p" p! h Xp" p! h Xp" p! h Xp"p! h X±S

Introduzione alla Fisica Moderna (breve viaggio nelle idee alla base delle leggi fisiche...)

M. Anselmino, Torino University & INFN

Determinismo della Meccanica Classica

Elettromagnetismo e velocità della luce

Piccoli problemi che diventano grandi...

La rivoluzione della Relatività Ristretta

La rivoluzione della Meccanica Quantistica

Meccanica Quantistica e Relatività....

F = m a

Fr(t)

m

Determinismo della Meccanica Classica

j

k

i

x

y

z

r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k

v =dx(t)

dt

i +dy(t)dt

j +dz(t)dt

k

F = m a = m

d2

x(t)dt

2i +

d2y(t)

dt

2j +

d2z(t)

dt

2k

�

date la posizione e la velocità iniziali r(t = t0) v(t = t0)

determiniamo tutte le posizioni e velocità future (e passate)

v(t) r(t)

equazioni differenziali del secondo ordine

F = m a = GMm

R2

Principi primi in Meccanica Classica(principio di minima azione)

L =12

m v

2 � V (x)

S =Z t2

t1

dt L(x(t), v(t))

tra tutte le linee possibili per andare da A al tempo t1 a B al tempo t2 la particelle segue quella che rende minima

la quantità S (azione)

x

tt1 t2

x1(t)

x2(t)

x3(t)A

B

Nessun esperimento permette di distinguere due sistemi di riferimento in moto relativo uniforme: Riserratevi con qualche amico nella maggior stanza che sia sotto coverta di alcun gran naviglio, e quivi fate d'aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti [...] e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza [...] e voi, gettando all'amico alcuna cosa, non più gagliardamente la dovrete gettare verso quella parte che verso questa, quando le lontananze sieno eguali; e saltando voi, come si dice, a piè giunti, eguali spazi passerete verso tutte le parti. Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose [...] fate muover la nave con quanta si voglia velocità: che (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma (Galileo, Dialogo, giornata seconda)

Principio di relatività in Meccanica Classica

Principio di relatività in Meccanica ClassicaR R0

x

x

0

y y0

z z0

O O0

P

v

v t

P 0

P 00

x0 = x� vt = OP 00 �OO0

z0 = z = P 0P 00y0 = y = PP 0

(t0 = t)O ⌘ O0 a t = 0

u0 = u� v

u0x

= ux

� v

u0y = uy

u0z = uz

a0 = a

F = m a è la stessa in R eR0

Elettromagnetismo: la sintesi delle equazioni di Maxwell

r · E = ⇢

r · B = 0

r⇥E = �1c

@B

@t

r⇥B =1c

J +1c

@E

@t

J = densità di corrente di carica (come la carica si muove) = densità di carica (quanta carica c’è) ⇢

E campo elettrico B campo magnetico

relazioni tra le sorgenti (ρ,J) e i campi elettrici e magnetici (E,B)

la forza di Lorentz agisce su una particella di carica q in presenza di campi elettromagnetici

F = q(E +v

c⇥B) forza di Lorentz

c = velocità della luce nel vuoto

r ⌘ @

@x

i +@

@y

j +@

@z

k

(sintesi di tutti i fenomeni elettromagnetici) la bellezza delle equazioni di Maxwell

r · E = ⇢

r · B = 0

r⇥E = �1c

@B

@t

r⇥B =1c

J +1c

@E

@t

c ' 300.000 Km/s = 3⇥ 108 m s�1

direzione di propagazione

E

B

E

B

soluzioni delle equazioni di Maxwell nel vuoto (le onde elettromagnetiche) ⇢ = J = 0

� = c T lunghezza d’onda

T periodo

frequenzaf = ⌫ =1T

luce visibile

raggi gamma raggi x

raggi ultra-

violetti micro-onde onde radio

1c

2

@

2E

@t

2� @

2E

@x

2� @

2E

@y

2� @

2E

@z

2= 0

Piccoli problemi?

r · E = ⇢

r · B = 0

r⇥E = �1c

@B

@t

r⇥B =1c

J +1c

@E

@t

le equazioni di Maxwell non sono invarianti per trasformazioni di Galileo

esiste un sistema di riferimento privilegiato (etere?) nel quale si trasmettono le onde luminose?

No!

c = velocità della luce nel vuoto, si, ma in quale sistema di

riferimento? u0

x

= ux

� v

il mistero della velocità della luce

lo spettro del corpo nero [quando la natura è più saggia della teoria (errata)]

intensità della radiazione emessa da un corpo riscaldato

il calcolo classico è basato sull’elettromagnetismo e la termodinamica. Assume, come sembrava naturale, emissione continua di energia da parte delle cariche

oscillanti all’interno del corpo nero

effetto fotoelettrico: emissione di elettroni da parte di lastre metalliche

investite da radiazioni elettromagnetiche

effetto fotoelettrico (un fenomeno semplice difficile da spiegare)

Le caratteristiche sperimentalidell’effetto fotoelettrico sono incontraddizione con le predizioni della Fisica Classica, secondo la quale l’energia della radiazione è proporzionale alla sua intensità

effetto fotoelettrico: osservazioni sperimentali

Gli elettroni vengono emessiimmediatamente!

Aumentando l’intensità della luceaumenta il numero di elettroniemessi, ma non la loro velocità!

La luce rossa non causaemissione di elettroni,

qualunque sia la sua intensità!

Una debole luce violetta producel’emissione di pochi elettroni, ma

con una velocità superiore a quellaottenuta con una luce più intensa,

di lunghezza d’onda maggiore

spettri atomici (una legge semplice deve avere una spiegazione semplice...)

solo particolari lunghezze

d’onda sono emesse o

assorbite dagli atomi

la fisica classica prevederebbe uno spettro continuo...

1�

= R

✓1n2

1

� 1n2

2

◆n1, n2 = 1, 2, 3, ... n2 > n1

soluzioni e spiegazioni semplici, ma radicali... velocità della luce e Principio di Relatività

Le leggi fisiche hanno la stessa forma in tutti sistemi di riferimento inerziali

La velocità della luce nel vuoto (c) ha lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento,

indipendentemente dal moto della sorgente

c ≡ 299.792.458 m/s ~ 300.000 Km/s“Nel considerare la natura specifica della Teoria della Relatività,

tengo a mettere in evidenza che questa teoria non è di origine speculativa, ma che la sua scoperta è dovuta completamente e

unicamente al desiderio di adattare, quanto meglio è possibile, la teoria fisica ai fatti osservati” (Einsten, 1921)

R R0y y0

z z0

O O0

P

v

x, x

0

c

2t

2 � x

2 � y

2 � z

2 = c

2t

02 � x

02 � y

02 � z

02

x

0 = � (x� v t)y0 = y

z0 = z

t

0 = � (t� v

c

2x)

trasformazioni di Lorentz (lasciano

invariate le equazioni di Maxwell)

� =

s1

1� v2

c2

fattore di Lorentz

semplice idea (c indipendente dal moto della sorgente) e profonde conseguenze ....

impossibilità di superare la velocità della luce

se t1 = t2 in R, in R0 si ha :

t

01 = � (t1 �

v

c

2x1) 6= t

02 = � (t2 �

v

c

2x2)

relatività della simultaneità, etc...

ux

=u0

x

+ v

1 + v u0x

/c2se u0

x

= v = c si ha ux

= c

le leggi della dinamica vanno riformulate per soddisfare i principi della Relatività Ristretta

soluzione di Planck (1900): l’emissione di energia da parte degli oscillatori non avviene per valori continui, ma solo per multipli di un

quanto fondamentale di energia:

E = h ⌫

= frequenza della radiazione emessa⌫

spettro del corpo nero

= costante di Planckh h = 6.6⇥ 10�34 Js

nuova costante fondamentale della Natura

curve di Planck

P (W ) ⇠ e�W/kT

come succede il “miracolo”?ogni “oscillatore” emette energia W con probabilità

k = costante di Boltzmann T = temperatura

< W >=R10 We�W/kT dWR10 e�W/kT dW

= kT

< W >=P1

n=0 nh⌫ e�nh⌫/kT

P1n=0 e�nh⌫/kT

=h⌫

eh⌫/kT � 1

comportamenti molto diversi a grandi valori di ν, cioè piccoli valori di λ

emissione continua

emissione per quanti

L’osservazione che l’energia degli elettroni emessi dipende dalla frequenza, ma non dall’intensità della radiazione, indusse

Einstein all’interpretazione della radiazione elettromagnetica come ad un insieme di quanti di luce, fotoni, ciascuno di energia

effetto fotoelettrico

E = h ⌫

in pieno accordo con la spiegazione di Planck della radiazione di corpo nero

interpretazione corpuscolare di fenomeni elettromagnetici, onde come insiemi di fotoni

E = h⌫ = 6.6⇥ 10�34J s⇥ 428⇥ 1012 s�1 ' 1.77 eV

luce rossa ⌫ =c

�=

3⇥ 108 m/s

700⇥ 10�9 m' 428⇥ 1012 s�1

(1 eV = 1.6⇥ 10�19 J)

1�

= R

✓1n2

1

� 1n2

2

◆n1, n2 = 1, 2, 3, ... n2 > n1

spettri atomici

Il valore del modulo del momento angolare dell'elettrone che ruota intorno al nucleo deve essere un multiplo intero della

costante di Planck ridotta (h/2π) (orbite quantizzate)

prima spiegazione: modello atomico di Bohr, modello classico con richieste “quantistiche”

L'atomo irraggia solamente quando un elettrone effettua una transizione da un’orbita a un’altra. La frequenza della radiazione è

legata all'energia del livello di partenza (Ei) e di quello di arrivo (Ef) dalla relazione:

h ⌫ = hc

�= Ei � Ef

mvr = nh/2⇡mv2

r=

Ze2

r2

a0 = 0.5� 10�10 m rn = a0 n2

atomo di idrogenoEn = � e2

2a0

1n2

= �13.6 eV1n2

e comportamento ondulatorio delle particelle...

interferenza: comportamento ondulatorio

della luce

effetto fotoelettrico: comportamento corpuscolare

della luce

esperimento della doppia fenditura

� =h

p

� =h

p

e adesso? quali teorie? La rivoluzione della Relatività (Ristretta)

x

0 = � (x� v t)y0 = y

z0 = z

t

0 = � (t� v

c

2x)

c

2t

2 � x

2 � y

2 � z

2 = c

2t

02 � x

02 � y

02 � z

02

le leggi della fisica sono invarianti per trasformazioni di Lorentz, che

rimescolano ct, x, y, znuove quantità: 4-vettori, tensori di Lorentz

nuovi invarianti e nuova geometria, spazio-tempo di Minkowski

lo spazio tridimensionale e il tempo non sono più distinti e assoluti (nuovi fenomeni come la contrazione delle

lunghezze, la dilatazione dei tempi, etc....)

x

µxµ = c

2t

2 � x

2 � y

2 � z

2

x

µ = (ct, x, y, z) = (ct, r)

riformulazione delle leggi della dinamica

enormi quantità di energia nelle masse E = m0 c2

Il consumo medio di energia di un cittadino americano in 1 anno è stimato in circa 1011 J

pµ = (E/c, p) pµpµ =E2

c2� p2 = m2

0 c2

4-impulso

E = m(u) c2

m(u) = �(u) m0E = m(u) c2

uµ = �(u)(c,u) �(u) =

s1

1� u2

c2

x

µ = (ct, r)4-posizione 4-velocità

@µ =✓

@

@t

,

@

@x

,

@

@y

,

@

@z

◆4-derivata

E = 1 Kg ⇥ (3⇥ 108 m/s)2 = 9⇥ 1016 J

le leggi dell’elettromagnetismo rimangono invariate...

(solo riscritte in modo più compatto ed elegante)

r · E = ⇢

r · B = 0

r⇥E = �1c

@B

@t

r⇥B =1c

J +1c

@E

@t

@µFµ⌫ =1cJµ

@µeFµ⌫ = 0

Fµ⌫ =

0

BB@

0 �Ex

�Ey

�Ez

Ex

0 �Bz

By

Ey

Bz

0 �Bx

Ez

�By

Bx

0

1

CCA eFµ⌫ =

0

BB@

0 �Bx

�By

�Bz

Bx

0 �Ez

Ey

By

Ez

0 �Ex

Bz

�Ey

Ex

0

1

CCA

Jµ = (c ⇢, J)

µ, ⌫ = 0, 1, 2, 3 indici ripetuti sono sommati

La rivoluzione della Meccanica Quantisticacomportamento ondulatorio delle particelle?

ma le onde non sono localizzate ...

una funzione d’onda contiene tutte le informazioni sulla particella; il suo modulo al

quadrato dà la densità di probabilità di trovare la particella in (x,y,z) al tempo t.

La funzione d’onda è soluzione dell’equazione di Schrödinger:

(x, y, z; t)

(x, y, z; t)

i~ @

@t

= � ~2

2m

✓@

2

@x

2+

@

2

@y

2+

@

2

@z

2

◆ + V (x, y, z)

~ ⌘ h/2⇡

non tutte le grandezze fisiche possono essere misurate contemporaneamente, principio di

indeterminazione

�x�p � ~2

livelli energetici discreti emergono in modo spontaneo (quantizzazione di Planck). Per l’atomo di idrogeno sono in accordo con il modello di Bohr,

ma scompare il concetto di orbita

nessuna predizione della Meccanica Quantistica è, sinora, in contraddizione con gli esperimenti

...........

Meccanica Classica e Relatività

nel limite v/c ---> 0, le trasformazioni di Lorentz coincidono con quelle di Galileo. Gli effetti relativistici sono dell’ordine v/c. E c è molto grande (ma anche v è

grande per le particelle elementari.....)

x

0 = � (x� v t)y0 = y

z0 = z

t

0 = � (t� v

c

2x)

v

c! 0x

0 = x� v t

x

0 = x� v t

y0 = y

z0 = z

t0 = t

v/c! 0� ! 1

� ! 1v/c! 0

tutti gli effetti relativistici sono verificati quotidianamente negli acceleratori di particelle

Meccanica Classica e Meccanica Quantistica

tutti gli effetti quantistici sono importanti per i fenomeni per i quali le grandezze in gioco sono

confrontabili con la costante di Planck [h] = [Energia]⇥ [tempo] = [lunghezza]⇥ [impulso]

h = 6.6⇥ 10�34 Js

esempio di effetti quantistici applicati a corpi macroscopici: incertezza nella velocità di una matita posata sul tavolo

�p = m �v ' ~2 �x

(m = 10 g �x ' 10�7m)

�v ' 10�34 Js

2⇥ 10�2 Kg 10�7 m= 0.5⇥ 10�25 ms�1

Relatività e Meccanica Quantistica

le particelle elementari si muovono a velocità prossime a quelle della luce; i fotoni si

muovono alla velocità della luce

i fenomeni atomici e sub-atomici coinvolgono scale di energia e tempi i cui prodotti sono

dell’ordine della costante di Planckin urti ad alte energie massa ed

energia si trasformano l’una nell’altra

le teorie che descrivono tali fenomeni devono essere teorie quantistiche-relativistiche....

grazie per l’attenzione e arrivederci