto tra le velocità delle onde sismiche di volume, 290 – 10.2. Rapporto tra vp e vs, 294 – 10.3. Rigidità sismica, 297 – 10.4. Coefficiente di Riflessione R, 302 – 10.4.2. Coefficiente di Trasmissione T, 304

307 Capitolo XI La reologia

11.1. Viscosità ed aderenza, 310 – 11.2 Legge di Newton o del-la viscosità, 312 – 11.3. Funzione di creep, 316 – 11.4. Viscoe-lasticità (modelli viscoelastici), 319 – 11.4.1. Solido di Ma-xwell, 319 – SOLIDO DI KELVIN & VOIGT, 322 – Appendice, 327

Indice 10

329 Capitolo XII La risposta ad un segnale sinusoidale

12.1. Moduli complessi e tangente di perdita, 334 – 12.2. Ana-lisi dei modelli di Kelvin–Voigt e Maxwell nel dominio della frequenza, 338 – Appendice, 343

15

Capitolo I

Richiami di algebra vettoriale

La matematica è stata definita il linguaggio della fisica. Le leggi della fi-

sica vengono scritte mediante equazioni matematiche che mettono in rela-zione le grandezze caratterizzanti il fenomeno che si vuole descrivere.

Le grandezze utilizzate per descrivere i fenomeni fisici possono essere definite come scalari e/o vettoriali.

Grandezze scalari, definibili mediante un numero reale, come ad esempio la temperatura di un generico punto di una stanza, la pressione ad una certa profondità del mare ecc.

Grandezze vettoriali, quelle che nel generico punto dello spazio tridimen-sionale euclideo, possono essere individuate da tre numeri reali; questa terna, adottando la rappresentazione intrinseca è definita da un numero reale non negativo, una direzione ed un verso; se invece si adotta una rappresentazione cartesiana, allora la terna è costituita dalle tre componenti spaziali.

Ad esempio una forza è una grandezza vettoriale, la cui azione è comple-tamente definita specificando il suo modulo, la direzione di azione ed il ver-so; anche per definire la posizione di un punto nello spazio è necessario spe-cificare oltre alla distanza che lo separa da un punto di riferimento, anche la direzione ed il verso di percorrenza.

Si definiscono grandezze tensoriali, quelle grandezze che possono essere individuate solo attraverso un certo numero di vettori.

La deformazione che subisce un corpo solido è descritta mediante il ten-sore delle deformazioni, così come lo stato dello sforzo in un corpo solido è descritto dal tensore dello sforzo.

Capitolo I 16

1.1. Rappresentazione intrinseca dei vettori

Come detto precedentemente un vettore è rappresentato da un segmento orientato, la retta che lo sostiene è definita direzione del vettore, la lunghez-za del segmento è definita modulo del vettore l’orientazione del segmento lungo la sua direzione si definisce verso.

Un estremo del segmento viene definito origine del vettore, l’altro invece semplicemente estremo libero.

L’estremo libero di un vettore si indica con la punta di una freccia, nella figura successiva è illustrata la rappresentazione intrinseca di due vettori.

La rappresentazione algebrica di un vettore è indicata da una lettera mi-nuscola sormontata da una freccia es: ar b

r cr .

1.1.1. Operazioni sui vettori

Nell’insieme dei vettori possono essere definite una serie di operazioni,

tra cui la somma, la differenza e anche il prodotto. 1.1.1.1. Somma di due vettori

Se consideriamo due vettori ar e b

r, che condividono la stessa retta di

sostegno o che comunque hanno due rette di sostegno parallele, dalla loro somma si ottiene il vettore cr , il cui modulo è dato dalla soma dei moduli, la direzione è quella dei vettori di partenza ed il verso è quello definito dal se-gno, risultante dalla somma.

Richiami di algebra vettoriale 17

Quanto appena detto deriva da una proprietà dei vettori e cioè Un vettore può essere traslato lungo la sua retta di sostegno e la retta di so-stegno può essere traslata parallelamente a se stessa. Se le rette di sostegno dei due vettori non sono parallele, come nello

schema illustrato nella figura successiva allora si ricorre all’uso della regola del parallelogrammo, costruito proprio grazie alle due proprietà appena e-nunciate;

Grazie a queste, la configurazione sopra illustrata può essere trasformata nelle due successive configurazioni equivalenti:

Dalla combinazione di queste due configurazioni si costruisce un paral-lelogrammo come quello illustrato nella figura successiva.

Capitolo I 18

Questo parallelogrammo è caratterizzato da spigoli opposti con caratteri-stiche diverse, lo spigolo A è caratterizzato dalla sovrapposizione delle ori-gini dei due vettori, mentre nello spigolo B convergono gli estremi liberi dei due vettori.

Gli spigoli C e D sono equivalenti poiché in ognuno di questi punti si so-vrappongono l’estremo libero di un vettore cono l’origine dell’altro. REGOLA DEL PARALLELOGRAMMO

Si definisce vettore somma tra i vettori ar e b

r il vettore cr la cui direzio-

ne è individuata dalla retta che unisce i punti A e B del parallelogrammo, il modulo del vettore somma è pari alla distanza che separa questi due punti ed il verso è quello che va dal punto A, origine del vettore cr , al punto B estre-mo libero.

L’espressione che descrive l’operazione di somma è la seguente:

Richiami di algebra vettoriale 19

cba rrr=+

La direzione di un vettore è riferita ad una direzione principale per mezzo

di un angolo. Per orientare due vettori nello spazio si ricorre all’angolo tra loro com-

preso, come illustrato nella figura successiva

Il modulo del vettore somma si ottiene risolvendo il triangolo che nel pa-rallelogrammo è indicato con i punti ABC.

Questo triangolo è costruito con i moduli dei vettori ar , br

e cr . I dati per risolvere questo problema sono: modulo di ar ; modulo di b

r;

angolo compreso tra i due vettori dati θ. In questa configurazione il modulo del vettore cr si ottiene risolvendo il

triangolo ACB o ADB, applicando il teorema dei coseni definito come la ge-neralizzazione del teorema di Pitagora:

( )θπ −⋅−+= cos2222 babac

PROPRIETÀ DELLA SOMMA VETTORIALE

commutativa abba rrrr+=+

associativa ( ) ( )cbacba rrrrrr++=++

Capitolo I 20

1.1.1.2. Differenza tra due vettori La differenza tra il vettore ar ed il vettore b

rsi esegue operando la som-

ma tra il vettore ar e l’opposto di br

. PROPRIETÀ DELLA DIFFERENZA TRA DUE VETTORI

dbabarrrrr

=−+=− )(

Considerando sempre i due vettori ar e bv

, la loro differenza, che in que-sto caso genera il vettore d

r, si ottiene secondo lo schema della figura suc-

cessiva:

Anche in questo caso il modulo del vettore differenza si ottiene ricorren-do al teorema dei coseni, quindi:

( )θcos2222 ⋅−+= abbad

l’angolo θ è sempre l’angolo compreso tra i vettori ar e b

v che in questa

geometria è anche l’angolo compreso tra i due lati noti. 1.1.1.3. Prodotto di un vettore per uno scalare

Il prodotto tra una quantità salare α ed un vettore ar genera un vettore b

rca-

ratterizzato dalla stessa retta di sostegno del vettore ar e verso concorde ad ar , il modulo di b

r è definito dal prodotto tra lo scalare α ed il modulo di b

r:

Richiami di algebra vettoriale 21

ab

abrr

rr

⋅=

⋅=

α

α

osservando l’ultima espressione possiamo dedurre che il vettore b

r è nullo se

è nullo lo scalare α oppure se è nullo il vettore ar . In particolare avremo ba

rr= quando 1=α

Per terminare, definendo gli scalari α e β appartenenti all’insieme dei numeri reali R∈βα , possiamo scrivere le espressioni derivanti dalle pro-prietà commutativa ed associativa:

( ) ( )aa rr⋅=⋅⋅ βαβα

( ) aaab rrrr

⋅+⋅=⋅+= βαβα

( ) baba

rrrr⋅+⋅=⋅+ ααα

Il prodotto tra uno scalare ed un vettore si può essere scritto anche nel se-

guente modo:

sab ˆ⋅⋅=rr

α

in questa espressione il carattere vettoriale è espresso dal parametro s , poi-ché le quantità che lo precedono sono di natura scalare; questo parametro è un vettore che non modifica il modulo ar⋅α , quindi è un vettore caratteriz-zato da un modulo unitario, questo particolare vettore è definito versore.

Il versore evidenzia le caratteristiche direzionali del generico vettore, per quanto appena detto un vettore può essere definito dalla seguente espressio-ne vettoriale:

sbb ˆ⋅=

rr

i vettori b

r ed s hanno la stessa retta di sostegno.

Capitolo I 22

1.1.1.4. Prodotto scalare o “interno” Il prodotto scalare tra due vettori è una quantità scalare, il cui valore si ot-

tiene dal prodotto dei moduli dei due vettori, per il coseno dell’angolo compreso:

( )θϑ cos⋅⋅= ba

Il prodotto scalare tra due vettori ortogonali tra loro è nullo.

in termini vettoriali questa operazione si scrive:

( ) ( )abba rrrr×=×=ϑ

questa scrittura vuole evidenziare che questo prodotto gode della proprietà commutativa.

Il prodotto scalare tra un vettore e sé stesso, è una quantità scalare pari al quadrato del suo modulo quindi:

2vvv rrr

=×

il prodotto scalare tra un versore e sé stesso è pari all’unità:

1ˆˆˆ 2 ==× eee

con questa proprietà possiamo ottenere l’espressione del teorema di Carnot o dei coseni: presi tre vettori complanari con diverse direzioni, possiamo co-struire il seguente triangolo:

Richiami di algebra vettoriale 23

Il vettore somma barr

+ possiamo indicarlo nel seguente modo:

bacrrr

+=

L’espressione che descrive il prodotto scalare tra il vettore somma e se stesso è la seguente:

( ) ( )babaccrrrrrr

+×+=×

sviluppando il prodotto scalare al secondo membro avremo:

( ) ( ) ( ) ( )( )γ

γγ

cos2

coscos222 ⋅⋅⋅++=

=⋅⋅+⋅⋅+×+×=×

babac

abbabbaaccrr

rrrrrrrrrr

dalla figura risulta anche che l’angolo compreso tra i vettori è απγ −= , dove l’angolo α è l’angolo compreso tra i due lati noti del triangolo, quindi operando la sostituzione avremo

( )( )απ −⋅⋅⋅++= cos2222 babacrr

Applicando le formule di addizione e sottrazione degli angli avremo:

Capitolo I 24

( ) ααπαπαπ coscoscoscos −=⋅+⋅=− sensen

sostituendo questa quantità avremo

αcos2222 ⋅−+= abbac

Il teorema di Carnot è la generalizzazione del teorema di Pitagora, il quale

descrive lo stesso sistema nel caso particolare dell’angolo 2πα =

1.1.1.5. Prodotto vettoriale o “esterno”

Il prodotto vettoriale tra due vettori è un vettore e si definisce con la se-guente scrittura,

( )bavrrr

∧=

il modulo di questo vettore si ottiene dalla seguente relazione:

( )θsin⋅⋅= bav

la direzione è quella normale al piano che contiene i due vettori di partenza, il verso è quello che un osservatore posto sull’origine dei due vettori vede ruotare in senso antiorario il primo vettore per sovrapporsi al secondo co-prendo l’angolo più piccolo; il modulo è dato dall’area del parallelogrammo, come illustrato nello schema della figura successiva.

Richiami di algebra vettoriale 25

Il prodotto vettoriale non gode della proprietà commutativa quindi:

( ) ( )abbav rrrrr∧−=∧=

1.2. Rappresentazione cartesiana dei vettori

La rappresentazione intrinseca dei vettori è spesso sostituita dalla più comoda rappresentazione cartesiana, che è ottenuta fornendo le tre proiezio-ni del segmento orientato lungo gli assi cartesiani del sistema di riferimento adottato.

In uno spazio cartesiano a tre dimensioni, un punto { }zyxP ,, , viene in-dividuato da un raggio vettore vr il cui modulo è dato dalla misura del seg-mento OP , dove l’estremo O coincide con l’origine del sistema di riferi-mento cartesiano adottato.

Le proiezioni di questo segmento sugli assi coordinati si definiscono i

moduli delle componenti cartesiane del vettore, queste coincidono con le co-ordinate cartesiane del punto P:

===

zOZyOYxOX

Le tre componenti cartesiane sono legate al vettore vr per mezzo dalla

seguente relazione vettoriale:

Capitolo I 26

kzjyixvrrrr

++=

Le quantità kji ˆ;ˆ;ˆ sono vettori di modulo unitario le cui direzioni sono quelle positive degli assi x; y; z, questi tre parametri formano quella che vie-ne definita base ortonormale dello spazio.

Le tre componenti scalari di vr , sono zyx ;; queste vengono definite come le proiezioni del vettore sui tre assi coordinati, i loro valori si ottengo-no dalle seguenti relazioni:

( )( )( )γβ

α

cos

cos

cos

⋅==

⋅==

⋅==

vzv

vyv

vxv

z

y

x

r

r

r

questo risultato si ottiene operando il prodotto scalare tra il vettore vr ed i versori della base ortonormale

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )γγ

ββ

αα

coscosˆˆ

coscosˆˆ

coscosˆˆ

⋅=⋅⋅=×=

⋅=⋅⋅=×=

⋅=⋅⋅=×=

vkvkvz

vjvjvy

vivivx

rrr

rrr

rrr

usando il simbolismo delle matrici un vettore può essere rappresentato me-diante una matrice riga o colonna:

( )ZYX

Z

Y

X

vvvvvv

v =

=

r

1.2.1. Coseni direttori

I tre angoli che compaiono come l’argomento del coseno nelle tre

espressioni precedenti, sono quelli che definiscono la direzione del vet-tore vr ; quindi α è l’angolo formato tra il vettore e l’asse X, β è l’an-

Richiami di algebra vettoriale 27

golo formato tra il vettore e l’asse Y, γ è l’angolo formato tra il vettore e l’asse Z.

Questi tre parametri sono definiti coseni direttori; nel seguito questi pa-rametri verranno indicati anche nel seguente modo:

αcos=l , βcos=m , γcos=n

Come è stato precedentemente detto le componenti cartesiane di un vetto-re sono definite dalla misura delle sue proiezioni lungo gli assi coordinati, quindi il versore e , che caratterizza una generica direzione dello spazio, sarà definito dalle seguenti componenti cartesiane:

γγ

ββ

αα

coscosˆ

coscosˆ

coscosˆ

=⋅=

=⋅=

=⋅=

ee

ee

ee

Z

Y

X

Possiamo quindi concludere che le componenti cartesiane del generico

versore sono i coseni direttori della retta che lo sostiene. Consideriamo ora il vettore vr , questo può essere scritto come il prodotto

del suo modulo per il versore associato alla retta che lo sostiene.

evv ˆ⋅=rr

Isolando il versore al primo membro otteniamo la seguente espressione:

222ˆ

ZYX

ZYX

vvvkvjviv

vve

++

++== r

r

Il terzo membro possiamo scriverlo come la somma di tre quantità:

k

vvvvj

vvvvi

vvvve

ZYX

Z

ZYX

Y

ZYX

X ˆˆˆˆ222222222 ++

+++

+++

=

I coefficienti dei tre versori sono proprio i coseni direttori,

Capitolo I 28

γβα cosˆcosˆcosˆˆ ⋅+⋅+⋅= kjie

Oppure:

γβα cosˆcosˆcosˆˆ ⋅+⋅+⋅== kjivve r

r

Usando il simbolismo matriciale avremo:

=

γβα

coscoscos

e

nel caso particolare della base dello spazio avremo:

=

=

=

100

ˆ;010

ˆ;001

ˆ kji

Come abbiamo detto precedentemente la relazione vettoriale, che lega il

vettore alle sue componenti cartesiane è:

kvjvivv zyxˆˆˆ ++=

r

questa relazione può essere scritta anche con il simbolo di sommatoria, quindi

∑=

⋅=++=3

1332211 ˆˆˆ

iii evevevevv )

1.2.2. Somma e sottrazione

In un riferimento cartesiano le operazioni tra vettori si eseguono come di seguito:

Richiami di algebra vettoriale 29

1.2.2.1. Somma tra due vettori

( ) ( )kcjbibkajaiaba zyxzyxˆˆˆˆˆˆ ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=+

rr

Mettendo in evidenza i versori della base ortonormale avremo:

( ) ( ) ( ) kbajbaibaba zzyyxx

ˆˆˆ ⋅++⋅++⋅+=+rr

Dove: ( )xx ba + , ( )yy ba + e ( )zz ba + sono i moduli delle componenti

cartesiane del vettore somma. Il vettore somma con il simbolismo matriciale può essere espresso nel se-

guente modo:

+++

=+

ZZ

YY

XX

bababa

ba

1.2.2.2. Differenza tra due vettori

( ) ( )kcjbibkajaiaba zyxzyx

ˆˆˆˆˆˆ ⋅+⋅+⋅−⋅+⋅+⋅=−rr

Mettendo in evidenza i versori della base ortonormale avremo:

( ) ( ) ( ) kbajbaibaba zzyyxxˆˆˆ ⋅−+⋅−+⋅−=−

rr

Dove: ( )xx ba − , ( )yy ba − e ( )zz ba − sono i moduli delle componenti

cartesiane del vettore differenza. Il vettore differenza, con il simbolismo matriciale può essere espresso nel

seguente modo:

−−−

=−

ZZ

YY

XX

bababa

ba