Introduzione al METODO DEGLI ELEMENTI FINITI · Metodo degli elementi finiti 3 • Il metodo deve...

Introduzione al

METODO DEGLI

ELEMENTI FINITI

Metodo degli elementi finiti 2

Le funzioni approssimanti devono:

• Soddisfare i requisiti di continuità

• Essere linearmente indipendenti e completi

• Soddisfare le condizioni al contorno (essenziali)

Difficoltà:

• Selezionare idonee funzioni approssimanti per domini complessi

• Definire una procedura sistematica per definire le funzioni approssimanti

Osservazioni sui metodi variazionali approssimati classici


• Il metodo deve avere una base fisica ed un’impostazione matematica

• Il metodo non deve soffrire di limitazioni per problemi definiti su domini complessi

• La formulazione della procedura non deve dipendere dalla specifica forma geometrica del dominio

• Il metodo deve essere sufficientemente flessibile da poter incrementare l’accuratezza della soluzione cercata senza riformulare tutto il problema

• Il metodo deve poter essere implementato semplicemente ed in modo automatico in un codice di calcolo

Requisiti di una buona procedura computazionale


fEA P

EA u’’ + f =0 equazione di campo

u(0) = 0 condizioni al contornoEA u’(L) = P

Problema 1D della barra


Idea di base

Stazionarietà dell’energia potenziale totalei

1

( ) ( )N

j jj

u x U x

Energia potenziale totale

2

0 0

1 '2

L L

LEA u dx f u dx Pu

Metodo variazionale approssimato

1 1 1 10 0

1 ' ' ( )2

L LN N N N

i i j j i i i ii j i i

EA U U dx f U dx P U L

10 0

0 ' ' ( )L LN

i j j i iji

EA U dx f dx P LU

Si ottiene un sistema di N equazioni in N incognite, risolvibile se le funzioni approssimanti sono scelte in modo adeguato.


1 2 3 4 5

U2 U3 U4 U5U1

1

( ) ( )N

j jj

u x U x


1 2 3 4 5

U2 U3 U4 U5U1

U1 11

U2 21

U3 31

U4 41

U5 5 1

=

+

+

+

+


Schema FEM

1. Discretizzazione del dominio in un insieme di elementi

2. Derivazione delle equazioni per ogni elemento della mesh

3. Assemblaggio di tutte le equazioni ottenute per i singoli

elementi per determinare le equazioni del sistema strutturale

completo

4. Imposizione delle condizioni al contorno

5. Soluzione del sistema di equazioni

6. Postprocessing della soluzione


1. Discretizzazione del dominio in un insieme di elementi

• Definizione della mesh

• Numerazione dei nodi e degli elementi

• Assegnazione delle proprietà agli elementi

2. Derivazione delle equazioni per ogni elemento della mesh

• Formulazione variazionale

• Approssimazione

• Matrice di rigidezza, vettore delle forze

Schema FEM


3. Assemblaggio di tutte le equazioni ottenute per i singoli elementi per determinare le equazioni del sistema strutturale completo

• Condizioni di continuità tra elementi contigui

• relazione di connettività elemento – nodi

• relazione tra i gradi di libertà globali del sistema ed i nodi

• Identificazione delle condizioni di equilibrio tra le variabili secondarie

• Assemblaggio delle equazioni di elemento nelle equazioni del sistema

Schema FEM


4. Imposizione delle condizioni al contorno

• Identificazione dei gradi di libertà assegnati

• Identificazione delle variabili secondarie assegnate



• Calcolo della derivata (deformazione) della soluzione

• Calcolo delle tensioni

• Rappresentazione grafica della soluzione: deformata, curve di livello delle tensioni, tensioni equivalenti

Schema FEM


1. Discretizzazione del dominio

Problema fisico

Modello matematico

Discretizzazione agli elementi finiti

L

fO x

P

L

fO x

P= EA u’(L)

L

fO x

P= EA u’(L)

he

elementi nodi


Discretizzazione del dominio

nodo

elemento

1 2 3 4 5

1 2 3 4

• Assegnazione delle proprietà agli elementi:

EA = (per ogni elemento)

Elemento Nodo 1 Nodo2

1 1 2

2 2 3

3 3 4

4 4 5

• Numerazione dei nodi e degli elementi

• Definizione della mesh


2. Derivazione delle equazioni per ogni elemento

L’equazione differenziale EA u’’ = f deve essere soddisfatta in tutti i punti della trave. In particolare dovrà essere soddisfatta nell’elemento e=(xA,xB).

Energia potenzialeper l’elemento

c.c. essenziali

c.c. naturali

xA xB

e

u(xA)=u1(e) u(xB)=u2

(e)

-N(xA) = P(e)1 N(xB)=P(e)

2

2 ( ) ( )1 2

1( ) ' ( ) ( )2

B B

A A

x xe e

A Bx x

u EA u dx f u dx P u x P u x


Derivazione delle equazioni

Approssimazione per il singolo elemento 2

( )

1

( )ee j j

j

u u x

2 2

( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 21

2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1

1 '( ) '( )2

( ) ( ) ( )

12

B

A

B

A

xe e e e

i j j ii j x

xe e e e e e

i i A i B ii x

e e e e eij j i i i

i j i

EA x x dx u u

f x dx P x P x dx u

K u u F u

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2

'( ) '( )

( ) ( ) ( )

B

A

B

A

xe e e

ij i jx

xe e e e e e

i i i A i Bx

K EA x x dx

F x f dx P x P x

dove


Stazionarietà dell’energia potenziale totale del singolo elemento

2( ) ( ) ( )

( )1

0 e e eij j ie

ji

K u Fu

2 equazioni di equilibrio (approssimato)


Funzioni di approssimazione per l’elemento

nodo

elemento

A Be

1

1

e

1(e)

2(e)

e

( )1

( )2

e B

B A

e A

B A

x xx xx xx x

A Bx x x

Funzioni di interpolazione di Lagrange

u1(e) spostamento per x = xA

u2(e) spostamento per x = xB

i(e)(xj) = 0 se i # j

i(e)(xj) = 1 se i = j

1(e)(x) + 2

(e)(x) = 1


e B Ah x x dimensione dell’elemento


Matrice di rigidezza, vettore delle forze

( ) ( ) ( )11 1 1

( ) ( ) ( )12 1 2

( ) ( ) ( )21 2 1

( ) ( ) ( )22 2 2

1 1' '

1 1' '

1 1' '

1 1' '

B B

A A

B B

A A

B B

A A

B B

A A

x xe e e

e e ex x

x xe e e

e e ex x

x ze e e

e e ex z

x xe e e

e e ex x

EAK EA dx EA dxh h h




( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2

1 1' , 'e e e eB A

e e e e

x x x xh h h h


matrice di rigidezza



( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2

1( )2

1( )2

B B

A A

B B

A A

x xe e e e eB

eex x

x xe e e e eA

eex x

x xF x f dx P f dx P f h Ph

x xF x f dx P f dx P f h Ph

( )

( ) ( ) 1( )

2

1 1 111 1 12

ee e

e ee

PEA f hh P

K F

In definitiva, la matrice di rigidezza ed il vettore delle forze valgono:

vettore delle forze

Equilibrio( ) ( )1 1( ) ( )2 2

1 1 111 1 12

e e

ee ee

u PEA f hh u P


3. Assemblaggio 1 2 3 4 5

U2 U3 U4 U5U11 2

u1(1) = U1 u2

(1) = U2 2 3

u1(2) = U2 u2

(2) = U3 3 4

u1(3) = U3 u2

(3) = U44 5

u1(4) = U4 u2

(4) = U5

u1(1) = U1 u2

(1) = U2 = u1(2) u2

(2) = U3 = u1(3) u2

(3) = U4 = u1(4) u2

(4) = U5

Parametri locali

–

Parametri globali


AssemblaggioMatrice Booleana di connettività:

54433221

Belemento

Nod

o 1

Nod

o 2

Esempio

L’elemento 3 ha nodi 3 e 4.

K11(3) si va sommare al termine K33 della matrice globale della struttura

K12(3) si va sommare al termine K34 della matrice globale della struttura


(1)1 1

(1)2 2

3 11

4

5

1 1 0 0 0 11 1 0 0 0 1

10 0 0 0 0 0 02

0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

U PU P

EA U f hh

UU

Elemento 1

1(2)

2 1(2)

3 2 22

4

5

0 0 0 0 0 0 00 1 1 0 0 1

10 1 1 0 0 12

0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

UU P

EA U f h Ph

UU

Assemblaggio

Elemento 2


1

2(3)

3 3 13 (3)

4 2

5

0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

10 0 1 1 0 12

0 0 1 1 0 10 0 0 0 0 0 0

UU

EA U f h Ph

U PU

Elemento 3

1

2

3 44 (4)

4 1(4)

5 2

00 0 0 0 0 000 0 0 0 0 0

1 00 0 0 0 0 02

0 0 0 1 1 10 0 0 1 1 1

UU

EA U f hh

U PU P

Assemblaggio

Elemento 4


Assemblaggio

Sommando le equazioni ottenute per i singoli elementi si ottiene:

(1)11 1

1 1

2 1 21 1 2 2

3 2 32 2 3 3

4 3 43 3 4 4

5 44 4

1 1 0 0 0

1 1 1 1 0 0

1 1 1 10 02

1 1 1 10 0

1 10 0 0

PU hh h

U h hh h h h

fU h hEAh h h h

U h hh h h h

U hh h

(1) (2)2 1

(2) (3)2 1

(3) (4)2 1

(4)2

P P

P P

P P

P


4. Condizioni al contorno

eP1

(e) P2(e)

e+1P1

(e+1) P2(e+1)

P2(e) + P1

(e+1) = 0Non sono presenti forze applicate nei nodi interni


Condizioni al contorno

1P1

(1) P2(2)

4P1

(4) P2(4)

P2(4) = P

Forza assegnata per x = L

U1 = 0

Spostamento nullo per x = 0


Condizioni al contornoIn definitiva

2

3

4

5

0

U

U

U

U

(1)1 1

1 2

2 3

3 4

4

0

02

0

h P

h h

f h h

h h

h P

Vettore degli spostamenti Vettore delle forze


(1)1 1

1 1

2 1 21 1 2 2

3 2 32 2 3 3

4 3 43 3 4 4

5 44 4

1 1 00 0 0

1 1 1 1 0 0 0

1 1 1 10 02

1 1 1 10 0

1 10 0 0

h Ph h

U h hh h h h

fU h hEAh h h h

U h hh h h h

U hh h

0

0

P



Sistema di equazioni

(1)12 1

1 1

1 221 2 2

3 2 32 2 3 3

4 3 43 3 4 4

5 44 4

1 102

1 1 1 00 0

1 1 1 1 0 0

1 1 1 1 20 0

1 10 0

f hEA U Ph h

hU hh h h

U h hh h h h fEA

U h hh h h h

PU hh h

a)

b)


Sistema di equazioni

Si risolve il sistema b).

Noti gli spostamenti nodali U2, U3, U4 e U5, si sostituiscono nel sistema a) e si ricava P1

(1) che rappresenta la reazione del vincolo.



Calcolo delle tensioni interne

Interpretazione della soluzione

Rappresentazione grafica dei risultati

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