INTRODUZIONE AL DESIGN OF EXPERIMENTS (Parte...

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INTRODUZIONE AL INTRODUZIONE AL DESIGN OF DESIGN OF EXPERIMENTSEXPERIMENTS (Parte 1)(Parte 1)

Progettazione e Sviluppo Prodotto 152

Introduzione

� Un esperimento è una prova o una serie di prove. Gli esperimenti sono largamente utilizzati nel campo dell’ingegneria. Tra le varie applicazioni;� Progettazione e sviluppo del prodotto;� Caratterizzazione e ottimizzazione dei processi;� Valutazione delle proprietà dei materiali.

� Tutti gli esperimenti richiedono una pianificazione. Alcuni sonoprogettati, alcuni in modo preciso, altri invece sono pianificati poco e male. � Esiste un modo per “ottimizzare” gli esperimenti ?

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Gli esperimenti nell’ingegneria

� Gli esperimenti sono utilizzati per per studiare le prestazioni di processi e di sistemi (es.: prodotti).

Processo / sistemaInput Output

Fattori non controllabili

z1 z2 z3 zn

Fattori controllabili

x1 x2 x3 xn

y


Quali sono gli obiettivi degli esperimenti ?

� Gli obiettivi degli esperimenti possono essere, tra i vari possibili, i seguenti:

� Determinare le variabili che hanno maggiore influenza sulla risposta y;

� Determinare quali valori assegnare alle variabili controllabili x in modo che la risposta y sia sempre prossima al valore desiderato;

� Determinare quali valori assegnare alle variabili controllabili x in modo che la variabilità della risposta ysia minima;

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Principi base del Design of Experiments

� Casualizzazione (o randomizzazione):� Eseguire le prove di un esperimento in maniera tale da distribuire aleatoriamente i fattori di disturbo (es.: eseguire le prove di un esperimento in ordine casuale)

� Replicazione:� Consiste nel ripetere le misure, idealmente in condizioni

diverse

� Controllo locale:� Insieme delle operazioni intraprese dallo sperimentatore

per ridurre l’errore sperimentale (es.: utilizzo di unità sperimentali omogenee, utilizzo dei blocchi)


Alcune definizioni

� Variabile di risposta: la risposta del sistema oggetto dell’esperimento

� Fattore: variabile controllabile (variabile indipendente). Può essere:� quantitativo (espresso da un reale o un intero);� qualitativo (espresso attraverso un attributo categorico);

� Livello di un fattore: valore assunto dal rispettivo fattore;� Esperimento monofattoriale: esperimento in cui c’è solo

un fattore in gioco;� Esperimento multifattoriale: esperimento in cui c’è più di

un fattore in gioco;� Trattamento: insieme dei livelli imposti ad un’unità

sperimentale

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Strategie di sperimentazione

� Esempio: che esperimenti posso svolgere per trovare la combinazione delle variabili che massimizza le prestazioni del prodotto ?

� Approccio a tentativi (best guess)� Molto utilizzato� Ha più successo di quanto si pensi, ma anche svantaggi

(es.: scarsa comprensione del sistema)� Variazione di un fattore alla volta (OFAT One Factor At-a Time)� Abbastanza usato in campo ingegneristico� Poco efficiente

� Utilizzo di piani fattoriali� Analisi sistematica della superficie di risposta del sistema


Piani fattoriali

� In un esperimento fattoriale vengono testate tutte (piano fattoriale completo) o parte (piano fattoriale frazionario) delle combinazioni derivanti dai possibili livelli dei fattori.

� Esempio: esperimento del golf. Possibili fattori:� Tipo di mazza� Tipo di pallina� Tipo di bibita� Camminare / vetturetta� Condizioni atm.� Mattina / pomeriggio� …

Esempio di piano completo a 2 fattori

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Esempio: piano fattoriale con 2 fattori

Effetto del tipo di mazza

Effetto del tipo di palla

Interazione mazza/palla

� Nell’esperimento del golf consideriamo solo gli effetti del tipodi mazza e del tipo di palla. L’esperimento può essere rappresentato in uno spazio bidimensionale:



� Decidiamo di studiare, oltre agli effetti del tipo di mazza e del tipo di palla, l’effetto della bibita utilizzata dal golfista. L’esperimento può essere rappresentato in uno spazio tridimensionale:

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� Oltre ai fattori già visti aggiungiamo lo studio dell’effetto del mezzo di spostamento utilizzato. L’esperimento può essere rappresentato in uno spazio a quattro dimensioni:


Piani completi e piani frazionari

� In un esperimento fattoriale completo si considerano tutte le possibili combinazioni combinazioni fattori / livelli.

� In un esperimento fattoriale frazionario si considera una parte di tutte le possibili combinazioni fattori / livelli.

Esempio di piano fattoriale frazionario

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Procedura generale per la pianificazione degli esperimenti

1. Identificazione e formulazione del problema;2. Scelta dei fattori, del numero dei livelli e dell’ampiezza degli

intervalli;3. Scelta della variabile di risposta;4. Individuazione del corretto piano sperimentale;5. Esecuzione dell’esperimento;6. Analisi statistica dei risultati;7. Conclusioni


Esperimenti con un solo fattore.

� Consideriamo il seguente esempio: una ditta produttrice di calcestruzzo vuole verificare se l’aggiunta di un componente al calcestruzzo (emulsione di polimero) ne modifica la resistenza. Osserviamo che:

� Vi è un solo fattore in gioco (composizione del calcestruzzo);

� Il fattore è di tipo qualitativo;� Il fattore ha due livelli (polimero assente / polimero

presente)

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Raccolta dei dati.

� Supponiamo che lo sperimentatore abbia avuto a disposizione 10 provini di calcestruzzo normale e 10 di calcestruzzo modificato;

� Le prove sperimentali hanno fornito i seguenti risultati:


Visualizzazione dei dati: diagramma a punti

� Visualizziamo i dati dell’esperimento in un diagramma a punti.

� Ciascun punto rappresenta un dato sperimentale. Il trattino rosso orizzontale rappresenta la media campionaria.

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Visualizzazione dei dati: box plot

� Il digramma a scatola riporta il minimo, il massimo ed i percentili 25 %, 50 % (mediana) e 75 %.


Interpretazione dei dati

� A questo punto ci poniamo la seguente domanda: l’aggiunta del polimero modifica la resistenza del calcestruzzo ? Ovvero: la presenza del polimero è un fattore significativo ?

� Intuitivamente possiamo dire che l’affidabilità dell’esperimentoe delle conclusioni dipenderanno dai seguenti fattori:� Numerosità del campione;� Distribuzione dei dati sperimentali

� I risultati dell’esperimento sembrano indicare che l’aggiunta del polimero influisce sulla resistenza del calcestruzzo.

� Tuttavia siamo sicuri che le conclusioni dell’esperimento non siano dovute a fattori casuali ?

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Verifica di ipotesi statistiche

� Formuliamo il problema in maniera matematica. L’interpretazione dei dati sperimentali dà origine a due ipotesistatistiche (o meglio ad una ipotesi ed alla negazione della stessa):� Ipotesi nulla (H0): la resistenza media del calcestruzzo

modificato è uguale a quella del calcestruzzo non modificato: µ1 = µ2.

� Ipotesi alternativa (H1): la resistenza media del calcestruzzo modificato è diversa da quella del calcestruzzo non modificato: µ1 ≠ µ2.

� Nota: nelle ipotesi di cui sopra si fa riferimento alla media della popolazione (non alla media del campione).

� Problema: verificare o rigettare l’ipotesi nulla a partire dai dati campionari


� Dove: rappresentano le medie campionarie dei due gruppi;

� Le varianze campionarie dei due gruppi;� le numerosità dei due gruppi;� i gradi di libertà dei due gruppi

Il test t di Student

� Esistono numerosi test per la verifica di ipotesi statistiche (test di significatività). Uno dei più utilizzati è il test t di Student. Vale sotto l’ipotesi di � popolazioni distribuite normalmente;� uguali varianze dei due gruppi, ancorchè ignote

21

212

21

nnnn

t+

−=σ

µµ

21 ,µµ

21 ,σσ21 ,nn

21

2

22

2

11

gggg

++= σσσ

21 ,gg

11


Significato del parametro t

� È un parametro di significatività:� Valori di t che sono prossimi allo zero sono conformi

all’ipotesi nulla;� Valori di t lontani dallo zero sono conformi all’ipotesi alternativa;

� È una misura di quanto sono lontane le medie in unità di deviazione standard;

� Può essere interpretato come rapporto segnale/rumore.� Osserviamo che:

� La significatività aumenta all’aumentare della numerosità del campione;

� La significatività aumenta all’aumentare della differenza tra le medie campionarie;

� La significatività diminuisce all’aumentare della varianza campionaria (maggiore dispersione dei dati)


Scelta del parametro t (1/2)

� Come fissare un valore di t che serva da criterio di accettazione / rifiuto dell’ipotesi nulla ?

� Consideriamo la funzione densità di probabilità t di Student (a 18 g.d.l.):

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

p(t)

t

Distribuzione t di Student a 18 gradi di libertà

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Scelta del parametro t (2/2)

� L’uguaglianza delle medie della popolazione è tanto più improbabile quanto t si allontana dallo zero. Si, ma quanto ?

� Fissiamo, per esempio, due valori di t che intercettano due zone del grafico: la zona interna costituita dal 95 % di probabilità complessiva, e le due code (a dx e sx) di probabilità complessiva 5 %.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

p(t)

t

Distribuzione t di Student a 18 gradi di libertà


Test di significatività

� Questi punti corrispondono a valori di t = -1.734 e 1.734.� Se dunque il nostro valore di t è esterno a quest’intervallo

accettiamo l’ipotesi alternativa (è anche possibile che le medie siano uguali, ma la probabilità è inferiore al 5 %)

� Si dice anche che l’ipotesi alternativa è accettata con un livello di significatività del 95 %.

� Il livello del 95 % è molto usato in pratica. Tuttavia potremmo voler essere ancora più restrittivi. Imponendo un valore del 99 % otteniamo per t i valori –2.552 e 2.552.

� Se il valore di t è interno all’intervallo concludiamo che non vi è evidenza statistica di differenza tra le medie delle due popolazioni. Come interpretiamo questo risultato ?1) non vi è, in effetti, differenza tra le medie2) la numerosità del campione non è sufficiente

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Riferimenti bibliografici

1. D.C. Montgomery; Progettazione ed analisi degli esperimenti, McGraw-Hill, 2005;

2. W. G. Cochran, G. M. Cox; Experimental Designs, John Wiley & Sons, 1957;

3. G. Landenna, D. Marasini, A. Ferrari; La verifica di ipotesi statistiche, Il Mulino, 1998

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