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Introduzione aiMETODI MATEMATICI DELLA

FISICA

Maria B. Barbaro, Marialuisa Frau e Stefano Sciuto

Dipartimento di Fisica TeoricaUniversita di Torino

A.A. 2003/2004

Indice

I Funzioni Analitiche ed Equazioni Differenzialiin Campo Complesso 4

1 Analisi Complessa 51.1 Il Campo Complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Richiami sui numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Funzioni reali di variabile complessa . . . . . . . . . . . 8

1.2 Funzioni Complesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.1 Derivata di una funzione complessa di variabile complessa 131.2.2 Condizioni di Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . 131.2.3 Funzioni analitiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.4 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3 Integrazione in Campo Complesso . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.1 Curve (richiami) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.2 Integrali in campo complesso . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.3 Teorema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.3.4 Rappresentazione integrale di Cauchy . . . . . . . . . . 34

1.4 Serie in campo complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.4.1 Serie di potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.4.2 Serie di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.4.3 Zeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.4.4 Serie di Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.4.5 Singolarita isolate: poli e singolarita essenziali . . . . . 44

1.5 Residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.5.1 Teorema dei residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.5.2 Calcolo dei residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.6 Calcolo di integrali definiti mediante il teorema dei residui . . 511.6.1 Integrali trigonometrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.6.2 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.6.3 Lemma di Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.6.4 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1

1.7 Definizione delle funzioni ln z e zα nel piano complesso . . . . 65

2 Equazioni Differenziali in Campo Complesso 662.1 Equazioni differenziali ordinarie del second’ordine . . . . . . . 66

2.1.1 Soluzione nell’intorno di un punto regolare . . . . . . . 692.2 Soluzione nell’intorno di un punto fuchsiano . . . . . . . . . . 75

2.2.1 Esempio: l’equazione di Bessel . . . . . . . . . . . . . . 77

II Introduzione all’Analisi Armonica 79

3 Serie di Fourier 803.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.2 Funzioni periodiche e sviluppi in Serie di Fourier . . . . . . . . 86

3.2.1 Convergenza puntuale delle serie trigonometriche diFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.2.2 Importanti commenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.2.3 Altri esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4 Trasformate Integrali 984.1 Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.1.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.1.2 Proprieta della trasformata di Fourier . . . . . . . . . . 1024.1.3 Soluzione di equazioni differenziali mediante la trasfor-

mata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.2 Trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.2.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.2.2 Proprieta della trasformata di Laplace . . . . . . . . 1134.2.3 Trasformate di Laplace ed equazioni differenziali lineari

a coefficienti costanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5 Spazi L2 e Distribuzioni 1215.1 Spazi L2 e serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.1.1 Trasformata di Fourier in L2 . . . . . . . . . . . . . . . 1295.2 Sistemi ONC in L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.2.1 Operatori autoaggiunti e sistemi ortogonali . . . . . . . 1365.3 La δ di Dirac e le distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

A Funzioni armoniche 145

B Corollari della rappresentazione integrale di Cauchy 149

2

C Il punto all’infinito 155C.1 Studio del punto all’infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

C.1.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156C.2 Calcolo del residuo nel punto all’infinito . . . . . . . . . . . . 158C.3 Studio del punto all’infinito nelle equazioni differenziali . . . . 163

C.3.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

D Equazioni differenziali del second’ordine 168

E L’integrale di Lebesgue 174

3

Parte I

Funzioni Analitiche edEquazioni Differenzialiin Campo Complesso

4

Capitolo 1

Analisi Complessa

1.1 Il Campo Complesso

1.1.1 Richiami sui numeri complessi

Un numero complesso z e una coppia ordinata di numeri reali

z = a+ ib = (a, b) a, b ∈ R

dove i e l’unita immaginaria

i2 = −1 .

a = Re z , b = Im z .

L’insieme dei numeri complessi e un campo, indicato con C, dato dalprodotto cartesiano del campo reale R con se stesso (C = R

⊗R), dotato di

due leggi di composizione interna, l’addizione e la moltiplicazione, che godonodelle seguenti proprieta:

1) Addizione (+)

Definizione:

z1 = a1 + ib1 , z2 = a2 + ib2 −→ z1 + z2 = (a1 + a2) + i(b1 + b2) .

5

Proprieta:

Associativa:

z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 z1, z2, z3 ∈ C .

Commutativa:

z1 + z2 = z2 + z1 .

Esiste l’elemento neutro 0 ∈ C, tale che

z + 0 = 0 + z = z ∀z ∈ C .

Per ogni z ∈ C esiste l’elemento inverso −z ∈ C, tale che

z + (−z) = (−z) + z = 0 .

Quindi C e un gruppo abeliano rispetto all’addizione, con elementoneutro 0.

2) Moltiplicazione (·)Definizione:

z1 · z2 = (a1 + ib1) · (a2 + ib2)

= (a1a2 − b1b2) + i(a1b2 + b1a2) .

Proprieta:

Associativa:

z1 · (z2 · z3) = (z1 · z2) · z3 .

Commutativa:

z1 · z2 = z2 · z1 .

Esiste l’elemento neutro 1 ∈ C, tale che

z · 1 = 1 · z = z ∀z ∈ C .

Per ogni z ∈ C, z 6= 0 esiste l’elemento inverso z−1 ∈ C, tale che

z · z−1 = z−1 · z = 1

z = a+ ib −→ z−1 =1

a+ ib=

a

a2 + b2− i

b

a2 + b2.

6

Quindi C− 0 e un gruppo abeliano rispetto alla moltiplicazione, conelemento neutro 1.

Vale inoltre la proprieta distributiva della moltiplicazione rispetto al-l’addizione

z1 · (z2 + z3) = z1 · z2 + z1 · z3 .

• Rappresentazione geometrica dei numeri complessi

Un numero complesso z si puo rappresentare graficamente come un puntonel piano complesso di z (o piano di Argand), sulle cui ascisse e ordinate sipongono rispettivamente la parte reale e immaginaria di z.

La rappresentazione cartesiana di ze

z = x+ iy

(Fig 1.1).

Figura 1.1: Rappresentazione cartesiana del numero complesso z

Una rappresentazione equivalente e quella polare (Fig 1.2)

z = reiθ = r cos θ + ir sin θ

con

r = |z| =√x2 + y2 modulo o valore assoluto di z

7

Figura 1.2: Rappresentazione polare del numero complesso z

e

θ = arg z = tan−1 y

xargomento o fase di z .

Graficamente r e il modulo del vettore ~r congiungente l’origine con ilpunto z, e θ e l’angolo che questo vettore forma con l’asse delle ascisse.

Le relazioni fra componenti cartesiane e polari di z sono:

x = r cos θ

y = r sin θ

Il complesso coniugato di un numero complesso z e un numero complessoz∗ ∈ C cosı definito:

z = x+ iy = reiθ −→ z∗ = x− iy = re−iθ .

(si veda Fig 1.3)

1.1.2 Funzioni reali di variabile complessa

Una funzione reale di variabile complessa

f : E −→ R , E ⊆ C

8

Figura 1.3: Rappresentazione polare del numero complesso z e del suocomplesso coniugato z∗

e un’applicazione che associa un numero reale f(z) ad ogni z ∈ E, con Esottoinsieme del campo C.

Definizione di funzione continua.La funzione f(z) si dice continua nel punto z = z0 se

limz→z0

f(z) = f(z0)

ossia, ricordando la definizione di limite, se

∀ε > 0 ∃δ > 0 / |f(z)− f(z0)| < ε , ∀z ∈ Iδ(z0) ,

dove Iδ(z0) e un intorno di raggio δ del punto z0:

Iδ(z0) = z ∈ C/|z − z0| < δ .

Esempi

1) La funzione modulo

f(z) = |z|

e una funzione reale di variabile complessa, continua in tutto il pianocomplesso.

9

2) Le funzioni

f(z) = Rez e g(z) = Imz

sono funzioni reali di variabile complessa, continue in tutto il pianocomplesso.

3) La funzione argomento

ϕ(z) = arg z

e una funzione reale di variabile complessa:

ϕ : C− 0 −→ I2π ⊂ R ,

dove I2π e un intervallo semiaperto di lunghezza 2π. Tale intervallo none univocamente definito e puo essere scelto in infiniti modi diversi, main ogni caso la funzione ϕ(z) e discontinua su una semiretta uscentedall’origine del piano complesso. Si considerino per esempio i due casirappresentati in Fig. 1.4:

a) I2π = (−π, π]

b) I2π = [0, 2π)

Nel caso a) ϕ(z) e discontinua sul semiasse reale negativo. Infatti

ϕ(−x) = π x ∈ R+

ma il limite limz→−x ϕ(z) non e definito, perche i limiti destro e sinistrosono diversi:

limε→0+

ϕ(−x+ iε) = π

limε→0+

ϕ(−x− iε) = −π .

Nel caso b) invece ϕ(z) e discontinua sul semiasse reale positivo.

10

Figura 1.4: Discontinuita dell’argomento di z

11

1.2 Funzioni Complesse

Una funzione complessa di variabile complessa

f : E −→ C , E ⊆ C

e un’applicazione che associa un numero complesso f(z) ad ogni z ∈ E, conE sottoinsieme del campo C. Useremo la seguente notazione:

f : z 7→ w = f(z) z ∈ E , E ⊆ C , w ∈ C ,

z = x+ iy

w(z) = u(x, y) + iv(x, y) .

Quindi dare la f e equivalente a specificare due funzioni reali di due variabilireali:

u = u(x, y) e v = v(x, y) .

Analogamente a quanto accade nel caso di funzioni reali, una funzionecomplessa di variabile complessa f(z) e detta continua se

limz→z0

f(z) = f(z0)

ovvero se

∀ε > 0 ∃δ > 0 / |f(z)− f(z0)| < ε , ∀z ∈ Iδ(z0) ,

dove Iδ(z0) e un intorno di raggio δ del punto z0 e |f(z)− f(z0)| e il modulodel numero complesso f(z)− f(z0).

Esempi

1)

f(z) = z2 = (x+ iy)2 = x2 − y2 + 2ixy

u(x, y) = x2 − y2

v(x, y) = 2xy .

In coordinate polari

z = reiϕ

w = r2e2iϕ .

12

2)

f(z) = z∗ = x− iy

u(x, y) = x

v(x, y) = −y .

In coordinate polari

z = reiϕ

w = re−iϕ .

1.2.1 Derivata di una funzione complessa di variabilecomplessa

Definizione: una funzione f(z) si dice derivabile nel punto z se esiste illimite per h→ 0 (h ∈ C) del rapporto incrementale

f(z + h)− f(z)

h

considerato come funzione della variabile complessa h. Tale limite deve esserequindi indipendente dal modo in cui h→ 0. Esistono infatti infinite direzionilungo le quali h puo tendere a 0 (si veda Fig 1.5)

La funzione f e derivabile se tutte queste direzioni danno lo stesso risul-tato per il limite del rapporto incrementale. In questo caso il limite si chiamaderivata di f rispetto a z:

df(z)

dz= f ′(z) = lim

h→0

f(z + h)− f(z)

h.

1.2.2 Condizioni di Cauchy-Riemann

Consideriamo una funzione

f(z) = u(x, y) + iv(x, y)

13

Figura 1.5: Direzioni del rapporto incrementale

tale che nel punto z = x + iy sia la sua parte reale u(x, y) che la sua parteimmaginaria v(x, y) siano di classe C1, cioe continue con le loro derivateprime:

∂u(x, y)

∂x= u′x ,

∂u(x, y)

∂y= u′y ,

∂v(x, y)

∂x= v′x ,

∂v(x, y)

∂y= v′y .

∆ Teorema 1: le condizioni di Cauchy e Riemann (CR)

∂u(x, y)

∂x=

∂v(x, y)

∂y

∂u(x, y)

∂y= −∂v(x, y)

∂x(1.1)

sono condizioni necessarie e sufficienti affinche la funzione f(z) sia derivabilenel punto z.

Dimostrazione

Dimostriamo dapprima che le condizioni di (CR) sono necessarie, ossia

14

che

f(z) derivabile ⇒ (CR) .

Per ipotesi la derivata di f(z)

f ′(z) = limh→0

f(z + h)− f(z)

h

esiste ed e indipendente dalla direzione di h = hx+ihy. In particolare si potrascegliere h puramente reale (h = hx) o puramente immaginario (h = ihy).

Se h = hx

f ′(z) = limhx→0

f(z + hx)− f(z)

hx

= limhx→0

u(x+ hx, y) + iv(x+ hx, y)− u(x, y)− iv(x, y)

hx

= limhx→0

u(x+ hx, y)− u(x, y)

hx

+ i limhx→0

v(x+ hx, y)− v(x, y)

hx

=∂u(x, y)

∂x+ i

∂v(x, y)

∂x. (1.2)

Se h = ihy

f ′(z) = limhy→0

f(z + ihy)− f(z)

ihy

= limhy→0

u(x, y + hy) + iv(x, y + hy)− u(x, y)− iv(x, y)

ihy

= limhy→0

u(x, y + hy)− u(x, y)

ihy

+ i limhy→0

v(x, y + hy)− v(x, y)

ihy

= −i∂u(x, y)∂y

+∂v(x, y)

∂y. (1.3)

Uguagliando ora le parti reali e immaginarie delle espressioni (1.2) e (1.3)per la derivata f ′(z) otteniamo le condizioni di Cauchy-Riemann:

u′x = v′yu′y = −v′x .

Dimostriamo ora che le condizioni di CR sono sufficienti per la derivabilitadi f(z), ossia

(CR) ⇒ f(z) derivabile .

15

Consideriamo a questo scopo il rapporto incrementale

f(z + h)− f(z)

h=u(x+ hx, y + hy) + iv(x+ hx, y + hy)− u(x, y)− iv(x, y)

hx + ihy

.

(1.4)

Poiche le funzioni u e v sono per ipotesi continue con le loro derivate primein z, esse sono differenziabili e si puo quindi scrivere nell’intorno del punto(x, y):

u(x+ hx, y + hy) = u(x, y) + hxu′x(x, y) + hyu

′y(x, y) + o(|h|)

v(x+ hx, y + hy) = v(x, y) + hxv′x(x, y) + hyv

′y(x, y) + o(|h|) .

Sostituendo questi sviluppi nel rapporto incrementale (1.4) si ottiene

f(z + h)− f(z)

h=hxu

′x(x, y) + ihxv

′x(x, y) + hyu

′y(x, y) + ihyv

′y(x, y) + o(|h|)

hx + ihy

.

Utilizzando ora le condizioni di Cauchy-Riemann (1.1) e prendendo il limiteper hx, hy → 0 si ha

limhx,hy→0

f(z + h)− f(z)

h=

limhx,hy→0

hxu′x(x, y) + ihxv

′x(x, y)− hyv

′x(x, y) + ihyu

′x(x, y) + o(|h|)

hx + ihy

=

limhx,hy→0

(hx + ihy)[u′x(x, y) + iv′x(x, y)]

hx + ihy

= u′x(x, y) + iv′x(x, y) = f ′(z) .

(1.5)

La derivata di f(z) e quindi definita univocamente indipendentemente dalladirezione di h: la funzione e pertanto derivabile e la sua derivata e

f ′(z) = u′x(x, y) + iv′x(x, y) .

[q.e.d.]Utilizzando le condizioni di Cauchy-Riemann e possibile dare quattro

espressioni equivalenti della derivata di una funzione in termini delle sueparti reale e immaginaria:

f ′(z) = u′x(x, y) + iv′x(x, y)

= v′y(x, y)− iu′y(x, y)

= u′x(x, y)− iu′y(x, y)

= v′y(x, y) + iv′x(x, y) .

N.B. Dalle ultime due espressioni si deduce che per calcolare la derivata dif(z) e sufficiente conoscerne o la parte reale u o la parte immaginaria v.

16

1.2.3 Funzioni analitiche

• Definizione

Una funzione f(z)

f : F −→ C F ⊂ C

si dice analitica (o regolare, o olomorfa) in una regione aperta E ⊂ Fse essa e derivabile, con derivata continua, in ogni punto z ∈ E. E quindinecessario e sufficiente affinche f(z) sia analitica in E che siano soddisfattele seguenti condizioni in tutti i punti di E:

1) parte reale u(x, y) e parte immaginaria v(x, y) siano di classe C1;2) siano soddisfatte le condizioni di Cauchy-Riemann (1.1).Una funzione f(z) si dice analitica in un punto z0 se esiste un intorno

I(z0) in cui f(z) e analitica, ovvero se z0 e interno ad un insieme aperto Ein cui f(z) e analitica. (N.B. non e sufficiente che le condizioni di CR sianosoddisfatte solo nel punto z = z0.)

I punti in cui f(z) e analitica si dicono punti di analiticita o punti regolaridella funzione.

I punti in cui f(z) non e analitica si dicono punti singolari o singolaritadella funzione.

1.2.4 Esempi

Esempio 1

f(z) = costante = c = cx + icy c ∈ C, cx, cy ∈ R

u(x, y) = cx , v(x, y) = cy

u′x = u′y = v′x = v′y = 0

La funzione f(z) e continua in tutto il piano complesso C, le funzioni u e vsono continue e derivabili e le condizioni di Cauchy-Riemann sono verificate∀z ∈ C. Quindi una funzione costante e analitica in tutto il piano complessoe la sua derivata e zero:

f ′(z) = u′x + iv′x = 0

17

Esempio 2

f(z) = z∗ = x− iy

u(x, y) = x , v(x, y) = −y

u′x = 1 , v′y = −1

La funzione f(z) = z∗ non e analitica. Si puo infatti mostrare che il rappor-to incrementale dipende dalla direzione dell’incremento h. Sia h = ρeiθ inrappresentazione polare. Allora il rapporto incrementale

f(z + h)− f(z)

h=

(z + h)∗ − z∗

h=h∗

h=ρe−iθ

ρeiθ= e−2iθ

dipende dall’angolo θ. La derivata di z∗ non esiste in alcun punto di C.

Esempio 3

f(z) =1

z=

1

x+ iy=

x− iy

x2 + y2

u(x, y) =x

x2 + y2, v(x, y) = − y

x2 + y2

Le funzioni u e v sono continue e derivabili in C− 0. Le condizioni di CR

u′x =y2 − x2

(x2 + y2)2, v′y =

y2 − x2

(x2 + y2)2= u′x

u′y =−2xy

(x2 + y2)2, v′x =

2xy

(x2 + y2)2= −u′y

sono soddisfatte. La funzione f(z) e quindi analitica in C − 0. La suaderivata e

f ′(z) = u′x + iv′x =y2 − x2 + 2ixy

(x2 + y2)2=

(y + ix)2

(y + ix)2(y − ix)2= − 1

z2.

Vale pertanto la stessa regola di derivazione valida in campo reale(1

z

)′= − 1

z2.

18

Si dimostra, esattamente come nel campo reale, che vale

dzn

dz= nzn−1

per n intero qualsiasi 1.Le funzioni analitiche in tutto il piano complesso, come, per esempio, i

polinomi, la funzione esponenziale e le funzioni seno e coseno, si chiamanofunzioni intere.

∆ Teorema 2: se f1(z) e f2(z) sono due funzioni analitiche nel punto z,allora le funzioni

1) f1(z) + f2(z)

2) f1(z) · f2(z)

3) f1(z)/f2(z) se f2(z) 6= 0

4) f1(f2(z))

sono analitiche in z e valgono le seguenti regole di derivazione

a) [f1(z) + f2(z)]′ = f ′1(z) + f ′2(z)

b) [f1(z) · f2(z)]′ = f ′1(z)f2(z) + f1(z)f

′2(z)

c) [f1(z)/f2(z)]′ = [f ′1(z)f2(z)− f1(z)f

′2(z)]/[f2(z)]

2

d) ddz

[f1(f2(z))] = df1

df2

df2

dz.

La dimostrazione segue banalmente dalla definizione di derivata.

∆ Corollario: le funzioni razionali di z sono analitiche in tutto il pianocomplesso esclusi gli zeri del denominatore.

Dimostrazione: Poiche le funzioni f1(z) = 1 e f2(z) = z sono analitichein C, segue dalla proprieta 2) che tutte le potenze di z sono analitiche in C,e quindi per la proprieta 1) i polinomi di z

Pn(z) =n∑

k=0

ckzk = c0 + c1z + c2z

2 + ...cnzn

1La stessa formula vale per ogni esponente, reale o complesso, ma non ne parliamo quiperche non abbiamo ancora definito zα per α non intero.

19

sono funzioni ovunque analitiche. Per la proprieta 3) le funzioni razionali(rapporto di due polinomi Pn e Qm)

R(z) =Pn(z)

Qm(z)

sono funzioni analitiche in tutto il piano complesso esclusi i punti zi tali cheQm(zi) = 0.

[q.e.d.]

∆ Teorema 3 : se la parte reale (immaginaria) di una funzione analitica ecostante, anche la sua parte immaginaria (reale) e necessariamente costante.Infatti da u(x, y) = costante segue u′x = u′y = 0 e quindi dalle condizioni diCR segue che:

v′y = v′x = 0 ⇒ v(x, y) = K ′ = costante .

Pertanto

f(z) = costante .

Nel caso particolare in cui v(x, y) = 0, oppure u(x, y) = 0, ne seguebanalmente che una funzione analitica a valori reali (o immaginari puri) enecessariamente costante.

[q.e.d.]

∆ Teorema 4: una funzione analitica di modulo costante e costante (cioele sue parti reale e immaginaria sono separatamente costanti):

f(z) analitica e |f(z)| = cost. ⇒ f(z) = cost.

Dimostrazione

Per ipotesi

u2(x, y) + v2(x, y) = K .

Se K = 0 la dimostrazione e banale perche cio implica f(z) = 0; assumiamoquindi nel seguito K 6= 0.

Derivando rispetto a x e a y si ottiene

2u∂xu+ 2v∂xv = 0

2u∂yu+ 2v∂yv = 0 .

20

Moltiplicando la prima equazione per u, la seconda per v, sommandomembro a membro e utilizzando le condizioni di CR, si ottiene

(u2 + v2)∂xu = 0

da cui segue che, poiche u2 + v2 e per ipotesi costante e diverso da zero,∂xu = 0. Analogamente, moltiplicando la prima equazione per −v e laseconda per u, si ottiene

(u2 + v2)∂yu = 0.

Questa implica che anche ∂yu = 0 e quindi u(x, y) = costante. Dalle CRsegue immediatamente che se le derivate parziali di u sono nulle, anche le de-rivate parziali di v sono nulle, e pertanto f(z) = costante, come nel teoremaprecedente.

[q.e.d.]

21

1.3 Integrazione in Campo Complesso

1.3.1 Curve (richiami)

Una curva γ nel piano complesso e una applicazione continua

γ : J −→ C J = [a, b] ∈ R

dove J e un intervallo reale limitato e chiuso:

γ : t −→ z(t) = x(t) + iy(t) a ≤ t ≤ b .

L’applicazione γ associa ad ogni valore del parametro t due funzioni reali x(t)e y(t). Spesso si considera la curva γ non solo come l’applicazione appenadefinita, ma come l’immagine (o sostegno) di tale applicazione, cioe comel’insieme di punti

γ = z ∈ C/z = z(t), t ∈ [a, b] .

Una curva si dice regolare nell’intervallo [a, b] se le funzioni x(t) e y(t)hanno derivate prime continue e non entrambe nulle ∀t ∈ [a, b].

Una curva si dice regolare a tratti nell’intervallo [a, b] se l’intervallo puoessere suddiviso in un numero finito di sottointervalli chiusi in cui la curvasia regolare.

Una curva si dice chiusa se z(a) = z(b). Un caso particolare di curvachiusa e un punto, cioe una curva di equazione z(t) = costante ∀t ∈ [a, b].

Una curva si dice semplice se z(t1) 6= z(t2) ∀t1 6= t2, con t1, t2 ∈ [a, b).(N.B. L’intervallo [a, b) e semi-aperto per includere le curve chiuse nella de-finizione di curve semplici.) In pratica una curva semplice e una curva chenon si interseca con se stessa.

Una curva chiusa e semplice si dice curva di Jordan.Enunciamo, senza dimostrarlo, il seguente teorema:

∆ Teorema 5: ogni curva di Jordan γ divide il piano in due regioni, unainterna e una esterna a γ.

Ad ogni curva chiusa si assegna un verso di percorrenza. Convenzional-mente si considera come positivo il verso antiorario. Si definisce convenzio-nalmente interna ad una curva chiusa la zona lasciata a sinistra se si percorrela curva nel suo verso di percorrenza (ed esterna quella lasciata a destra).

22

Due curve di Jordan γ1 e γ2 si dicono omotopicamente equivalenti(O.E.) in una regione D se possono essere deformate con continuita l’unanell’altra senza uscire da D. N.B. E essenziale specificare la regione D in cuile due curve sono O.E.

Esempio: se D = C ogni curva di Jordan e O.E. a un punto, ma questonon e piu vero se da C si sottraggono uno o piu punti.

Una regione D ⊆ C si dice connessa per archi se, ∀z1, z2 ∈ D, esiste unacurva γ tutta interna a D, che congiunge z1 e z2.

Una regione S ⊆ C si dice semplicemente connessa (s.c.) se ognicurva chiusa contenuta is S e O.E. a un punto. (Definizione alternativa: unaregione S e s.c. se per ogni curva di Jordan γ contenuta in S la regioneinterna a γ e sottoinsieme di S). Intuitivamente una regione s.c. e unaregione senza buchi.

Lemma di Gauss (o teorema di Green): siano P (x, y), Q(x, y) ∈ C1

due funzioni reali e continue con derivate prime continue in un dominio Esemplicemente connesso. Allora per ogni curva γ chiusa regolare a tratticontenuta in E

∮γ[P (x, y)dx+Q(x, y)dy] =

∫∫S

[∂Q(x, y)

∂x− ∂P (x, y)

∂y

]dxdy , (1.6)

dove S e la regione interna a γ.

1.3.2 Integrali in campo complesso

Integrale di una funzione di variabile reale a valori complessi

Consideriamo una funzione complessa di una variabile reale w(t) = u(t)+iv(t):

w : [a, b] −→ C [a, b] ⊂ R

t ∈ [a, b] , w(t) ∈ C .

Definiamo l’integrale di w(t) in t∫ b

aw(t)dt =

∫ b

au(t)dt+ i

∫ b

av(t)dt .

23

L’integrale esiste se la funzione w(t) e continua o se ha un numero finito didiscontinuita di prima specie.

L’integrale (alla Riemann) si puo interpretare come limite di sommeintegrali: ∫ b

aw(t)dt = lim

n→∞In

dove

In =n∑

l=1

w(τl)(tl − tl−1)

=n∑

l=1

u(τl)(tl − tl−1) + in∑

l=1

v(τl)(tl − tl−1) .

Si divide cioe l’intervallo [a, b] in n sottointervalli a = t0 < t1 < t2 < ... <tn = b e si valuta la funzione w(t) nei punti τl interni a ciascun sottointervallo(tl−1 < τl < tl).

Dalla disuguaglianza triangolare (|a1+a2+...+an| ≤ |a1|+|a2|+...+|an|):

|In| ≤n∑

l=1

|w(τl)|(tl − tl−1)

segue, prendendo il limite per n→∞, la relazione∣∣∣∣∣∫ b

aw(t)dt

∣∣∣∣∣ ≤∫ b

a|w(t)|dt . (1.7)

Integrale di una funzione complessa di variabile complessa

Sia f(z) una funzione:

f : D ⊆ C −→ C

f : z = (x+ iy) ∈ D 7→ w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y) ∈ C .

Si consideri una curva γ regolare a tratti nell’intervallo [a, b]

γ : t 7→ z(t) a ≤ t ≤ b

e siano A = z(a) e B = z(b) gli estremi di tale curva (Fig. 1.6)

24

Figura 1.6: Curva aperta che unisce i punti A e B nel piano complesso

Se f(z) e continua ∀z ∈ γ, si definisce l’integrale curvilineo di f(z) tra Ae B lungo γ

∫ B

A(γ)f(z)dz =

∫ b

af (z(t))

dz

dtdt . (1.8)

N.B. Il secondo membro della (1.8) esiste perche γ e regolare a tratti(quindi dz/dt ha un numero finito di discontinuita).

∆ Teorema 6: l’integrale di una funzione continua f(z) = u(x, y)+iv(x, y)lungo una curva γ regolare a tratti e dato da

∫ B

A(γ)f(z)dz =

∫ B

A(γ)[u(x, y)dx− v(x, y)dy] + i

∫ B

A(γ)[v(x, y)dx+ u(x, y)dy] .

(1.9)

Dimostrazione

Dalla definizione (1.8) segue che

∫ B

A(γ)f(z)dz =

∫ b

af (z(t))

dz(t)

dtdt =

∫ b

a[u(x, y) + iv(x, y)]

[dx(t)

dt+ i

dy(t)

dt

]dt

=∫ b

a

[u(x, y)

dx(t)

dt− v(x, y)

dy(t)

dt

]dt

25

+ i∫ b

a

[v(x, y)

dx(t)

dt+ u(x, y)

dy(t)

dt

]dt

=∫ B

A(γ)[u(x, y)dx− v(x, y)dy] + i

∫ B

A(γ)[v(x, y)dx+ u(x, y)dy] .

[q.e.d]N.B. In generale l’integrale dipende dalla curva γ e non solo dagli estremi

di integrazione.Valgono per l’integrale (1.9) le proprieta degli integrali curvilinei. In

particolare, se C e un punto sulla curva γ,∫ B

A(γ)f(z)dz =

∫ C

A(γ)f(z)dz +

∫ B

C(γ)f(z)dz

e ∫ B

A(γ)f(z)dz = −

∫ A

B(γ)f(z)dz .

∆ Teorema 7: Disuguaglianza di Darboux Sia M il valore massimoassunto dal modulo della funzione f(z) lungo la curva γ:

M = maxz∈γ

|f(z)|

e l la lunghezza di γ tra A e B:

l =∫ b

a

ds

dtdt ≡

∫ b

a

√√√√(dxdt

)2

+

(dy

dt

)2

dt .

Allora vale la disuguaglianza di Darboux:∣∣∣∣∣∫ B

A(γ)f(z)dz

∣∣∣∣∣ ≤Ml . (1.10)

Dimostrazione

Applicando la disuguaglianza (1.7) alla definizione (1.8) si ottiene∣∣∣∣∣∫ B

A(γ)f(z)dz

∣∣∣∣∣ ≤∫ b

a|f(z(t))|

∣∣∣∣∣dzdt∣∣∣∣∣ dt

≤ M∫ b

a

∣∣∣∣∣dzdt∣∣∣∣∣ dt .

26

Ora, ∣∣∣∣∣dzdt∣∣∣∣∣ =

√√√√(dxdt

)2

+

(dy

dt

)2

≡ ds

dt;

pertanto ∫ b

a

∣∣∣∣∣dzdt∣∣∣∣∣ dt = l

e quindi: ∣∣∣∣∣∫ B

A(γ)f(z)dz

∣∣∣∣∣ ≤Ml .

[q.e.d.]

1.3.3 Teorema di Cauchy

∆ Teorema 8: sia f(z) una funzione regolare all’interno di un dominioaperto E semplicemente connesso. Il teorema di Cauchy asserisce che, perogni curva γ chiusa, regolare a tratti, tutta contenuta in E,

∮γf(z)dz = 0 . (1.11)

L’integrale di una funzione analitica e nullo lungo una qualsiasi curvachiusa omotopicamente equivalente a un punto nel dominio di analiticitadella funzione.

Dimostrazione

Dal teorema (1.9) si ha che

∮γf(z)dz =

∮γ[u(x, y)dx− v(x, y)dy] + i

∮γ[v(x, y)dx+ u(x, y)dy]

e, per il lemma di Gauss (1.6) (si ponga P = u, Q = −v nel primo integralee Q = u, P = v nel secondo)∮

γf(z)dz =

∫∫S

[−∂v(x, y)

∂x− ∂u(x, y)

∂y

]dxdy

27

+ i∫∫

S

[∂u(x, y)

∂x− ∂v(x, y)

∂y

]dxdy ,

dove S ⊂ E e la regione interna a γ. Poiche f(z) e analitica valgono lecondizioni di Cauchy-Riemann u′x = v′y e u′y = −v′x. Pertanto∮

γf(z)dz = 0 .

[q.e.d.]In altre parole,

∮γ f(z)dz = 0 se γ e contenuta nel dominio E di analiticita

di f(z) ed e deformabile con continuita in un punto senza uscire da E.In modo piu conciso si puo anche dire che la forma differenziale f(z)dz =

u(x, y)dx − v(x, y)dy + i[v(x, y)dx + u(x, y)dy] e chiusa in un aperto E:d(f(z)dz) = 0, se valgono le condizioni di CR; essa diventa esatta se ildominio e semplicemente connesso.

Corollario al teorema di Cauchy

∆ Teorema 9: siano γ1 e γ2 due curve semplici e regolari a tratti checongiungono i punti A e B e γ = γ1⊕ (−γ2) sia tutta contenuta nel dominiosemplicemente connesso di analiticita di f(z) (Fig. 1.7).

Figura 1.7: Curve aperte che uniscono i punti A e B in un dominiosemplicemente connesso

Allora

28

∫ B

A(γ1)f(z)dz =

∫ B

A(γ2)f(z)dz

ovvero: l’integrale di una funzione analitica non dipende dal cammino di in-tegrazione purche i cammini siano deformabili con continuita l’uno nell’altrosenza incontrare singolarita.

Dimostrazione

∫ B

A(γ1)f(z)dz −

∫ B

A(γ2)f(z)dz =

(∫ B

A(γ1)+∫ A

B(γ2)

)f(z)dz =

∮γf(z)dz = 0

per il teorema di Cauchy (1.11).[q.e.d.]

Esempio:

consideriamo l’integrale

I =∮

γ

dz

z.

La funzione 1/z e analitica in C−0. Se la regione interna alla curva γ noncontiene l’origine (Fig. 1.8) l’integrale e nullo per il teorema di Cauchy.

Se invece l’origine e interna a γ, per esempio γ e una circonferenza C diraggio R centrata in O (Fig. 1.9) l’integrale e diverso da zero.

Calcoliamone il valore. L’equazione della curva C in coordinate polari e

z = z(ϕ) = Reiϕ = R(cosϕ+ i sinϕ)

dz

dϕ= R(− sinϕ+ i cosϕ) = iz 0 ≤ ϕ ≤ 2π

I =∮

C

dz

z=∫ 2π

0

1

z(ϕ)z′(ϕ)dϕ =

∫ 2π

0

iReiϕ

Reiϕdϕ = 2πi

N.B. L’integrale non dipende da R.Ne segue che, se γ1 e γ2 sono due semicirconferenze centrate nell’origine

(Fig. 1.10) gli integrali

I1 =∫ B

A(γ1)

dz

z

29

Figura 1.8: Curva chiusa che non contiene l’origine

e

I2 =∫ B

A(γ2)

dz

z

non devono necessariamente essere uguali poiche non si puo applicare ilCorollario del teorema di Cauchy. Infatti essi valgono

I1 = i∫ π

0dϕ = iπ , I2 = i

∫ −π

0dϕ = −iπ .

N.B. I1 6= I2 perche deformando γ1 in γ2 si attraversa una singolarita (z = 0).In modo analogo si puo calcolare il seguente integrale

I =∮

C

dz

z − aa ∈ C (1.12)

dove la curva C e la circonferenza di raggio R centrata in a (Fig. 1.11).Infatti, ponendo

z = z(ϕ) = a+Reiϕ

si ha

z′(ϕ) = iReiϕ = i(z − a)

30

Figura 1.9: Curva chiusa che contiene l’origine

e quindi

I =∫ 2π

0

1

z(ϕ)− az′(ϕ)dϕ =

∫ 2π

0

iReiϕ

Reiϕdϕ = 2πi .

∆ Teorema 10: Teorema di Cauchy generalizzato Sia f(z) una fun-zione analitica in un dominio D qualsiasi e siano γ1 e γ2 due curve chiuseomotopicamente equivalenti in D. In queste ipotesi:∮

γ1

f(z)dz =∮

γ2

f(z)dz .

Dimostrazione

Per dimostrare il teorema consideriamo 3 casi:a) D semplicemente connessob) D generico, γ1 e γ2 non si intersechinoc) D generico, γ1 e γ2 si intersechinoa) In questo caso la dimostrazione e banale perche, per il teorema di

Cauchy, ∮γ1

f(z)dz =∮

γ2

f(z)dz = 0 .

31

Figura 1.10: Semicirconferenze centrate nell’origine

b)Effettuiamo due tagli AB e CD (Fig. 1.12). Poiche γ1 e γ2 sono O.E. in

D, la regione compresa tra le due curve appartiene tutta a D. Si ha allora(per il corollario al teorema di Cauchy):

∫ D

A(E)=∫ B

A+∫ C

B(F )+∫ D

C∫ A

D(G)=∫ C

D+∫ B

C(H)+∫ A

B.

Sommando membro a membro si ottiene∮γ1

f(z)dz =∮

γ2

f(z)dz

poiche ∫ B

A= −

∫ A

Be

∫ C

D= −

∫ D

C.

c) In questo caso si ha (vedi Fig. 1.13):

∫ B

A(E)=∫ B

A(F )

32

Figura 1.11: Circonferenza centrata nel punto a

∫ A

B(G)=∫ A

B(H).

Sommando membro a membro si ottiene∮γ1

f(z)dz =∮

γ2

f(z)dz .

N.B. Non e detto che la regione (AGBFA) appartenga a D (γ1 e γ2 sonoO.E. in D).

[q.e.d.]

• Corollario: l’integrale (1.12) vale 2πi per ogni curva chiusa γ checircondi il punto a:

I =∮

γ

dz

z − a= 2πi, a ∈ C (1.13)

Inoltre, sempre per ogni curva chiusa γ che circondi il punto a,

∮γ

dz

(z − a)n= 2πiδn,1 , n ∈ Z (1.14)

33

Figura 1.12: Curve γ1 e γ2 che non si intersecano in un dominio D

dove δnl e la delta di Kronecker definita da

δnl =

1 se n = l0 se n 6= l

n, l ∈ Z .

La (1.14) come si dimostra osservando che il cammino γ puo essere deformatoin una circonferenza C di raggio R e centro a e ponendo

z − a ≡ Reiθ ⇒ dz = iReiθdθ ; (1.15)

ne segue immediatamente, per n 6= 1:

∮γ

dz

(z − a)n=

∫ 2π

0

iReiθ

Rneinθdθ =

i

Rn−1

∫ 2π

0ei(1−n)θdθ =

i

Rn−1

ei(1−n)θ

i(1− n)

∣∣∣∣∣2π

0

= 0,

mentre per n = 1 vale la eq.(1.13)

1.3.4 Rappresentazione integrale di Cauchy

∆ Teorema 11: sia f(z) una funzione analitica in un dominio E apertosemplicemente connesso e γ una curva di Jordan contenuta in E. Sia S la re-gione interna a γ. Sotto queste ipotesi vale la rappresentazione integraledi Cauchy per la funzione f(z):

34

Figura 1.13: Curve γ1 e γ2 che si intersecano in un dominio D

f(z) =1

2πi

∮γ

f(z′)

z′ − zdz′ ∀z ∈ S , γ = ∂S . (1.16)

N.B. Perche valga la (1.16) e essenziale che z appartenga a S, cioe siainterna a γ. Infatti,

1) se z ∈ γ la funzione integranda ha una singolarita sul cammino diintegrazione e quindi l’integrale non esiste;

2) se z e esterno a γ, la funzione integranda f(z′)/(z′ − z) e analitica inS e l’integrale e nullo per il teorema di Cauchy (1.11) ;

3) se z e interno a γ, la funzione integranda f(z′)/(z′− z) in generale none analitica in S, ma puo avere una singolarita in z′ = z.

Dimostrazione

Consideriamo il seguente integrale

I(z) =∮

γ

f(z′)− f(z)

z′ − zdz′ .

Per il teorema generalizzato di Cauchy γ puo essere deformata in una circon-ferenza C centrata in z di raggio arbitrario r, interna a S:

I(z) =∮

C

f(z′)− f(z)

z′ − zdz′ .

35

Per la disuguaglianza di Darboux (1.10),

|I(z)| ≤ maxz′∈C

∣∣∣∣∣f(z′)− f(z)

z′ − z

∣∣∣∣∣ 2πr = 2πmaxz′∈C

|f(z′)− f(z)| ,

dove si e usato |z′ − z| = r, ∀z′ ∈ C. Poiche la funzione f(z) e continua inS, il secondo membro puo essere reso arbitrariamente piccolo. Infatti, dalladefinizione di continuita di una funzione, limz′→z f(z′) = f(z), segue

∀ε > 0 ∃δ / |f(z′)− f(z)| < ε ∀z′ ∈ Iδ(z) .

Basta allora scegliere r < δ per dimostrare che ∀ε > 0 si ha

|I(z)| ≤ 2πε.

Ma l’unico numero non negativo minore o uguale a un numero positivoarbitrario e lo zero, quindi

I(z) = 0,

ossia, utilizzando l’integrale (1.13),∮γ

f(z′)

z′ − zdz′ =

∮γ

f(z)

z′ − zdz′ = f(z) 2πi ,

da cui la (1.16).[q.e.d.]

La rappresentazione integrale di Cauchy permette quindi di conoscere ivalori di una funzione analitica in tutta la regione interna ad una curvachiusa γ una volta noti i suoi valori nei punti appartenenti alla curva γ.

Rappresentazione integrale di Cauchy per le derivate

∆ Teorema 12: sia f(z) una funzione analitica in un dominio E aper-to semplicemente connesso e γ una curva di Jordan contenuta in E. Sia Sla regione interna a γ. In queste ipotesi vale la rappresentazione integra-le di Cauchy (1.16); derivando ripetutamente sotto il segno di integrale eutilizzando l’identita:

dn

dzn

1

z′ − z=

n!

(z′ − z)n+1,

36

si ottiene la rappresentazione integrale di Cauchy per le derivate della fun-zione f(z):

dnf(z)

dzn=

n!

2πi

∮γ

f(z′)

(z′ − z)n+1dz′ ∀z ∈ S . (1.17)

Un’importantissima conseguenza della (1.17) e che una funzione ana-litica e infinitamente derivabile, ovviamente con derivate continue.

37

1.4 Serie in campo complesso

1.4.1 Serie di potenze

Una serie di potenze e una serie del tipo∞∑

k=0

ak(z − z0)k .

Per le serie di potenze in campo complesso valgono teoremi analoghi aquelli validi in campo reale:

• La regione di convergenza di una serie di potenze in C e un cerchio(centrato in z0), il cui raggio si dice raggio di convergenza della serie.All’interno di tale cerchio la serie e uniformemente e assolutamenteconvergente. All’esterno non converge mai. Sulla circonferenza puoconvergere o no, a seconda dei casi, e c’e sempre almeno un puntosingolare di f(z).

• Teorema di Weierstrass: una serie di potenze e, per ogni z internoal cerchio di convergenza, derivabile termine a termine n volte (con narbitrario):

f(z) =∞∑

k=0

ak(z − z0)k ⇒ dnf(z)

dzn=

∞∑k=0

akdn(z − z0)

k

dzn,

quindi essa e analitica all’interno del cerchio di convergenza.

• Teorema di Cauchy-Hadamard: il raggio di convergenza ρ dellaserie di potenze

∑∞k=0 ak(z− z0)

k coincide con l’inverso del massimo frai punti di accumulazione della successione |ak|1/k, ovvero, se il limiteesiste, con:

ρ =

limk→∞

|ak|1/k−1

. (1.18)

Si puo mostrare che la (1.18) e equivalente alla piu comoda:

ρ = limn→∞

∣∣∣∣∣ an

an+1

∣∣∣∣∣ , (1.19)

sempre che il limite, finito o infinito, esista.

38

1.4.2 Serie di Taylor

Lo sviluppo in serie di Taylor e uno sviluppo in serie di potenze di unafunzione nell’intorno di un suo punto di analiticita.

Sia f(z) una funzione analitica in un dominio D e sia C un intornocircolare, tutto contenuto in D, di un punto regolare z0 (si veda Fig. 1.14).

E facile dimostrare che la funzione f(z), infinitamente derivabile 2 , puoessere rappresentata, per ogni z ∈ C, dalla serie di Taylor:

f(z) =∞∑

k=0

ak(z − z0)k (1.20)

con

ak =1

k!

[dkf(z)

dzk

]z=z0

=1

2πi

∮c

f(z)

(z − z0)k+1dz , (1.21)

dove per l’ultimo passaggio si e usata la rappresentazione di Cauchy (1.17)delle derivate di una funzione analitica.

Dimostrazione: partendo dalla rappresentazione integrale di Cauchy

f(z) =1

2πi

∮c

f(z′)z′ − z

dz′ ,

usando (vedi Fig. 1.14)

1z′ − z

=1

z′ − z0 − (z − z0)=

1z′ − z0

∞∑n=0

(z − z0

z′ − z0

)n

(1.22)

e integrando termine a termine la serie (uniformemente convergente, poiche |z − z0| <

2Nel campo reale l’infinita derivabilita non e sufficiente per garantire che una funzionesia sviluppabile in serie di Taylor; nel campo complesso basta invece la analiticita.

39

Figura 1.14: Intorno circolare del punto z0 nel dominio D

|z′ − z0|, quindi∣∣∣ z−z0z′−z0

∣∣∣ < 1) ) si ottiene

f(z) =∞∑

n=0

(z − z0)n 12πi

∮c

f(z′)(z′ − z0)n+1

dz′ , (1.23)

che coincide con la (1.20).[q.e.d]

Poiche il cerchio C deve essere tutto interno al dominio di analiticita dif(z), il suo raggio r puo essere fatto coincidere con la distanza di z0 dalpiu vicino punto singolare di f(z); il cerchio C e certamente contenuto nelcerchio di convergenza della serie di Taylor (1.20) e di solito i due cerchi coin-cidono; se la serie di Taylor converge anche al di fuori dell’originale dominiodi definizione della funzione f(z), la nuova funzione cosı definita viene dettacontinuazione analitica della funzione di partenza.

E molto importante sottolineare che esiste una completa equivalenza traanaliticita di una funzione in un punto e sua sviluppabilita in serie di Taylorin un suo intorno:

f(z) analitica in z0 ⇐⇒ ∃I(z0) / ∀z ∈ I(z0) , f(z) =∞∑

k=0

ak(z − z0)k .

• Esempio: la serie geometrica

40

∞∑k=0

zk

converge uniformemente a

f(z) =1

1− z

nella regione |z| < 1. Il punto z = 1 e infatti un punto singolare dif(z).

1.4.3 Zeri

Un punto regolare z = z0 e uno zero di ordine n della funzione f(z) se:

1) La funzione si annulla in z0:

f(z0) = 0

2) Le prime n− 1 derivate si annullano in z0:

dkf(z)

dzk

∣∣∣∣∣z=z0

= 0 , k = 1, 2, ... , n− 1

3) La derivata n-esima e diversa da zero in z0:

dnf(z)

dzn

∣∣∣∣∣z=z0

6= 0 .

• Esempio: la funzione

f(z) = z2

ha uno zero di ordine 2 in z = 0. Infatti:

f(0) = 0 , f ′(0) = 0 , f ′′(0) = 2 6= 0 .

41

Uno zero e un punto regolare di f(z), che sara quindi rappresentabiletramite uno sviluppo in serie di Taylor intorno a quel punto:

f(z) =∞∑

k=0

ak(z − z0)k . (1.24)

Se z0 e uno zero di ordine n di f(z), si ha, dalla (1.21), che

a1 = a2 = ... = an−1 = 0

e

an 6= 0 .

Quindi la (1.24) diventa

f(z) =∞∑

k=n

ak(z − z0)k .

Cambiando l’indice nella sommatoria, k → k′ = k − n, si ottiene

f(z) =∞∑

k′=0

ak′+n(z − z0)k′+n

= (z − z0)n

∞∑k′=0

ak′+n(z − z0)k′ .

La funzione

g(z) =∞∑

k=0

ak+n(z − z0)k

e una funzione analitica in z0, in quanto sviluppabile in serie di Taylor intornoal punto z = z0. Inoltre g(z) e non nulla in z0:

g(z0) = an 6= 0 .

Pertanto una funzione f(z) che abbia in z0 uno zero di ordine n puosempre essere scritta nella forma

f(z) = (z − z0)ng(z) , (1.25)

con g(z) analitica e non nulla in z = z0.

42

1.4.4 Serie di Laurent

Fra le varie possibili singolarita di una funzione analitica giocano un ruoloparticolarmente importante le singolarita isolate: un punto singolare z0 sidice singolarita isolata della funzione f(z) se esiste un suo intorno privatodi z0 in cui f(z) e analitica.

Nell’intorno di una singolarita isolata e necessario considerare anche seriea potenze negative; per esempio, per ogni z 6= 0 vale:

e1/z =∞∑

k=0

z−k

k!, (1.26)

come si vede subito ponendo w = 1/z; evidentemente l’origine e una singo-larita isolata per la funzione e1/z.

Lo sviluppo in serie di Laurent e uno sviluppo in serie di potenze positivee negative di una funzione f(z) in un intorno bucato I(z0) di un suo puntosingolare isolato z0 (si veda Fig. 1.15); si puo infatti dimostrare 3 che esisteun I(z0) tale che, per ogni z ∈ I(z0), si puo scrivere:

f(z) =∞∑

k=−∞dk(z − z0)

k. (1.27)

Ricordando la (1.14) e immediato calcolare i coefficienti dk; basta dividerela (1.27) per (z − z0)

n+1 e integrare su una curva chiusa γ interna a I(z0) eche circondi z0 per ottenere:

dk =1

2πi

∮γ

f(z)

(z − z0)k+1dz , (1.28)

N.B. Anche per k > 0, il coefficiente dk in generale non e la derivatadkf(z)/dzk perche f(z) non e analitica nel punto z0.

3La dimostrazione e analoga a quella dello sviluppo in serie di Taylor, con la differenzache la curva γ da scegliere per la rappresentazione integrale di Cauchy di f(z) e compostadalle due circonferenze (percorse in verso opposto) che delimitano una corona circolarecentrata in z0 e contenuta in I(z0).

43

Figura 1.15: Curva γ in un intorno bucato del punto z0

Notare inoltre che lo sviluppo in serie di Taylor (1.20) si ottiene comecaso particolare dello sviluppo in serie di Laurent (1.27) se invece z0 e unpunto regolare di f(z). Infatti, se z0 e regolare, per il teorema di Cauchydk = 0 per tutti i k ≤ −1 e la (1.27) si riduce alla (1.20) (4).

1.4.5 Singolarita isolate: poli e singolarita essenziali

• Poli

Il punto singolare isolato z0 si definisce polo della funzione f(z) se losviluppo in serie di Laurent intorno a z0 possiede un numero finito ndi potenze negative; un polo si dice di ordine n se:

1) I coefficienti ..., d−n−2, d−n−1 si annullano:

d−k = 0 , ∀k > n

2) Il coefficiente d−n e diverso da zero:

d−n 6= 0 .

Un polo di ordine 1 si dice polo semplice, di ordine 2 polo doppio e cosıvia.

44

Nell’intorno di un polo di ordine n lo sviluppo (1.27) si riduce quindi a

f(z) =∞∑

k=−n

dk(z − z0)k (1.29)

e, mediante il cambiamento di indice k → k′ = k + n, a

f(z) =∞∑

k′=0

dk′−n(z − z0)k′−n

= (z − z0)−n

∞∑k=0

dk−n(z − z0)k .

Definiamo ora

g(z) =∞∑

k=0

dk−n(z − z0)k .

La funzione g(z) e data da uno sviluppo in serie di Taylor intorno a z0:essa e pertanto analitica in z0. Inoltre g(z) e diversa da zero in z0:

g(z0) = d−n 6= 0 .

Pertanto se z0 e un polo di ordine n della funzione f(z), questa puoessere espressa come

f(z) =g(z)

(z − z0)n, (1.30)

con g(z) analitica e non nulla in z = z0.

Dalle (1.30) e (1.25) segue che il punto z = z0 e uno zero di ordine nper la funzione 1/f(z):

1

f(z)= h(z)(z − z0)

n ,

dove h(z) = 1/g(z) e di nuovo una funzione analitica e non nulla in z0.

• Singolarita essenziali

Il punto z = z0 si definisce invece singolarita essenziale isolata dellafunzione f(z) se e un punto singolare isolato e lo sviluppo in serie diLaurent intorno a z0 possiede un numero infinito di potenze negative.

Come si vede dallo sviluppo in serie di Laurent (1.26), un esempio di sin-golarita essenziale isolata e l’origine per la funzione e1/z, e analogamenteper le funzioni sin(1/z), cos(1/z) e simili.

45

Dalle definizioni di polo e singolarita essenziale isolata segue che un polo diordine n puo essere rimosso moltiplicando la f(z) per (z−z0)

n, mentre questonon e possibile per una singolarita essenziale.

Un’altra importante differenza fra poli e singolarita essenziali e la seguen-te: e evidente dalla (1.30) che limz→z0 f(z) = ∞ se il punto z0 e un polo dif(z); se invece z0 e una singolarita essenziale il limite non esiste, perche nel-l’intorno di z0 la funzione oscilla forsennatamente: per farsene un’idea, bastapensare all’andamento nell’intorno dell’origine della funzione sin 1

zcon z reale

o immaginario puro.Piu in generale, si puo dimostrare il Teorema di Weierstrass per le

singolarita essenziali isolate: se z = z0 e una singolarita essenziale isolatadella funzione f(z), coefficienti negativi, allora per ogni ε e δ piccoli a piaceree per ogni numero complesso c ∈ C, esiste un valore di z ∈ Iδ(z0) tale che

|f(z)− c| < ε .

In altre parole, il teorema di Weierstrass afferma che in qualunque intornodi una singolarita essenziale isolata, la funzione f(z) approssima indefinita-mente qualunque valore prefissato c, senza necessariamente raggiungerlo.

46

1.5 Residui

Sia f(z) una funzione analitica in un dominioD, z0 un punto singolare isolato,γ una curva di Jordan, tutta contenuta in D e contenente al suo interno ilpunto z0, ma non altre singolarita (questo e possibile, perche z0 e isolato).Si definisce residuo della funzione f(z) nel punto z = z0 la quantita

Resf(z)z=z0≡ 1

2πi

∮γf(z)dz . (1.31)

Dalla eq.(1.28) che definisce i coefficienti di Laurent, calcolata per k = −1,si vede subito che vale:

Resf(z)z=z0= d−1 . (1.32)

Quindi il residuo di una funzione in un punto singolare isolato z0 e ilcoefficiente della potenza (−1) − esima del suo sviluppo in serie di Laurentintorno a z0.

• Esempio

f(z) =1

z⇒ Resf(z)z=0 =

1

2πi

∮γ

dz

z= 1 ,

dove γ e una curva che circonda l’origine.

Ovviamente, se z0 e un punto regolare di f(z) e cerchiamo ugualmente dicalcolare il residuo, troviamo zero per il teorema di Cauchy. Non vale peroil viceversa: una funzione puo avere residuo nullo in un punto ed ivi esseresingolare, se d−1 = 0 ma esiste qualche d−n 6= 0 per n > 1; un esempiocaratteristico e f(z) = 1/z2 che nell’origine ha un polo doppio, con residuonullo.

47

1.5.1 Teorema dei residui

∆ Teorema 13: sia f(z) una funzione analitica in un dominio D, eccettoche in un numero finito di singolarita isolate. Sia γ una curva di Jordancontenuta in D, non passante per alcun punto singolare di f(z). In questeipotesi vale il teorema dei residui:

∮γf(z)dz = 2πi

n∑k=1

Resf(z)z=zk, (1.33)

dove z1, z2, ..., zn sono le singolarita di f(z) interne a γ.

Dimostrazione

Il teorema dei residui si dimostra facilmente per induzione completa. In-fatti la (1.33) e vera per n=1 per la definizione di residuo. Se le singolaritasono n+ 1 isoliamo la (n+ 1)-esima come in Fig. 1.16.

Figura 1.16: Curva γ che contiene n+ 1 singolarita della funzione

Usando la tesi (1.33) per n singolarita si ottiene∮γf(z)dz =

∮γ1

f(z)dz +∮

γ2

f(z)dz

48

= 2πi Resf(z)z=zn+1+ 2πi

n∑k=1

Resf(z)z=zk

= 2πin+1∑k=1

Resf(z)z=zk. (1.34)

Quindi la (1.33) e vera per n+1 singolarita. [q.e.d.]E utile osservare che il numero di singolarita interne alla curva γ deve

essere finito; se fosse infinito, all’interno di γ ci sarebbe un punto di accu-mulazione di singolarita e quindi una singolarita non isolata, per cui non hasenso definire il residuo.

1.5.2 Calcolo dei residui

Vediamo ora come si calcola esplicitamente il residuo di una funzione in unsuo punto singolare isolato.

Se z0 e una singolarita essenziale non c’e altro modo4 che usare leequazioni (1.31) e (1.32).

Se invece z = z0 e un polo di ordine n di f(z) c’e un modo alternativoche richiede solo di calcolare derivate. Infatti in un intorno di z0 si puoscrivere:

f(z) =g(z)

(z − z0)n

con g(z) analitica e non nulla in z0. Il residuo e, dalla (1.31),

Resf(z)z=z0=

1

2πi

∮γ

g(z)

(z − z0)ndz .

Ora, dalla rappresentazione di Cauchy per le derivate di f(z) (1.17)

dkg(z)

dzk

z=z0

=k!

2πi

∮γ

g(z)

(z − z0)k+1dz ,

4locale, perche vedremo piu avanti che il discorso puo essere diverso se si conosceil comportamento globale della funzione in tutto il piano complesso, punto all’infinitocompreso.

49

si ottiene, ponendo k = n− 1,

1

2πi

∮γ

g(z)

(z − z0)ndz =

1

(n− 1)!

dn−1g(z)

dzn−1

z=z0

e quindi, poiche

g(z) = (z − z0)nf(z) ,

Resf(z)z=z0=

1

(n− 1)!limz→z0

dn−1

dzn−1[(z − z0)

nf(z)]

. (1.35)

Nel caso particolare in cui z0 sia un polo semplice (n = 1), si ha

Resf(z)z=z0= lim

z→z0[(z − z0)f(z)] .

Ricordando lo sviluppo in serie di Laurent nel caso di un polo semplice (1.29)

f(z) =∞∑

k=−1

dk(z − z0)k

=d−1

z − z0

+ d0 + d1(z − z0) + ... ,

si ottiene

Resf(z)z=z0= lim

z→z0

d−1 +

∞∑k=0

dk(z − z0)k+1

e quindi

Resf(z)z=z0= d−1 , (1.36)

a conferma di quanto visto in generale in eq.(1.32).

50

1.6 Calcolo di integrali definiti mediante il

teorema dei residui

Il teorema dei residui (1.33) e di grande utilita perche permette non solo dicalcolare integrali naturalmente definiti su curve chiuse nel piano complesso,ma anche ampie classi di integrali definiti sull’asse reale, trasformandoli inintegrali in campo complesso.

1.6.1 Integrali trigonometrici

Una prima classe da considerare e la seguente 5:∫ 2π

0f(cos θ, sin θ)dθ . (1.37)

Per calcolare integrali di questo tipo

a) si usano le formule di Eulero per esprimere sin θ e cos θ in funzione dieiθ (senza usare la complessa coniugazione!) e si effettua la sostituzione

z = eiθ ⇒ dθ = −idzz

; (1.38)

b) ci si riconduce ad un integrale nel piano z lungo una circonferenza diraggio unitario;

c) si calcola l’integrale con il teorema dei residui.

1.6.2 Esempi

Esempio 1

I =∫ 2π

0

dθ

5 + 3 cos θ.

5Naturalmente l’intervallo d’integrazione potrebbe essere anche (−π, π) o qualsiasi altrointervallo di ampiezza 2π.

51

Con la sostituzione (1.38) si ha:

cos θ =eiθ + e−iθ

2=

1

2

(z +

1

z

).

Sostituendo in I:

I = −i∮

C

dz

z

1

5 + 3/2 (z + 1/z)

= −2i

3

∮C

dz

z2 + 103z + 1

dove C e una circonferenza di raggio unitario centrata nell’origine. Studiamoora le singolarita della funzione integranda:

f(z) =1

z2 + 103z + 1

.

z2 +10

3z + 1 = 0 ⇒ z1 = −1

3, z2 = −3

⇒ z2 +10

3z + 1 =

(z +

1

3

)(z + 3) .

La funzione f(z) ha due poli semplici in z = −1/3 (interno alla curva C ez = −3 (esterno alla curva C). Pertanto

I = −2i

32πi

Res

1

z2 + 103z + 1

z=−1/3

=4π

3lim

z→−1/3

z + 1/3(z + 1

3

)(z + 3)

=π

2.

Esempio 2

I =∫ 2π

0

dθ

1− 2p cos θ + p2, p ∈ C

Poniamo

z = eiθ ⇒ dθ = −idzz

52

Allora (vedi esempio precedente)

cos θ =1

2

(z +

1

z

).

Sostituendo in I:

I = −i∮

C

dz

z

1

1− p (z + 1/z) + p2

= 1∮

C

dz

pz2 − (1 + p2)z + p

dove C e una circonferenza di raggio unitario centrata nell’origine. La fun-zione integranda

f(z) =1

pz2 − (1 + p2)z + p

ha due poli semplici:

pz2 − (1 + p2)z + p = 0 −→ z1 = 1/p , z2 = p

−→ pz2 − (1 + p2)z + p = p (z − 1/p) (z − p)

e quindi

I =i

p

∮C

dz

(z − 1/p) (z − p).

Dove sono situati i poli di f(z)?

se |p| < 1 −→ z = p interno a C , z = 1/p esterno a C

se |p| > 1 −→ z = p esterno a C , z = 1/p interno a C .

Ne segue che, se |p| < 1,

I =i

p2πi

Res

1

(z − p)(z − 1/p)

z=p

= −2π

plimz→p

z − p

(z − p)(z − 1/p)

=2π

1− p2

53

e, se |p| > 1,

I =i

p2πi

Res

1

(z − p)(z − 1/p)

z=1/p

= −2π

plim

z→1/p

z − 1/p

(z − p)(z − 1/p)

=2π

p2 − 1.

Se |p| = 1, l’integrando ha una singolarita sul cammino di integrazione eI non e definito.

Lasciamo allo studente attento di accorgersi che l’esempio 1 e un casoparticolare dell’esempio 2.

1.6.3 Lemma di Jordan

Molto spesso possono essere calcolati con il metodo dei residui anche integraliestesi a tutto l’asse reale:

I =∫ ∞

−∞g(x)dx . (1.39)

In tal caso la strategia da seguire e di considerare accanto all’integrale Il’integrale:

J(R) =∫ R

−Rg(x)dx+

∫γR

g(z)dz, (1.40)

dove γR e una semicirconferenza, centrata nell’origine e di raggio R, situatanel semipiano Im z > 0 o Im z < 0 a seconda dei casi (vedi Fig. 1.17).

L’integrale J(R) e esteso a una curva chiusa e si puo quindi calcolare conil metodo dei residui; dalla conoscenza di J(R) e poi immediato calcolarel’integrale I se la funzione g(z) e tale che:

limR→∞

∫γR

g(z)dz = 0 . (1.41)

Cio succede nei casi seguenti6:

6In realta dalla (1.41) segue che

limR→∞

J(R) = limR→∞

∫ R

−R

g(x)dx, (1.42)

54

Figura 1.17: Semicirconferenze di raggio r nel semipiano inferiore (a) esuperiore (b)

1) La funzione g(z) tende a zero piu velocemente di 1/|z| per z →∞:

g(z) = o

(1

|z|

), z →∞ . (1.44)

In questo caso la semicirconferenza γR puo giacere sia nel semipianoIm z > 0 sia nel semipiano Im z < 0.

Dimostrazione.

Passando a coordinate polari (e supponendo di considerare la semicir-conferenza nel semipiano superiore)∫

γR

g(z)dz = iR∫ π

0g(Reiθ

)eiθdθ

che coincide con

I = limR1→∞,R2→∞

∫ R2

−R1

g(x)dx, (1.43)

solo nel caso che quest’ultimo integrale esista; se cio non succede, ma esiste il limite (1.42),allora questo si chiama valore principale dell’integrale (1.39).

55

e applicando la disuguaglianza (1.7) si ottiene∣∣∣∣∫γR

g(z)dz∣∣∣∣ ≤ R

∫ π

0

∣∣∣g (Reiθ)∣∣∣ dθ

da cui, sfruttando l’ipotesi

limR→∞

R∣∣∣g (Reiθ

)∣∣∣ = 0 ,

si ottiene infine la (1.41). (Notare che non si e fatto altro che ridimo-strare la disuguaglianza di Darboux (1.10) in questo caso particolare.)

[q.e.d.]

2) La funzione integranda g(z) e della forma eiαzf(z), con α > 0, dovef(z) e una funzione che tende uniformemente (rispetto all’argomentodi z) a zero quando |z| tende a infinito e l’argomento di z e compresofra 0 e π (cioe nel semipiano Im z ≥ 0), ovvero 7

f(z) = o(1), z →∞, 0 ≤ arg z ≤ π . (1.45)

In tal caso, se si sceglie per γR una semicirconferenza nel semipianosuperiore (Im z > 0), centrata nell’origine e di raggio R, e faciledimostrare che vale:

limR→∞

∫γR

eiαzf(z)dz = 0 . (1.46)

3) Con la sostituzione z → −z, si vede subito che la (1.46) vale anche perα < 0, purche valga la (1.45) con π ≤ arg z ≤ 2π e la semicirconferenzaγR stia nel semipiano inferiore.

4) Con la sostituzione z → −iz si vede subito che vale anche

limR→∞

∫γR

eαzf(z) dz = 0 , α > 0 (1.47)

purche valga la (1.45) con π2≤ arg z ≤ 3π

2e la semicirconferenza γR,

centrata in qualsiasi punto x0 dell’asse reale, stia a sinistra della pa-rallela dell’asse immaginario passante per x0. Ovviamente se α < 0vale un discorso analogo per una semicirconfrenza γR che stia a destradella parallela dell’asse immaginario passante per x0.

7Notare che questa condizione e molto meno restrittiva della (1.44); qui e l’esponenziale,rapidamente decrescente per Im z → +∞, che si incarica di far tendere rapidamente azero l’integrando.

56

Per capire subito su quale semicirconferenza chiudere il cammino perpoter applicare il lemma di Jordan, basta ricordare che essa va scelta inmodo che, lungo la sua freccia, l’esponente del fattore che moltiplica f(z)deve essere reale e tendere a −∞ per |z| → ∞.

Si indica con lemma di Jordan il contenuto dei punti 2), 3) e 4), maper comodita denoteremo con questo termine tutto quanto detto in questoparagrafo.

1.6.4 Esempi

Esempio 1

I =∫ ∞

0

x2

(x2 + 1)(x2 + 4)dx

La funzione integranda e simmetrica:

f(x) =x2

(x2 + 1)(x2 + 4)= f(−x) .

Quindi

I =1

2

∫ ∞

−∞

x2

(x2 + 1)(x2 + 4)dx .

Inoltre

f(z)|z|→∞∼ 1

z2;

le ipotesi del lemma di Jordan (caso 1) sono soddisfatte in entrambi i semipia-ni. Possiamo quindi chiudere il cammino di integrazione nel piano complessocome indicato in Figura 1.17 (scegliamo di chiuderlo nel semipiano positivo).

Indichiamo con CR il cammino chiuso e con ΓR la semicirconferenza. Illemma di Jordan ci assicura che

limR→∞

∫ΓR

f(z)dz = 0

e quindi ∫ ∞

−∞f(z)dz = lim

R→∞

∮CR

f(z)dz .

57

Pertanto

I =1

2lim

R→∞

∮CR

f(z)dz .

Studiamo la funzione f(z):

(z2 + 1)(z2 + 4) = 0 −→ z = ±i , z = ±2i .

f(z) ha 4 poli semplici, due nel semipiano Im z > 0 e due nel semipiano Imz < 0. Quindi

I =1

22πi [Resf(z)z=i + Resf(z)z=2i]

Resf(z)z=i = limz→i

(z − i)z2

(z + i)(z − i)(z2 + 4)=i

6

Resf(z)z=2i = limz→2i

(z − 2i)z2

(z + 2i)(z − 2i)(z2 + 1)= − i

3

I = πi(i

6− i

3

)=π

6.

Si noti che in questo esempio, e nei successivi esempi 2 e 3, l’integrando epositivo; se il risultato trovato fosse un numero negativo (o peggio immagina-rio) si sarebbe certo commesso un errore di segno (o dimenticato un fattorei).

Esempio 2

I =∫ ∞

−∞

dx

1 + x2n, n intero positivo

f(z) =1

1 + z2n

|z|→∞∼ 1

z2n

Il lemma di Jordan (caso 1) vale in tutto il piano z. Chiudiamo il camminodi integrazione in Im z > 0:

58

I = limR→∞

∮CR

dz

1 + z2n.

I poli di f(z) sono dati da

1 + z2n = 0 −→ z2n = −1 −→ z = (−1)12n .

Quanti poli giacciono nel semipiano Im z > 0? Poiche −1 si puo rappresen-tare come

− 1 = ei(π+2kπ)

con k intero, i poli saranno

z = zk = eiπ 2k+12n = eiθk

con

θk =2k + 1

2nπ

cioe

z0 = ei π2n , z1 = ei 3π

2n , z−1 = e−i π2n , etc.

I poli zk giacciono nel semipiano Im z > 0 se 0 < θk < π, ovvero se

0 <2k + 1

2n< 1

che, poiche k e intero, equivale a

− 1

2< k < n− 1

2−→ 0 ≤ k ≤ n− 1 .

La funzione f(z) ha quindi n poli semplici in Im z > 0:

z = zk = eiθk , θk =2k + 1

2nπ , k = 0, 1, ...(n− 1) .

Il residuo di f(z) nel polo zk vale

Resf(z)z=zk= lim

z→zk

(z − zk)

1

1 + z2n

= lim

z→zk

1

2nz2n−1

=zk

2nz2nk

= − zk

2n.

59

Pertanto

I = 2πin−1∑k=0

(− zk

2n

)= −iπ

n

n−1∑k=0

eiπ2n

(2k+1) .

Poniamo

z0 = eiπ2n −→ z2k+1

0 = eiπ2n

(2k+1)

Allora

I = −iπn

n−1∑k=0

z(2k+1)0 = −iπ

nz0

n−1∑k=0

(z20

)k= −iπ

nz0

1− z2n0

1− z20

Ma z2n0 = −1 e pertanto

I = −2iπ

n

z0

1− z20

=π

n

1z0−z−1

0

2i

e infine

I =π

n sin(

π2n

) .Esempio 3

I =∫ +∞

−∞

cosx

1 + x2dx .

L’integrale esiste poiche la funzione integranda e continua sull’asse reale ede O

(1x2

)per x → ±∞; non si puo pero applicare il caso 1) del lemma di

Jordan perche l’integrando non e affatto O(

1z

)nel piano complesso; infatti

I =1

2

∫ +∞

−∞

eiz + e−iz

1 + z2dz , (1.48)

quindi esso diverge esponenzialmente per z = iy con y → ±∞. Invece ilprimo addendo dell’integrale (1.48) soddisfa le ipotesi del caso 2) del lemmadi Jordan (α = 1 > 0) e quindi si calcola chiudendo il cammino nel semipianosuperiore:

∫ +∞

−∞

eiz

1 + z2dz = 2πi

Res

eiz

1 + z2

z=i

=π

e;

60

il secondo addendo ricade invece nel caso 3) (α = −1 < 0) e quindi si calcolachiudendo il cammino nel semipiano inferiore∫ +∞

−∞

e−iz

1 + z2dz = −2πi

Res

e−iz

1 + z2

z=−i

=π

e.

Pertanto

I =π

e.

Esempio 4

I =∫ ∞

0

sinx

xdx .

La funzione integranda e pari:

f(x) =sin x

x= f(−x) .

Quindi

I =1

2

∫ ∞

−∞

sin x

xdx .

Notare che l’integrando non e singolare nell’origine; infatti lo zero semplicedel denominatore e compensato da uno zero semplice del numeratore.

Il lemma di Jordan non e direttamente applicabile, perche

sin z

z=

1

2i

eiz − e−iz

z;

quindi per il primo addendo bisognerebbe applicare il caso 2) (α = 1 > 0) echiudere con una semicirconferenza nel semipiano superiore, mentre il secon-do ricade nel caso 3) (α = −1 < 0) e bisognerebbe chiudere nel semipianoinferiore. Non si puo nemmeno spezzare l’integrale in una somma di dueintegrali, perche

∫ +∞

−∞

eiz

zdz

non esiste (lo zero del denominatore non e piu compensato da uno zero delnumeratore).

La difficolta si aggira nel modo seguente: poiche f(z) e ovunque analiticaal finito (si noti che f(z) → 1 per z → 0), prima di spezzare l’integrale si

61

puo deformare il cammino di integrazione, grazie al teorema di Cauchy. Inparticolare, i due cammini C1 e C2 di Figura 1.18 danno lo stesso risultatoper I:

I =1

2

∫C1

sin z

zdz =

1

2

∫C2

sin z

zdz .

Figura 1.18: Cammini C1 e C2 che aggirano l’origine

Dopo aver cosı deformato il cammino e possibile spezzare l’integrale inuna somma di due e procedere con il metodo dei residui. Calcoleremo I indue modi diversi:

i) Integriamo su C1:

I =1

4i

(∫C1

eiz

zdz −

∫C1

e−iz

zdz

).

Benche la funzione f(z) sia regolare ovunque, le funzioni eiz

ze e−iz

zhanno

un polo semplice in z = 0; inoltre esse soddisfano il lemma di Jordan neisemipiani Im z > 0 e Im z < 0, rispettivamente. Pertanto si possono chiuderei cammini di integrazione nelle curve γ1 e γ2 (vedi Figura 1.19).

I =1

4i

(∮γ1

eiz

zdz −

∮γ2

e−iz

zdz

).

Si noti che la curva γ2 e percorsa in senso orario.Ora, il primo integrale e nullo per il teorema di Cauchy e il secondo si

calcola con il teorema dei residui, tenendo conto del cambiamento di segnonecessario perche la curva γ2 e percorsa in senso orario:

62

Figura 1.19: Chiusura del cammino che aggira l’origine nel semipianosuperiore (a) ed inferiore (b)

I = − 1

4i

∮γ2

e−iz

zdz = +

1

4i2πi

Res

e−iz

z

z=0

=π

2. (1.49)

E facile verificare che lo stesso risultato si ottiene integrando su C2.ii)

I =1

4i

(∫C1

eiz

zdz −

∫C1

e−iz

zdz

).

Cambiamo variabile nel secondo integrale:

z → −z , C1 → −C2

Allora

I =1

4i

(∫C1

eiz

zdz −

∫−C2

eiz

zdz

)=

1

4i

(∫C1

+∫

C2

)eiz

zdz .

Ma ∫C1

−∫

C2

= −∮

γ−→

∫C2

=∫

C1

+∮

γ,

dove γ e una curva chiusa che circonda l’origine. Pertanto

I =1

4i

(2∫

C1

eiz

zdz +

∮γ

eiz

zdz

). (1.50)

63

Ora,

∫C1

eiz

zdz = 0

per il lemma di Jordan (applicabile in Im z > 0) e per il teorema di Cauchy,e ∮

γ

eiz

zdz = 2πi

Res

eiz

z

z=0

= 2πi .

Sostituendo infine nella (1.50) si ottiene

I =π

2.

64

1.7 Definizione delle funzioni ln z e zα nel pia-

no complesso

La funzione logaritmo w = ln z e definita nel campo complesso ∀z 6= 0 dallaequazione

ew = z , (1.51)

ovveroeRe weiIm w = |z|eiarg z (1.52)

da cui segue, prendendo il modulo di ambo i membri,

eRe w = |z| ⇒ Re w = ln |z| , (1.53)

dove il logaritmo del numero positivo |z| e quello definito in campo reale.Sostituendo nella (1.52) si ottiene

eiIm w = eiarg z , (1.54)

la cui soluzione generale e

Im w = arg z + 2πn , ∀n ∈ Z . (1.55)

Si rimuove l’ambiguita, insita nella stessa definizione di arg z, fissando ilvalore di n (per esempio n = 0) e scegliendo un intervallo di ampiezza 2π incui far variare arg z, come discusso nel par.1.1.2. Quindi

ln z = ln |z|+ i arg z . (1.56)

La funzione logaritmo e percio completamente definita solo se si specifica inche intervallo varia arg z ed e discontinua su una semiretta (taglio) uscentedall’origine del piano complesso, perche tale e la funzione arg z, come si evisto nel paragrafo 1.1.2. L’origine e percio una singolarita non isolatadella funzione logaritmo detta punto di diramazione (branching point); lostesso dicasi per il punto all’infinito. La funzione zα, con α ∈ C, si definiscecome

zα = eα ln z (1.57)

e, salvo che per α ∈ N, soffre degli stessi problemi della funzione logaritmo8.E facile dimotsrare che

d ln z

dz=

1

z, ∀z 6= 0 (1.58)

e quindi anchedzα

dz= αzα−1 , ∀α ∈ C . (1.59)

8Per α ∈ N non ci sono ambiguita poiche eN(ln z+2πin) = eN ln z.

65

Capitolo 2

Equazioni Differenziali inCampo Complesso

2.1 Equazioni differenziali ordinarie del se-

cond’ordine

La forma piu generale di equazione differenziale ordinaria del II ordine omo-genea e

A(z)u′′(z) +B(z)u′(z) + C(z)u(z) = 0 . (2.1)

Dividendo per A(z) (supposto diverso da zero, altrimenti l’equazione sarebbedel I ordine) si ottiene la cosiddetta forma standard

u′′(z) + P (z)u′(z) +Q(z)u(z) = 0 . (2.2)

Punti singolari e regolari di un’equazione differenziale

Consideriamo la forma (2.2) di un’equazione differenziale del II ordineomogenea. Le proprieta delle soluzioni dipendono dal comportamento dellefunzioni P (z) e Q(z) nel campo complesso; se esse sono regolari nel punto z =z0, il punto z0 si dice punto regolare, o ordinario, dell’equazione differenziale.Altrimenti il punto z0 si dice punto singolare dell’equazione differenziale.I punti singolari sono a loro volta classificati in due categorie: singolaritafuchsiane, o regolari, e singolarita essenziali, o irregolari. Il punto singolarez0 si definisce punto singolare fuchsiano (dal nome del matematico Fuchs) se

66

in z → z0 P (z) ha al piu un polo semplice e Q(z) al piu un polo doppio;quindi le funzioni (z − z0)P (z) e (z − z0)

2Q(z) rimangono finite per z → z0:

limz→z0

(z − z0)P (z) = p0

limz→z0

(z − z0)2Q(z) = q0 ,

con p0 e q0 finiti; e possibile che uno o anche entrambi siano nulli. Se inveceper esempio P (z) diverge piu velocemente di 1/(z−z0), in modo tale che (z−z0)P (z) tenda a infinito per z → z0, oppure se Q(z) diverge piu velocementedi 1/(z − z0)

2, in modo tale che (z − z0)2Q(z) tenda a infinito per z → z0,

il punto z0 e un punto singolare irregolare, o essenziale. Queste definizionivalgono per tutti i valori finiti di z0. Lo studio del punto z → ∞ verratrattato separatamente in un prossimo paragrafo.

• Esempi

Elenchiamo alcuni esempi di equazioni differenziali ordinarie del II ordine estudiamone le singolarita al finito.

1) Equazione dell’oscillatore armonico semplice:

u′′ + ω2u = 0 (2.3)

P (z) = 0 , Q(z) = ω2

L’equazione e ovunque regolare al finito.

2) Equazione di Legendre:

(1− z2)u′′ − 2zu′ + αu = 0 (2.4)

P (z) = − 2z

1− z2, Q(z) =

α

1− z2

L’equazione ha due punti singolari fuchsiani in z = ±1. Infatti sia P (z)che Q(z) hanno un polo semplice in z = ±1:

limz→±1

(z − (±1))P (z) = 1 = p0

limz→±1

(z − (±1))2Q(z) = 0 = q0 .

67

3) Equazione di Bessel:

z2u′′ + zu′ + (z2 − α2)u = 0 (2.5)

P (z) =1

z, Q(z) = 1− α2

z2

L’equazione ha una singolarita di tipo fuchsiano in z = 0 con p0 = 1 eq0 = −α2.

4) Equazione di Laguerre

zu′′ + (1− z)u′ + au = 0 (2.6)

P (z) =1

z− 1 , Q(z) =

a

zL’equazione ha una singolarita di tipo fuchsiano in z = 0.

5) Equazione di Hermite:

u′′ − 2zu′ + 2αu = 0 (2.7)

P (z) = −2z , Q(z) = 2α

L’equazione e regolare al finito.

6) Equazione di Chebyshev:

(1− z2)u′′ − zu′ + n2u = 0 (2.8)

P (z) = − z

1− z2, Q(z) =

n2

1− z2

L’equazione ha due punti singolari fuchsiani in z = ±1.

7) Equazione ipergeometrica:

z(z − 1)u′′ + [(1 + a+ b)z − c]u′ + abu = 0 (2.9)

P (z) = −(1 + a+ b)z − c

z(z − 1), Q(z) =

ab

z(z − 1)

L’equazione ha due punti singolari fuchsiani in z = 0 e z = 1.

8) Equazione ipergeometrica confluente:

zu′′ + (c− z)u′ − au = 0 (2.10)

P (z) = −c− z

z, Q(z) = −a

zL’equazione ha un punto singolare fuchsiano in z = 0.

68

2.1.1 Soluzione nell’intorno di un punto regolare

Se z0 e un punto ordinario di un’equazione differenziale, e possibile cercareuna soluzione che abbia la forma di uno sviluppo in serie di Taylor intornoal punto z0,

u(z) =∞∑

k=0

ckwk , (2.11)

con w ≡ z − z0, e determinare i coefficienti ck mediante la sostituzione dellaserie nell’equazione differenziale. Poiche P (z) e Q(z) sono analitiche in z0

valgono gli sviluppi in serie di Taylor

P (z) =∞∑l=0

plwl (2.12)

Q(z) =∞∑l=0

qlwl . (2.13)

Sostituendo le (2.12) e (2.13) e le derivate di u(z)

u′(z) =∞∑l=1

lclwl−1 =

∞∑n=0

(n+ 1)cn+1wn (2.14)

u′′(z) =∞∑l=2

l(l − 1)clwl−2 =

∞∑n=0

(n+ 1)(n+ 2)cn+2wn (2.15)

nell’equazione differenziale (2.2) si ottiene

∞∑n=0

[(n+ 1)(n+ 2)cn+2 +

n∑l=0

(l + 1)cl+1pn−l +n∑

l=0

clqn−l

]wn = 0 . (2.16)

Da questa si ottengono delle relazioni di ricorrenza che permettono di de-terminare i coefficienti ck una volta noti c0 e c1. Infatti per n = 0 siottiene:

2c2 + c1p0 + c0q0 = 0 ; (2.17)

per n = 1:6c3 + c1p1 + 2c2p0 + c0q1 + c1q0 = 0 (2.18)

e cosı via. Le costanti arbitrarie c0 e c1, fissate dalle condizioni iniziali

c0 = u(z0) (2.19)

c1 = u′(z0) , (2.20)

69

determinano univocamente la soluzione u(z). Se per esempio u1 e la soluzionecorrispondente a c0 = 1 e c1 = 0 e u2 quella corrispondente a c0 = 0 e c1 = 1,la soluzione generale dell’equazione differenziale sara

u(z) = c0u1(z) + c1u2(z) ; (2.21)

infatti u1 e u2 sono linearmente indipendenti, essendo il Wronskiano diversoda zero:

W (z0) = det

∣∣∣∣∣ u1 u2

u′1 u′2

∣∣∣∣∣z=z0

= det

∣∣∣∣∣ 1 00 1

∣∣∣∣∣ = 1 .

In generale si puo dimostrare che questo metodo fornisce sempre la soluzionegenerale nell’intorno di un punto regolare z0 e che, per valori generici di c0 e c1il raggio di convergenza della serie e uguale alla distanza fra z0 e la singolaritapiu vicina dell’equazione differenziale (talvolta, ma solo per particolari valoridi c0 e c1, puo anche essere maggiore).

• Esempi:

• L’ equazione dell’oscillatore armonico semplice

u′′(z) + ω2u(z) = 0 , (2.22)

e, come si e detto, regolare per ogni z finito, in particolare per z = 0.Possiamo quindi cercare una soluzione del tipo

u(z) =∞∑

k=0

ckzk .

Derivando questa serie si ottiene:

u′(z) =∞∑

k=0

ckkzk−1

u′′(z) =∞∑

k=0

ckk(k − 1)zk−2 =∞∑

k=2

ckk(k − 1)zk−2 =∞∑

k=0

ck+2(k + 1)(k + 2)zk ,

70

dove nell’ultimo passaggio si e effettuato il cambiamento di indice k → k−2.Sostituendo nella (2.22) si ottiene

∞∑k=0

[ck+2(k + 1)(k + 2) + ω2ck

]zk = 0 . (2.23)

Una serie di potenze e nulla se e solo se tutti i suoi coefficienti sono nul-li. Uguagliando a zero i coefficienti della (2.23) si ottiene una relazione diricorrenza per i coefficienti ck:

ck+2 = − ω2

(k + 1)(k + 2)ck . (2.24)

Dati i coefficienti c0 e c1, che saranno determinati dalle condizioni al contorno,la (2.24) permette di costruire tutti i coefficienti delle potenze pari

c2 = −ω2

2c0

c4 = − ω2

(3)(4)c2 =

(ω2)2

4!c0

c6 = − ω2

(5)(6)c4 = −(ω2)3

6!c0

c2n = (−1)n (ω2)n

(2n)!c0

e delle potenze dispari

c3 = − ω2

(2)(3)c1

c5 = − ω2

(4)(5)c3 =

(ω2)2

5!c1

c7 = − ω2

(6)(7)c5 = −(ω2)3

7!c1

c2n+1 = (−1)n (ω2)n

(2n+ 1)!c1 .

Pertanto la soluzione cercata e

u(z) = c0∞∑

n=0

(−1)n (ωz)2n

(2n)!+c1ω

∞∑n=0

(−1)n (ωz)2n+1

(2n+ 1)!

= c0 cos(ωz) + c′1 sin(ωz) , (2.25)

che e proprio, come noto, la soluzione dell’equazione (2.22).

71

• L’equazione di Legendre

(1− z2)u′′(z)− 2zu′(z) + αu(z) = 0 . (2.26)

Poiche il punto z = 0 e un punto regolare dell’equazione, cercheremo unasoluzione data dalla serie:

u(z) =∞∑

k=0

ckzk . (2.27)

Per determinare i coefficienti calcoliamo le derivate

u′(z) =∞∑

k=0

kckzk−1 (2.28)

u′′(z) =∞∑

k=0

k(k − 1)ckzk−2 (2.29)

e sostituiamole nella (2.26):

∞∑k=0

k(k − 1)ckzk−2 −

∞∑k=0

ck [k(k − 1) + 2k − α] zk = 0 . (2.30)

La prima sommatoria si puo riscrivere come segue (si noti che i terminik = 0, 1 sono nulli):

∞∑k=2

k(k − 1)ckzk−2 =

∞∑k′=0

(k′ + 2)(k′ + 1)ck′+2zk′ ;

l’equazione (2.30) diventa quindi:

∞∑k=0

(k + 2)(k + 1)ck+2 − ck [k(k + 1)− α] zk = 0 .

Uguagliando a zero ogni coefficiente della serie di potenze si ottiene la rela-zione di ricorrenza:

ck+2 = ckk(k + 1)− α

(k + 2)(k + 1),

da cui si ricava per α generico

c2 =−α2c0

c4 =6− α

12c2 =

(6− α)(−α)

4!c0

c6 =20− α

30c2 =

(20− α)(6− α)(−α)

6!c0

etc...

72

e

c3 =2− α

6c1

c5 =12− α

20c3 =

(12− α)(2− α)

5!c1

c7 =30− α

42c5 =

(30− α)(12− α)(2− α)

6!c1

etc...

Quindi se scegliamo c0 = 1 e c1 = 0 tutti i coefficienti delle potenze disparinella (2.27) sono nulli e la soluzione e pari (u(z) = u(−z)), mentre per c0 = 0e c1 = 1 la soluzione e dispari (u(z) = −u(−z)). Notiamo anche che, poicheil il raggio di convergenza della serie (2.27) e

limk→∞

ckck+2

= 1 , (2.31)

ci aspettiamo almeno una singolarita sulla circonferenza |z| = 1: l’equazioneha infatti due punti singolari fuchsiani in z = ±1. Le soluzioni trovatevalgono ∀α ∈ C. Ora, se e solo se α = n(n + 1), con n intero positivo onullo, il coefficiente cn+2 e nullo e cosı cn+4 = cn+6 = · · · = 0; la serie (2.27)si riduce cosı a un polinomio di grado n:

Pn(z) =n∑

k=0

ckzk (2.32)

se n e pari per c0 = 1 e c1 = 0, oppure se n e dispari per c0 = 1 e c1 = 0.Per c0 e c1 generici la soluzione generale e la combinazione lineare di unpolinomio e una serie. I polinomi (2.32) (opportunamente normalizzati) sichiamano polinomi di Legendre e sono regolari in tutto il piano complesso.Si noti che la condizione al contorno che u(z) sia finita in tutto l’intervallo[-1,1] seleziona gli α = n(n + 1), in accordo con quanto si vedra in generalenel capitolo 5 a proposito degli autovalori di operatori differenziali.

• L’equazione di Hermite

u′′ − 2zu′ + 2αu = 0 (2.33)

Poiche l’equazione e regolare in z = 0 cerchiamo una soluzione

u(z) =∞∑

k=0

ckzk . (2.34)

73

Questa, sostituita con le sue derivate nella (2.33), fornisce

∞∑k=0

ck[k(k − 1)zk−2 − 2kzk + +2αzk

]= 0 . (2.35)

Il primo termine della serie puo essere riscritto, cambiando l’indice sommatok in n = k − 2, come:

∞∑k=2

ckk(k − 1)zk−2 =∞∑

n=0

cn+2(n+ 2)(n+ 1)zn (2.36)

e sostituendo nella (2.35) si ottiene

∞∑k=0

zk [ck+2(k + 2)(k + 1) + ck(2α− 2k)] = 0 , (2.37)

da cui si ricava la relazione di ricorrenza

ck+2 = ck2(k − α)

(k + 2)(k + 1). (2.38)

L’eq. (2.38) mostra che la serie (2.34) ha raggio di convergenza infinito. Sce-gliendo c0 = 1, c1 = 0 oppure c0 = 1, c1 = 0 si ottengono soluzioni pario dispari, come si e visto per i polinomi di Legendre. Se α = n e interopositivo o nullo, una delle due serie (quella pari se α e pari, quella dispari seα e dispari) si riduce a un polinomio di grado n, il polinomio di Hermite Hn.

74

2.2 Soluzione nell’intorno di un punto fuch-

siano

In z0 singolare la soluzione generale non puo essere regolare, e viceversa: sein z0 ci sono due soluzioni regolari linearmente indipendenti u1 e u2 alloraP (z) e Q(z) sono regolari. Infatti il sistema

u′′1(z) + P (z)u′1(z) +Q(z)u1(z) = 0

u′′2(z) + P (z)u′2(z) +Q(z)u2(z) = 0

permette di ottenere P e Q come rapporto di determinanti nelle funzioniregolari u1, u

′i e u′′i (i = 1, 2) con a denominatore il Wronskiano, certo diverso

da zero perche u1 e u2 sono indipendenti.

Teorema di Fuchs: se z0 e un punto singolare fuchsiano, esiste semprealmeno una soluzione del tipo:

u1(z) = (z − z0)ρ∞∑

k=0

ck(z − z0)k , con c0 6= 0 . (2.39)

La seconda soluzione o e ancora della forma (2.39) oppure contiene ancheun termine aggiuntivo du1 ln(z − z0), come vedremo nell’eq. (2.45). Le serieche compaiono nella soluzione hanno raggio di convergenza almeno ugualealla distanza fra z0 e la piu vicina singolarita dell’equazione differenziale.Come si determina l’esponente ρ? Supponiamo che z0 sia un punto singolarefuchsiano. In questo caso le funzioni P (z) e Q(z) possono essere scritte come

P (z) =p(z)

z − z0

=

∑∞l=0 pl(z − z0)

l

z − z0

(2.40)

Q(z) =q(z)

(z − z0)2=

∑∞l=0 ql(z − z0)

l

(z − z0)2, (2.41)

dove le funzioni p(z) e q(z) sono regolari in z = z0, e sono state quindisviluppate in serie di Taylor intorno a z0. Sostituendo ora le (2.39), (2.40) e(2.41) nell’equazione (2.2) si ottiene:

∞∑k=0

ck(ρ+ k)(ρ+ k − 1)(z − z0)ρ+k +

∞∑k=0

ck(ρ+ k)∞∑l=0

pl(z − z0)ρ+k+l

+∞∑

k=0

ck∞∑l=0

ql(z − z0)ρ+k+l = 0 .

75

Uguagliamo ora a zero il coefficiente della potenza (z − z0)ρ; poniamo cioe

k = l = 0 nell’equazione precedente. Otteniamo cosı:

c0[ρ(ρ− 1) + ρp0 + q0] = 0 ,

ovvero, per c0 6= 0,

ρ2 + (p0 − 1)ρ+ q0 = 0 . (2.42)

L’equazione (2.42), detta equazione indiciale o caratteristica dell’equazionedifferenziale (2.2), e un’equazione di secondo grado in ρ e ha quindi due solu-zioni, ρ1 e ρ2. Per risolvere l’equazione differenziale occorre quindi risolverel’equazione indiciale (2.42), dove

p0 = limz→z0

(z − z0)P (z)

e

q0 = limz→z0

(z − z0)2Q(z) ,

e ricavare gli indici ρ1, ρ2. Scelti gli indici in modo che Reρ1 ≥Reρ2 il teoremadi Fuchs ci assicura che esiste sempre la soluzione particolare

u1(z) = (z − z0)ρ1

∞∑k=0

ck(z − z0)k , c0 6= 0 (2.43)

i cui coefficienti si possono determinare in modo univoco in funzione di c0sostituendo la serie nell’equazione differenziale e ricavando delle relazionidi ricorrenza. Per risolvere completamente l’equazione differenziale occorrepero’ ricavare una seconda soluzione, linearmente indipendente dalla prima.Distinguiamo due casi

1) Se le due radici differiscono per un numero non intero, la secondasoluzione e simile alla prima:

u2(z) = (z − z0)ρ2

∞∑k=0

dk(z − z0)k , d0 6= 0 (2.44)

2) Se le due radici ρ1 e ρ2 differiscono per un numero intero la secondasoluzione e

u2(z) = (z − z0)ρ2

∞∑k=0

dk(z − z0)k + du1(z) ln(z − z0) , (2.45)

dove d e i dk (per k 6= ρ1 − ρ2)1 si determinano per sostituzione in

funzione di d0; puo anche succedere che si ottenga d = 0 ma solo seρ1 6= ρ2.

1dn puo essere scelto arbitrariamente poiche la differenza fra due soluzioni del tipo u2

con diversi valori di dn e proporzionale alla prima soluzione u1 di (2.43).

76

2.2.1 Esempio: l’equazione di Bessel

L’equazione di Bessel

z2u′′(z) + zu′(z) + (z2 − α2)u(z) = 0 (2.46)

ha, come si e gia detto, un punto singolare fuchsiano in z = 0. L’equazioneindiciale e

ρ2 − α2 = 0 ,

con soluzioni ρ1,2 = ±α. Se 2α /∈ Z allora ρ1 − ρ2 /∈ N ed entrambe lesoluzioni sono della forma

uρ(z) = zρ∞∑

k=0

ckzk . (2.47)

Sostituendo la (2.47) nella (2.46) si ottiene:

∞∑k=0

ck(k + ρ)(k + ρ− 1)zk+ρ +∞∑

k=0

ck(k + ρ)zk+ρ +∞∑

k=0

ckzk+ρ+2 − ρ2

∞∑k=0

ckzk+ρ = 0

da cui

c1(1 + 2ρ)z1+ρ +∞∑

k=2

ckk(k + 2ρ)zk+ρ +∞∑

k=0

ckzk+ρ+2 = 0 . (2.48)

Se nella prima sommatoria effettuiamo il cambiamento di indice k → k − 2otteniamo:

c1(1 + 2ρ)z1+ρ +∞∑

k=0

[ck+2(k + 2)(k + 2 + 2ρ) + ck]zk+ρ+2 = 0 , (2.49)

da cui (essendo α 6= −1/2)

c1 = 0 (2.50)

ck+2 = − ck(k + 2)(k + 2 + 2ρ)

. (2.51)

Notare che se 2α fosse un intero n, diciamo positivo, la (2.51) non avrebbesenso per ρ2 = −α = −n/2 e per k = n − 2. Se n e dispari cio non egrave (basta scegliere tutti i c2l+1 = 0), ma impedisce di trovare la secondasoluzione nella forma (2.47) se n e pari. Dalla relazione di ricorrenza (2.51)

77

ricaviamo infine che tutti i coefficienti di indice dispari sono nulli, mentre icoefficienti pari sono:

c2 = − c02(2 + 2ρ)

c4 = − c24(4 + 2ρ)

=c0

2 · 4(2 + 2ρ)(4 + 2ρ)

c6 = − c46(6 + 2ρ)

= − c02 · 4 · 6(2 + 2ρ)(4 + 2ρ)(6 + 2ρ)

c2n = (−1)n c02 · 4 · 6...2n(2 + 2ρ)(4 + 2ρ)(6 + 2ρ)...(2n+ 2ρ)

.

Le funzioni di Bessel Jα(z) sono definite come segue:

Jα(z) = Nαuα(z) , (2.52)

dove Nα e un’opportuna costante di normalizzazione. Nel caso particolareα2 = 1/4 le due soluzioni dell’equazione di Bessel sono

J1/2(z) = N1/2

√z

(1− z2

3!+z4

5!+ · · ·

)

=N1/2√z

(z − z3

3!+z5

5!+ · · ·

)= N1/2

sin z√z. (2.53)

e

J−1/2(z) = N−1/2cos z√z. (2.54)

Notare che ρ1 − ρ2 = 1 ma non c’e il termine con il logaritmo (d = 0). Sipuo dimostrare che per tutti gli α semi-interi le Jα sono esprimibili tramitefunzioni trigonometriche. Per esempio:

J3/2(z) =N3/2√z

(sin z

z− cos z

)(2.55)

J−3/2(z) =N−3/2√

z

(−cos z

z− sin z

). (2.56)

78

Parte II

Introduzione all’AnalisiArmonica

79

Capitolo 3

Serie di Fourier

3.1 Introduzione

Per presentare l’argomento della seconda parte di questo corso iniziamo adiscutere un problema fisico molto semplice ma molto significativo. Consi-deriamo il circuito oscillante in figura:

Figura 3.1: Circuito oscillante.

Ricordando che le tensioni ai capi di un condensatore di capacita C, diuna resistenza R e di una bobina di induttanza L sono date rispettivamenteda q(t)/C, Ri(t) e Ldi/dt, dove q(t) e la carica su una faccia del condensatoree i(t) = dq/dt la corrente, si ricava facilmente che la tensione in uscita u(t)e legata a quella in entrata f(t) dall’equazione:

LCd2u

dt2+RC

du

dt+ u(t) = f(t) , (3.1)

che puo essere utile scrivere nella forma

Ltu(t) = f(t) ,

dove Lt e l’operatore differenziale

Lt = LCd2

dt2+RC

d

dt+ 1 . (3.2)

80

Se la tensione d’ingresso e sinusoidale

f(t) = V cos(ωt) (3.3)

e facile trovare una soluzione dell’equazione (3.1) della forma

u(t) = A cos(ωt) +B sin(ωt) . (3.4)

Basta infatti sostituire (3.4) nell’eq.(3.1) per ottenere il sistema di due equa-zioni

− ω2LCA+ ωRCB + A = V (3.5)

−ω2LCB − ωRCA+B = 0 (3.6)

nelle due incognite A e B e ricavare quindi

A =1− ω2LC

(1− ω2LC)2 + ω2R2C2V ; B =

ωRC

(1− ω2LC)2 + ω2R2C2V . (3.7)

Ponendo A = ρ cosα e B = ρ sinα, la (3.4) diventa:

u(t) = ρ cos(ωt− α) = Re[ρei(ωt−α)

].

Ne segue che, introducendo l’ampiezza complessa

U = A− iB = ρe−iα , (3.8)

la (3.4) puo anche scriversi nella forma:

u(t) = Re(Ueiωt) . (3.9)

La soluzione generale dell’eq. (3.1) si ottiene aggiungendo alla soluzio-ne particolare (3.4) la soluzione generale dell’equazione omogenea associataall’eq. (3.1); noi tuttavia non ci occupiamo di tale transitorio, che tende espo-nenzialmente a zero per t→∞ e che e quindi trascurabile per tempi t moltopiu grandi della costante di tempo L/R; in altre parole, ci interessano solole soluzioni periodiche dell’eq. (3.1). Piu elegantemente, possiamo dire chenoi intendiamo risolvere l’equazione:

Lu = f , (3.10)

81

dove l’operatore L e definito non solo dalla sua espressione differenzialeLt di eq.(3.2), ma anche dal suo dominio, specificato dalle condizioni alcontorno periodiche:

u(T ) = u(0) ,

dove T = 2π/ω e il periodo della funzione termine noto f(t).L’eq. (3.1) gode di una proprieta molto importante, la linearita:

• Proprieta P1:

se u1(t) e soluzione dell’eq. (3.1) con termine noto f1(t):

LCd2u1

dt2+RC

du1

dt+ u1(t) = f1(t) (3.11)

e analogamente u2(t) soddisfa:

LCd2u2

dt2+RC

du2

dt+ u2(t) = f2(t) (3.12)

allora

u(t) = α1u1(t) + α2u2(t) (3.13)

sara soluzione dell’eq. (3.1) con

f(t) = α1f1(t) + α2f2(t) , (3.14)

dove α1 e α2 sono costanti complesse qualsiasi.

Per dimostrare la proprieta P1 basta moltiplicare per α1 l’eq. (3.11) e perα2 l’eq. (3.12) e poi sommarle.

La linearita dell’eq. (3.1) puo anche esprimersi dicendo che l’operatoredifferenziale Lt (3.2) e lineare, cioe che vale:

Lt[α1u1(t) + α2u2(t)] = α1Ltu1(t) + α2Ltu2(t) . (3.15)

La P1 suggerisce per esempio di scegliere come termine noto anziche laf(t) dell’eq. (3.3) la

eω(t) = V eiωt . (3.16)

Allora la soluzione dell’equazione

82

LCd2u

dt2+RC

du

dt+ u(t) = eω(t) (3.17)

e ancora piu immediata; infatti se si pone 1

u(t) = U(ω)eiωt ≡ uω(t) , (3.18)

sostituendo (3.18) nell’eq. (3.17) si ottiene:[LC(iω)2 +RCiω + 1

]U(ω)eiωt = V eiωt , (3.19)

da cui

U(ω) =V

1− ω2LC + iωRC=

V

R + ZL + ZC

ZC , (3.20)

dove

ZL(ω) = iωL , ZC(ω) =1

iωC(3.21)

sono le impedenze complesse dell’induttanza L e della capacita C.Usando poi l’identita di Eulero

cos(ωt) =eiωt + e−iωt

2= Re eiωt , (3.22)

si puo scrivere la f(t) di (3.3) come

f(t) =1

2[eω(t) + e−ω(t)] = Re eω(t) per V reale . (3.23)

Allora la proprieta di linearita P1 ci permette di scrivere subito la soluzionedell’eq. (3.1 nella forma

u(t) =1

2[uω(t) + u−ω(t)] = Re uω(t) (3.24)

con uω(t) dato dall’eq. (3.18)2.Osservando che la U(ω) dell’eq. (3.20) coincide con la U di (3.8), si verifica

subito che la soluzione (3.24) coincide con la soluzione (3.4).La proprieta P1 non ci permette solo il giochetto che abbiamo appena

fatto, ma ha una conseguenza molto piu importante e generale:

1Sia nelle incognite U e u(t) che nella funzione di entrata e(t) si e esplicitamentericordata la dipendenza dal parametro ω per motivi che diventeranno chiari fra poco (vedieq. (3.23).

2Si e usata l’identita U∗(ω) = U(−ω) che segue dalla (3.20); con ∗ indichiamo lacomplessa coniugazione.

83

• Proprieta P2:

se “in qualche modo” si riesce a scrivere il termine noto dell’eq. (3.1)nella forma

f(t) =∑n

Vneiωnt , (3.25)

allora sara possibile risolvere l’eq. (3.1) e la soluzione sara (sempre a

meno del transitorio) ancora della stessa forma:

u(t) =∑n

Uneiωnt (3.26)

con i coefficienti Un dati dalla

Un =Vn

R + ZL(ωn) + ZC(ωn)ZC(ωn) =

Vn

1− ω2nLC + iωnRC

. (3.27)

Lo scopo della seconda parte di questo corso sara proprio di trovare il mo-do per esprimere ampie classi di funzioni f(t) nella forma (3.25); in linguaggiomatematico possiamo dire che oggetto di questo corso e la analisi armonica.

L’analisi armonica e uno strumento matematico di enorme importanza infisica: infatti le equazioni differenziali lineari del secondo ordine (inparticolare a coefficienti costanti ) intervengono in numerosissimi problemiin ogni campo della fisica, non solo per i circuiti RLC, ma ogni volta che sivogliano descrivere piccole oscillazioni attorno a una situazione di equilibrio.

Inoltre l’analisi armonica, in particolare la trasformata di Fourier, giocaun ruolo fondamentale nella Meccanica Quantistica.

E utile osservare che alla radice del ruolo privilegiato che giocano le fun-zioni eiωt nella soluzione dell’eq. (3.1) sta il fatto che esse sono autofunzionidell’operatore differenziale Lt, cioe che vale l’equazione

Lt eiωt = λeiωt , (3.28)

dove l’autovalore λ vale

λ = −LCω2 + iRCω + 1 . (3.29)

84

Nel capitolo successivo vedremo che ulteriori specificazioni dell’operatore dif-ferenziale (le “condizioni al contorno”) faranno sı che non tutti i valori di ωsiano ammissibili.

85

3.2 Funzioni periodiche e sviluppi in Serie di

Fourier

Una prima classe di funzioni per cui si puo effettuare l’analisi armonica (3.25)contiene le funzioni periodiche (di periodo T ), tali cioe che

f(t+ T ) = f(t), ∀t ∈ R . (3.30)

In tal caso e lecito aspettarsi che gli ωn dell’eq. (3.25) siano tutti multipliinteri dell’armonica fondamentale ω = 2π

Tovvero

ωn = n2π

T, n ∈ Z . (3.31)

Infatti dall’identita

e2πin ≡ cos(2πn) + i sin(2πn) = 1 , ∀n ∈ Z (3.32)

segue

eiωn(t+T ) ≡ ei 2πT

n(t+T ) = ei 2πT

ntei2πn = eiωnt , ∀n ∈ Z , ∀t ∈ R . (3.33)

Notare che la scelta di condizioni al contorno periodiche seleziona frale possibili soluzioni dell’equazione agli autovalori (3.28) solo quelle con ωn

dato dalla (3.31). Senza occuparci per il momento di discutere la convergenzadella serie

f(t) =∑n∈Z

Vneiωnt (3.34)

(detta serie trigonometrica di Fourier), vediamo subito come si posso-

no calcolare i coefficienti Vn nota la f(t); basta moltiplicare ambo i membriper e−iωlt (l ∈ Z) e integrare su un periodo (supponendo di poter integraretermine a termine) per ottenere:∫ T

0e−iωltf(t)dt =

∑n∈Z

Vn

∫ T

0e−iωlteiωntdt. (3.35)

Con il cambio di variabile x = 2πtT

, suggerito dalla (3.31), e usando l’identita

∫ 2π

0ei(n−l)xdx = 2πδnl , (3.36)

86

detta relazione di ortogonalita, si ottiene subito:

Vl =1

T

∫ T

0e−iωltf(t)dt . (3.37)

L’eq. (3.37) e di grande importanza perche ci fornisce i coefficienti dellaserie di Fourier (3.34) e quindi, grazie alla proprieta P1, il modo per risolverel’equazione differenziale (3.1) con termine noto f(t) periodico.

I passi sono i seguenti:

• con la (3.37) si calcolano i coefficienti Vl della serie di Fourier (3.34) dif(t);

• per ognuna delle armoniche, cioe per ognuno dei termini di tale serie,si applica la procedura che ci ha portato dal termine noto (3.16) allasoluzione (3.18), ottenendo cosı i coefficienti Un dati dalla (3.27);

• la soluzione dell’equazione differenziale sara data percio dalla serie diFourier (3.26).

3.2.1 Convergenza puntuale delle serie trigonometri-che di Fourier

Vogliamo ora discutere le proprieta di convergenza della serie∑n∈Z

aneinx (3.38)

con i coefficienti an dati da

an =1

2π

∫ 2π

0e−inxf(x) dx . (3.39)

Per comodita siamo passati alla variabile x = 2πtT

, in cui il periodo e 2π.Notiamo subito che per f(x) periodica, f(x + 2π) = f(x), l’integrale puoessere esteso a qualsiasi altro intervallo di ampiezza 2π 3.

3Vale infatti l’identita, ∀x0 ∈ R∫ x0+2π

x0

g(x)dx =(∫ π

−π

+∫ −π

x0

+∫ x0+2π

π

)g(x)dx

87

Notiamo inoltre che affinche la (3.39) abbia senso bisogna che l’integraleesista; cio succede certamente se f(x) e sommabile 4 , perche tale rimanedopo essere stata moltiplicata per il fattore einx, il cui modulo vale 1.

Ci conviene anzitutto enunciare il seguente

• lemma di Riemann:

qualunque sia l’intervallo (a, b), finito o infinito, per ogni f(x) sommabile,vale

limk→∞

∫ b

af(x)e±ikxdx = lim

k→∞

∫ b

af(x) cos(kx) dx = lim

k→∞

∫ b

af(x) sin(kx) dx = 0 .

(3.42)Dimostrazione: ci limitiamo a dimostrare tale lemma nel caso particolare incui f(x) sia di classe C1, cioe continua con la sua derivata prima. In tal casoe lecito integrare per parti e si ha∫ b

af(x)e±ikxdx =

1

±ikf(x) e±ikx

∣∣∣ba∓ 1

ik

∫ b

af ′(x)e±ikxdx , (3.43)

da cui ∣∣∣∣∣∫ b

af(x)e±ikxdx

∣∣∣∣∣ ≤ 1

|k|

|f(b)|+ |f(a)|+

∫ b

a|f ′(x)| dx

. (3.44)

La parentesi graffa non contiene piu termini dipendenti da k, quindi il secondomembro tende a zero per k → ∞, e di conseguenza anche il primo. Usandole formule di Eulero si completa la dimostrazione, nel caso particolare difunzioni di classe C1; nel caso generale la dimostrazione prosegue usando ilfatto che per ogni funzione sommabile f(x) e ogni ε > 0 esiste una g ∈ C1

tale che∫ ba |f(x)− g(x)|dx < ε.

[q.e.d.]Dimostriamo ora il

=∫ π

−π

g(x)dx +∫ −π

x0

g(x)dx +∫ x0

−π

g(y + 2π)dy (3.40)

(nell’ultimo integrale si e effettuato il cambio di variabile x = y + 2π). Se l’integrandog(x) e una funzione periodica di periodo 2π, allora i due ultimi addendi della (3.40) sicancellano e vale ∫ x0+2π

x0

g(x)dx =∫ π

−π

g(x)dx, ∀x0 . (3.41)

Le due scelte piu consuete sono x0 = −π oppure x0 = 0.4Definiremo piu avanti che cosa significa funzione sommabile; per ora puo essere

tranquillamente letto come sinonimo di funzione assolutamente integrabile.

88

TEOREMA: Condizione sufficiente affinche la serie (3.38) converga pun-tualmente a f(x0) e che la funzione f(x) (sommabile nell’intervallo (0, 2π))sia di classe C1 nell’intorno del punto x0.

Dimostrazione

Definiamo la ridotta N-esima della serie (3.38) come

SN(x0) =N∑

l=−N

aleilx0 . (3.45)

Sostituendo in (3.45) la definizione (3.39) dei coefficienti al si ottiene

SN(x0) =1

2π

∫ 2π

0dyf(y)

N∑l=−N

eil(x0−y) . (3.46)

Usando l’identita

N∑l=−N

eilα = e−iNα2N∑n=0

(eiα)n

= e−iNα 1− ei(2N+1)α

1− eiα= e−iα(N+1/2) 1− ei2(N+1/2)α

e−iα/2 − eiα/2

=sin(N + 1/2)α

sinα/2(3.47)

la (3.45) diventa

SN(x0) =1

2π

∫ 2π

0dyf(y)

sin [(N + 1/2)(x0 − y)]

sin(x0 − y)/2

=1

2π

∫ π

−πdtf(x0 + t)

sin [(N + 1/2)t]

sin t/2, (3.48)

dove nell’ultimo passaggio si e posto t = x0 − y e si e usata la periodicitadell’integrando per fissare l’intervallo di integrazione 5. Notare che per cal-colare limN→∞ SN(x0) non si possono applicare direttamente le formule di

Riemann (3.42) alla (3.48), poiche la funzione f(x0+t)sin t/2

non e integrabile: essa

diverge come 2f(x0)t

per t→ 06.Si noti che l’integrale si puo spezzare come segue:∫ π

−π

=∫ −δ1

−π

+∫ δ2

−δ1

+∫ π

δ2

; (3.49)

5sin(N + 1/2)t e sin t/2 hanno periodo 4π, ma il loro rapporto ha periodo 2π.6e integrabile se f(x0) = 0, allora si applicano le formule di Riemann e si ottiene

correttamente limN→∞ SN (x0) = 0.

89

∀δ1, δ2 ∈ (0, 2π) si possono applicare le formule di Riemann al primo e terzo integrale,quindi

limN→∞

∫ π

−π

f(x0 + t)sin [(N + 1/2)t]

sin t/2dt = lim

N→∞

∫ δ2

−δ1

f(x0 + t)sin [(N + 1/2)t]

sin t/2dt ; (3.50)

percio la somma della serie nel punto x0 dipende solo dal comportamento locale dellafunzione f(x) (sommabile in (0, 2π)) in un intorno (arbitrariamente piccolo) del punto x0.Usando l’identita

1

2π

∫ π

−π

sin [(N + 1/2)t]

sin t/2dt = 1 , (3.51)

che si puo verificare direttamente con il metodo dei residui (o anche conside-rando il caso particolare della (3.48) per f(x) = 1), si puo scrivere

SN(x0)− f(x0) =1

2π

∫ π

−πdt sin

[(N +

1

2

)t]f(x0 + t)− f(x0)

sin t/2. (3.52)

Adesso la funzione che moltiplica sin(N + 1/2)t e sommabile nell’intervallo(−π, π); infatti in tale intervallo sin t/2 si annulla solo nell’origine e

limt→0

f(x0 + t)− f(x0)

sin t/2= 2f ′(x0) . (3.53)

Si puo quindi passare al limite per N →∞ e applicare le formule di Riemannper ottenere

f(x0) = limN→∞

SN(x0) . (3.54)

[q.e.d]

Notare che il Teorema (3.54) puo essere esteso al caso in cui nel punto x0

la funzione abbia una discontinuita di I specie, ma sia di classe C1 sia in unintorno sinistro che in un intorno destro di x0. Al posto della (3.52) si scriveinfatti

SN(x0)−f(x0+) + f(x0−)

2=

1

2π

∫ 0

−πdt sin

[(N +

1

2

)t]f(x0 + t)− f(x0−)

sin t/2

+1

2π

∫ π

0dt sin

[(N +

1

2

)t]f(x0 + t)− f(x0+)

sin t/2,

(3.55)

dove f(x0−) e f(x0+) sono i limiti destro e sinistro nel punto x0 e si e usatal’identita ∫ π

0

sin (N + 1/2) t

sin t/2dt =

∫ 0

−π

sin (N + 1/2) t

sin t/2dt = π . (3.56)

90

Dalle formule di Riemann segue allora:

limN→∞

SN(x0) =f(x0+) + f(x0−)

2, (3.57)

di cui la (3.54) e ovviamente un caso particolare. Se il punto x0 cade in unodegli estremi dell’intervallo di definizione della f(x0), continua a valere la(3.57) purche la funzione sia continuata periodicamente: f(x+ 2π) = f(x).

3.2.2 Importanti commenti

In vista di una successiva applicazione fisica, torniamo alla variabile t = T2πx:

f(t) =∞∑

n=−∞ane

iωnt (3.58)

i cui coefficienti sono, secono la (3.37),

am =1

T

∫ T/2

−T/2f(t)e−iωmtdt . (3.59)

Se la funzione f(t) assume valori reali si vede subito che i coefficienti an

soddisfano la relazione seguente:

a∗n = a−n. (3.60)

E utile osservare che, posto an = |an|e−iαn , si puo allora scrivere:

aneiωnt + a−ne

−iωnt = |an|[ei(ωnt−αn) + e−i(ωnt−αn)

]= An cos(ωnt− αn), (3.61)

con

An = 2|an| . (3.62)

Quindi per f(t) reale la serie (3.58) diventa f(t) = a0 +∞∑

n=1

An cos(ωnt− αn) . (3.63)

Un integrale dalle importanti applicazioni fisiche e

91

1

T

∫ T/2

−T/2|f(t)|2dt =

1

T

∫ T/2

−T/2

( ∞∑m=−∞

a∗me−iωmt

)( ∞∑n=−∞

aneiωnt

)dx

=1

T

∞∑m=−∞

∞∑n=−∞

a∗man

∫ T/2

−T/2e−iωmteiωntdt

=1

T

∞∑m=−∞

∞∑n=−∞

a∗manTδmn =∞∑

n=−∞|an|2 , (3.64)

dove si sono sfruttate le identita:∫ T/2

−T/2e−iωmteiωnt = Tδmn , (3.65)

note come relazioni di ortogonalita, su cui torneremo piu avanti. Ilrisultato (3.64) si puo ottenere piu semplicemente sfruttando la (3.59):

1

T

∫ T/2

−T/2|f(t)|2dt =

1

T

∫ T/2

−T/2

( ∞∑m=−∞

a∗me−iωmt

)f(t) =

∞∑n=−∞

|an|2 .

La (3.64), che prende il nome di equazione di Parseval scritta nella basedelle funzioni esponenziali, illustra come ogni componente di Fourier contri-buisca separatamente all’integrale; non ci sono cioe termini di interferenzadel tipo a∗man.

Qualora f(t) rappresenti la corrente elettrica attraverso una resistenza R,la (3.64) moltiplicata per R mostra che la potenza media dissipata per effettoJoule e uguale alla somma delle potenze dissipate sulle varie frequenze.

Per f(t) reale la (3.64) diventa infatti:

1

T

∫ T/2

−T/2|f(t)|2dt = a2

0 + 2∞∑

n=1

|an|2 = a20 +

∞∑n=1

(An√

2

)2

, (3.66)

dove nell’ultimo passaggio si e ricordata la (3.62). In questo caso a0 e lacomponente di corrente continua della f(t) e An/

√2 il valore efficace della

corrente alternata di pulsazione ωn.

Serie di Fourier e funzioni trigonometriche Molto spesso anziche usa-re il sistema trigonometrico in forma esponenziale

eilx, l ∈ Z

e utile usare

il sistema trigonometrico tout court:

1, sin x, cosx, sin(2x), cos(2x), ... = sin(nx), cos(nx) , n = 0, 1, 2, ...

(3.67)

92

E immediato verificare direttamente che le (3.67) formano un sistema difunzioni ortogonali nell’intervallo (−π, π) (o in qualunque altro intervallo diampiezza 2π). Infatti:

∫ π

−πsin(mx) sin(nx)dx = πδmn (m 6= 0)∫ π

−πcos(mx) cos(nx)dx = πδmn (m 6= 0)

= 2πδmn (m = 0)∫ π

−πsin(mx) cos(nx)dx = 0 . (3.68)

Data una f(x) sommabile nell’intervallo (−π, π), anziche la serie (3.38)proviamo a scrivere

f(x) =A0

2+

∞∑n=1

[An cos(nx) +Bn sin(nx)] . (3.69)

Se la (3.69) e vera, i coefficienti An e Bn si ottengono moltiplicando la (3.69)rispettivamente per cos(mx) e sin(mx), integrando su x fra −π e π e sfrut-tando le relazioni di ortogonalita (3.68), nell’ipotesi che la serie converga af(x) e si possa integrare termine a termine. Si ricava cosı, per n = 1, 2, ...,

An =1

π

∫ π

−πcos(nx)f(x)dx (3.70)

Bn =1

π

∫ π

−πsin(nx)f(x)dx . (3.71)

Il coefficiente A0 si ricava integrando la (3.69) tra −π e π:

A0 =1

π

∫ π

−πf(x)dx .

Le relazioni (3.70) valgono quindi per tutti gli n = 0, 1, 2, ..., mentre le (3.71)

valgono per n = 1, 2, ....Per la convergenza puntuale della serie (3.69) valgono esattamente gli

stessi teoremi dimostrati per la serie (3.38), cioe se in un punto x internoall’intervallo (−π, π) la funzione f(x) e di classe C1, cioe continua assieme

93

alla sua derivata prima, allora la (3.69) e vera nel senso della convergenzapuntuale. Se invece nel punto x0 la f(x) ha una discontinuita di primaspecie, ma e di classe C1 sia in un intorno sinistro che in un intorno destrodi x0, vale allora:

A0

2+

∞∑n=1

[An cos(nx0) +Bn sin(nx0)] =f(x0+) + f(x0−)

2. (3.72)

dove f(x0+) e f(x0−) sono rispettivamente i limiti destro e sinistro di f(x)nel punto x0.

Se il punto x0 cade in uno degli estremi dell’intervallo di definizione con-tinua a valere quanto abbiamo detto per i punti interni purche la funzione siacontinuata periodicamente su tutto l’asse reale secondo la f(x+ 2π) = f(x).

L’equazione di Parseval, in termini dei coefficienti An e Bn, assume laforma seguente:

∫ π

−π|f(x)|2dx =

π

2|A0|2 + π

∞∑n=1

(|An|2 + |Bn|2

).

Se la funzione f(x) e pari (f(−x) = f(x)), i coefficienti Bn sono nulli ela (3.69) si riduce a una serie di coseni:

f(x) =A0

2+

∞∑n=1

An cos(nx) .

Se la funzione f(x) e dispari (f(−x) = −f(x)), i coefficienti An sono nullie la (3.69) si riduce a una serie di seni:

f(x) =∞∑

n=1

Bn sin(nx) .

• Esempio

Sviluppiamo in serie di Fourier la funzione a gradino:

ε(x) =

−1 − π < x < 0+1 0 ≤ x ≤ π .

Poiche la funzione e dispari, lo sviluppo in serie di Fourier conterra solo seni(An = 0). I coefficienti Bn sono:

94

Bn =1

π

∫ π

−πsin(nx)ε(x)dx

=1

π

−∫ 0

−πsin(nx)dx+

∫ π

0sin(nx)dx

=

2

π

∫ π

0sin(nx)dx =

2

nπ[− cos(nx)]π0

=2

nπ[1− (−1)n] =

0 n pari4

nπn dispari.

Pertanto

ε(x) =4

πsin x+

4

3πsin(3x) +

4

5πsin(5x) + ...

=4

π

∞∑n=0

sin[(2n+ 1)x]

2n+ 1.

Graficamente, le successive approssimazioni sono: Notare che nell’origine

Figura 3.2:

e nei punti ±π la somma della serie vale zero, in accordo con la (3.72).Per n →∞, si verifica il cosiddetto fenomeno di Gibbs, tipico delle serie di Fourier di

funzioni discontinue: in prossimita di una discontinuita di prima specie, la ridotta ennesimadella serie di Fourier presenta un picco, tanto piu stretto quanto maggiore e n, di altezzapari a circa il 9% del salto. Questo esempio mostra che la serie di Fourier non convergeuniformemente alla funzione f(x) nei punti in cui essa ha una discontinuita di I specie.Scriviamo adesso esplicitamente la generalizzazione delle eq.(3.69),(3.70) e(3.71) al caso di funzioni periodiche con periodo T 6= 2π. In questo caso sipone

t =T

2πx .

Se x varia nell’intervallo (−π, π), la variabile t variera nell’intervallo (−T/2, T/2).La serie di Fourier (3.69) diventa cosı:

f(t) =A0

2+

∞∑n=1

[An cos

(2πnt

T

)+Bn sin

(2πnt

T

)],

con

95

An =1

π

∫ π

−πcos(nx)f(t(x))dx =

2

T

∫ T/2

−T/2cos

(2πnt

T

)f(t)dt

Bn =1

π

∫ π

−πsin(nx)f(t(x))dx =

2

T

∫ T/2

−T/2sin

(2πnt

T

)f(t)dt .

3.2.3 Altri esempi

• Esempio 1

Lo sviluppo in serie di Fourier della funzione

f(x) = | sin x| − π < x < π

contiene solo coseni, perche f(x) e pari:

f(x) =A0

2+

∞∑n=1

An cos(nx) .

I coefficienti di Fourier sono:

An =1

π

∫ π

−π| sin x| cos(nx)dx =

2

π

∫ π

0sin x cos(nx)dx

=1

π

∫ π

0[sin(n+ 1)x− sin(n− 1)x] dx =

1

π

[1− cos(n+ 1)π

n+ 1+

cos(n− 1)π − 1

n− 1

]

= − 2

π

1 + cosnπ

n2 − 1se n 6= 1 .

Se n = 1

A1 =2

π

∫ π

0sin x cosxdx =

2

π

sin2 x

2

∣∣∣∣∣π

0

= 0 .

Quindi

f(x) =2

π− 2

π

∞∑n=2

1 + (−1)n

n2 − 1cosnx =

2

π− 4

π

∞∑k=1

cos 2kx

(2k)2 − 1

=2

π− 4

π

(cos 2x

3+

cos 4x

24+

cos 6x

35+ · · ·

)• Esempio 2

96

f(x) = |x| − π < x < π

A0 =2

π

∫ π

0xdx = π

An =2

π

∫ π

0x cosnxdx =

2

πn

(x sinnx|π0 −

∫ π

0sinnxdx

)=

2

πn2[1− (−1)n]

da cui

f(x) =π

2− 4

π

∞∑k=0

cos(2k + 1)x

(2k + 1)2=π

2− 4

π

(cosx+

cos 3x

9+

cos 5x

25+ · · ·

)

• Esempio 3

f(x) = x 0 < x < 2π

A0 =1

π

∫ 2π

0xdx = 2π

An =1

π

∫ 2π

0x cosnx =

1

πn

(x sinnx|2π

0 −∫ 2π

0sinnxdx

)= 0

Bn =1

π

∫ 2π

0x sinnx =

1

πn

(−x cosnx|2π

0 +∫ 2π

0cosnxdx

)= − 2

n.

Quindi

f(x) = π − 2∞∑

n=1

sinnx

n= π − 2

(sin x+

sin 2x

2+

sin 3x

3+ · · ·

)

Si consiglia agli studenti di disegnare i grafici delle f(x) dei tre esempiproposti.

97

Capitolo 4

Trasformate Integrali

4.1 Trasformata di Fourier

Nel capitolo 1 abbiamo imparato a risolvere l’eq. (3.1) nel caso in cui iltermine noto sia periodico e abbiamo dovuto poi allargare il discorso perdare un senso preciso alla convergenza puntuale della serie (trigonometrica)di Fourier. Ma come possiamo risolvere l’eq. (3.1) quando il termine notonon e periodico? Come fare a scriverlo come somma di termini della formaeiωnt che sono invece periodici?

Il modo migliore e di considerare una funzione non periodica come casolimite di una periodica con periodo L che tende a infinito. A questo scoposcriviamo i coefficienti di Fourier

an =1

L

∫ L/2

−L/2e−iknxf(x)dx , con kn ≡

2πn

L(4.1)

nella forma

an =1√2πF (kn)∆k , (4.2)

dove

F (kn) ≡ 1√2π

∫ L/2

−L/2e−iknxf(x)dx , (4.3)

e

∆k = kn − kn−1 =2π

L. (4.4)

Allora la serie trigonometrica di Fourier (3.58) si puo riscrivere come

98

f(x) =1√2π

∞∑n=−∞

eiknxF (kn)∆k . (4.5)

A questo punto effettuiamo il limite L → ∞, nel quale ∆k → 0 e la serie asecondo membro della (4.5) puo riguardarsi come una somma integrale allaRiemann per la funzione eikxF (k), estesa all’intervallo (−∞,+∞), diviso ininfiniti intervalli parziali di ampiezza ∆k → 0. Pertanto la (4.5) diventa

f(x) =1√2π

∫ ∞

−∞F (k)eikxdk , (4.6)

dove, per la (4.3),

F (k) =1√2π

∫ ∞

−∞f(x)e−ikxdx . (4.7)

La funzione F (k) si chiama trasformata di Fourier (T.F.) della funzione

f(x) e la funzione f(x) antitrasformata di Fourier della funzione F (k).Come e evidente allo studente piu attento, i passaggi che abbiamo fatto

per giungere alle (4.6) e (4.7) sono un po’ disinvolti. Per essere precisi dob-biamo dimenticare le operazioni di limite e assumere la (4.7) come definizionedella Trasformata di Fourier, sotto la condizione che la f(x) sia sommabilesull’asse reale; la (4.6) va invece scritta piu correttamente come

f(x) =1√2π

limR→∞

∫ R

−RF (x)eikxdk (4.8)

sotto la condizione (sufficiente) che nell’intorno del punto x la funzione f(x)sia di classe C1; naturalmente se l’integrale (4.6) esiste la (4.8) e equivalentealla (4.8).

4.1.1 Esempi

• Esempio 1

99

La trasformata di Fourier della funzione

f(x) =1

x2 + a2, a ∈ R+

e

F (k) =1√2π

∫ ∞

−∞

e−ikx

(x+ ia)(x− ia)dx .

Se k > 0 chiudiamo il cammino di integrazione nel semipiano Imz < 0 eotteniamo:

F (k) = − 1√2π

2πi Rese−ikz

(z + ia)(z − ia)

∣∣∣∣∣z=−ia

=

√π

2

e−ka

a.

Se k < 0 chiudiamo invece nel semipiano Imz > 0 e otteniamo:

F (k) =1√2π

2πi Rese−ikz

(z + ia)(z − ia)

∣∣∣∣∣z=ia

=

√π

2

eka

a.

Pertanto

F (k) =

√π

2

e−|k|a

a.

La verifica della (4.6) e immediata e coinvolge solo un integrale elementare.

• Esempio 2


f(x) =

1 |x| < a0 |x| > a

(4.9)

e

F (k) =1√2π

∫ +∞

−∞f(x)e−ikxdx =

1√2π

∫ +a

−ae−ikxdx

=1√2π

eika − e−ika

ik=

√2

π

sin ka

k. (4.10)

100

Per verificare che l’antitrasformata di (4.10) sia effettivamente la (4.9) dob-biamo calcolare l’integrale

I(x) ≡ 1√2π

limR→∞

∫ +R

−RF (k)eikxdk =

1

πlim

R→∞

∫ +R

−R

sin(ka)

keikx dk

=1

2πilim

R→∞

∫ +R

−R

[eik(x+a)

k− eik(x−a)

k

]dk (4.11)

deformando il cammino di integrazione come nell’esempio 4 del paragrafo1.6.4, aggirando per esempio l’origine nel semipiano immaginario positivo.Se x > a entrambi gli integrali in (4.11) ricadono nel caso α > 0 del lemmadi Jordan e pertanto si puo chiudere il cammino d’integrazione con una semi-circonferenza nel semipiano superiore; all’interno del cammino d’integrazionel’integrando e regolare e pertanto:

I(x) = 0 se x > a .

Analogamente, se x < −a conviene aggirare l’origine nel semipiano immagi-nario negativo, perche entrambi gli integrali in (4.11) ricadono nel caso α < 0del lemma di Jordan e pertanto si puo chiudere il cammino d’integrazionecon una semicirconferenza nel semipiano inferiore, ottenendo di nuovo zero:

I(x) = 0 se x < −a .

Se invece |x| < a, e si aggira l’origine nel semipiano immaginario positivo, ilprimo integrale, che si puo chiudere nel semipiano superiore, da zero, mentreil secondo, che va chiuso nel semipiano inferiore, da:

I(x) = − 1

2πi(−2πi)Res

eik(x−a)

k

∣∣∣∣∣k=0

= 1 .

Abbiamo cosı dimostrato che I(x) = f(x) per ogni x 6= a. Per x = a

I(a) =1

2πilim

R→∞

∫ +R

−R

[e2ika

k− 1

k

]dk . (4.12)

Deformando di nuovo il cammino come prima, il primo integrale si chiude nel semipianoimmaginario positivo e si annulla per il teorema di Cauchy, mentre il secondo da:

I(a) = − 12πi

limR→∞

[∫ −ε

−R

dk

k+∫ R

+ε

dk

k+∫

γε

dz

z

], (4.13)

dove γε e una semicirconferenza di raggio ε e centro k = 0 che giace nel semipiano Im k > 0.I primi due integrali si elidono perche la funzione integranda e dispari, e il terzo si calcolapassando a coordinate polari:

I(a) = − 12πi

∫ 0

π

iεeiθ

εeiθdθ =

12

=f(a−) + f(a+)

2. (4.14)

101

Questo mostra che nei punti di discontinuita di prima specie la situazione e analoga aquella vista per le serie di Fourier: l’antitrasformata da il valor medio tra i limiti destro esinistro della funzione.

• Esempio 3

La trasformata di Fourier della funzione gaussiana

f(x) = e−x2/a2

e

F (k) =1√2π

∫ +∞

−∞e−(x/a)2−ikxdx =

e−(ka)2/4

√2π

∫ +∞

−∞e−(x/a−ika/2)2dx

=e−(ka)2/4

√2π

a∫ +∞

−∞e−t2dt =

a√2e−a2k2/4, (4.15)

cioe ancora una gaussiana, di larghezza inversamente proporzionale a quelladella funzione trasformanda. 1

La verifica della (4.6), che da l’antitrasformata di F (k), e immediata: nonsi tratta che di rifare lo stesso conto con a→ A = 2/a.

4.1.2 Proprieta della trasformata di Fourier

Elenchiamo alcune importanti proprieta delle trasformate di Fourier. Percomodita introduciamo il simbolo Fk(f) per indicare la trasformata di Fourierdella funzione f(x):

Fk(f) ≡ 1√2π

∫ +∞

−∞f(x)e−ikxdx . (4.16)

• Linearita:

Fk(a1f1 + a2f2) = a1Fk(f1) + a2Fk(f2) , ∀a1, a2 ∈ C . (4.17)

1Con il cambiamento di variabile x → t = x/a − ika/2, il cammino di integrazionenel piano complesso di t non e piu l’asse reale ma e diventato una retta ad esso parallela;tuttavia, usando la teoria dell’integrazione in campo complesso, e facile mostrare che cionon fa differenza.

102

• Trasformata di Fourier di funzioni a parita definita

Cosı come la serie trigonometrica di Fourier di una funzione pari (di-spari) contiene solo coseni (seni), le trasformate di Fourier di funzionia parita definita si possono semplificare come segue:

F (k) =1√2π

∫ ∞

−∞f(x)[cos(kx)− i sin(kx)]dx

=

√2

π

∫∞0 f(x) cos(kx)dx se f(−x) = f(x)

−i∫∞0 f(x) sin(kx)dx se f(−x) = −f(x) .

(4.18)

Una ovvia conseguenza delle (4.18) e che la Trasformata di Fourier diuna funzione pari (dispari) e una funzione pari (dispari).

• La trasformata di Fourier della derivata f ′(x) (ammesso che f ′(x)esista e sia sommabile) e legata alla trasformata di f(x) dalla relazione:

Fk(f′) = ikFk(f) (4.19)

Infatti integrando per parti si ottiene:

Fk(f′) =

1√2π

∫ ∞

−∞f ′(x)e−ikxdx

=f(x)√

2πe−ikx

∣∣∣∣∣∞

−∞+

ik√2π

∫ ∞

−∞f(x)e−ikxdx

=ik√2π

∫ ∞

−∞f(x)e−ikxdx = ikFk(f) ,

dove il termine integrato deve essere nullo affinche la trasformata diFourier esista.

La relazione (4.19) puo essere iterata per ottenere le trasformate dellederivate successive:

Fk(f′′) = ikFk(f

′) = (ik)2Fk(f) (4.20)

Fk[f(n)] = (ik)nFk(f) , (4.21)

ovviamente supponendo che la funzione f(x) ammetta derivate finoall’ennesima e che f (n)(x) sia sommabile sull’asse reale.

103

Moltiplicando ambo i membri della (4.19) per −i e usando la linea-rita della Trasformata di Fourier si puo simbolicamente stabilire lacorrispondenza:

− id

dx↔ k (4.22)

fra l’operatore derivata nello spazio delle funzioni f(x) e la semplicemoltiplicazione per k nello spazio delle funzioni F (k); tale corrispon-denza e di grande importanza in Meccanica Quantistica.

• Dalla disuguaglianza

|Fk(f)| ≤ 1√2π

∫ +∞

−∞|f(x)|dx = cost. (4.23)

segue che la T.F. di una funzione sommabile e sempre una funzionelimitata. Dalla (4.21) segue quindi che la T.F. di una funzione n volte

derivabile e O(

1kn

)per k → ∞; in breve, quanto piu una funzione

e liscia tanto piu velocemente la sua T.F. va a zero all’infinito.

• Se l’argomento della funzione f(x) viene traslato di una costante reale a, per la Fvale la seguente relazione:

Fk[f(x + a)] = eikaFk[f(x)]. (4.24)

Infatti

Fk[f(x + a)] =1√2π

∫ ∞

−∞f(x + a)e−ikxdx

=1√2π

∫ ∞

−∞f(x′)e−ik(x′−a)dx′ =

eika

√2π

∫ ∞

−∞f(x′)e−ikx′

dx′

= eikaFk(f) .

• Se si moltiplica la funzione f(x) per un esponenziale, la trasformata di Fourier e:

Fk

[e−iαxf(x)

]= Fk+α[f(x)] , ∀α ∈ R

come si puo facilmente verificare a partire dalle definizioni di F .

• Se si moltiplica la funzione f(x) per x, le trasformata di Fourier diventa:

104

Fk [xf(x)] = id

dkFk[f(x)] (4.25)

come si puo facilmente verificare derivando sotto il segno, nell’ipotesiche la funzione xf(x) sia ancora sommabile sull’asse reale. Come la(4.19), anche la (4.25) si puo iterare, ottenendo

Fk [xnf(x)] =

(id

dk

)n

Fk[f(x)] (4.26)

sempre nell’ipotesi che la funzione xnf(x) sia ancora sommabile sul-l’asse reale.

La (4.25) stabilisce la corrispondenza, duale della (4.22),

x↔ id

dk, (4.27)

fra moltiplicazione per x nello spazio delle f(x) e la derivata nello spaziodelle F (k).

• L’equazione (4.26) mostra che quanto piu rapidamente una fun-zione decresce all’infinito, tanto piu la sua T.F. e liscia.

• Se chiamiamo S lo spazio lineare delle funzioni di prova, rapidamentedecrescenti e infinitamente derivabili:

S = f ∈ C∞; xnf(x) limitata su R, ∀n ∈ N , (4.28)

le (4.21) e (4.26) implicano che la T.F. manda le funzioni di prova (nellavariabile x) in funzioni di prova (nella variabile k):

Fk(f) ∈ S , ∀f ∈ S . (4.29)

• Teorema di convoluzione.

Definiamo la convoluzione g = f1 ∗ f2 di due funzioni f1 e f2:

g(x) =∫ ∞

−∞f1(x

′)f2(x− x′)dx′ . (4.30)

105

E immediato vedere che il prodotto convolutivo e commutativo e asso-ciativo:

f1 ∗ f2 = f2 ∗ f1 (4.31)

f1 ∗ (f2 ∗ f3) = (f1 ∗ f2) ∗ f3 . (4.32)

Il teorema di convoluzione afferma che la trasformata di Fourier dellaconvoluzione di due funzioni e (a parte una costante moltiplicativa) ilprodotto delle trasformate di Fourier delle due funzioni:

Fk(g) =√

2πFk(f1)Fk(f2) . (4.33)

Dimostrazione.

Fk(g) =1√2π

∫ ∞

−∞dxg(x)e−ikx

=1√2π

∫ ∞

−∞dx∫ ∞

−∞dx′f1(x

′)f2(x− x′)e−ikx

=1√2π

∫ ∞

−∞dx∫ ∞

−∞dx′f1(x

′)e−ikx′f2(x− x′)e−ik(x−x′) .

Se ora passiamo dalle variabili (x, x′) alle variabili (z = x − x′, x′) escambiamo l’ordine di integrazione usando il Teorema di Fubini Tonelli(vedi eq.(E.5) in Appendice E), otteniamo:

Fk(g) =1√2π

∫ ∞

−∞dx′f1(x

′)e−ikx′∫ ∞

−∞dzf2(z)e

−ikz =√

2πFk(f1)Fk(f2) .

[q.e.d.]

4.1.3 Soluzione di equazioni differenziali mediante latrasformata di Fourier

La proprieta (4.22) trasforma un’equazione differenziale a coefficienti co-stanti in un’elementare equazione algebrica lineare; chiamando U(k) e F (k)

106

le Trasformate di Fourier dell’incognita u(x) e del termine noto f(x), l’equa-zione differenziale

au′′(x) + bu′(x) + cu(x) = f(x), (4.34)

diventa semplicemente:

− ak2 U(k) + ibk U(k) + c U(k) = F (k), (4.35)

da cui e immediato ricavare U(k); infine antitrasformando si ricava la fun-zione incognita u(x).

Notare come questo procedimento per risolvere equazioni differenziali acoefficienti costanti mediante la trasformata di Fourier sia l’esatto paralle-lo di quello illustrato nel Capitolo 2, dopo l’eq.(3.37), per l’uso della Serietrigonometrica di Fourier; allora richiedevamo che termine noto e soluzionefossero funzioni periodiche, ora abbiamo lasciato cadere questa richiesta; vatuttavia osservato che la procedura appena descritta per risolvere l’equazione(4.34) ha senso solo se il termine noto e la soluzione sono sommabili e cio emolto restrittivo.

Torneremo su questo punto quando parleremo della Trasformata di La-place; per ora limitiamoci a illustrare un esempio di soluzione di un’equazionedifferenziale (alle derivate parziali) mediante la trasformata di Fourier.

• Esempio: l’equazione del calore

Risolviamo l’equazione di diffusione del calore

∂2T (x, t)

∂x2=

1

κ

∂T (x, t)

∂t(4.36)

con la condizione iniziale

T (x, 0) = f(x) .

Fisicamente T (x, t) rappresenta la distribuzione di temperatura al tempo tin una sbarra di lunghezza infinita, se la temperatura iniziale e f(x) 2. Lacostante κ e la conducibilita termica. Moltiplicando l’equazione (4.36) pere−ikx e integrando su x da −∞ a ∞ si ottiene:

2E ovvio che lo zero della scala delle temperature va scelto in modo che limx±∞ f(x) =0.

107

∫ ∞

−∞e−ikx∂

2T (x, t)

∂x2dx =

1

κ

∫ ∞

−∞e−ikx∂T (x, t)

∂tdx .

Chiamando F (k, t) la trasformata di Fourier rispetto a x della T (x, t), ovveroF (k, t) = 1√

2π

∫+∞−∞ e−ikxT (x, t) dx, e ricordando la (4.20) si ottiene

− k2F (k, t) =1

κ

∂

∂tF (k, t) .

Questa e un’equazione differenziale del prim’ordine in F (k, t), la cui soluzionee

F (k, t) = F (k, 0)e−κk2t .

Dalle condizioni iniziali si ha

F (k, 0) =1√2π

∫ ∞

−∞T (x, 0)e−ikxdx =

1√2π

∫ ∞

−∞f(x)e−ikxdx ≡ F (k)

da cui

F (k, t) =1√2πe−κk2t

∫ ∞

−∞f(x)e−ikxdx .

Per ricavare T (x, t) antitrasformiamo secondo Fourier

T (x, t) =1√2π

∫ ∞

−∞F (k, t)eikxdk

=1

2π

∫ ∞

−∞dk∫ ∞

−∞dx′f(x′)e−ikx′eikxe−κk2t

=1

2π

∫ ∞

−∞dke−κk2t

∫ ∞

−∞dx′f(x′)e−ik(x′−x) ,

integriamo su k

∫ ∞

−∞dke−κk2t−ik(x′−x) =

∫ ∞

−∞dke

−[κk2t+ik(x′−x)− (x′−x)2

4κt+

(x′−x)2

4κt

]

= e−(x′−x)2

4κt

∫ ∞

−∞dke

−[k√

κt+ i2

x′−x√κt

]2=

√π

κte−

(x′−x)2

4κt ,

108

e giungiamo finalmente al risultato:

T (x, t) =

√1

4πκt

∫ ∞

−∞f(x′)e−

(x′−x)2

4κt dx′ .

Si puo arrivare piu facilmente allo stesso risultato osservando che e−κk2t e laT.F. di 1√

2κte−x2/(4κt); quindi F (k, t) e il prodotto di due T.F. e l’antitrasfor-

mata e la convoluzione di f(x) e 1√2κte−x2/(4κt).

La funzione3

G(x, x′, t) =

√1

4πκte−

(x′−x)2

4κt θ(t), (4.37)

detta nucleo del calore (heat kernel), e la funzione di Green o propagatoredell’eq. (4.36) ed e tale che la

T (x, t) =∫ ∞

−∞G(x, x′, t)f(x′)dx′ (4.38)

descrive la propagazione del calore dal punto x′ al punto x al tempo t > 0.Se, per esempio, la sorgente e puntiforme (cioe diversa da zero solo nell’origine):

f(x) = δ(x)

(per la definizione della delta di Dirac δ(x), vedi piu avanti, paragrafo ??) allora il caloresi propaga in modo che la temperatura assume una distribuzione gaussiana di larghezzaproporzionale a

√t:

T (x, t) =∫ ∞

−∞G(x, x′, t)δ(x′)dx′ = G(x, 0, t) =

√1

4πκte−

x24κt .

E anche interessante notare che per t → 0+ il nucleo del calore (4.37) tende alla deltadi Dirac (vedi eq. (5.69)):

limt→0+

G(x, x′, t) = δ(x− x′), (4.39)

come deve essere affinche la (4.38) riproduca le condizioni iniziali per t → 0+.

3Con

θ(t) =

0 t < 01 t > 0

denotiamo la funzione a gradino di Heaviside. E necessario introdurla perche tuttoil discorso fatto perde completamente senso per t < 0: e−κk2t da gaussiana diventafuriosamente crescente per k → ±∞ se t < 0.

109

4.2 Trasformata di Laplace

Come abbiamo gia detto nel paragrafo precedente, il metodo della T.F. per-mette di risolvere equazioni differenziali a coefficienti costanti soltanto in uncampo molto ristretto; la stessa funzione f(x)=1 non potrebbe essere accet-tata ne come soluzione ne come termine noto. D’altra parte, se vogliamorisolvere un’equazione con condizioni iniziali al tempo t = 0, ci interessa sa-pere solo cio che succede per t ≥ 0. E quindi conveniente considerare unasorta di T.F. definita da un integrale esteso solo al semiasse delle t > 0. Intal caso, se f(t) e localmente sommabile, cioe e sommabile su ogni intervallofinito del semiasse reale t ≥ 0, e se esistono una α′ ∈ R, una M > 0 e unt0 ≥ 0 tali che ∀t > t0 valga

e−α′t|f(t)| < M (4.40)

la funzione

gα(t) ≡ e−αtf(t)θ(t)

e sommabile sull’intero asse reale ∀α > α′. Infatti ∀t > t0

|gα(t)| =∣∣∣e−(α−α′)te−α′tf(t)

∣∣∣ ≤ e−(α−α′)tM (4.41)

e quindi tende esponenzialmente a zero per t→ +∞, rimanendo localmentesommabile se tale era f(t). Quindi gα(t) possiede la trasformata di Fourier:

Gα(ω) =1√2π

∫ ∞

−∞f(t)e−αtθ(t)e−iωtdt =

1√2π

∫ ∞

0f(t)e−(α+iω)tdt . (4.42)

Introduciamo ora la variabile complessa s = α + iω e definiamo F (s) =√2πGα(ω). Allora la (4.42) diventa

F (s) =∫ ∞

0f(t)e−stdt (4.43)

e prende in nome di trasformata di Laplace (T.L.) della funzione f(t);chiamando ascissa di convergenza α0 ∈ R l’estremo inferiore degli α′

per cui vale la (4.40), la F (s) e definita nel semipiano Res > α0 e ivi eanalitica, come si vede facilmente derivando sotto il segno, poiche, graziealla (4.41), tnf(t) ha la stessa ascissa di convergenza di f(t), per ogni nnaturale. L’antitrasformata di Laplace e definita da un integrale in campo

110

complesso. Infatti antitrasformando la (4.42) si ricava, nell’ipotesi che f(t)sia di classe C1 nell’intorno di t,

f(t)e−αtθ(t) =1√2π

limR→∞

∫ R

−RGα(ω)eiωtdω , (4.44)

da cui

f(t)θ(t) =1

2πlim

R→∞

∫ R

−Rg(ω)e(α+iω)tdω =

1

2πi

∫γF (s)estds , (4.45)

dove il cammino di integrazione γ e una retta parallela all’asse immaginariodel piano di s, di equazione Re s=α > α0. L’antitrasformata (4.45) si indicadi solito, sottintendendo la θ(t), come

f(t) =1

2πi

∫ α+i∞

α−i∞F (s)estds , (4.46)

che per essere piu precisi andrebbe scritta come

f(t) =1

2πilim

R→∞

∫ α+iR

α−iRF (s)estds . (4.47)

Osserviamo subito: si puo dimostrare che F (s) = o(1) per s → ∞ in ognidirezione del semipiano di analiticita. Per t < 0 si puo quindi applicare illemma di Jordan (vedi caso 4) chiudendo il cammino con una semicirconfe-renza nel semipiano a destra di Re s = α, ottenendo f(t) = 0, visto che F (s)e analitica nel semipiano Re s > α0.

4.2.1 Esempi

• La trasformata di Laplace della funzione f(t) = 1 e

F (s) =∫ ∞

0e−stdt =

1

s.

L’integrale converge per Re(s) > 0 (cioe α0 = 0). Il calcolo del-l’integrale (4.46) mediante il metodo dei residui mostra subito chel’antitrasformata di Laplace di 1/s e θ(t).

• La trasformata di Laplace della funzione f(t) = t e

F (s) =∫ ∞

0te−stdt = −

∫ ∞

0

∂

∂se−stdt = − d

ds

∫ ∞

0e−stdt = − d

ds

(1

s

)=

1

s2

111

• La trasformata di Laplace della funzione f(t) = tn e

F (s) =∫ ∞

0tne−stdt = (−1)n

∫ ∞

0

∂n

∂sne−stdt

= (−1)n dn

dsn

∫ ∞

0e−stdt = (−1)n d

n

dsn

(1

s

)=

n!

sn+1.

• La trasformata di Laplace della funzione f(t) = cos t e

F (s) =∫ ∞

0e−st cos tdt =

1

2

∫ ∞

0e−st

(eit + e−it

)dt

=1

2

e−(s−i)t

−(s− i)

∣∣∣∣∣∞

0

+e−(s+i)t

−(s+ i)

∣∣∣∣∣∞

0

=

s

s2 + 1.

Tutte le funzioni discusse in questi esempi hanno ascissa di convergenza α0 =0; la loro Trasformata di Laplace e percio analitica in tutto il semipianoRes > 0; nell’esempio successivo vedremo che non e sempre cosı.

• La trasformata di Laplace della funzione f(t) = eat, con a ∈ C, e

F (s) =∫ ∞

0e−steatdt =

e−(s−a)t

−(s− a)

∣∣∣∣∣∞

0

=1

s− a,

dove e stato necessario supporre Re s > Re a per poter affermareche limt→+∞ e−(s−a)t = 0; per Re s < Re a l’integrale che definisce latrasformata di Laplace diverge, quindi l’ascissa di convergenza dellafunzione f(t) = eat e α0 = Re a; cio concorda con il fatto che latrasformata di Laplace F (s) e analitica nel semipiano Re s > Re a.

Per tutti questi esempi lasciamo allo studente la verifica dell’eq. (4.46).Riflettendo su questi esempi lo studente si convincera anche della seguenteimportante proprieta:

• Se la T.L. Ls(f(t)) ha poli con Re s > 0 la funzione f(t) esplodeesponenzialmente per t→ +∞; viceversa se Ls(f(t)) ha singolarita soloa sinistra dell’asse immaginario allora f(t) decresce esponenzialmenteper t → +∞; se i poli sono sull’asse immaginario f(t) puo oscillare ocrescere come una potenza di t.

Questa proprieta e di grande importanza per le applicazioni a sistemi fisici efornisce un criterio di stabilita nel tempo. Quando, per esempio, un sistemadi amplificazione comincia a produrre un sibilo di ampiezza crescente (for-tunatamente limitata dalla non linearita e quindi saturazione del sistema)possiamo dire che una qualche singolarita della T.L. della sua funzione ditrasferimento ha acquistato parte reale non negativa.

112

4.2.2 Proprieta della trasformata di Laplace

Studiamo ora alcune proprieta delle trasformate di Laplace, analoghe a quelleviste per le trasformate di Fourier. Indicheremo la trasformata di Laplace(4.43) con il simbolo

Ls[f(t)] = F (s) =∫ ∞

0f(t)e−stdt .

• La trasformata di Laplace e lineare (per linearita degli integrali):

Ls[a1f1(t) + a2f2(t)] = a1Ls[f1(t)] + a2Ls[f2(t)]

• La trasformata di Laplace della derivata f ′(t), se f ′(t) esiste e ammetteT.L., e legata alla trasformata di f(t) dalla relazione:

Ls[f′(t)] = sLs[f(t)]− f(0) , (4.48)

come si ottiene integrando per parti:

Ls[f′(t)] =

∫ ∞

0f ′(t)e−stdt

= f(t)e−st∣∣∣∞0

+ s∫ ∞

0f(t)e−stdt

= −f(0) + s∫ ∞

0f(t)e−stdt = sLs[f(t)]− f(0) .

E evidente che qui con f(0) si intende il limite destro di f(x) per x→ 0.

Nell’ipotesi che anche le derivate successive di f(t) esistano e ammetta-no T.L., la relazione (4.48) puo essere iterata per ottenere le trasformatedelle derivate successive:

Ls[f′′(t)] = sLs[f

′(t)]− f ′(0)

= s2Ls[f(t)]− sf(0)− f ′(0) (4.49)

Ls[f′′′(t)] = sLs[f

′′(t)]− f ′′(0)

= s3Ls[f(t)]− s2f(0)− sf ′(0)− f ′′(0) (4.50)

Ls[f(n)(t)] = sLs[f

(n−1)(t)]− f (n−1)(0)

= snLs[f(t)]− sn−1f(0)− sn−2f ′(0)− ...− sf (n−2)(0)− f (n−1)(0) .

(4.51)

Dalla (4.51) segue che se la funzione f(t) e n volte derivabile e f (n)(t)ammette T.L. vale

Ls[f(t)] =f(0)

s+f ′(0)

s2+ · · · f

(n−1)(0)

sn+Ls[f

(n)]

sn, (4.52)

113

che da utili informazioni sull’andamento per s→∞ della trasformatadi Laplace (teorema di Tauber). E da notare che, anche se f(t) ∈ C∞,non e affatto detto che la serie che facilmente si deduce dalla (4.52)converga. In realta essa e in generale una serie asintotica, che saradefinita nel corso di Metodi Matematici della Fisica II.

• La trasformata di Laplace dell’integrale di una funzione g(t) e legata alla trasfor-mata di g(t) dalla relazione:

Ls

[∫ x

0

g(t)dt

]=

1sLs[g(x)] . (4.53)

Partendo dalla formula per la trasformata di Laplace per le derivate (4.48) e po-nendo g(x) = f ′(x) si ottiene infatti

f(x) = f(0) +∫ x

0

g(t)dt .

La (4.48) diventa cosı:

Ls[g(x)] = sLs

[f(0) +

∫ x

0

g(t)dt

]− f(0) = sLs[f(0)] + sLs

[∫ x

0

g(t)dt

]− f(0) .

Ricordando ora che Ls[1] = 1/s, otteniamo

Ls[g(x)] = sf(0)1s

+ sLs

[∫ x

0

g(t)dt

]− f(0) ,

ovvero

Ls[g(x)] = sLs

[∫ x

0

g(t)dt

],

da cui segue immediatamente la (4.53).

• Se l’argomento della funzione f(t) viene traslato di una costante a, per la trasfor-mata di Laplace vale la seguente relazione:

Ls[f(t + a)] = eas

Ls[f(t)]− θ(a)

∫ a

0

f(t)e−stdt

. (4.54)

Per dimostrare la (4.54) bisogna distinguere i due casi a < 0 e a > 0. Ricordiamoinfatti che la trasformata di Laplace e un integrale tra 0 e ∞ e che e sottintesa unaθ(t), che implica f(t) = 0 se t < 0. Quindi

Ls[f(t + a)] =∫ ∞

0

f(t + a)e−stdt(t′=t+a)

=∫ ∞

a

f(t′)e−s(t′−a)dt′

= esa

∫ ∞

a

f(t′)e−st′dt′ .

Ora, se a < 0,

Ls[f(t + a)] = esa

∫ ∞

a

f(t′)e−st′dt′ = esa

∫ ∞

0

f(t′)e−st′dt′ = esaLs[f(t)] .

114

Se invece a > 0,

Ls[f(t + a)] = esa

∫ ∞

a

f(t′)e−st′dt′ = esa

∫ ∞

0

f(t′)e−st′dt′ − esa

∫ a

0

f(t′)e−st′dt′

= esaLs[f(t)]− esa

∫ a

0

f(t′)e−st′dt′ .

• Se si moltiplica la funzione f(t) per un esponenziale, la trasformata e:

Ls

[eαtf(t)

]= Ls−α[f(t)] , ∀α ∈ C

come si puo facilmente verificare derivando sotto il segno la L.

• Se si moltiplica la funzione f(t) per t, la trasformata diventa:

Ls [tf(t)] = − d

dsLs[f(t)] ,

come si puo facilmente verificare a partire dalle definizioni di L. Notareche, diversamente da quanto avviene per la T.F., qui siamo sempresicuri che se f(t) ammette T.L. anche tnf(t) la ammette, ∀n ∈ N;equivalentemente, ogni T.L. e sempre infinitamente derivabile nella suaregione di convergenza, mentre cio non e affatto detto per la T.F. (vediper esempio la T.F. di 1

a2+x2 , par.4.1.1).

• Teorema di convoluzione. Sia g(t) la convoluzione di due funzionif1 e f2, definita ∀t > 0 come 4

g(t) =∫ t

0f1(t

′)f2(t− t′)dt′ . (4.55)

Allora

Ls[g(t)] = Ls[f1(t)]Ls[f2(t)] . (4.56)

La dimostrazione e del tutto analoga a quella vista per le trasformatedi Fourier.

4Notare che malgrado l’estremo superiore di integrazione sia t la definizione (4.55)coincide con la (4.30), se si assume che f1 e f2 si annullino quando il loro argomento enegativo.

115

4.2.3 Trasformate di Laplace ed equazioni differenzialilineari a coefficienti costanti

Come si e detto nel par. 4.1.3 il metodo della trasformata di Fourier perrisolvere equazioni differenziali lineari si puo applicare solo in un numeroristretto di casi, cioe quando il termine noto e la soluzione dell’equazionedifferenziale sono sommabili. La trasformata di Laplace permette di risolvereequazioni differenziali lineari a coefficienti costanti

c2d2u

dt2+ c1

du

dt+ c0u = f(t) (4.57)

per una classe piu estesa di funzioni e permette inoltre di tener conto auto-maticamente delle condizioni iniziali

u(0) = u0

du

dt

∣∣∣∣∣t=0

= u1 . (4.58)

Infatti trasformando secondo Laplace la (4.57) e ponendo Ls[u(t)] ≡ U(s)e Ls[f(t)] ≡ F (s) (ammesso che queste esistano) si ottiene, utilizzando le(4.48) e (4.49),

c2[s2U(s)− su0 − u1

]+ c1 [sU(s)− u0] + c0U(s) = F (s) , (4.59)

che da immediatamente

U(s) =c2su0 + c2u1 + c1u0

c2s2 + c1s+ c0+

F (s)

c2s2 + c1s+ c0. (4.60)

Antitrasformando si ottiene θ(t)u(t). L’antitrasformata del primo addendoda la soluzione generale dell’omogenea associata (interpretando u0 e u1 comeparametri liberi), mentre l’antitrasformata del secondo da la soluzione par-ticolare dell’inomogenea con condizioni iniziali u(0) = u′(0) = 0. Notare chela soluzione cosı ottenuta e particolarmente interessante quando la “solleci-tazione esterna” f(t) sia inserita al tempo t = 0. In questo caso θ(t)u(t) cidice cosa succede dopo aver chiuso o aperto l’interruttore. Ovviamente laprocedura e estendibile a equazioni differenziali lineari di ordine qualsiasi.

• Esempio

116

Consideriamo il circuito oscillante di Fig. 3.1 e cerchiamo la soluzione dell’e-quazione differenziale

u+RCdu

dt+ LC

d2u

dt2= f(t) (4.61)

con le condizioni iniziali

u0 = limt→0+

u(t) (4.62)

i0 = limt→0+

Cdu

dt. (4.63)

Trasformando la (4.61) secondo Laplace e chiamando U(s) e F (s) le trasfor-mate di u(t) e f(t) otteniamo

U(s) +RC [sU(s)− u0] + LC[s2U(s)− su0 −

i0C

]= F (s) . (4.64)

Consideriamo due casi:

a) Chiusura del circuito: se il circuito e inizialmente aperto e il condensa-tore e scarico e lo si chiude all’istante t = 0 su un generatore che forni-sca una tensione alternata V eiωt (in particolare continua, se ω = 0), iltermine noto e:

f(t) = θ(t)V eiωt , (4.65)

le condizioni iniziali sono

u0 = i0 = 0 (4.66)

e la trasformata di Laplace di f(t) e

F (s) =∫ ∞

0V eiωte−stdt =

V

s− iω. (4.67)

Quindi la (4.64) fornisce in questo caso:

U(s) =V

(s− iω)(1 +RCs+ LCs2). (4.68)

Per ottenere u(t) dobbiamo antitrasformare la (4.68), che possiede trepoli semplici in

s0 = iω , s1,2 = − R

2L± 1

2

√∆ con ∆ =

R2

L2− 4

LC. (4.69)

117

Ora, se ∆ > 0, s1 e s2 giacciono sull’asse reale negativo (perche R > 0),se ∆ < 0, s1 = s∗2 = − R

2L+ i

2

√−∆ e se ∆ = 0 i due poli sono reali

e coincidenti (polo doppio). L’antitrasformata di U vale, secondo la(4.46),

u(t) =1

2πi

∫ r+i∞

r−i∞estU(s) , con r > 0 (4.70)

ovvero, se s1 6= s2,

u(t) =V

LC

∑s=0,s1,s2

Res

est

(s− iω)(s− s1)(s− s2)

=V

LC

[eiωt

(s1 − iω)(s2 − iω)+

es1t

(s1 − iω)(s1 − s2)+

es2t

(s2 − iω)(s2 − s1)

].

(4.71)

A parte il termine sinusoidale

V

LC

eiωt

(s1 − iω)(s2 − iω)=

V eiωt

s1s2 − i(s1 + s2)ω − ω2=

V eiωt

1 + iωRC − ω2LC,

(4.72)che riproduce esattamente la (3.18), la tensione u(t) e quindi una som-ma di funzioni sinusoidali smorzate nel caso ∆ < 0 , mentre per ∆ > 0e una somma di esponenziali decrescenti. E immediato verificare che at = 0 le condizioni iniziali sono soddisfatte:

u(0) =V

LC

[1

(s1 − iω)(s2 − iω)+

1

(s1 − iω)(s1 − s2)+

1

(s2 − iω)(s2 − s1)

]= 0

i(t) =V

L

[iωeiωt

(s1 − iω)(s2 − iω)+

s1es1t

(s1 − iω)(s1 − s2)+

s2es2t

(s2 − iω)(s2 − s1)

]⇒ i(0) = 0 ,

mentre per t → +∞ (ovvero una volta che il condensatore si sia ca-

ricato, quindi per t >>∣∣∣ 1Res1

∣∣∣ =∣∣∣ 1Res2

∣∣∣ = R2L

) la tensione ai capi del

condensatore si riduce a quella sinusoidale (4.72). Se invece s1 = s2,U(s) ha un polo doppio in s1 e il residuo vale

Res

est

s(s− s1)2

s=s1

=d

ds

est

s|s=s1

=test

s− est

s2|s=s1

=es1t

s21

(s1t− 1) ,

(4.73)dove si e scelto per semplicita ω = 0, da cui la soluzione

u(t) =V

LC

1

s21

[1 + es1t(ts1 − 1)

], (4.74)

118

che verifica le condizioni iniziali

u(0) =V

LC

1

s21

[1− 1] = 0 (4.75)

i(t) =V

LC

1

s21

es1t(ts21 − s1 + s1) ⇒ i(0) = 0 (4.76)

e per t→ +∞ si comporta come nel caso precedente.

b) Apertura del circuito: se all’istante t = 0 il circuito viene aperto, do-po essere stato per lungo tempo a contatto con la batteria a tensionecostante V , si avra

f(t) = 0 per t > 0, (4.77)

con le condizioni iniziali

u0 = V e i0 = 0 . (4.78)

L’eq. (4.64) diventa in questo caso (F (s) = 0):

U(s)(1 +RCs+ LCs2) = V (RC + sLC)

da cui

U(s) = Vs+ R

L

s2 + RLs+ 1

LC

= Vs+ R

L

(s− s1)(s− s2).

Si noti che, per qualunque valore di ∆, s1, s2 6= −R/L; quindi non c’ecancellazione fra numeratore e denominatore e U(s) ha sempre due polisemplici (o un polo doppio). Per s1 6= s2 si ha

u(t) = V∑

s=s1,s2

Res

est(s+ R

L

)(s− s1)(s− s2)

= V

es1t(s1 +R/L)− es2t(s2 +R/L)

s1 − s2

,

che soddisfa le condizioni iniziali:

u(0) = Vs1 − s2

s1 − s2

= V

i(t) =CV

s1 − s2

[es1ts1

(s1 +

R

L

)− es2ts2

(s2 +

R

L

)]⇒ i(0) = 0 .

119

Se invece s1 = s2 = − R2L

u(t) = Res

est(s+ R

L

)(s− s1)2

s=s1

= Vd

ds

(s+

R

L

)est

∣∣∣∣∣s=s1

= V(1 + s1t+

R

Lt)es1t .

Si verifica facilmente che le condizioni iniziali sono soddisfatte:

u(0) = V

i(t) = CVd

dt

[(1 + s1t+

R

Lt)es1t

]= CV

(s21t+ s1t

R

L+ 2s1 +

R

L

)es1t

⇒ i(0) =(2s1 +

R

L

)= 0 .

In entrambi i casi, per t → +∞ sia la tensione u(t) che la correntei(t) tendono esponenzialmente a zero, come ci si aspetta. Anche quit→ +∞ significa t >> 2L/R.

120

Capitolo 5

Spazi L2 e Distribuzioni

Sin dall’inizio del Capitolo 3.2 abbiamo visto l’importante ruolo giocato dallerelazioni di ortogonalita (3.36) nel calcolo dei coefficienti di Fourier. In que-sto capitolo torneremo su questo argomento trattandolo in modo un po’ piuapprofondito, e cio ci permettera di dare una definizione di convergenza delleserie (e trasformata) di Fourier molto piu generale ed appropriata. Allarghe-remo inoltre il campo delle funzioni introducendo il concetto di distribuzione;riusciremo cosı a derivare funzioni anche nei loro punti di discontinuita di Ispecie e ad ampliare di molto il campo delle funzioni che ammettono T.F.

5.1 Spazi L2 e serie di Fourier

L’insieme di tutte le funzioni a valori complessi in un intervallo reale [a, b]costituisce uno spazio vettoriale, ovvero spazio lineare, sui complessi.

Ogni funzione rappresenta quindi un vettore e lo spazio vettoriale si chia-ma quindi spazio funzionale; la somma di vettori e il prodotto per un numerocomplesso sono definiti dalle corrispondenti operazioni sulle funzioni.

Nello spazio funzionale si puo inoltre definire il prodotto scalare di duevettori, f e g, come

(f ,g) =∫ b

af ∗(x)g(x)dx . (5.1)

Per aiutare la memoria, e utile notare l’analogia fra l’integrale (5.1) e laconsueta definizione

121

(f ,g) =∑

i

f ∗i gi. (5.2)

di prodotto scalare negli spazi vettoriali (sui complessi) di dimensione finita;negli spazi funzionali la variabile x gioca un ruolo analogo a quello dell’indice iche individua la componente i-esima; la somma su i e sostituita dall’integraleperche l’indice x corre su un insieme continuo, l’intervallo [a, b].

L’integrale (5.1) soddisfa le proprieta del prodotto scalare negli spaziunitari:

1) linearita nel secondo fattore:

(f , αg + βh) =∫ b

af ∗(x) [αg(x) + βh(x)] dx

= α∫ b

af ∗(x)g(x)dx+ β

∫ b

af ∗(x)h(x)dx

= α(f ,g) + β(f ,h) .

2) Hermiticita:

(f ,g)∗ =

[∫ b

af ∗(x)g(x)dx

]∗=∫ b

af(x)g∗(x)dx = (g, f) ,

che si riduce alla commutativita nel caso di spazio vettoriale sui reali.

3) Positivita1:

(f , f) =∫ b

a|f(x)|2dx ≥ 0 , (5.3)

La radice quadrata del numero non negativo (f , f) si dice norma delvettore f :

‖f‖ =√

(f , f) (5.4)

1Questa proprieta rende chiaro perche nelle definizioni (5.1) e (5.2) le “componenti”del primo vettore siano soggette alla complessa coniugazione.

122

Notare che dalle proprieta 1) e 2) segue che il prodotto scalare (5.1) eantilineare nel primo fattore:

(αf + βg,h) = α∗(f ,h) + β∗(g,h) .

Vale inoltre per il prodotto scalare la seguente disuguaglianza, dettadisuguaglianza di Schwartz:

|(f ,g)| ≤ ‖f‖ · ‖g‖ . (5.5)

La disuguaglianza di Schwartz si puo considerare come un’estensione aglispazi funzionali della ben nota disuguaglianza della geometria euclidea |~a·~b| =|ab cosϑ| ≤ ab, dove a e b sono le lunghezze (norme) dei due vettori e ϑl’angolo compreso.

E importante osservare che la definizione (5.1) di prodotto scalare hasenso solo se le funzioni che consideriamo sono quadrato sommabili cioese esiste l’integrale (5.3) che definisce la norma di un vettore 2.

Per essere precisi, dobbiamo dire che nella definizione di prodotto sca-lare, e quindi di norma, si deve usare una generalizzazione dell’integrale diRiemann dovuta a Lebesgue.

Per i nostri scopi non e necessario definire l’integrale di Lebesgue, mae sufficiente enunciarne le seguenti proprieta:

Proprieta P3: ogni funzione assolutamente integrabile alla Riemann,in modo proprio o improprio, lo e anche alla Lebesgue e i due integralicoincidono.

Viceversa, se in un punto x0 ∈ [a, b] una funzione diverge troppo peressere integrabile alla Riemann (per esempio una f(x) = O(xα) per x → 0,con α ≤ −1, su un intervallo d’integrazione comprendente l’origine) alloranon e nemmeno integrabile alla Lebesgue. Analogamente, se all’infinito unafunzione va a zero troppo lentamente per essere integrabile alla Riemann suintervallo infinito (per esempio una f(x) = O(xα) per x→∞,con α ≥ −1),allora non e nemmeno integrabile alla Lebesgue.

Proprieta P4: come per l’integrale di Riemann, ogni funzione assolu-tamente integrabile e anche integrabile, ma per l’integrale di Lebesgue valeanche il viceversa 3 .

2E molto facile mostrare che l’esistenza della norma di due vettori implica che anche illoro prodotto scalare esiste.

3per essere pignoli, l’assoluta integrabilita implica l’integrabilita alla Lebesgue solonell’ipotesi che la funzione sia misurabile, ma questo e il caso per tutte le funzioni diinteresse in fisica; quindi daremo sempre per scontata la misurabilita, senza nemmenopreoccuparci di definirla.

123

Grazie alla proprieta P3, per calcolare un integrale alla Lebesgue di fattosi continua a calcolare il solito integrale di Riemann.

Perche allora complicarci la vita con l’integrale di Lebesgue? La ragionee che esistono delle funzioni piuttosto bizzarre che sono sommabili, cioeintegrabili alla Lebesgue, senza esserlo alla Riemann 4; tali funzioni, del tuttoprive di interesse per la fisica, sono pero essenziali per rendere completo lospazio funzionale, nel senso che preciseremo fra poco.

Un esempio di tali funzioni un po strambe e la funzione di Dirichlet, cosıdefinita su tutto l’asse reale:

d(x) =

1 x ∈ Q0 x /∈ Q ,

dove Q e l’insieme dei numeri razionali.Si puo dimostrare che tale funzione, che evidentemente non e integrabile

alla Riemann, e pero sommabile e che il suo integrale di Lebesgue vale zero.La funzione di Dirichlet e diversa da zero solo sui razionali, cioe su

un’infinita numerabile di punti; il fatto che il suo integrale si annulli e uncaso particolare della piu generale

Proprieta 5: Condizione necessaria e sufficiente affinche una funzionea valori reali non negativi abbia integrale di Lebesgue nullo e che essa siaquasi ovunque nulla nell’intervallo (finito o infinito) di integrazione; dicendoche una proprieta vale quasi ovunque (che si abbrevia con q.o.) su unintervallo si intende che l’insieme dei punti in cui non vale sia di misuranulla, cioe, in pratica, finito o infinito numerabile5.

Come conseguenza della Proprieta 5 si puo allora affermare che il vettorenullo (cioe il vettore di norma nulla, che vogliamo sia unico) e rappresentatodall’intera classe delle funzioni quasi ovunque nulle; analogamente, a ognivettore dello spazio astratto corrisponde una classe di funzioni quasi ovunqueuguali quadrato sommabili; tale spazio, dotato del prodotto scalare (5.1), 6

si denota con il simbolo L2(a, b).Si denota invece con L(a, b) lo spazio delle funzioni sommabili 7.

4Inoltre l’integrale di Lebesgue gode di proprieta, discusse in Appendice E, che rendonomolto piu semplice derivare sotto il segno, scambiare il limite con l’integrale e scambiarel’ordine d’integrazione in integrali multipli.

5Nel piano, un insieme di misura nulla puo essere costituito non solo da un’infinitanumerabile di punti, ma anche da un numero finito o infinito numerabile di segmenti (ocurve differenziabili) e cosı via.

6che evidentemente non dipende da quale funzione si sceglie per rappresentare la classe.7In L(a, b) non e definito il prodotto scalare, anche se e ancora uno spazio vettoria-

le normato; per la reazione di inclusione fra L(a, b) e L2(a, b), su intervallo finito, vediAppendice E.

124

Due funzioni f(x) e g(x) appartenenti a L2(a, b) si definiscono ortogonalise il loro prodotto scalare e nullo:

(f ,g) =∫ b

af ∗(x)g(x)dx = 0 .

Un sistema di funzioni φi(x) ∈ L2(a, b) si definisce ortonormale (ON)se

(φi,φk) =∫ b

aφ∗i (x)φk(x)dx = δik , ∀i, k .

Sia φ1 φ2 ...,φn un sistema ortonormale finito di L2(a, b) e sia f(x) ∈L2(a, b) definita da:

f(x) =n∑

k=1

ckφk(x) (5.6)

o equivalentemente, in linguaggio vettoriale:

f =n∑

k=1

ckφk , (5.7)

dove ck sono arbitrari numeri complessi. Le componenti ci del vettore f lungole direzioni φi si calcolano subito moltiplicando scalarmente la (5.7) per ilvettore φi; si ottiene:

(φi, f) =∫ b

aφ∗i (x)f(x)dx =

n∑k=1

ck(φi,φk) =n∑

k=1

ckδik = ci . (5.8)

Questo risultato era ovviamente atteso, poiche stiamo lavorando in uno spa-zio a numero finito di dimensioni, la varieta ennedimensionale generata daivettori φ1, · · ·φn. In L2(a, b) esistono pero sistemi ON formati da un’infinitanumerabile di vettori; per esempio la eq.(3.36) mostra che in L2(0, 2π) lefunzioni trigonometriche (in forma esponenziale)

φl(x) =eilx

√2π

(5.9)

formano un sistema ON infinito numerabile. Per estendere la (5.6) al casoin cui n sia infinito, bisogna affrontare il problema della convergenza dellaserie, e questo e l’argomento centrale di questo paragrafo.

125

Se φi, i = 1, 2, ... e un insieme infinito numerabile di funzioni orto-normali di L2(a, b) e ∀f(x) ∈ L2(a, b), consideriamo dapprima la proiezioneortogonale fN del vettore f sul sottospazio generato dai vettori ON φ1, · · ·φN .Essa e data da

fN(x) =N∑

i=1

ciφi(x) N = 1, 2 · · · , (5.10)

con

ci = (φi, f) ≡∫ b

aφ∗i (x)f(x)dx, (5.11)

e si dice ridotta N -esima dello sviluppo in serie di Fourier del vettore fnel sistema φi, mentre le costanti ci sono i coefficienti di Fourier dellosviluppo.

Dimostriamo innanzitutto la seguente disuguaglianza, detta disugua-glianza di Bessel:

∞∑k=1

|ck|2 ≤ (f , f) . (5.12)

Da‖f − fN‖2 ≥ 0 (5.13)

segue che

‖f − fN‖2 = (f , f) +N∑

k,l=1

c∗kcl(φk,φl)−N∑

k=1

[ck(f ,φk) + c∗k(φk, f)]

= (f , f) +N∑

k=1

|ck|2 −N∑

k=1

(ckc∗k + c∗kck)

= (f , f)−N∑

k=1

|ck|2 ≥ 0 ,

da cui

N∑k=1

|ck|2 ≤ (f , f) .

Questo risultato vale per qualunque N . Facendo tendere N a infinito siottiene infine la disuguaglianza di Bessel (5.12): la serie dei moduli quadra-ti dei coefficienti di Fourier di un vettore f e minore o uguale alla normaquadrata del vettore.

126

Se il sistema di vettori φk e tale che la disuguaglianza di Bessel valecon il segno = per ogni f , allora il sistema di vettori φk si dice completoe costituisce una base ON in L2(a, b). La (5.12) diventa allora

∞∑k=1

|ck|2 = (f , f) (5.14)

e prende il nome di equazione di Parseval.In uno spazio unitario a N dimensioni un sistema ON e completo se e

solo se e costituito da N vettori; un insieme infinito numerabile invece noncambia il numero dei suoi elementi (la sua potenza) anche se da esso ne tolgouno o piu; quindi l’unico criterio che mi assicura che non mi sia perso deivettori base, cioe che il sistema sia completo, e, come abbiamo appena detto,che sia soddisfatta l’equazione di Parseval (5.14), che generalizza il Teoremadi Pitagora agli spazi infinito dimensionali.

Uno spazio unitario infinito dimensionale in cui esista un sistema ON com-pleto infinito numerabile si dice separabile; si puo dimostrare che L2(a, b)e separabile, qualunque sia l’intervallo (a, b), finito o infinito; in particolareper (a, b) = (0, 2π) un sistema completo e dato dalle funzioni trigonometri-che (5.9). Per aiutare la memoria si puo dire, in modo molto rozzo, che unospazio separabile ha dimensione infinita numerabile.

L’equazione di Parseval ci permette anche di dare un senso preciso allaconvergenza della serie di Fourier. Infatti da:

‖f − fN‖2 = (f , f)−N∑

k=1

|ck|2 (5.15)

e dall’equazione di Parseval (5.14) segue che:

limN→∞

‖f − fN‖2 = 0. (5.16)

Per definizione di limite nello spazio vettoriale astratto , l’equazione (5.16)e equivalente alla scrittura:

f = limN→∞

fN =∞∑

k=1

ckφk. (5.17)

Abbiamo cosı definito la somma della serie di Fourier nello spazio vettorialeastratto; in termini di funzioni la (5.16) significa:

limN→∞

∫ b

a|f(x)− fN(x)|2dx = 0, (5.18)

127

dove la ridotta N − esima della serie di Fourier e data dalla (5.10) con icoefficienti (5.11).

La (5.18) si abbrevia nel modo seguente:

f(x) = l.i.m.N→∞fN(x) , (5.19)

dove l.i.m. si legge per limite in media quadratica. La convergenza dellaserie di Fourier si puo quindi esprimere nei 5 modi (5.14), (5.16), (5.17),(5.18), (5.19) perfettamente equivalenti.

Molto spesso si scrive piu semplicemente (e lo faremo anche noi):

f(x) =∞∑i=1

ciφi(x), (5.20)

ma l’espressione (5.20) e corretta solo se interpretata come un’abbreviazionedella (5.19); in generale, la serie dei numeri complessi a secondo membrodella (5.20) puo non convergere, o convergere a un valore diverso dal numerocomplesso f(x); infatti le eq. (5.18) o (5.19) non ci dicono assolutamentenulla della convergenza puntuale della serie a secondo membro della eq.(5.20),come era da aspettarsi, visto che la funzione f(x) e solo un rappresentanteall’interno di una classe di funzioni quasi ovunque uguali; quindi, per esempio,se in un punto x0 si aggiunge a f(x0) una costante, non cambia nulla neicoefficienti di Fourier ci dati dalla (5.11) e quindi nel secondo membro dellaeq.(5.20), ma ovviamente cambia il primo membro.

La convergenza (5.19) richiede solo che f ∈ L2(a, b) e che il sistema φisia ONC; la convergenza puntuale della (5.20) in uno specifico punto x0 ∈[a, b] richiede invece tutt’altre condizioni su f , discusse nel Cap. 3.2.

Si puo dimostrare che lo spazio L2(a, b) e completo 8, cioe che per ogniinfinita numerabile di numeri complessi ci tali che

∑i |ci|2 <∞, esiste una f ∈

L2(a, b) tale che f =∑ciφi (E per questa dimostrazione che e importante che

l’integrale sia di Lebesgue e che vengano quindi incluse nello spazio funzionaleanche funzioni non integrabili alla Riemann).

Uno spazio vettoriale sui complessi, dotato di prodotto scalare e completo,si dice spazio di Hilbert.

La completezza di uno spazio, in particolare dello spazio L2(a, b), e lasua separabilita, permettono di stabilire una corrispondenza biunivoca fra isuoi elementi f e gli insiemi infiniti numerabili dei loro coefficienti di Fourierci, che possiamo considerare come le componenti di un vettore rispetto allabase φi prefissata.

8Purtroppo la parola completo viene usata con due significati del tutto diversi: lacompletezza dello spazio non ha nulla a che fare con la completezza di un sistema difunzioni o vettori.

128

E facile mostrare che tale corrispondenza conserva i prodotti scalari: sef(x) =

∑i ciφi e g(x) =

∑i diφi, allora

(f ,g) =∫ b

af ∗(x)g(x) dx =

( ∞∑i=1

ciφi,g

)=

∞∑i=1

c∗i (φi,g) =∞∑i=1

c∗i di , (5.21)

dove si sono usate l’antilinearita e la continuita9 del prodotto scalare nelprimo fattore. Quindi tutti gli spazi di Hilbert separabili (infinito dimensio-nali), in particolare gli spazi L2(a, b), sono isomorfi fra loro e con lo spazio diHilbert delle componenti, i cui elementi sono i vettori colonna di componentici, con i = 1, 2, .., con il vincolo

∑∞i=1 |ci|2 <∞; le proprieta di uno spazio si

traducono in corrispondenti proprieta dell’altro.

5.1.1 Trasformata di Fourier in L2

Spesso in fisica intervengono spazi L2; in particolare l’ambiente in cui vi-ve naturalmente la Meccanica Quantistica e quello degli spazi di Hilbertseparabili, che possono essere realizzati da spazi di funzioni quadrato som-mabili.

E quindi concettualmente molto importante estendere la definizione diTrasformata di Fourier, che nella sua forma (4.7) si applica solo a f(x) ∈L(R), anche a f(x) ∈ L2(R).

Su intervallo infinito una funzione puo essere quadrato sommabile senzaessere sommabile (vedi esempio E.6 in Appendice E), ma su intervallo finitoL2(a, b) ⊂ L(a, b); quindi per una generica f(x) ∈ L2(R) l’integrale

1√2π

∫ N

−Ne−ikxf(x)dx = FN(k) (5.22)

esiste certamente, ma non e detto che ne esista il limite (puntuale) per N →∞. Si puo invece dimostrare che ∀f(x) ∈ L2(R) esiste sempre una F (k) ∈L2(R) tale che

F (k) = l.i.m.N→∞FN(k) , (5.23)

dove l.i.m. significa limite in media quadratica, cioe che

9La continuita del prodotto scalare, cioe l’uguaglianza (limN→∞ fN,g) =limN→∞ (fN,g), puo essere facilmente dimostrata a partire dalla disuguaglianza diSchwartz (5.5) e dalla definizione (5.16) di f = limN→∞ fN.

129

limN→∞

‖F− FN‖2 = limN→∞

∫ +∞

∞|F (k)− FN(k)|2 dk = 0 .

Si puo anche dimostrare che la f(x) e la antitrasformata di Fourier dellaF (k) nello stesso senso di media quadratica, ovvero

f(x) = l.i.m.N→∞fN(x) ⇔ limN→∞

∫ +∞

∞|f(x)− fN(x)|2 dx = 0 , (5.24)

dove

fN(x) =1√2π

∫ N

−NeikxF (k) dk . (5.25)

In fisica si continua a scrivere

F (k) =1√2π

∫ +∞

−∞e−ikxf(x)dx , f(x) =

1√2π

∫ +∞

−∞eikxF (k)dk (5.26)

anche per f(x) ∈ L2, ma la scrittura corretta e data dalle equazioni (5.22),(5.23), (5.24), (5.25). Naturalmente le (5.26) sono anche formalmente cor-rette se f(x) ∈ L(R)

⋂L2(R), F (k) ∈ L(R) e f(x) e di classe C1 nel punto

x. Come lo sviluppo in serie di Fourier, anche la Trasformata di Fourier con-serva i prodotti scalari (ha senso parlare di questi perche lavoriamo in L2);vale cioe l’uguaglianza di Parseval generalizzata∫ +∞

−∞F ∗(k)G(k) dk =

∫ +∞

−∞f ∗(x)g(x) dx , (5.27)

dove f, g ∈ L2(R) e F,G ∈ L2(R) sono le loro trasformate di Fourier.La dimostrazione e immediata 10, usando il teorema di Fubini Tonelli

(vedi Appendice E) per scambiare l’ordine di integrazione:

∫ ∞

−∞F ∗(k)G(k) dk =

1√2π

∫ +∞

−∞dk F ∗(k)

∫ +∞

−∞dx e−ikxg(x)

=1√2π

∫ +∞

−∞dx g(x)

(∫ +∞

−∞dk e−ikxF ∗(k)

)∗=∫ +∞

−∞f ∗(x)g(x) dx .

Il contenuto di questo paragrafo va sotto il nome di “Teorema di Plan-cherel” per i matematici.

Caso particolare della (5.27) e la conservazione della norma; un interes-sante esempio a questo proposito e il seguente:

10Per semplicita qui si usano le ipotesi (non necessarie) che g(x) sia anche sommabile evalga puntualmente la (4.6).

130

• Esempio


f(t) = e−t/T sin(ω0t)θ(t) ,

che descrive il moto di un oscillatore armonico smorzato, e

F (ω) =1√2π

∫ ∞

−∞f(t)e−iωtdt =

1√2π

∫ ∞

0e−t/T sin(ω0t)e

−iωtdt

=1

2i√

2π

[∫ ∞

0e(−1/T−iω+iω0)tdt−

∫ ∞

0e(−1/T−iω−iω0)tdt

]

=1

2i√

2π

[1

1/T + i(ω − ω0)− 1

1/T + i(ω + ω0)

],

cioe

F (ω) =1

2√

2π

[1

(ω − ω0)− i/T− 1

(ω + ω0)− i/T

].

Per dare un’interpretazione fisica alle funzioni f(t) e F (ω), supponiamoche f(t) sia il campo elettrico di un’onda irradiata. Allora la potenza irra-diata e W ∝ |f(t)|2 e l’energia totale irradiata e proporzionale a

∫∞0 |f(t)|2dt.

Dal teorema di Parseval

∫ ∞

0|f(t)|2dt =

1

2π

∫ ∞

−∞|F (ω)|2dω .

Quindi |F (ω)|2 rappresenta (a meno di costanti) l’energia irradiata per in-tervallo unitario di frequenza:

|F (ω)|2 =1

2π

ω20

(ω20 − ω2)2 + 2

ω20+ω2

T 2 + 1T 4

.

Se T e molto grande (T >> ω−10 ), l’energia irradiata per intervallo uni-

tario di frequenza e fortemente piccata in ω = ω0 e la larghezza del picco einversamente proporzionale a T :

|F (ω)|2 ' ω20T

2

(ω20 − ω2)2T 2 + 2(ω2

0 + ω2)

131

5.2 Sistemi ONC in L2

Passiamo ora a considerare alcuni esempi di spazi L2 e di relativi sistemiONC al loro interno.

• Le funzioni trigonometriche

Il sistema delle funzioni esponenzialieikx

√2π

, k = 0,±1,±2, ... (5.28)

che avevamo gia visto in (5.9), costituisce una base ON in L2(0, 2π).Usando le formule di Eulero, esso puo essere riscritto come sistema

trigonometrico: 1√2π,cosnx√

π,sinnx√

π;n = 1, 2, · · ·

(5.29)

• Il sistema delle potenze e i polinomi ortogonali

Oltre al sistema delle funzioni trigonometriche, di cui ci siamo occupatifinora, un altro esempio di sistema completo in uno spazio L2 e il sistemadelle potenze

xn = 1, x, x2, x3, ... (5.30)

Si puo dimostrare che il sistema (5.30) e completo in L2 in qualsiasi intervallofinito (a, b), ma evidentemente esso non e ortogonale:

∫ b

axnxmdx 6= 0 (5.31)

anche per n 6= m.

132

E possibile tuttavia ortogonalizzarlo, passando dalle funzioni xn a lorocombinazioni lineari, che saranno polinomi Pn(x), costruiti in modo tale che11 ∫ b

aPn(x)Pm(x)dx = hnδnm .

A questo scopo si sceglie P0(x) = 1, si pone P1(x) = x + α e si fissa αin modo che P1(x) sia ortogonale a P0(x); poi si pone P2(x) = x2 + βx + γe si fissano β e γ in modo che P2(x) sia ortogonale a P1(x) e a P0(x), e cosıvia. E ovvio che i coefficienti α, β, γ ... dipenderanno dall’intervallo (a, b)che definisce L2(a, b); inoltre i polinomi Pn(x) cosı ottenuti potranno esseremoltiplicati per opportune costanti per normalizzarli a 1 o a un’altra costantehn a scelta.

Il sistema di polinomi ortogonali cosi’ ottenuto e completo in L2(a, b).Di conseguenza ogni funzione f(x) ∈ L2(a, b) puo essere approssimata inmedia quadratica, bene quanto si vuole, con una serie di polinomi ortogonali:

f(x) =∞∑

n=0

αnPn(x) .

Per esempio nell’intervallo (−1, 1) la procedura di ortogonalizzazione con-duce ai polinomi di Legendre, definiti dalla formula di Rodrigues:

Pn(x) =1

2nn!

dn

dxn(x2 − 1)n , (5.32)

dove si e usata la normalizzazione convenzionale:

∫ 1

−1Pm(x)Pn(x)dx =

2

2n+ 1δmn . (5.33)

Per dimostrare che (Pm, Pn) = 0 per n 6= m basta scrivere, per m < n

(Pm, Pn) = cost∫ 1

−1dxPm(x)

dn

dxn(x2−1)n = cost

∫ 1

−1dx

[dn

dxnPm(x)

](x2−1)n ,

(5.34)dove si e integrato n volte per parti tenendo conto che i contributi negliestremi si annullano poiche

dl

dxl(x2 − 1)n

∣∣∣∣∣+1

−1

= 0 per ogni l ≤ n− 1 , (5.35)

11Per ragioni di comodita e tradizione non sempre le costanti positive hn sono scelteuguali a 1.

133

e accorgersi chedn

dxnPm(x) = 0 ∀n ≥ m+ 1 . (5.36)

Dalla (5.32) segue che i primi polinomi di Legendre sono

P0(x) = 1 , P1(x) = x , P2(x) =1

2(3x2 − 1) , · · · .

Inoltre e facile dimostrare che i polinomi di Legendre obbediscono all’equazionedifferenziale di Legendre

(1− x2)P ′′n (x)− 2xP ′

n(x) + n(n+ 1)Pn(x) = 0 con n = 0, 1, 2, · · · (5.37)

che si puo scrivere nella forma compatta

LxPn(x) = λnPn(x) con Lx =d

dx(x2 − 1)

d

dxe λn = n(n+ 1) . (5.38)

Dimostrazione: Fn(x) =[

ddx

(x2 − 1) ddx

]Pn(x) e ancora evidentemente un

polinomio di grado n; puo quindi essere scritto nella forma

Fn(x) =n∑

l=0

α(n)l Pl(x) (5.39)

con gli α(n)l proporzionali a∫ 1

−1dxPl(x)Fn(x) =

∫ 1

−1dxPl(x)

d

dx(x2 − 1)

d

dxPn(x)

= −∫ 1

−1dx

[(x2 − 1)

d

dxPl(x)

]d

dxPn(x) =

∫ 1

−1dxFl(x)Pn(x) ,

(5.40)

dove si e ripetutamente integrato per parti; usando di nuovo la (5.39) e la

(5.33) si ricava subito che α(n)l = 0 per l < n; che α(n)

n valga proprio n(n+ 1)segue dal conto esplicito della potenza piu alta di Fn:

d

dx(x2−1)

d

dxxn+· · · = d

dx(x2−1)nxn−1+· · · = n

d

dxxn+1+· · · = n(n+1)xn+· · · .

(5.41)

• Polinomi ortogonali su intervallo infinito

134

Se l’intervallo e infinito non e possibile utilizzare direttamente le potenzeperche esse non sono quadrato sommabili (l’integrale (5.31) non esiste). Tut-tavia sull’intervallo (−∞,+∞) si puo introdurre un fattore di convergenzae−x2

, definire il sistema di funzioni e−x2/2xn, quadrato sommabili sull’assereale qualunque sia n = 0, 1, 2, ..., e ortogonalizzarlo secondo il metodo appe-na descritto. Questo conduce ai polinomi di Hermite, dati dalla formuladi Rodrigues generalizzata

Hn(x) = (−1)nex2 dn

dxne−x2

, n = 0, 1, 2 · · · (5.42)

e normalizzati come segue:

∫ +∞

−∞e−x2

Hm(x)Hn(x)dx = 2nn!√πδmn .

L’ortogonalita dei polinomi dati dalla (5.42) si dimostra come per i poli-nomi di Legendre. I primi polinomi di Hermite sono

H0(x) = 1 , H1(x) = 2x , H2(x) = 4x2 − 2 · · · .

L’equazione differenziale a cui obbediscono i polinomi (5.42) e l’equazionedifferenziale di Hermite:

H ′′n(x)− 2xH ′

n(x) + 2nHn(x) = 0 con n = 0, 1, 2, , · · · , (5.43)

ovvero

ex2

[d

dxe−x2 d

dx

]Hn(x) = −2nHn(x) , (5.44)

mentre le funzioni associate di Hermite

ψn(x) = e−x2/2Hn(x) , n = 0, 1, 2 · · · (5.45)

che formano una base ortogonale in L2(R), (ψn, ψm) = δnmhn, sono solu-zioni dell’equazione dell’oscillatore armonico quantistico:

Lxψn(x) = λnψn(x) con Lx = − d2

dx2+ x2 e λn = 2n+ 1 , (5.46)

che si dimostra in stretta analogia alla (5.38). L’esistenza del sistema ONC(5.45), ovviamente numerabile, implica che anche lo spazio delle funzioniquadrato sommabili sull’intero asse reale e separabile.

135

• Polinomi di Laguerre

Analogamente nell’intervallo (0,+∞) si puo partire dal sistema e−x/2xn+γ/2,con γ > −1, e ortogonalizzarlo, ottenendo cosı i polinomi di Laguerre Lγ

n, sucui non ci soffermiamo. Le funzioni e−x/2xγ/2Lγ

n(x) formano, per ogni γ > −1fissato, un sistema ONC in L2(0,∞)

5.2.1 Operatori autoaggiunti e sistemi ortogonali

Abbiamo dato qualche esempio di sistemi ONC, ma ci si puo chiedere seesista un modo piu generale per costruirli. Per rispondere a questa domandaosserviamo che i polinomi di Legendre Pn e le funzioni associate di Hermiteψn, che sono sistemi ONC in un opportuno spazio L2(a, b), condividonola proprieta di essere autofunzioni di un operatore L, la cui espressione dif-ferenziale e data dagli Lx rispettivamente di eq. (5.38) e eq. (5.46), munitodi opportune condizioni al contorno che lo rendono autoaggiunto. Cio si-gnifica, nei nostri casi particolari, che il dominio di L comprende solo quellefunzioni che, oltre a essere derivabili quanto basta, siano anche limitate equadrato sommabili, cosicche si possa ripetutamente integrare per parti inmodo da poter dimostrare

(u,Lv) = (Lu,v) ≡ (v,Lu)∗ , (5.47)

∀u,v che appartengono al dominio di L; per esempio su L2(R):

(u,Lv) =∫ +∞

−∞u∗(x)Lxv(x) =

∫ +∞

−∞u∗(x)

(− d2

dx2+ x2

)v(x)

=∫ +∞

−∞

[(− d2

dx2+ x2

)u(x)

]∗v(x) . (5.48)

Lo stesso vale anche per i sistemi trigonometrici, se si prende Lx = −i ddx

, concondizioni al contorno periodiche u(π) = u(−π). Infatti

(u,Lv) =∫ +π

−πdxu∗(x)

(−i ddx

)v(x) = −i u∗(x)v(x)|+π

−π

+∫ +π

−πdx

[id

dxu∗(x)

]v(x) =

∫ +π

−πdx

[−i ddxu(x)

]∗v(x)

= (Lu,v) . (5.49)

136

Notare l’importanza delle condizioni al contorno periodiche per poter“buttar via” il contributo agli estremi nell’integrazione per parti. Confron-tando (φn,Lφn) = λn(φn,φn) con la sua complessa coniugata e usando la(5.47) si vede subito che

• gli autovalori di un operatore autoaggiunto sono reali.

E anche facile dimostrare che

• l’insieme delle autofunzioni degli operatori autoaggiunti e or-togonale: da

Lφn = λnφn , Lφm = λmφm , (5.50)

moltiplicando scalarmente la prima equazione per φm e la seconda perφn, usando la (5.47) e sottraendo dalla prima equazione il complessoconiugato della seconda segue

0 = (λn − λm) (φn,φm) (5.51)

da cui(φn,φm) = 0 se λn 6= λm . (5.52)

Notare che queste due proprieta sono identiche a quelle degli operatori (ma-trici) hermitiani negli spazi unitari finito dimensionali. Il discorso invece sullacompletezza dei sistemi di autofunzioni di un operatore autoaggiunto in unospazio infinito dimensionale e molto piu delicato e non sara affrontato qui: cilimitiamo a dire che tale sistema e completo per gli esempi visti qui (polino-mi di Legendre in L2(−1, 1), funzioni associate di Hermite in L2(R), sistematrigonometrico in L2(−π, π)) e in molti altri, ma cio non e sempre vero.Perche il sistema di autofunzioni di un operatore autoaggiunto sia completoe talvolta necessario includervi autofunzioni generalizzate, rappresentate da“distribuzioni” anziche da funzioni quadrato sommabili; daremo un esempionel prossimo paragrafo. Vogliamo terminare questo paragrafo sottolineandol’importanza delle condizioni al contorno. Per esempio l’equazione

− id

dxu(x) = λu(x) (5.53)

ammette la soluzione eiλx per ogni λ ∈ C; e solo la richiesta di periodicitau(π) = u(−π) che seleziona i λ ∈ Z, e questa ci da una base ortogonale inL2(−π, π); sull’intervallo (−∞,+∞) i valori reali di λ sono selezionati dallarichiesta che u(x) sia limitata su tutto l’asse reale.

137

5.3 La δ di Dirac e le distribuzioni

Le funzioni eiλx, con λ ∈ R, sono autofunzioni non quadrato sommabilidell’operatore autoaggiunto −id/dx e costituiscono una “base generalizza-ta” in L2(R) nel senso che ogni f(x) ∈ L2(R) e sviluppabile, per cosı dire,in una loro “combinazione lineare continua” mediante l’antitrasformata diFourier (5.26). Non si puo invece dire che le funzioni φλ(x) = eiλx costitui-scano un sistema ortogonale in senso stretto in L2(R); infatti, proprio perchenon sono quadrato sommabili, se cerchiamo di calcolare il prodotto scalare(φλ,φµ

)=∫+∞−∞ dxe−iλxeiµx troviamo un integrale privo di senso. Tuttavia

se ci ricordiamo la definizione (4.7) di Trasformata di Fourier e quella (4.6)di antitrasformata, per ogni funzione f(x) sommabile e di classe C1 su tuttoR possiamo scrivere

f(x) =1√2π

∫ +∞

−∞dkF (k)eikx =

1

2π

∫ +∞

−∞dkeikx

∫ +∞

−∞dye−ikyf(y) . (5.54)

Per la stessa ragione per cui non esiste il prodotto scalare(φλ,φµ

)non e

possibile scambiare l’ordine di integrazione in (5.54). Se scriviamo pero

f(x) = limN→∞

1

2π

∫ +N

−Ndkeikx

∫ +∞

−∞dye−ikyf(y) (5.55)

il teorema di Fubini Tonelli ci permette di scambiare l’ordine di integrazioneottenendo

f(x) = limN→∞

∫ +∞

−∞dN(y − x)f(y)dy , (5.56)

dove

dN(t) =1

2π

∫ +N

−Ndke−ikt =

1

π

sinNt

t. (5.57)

Ovviamente non ha senso scambiare il limite con l’integrale poiche il limitepuntuale per N →∞ di dN(t) non esiste. Tuttavia si puo scrivere

limN→∞

dN(t) = δ(t) , (5.58)

dove la “funzione δ di Dirac” non e una funzione ma un nuovo oggettochiamato distribuzione; il limite e inteso “in senso debole” o “nel sensodelle distribuzioni” e significa esattamente la eq. (5.56); per dare sensoalla (5.58) si deve cioe moltiplicare per una “funzione di prova” (che percomodita in matematica si sceglie infinitamente derivabile e decrescente al-l’infinito piu rapidamente di ogni potenza; chiamiamo S lo spazio lineare di

138

tali funzioni di prova), integrare sulla variabile e poi fare il limite. Si scriveallora per ogni funzione di prova g(x)

limN→∞

∫ +∞

−∞dydN(y − x)g(y) =

∫ +∞

−∞δ(y − x)g(y)dy = g(x) . (5.59)

L’ultima uguaglianza, che si puo anche scrivere∫ +∞

−∞δ(t)g(t)dt = g(0) , (5.60)

va intesa come definizione della δ di Dirac, dove il segno di integrale epuramente simbolico. Simbolicamente si scrive anche

δ(t) = limN→∞

1

π

sinNt

t=

1

2π

∫ +∞

−∞dke−ikt , (5.61)

dove il limite (anche degli estremi di integrazione) va inteso in senso debole;si deve cioe prima moltiplicare per una funzione di t, integrare su t, e poiintegrare su k. Piu in generale la δ di Dirac non e che un esempio (il piuimportante) di distribuzione, definita nel modo seguente:

• una distribuzione (temperata) T e un funzionale lineare continuo sullospazio S delle funzioni di prova, cioe un’applicazione lineare continua12

di S in C:T : S → C (5.62)

che si indica con la notazione seguente:

T : g 7→ (T, g) ∈ C , (5.63)

dove g e una qualsiasi funzione di prova.

Il simbolo (T, g) richiama quello di prodotto scalare, e infatti in fisica si scriveabitualmente

(T, g) ≡∫ +∞

−∞T (x)∗g(x)dx ; (5.64)

tuttavia l’integrale a II membro non sempre e un vero integrale (di Lebesgue);lo e se, per esempio, T (x) e g(x) sono entrambe funzioni quadrato sommabili.Nella teoria delle distribuzioni g(x) e una funzione non solo quadrato som-mabile ma molto piu buona (S ⊂ L2(R)); in compenso non e necessario cheT (x) sia quadrato sommabile; basta che sia localmente sommabile e non

12Per dare un senso compiuto all’aggettivo “continua” dovremmo definire il concetto dilimite in S, che e molto piu forte del semplice limite puntuale, ma non abbiamo tempo difarlo qui.

139

troppo crescente per x → ±∞ (ci pensa g(x) ad assicurare la convergenzadell’integrale) o addirittura, come nel caso della δ di Dirac, non e nemmenonecessario che sia una funzione; in quest’ultimo caso la (5.64) non e che unmodo simbolico di scrivere la (5.63), dove la prescrizione per associare adogni g ∈ S il numero complesso (T, g) e data in qualche altro modo, peresempio per la δ di Dirac

δ : g 7→ g(0) ∈ C , ∀g(x) ∈ S (5.65)

che i fisici scrivono nella forma (5.60). Il concetto di distribuzione gene-ralizza quindi quello di funzione (i russi chiamano le distribuzioni funzionigeneralizzate). La δ di Dirac puo essere rappresentata come limite deboledi una successione non solo mediante la (5.61)ma in molti altri modi. Perogni funzione D(x) ∈ L(R) e tale che∫ +∞

−∞D(x)dx = 1 (5.66)

si puo provareδ(x) = lim

N→∞ND(Nx) debole; (5.67)

basta infatti moltiplicare per una funzione di prova qualsiasi g(x) e integrareper ottenere∫ +∞

−∞δ(x)g(x)dx = lim

N→∞

∫ +∞

−∞ND(Nx)g(x)dx = lim

N→∞

∫ +∞

−∞D(y)g

(y

N

)dy

= g(0) , (5.68)

dove:

a) si e prima integrato e poi preso il limite, in accordo con la definizionedi limite debole;

b) si e fatto il limite sotto il segno usando il teorema (E.1) dell’Appen-dice E, tenendo conto che g ∈ S ⇒ ∃M > 0/|g(x)| < M, ∀x ∈ R equindi che |D(y)g(y/N)| < M |D(y)|.

Tra le possibili rappresentazioni della delta di Dirac citiamo le seguenti (dovesi e anche posto ε = 1

N):

1.

D(x) =1√πe−x2 ⇒ δ(x) = lim

N→∞

N√πe−(Nx)2 = lim

ε→0+

1

ε√πe−x2/ε2 (5.69)

140

2.

D(x) =

0 x < −1

2

1 |x| < 12

0 x > 12.⇒ δ(x) = lim

N→∞

0 x < − 1

2N

N |x| < 12N

0 x > 12N

.

= limε→0+

0 x /∈(− ε

2, ε

2

)1ε

x ∈(− ε

2, ε

2

)(5.70)

3.

D(x) =1

π

1

x2 + 1⇒ δ(x) = lim

N→∞

N

π

1

(Nx)2 + 1= lim

ε→0+

1

π

ε

x2 + ε2

(5.71)

E importante osservare che il limite debole nella (5.67) non ha niente ache fare con il limite puntuale, che ha tuttavia importanza storica poicheesso coincide con la definizione intuitiva data da Dirac alla sua funzioneδ: “una funzione che e nulla dappertutto salvo che nell’origine, dove valeinfinito, in modo tale che il suo integrale sull’asse reale valga uno” (notare

che∫+∞−∞ ND(Nx)dx = 1, ∀N). Ritornando al “prodotto scalare”

(φλ,φµ

),

con φλ(x) = eiλx, si puo quindi scrivere(φλ,φµ

)= 2πδ(λ− µ) , (5.72)

che generalizza a intervallo infinito la relazione di ortogonalita in L2(−π, π)

(φl,φm) = 2πδlm (5.73)

con φl(x) = eilx. La δ di Dirac puo quindi essere vista come generalizzazionedella δ di Kronecker a indice continuo; si confrontino anche le proprietacaratteristiche

δlm = 0 , l 6= m ↔ δ(λ− µ) = 0 , λ 6= µ (5.74)∑l

δlm = 1 ↔∫dλδ(λ− µ) = 1 . (5.75)

Enunciamo ora un’importante proprieta della delta di Dirac. Sia f(x) una funzione con nzeri semplici:

f(x) = 0 per x = x1, x2, ..., xn ; f ′(xi) 6= 0 .

141

Allora:

δ(f(x)) =n∑

i=1

δ(x− xi)∣∣∣ dfdx

∣∣∣x=xi

. (5.76)

Per esempio, se f(x) = x2 − a2, la (5.76) fornisce

δ(x2 − a2) =δ(x− a)

2|a|+

δ(x + a)2|a|

=1

2|a|[δ(x− a) + δ(x + a)] .

Caso particolare importante della (5.76) e

δ(ax) =1

|a|δ(x) , ∀a ∈ R, a 6= 0 . (5.77)

Un’altra proprieta della δ di Dirac e

f(x)δ(x− x0) = f(x0)δ(x− x0) , ∀f ∈ C∞ (5.78)

come si dimostra moltiplicando ambo i membri per una qualsiasi funzione diprova g(x) e integrando su x.

• Ogni distribuzione T e infinitamente derivabile secondo la defi-nizione (

dT

dx, g

)= −

(T,dg

dx

), (5.79)

che e la generalizzazione dell’identita∫ +∞

−∞

dT ∗

dxg(x)dx = −

∫ +∞

−∞T ∗(x)

dg

dxdx (5.80)

valida per ogni funzione di prova g ∈ S se T ∈ L⋂C1 (nell’integrazione

per parti il contributo agli estremi sparisce perche g(x) va rapidamente azero per x→ ±∞). La definizione (5.80) di derivata generalizzata permettedi derivare nel senso delle distribuzioni anche funzioni non derivabiliin senso ordinario, purche localmente sommabili. Per esempio e possibilederivare anche funzioni dotate di discontinuita di prima specie, il cui esempoparadigmatico e la funzione θ di Heaviside:

dθ

dx= δ(x) (5.81)

nel senso delle distribuzioni13. Infatti,∫ ∞

−∞

dθ

dxg(x)dx = −

∫ ∞

−∞θ(x)g′(x)dx = −

∫ ∞

0g′(x)dx = − g(x)|+∞0 = g(0) .

(5.82)

13In senso ordinario vale invece dθdx =q.o. 0.

142

• La derivata nel senso delle distribuzioni e continua rispetto al limitedebole:

T = limn→∞

Tn debole ⇒ dT

dx= lim

n→∞

dTn

dxdebole . (5.83)

La (5.83) fornisce un altro modo per ricavare la (5.81): partendo dallarappresentazione

θ(x) =1

2+ lim

ε→0+

1

πarctan

x

ε; (5.84)

della θ di Heaviside, derivando ambo i membri e scambiando il limite con laderivata (il che e sempre lecito solo nel senso delle distribuzioni) si ottiene larappresentazione (5.71) della δ.

• Ogni distribuzione temperata T ammette Trasformata di Fourier,secondo la definizione:

(Fk(T ),Fk(g)) ≡ (T, g) , ∀g ∈ S (5.85)

che generalizza l’analoga identita (5.27) valida per funzioni quadrato som-mabili. La definizione (5.85) e sensata poiche, come dimostrato nel para-grafo 4.1.2, la trasformata di Fourier manda lo spazio S in se stesso, quindiFk(g) ∈ S, ∀g ∈ S, e quindi Fk(T ) e a sua volta una distribuzione temperata.Grazie alla definizione (5.85) si puo calcolare la T.F. anche di funzioni chenon siano ne sommabili ne quadrato sommabili su R; basta che siano local-mente sommabili e “non troppo crescenti” 14. In particolare si puo calcolarela T.F. F (k) della funzione f(x) = eik0x (k0 ∈ R); detta

G(k) =1√2π

∫ +∞

−∞e−ikxg(x)dx (5.87)

la sua T.F., per la (5.85), si scrive:

(F,G) = (f, g) =∫ +∞

−∞e−ik0xg(x)dx =

√2πG(k0) , (5.88)

da cui si deduce

F (k) ≡ Fk

(eik0x

)=√

2πδ(k − k0) . (5.89)

14Non si puo invece calcolare la T.F. di funzioni f che all’infinito crescano piu di ognipotenza, per esempio esponenzialmente; queste infatti non sono distribuzioni temperatee per dare senso a

(f, g) =∫ +∞

−∞f∗(x)g(x)dx (5.86)

bisognerebbe usare funzioni di prova “a supporto compatto” che non sono pero mandatein se stesse dalla T.F.

143

In particolare la T.F. di f(x) = 1 e√

2πδ(k). Viceversa scegliendo f(x) =δ(k − k0) la catena di identita

(F,G) = (f, g) =∫ +∞

−∞δ(k − k0)g(x)dx = g(x0) =

1√2π

∫ +∞

−∞eik0xG(k)dk

(5.90)implica

F (k) ≡ Fk (δ(x− x0)) =1√2πe−ikx0 . (5.91)

Notare che le (5.89) e (5.91) potevano anche essere dedotte (in modo rozzoe scorretto ma mnemonicamente efficace) scrivendo semplicemente

F (k) =1√2π

∫ +∞

−∞e−ikxf(x)dx (5.92)

ed utilizzando rispettivamente la rappresentazione (5.61) della δ di Dirac ela sua definzione (5.59). Invitiamo lo studente a verificare che tale mododiventa corretto se si usano invece i limiti deboli

eik0x = limN→∞

eik0xe−x2/N2

(5.93)

δ(x− x0) = limN→∞

N√πe−N2x2

, (5.94)

la T.F. della gaussiana (4.15), e la proprieta:

• La T.F. nel senso delle distribuzioni e continua rispetto al limite debole:

T = limN→∞

TN debole ⇒ F(T ) = limN→∞

F(TN) debole . (5.95)

Usando infatti le (5.94) l’integrale (5.92) acquista senso proprio, poiche il suointegrando diventa sommabile.

• Da quanto abbiamo sommariamente detto si deduce che la T.F. e lostrumento piu utile per risolvere equazioni differenziali a coeffi-cienti costanti, purche venga estesa alle distribuzioni temperate. L’u-nica delle tecniche discusse in questo corso che non venga del tutto rias-sorbita dalla T.F. estesa alle distribuzioni e la Trasformata di Laplace,che permette anche di studiare soluzioni che crescono esponenzialmenteper t→∞ (di solito per evitarle!).

144

Appendice A

Funzioni armoniche

Una funzione di due variabili g(x, y) si dice armonica se soddisfa l’equazionedi Laplace

42g(x, y) = 0 , (A.1)

dove 42 e l’operatore Laplaciano in due dimensioni

42 =∂2

∂x2+

∂2

∂y2.

Teorema: Se f(z) = u(x, y)+iv(x, y) e una funzione analitica (e le funzioniu e v sono di classe C2 1), le funzioni u(x, y) e v(x, y) sono armoniche.

Dimostrazione: Se f(z) e analitica, u e v soddisfano le condizioni diCauchy-Riemann:

∂u(x, y)

∂x=

∂v(x, y)

∂y(A.2)

∂u(x, y)

∂y= −∂v(x, y)

∂x(A.3)

Derivando la (A.2) rispetto a x e la (A.3) rispetto a y si ottiene

∂2u(x, y)

∂x2=

∂2v(x, y)

∂x∂y

∂2u(x, y)

∂y2= −∂

2v(x, y)

∂y∂x= −∂

2v(x, y)

∂x∂y.

1Vedremo piu’ oltre che in realta questa condizione e sempre soddisfatta perche ognifunzione analitica e infinitamente derivabile

145

Nell’ultima equazione e lecito scambiare l’ordine di derivazione perche v(x, y)e di classe C2. Sottraendo membro a membro le precedenti equazioni siottiene:

∂2u(x, y)

∂x2+∂2u(x, y)

∂y2= 4u(x, y) = 0 .

Analogamente, derivando la (A.2) rispetto a y e la (A.3) rispetto a x esottraendo membro a membro si ottiene

∂2v(x, y)

∂x2+∂2v(x, y)

∂y2= 4v(x, y) = 0 .

[q.e.d.]Data una funzione u(x, y) armonica in una certa regione del piano (x, y)

e possibile costruire (a meno di una costante) la corrispondente funzionearmonica v(x, y) tale che f(z) = u(x, y) + iv(x, y) sia analitica. Infatti, notau, le condizioni di Cauchy-Riemann ci consentono di ricavare le derivateparziali v′x e v′y e da queste, integrando, la funzione v(x, y).

Esempi

Sia

u(x, y) = cosxe−y .

Dimostrare che u(x, y) e armonica e costruire la corrispondente funzioneanalitica f(z).

Per dimostrare che u e armonica occorre dimostrare che essa soddisfal’equazione di Laplace (A.1):

∂u(x, y)

∂x= − sin xe−y,

∂u(x, y)

∂y= − cosxe−y

∂2u(x, y)

∂x2= − cosxe−y,

∂2u(x, y)

∂y2= cos xe−y

Pertanto42u(x, y) = 0 e u e armonica. Dalle condizioni di CR si ricavache

∂v(x, y)

∂y=

∂u(x, y)

∂x= − sin xe−y (A.4)

∂v(x, y)

∂x= −∂u(x, y)

∂y= cos xe−y . (A.5)

146

Integrando la (A.4) rispetto a y si ottiene

v(x, y) = −∫

sin xe−ydy + g(x) = sinxe−y + g(x) .

Sostituendo quest’ultima nella (A.5)

∂v(x, y)

∂x= cos xe−y + g′(x) = cosxe−y .

Pertanto

g′(x) = 0 ⇒ g(x) = costante = K ⇒ v(x, y) = sinxe−y +K

e la funzione f(z) cercata e (ponendo la costante K = 0)

f(z) = u(x, y) + iv(x, y) = cosxe−y + i sin xe−y = eix−y = ei(x+iy) = eiz ,

analitica in tutto C.

La funzione

u(x, y) = x2 − y2

e armonica. Infatti

u′′xx = 2 , u′′yy = −2 ⇒42u(x, y) = 0

Dalle condizioni di CR segue che:

v′y = u′x = 2x ⇒ v(x, y) = 2xy + φ(x)

e

v′x = −u′y = 2y ⇒ 2y + φ′(x) = 2y ⇒ φ(x) = K .

Pertanto

v(x, y) = 2xy +K ⇒ f(z) = x2 − y2 + 2ixy +K = (x+ iy)2 +K = z2 +K .

La funzione

u(x, y) =x

x2 + y2

e armonica in R2 − 0. Infatti:

u′x =y2 − x2

(x2 + y2)2, u′′xx =

2x(x2 − 3y2)

(x2 + y2)3

147

u′y =−2xy

(x2 + y2)2, u′′yy =

−2x(x2 − 3y2)

(x2 + y2)3= −u′′xx .

Dalle CR:

v′x = −u′y =2xy

(x2 + y2)2⇒ v(x, y) =

∫ 2xy

(x2 + y2)2dx+ g(y)

= − y

x2 + y2dx+ g(y) .

Per fissare g(y) usiamo l’altra condizione di CR:

v′x = − 1

x2 + y2+

2y2

(x2 + y2)2+ g′(y)

=y2 − x2

(x2 + y2)2+ g′(y) = u′x =

y2 − x2

(x2 + y2)2

⇒ g(y) = K .

Quindi

f(z) = u(x, y) + iv(x, y) =x

x2 + y2− i

y

x2 + y2+K

=z∗

|z|2+K =

1

z+K .

148

Appendice B

Corollari della rappresentazioneintegrale di Cauchy

1) Principio della media

Il principio della media si ricava dalla rappresentazione integrale diCauchy (1.16) nel caso in cui la curva γ sia una circonferenza.

Se f(z) e una funzione analitica in una regione S semplicemente con-nessa e C e una circonferenza di raggio r e centro z0 ∈ S interna aS:

C = z ∈ S / |z − z0| = r ,

allora

f(z0) =1

2π

∫ 2π

0f [z(ϕ)]dϕ ∀z ∈ C . (B.1)

Dimostrazione

Applichiamo la rappresentazione integrale di Cauchy con γ = C epassiamo a coordinate polari (z ∈ C)

z(ϕ) = z0 + reiϕ −→ dz = ireiϕdϕ = i(z − z0)dϕ

da cui segue

f(z0) =1

2πii∫ 2π

0

z − z0

z − z0

f [z(ϕ)]dϕ =1

2π

∫ 2π

0f [z(ϕ)] dϕ .

[q.e.d.]

149

2) Teorema: ne la parte reale ne la parte immaginaria di una funzionef(z) = u(x, y) + iv(x, y) analitica in un dominio D s.c. possono avereestremi all’interno di D.

Dimostrazione

Dimostriamo il teorema per la parte reale u(x, y). La dimostrazione eanaloga per v(x, y).

Sia z0 un punto interno a D, tale cioe che esista un intorno I(z0) tuttocontenuto in D. Mostriamo che possono esistere solo due alternative:

a)

∃I(z0) ⊂ D / ∀z ∈ I(z0) u(z) = u(z0) ,

esiste cioe un intorno di z0 in cui la funzione u(x, y) e costante;

b)

∀I(z0) ⊂ D ∃z1, z2 ∈ I(z0) / u(z2) < u(z0) < u(z1) ,

cioe in qualunque intorno di z0 la funzione u assume valori sia maggioriche minori di u(z0).

Neghiamo infatti l’alternativa b), ammettiamo cioe che esista un intor-no I(z0) ⊂ D tale che ∀z ∈ I(z0) sia, per esempio, u(z) ≥ u(z0).

Dalla parte reale del principio della media (B.1) segue allora che

u(z0) =1

2π

∫ 2π

0u[z(ϕ)]dϕ . (B.2)

D’altra parte e vera la relazione

u(z0) =1

2π

∫ 2π

0u(z0)dϕ . (B.3)

Uguagliando le (B.2) e (B.3) si ottiene∫ 2π

0u[z(ϕ)]− u(z0)dϕ = 0 ,

che implica, poiche la funzione integranda e per ipotesi continua e nonnegativa,

u(z) = u(z0)

150

ovvero l’alternativa a).

L’altro modo di negare l’alternativa b) e di affermare che esiste unintorno I(z0) ⊂ D tale che ∀z ∈ I(z0) sia u(z) ≤ u(z0));allora dalle(B.2) e (B.3) deduciamo di nuovo che

∫ 2π

0u(z0)− u[z(ϕ)]dϕ = 0;

poiche la funzione integranda e per ipotesi continua e non negativa, nesegue ancora l’alternativa a):

u(z) = u(z0) .

[q.e.d.]

3) Teorema:sia f(z) una funzione analitica in un dominio D s.c. . Ilsuo valore assoluto |f(z)| non puo avere massimi all’interno di D e puoavere minimi solo nei punti in cui f(z) = 0.

Dimostrazione

Per quanto riguarda il massimo, la dimostrazione e perfettamente ana-loga alla precedente. Supponiamo che:

∃I(z0) ⊂ D / |f(z)| ≤ |f(z0)| ∀z ∈ I(z0) .

Per ogni circonferenza C centrata in z0 e interna a I(z0) vale, per ilprincipio della media, la seguente relazione

|f(z0)| =∣∣∣∣ 1

2π

∫ 2π

0f [z(ϕ)]

∣∣∣∣ dϕ ≤ 1

2π

∫ 2π

0|f [z(ϕ)]| dϕ . (B.4)

E vero inoltre che

|f(z0)| =1

2π

∫ 2π

0|f(z0)| dϕ . (B.5)

Sottraendo membro a membro le (B.4) e (B.5) si ottiene

∫ 2π

0|f [z(ϕ)]| − |f(z0)| dϕ ≥ 0

151

Poiche l’integrando e per ipotesi una funzione continua e non positiva,ne segue che

|f(z)| = |f(z0)|per ogni z ∈ C. Variando il raggio r della circonferenza C in mododa coprire tutto l’intorno I(z0) si dimostra che |f(z)| = |f(z0)| perogni z ∈ I(z0). Abbiamo cosı dimostrato che |f(z)| non puo avere unmassimo all’interno di D.

Per dimostrare che |f(z)| non puo avere minimi, se non nei punti incui si annulla, consideriamo la funzione g(z) = 1/f(z), analitica in Desclusi gli zeri zi di f(z). In questi punti |f(zi)| e ovviamente minima.Se z 6= zi, i minimi di |f(z)| corrispondono ai massimi di |g(z)|. Ma,come si e appena dimostrato, la funzione |g(z)|, analitica in D, non puoavere massimi in D, e quindi la |f(z)| non puo avere minimi.

[q.e.d.]

4) Teorema: sia f(z) una funzione analitica in un dominio semplicementeconnesso S, γ ⊂ S una curva di Jordan di lunghezza l, f(z) limitatasulla curva γ e M = maxz∈γ |f(z)| il suo valore massimo su γ, z0 unpunto appartenente alla regione interna a γ e δ = minz∈γ |z − z0| ladistanza minima della curva γ dal punto z0. Sotto queste ipotesi:

a)

|f(z0)| ≤Ml

2πδ(B.6)

b) ∣∣∣∣∣dnf(z)

dzn

∣∣∣∣∣z=z0

≤ n!Ml

2πδn+1∀n = 1, 2, ... (B.7)

Dimostrazione

La dimostrazione segue immediatamente dalle rappresentazioni di Cau-chy (1.16) e (1.17) e dalla disuguaglianza di Darboux (1.10):

a)

|f(z0)| =

∣∣∣∣∣ 1

2πi

∮γ

f(z)

z − z0

dz

∣∣∣∣∣≤ 1

2πimaxz∈γ

∣∣∣∣∣ f(z)

z − z0

∣∣∣∣∣ l≤ 1

2πi

Ml

δ

152

b) ∣∣∣∣∣dnf(z)

dzn

∣∣∣∣∣z=z0

=

∣∣∣∣∣ n!

2πi

∮γ

f(z)

(z − z0)n+1dz

∣∣∣∣∣≤ n!

2π

Ml

δn+1

[q.e.d.]

5) Teorema di Liouville:una funzione analitica e limitata in tutto ilpiano complesso C e necessariamente costante.

Dimostrazione

Poiche f(z) e limitata in C, esiste un M reale tale che |f(z)| ≤ M ,∀z ∈ C. Allora ∀z0 ∈ C possiamo applicare il teorema precedente(B.7) nel caso n = 1:

∣∣∣∣∣df(z)

dz

∣∣∣∣∣z=z0

≤ Ml

2πδ2.

Se scegliamo γ come una circonferenza centrata in z0 di raggio r (l =2πr,δ = r) otteniamo

∣∣∣∣∣df(z)

dz

∣∣∣∣∣z=z0

≤ M2πr

2πr2=M

r.

Ora, poiche f(z) e regolare e limitata in tutto il piano complesso, sipuo scegliere r arbitrariamente grande, rendendo il rapporto M

rpiccolo

quanto si vuole; quindi

∣∣∣∣∣df(z)

dz

∣∣∣∣∣z=z0

= 0 ∀z0 ∈ C

da cui

df(z)

dz= 0 ∀z ∈ C ⇒ f(z) = costante ∀z ∈ C .

[q.e.d.]

153

Se definiamo una funzione intera come una funzione regolare in tuttoil piano complesso (cioe priva di singolarita al finito), il teorema diLiouville afferma che una funzione intera e limitata e costante.

N.B. Lo stesso teorema non vale nel campo reale. Infatti esistonofunzioni f(x) di variabile reale non costanti che sono infinitamentederivabili e limitate in tutto R. Per esempio le funzioni

1)

f(x) =1

1 + x2

e

2)

f(x) = e−x2

sono limitate (f(x) ≤ 1) e infinitamente derivabili. Tuttavia le corri-spondenti funzioni nel campo complesso non sono limitate in C. Infatti:

1)

f(z) =1

1 + z2

non e regolare ne limitata in z = ±i. Invece la funzione

f(z) =1

1 + |z|2

e limitata in C (f(z) ≤ 1) ma non e analitica (poiche u(x, y) = (1 +x2 + y2)−1 e v(x, y) = 0, le condizioni di Cauchy-Riemann non sonosoddisfatte).

2)

f(z) = e−z2

e regolare in tutto C ma per z = iy, con y reale,

f(iy) = ey2

non e limitata. Invece la funzione

f(z) = e−|z|2

= e−z∗z

e limitata ma non analitica (si ricordi che z∗ non e analitica).

154

Appendice C

Il punto all’infinito

C.1 Studio del punto all’infinito

Il comportamento della funzione f(z) per z → ∞ si studia effettuando ilcambiamento di variabile

t =1

z − a(C.1)

per un opportuno a ∈ C, che molto spesso si prende uguale a zero, e va-lutando il comportamento della funzione φ(t) = f(a + 1/t) per t → 0. Lasostituzione (C.1) manda un intorno circolare (di raggio ε) dell’origine nelpiano complesso di t in un intorno dell’infinito IΩ(∞), cioe nell’esternodi un cerchio di raggio Ω = 1/ε centrato in a. Per esempio, se t = 0 e unpolo di ordine n di φ(t), z = ∞ e un polo di ordine n di f(z); se t = 0 e unozero di ordine n di φ(t), z = ∞ e uno zero di ordine n di f(z), eccetera.

Esempi

• La funzione f(z) = 1z

e regolare all’infinito e ivi ha uno zero semplice.

• La funzione f(z) = z2 ha un polo doppio all’infinito.

• La funzione f(z) = ez ha una singolarita essenziale all’infinito, cosıcome le funzioni sin z e analoghe.

• La funzione f(z) = 1sin z

ha poli semplici nei punti zk = kπ con kintero qualsiasi; quindi in ogni intorno del punto all’infinito cade almeno

155

un polo (in realta ne cadono infiniti): l’infinito non e una singolaritaisolata, ma un punto di accumulazione di poli.

Naturalmente, se f(z) e regolare all’infinito puo essere sviluppata in seriedi Taylor in un intorno dell’infinito IΩ(∞), cioe all’esterno di un cerchio,centrato in un punto a scelto secondo convenienza (spesso a = 0), e di raggioΩ tale che all’esterno del cerchio la f(z) non abbia singolarita. Tale serie siottiene sviluppando in serie di Taylor la funzione φ(t) = f(a+1/t) nell’intornodel punto t = 0, tornando poi alla variabile originaria z con la sostituzionet = 1/(z−a); lo sviluppo di Taylor nell’intorno del punto all’infinito conterra’quindi solo potenze negative di z − a, oltre alla potenza nulla.

Per esempio lo sviluppo (1.26) della funzione e1/z, che abbiamo gia vistoessere lo sviluppo di Laurent nell’intorno della singolarita essenziale z =0, puo anche essere letto come lo sviluppo di Taylor nell’intorno del puntoregolare z = ∞.

Discorso analogo per lo sviluppo di Laurent; solo che stavolta la parteprincipale dello sviluppo (cioe quella singolare) conterra solo potenze posi-tive di (z − a), in numero finito o infinito a seconda se il punto all’infinito eun polo o una singolarita essenziale.

Per ogni funzione intera lo sviluppo di Taylor

f(z) =∞∑

n=0

anzn (C.2)

nell’intorno dell’origine puo anche essere letto come sviluppo di Laurentintorno all’infinito; quindi:

• se ci sono infiniti an 6= 0 l’infinito e una singolarita essenziale di f(z);

• se an 6= 0 e al = 0, ∀l > n, f(z) e un polinomio di grado n e l’infinitoe un polo di ordine n (per n 6= 0) o e regolare (per n = 0).

Ne segue anche che:

• una funzione regolare in tutto C e anche all’infinito e necessariamenteuna costante (in accordo con il teorema di Liouville - vedi AppendiceB).

C.1.1 Esempi

Esempio 1: la funzione

f(z) = ez

156

e regolare in z = 0. Infatti, lo sviluppo in serie che definisce la funzioneesponenziale

ez =∞∑

k=0

zk

k!

ha solo potenze positive (sviluppo di Taylor intorno a z = 0).La stessa serie puo essere letta come sviluppo di Laurent attorno alla

singolarita essenziale z = ∞.

Esempio 2: la funzione

f(z) = e−1/z2

ha una singolarita essenziale in z = 0. Infatti, lo sviluppo in serie che definiscela funzione esponenziale

e−1/z2

=∞∑

k=0

(−1/z2)k

k!=

∞∑k=0

(−1)k

k!z−2k

ha un numero infinito di potenze negative.La stessa serie puo essere letta come sviluppo di Taylor attorno al punto

regolare z = ∞; essa non contiene infatti potenze positive di z; pertanto f(z)e analitica in z = ∞.

Esempio 3: consideriamo la funzione

f(z) = ze−1/z = z∞∑

k=0

(−1/z)k

k!=

∞∑k=0

(−1)k

k!z−k+1 = −

1∑k′=−∞

(−1)k′

(−k′ + 1)!zk′ .

La serie ha un numero infinito di potenze negative e quindi il punto z = 0 euna singolarita essenziale.

Studiamo z = ∞: la serie contiene una potenza positiva (la prima) di z,quindi la funzione ha un polo di ordine 1 in z = ∞.

Esempio 4: consideriamo la funzione

f(z) = ez/(1−z) .

157

Poniamo z′ = z − 1:

f(z) = e−(1+z′)/z′ = e−1/z′e−1 =1

e

∞∑k=0

(−1/z′)k

k!=

1

e

∞∑k=0

(−1)k (z − 1)−k

k!

La serie ha un numero infinito di potenze negative e quindi il punto z = 1(z′ = 0) e una singolarita essenziale.

Per z →∞ (z′ = ∞) la funzione ammette limite (uguale a e−1) e quindi ilpunto all’infinito e regolare; la serie che abbiamo scritto, che e di Laurent at-torno al punto z = 1, puo anche essere letta come serie di Taylor nell’intornodell’infinito.

Esempio 5: sia

f(z) = ez−1/z = eze−1/z .

I punti z = 0 e z = ∞ sono singolarita essenziali.

C.2 Calcolo del residuo nel punto all’infinito

Per valutare il residuo di una funzione f(z) in z = ∞ supponiamo che esistauna curva di Jordan γ che contenga al suo interno tutte le singolarita al finitodi f(z) (per esempio una circonferenza c di raggio sufficientemente grande -Figura C.1- )

Allora nel punto all’infinito la funzione f(z) o e regolare, o ha una singo-larita isolata. In entrambi i casi definiamo il residuo all’infinito come:

Resf(z)z=∞ = − 1

2πi

∮γf(z)dz , (C.3)

dove l’integrale e calcolato percorrendo come al solito la curva γ in sensoantiorario; il segno − ricorda che per avere z = ∞ al suo interno la curva γdovrebbe essere percorsa in senso orario1.

Sostituendo nella definizione (C.3) lo sviluppo in serie di Laurent (o diTaylor) della f(z) attorno al punto all’infinito, e ricordando l’integrale (1.14),si ricava che il residuo all’infinito e dato dal coefficiente, cambiato di segno,

1Ricordiamo che un punto z0 si definisce interno ad una curva γ se, immaginando dipercorrere γ nel senso di percorrenza indicato, z0 viene lasciato a sinistra.

158

Figura C.1: Curva che contiene tutte le singolarita al finito della funzionef(z)

della potenza 1/(z − a). Per esempio, il residuo all’infinito della funzioneregolare all’infinito f(z) = 1/z vale −1, mentre quello della funzione f(z) = z(che ha un polo semplice all’infinito) e nullo.

Una conseguenza immediata di quanto abbiamo detto e che una funzionepari ha sempre residuo nullo all’infinito (sempre che abbia senso definir-lo), poiche il suo sviluppo, di Taylor o di Laurent, in potenze di z non potracontenere il termine 1/z; lo stesso succede per una funzione che all’infinitosia O( 1

z2 ).Un altro modo per calcolare il residuo all’infinito si basa sul calcolo diretto

dell’integrale (C.3) mediante il cambiamento di variabile:

z =1

t, (C.4)

che manda z →∞ in t→ 0.Si vede subito che una circonferenza c di raggio R centrata nell’origine del

piano z, di equazione |z| = R, viene trasformata in un’analoga circonferenzac′ di raggio 1/R nel piano t di equazione |t| = 1/R.

Se c e percorsa in senso antiorario, c′ sara percorsa in senso orario; infattiquando la fase φ di z = Reiφ cresce, quella di t = 1/R e−iφ diminuisce. La

159

circonferenza cR viene quindi “mappata” dalla trasformazione (C.4) in unacirconferenza c′1/R percorsa in senso opposto.

Di conseguenza:

Resf(z)z=∞ = − 1

2πi

∮cf(z)dz

= +1

2πi

∮c′f(

1

t)dz

dtdt .

Ora, dz/dt = −1/t2, e quindi

Resf(z)z=∞ = − 1

2πi

∮c′f(

1

t

)1

t2dt

= −Res

[f(

1

t

)1

t2

]t=0

. (C.5)

Si noti che il residuo di f(z) in z = ∞ non e uguale al residuo di f(1/t)in t = 0:

Resf(z)z=∞ 6= Resf(1/t)t=0 .

N.B. Esistono funzioni che, pur essendo regolari in z = ∞, hanno residuonon nullo all’infinito. Per esempio la funzione

f(z) =1

z

e regolare in z = ∞ (perche la funzione f(1/t) = t e uguale a 0 in t = 0) mail suo residuo, calcolato tramite la (C.5), vale

Res

1

z

z=∞

= −Res

(t1

t2

)t=0

= − 1

2πi

∮c′

1

tdt = −1 ,

come abbiamo gia visto.L’interesse principale nel definire il residuo all’infinito sta nel seguente:

∆ Teorema 14: se una funzione analitica f(z) possiede solo singolaritaisolate in tutto il piano complesso, punto all’infinito compreso, la somma ditutti i suoi residui, compreso l’eventuale residuo all’infinito, e zero.

160

Dimostrazione.

Sia γ una curva di Jordan che non passa per alcuna singolarita di f(z).Allora, per il teorema dei residui (1.33), si ha

∮γf(z)dz = +2πi

∑interni

Resf(z)∮γf(z)dz = −2πi

∑esterni

Resf(z) ,

da cui si ottiene, sottraendo membro a membro,

∑tot

Resf(z) = 0 . (C.6)

[q.e.d.]La verifica piu immediata di questo teorema e data dalla solita funzione

f(z) = 1/z che ha residuo +1 nell’origine e −1 all’infinito; conviene richia-mare questo esempio elementare ogni volta che non ci si ricordi con qualesegno si debba prendere il coefficiente della potenza 1/(z − a) per calcolareil residuo all’infinito.

• Esempio 1

A volte puo essere conveniente usare l’eq. (C.6) per semplificare il calcolodi integrali in campo complesso. Per esempio l’integrale∮

C

z3

2z4 + 1dz con C = z, |z| = 1 (C.7)

richiederebbe di valutare i 4 residui interni alla curva C, nei punti zi soluzionidi z4 = −1/2. Utilizzando invece il teorema (C.6) si ha semplicemente∮

C

z3

2z4 + 1dz = −2πi

Res

z3

2z4 + 1

z=∞

= +2πi limt→0

1

t2

1t3

2t4

+ 1

= iπ . (C.8)

Ancor piu semplicemente si trova che il residuo all’infinito dell’integrando e−1/2 guardando allo sviluppo:

z3

2z4 + 1=

1

2z+O(

1

z2)

161

• Esempio 2

Il teorema 14 permette a volte di calcolare piu facilmente il residuo di unafunzione in una singolarita essenziale. Per esempio il calcolo del residuo dellafunzione

f(z) =sin(π/z)

z − 2(C.9)

nella singolarita essenziale z = 0 e

Resf(z)z=0 = −Resf(z)z=2 == − limz→2

sinπ

z= −1 ,

dove si e tenuto conto che f(z) = O( 1z2 ) per z →∞ e quindi Resf(z)z=∞ =

0. Invece il calcolo diretto e piu complicato:

Resf(z)z=0 =

Res

−1

2

∞∑l=0

(z

2

)l ∞∑k=0

(−1)k

(πz

)2k+1

(2k + 1)!

z=0

= −∞∑

l,k=0

(−1)k

(2k + 1)!

π2k+1

2l+1δl−2k−1,−1

= −∞∑

k=0

(−1)k

(2k + 1)!

(π

2

)2k+1

= − sinπ

2= −1 .

∆ Corollario del Teorema 14: ogni funzione intera f(z) ha residuo nulloall’infinito.

Dimostrazione

L’infinito puo essere punto regolare di f(z) (allora f(z) e costante - Teo-rema di Liouville, Appendice B) o singolarita isolata; in entrambi i casi hasenso definire il residuo all’infinito. Poiche la somma dei residui fa zero e nonci sono singolarita al finito, si deduce che necessariamente il residuo all’in-finito e nullo. In alternativa, basta vedere che lo sviluppo (C.2) di f(z) inserie di Laurent nell’intorno dell’infinito non contiene la potenza z−1.

162

C.3 Studio del punto all’infinito nelle equa-

zioni differenziali

Il comportamento delle soluzioni dell’equazione differenziale

u′′(z) + P (z)u′(z) +Q(z)u(z) = 0 (C.10)

nell’intorno del punto z → ∞ si studia effettuando il cambiamento di va-riabile t = 1

ze studiando il comportamento di u(1

t) per t → 0. Che forma

assume l’equazione (C.10) in termini di t?

u′(z) =du(1/t)

dt

dt

dz= −t2du(1/t)

dt

u′′(z) =du′(1/t)

dt

dt

dz= 2t3

du(1/t)

dt+ t4

d2u(1/t)

dt2.

Sostituendo nella (C.10) si ottiene

t4d2u

dt2+ (2t3 − t2P )

du

dt+Qu = 0

ovvero, in forma standard,

d2u

dt2+(

2

t− P

t2

)du

dt+Q

t4u = 0 . (C.11)

Il punto t = 0 (z →∞) e un punto ordinario se le funzioni

P(

1

t

)=

2

t− P (1/t)

t2(C.12)

Q(

1

t

)=

Q(1/t)

t4(C.13)

sono regolari in t = 0, ovvero

P (z) =2

z+O

(1

z2

), Q(z) = O

(1

z4

)per z →∞ . (C.14)

Le condizioni necessarie e sufficienti affinche il punto z = ∞ sia fuchsianosono che le funzioni

p(t) = tP(

1

t

)(C.15)

q(t) = t2Q(

1

t

)(C.16)

163

siano regolari in t = 0, ovvero

P (z) = O(

1

z

), Q(z) = O

(1

z2

)per z →∞ . (C.17)

Se l’infinito e un punto ordinario, si puo cercare una soluzione come sviluppoin serie di Taylor intorno a z = ∞:

u(z) = u(1/t) =∞∑

k=0

cktk =

∞∑k=0

ckz−k

e determinare i coefficienti ck tramite le relazioni di ricorrenza che si ricavanodalla sostituzione della serie nell’equazione differenziale. Se invece l’infini-to e un punto singolare fuchsiano, si cercheranno due soluzioni particolarilinearmente indipendenti, del tipo:

u1(z) = u1(1/t) = tρ1

∞∑k=0

cktk = z−ρ1

∞∑k=0

ckz−k , c0 6= 0

e

u2(1/t) =

tρ2∑∞

k=0 dktk ρ1 − ρ2 6= n , d0 6= 0

au1(1/t) ln t+ tρ2∑∞

k=0 bktk ρ1 − ρ2 = n , b0 6= 0

(C.18)

ovvero

u2(z) =

z−ρ2

∑∞k=0 dkz

−k ρ1 − ρ2 6= n , d0 6= 0−au1(z) ln z + z−ρ2

∑∞k=0 bkz

−k ρ1 − ρ2 = n , b0 6= 0 .(C.19)

Gli esponenti ρ1 e ρ2 sono le soluzioni dell’equazione indiciale relativa all’e-quazione differenziale (C.11), cioe

ρ2 + (p0 − 1)ρ+ q0 = 0 ,

dove

p0 = limt→0

t

(2

t− P (1/t)

t2

)= 2− lim

t→0

P (1/t)

t

q0 = limt→0

t2Q(1/t)

t4= lim

t→0

Q(1/t)

t2.

In termini della variabile z:

p0 = 2− limz→∞

zP (z)

q0 = limz→∞

z2Q(z) .

164

Detti ora

p0 = limz→∞

zP (z)

q0 = limz→∞

z2Q(z) .

l’equazione indiciale diventa

ρ2 + (1− p0)ρ+ q0 = 0 .

Si noti il cambiamento di segno nel termine lineare rispetto all’equazioneindiciale per singolarita al finito. I coefficienti ck, dk, bk e a nelle equazio-ni (C.18) si ottengono sostituendo le soluzioni nell’equazione differenziale eusando gli sviluppi

P (z) =1

z

∞∑n=0

pn

zn(C.20)

Q(z) =1

z2

∞∑n=0

qnzn

. (C.21)

Le serie (C.18) convergono certamente all’esterno di un cerchio centratonell’origine e che comprende al suo interno tutte le singolarita dell’equazionedifferenziale.

C.3.1 Esempi

Consideriamo le equazioni (2.3-2.10) e studiamone il comportamento per z →∞.

1) Equazione dell’oscillatore armonico semplice:

u′′ + ω2u = 0

P (1/t) =2

t, Q(1/t) =

ω2

t4

All’infinito l’equazione ha una singolarita irregolare.

2) Equazione di Legendre:

(1− z2)u′′ − 2zu′ + αu = 0

P (1/t) =2

t− 2/t

t2 − 1, Q(1/t) =

α

t4 − t2

All’infinito l’equazione ha una singolarita fuchsiana.

165

3) Equazione di Bessel:

z2u′′ + zu′ + (z2 − α2)u = 0

P (1/t) =2

t− 1

t=

1

t, Q(1/t) =

1− α2t2

t4


4) Equazione di Laguerre

zu′′ + (1− z)u′ + au = 0

P (1/t) =2

t− t− 1

t2, Q(1/t) =

a

t3


5) Equazione di Hermite:

u′′ − 2zu′ + 2αu = 0

P (1/t) =2

t+

2

t3, Q(1/t) =

2α

t4


6) Equazione di Chebyshev:

(1− z2)u′′ − zu′ + n2u = 0

P (1/t) =2

t+

1

t(t2 − 1), Q(1/t) =

n2

t2(t2 − 1)


7) Equazione ipergeometrica confluente:

zu′′ + (c− z)u′ − au = 0

P (1/t) =2

t− ct− 1

t2, Q(1/t) = − a

t3


166

8) Equazione ipergeometrica:

z(z − 1)u′′ + [(1 + a+ b)z − c]u′ + abu = 0

P (1/t) =2

t− 1 + a+ b− ct

t(1− t), Q(1/t) =

ab

t2(1− t)


L’equazione ipergeometrica e un esempio di equazione totalmente fuchsianacon tre punti singolari in 0, 1,∞ i cui indici valgono rispettivamente (0, 1−c),(0, c−a−b), (a, b); questa informazione si racchiude nel simbolo P di Riemann

P =

0 1 ∞0 0 a z

1− c c− a− b b

.

Per c 6= 0,−1,−2, · · · l’equazione ipergeometrica ammette una soluzioneregolare nell’origine detta funzione ipergeometrica:

F (a, b; c; z) =∞∑l=0

(a)l(b)l

l!(c)l

zl (C.22)

dove (a)l ≡ a(a + 1) · · · (a + l − 1). L’equazione ipergeometrica e partico-larmente importante perche ogni equazione totalmente fuchsiana con 3 pun-ti singolari puo essere ad essa ricondotta con un cambiamento di variabileindipendente del tipo w = αz+β

γz+δe a meno di potenze a fattore della soluzione.

167

Appendice D

Equazioni differenziali delsecond’ordine

La maggior parte dei problemi in fisica e formulata in termini di equazionidifferenziali, che sono molto spesso equazioni differenziali alle derivate par-ziali, che coinvolgono cioe derivate rispetto a piu di una variabile. Tra queste,le equazioni che si incontrano piu frequentemente sono:

1) L’equazione di Laplace:

∆ψ(~r) = 0 , (D.1)

dove l’operatore Laplaciano (in tre dimensioni) e

∆ = ∇2 =∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2.

L’equazione di Laplace compare spesso nello studio di fenomeni elet-tromagnetici, nell’idrodinamica, nella propagazione del calore e nellostudio della gravitazione.

2) L’equazione di Poisson:

∆ψ(~r) = − ρ

ε0, (D.2)

che e una generalizzazione dell’equanzione di Laplace (D.1) in presenzadi una sorgente.

3) L’equazione di Helmholtz, o equazione delle onde

∆ψ(~r) + k2ψ(~r) = 0 (D.3)

168

e l’equazione di diffusione indipendente dal tempo

∆ψ(~r)− k2ψ(~r) = 0 . (D.4)

Queste equazioni si incontrano nello studio di diversi fenomeni, comela propagazione di onde elastiche nei solidi, la propagazione del suonoe l’acustica, le onde elettromagnetiche e i reattori nucleari.

4) L’equazione delle onde dipendente dal tempo, o equazione di d’Alem-bert,

ψ(~r, t) = 0 , (D.5)

dove si e introdotto l’operatore d’alembertiano:

=∂2

∂t2− ∂2

∂x2− ∂2

∂y2− ∂2

∂z2=

∂2

∂t2−∆ .

5) L’equazione del potenziale scalare:

ψ(~r, t) = − ρ

ε0

6) L’equazione di Klein-Gordon

ψ(~r, t) = µ2ψ(~r, t) . (D.6)

7) L’equazione di Schroedinger

− h2

2m∆ψ(~r, t) + V (~r)ψ(~r, t) = ih

∂ψ(~r, t)

∂t,

che e alla base della meccanica quantistica non relativistica.

8) Le equazioni di Maxwell, che sono un sistema di equazioni alle derivateparziale accoppiate per i campi elettrico e magnetico.

9) L’equazione di Dirac, che governa la meccanica quantistica relativistica.

Tutte queste equazioni possono essere scritte nella forma

Hψ = F ,

dove H e un operatore differenziale,

H = H

(∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z,∂

∂t, x, y, z

),

169

F e una funzione nota e ψ e la funzione incognita (scalare o vettoriale).Inoltre le equazioni (1,3,4,6,7,9) sono lineari: questo significa che, se ψ1 e ψ2

sono soluzioni dell’equazione differenziale, qualsiasi loro combinazione lineare

ψ = a1ψ1 + a2ψ2

ne e ancora soluzione. Le equazioni (1-8) sono tutte equazioni del secondoordine: esse contengono cioe derivate di ordine massimo 2 (in realta le equa-zioni di Maxwell sono del prim’ordine, ma contengono due funzioni incognitee possono essere ricondotte, eliminando una delle due incognite, a equazio-ni del second’ordine). Esistono diversi metodi per la soluzione di equazionidifferenziali alle derivate parziali del second’ordine:

1) metodo di separazione delle variabili;

2) metodo delle funzioni di Green;

3) metodo delle trasformate integrali di Fourier e di Laplace;

4) metodi numerici.

Metodo di separazione delle variabili

Il metodo di separazione delle variabili consiste nel separare una equazio-ne differenziale alle derivate parziali in n variabili in n equazioni differenzialiordinarie (contenenti cioe derivate totali), ciascuna corrispondente a una va-riabile. Ogni separazione introduce una costante arbitraria, detta costantedi separazione. Se le variabili sono n, si ottengono n− 1 costanti di separa-zione, determinate dalle condizioni al contorno del problema. Illustriamo ilfunzionamento di questo metodo con un esempio: la soluzione dell’equazionedi Helmholtz (D.3). In coordinate cartesiane l’equazione (D.3) diventa:

∂2ψ(x, y, z)

∂x2+∂2ψ(x, y, z)

∂y2+∂2ψ(x, y, z)

∂z2+ k2ψ(x, y, z) = 0 . (D.7)

Il metodo di separazione delle variabili consiste nel cercare una soluzionefattorizzata del tipo

ψ(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z) , (D.8)

dove X(x) dipende solo dalla variabile x, Y (y) solo dalla y e Z(z) solo dalla z.Non e detto, in generale, che una soluzione di questo tipo esista, ma, se esiste,

170

il procedimento e giustificato. Se non esiste, si dovra risolvere l’equazione conun altro metodo. Sostituiamo dunque la (D.8) nell’equazione (D.7):

Y (y)Z(z)d2X(x)

dx2+X(x)Z(z)

d2Y (y)

dy2+X(x)Y (y)

d2Z(z)

dz2+ k2X(x)Y (y)Z(z) = 0

e dividiamo per X(x)Y (y)Z(z), supponendo che ψ 6= 0 (soluzione banaledell’equazione differenziale):

1

X(x)

d2X(x)

dx2+

1

Y (y)

d2Y (y)

dy2+

1

Z(z)

d2Z(z)

dz2+ k2 = 0 .

Si noti che le derivate sono derivate ordinarie, non parziali. Separiamo ora itermini che dipendono da x da quelli che non ne dipendono:

1

X(x)

d2X(x)

dx2= − 1

Y (y)

d2Y (y)

dy2− 1

Z(z)

d2Z(z)

dz2− k2 . (D.9)

Ora, il primo membro e una funzione della sola variabile x, mentre il secondomembro dipende solo da y e z. Poiche x, y e z sono variabili indipendenti,questo e possibile solo se entrambi i membri della (D.9) sono uguali a unacostante, la costante di separazione, che indicheremo con −l2. Otteniamocosı due equazioni:

1

X(x)

d2X(x)

dx2= −l2

1

Y (y)

d2Y (y)

dy2+

1

Z(z)

d2Z(z)

dz2+ k2 = l2 .

Consideriamo ora la seconda di queste equazioni e ripetiamo il procedimemto;separiamo i termini dipendenti da y:

1

Y (y)

d2Y (y)

dy2= − 1

Z(z)

d2Z(z)

dz2− k2 + l2 .

Questa equazione puo essere verificata solo se ambo i suoi membri sono ugualia una costante di separazione, −m2:

1

Y (y)

d2Y (y)

dy2= −m2

1

Z(z)

d2Z(z)

dz2= −k2 +m2 + l2 = −n2 ,

171

dove abbiamo introdotto, per motivi di simmetria formale, la costante n2,legata a l, m e k dalla relazione

l2 +m2 + n2 = k2 .

Riassumendo, abbiamo trasformato l’equazione differenziale alle derivate par-ziali in n=3 variabili

∂2ψ(x, y, z)

∂x2+∂2ψ(x, y, z)

∂y2+∂2ψ(x, y, z)

∂z2+ k2ψ(x, y, z) = 0

in n=3 equazioni differenziali ordinarie

1

X(x)

d2X(x)

dx2= −l2

1

Y (y)

d2Y (y)

dy2= −m2

1

Z(z)

d2Z(z)

dz2= −n2

e abbiamo introdotto n−1=2 costanti di separazione l e m (la terza costante,n, non e indipendente dalle altre due). La nostra soluzione sara caratterizzatada tre indici l,m, n:

ψlmn(x, y, z) = Xl(x)Ym(y)Zn(z) (D.10)

e varra per qualunque scelta delle costanti l,m, n purche l2 +m2 + n2 = k2.La soluzione generale sara una combinazione lineare delle (D.10):

Ψ(x, y, z) =∑

l,m,n

almnψlmn(x, y, z) ,

dove i coefficienti almn saranno determinati dalle condizioni al contorno. Ri-solviamo ora l’equazione di Helmholtz in coordinate sferiche. Cerchiamo unasoluzione fattorizzata del tipo

ψ(r, θ, φ) = R(r)Θ(θ)Φ(φ) . (D.11)

L’espressione dell’operatore laplaciano in coordinate sferiche e:

∆ =1

r2 sin θ

[sin θ

∂

∂r

(r2 ∂

∂r

)+

∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)+

1

sin θ

∂2

∂φ2

]. (D.12)

Le (D.11) e (D.12), sostituite nell’equazione (D.3), forniscono:

1

Rr2

d

dr

(r2dR

dr

)+

1

r2Θ sin θ

d

dθ

(sin θ

dΘ

dθ

)+

1

Φr2 sin2 θ

d2Φ

dφ2= −k2 .

172

Si noti che le derivate sono diventate derivate ordinarie, perche agiscono sufunzioni di una sola variabile. Moltiplicando per r2 sin2 θ possiamo isolare itermini dipendenti da φ:

1

Φ

d2Φ

dφ2= r2 sin2 θ

[−k2 − 1

Rr2

d

dr

(r2dR

dr

)− 1

r2Θ sin θ

d

dθ

(sin θ

dΘ

dθ

)].(D.13)

Questa equazione e una uguaglianza fra una funzione che dipende solo daφ e una che dipende solo da r e θ: l’unica soluzione possibile e che ambo imembri della (D.13) siano uguali a una costante, che indicheremo con −m2:

1

Φ

d2Φ

dφ2= −m2 (D.14)

1

Rr2

d

dr

(r2dR

dr

)+

1

r2Θ sin θ

d

dθ

(sin θ

dΘ

dθ

)− m2

r2 sin2 θ= −k2 .

Moltiplicando ora la seconda equazione per r2 e riarrangiando i termini siottiene:

1

R

d

dr

(r2dR

dr

)+ k2r2 = − 1

Θ sin θ

d

dθ

(sin θ

dΘ

dθ

)+

m2

sin2 θ.

Le variabili r e θ sono cosı separate. Se uguagliamo il primo e il secondomembro ad un’unica costante Q otteniamo:

1

r2

d

dr

(r2dR

dr

)+ k2R− QR

r2= 0 (D.15)

1

sin θ

d

dθ

(sin θ

dΘ

dθ

)− m2

sin2 θΘ +QΘ = 0 . (D.16)

Abbiamo ottenuto cosı tre equazioni differenziali ordinarie (D.14), (D.15) e(D.16), con l’introduzione di 2 costanti di separazione, m2 e Q. La soluzionedi queste equazioni e discussa nel prossimo paragrafo. La soluzione generaledell’equazione di Helmholtz in coordinate sferiche avra la forma:

Ψ(r, θ, φ) =∑Q,m

aQmRQ(r)ΘQm(θ)Φm(φ) .

Mediante il metodo di separazione delle variabili ci siamo quindi ricondotti aequazioni differenziali ordinarie del second’ordine, delle quali ci occuperemoora.

173

Appendice E

L’integrale di Lebesgue

Elenchiamo qui di seguito (senza dimostrarle) alcune proprieta dell’integraledi Lebesgue che lo rendono spesso molto piu maneggevole dell’integrale diRiemann.

• Teorema di Lebesgue sullo scambio di limite con integrale (per suc-cessioni).

Se

limn→∞

fn(x) =q.o. f(x) ,

con le fn(x) sommabili, ed esiste una F (x) sommabile tale che ∀n ∈ N,|fn(x)| ≤q.o. F (x), allora anche f(x) e sommabile e si puo scambiare illimite con l’integrale:

limn→∞

∫ b

afn(x) dx =

∫ b

alim

n→∞fn(x) dx ≡

∫ b

af(x) dx . (E.1)

La seconda proprieta e molto simile:

• Scambio di limite con integrale (per integrali dipendenti da unparametro).

Se in y0 la funzione f(x, y), intesa come funzione di y, e continua perquasi ogni x ∈ (a, b), cioe se vale

limy→y0

f(x, y) =q.o. f(x, y0), (E.2)

ed esiste una F (x) sommabile tale che in un opportuno intorno diy0 valga |f(x, y)| ≤q.o. F (x), allora si puo scambiare il limite conl’integrale:

174

limy→y0

∫ b

af(x, y) dx =

∫ b

alimy→y0

f(x, y) dx ≡∫ b

af(x, y0) dx . (E.3)

Anche la terza proprieta vale sotto condizioni analoghe:

• Derivazione sotto il segno.

Posto

G(y) =∫ b

af(x, y) dx ,

se in un opportuno intorno di y0 e per quasi ogni x ∈ (a, b) la derivataparziale f ′y(x, y) esiste e vale

|f ′y(x, y)| ≤q.o.F (x) con F (x) sommabile ,

allora si puo derivare sotto il segno:

dG

dy

∣∣∣∣∣y=y0

=∫ b

af ′y(x, y0) dx . (E.4)

Enunciamo infine

• Teorema di Fubini Tonelli sullo scambio dell’ordine di integra-zione.

Se esiste almeno uno degli integrali

∫ b

adx∫ d

cdy|f(x, y)| ,

∫ d

cdy∫ b

adx|f(x, y)|

allora vale

∫ b

adx∫ d

cdyf(x, y) =

∫ d

cdy∫ b

adxf(x, y) (E.5)

L’importanza di questi quattro teoremi diventa evidente se si osserva cheessi valgono sia per intervallo finito che infinito e sia per funzioni limitate chenon limitate; gli analoghi teoremi validi per integrali di Riemann, specie per

175

integrali di Riemann impropri, richiedono condizioni sufficienti estremamentepiu restrittive e difficili da verificare.

Naturalmente nel caso di intervallo finito anche per l’integrale di Lebe-sgue si possono avere ulteriori semplificazioni: se e solo se l’intervallo e finito,F (x) = M costante e sommabile; si puo quindi dire, come caso particolaredella proprieta (E.1), che condizione sufficiente affinche valga la (E.1) e chele fn(x) siano q.o. uniformemente limitate, cioe che esista una costante M ,indipendente da n, che le maggiori tutte (in modulo) quasi ovunque.

Affermazioni analoghe si possono fare per le proprieta (E.3) e (E.4).Inoltre se e solo se l’intervallo (a, b) e finito vale L2(a, b) ⊂ L(a, b),

ovvero ogni funzione quadrato sommabile, su un intervallo finito, e ivi anchesommabile; per convincersene basta l’identita

∫ b

af(x) dx = (1, f) ,

dove con 1 intendiamo il vettore corrispondente alla funzione f(x) = 1, chee sommabile su ogni intervallo finito.

Non e invece vero che ogni funzione sommabile sia quadrato sommabile;per esempio

f(x) =1√x∈ L(0, 1) ma /∈ L2(0, 1) . (E.6)

Su intervallo infinito non esiste alcuna relazione di inclusione fra L e L2;per esempio

f(x) =1√

1 + x2∈ L2(0,∞) ma /∈ L(0,∞) .

176

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